Луч как обозначаются лучи: Объясните, что такое луч. Как обозначаются лучи?

Содержание

Что такое луч рисунок. Как обозначаются лучи

Подписаться на сайт

Ребята, мы вкладываем душу в сайт. Cпасибо за то,
что открываете эту красоту. Спасибо за вдохновение и мурашки.
Присоединяйтесь к нам в Facebook и ВКонтакте

Чаще всего этот вопрос задают в школах, на уроках геометрии, а также понятие достаточно популярно в оптике. Однако, как это часто бывает, слово имеет довольно много значений. Стоит подробнее остановиться на самых ключевых.

Геометрия

Для того, чтобы понять, что такое луч с точки зрения геометрии, нужно рассмотреть одно из фундаментальных понятий этой науки, а именно – прямую.

Дать определение этому термину достаточно трудно, так как оно является одним из исходных, и именно с помощью прямой объясняются другие различные слова. Существует довольно мало аксиом в этом вопросе. Тем не менее, прямую можно трактовать как линию, находящуюся между двумя точками.

Прямая имеет свои свойства, согласно евклидовой геометрии.

  • Через любую точку можно провести сколько угодно прямых, а вот через две несовпадающие точки – лишь одну.
  • Прямые могут находиться лишь в трех состояниях – они могут пересекаться, быть параллельными друг другу, а также могут скрещиваться.
  • Существует линейное уравнение, задающее прямую на плоскости.

Итак, стоит вернуться к понятию луча. Он является частью прямой. Если на такой линии поставить точку, то автоматически получится два луча, при этом они не будут иметь второй ограничивающей их точки.

Таким образом, луч – это часть прямой , имеющая начало, но не имеющая конца.


Световой луч

Геометрическая оптика рассматривает понятие светового луча довольно схожим образом. Здесь он тоже будет являться линией, однако она будет использоваться световой энергией. Иначе говоря, световой луч – это

небольшой пучок света .

Как и понятие прямой в геометрии, так и понятие луча в оптике является довольно базовым явлением. Однако, в отличие от геометрического луча, световой не имеет какого-то четкого направления, так как происходит дифракция. Однако, если свет очень большой, то расходимостью принято пренебрегать. В этом случае можно выделить четкое направление.


Помимо базовых терминов в точных науках, этим словом обозначают самые разнообразные объекты. Например, около семи спортивных клубов носили такое название, а некоторые из них существуют до сих пор. Множество деревень, поселков и хуторов на территории России, Украины и Белоруссии тоже называются Лучами. От них не отстают и суда – причем в этом случае Луч является маркой пассажирских судов, а также целым классом яхт.

Эти яхты являются одноместными и используются для гонок. Часто их применяют в качестве обучающего снаряда для детей, однако на нем проводятся и соревнования.

Существуют и другие значения:

  • Этим словом называются три российских спутника-ретранслятора.
  • В Удмуртии и Предуралье выходит журнал с таким названием.
  • Лучом назвали и объединение атомной промышленности.
  • С таким названием есть часовой завод и обувная фабрика в Минске.
  • Луч – это псевдоним чувашского писателя, официальное имя которого Григорий Васильевич Васильев.

Все мы когда-то изучали в школе геометрию, но далеко не каждый из нас вспомнит, что представляет собой отрезок. А уж тем более мало кто сможет объяснить понятие лучей, и как они обозначаются. Давайте постараемся в этой статье напомнить себе данные определения и рассмотрим их в математике. Также определим, что такое луч, и чем он отличается от светового. Если вникнуть, то понять будет несложно.

Определение понятий

Для начала давайте вспомним, что называется геометрией. Геометрия — это раздел математики, изучающий геометрические фигуры и их свойства. К ним относятся треугольник, квадрат, прямоугольник, параллелепипед, круг, овал, ромб, цилиндр и т. п. Простейшая фигура — это прямая. Она является бесконечной и не имеет начала. Две прямые пересекутся только в одной единственной точке. Через одну точку можно проводить бессчетное количество прямых линий.

Каждая точка на линии делит ее на два .


Это интересно: как обозначается площадь, примеры для вычисления.

Он состоит из точек, расположенных по одну сторону. Все понятия данных подмножеств можно именовать таким образом. Луч обозначают одной строчной латинской буквой или двумя заглавными, когда одна точка — начало (например, О), а вторая лежит на нем (например, F, К и Е) .

В основе геометрической фигуры, имеющей углы, лежат полупрямые. Они начинаются в точке, где пересекаются, но второй стороной направлены в бесконечность. Начало делит прямую на 2 части.

На письме его обычно именуют двумя заглавными (OF) или одной буквой латиницы (а, в, с). Если дана прямая, то записывается ОВ в закругленных скобках: (ОВ). Если же это отрезок — в квадратных скобках.

Таким образом, луч — это часть прямой. Через любую точку можно провести множество прямых, но через 2 несовпадающие — только одну. Последние могут быть взаимодействовать только в трех вариантах: пересекаться, скрещиваться, быть параллельными друг другу. Существуют линейные уравнения, которые задают прямую на плоскости.

Обозначения в геометрии

Вариантов для обозначения несколько:


Нужно знать: Что такое горизонталь и горизонтальное положение?

Отличие световых лучей от геометрических

В геометрии таковые понятия очень схожи. Луч — это линия, но она является энергией света . Другими словами — это небольшой пучок света. В оптике данное понятие, как и понятие прямой, в геометрии — базовое. У световых нет сконцентрированного направления, происходит дифракция. Но когда поток света очень сильный, расходимостью пренебрегают, и можно выделять четкое направление.

Луч и прямая относятся к числу основных геометрических элементов. Сведения о них даются уже на первом этапе изучения соответствующего раздела математики. Чем отличается луч от прямой? Информация об этом изложена ниже.

Определение

Луч – это полупрямая, с одной стороны исходящая из конкретной точки, с другой – ничем не ограниченная.

Прямая – это бесконечная с обеих сторон линия, проходящая через две любые точки и не меняющая свое направление (в отличие от кривой или ломаной).


Прямая

Сравнение

Из определений видно, что кардинальное отличие луча от прямой заключается в том, ограниченны ли они в пространстве. Так, луч обязательно имеет начало и продолжается только с одной стороны. У прямой, в свою очередь, нет предела ни с того, ни с другого края. В связи с этим начертить можно лишь ее часть, что, впрочем, относится и к лучу.

Если взять на прямой произвольную точку, то отходящая от нее бесконечная линия будет являться лучом. В этом смысле луч можно назвать частью прямой. Справедливо и то, что избранная точка будет служить в качестве исходной сразу для двух противоположно направленных лучей.

Сравнивая луч и прямую, следует сказать о способах их обозначения. Каждый из геометрических объектов может называться латинской строчной буквой: луч a (с, d, t) или прямая b (a, h, c). Также в том и другом случае используется обозначение двумя заглавными буквами: луч NK или прямая OD.

Однако в последнем пункте имеются отличия. Буквы в названии прямой, помечающие точки, через которые она проведена, при чтении и записи можно менять местами. Между тем относительно луча первым указывается строго его начало, а затем точка, расположенная на определенном расстоянии от исходной.

Кроме того, луч имеет собственный вариант обозначения. В этом случае после заглавного символа, называющего начальную точку, с помощью строчной буквы указывается прямая, на которой расположен луч. Таким образом, обозначение Bo трактуется так: луч с началом в точке B принадлежит прямой o.

В чем разница между лучом и прямой, кроме сказанного? В том, что лучи могут образовывать угол. Для этого они должны исходить из одной точки. Прямые углов не образуют.

началом луча .

a О

луч k .

полупрямыми .

Задача:


По рисунку видно, что этим условиям удовлетворяют лучи AB и AC, а также лучи BC и BA. Следовательно, они являются совпадающими.

Ответ: AB и AC, BC и BA.

Наряду с такими понятиями как точка, отрезок, прямая, в геометрии существует и еще одно понятие. Оно имеет название луч. Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой, а с другой стороны — бесконечная, т.е. ни чем не ограниченная.

Можно провести аналогию с природой. Например, луч света, который мы можем направить с земли в космос. С одной стороны он ограничен, а с другой стороны — нет. Каждый луч имеет одну крайнюю точку, в которой он начинается. Она называется началом луча

.

Если взять произвольную прямую a , и отметим на ней некоторую точку О , то эта точка разобьет нашу прямую на две части. Каждая из которых будем лучом. Точка О будет принадлежать каждому из этих лучей. Точка О будет в данном случае началом этих двух лучей.

Луч обычно обозначают одной латинской буквой. На рисунке ниже представлен луч k .

Также можно обозначать луч двумя большими латинским буквами. При этом первая из них — это точка, в которой лежит начало луча. Вторая — это точка которая принадлежит лучу или другими словами — через которую луч проходит.

На рисунке представлен луч ОС.

Еще одним способом обозначения луча, является указание начальной точки луча и прямой, которой этот луч принадлежит. Например, на рисунке ниже представлен луч Оk.

Иногда говорят, что луч исходит из точки О. Это значит, что точка О является началом луча. Лучи еще иногда называют полупрямыми .

Задача:

Проведите прямую, и отметьте на ней точки A B и на отрезке AB отметьте точку C. Среди лучей АB, BC, CA, AC и BA найдите пары совпадающих лучей.

Лучи совпадают, если они лежат на одной прямой и имеют общее начало и ни один из них не является продолжением другого луча.
По рисунку видно, что этим условиям удовлетворяют лучи AB и AC, а также лучи BC и BA. Следовательно, они являются совпадающими.

Из курса школьной геометрии мало у кого остались точные сведения о том, что представляет собой отрезок, как он обозначается, что такое ломаная линия, прямая, точка и как обозначаются лучи. Если вы не можете вспомнить начальный курс геометрии, достаточно ознакомиться с этой статьей.

Что такое геометрия? Это математический раздел, в котором школьник знакомится с геометрическими фигурами и их свойствами. Информации много, иногда недостаточно времени для того, чтобы все охватить и запомнить. Некоторые знания необходимо освежить спустя несколько месяцев и даже лет. Например, вспомнить, что такое лучи и как они обозначаются.

Что такое луч в геометрии

Луч – это прямая, с одной стороны ограниченная точкой, а с другой стороны – свободная, то есть не имеющая ограничений. Чтобы быстрее запомнить, как обозначаются лучи и как они выглядят, можно привести простой пример: мы ведь можем направить лучик света из фонарика в небо? С одной стороны луч ограничен – с того места, откуда он выходит, то есть – из фонарика. С другой стороны – он не имеет ограничений. Получается, что крайняя точка начала луча только одна, она и называется «начало». Второй точки не существует, потому что луч уходит в бесконечность.

Чтобы понимать, как обозначить луч на листке бумаги, нужно начертить прямую линию. Например, пусть это будет отрезок, равный 10 см. С правой стороны поставим ограничение – точку, это начало луча. Второй точки на конце отрезка не будет.

Как обозначаются лучи

Продолжим вспоминать, что представляет собой луч и как его обозначить.

Вариантов обозначения несколько:

  • Начертим в тетрадке прямую, обозначим точку начала луча. И присвоим ей имя. Например, пусть это будет луч «С». Первая точка – это начало луча, второй точки, как вы уже вспомнили, не существует. Это классическая схема обозначения лучей.
  • Второй вариант поинтереснее: луч можно обозначить несколькими буквами. Например, на одном луче может быть 2 буквы. Первая – это начало луча, пусть это будет буква А, а вторая может располагаться с определенным шагом. Допустим, на отрезке длиной 10 см начало луча обозначено буквой А, а на расстоянии 4 см от начала луча имеется вторая точка, точка В. Тогда луч нужно обозначить, как луч «АВ». Чтобы было понятнее, читать можно так: вторая точка В – это точка, через которую проходит луч.
  • Лучи еще можно обозначить и третьим способом, когда начальная точка будет находиться не в начале луча, а с небольшим отступлением. Например, чертим прямую длиной 10 см, отступаем от левого края 1 см, ставим точку – это будет начало луча. Обозначаем, например, буквой О. Посередине луча точку не ставим, но обозначаем эту часть луча буквой К. В данном случае буква О, будет началом этого луча, он исходит из этой точки. Читается луч так: «ОК», он является полупрямым.


Как обозначается луч в тетрадке

Обозначение на письме луча нужно один раз запомнить: записываются лучи латинскими заглавными буквами. Если это прямая, то записать луч нужно АВ в круглых скобочках: (АВ). Если перед вами отрезок, то он записывается только в квадратных скобках.


Чаще всего этот вопрос задают в школах, на уроках геометрии, а также понятие достаточно популярно в оптике. Однако, как это часто бывает, слово имеет довольно много значений. Стоит подробнее остановиться на самых ключевых.

Геометрия

Для того, чтобы понять, что такое луч с точки зрения геометрии, нужно рассмотреть одно из фундаментальных понятий этой науки, а именно – прямую.

Дать определение этому термину достаточно трудно, так как оно является одним из исходных, и именно с помощью прямой объясняются другие различные слова. Существует довольно мало аксиом в этом вопросе. Тем не менее, прямую можно трактовать как линию, находящуюся между двумя точками.

Прямая имеет свои свойства, согласно евклидовой геометрии.

  • Через любую точку можно провести сколько угодно прямых, а вот через две несовпадающие точки – лишь одну.
  • Прямые могут находиться лишь в трех состояниях – они могут пересекаться, быть параллельными друг другу, а также могут скрещиваться.
  • Существует линейное уравнение, задающее прямую на плоскости.

Итак, стоит вернуться к понятию луча. Он является частью прямой. Если на такой линии поставить точку, то автоматически получится два луча, при этом они не будут иметь второй ограничивающей их точки.

Таким образом, луч – это часть прямой , имеющая начало, но не имеющая конца.

Световой луч

Геометрическая оптика рассматривает понятие светового луча довольно схожим образом. Здесь он тоже будет являться линией, однако она будет использоваться световой энергией. Иначе говоря, световой луч – это небольшой пучок света .

Как и понятие прямой в геометрии, так и понятие луча в оптике является довольно базовым явлением. Однако, в отличие от геометрического луча, световой не имеет какого-то четкого направления, так как происходит дифракция. Однако, если свет очень большой, то расходимостью принято пренебрегать. В этом случае можно выделить четкое направление.

Помимо базовых терминов в точных науках, этим словом обозначают самые разнообразные объекты. Например, около семи спортивных клубов носили такое название, а некоторые из них существуют до сих пор. Множество деревень, поселков и хуторов на территории России, Украины и Белоруссии тоже называются Лучами. От них не отстают и суда – причем в этом случае Луч является маркой пассажирских судов, а также целым классом яхт.

Эти яхты являются одноместными и используются для гонок. Часто их применяют в качестве обучающего снаряда для детей, однако на нем проводятся и соревнования.

Наряду с такими понятиями как точка, отрезок, прямая, в геометрии существует и еще одно понятие. Оно имеет название луч. Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой, а с другой стороны — бесконечная, т.е. ни чем не ограниченная.

Можно провести аналогию с природой. Например, луч света, который мы можем направить с земли в космос. С одной стороны он ограничен, а с другой стороны — нет. Каждый луч имеет одну крайнюю точку, в которой он начинается. Она называется началом луча .

Если взять произвольную прямую a , и отметим на ней некоторую точку О , то эта точка разобьет нашу прямую на две части. Каждая из которых будем лучом. Точка О будет принадлежать каждому из этих лучей. Точка О будет в данном случае началом этих двух лучей.

Луч обычно обозначают одной латинской буквой. На рисунке ниже представлен луч k .

Также можно обозначать луч двумя большими латинским буквами. При этом первая из них — это точка, в которой лежит начало луча. Вторая — это точка которая принадлежит лучу или другими словами — через которую луч проходит.

На рисунке представлен луч ОС.

Еще одним способом обозначения луча, является указание начальной точки луча и прямой, которой этот луч принадлежит. Например, на рисунке ниже представлен луч Оk.

Иногда говорят, что луч исходит из точки О. Это значит, что точка О является началом луча. Лучи еще иногда называют полупрямыми .

Задача:

Проведите прямую, и отметьте на ней точки A B и на отрезке AB отметьте точку C. Среди лучей АB, BC, CA, AC и BA найдите пары совпадающих лучей.

Лучи совпадают, если они лежат на одной прямой и имеют общее начало и ни один из них не является продолжением другого луча.
По рисунку видно, что этим условиям удовлетворяют лучи AB и AC, а также лучи BC и BA. Следовательно, они являются совпадающими.

Равенство геометрических фигур. Сравнение отрезков и углов

Равенство геометрических фигур. Сравнение отрезков и углов. 7 класс

Проверка знаний

  • Что такое луч? Как обозначаются лучи?
  • Какая фигура называется углом? Объясните, что такое вершина и стороны угла.
  • Какой угол называется развернутым?
  • Назовите виды углов.

Изучение нового материала

Равенство геометрических фигур.

Две фигуры имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры, называют равными.

Два одинаковых листа бумаги,

две одинаковые книги, …

Игорь Жаборовский © 2011

UROKI MATEMATIKI .RU

Ф 2

Ф 1

ДВЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НАЗЫВАЮТСЯ РАВНЫМИ , ЕСЛИ ИХ МОЖНО СОВМЕСТИТЬ НАЛОЖЕНИЕМ

Игорь Жаборовский © 2011

UROKI MATEMATIKI .RU

Равенство геометрических фигур.

Равенство геометрических фигур.

Равенство геометрических фигур.

Равенство геометрических фигур.

Равенство геометрических фигур.

Равенство геометрических фигур.

Равенство геометрических фигур.

Равенство геометрических фигур.

Равенство геометрических фигур.

Равенство геометрических фигур.

Равенство геометрических фигур.

Равенство геометрических фигур.

Равенство геометрических фигур.

Сравним углы

Сравним углы

Сравним углы

Сравним углы

Сравним углы

Сравним отрезки:

Сравним отрезки:

Сравним отрезки:

Сравним отрезки:

Сравним отрезки:

Сравним отрезки:

Сравним отрезки:

Сравним отрезки:

Вывод:

Две геометрические фигуры называют равными,

если их можно совместить наложением

Середина отрезка — это

  • Начертите отрезок и отметьте его середину

Сравните

  • Прямой и развернутый угол
  • Два прямых угла
  • Прямой и острый
  • Развернутый и тупой

Биссектриса угла — это

  • Луч исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

Закрепление.

Сколько прямых можно провести через две точки?

Вопрос и краткий ответ

1) Сколько прямых можно провести через две точки?

Только одну прямую.

2) Сколько общих точек могут иметь две прямые?

У пересекающихся прямых – только одна точка, у параллельных – точек пересечения нет.

3) Объясните, что такое отрезок?

Это часть (отрезок) прямой, проведенной между двумя точками.

4) Объясните, что такое луч. Как обозначаются лучи?

Это часть (отрезок) прямой, имеющий начальную точку и не заканчивающийся с другого конца. К примеру: начало луча (его точка отсчета – А) и ( в конце луча Б) = луч АБ.

5) Какая фигура называется углом? Объясните, что такое вершина и стороны угла.

Это такая фигура в геометрии, состоящая из точки и 2-х лучей, которые исходят из этой точки. Лучи – это стороны угла, а их общая начальная точка и есть вершина угла.

6) Какой угол называется развернутый?

Который = 180 градусам (двум прямым углам).

7) Какие фигуры называются равными?

Которые, при накладывании друг на друга – совпадают.

8) Объясните, как сравнить два отрезка.

Можно просто измерить линейкой их длину и записать – какой больше, какой меньше.

9) Какая точка называется серединой отрезка?

Это точка, разделяющая отрезок на 2 одинаковые части, которые равноудалены от его концов.

10) Объясните, как сравнить два угла.

Это можно сделать, если наложить их друг на друга вершиной и одной стороной обоих углов. Вторая сторона 2-х углов расскажет об их равенстве или неравенстве.

11) Какой луч называется биссектрисой угла?

Который пересекает вершину угла и разделяет его пополам.

Геометрия (7 класс).

Зачет по геометрии 7 класс к учебнику Атанасяна

Зачёт по геометрии за 7 класс.

Вопросы для зачета выдаются учащимся в конце апреля, что бы учащиеся за майские каникулы смогли повторить изученный материал. Вот эти вопросы.

Вопросы по геометрии 7 класс.

1.Сколько прямых можно провести через две точки?

2.Сколько общих точек могут иметь две прямые?

3.Что такое отрезок? Начертить, обозначить и объяснить? Какая точка называется серединой отрезка?

4. Что такое луч? Как обозначаются лучи?

5.Какая фигура называется углом? Объясните, что такое вершина и стороны угла.

6.Какие фигуры называются равными?

7. Как сравнить два угла? Какой луч называется биссектрисой угла?

8.Какой угол называется острым? прямым? тупым?

9.Какие углы называются смежными? Чему равна сумма смежных углов? Уметь их строить.

10. Какие углы называются вертикальными? Каким свойством обладают вертикальные углы? Уметь их строить.

11. Какие прямые называются перпендикулярными? Уметь их строить Объясните, почему две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются?

12.Объясните, какая фигура называется треугольником. Начертите треугольник и покажите его стороны, вершины и углы. Что такое периметр треугольника?

13. Какие треугольники называются равными?

14.Что такое теорема и доказательство теоремы?

15.Сформулируйте первый признак равенства треугольников.

16.Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник? Уметь их строить.

17.Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник? Уметь их строить.

18.Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник? Уметь их строить.

19. Какой треугольник называется равнобедренным? Уметь его строить.

Как называются его стороны?

20.Какой треугольник называется равносторонним? Уметь его строить.

Сформулировать основные свойства равнобедренного треугольника.

21.Сформулируйте второй признак равенства треугольников.

22. Сформулируйте третий признак равенства треугольников.

23. Что такое определение? Дайте определение окружности. Что такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности?

24.Объясните, как отложить от данного луча в данную плоскость угол, равный данному.(с помощью циркуля и линейки)

25.Объясните как построить биссектрису данного угла.( с помощью циркуля и линейки)

26.Объясните, как построить прямую, проходящую через данную точку, лежащую на данной прямой, и перпендикулярную к этой прямой. .(с помощью циркуля и линейки)

27. Объясните, как построить середину данного отрезка. .(с помощью циркуля и линейки)

28. Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка называются параллельными?

29. Что такое секущая? Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей. Уметь их построить , показать и обозначить.

30.Сформулируйте признаки параллельности прямых ?

31.Что такое аксиома? Приведите примеры. Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

32. Какая теорема называется обратная данной теореме? Приведите примеры теорем, обратных данным.

33.Сформулируйте теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

34.Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника.

35.Какой угол называется внешним углом треугольника? Уметь его строить. Сформулируйте, чему равен внешний угол в треугольнике.

36. Какой треугольник называют остроугольным? Какой треугольник называется тупоугольным? Уметь их строить.

37. Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются стороны прямоугольного треугольника?

38. Сформулируйте соотношения между сторонами и углами. Почему в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета?

39.Сформулируйте теорему о неравенстве треугольника.

40. Сформулируйте некоторые свойства прямоугольных треугольников.

41. Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников.

42. Что называется расстоянием от точки до прямой?

43.Что называется расстоянием между двумя параллельными прямыми?

44.Объясните, как построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

45. Объясните, как построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

46. Объясните, как построить треугольник по трём сторонам. Всегда ли эта задача имеет решение?

Учитель раскладывает билеты на парте. Учащиеся в количестве 7 человек заходят в класс и выбирают билет и отдельно выбирают задачу. Садятся за парты готовятся. Затем по одному подходят и рассказывают свои вопросы из билета и решение задачи. Учитель может задать дополнительные вопросы , что бы проверить знания учащихся.

Билеты для зачета.

Билет №1. 1.Понятие прямой. Сколько прямых можно провести через две точки? Сколько общих точек могут иметь две прямые?

2. Сформулируйте первый признак равенства треугольников.

3. Задача

Билет №2. 1. Что такое отрезок? Начертить, обозначить и объяснить? Какая точка называется серединой отрезка?

2. Сформулируйте второй признак равенства треугольников.

3.Задача

Билет №3. 1. Что такое луч? Как обозначаются лучи?

2. Какой треугольник называется равнобедренным? Уметь его строить.

Как называются его стороны? Сформулировать основные свойства равнобедренного треугольника.

3.Задача

Билет №4. 1.Как сравнить два угла? Какой луч называется биссектрисой угла? Какой угол называется острым? прямым? тупым?

2.Сформулируйте третий признак равенства треугольников.

3.Задача

Билет №5. 1.Какие углы называются смежными? Чему равна сумма смежных углов? Уметь их строить.

2.Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка называются параллельными?

3.Задача

Билет №6. 1.Какие углы называются вертикальными? Каким свойством обладают вертикальные углы? Уметь их строить.

2.Сформулируйте признаки параллельности прямых ?

3.Задача

Билет №7. 1. Какие прямые называются перпендикулярными? Уметь их строить Объясните, почему две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются?

2. Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников.

3.Задача

Билет №8. 1.Объясните, какая фигура называется треугольником. Начертите треугольник и покажите его стороны, вершины и углы. Что такое периметр треугольника? Какие треугольники называются равными?

2.Что такое определение? Дайте определение окружности. Что такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности?

3.Задача

Билет№9. 1. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник? Уметь их строить.

2. Какой угол называется внешним углом треугольника? Уметь его строить. Сформулируйте, чему равен внешний угол в треугольнике.

3.Задача

Билет № 10. 1. Сформулируйте теорему о неравенстве треугольника.

2. Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник? Уметь их строить.

3.Задача

Билет № 11. 1.Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника.

2.Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник? Уметь их строить.

3.Задача

Билет № 12. 1. Объясните, как отложить от данного луча в данную плоскость угол, равный данному.(с помощью циркуля и линейки)

2. Какой треугольник называется равносторонним? Уметь его строить.

3.Задача

Билет №13. 1. Объясните как построить биссектрису данного угла.( с помощью циркуля и линейки)

2. Что называется расстоянием от точки до прямой?

3.Задача

Билет № 14. 1. Объясните, как построить середину данного отрезка. .(с помощью циркуля и линейки)

2. Сформулируйте соотношения между сторонами и углами. Почему в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета?

3.Задача

Билет №15. 1. Объясните, как построить прямую, проходящую через данную точку, лежащую на данной прямой, и перпендикулярную к этой прямой. .(с помощью циркуля и линейки)

2. Сформулируйте некоторые свойства прямоугольных треугольников.

3.Задача

Билет № 16. 1. Объясните, как построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

2. Что такое аксиома? Приведите примеры. Сформулируйте аксиому

параллельных прямых.

3.Задача

Билет № 17. 1. Сформулируйте теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

2. Объясните, как построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

3.Задача

Билет № 18. 1. Что называется расстоянием между двумя параллельными прямыми?

2. Объясните, как построить треугольник по трём сторонам. Всегда ли эта задача имеет решение?

3.Задача

Билет №19. 1. Что такое секущая? Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей. Уметь их строить , показывать и обозначать.

2. Какая фигура называется углом? Объясните, что такое вершина и стороны угла.

3.Задача

Билет № 20. 1. Какая теорема называется обратная данной теореме? Приведите примеры теорем, обратных данным.

2. Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются стороны прямоугольного треугольника?

3. Задача

Билет № 21. 1. Какой треугольник называют остроугольным? Какой треугольник называется тупоугольным? Уметь их строить.

2. Какие фигуры называются равными?

3.Задача

Задачи к зачету по геометрии 7 класс.

Задача №1. В равнобедренном треугольнике угол при основании в 2 раза меньше, чем угол при вершине. Найдите все углы треугольника.

__________________________________________________________

Задача №2. Высота АD равностороннего треугольника ВАС с основанием ВС равна 10 см, периметр треугольника АDС равен 70 см. Найдите периметр треугольника АВС.

__________________________________________________________

Задача №3. Первый угол треугольника равен 40градусов, а второй больше третьего на 16 градусов. Найдите эти углы треугольника.

__________________________________________________________

Задача №4. В равнобедренном треугольнике периметр равен 150 см, боковая сторона больше основания на 15 см. Найдите все стороны треугольника.

__________________________________________________________

Задача №5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 42 см. Найдите высоту проведённую из вершины прямого угла.

__________________________________________________________

Задача №6. В равнобедренном треугольнике внешний угол при вершине равен 40 градусов. Найдите углы этого треугольника.

__________________________________________________________

Задача №7. В равнобедренном треугольнике СDЕ с основанием СЕ проведена биссектриса СF. Найдите угол ЕСF, если угол D равен 54 градуса.

__________________________________________________________

Задача №8. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусов, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 30 см. Найдите гипотенузу треугольника.

__________________________________________________________

Задача №9. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 110 градусов. Найдите все углы данного треугольника.

__________________________________________________________

Задача №10. Периметр равнобедренного треугольника равен 65 см, его боковая сторона на 5 см меньше основания. Найдите стороны треугольника.

__________________________________________________________

Задача №11. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 77 см, а одна из его сторон больше другой на 17см. Найдите стороны этого треугольника.

__________________________________________________________

Задача №12. Сумма вертикальных углов АОВ и СОD, образованных при пересечении прямых АD и ВС, равна 108 градусов. Найдите угол ВОD.

_________________________________________________________

Задача №13. В остроугольном треугольнике МNP биссектриса угла М пересекает высоту NК в точке О. причём ОК равно 9 см.

Найдите расстояние от точки О до прямой МN.

__________________________________________________________

Задача №14. Отрезки АВ и СD- диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника АОD, если хорда СВ равна 10 см, диаметр АВ равен 12 см.

__________________________________________________________

Задача №15. Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна 296 градусов.

___________________________________________________

Задача №16. Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Найдите угол СОВ, если угол АОВ равен 110 градусов, а угол АОС на 18 градусов меньше угла ВОС.

__________________________________________________________

Задача №17. Углы треугольника относятся как 2: 3: 4. Найдите их градусные меры.

__________________________________________________________

Задача №18. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС равно 38 см внешний угол при вершине В равен 60 градусов. Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ.

__________________________________________________________

Задача №19. Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой в 2 раза больше другого. Найдите остальные углы.

___________________________________________________

Задача №20. Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой на 20 градусов меньше другого. Найдите остальные углы.

___________________________________________________

Задача №21. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС равно 42см, внешний угол при вершине С равен 120 градусов. Найдите боковые стороны треугольника АВС.

__________________________________________________________

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/457480-zachet-po-geometrii-7-klass-k-uchebniku-atana

9. Углы | учебник для 7 класса «ГЕОМЕТРИЯ»

Рассмотрим два луча с общей вершиной (рис. 9.1) Они разби­вают плоскость на две части.

Фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной и одной из частей плоскости, ограниченной этими лучами, называется углам. Общая вершина лучей называется вершиной угла, а сами лучи — сто­ронами угла.

Угол обозначается или одной буквой, указывающей его верши­ну, или тремя буквами, средняя из которых указывает вершину угла, а крайние- какие-нибудь точки на сторонах угла. Например, <A, <AOB и т. д. Иногда углы обозначаются цифрами, например, <1, <2 ит. д.

Точки угла, не принадлежащие его сторонам, называются внут­ренними. Лучи, исходящие из вершины данного угла и проходящие через внутренние точки угла, называются внутренними.

На рисунке 9.2 изображён угол АОВ. Точки С и D — его внут­ренние точки, лучи ОС и OD- его внутренние лучи.

Угол называется развёрнутым, если его стороны вместе со­ставляют прямую (рис. 9.3, а). В противном случае угол называется не­развёрнутым.

Неразвёрнутый угол может быть меньше развёрнутого, т. е. яв­ляться частью развёрнутого угла (рис. 9.3, 6), или быть больше развёр­нутого, т. е. содержать развёрнутый угол (рис. 9.3, в).

Как правило, если не оговорено противное, мы будем рассмат­ривать углы, меньшие развёрнутых.

Два угла называются смежными, если одна сторона у них об­щая, а две другие составляют вместе прямую (рис. 9.4, а).

Два угла называются вертикальными, если стороны одного уг­ла дополняют до прямых стороны другого угла (рис. 9.4, 6).

Вопросы

Задачи

1.        Изобразите лучи ОА, ОB, ОС, OD так, чтобы: а) луч ОС лежал внутри угла AОВ, а луч OD лежал внутри угла ВОС\ б) луч О А лежал внутри угла ВОС, а луч ОС лежал внутри угла AOD.

2.                    Сколько всего углов, меньших развёрнутого, определяется лучами, изображёнными на рисунке 9.5? Назо­вите их.

3.                    Сколько имеется углов, смеж­ных данному?

4.                    Сколько имеется углов, верти­кальных с данным?

6.        По рисунку 9.6 запишите пары вертикальных углов.

7.        На прямой отмечены: а) 2 точки; б) 3 точки; в) 4 точки; г)*«точек. Сколько получилось развёрнутых углов с вершинами в этих точках?

8.        На сколько частей делят плоскость: а) два луча с общей вершиной; б) три луча с общей вершиной; в) четыре луча с общей вершиной; г) « лучей с общей вершиной?

Второй признак равенства треугольников. Решение задач

1. Второй признак равенства треугольников

Решение задач

2. Что такое луч? Как обозначаются лучи?

3. Что называется биссектрисой угла?

4. Какие прямые называются перпендикулярными? Как обозначаются перпендикулярные прямые?

5. Какой угол называется прямым?

6. Какие углы называются смежными?

7. Какие углы называются вертикальными?

8. Сформулируйте первый признак равенства треугольников?

9. Второй признак равенства треугольников

(признак равенства треугольников по
стороне и прилежащим к ней углам)

10. Второй признак равенства треугольников (теорема 3.2)

11. Второй признак равенства треугольников

• Если сторона и прилежащие к ней
углы одного треугольника равны
соответственно стороне и
прилежащим к ней углам другого
треугольника, то такие
треугольники равны.

12. Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 АВ = А1В1, угол А равен углу А1, угол В равен углу В1

Доказать: ΔАВС = ΔА1В1С1

13. Доказательство

14. Доказательство

15. Доказательство

16. Доказательство

17. Доказательство

18. Задача

• Отрезки АВ И СD
пересекаются в
точке О. Докажите
равенство
треугольников
АСО и DВО, если
известно, что угол
ВАО равен углу
DСО.

19. Решение:

• Отрезок АО равен
отрезку СО по
условию.

20. Решение:

• Угол ВАО равен
углу DСО по
условию.

21. Решение:

• Углы АОВ и DОС
равны как
вертикальные.

22. Решение:

• Значит,
треугольники АСО
и DВО равны по
стороне и
прилежащим к
ней углам.

24. Задача


Дано: МК ┴ АВ,
Угол АМК равен
углу ВМК
Доказать:
ΔАМК = ΔВМК

25. Решение:

Сторона КМ – …
общая.

26. Решение:

Угол АКМ равен углу
ВКМ, так как …
МК┴АВ

27. Решение:

Угол АМК равен углу
ВМК …
по условию

28. Решение:

Треугольник АКМ
равен треугольнику
ВКМ по второму
признаку равенства
треугольников.

29. Задача

• В треугольниках
АВD и СDВ угол
АВD равен углу
СDВ, угол АDВ
равен углу СВD,
АВ = 6см, АD =
9см. Найдите
стороны ВС и СD.

30. Задача

• Назовите треугольники, равные треугольнику
АВС, и укажите признак, по которому они
равны.

31. Поставьте себе оценку за работу на уроке

32. Домашнее задание: в. 1-2, № 5

До новых встреч!

определение, примеры решения и свойства

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла). Плоскость, содержащая обе стороны угла, делится углом на две области.

Содержание:

  1. Луч
  2. Понятие угла
  3. Измерение углов
  4. Равенство углов. Биссектриса угла
  5. Смежные углы
  6. Вертикальные углы

Луч

На рисунке 2.47 изображена прямая , на ней отмечена точка В, которая разделяет прямую на три части:

1)    первая состоит из точек, лежащих левее точки В;

2)    вторая состоит из самой точки В;

3)    третья состоит из точек, лежащих правее точки В.

Объединение первого или третьего множеств с точкой В называется лучом или полупрямой. Таким образом, точка В определила на прямой два луча.

Точка В называется началом каждого из этих лучей или начальной точкой полупрямой.

Луч обозначается латинскими буквами: одной строчной (например, на рис. 2.48) или двумя заглавными, одна из которых обозначает начало луча, а вторая — какую-либо точку на луче (например, луч ВС на рис. 2.49).

Полупрямые прямой , на которые она разбивается точкой В, называются дополнительными.

В повседневной жизни мы часто употребляем понятие направления: направление движения пешехода или автомобиля, направление удара мяча в

футбольном матче, направление полета самолета или ракеты и т. д.

При задании направления используют понятие луча. В геометрии считают, что направление задается лучом, а определить понятие «направление» можно как множество лучей, сонаправлен-ных (одинаково направленных) с данным (рис. 2.50).

1.    Если два луча лежат на одной прямой, то будем считать их одинаково направленными, если один из них содержится в другом, и противоположно направленными, если один из них не содержится в другом.

2.    Если два луча параллельны, но не лежат на одной прямой, то проведем через их начала плоскость, которая разделит пространство на два полупространства. Если лучи лежат в одном из этих полупространств, то они сонаправлены (рис. 2.51). Если же лучи лежат в разных полупространствах, то они противоположно направлены (рис. 2.52).

Понятие угла

На рисунке 2.53 два луча OA и ОВ имеют общее начало. Эти два луча с общим началом всегда лежат в одной плоскости.

При таком расположении лучи разбивают плоскость, которую они образуют, на две части (рис. 2.54). Эти части плоскости вместе с образовавшими их лучами в геометрии называются углами.

Определение. Углом называется фигура, состоящая из двух различных лучей с общим началом и ограниченной ими части плоскости.

На рисунке 2.54 лучи OA и ОВ имеют общее начало — точку О и разбивают плоскость на две части. Исходя из определения угла, получили два различных угла.

Точка, из которой выходят ограничивающие угол лучи, называется вершиной угла, а сами лучи — сторонами угла (рис. 2.55). Лучи OA и ОС на этом рисунке определяют два угла.

Весь угол изобразить на рисунке нельзя, как нельзя на рисунке изобразить весь луч. Каждый угол в действительности продолжается бесконечно. На рисунке 2.56 выделены только части изображенных углов.

Слово «угол» иногда заменяют знаком . Часто при изображении угла чертят только выходящие из вершины начальные участки его сторон, а ту часть, которую хотят указать, обозначают дужкой (рис. 2.57)

Угол обозначается или одной заглавной буквой, поставленной у вершины угла, например: (рис. 2.57), или тремя буквами, из которых одна ставится при вершине угла, а две другие — у каких-нибудь точек сторон, например: (рис. 2.57). Буква, стоящая при вершине угла, всегда записывается между двумя другими буквами. Иногда угол обозначают цифрой, поставленной внутри угла (рис. 2.58).

Для изучения свойств углов используется понятие луча, проходящего между сторонами угла.

Определение. Луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла.

На рисунке 2.59 луч ОВ проходит между сторонами угла АОС, так как он исходит из вершины угла АОС и пересекает отрезок MP. Концы отрезка MP лежат на сторонах угла АОС.

Возьмем луч АС (рис. 2.60) и будем поворачивать его вокруг точки А против часовой стрелки, например, до положения АВ, тогда его последовательные положения «заметут» угол со сторонами АС и АВ.

Продолжая вращать луч в том же направлении, мы будем получать все новые и новые углы. В определенный момент оба луча составят прямую линию (рис. 2.61). Такой угол называется развернутым углом.

Развернутый угол есть часть плоскости, ограниченная прямой, т. е. полуплоскость (рис. 2.62). Сторонами развернутого угла являются две дополнительные полупрямые.

Определение. Развернутым углом называют угол, стороны которого являются дополнительными полупрямыми одной прямой.

Если продолжить вращение луча дальше, чем показано на рисунке 2.62, то будут получаться новые углы (рис. 2.63), пока луч не вернется в свое первоначальное положение (рис. 2.64).

Самый большой возможный угол, полученный в ходе вращения луча, называется полным углом. Полный угол, в сущности, есть вся плоскость (рис. 2.65), а не ее часть, ограниченная двумя лучами.

Измерение углов

Каждый угол характеризуется его величиной, которая называется градусной мерой угла. Измерение углов осуществляется аналогично измерению отрезков — оно основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения. Обычно за единицу измерения углов принимают градус — угол, равный части развернутого угла. Градус обозначают знаком .

Градусную меру часто называют просто величиной угла. Величина угла, равного  части градуса, называется минутой и обозначается знаком , часть минуты называется секундой и обозначается знаком . Например, угол в 60 градусов 32 минуты 17 секунд записывается так: 60°32’17».

Так как градус составляет часть развернутого угла, развернутый угол равен 180°.

Определение. Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле, называют градусной мерой угла.

В зависимости от градусной меры углы бывают трех видов: острые, прямые и тупые.

Определение. Угол, равный 90°, называют прямым углом. Прямой угол обозначается буквой d. Угол, меньший 90°, называют острым углом. Угол, больший 90°, называют тупым углом.

Градусные меры угла обозначаются или так же, как сами углы, или буквами греческого алфавита. Например, запись читается: величина (или градусная мера) угла АОВ равна 45 градусам. На рисунке 2.66 величина острого угла записана: , читаем: величина угла меньше 90 градусов. Аналогично записываются и читаются величины прямого и тупого углов (рис. 2.67, 2.68).

Основные свойства измерения углов

Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Например, на рисунке 2.69 луч ОС проходит между сторонами угла АОВ, градусная мера угла АОВ равна сумме градусных мер углов АОС и СОВ, то есть

Для измерения градусных мер углов (величин углов) на уроках геометрии применяется транспортир (рис. 2.70). На рисунке 2.71 показано, как с помощью транспортира можно измерять угол в 30°, 90°, 120°. На рисунке 2.72 показано, как с помощью транспортира можно отложить от полупрямой OA в верхнюю полуплоскость угол с данной градусной мерой 60°.

Пример: 

Между сторонами угла COD, равного 120°, проходит луч OA. Найдите углы СОА и AOD, если их градусные меры относятся как 4:2.

Решение: 

Из условия задачи имеем:

1.    

2.    Луч OA проходит между сторонами угла COD.

3.    

Найдите градусные меры углов СОА и AOD.

4.     (2, свойства измерения углов).

5.    Так как градусные меры углов СОА и AOD относятся как 4:2, то можно считать, что состоит из 6 частей (1, 2, 3, 4).

6.    

Равенство углов. Биссектриса угла

Как и при определении равенства отрезков, рассматриваются два определения равенства углов.

Определение. Углы равны, если равны их градусные меры.

На рисунке 2.73 изображены два угла ABC и DEM, величины которых равны, а значит, по определению, эти углы равны. Равенство углов обозначается так:

Определение. Углы называются равными, если их можно совместить наложением друг на друга.

Развернутые углы при наложении всегда могут быть совмещены. Отсюда следует, что все развернутые углы равны между собой. Полные углы равны между собой.

Пусть есть два угла: (рис. 2.74). Если угол 1 наложить на угол 2 так, чтобы их вершины совпали, одна из сторон угла 1 совместится со стороной угла 2, но при этом угол 1 составит только часть угла 2 (рис. 2.75). В этом случае говорят, что величина угла 1 меньше величины угла 2. Можно сформулировать по-другому: угол 1 меньше угла 2.

Используя понятие равенства углов, можно дать определение одному из важных понятий геометрии — биссектрисе угла.

Определение. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

На рисунке 2.76 луч ОМ — биссектриса угла АОВ, при этом

Смежные углы

Определение. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

На рисунке 2.77 являются смежными, так как лучи OA и ОС — дополнительные полупрямые, а луч ОВ — общая сторона этих углов.

Теорема 4.

Сумма смежных углов равна 180°.

Из теоремы 4 вытекают следующие следствия — свойства смежных углов.

Следствие 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Следствие 2. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Следствие 3. Угол, смежный с острым, является тупым, а смежный с тупым — острым.

Вертикальные углы

На рисунке 2.78 изображены две пересекающиеся в точке О прямые АВ и CD. При пересечении этих прямых образовалось четыре угла:

Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

На рисунке 2.78 углы 1 и 3, 2 и 4 вертикальные.

Теорема 5.

Вертикальные углы равны.

Очевидно, что две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Смежные углы дополняют друг друга до 180°. Угловая мера меньшего из них называется углом между прямыми.

Пример:

На рисунке 2.79 угол COD равен 30°. Чему равны углы АОК и DOK?

Решение: 

Из условия задачи имеем:

1.    Прямые СК и AD пересекаются в точке О.

2.    (рис. 2.79)

3.    Найдите углы АОК и DOK.

4.    Углы COD и АОК вертикальные (1, определение вертикальных углов).

5.     (2, свойство вертикальных углов).

6.    Угол DOK смежный с углом COD (1, определение смежных углов).

7.     (6, свойство смежных углов).

 

 

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Геометрическое построение диаграмм лучей

Популярный метод представления последовательности распространяющихся световых волн включает применение геометрической оптики для определения размера и местоположения изображений, формируемых линзой или системой с несколькими линзами. В этом руководстве показано, как два репрезентативных световых луча могут установить параметры сценария визуализации.

В учебном пособии представлены следы трехкомпонентных световых лучей, принадлежащих наклонной волне, проходящей через идеальную линзу без аберраций.Высота (и размер) объекта ( h’ ) и изображения ( h ) управляются ползунком Object Height , который можно использовать для регулировки относительной высоты объекта и изображения. Регулировка высоты объекта приведет к незначительным колебаниям увеличения изображения из-за ограничений алгоритмов, используемых при построении учебного пособия. Положение фокусной точки можно изменить, переместив ползунок Фокусное расстояние влево (короткие фокусные расстояния) или вправо (большие фокусные расстояния).Перемещение этого ползунка одновременно изменяет положение передней ( F’ ) и задней ( F’ ) точек фокуса, которые лежат на оптической оси линзовой системы в пространстве объекта и пространстве изображения соответственно. Увеличение изображения также зависит от положения фокуса.

Положения объекта и изображения по отношению к объективу и точкам фокусировки контролируются ползунком Object Position , который одновременно вызывает изменение увеличения.Главные плоскости, проходящие через центр линзы, можно перемещать в небольшом диапазоне вдоль оптической оси с помощью ползунка Principal Planes . Важные взаимосвязи, включая уравнение производителей линз (см. ниже) и боковое увеличение , рассчитываются и отображаются в окне обучения по мере настройки параметров управления.

Два репрезентативных световых луча, один параксиальный и один, проходящий через центр линзы (главный луч ), используются для определения параметров ситуации изображения.Во многих учебниках по гауссовой оптике эти световые лучи называются характеристическими лучами , причем основным лучом является тот, который проходит через центр входного и выходного зрачков, линзу и любую апертурную диафрагму, присутствующую в оптической системе. Часто главный луч упускается из рассмотрения, а характерные лучи, проходящие через передний и задний фокусы линзы, используются для определения размера и местоположения объекта, изображения. В учебном пособии второй характеристический луч показан как линия трассировки луча, проходящая через передний фокус ( F’ ) объектива.

Объект расположен на расстоянии a слева от линзы, в области, известной как пространство объекта. Отдельный световой луч, обозначенный линией, исходящей из верхней части объекта и пересекающей оптическую ось в фокусе со стороны объекта ( F’ ), преломляется обеими поверхностями линзы и выходит параллельно оптической оси. . Продолжения преломленного и падающего луча пересекаются на поверхности внутри линзы, расположенной на расстоянии и от предмета.Эта поверхность известна как первая или основная поверхность со стороны объекта и обозначена в учебнике как P’ . Самый верхний световой луч, идущий от объекта в направлении, параллельном оптической оси, преломляется линзой и проходит через фокальную точку со стороны изображения ( F ). Продолжения преломленного и падающего луча пересекаются на основной поверхности со стороны изображения (обозначенной как P в учебном окне) внутри линзы на расстоянии b от изображения.Вблизи оси линзы поверхности P’ и P аппроксимируют плоские поверхности и известны как главных плоскостей линзы. Пересечения этих плоскостей с оптической осью линзы называются главными точками .

Другим набором точек, используемых для определения параметров линзы, являются узловые точки , которые возникают там, где продолжения косых световых лучей, проходящих через линзу, пересекают оптическую ось.Узловые точки в руководстве не показаны, но они расположены очень близко к основным точкам линзы. Таким образом, три пары точек, фокальные точки линзы ( F и F’ ), главные плоскости ( P’ и P ) и главные узлы лежат на оптической оси линзы. Если известно расположение фокальных точек и либо главных точек, либо узловых точек, то геометрическое построение траекторий лучей для выяснения параметров объекта и изображения может быть предпринято без учета преломления световых лучей на каждой поверхности линзы.В результате можно смоделировать любую систему линз, используя только фокальные точки и главные плоскости, рисуя следы лучей, как если бы они встречались с первой главной плоскостью, двигались параллельно оптической оси и выходили из второй главной плоскости без преломления.

Обратите внимание, что расстояние a больше, чем переднее фокусное расстояние объектива, F’ в учебнике. В этих условиях перевернутое изображение затем формируется в пространстве изображения на расстоянии b справа от линзы.Длина b больше, чем заднее фокусное расстояние объектива F , которое связано с расстояниями a и b уравнением :

Высота изображения обозначается величиной h’ и представляет собой увеличение размера в результате увеличения объекта или образца, расположенного перед линзой и имеющего высоту h’ . Боковое увеличение , M этой простой линзы (которая приближается к тонкой линзе Гаусса) выражается уравнением :

Поскольку объект и изображение лежат в сопряженных плоскостях, точки на изображении будут сфокусированы линзой в соответствующих точках на объекте.Тогда фокусное расстояние будет представлено как F’ , а увеличение ( M ) инвертировано в 1/M из-за уменьшения размера изображения при рассмотрении обратной ситуации.

Отношение расстояний между двумя точками изображения вдоль оптической оси на стороне объекта линзы и двумя сопряженными точками на стороне изображения известно как продольное или осевое увеличение . Величина продольного увеличения равна квадрату поперечного увеличения для малых расстояний от плоскости изображения.Все компоненты изображения в оптическом микроскопе подчиняются основным геометрическим соотношениям, описанным выше. Сюда входят собирающая линза, конденсор, объектив, окуляры (в проекционном режиме), камера и человеческий глаз.

Набор решений — геометрическая оптика

Ответы — Геометрическая оптика


Примечание которые я использовал :

   s o = расстояние до объекта,  s i = расстояние до изображения,
   Θ i для падающего луча Θ r для отраженного луча Θ t для прошедшего луча.

1.

Угол падения Θ i угол между падающим лучом и нормалью N. угол отражения Θ r угол между отраженным лучом и нормалью N. угол преломления (пропускания) Θ t угол между преломленным лучом и нормалью N’.

2.

Когда луч света падает на поверхность нормально, угол между падающий луч и нормаль равны 0, поэтому Θ i = 0. Поскольку угол отражения равен углу падение, Θ r = 0.По закону Снелла n i sin Θ i = n t sin Θ t . Для любого значения n i и n t, , если Θ i = 0, Θ t = 0,

3.

  1. Угол падения, угол между падением луч, а нормальное значение N равно 45 o .Поскольку угол отражения равен углу падения, угол отражения 45 o .
  2. По закону Снелла
            n i грех Θ я = n t sin Θ t
    1,00 sin 45 o = 0,707 = 1,50 sin Θ t .
    sin Θ т = 0,707/1.50 = 0,471. Θ т = 28 или

4.

Луч 1, обозначенный одной стрелкой, попадает в зеркало нормально и отражается обратно на себя, как показано на рис. 4.

Луч 2, обозначенный двумя стрелками, падает на зеркало под некоторым углом инцидента больше нуля и отражается обратно в то же самое угол.Если вы разгоните отраженные лучи за зеркалом, вы обратите внимание, что они встречаются в точке, которую я для изображения обозначил буквой I.

Большой глаз вверху рисунка видит два отраженных лучи, как если бы они возникли на изображении. Другими словами, если вы смотрите вдоль двух отраженных лучей, они кажутся исходить из образа. Этот образ называется виртуальным, потому что лучи на самом деле не встречаются в этой точке.

Расстояние объекта О от зеркала, с o , называется расстоянием до объекта, а расстояние до изображение I из зеркала, s i ,  есть называется расстоянием изображения. Если вы измерите их или используете геометрию чтобы вычислить расстояние s i , вы обнаружите, что s i равно s o для плоского зеркала.

По геометрии,

М 1 ОМ 2 = Θ i  (альтернативный внутренние углы),
OIM 2 = Θ r  (два параллельные линии, пересекаемые линией),
а угол падения = углу отражения.
Треугольники OM 1 M 2 и IM 1 M 2  являются равны (все углы равны и имеют общую сторону).
Таким образом, s o = s i .

5.

Использование закона Снеллиуса для нахождения угла преломления, 1,00 сина 37 или = 1.50 sin Θ т .
Θ t = 23,6 o .

Угол передачи и угол падения на границы между стеклом и воздухом равны (линия разреза двумя параллельными линиями). Поскольку Θ я = 23,6 o на границе стекло-воздух = Θ t на начальной границе воздух-стекло угол преломления на границе стекло-воздух составляет 37 o по закону Снеллиуса.

Я зачеркнул падающий луч, чтобы показать вам, что для параллели пластины, преломленный луч параллелен падающему лучу. Это говорит вам о том, что для очень тонкой параллельной пластины луч проходит без каких-либо отклонений, как с тонкой линзой.

6.

Используя закон Снеллиуса,

    n i sin Θ i = n t sin Q t .
На первом интерфейсе
1(sin 50 o ) = 1,532 sin Θ t
sin Θ t = 0,766/1,532 = 0,500. Θ т = 30 о .
На втором интерфейсе, когда световой луч идет от стекло обратно в воздух, Θ’ i = 30 о . Сейчас Θ’ т = 50 или .Ход луча показан на рис. 6 выше.

Для 1 sin 50 o = n’ sin Θ , с n’ меньше 1,532, Θ t будет больше 30 o . Свет для λ’ будет меньше наклоняться к нормали. Когда луч идет от призма обратно в воздух, n’ sin Θ’ i = 1 (sin Θ’ t ) и световой луч будет меньше отклоняться от нормали, чем свет для λ.Общая Эффект заключается в том, что свет с длиной волны λ’ имеет меньшее отклонение от исходного направления падающий луч, чем свет с длиной волны λ.

7.

  1. Угол преломления Θ t = 90 или .
  2.      n i sin Θ i = n t sin Θ t
    n i sin 48,6 o = 1,00 (sin 90 o )
    n /1 3 = / 3
  3. Для Θ и = 60 o , 4/3 sin 60 o = (1,00) sin Θ t .
    sin Θ t = 4/3 (0,866) = 1.15, что невозможно, поскольку максимальное значение синуса равно 1. Что происходит, так это то, что луч полностью внутренне отражается, как показано на рис. 7 выше, с лучами с двумя стрелками.

8.

  1. Из геометрии призмы мы видим, что Θ 1 = 60 o и Θ 3 = 30 о .
    (В треугольнике PBN 180 o = (30 o + 30 o + 90 o + Θ 3 ).
    Из закона Снелла,
         1,655 sin Θ 3 = 1,333 sin Θ 4
    (1,655)(0,5000) = 1,333 sin Θ 4
    Θ 4 = 38,4 o .

  2. Полное внутреннее отражение происходит, когда 1.655 sin Θ 1 > n микс sin 90 o .
    Полное внутреннее отражение прекращается, когда 1,655 sin 60 o = n смесь sin 90 o = (n смесь )(1). n смесь = 1,655 (0,866) = 1,433.

9.

n i sin Θ 1 = n t sin Θ t . Θ я = 90 o — 28 o = 62 o.
1,00 sin 62 o = 1,33 sinΘ t .
sinΘ t = 1,00(0,883)/1,33 = 0,664.
Θ t = 41,6 o . тангенс Θ t = 0.888 = 3,0 м/ч.
ч = 3,38 м.

10.

Луч 1 (обозначен одной стрелкой на рис. №10) с нуля при O попадает на поверхность скольжения нормально под углом падения 0 o и продолжается в воздухе без преломления.

Луч 2 (обозначен двумя стрелками) падает на поверхность скольжения под углом Θ i и передается под углом Θ t . Камера или глаз видит эти два луча так, как если бы они расходится с изображением I.

Из геометрии рисунка видно, что tan Θ t = x/d’ и тангенс Θ i = х/д.

Из закона Снелла,

n i sin Θ i = n t sin Θ t .
Для sin Θ примерно равный tan Θ, коэффициент Снеллиуса закон становится
n i желто-коричневый Θ i = n t тангенс Θ t .
или , начиная с загара Θ t = x/d’ и тангенс Θ i = x/d, n i x/d = n t x/d’.
Таким образом, n i / n t = d/d’.

Установка n t = 1,00, d = 500 мкм и d’ = 500 мкм — 120 мкм = 380 мкм,
n i /1 = 500 мкм/380 мкм = 1,32.

11.

п я грех Θ я = n t sin Θ t . Для луча, падающего в вершину полуокружности (рис.9),
n i = 1, n t = 4/3, и Θ i = 53 или .

Из закона Снелла,

(1) sin 53 o = 4/3 sin Θ t или
(1)(4/5) = 4/3 sin Θ t ,
sin Θ t = 3/5 и Θ т = 37 о .
Прошедший луч проходит по радиусу, попадает на границу раздела между «водой и воздухом» обычно, а переживания нет преломления, когда он уходит в воздух.

12.

  1. Исходя из геометрии рис. 10 выше, угол падения на границе призмы и воздуха 45 o . Для минимального показателя преломления n p призмы, n p sin 45 o = n воздух sin 90 или   или n p = 1/sin 45 o = 1.41.
  2. Если показатель преломления слишком мал, луч будет №3, так как он отклоняется от нормали. Рэй 1 — это нормаль, а луч 2 изгибается к нормали.

13.


  1. 1/с i = 1/f — 1/с o = 1/10 см — 1/30 см = (3 — 1)/30 см.
    с и = 15 см.
    м = -с i о = -15 см/30 см = -1/2.
    Изображение реальное, перевернутое и уменьшенное.
  2. 1/с i = 1/f — 1/с o = 1/10 см — 1/15 см = (3 — 2)/30см.
    с и = 30 см.
    м = -с i о = -30 см/15 см = -2.
    Изображение реальное, перевернутое и увеличенное.
  3. 1/с i = 1/f — 1/с o = 1/10 см — 1/5 см = (1 — 2)/10 см.
    с i = -10 см.
    м = -с i о = +10 см/5 см = +2.
    Изображение виртуальное, прямое и увеличенное.

14.

  1. 1/с i = 1/f -1/с o = 1/10 см -1/30 см = — (3 + 1)/30 см.
    с I = -7,5 см.
    м = -с i o = — (-7,5 см)/20 см = +0,25.
    Изображение мнимое, вертикальное, уменьшенное.
  2. 1/с i = 1/f -1/с o = 1/10 см -1/5 см = — (1 + 2)/10 см.
    с I = -10/3 см.
    м = -с i o = — (-10/3 см)/5 см = +2/3.
    Изображение мнимое, вертикальное, уменьшенное. См. лучевую диаграмму на рисунке выше.

15.


С одной собирающей линзой виртуальный изображение никогда не инвертируется, поэтому изображение в этой задаче должно быть настоящий.

Величина увеличения = 3,0 см/1,0 см = s i /s o или
s i /100 см = 3   и s i = +300 см, так как это реальное изображение.1/с или + 1/s i =
1/100 см + 1/300 см = 4/300 см = 1/ф. ф = 75 см.

16.


6,0 см/2,0 см = s i /s o = s i /8,0 см или звездная величина s i = 24 см.
Поскольку это виртуальное изображение, мы берем s i = -24 см.
1/с o + 1/с i = 1/8,0 см — 1/24 см = (3 — 1)/24 см = 1/12 см = 1/ф.
ф = 12 см.

17.


Величина увеличения = 95/5 =19 = с i / с о   или 19s o = s i    (уравнение 1)

Для проектора изображение настоящее.с или + s i = 4,00 м = 400 см.     (Уравнение 2)

Подставляя уравнение. 1 в уравнение 2:
с о + 19 с о = 20 с о = 400 см.
с о = 20 см; s i = 380 см.
1/с o + 1/с i = 1/20 см + 1/380 см = 20/380 см = 1/ф.
ф = 19 см.

18.


Для виртуального образа, с i < 0.  1/с o + 1/с i = 1/12 см — 1/6 см = -1/12 см = 1/ф.
ф = -12 см. f отрицательно, что соответствует расходящемуся объектив.

19.

  1. Вычислить положение первого изображения.
    1/с i1 = 1/f 1 — 1/с o1 = 1/2,0 см — 1/2,2 см. с и1 = 22 см.

    Для минимального напряжения глаз окуляр отрегулирован так, чтобы появляются параллельные лучи, и, следовательно, это изображение находится в фокусе точку окуляра (рис. № 19). Полное разделение линз 22 см + 2 см = 24 см.

  2. Если размер объекта равен y, реальное изображение формируется на F 2 равно y’ = y(s i1 /s o1 )
    = y(22 см/2.2 см) = 10 лет. Так как окуляр настроен для минимального напряжения зрения его увеличительная способность определяется выражением 25/ф = 25/2 = 12,5. Общая увеличивающая сила инструмент является произведением двух увеличений = M = (10)(12,5) = 125,

20.


Сначала найдите два фокусных расстояния в метрах.
f o = 40 см = 0,40 м 1/f e = 50 D = 50 м -1 .
f e = 1/50 м = 0,02 м.
M = f o /f e = 0,40/0,02 = 20.
Это маломощный телескоп, который желателен при большом участок неба должен быть просканирован.

21.

  1. 1/с i = 1/f — 1/с o = 1/10см — 1/30см = (3 — 1)/30см.
    с i = 15 см
    м = — s i o = -15/30 = -1/2.
    Изображение настоящее, перевернутое и уменьшенное.
  2. 1/с i = 1/f — 1/с o = 1/10см — 1/5см = (1 — 2)/10см.
    с i = -10 см.
    м = — с i o = — (-10 см)/5 см= + 2.
    Изображение мнимое, вертикальное, увеличенное.

    На лучевых диаграммах вогнутого зеркала (1) луч, нарисованный параллельно главной оси отражается обратно через фокус, (2) луч, проведенный через центр кривизны попадает в зеркало нормально (угол падения = 0) и отражается обратно на себя (угол отражения = 0), и 3) луч, прошедший через фокальную точку, отражается обратно параллельно главной оси.

22.

На рисунке выше параллельные лучи, падающие на сходящиеся линза проходит через ее фокальную точку F’ 1 и фокус F 2 вогнутого зеркала, ударить по зеркалу, и отражаются обратно параллельно главной оси.После возвращаясь через собирающую линзу, они проходят через ее координатор по адресу F 1 .

23.

Из геометрии рис. 11 выше,

L 1 + L 2 = (a 2 + х 2 ) 1/2 + [b 2 + (d — x) 2 ] 1/2
t = L 1 /v 54 /v 1 1 2
t = (a 2 + x 2 ) 1/2 /(c/n 1 ) + [b 2 + (d — x) 2 ] 1/2 /(c/n 2 )
dt/dx = n 1 x/c(a 2 + x 2 ) 1/2 —  n 2 (d — x)/c[b 2 + (d -x) 2 ] 1/2
Для минимума dt/dx = 0   n или
4 1 х/(а 2 + х 2 ) 1/2 = n 2 (d — x)/[b 2 + (d -x) 2 ] 1/2
n 1 sin Θ 1 = n 2 sin Θ 2

24.

Для первого изображения 1/с i1 = 1/f 1 — 1/с o1 = 1/10см — 1/15см = (3 — 2)/30см
= 1/30см. с и1 = 30 см. С расстояния 30 см от первой линзы и расстояние между линзами 20 см, изображение первой линзы (если бы второй линзы не было) образовалась бы 10 см до правой второй линзы.Мы говорим, что это расстояние до объекта для второй линзы является виртуальным и обозначим это, приняв s o2  = -10 см. потом 1/с i2 = 1/f 2 — 1/с o2 = 1/10см — (-1/10 см) = 2/10 см или s i2  = 5 см справа от второй линзы. Для первого объектива, м 1 = — s i1 /s o1 = — 30/15 = — 2.Для второй линзы m 2 = — s i2 /s o2 = — 5/(-10) = +1/2. Общее увеличение = м 1 м 2 =(-2)(1/2) = — 1.

На рис. № 24 выше луч 2 проведен из верхней части объекта. в точке O’ через центр линзы. Луч 3 проводится через фокус первой линзы F 1 и преломляется через первую линзу параллельно главной оси.Если второй линзы не было, эти два луча встретились бы в верхняя часть первого изображения I’ 1 . Любой другой луч который начинается с O’, также будет преломляться через первый объектив, поступивший на I’ 1 . Луч 4 на рис. для #24, проходящего через центр второй линзы, будет продолжайте там даже со вторым объективом. (Вы рисуете его задом наперёд. Начиная с I’ 1 нарисуйте линию, проходящую через центр второй линзы, пока она не коснется оси первый объектив.Затем проведите линию от О’ до точки, где попадает на ось первой линзы.) Луч 3, приходящий на вторая линза, параллельная главной оси, будет преломляться через фокус второй линзы. Лучи третий и четвертый встречаются в верхней части второго изображения по адресу I’ 2 . Таким образом, второе изображение выглядит так, как показано на рис. для № 24, как I 2 I’ 2 . Окончательное изображение реальный (примечание s i2 > 0), перевернутый (первая линза перевернута изображение, но вторая линза не инвертировала это изображение), поэтому конечное изображение перевернуто и имеет тот же размер, что и оригинал объект (м 1 м 2 ) = — 1.

25.


1/f красный = (n – 1)(1/R 1 + 1/R 2 ) = (1,51 – 1)(1/38 см + 1/38 см) = 0,0268 см -1
1/ф – 1/с o = 0,0268 см -1 – 1/95 см = 1/с i = 0,0163 см -1 я = 61,3 см.

1/f синий = (n – 1)(1/R 1 + 1/R 2 ) = (1,54 – 1)(1/38 см + 1/38 см) = 0,0284 см -1
1/ф – 1/с o = 0,0284 см -1 – 1/95 см = 1/с i = 0,0179 см -1 . с я = 55,9 см.

Вы можете купить камеру с акроматическим объективом, который корректирует изменение показателя преломления в зависимости от цвета.Эта проблема показывает, что цена может быть оправдана.

26.

Так как нам нужна самая дальняя точка для чтобы глаз находился в бесконечности, примем s o равным ∞. Потому что нам нужно, чтобы эти лучи появились с 4.0 м, дальняя точка, примем s i за — 4,0 м. Расстояние до изображения отрицательно, потому что лучи не действительно встречаются там, но кажутся на первый взгляд исходящими оттуда.

1/с o + 1/с i = 1/∞ + -1/4,0м = 1/ф. f = — 4,0 м. Диоптрии = 1/f = — 0,25 Д.

27.


Теперь мы хотим, чтобы лучи появились с 1,25 м при размещении объекта в принятой ближней точке 0,25 м.

s o = 0,25 м и положение виртуального изображения s i = — 1,25 м.
1/с o + 1/с i = 1/0,25 м + -1/1,25 м = 1/f.
f = +0,312 м. Диоптрии = +3,2 м -1 = + 3.2 Д.

Параксиальный луч — обзор

4.4 РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ АБЕРРАЦИИ ЗЕЙДЕЛЯ

В 1856 г. Филип Людвиг фон Зайдель опубликовал свою работу о систематическом методе вычисления аберраций третьего порядка и привел явные формулы. Эти аберрации обычно называют аберрациями Зейделя и обозначают в порядке сферичности, комы, астигматизма, Петцваля (кривизны поля) и искажения различными символами в различных книгах и статьях, таких как (a) σ 1 хотя о 5 ; (б) SC, CC, AC, PC и DC; (c) S I , S II ,… и S V ; (г) B, F, C, P и E; (E) 0 A 40 , 40 A 3 , 2 A 22 , 2 A 22 , 2 A 20 и 3 и 11 ; и другие.При использовании любой схемы вычислений для определения аберраций Зейделя следует соблюдать осторожность, чтобы понять, являются ли значения только коэффициентами, поперечными аберрациями, продольными аберрациями или волновыми аберрациями. Далее будет представлен метод вычисления коэффициентов аберрации σ 1 через σ 5 по просто маргинальным и главным параксиальным лучевым данным. Умножая эти коэффициенты на соответствующий коэффициент, можно получить поперечные, продольные и волновые аберрации, хотя часто после преобразования в поперечные, продольные или волновые аберрации используются символы σ 1 , хотя σ 5 .

Существует множество подходов к получению уравнений для расчета коэффициентов аберрации Зейделя. Используемый здесь метод соответствует методу Бухдаля, но представлен только общий подход, поскольку детали могут быть легко проработаны. Отслеживая маргинальный параксиальный луч и главный параксиальный луч, используя уравнение. (3-2), на поверхности можно показать, что

ynu¯−y¯nu=yn′u¯′−y¯n′u′

, где y¯ и u¯ представляют значения главного луча . Отсюда следует, что ynu¯−y¯nu является константой на любой поверхности.Используя уравнение (3-3) можно показать, что ynu¯−y¯nui на поверхности i th равно ynu¯−y¯nui+1 на поверхности ( i +1) th , что означает, что член также постоянен в пространстве между поверхностями. Этот термин называется оптическим инвариантом .

ЗАДАЧА: Использование уравнений. (3-2) и (3-3), показывают, что ynu¯−y¯nu инвариантно между поверхностями и в пространстве между поверхностями.

Рассмотрим теперь объект, расположенный в меридиональной плоскости и имеющий высоту H y  =  h и H x  = 0, поскольку объект не содержит аберраций.Для стигматической оптической системы высота изображения параксиального и реального луча должна быть одинаковой и относиться к высоте объекта на увеличение, то есть h ′ =  mh  =  mH y . Как указано ранее, несовершенная система будет страдать от аберрации Рэй, а поперечная аберрация Рэя дана ε y h y h ‘и ε x ≡  H x .Теперь проследите два луча от объекта, один из которых начинается у основания объекта, а другой — у головы объекта. Используя индекс o для обозначения объекта, очевидно, что λ = − hn o u o и называется инвариантом Лагранжа. Отсюда следует, что для поверхности i th ,

λi=yiniu¯i−y¯iniui=hnouo

Если изображение расположено на поверхности k th , то K = 0 и λ K K N N K U K .Как показано в предыдущей главе, увеличение боковой системы дается как

м=h′h=ноуонкук.

Используя инвариант Лагранжа, высота изображения может быть выражена через угол конечного наклона осевого луча и инвариант Лагранжа. Это просто

h′=λnkuk.

Очевидно, что инвариант Лагранжа можно использовать для формирования промежуточных изображений каждой поверхностью, составляющей систему. Другими словами, изображение, сформированное первой поверхностью объекта, становится объектом для второй поверхности, формирующей изображение, и так далее, пока не будет достигнуто окончательное изображение.

Buchdahl понял, что изображение может быть получено путем распространения поверхности изображения по поверхности с использованием инварианта Лагранжа для астигматической оптической системы. 3 Затем он определил квазиинвариант Бухдаля, определенный как

Λ≡Hnu

, где H — высота изображения реального луча в отличие от параксиального луча. В параксиальном пределе Λ уменьшается до λ . Поскольку Λ основан на реальной высоте луча на каждом промежуточном изображении, аберрация на каждой поверхности приводит к тому, что высота промежуточного изображения реального луча отличается от соответствующей высоты параксиального изображения, поэтому Бухдал назвал Λ квазиинвариантом.Теперь, поскольку высота изображения для поверхности i th совпадает с высотой объекта для поверхности ( i  + 1) th ,

H′i=Hi+1

и очевидно что

Λ′i=Λi+1

Следовательно, на конечном изображении системы, расположенном на k th поверхности (плоскость изображения),

Λ′k=Λ1+∑i=1kΔΛi

где Δ представляет собой разницу между Λ до и после преломления/отражения на поверхности.

So ΔΛ i ≡ Λ′ i  − Λ i . Используя приведенное выше определение для Λ, мы получаем

∑i=1k∆Λi=H′nkuk−Hnouo.

Ссылаясь, что H y ‘ + H ‘+ ε y y и определение бокового увеличения системы, следует, что

Σi = 1kδλi = εynkuk.

Для ε x инвариант Лагранжа равен нулю.Теперь лучевую аберрацию можно определить следующим образом:

εx=∑i=1kΔΛxinkuk и εy=∑i=1kΔΛyinkuk.

Общая лучевая аберрация представляет собой сумму вкладов отдельных поверхностей . Важно понимать, что поверхностные вклады связаны с конечным изображением, а не с промежуточными изображениями. Хотя можно вычислить поперечную аберрацию промежуточных изображений, используя угол наклона локального маргинального луча N I U I K U k , эти аберрации не являются аддитивными, то есть их можно , а не сложить вместе, чтобы получить окончательную аберрацию изображения.Вычисление поперечной аберрации на промежуточных изображениях не имеет практической пользы или смысла.

Генерал косов на I Th Поверхность по его пространственным координатам ( x I , Y I , Z I ) и направляющие косинусы ( K i , L i , M i ).Координаты параксиального луча ( y , nu ) можно обобщить следующим образом. В предыдущей главе было показано, что параксиальная высота луча на поверхности на самом деле является высотой в касательной плоскости поверхности. Кроме того, nu правильно интерпретируется как n tan u . Для меридионального луча координаты реального луча можно записать в форме, аналогичной координатам параксиального луча, как ( Y , U y ), где

Uy≡LM=tanU

( Y , U y ) координаты как канонические координаты, которые также можно использовать для трассировки лучей; однако главная цель состоит в том, чтобы определить ΔΛ для каждой поверхности.Хотя вывод ΔΛ утомителен, несложно показать, что

(4–19)ΔΛ=ynU+cYMM’−1+niZΔU

, где Δ U  =  U i +1 9027 У и . Изменение квазиинварианта Бухдаля через границу поверхности в точности определяется уравнением (4-19).

Канонические координаты ( y I , U I I ) являются нелинейными функциями координат лучей объекта ( Y 1 , U 1 ).Следовательно, значения координат, необходимые для решения уравнения (4-19) неизвестны. Решение состоит в том, чтобы выполнить разложение ΔΛ в ряд по каноническим координатам. Можно показать, что ΔΛ можно разложить как полином нечетного порядка, а именно

ΔΛ=ΔΛ1+ΔΛ3+ΔΛ5+…

, где Λχ представляет х -порядок полиномиального разложения ΔΛ. Так как Λ1=λ, то ΔΛ1=Δλ=0 и ΔΛ=ΔΛ3+ΔΛ5+…. Это согласуется с предположением, что оптика первого порядка или параксиальная оптика не содержит аберраций.Теперь, поскольку лучевые аберрации линейно связаны с ΔΛ, мы можем записать

ε=ε3+ε5+ε7+….

, который является утверждением, что лучевые аберрации могут быть выражены как сумма третьего, пятого, седьмого и более высоких порядков. После завершения разложения видно, что член третьего порядка ΔΛ зависит только от линейной части аппроксимаций Y и U , в то время как нелинейные части этих аппроксимаций приводят к пятой и выше — отклонение от порядка.Зайдель и другие поняли, что аберрации третьего порядка можно вычислить, используя данные только двух параксиальных лучей (краевого и главного).

Упорядоченный итерационный процесс вычисления членов аберрации высшего порядка был осуществлен Бухдалем менее чем через сто лет после того, как Зайдель опубликовал свою работу. Как упоминалось ранее, из работы Бухдала и других стало понятно, что коэффициенты аберрации включают в себя внутренние и внешние вклады. 15 Внешние вклады, скажем, поверхности i th влияют на значения коэффициента аберрации последующих поверхностей, в то время как внутренние вклады остаются локальными для этой поверхности.Коэффициенты аберрации третьего порядка не имеют внешних вкладов, что означает, что эти коэффициенты отделены друг от друга, в отличие от коэффициентов аберрации более высокого порядка. Нелинейные части аппроксимаций Y и U , а также наличие внешних вкладов являются причинами того, что общая проблема проектирования линз является довольно нелинейной и часто трудно поддающейся оптимизации.

На практике разработчик линз отмечает, что чем выше порядок аберрации, тем более устойчива аберрация по отношению к изменениям конструктивных параметров, таких как кривизна и толщина.Например, при изменении кривизны значения аберраций третьего порядка будут изменяться гораздо быстрее, чем аберраций пятого порядка. Разработчики объективов обычно понимают, что если объектив страдает аберрациями более высокого порядка, потребуются некоторые существенные изменения в текущей оптической конфигурации.

Дальнейшими алгебраическими усилиями ΔΛ преобразуется в форму третьего порядка ε x и ε y , которую можно записать в терминах параксиальных координат 1 луча , θ , h , h ), а именно

εx = σ1ρ3sinθ repsspherical + σ2ρ3hsin2θ enterlinearear Coma + σ3 + σ4ρh3sinθ enterlinear astigmatismεy = σ1ρ3cosθ stassferical + σ2ρ2h3 + cos2θ enterlinerear Coma + 3σ3 + σ4ρh3cosθ itject ita + σ5h4︸DISTORTION

Коэффициенты аберрации третьего порядка, от σ 1 до σ 5 , для данной оптической системы можно рассчитать с использованием данных о лучах, полученных путем отслеживания маргинального и главного параксиального лучей с помощью следующих уравнений.Форма коэффициента с преиндексом используется для обозначения вклада аберраций поверхности i th . Важно понимать, что эти коэффициенты можно использовать для вычисления поперечных, продольных и волновых аберраций, которые связаны коэффициентами масштабирования.

i¯i=ciy¯+ni−1u¯i−1ni−1ii=ciyi+ni−1ui−1ni−1qi=i¯iiiiii+ui=ii+niuiniiσ1=ni−1yiii2ni−1−niii+uiniiσ2=qiiσ1iσ3 =qi2iσ1iσ4=cini−1−niyn−1u¯−1−y¯n−1u−12ni−1niiσ5=qiqi2iσ1+iσ4

Коэффициенты поперечной аберрации третьего порядка определяются суммированием поверхностных вкладов и последующим умножением на коэффициент

−12nkuk

Обратите внимание, что член Петцваля σ 4 также умножается на квадрат инварианта Лагранжа, yn−1u¯−1−y¯n−1u−1.

(4-20)σ1=−12nkuk∑i=1kiσ1Сферическая аберрацияσ2=−12nkuk∑i=1kiσ2Comaσ3=−12nkuk∑i=1kiσ3Астигматизмσ4=−yn−1u¯−1−y¯n−1u−122nkuk∑i=1kiσ4Petzvalσ5 =−12nkuk∑i=1kiσ5Distortion

Для преобразования этих значений в продольные аберрации коэффициент −12nkuk заменяется на 12nkuk2. Поперечные и продольные аберрации указаны в линзоблоках.

Преобразование в волновые аберрации требует замены коэффициента −12nkuk следующим образом: −1u¯−1−y¯n−1u−124λ∑i=1kiσ4Petzvalσ5=−12λ∑i=1kiσ5Distortion

где λ – длина волны, а волновые аберрации измеряются на краю выходного зрачка в единицах длины волны .

Как найти луч

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Сент-Луис, Миссури 63105

Или заполните форму ниже:

 

Акулы и скаты (разрешения по видам)

Руководство по заполнению формы заявки на получение разрешения на экспорт для американских промысловиков и дилеров акул. Кликните сюда.

В результате решений, принятых на 18-м заседании Конференции Сторон (CoP18) Конвенции о международной торговле видами дикой фауны и флоры, находящимися под угрозой исчезновения (СИТЕС), которое состоялось 17 — 28 августа 2019 г., новые требования к международной торговле короткоплавниковой акулой мако ( Isurus oxyrinchus ) и длинноперой акулой мако ( Isurus paucus ).Они включены в список других видов акул и скатов, перечисленных в Приложении II СИТЕС, в том числе: дьявольские скаты, акулы-молоты, шелковые акулы, гигантская акула, китовая акула, большая белая акула, океаническая белоперая акула, три вида акул-молотов (зубчатая, большая и гладкие), акула-порбигл и манта.

СИТЕС помогает сохранять виды и обеспечивать законность и устойчивость международной торговли видами. Международная торговля, включая импорт, экспорт и интродукцию из моря видов, перечисленных в Приложении II СИТЕС, подлежит регулированию.Интродукция из моря относится к транспортировке в страну образцов, взятых в открытом море. Любое физическое или юридическое лицо, которое планирует участвовать в международной торговле образцами видов из Приложения II, должно подать заявку и получить соответствующие документы СИТЕС. Включение в Приложение II НЕ является запретом или запретом на торговлю. Виды, перечисленные в Приложении II, могут продаваться при наличии соответствующих разрешений. Разрешения выдаются на основании двух анализов:

(1) Вывод о ненанесении ущерба – данные или экспертное научное заключение о биологическом статусе видов, свидетельствующие о том, что международная торговля не наносит ущерба выживанию видов.

(2) Выявление законного приобретения — доказательство того, что образцы для продажи не были получены в нарушение какого-либо закона штата, федерального или другого юрисдикционного законодательства.

Если оба этих анализа положительны (т. е. предлагаемая деятельность является законной и устойчивой), будет выдано разрешение на ведение международной торговли.

Чтобы узнать больше о CITES, посетите нашу страницу «Как работает CITES». Чтобы определить конкретные требования к документации CITES для этих видов акул и скатов, ознакомьтесь с приведенными ниже вопросами и ответами.

Нужно ли мне разрешение СИТЕС?
Если вы планируете заниматься международной торговлей (например, ловить рыбу в открытом море и высаживать в США или другой стране, импортировать, экспортировать или реэкспортировать) зубчатых, больших или гладких акул-молотов; океанические белоперые акулы; белые акулы; гигантские акулы; большие белые акулы; китовые акулы; акулы-молотилки; шелковистые акулы; дьявольские лучи; или скаты манта; включая части и продукты этих видов, вам необходимо подать заявку и получить соответствующие документы CITES.

Мы разработали следующие схемы принятия решений, чтобы помочь американским рыбакам и американским дилерам определить, какие документы СИТЕС США потребуются для планируемой ими деятельности. Обратите внимание, что хотя эти инструменты ориентированы на рыбаков и дилеров в США, требования к разрешениям и портовые процедуры также применяются к исследователям и другим лицам, участвующим в некоммерческом перемещении акул и скатов СИТЕС, включая их части и продукты.

Рыбаки США

*У.Южные воды включают государственные воды США, территориальное море США и исключительную экономическую зону США (ИЭЗ)

.

Дилеры/экспортеры в США

У меня есть все необходимые разрешения. Что мне теперь делать?

Лицензия на импорт/экспорт
Лицензия на импорт/экспорт обычно требуется всем физическим или юридическим лицам, которые занимаются бизнесом в качестве импортера или экспортера объектов дикой природы.Это разрешение, действительное в течение одного года, должно быть получено в правоохранительном органе Службы охраны рыболовства и дикой природы США в регионе, в котором находится заявитель, до импорта или экспорта какой-либо дикой природы. Нажмите здесь, чтобы перейти к форме заявки.

Назначенные порты
Импорт образцов видов CITES должен иметь надлежащую документацию и доставляться в порты, указанные Службой охраны рыболовства и дикой природы США (USFWS). Виды СИТЕС, пойманные в открытом море, должны быть выгружены в указанном порту USFWS с надлежащей документацией.Щелкните здесь, чтобы просмотреть список назначенных портов.

Экспорт образцов видов СИТЕС должен иметь надлежащую документацию и вывозиться из Соединенных Штатов в порты, указанные USFWS, за исключением случаев, когда образцы, взятые в открытом море, выгружаются в иностранном государстве. Щелкните здесь, чтобы просмотреть список назначенных портов.

В некоторых случаях вы можете подать заявление на получение специального разрешения на вход или выход через порт по вашему выбору. Для получения дополнительной информации об этом процессе нажмите здесь.

Пожалуйста, свяжитесь с правоохранительным органом Службы охраны рыбных ресурсов и дикой природы США для получения информации о процедурах оформления в портах въезда и выезда. Нажмите здесь, чтобы получить дополнительную информацию об импорте и экспорте вашей коммерческой партии диких животных, включая информацию о том, как получить лицензию на импорт/экспорт, назначенные порты для диких животных, требования к декларации и сборы с пользователей.

Tampa Bay Rays Новости и ссылки: Йоши назначен на назначение

Прошлой ночью «Рэйз» проиграли «Янкиз» почти без происшествий.Поражение снизило Тампа-Бэй до 19-18. Одна изюминка? Абсолютный лунный выстрел Майка Зунино.

Хомерс в Тропе длиннее, чем #Rays Zunino сегодня вечером:
478 футов, Винни Кастилья, 04.04.2001
474 фута, Джонни Гомес, 09.07.2005
473 фута, Эван Лонгория, 06.04.2010

— Марк Топкин (@TBTimes_Rays) 12 мая 2021 г.

Коллин МакХью сегодня будет первым игроком, а Ярбро, как ожидается, получит большую часть подач.

В других новостях, Лучи приняли очень трудное решение и вчера DFA отправили Йоши Цуцуго в DFA.Похоже, впереди есть несколько вариантов.

Из того, что сказал Неандер, #Rays ожидает, что период Цуцуго будет продолжаться в течение периода DFA, поскольку они могут рассмотреть любые потенциальные торговые интересы, и он может взвесить возможности свободного агента против приглашения на AAA @DurhamBulls

— Марк Топкин (@ TBTimes_Rays) 11 мая 2021 г.

Адам Берри и многое другое о Йоши.

«Я не хочу закрывать на нем книгу, но я думаю, что у него не будет возможности изменить себя прямо сейчас.

Заметки Today’s Rays, приводящие их решение к DFA Йоши Цуцуго: https://t.co/xrlE2K19vn

— Адам Берри (@adamdberry) 11 мая 2021 г.

Луис Патиньо поменял ползунок?

У тренера третьей базы «Янки» Фила Невина

был «прорывный» положительный тест на COVID.

Заявление «Янкиз»: «У нас есть положительный результат с участием тренера 3B Фила Невина, который полностью вакцинирован. В настоящее время он находится под карантинным протоколом в Тампе. Под руководством и советом MLB, а также с его помощью продолжаются дополнительные испытания и отслеживание контактов.

— Марк Фейнсанд (@Feinsand) 11 мая 2021 г.

Перед вчерашней игрой у Падрес тоже был положительный тест.

Игрок «Падрес», который был хотя бы частично вакцинирован, дал положительный результат на COVID-19 в конце прошлого месяца. Сегодня Padres поместили Фернандо Татиса-младшего, Юриксона Профара и Хорхе Матео в список травмированных из-за протоколов по охране здоровья и безопасности. По крайней мере, один игрок дал положительный результат.

— Деннис Лин (@dennistlin) 11 мая 2021 г.

Уил Майерс был вынужден покинуть игру из-за положительного результата.

Джейс Тинглер сказал, что Уил Майерс был вынужден покинуть сегодняшнюю игру, потому что у него положительный результат на COVID-19.

— Деннис Лин (@dennistlin) 12 мая 2021 г.

MLB пытается поставить гайки в город Окленд.

BREAKING: Oakland A’s начнет изучать возможности переезда после того, как Высшая бейсбольная лига предложила организации рассмотреть возможность переезда в другие города, если предложение стадиона Howard Terminal не будет одобрено местными политиками.

Новости на ESPN: https://t.co/7kWHMcyqgB

— Джефф Пассан (@JeffPassan) 11 мая 2021 г.

Дитер Куртенбах из Mercury News говорит, что угроза — это скорее лай, чем укус.

Том Вердуччи из SI рассказал больше о надвигающемся кризисе психического здоровья в бейсболе.

Рэйс на 14-м месте в последнем рейтинге спортивной мощи.

Новая статистика от Fangraphs: xxxFIP.

Сейчас у Арода все идет не так.

30-дневный эксклюзивный период переговоров Алекса Родригеса и Марка Лора о покупке Timberwolves закончился без официальной сделки.

Обе стороны продолжают переговоры, и возможное расширение окна может произойти, сообщили источники @WindhorstESPN. https://t.co/axWsx3AxRa

— SportsCenter (@SportsCenter) 11 мая 2021 г.

Кен Розенталь о питчерах, бросающих сильнее с меньшим командованием.

Нил Пейн в 538-м на новой эре паритета.

Альберт Пухольс может играть за Доминиканскую Республику в отборочном олимпийском матче.

Источник: Доминиканская Республика заинтересована в том, чтобы Альберт Пухольс играл за национальную команду на предстоящем бейсбольном отборочном турнире Олимпийских игр @Tokyo2020 во Флориде.Pujols будет иметь право теперь, когда его больше нет в списке @MLB из 40 человек. @MLBNetwork @NBCOlympicTalk @WBSC

— Джон Мороси (@jonmorosi) 11 мая 2021 г.

Робби Рэй в узких штанах.

И, наконец, отличная чистка поддона.

optics — Где останавливаются лучи, которые не являются маргинальными или основными?

оптика — Где останавливаются лучи, которые не являются маргинальными или основными? — Stack Overflow на русском
Сеть обмена стеками

Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетите биржу стека
  1. 0
  2. +0
  3. Авторизоваться Зарегистрироваться

Physics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для активных исследователей, ученых и студентов, изучающих физику.Регистрация занимает всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Любой может задать вопрос

Любой может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются на вершину

спросил

Просмотрено 873 раза

$\begingroup$

Изображение из лекции Массачусетского технологического института, но концепции объясняются во многих оптических текстах.Главный / главные лучи проходят через центр апертурной диафрагмы, достигают края полевой диафрагмы, а угол между двумя внешними главными лучами дает угловое поле зрения.

У меня вопрос: что происходит с лучом, который начинается за пределами поля зрения, но не проходит через центр апертурной диафрагмы/зрачков? То есть он начинается за входным окном, но не является ни маргинальным, ни главным лучом. Я предполагаю, что это где-то остановится, но как и где?

спросил 9 апр 2016 в 21:51

$\endgroup$ 5 $\begingroup$

Основные лучи останавливаются ПОЛЕВОЙ СТОПОЙ, а краевые лучи останавливаются диафрагмой СТОП или зрачком.В оптической системе есть только одна апертурная диафрагма и одна истинная полевая диафрагма. Детектор является конечной и истинной диафрагмой поля, а обозначенная апертурная диафрагма является единственной истинной СТОП. Изображения апертурной диафрагмы называются зрачками, а изображения полевой диафрагмы называются бликовыми диафрагмами (или полевыми диафрагмами). Входной зрачок — это изображение апертурной диафрагмы, если смотреть из пространства объекта, а выходной зрачок — это изображение апертурной диафрагмы, если смотреть из пространства изображения. Внутреннее поле или блики будут возникать на промежуточных плоскостях изображения внутри оптической цепочки.Диафрагменная диафрагма будет определять F/# (вместе с фокусным расстоянием), а полевая диафрагма будет определять общее поле зрения. Надеюсь, это поможет. Зрачки и образы — одна из самых сложных вещей для освоения, но как только вы их освоите, они станут очень мощными понятиями. На самом деле они являются преобразованиями Фурье друг друга.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.