Что такое луч прямая отрезок: Луч — урок. Математика, 2 класс.

Содержание

Луч, отрезок, прямая линия, ломаная линия

Луч, отрезок, прямая линия, ломаная линия, что это?

Определения луча, отрезка, прямой линии, ломаной линии:

 

Луч имеет начало (точку), но не имеет конца.

 

Отрезок – это часть прямой линии, ограниченная двумя точками — началом и концом.

 

Линия – это длина без ширины.

 

Ломанная линия состоит из последовательно соединённых отрезков.

Коротко:

Известные и великие математики

ученые средневековья и современности, и их вклад в мировую науку

Евклид — первый математик


Дата рожднения: около 325 года до н. э.
Место рождения: неизвестно
Дата смерти: до 265 года до н. э.

Биография

Евклид — первый математик Александрийской школы, его научная деятельность протекала в Александрии в III веке до н. э.. Его главная работа «Начала» содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвёл итог предшествующему развитию древнегреческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. Евклид — автор работ по астрономии, оптике, музыке и др.

Биографические сведения о Евклиде крайне скудны. К наиболее достоверным сведениям о жизни Евклида принято относить то немногое, что приводится в комментариях Прокла к первой книге Начал Евклида (хотя следует принять во внимание, что Прокл жил спустя почти 800 лет после Евклида). Отметив, что «писавшие по истории математики» не довели изложение развития этой науки до времени Евклида, Прокл указывает, что Евклид был моложе Платоновского кружка, но старше Архимеда и Эратосфена, «жил во времена Птолемея I Сотера», «потому что и Архимед, живший при Птолемее Первом, упоминает об Евклиде и, в частности, рассказывает, что Птолемей спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели Начала; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии».

Некоторые авторы предпологают по утверждению Прокла — Евклид жил во времена Птолемея I Сотера — в том смысле, что Евклид жил при дворе Птолемея и был основателем Александрийского Мусейона. Другие авторы отождествляли Евклида с учеником Сократа философом Евклидом из Мегар.

Арабские авторы считали, что Евклид жил в Дамаске и издал там «Начала» Аполлония. Анонимная арабская рукопись XII века сообщает : Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», учёный старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира…

С именем Евклида также связывают становление геометрической алгебры, как науки. Основное сочинение Евклида называется Начала. Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским, Леонтом и Февдием. Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.

Произведения Евклида:

  • Данные — о том, что необходимо, чтобы задать фигуру
  • О делении — даёт деление геометрических фигур на части, равные или состоящие между собой в заданном отношении
  • Явления — приложения сферической геометрии к астрономии
  • Оптика — о прямолинейном распространении света
  • Поризмы — об условиях, определяющих кривые
  • Конические сечения
  • Поверхностные места — о свойствах конических сечений
  • Псевдария — об ошибках в геометрических доказательствах
  • Катоптрика — теория зеркал
  • Деление канона — трактат по элементарной теории музыки

Если заметили ошибку, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter

Прямая и отрезок. Луч и угол.

Мы начинаем изучать новый предмет — геометрию.

В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» (гео — земля, метрео — мерить). Это одна из самых древних наук.

Зарождение геометрии было связано с необходимостью определять размеры участков земли, ориентироваться по расположению звёзд на небе, строить  здания и сооружения. В результате такой деятельности накопилось много правил, связанных с геометрическими построениями и измерениями, и геометрия сформировалась как самостоятельная наука, занимающаяся изучением геометрических фигур.

На уроках математики вы познакомились с такими геометрическими фигурами как:

Школьный курс геометрии делится на планиметрию и стереометрию. В планиметрии рассматриваются свойства уже известных вам фигур на плоскости, таких, как отрезок, прямоугольник, треугольник:

В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве. Примерами таких фигур являются параллелепипед, шар, цилиндр:

Мы начнём изучение геометрии с планиметрии.

Давайте поговорим о точках, прямых и отрезках. Точки обозначаются большими латинскими буквами:

Прямые обычно обозначаются малыми латинскими буквами. Прямая не имеет толщины и ширины, простирается неограниченно в обе стороны. Туго натянутая нить даёт нам представление о прямой:

Часть прямой а, ограниченная двумя точками А и В (Б), называется отрезком. Точки А и В, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка. Такой отрезок обозначается АВ или ВА.

Поговорим о свойствах прямой. Возьмём некоторую прямую а, точки А и В, которые лежат на прямой а, и точки C и D, которые не лежат на этой прямой. Другими словами можно сказать, что прямая проходит через точки А и В, но не проходит через точки C и D. Отметим, что через точки А и В нельзя провести другую прямую, которая не совпадала бы с прямой

а:

Таким образом, можно сформулировать следующее свойство:

Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Рассмотрим теперь две прямые. Если прямые а и b имеют одну общую точку О, то говорят, что они пересекаются в этой точке. А вот прямые p и q не пересекаются:

Любые две прямые могут иметь не более одной общей точки. Так как иначе, исходя из сформулированного выше свойства, они будут совпадать. Таким образом, можно сделать вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Поговорим о луче. Проведём прямую а и отметим на ней точку О. Эта точка разделяет прямую на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из точки О. Точка О называется началом каждого из лучей:

Обозначаются лучи обычно либо малой латинской буквой, например, луч h, либо двумя большими латинскими буквами, например, луч ОА. Как видите, первая буква О — начало луча, вторая точка А — произвольная точка на луче:

Угол

— это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла:

Изобразим угол с вершиной О и сторонами h и k. На сторонах отметим точки А и В, тогда данный угол можно обозначить как угол hk, или угол АОВ, или просто угол О:

Углы могут быть развёрнутыми и неразвёрнутыми. Рассмотрим развёрнутый угол pq с вершиной С:

Обе стороны такого угла лежат на одной прямой. Можно сказать, что каждая сторона развёрнутого угла является продолжением второй. Отметим, что угол разбивает плоскость на две части. У неразвёрнутого угла одна часть называется внутренней областью угла, а другая — внешней.

А если же угол развёрнутый, то любую из его частей можно считать внутренней:

Следует помнить, что фигуру состоящую из угла и его внутренней области, также называют углом.

В заключении рассмотрим следующее. Возьмём некоторый неразвёрнутый угол АОВ, проведём внутри угла из его вершины луч ОС:

Получим два угла: угол АОС и угол СОВ. Если же взять развёрнутый угол АОВ, то любой луч ОС, не совпадающий с лучами ОА и ОВ, делит этот угол на два угла АОС и СОВ.

Презентация — Урок №9 «Прямая — Отрезок

Слайды и текст этой онлайн презентации

Слайд 1

Тема урока: Прямая. Отрезок. Луч.
УРОК № 9
Цели урока: Повторить понятия прямой и отрезка. Закрепить умение строить прямые, отрезки и лучи. Развивать умение решать геометрические задачи

Слайд 2

Выполнить действия
0
0
36
6
108
28
: 4
+ 36
: 6
* 18
— 80
35
18
36
180
250
5
— 17
* 2
* 5
+ 70
: 50

Слайд 3

Выполнить последовательные построения 1. Построить отрезок АВ. На отрезке АВ отметить точку С. Через точку С провести прямую с. 2. Построить прямую KL и отрезок NM, пересекающийся в точке O. 3. Построить непересекающиеся отрезки FD и CР. 4. Отметить точку O, через эту точку провести три прямые a, b, c. Это возможно? 5. Отметить точки A и B, через эти две точки провести две прямые a и b. Возможно ли это? Сколько прямых можно провести через две точки?

Слайд 4

Сколько отрезков изображено на рисунке?

Слайд 5

Сколько отрезков изображено на рисунке?

Слайд 6

Какие точки принадлежат прямой МК?
М
Е
F
C
D
K
N

Слайд 7

Какие точки не принадлежат прямой МК?
А
Е
F
C
D
K
В

Слайд 8

Ответить на вопросы: 1. Сколько прямых можно провести через две точки? 2. Сколько отрезков соответствует двум точкам? 3. Сколько прямых можно провести через одну точку? 4. Сколько общих точек могут иметь две прямые?

Слайд 9

Выполнить последовательно задания: 1. Построить отрезок CD; 2. Провести луч DE; 3. На луче DE отметить точку F; 4. Принадлежит ли данная точка F отрезку СD? Возможны ли несколько вариантов, если да, то какие? 5. Построить прямую ES таким образом, чтобы точка D лежала на этой прямой; 6. Образовались ли новые лучи? Если да, то назовите их; 7. Какие ещё фигуры образовались на данном рисунке (углы, отрезки, треугольники)?

Слайд 10

№ 74 (1,3,6) 1) 1 2 3 4 … n …, 11 12 13 14 … … № 79 28 + ? = 100 100 – 28 = 72
10
100
20
110
n+10
Устная работа
б) 69, в) 37, г) 21, д) 10, е) 30.

Слайд 11

Выполнить задания: № 70, 71, 73, 76 № 76
а) (у – х) м/мин; б) _____ (у – х)
10
мин

Слайд 12

Домашнее задание.
§ 4, Контрольные задания стр.28, № 72, 77
Спасибо за урок!

Понятия точка прямая отрезок луч угол. Точка, линия, прямая, луч, отрезок, ломанная

Мы рассмотрим каждую из тем, а в конце будут даны тесты по темам.

Точка в математике

Что такое точка в математике? Математическая точка не имеет размеров и обозначается заглавными латинскими буквами: A, B, C, D, F и т.д.

На рисунке можно видеть изображение точек A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Отрезок в математике

Что такое отрезок в математике? На уроках математики можно услышать следующее объяснение: математический отрезок имеет длину и концы. Отрезок в математике — это совокупность всех точек, лежащих на прямой между концами отрезка. Концы отрезка — две граничные точки.

На рисунке мы видим следующее: отрезки ,,,, и , а также две точки B и S.

Прямая в математике

Что такое прямая в математике? Определение прямой в математике: прямая не имеет концов и может продолжаться в обе стороны до бесконечности. Прямая в математике обозначается двумя любыми точками прямой. Для объяснения понятия прямой ученику можно сказать, что прямая — это отрезок, который не имеет двух концов.

На рисунке изображены две прямые: CD и EF.

Луч в математике

Что же такое луч? Определение луча в математике: луч — часть прямой, которая имеет начало и не имеет конца. В названии луча присутствуют две буквы, например, DC. Причем первая буква всегда обозначает точку начала луча, поэтому менять местами буквы нельзя.

На рисунке изображены лучи: DC, KC, EF, MT, MS. Лучи KC и KD — один луч, т.к. у них общее начало.

Числовая прямая в математике

Определение числовой прямой в математике: прямая, точки которой отмечают числа, называют числовой прямой.

На рисунке изображена числовая прямая, а также луч OD и ED

Точка и прямая являются основными геометрическими фигурами на плоскости.

Древнегреческий учёный Евклид говорил: «точка» – это то, что не имеет частей». Слово «точка» в переводе с латинского языка означает результат мгновенного касания, укол. Точка является основой для построения любой геометрической фигуры.

Прямая линия или просто прямая – это линия, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим. Прямая линия бесконечна, и изобразить всю прямую и измерить её невозможно.

Точки обозначают заглавными латинскими буквами А, В, С, D, Е и др., а прямые теми же буквами, но строчными а, b, c, d, e и др. Прямую можно обозначить и двумя буквами, соответствующими точкам, лежащим на ней. Например, прямую a можно обозначить АВ.

Можно сказать, что точки АВ лежат на прямой а или принадлежат прямой а. А можно сказать, что прямая а проходит через точки А и В.

Простейшие геометрические фигуры на плоскости – это отрезок, луч, ломаная линия.

Отрезок – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, ограниченных двумя выбранными точками. Эти точки – концы отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов.

Луч или полупрямая – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки. Эта точка называется начальной точкой полупрямой или началом луча. Луч имеет точку начала, но не имеет конца.

Полупрямые или лучи обозначаются двумя строчными латинскими буквами: начальной и любой другой буквой, соответствующей точке, принадлежащей полупрямой. При этом начальная точка ставится на первом месте.

Получается, что прямая бесконечна: у неё нет ни начала, ни конца; у луча есть только начало, но нет конца, а отрезок имеет начало и конец. Поэтому только отрезок мы можем измерить.

Несколько отрезков, которые последовательно соединены между собой так, что имеющие одну общуюточкуотрезки (соседние) располагаются не на одной прямой, представляют собой ломаную линию.

Ломаная линия может быть замкнутой и незамкнутой. Если конец последнего отрезка совпадает с началом первого, перед нами замкнутая ломаная линия, если же нет – незамкнутая.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

В этой статье мы подробно остановимся на одном из первичных понятий геометрии – на понятии прямой линии на плоскости. Сначала определимся с основными терминами и обозначениями. Далее обсудим взаимное расположение прямой и точки, а также двух прямых на плоскости, приведем необходимые аксиомы. В заключении, рассмотрим способы задания прямой на плоскости и приведем графические иллюстрации.

Навигация по странице.

Прямая на плоскости — понятие.

Прежде чем дать понятие прямой на плоскости, следует четко представлять себе что же представляет собой плоскость. Представление о плоскости позволяет получить, к примеру, ровная поверхность стола или стены дома. Следует, однако, иметь в виду, что размеры стола ограничены, а плоскость простирается и за пределы этих границ в бесконечность (как будто у нас сколь угодно большой стол).

Если взять хорошо заточенный карандаш и дотронуться его стержнем до поверхности «стола», то мы получим изображение точки. Так мы получаем представление о точке на плоскости .

Теперь можно переходить и к понятию прямой линии на плоскости .

Положим на поверхность стола (на плоскость) лист чистой бумаги. Для того чтобы изобразить прямую линию, нам необходимо взять линейку и провести карандашом линию на сколько это позволяют сделать размеры используемой линейки и листа бумаги. Следует отметить, что таким способом мы получим лишь часть прямой. Прямую линию целиком, простирающуюся в бесконечность, мы можем только вообразить.

Взаимное расположение прямой и точки.

Начать следует с аксиомы: на каждой прямой и в каждой плоскости имеются точки.

Точки принято обозначать большими латинскими буквами, например, точки А и F . В свою очередь прямые линии обозначают малыми латинскими буквами, к примеру, прямые a и d .

Возможны два варианта взаимного расположения прямой и точки на плоскости : либо точка лежит на прямой (в этом случае также говорят, что прямая проходит через точку), либо точка не лежит на прямой (также говорят, что точка не принадлежит прямой или прямая не проходит через точку).

Для обозначения принадлежности точки некоторой прямой используют символ «». К примеру, если точка А лежит на прямой а , то можно записать . Если точка А не принадлежит прямой а , то записывают .

Справедливо следующее утверждение: через любые две точки проходит единственная прямая.

Это утверждение является аксиомой и его следует принять как факт. К тому же, это достаточно очевидно: отмечаем две точки на бумаге, прикладываем к ним линейку и проводим прямую линию. Прямую, проходящую через две заданные точки (например, через точки А и В ), можно обозначать двумя этими буквами (в нашем случае прямая АВ или ВА ).

Следует понимать, что на прямой, заданной на плоскости, лежит бесконечно много различных точек, причем все эти точки лежат в одной плоскости. Это утверждение устанавливается аксиомой: если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Множество всех точек, расположенных между двумя заданными на прямой точками, вместе с этими точками называют отрезком прямой или просто отрезком . Точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка. Отрезок обозначают двумя буквами, соответствующими точкам концов отрезка. К примеру, пусть точки А и В являются концами отрезка, тогда этот отрезок можно обозначить АВ или ВА . Обратите внимание, что такое обозначение отрезка совпадает с обозначением прямой. Чтобы избежать путаницы, рекомендуем к обозначению добавлять слово «отрезок» или «прямая».

Для краткой записи принадлежности и не принадлежности некоторой точки некоторому отрезку используют все те же символы и . Чтобы показать, что некоторый отрезок лежит или не лежит на прямой пользуются символами и соответственно. К примеру, если отрезок АВ принадлежит прямой а , можно кратко записать .

Следует также остановиться на случае, когда три различных точки принадлежат одной прямой. В этом случае одна, и только одна точка, лежит между двумя другими. Это утверждение является очередной аксиомой. Пусть точки А , В и С лежат на одной прямой, причем точка В лежит между точками А и С . Тогда можно говорить, что точки А и С находятся по разные стороны от точки В . Также можно сказать, что точки В и С лежат по одну сторону то точки А , а точки А и В лежат по одну сторону от точки С .

Для полноты картины заметим, что любая точка прямой делит эту прямую на две части – два луча . Для этого случая дается аксиома: произвольная точка О , принадлежащая прямой, делит эту прямую на два луча, причем две любые точки одного луча лежат по одну сторону от точки О , а две любые точки разных лучей – по разные стороны от точки О .

Взаимное расположение прямых на плоскости.

Сейчас ответим на вопрос: «Как могут располагаться две прямые на плоскости относительно друг друга»?

Во-первых, две прямые на плоскости могут совпадать .

Это возможно в том случае, когда прямые имеют по крайней мере две общие точки. Действительно, в силу аксиомы, озвученной в предыдущем пункте, через две точки проходит единственная прямая. Иными словами, если через две заданные точки проходят две прямые, то они совпадают.

Во-вторых, две прямые на плоскости могут пересекаться .

В этом случае прямые имеют одну общую точку, которую называют точкой пересечения прямых. Пересечение прямых обозначают символом «», к примеру, запись означает, что прямые а и b пересекаются в точке М . Пересекающиеся прямые приводят нас к понятию угла между пересекающимися прямыми . Отдельно стоит рассмотреть расположение прямых на плоскости, когда угол между ними равен девяноста градусам. В этом случае прямые называются перпендикулярными (рекомендуем статью перпендикулярные прямые, перпендикулярность прямых). Если прямая a перпендикулярна прямой b , то можно использовать краткую запись .

В-третьих, две прямые на плоскости могут быть параллельными.

Прямую линию на плоскости с практической точки зрения удобно рассматривать вместе с векторами. Особое значение имеют ненулевые векторы, лежащие на данной прямой или на любой из параллельных прямых, их называют направляющими векторами прямой . В статье направляющий вектор прямой на плоскости даны примеры направляющих векторов и показаны варианты их использования при решении задач.

Также следует обратить внимание на ненулевые векторы, лежащие на любой из прямых, перпендикулярных данной. Такие векторы называют нормальными векторами прямой . О применении нормальных векторов прямой рассказано в статье нормальный вектор прямой на плоскости .

Когда на плоскости даны три и более прямых линии, то возникает множество различных вариантов их взаимного расположения. Все прямые могут быть параллельными, в противном случае некоторые или все из них пересекаются. При этом все прямые могут пересекаться в единственной точке (смотрите статью пучок прямых), а могут иметь различные точки пересечения.

Не будем подробно останавливаться на этом, а приведем без доказательства несколько примечательных и очень часто используемых фактов:

  • если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой;
  • если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой;
  • если на плоскости некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую прямую.

Способы задания прямой на плоскости.

Сейчас мы перечислим основные способы, которыми можно задать конкретную прямую на плоскости. Это знание очень полезно с практической точки зрения, так как на нем основывается решение очень многих примеров и задач.

Во-первых, прямую можно задать, указав две точки на плоскости.

Действительно, из аксиомы, рассмотренной в первом пункте этой статьи, мы знаем, что через две точки проходит прямая, и притом только одна.

Если в прямоугольной системе координат на плоскости указаны координаты двух несовпадающих точек, то есть возможность записать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки .


Во-вторых, прямую можно задать, указав точку, через которую она проходит, и прямую, которой она параллельна. Этот способ справедлив, так как через данную точку плоскости проходит единственная прямая, параллельная заданной прямой. Доказательство этого факта проводилось на уроках геометрии в средней школе.

Если прямую на плоскости задать таким способом относительно введенной прямоугольной декартовой системы координат, то есть возможность составить ее уравнение. Об этом написано в статье уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой .


В-третьих, прямую можно задать, если указать точку, через которую она проходит, и ее направляющий вектор.

Если прямая линия задана в прямоугольной системе координат таким способом, то легко составить ее каноническое уравнение прямой на плоскости и параметрические уравнения прямой на плоскости .


Четвертый способ задания прямой заключается в том, что следует указать точку, через которую она проходит, и прямую, которой она перпендикулярна. Действительно, через заданную точку плоскости проходит единственная прямая, перпендикулярная данной прямой. Оставим этот факт без доказательства.


Наконец, прямую на плоскости можно задать, указав точку, через которую она проходит, и нормальный вектор прямой.

Если известны координаты точки, лежащей на заданной прямой, и координаты нормального вектора прямой, то есть возможность записать общее уравнение прямой .


Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Точка и прямая являются основными геометрическими фигурами на плоскости.

Древнегреческий учёный Евклид говорил: «точка» – это то, что не имеет частей». Слово «точка» в переводе с латинского языка означает результат мгновенного касания, укол. Точка является основой для построения любой геометрической фигуры.

Прямая линия или просто прямая – это линия, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим. Прямая линия бесконечна, и изобразить всю прямую и измерить её невозможно.

Точки обозначают заглавными латинскими буквами А, В, С, D, Е и др., а прямые теми же буквами, но строчными а, b, c, d, e и др. Прямую можно обозначить и двумя буквами, соответствующими точкам, лежащим на ней. Например, прямую a можно обозначить АВ.

Можно сказать, что точки АВ лежат на прямой а или принадлежат прямой а. А можно сказать, что прямая а проходит через точки А и В.

Простейшие геометрические фигуры на плоскости – это отрезок, луч, ломаная линия.

Отрезок – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, ограниченных двумя выбранными точками. Эти точки – концы отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов.

Луч или полупрямая – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки. Эта точка называется начальной точкой полупрямой или началом луча. Луч имеет точку начала, но не имеет конца.

Полупрямые или лучи обозначаются двумя строчными латинскими буквами: начальной и любой другой буквой, соответствующей точке, принадлежащей полупрямой. При этом начальная точка ставится на первом месте.

Получается, что прямая бесконечна: у неё нет ни начала, ни конца; у луча есть только начало, но нет конца, а отрезок имеет начало и конец. Поэтому только отрезок мы можем измерить.

Несколько отрезков, которые последовательно соединены между собой так, что имеющие одну общуюточкуотрезки (соседние) располагаются не на одной прямой, представляют собой ломаную линию.

Ломаная линия может быть замкнутой и незамкнутой. Если конец последнего отрезка совпадает с началом первого, перед нами замкнутая ломаная линия, если же нет – незамкнутая.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Прямая, луч, отрезок и движение

Теорема

 

Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

Следовательно, если точки А, В и С лежат на одной прямой и при движении переходят в точки А1, В1 и С1, то точки А1, В1 и С1 также будут лежать на одной прямой, причем точка В1 будет лежать между точками А и С1, если точка В лежит между точками А и С.

 

Следствия из теоремы

Из теоремы следует, что:

  • прямые переходят в прямые,
  • полупрямые (лучи) отображаются в полупрямые,
  • отрезки отображаются в отрезки той же длины.

Прямая, луч, отрезок и движение

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении

 

Шаг 1

 

Рассмотрим три точки А, В и С лежащие на одной прямой.

То есть рассмотрим отрезок АС.

Пусть точка В лежит между точками А и С.

Докажем, что эти три точки при движении переходят в точки А1, В1 и С1, причем точка В1 лежит между точками А1 и С1.

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении. Шаг 1

Шаг 2

 

Докажем сначала, что точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой.

Для доказательства воспользуемся методом от противного.

Пусть точки А1, В1 и С1 не лежат на одной прямой.

Если точки А1, В1 и С1 не лежат на одной прямой, то они будут вершинами треугольника.

Поэтому, согласно неравенству треугольника:

Так как по определению движения, оно сохраняет расстояние, то:

Тогда, учитывая записанные равенства и полученное неравенство, можем записать:

Но с другой стороны по аксиоме измерения отрезков (по построению отрезка АС):

Получили противоречие. Значит, точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой.

Следовательно, отрезок переходит в отрезок:

Полупрямая (луч) переходит в полупрямую:

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении. Шаг 2

Шаг 3

 

Докажем теперь, что точка В1 лежит между точками А1 и С1.

Предположим, что это не так. Пусть точка А1 лежит между точками В1 и С1.

Тогда:

Следовательно,

Но это противоречит равенству:

Значит, точка А1 не может лежать между точками В1 и С1.

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении. Шаг 3

Шаг 4

 

Теперь предположим, что точка С1 лежит между точками А1 и В1.

Тогда:

Следовательно,

Но это противоречит равенству:

Значит, точка С1 не может лежать между точками А1 и В1.

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении. Шаг 4

Шаг 5

 

Так как из трех точек, лежащих на одной прямой, одна должна лежать между двумя другими, то остается только точка В1.

Следовательно, точка В1 лежит между точками А1 и С1.

Итак, мы доказали, что если точки А, В и С лежат на одной прямой и при движении переходят в точки А1, В1 и С1, то точки А1, В1 и С1 также будут лежать на одной прямой, причем точка В1 будет лежать между точками А1 и С1, если точка В лежит между точками А и С.

Таким образом, точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении. Шаг 5

9E09BEAE0A118E93DED3D74128EA2C147A65428915829EB11235F7758F7B38C3

«Точка. Кривая линия. Прямая линия. Отрезок. Луч»

Этапы урока. Формируемые УУД

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

Мотивирование к учебной деятельности – организационный момент.

    Личностные

    -возникновение внутренней потребности включения в учебную деятельность

    Метапредметные (УУД)

    регулятивные:

    -осуществлять самоконтроль;

    — овладевать умением прогнозировать;

    коммуникативные:

    — слушать и понимать речь других;

    — уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли;

    — владеть диалогической формой речи

    Внимание! Слушайте все!

    Поднимите руки, те, кто хочет сегодня на уроке узнать новое интересное, побыть математиком – исследователем.

    Я рада, что мы всем классом отправимся за новыми знаниями. Я желаю нам успешной работы.

    Что пригодится для успешной работы? Проверьте, пожалуйста, как расположены на парте учебник, тетрадь, пенал. Почему это важно?

    Обучающиеся высказывают свои предположения; проверят свою готовность к уроку; объясняют, почему важен порядок на рабочем месте.

    Актуализация ранее усвоенных знаний и умений и фиксирование индивидуального затруднения в пробном учебном действии.

      Предметные:

      -вести счет предметов; составлять выражения по рисунку; повторить состав 5

      Метапредметные (УУД)

      познавательные:

      — выполнять классификацию; обосновывать основание для классификации; ориентироваться в своей системе знаний (определять границы знания/незнания).

      Личностные

      -фиксировать индивидуальное затруднение в выполнении учебного действия.

      Слайд1 ( 5 линий: из них3 прямые линии, 2 кривые линии; 1 линия красного цвета, 4 линии зеленого цвета )

      Как бы вы назвали данные геометрические фигуры?

      Сколько линий прямых? Сколько кривых? Сколько всего? Составьте выражение. (работают с разрезными цифрами). Сколько кривых? Сколько линий прямых? Сколько всего? Составьте выражение. Что вы заметили?

      Сколько линий красных? Сколько зеленых? Сколько всего? Составьте выражение. Состав какого числа мы повторили? Каких линий больше? На сколько?

      На какие 2 группы вы бы разделили эти линии?

      Как вы думаете, почему мы работаем с данными линиями? Предположите, какова тема нашего урока.

      Что вы можете сказать о кривых линиях, о прямой линии, о ее свойствах? Слайд 2 (прямая линия)

      Обучающиеся отвечают на вопросы.

      Выполняют счет предметов, анализируют, обобщают, составляют выражения к рисунку, повторяют состав числа 5, сравнивают, делают выводы.

      Выполняют классификацию, обосновывают основания для классификации.

      Высказывают свои предположения.

      Выявление места и причины затруднений — постановка учебной задачи.

        Метапредметные (УУД)

        познавательные:

        -ориентироваться в своей системе знаний.

        регулятивные:

        — высказывать свое предположение;

        коммуникативные:

        — точно и полно выражать свои мысли.

        Личностные УУД:

        устанавливать связь между целью учебной деятельности и ее мотивом.

        Чего мы еще не знаем о прямой линии?

        Выявляют и фиксируют во внешней речи конкретные знания и умения, которых недостает для решения исходной задачи

        Построение проекта выхода из затруднения (цель и тема, способ, план, средство)

          Метапредметные(УУД)

          регулятивные:

          -определять и формулировать цель деятельности на уроке; под руководством учителя планировать свою деятельность на уроке; определять последовательность

          действий на уроке.

          Личностные УУД:

          — определять общие для всех правила поведения; оценивать усваиваемое содержание (исходя из личностных ценностей).

          Подводящий диалог.

          Какие линии мы сегодня будем исследовать?

          Какова тема урока?

          ( Слайд 3. На опорной части доски появляются прямая и кривая линии, затем появляется вопрос).

          Сформулируйте цель нашего урока.

          Давайте продумаем план работы.

          Музыкальная физминутка с танцевальными движениями

          В коммуникативной форме уточняют тему урока, ставят цель, составляют план достижения цели.

          Выполняют танцевальные движения под музыку

          Реализация построенного проекта – открытие нового знания.

            Предметные:

            -знакомство с прямой линией, отрезком, лучом; находить сходство и различие прямой, отрезка и луча

            Метапредметные (УУД)

            регулятивные:

            -работать по предложенному плану;

            — выдвигать свои гипотезы на основе учебного материала.

            познавательные:

            — ориентироваться в своей системе знаний; уметь сравнивать, называя критерий для сравнения;

            коммуникативные:

            — слушать и понимать речь других; уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

            Личностные

            -оценивать усваиваемое содержание учебного материала ( исходя из личностных ценностей)

            Практическая работа.

            Двое учащихся получают каждый по катушке ниток, которые связаны незаметным узлом. Учащиеся разматывают нитки, двигаясь по классу.

            Какую линию мы смоделировали с помощью ниток?

            Можем ли мы продолжать ее в оба конца?

            Какое свойство прямой линии мы открыли?

            Учитель отрезает часть прямой (нитки), прикрепляет ее магнитами (точками) к доске (рабочая часть).

            Как бы вы назвали эту часть прямой?

            (Слайд 3. На опорной части доски появляется отрезок)

            Чем отрезок отличается от прямой?

            Точка – это что?

            Учитель прикрепляет часть прямой (нитки), убрав одну точку. Сравните эти две геометрические фигуры.

            Как бы вы назвали данную фигуру?

            (Слайд 3. На опорной доске появляется луч)

            Наблюдают.

            Отвечают на вопросы.

            Делают выводы.

            Высказывают предположения.

            Анализируют, сравнивают, обобщают, делают выводы.

            Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи.

              Предметные:

              -знать свойства прямой линии, отрезка, луча.

              Метапредметные (УУД)

              регулятивные:

              — отличать верно выполненное задание от неверного; осуществлять самоконтроль;

              познавательные:

              — осуществлять анализ учебного материала;

              коммуникативные:

              — слушать и понимать речь других; умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

              Личностные

              -оценивать усваиваемое содержание учебного материала ( исходя из личностных ценностей)

              Ребята! Вам необходимо смоделировать прямую линию и вспомнить ее свойства и рассказать друг другу.

              Смоделируйте кривую линию

              Пожалуйста, смоделируйте отрезок и расскажите, что вы знаете о нем.

              Пожалуйста, смоделируйте луч и расскажите, что вы знаете о нем.

              Послушайте загадку.

              Я люблю прямоту и сама прямая.

              Начертить ровную черту всем я помогаю. Что это?

              Как вы думаете, почему данный инструмент так назвали?

              Работают парами,

              моделируют из шнура прямую линию, проговаривают друг другу свойства прямой, кривую линию,

              моделируют отрезок, проговаривают его свойства (используют пластилин),

              моделируют луч, проговаривают его свойства.

              Отгадывают загадку.

              Высказывают предположения.

              Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону. Самоанализ и самоконтроль

                Предметные:

                — -знать свойства прямой линии, отрезка, луча; уметь различать геометрические фигуры (прямую линию, кривую линию, отрезок, луч)

                Метапредметные (УУД)

                регулятивные:

                — отличать верно выполненное задание от неверного; осуществлять самоконтроль.

                Личностные

                -оценивать усваиваемое содержание учебного материала ( исходя из личностных ценностей)

                Учебник, стр.40. Рассмотрите нарисованные линии.

                Начертите по линейке прямую линию. Проверьте по учебнику.

                Поставьте две точки, соедините их по линейке, что получилось?.Проверьте по учебнику.

                Начертите луч. Проверьте.

                Видиофизминутка – общеразвивающие упражнения, которые ребята выполняют вместе с героями мультфильмов.

                Самостоятельно выполняют задания нового типа и осуществляют самопроверку по учебнику.

                Выполняют общеразвивающие упражнения

                Включение нового знания в систему знаний и повторение.

                  Предметные:

                  — -знать свойства прямой линии, отрезка, луча; уметь различать геометрические фигуры (прямую линию, кривую линию, отрезок, луч)

                  Метапредметные (УУД)

                  регулятивные:

                  — отличать верно выполненное задание от неверного;

                  — осуществлять самоконтроль.

                  познавательные:

                  — осуществлять анализ учебного материала; уметь классифицировать геометрические фигуры, обосновывать классификацию.

                  коммуникативные:

                  — слушать и понимать речь других;

                  — умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

                  Личностные

                  -оценивать усваиваемое содержание учебного материала ( исходя из личностных ценностей)

                  Игра «Угадай, что это за линия?»

                  -Я загадаю загадку, вы отгадаете и определите, из каких линий состоят предметы- отгадки.

                  — Крашеное коромысло

                  Над рекой повисло. (слайд )4

                  -Кто всю ночь по крыше бьёт да постукивает, и бормочет, и поёт, убаюкивает? (Слайд 5)

                  -Висит сито – не людьми свито. (слайд6)

                  -В зоопарке,

                  Верь, не верь,

                  Проживает

                  Чудо-зверь.

                  У него рука — во лбу

                  Так похожа на трубу! (слайд7)

                  Страну чудес откроем мы

                  И встретимся с героями

                  В строчках

                  На листочках,

                  Где станции на точках. (слайд8)

                  Исследовательская работа.

                  Поставьте точку на листе бумаги. Проведите через нее прямую, еще одну, еще одну. Сделайте вывод.

                  Поставьте еще точку на листе, вам нужно провести через нее кривую линию. Нужна ли вам линейка? .Проведите еще одну кривую, еще одну. Сделайте вывод. Работа в тетради, стр.15. Разделите все линии на две группы. Запишите номера линий в каждой группе. Проверьте друг у друга..Через две отмеченные точки проведите прямую линию. Сколько прямых можно провести через две точки? Какой можно сделать вывод?

                  Через эти же две точки проведите кривую, еще одну, еще одну. Сделайте вывод. Нарисуйте солнышко и начертите его лучи. Сколько лучей можно провести из одной точки? Сделайте вывод. Тест ( У каждого ученика лист, на котором начерчены прямая линия, отрезок, луч, точка, кривая линия, рядом с каждой фигурой – пустой квадрат)

                  Поставьте рядом с прямой линией цифру 1, с отрезком – 2, с лучом – 3, с кривой линией – 4, с точкой -5.

                  Музыкальная пауза

                  Отгадывают загадки.

                  Выполняют исследовательскую и практическую работу.

                  Анализируют, обобщают, делают выводы.

                  Выполняют взаимопроверку.

                  Отвечают на вопросы теста.

                  Учащиеся слушают отрывок из классической музыки не более 1минуты

                  Рефлексия учебной деятельности на уроке

                    Личностные УУД:

                    — устанавливать связь между целью деятельности и ее результатом.

                    Метапредметные (УУД)

                    регулятивные:

                    — осуществлять самоконтроль; давать оценку деятельности на уроке совместно с учителем и одноклассниками; выделять и осознавать то, что уже усвоено и что нужно еще усвоить;

                    коммуникативные:

                    — уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

                    Опорная доска- слайд 3. Какую задачу ставили?

                    Удалось ли ее решить? Каким способом?

                    Какие получили результаты?

                    Где можно применять новые знания?

                    Нарисуйте на листочке лестницу успеха и оцените свою деятельность на уроке.

                    Некоторые дети поставили себя на среднюю ступеньку. О чем это говорит?

                    Я рада, что многие ребята поставили себя на верхнюю ступеньку. Молодцы!

                    Слайд 4 (ломаная линия) – посмотрите на эту линию, я надеюсь услышать на следующем уроке ваши рассуждения о ней. Спасибо за урок.

                    Анализируют, фиксируют новое содержание, изученное на уроке

                    .

                    Проводят самооценку собственной учебной деятельности.

                    Соотносят цель и результат, намечают дальнейшие цели деятельности.

                    7 класс. Геометрия. Начальные геометрические сведения. Прямая, отрезок, луч, угол. — Прямая и отрезок.

                    Комментарии преподавателя

                    Мы на­чи­на­ем изу­че­ние гео­мет­рии. Это древ­няя наука, воз­ник­ла еще за 300 лет до нашей эры. В пе­ре­во­де с гре­че­ско­го «гео­мет­рия» – «зем­ле­ме­рие», изу­ча­ет она гео­мет­ри­че­ские фи­гу­ры и их свой­ства.

                    Под­раз­де­ля­ет­ся на два боль­ших раз­де­ла:

                    — пла­ни­мет­рия – гео­мет­рия на плос­ко­сти,

                    — сте­рео­мет­рия – гео­мет­рия в про­стран­стве.

                    При­ме­ры плос­ких фигур – тре­уголь­ник, окруж­ность и т.д. Мы с ними зна­ко­мы.

                    Мы зна­ко­мы и с про­стран­ствен­ны­ми фи­гу­ра­ми – шар, куб, па­рал­ле­ле­пи­пед и т.д., т.е. гео­мет­рия – во­круг нас.

                    Мы ска­за­ли, что гео­мет­рия изу­ча­ет свой­ства гео­мет­ри­че­ских фигур.

                    А что такое гео­мет­ри­че­ская фи­гу­ра? Это любое мно­же­ство, любая со­во­куп­ность точек.

                    Точки обо­зна­ча­ют боль­ши­ми ла­тин­ски­ми бук­ва­ми.

                    По­ня­тие о пря­мой дает тон­кая нить, про­дол­жен­ная бес­ко­неч­но в обе сто­ро­ны.

                    Точка и пря­мая – это неопре­де­ли­мое из­на­чаль­ное по­ня­тие, это ма­те­ма­ти­че­ская иде­а­ли­за­ция – раз­ме­ров они не имеют.

                    Если точки обо­зна­ча­ют­ся боль­ши­ми бук­ва­ми, то пря­мая может обо­зна­чать­ся ма­лень­ки­ми ла­тин­ски­ми бук­ва­ми.

                    Об­ри­су­ем в общих чер­тах, как стро­ит­ся гео­мет­рия. Мы упо­мя­ну­ли два по­ня­тия: точка, пря­мая . Это из­на­чаль­ные неопре­де­ли­мые по­ня­тия, их свой­ства вы­ра­жа­ют­ся в ак­си­о­мах, т.е. в ис­ти­нах, ко­то­рые не тре­бу­ют до­ка­за­тельств.

                    Опре­де­ле­ние дру­гих фигур, на­при­мер, окруж­но­сти, шара и т.д., до­ка­зы­ва­ют­ся тео­ре­ма­ми, таким об­ра­зом, изу­ча­ют­ся свой­ства гео­мет­ри­че­ских фигур. Итак, все гран­ди­оз­ное зда­ние гео­мет­рии ба­зи­ру­ет­ся, во-пер­вых, на неопре­де­лен­ных по­ня­ти­ях, во-вто­рых, на ак­си­о­мах.

                    Да­вай­те сфор­му­ли­ру­ем три важ­ней­шие ак­си­о­мы, ко­то­рые ха­рак­те­ри­зу­ют вза­им­ное рас­по­ло­же­ние точек и пря­мых и рас­смот­рим их.

                    Ак­си­о­ма 1: каж­дой пря­мой при­над­ле­жит по край­ней мере две точки(см. рис. 1).

                    Рис. 1. Две точки на одной пря­мой

                    По­яс­не­ние: ак­си­о­ма – ис­ти­на, не тре­бу­ю­щая до­ка­за­тельств. Разве мы не по­ни­ма­ем, что на каж­дой пря­мой есть как ми­ни­мум две точки? Так вот ма­те­ма­ти­ка фик­си­ру­ет это в ка­че­стве ак­си­ом.

                    Вто­рая ак­си­о­ма также по­нят­на.

                    Ак­си­о­ма 2: име­ют­ся по край­ней мере три точки, не ле­жа­щие на одной пря­мой (см. рис. 2).

                    Рис. 2. Три точки, не ле­жа­щие на одной пря­мой

                    По­яс­не­ние: в со­от­вет­ствии с ак­си­о­мой 2 име­ют­ся по край­ней мере три точки, не ле­жа­щие на одной пря­мой. Это точки , ,  (см. рис. 2).

                    Ак­си­о­ма 3: через любые две точки про­хо­дит пря­мая, и при­том толь­ко одна.

                    По­яс­не­ние: мы мно­же­ство раз при­кла­ды­ва­ли ли­ней­ку к двум точ­кам и про­во­ди­ли от­ре­зок – часть пря­мой. Что го­во­рит ак­си­о­ма? Что через эти две точки про­хо­дит пря­мая, и при­том толь­ко одна. Вроде бы это по­нят­но. Но если одна точка на Земле, а вто­рая на Луне? Как про­ве­рить, одна пря­мая про­хо­дит или нет? Ли­ней­ку мы не про­ло­жим. Так вот, ак­си­о­ма утвер­жда­ет, что даже через эти две точки про­хо­дит толь­ко одна пря­мая! (см. рис. 3)

                    Рис. 3. Ак­си­о­ма 3 верна при боль­ших рас­сто­я­ни­ях

                    Дру­гой край­ний слу­чай: точки очень близ­ко рас­по­ло­же­ны друг к другу. Две пес­чин­ки. Если мы при­ло­жим ли­ней­ку, то до­воль­но труд­но про­ве­сти пря­мую. Так вот, ак­си­о­ма утвер­жда­ет: через любые две точки – и близ­кие, и да­ле­кие – про­хо­дит пря­мая, и при­том толь­ко одна (см. рис. 4).

                    Рис. 4. Ак­си­о­ма 3 верна при малых рас­сто­я­ни­ях

                    Далее изу­чим знак при­над­леж­но­сти.

                    Тот факт, что точка  при­над­ле­жит пря­мой , за­пи­сы­ва­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: .

                    Точка  также при­над­ле­жит пря­мой : .

                    Точка  – не при­над­ле­жит пря­мой : .

                    Точка  не при­над­ле­жит пря­мой : .

                    Точка  не при­над­ле­жит пря­мой : .

                    Итак, со­глас­но ак­си­о­мам, есть точки, ле­жа­щие на пря­мой, а есть точки, не ле­жа­щие на пря­мой. То есть плос­кость бо­га­че, чем одна пря­мая. Мы много раз с этим стал­ки­ва­лись и не будем воз­ра­жать про­тив этих ак­си­ом.

                    Итак, мы знаем два неопре­де­ли­мых по­ня­тия – точка, пря­мая; знаем три ак­си­о­мы, ко­то­рые ха­рак­те­ри­зу­ют вза­им­ное рас­по­ло­же­ние точек и пря­мых.

                    По­зна­ко­мим­ся с еще одним неопре­де­ли­мым по­ня­ти­ем, из­на­чаль­ным по­ня­ти­ем – «ле­жать между».Есть пря­мая, есть три точки, и толь­ко одна лежит между двумя точ­ка­ми. Этот факт оче­вид­ный, но тем не менее тот факт фик­си­ру­ет­ся в сле­ду­ю­щей ак­сио­ме.

                    Ак­си­о­ма 4: из трех точек, ле­жа­щих на одной пря­мой, одна и толь­ко одна лежит между двумя дру­ги­ми.

                    Рис. 5. Ак­си­о­ма 4

                    По­яс­не­ние: в дан­ном слу­чае точка  лежит между точ­кой  и точ­кой . По-ино­му, точки  и  лежат по одну сто­ро­ну от точки , точки  и  лежат по одну сто­ро­ну от точки , и точки  и  лежат по раз­ные сто­ро­ны от точки  (см. рис. 5).

                    Ясно, что ис­ти­ну мы при­ни­ма­ем без до­ка­за­тель­ства и воз­ра­жать про­тив нее не будем.

                    Мы рас­смот­ре­ли чет­вер­тую ак­си­о­му, ко­то­рая го­во­рит о двух точ­ках, ко­то­рые лежат по одну сто­ро­ну от тре­тей точки.

                    Ак­си­о­ма 5 го­во­рит о дру­гих точ­ках, ко­то­рые лежат по одну сто­ро­ну от дан­ной точки. Она будет рас­смот­ре­на позже.

                    На дан­ный мо­мент мы имеем три неопре­де­ли­мых по­ня­тия: точка, пря­мая, «ле­жать между». Имеем пять ак­си­ом, ко­то­рые ха­рак­те­ри­зу­ют вза­и­мо­от­но­ше­ния между этими по­ня­ти­я­ми. Пора нам дать опре­де­ле­ние важ­ной гео­мет­ри­че­ской фи­гу­ре – от­рез­ку.

                    Что же такое от­ре­зок?

                    От­рез­ком  на­зы­ва­ет­ся гео­мет­ри­че­ская фи­гу­ра, со­сто­я­щая из точек , , и всех точек пря­мой, рас­по­ло­жен­ных между точ­ка­ми  и .

                    Более крат­кое: от­ре­зок – это часть пря­мой, огра­ни­чен­ная точ­ка­ми  и  (см. рис. 6).

                    Рис. 6. От­ре­зок

                    Точки  и  на­зы­ва­ют­ся кон­ца­ми от­рез­ка. От­ре­зок обо­зна­ча­ет­ся так же, как и пря­мая. Пря­мая может обо­зна­чать­ся двумя точ­ка­ми, ле­жа­щи­ми на ней, – , и от­ре­зок может обо­зна­чать­ся таким же об­ра­зом – . Из кон­тек­ста ясно, когда речь идет о пря­мой и когда речь идет об от­рез­ке. Дан­ный от­ре­зок лежит на пря­мой, у пря­мой и от­рез­ка бес­чис­лен­ное мно­же­ство общих точек.

                    Могут быть дру­гие слу­чаи. Есть пря­мая , от­ре­зок  – это часть дру­гой пря­мой. От­ре­зок  и пря­мая  не имеют общих точек. Го­во­рят, что точки  и  лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой  (см. рис. 7).

                    Рис. 7. Точки  и  лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой 

                    От­ре­зок , пря­мая . Точки  и  лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой , зна­чит, от­ре­зок  имеет одну общую точку  с пря­мой. Точка  лежит между точ­ка­ми  и  (см. рис. 8). Этот факт по­ня­тен нам из ин­ту­и­тив­ных со­об­ра­же­ний, но тем не менее он ре­гла­мен­ти­ру­ет­ся ак­си­о­мой 6. Она будет по­дроб­но рас­смот­ре­на в конце урока.

                    Рис. 8. Точки  и  лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой 

                    От­ре­зок  лежит на пря­мой . Пря­мая  и пря­мая  имеют одну общую точку . А могут ли пря­мые иметь еще общие точки, ведь пря­мые про­сти­ра­ют­ся неогра­ни­чен­но? Может, где-то на Луне они еще пе­ре­се­кут­ся и будет еще одна общая точка?

                    Нам пора до­ка­зать важ­ную первую тео­ре­му, первую в этом курсе.

                    Тео­ре­ма 1: две раз­ные пря­мые не могут иметь более одной общей точки.

                    До­ка­за­тель­ство: для до­ка­за­тель­ства ис­поль­зу­ем метод от про­тив­но­го. Имеем пря­мую , пря­мую , ко­то­рые имеют одну общую точку . Пред­по­ло­жим, что су­ще­ству­ет дру­гая общая точка  (см. рис. 9).

                    Рис. 9. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме 1

                    Точки  и  – раз­ные, но по тре­тьей ак­сио­ме мы го­во­рим, что через две точки может про­хо­дить пря­мая, и при­том толь­ко одна. А у нас, по усло­вию, пря­мая  и пря­мая  – это раз­ные пря­мые, таким об­ра­зом, всту­па­ем в про­ти­во­ре­чие с ак­си­о­мой 3, зна­чит, наше пред­по­ло­же­ние о на­ли­чии вто­рой общей точки невер­ное. Пря­мая  и пря­мая  не могут иметь вто­рой общей точки.

                    Тео­ре­ма до­ка­за­на.

                    Итак, из крат­ко­го из­ло­же­ния тео­ре­ти­че­ской части этого урока все же по­нят­но, как в общих чер­тах стро­ит­ся все зда­ние гео­мет­рии.

                    1)                 Вво­дят­ся неопре­де­ли­мые по­ня­тия (в этом уроке – точка, пря­мая, «ле­жать между»).

                    2)                 Вво­дит­ся си­сте­ма ак­си­ом, мы ви­де­ли 5 ак­си­ом, ко­то­рые ха­рак­те­ри­зу­ют свой­ства этих неопре­де­ли­мых по­ня­тий. Даль­ше да­ют­ся новые по­ня­тия, на­при­мер, от­ре­зок – часть пря­мой, рас­по­ло­жен­ная между двумя точ­ка­ми этой пря­мой. Далее фор­му­ли­ру­ет­ся и до­ка­зы­ва­ет­ся тео­ре­ма, ко­то­рая рас­кры­ва­ет свой­ства гео­мет­ри­че­ских фигур. Мы такую тео­ре­му до­ка­за­ли. Две пря­мые не могут иметь более одной общей точки.

                    На этом тео­ре­ти­че­ская часть урока за­кон­че­на. Те­перь мы в со­сто­я­нии ре­шить неко­то­рые прак­ти­че­ские за­да­ния.

                    Про­ве­ди­те пря­мую, обо­значь­те ее бук­вой  и от­меть­те точки  и , ле­жа­щие на этой пря­мой, и точки , , , не ле­жа­щие на ней. Опи­ши­те вза­им­ное рас­по­ло­же­ние точек , , , ,  и пря­мой , ис­поль­зуя сим­во­лы  и .

                    Рис. 10. Ил­лю­стра­ция к за­да­нию 1

                    , , , , .

                    Про­ве­ди­те три раз­лич­ные пря­мые так, чтобы каж­дые две из них пе­ре­се­ка­лись. Сколь­ко по­лу­чи­лось точек пе­ре­се­че­ния? Рас­смот­ри­те все воз­мож­ные слу­чаи.

                    Ре­ше­ние

                    a)                  Про­ве­дем три пря­мые, обо­зна­чим их как , , . Обо­зна­чим точки пе­ре­се­че­ния этих пря­мых – , , . Как мы видим, есть всего три точки.

                    Рис. 11. Ил­лю­стра­ция к за­да­нию 2 (а)

                    b)                 Про­ве­дем три пря­мых , ,  так, чтобы они пе­ре­сек­лись в одной точке .

                    Рис. 12. Ил­лю­стра­ция к за­да­нию 2 (b)

                    От­меть­те раз­лич­ные точки , , ,  так, чтобы точки , ,  ле­жа­ли на одной пря­мой, а точка  не ле­жа­ла на ней. Через каж­дые две точки про­ве­ди­те пря­мую. Сколь­ко по­лу­чи­лось пря­мых?

                    Ре­ше­ние

                    Про­ве­дем пря­мую , обо­зна­чим на ней точки , , , и точку , не ле­жа­щую на пря­мой .

                    Про­ве­дем пря­мые через точки:  и ,  и ,  и .

                    Рис. 13. Ил­лю­стра­ция к за­да­нию 3

                    Всего по­лу­чи­лось че­ты­ре пря­мые.

                    Ответ: че­ты­ре пря­мые: , , , .

                    Есть пря­мая, на ней от­ме­че­ны точки , , ,  (см. рис. 14). На­зо­ви­те все от­рез­ки:

                    Рис. 14. Ил­лю­стра­ция к за­да­нию 4

                    a) на ко­то­рых лежит точка .

                    Ответ: , , , , .

                    b) на ко­то­рых не лежит точка .

                    Ответ: .

                    Ак­си­о­ма 5: ранее мы встре­ча­лись с важ­ным неопре­де­ли­мым по­ня­ти­ем «ле­жать между».

                    Его свой­ства в ак­сио­ме 5: каж­дая точка  пря­мой раз­де­ля­ет ее на две части (два луча) так, что любые две точки од­но­го и того же луча лежат по одну сто­ро­ну от точки , а любые две точки раз­ных лучей лежат по раз­ные сто­ро­ны от точки .

                    По­яс­не­ние: точки  и  лежат по одну сто­ро­ну – спра­ва от точки , точки  и  лежат по дру­гую сто­ро­ну от точки  – слева от нее (см. рис. 15). Точки  и  лежат по раз­ные сто­ро­ны от точки .

                    Рис. 15. Ил­лю­стра­ция к ак­сио­ме 5

                    Ак­си­о­ма 6: две точки  и  и весь от­ре­зок  может ле­жать по одну сто­ро­ну от пря­мой , точки  и  могут ле­жать по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой . Это ре­гла­мен­ти­ру­ет­ся ак­си­о­мой 6.

                    Каж­дая пря­мая  раз­де­ля­ет плос­кость на две части (две по­лу­плос­ко­сти) так, что любые две точки одной и той же по­лу­плос­ко­сти лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой , а любые две точки раз­ных по­лу­плос­ко­стей лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой .

                    Пря­мая  на­зы­ва­ет­ся гра­ни­цей каж­дой из ука­зан­ных по­лу­плос­ко­стей, ее точки не при­над­ле­жат ни одной из этих по­лу­плос­ко­стей.

                    По­яс­не­ние: есть пря­мая , две по­лу­плос­ко­сти (над пря­мой и под пря­мой), точки  и , ко­то­рые лежат в одной по­лу­плос­ко­сти, точки  и , ко­то­рые лежат в раз­ных по­лу­плос­ко­стях. От­ре­зок  не имеет общих точек с пря­мой , его концы – точки  и  лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой . А от­ре­зок  пе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мой  в неко­то­рой точке , точка  лежит между точ­ка­ми  и . Точки  и , концы от­рез­ка , лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой . Та­ко­ва фор­му­ли­ров­ка и по­яс­не­ние ак­си­о­мы 6 (см. рис. 16).

                    Рис. 16. Ил­лю­стра­ция к ак­сио­ме 6

                    ИСТОЧНИК

                    http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/nachalnye-geometricheskie-svedeniya/pryamaya-i-otrezok

                    http://www.youtube.com/watch?v=rkjxqEOCtNc

                    http://www.youtube.com/watch?v=pMICc6Zxh4M

                    http://math-prosto.ru/?page=pages/geometry_primary/dot_line_and_other.php

                    http://davay5.com/z/8100.php

                     

                    Видео

                    линий, сегментов и лучей Видео

                    линий, сегментов и лучей | Шмуп

                    Магазин не будет работать корректно в случае, если куки отключены.

                    Похоже, в вашем браузере отключен JavaScript. Для наилучшего взаимодействия с нашим сайтом обязательно включите Javascript в своем браузере.

                    Продолжение классики 1989 года. Сегменты, линии и видеокассета, это видео изменит ваше мнение о прямых, отрезках и лучах.Если только вы уже достаточно хорошо в них разбираетесь, в таком случае… просто наслаждайтесь красивыми движущимися картинками.

                    9001
                    Геометрия Geometry Parallel и перпендикулярные линии
                    Language английский язык

                    транскрипта

                    00:19

                    с таким долгое время ждать, Astrid скучно с ума ,

                    00:22

                    и задается вопросом, может ли она сделать свою ситуацию более интересной…

                    00:26

                    Впервые в жизни она решает связать свои обстоятельства с математической концепцией.

                    00:32

                    Астрид — неподвижная точка на одном конце линии, поэтому назовем ее точкой «А».

                    00:38

                    Ее лучший друг Бэзил только что встал в очередь на другом конце; он может быть точкой «Б».

                    00:45

                    Очередь становится все длиннее, так как прибывают новые преданные.

                    00:49

                    За Бэзилом появляется все больше и больше людей, потому что игра чертовски популярна…

                    00:54

                    на самом деле очередь растет… бесконечно.

                    00:57

                    Если бы Астрид никогда не двигалась с начала очереди, мы бы сказали, что она стоит в луче.

                    01:03

                    Он имеет одну конечную точку «А» и бесконечно простирается в направлении точки «В».

                    01:08

                    Итак, мы бы назвали его лучом «AB».

                    01:12

                    А теперь представьте, что кто-то врезается перед Астрид, пока она отвлечена.

                    01:16

                    И пока она спорила с этим человеком, перед ними врезался другой человек.И так далее. » АБ.

                    01:30

                    Верно; истинная линия, с точки зрения математики, простирается бесконечно в обоих направлениях.

                    01:35

                    Итак, на самом деле Астрид и Бэзил в настоящее время ждут на отрезке линии —

                    01:40

                    , а именно на отрезке с конечными точками «A» и «B».

                    01:45

                    Так что было бы технически неточным сказать, что они ждут в… очереди.

                    01:49

                    Ну, это убило около двух минут.

                    01:51

                    Осталось всего два часа и пятьдесят восемь минут, пока она не сможет заполучить Math Blasters 4: The Revenge.

                    01:58

                    Астрид предпочитает разгадывать математические задачи, а не решать их.

                    Урок Видео: Прямые линии, сегменты линий и лучи

                    Стенограмма видео

                    Прямые линии, сегменты линий и Лучи

                    В этом уроке мы собираемся научиться определять точки, линии, лучи, сегменты линий и конечные точки. Начнем с линии и вопрос. Когда линия не линия? Что ж, это может показаться довольно странный вопрос задают.Но, надеюсь, к концу этого видео, вы поймете, что ответ на этот вопрос: «когда мы говорим математически.» Потому что вы знаете, что у математики есть свои словарный запас, свой собственный язык слов и терминов, которые означают совершенно особые вещи.

                    Хорошим примером этого является слово «сумма». Возможно, вы слышали, как люди используют слово «сумма» означает вычисление. Я сделал целую страницу сумм сегодня.Ну, мы знаем, что если мы говоря математически, слово «сумма» означает нечто совершенно определенное. Когда мы находим сумму некоторых числа, это связано со сложением; мы добавляем их вместе. Итак, если мы говорим математически мы не можем использовать слово «сумма» для обозначения каких-либо вычислений. Это должно означать дополнение.

                    А знаете ли вы, если мы хотим использовать языке математики, то, что мы обычно описывали бы как линию в повседневная жизнь на самом деле не линия.Давайте используем пример, чтобы узнать более. И пока мы это делаем, мы будем учиться некоторые другие слова, связанные с линиями, и каждое из них будет частью этого языка математики.

                    Это Арчи. Он ждет автобус. И как вы делаете, когда ждете автобус, он стоит в точном положении. Мы могли бы даже обозначить это позиция. Мы назовем это 𝐴. И, говоря языком математики, Вы знаете слово, которое мы используем, чтобы описать точную позицию, подобную этой? Это точка.Есть много моментов, которые мы могли бы ничья, но только одна точка, в которой стоит Арчи. И это точка 𝐴. Теперь давайте представим, что время идет и к очереди присоединяются еще несколько человек. Один из них — хороший друг Арчи. Берт. Берт стоит точно положение тоже. Это еще одна точка, B для Берта, так что назовем эту точку 𝐵.

                    Что, если мы возьмем линейку и соединить точку 𝐴 с точкой 𝐵? Он как бы представляет нашу очередь люди, не так ли? Обычно вы можете сказать, что что-то похожее на это или это или это является линией.Как мы уже говорили, в этом видео, мы будем говорить на языке математики. Так что эта линия не является линией. Это часть линии. Это то, что мы называем линией сегмент.

                    Потому что это может быть сложно поймите, давайте запишем, что мы на самом деле подразумеваем под отрезком. Отрезок, как мы уже сказали, является частью линии с двумя концами. Вот еще одно новое для нас слово. Как вы думаете, что является конечной точкой является? Что ж, вас это не удивит узнайте, что конечная точка — это точка на конце.они в конце строки сегменты. Итак, точка 𝐴 и точка 𝐵 равны конечные точки. И это учит нас чему-то очень важно о линиях в математике. Линия продолжается вечно. Идея того, что что-то происходит и снова и снова довольно сложно. Но в математике это то, что мы имеем в виду по линии. И поскольку мы можем видеть то, что мы нарисовали здесь начало и остановку в двух разных конечных точках, мы можем видеть, что это не продолжается вечно.Это всего лишь часть строки, которая продолжается и продолжается. Это линейный сегмент.

                    Теперь представим, что этот автобус не появляется, и все больше и больше людей встают в очередь после Берта. Очередь идет все дальше и дальше снова и снова. На самом деле, они никогда не останавливаются. Это просто продолжается вечно. Теперь мы подошли к концу нашего скрин сюда. Но как мы можем показать, что это происходит снова и снова, потому что на данный момент похоже, что у нас есть еще одна конечная точка.Почему бы нам не нарисовать стрелку на конец? Ну вот. Теперь мы показали, что это не так. конец. Это продолжается вечно.

                    Но знаете ли, в математике мы до сих пор нельзя назвать это линией. Хотя стрелка на одном конце показывает что это продолжается вечно в одном направлении, мы можем видеть, что то, что мы нарисовали на самом деле имеет конечную точку. Это точка, где Арчи стоя в начале очереди.Он все еще стоит на фиксированной конечная точка. И есть слово для того, что у нас есть Получил здесь, еще одно слово, чтобы добавить в наш словарный запас математики. Здесь мы видим луч. Давайте подумаем о солнечных лучах на мгновение. Они начинаются точно позиция. Они исходят от Солнца, не Oни? Но солнечные лучи путешествуют в прямые линии и продолжать и продолжать и продолжать от этой отправной точки.Это полезный способ запомнить, что слово «луч» в математике означает. Мы начинаем с точки, а затем продолжаем дальше и дальше и дальше и дальше.

                    Сейчас пока все стоят очень вежливо в этой очереди ждет автобус. Итак, Арчи оборачивается, чтобы поздороваться к Берту. Но, к сожалению, так же, как и он это, когда он повернулся спиной, кто-то толкает, а потом кто-то еще и кто-то еще.Нам снова не хватило места. Итак, чтобы показать, что наша очередь собирается снова и снова в этом направлении, давайте нарисуем еще одну стрелку. И вам будет приятно узнать, что мы просто нарисовал линию, потому что в математике линия — это прямой путь. Вы можете видеть, что мы нарисовали прямо, не так ли? Это прямой путь, который продолжается в обоих направлениях, а не только в одном направлении, как луч, который не заканчивается. Это просто продолжается и продолжается, и продолжается, и дальше и дальше и дальше.Мы остановимся на этом, но вы знаете, что мы пытаемся сказать.

                    Незадолго до того, как мы ответим на некоторые вопросы, основанные на этих словах, которые мы выучили, давайте просто пробежимся по ним опять таки. Давайте избавимся от очереди и просто нарисуйте это на пустой странице. Если мы нарисуем две точки на странице и обозначьте их 𝐶 и 𝐷, что у нас получилось? Это два пункта, не Oни? Это две точные позиции: точка 𝐶 и точка 𝐷.

                    Теперь, если мы возьмем линейку и соединим точка 𝐶 с точкой 𝐷, что у нас получилось? Что ж, у нас есть два конечные точки, не так ли, одна здесь и одна здесь? То, что мы нарисовали, начинается и останавливается. Мы нарисовали отрезок. Это часть линии, и она два конечных пункта. Мы могли бы назвать это сегментом линии 𝐶𝐷. Он идет от 𝐶 и останавливается на 𝐷.

                    Что еще мы можем сделать? Ну, а если мы продлим нашу линию отрезок мимо точки 𝐷 снова и снова и снова? И чтобы показать, что это продолжается и продолжается и далее, поставим стрелку.То, что мы нарисовали сейчас, имеет только один конечная точка. Мы не можем точно сказать, что происходит на другом конце, потому что другого конца нет. Это просто продолжается и продолжается и дальше. То, что у нас есть, все еще часть линии. Это луч. Мы знаем, что лучи начинаются точку и продолжать в одном направлении. И поскольку мы начинаем в точке 𝐶, мы проходим точку 𝐷 и продолжаем идти, мы могли бы назвать этот луч 𝐶𝐷.Итак, если это Рэй 𝐶𝐷, что это? Мы видим, что это все еще луч, но на этот раз конечной точкой является точка 𝐷. И наш луч продолжается через точку 𝐶 снова и снова. Так что это все еще луч; это просто продолжение в обратном направлении.

                    Наконец, что, если мы покажем, что то, что мы нарисовали, продолжается и продолжается в обоих направлениях? У него нет конечных точек. Мы знаем, что прямой путь, который продолжается в обоих направлениях и никогда не заканчивается, называется линией.И мы могли бы назвать эту линию 𝐶𝐷 потому что он проходит через точки 𝐶 и 𝐷.

                    Теперь, как вы думаете, насколько хорошо вы выучил эти слова? Давайте ответим на некоторые вопросы прямо сейчас где мы должны практиковать наши знания о том, что они означают.

                    Какая из следующих фигур является прямая линия?

                    В этом вопросе нам дано пять картинки или рисунки. И нам говорят, что нам нужно найти какая из них прямая.Теперь, возможно, прежде чем мы начнем, мы можем видим, что одна из этих фигур определенно не является прямой линией. Рисунок (e) изогнут, не так ли? Таким образом, мы можем быть уверены, что (e) не правильный ответ. А что насчет остальных? Пройдемся по каждому и посмотрим чем они отличаются.

                    Рисунок (а) представляет собой форму. Похоже на букву Н, нет Это? Рисунок (b) определенно выглядит так, как будто мы можно назвать прямой линией.И рисунок (в), на самом деле это выглядит почти такой же, как на рис. (b), за исключением двух наконечников стрел, по одному на каждом конце. Но тогда (d) также выглядит как прямая линия. На этот раз у него есть только один наконечник стрелы.

                    Что ж, чтобы ответить на этот вопрос, мы нужно подумать о том, что означает слово «прямая линия» в математике, потому что оно означает что-то очень определенное. В математике линия — это прямой путь который продолжается в обоих направлениях и не заканчивается.Если мы рассмотрим рисунок (b) для момент, мы можем видеть, что он определенно начинается и останавливается. Это определенная длина, не Это? У него есть то, что мы называем двумя конечные точки. Теперь, если линия продолжается и продолжается и в обе стороны, мы можем видеть, что это только часть нашей линии, не продолжается и вообще. Рисунок (b) представляет собой отрезок линии. И хотя мы могли бы сказать что фигура на рисунке (а) состоит из множества прямых линий, теперь мы можем видеть что каждый начинает и останавливается.Эта фигура состоит из множества линий сегменты.

                    Похоже, наш ответ либо будет фигура (c) или (d). Какой из них прямой путь, который продолжается в обоих направлениях и не заканчивается? Ну, если мы посмотрим на рисунок (d) для момент, мы можем видеть, что у него есть начальная точка. На другом конце это продолжается и на. Мы можем сказать это, потому что мы можем видеть наконечник стрелы.Но это не продолжается и продолжается в обоих направления. Это только в одном направлении. Это то, что мы называем лучом. Итак, если мы посмотрим на рисунок (с), мы можно увидеть наконечники стрел на обоих концах. Это прямой путь, который делает продолжать в обоих направлениях. Неважно, каким образом мы путешествовать. Это будет продолжаться и продолжаться на. Фигура, представляющая собой прямую линию это рисунок (в).

                    Выберите правильное имя для этого объект.Это точка, линия, луч, отрезок или угол?

                    Объект этого вопроса говорить об этом здесь. Обратите внимание, что мы не можем просто сказать «это линия здесь», потому что, хотя мы могли бы посмотреть на это и сказать, что это линия, мы на самом деле получил пять разных ответов на выбор. Так что, возможно, это не линия. В повседневной жизни мы бы назвали это линия. Но это математический вопрос.И иногда слова в математике имеют очень определенные значения. Пройдемся по каждому из наших возможные ответы и посмотрите, что означает каждый из них. Тогда, возможно, мы сможем сказать как называется предмет.

                    Наше первое слово — «точка». Мы знаем, что точка – это точная позиция. Здесь есть смысл, здесь, здесь. Есть точки вдоль нашего объект. И есть конечные точки в любом конец нашего объекта.Но мы не можем использовать слово «точка» для описания всего объекта. Это не точка.

                    Это линия? Ну, это определенно похоже на линия. И как мы уже говорили, в повседневной жизни, мы бы описали его как линию. Но в математике слово «линия» означает что-то очень определенное. Это путь, который не имеет конечные точки. Это продолжается в обоих направления. Теперь, если бы у нашего объекта были наконечники стрел на любом конце, мы бы увидели, что у него нет конечных точек, и он продолжал бы входить оба направления.Тогда мы могли бы сказать, что это линия. Как мы уже говорили, наш объект имеет два конца. Мы не можем использовать слово «линия» для Опишите это.

                    А как насчет слова «луч»? У луча есть один конец, и он продолжается в одном направлении. Похоже на это. Вы видите оранжевую стрелку, которая указывая на слово «луч»? Это тоже луч. У него есть конечная точка, и он продолжается в одном направлении.Наш объект не продолжается ни в направление. Он имеет два конца. Итак, мы знаем, что это не может быть луч.

                    Это отрезок? Отрезок линии является частью линия. Он имеет два конца. Другими словами, он запускается и останавливается. Итак, наш объект запускается и останавливается, не так ли?

                    Чтобы проверить последнее слово, мы знаю, что у нас тоже нет угла. Угол — это количество градусов витков, которые измеряются между двумя лучами.И эти два луча начинаются от такая же конечная точка. Наш объект имеет две конечные точки. Он начинается и останавливается. Хотя у нас может возникнуть соблазн назовем его линией, мы знаем, что правильное название этого объекта — отрезок линии.

                    Начальная точка луч?

                    У нас есть четыре точки на выбор: 𝑁, 𝐴, 𝑋 или 𝐶. Этот вопрос говорит о луч. И для того, чтобы ответить на вопрос, мы должны понять, что такое луч.В математике луч — это имя, которое мы даем для части строки. Он имеет одну конечную точку и продолжается только в одном направлении. Итак, на нашей диаграмме вы видите луч? Вот этот путь. Это часть линии с одним конечная точка. И этот наконечник стрелы на другом конце показывает, что она продолжается только в одном направлении. Эта стрелка — способ показать нам, что луч будет продолжаться до самого края видеоэкрана, с экрана, и дальше и дальше и дальше.

                    Теперь, когда мы знаем, что такое луч, какая из наших четырех точек является начальной точкой луча? Ну, мы знаем, что ответ не может быть 𝑁 или 𝐶. Эти точки далеко не наши луч. Точка 𝐴 является точкой на луче, но это не то место, где начинается наш луч. Это может показаться странным, но начальная точка нашего луча является конечной точкой. Это точка 𝑋. Давайте нарисуем его синим цветом, чтобы показать что творится.Начнем с точки 𝑋. И наш луч продолжается по прямой линия через точку 𝐴 и так далее, и так далее. Начальная точка луча пункт 𝑋.

                    Чему мы научились в этом видео? Мы научились определять точки, прямые, отрезки прямых, конечные точки и лучи.

                    Отрезки линии и луч: разница, построение, примеры

                    Вы попали на нужную страницу, чтобы узнать о сегментах линий и лучах. Геометрия — это изучение положения, формы, размера и других свойств различных фигур. Но прежде чем мы углубимся в изучение геометрических фигур, нам необходимо изучить основные понятия геометрии. Геометрические термины, такие как точка, линия, плоскость и т. д., являются основными понятиями для развития геометрии.

                    Точка — это точное местоположение, не имеющее длины, ширины или толщины. Часть прямой с двумя разными концами называется отрезком прямой, а луч — это часть прямой с одной конечной точкой.Давайте подробно узнаем об отрезках и лучах из этой статьи.

                    Точка, линия, сегмент линии и луч

                    Точка : Точка показывает определенное положение или местоположение, которое нельзя переместить. Точка (.) представляет это. Он выполнен острым карандашом на листе бумаги.

                    Точка не имеет ни длины, ни ширины, ни толщины. Точки называются с использованием одиночных заглавных букв.
                    Точки могут быть физически представлены головкой или кончиком канцелярской кнопки, кончиком острой иглы и т. д.

                    Изучите принципы 11-го экзамена CBSE

                    Линия : Набор точек образует линию. Он простирается бесконечно и бесконечно в обоих направлениях. Поэтому мы всегда рисуем линию со стрелками на обоих концах. Линия не имеет концов. Итак, у него нет ни начала, ни конца, и поэтому его длину нельзя измерить.

                    Линия может быть названа \(2\) способами.
                    1. С помощью одной строчной буквы, например, строки \(p\).
                    2. Используя любые две отмеченные на нем точки.\leftrightarrow .\)
                    3. Стрелки \(2\) на линии, проведенной в противоположных направлениях, указывают на то, что линия имеет неограниченную длину, т. е. ее можно продлить на любое расстояние в любую сторону.

                    4. Линия может быть прямой или изогнутой, но когда мы говорим «линия», обычно имеется в виду прямая линия. Основная идея линии заключается в ее прямолинейности и в том, что она бесконечно простирается в обоих направлениях.

                    5. Через заданную фиксированную точку можно провести неограниченное количество прямых.На приведенном ниже рисунке показана фиксированная точка \(A\). Из рисунка видно, что через \(A\) можно провести неограниченное количество прямых.

                    Практика 11-го экзамена CBSE Вопросы

                    6. Через любые две фиксированные точки можно провести одну и только одну прямую. На приведенном ниже рисунке \(A\) и \(B\) являются \(2\) неподвижными точками. Из рисунка видно, что через неподвижные точки \(A\) и \(B\) можно провести только одну прямую.

                    7. Каждая линия имеет бесконечное или несчетное число точек.

                    Сегмент линии : Часть линии называется сегментом линии. Он имеет \(2\) концевых точек и имеет определенную длину, которую нельзя увеличить или уменьшить. Отрезок линии \(AB\) может быть записан как \(\overline {AB} \).

                    Физически край стола, край линейки, край доски и т. д. представляют собой сегменты линии.

                    Луч : Луч является частью линии с одной конечной точкой и может бесконечно продолжаться в другом направлении.Фиксированная конечная точка называется начальной точкой луча. Длина луча не может быть измерена. Луч \(AB\) можно записать как \(\overrightarrow {AB} \).

                    1. Луч имеет только одну конечную или фиксированную точку, которая также называется начальной точкой.
                    2. Луч простирается бесконечно только в одном направлении.
                    3. С одной и той же начальной точкой можно провести неограниченное количество лучей.
                    4. Луч является частью линии.

                    Попытка 11-го экзамена CBSE Пробные тесты

                    Разница между линией, сегментом линии и лучом

                    Мы уже изучили определения и объяснения основных понятий геометрических фигур, таких как точка, линия, луч, отрезок и т. д.Укажем далее на некоторые различия между линией, отрезком линии и лучом. \leftrightarrow .\) Отрезок линии представлен как \(\overline {AB} .\) Луч представлен как \(\overrightarrow {AB}\)

                    Изучите понятия сегмента линии

                    Решенные примеры — сегменты линии и луч

                    Q.1. Назовите следующее:
                    а) Все линии, показанные на рисунке 1.
                    б) Все лучи, показанные на рисунке 2.

                    Ответ: а) Мы всегда рисуем линию со стрелками на обоих концах.Следовательно, линии, показанные на рисунке 1 – это \(AB,\,CD\) и \(EF\).
                    б) Луч является частью прямой с одним концом и может бесконечно продолжаться в другом направлении. Следовательно, лучи, показанные на рисунке 2, — это лучи \(AB\) и \(CD\).

                    Q.2. Исправьте утверждение, если оно неверно.
                    а) Луч имеет определенную длину.
                    б) Отрезок имеет определенную длину.
                    в) Луч имеет только один конец.
                    г) Луч можно бесконечно продолжать в обе стороны.
                    Ответ:
                    а) Луч имеет определенную длину \(\Стрелка вправо\) Утверждение неверно.
                    Правильное утверждение; Луч имеет неограниченную длину, потому что луч является частью линии с одной конечной точкой и неопределенно продолженной в другом направлении.
                    b) Отрезок имеет определенную длину \(\Rightarrow\) Это утверждение верно
                    c) Луч имеет только одну конечную точку \(\Rightarrow\) Это утверждение верно
                    d) Луч можно бесконечно продолжать в обе стороны стороны \(\Rightarrow\) Утверждение неверно.
                    Правильное утверждение; Луч можно продолжать бесконечно только в одном направлении.

                    Q.3. Сколько прямых можно провести, проходящих через:
                    а) Данную точку
                    б) Две заданные неподвижные точки
                    Ответ:
                    Совокупность точек образует прямую.
                    а) Данную точку: через данную точку можно провести бесконечное количество линий.
                    б) Две заданные неподвижные точки: Через две заданные неподвижные точки можно провести только одну прямую.

                    Q.4. Отрезок линии длится вечно?
                    Ответ:
                    Хотя отрезок является частью прямой, он не может продолжаться вечно, так как имеет две конечные точки.

                    Q.5. На приведенном ниже рисунке определите, являются ли \(SG,\,SF,\,SE,\,SD,\,SC,\,SB\) и \(SA\) прямыми, линейными сегментами или лучами?

                    Ответ: На данном рисунке показана точка источника света \(S\). \(SG,\,SF,\,SE,\,SD,\,SC,\,SB,\) и \(SA\) — лучи света, исходящие из источника \(S\). Так как \(S\) является неподвижной точкой, а другой конец может продолжаться бесконечно \(SG,\,SF,\,SE,\,SD,\,SC,\,SB,\) и \(SA\ ) являются лучами.

                    Сводка

                    Эта статья научила нас основным геометрическим терминам, то есть точке, лучу, линии и отрезку. Мы больше акцентировали внимание на изучении отрезка и луча и подробно изучали эти термины. Мы также узнали о разнице между лучом, линией и отрезком линии и, наконец, решили несколько примеров, чтобы укрепить наше понимание концепции.

                    Узнайте, как измерять отрезки линии

                    Часто задаваемые вопросы

                    В.1. В чем сходство отрезка и луча?
                    Ответ:
                    Отрезок – это часть линии с двумя концами, тогда как луч – это также часть линии с \(1\) концом, бесконечно продолжающейся в одном направлении. Итак, отрезок и луч являются частями прямой.

                    Q.2. Что такое линия, луч и отрезок?
                    Ответ:
                    Линия: Набор точек образует линию. Он простирается бесконечно и бесконечно в обоих направлениях.
                    Луч: Луч является частью линии с одной конечной точкой и может бесконечно продолжаться в другом направлении.
                    Сегмент: Часть линии называется сегментом линии. Он имеет \(2\) концевых точек и имеет определенную длину, которую нельзя увеличить или уменьшить.

                    Q.3. В чем разница между лучом и отрезком?
                    Ответ:
                    Луч и отрезок являются частями прямой. Единственное существенное различие между ними состоит в том, что отрезок имеет две конечные точки и, следовательно, не может быть продлен в обоих направлениях и имеет фиксированную длину.Напротив, у луча одна точка зафиксирована, а другой конец бесконечно вытянут в одном направлении.

                    Q.4. Может ли отрезок быть лучом?
                    Ответ:
                    Отрезок и луч являются частями прямой. У отрезка есть две конечные точки, а у луча только одна конечная точка. Таким образом, отрезок не может быть лучом, но может быть частью луча.

                    Q.5. Из линии, сегмента линии и луча, который имеет одну фиксированную конечную точку?
                    Ответ:
                    Согласно определению, линия не имеет концов и поэтому может быть продолжена в любом направлении.Отрезок — это часть прямой, обе конечные точки которой фиксированы и имеют определенную длину. Луч также является частью линии, которая имеет одну фиксированную конечную точку, а другую конечную точку можно бесконечно продолжать в другом направлении. Следовательно, мы можем сказать, что луч имеет одну фиксированную конечную точку вне линии, отрезка линии и луча.

                    Мы надеемся, что эта подробная статья об отрезках и лучах помогла вам в ваших исследованиях. Если у вас есть какие-либо сомнения, вопросы или предложения относительно этой статьи, не стесняйтесь спрашивать нас в разделе комментариев, и мы будем более чем рады помочь вам.Приятного обучения!

                    276 Просмотров

                    Линии, сегменты линий, лучи. — скачать ppt

                    Презентация на тему: » Прямые, отрезки, лучи.» — Транскрипт:

                    ins[data-ad-slot=»4502451947″]{display:none !важно;}} @media(max-width:800px){#place_14>ins:not([data-ad-slot=»4502451947″]){display:none !important;}} @media(max-width:800px){#place_14 {ширина: 250px;}} @media(max-width:500px) {#place_14 {ширина: 120px;}} ]]>

                    1 Линии, сегменты линий, лучи

                    2 Линия — прямой путь, идущий в двух направлениях без конца.
                    B AB Читать: «Линия AB»

                    3 Луч имеет одну конечную точку и всегда идет только в одном направлении.
                    Чтение компакт-диска: «Ray CD»

                    4 E F EF Линейный сегмент Чтение: «Линейный сегмент EF»
                    Линейный сегмент имеет две конечные точки. E F Читать: «Отрезок линии EF» EF

                    5 Определите тип линии: линия, луч или сегмент линии.
                    Твоя очередь! Определите тип линии: прямая, луч или отрезок. Отрезок

                    6 Определите тип линии: линия, луч или сегмент линии.
                    Твоя очередь! Определите тип линии: прямая, луч или отрезок. Линия

                    7 Определите тип линии: линия, луч или сегмент линии.
                    Твоя очередь! Определите тип линии: прямая, луч или отрезок. Рэй

                    8 Определите тип линии: линия, луч или сегмент линии.
                    Твоя очередь! Определите тип линии: прямая, луч или отрезок. Линия

                    9 Определите тип линии: линия, луч или сегмент линии.
                    Твоя очередь! Определите тип линии: прямая, луч или отрезок.Рэй

                    10 Определите тип линии: линия, луч или сегмент линии.
                    Твоя очередь! Определите тип линии: прямая, луч или отрезок. Отрезок

                    11 Читать: «Линия JK параллельна линии LM»
                    Параллельные линии Параллельные линии — линии, которые никогда не пересекаются и не отдаляются друг от друга.J K L M Читать: «Прямая JK параллельна прямой LM» ║ JK LM

                    12 Пересекающиеся линии- линии, которые пересекаются друг с другом.
                    Q P OP пересекается с QR

                    13 Читать: «Линия ST перпендикулярна линии UV»
                    Перпендикулярные линии Перпендикулярные линии- линии, которые пересекаются или встречаются друг с другом, образуя прямые углы (угол 90º).U 90º/Прямой угол S T Читается: «Линия ST перпендикулярна линии UV» V ST ┴ UV

                    14 Твой ход! Определите, являются ли линии параллельными, перпендикулярными или пересекающимися (не под перпендикулярным углом). Параллельно

                    15 Твой ход! Определите, являются ли линии параллельными, перпендикулярными или пересекающимися (не под перпендикулярным углом).Параллельно

                    16 Твоя очередь! Пересечение
                    Определите, являются ли линии параллельными, перпендикулярными или пересекающимися (не под перпендикулярным углом). Пересекающиеся

                    17 Твоя очередь! Perpendicular
                    Определите, являются ли линии параллельными, перпендикулярными или пересекающимися (не под перпендикулярным углом).Перпендикуляр

                    18 Твой ход! Определите, являются ли линии параллельными, перпендикулярными или пересекающимися (не под перпендикулярным углом). Параллельно

                    19 Твоя очередь! Пересечение
                    Определите, являются ли линии параллельными, перпендикулярными или пересекающимися (не под перпендикулярным углом). Пересекающиеся

                    20 Твоя очередь! Perpendicular
                    Определите, являются ли линии параллельными, перпендикулярными или пересекающимися (не под перпендикулярным углом).Перпендикуляр


                    Определения и примеры луча сегмента линии и линии

                    В геометрии линия, отрезок и луч — это одномерные фигуры, не имеющие толщины. Все они имеют набор связанных точек. Мы рисуем различные формы треугольника, квадрата, прямоугольника, используя эти линии, отрезки и лучи. Давайте обсудим определения каждого из них и различия между ними в следующих разделах этой страницы.

                    Что такое линия?

                    Линия может быть определена как набор прямых точек, проходящих в противоположных направлениях.Это одномерная фигура и не имеет толщины, оканчивается в обе стороны.

                    Различные типы линий: горизонтальные линии, вертикальные линии, параллельные линии и перпендикулярные линии. Изображения этих типов приведены здесь для лучшего понимания концепции.

                    Если линия движется слева направо в прямом направлении, это горизонтальная линия.

                    Если линия движется сверху вниз в прямом направлении, то она называется вертикальной линией.

                    Если две или более прямые линии не пересекают друг друга ни в одной точке, то они называются параллельными линиями. Точки А, В, С, D называются точками на прямых.

                    Если две прямые пересекаются в точке под прямым углом, то они перпендикулярны друг другу.

                    Также читайте:

                    Линии и углы

                    Линейный сегмент — Определение

                    Отрезок линии — это часть линии, имеющая две конечные точки. геометрические фигуры, такие как треугольник, многоугольник, квадрат, пятиугольник и другие, состоят из разного количества отрезков.Измерение отрезка линии называется длиной. Поскольку отрезок прямой имеет два конца, его нельзя удлинить, и его длину легко измерить. На рисунке ниже показан отрезок прямой с точками x, y.

                    Что такое Рэй?

                    Луч — это комбинация линии и сегментов линии, у которой один конец бесконечно продолжается, а другой заканчивается. Его длина не может быть измерена, потому что один конец не заканчивается. Он представлен \(\overrightarrow{AB}\).

                    Различия между сегментом линии, лучом и линией

                    Из приведенной ниже таблицы вы можете ознакомиться с ключевыми различиями между линией, сегментом линии и лучом. Они следующие

                    Линейный сегмент Строка Рэй
                    Отрезок имеет две конечные точки. Линия не имеет концов. У него есть одна начальная точка и еще одна возле наконечника стрелы.
                    Длина отрезка определена.Значит, можно измерить. Поскольку у него нет конечных точек, его длину нельзя измерить. Длина не может быть измерена, так как одна точка не имеет конечной точки.
                    Символ ______. Символ ↔. Символ луча →.

                    Пересечение луча и сегмента линии в 3D — CodeFull

                    На этой странице представлены методы выполнения различных тестов пересечения. Хотя в нем нет записи для ray vs.пересечения сегментов линий, я попробовал предложенный тест на пересечение лучей и лучей (стр. 782 Real-Time Rendering 3rd Edition), но в моем случае это не сработало.

                    Я немного осмотрелся и, основываясь на адаптации этого ответа, наконец нашел метод, который отлично работает. Имея луч (с начальной точкой, конечной точкой и направлением) и отрезок прямой с заданными начальной и конечной точками, мы выполняем тест пересечения трехмерных линий. Однако обратите внимание, что в различных графических API всегда возникает ошибка при преобразовании точек экрана в линии (поскольку нет сопоставления 1-1 между пикселями экрана и точными трехмерными точками в пространстве).Поэтому при проведении испытаний на пересечение необходимо учитывать некоторую степень допуска. Это особенно важно на этапе раннего отклонения алгоритма проверки пересечения. Тест ранней отбраковки проверяет, совпадают ли две 3D-линии. Если это не так, то пересечение не будет сообщено.

                    Найдя точку пересечения, мы должны проверить, лежит ли эта точка между начальной и конечной точками отрезка. Это можно сделать, сравнив длину сегмента линии с суммой расстояний точки пересечения от начальной и конечной точек сегмента линии соответственно.Если длина «почти» равна, то это означает, что исходный луч будет пересекаться с отрезком прямой.

                    Вот псевдокод описанного процесса (адаптировано из оригинального ответа):

                     const double coPlanerThreshold = 0,7; // Некоторое пороговое значение, зависящее от приложения
                    const double lengthErrorThreshold = 1e-3;
                    
                    логическое пересечение (лучевой луч, сегмент LineSegment)
                    {
                    Vector3 da = луч.Конец - луч.Начало; // Ненормированное направление луча
                    Vector3 db = сегмент.Конец - сегмент.
                        

                    Добавить комментарий

                    Ваш адрес email не будет опубликован.