Осевая и центральная симметрия конспект урока 8 класс: Конспект урока геометрии в 8 классе «Осевая и центральная симметрии» | План-конспект урока по геометрии (8 класс) на тему:

Содержание

Конспект урока геометрии в 8 классе «Осевая и центральная симметрии» | План-конспект урока по геометрии (8 класс) на тему:

Конспект открытого урока геометрии в 8 классе с использованием мультимедийной презентации по теме «Осевая и центральная симметрии».

                           Урок подготовила и провела учитель математики Сапаркина И.Н.

                                             

 Цель урока:

познакомить учащихся с понятиями осевой и центральной симметрии.

Задачи урока:

Образовательные:

1.Изучить понятие симметрия; виды симметрии.

2.Рассмотреть осевую и центральную симметрии как свойства некоторых геометрических фигур.

3.Учить строить симметричные точки и распознавать фигуры, обладающие осевой и центральной симметриями.

Развивающие:

1. Развивать логическое мышление, воображение, память. 

2. Повысить математическую компетентность учащихся.

Воспитательные:

1.Повышение интереса к математике через использование информационных технологий.

 2. Воспитание человека, умеющего ценить прекрасное.

 3. Расширение кругозора.

Оборудование: учебник «Геометрия 7-9» авт. Л.С. Атанасян, мультимедийный проектор, экран, набор карточек с тестом, таблички для рефлексии.

План урока:

  1. Организационный момент.
  2. Рефлексия.
  3. Повторение пройденного. Теоретическая самостоятельная работа.
  4. Проверочный тест.
  5. Изучение нового материала.
  6. Физкультминутка.
  7. Закрепление изученного материала.
  8. Просмотр презентации, подготовленной обучающимися 8 класса.
  9. Рефлексия.
  10. Подведение итогов.
  11. Домашнее задание.

Ход урока

I. Организационный момент.

(Слайд 1.)

– Древняя китайская мудрость гласит:

“Я слышу – я забываю,
я вижу – я запоминаю,
я делаю – я понимаю”.

Чтобы наш урок был плодотворным, давайте последуем совету китайских мудрецов и будем работать по принципу: “Я слышу – я вижу – я делаю”.

II. Рефлексия.

Ребята, прежде чем начать урок, проверим, с каким настроением вы сегодня пришли? Покажите одну из трех карточек, лежащих у вас на партах. (Слайд 2).

III. Теоретическая самостоятельная работа. 

Проверим, как вы усвоили свойства четырёхугольников

Заполните таблицу, отметив знаки «+» (да) и «-» (нет). (Слайды 2-3) Один из обучающихся работает на обратной стороне доски, остальные – в своих тетрадях. После завершения работы класс проверяет работу, выполненную обучающимся на доске.

IV. Проверочный тест.

Тесты в двух вариантах раздаются в распечатанном виде обучающимся. Ответы нужно написать на листочках и в тетрадях: листочки сдаются на проверку учителю, ответы в тетради проверяют сами обучающиеся по ответам на слайде. (Слайды 4-5)

I вариант

II вариант

1. Любой прямоугольник является… 
а) ромбом;
б) квадратом;
в) параллелограммом;
г) нет правильного ответа.

1. Любой ромб является… 
а) квадратом;
б) прямоугольником;
в) параллелограммом;
г) нет правильного ответа.

2. Если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырехугольник… 
а) ромб;
б) квадрат;
в) прямоугольник;
г) нет правильного ответа.

2. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм… 
а) ромб;
б) квадрат;
в) прямоугольник;
г) нет правильного ответа.

3. Ромб – это четырехугольник, в котором… 
а) диагонали точкой пересечения делятся пополам и равны;
б) диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам;
в) противолежащие углы равны, а противолежащие стороны параллельны;
г) нет правильного ответа.

3. Прямоугольник – это четырехугольник, в котором… 
а) противолежащие стороны параллельны, а диагонали равны;
б) диагонали точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов;
в) два угла прямые и две стороны равны;
г) нет правильного ответа.

V. Изучение нового материала.

Слово учителя:

Определим тему нашего урока. (Слайды 6-7)

«Симметрия является той идеей, с помощью которой человек веками пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство» 
Герман Вейль

В древности слово «СИММЕТРИЯ» употреблялось в значении «гармония», «красота».

В переводе с греческого это слово означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей» (Слайд 8)

Вывод: Тема сегодняшнего урока «Осевая и центральная симметрии».

Целеполагание. А какие цели мы поставим перед собой на этом уроке? (Ответы учащихся)

 Сегодня на уроке мы:

  • Изучим два вида симметрии
  • Научимся строить симметричные фигуры
  • Ответим на вопросы: «Что общего у бабочки, автомобиля и человека, чем отличаются стрекоза и снежинка?»
  • Научимся распознавать фигуры и объекты, имеющие ось симметрии и центр симметрии.

 Выполним практическую работу:

(Слайд 9). Отметьте точку Аа. Из точки А опустите перпендикуляр АО на прямую а. Теперь от точки О отложите перпендикуляр ОА1= АО. Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а. Такая прямая называется осью симметрии. (Учитель строит на доске, ученики в тетрадях).

Какие две точки называются симметричными относительно прямой? (стр. 110 учебника)

(Слайд 10). Симметричность предметов относительно прямой в жизни.

– У геометрических фигур может быть одна или несколько осей симметрии, а может и не быть совсем. А как вы думаете, сколько осей симметрии у прямоугольника?

(Прямоугольник имеет 2 оси симметрии) (Слайд 11).

– А у круга? (Круг имеет бесконечно много осей симметрии) (Слайд 12).

– Мысленно определите, сколько осей симметрии имеет каждая из фигур? (Слайд 13). Проверим. (Слайд 14)

Работа у доски и в рабочих тетрадях.

– Симметричными могут быть не только точки, но и различные геометрические фигуры. Давайте построим треугольник, симметричный треугольнику, который изображён на доске.

Работа с учебником.

– Попробуйте сформулировать определение фигуры, симметричной относительно прямой. (Стр. 111 учебника)

– Говорят, что такие фигуры обладают осевой симметрией. Назовите фигуры, обладающие осевой симметрией. Назовите фигуры, которые не имеют оси симметрии. (Параллелограмм, разносторонний треугольник).

– (Слайд 15). Оказывается, можно построить симметричные точки не только относительно прямой, но и относительно какой-либо точки. Возьмём произвольную точку А и точку О, относительно которой будем строить симметричную точку. Соединяем точки А и О отрезком, затем от точки О откладываем отрезок ОА1=ОА. Таким образом, О – середина отрезка АА1. Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О.

Попробуйте сформулировать определение симметричных точек относительно точки.  Теперь прочитаем определение в учебнике. (Стр. 111)

(Слайд 16) А теперь построим треугольник А1В1С1 симметричный треугольнику АВС относительно точки О.

Попробуйте сформулировать определение фигуры, симметричной относительно точки. (Стр. 111 учебника). В этом случае говорят, что фигуры обладают центральной симметрией.

– Приведите примеры фигур, обладающие центральной симметрией. (Слайд 17). Существуют фигуры, обладающие осевой и центральной симметриями. Назовите такие фигуры. (Слайд 18).

VI. Физкультминутка.

– Встаньте, улыбнитесь. Возьмитесь за руки. Передайте своему товарищу положительные эмоции, поделитесь капелькой теплоты, добра.

Хочу я, чтоб тепло к тебе пришло
Как свет весенний, как тепло костра:
Пусть для тебя источником добра
Не станет то, что для другого – зло.

VII. Закрепление изученного материала.

  1. Выполнение №418, 423 по учебнику.
  1. Задание для самостоятельной работы:

– (Слайд 19) Расположите данные фигуры по трем столбикам таблицы «Фигуры, обладающие центральной симметрией», «Фигуры, обладающие осевой симметрией», «Фигуры, имеющие обе симметрии». (Обучающиеся выполняют это задание в рабочих тетрадях.) А теперь проверим полученные результаты. (Слайд 20)

VIII. Просмотр презентации, подготовленной обучающимися.

(Слайды 21-31)

IX. Рефлексия.

– С каким настроением вы уйдете с урока? Покажите одну из трех карточек.

X. Подведение итогов. 

Вопросы:

 Что нового, интересного вы узнали сегодня на уроке?

С какими видами симметрии познакомились ?

Какие две точки называются симметричными относительно данной прямой?

Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой?

Какие две точки называются симметричными относительно данной точки?

Какая фигура называется симметричной относительно данной точки?

Давайте вернёмся к целям урока. Посмотрим, удалось ли нам всё выполнить.

Оценки за урок.

XI. Домашнее задание.

п.47, в.16-20; №421, №422.

Урок в 8 классе по теме :»Осевая и центральная симметрия» | План-конспект урока по геометрии (8 класс) на тему:

Урок по  геометрии

Класс: 8

Профиль: общеобразовательный

Тема урока: Симметрия. Осевая и центральные симметрии.

Цели:

  1. познакомить обучающихся с понятиями осевой и центральной симметрий;
  2. рассмотреть осевую и центральную симметрии как свойства некоторых геометрических фигур;
  3. учить строить симметричные точки и распознавать фигуры, обладающие осевой и центральной симметриями;
  4. развивать внимание, логическое мышление;
  5. воспитывать интерес к математике.

Оборудование: учебник «Геометрия 7-9» авт. Л.С. Атанасян, мультимедийный проектор, экран, набор карточек с тестом, таблички для рефлексии.

Ход урока

I. Организационный момент.

2. Изучение нового материала.

Слово учителя: Тема сегодняшнего урока «Осевая и центральная симметрии». (Слайды 1)

Слово «симметрия» греческого происхождения («сим» — с, «метрон» — мера) и буквально означает «соразмерность».

Симметрия является той идеей, с помощью которой человек веками пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство. (Слайд 2)

Сейчас выполним практическую работу: (Слайд 3)

Отметьте точку Аа. Из точки А опустите перпендикуляр АО на прямую а. Теперь от точки О отложите перпендикуляр ОА1= АО. Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а. Такая прямая называется осью симметрии. Симметричность предметов относительно прямой в жизни.

– (Слайд 4). Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре.

Прямая а  называется осью симметрии фигуры.

– У геометрических фигур может быть одна или несколько осей симметрии, а может и не быть совсем. А как вы думаете, сколько осей симметрии у прямоугольника?

(Прямоугольник имеет 2 оси симметрии) (Слайд 5).

– А у круга? (Круг имеет бесконечно много осей симметрии) (Слайд 5).

– Мысленно определите, сколько осей симметрии имеет каждая из фигур? (Слайд 5).

Примеры осевой симметрии (Слайд 6-11).

 Оказывается, можно построить симметричные точки не только относительно прямой, но и относительно какой-либо точки. Возьмём произвольную точку А и точку О, относительно которой будем строить симметричную точку. Соединяем точки А и О отрезком, затем от точки О откладываем отрезок ОА1=ОА. Таким образом, О – середина отрезка АА1. Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О. (Слайд 12).

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. (Слайд 13).

Точка О называется центром симметрии фигуры.

Расположите данные фигуры по трем столбикам таблицы «Фигуры, обладающие центральной симметрией», «Фигуры, обладающие осевой симметрией», «Фигуры, имеющие обе симметрии». (Обучающиеся выполняют это задание в рабочих тетрадях.) А теперь проверим полученные результаты. (Слайд 14)

3. Закрепление изученного материала.

Выполнение №418, 423 по учебнику.

4. Подведение итогов.

– Что нового, интересного вы узнали сегодня на уроке? Что понравилось в уроке? Что не понравилось? Оценки за урок.

5. Домашнее задание.

п.47, в.16-20; №416, №421, №422.

Конспект урока «Осевая и центральная симметрия»

Темаурока: «Осевая и центральная симметрии».

Класс: 8

Учитель: Сатышева Л.В.

Предмет: геометрия

Учебник: Геометрия 7-9 класс. Л.С. Атанасян и др., учебник для общеобразовательных учреждений. Просвещение . Москва – 2013 г.

Тип урока: изучение нового материала.

Учебное оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, экран, раздаточный материал.

Ресурсы: презентация «Осевая и центральная симметрия», ЦОР

Цель урока:

  • образовательная систематизировать знания учащихся о свойствах четырехугольников, ввести понятия центральной и осевой симметрии, симметричной фигуры;

  • развивающая: развитие мышления учащихся; развитие памяти; развитие логического мышления, способности четко формулировать свои мысли; развитие воображения учащихся; развитие устной речи;

  • воспитательная: воспитание эстетического отношения к красоте формул, теории, законов окружающего мира, умений ценить красоту собственного труда; воспитывать уважение друг к другу, взаимопонимание, уверенность в себе

Структура урока:

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.

  3. Мотивация изучения данной темы.

  4. Постановка цели и задач урока

  5. Изучение новой темы

  6. Закрепление изученного материала

  7. Подведение итогов урока

  8. Задание на дом.

Эпиграф урока:

Математика… выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – важнейшие виды прекрасного.

Аристотель

Ход урока

I. Организационный момент

Мы рассмотрели четырехугольники и их свойства. Сегодня мы узнаем, чем еще обладают эти фигуры и, где это мы можем применять. В окружающем мире прекрасное сложно и многообразно. Восприятие красоты предполагает знакомство с её простейшими, первичными элементами.

II. Актуализация опорных знаний и умений учащихся

Немного вспомним, какими свойствами обладают известные нам четырехугольники.

Вопросы к классу.

  1. Опишите фигуру, что можете о ней сказать?

  2. Какие свойства прямоугольника необходимо вспомнить, чтобы решить эту задачу?

  3. Из какого семейства данная фигура? Чем она отличается от параллелограмма?

  4. Точка О середина АС и середина ВD Что можно сказать о четырехугольнике АВСD?

  5. Точка О середина АС и середина ВD. И диагонали равны

  6. Точка О середина АС и середина ВD. Диагонали равны и взаимно перпендикулярны.

III. Мотивация изучения данной темы

Как много 
В нашем мире красоты, 
Которой, часто мы не замечаем. 
Все потому, 
Что каждый день встречаем 
Её давно знакомые черты. 
Мы знаем, 
Что красивы облака, 
Река, цветы, 
Лицо любимой мамы, 
И Пушкина, летящая строка, 
И то, 
Что человек 
Красив делами… 
Но, можно ли всё это объяснить? 
И что подскажут в этом нам науки?

Вопросы к классу.

IV. Постановка цели и задач урока

Тема  урока: «Осевая и центральная симметрии».

Наша задача:

  • Cформулировать понятия центральной и осевой симметрии, симметричной фигуры.

  • Рассмотреть какими видами симметрии обладают известные нам геометрические фигуры.

  • Научиться строить симметричные точки и распозновать фигуры, обладающие осевой и центральной симметрией.

Вопросы к классу.

  1. Попробуйте сформулировать определение симметрии.

Герман Вейль — немецкий математик сформулировал определение симметрии сравнительно недавно — в начале ХХ века. Сейчас нам предстоит самостоятельно вывести определение осевой симметрии и центральной симметрии.

V. Изучение новой темы

У вас на столах лежат задания к практической работе №1. В результате выполнения работы вы должны сформулировать определение точек симметричных относительно прямой. На выполнение работы вам отводится 5 минут.

Практическая работа №1

1) Возьмите лист белой бумаги, согните его пополам.

2) Проткните двойной лист ручкой, а затем разогните.

3) Вы получили две точки. Обозначьте одну буквой А, а другую — А1.

4) Соедините А и А1 отрезком.

5) Измерьте расстояние от А и от А1 до линии сгиба.

Расстояние от А до линии сгиба равно _______________________

Расстояние от Адо линии сгиба равно ______________________

6) Сравните эти расстояния. Они ____________________

7) Определение:

Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой, если эта прямая проходит через____________________ отрезка АА

1 и ______________________ к нему.

Вопросы к классу. Итак, что у вас получилось.

Назовите условия осевой симметрии.

Предполагаемые ответы

  1. равны расстояния от точек до прямой;

  2. отрезок и прямая перпендикулярны

Посмотрите на слайд. Проверим, а правы ли вы.

Определение 1: Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.

Вопросы к классу

  1. Как можно назвать прямую а?

  2. Если точка лежит на прямой, то где искать симметричную ей точку?

  3. Как построить точку симметричную данной относительно прямой?

Задание 1. Перенесите рисунок себе в тетрадь и постройте точку К1, симметричную точке К относительно прямой а.

Вопросы к классу: Как мы будем строить? Каким инструментом воспользуемся?

Вопросы к классу

  1. Если взять еще одну точку, принадлежащую прямоугольнику и построить ей симметричную, то будет ли она принадлежать прямоугольнику?

  2. Как вы считаете, эта фигура симметрична относительно прямой а?

  3. На основании чего вы сделали такой вывод?

  4. Посмотрим, так ли это на самом деле.

  5. На основании уже известных вам фактов попробуйте сформулировать определение симметричности фигуры относительно прямой

Определение 2 Фигура называется симметричной относительно прямой, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре.

Задание 2. Вспомните изученные вами геометрические фигуры. (Ребята перечисляют известные им фигуры на плоскости) Попытайтесь провести ось симметрии в фигурах, которые вам достались (раздать листы с готовыми 2-3 геометрическими фигурами).

Вопросы к классу

  1. Сколько осей симметрии у равнобедренного треугольника и равнобедренной трапеции?

  2. Что вы можете сказать по поводу квадрата, прямоугольника, ромба?

  3. Сколько осей симметрии у окружности?

  4. Какой вывод отсюда следует? (Фигура может иметь как одну ось симметрии, так и несколько)

  5. Какие фигуры не имеют оси симметрии?

Задание 3. Постройте отрезок АА1 и найдите его середину току О. Как иначе можно назвать точку О. (Центр). Попробуйте сформулировать определение точек, симметричных относительно центра после просмотра слайда.

Определение 3: Точки A и A1 называются симметричными относительно точки О, если О — середина отрезка AA1.

Вопросы к классу

  1. Как построить точку симметричную данной относительно центра?

Практическая работа №2

Дано: параллелограмм АВСD.

Проведите диагонали параллелограмма.

Отметьте их точку пересечения О.

Отметьте на стороне АВ произвольную точку М и постройте точку М1, симметричную точке М относительно центра О.

Отметьте на диагонали АС точку К, отличную от точки О и постройте точку К1 симметричную точке К относительно центра О.

Сделайте вывод: если точка принадлежит параллелограмму, то где находится симметричная ей точка?

Вопросы к классу:

  1. Какая фигура называется симметричной относительно центра?

Определение 4. Фигура называется симметричной относительно центра, если для каждой точки фигуры__________ ей точка также _______ этой фигуре.

Проверим по слайду правильность ваших построений

VI. Закрепление изученного

Вопросы к классу

  1. Отрезок АВ, перпендикулярный прямой с, пересекает ее в точке О так, что АО?ОВ. Симметричны ли точки А и В относительно прямой с? (Ответ: нет)

  2. Прямая а пересекает отрезок МК в его середине под углом, отличным от прямого. Симметричны ли точки М и К относительно прямой а? (Ответ: нет)

  3. Отрезок АС делится точкой М в отношении 2 к 3. Симметричны ли точки А и С относительно М?

  4. Относительно какой из координатных осей симметричны точки М(7;2) и К(-7;2)? (Ответ: ОY)

  5. Точки А(5;…) и В(…;2) симметричны относительно оси Ох. Запишите их пропущенные координаты. (Ответ: А(5;2), В(5;-2))

VII. Подведение итогов урока

Что нового вы сегодня узнали на уроке?

(Небольшой рассказ учителя о мире симметрии)

VIII. Задание на дом

Работа в группах над проектом “Удивительный мир симметрии”

Конспект урока по геометрии в 8 классе по теме «Осевая и центральная симметрия».

План -конспект урока по геометрии в 8 классе по теме

«Осевая и центральная симметрия».

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

  • Образовательные: научить строить фигуры, симметричные относительно прямой и относительно точки.

  • Развивающие: уметь выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки, устанавливать причинно-следственные связи , строить логические рассуждения, делать умозаключения и выводы;

  • Воспитательные: воспитывать самостоятельность, трудолюбие, взаимопомощь, взаимоуважение, активность, мобильность, умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками, умение работать в паре.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация, учебник.

Формы работы на уроке: фронтальная, индивидуальная, коллективная.

Ход урока:

  1. Организационный момент.

  2. Проверка домашнего задания.

Каждая группа, работая с энциклопедиями и справочниками, пользуясь возможностями интернета должна была найти ответы на один из поставленных вопросов:

1. Что называется симметрией, и когда это понятие возникло?

2. Существует ли симметрия в окружающем нас мире?

Учащиеся подготовили презентации, отвечают на поставленные вопросы.

  1. Изучение новой темы.

1. Работа с учебником.

— Прочитать п. 48 учебника на странице 110-111, ответить на вопросы:

1. Какие две точки называются симметричными относительно прямой?

2. Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой?

3. Какие две точки называются симметричными относительно данной точки?

4. Какая фигура называется симметричной относительно данной точки?

2. Практическая работа.

Учитель объясняет, как строить фигуру, симметричную относительно прямой и относительно точки (используем проектор).

  1. Закрепление полученных знаний.

Решение упражнений

№ 417 (устно)

Ответ: А) две; б) бесконечно много; в) одну.

№ 418 (устно)

Какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, Г, Е, О, F?

Ответ: А, Е, О.

№ 422 (устно)

Имеют ли центр симметрии: а) отрезок, б) луч, в) пара пересекающихся прямых, г) квадрат?

Ответ: а)да; б) нет; в) да; г) да.

№ 423 (устно)

Какие из следующих букв имеют центр симметрии: А, М, О, Х, К?

Ответ: О и Х.

Самостоятельная практическая работа (в рабочих тетрадях и на доске с комментированием)

№ 416.

Даны две точки А и В, симметричные относительно некоторой прямой, и точка М. Постройте точку, симметричную точке М относительно той же прямой.

№ 421.

Даны точки А, В и М. Постройте точку, симметричную точке М относительно середины отрезка АВ.

  1. Подведение итогов.

1. Какие две точки называются симметричными относительно прямой?

2. Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой?

3. Какие две точки называются симметричными относительно данной точки?

4. Какая фигура называется симметричной относительно данной точки?

  1. Домашнее задание. Придумать рисунок для вышивки , используя осевую или центральную симметрию.

  2. Рефлексия. 

Каждый из обучающихся оценивает сам свою работу, отвечая на следующие вопросы:
• Теперь я точно знаю …
• Я понял …
• Я научился …
• Для меня было сложным…
• Мне показалось легко…
Урок окончен. Спасибо за работу

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА ПО ГЕОМЕТРИИ «Осевая и центральная симметрии» (8 класс,геометрия)

ПЛАН­КОНСПЕКТ УРОКА  Тема урока: «Осевая и центральная симметрии», геометрия 8 класс 1. ФИО (полностью) 2. Место работы 3. Должность 4. Предмет 5. Класс 6. Тема и номер урока в  теме Базовый учебник 7.  Сырысева Светлана Александровна МОУ Давыдовская сш Николаевского района Ульяновской области учитель математики геометрия 8 Осевая и центральная симметрии (1из1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7­9: Учебник для общеобразовательных  учреждений  ­ 5­е изд., – М.: Просвещение, 2015 8. Цель  урока: повторить свойства четырехугольников; актуализировать знания учащихся о симметрии, видах симметрии; центральной и  осевой;  уметь применять полученные знания. 9. Планируемые результаты:   знать свойства четырехугольников: параллелограмма, ромба, прямоугольника и квадрата; распознавать  центральную и осевую симметрии,  решать задачи на построение точки, симметричной относительно оси или центра;  приводить примеры  фигур, предметов, имеющих ось или центр симметрии; рассуждать и делать выводы; слушать собеседника и вести диалог; работать в паре;  излагать и аргументировать свою точку зрения; оценивать себя и товарищей.  10. Задачи: ­ образовательные (формирование познавательных УУД):    ­ повторить свойства четырехугольников: параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата; ­ познакомить обучающихся с понятиями осевой и центральной симметрий; ­ рассмотреть осевую и центральную симметрии как свойства некоторых геометрических фигур; ­ учить строить симметричные точки и распознавать фигуры и предметы, обладающие осевой и центральной симметриями. ­ воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):    ­ умение слушать и вступать в диалог,   ­ участвовать в коллективном обсуждении проблем,  ­ интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие,  ­ воспитывать ответственность и аккуратность, интерес к математике. ­ развивающие (формирование регулятивных УУД) ­ развивать умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы,  ­ развивать внимание, логическое мышление, наблюдательность; ­ самостоятельную и исследовательскую деятельность учащихся; ­ развивать познавательную активность; ­ учить обобщать и систематизировать полученную информацию. 11.Тип урока: изучение, закрепление и усвоение полученных знаний с переходом на более  высокий уровень. 12 .Методы:  по источникам знаний: словесные, наглядные;  по степени взаимодействия учитель­ученик: эвристическая беседа;  относительно дидактических задач: подготовка к восприятию;  относительно характера познавательной деятельности: репродуктивный, частично­поисковый. 13.Формы работы учащихся: Фронтальная, парная, индивидуальная, групповая. 14.Организация деятельности учащихся на уроке: ­самостоятельно выходят на проблему и решают её; ­самостоятельно определяют тему, цели урока; ­работают с текстом учебника;  ­работают с технологической картой при выполнении заданий; ­отвечают на вопросы; ­решают самостоятельно задачи; ­оценивают свои знания себя; ­рефлектируют. 15.Необходимое оборудование:  учебники геометрии, доска, раздаточный материал (карточки с дополнительным заданием, карточки с  домашним заданием), презентация, проектор и экран. 16.Структура и ход  урока Технологическая карта урока и разработка урока. № Этап урока Задачи этапа Деятельность учителя Деятельность ученика 1 1 2 Организацион­ ный этап 3 Создать   благоприятный  психологический  настрой на работу 5 6 Приветствие  учащихся. Проверка  у готовности класса            к уроку;  организация внимания;  я м е р В ) . н и м   в ( 7 1 Познаватель­ ные 8 Осознанное  и  произвольное  построение  речевого  высказывания Формируемые УУД Регулятивные 9 Коммуникатив­ ные 10 Прогнозирован ие своей  деятельности Умение слушать  и вступать в  диалог Личностные Умение   выделять  нравственный  аспект  поведения. Вступительное слово  учителя.  Повторение  пройденного на  прошлом уроке. Беседа с проблемным  вопросом  по теме  урока.  Историческая справка  Вместе с учениками  определяет цель урока. Создает ситуацию, в  ходе решения которой  учащиеся делают  необходимый вывод. Направляет работу  учащихся.  Выступает в роли  тьютора для слабых  учащихся при  выполнении  творческого задания. я м е р В ) . н и м   в ( 5­6 3­4 14­15 10 Деятельность ученика Участвуют в работе  по повторению, в  беседе с учителем,  отвечают на  поставленные  вопросы. Определяют тему и  цель урока. Выполняют  лабораторные  работы. Отвечают   на поставленные  вопросы, ищут  необходимую  информацию.   Самостоятельно  решают задачи.   Делают  сравнительный  анализ ответов.  Отвечают на  проблемный вопрос. Учащиеся  выполняют в  группах творческое  задание. Делают  записи в тетрадь    Познаватель­ ные Анализ объектов  с целью  выделения  признаков. Поиск и  выделение  необходимой  информации. Самостоятельное выделение­ формулирование  познавательной  цели. Поиск и  выделение  необходимой  информации.  Структурировани е знаний.  Построение  логической цепи  рассуждений.  Выделение и  формулирование  познавательной  цели, рефлексия  способов и  условий  действия. Анализ объектов  и синтез  Построение  логической цепи  рассуждений. Личностные Развитие  познавательны х интересов,  учебных  мотивов Самоопределе ние  Самоопределе ние  Учебная  мотивация. Самоопределе ние.  Развитие  познавательны х интересов. Ориентация в  межличностны х отношениях  Развитие  познавательны х интересов,  учебных  мотивов. Формируемые УУД Регулятивные Коммуникатив­ Выделение и  осознание того, что уже  пройдено. Постановка  учебной задачи  на основе  известного. Целеполагание  Постановка  ные Умение с  достаточной  полнотой и  точностью  выражать свои   мысли, слушать и вступать в  диалог вопросов Планирование,  прогнозировани е Умение слушать  и вступать в  диалог Умение слушать  и вступать в  диалог, Коллективное  обсуждение  проблем (при  необходимости)  Интегрироваться в группу;  Планирование  учебного  сотрудничества  со сверстниками Планирование  деятельности  для решения  поставленной  задачи и  контроль  полученного  результата,  коррекция  полученного  результата,  саморегуляция  Оценка своей  деятельности   Планирование  деятельности  6 Подведение  итогов урока.  Подводит итоги работы в классе.  Отвечают на  поставленные  2­3 Выделение и  формулирование  Поддержание  соперничества  Жизненное  самоопределен № Этап урока Задачи этапа Деятельность учителя Повторение  изученного  материала Актуализация  опорных знаний и  способов  действий 2 3 4 5 Подготовительн ый Изучение нового  материала Закрепление и  усвоение знаний Обеспечение  мотивации учения детьми, принятие  ими целей урока Обеспечение  восприятия,  осмысления и  запоминания  детьми. Установление  правильности и  осознанности  изучения темы.  Выявление ос­ мысления изучен­ ного материала,  коррекция выяв­ ленных пробелов,  обеспечение  закрепления в  памяти детей зна­ ний и способов  действий    Самооценка  результатов своей № Этап урока Задачи этапа Деятельность учителя Рефлексия. деятельности и  всего класса я м е р В ) . н и м   в ( Деятельность ученика вопросы. Оценивают свою работу и  работу  одноклассников Познаватель­ ные познавательной  цели, рефлексия  способов и  условий  действия. Анализ и синтез  объектов 7 Информация о  домашнем  задании,  инструктаж по  его выполнению. Обеспечение  понимания детьми цели, содержания  и способов  выполнения  домашнего  задания. Задает дозированное  домашнее задание Учащиеся  записывают  домашнее задание в  зависимости от  уровня освоения  темы урока 2 Формируемые УУД Личностные ие, ценносто­ смысловая  ориентация  обучающихся Нравственно  ­этическая   ориентация Коммуникатив­ ные для мотивации  учебной  деятельности;  планирование  сотрудничества  со сверстниками; участие в  обсуждении. управление  поведением  партнёра­  контроль,  коррекция,  оценкна Регулятивные для решения  поставленной  задачи,   контроль и  коррекция  полученного  результата,  саморегуляция Оценка  промежуточны х результатов и саморегуляция  для повышения мотивации  учебной  деятельности Деятельность учителя 1 этап. Организационный  Учитель приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку;  ­Здравствуйте, ребята, садитесь. В качестве эпиграфа к уроку я взяла слова великого древнекитайского мыслителя Конфуция: «Я слышу   и забываю, я вижу и запоминаю, я делаю и я понимаю». Геометрию нельзя изучать, наблюдая, как   это   делает   сосед.   Значит,   чтобы   знать   геометрию,   нужно   стараться   как   можно   больше   заданий   выполнять самостоятельно. В ходе урока мы сегодня повторим свойства изученных четырехугольников и   ответим на вопрос: «Что общего у бабочки, автомобиля и человека, чем отличаются стрекоза и снежинка?» 2 этап. Повторение изученного материала. ­ На предыдущем уроке мы с вами выполняли контрольную работу по теме «Четырехугольники». Результаты работы у вас в тетрадях. Поднимите руки, кто получил оценку «5», а оценку «4»? Вы молодцы, а вот всем остальным ребятам необходимо выполнить работу над ошибками. На будущий год вам сдавать экзамен по математике за курс основной школы. И знания по изученной теме обязательно пригодятся.   Задание 1. Возьмите карточки, лежащие у вас на столах, подпишите их. Отметьте знаками «+»   и «­» свойства четырехугольников.  (слайд 2). Кирилл,  выбери один из четырехугольников и определи все его свойства. Давайте проверим, что у вас получилось.    (слайд 3). Поставьте себе оценку, используя предложенные критерии.  Задание 2. Перед вами вопросы теста. На каждый вопрос предлагается только один правильный ответ. Выберите его и обоснуйте свой выбор. (слайд 4) 1. Любой ромб является… Деятельность учащихся Учащиеся слушают  учителя, улыбаются друг  другу. Слушают учителя. 1 . Подписывают листочки. 2. Выполняют задания на  карточках. 3. Оценивают правильность  выполнения задания, ставят себе оценку. а) квадратом;          в) параллелограммом; б) прямоугольником;     г) нет правильного ответа. 2. Если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырехугольник… а) ромб;                 в) прямоугольник; б) квадрат;            г) нет правильного ответа. 3.Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм… а) ромб;                в) прямоугольник; б) квадрат;           г) нет правильного ответа. 4. Прямоугольник – это четырехугольник, в котором… а) противолежащие стороны параллельны, а  диагонали равны; б) диагонали точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов; в) два угла прямые и две стороны равны;  г) нет правильного ответа. ­Молодцы, ребята, вы справились с этим заданием. 3 этап. Подготовительный   А сейчас посмотрите слайды и сформулируйте тему урока. (слайды 5­9 ) ­Как вы думаете, о каком понятии мы будем говорить? И какова цель нашего урока? Действительно,   сегодня   на   уроке   мы   изучим,   что   такое   симметрия,   какие   виды   симметрии   существуют.   Более подробно остановимся на осевой и центральной симметриях.  (слайд 10)  Ответим на вопрос, который прозвучал в начале урока: «Что общего у бабочки, автомобиля и человека, чем отличаются стрекоза и снежинка?»  ­ Запишите в тетрадях число  и тему урока. ­Ребята, а что такое симметрия? Как вы понимаете? (слайд 11)  Симметрия – понятие, означающее сохраняемость, повторяемость каких – либо особенностей структуры изучаемого объекта при проведении с ним определенных преобразований. Более простое толкование этого понятия на слайде. Это определения симметрии из толкового словаря Ожегова.  Явление  симметрии подробно изучил немецкий математик Герман Вейель. О симметрии он сказал так: «Симметрия является   той   идеей,   с   помощью   которой   человек   веками   пытается   объяснить   и   создать   порядок,   красоту   и совершенство». Симметрию нам подарила природа, а человек изучает это явление. Рассмотрим это явление с точки зрения геометрии. 4 этап. Изучение нового материала. Ребята, наша с вами задача сегодня ­ повторить  открытие Вейля,  самостоятельно вывести определение осевой и  центральной симметрии.  У   вас   на   столах   лежат   листы­задания   к   лабораторной   работе   №1.   В   результате   выполнения   работы   вы   должны сформулировать определение точек симметричных относительно прямой. На выполнение работы вам отводится 5 минут. Выполнив лабораторную работу вам необходимо дописать в определение пропущенные слова и записать его в рабочую тетрадь.  4. Выбирают правильный  ответ из предложенных и  обосновывают свой выбор.      Просматриваю слайды Формулируют тему и цели  урока.  Слушают рассказ учителя. Отвечают на вопросы  учителя   Слушают учителя Лабораторная работа № 1. Симметрия относительно прямой. 1. Возьмите лист белой бумаги, согните его пополам. 2. Проткните двойной лист иголкой, а затем разогните. 3. Вы получили две точки. Обозначьте одну буквой А, а другую – А1. 4. Соедините точки А и А1 отрезком. 5. Измерьте расстояние от точек А и А1 до линии сгиба. 6. Сравните эти расстояния. 7. Дополните пропущенные слова в определении. И запишите его в тетрадь.                                                               Определение 1. Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой, если эта прямая проходит через  _середину_ отрезка АА1 и перпендикулярна к нему. А теперь внимание на слайд (слайд 12). Проверим: верно ли вы сформулировали определение. Молодцы. Мы  рассмотрели симметрию относительно прямой или оси, т.е. осевую симметрию. Оказывается, таким свойством  обладают различные фигуры. Причитайте определение фигуры, симметричной относительно прямой по учебнику  стр. 111. Этим свойством обладают, например, (слайд 13)  равносторонний треугольник, круг, ромб, прямоугольник, отрезок. Такие фигуры называются симметричными относительно прямой. Их можно перегнуть по какой­то прямой,  при этом одна часть фигуры полностью совпадет с другой частью. Причем ось симметрии может быть одна или  несколько. Назовите еще геометрические фигуры, имеющие ось симметрии. (квадрат, равнобедренная трапеция,  равнобедренный треугольник). Но не все фигуры имеют ось симметрии. У каких фигур оси симметрии нет? (ответ:  разносторонний треугольник, параллелограмм). В реальной жизни нас также окружают предметы, обладающие  осевой симметрией. (слайд 14).                                                                                                                      Сейчас   возьмите листы­задания к лабораторной работе №2. В результате выполнения работы вы должны сформулировать  определение точек симметричных относительно некоторой точки. Выполнив работу  вам необходимо дополнить в  определении пропущенные слова и записать его в рабочую тетрадь.                      Лабораторная работа № 2.  Симметрия относительно точки.   Постройте точку А, отличную от точки О. 1. На листе бумаги отметьте точку О.  2. 3. Постройте луч, дополнительный лучу ОА. Отложите отрезок ОА1, равный отрезку ОА. 4. Дополните пропущенные слова в определении. И запишите его в тетрадь. Определение 2. Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О. если О­середина отрезка АА 1 А сейчас внимание на слайд  (слайд 15).  Проверим: верно ли вы сформулировали определение. Мы рассмотрели симметрию относительно  точки или центра, т.е. центральную  симметрию.  Существуют  геометрические  фигуры, обладающие этим свойством. Причитайте определение фигуры, симметричной относительно точки по учебнику стр. 111.   Этим   свойством   обладают  (слайд   16)    параллелограмм,   круг,   правильный   шестиугольник,   прямая.   Такие фигуры   называются   симметричными   относительно   точки.       Причем   у   фигуры   может   быть   только   один   центр Выполняю лабораторную  работу №1. Дополняют определение  пропущенными словами Проверят правильность  выполнения задания. Слушаю учителя, отвечают  на вопросы.     Выполняю лабораторную  работу №2. Дополняют определение  пропущенными словами Проверят правильность  выполнения задания. симметрии.  А какие еще геометрические фигуры, имеют цент симметрии? (квадрат, ромб). В реальной жизни нас также окружают предметы, имеющие центральную симметрию. (слайд 17). Слушаю учителя, отвечают  на вопросы. 5 этап. Закрепление   (слайд 18) Задание  1. Выполните  практическое задание:   Найдите центр симметрии круга  и данной фигуры. Кирилл,    ты выбираешь только одну фигуру.       Выполнят предложенные  задания Ребята, кто догадался как это сделать для круга? А для фигуры?  Задание 3. Ответьте на вопрос: «Сколько осей симметрии имеет пятиконечная звезда?» А сейчас выполним задание по учебнику.  стр. 114, упражнения: 418(устно), 422(устно), 416, 421.(слайд 19) Перед тем как подвести итоги нашего урока предлагается творческое  задание: используя лист бумаги и ножницы покажите какой либо вид симметрию. (Ребята показывают свои работы). Молодцы ребята. 6 этап. Подведение итогов урока. Рефлексия. Итак,   сегодня   на   уроке   мы   рассмотрели   осевую   и   центральную   симметрии.   Кроме   этих   видов   симметрии существуют поворотная, переносная  зеркальная симметрия, с ними вы познакомитесь в 9­ 10 классах.  Так что же общего у бабочки, автомобиля и человека. Чем отличаются стрекоза и снежинка? (слайд  20) Кто ответит на этот вопрос?  Ребята, что нового вы узнали на уроке? Понравился вам урок. А мне понравилось то, как вы сегодня работали. Сфера влияния симметрии безгранична: природа, наука, искусство. Симметрия определяет гармонию природы, мудрость науки и красоту искусства. В подтверждение хочу привести   отрывок из произведения Л.Н. Толстого «Отрочество»: «Раз, стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я  вдруг был пронзен мыслью: Почему симметрия приятна для глаз? Что такое симметрия?­ Это врожденное чувство,­ отвечал я себе. На чем оно основано? Разве во всем в жизни есть симметрия?» На этот вопрос вы ответите, выполнив домашнее задание. 7этап. Домашнее задание. (слайд 21) 1) Вопросы 18 – 22 стр. 114  2) №417, 423; подготовить информацию о симметрии в…(Симметрия в живописи, Симметрия в архитектуре, Симметрия в Отвечают на вопрос. Работаю с учебником Выполняют творческие  задания. Отвечают на поставленные  вопросы.( Бабочка,  автомобиль и человек  имеют ось симметрии.  Стрекоза имеет ось  симметрии, а снежинка  имеет центр симметрии). Слушаю учителя Учащиеся внимательно  слушают.  Записывают домашнее биологии,   Симметрия   в   архитектуре.,   Симметрия   в   химии.   Симметрия   в   поэзии,   Симметрия   в   быту, Симметрия в техники, Симметрия в буквах русского языка, Симметрия в русском языке и литературе)  . Кириллу задание – симметрия в буквах русского языка, а всем остальным  что вытяните. И в заключении, хочу вам предложить, когда у вас будет свободное время, выйдите погулять на улицу, посмотрите вокруг себя, и прикоснитесь к этому удивительному миру симметрии. (слайд 22) – На этом урок окончен. Спасибо за работу на уроке. До свидания. задание. Выбирают тему  сообщения о симметрии.

Урок 7. осевая и центральная симметрия — Геометрия — 8 класс

Конспект
Рассмотрим прямую a и точку, не принадлежащую ей.

Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если:
— эта прямая проходит через середину отрезка АА1
аАА1.
Прямая a называется осью симметрии. Если точка принадлежит прямой а, то она симметрична сама себе.
Составим алгоритм построения точки, симметричной данной.
Алгоритм построения
• Провести прямую b перпендикулярную прямой а
• Отложить от точки О на прямой b расстояние, равное ОА
• Получить точку А1

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры.

(Цвет линий и букв черный)
Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии. Неразвернутый угол имеет одну ось симметрии – прямую, содержащую биссектрису угла.

Подумайте, какие из данных фигур имеют ось симметрии и сколько?
Рассмотрим симметрию относительно точки.
Симметрия относительно точки
Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА1.

Составим алгоритм построения точки, симметричной данной относительно точки О.
Алгоритм построения
• Соединить точку А и точку О прямой и продолжить прямую за точку О
• От точки О отложить расстояние равное ОА
• Получить точку А1

Фигура называется симметричной относительно центра, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре.

Центр симметрии имеет круг, квадрат.

Подумайте, какие из данных фигур имеют центр симметрии?

Слово «симметрия» греческое (συμμετρία), оно означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей», неизменность при каких-либо преобразованиях.
В словаре С.И. Ожегова симметрия – это соразмерность, пропорциональность частей чего-нибудь, расположенных по обе стороны от середины, центра.
С симметрией мы часто встречаемся в природе, архитектуре, искусстве, технике и быту. Симметрия в одежде – это символ строгости. Симметрия в архитектуре – это признак красоты и надежности. Некоторые люди утверждают, что симметрия – это совершенство.
Симметрией обладают некоторые буквы латинского и русского алфавита. Например, буква М обладает осевой симметрией, а буква Х – центральной симметрией.
Многие дорожные знаки обладают осевой или центральной симметрией. Гуляя по городу, приглядитесь к знакам. Найдите такие, которые имеют несколько осей симметрии и такие, которые не имеют осей симметрии.

Есть ось симметрии, центра симметрии нет Есть центр симметрии и 4 оси симметрии
Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.

Конспект урока геометрии: Осевая и центральная симметрия, 8 класс

</ Мишутина Н.Н., школа №36

8 класс Осевая и центральная симметрии.

Цель: дать учащимся понятие симметрии, конкретизировать это понятие на примере осевой симметрии.

Задачи: 1. Научить строить симметричные точки, уметь распознавать фигуры, являющиеся симметричными относительно прямой.

2. Развитие познавательной и творческой активности учащихся на примерах применения симметрии в природе, архитектуре и поэзии.

3. Воспитывать умения контролировать свои действия.

«Кто смолоду делает и думает сам,

тот становится потом, надёжнее, крепче, умнее» В. Шукшин.

ХОД УРОКА

I. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

Сконцентрировать внимание учащихся на том, что данный урок будет проходить с использованием чертежных инструментов.

II. ОБЪЯСНЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

О, симметрия! Гимн тебе пою!

Тебя повсюду в мире узнаю.

Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,

Ты в елочке, что у лесной дорожки.

С тобою в дружбе и тюльпан, и роза,

И снежный рой — творение мороз.

Обратить внимание учащихся на некоторые окружающие их предметы и обратить внимание на их соразмерность, на неизменность структуры этих объектов. Об этом свойстве геометрических фигур, окружающих нас материальных объектов будет идти речь на сегодняшнем уроке.

«Симметрия» — слово греческого происхождения. Оно, как и слово «гармония», означает соразмерность, наличие определенного порядка, закономерности в расположении частей. Известный немецкий математик Герман Вейль дал определение симметрии таким образом: «Симметрия является той идеей, с помощью которой человек веками пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство». Природа - удивительный творец и мастер. Все живое в природе обладает свойством симметрии. Если сверху посмотреть на любое насекомое и мысленно провести посередине прямую (плоскость), то левые и правые половинки насекомых будут одинаковыми и по расположению, и по размерам, и по окраске. Ведь мы ни разу не видели, чтобы у жука или стрекозы, у любого другого насекомого лапы слева были бы ближе к голове, чем справа, а правое крыло бабочки или божьей коровки было бы больше, чем левое.

Такого в природе не бывает, иначе бы насекомые не смогли бы летать. Свойство симметричности, присущее живой природе, человек использовал в своих достижениях: изобрел самолет, создал уникальные здания архитектуры. Да и сам человек является фигурой симметричной. Однако симметрия существует и там, где ее не видно на первый взгляд. Физик скажет, что всякое твердое тело — кристалл. Знаменитый кристаллограф Евграф Степанович Федоров сказал: «Кристаллы блещут симметрией». Химик скажет, что все тела состоят из молекул, а молекулы состоят из атомов. А многие атомы располагаются в пространстве по принципу симметрии. Таким образом, данное преобразование фигур (симметрия) вошло в математику в результате наблюдения человека за окружающим миром. Оно встречается часто и повсеместно. Поэтому даже не искушенный человек обычно легко усматривает симметрию в относительно простых ее проявлениях.

В древности слово «СИММЕТРИЯ» употреблялось в значении «гармония», «красота». Действительно, в переводе с греческого это слово означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей».

Осевая и центральная симметрии.

Две точки A и A1 называются симметричными относительно прямой a, если эта прямая проходит через середину отрезка AA1 и перпендикулярна к нему (рис. 1, a). Каждая точка прямой a считается симметричной самой себе. На рисунке 1, б точки M и M1, N и N1 симметричны относительно прямой b, а точка P симметрична самой себе относительно этой прямой.

Рис. 1

Симметрия бывает центральная, осевая, зеркальная, скользящая. Сегодня уроке мы рассмотрим осевую симметрию.

  1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: две точки. А и А1 называются симметричными относительно прямой, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1, и перпендикулярна к нему. Эта прямая называется осью симметрии.

  2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Фигура называется симметричной относительно прямой a, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой, а также принадлежит этой фигуре.

Приведем примеры фигур, обладающих осевой симметрией:

а) у неразвернутого угла одна ось симметрии — прямая, на которой расположена биссектриса угла;

б) равнобедренный треугольник (но не равносторонний) — имеет также одну ось симметрии, проходящую через медиану треугольника, проведенную к основанию;

в) равнобедренная трапеция — имеет одну ось симметрии, проходящую через середины оснований.

Есть фигуры, обладающие двумя осями симметрии: прямоугольник, ромб (но не квадрат). А у таких фигур, как равносторонний треугольник, квадрат, окружность, круг — более двух осей симметрии. Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К ним относятся произвольный треугольник, произвольный четырёхугольник, неправильный многоугольник.

III. ПОСТРОЕНИЕ

На уроке рассматриваются методы построения:

а) точки, симметричной данной;

б) отрезка, симметричного данному;

а) ПОСТРОИТЬ ТОЧКУ А1 СИММЕТРИЧНУЮ ТОЧКЕ А ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ С.

Построение:

  1. Из точки А провести прямую перпендикулярную прямой с.

  2. Отложить отрезок ОА1 равный отрезку ОА.

  3. А1 — искомая точка

б) ПОСТРОИТЬ ОТРЕЗОК А1В1 СИММЕТРИЧНЫЙ ОТРЕЗКУ АВ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ с.

Построение:

  1. А А1 ┴с, АО=ОА1.

  2. ВВ1┴с, ВО11 В1.

  3. А1В1 — искомый отрезок.

  • Какие фигуры, обладающие центральной симметрией, имеют осевую симметрию?

IV. ЗАКРЕПЛЕНИЕ в ходе решения задач.

  1. № 416 ученик у доски

  2. № 417стр.114 устно

  3. № 418 стр.114 устно: Какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, Г, Е, О, F.

  4. № 421 стр.114.у доски и в тетради. Даны точки А, В и М. Постройте точку, симметричную точке М относительно середины отрезка АВ.

  5. №422 стр. 114 устно: Имеют ли центр симметрии: а) отрезок; б) луч; в) пара пересекающихся прямых; г) квадрат?

  6. № 423 стр.114 устно.

V. СИММЕТРИЯ ВОКРУГ НАС

Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии: многие листья, снежинки, плоды, лепестки цветов, живые организмы (например, насекомые), зеркальное отображение. С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту, поэзии. Симметричные узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричные детали механизмов, например, зубчатые колеса.

Симметрия играет огромную роль в искусстве и архитектуре. Но ее можно заметить и в музыке, и в поэзии. Симметрия широко встречается в природе, в особенности у кристаллов, у растений и животных. Симметрия может встретиться и в других разделах математики, например при построении графиков функций.

VI. ИТОГ УРОКА.

  1. Сколько осей симметрии имеет отрезок?

  2. Сколько осей симметрии имеет прямая?

  3. Сколько осей симметрии имеет луч?

Симметрию можно обнаружить почти везде, если знать, как ее искать. Многие народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком смысле — как об уравновешенности и гармонии. Творчество людей во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. Посредством симметрии человек всегда пытался, по словам немецкого математика Германа Вейля, «постичь и создать порядок, красоту и совершенство».

Домашнее задание: п.47 вопросы 16-20, № 420, задачи из рабочей тетради № 25, 26.

Осесимметричное течение – обзор

3 Отрыв ламинарного потока на теле вращения и треугольном крыле

Для конфигураций тела вращения и треугольного крыла представлена ​​задача об отрыве ламинарного потока.

Отрыв потока на сфере — классическая задача, которая в прошлом изучалась экспериментально и аналитически. Измеренный коэффициент полного сопротивления сферы, определяемый как CD=(total drag)/12ϱ∞u∞2Amax, составляет около 0,44 в ламинарной области 2× 10 3 < Re d < 2× 10 5 .

C D сферы намного ниже, чем соответствующее значение круглого цилиндра, что составляет примерно половину. Этот факт можно понять, изучая распределение статического давления. Распределение статического давления на сфере и круглом цилиндре, представленное в главе I, раздел 1, «Механика отрыва потока», показывает, что разница между распределением статического давления потенциального и вязкого течения для сферы мала по сравнению с круговым цилиндр, что приводит к меньшему общему сопротивлению.Для сферы точка ламинарного отрыва расположена при ϕ ≃ 83·5° [12] и этот угол практически совпадает с круговым цилиндром.

Схема течения над трехмерным телом включает линии внешнего течения и поверхностного течения, направление течения которых может различаться. На рис. 2 показаны эти две разные линии тока в теле вращения при малом падении, рассчитанные Нонвейлером [13]. Кроме того, на рис.3. Как упоминалось в Главе I, линия поверхностного тока определяется как кривая, направление которой везде совпадает с направлением исчезающей скорости жидкости на поверхности, и эта кривая задается выражением dydx=limz→0(vu).

РИС. 2. Теоретический прогноз обтекания тела вращения при малых углах падения [13]

РИС. 3. Обтекание оживы под большим углом атаки: визуализация двух вихрей на верхней поверхности

(Фото предоставлено ONERA)

Как показано на рис.2, окружная составляющая течения реверсируется над задней частью корпуса, где в поперечном течении возникает вихревая пара; а продольная составляющая также меняет направление на наветренную сторону тела в плоскости симметрии. Следовательно, на нижней стороне образуется узловая точка поверхностных линий тока, и в этой точке локальное касательное напряжение становится равным нулю. Кроме того, вблизи этой точки произойдет отрыв и выброс вихрей в область следа. О ламинарном отрыве потока на телах вращения упоминается меньше, чем о отрыве потока на двумерных телах; однако связь между осесимметричным и двумерным ламинарным пограничным слоем задается преобразованием Манглера [14].С помощью этого преобразования можно использовать двумерное решение для осесимметричного течения.

3.1 Преобразование Манглера

В случае течения с направлением, параллельным оси вращения тела, Больце [15] вывел основные дифференциальные уравнения движения потока. Принимая криволинейную систему координат, x — это длина меридиана, измеренная от передней критической точки и координаты, перпендикулярной y . Контур тела вращения задается радиусами х ( х ) поперечного сечения, взятого под прямым углом к ​​оси (рис.4). Делается предположение об отсутствии острых углов, чтобы d 2 r / dx 2 не имели бы очень больших значений. Тогда уравнения импульса, неразрывности и энергии принимают вид стационарного осесимметричного течения несжимаемой жидкости:

РИС. 4. Обтекание тела вращения

u∂u∂x+v∂u∂y=ueduedx+v∂2u∂y2,∂(ur)∂x+∂(vr)∂y=0,ϱcp[u∂T ∂x+v∂T∂y]−u∂p∂x=∂∂y(k∂T∂y)+µ(∂u∂y)2,

и граничные условия

при   y=0, u=v=0and  aty=∞,u=ue.

Но для двумерного стационарного течения несжимаемой жидкости уравнения количества движения, неразрывности и энергии имеют вид

¯∂y¯2∂u¯∂x¯+∂v¯∂y¯=0

и

ϱ¯cp[u¯∂T∂x¯+v¯∂T∂y¯]−u¯∂p ¯∂x¯=∂∂y¯(k∂T∂y¯)+µ¯(∂u¯∂y¯)2.

Граничные условия: при y¯=0,u¯=v¯=0,y¯=∞,u¯=u¯e.

Свойства потока с перечеркнутой линией ( ) относятся к двумерному потоку, чтобы отличать их от свойств осесимметричного потока.Сразу видно, что уравнения импульса и энергии осесимметричного и двумерного течений совпадают, а отличие состоит только в уравнении неразрывности с участием r . Манглер [14] нашел, что следующие преобразования x¯=1L2∫0xr2(x)dx,y¯=r(x)Ly,, дают соотношение скоростей u¯=u,v¯=Lr(v+drdxyur) и другие соотношения p¯(x)=p(x),T¯(x¯,y¯)=T(x,y),ϱ¯(x¯,y¯)=ϱ(x,y),µ¯ (x¯,y¯)=µ(x,y), где L обозначает постоянную длину. Этими преобразованиями уравнения импульса и неразрывности стационарных осесимметричных ламинарных течений сводятся к уравнениям двумерного течения и наоборот.Если u¯ и v¯ известны для x¯ и y¯, то u и v вычисляются преобразованием при соответствующих x и y . Преобразование Манглера применимо только для ламинарного течения и неприменимо для турбулентного течения, как показано де Сото и Вольфом [16]. Но преобразование Манглера справедливо как для сжимаемых пограничных слоев, так и для тепловых пограничных слоев в ламинарном течении [17]. Теперь, что касается осесимметричного отрыва потока, предсказание ламинарного отрыва было получено путем преобразования решения Гертлера для двумерного ламинарного течения к осесимметричному потоку с помощью преобразования Манглера [18, 19].Часто для тела вращения используют критерий двумерного отрыва потока; однако при увеличении толщины тела вращения применимость двумерного критерия становится сомнительной.

Например, отрыв ламинарного потока происходит в сечении тела вращения, где выполняется следующий критерий:

θ2vduedx=−0·090[20].

Но точность предсказания ламинарного разделения по этому критерию уменьшается для сфероида по мере увеличения отношения толщины (толщина/хорда), потому что невязкое приближение становится все более неточным по мере приближения к области отрыва.

Для осесимметричного течения задача об отрыве потока решается уравнениями пограничного слоя, как и в случае двумерного течения применительно к гладким кривым. Поэтому для резко меняющейся формы тела, такой как угол, приведенный выше анализ не подходит.

3.2 Ламинарное разделение на цилиндре с отклонением от курса

Явления отрыва ламинарного потока на крыльях с отклонением от курса и стреловидностью являются важными задачами трехмерного разделения. В качестве первого шага к исследованию этих проблем Сирс [8] рассмотрел отрыв ламинарного потока на искривленном конечном цилиндре.Он использовал криволинейные координаты x и z , как показано на рис. 5, описывающем плоское течение цилиндра без рыскания. Дополнительно вводится третья координата y , направление которой параллельно оси цилиндра.

РИС. 5. Система координат [8]

Взяв направления компонент скорости u, v , w , параллельные оси x, y , z , сведем уравнения Навье–Стокса применяя анализ Прандтля порядка величины:

(1) непрерывность: ∂u∂x+∂w∂z=0;

(2)импульс:∂u∂t+u∂u∂x+w∂u∂z=−1ϱ∂p∂x+v∂2u∂z2,

(3)∂v∂t+u∂v ∂x+w∂v∂z=v∂2v∂z2;

(4)∂p∂z=0.

Термины ∂u/∂t и ∂v/∂t здесь опущены, поскольку в этой главе рассматривается только задача об установившемся течении. Уравнения (1), (2) и (4) не содержат ни v , ни y , поэтому эти уравнения точно такие же для двумерного случая. Следовательно, можно сказать, что задача, представленная этими тремя уравнениями, и граничные условия для цилиндра с рысканием такие же, как и для плоского обтекания того же цилиндра при нулевом рыскании. Это означает, что решение обтекания двумерного цилиндра может быть перенесено непосредственно на случай рыскания для решения задачи об отрыве потока.Составляющую потока по размаху v можно рассчитать путем интегрирования линейного уравнения. Введя следующие безразмерные величины где

ξ=x/L,η=Re1/2·z/L,Re=u∞Lv,

и L = характерная длина, ур. (1), (2), (3) и (4) принимают вид, уменьшая число членов уравнений,

∂f∂ξ+∂h∂η=0,f∂f∂ξ+h∂f ∂η=−∂p′∂ξ+∂2f∂η2,f∂g∂ξ+h∂g∂η=∂2g∂η2,∂p′∂η=0,

, где

p′=pϱu∞ 2.

Если критерий отрыва хордовой составляющей течения от поверхности определяется как ∂f/∂η = 0 при η = 0 или ∂u/∂z = 0 при z = 0, то эти упрощенные пограничные слои уравнения вращающегося бесконечного цилиндра не влияют на критерий ламинарного отрыва; следовательно, можно утверждать, что точка ламинарного разделения не зависит от рыскания. В связи с этим можно напомнить, что в главе II показано, что точка ламинарного отрыва не зависит от числа Рейнольдса. Sears вычислил точку ламинарного отрыва для класса установившихся двумерных цилиндрических течений с распределением скорости потока перед отрывом, заданным как

ue=u∞(ξ−ξ3).

Используя критерий разделения, определенный

∂f∂η=0; η=0

точка раздела расположена на ξ = 0,69, где ξ определяется как x / L , а L – длина характеристики, равная расстоянию между точками, где u e ( x ) = 0 и что u является величиной, пропорциональной скорости невозмущенного потока, но не обязательно равной ей. Поскольку двумерный устойчивый потенциальный потенциал может быть дан U E ( x ) = A 1 x + A 3 x 3 , параметры A 1 и a 3 можно найти, подгоняя u e ( x ) к распределению скоростей различных цилиндров, что делает решение более общим.

Наконец, линия тока потенциального потока и «линии поверхностного тока» на поверхности наклонного цилиндра были рассчитаны и нанесены на рис. 6.

РИС. 6. Линия тока потенциального течения и линия поверхностного тока на поверхности для обтекания наклонного цилиндра [8]

Масштабы на графике линий тока на рис. 5 произвольны и выбраны просто для четко показать разницу между линиями тока потенциального потока и линией поверхностного тока для трехмерных случаев, без указания отношения v / u , а также отношения u к нормальной составляющей набегающего потока.

Уайлд [21] изучал ламинарный пограничный слой бесконечного крыла и обнаружил, что приближенное решение может быть получено с помощью простого расширения метода Кармана–Польхаузена.

Уравнения Навье–Стокса для стационарного течения несжимаемой жидкости над однородным бесконечно длинным цилиндром с отклонением от курса имеют вид z2,

(6)∂p∂z=0,

(7)u∂v∂x+w∂v∂z=v∂2v∂z2.

Уравнение непрерывности:

(8)∂u∂x+∂w∂z=0.

Используя степенной ряд Кармана–Польхаузена, профиль скорости определяется выражением ≤z≤δx).

где δ x толщина пограничного слоя хордовой составляющей скорости, а коэффициенты A 0 , A 1 , …, являются функциями x 9 A 0 , A 1 , …, определяются выполнением граничных условий и уравнения(6). Толщина пограничного слоя δ x затем рассчитывается для удовлетворения уравнениям. (5) и (8). Чтобы удовлетворить уравнению (7), метод Полхаузена расширяется и выражается как

(10)vve=B0+B1(zδy)+B2(zδy)2+B3(zδy)3+B4(zδy)4(0 ≤z≤δx).

РИС. 7. Система координат [21]

, где v e — локальная потенциальная скорость вне пограничного слоя, а δ y — толщина пограничного слоя продольной составляющей скорости.Коэффициенты B 0 , B 1 , …, определяются из граничных условий ∂z=0 и ∂2v∂z2=0.

Тогда ур. (10) сводится к

(11)vve=2(zδy)−2(zδy)3+(zδy)4(0≤z≤δy).

Для бесконечного крыла отсутствует градиент давления по размаху, т.е. может отсутствовать отрыв потока. Если ур. (11), этот факт выражается как ∂v/∂z ≠ 0 для z = 0. Интегрируя уравнение (7) по z ,

(12)ddx∫0δyu(v−ve)dz=−v(∂v∂z)z=0.

При значениях u и v из ур. (9) и (11) записываются в уравнение. (12) и проинтегрировав, можно получить обыкновенное дифференциальное уравнение для ξ = δ x y .

(13)Дляξ≤1:dξdx=2ξλ−A(1+uedue/dx·dδx/dxδx)−Cuedue/dxB(uedue/dx).Дляξ≥1 иδy≤δx:dξdx=2ξ3λ−α(1+) uedue/dx.dδx/dxδx)−γuedue/dxβ(uedue/dx)}

, где

λ=duedx.δx2v,A=0,3ξ−1+D1−D2ξ+D3ξ3−D4ξ4,B=−0,3ξ− 2−D2+3D3ξ2−4D4ξ3,C=dD1dx−dD2dxξ+dD3dxξ3−dD4dxξ4,D1=∑i=14{A1/(i+1)}−1,D2=∑i=14{2A1/(i+2) }−1,D3=∑i=14{2A1/(i+4)}−12,D4=∑i=14{A1/(i+5)}−15,

и

α=0·06667A1 +0·02381A2ξ−1+0·01072A3ξ−2+0·00556A4ξ−3,β=−(0·13334A1ξ−1+0·07143A2ξ−2+0·04288A3ξ−3+0·02780A4ξ−4),γ= 0·06667dA1dx+0·02381dA2dxξ−1+0·01072dA3dxξ−2+0·0056dA4dxξ−3.

Численный расчет u / u e , v / v e и предельной линии тока выполнен для ламинарного обтекания бесконечного эллиптического цилиндра с отношением большой оси к малой 6 : 1 при угле атаки 7° относительно компоненты u , что соответствует максимальному коэффициенту подъемной силы, как показано на рис. 8. Результаты интегрирования ур. (13) с использованием η (рис. 8) в качестве независимой переменной и методом изоклин показаны на рис.9 и 10.

РИС. 8. Кривая подъема исследуемого цилиндра [21]

РИС. Рис. 10. Размаховая и хордовая составляющие скорости при различных η [21]

На рис. 9 показана «предельная линия тока» в точке z = 0, проведенная в проекции на плоскость крыла со стреловидностью 45°, что свидетельствует о сильном обтекании в пограничном слое по сравнению с линией потенциального потока.Этот направленный наружу поток более выражен, чем на круглом цилиндре, изученном Сирсом, предположительно из-за существующего более сильного градиента давления. На рис. 10 показаны примеры u / u e и v / v e в сравнении с y x 1 . Уайлд обнаружил, что составляющая потока по размаху не оказывает никакого влияния на разделение, подъемную силу или переход, если крыло бесконечно.

Следуя анализам Сирса и Уайлда, Ротт и Крэбтри [22] рассчитали линию поверхностного тока для круглого цилиндра с отклонением от курса по формуле ∫0∞uue(1−uue)dz – импульсная толщина пограничного слоя в направлении по хорде, θy=∫0∞vve{1−(v/ve)}dz – импульсная толщина пограничного слоя в поперечном направлении , v e составляющая скорости по размаху вне пограничного слоя, l=τμeue/θx безразмерный параметр касательного напряжения и l x составляющая l в хордовом направлении.Ротт и Крэбтри определили ламинарное разделение на уровне l = 0,

Непосредственно перед ламинарным разделением наклон стенки резко возрастает как круговой цилиндр показан на рис. 11.

РИС. 11. Расчетные поверхностные и потенциальные линии тока на круглом цилиндре с углом наклона 45° [22]

Эти аналитические кривые были сопоставлены с экспериментальными поверхностными линиями тока, полученными с использованием смеси керосина и ламповой сажи, и сравнение дало хорошее согласие.Число Рейнольдса, основанное на нормальной к цилиндру составляющей скорости, составило Re ≈ 20000, а течение было ламинарным.

На килеватом или стреловидном крыле с очень большим удлинением явление отрыва определяется независимо поперечной составляющей скорости.

Стреловидность показала эффект увеличения площади стабильного ламинарного потока и уменьшения подъемной силы, при которой происходит отрыв потока, как сообщает Джонс [23]. Например, в соответствии с двумерной теорией, крыло, которое показывает разворот пограничного слоя и максимальную подъемную силу при C L = 1·4, показало бы отрыв, сопровождаемый полностью развитым боковым движением пограничного слоя при C L = 0·7, если крыло отклоняется от курса на 45°.При большем угле рыскания или 60° максимальный коэффициент подъемной силы падает еще больше и составляет всего 0,35.

3.3 Ламинарное отрывание на конусе под углами атаки

Наглядный пример трехмерного потока может быть показан при размещении круглого конуса под углами атаки. Для дозвуковых скоростей испытания в водяном туннеле с полуугловыми конусами 7,5°, 12,5° и около 40° при длине числа Рейнольдса около 2,7 × 10 4 , Rainbird и др. . В [24] обеспечивали ламинарность течения в пограничных слоях, отрывных вихревых листах и ​​ядре вихря и измеряли распределение давления, положение и силу вихрей, угловое положение линий отрыва и присоединения.

Следует отметить, что ламинарный отрыв на круглом конусе приводит к относительно устойчивым продольным вихрям, в отличие от неравномерного смешения потоков и бафтинга при двумерном отрыве. Кроме того, поверхностное давление на конус при нулевом угле атаки не является коническим на дозвуковых скоростях, в отличие от конического характера на сверхзвуковых скоростях.

Характер вихреобразования зависит от величины относительного падения α/θ c , где θ c — полуугол конуса.

Продольное распределение поверхностного давления показано на рис. 12. x – расстояние по оси конуса от вершины конуса, L – осевая длина конуса. Как видно на рис. 12, продольное распределение давления может быть достаточно хорошо предсказано теорией тонкого тела Лейтона [25]. Распределение окружного давления для α/θ c = 3·0 показано на рис. V 3 , первичный, вторичный и третичный вихри соответственно формируются, как показано на рис.14. ϕ — окружной угол, измеренный от наветренного генератора.

РИС. 12. Распределения продольного давления с нулевым падением [24]

РИС. 13. Распределение окружного давления (Grimson ref. 26) [24]

РИС. 14. Вихревое образование на конусе, конус 7½°, α/θ e = 3·5 [24]

S 1 и S 2 – линии отрыва основного и вторичного потоков соответственно, а A 1 , A 2 , A 3 – наветренная, подветренная и третичная линии присоединения потока соответственно.

Характер образования вихрей наблюдается в следующих трех различных областях α/θ c :

(1)

Малый α/θc, α/θc≤0,6.

Отрыва пограничного слоя, развивающегося от линии примыкания нижней поверхности A 1 (ϕ = 0°), не наблюдается, но наблюдается скопление низкоэнергетической жидкости над верхней половиной конуса, поэтому пограничный слой толщина наибольшая на верхней образующей (ϕ = 180°).

(2)

Умеренная α/θ c .

Для θc=12·5°,0·6<α/θc<1·6. θc=7·5°, 0·6<α/θc<2·2.

Начальный отрыв можно ожидать при α/θ c ˜ 3/4, но начальные эффекты отрыва потока до α/θ c ˜ 1·1 очень малы. При α/θ c ˜ 1·1 вихревые листы отрываются от поверхности конуса на линии первичного отрыва S 1 скатываются, образуя симметричные первичные вихри V 1 значительной силы .Эти вихревые листы состоят не только из жидкости нижнего поверхностного пограничного слоя, образованной между A 1 и S 1 , но и из дополнительной жидкости пограничного слоя из оставшейся части верхней поверхности между вторичной линией присоединения A . 2 при φ = 180° и S 1 .

(3)

Большой α/θ c ,

Для θc=12·5°,1·6<α/θc<3·5. θc=7·5°, 2·2<α/θc<5·5.

Верхний поверхностный пограничный слой, развивающийся из A 2 при ϕ = 180°, отрывается на S 2 и образующиеся таким образом вихревые листы сворачиваются в относительно слабый третичный вихрь 1
0 1
V противоположного знака по отношению к первичному и вторичному вихрям. Этот вихревой лист также подпитывается с противоположной стороны S 2 за счет роста нового пограничного слоя выше (увеличение ϕ) A 3 , третичной линии присоединения.Нижний поверхностный пограничный слой, развивающийся от линии первичного присоединения А 1 , отделяется по линии первичного отрыва S 1 и вместе с пограничным слоем, развивающимся вниз (убывающим ϕ) от А 3 , образует вихревой лист, который сворачивается в V 1 и V 2 одного знака. Первичный вихрь V 1 возникает при умеренном угле атаки, но вторичный вихрь V 2 является еще одной новой особенностью поля течения.Позиции V 2 и особенно V 3 расположены близко к поверхности конуса, создавая нисходящий поток, необходимый для присоединения потока в точке A 3 . Положение вихрей показано на рис. 14, а сила вихря и размер ядра вихря для углов полупри вершины конуса 7,5° приведены на рис. 15 и 16. U 2 – осевая составляющая скорости вихревой линии тока, θ 2 – размер ядра вихря (рис. 17).

РИС.Рис. 16. Сила вихря: изменение относительного падения [24]

РИС. 17. Размер ядра вихря [24]

Размер ядра θ 2 и сила вихря, определяемая как Γ/ U 2 x 2 для первичного и вторичного вихрей, эффективно постоянны с расстоянием вниз по потоку под заданным углом нападения. Γ — это циркуляция, а x 2 несколько условно определяется как истинное расстояние от вершины ядра до точки, где конкретная вихревая нить обернулась вокруг «ядра» на пол-оборота.Сила вторичного вихря V 2 составляет примерно 60% от силы V 1 , но из-за его более близкого расположения к поверхности конуса влияние на распределение давления не менее В 1 . При больших углах атаки оказывается, что сила всех вихрей увеличивается линейно с углами атаки.

Недавно Авдуевский и Медведев [27] экспериментально исследовали конусное течение на сверхзвуковых скоростях при числах Маха 2·1, 3·6 и 6·0 в диапазоне чисел Рейнольдса от 10 5 до 10 6 с использованием конусов с углами полупри вершины 5°, 10°, 15° и 30°.На изображении высокоскоростной камеры видно вихреобразование на подветренной стороне конуса с участием встроенной ударной волны внутри ударного слоя.

Для анализа трехмерного отрыва потока приближенные ламинарные решения, ограниченные небольшим поперечным потоком, были разработаны Эйхельбреннером и Удартом [28], Заатом [29] и Куком [30], модифицируя метод Заата.

Все эти методы основаны на уравнении импульса и продольной координате, но различаются выбором профилей скорости, включающих дополнительный параметр поперечного течения, хотя для продольного течения используется однопараметрическое семейство.Поскольку при отрыве переток не мал, эти приближенные методы дают лишь приблизительное определение положения отрыва. Однако, если линия поверхностного тока резко поворачивает, то предсказанные этими приближенными методами положения отрыва могут оказаться близкими.

Кук [30] утверждает, что после сравнения результатов, полученных этими тремя методами, его метод является лучшим и очень подходящим.

Кук [31] применил свой анализ для предсказания несжимаемого ламинарного разделения на наклонной поверхности конуса, используя полярную координату r , расстояние от вершины и θ угол между любой образующей и неподвижной образующей, измеренный в плоскости в какой конус можно развернуть.В предположении, что внешний поток является коническим, преобразованные уравнения неразрывности и импульса решаются численно с помощью процесса Кранка–Николсона, описанного Холлом [32] и другими, с разумной экономией машинного времени. Разделение происходит в положении, когда угол β между поверхностными линиями тока и образующими становится равным нулю, а критерий разделения определяется значением λ, определяемым как λ = α/θ c , где α – угол атака и θ c — полуугол конуса.Если λ < 0,5, то отрыва вообще не происходит, а при λ = 0,5 поток отрывается почти точно у подветренной образующей конуса. Поскольку тип сингулярности, встречающейся при разделении, известен из доклада Брауна [33], положение разделения определяется достаточно точно путем простой экстраполяции аналитического решения, показанного на рис. 18 и 19.

РИС. 18. Определение точки отрыва λ = 1, 1·3, 2 [31]

РИС. 19. Позиции разделения [31]

Из рис.19 замечено, что при точном расчете разделение предсказывается раньше по сравнению с экспериментальными данными Rainbird и др. . [24]. Кук [31] комментирует это несоответствие следующим образом: для анализа внешнее давление дается на основе теории тонкого тела без учета вихревых слоев, связанных с отрывом, а не фактического распределения давления, что может привести к лучшему согласию между анализом и экспериментом. Кук [34] недавно расширил свой анализ несжимаемого потока на наклонном конусе [31] на анализ сжимаемого ламинарного потока.Полученные уравнения очень похожи на уравнения несжимаемого потока, но с дополнительным уравнением и другими небольшими изменениями из-за эффекта сжимаемости. Результаты численных расчетов положения отрыва для конуса с углом полупри вершины θ c 7·5° при M = 3 и 6 и λ = α/sin θ c из 1 и 2 либо с отношением энтальпии стенки к основному потоку, равным 1 (представляющим сильно охлажденную стенку), либо с нулевой теплопередачей (z.H.T.) отображаются в таблицах 1 и 2.

Таблица 1. (из Ref. 34)

Λ
м Условия стены θ SEP
3 1 ж.х.т. 0 · 326
3 3 1 охлаждают 0 · 336
6 1 Z.h.t.t. 0·353
6 1 охлаж.(От Ref. 34)

25 λ
м Условия стены θ SEP
3 1 Z.h.t. 0·326
6 1 з.х.т. 0·353
3 2 з.х.т. 0·269
6 2 з.х.т. 0·269

θ sep — угол между образующими конуса, развернутый в плоскость, в которой происходит разделение.Из таблицы 1 видно, что при охлаждении достигается небольшая задержка разделения, а из таблицы 2 видно, что увеличение M не оказывает значительного влияния на задержку разделения. Поскольку при продолжающемся неблагоприятном градиенте давления с нулевой теплопередачей отрыв происходит раньше при более высоких числах Маха, эти результаты несколько неожиданны. Причина может заключаться в том, что увеличение числа Маха приводит к эффективному увеличению градиента давления, а это, в первую очередь, увеличивает поперечное течение.Поскольку перед разделением необходимо разрушить большой поперечный поток, ожидаемая тенденция к более раннему разделению противодействует.

3.4 Срыв потока на треугольном крыле

Проблема срыва потока на крыле с малым удлинением и большой стреловидностью по передней кромке является важной в современной аэродинамике. Для обтекания треугольным крылом отрыв происходит в месте, где угол между линией поверхностного тока и лучом крыла обращается в нуль. На рис.20, где η определяется как η = ( y / x ) tan 72°, где х берется по осевой линии крыла, а y перпендикулярно x .

РИС. 20. Угол между ограничивающими линиями тока и лучами для конического выпуклого треугольного крыла Ref. 35 с n = 2, η = 0,6, C L = 0,1, стреловидность = 72° [30]. n – параметр в распределении струи вниз, η – луч от вершины, внешняя поверхность которой выпуклая линия и поверхностная линия тока составляет около 16°.Разделение происходит при η = 0,625, 0,645 и 0,690 тремя способами. Расчет показывает, что разделение происходит по лучам, отстоящим от центральной линии на 11,5°, 11,8° и 12,7°, соответствующих этим трем значениям η. Метод Кука предсказывает самое позднее разделение, а метод Эйхельбреннера и Ударта — самое раннее. Другие аналитические представления по этой проблеме были сделаны Манглером и Смитом [36, 37], Брауном [38], Марсденом и др. . [39] и т. д. Недавно Смит [40] улучшил анализ, чтобы вычислить расстояние между передней кромкой и тонкими треугольными крыльями.Анализ Брауна и Майкла [41] касается приближения тонкого тела к линеаризованному сжимаемому потоку.

Отрыв на передней кромке будет представлен в Главе IX, а практические особенности отрыва на крыле будут исследованы в будущей монографии этого автора под названием «Управление отрывом потока». Читатель отсылается к следующим источникам, которые не обязательно ограничиваются ламинарным и несжимаемым потоком: Адамс [42], Александер [43, 44], Бергенсен и Портер [45], Доре [46], Эрншоу [47], Эдвардс [4]. 48], Финк и Тейлор [49], Гарнер и Лериан [50], Герстен [51], Грегори и Лав [52], Холл [53],

Хуммель [54], Кюхеманн [55], Ламборн и Брайер [ 56], Лоуфорд [57], Лежандр [58, 59], Лоусон [60], Маскелл [61], Пекхэм [62], Рейнберд [63], Рэндалл [64, 65, 66], Ротт [67], Рой [68, 69], Смит [70, 71], Сквайр [72], Стюартсон и Холл [73], Уорд [74] и Верле [75, 76].

Симметрия, класс 7, заметки, глава 14, математика

CBSE, класс 7, математические заметки, глава 14, симметрия

Линии симметрии для правильных многоугольников
Правильные многоугольники имеют равные стороны и равные углы. Они имеют несколько (т. е. более одной) линий симметрии. Каждый правильный многоугольник имеет столько линий симметрии, сколько у него сторон.

Обычный
Полигон
Обычный
Шестигранник
Обычный
Пентагон
Квадрат Равносторонний
Треугольник
Количество линий симметрии 6 5 4 3

Вращательная симметрия
Вращение, как и движение стрелок часов, называется вращением по часовой стрелке; в противном случае говорят, что он направлен против часовой стрелки.

При вращении объекта его форма и размер не меняются. Вращение поворачивает объект вокруг фиксированной точки. Эта неподвижная точка называется центром вращения. Угол, на который вращается объект, называется углом поворота.

Полуоборота означает поворот на 180°; четверть оборота означает поворот на 90°.

Вращение может быть по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Если после поворота объект выглядит точно так же, мы говорим, что он обладает вращательной симметрией.

При полном повороте (на 360°) количество раз, когда объект выглядит совершенно одинаково, называется порядком вращательной симметрии.Например, порядок симметрии квадрата равен 4, а для равностороннего треугольника — 3.

Линейная симметрия и вращательная симметрия
Некоторые фигуры имеют только одну линию симметрии, например, буква E;

Некоторые имеют только вращательную симметрию, как буква S;

, а некоторые имеют обе симметрии, такие как буква H.

Изучение симметрии важно из-за ее частого использования в повседневной жизни, а также из-за красивых рисунков, которые она может дать нам.

Фигура называется симметричной относительно прямой l, если она одинакова по обе стороны от l. На соседнем рисунке / — это линия симметрии или ось симметрии.

Правильные многоугольники имеют равные стороны и равные углы. Они имеют несколько (то есть более одной) линий симметрии.

Каждый правильный многоугольник имеет столько линий симметрии, сколько у него сторон.

Линии симметрии некоторых неправильных многоугольников.

Каждая из следующих заглавных букв английского алфавита симметрична относительно пунктирной линии или линий, как показано на рисунке:

Говорят, что фигура обладает вращательной симметрией, если после поворота объект выглядит точно так же.

Неподвижная точка, вокруг которой вращение поворачивает объект (не меняя своей формы и размеров), называется центром вращения.

При полном повороте (на 360°) количество раз, когда объект выглядит совершенно одинаково, называется порядком вращательной симметрии.

Конспекты по математике для 7 класса

Симметрия | Основы GD&T

Обозначение GD&T:

Относительно исходной точки : Да

Применимо MMC или LMC:

Выноска на чертеже:

 

Описание:

Симметрия GD&T — это трехмерный допуск, который используется для обеспечения того, чтобы два элемента детали были одинаковыми в базовой плоскости.Установленная «истинная» центральная плоскость устанавливается из базы, и для того, чтобы симметрия была в пределах допуска, срединное расстояние между каждой точкой на двух поверхностных элементах должно находиться вблизи этой центральной плоскости. Каждый набор точек на опорных объектах будет иметь среднюю точку, которая находится прямо между ними. Если вы берете все средние точки всей поверхности, они должны находиться в пределах зоны допуска, чтобы быть в спецификации. Симметрия не является очень распространенным выноской GD&T, поскольку она имеет очень ограниченное функциональное применение (расположение по центру выполняется с помощью Position), а проверка и измерение симметрии могут быть затруднены (см.: Заключительные примечания).

 

Зона допуска GD&T:

Параллельные плоскости на равных сторонах центральной базовой плоскости. Средние точки симметричных поверхностей должны находиться в пределах этой зоны.

 

Калибровка/Измерение:

Как было сказано ранее, симметрию очень трудно измерить. Из-за того, что его зона допуска ограничена виртуальной плоскостью, у вас не может быть датчика для правильного быстрого измерения этой функции. Обычно для измерения симметрии КИМ настраивают для расчета теоретической базовой плоскости средней точки, измерения поверхностей обеих требуемых поверхностей, а затем определения того, где лежат средние точки относительно базовой плоскости.Это сложный и иногда неточный метод определения симметричности детали.

Связь с другими символами GD&T:

Симметрия — это некруглая версия концентричности. В то время как концентричность на самом деле является фокусом симметрии вокруг базовой оси, символ симметрии фокусируется на симметрии относительно базовой плоскости. Оба символа указывают на то, что теоретическая опорная точка центра ограничена определенным пределом, чтобы обеспечить однородность всей конструкции.

При использовании:

Когда вы хотите убедиться, что центральная плоскость двух симметричных элементов всегда удерживается точно по центру и имеет ровную форму вдоль поверхности детали. Этот символ используется только для определения баланса массы и распределения формы. Однако в большинстве случаев лучше избегать его использования, так как его очень сложно измерить, и его можно легко заменить допуском положения.

Пример:

Если бы у вас был вращающийся U-образный шарнир, канавка которого должна всегда иметь ровный баланс, вам нужно было бы убедиться, что сопрягаемая часть всегда расположена так, чтобы попасть в центр канавки, и что форма поверхности правильно сбалансирована… Вместо того, чтобы расширять канавку, вызывающую ослабление соединения, вы можете ограничить его симметрией.

 

Симметрия Пример 1: Вызовите симметрию, чтобы убедиться, что канавка находится в центре средней плоскости блока защелки.

Затем необходимо измерить деталь, чтобы убедиться, что все срединные точки сторон блока защелки симметричны относительно центральной оси. Деталь должна быть измерена следующим образом:

  1. Измерьте ширину и положение обеих сторон эталона блока с помощью базы A (40 мм) и определите, где точно расположена срединная плоскость, чтобы установить нашу зону допуска.
  2. Сторона 1 и сторона 2 детали сканируются на наличие их фактических профилей
  3. С помощью программы срединные точки сканов Стороны 1 и Стороны 2 накладываются на плоскости виртуальной зоны допуска и определяются, находятся ли они в допуске.

Заключительные примечания:

В большинстве случаев следует избегать симметрии из-за особых функциональных требований и сложности измерения. Благодаря плоскостности, параллельности и истинному положению вы можете найти точно такие же ограничения на детали, хотя и потребуется больше выносок и измерений.Однако, поскольку истинное положение можно измерить с помощью датчика (если используется MMC), а плоскостность автоматически контролируется размером размера и измеряется непосредственно на поверхностях, их можно контролировать в процессе и не требуют своевременных измерений КИМ.


Станьте ведущим инженером в своей компании

Изучайте GD&T в удобном для вас темпе и уверенно применяйте их в реальном мире.

Пройдите обучение GD&T

Все символы

PDST Высшая математика | **Новый семинар – Логическая статистика

Этот веб-сайт использует Google Analytics для сбора анонимной информации, такой как количество посетителей сайта и наиболее популярные страницы.

Включение этого файла cookie помогает нам улучшить наш веб-сайт.

Сначала включите строго необходимые файлы cookie, чтобы мы могли сохранить ваши настройки!

Показать детали
Имя Провайдер Назначение Срок действия
_га Google Файл cookie Google Analytics, который используется для расчета посетителей, сеансов, данных кампании и отслеживания использования сайта для аналитического отчета сайта.Файлы cookie хранят информацию анонимно и присваивают случайно сгенерированный номер для идентификации уникальных посетителей. Отказ на https://tools.google.com/dlpage/gaoptout 730 дней
_gat Google Файл cookie Google Analytics, используемый для ограничения частоты запросов.Отказ на https://tools.google.com/dlpage/gaoptout 1 день
_гид Google Файл cookie Google Analytics, используемый для хранения информации о том, как посетители используют веб-сайт, и помогает в создании аналитического отчета о работе веб-сайта.Собранные данные, включая количество посетителей, источник, откуда они пришли, и страницы, посещенные в анонимной форме. Отказ на https://tools.google.com/dlpage/gaoptout 1 день
НИД Google Содержит уникальный идентификатор, который Google использует для запоминания ваших предпочтений и другой информации, такой как предпочтительный язык (например, ваш язык).грамм. английский), сколько результатов поиска вы хотите отображать на странице (например, 10 или 20), и хотите ли вы, чтобы фильтр безопасного поиска Google был включен.

форм молекул

В двухатомной молекуле (X 2 или XY) имеется только одна связь, и полярность этой связи определяет полярность молекулы: если связь полярна, молекула полярна, а если связь неполярна, молекула неполярна.

В молекулах с более чем одной связью обе формы и полярность связи определяют, является ли молекула полярной 91–150 . А молекула должна содержать полярные связи, чтобы молекула была полярной, но если полярные связи выровнены точно напротив друг друга, или если они достаточно симметричны, полярность связи уравновешивается, что делает молекула неполярная. (Полярность является векторной величиной, поэтому оба величина и направление должны быть приняты во внимание.)

Например, рассмотрим точечную структуру Льюиса для углекислый газ. Это линейная молекула, содержащая два полярных двойные связи углерод-кислород. Однако, поскольку полярные связи направлены ровно на 180 градусов друг от друга, полярности связей компенсируются, и молекула неполярна. (В качестве аналогии вы можете представить себе, что это как игра в перетягивание каната между двумя командами, которые тянут веревку одинаково тяжело.)

Молекула воды также содержит полярные связи, но поскольку это изогнутая молекула, связи расположены под углом друг к другу около 105.Они делают , а не , потому что они не указывают точно друг к другу, и есть общий диполь, идущий от водородный конец молекулы ближе к кислородному концу молекулы; следовательно, вода является полярной молекулой:

Молекулы, в которых все атомы, окружающие центральные атомы одинаковы, имеют тенденцию быть неполярными, если нет неподеленных пар на центральном атоме.Если некоторые из атомов, окружающих центральный атом различны, однако молекула может быть полярной. например, углерод тетрахлорид, CCl 4 , неполярный, но хлороформ, CHCl 3 , и метилхлорид, CH 3 Cl полярны:

Полярность молекулы сильно влияет на ее физические свойства. Молекулы, которые более полярны, имеют более сильную межмолекулярные силы между ними и имеют, как правило, более высокую температуру кипения точки (а также другие различные физические свойства).

В таблице ниже показано, соответствуют ли примеры в предыдущие разделы являются полярными или неполярными. Для видов, имеющих общий заряд, вместо него используется термин «взимаемый», поскольку термины полярные и неполярные на самом деле не относятся к заряженным частицам; взимается виды по определению существенно полярны. Одиночные пары на некоторых внешних атомы опущены для ясности.

 

 

Формула

Льюис Структура

3D-структура

Форма

 Полярность

Пояснение

1.

Ч 4

четырехгранный

неполярный

Связь CH неполярный, так как C и H отличаются всего на 0,35 единицы электроотрицательности.

2.

НХ 3

тригональный пирамидальный

полярный

С этого молекула не плоская, связи NH не направлены непосредственно друг на друга, и их полярности не отменяют из.Кроме того, имеется небольшой диполь в направлении одинокой пары.

3.

Н 2 О

изогнутый

полярный

С этого молекула изогнута, связи ОН не направлены прямо на друг друга, и их полярности не уравновешиваются.

4.

Н 3 О +

тригональный пирамидальный

заряжен

С этого виды заряжены, термины полярные и неполярные не имеющий отношения.

5.

HCN

линейный

полярный

Линейные молекулы обычно неполярны, но в этом случае не все атомы связанные с центральным атомом, одинаковы.Облигация CN полярна и не компенсируется неполярной связью CH.

6.

СО 2

линейный

неполярный

Полярный C=O связи ориентированы на 180 градусов друг от друга.Полярность этих связей уравновешивается, делая молекулу неполярной.

7.

ККл 4

четырехгранный

неполярный

Полярный CCl облигации ориентированы 109.5 друг от друга. Полярность этих связей уравновешивается, делая молекулу неполярной.

8.

COCl 2

треугольная планарная

полярный

Тригональная планарная молекулы обычно неполярны, но в этом случае не все атомы, связанные с центральным атомом, одинаковы. полярность связи не компенсируется полностью, и молекула полярна. (Если было три O или три Cls прикрепленный к центральному C, он будет неполярным.)

9.

О 3

изогнутый

полярный

Согнутые молекулы всегда полярны.Хотя кислород-кислородные связи неполярный, неподеленная пара на центральном O вносит некоторый вклад полярность молекулы.

10.

CO 3 2-

треугольная планарная

заряжен

С этого виды заряжены, термины полярные и неполярные не имеющий отношения.

11.

С 2 Н 6

четырехгранный

неполярный

Оба атома углерода четырехгранные; поскольку связи CH и связь CC неполярный, молекула неполярная.

12.

С 2 Н 4

треугольная планарная

неполярный

Оба атома углерода тригонально-плоские; поскольку связи CH и связь CC неполярны, молекула неполярна.

13.

CH 3 CH 2 ОН

C: тетраэдрический

О: изогнутый

полярный

СС и СН связи не влияют на полярность молекулы, но связи CO и OH полярны, так как форма вокруг атом О изогнут, молекула должна быть полярной.

14.

БФ 3

треугольная планарная

неполярный

С этого молекула плоская, все три полярные связи BF находятся в той же плоскости, ориентированной на 120° друг от друга, что делает молекула неполярная.

15.

линейный

полярный

Так как есть только одна связь в этой молекуле, и связь полярная, т. молекула должна быть полярной.

16.

ПКл 5

тригональный бипирамидальный

неполярный

Связи PCl в экваториальные положения этой молекулы ориентированы на 120 друг от друга, и полярность их связей уравновешивается.Связи PCl в аксиальных положениях отстоят на 180° от друг друга, и полярность их связей также уравновешивается.

17.

СФ 6

восьмигранный

неполярный

Облигации SF в все эти молекулы находятся на расстоянии 90° друг от друга, и их полярность связи уравновешивается.

18.

СФ 4

качели

полярный

Облигации SF в осевые положения отстоят друг от друга на 90°, а их полярность связи отменяет.В экваториальных положениях, начиная с одного положения занимает одинокая пара, они не компенсируются, и молекула полярна.

19.

XEF 4

квадратный плоский

неполярный

Облигации XeF все ориентированы на 90° друг от друга, и их связь полярности уравновешиваются.Одинокие пары находятся на расстоянии 180° от друг друга, и их небольшие полярности также уравновешиваются.

20.

H 2 SO 4

S: четырехгранный

О: изогнутый

полярный

Эта молекула полярны из-за изогнутых связей HOS, которые присутствуют в Это.

 

 

Конспекты лекций | Электричество и магнетизм | Физика

Конспект курса был написан Джоном Белчером, Петром Дурмашкиным и Сен-Бен Ляо.

В классе TEAL учащиеся могут использовать Систему персонального реагирования (PRS). Классу задаются вопросы, чтобы стимулировать дискуссию и показать, как переходят концепции. Студенты «голосуют» за ответы в электронном виде, и их ответы подсчитываются.

НЕДЕЛЮ # СЭС # ТЕМЫ ПРИМЕЧАНИЯ К КУРСАМ ПРЕЗЕНТАЦИИ сбн
1 1

Час 1

Почему физика?

Почему Studio Physics? (и как?)

Векторные и скалярные поля

Час 2

Гравитационные поля

Электрические поля

Глава 1: Разделы 1.1 — 1,6; 1.8 (PDF)

Глава 2 (PDF)

(PDF) (PDF)
2

Час 1

Обзор: электрические поля

Плата

Диполи

Час 2

Непрерывное распределение заряда

Глава 1: Раздел 1.6 (PDF)

Глава 2 (PDF)

(PDF) (PDF)
3 Занятие по решению задач 1: линейные и поверхностные интегралы
2 4

Час 1

Работа в группах

Эксперимент 1: Визуализация

Час 2

Электрический потенциал

Глава 3: Разделы 3.1–3.5 (PDF) (PDF) (PDF)
5

Час 1

Закон Гаусса

Час 2

Закон Гаусса

Глава 4 (PDF) (PDF) (PDF)
6 Сессия решения задач 2: Электрическое поле непрерывных распределений заряда
3 7

Час 1

Проводники и изоляторы

Эксперимент 2: электростатическая сила

Час 2

Конденсаторы

Глава 4: Разделы 4.3–4.4 (PDF)

Глава 5 (PDF — 1,3 МБ)

(PDF) (PDF)
8

Час 1

Последний раз: проводники

Эксперимент 3: Ведро для льда Фарадея

Час 2

Конденсаторы и диэлектрики

Глава 4: разделы 4.3–4.4 (PDF)

Глава 5 (PDF — 1,3 МБ)

(PDF) (PDF)
9 Занятие по решению задач 3: Закон Гаусса Глава 4 (PDF)
4 10

Час 1

Цепи постоянного тока

Час 2

Правила цикла Кирхгофа

Глава 6 (PDF)

Глава 7: Разделы 7.с 1 по 7.4 (PDF)

(PDF — 1,2 МБ) (PDF)
11 Сессия решения проблем 4: Емкость Глава 5 (PDF, 1,3 МБ)
5 12

Час 1

Работа с цепями

Эксперимент 4: Часть I: Измерение V, I, R

Час 2

RC-цепи

Эксперимент 4: Часть II: RC-цепи

Глава 7 (PDF) (PDF) (PDF)
13

Час 1

Обзор концепции/обзор

Вопросы PRS — Возможные экзаменационные вопросы

Час 2

Образец экзамена

(PDF) (PDF)
6 14

Час 1

Магнитные поля

Эксперимент 5: магнитные поля

Час 2

Заряды, движущиеся в полях B

Обзор экзамена

Глава 8 (PDF) (PDF) (PDF)
15

Час 1

Магнитная сила

Эксперимент 6: магнитная сила

Час 2

Создание полей B: Biot-Savart

Глава 9: Разделы 9.1–9.2 (PDF — 1,9 МБ) (PDF — 1,1 МБ) (PDF)
16 Сессия решения проблем 5: Магнитный крутящий момент и моменты

Глава 8: разделы 8.3–8.4 (PDF)

Глава 9: разделы 9.1–9.2 (PDF — 1,9 МБ)

7 17

Час 1

Диполи и магнитные поля

Час 2

Эксперимент 7: диполи в полях B

Глава 8: Раздел 8.4 (PDF)

Глава 9: разделы 9.1–9.2, 9.5 (PDF — 1,9 МБ)

(PDF) (PDF)
18

Час 1

Левитация

Эксперимент 8: магнитные силы

Час 2

Закон Ампера

Глава 9 (PDF, 1,9 МБ) (PDF — 1,6 МБ) (PDF)
19 Занятие по решению задач 6: Закон Ампера Глава 9: Разделы 9.3 — 9,4; 9.10.2, 9.11.6, 9.11.7 (PDF — 1,9 МБ)
8 20

Час 1

Закон Фарадея

Час 2

Закон Фарадея: приложения

Глава 10 (PDF) (PDF) (PDF)
21

Час 1

Эксперимент 9: Закон Фарадея

Час 2

Закон Фарадея

Трансформаторы

Магнитные материалы

Глава 10 (PDF)

Глава 11: Раздел 11.1 (PDF — 1,0 МБ)

(PDF) (PDF)
22 Занятие по решению задач 7: Закон Фарадея Глава 10 (PDF)
9 23

Час 1

Обзор концепции/обзор

Вопросы PRS — Возможные экзаменационные вопросы

Час 2

Образец экзамена

(PDF) (PDF)
24

Час 1

Цепи индуктивности и LR

Час 2

Энергия в индукторах

Глава 11: Разделы 11.1–11.4 (PDF — 1,0 МБ) (PDF) (PDF — 1,3 МБ)
10 25

Час 1

Эксперимент 10: Часть I: Измерение L

Цепи LC

Час 2

Эксперимент 10: Часть II: Цепь LRC

Глава 11: Разделы 11.5–11.6 (PDF — 1,0 МБ) (PDF) (PDF)
26

Час 1

Управляемое гармоническое движение (RLC)

Час 2

Эксперимент 11: управляемая цепь RLC

Глава 12 (PDF) (PDF) (PDF)
27 Сессия решения проблем 8: Управляемые цепи RLC Глава 12 (PDF)
11 28

Час 1

Ток смещения

Уравнения Максвелла

Час 2

Электромагнитные волны

Глава 13 (PDF) (PDF) (PDF)
29 Занятие по решению проблем 9: Ток смещения, пойнтинг Глава 13 (PDF)
12 30

Час 1

Бегущие и стоячие волны

Час 2

Электромагнитные (ЭМ) волны

Глава 13 (PDF) (PDF) (PDF)
31

Час 1

Обзор концепции/обзор

Вопросы PRS — Возможные экзаменационные вопросы

Час 2

Образец экзамена

(PDF)
13 32

Час 1

Генерация электромагнитных волн

Плоские электромагнитные волны

Электродипольные электромагнитные волны

Час 2

Эксперимент 12: Микроволны

Просмотр результатов экзамена 3

Глава 13 (PDF) (PDF-2.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.