Презентация по геометрии осевая и центральная симметрия 8 класс: Презентация к уроку «Осевая и центральная симметрия»,8 класс

Содержание

Осевая и центральная симметрия. Урок геометрии в 8 классе

1. Осевая и центральная симметрия

Презентация урока геометрии в 8 классе

3. Содержание

Симметричность точек относительно прямой
Симметричность фигуры относительно прямой
Симметричность точек относительно точки
Симметричность фигуры относительно точки
Симметрия на координатной плоскости
Симметрия вокруг нас
Математики о симметрии
Проверим знания
Задания

4. Симметричность точек относительно прямой

Определение
Две точки А и А1 называются
симметричными
относительно прямой а,
если эта прямая проходит
через середину отрезка АА1
и перпендикулярна к нему.
Задание
Постройте точку C1,
симметричную точке C
относительно прямой а.
Т
A A1
a
A1
a
AO = OA1
O
A
B
C1
a
C

5. Симметричность фигуры относительно прямой

a b
А
B
M
K
D
C
P
N
c
Определение
Фигура называется симметричной относительно прямой,
если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также
принадлежит этой фигуре.

6. Подумай!

Какие из данных фигур имеют ось симметрии?
Сколько?

7. Симметричность точек относительно точки

Определение
A1
Точки A и A1 называются
симметричными
относительно точки О,
если О – середина отрезка
AA1.
O
A
B
Задание
Постройте отрезок A1B1,
симметричный отрезку AB
относительно точки О.
A1
O
A
B1

8. Симметричность фигуры относительно точки

B
C
O
A
D
Определение
Фигура называется симметричной относительно точки, если
для каждой точки фигуры симметричная ей точка также
принадлежит этой фигуре.
Какие из данных фигур имеют центр симметрии?

9. Симметричность на координатной плоскости

y
y
A1
A
A (-4;3)
B(4;3)
B
C
x
C (4;-3)
B1
C1
x

10. Симметричность на координатной плоскости

y
y
M
A
B
D1 C1
B1
C D
K
x
K1
A1
M1
x

11. Симметрия вокруг нас

С симметрией мы часто встречаемся в природе

13. Симметрия вокруг нас

Многие предметы
окружающего нас мира
имеют
ось симметрии
или
центр симметрии

16. Математики о симметрии

Математик любит
симметрию
прежде
всего
Максвелл Д.
Красота тесно связана с симметрией
Вейль Г.
Симметрия … является той идеей,
посредством которой человек на
протяжении веков пытался постичь и
создать
порядок,
красоту
и
совершенство
Вейль Г.
Для человеческого разума симметрия
обладает, по — видимому, совершенно
особой притягательной силой
Фейнман Р.

17. Проверим знания

Постройте отрезок С1D1,
симметричный отрезку СD
относительно прямой а.
С
D1
a
C1
D
Постройте треугольник
M1N1K1, симметричный
треугольнику MNK
относительно точки O. N
K1
M
N1
O
K
M1

18. Задания

Сколько осей симметрии
имеет отрезок, прямая,
луч?
Какие из данных букв
имеют ось симметрии?
Имеют ли центр
симметрии отрезок,
прямая, квадрат?
Какие из данных букв
имеют центр симметрии?
Симметрию можно обнаружить
почти везде, если знать, как ее
искать. Многие народы с
древнейших времен владели
представлением о симметрии в
широком смысле – как об
уравновешенности и гармонии.
Творчество людей во всех своих
проявлениях тяготеет к симметрии.
Посредством симметрии человек
всегда пытался, по словам
немецкого математика Германа
Вейля, «постичь и создать порядок,
красоту и совершенство».
www.iteach.ru
www.erudition.ru
www.kniga.de

Презентация по геометрии Осевая и центральная симметрия 8 класс

  • Презентации
  • Презентация по геометрии Осевая и центральная симметрия 8 класс

Автор публикации: Анисимова Л.П.

Дата публикации:

25.11.2016

Краткое описание:



1

Осевая и центральная симметрии. Геометрия, 8 класс. Учитель математики Анисимова Людмила Петровна, МБОУ «Школа № 8», Казань

2

«Симметрия является той идеей, с помощью которой человек веками пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство» Герман ВейльБлагодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

3

В древности слово «СИММЕТРИЯ» употреблялось в значении «гармония», «красота». В переводе с греческого это слово означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей»

4

Симметричность относительно прямой

5

Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему. а А А1 а – ось симметрии Р М М1 b N N1 Точка Р симметрична самой себе относительно прямой b

6

Достроить правую часть фигуры, симметричной относительно прямой а. а

7

Какие из следующих букв имеют ось симметрии? А, Б, Г, Е, О, F, В, К, М, Ш, З, Х, Н, Т, П, Р, С, Ч, Я.

8

У прямоугольника 2 оси симметрии

9

А вот у круга бесконечно много осей симметрии, все они являются диаметрами

10

У геометрических фигур может быть одна или несколько осей симметрии, а может и не быть совсем. Мысленно определите, сколько осей симметрии имеет каждая из фигур?

11

У геометрических фигур может быть одна или несколько осей симметрии, а может и не быть совсем. Мысленно определите, сколько осей симметрии имеет каждая из фигур?

12

Центральная симметрия. Симметрия относительно точки. Точки А и М называются симметричными относительно точки О, если точка О – середина отрезка АМ. Точка О, симметричная сама себе, называется центром симметрии. АО = ОМ Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О – центр симметрии фигуры. А М О

13

Центральная симметрия Точки А1 и А2 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка А1А2 А1 А2 О О Р Q M M1 N N1 А1О = ОА2 Точка О – центр симметрии

14

Центральная симметрия А В С А1 С1 А В С О С1 А1 В1

15

Достроить фигуру, обладающую центральной симметрией.

16

Имеют ли центр симметрии: отрезок, луч, пара пересекающихся прямых, квадрат?

17

Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм Параллелограмм Окружность о О

18

Фигуры, обладающие центральной и осевой симметрией О В А L N D С Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. К М E P b T Q

19

Определить фигуры: обладающие центральной симметрией и указать их центр, обладающие осевой симметрией и указать ось симметрии, имеющие обе симметрии.

20

Фигуры, обладающие центральной симметрией Фигуры, обладающие осевой симметрией Фигуры, имеющие обе симметрии

21

22

23

24

25

26

27

Домашнее задание. Пункт 47, конспект. № 421, 416, подготовить макет по центральной и осевой симметрии.

Технологическая карта урока. урока геометрии в 8 классе по теме «Осевая и центральная симметрии»

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА
Тема урока:
«Осевая и центральная симметрии», геометрия 8 класс

 

    ФИО (полностью)

    Бурякова Вера Николаевна

     

      Место работы

      ГБОУ ООШ с. Малое Ибряйкино Похвистневского района Самарской области

       

        Должность

        учитель математики

         

          Предмет

          геометрия

           

            Класс

            8

             

              Тема и номер урока в теме

              Осевая и центральная симметрии. (первый урок из одного).

               

                Базовый учебник

                Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцнв С.Б. и др. Геометрия 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений — 17-е изд., – М.: Просвещение, 2007

                Цель урока: повторить свойствах четырехугольников; актуализировать знания учащихся о симметрии, видах симметрии; центральной и осевой; уметь применять полученные знания.

                Планируемые результаты: знать свойства четырехугольников: параллелограмма, ромба, прямоугольника и квадрата; распознавать центральную и осевую симметрии, решать задачи на построение точки, симметричной относительно оси или центра; приводить примеры фигур, предметов, имеющих ось или центр симметрии; рассуждать и делать выводы; слушать собеседника и вести диалог; работать в паре; излагать и аргументировать свою точку зрения; оценивать себя и товарищей.

                  10. Задачи:

                  — образовательные (формирование познавательных УУД):

                  — повторить свойства четырехугольников: параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата;

                  — познакомить обучающихся с понятиями осевой и центральной симметрий;

                  — рассмотреть осевую и центральную симметрии как свойства некоторых геометрических фигур;

                  — учить строить симметричные точки и распознавать фигуры и предметы, обладающие осевой и центральной симметриями.

                  — воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):

                  — умение слушать и вступать в диалог,

                  — участвовать в коллективном обсуждении проблем,

                  — интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие,

                  — воспитывать ответственность и аккуратность, интерес к математике.

                  — развивающие (формирование регулятивных УУД)

                  — развивать умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы,

                  — развивать внимание, логическое мышление, наблюдательность;

                  — самостоятельную и исследовательскую деятельность учащихся;

                  — развивать познавательную активность;

                  — учить обобщать и систематизировать полученную информацию.

                  11.Тип урока: изучение, закрепление и усвоение полученных знаний с переходом на более высокий уровень.

                  12 .Методы:

                  по источникам знаний: словесные, наглядные;

                  по степени взаимодействия учитель-ученик: эвристическая беседа;

                  относительно дидактических задач: подготовка к восприятию;

                  относительно характера познавательной деятельности: репродуктивный, частично-поисковый.

                  13.Формы работы учащихся: Фронтальная, парная, индивидуальная, групповая.

                  14.Организация деятельности учащихся на уроке:

                  -самостоятельно выходят на проблему и решают её;

                  -самостоятельно определяют тему, цели урока;

                  -работают с текстом учебника;

                  -работают с технологической картой при выполнении заданий;

                  -отвечают на вопросы;

                  -решают самостоятельно задачи;

                  -оценивают свои знания себя;

                  -рефлектируют.

                  15.Необходимое оборудование: учебники геометрии, доска, раздаточный материал (карточки с дополнительным заданием, карточки с домашним заданием), презентация, проектор и экран.

                  16.Структура и ход урока

                  Технологическая карта урока и разработка урока.

                  Этап урока

                  Задачи этапа

                  Деятельность учителя

                  Деятельность ученика

                  Время

                  (в мин.)

                  Формируемые УУД

                  Познаватель-

                  ные

                  Регулятивные

                  Коммуникатив-

                  ные

                  Личностные

                  1

                  2

                  3

                  5

                  6

                  7

                  8

                  9

                  10

                   

                  1

                  Организацион-ный этап

                  Создать благоприятный психологический настрой на работу

                  Приветствие учащихся.

                  Проверка у готовности класса к уроку; организация внимания;

                   

                  1

                  Осознанное и произвольное построение речевого высказывания

                  Прогнозирование своей деятельности

                  Умение слушать и вступать в диалог

                  Умение выделять нравственный аспект поведения.

                  2

                  Повторение изученного материала

                  Актуализация опорных знаний и способов действий

                  Вступительное слово учителя.

                  Повторение пройденного на прошлом уроке.

                  Беседа с проблемным вопросом по теме урока.

                  Участвуют в работе по повторению, в беседе с учителем, отвечают на поставленные вопросы.

                  5-6

                  Анализ объектов с целью выделения признаков.

                  Поиск и выделение необходимой информации.

                  Выделение и осознание того, что уже пройдено.

                  Постановка учебной задачи на основе известного.

                  Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, слушать и вступать в диалог

                  Развитие познавательных интересов, учебных мотивов

                  Самоопределение

                  3

                  Подготовительный

                  Обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими целей урока

                  Историческая справка Вместе с учениками определяет цель урока.

                  Определяют тему и цель урока.

                  3-4

                  Самостоятельное выделение-формулирование познавательной цели.

                  Целеполагание

                  Постановка вопросов

                  Самоопределение Учебная мотивация.

                  4

                  Изучение нового материала

                  Обеспечение восприятия, осмысления и запоминания детьми.

                  Создает ситуацию, в ходе решения которой учащиеся делают необходимый вывод.

                  Выполняют лабораторные работы. Отвечают на поставленные вопросы, ищут необходимую информацию.

                  14-15

                  Поиск и выделение необходимой информации. Структурирование знаний.

                  Построение логической цепи рассуждений.

                  Планирование, прогнозирование

                  Умение слушать и вступать в диалог

                  Самоопределение. Развитие познавательных интересов.

                  5

                  Закрепление и усвоение знаний

                  Установление правильности и осознанности изучения темы. Выявление ос-мысления изучен-ного материала, коррекция выяв-ленных пробелов, обеспечение закрепления в памяти детей зна-ний и способов действий

                  Направляет работу учащихся.

                  Выступает в роли тьютора для слабых учащихся при выполнении творческого задания.

                  Самостоятельно решают задачи.

                  Делают сравнительный анализ ответов.

                  Отвечают на проблемный вопрос. Учащиеся выполняют в группах творческое задание. Делают записи в тетрадь

                  10

                  Выделение и формулирование познавательной цели, рефлексия способов и условий действия.

                  Анализ объектов и синтез

                  Построение логической цепи рассуждений.

                  Планирование деятельности для решения поставленной задачи и контроль полученного результата, коррекция полученного результата, саморегуляция Оценка своей деятельности

                  Умение слушать и вступать в диалог,

                  Коллективное обсуждение проблем (при необходимости) Интегрироваться в группу; Планирование учебного сотрудничества со сверстниками

                  Ориента-

                  ция в межлично-стных отношениях Развитие познавательных интересов, учебных мотивов.

                  6

                  Подведение итогов урока. Рефлексия.

                  Самооценка результатов своей деятельности и всего класса

                  Подводит итоги работы в классе.

                  Отвечают на поставленные вопросы. Оценивают свою работу и работу одноклассников

                  2-3

                  Выделение и формулирование познавательной цели, рефлексия способов и условий действия.

                  Анализ и синтез объектов

                  Планирование деятельности для решения поставленной задачи, контроль и коррекция полученного результата, саморегуляция

                  Поддержание соперничества для мотивации учебной деятельности; планирование сотрудничества со сверстниками; участие в обсуждении.

                  Жизненное самоопределение, ценносто-смысловая ориентация обучающихся

                  7

                  Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

                  Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

                  Задает дозированное домашнее задание

                  Учащиеся записывают домашнее задание в зависимости от уровня освоения темы урока

                  2

                   

                  Оценка промежуточных результатов и саморегуляция для повышения мотивации учебной деятельности

                  управление поведением партнёра- контроль, коррекция, оценкна

                  Нравственно -этическая ориентация

                  Деятельность учителя

                  Деятельность учащихся

                  1 этап. Организационный

                  Учитель приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку;

                  -Здравствуйте, ребята, садитесь. В качестве эпиграфа к уроку я взяла слова великого древнекитайского мыслителя Конфуция: «Я слышу  и забываю, я вижу и запоминаю, я делаю и я понимаю». Геометрию нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед. Значит, чтобы знать геометрию, нужно стараться как можно больше заданий выполнять самостоятельно. В ходе урока мы сегодня повторим свойства изученных четырехугольников и ответим на вопрос: «Что общего у бабочки, автомобиля и человека, чем отличаются стрекоза и снежинка?»

                  Учащиеся слушают учителя, улыбаются друг другу.

                  2 этап. Повторение изученного материала.

                  — На предыдущем уроке мы с вами выполняли контрольную работу по теме «Четырехугольники». Результаты работы у вас в тетрадях. Поднимите руки, кто получил оценку «5», а оценку «4»? Вы молодцы, а вот всем остальным ребятам необходимо выполнить работу над ошибками. На будущий год вам сдавать экзамен по математике за курс основной школы. И знания по изученной теме обязательно пригодятся.

                  Задание 1. Возьмите карточки, лежащие у вас на столах, подпишите их. Отметьте знаками «+» и «-» свойства четырехугольников. (слайд 2).

                   

                  (слайд 3). Поставьте себе оценку, используя предложенные критерии.

                  Задание 2. Перед вами вопросы теста. На каждый вопрос предлагается только один правильный ответ. Выберите его и обоснуйте свой выбор. (слайд 4)

                  1. Любой ромб является…

                  а) квадратом; в) параллелограммом;

                  б) прямоугольником; г) нет правильного ответа.

                  2. Если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырехугольник…

                  а) ромб; в) прямоугольник;

                  б) квадрат; г) нет правильного ответа.

                  3.Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм…

                  а) ромб; в) прямоугольник;

                  б) квадрат; г) нет правильного ответа.

                  4. Прямоугольник – это четырехугольник, в котором…

                  а) противолежащие стороны параллельны, а диагонали равны;

                  б) диагонали точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов;

                  в) два угла прямые и две стороны равны;

                  г) нет правильного ответа.

                  -Молодцы, ребята, вы справились с этим заданием.

                  Слушают учителя.

                  1 . Подписывают листочки.

                  2. Выполняют задания на карточках.

                  3. Оценивают правильность выполнения задания, ставят себе оценку.

                  4. Выбирают правильный ответ из предложенных и обосновывают свой выбор.

                  3 этап. Подготовительный

                  А сейчас посмотрите слайды и сформулируйте тему урока. (слайды 5-9 )

                  -Как вы думаете, о каком понятии мы будем говорить? И какова цель нашего урока?

                  Действительно, сегодня на уроке мы изучим, что такое симметрия, какие виды симметрии существуют. Более подробно остановимся на осевой и центральной симметриях. (слайд 10) Ответим на вопрос, который прозвучал в начале урока: «Что общего у бабочки, автомобиля и человека, чем отличаются стрекоза и снежинка?»

                  — Запишите в тетрадях число и тему урока.

                  -Ребята, а что такое симметрия? Как вы понимаете? (слайд 11)

                  Симметрия – понятие, означающее сохраняемость, повторяемость каких – либо особенностей структуры изучаемого объекта при проведении с ним определенных преобразований. Более простое толкование этого понятия на слайде. Это определения симметрии из толкового словаря Ожегова.

                  Явление симметрии подробно изучил немецкий математик Герман Вейель. О симметрии он сказал так: «Симметрия является той идеей, с помощью которой человек веками пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство».

                  Симметрию нам подарила природа, а человек изучает это явление. Рассмотрим это явление с точки зрения геометрии.

                   

                  Просматриваю слайды

                  Формулируют тему и цели урока.

                  Слушают рассказ учителя.

                  Отвечают на вопросы учителя

                   

                  4 этап. Изучение нового материала.

                  Ребята, наша с вами задача сегодня — повторить открытие Вейля, самостоятельно вывести определение осевой и центральной симметрии.

                  У вас на столах лежат листы-задания к лабораторной работе №1. В результате выполнения работы вы должны сформулировать определение точек симметричных относительно прямой. На выполнение работы вам отводится 5 минут. Выполнив лабораторную работу вам необходимо дописать в определение пропущенные слова и записать его в рабочую тетрадь.

                  Лабораторная работа № 1. Симметрия относительно прямой.

                  Возьмите лист белой бумаги, согните его пополам.

                  Проткните двойной лист иголкой, а затем разогните.

                  Вы получили две точки. Обозначьте одну буквой А, а другую – А1.

                  Соедините точки А и А1 отрезком.

                  Измерьте расстояние от точек А и А1 до линии сгиба.

                  Сравните эти расстояния.

                  Дополните пропущенные слова в определении. И запишите его в тетрадь. Определение 1. Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой, если эта прямая проходит через _середину_ отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.

                    А теперь внимание на слайд (слайд 12). Проверим: верно ли вы сформулировали определение. Молодцы. Мы рассмотрели симметрию относительно прямой или оси, т.е. осевую симметрию. Оказывается, таким свойством обладают различные фигуры. Причитайте определение фигуры, симметричной относительно прямой по учебнику стр. 111. Этим свойством обладают, например, (слайд 13) равносторонний треугольник, круг, ромб, прямоугольник, отрезок. Такие фигуры называются симметричными относительно прямой. Их можно перегнуть по какой-то прямой, при этом одна часть фигуры полностью совпадет с другой частью. Причем ось симметрии может быть одна или несколько. Назовите еще геометрические фигуры, имеющие ось симметрии. (квадрат, равнобедренная трапеция, равнобедренный треугольник). Но не все фигуры имеют ось симметрии. У каких фигур оси симметрии нет? (ответ: разносторонний треугольник, параллелограмм). В реальной жизни нас также окружают предметы, обладающие осевой симметрией. (слайд 14). Сейчас возьмите листы-задания к лабораторной работе №2. В результате выполнения работы вы должны сформулировать определение точек симметричных относительно некоторой точки. Выполнив работу вам необходимо дополнить в определении пропущенные слова и записать его в рабочую тетрадь. Лабораторная работа № 2. Симметрия относительно точки.

                    На листе бумаги отметьте точку О.

                    Постройте точку А, отличную от точки О.

                    Постройте луч, дополнительный лучу ОА. Отложите отрезок ОА1, равный отрезку ОА.

                    Дополните пропущенные слова в определении. И запишите его в тетрадь.

                      Определение 2. Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О. если О-середина отрезка АА 1

                      А сейчас внимание на слайд (слайд 15). Проверим: верно ли вы сформулировали определение. Мы рассмотрели симметрию относительно точки или центра, т.е. центральную симметрию. Существуют геометрические фигуры, обладающие этим свойством. Причитайте определение фигуры, симметричной относительно точки по учебнику стр. 111. Этим свойством обладают (слайд 16) параллелограмм, круг, правильный шестиугольник, прямая. Такие фигуры называются симметричными относительно точки. Причем у фигуры может быть только один центр симметрии. А какие еще геометрические фигуры, имеют цент симметрии? (квадрат, ромб). В реальной жизни нас также окружают предметы, имеющие центральную симметрию. (слайд 17).

                      Слушают учителя

                      Выполняю лабораторную работу №1.

                      Дополняют определение пропущенными словами

                      Проверят правильность выполнения задания.

                      Слушаю учителя, отвечают на вопросы.

                       

                       

                      Выполняю лабораторную работу №2.

                      Дополняют определение пропущенными словами

                      Проверят правильность выполнения задания.

                      Слушаю учителя, отвечают на вопросы.

                      5 этап. Закрепление (слайд 18)

                      Задание 1. Выполните практическое задание: Найдите центр симметрии круга и данной фигуры.  

                      Ребята, кто догадался как это сделать для круга? А для фигуры?

                      Задание 3. Ответьте на вопрос: «Сколько осей симметрии имеет пятиконечная звезда?»

                      А сейчас выполним задание по учебнику. стр. 114, упражнения: 418(устно), 422(устно), 416, 421.(слайд 19)

                      Перед тем как подвести итоги нашего урока предлагается творческое задание: используя лист бумаги и ножницы покажите какой либо вид симметрию. (Ребята показывают свои работы). Молодцы ребята.

                      Выполнят предложенные задания

                      Отвечают на вопрос.

                      Работаю с учебником

                      Выполняют творческие задания.

                      6 этап. Подведение итогов урока. Рефлексия.

                      Итак, сегодня на уроке мы рассмотрели осевую и центральную симметрии. Кроме этих видов симметрии существуют поворотная, переносная зеркальная симметрия, с ними вы познакомитесь в 9- 10 классах.

                      Так что же общего у бабочки, автомобиля и человека. Чем отличаются стрекоза и снежинка? (слайд 20) Кто ответит на этот вопрос?

                      Ребята, что нового вы узнали на уроке?

                      Понравился вам урок. А мне понравилось то, как вы сегодня работали.

                      Сфера влияния симметрии безгранична: природа, наука, искусство. Симметрия определяет гармонию природы, мудрость науки и красоту искусства. В подтверждение хочу привести отрывок из произведения Л.Н. Толстого «Отрочество»: «Раз, стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был пронзен мыслью: Почему симметрия приятна для глаз? Что такое симметрия?- Это врожденное чувство,- отвечал я себе. На чем оно основано? Разве во всем в жизни есть симметрия?» На этот вопрос вы ответите, выполнив домашнее задание.

                      Отвечают на поставленные вопросы.( Бабочка, автомобиль и человек имеют ось симметрии. Стрекоза имеет ось симметрии, а снежинка имеет центр симметрии).

                      Слушаю учителя

                      7этап. Домашнее задание. (слайд 21)

                      Вопросы 16 – 20 стр. 115

                      №417, 423;

                        подготовить информацию о симметрии в…(Симметрия в живописи, Симметрия в архитектуре, Симметрия в биологии, Симметрия в архитектуре., Симметрия в химии. Симметрия в поэзии, Симметрия в быту, Симметрия в техники, Симметрия в буквах русского языка, Симметрия в русском языке и литературе)

                        И в заключении, хочу вам предложить, когда у вас будет свободное время, выйдите погулять на улицу, посмотрите вокруг себя, и прикоснитесь к этому удивительному миру симметрии. (слайд 22)

                        – На этом урок окончен. Спасибо за работу на уроке. До свидания.

                        Учащиеся внимательно слушают.

                        Записывают домашнее задание. Выбирают тему сообщения о симметрии.

                        Центральная симметрия — Презентации по математике

                        Описание:

                        Понятие о центральной симметрии полностью раскрывается в данной презентации.

                        Соответственно цель урока – перечисление и ознакомление со свойствами и назначениями центральной симметрии. Такая презентация пригодится для тех уроков геометрии, которые подразумевают изучение различных видов симметрии.

                        Начало презентации – определение центральной симметрии. Наиболее простыми фигурами, которые к ней имеют отношение – окружность, а также параллелограмм. При этом стоит оговорить то, где у них находится центр симметрии. Помимо этого даётся ещё довольно большое количество определений, которые указывают на некоторые точки, являющиеся как симметричными относительно центра, так и не симметричными. Также здесь показано действие центральной симметрии в системе координат (прямоугольной), в трапециях (прямоугольных), квадратах и шестиконечной звезде. Помимо этого предусмотрено раскрытие и ещё нескольких свойств центральной симметрией. Ими может обладать и прямая, ярким примером чего является пример с использованием треугольников.

                        Вторая часть работы перечисляет разные способы применения центральной симметрии не в теории, а на практике. Стоит учитывать, что показаны хорошие примеры центральной симметрии из ботаники (чаще всего это некоторые виды цветов или растений, различная архитектура, зоология, а также транспорт). В качестве весомого дополнения к изложенному (основному) материалу предусмотрено несколько аксиом из области стереометрии и планиметрии. 

                        Категория:

                        Слайды:

                        Информация:

                        • Дата создания материала: 13 Марта 2013 г.
                        • Слайды: 41 слайд
                        • Дата создания файла презентации: 13 Марта 2013 г.
                        • Размер презентации: 203 Кб
                        • Тип файла презентации: .rar
                        • Скачана: 2081 раз
                        • Последний раз скачана: 20 Февраля 2022 г., в 14:43
                        • Просмотров: 15400 просмотров

                        Рекомендуем:

                        • Для учеников 8 класса

                        Скачать:

                        Скачать презентацию

                        Трансформационная геометрия

                        Презентация на тему: » Трансформационная геометрия» — Транскрипт:

                        ins[data-ad-slot=»4502451947″]{display:none !важно;}} @media(max-width:800px){#place_14>ins:not([data-ad-slot=»4502451947″]){display:none !important;}} @media(max-width:800px){#place_14 {ширина: 250px;}} @media(max-width:500px) {#place_14 {ширина: 120px;}} ]]>

                        1 Трансформационная геометрия
                        Mr.Маккарти

                        2 Что такое геометрия преобразования?
                        Что такое трансформация? Трансформация – это «изменение». Геометрия — это формы и фигуры, которые мы изучаем в технической графике. Трансформационная геометрия — это изучение движения фигур при различных преобразованиях. Мистер Маккарти © 2017 Принципы графики

                        3 Что мы изучаем в геометрии преобразований?
                        В Transformation Geometry есть 5 преобразований: Осевая симметрия, Трансляция, Центральная симметрия, Увеличение и уменьшение, Вращение Mr.Маккарти © 2017 Принципы графики

                        4 Осевая симметрия Очень полезно для других тем технической графики.
                        Изучение создания зеркального отображения фигуры относительно оси. Симметрия означает, что что-то равно с одной стороны другой. Ось симметрии Мистер Маккарти © 2017 Principles of Graphics

                        5 Где мы раньше видели осевую симметрию?
                        Буквы на СКОРОЙ ПОМОЩИ.Складываем бумагу пополам, а затем разрезаем. Развернув его, вы повторите тот же разрез на противоположной стороне. Мистер Маккарти © 2017 Принципы графики

                        6 Как работает осевая симметрия?
                        Изображение на плоскости вращается вокруг оси. Ось симметрии находится на краю плоскости. Показанная плоскость вращается вокруг оси до тех пор, пока изображение не станет зеркальным. Мистер Маккарти © 2017 Принципы графики

                        7 Как нарисовать изображение под осевой симметрией
                        г.McCarthy © 2017 Принципы графической оси симметрии

                        8 Перевод Mr. McCarthy © 2017 Принципы графики

                        9 Как нарисовать изображение в режиме перевода
                        Направление и расстояние A Все параллельно исходному направлению и расстоянию Mr. McCarthy © 2017 Principles of Graphics

                        10 Центральная симметрия г.Маккарти © 2017 Принципы графики

                        11 Как нарисовать изображение под центральной симметрией
                        Центр симметрии Мистер Маккарти © 2017 Principles of Graphics

                        12 Увеличения и Уменьшения
                        Увеличения и Уменьшения делают именно то, что написано на банке. Увеличения увеличивают размер изображения.Сокращения уменьшают размер изображения. Мистер Маккарти © 2017 Принципы графики

                        13 Как увеличить изображение A-A1
                        Линии остаются параллельными исходным соответствующим линиям A1 A O Mr. McCarthy © 2017 Principles of Graphics

                        14 Повороты Изучение поворота изображения на определенный заданный угол вокруг точки.Мистер Маккарти © 2017 Принципы графики

                        15 Как повернуть изображение Ɵ Ɵ Ɵ Ɵ Ɵ = заданный угол A A1 Центр вращения
                        Mr. McCarthy © 2017 Principles of Graphics


                        Геометрия и реальный мир

                        Многие ученики испытывают трудности при решении задач по геометрии. Предлагается или выдвигается множество причин неуспеха студентов в этой области.Эти причины включают отсутствие у учащихся знакомства с жизнью за пределами их района, минимальные зрительные навыки и трудности в понимании основных геометрических понятий. Я не оспариваю эти причины неуспеваемости учащихся, но я предлагаю найти способ гарантировать, что геометрические понятия, особенно преобразования и симметрия, пронизывают класс математики, в то же время поддерживая интерес учащихся. Обои — это пример предмета реального мира, который можно увидеть каждый день в большинстве домов по всей стране.Он также является одним из самых важных, когда речь заходит о теме геометрии. Некоторые люди смотрят на обои и думают: «Вау! Какой невероятный узор», но математики видят обои и говорят: «Хм! Какая фундаментальная область? Какой тип симметрии здесь можно найти?» среди прочих. Я попытался разработать серию уроков, которые помогут учителям разработать различные стратегии обучения геометрии с помощью симметрии в своих классах. Я надеюсь, что внедрение этого раздела учебной программы поможет учителям преподавать геометрию таким образом, который вызовет интерес у учащихся, поможет им связать и применить сценарии «реального мира» к концепциям, поможет им использовать различные стратегии и расширит возможности учащихся. для решения математических задач в других контекстах.

                        Я преподаю в школьном округе, в котором обучается примерно 23 000 учеников. 86% из них афроамериканцы, а 75% имеют право на бесплатный или льготный обед. Я преподавал в городских районах с ограниченными ресурсами, и мои студенты имеют различные академические недостатки. На некоторые из этих недостатков можно положительно повлиять в классе, на некоторые нет. С тех пор, как появился NCLB, для результатов учащихся мало что имеет значение, кроме результатов их стандартизированных тестов в конце каждого учебного года.Если учащиеся соответствуют нормативам по государственному тесту, школы считаются успешными, а стресс по «прохождению теста» откладывается еще на год. Иногда учащиеся могут пройти тест, плохо справляясь с определенными областями. Одной из областей, в которых мои ученики неизменно плохо справлялись, является геометрия и измерения.

                        Каждый год в мой класс приходят ученики, которые должны обладать навыками, необходимыми для математических занятий, которым я обучаю. Обычно большинство из них этого не делает.В большинстве случаев существует большая разница между тем, что студенты должны знать, чтобы «начать работу», и тем, что они знают на самом деле. Конечно, я должен начать свою инструкцию «где они». Это означает, что у меня не будет возможности просто работать над концепциями и стратегиями. Мне придется обучать своих студентов основным частям геометрии, природы и форм. Если они овладеют этими навыками, мне нужно будет научить их, как подходить к геометрии исследовательским образом, используя такие методы, как совместное обучение; исследование и решение проблем для формулирования, проверки и локального доказательства или опровержения гипотез; а также письменные и устные задания для развития навыков эффективного общения; и такие инструменты, как физические манипуляции, модели и программное обеспечение.

                        Симметрия является фундаментальной частью геометрии, природы и форм. Он создает шаблоны, которые помогают нам концептуально организовать наш мир. Мы видим симметрию каждый день, но часто не осознаем этого. Люди используют понятия симметрии, включая перемещения, вращения, отражения, а также их геометрические фигуры и узоры, как часть своей карьеры. Примерами людей, чья карьера включает эти идеи, являются художники, ремесленники, музыканты, хореографы, не говоря уже о математиках. Учащимся важно усвоить концепции геометрии и симметрии как средство познакомить их с вещами, которые они видят каждый день и которые не имеют прямого отношения к математике, но имеют прочную основу в ней.Согласно Национальному совету учителей математики, 6-8 классы должны уметь применять преобразования и использовать симметрию для анализа математических ситуаций. Это включает в себя прогнозирование и описание результатов перемещения, отражения и вращения (также называемого скольжением, переворачиванием и поворотом) двумерных фигур. Они также должны быть в состоянии описать движение или серию движений, которые покажут, что две формы конгруэнтны, а также определить и описать линейную и вращательную симметрию в 2-х и 3-х мерных формах и конструкциях.

                        Модуль «Геометрия и реальный мир» предназначен для учащихся шестого и седьмого классов математики. Устройство можно использовать и в восьмом классе. Его будут преподавать в течение примерно 2 недель по 90 минут каждый день. Модуль будет охватывать основные понятия геометрии, начиная с основных предположений о точках, линиях и плоскостях. Это неопределенные термины, которые обеспечат отправную точку для основных математических приложений, используемых в реальном мире. Мы также рассмотрим геометрию, которая существует вокруг нас в реальном мире, как очевидную, так и не столь очевидную.Геометрия имеет дело с обширными визуальными рассуждениями и способностью представлять, как будут выглядеть определенные фигуры после преобразования в другие формы. Этот блок не только восполнит пробел, но и поможет им увидеть, как эти идеи могут быть легко связаны с окружающей средой, в которой они живут. Как только они получат базовое представление обо всех геометрических фигурах, учащиеся приступят к изучению изометрий. Они рассмотрят четыре основные изометрии; перемещение, вращение, отражение и скользящее отражение.

                        Все геометрические диаграммы состоят из одних и тех же основных компонентов: точек, линий (и лучей или отрезков), плоских областей. Искусственные объекты, состоящие из этих геометрических структур, были бы почти всем. Если человек присмотрится, он увидит в структурах много геометрических фигур. Здания, автомобили, самолеты, корабли, учебники, телевизоры, посуда, картины, компьютеры, чашки — все это имеет геометрическую структуру, и это лишь некоторые из них. Некоторые из них (тарелки и чашки) изогнуты, а не сделаны из плоских частей.Однако изогнутые часто проявляют круговую симметрию. Но имейте в виду, что не только рукотворные объекты имеют геометрическую форму. Природа имеет свои геометрические структуры. Мир представляет собой большую сферу, как и Луна и другие 8 планет Солнечной системы. Весь мир можно представить себе как геометрическую структуру. Измерения на картах являются геометрическими, что доказывает, что природа имеет геометрию и что геометрия существует даже в вещах, которые люди не могут видеть, но мы просто знаем, что они есть.

                        Точки, линии и плоскости — это неопределенные термины, с которых начинается геометрия.Когда мы определяем слова, мы обычно используем простые слова; и эти простые слова, в свою очередь, определяются более простыми словами. В конечном итоге процесс должен завершиться; какое-то определение должно использовать слово, значение которого принимается как сразу ясное. Поскольку это значение принимается без определения, мы обращаемся к этим терминам, выделяя их курсивом или подчеркивая. Эти неопределенные термины будут использоваться при определении других терминов. Хотя термины формально не определены, необходимо краткое обсуждение.

                        Модуль начнется с предоставления учащимся интуитивно понятной истории о геометрии и ее актуальности в нашей среде.Мы также кратко рассмотрим вклад Евклида и других известных математиков в геометрию. При этом мы будем смотреть на объекты реального мира, такие как корабли и мосты, и выяснять задействованные геометрические формы и то, как они используются. Затем мы исследуем различия между основными типами углов и форм в геометрии. Обладая этими знаниями о различных типах углов и их представлениях, они познакомятся с трансформационной геометрией. Здесь они узнают, как отражать, вращать и переводить вручную большинство геометрических фигур.Трансформации были созданы еще в древней цивилизации – как восточной, так и западной. Это относится к искусству орнамента, названному, по словам известного математика ХХ века Германа Вейля, «старейшим аспектом высшей математики, выраженным в неявной форме».

                        В наши дни компьютеры стали отличным ресурсом в нашей образовательной системе. Совсем скоро большая часть госстандартов будет сдаваться онлайн. Это очень важно, поскольку мы делаем успехи в подготовке наших студентов к этим препятствиям.Я борец за обучение студентов технологиям. Большинство моих учеников очень сосредоточены каждый раз, когда какое-либо занятие выполняется с использованием умной доски и компьютеров. В связи с этим, обучая этому разделу, я намереваюсь показать им, как использовать компьютерные программы для достижения тех же результатов, которых они достигли вручную. Им покажут, как достичь этой цели с помощью компьютерной программы, такой как блокнот геометра.

                        Одним из основных понятий геометрии, особенно продвинутой геометрии, является понятие здравой логики и доказательства.В попытке показать учащимся, как связать то, что мы узнали в классе, с нашей повседневной жизнью и окружающей средой, мы рассмотрим очень простой предмет повседневного обихода, такой как обои. При создании дизайна обоев руководствуются формальными геометрическими принципами. Он начинается с определения фундаментального дизайна, а затем повторяется снова и снова. Основной дизайн может быть простым квадратом, прямоугольником или даже параллелограммом. Перемещая этот базовый рисунок снова и снова в одном направлении (и в противоположном), получится то, что называется фризовым узором .Многократное перемещение в двух независимых направлениях дает рисунок обоев . Многократное повторение основных конструкций в определенном направлении может быть достигнуто многократным сочетанием или композицией перевода с самим собой. Эти идеи помогут им осознать, что математика — это не всегда бумага и карандаш.

                        Большинство мотивов обоев имеют несколько дизайнов: некоторые очень сложные, некоторые очень простые, а некоторые промежуточные. Мы начнем это обсуждение с рассмотрения дизайна и попытки выяснить, что является основным элементом дизайна (также известным как фундаментальная область).Во многих привлекательных дизайнах обоев, помимо переводов, есть отражения или повороты или другие симметрии общего дизайна. Студенты в конечном итоге придут к своим собственным постулатам о том, как выяснить различные фундаментальные области обоев. Обладая всеми этими знаниями, каждый ученик создаст свои собственные обои и обсудит, как они придумали свой дизайн.

                        Геометрия является очень важным аспектом многих стандартизированных тестов, которые стали очень важными для школьных округов по всей территории Соединенных Штатов.В стандартизированных тестах понятия часто не столь прямолинейны, а скрыты внутри других понятий. Некоторые студенты автоматически сдаются, когда видят такие вопросы. Другим, знающим это понятие, трудно связать его с другими понятиями, и поэтому они не могут ответить на вопросы. Развивая уверенность и навыки работы с геометрией и измерениями, учащиеся не только улучшат свои математические навыки с помощью четырех основных операций, но и, возможно, перенесут свои знания в другие области математики.Ключевой особенностью этого модуля является то, что учащиеся должны будут потратить значительное количество времени на изучение различных изометрий. Благодаря этому знакомству с изометриями учащиеся не только получат больше знаний об этих преобразованиях и поймут основные факты о них, но также, мы надеемся, перенесут свои знания в другие области математики.

                        В математических журналах есть несколько статей, написанных профессионалами в этой области, в которых выражается необходимость преподавания симметрии и ее свойств в рамках учебной программы по математике.Несколько статей посвящены различным способам преподавания одних и тех же концепций, а другие больше посвящены имеющимся у нас инструментам, которые связывают нас с технологиями. Все статьи, которые мне попадались, поддерживают, на поверхностном уровне, понимание того, что симметрия окружает нас повсюду, и хотя это не похоже на математику, на самом деле она включает в себя очень серьезную математику. Согласно Pumfrey & Beardon (2002), искусство и математика идут рука об руку. Связь существует уже давно, поскольку мы можем проследить вдохновение математиков как «продукт исламской цивилизации, принесенный в Европу арабскими завоеваниями в Испании в тринадцатом веке».Это относится, в частности, к мозаичным изображениям, возникающим в результате вращения, отражения и скольжения объектов на плоскости таким образом, чтобы не было промежутков или перекрытий. Памфри и Бирдон (2002) резюмируют это, заявляя, что «замощения являются общей чертой декоративного искусства и встречаются в окружающем нас мире природы».

                        Этот блок явно соответствует национальным и государственным стандартам, поскольку геометрия и измерения являются неотъемлемой частью математики в средней школе. В дополнение к простому изучению отдельных изометрий, этот модуль рассматривает отношения, общие для различных изометрий.Связь между отражением и вращением, а также связь между отражением и переводом исследуются посредством решения проблем. Установив связи между отражениями, поворотами и переводами, связанными задачами со словами и изучив различные способы рассмотрения поворотов с точки зрения отражений, учащиеся должны лучше понять взаимосвязь между четырьмя типами изометрии. Мы также уделим время рассмотрению связей между изометриями и симметрией.То есть фигура симметрична, если она не изменилась в результате (нетождественного) преобразования.

                        Я надеюсь, что учащиеся поймут, что такое симметрия и мозаика и что они для нас значат. Я хотел бы, чтобы учащиеся дополняли свою предыдущую базу знаний, расширяя то, что они уже знают, чтобы глубже понять больше математических свойств. Я думаю, что, применяя свойства и типы симметрии к повседневной жизни через литературу, зеркала и калейдоскопы, студенты начнут видеть математику повсюду и как важную часть того, как мы функционируем и видим вещи.Студентов заставят выполнить задание, которое поможет им преодолеть разрыв между геометрией и окружающим миром. Это занятие не только устранит пробел, но и продвинет их на шаг вперед, чтобы проверить их знания концепций.

                        Мои стратегии обучения этому разделу будут заключаться в следующем: Давать определения и обучать понятиям. Поскольку я определяю и преподаю концепции, я буду включать некоторые полезные занятия в классе, которые улучшат понимание концепций.

                        Определение понятий

                        Основными элементами геометрии являются точки, линии и плоскости.Точка — самый фундаментальный объект в геометрии. Он обозначается точкой и часто обозначается заглавной буквой. Точка представляет только положение. Линия (прямая линия) может быть представлена ​​как связное множество бесконечно многих точек. Он простирается бесконечно далеко в двух противоположных направлениях. Линия имеет бесконечную длину, нулевую ширину и нулевую высоту. Любые две точки на прямой определяют его. Символ ↔, написанный над двумя буквами, используется для обозначения прямой, проходящей через точки A и B.Линия также может быть названа одной маленькой буквой.

                        Точки, лежащие на одной прямой, называются коллинеарными точками. Если нет прямой, на которой лежат все точки, то они неколлинеарны. Точки M, A и N лежат на одной прямой, а точки T, I и C не лежат на одной прямой.

                        Теперь, поняв определения точки и линии, вы можете спросить, а как же они соотносятся? Точка на прямой делит прямую на две части. Каждая часть называется лучом.Даны три коллинеарные точки, одна из них находится между двумя другими и разделяет их. Совокупность точек между двумя точками A и B на прямой называется сегментом линии.

                        Плоскость можно рассматривать как бесконечное множество точек, образующих связную плоскую поверхность, простирающуюся бесконечно далеко во всех направлениях. Плоскость имеет бесконечную длину, бесконечную ширину и нулевую высоту (или толщину). Плоскости можно рассматривать как имеющие два измерения: длину и ширину. Плоскость обычно изображают на чертежах четырехсторонней фигурой.Для обозначения плоскости используется одна заглавная буква. Плоскости могут возникать как подпространства некоторого пространства более высокого измерения, как стены комнаты, или они могут существовать сами по себе независимо, как в условиях евклидовой плоскостной геометрии. При работе в двумерном евклидовом пространстве плоскость считается всем пространством. Многие фундаментальные задачи геометрии, тригонометрии и построения графиков выполняются в двумерном пространстве, иначе говоря, на плоскости. Точно так же, как линия делится на две части точкой, плоскость разделяется на две части линией.

                        Симметрия и изометрия

                        Симметрия (объекта, рисунка, узора и т. д.) — это преобразование, которое оставляет этот объект и его основные свойства неизменными. Большинство преобразований, которые я буду рассматривать, являются изометриями. Изометрия плоскости — это преобразование, сохраняющее расстояния. Это означает, что каждый отрезок линии преобразуется в другой отрезок той же длины. Изометрию можно классифицировать как отражение, перемещение, вращение или скользящее отражение.Две геометрические фигуры, связанные изометрией, называются конгруэнтными (Коксетер и Грейтцер, 1967, стр. 80). Вот описание каждого типа изометрии.

                        Отражение — это «переворот» объекта по линии. Давайте рассмотрим два очень распространенных отражения: горизонтальное отражение и вертикальное отражение.

                        Обратите внимание на цветные вершины каждого из треугольников. Линия отражения равноудалена от обеих красных точек, обеих синих точек и обеих зеленых точек.Другими словами, линия отражения находится прямо посередине любой точки и ее отражения.

                        Самым простым преобразованием является перевод. Определение перевода: «Каждая точка объекта перемещается на одинаковое расстояние в одном и том же направлении для формирования изображения». Каждый отрезок линии перемещается на отрезок такой же длины, параллельный исходному. Взгляните на картинку ниже для некоторых пояснений.

                        Каждый перевод следует правилу.В данном случае действует правило «5 вправо и 3 вверх». Вы также можете перевести прообраз влево, вниз или в любую комбинацию двух из четырех направлений.

                        Вращение — это преобразование, которое выполняется путем «вращения» объекта вокруг фиксированной точки, известной как центр вращения . Вы можете повернуть свой объект на любой градус, но 90° и 180° являются двумя наиболее распространенными. Также по соглашению углы поворота измеряются против часовой стрелки !

                        На рисунке справа показан поворот на 90° вокруг центра вращения.Обратите внимание, что все цветные точки находятся на одинаковом расстоянии от центра вращения. Также все пары линий одного цвета образуют углы 90°. Вот что делает вращение вращением на 90°.

                        Скользящее отражение (иногда сокращенно просто скольжение) — это тип изометрии евклидовой плоскости: комбинация отражения по линии с последующим переносом вдоль этой линии. Обратный порядок объединения дает тот же результат. В случае скользящей симметрии группа симметрии объекта содержит скользящее отражение, а значит, и порожденную им группу.Если это все, что он содержит, он создает новый тип узора, называемый узором фриза. Узор Frieze — это бесконечная полоса с повторяющимся узором, бордюрный узор или бесконечный узор из полос. Термин «фриз» взят из архитектуры, где фриз относится к декоративной резьбе или узору, который проходит горизонтально чуть ниже линии крыши или потолка. На приведенном ниже шаблоне каждый след представляет собой скользящее отражение следующего за ним следа:

                        .

                        Симметрия между левыми следами и правыми следами возникает не из-за переноса и не из-за отражения, поскольку следы не расположены рядом друг с другом.Вместо этого необходимо сочетание перевода и отражения. Это приводит к так называемой симметрии скользящего отражения .

                        Особая изометрия, которую иногда упускают из виду, но которая абсолютно необходима, — это тождество. Это означает ничего не делать: оставлять каждую точку там, где она есть. Очевидно, это изометрия. Но поскольку он оставляет каждую фигуру фиксированной, каждая фигура симметрична относительно тождества. По этой причине мы игнорируем его при идентификации симметричных фигур. Симметричная фигура — это фигура, неизменная в силу некоторой неидентичной (также называемой нетривиальной ) изометрии.Но когда мы подсчитываем симметрии фигуры, очень важно учитывать тождество. Если мы этого не сделаем, мы получим вводящие в заблуждение цифры. Таким образом, у каждой фигуры есть по крайней мере одна симметрия, а именно тождественная, но мы не называем фигуру симметричной, если она не обладает другой, нетривиальной симметрией.

                        Введение и обучение концепциям

                        Я обычно ввожу переносы, отражения, вращения и скользящие отражения (вместе называемые изометриями) вместе. Будучи твердо убежденным в использовании манипулятивных средств, и поскольку мои ученики работают очень хорошо, когда они действительно видят и чувствуют то, что они делают, я достаю свою коробку с разнообразными треугольниками и четырехугольниками.Я выбираю два конгруэнтных неправильных многоугольника и помещаю один поверх другого; два разносторонних треугольника — мои любимые. Затем я передвигаю, переворачиваю или поворачиваю верхний манипулятор, чтобы продемонстрировать перемещение, отражение или вращение. Нижний манипулятор остается на месте исходной фигуры. Это хорошо коррелирует с большинством печатных учебников, в которых исходная фигура может быть показана красным, а преобразованная фигура — черным. Если вы хотите, чтобы учащийся перевел фигуру в заданную точку, повернул ее в новое положение и отразил на заданной линии, вы можете использовать четыре конгруэнтные фигуры.Я, вероятно, хотел бы использовать магнитные манипуляторы или манипуляторы с липучкой в ​​ограниченном пространстве, чтобы удерживать вещи на месте. Обязательно покажите учащимся рисунки из учебника, иллюстрирующие те же преобразования, чтобы они ознакомились с тем, что им предлагает учебник. Если эта графика не очень высокого качества, сделайте свою собственную, используя капсульную/набухшую бумагу. Кроме того, я показываю своим студентам примеры тестовых вопросов о преобразованиях из одного из многих стандартных тестов по математике.Sketchpad от Geometer или аналогичная программа динамического построения также могут быть эффективными для понимания поведения различных типов изометрий.

                        Когда мы доходим до темы симметрии линий или отражений, я напоминаю своим ученикам о том, как они были моложе и делали сердечки-валентинки, разрезая сложенный лист бумаги. Хотите верьте, хотите нет, но мои ученики с удовольствием складывают лист бумаги и вырезают сердечки или какой-нибудь другой симметричный рисунок. Я говорю им, что загнутый край — это линия симметрии.Затем я снова достаю свою манипулятивную коробку, выбирая два конгруэнтных прямоугольных треугольника. Поместив один поверх другого, я переворачиваю (отражаю) тот, что сверху, над сегментом линии, образованным одной из сторон, чтобы создать больший равнобедренный треугольник с линией симметрии (высотой) посередине. Вы также можете попросить своего ученика сложить бумагу, чтобы определить линии симметрии для уже изученных фигур (четырехугольников, треугольников и т. д.). Опять же, обязательно покажите учащемуся иллюстрации симметрии из учебника и/или сделайте свою собственную графику, как описано выше.

                        Мозаика или узор мозаики — это расположение фигур, которые заполняют плоскость, но не перекрывают друг друга и не оставляют промежутков. В чистой тесселяции везде используется одна и та же фигура. Я обычно начинаю с того, что мои ученики проверяют пол в классе, который состоит из квадратных плиток. У меня также есть набор таблиц в форме равнобедренных трапеций, которые создают мозаику. Затем я перехожу к учебникной или самодельной тактильной графике мозаики с использованием прямоугольников, равносторонних треугольников, параллелограммов, прямоугольных треугольников, правильных шестиугольников и т. д.Пусть учащиеся исследуют, чтобы обнаружить, что любой треугольник или четырехугольник можно использовать для создания мозаики на плоскости, но только определенные многоугольники с более чем четырьмя сторонами образуют мозаику на плоскости. Тесселяции, в которых используется более одного типа полигонов, называются получистыми тесселяциями. В этот момент я достаю свои деревянные блоки Discovery от ETA (различные и повторяющиеся размеры треугольников, квадратов, прямоугольников и параллелограммов) и позволяю им создавать собственную мозаику. Один молодой человек разработал невероятно красивую мозаику и поместил блоки в рамку.Это был великолепный паркет.

                        Евклидова геометрия — это математическая система, приписываемая александрийскому греческому математику Евклиду, чьи «Элементы» представляют собой самое раннее известное систематическое обсуждение геометрии. Метод Евклида состоит в принятии небольшого набора интуитивно привлекательных аксиом и выводе из них многих других утверждений (теорем). Хотя многие из результатов Евклида были сформулированы более ранними математиками (Eves (1963), т. 1, стр. 19), Евклид был первым, кто показал, как эти утверждения можно вписать во всеобъемлющую дедуктивную и логическую систему (Eves (1963). ), том.1, с. 10). Элементы начинаются с планиметрии, которую до сих пор преподают в средней школе как первую аксиоматическую систему и первые примеры формального доказательства. Он переходит к твердотельной геометрии трех измерений. Большая часть элементов содержит результаты, которые теперь классифицируются как часть алгебры и теории чисел, выраженные геометрическим языком (Eves (1963), том 1, стр. 19).

                        Нас окружают объекты различной формы, и эти объекты содержат симметрию. На самом деле, многие люди считают все различные типы симметрии вокруг нас красивыми.Фигура имеет линию симметрии, если одна ее половина содержит зеркальное отражение другой половины. Линия симметрии двумерной фигуры – это такая линия, что для каждого построенного перпендикуляра, если перпендикуляр пересекает фигуру на расстоянии d от оси вдоль перпендикуляра, то существует другое пересечение фигуры и перпендикулярно, на том же расстоянии ‘d’ от оси, в противоположном направлении вдоль перпендикуляра. Другой способ думать об этом состоит в том, что если вы можете сложить фигуру пополам, и одна половина точно покрывает другую половину, так что две половины будут идентичными: две половины являются зеркальным отражением друг друга.Таким образом, квадрат имеет четыре оси симметрии, потому что есть четыре разных способа сложить его и совместить все края. По той же причине круг имеет бесконечно много осей симметрии, по одной на каждый диаметр.

                        Вы можете воспользоваться этой возможностью, чтобы попросить учащихся исследовать различные фигуры и сказать, сколько линий симметрии существует в этих фигурах. Буквы и цифры входят в число кандидатов на симметрию. Используйте следующие вопросы, чтобы вести класс в разговоре о симметричных объектах и ​​изображениях.В ходе обсуждения прислушивайтесь к идеям, которые могут привести к интересным исследованиям в классе. Что вы заметили в симметричных объектах? Чем они одинаковы и чем отличаются? Составьте список слов, описывающих то, что вы видите. Где в классе вы видите симметрию? Какой тип симметрии вы видите? Составьте диаграмму, классифицирующую объекты симметрии. Какой тип симметрии наиболее распространен? Как вы думаете, почему вещи имеют симметрию?

                        Еще одно место, где знание симметрии очень важно, — это обои.Все согласятся, что обои — это одна из самых распространенных вещей, которые мы видим каждый день. Повторяющиеся узоры на полу (особенно на кафельном полу) и потолке попадают в одну и ту же категорию. В нашем доме, общественных туалетах, зданиях, банках и т. д. Используйте эту возможность, чтобы спросить своих учеников, останавливались ли они когда-нибудь, чтобы еще раз взглянуть на эти обои? Если они есть, спросите, что они видят, а если нет, попросите их принести образцы обоев, которые они могли бы найти на урок на следующий день. Вы должны запланировать взять с собой несколько образцов на тот случай, если студенты не смогут найти много.Это очень важное занятие, которое поможет расширить их знания и, следовательно, побудит вас превратить его в задание или проект для класса (см. Занятие 4). Когда они принесут эти образцы обоев, пусть они ищут любую симметрию. Еще одно важное наблюдение заключается в том, что основные области или «базовая форма» каждого рисунка обоев представляют собой своего рода четырехугольник. Нас окружают различные типы четырехугольников.

                        В плоской геометрии четырехугольник представляет собой многоугольник с четырьмя сторонами (или «ребрами») и четырьмя вершинами или углами.Слово «четырехугольник» состоит из слов «квадрат» (что означает «четыре») и «латеральный» (что означает «стороны»). Простые четырехугольники бывают выпуклыми или вогнутыми. Внутренние углы простого четырехугольника в сумме составляют 360 градусов. Подробнее остановимся на простых четырехугольниках. Любой четырехугольник замостит плоскость повторным поворотом на 180° вокруг середин его краев. Четырехугольники, на которых мы остановимся, это квадраты, прямоугольники, ромбы, равнобедренные трапеции (трапеции), параллелограммы и воздушные змеи.Это все стандартные условные термины, которые будут связаны с симметрией. В нашем обсуждении ниже мы предполагаем, что читатель знает, что представляют собой все эти типы четырехугольников, и мы подчеркнем аспекты симметрии различных типов.

                        Квадрат обладает всеми характеристиками ромба и прямоугольника. Он имеет четыре линии симметрии, что приводит к восьми типам симметрии. То есть четыре отражательные симметрии и 4-кратная вращательная симметрия.

                        Где:

                        R0 = Вращение на 0°, что означает ничего не делать (также известное как Идентичность),

                        R1 = поворот на 90°, R2 = поворот на 180°, R3 = поворот на 270°

                        M1 = Отражение вдоль заданной линии

                        M2 = Отражение вдоль заданной линии

                        D1 = Отражение по заданной диагонали

                        D2 = Отражение по заданной диагонали

                        Прямоугольник — это особый тип параллелограмма, у которого все углы прямые.Он имеет две линии отражательной симметрии и вращательной симметрии на 180 °, а также идентичность, всего четыре симметрии.

                        Ромб — еще один особый тип параллелограмма. По определению четырехугольник является ромбом тогда и только тогда, когда все его стороны равны.

                        Таким образом, ромб является равносторонним четырехугольником. Диагонали ромба являются перпендикулярными биссектрисами друг к другу. Ромб имеет 2 линии симметрии (а именно две диагонали), что также приводит к четырем симметриям.То есть две отражательные и две вращательные симметрии.

                        В геометрии трапецией (трапецией) называют четырехстороннюю фигуру с одной парой параллельных сторон. Мы примем точку зрения, что трапеция , а не параллелограмм, потому что только одна пара сторон параллельна, рисунок 1.

                        У равнобедренной трапеции (трапеции) углы при основании имеют одинаковую меру, и другая пара противоположных сторон также имеет одинаковую длину. Таким образом, вы получите фигуру, похожую на цифру 2.Она называется равнобедренной трапецией (трапецией), если стороны, которые не параллельны, равны по длине. Тогда оба угла, исходящие из параллельной стороны, также равны, как показано на рисунке. Альтернативное определение: «четырехугольник с осью симметрии, делящей пополам одну пару противоположных сторон». Это означает, что равнобедренная трапеция (трапеция) имеет только две симметрии, тождественность и отражение в серединном перпендикуляре двух параллельных сторон.

                        Воздушный змей имеет две пары смежных сторон одинаковой длины.Это означает, что одна диагональ делит воздушный змей на конгруэнтные треугольники по условию конгруэнтности SSS. Мы называем эту диагональ биссектрисой.

                        У него две пары сторон, по одной паре с каждой стороны биссектрисы. Углы равны там, где встречаются пары. Диагонали (пунктирные линии) сходятся под прямым углом, диагональ делит пополам (делит пополам) другую. На самом деле биссектриса — это линия симметрии воздушного змея. С одной линией симметрии это означает, что воздушный змей также имеет две симметрии, отражение по биссектрисе и тождество.

                        Наконец, смотрим на параллелограмм. Типичный параллелограмм не имеет симметрии отражения. Однако, если вы повернете его на 180 o вокруг середины одной из диагоналей, две вершины, являющиеся конечными точками диагонали, поменяются местами. Поскольку любая прямая превращается в параллельную при повороте на 180 90 242 o 90 243 , две стороны, пересекающиеся в одной вершине, перейдут к противоположным параллельным сторонам, пересекающимся в другой вершине. Таким образом, весь параллелограмм сохраняется, а пары противоположных сторон (а значит, и обе пары противоположных вершин) меняются местами.(Это также показывает, что центр вращения также является серединой другой диагонали, и, следовательно, диагонали параллелограмма делят друг друга пополам в центре вращения параллелограмма.) Таким образом, (типичный) параллелограмм имеет две симметрии, вращение по 180 o и удостоверение личности. Выполнение этого рассуждения в обратном порядке показывает, что четырехугольник, инвариантный при вращении на 180 90 242 o 90 243, должен быть параллелограммом.

                        Как правило, объект с вращательной симметрией — это объект, который выглядит одинаково после определенного поворота.Объект может иметь более одной вращательной симметрии; например, квадрат можно повернуть примерно 4 раза, и он все равно будет выглядеть одинаково при всех четырех поворотах, поэтому говорят, что квадрат имеет вращательную симметрию порядка 4. Параллелограмм имеет вращательную симметрию порядка 2. Кроме того, если форма совпадает с самой собой только один раз, когда вы идете по кругу (т. е. она совпадает с самой собой после одного полного оборота), на самом деле симметрии нет вообще. Это также то, что известно как «ничего не делать» (идентичность).

                        Из всего этого может быть построена действительно большая иерархия четырехугольников, основанная на свойствах их симметрии.На приведенной ниже диаграмме показаны различные четырехугольники, сгруппированные в соответствии с количеством симметрий, которые они имеют. Все стрелки указывают на квадрат, потому что у квадрата больше всего симметрий (всего восемь). За ним следуют ромб и прямоугольник с четырьмя симметриями. Воздушный змей, параллелограмм и равнобедренная трапеция (трапеция) следуют с 2 симметриями. (Воздушный змей действительно должен быть на одной линии с двумя другими.) Видно, что стрелки исходят из четырехугольника, потому что все фигуры являются примерами четырехугольников.

                        Это отличный инструмент, который поможет вашим ученикам лучше понять четырехугольники. Некоторые из моих учеников, испытывающих затруднения, очень радуются, когда я могу подвести итоги своих уроков. Они говорят, что это помогает им «связать все воедино». Чтобы убедиться, что подведение итогов действительно работает, я проверил их на четырех уроках, один из которых был кратким, а два — нет. Я понял, что они очень хорошо справились с итоговым уроком и не очень хорошо с уроками, которые не были обобщены.

                        Иерархия симметрии четырехугольников

                        Тесселяция — повторяющийся геометрический рисунок, покрывающий плоскость без зазоров и нахлестов, как обои.Мозаики в принципе не кончаются, их следует рассматривать как бесконечно продолжающиеся. М.К. Эшер был известным художником, которому нравилось искажать восприятие реальности. Он отвечал за такие работы, как «Рептилии», «Всадник» и многие другие, в которых использовалась мозаика. Мозаику можно увидеть повсюду вокруг нас, на тротуарах, в плитке для пола в ванной комнате, на паркетных полах, и это лишь некоторые из них. Тесселяции могут иметь любой из четырех типов изометрии в качестве симметрии, а именно отражательную симметрию, трансляционную симметрию, вращательную симметрию и симметрию скользящего отражения.Учащиеся должны уметь распознавать каждую из этих симметрий в рисунках обоев. Если они изучают различные тесселяции, они должны увидеть, что тесселяция может иметь вращательную симметрию порядка 1, 2, 3, 4 или 6, и только эти. (Это кристаллографическое ограничение .) Среди паттернов с заданным порядком вращательной симметрии можно найти такие, которые имеют отражательную или скользящую отражательную симметрию, и такие, которые имеют только вращательную симметрию. Это уже создает 10 различных типов обоев.Некоторые из этих 10 контейнеров могут быть дополнительно усовершенствованы, в результате чего получится 17 различных типов. Посмотрите, сколько ваши ученики могут отличить!

                        Мозаика с помощью Geometer’s Sketchpad

                        Это часть раздела, где учащиеся начнут изучать компьютерную программу под названием «Геометрический блокнот». Эта программа представляет собой геометрическую программу для изучения математики, и она очень удобна для пользователя. Я научу студентов, как сначала открыть программу на своих компьютерах. Следующим шагом будет показать им, как рисовать в блокноте.Программное обеспечение поставляется с набором инструментов, который позволяет вам

                        1. выберите части ваших рисунков,
                        2. точечный инструмент, который помогает рисовать точки,
                        3. Инструмент компаса
                        4. , используемый для рисования кругов,
                        5. Инструмент линейки
                        6. для рисования прямых линий (или ребер) и
                        7. текст и пользовательский инструмент, который помогает вводить текст в ваши рисунки и настраивать ваши рисунки соответственно.
                        Программное обеспечение также поставляется с панелью задач, полной функций, которые помогут вам с любым геометрическим рисунком.Когда они смогут нарисовать (или набросать) любую фигуру в блокноте, я покажу им, как сделать очень простую мозаику. Простая мозаика на блокноте может быть достигнута путем маневрирования формы (или объекта) различными способами. Под разными способами я подразумеваю, что вы можете переворачивать фигуру (или объект), двигать объект или даже многократно поворачивать объект. Вы также можете использовать их комбинацию, чтобы получить очень красивые мозаики. Например, выше описано, как создать мозаику, начиная с любого четырехугольника, используя только повторяющиеся повороты на 180 90 242 o 90 243 в серединах его сторон.

                        Идея тесселяции заложена в различных рисунках обоев. Учащимся будут показаны различные типы рисунков обоев и они увидят, как в них используется идея тесселяции. У студентов будет окончательный проект по созданию собственного дизайна обоев. Они начнут этот проект, сначала выбрав интересующий объект, сделав набросок объекта с помощью блокнота Geometer и используя идею тесселяции для создания дизайна обоев.

                        Это задание состоит из двух частей.Задание 1а предназначено для того, чтобы учащиеся узнали о различных типах четырехугольников. Упражнение 1b заключается в том, чтобы они узнали иерархию четырехугольников

                        .

                        Материалы/Ресурсы:

                        Складная, цветные карандаши, маркеры, линейка, бумага и ножницы

                        Деятельность 1a

                        1. Раздайте каждому учащемуся экземпляр четырехугольника и лист бумаги с точками.

                        2. Предложите учащимся на бумаге с точками нарисовать и подписать различные четырехугольники.

                        3. Предложите учащимся ответить на следующие вопросы:

                        • -У какого четырехугольника все четыре стороны равны?
                        • — Какой четырехугольник(и) имеет две пары параллельных сторон?
                        • -У какого четырехугольника(ов) все углы равны?
                        • — Какой четырехугольник(и) имеет одну пару параллельных сторон?
                        4.Предложите учащимся найти примеры четырехугольников в классе.

                        Деятельность 1b

                        1. Дайте каждому учащемуся лист бумаги.

                        2. Предложите учащимся сложить лист бумаги пополам, как хот-дог.

                        3. Предложите учащимся написать пять типов четырехугольников на внешней стороне (оставьте место между каждым четырехугольником).

                        4. Предложите учащимся описать характеристики каждого четырехугольника внутри, которые соответствуют четырехугольнику снаружи.

                        5. Предложите учащимся использовать свои рисунки и складные фигурки из предыдущего задания.

                        6. Попросите учащихся описать разницу между параллелограммом и трапецией. Обратите внимание на интересную взаимосвязь между параллелограммами и трапециями: если вы разрежете параллелограмм линией, проходящей через центр, две половины будут трапециями, конгруэнтными друг другу при повороте на 180 90 242 o 90 243 вокруг центра параллелограмма ( В некоторых исключительных случаях половинки снова будут параллелограммами или треугольниками).И наоборот, если вы возьмете трапецию и повернете ее на 180 90 242 o 90 243 вокруг середины одной из ее непараллельных сторон, вы создадите параллелограмм, половиной которого является трапеция. Вашим ученикам это может понравиться.

                        7. Пусть учащиеся заметят, что у трапеции ровно одна пара параллельных сторон, а у параллелограмма две пары параллельных сторон. Единственные отношения, которые у них есть, это то, что они оба имеют четыре стороны. Это означает, что параллелограммы и трапеции являются четырехугольниками, но не имеют других характеристик.

                        8. Предложите учащимся сравнить ромб, квадрат и прямоугольник. Спросите учащихся, в чем сходство.

                        9. Объясните учащимся, что ромб, квадрат и прямоугольник – это четырехсторонние многоугольники с двумя парами параллельных сторон. Следовательно, они и четырехугольники, и параллелограммы.

                        10. Используя фигуры, покажите учащимся соотношения между квадратом, ромбом и прямоугольником. У квадрата четыре прямых угла и четыре конгруэнтные стороны; у ромба четыре равные стороны; а у прямоугольника четыре прямых угла.Затем объясните, что квадрат — это всегда ромб и прямоугольник. Квадрат всегда является ромбом, потому что у них по четыре равные стороны, а ромб является квадратом только тогда, когда у ромба четыре прямых угла. Квадрат всегда является прямоугольником, потому что у него четыре прямых угла, а прямоугольник является квадратом только в том случае, если у него четыре конгруэнтные стороны. Предложите учащимся записать отношения в свою тетрадь по математике.

                        11. Предложите учащимся выполнить онлайн-задание — www.math.com — «Многоугольники и четырехугольники».

                        В этом упражнении вы будете использовать блокнот Геометра для рисования фигуры, и фигура будет «перевернута» над линией отражения. Вы будете делать наблюдения, которые сравнивают новую фигуру с оригиналом.

                        Материалы/Ресурсы:

                        Блокнот геометра на компьютере

                        Процедура

                        1. Откройте на своем компьютере программу Geometer’s Sketchpad и нарисуйте половину головы, как показано ниже.

                        2. Дважды щелкните линию отражения.

                        3. Выберите всю половину головки. (С помощью инструмента «Стрелка» щелкните и перетащите прямоугольную область вокруг половины головы.)

                        4. Выберите Reflect в меню Transform .

                        5. Перетащите любые точки или сегменты на фигуре. Что ты заметил? Прокомментируйте длины сегментов, размер каждой стороны и углы на каждой стороне линии отражения.

                        6. Что вы замечаете в двух красных сегментах, когда перетаскиваете сережку? (Совет: чтобы измерить сегмент, выберите сегмент и выберите Длина в меню Измерить .)

                        7. Можно ли сделать так, чтобы угол одной сережки отличался от угла другой сережки? (Подсказка: чтобы измерить угол, выберите 3 точки, составляющие угол, и выберите Угол в меню Измерить .) Почему или почему бы и нет?

                        8. Опишите соотношение между отрезками и углами по обе стороны от линии отражения.

                        9. Нажмите Далее . Теперь вы попробуете создать отражение самостоятельно, без помощи Sketchpad! Используйте инструмент «Сегмент», чтобы нарисовать, как, по вашему мнению, должна выглядеть другая сторона «полуфигуры».Когда вы закончите, используйте Sketchpad, чтобы отразить «полуформу». Насколько хорошо вы справились? Если вы хотите повторить попытку, выберите Отменить в меню Редактировать и начать заново.

                        10. Теперь ваша очередь создать отраженную фигуру. Нажмите Далее , чтобы перейти к пустому эскизу. Используйте инструмент «Сегмент», чтобы нарисовать новую «полуформу». Отразите свою полуформу с помощью Sketchpad.

                        В этом упражнении вы выполните несколько исследований, используя блокнот Геометра. Не забудьте записать все свои ответы.[ПРИМЕЧАНИЕ: это задание подходит для учащихся, которые немного знакомы с программой Geometer’s Sketchpad]

                        Процедуры:

                        1. Откройте новый эскиз.

                        2. В меню Display перейдите в Preferences и установите автоматическую маркировку точек и прямых объектов, щелкнув рядом с ними, поставив галочку в поле слева. Измените параметры расстояния на см. Измените параметры точности на сотые доли.Нажмите «ОК», чтобы вернуться к экрану эскиза.

                        3. Построить набор из параллельных линий с помощью меню построения. [Помните, что вам понадобится линия и точка для построения параллельных линий.]

                        4. Построить секущую. [Вам нужно будет нарисовать точку на каждой линии, чтобы построить секущую. Обратите внимание, что каждый из этих объектов теперь должен быть помечен.]

                        • а. Сколько точек указано на каждой строке? _______ Назови их. ________
                        • б.Что вы заметили в том, как обозначены точки и линии?
                        5. Используйте инструмент метки, чтобы написать «внутренняя часть» и «внешняя сторона» в соответствующих областях параллельных линий.

                        Как определить размеры углов, образованных этими пересекающимися линиями?

                        Чтобы измерить угол в Sketchpad, вы должны выбрать три точки с точкой вершины в качестве выбранной средней точки . Поскольку у вашей секущей всего ____ точек, вам нужно будет добавить точки к линии.

                        6. Выберите инструмент «Точка» на панели инструментов и нарисуйте свою поперечную на каждой внешней стороне параллельных линий.

                        7. Начиная с левого верхнего угла, измерьте каждый угол диаграммы, работая по часовой стрелке.

                        Ответьте на следующие вопросы, наблюдая за своим рисунком и измерениями углов.

                        • А. Какие углы имеют одинаковую меру? Назовите их, используя метод трех точек и символ угла.
                        • Б.Как можно описать расположение этих углов относительно пересекающихся прямых?

                        Это больше похоже на классный проект. Это упражнение можно использовать в качестве предварительного занятия перед введением понятия симметрии. В ходе занятия, когда вы обучаете концепциям, учащиеся оглядываются на свои результаты и при необходимости вносят изменения в свои наблюдения и результаты. Учащиеся будут использовать знания о симметрии и изометрии для группировки различных типов обоев.

                        Процедуры:

                        1. Каждый ученик принесет в класс разные узоры обоев, которые он сможет найти.

                        2. Учащиеся должны быть сгруппированы в группы по три человека.

                        3. Положите все обои на стол.

                        4. Каждая группа должна сгруппировать обои с разными рисунками в разные стопки. Убедитесь, что каждая созданная вами стопка имеет особую характеристику. Например, стопка А должна содержать все узоры обоев с отражающей симметрией, стопка В должна иметь только вращательную симметрию, стопка три должна иметь только поступательную симметрию.Некоторые сваи могут иметь более одной характеристики.

                        5. Каждая группа должна ответить на следующие вопросы после того, как сложит свои стопки. При необходимости обратитесь за помощью к учителю.

                        • i) Сколько стопок вы получили?
                        • ii) Назовите сваи в соответствии с типом симметрии рисунка.
                        • iii) Имеются ли какие-либо стопки с таким же типом симметрии, как и в узоре? Если да, то почему?
                        • iv) Сколько свай имеют осевую симметрию?
                        • v) Существует ли какая-либо фигура с другим порядком вращательной симметрии, кроме 1, 2, 3, 4 и 6? Если да, объясните почему?

                        PPT – Симметрия Презентация PowerPoint | бесплатно скачать

                        PowerShow.com — ведущий веб-сайт для обмена презентациями/слайд-шоу. Независимо от того, является ли ваше приложение бизнесом, практическими рекомендациями, образованием, медициной, школой, церковью, продажами, маркетингом, онлайн-обучением или просто для развлечения, PowerShow.com — отличный ресурс. И, что самое приятное, большинство его интересных функций бесплатны и просты в использовании.

                        Вы можете использовать PowerShow.com, чтобы найти и загрузить примеры презентаций PowerPoint в Интернете практически на любую тему, которую вы можете себе представить, чтобы вы могли узнать, как улучшить свои собственные слайды и презентации бесплатно.Или используйте его, чтобы найти и загрузить высококачественные презентации PowerPoint с практическими рекомендациями с иллюстрированными или анимированными слайдами, которые научат вас делать что-то новое, в том числе бесплатно. Или используйте его для загрузки собственных слайдов PowerPoint, чтобы вы могли поделиться ими со своими учителями, классом, учениками, начальниками, сотрудниками, клиентами, потенциальными инвесторами или со всем миром. Или используйте его для создания действительно крутых слайд-шоу из фотографий — с 2D- и 3D-переходами, анимацией и музыкой на ваш выбор — которыми вы можете поделиться со своими друзьями на Facebook или в кругах Google+.Это все также бесплатно!

                        За небольшую плату вы можете получить лучшую в отрасли конфиденциальность в Интернете или публично продвигать свои презентации и слайд-шоу с самыми высокими рейтингами. Но помимо этого это бесплатно. Мы даже конвертируем ваши презентации и слайд-шоу в универсальный формат Flash со всей их оригинальной мультимедийной славой, включая анимацию, 2D- и 3D-эффекты перехода, встроенную музыку или другое аудио или даже видео, встроенное в слайды. Все бесплатно. Большинство презентаций и слайд-шоу на PowerShow.com бесплатны для просмотра, многие из них даже можно скачать бесплатно. (Вы можете выбрать, разрешить ли людям загружать ваши оригинальные презентации PowerPoint и слайд-шоу фотографий за плату, бесплатно или вообще не загружать.) Посетите PowerShow.com сегодня — БЕСПЛАТНО. Здесь действительно что-то для всех!

                        презентации бесплатно. Или используйте его, чтобы найти и загрузить высококачественные презентации PowerPoint с практическими рекомендациями с иллюстрированными или анимированными слайдами, которые научат вас делать что-то новое, в том числе бесплатно. Или используйте его для загрузки собственных слайдов PowerPoint, чтобы вы могли поделиться ими со своими учителями, классом, учениками, начальниками, сотрудниками, клиентами, потенциальными инвесторами или со всем миром.Или используйте его для создания действительно крутых слайд-шоу из фотографий — с 2D- и 3D-переходами, анимацией и музыкой на ваш выбор — которыми вы можете поделиться со своими друзьями на Facebook или в кругах Google+. Это все также бесплатно!

                        За небольшую плату вы можете получить лучшую в отрасли конфиденциальность в Интернете или публично продвигать свои презентации и слайд-шоу с самыми высокими рейтингами. Но помимо этого это бесплатно. Мы даже конвертируем ваши презентации и слайд-шоу в универсальный формат Flash со всей их оригинальной мультимедийной славой, включая анимацию, 2D- и 3D-эффекты перехода, встроенную музыку или другое аудио или даже видео, встроенное в слайды.Все бесплатно. Большинство презентаций и слайд-шоу на PowerShow.com доступны для просмотра бесплатно, многие из них даже можно загрузить бесплатно. (Вы можете выбрать, разрешить ли людям загружать ваши оригинальные презентации PowerPoint и слайд-шоу фотографий за плату, бесплатно или вообще не загружать.) Посетите PowerShow.com сегодня — БЕСПЛАТНО. Здесь действительно что-то для всех!

                        Симметрия против асимметрии. Вспоминая основные принципы проектирования

                        Теперь мы собираемся рассмотреть два мощных принципа проектирования, которые на первый взгляд могут показаться нам слишком простыми и естественными, чтобы о них нужно было слишком долго думать.Однако было бы мудро не недооценивать их возможности и преимущества их эффектов. Всегда помните о симметрии и асимметрии , и это поможет вам принимать более обоснованные решения при планировании и реализации проекта.

                        Всякий раз, когда мы равномерно распределяем композиционные элементы вокруг центральной точки или оси, мы создаем симметричный дизайн. Хорошим примером симметрии в природе является бабочка; его правая и левая стороны очень похожи друг на друга (хотя и не идентичны).

                        Мы находим идеальную симметрию, когда две зеркальные стороны абсолютно одинаковы. Прижмите палец правой руки к поверхности зеркала в ванной и посмотрите на него и его отражение под углом (обратите внимание — для этого не нужно сильно поворачиваться в сторону). Предполагая, что наши зеркала чистые, мы всегда замечаем, что реальная правая рука и ее зеркальное отражение (которое переворачивает , чтобы оно выглядело как левая рука) совершенно симметричны.

                        К счастью, симметричный дизайн не зависит от идентичного зеркального отображения.Важно только приблизиться к эффекту; точность не нужна. Помните, что вы можете легко манипулировать взглядом пользователя, не беспокоясь о геометрическом совершенстве как соображении вашего дизайна.

                        И наоборот, асимметрия есть отсутствие симметрии любого вида. Всякий раз, когда мы создаем дизайн, состоящий из элементов, которые мы неравномерно распределили вокруг центральной точки или оси, мы получаем асимметричный дизайн. Мы можем использовать асимметрию, используя ее, чтобы привлечь внимание к областям дизайна или передать динамику или движение.

                        Как и в биологии, элементы подобны клеткам или частям экосистемы. В конечном счете, мы должны помнить, что построение баланса, которое мы можем сделать с помощью симметрии, делает дизайн «здоровым», более эффективным.

                        Типы симметрии

                        В зависимости от того, как возникает симметрия и как мы можем сравнивать каждую сторону рисунка с другой, мы можем разделить симметрию на следующие типы:

                        Вращательная симметрия элементы конструкции располагаются перпендикулярно (под прямым углом) друг к другу.Если есть центральная точка (центр вращения), относительно которой вы можете вращать рисунок, сохраняя его симметрию, то у вас будет пример вращательной симметрии. Поэтому не ограничивайте свое воображение изображением только четырех частей экрана или страницы (то есть верхнего левого, верхнего правого, нижнего правого и нижнего левого квадрантов). Думайте об этом больше как о круге с градусами и координатами, которые вы можете использовать более свободно.

                        Трансляционная симметрия — Трансляционная симметрия возникает всякий раз, когда мы можем перемещать (перемещать) элемент в дизайне, не вызывая потери им своих симметричных свойств.Как дизайнеры, мы вряд ли будем использовать трансляционную симметрию для всей страницы . Вместо этого мы можем иногда использовать этот принцип для отдельных симметричных элементов на странице.

                        Отражательная симметрия — Если одна половина изображения является зеркальным отражением другой, вы будете рассматривать случай отражательной симметрии. Теперь мы вернулись к нашему пальцу на зеркальной иллюстрации. Это самый строгий вид симметрии.

                        Отражательная симметрия скольжения — Если вы когда-либо видели следы на песке или снегу, вы видели отражательную симметрию скольжения в действии.Идея проста; вы отражаете изображение, но затем перемещаете копию так, чтобы она больше не находилась напротив исходного изображения. Вместо этого вы заставили копию выглядеть так, как будто она изменена определенным образом. Возможно, вы перевернули его или сделали так, будто он уплывает, создавая впечатление движения в каком-то направлении.

                        Симметрия и баланс

                        Симметрия предлагает упорядоченный подход к дизайну. Поскольку это создает опрятную и опрятную среду проектирования, пользователи могут легче находить элементы. Человеческий глаз находит баланс, созданный симметрией (или псевдосимметрией, когда два предмета не идеально симметричны, но «достаточно близки», чтобы мы могли видеть как симметричных) приятным.

                        Мы иногда называем симметричный баланс «формальным балансом». Этого трудно достичь в веб-дизайне и дизайне приложений. Природа симметрии такова, что она привязывает дизайнера к очень простым, очень конкретным макетам, таким как домашняя страница Google, которая на самом деле является псевдосимметричной. Помните, что главная страница Google выглядит именно так по немалой причине. Поскольку мы используем Google для одной основной цели (поиск ключевых слов или тем), нам удобнее иметь инструмент, который может привести нас туда, куда мы хотим, не отвлекая нас по пути.Сколько раз вы вводили условия поиска, потому что поняли или вспомнили важную тему? Если бы главная страница Google выглядела занятой, у вас был бы хороший шанс остановиться, чтобы посмотреть на какую-то функцию, возможно, забывая, что именно вы хотели исследовать!

                        По мере того, как все более сложные конструкции требуют большей сложности, становится все труднее достичь симметричного баланса. Если мы попытаемся сделать это в менее упрощенном дизайне, мы заметим, сколько сил нам нужно использовать, чтобы сохранить эту симметрию.Конечно, это усилие отразится на общем виде, создав в глазах пользователя напряженное впечатление.

                        К счастью, есть альтернатива. Большинство дизайнов веб-сайтов и приложений основаны на «неформальном балансе». Это означает принятие определенной асимметрии в самом дизайне, но попытка достижения баланса контента по обе стороны от вертикальной или горизонтальной оси. Вместо того, чтобы стремиться к строгой симметрии, которая будет ограничивать нас, мы максимально используем ситуацию и работаем над тем, чтобы вставить равномерное распределение элементов.Эта ситуация подобна самой жизни! Нет ничего идеального, даже если мы знаем как выглядит, скажем, равносторонний треугольник и насколько он совершенен по форме. Помните также, что, хотя наши тела кажутся симметричными, на самом деле они не являются зеркальными сторонами. Если у вас есть родинки, веснушки, порез или шрам, немного другой цвет одного глаза или одна рука сильнее или длиннее другой, вы сразу это заметите.

                        Вывод

                        Дизайнеры часто используют симметрию и асимметрию в веб-дизайне и дизайне приложений для организации контента и предоставления удобного интерфейса.Мы можем использовать симметрию и асимметрию как инструменты для достижения баланса и гармонии в макете, создавая более приятные (для глаз и, следовательно, для мозга) эффекты, чем были бы доступны, если бы мы не проектировали с учетом симметрии и асимметрии.

                        Однако к симметрии нужно подходить осторожно. Симметричные макеты требуют простоты, чтобы быть эффективными. Существует несколько типов симметрии:

                        • Трансляционная симметрия
                        • Вращательная симметрия
                        • Отражательная симметрия
                        • Скользяще-отражательная симметрия

                          16

                        По мере того, как страница становится более сложной, строгое соблюдение симметрии может привести к созданию стерильных макетов, лишенных визуальной привлекательности.Одна школа мысли приписывает динамизм асимметричному дизайну. Другими словами, асимметричный дизайн может казаться более живым и активным, в отличие от более холодной «плоскости» симметричного дизайна.

                        Однако простые страницы с высокой степенью симметрии могут казаться чистыми и часто очень простыми в использовании. Это особенно верно, когда страница имеет единственную точку взаимодействия в центре. Вы часто найдете это на страницах входа в систему, домашних страницах поисковых систем и т. д.

                        Симметрию также можно использовать для ознакомления с компоновкой.Использование симметрии в дизайне — это функция, которая может особенно пригодиться, например, людям с ограниченными возможностями обучения.

                        Однако, когда сложность увеличивается, вы часто обнаружите, что вам легче управлять асимметрией. При тщательном применении вы можете использовать асимметричный дизайн, чтобы привлечь внимание к особенно важным частям страницы, таким как призыв к действию, который в противном случае мог бы быть потерян в большей части или частях контента.

                        Итак, найдите время, чтобы подумать, какой из них лучше подходит для вашего дизайна.Отойдите и взгляните на общую картину, прежде чем войти и попытаться разобраться в более мелких деталях. Кто ваши пользователи? Каков ваш продукт, услуга или сообщение? Каковы ваши самые важные моменты, и какие части вы можете позволить себе оставить более сдержанными как «приятно знать»? Какие веб-страницы вы хотите передать какую информацию?

                        Только после того, как вы ответите на эти вопросы, вы сможете лучше понять, какой дизайн лучше подойдет для этой страницы: симметричный или асимметричный.Помните также, что глаз вашего пользователя будет работать в согласии с вашим выбором, поэтому убедитесь, что вы внимательно рассматриваете все элементы и аспекты своего дизайна.

                        Где узнать больше

                        Коул С. Симметрия и асимметрия. Веб-дизайн Nerd Depot. Получено с: http://www.webdesignerdepot.com/2013/10/symmetry-v… [2014, 1 августа]

                        Паломар Коллаж. Баланс — Симметрия . Получено с: http://daphne.palomar.edu/design/bsymm.html. [2014, 1 августа]

                        Ссылки:

                        Герой изображения: Автор/правообладатель: Неизвестно.Условия авторского права и лицензия: неизвестно.

                        Глава 18 Симметрия. Симметрия фигур на плоскости, затем разверните

                        1 Глава 18 Симметрия Симметрия представляет интерес во многих областях, например, в искусстве, дизайне в целом и даже в изучении молекул.Эта глава начинается с рассмотрения двух типов симметрии двумерных фигур, а затем переходит к введению симметрии многогранников (и вообще трехмерных объектов). Симметрия фигур на плоскости Симметрия плоских фигур может проявляться уже как степень 1, где симметрия ограничена симметрией отражения или симметрией линии для фигуры, как показано справа. Линия отражения, пунктирная линия на рисунке, разрезает фигуру на две части, каждая из которых точно подошла бы к другой части, если фигуру согнуть по линии отражения.Многие плоские формы в природе обладают симметрией отражения, и многие конструкции, созданные человеком, включают в себя симметрию отражения. Вы могли сделать симметричные узоры (например, снежинки или сердечки ко Дню святого Валентина), сначала сложив лист бумаги, затем отрезав что-то от согнутого края, а затем развернув. Линия загнутого края является линией отражения для получившейся фигуры. затем развернуть Данная форма может иметь более одной симметрии отражения. Например, у квадрата есть четыре линии отражения, каждая из которых дает квадрату симметрию отражения.Следовательно, квадрат имеет четыре симметрии отражения. 423

                        2 424 Глава 18 Симметрия Второй вид симметрии для некоторых форм на плоскости — вращательная симметрия. Фигура обладает вращательной симметрией, если ее можно вращать вокруг фиксированной точки до тех пор, пока она точно не займет место, которое она первоначально занимала. Фиксированная точка поворота называется центром вращательной симметрии. Например, предположим, что квадрат ABCD, показанный ниже, вращается против часовой стрелки вокруг точки, выделенной как центр.Штриховой отрезок до вершины C используется здесь, чтобы помочь отслеживать количество градусов поворота. Штрих часто используется как напоминание о том, что точка связана с исходным местоположением. Например, мы обозначаем B’ как точку, в которую B переместится после поворота. В конце концов, после того как квадрат повернулся на 90°, он занимает тот же набор точек, что и изначально. Квадрат имеет вращательную симметрию 90 с центром в выделенной точке. Убедите себя, что квадрат также имеет вращательную симметрию 180 и 270.Каждая фигура имеет 360-градусную симметрию, но при подсчете количества 360-градусной симметрии учитывается только в том случае, если у фигуры есть другие вращательные симметрии. Следовательно, квадрат имеет четыре вращательные симметрии. Наряду с четырьмя симметриями отражения, у квадрата всего восемь симметрий. ЗАДУМАЙТЕСЬ Все вращения на рисунке выше были против часовой стрелки. Объясните, почему повороты на 90, 180, 270 и 360 по часовой стрелке не дают никаких новых вращательных симметрий. Симметрии делают очевидным, что они связаны с каким-то движением.Можно дать следующее общее определение. Симметрия фигуры — это любое движение, при котором фигура помещается в тот же набор точек, с которого она началась. Упражнение 1 Симметрии равностороннего треугольника Каковы симметрии отражения и симметрии вращения равностороннего треугольника KLM? Обязательно определите линии отражения и количество градусов в поворотах. М К Л

                        3 Раздел 18.1 Симметрия фигур на плоскости 425 Обратите внимание, что когда мы используем слово «симметрия» по отношению к объекту в геометрии, мы имеем в виду конкретную фигуру, такую ​​как дерево, показанное справа. И мы должны представить себе какое-то движение, например отражение в пунктирной линии, которое дает исходную фигуру в качестве конечного результата. Многие точки сдвинулись, но фигура в целом занимает точно такое же множество точек после движения, как и до движения. Если бы вы моргали во время движения, вы бы не поняли, что движение имело место.Вместо того, чтобы просто доверять тому, как выглядит фигура, мы можем обратиться к симметрии некоторых фигур, чтобы обосновать некоторые предположения относительно этих фигур. Например, равнобедренный треугольник имеет симметрию отражения. В равнобедренном треугольнике, если мы разделим пополам угол, образованный двумя сторонами одинаковой длины, эти две стороны поменяются местами, когда мы используем биссектрису в качестве линии отражения. Затем два угла, противоположные сторонам равной длины (углы B и C на рисунке), также меняются местами, причем каждый угол располагается точно там, где был другой угол.A A C B B’ C’ Треугольник ABC после отражения Итак, в равнобедренном треугольнике два угла, противоположные сторонам равной длины, должны иметь равные величины. Обратите внимание, что те же рассуждения применимы к каждому равнобедренному треугольнику, поэтому не стоит беспокоиться о том, что где-то может быть равнобедренный треугольник с этими двумя углами, имеющими разные размеры. Вместо того, чтобы рассматривать только один пример и полагаться на то, что кажется верным в примере, это рассуждение применимо ко всем равнобедренным треугольникам и, как результат, дает веское обоснование отсутствия равных углов как часть определения равнобедренного треугольника.Обсуждение 1. Почему равносторонние треугольники должны быть равносторонними. Используйте предыдущий факт о равнобедренных треугольниках, чтобы сделать вывод, что все три угла равностороннего треугольника должны быть одинакового размера. C A B В Обсуждении 1 вы использовали установленный факт об углах в равнобедренном треугольнике, чтобы обосновать в общем виде факт об углах в равностороннем треугольнике. Сравните этот метод с простым взглядом на равносторонний треугольник и доверием своему зрению.

                        4 426 Глава 18 Симметрия Задание 2 Есть ли у параллелограмма симметрии? Начертите общий параллелограмм и найдите симметрии.Есть ли у параллелограмма отражательная симметрия? Есть ли у него какие-либо вращательные симметрии, кроме тривиальной 360-градусной симметрии? Вот еще одна иллюстрация подтверждения гипотезы с помощью симметрии. Раньше вы, возможно, делали следующие предположения о параллелограммах: противоположные стороны параллелограмма равны по длине, а противоположные углы имеют одинаковую величину. Обоснование использует 180-градусную симметрию вращения параллелограмма, как показано на следующих рисунках. Обратите внимание, что обычный способ именования конкретного многоугольника путем маркировки его вершин обеспечивает хороший способ говорить (или писать) о многоугольнике, его сторонах и углах.Упражнение 3 Симметрии в некоторых других формах Сколько симметрий отражения и сколько симметрий вращения имеет каждый из следующих многоугольников? В каждом случае опишите линии отражения и градусы вращения. а. правильный пятиугольник PQRST b. правильный шестиугольник ABCDEF P A B T M Q F N C S R E D c. регулярное n-угольник ВЫВОД СООБЩЕНИЕ… Симметрии фигур — богатая тема. Симметричные формы не только имеют визуальную привлекательность, но и упрощают проектирование и строительство многих промышленных объектов.Симметрия часто встречается в природе. С математической точки зрения симметрии могут предоставить методы для обоснования предположений, которые могли возникнуть на основе рисунков или примеров.

                        5 Раздел 18.1 Симметрия фигур на плоскости 427 Упражнения для обучения разделу Какие заглавные буквы печатным шрифтом (например, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z) обладают отражательной симметрией? Вращательная симметрия(и)? 2.Определите какой-нибудь плоский объект в природе, обладающий симметрией отражения, и объект, обладающий вращательной симметрией. 3. Найдите какой-нибудь искусственный плоский объект, обладающий отражательной симметрией, и объект с вращательной симметрией. (Одним из источников может быть логотип компании.) 4. Каковы симметрии отражения и симметрии вращения для каждого из следующих многоугольников? Опишите линии отражения и укажите число градусов поворота. а. равнобедренный треугольник, только две стороны которого имеют одинаковую длину b. прямоугольник, у которого не все стороны равны по длине (Объясните, почему диагонали не являются линиями симметрии.) в. параллелограмм, не имеющий прямых углов d. равнобедренная трапеция e. обычная неравнобедренная трапеция f. ромб, не имеющий прямых углов g. воздушный змей 5. Формы, отличные от многоугольников, могут иметь симметрию. а. Найдите линию симметрии угла. б. Найдите четыре оси симметрии для двух данных прямых, которые перпендикулярны (то есть образуют прямые углы). Найдите также четыре вращательные симметрии. в. Найдите три оси симметрии для двух данных параллельных прямых. д. Найдите несколько осей симметрии окружности.(Сколько линий симметрии?) e. Сколько осей симметрии у эллипса? 6. Объясните, почему это утверждение неверно: вы можете получить вращательную симметрию для круга, повернув его на 1, 2, 3 и так далее вокруг центра круга. Итак, круг имеет ровно 360 вращательных симметрий. 7. Скопируйте каждый рисунок и дополните его, чтобы в результате получилась необходимая симметрия, описанная в пунктах (а) (д). Дизайн I Дизайн II а. Конструкция I, вращательная симметрия Продолжить на следующей странице.

                        6 428 Глава 18 Симметрия b.Дизайн I, симметрия отражения c. Схема I, симметрия отражения с линией, отличной от линии в части (b) d. Схема II, вращательная симметрия e. Дизайн II, симметрия отражения 8. Изображения объектов и рисунков реального мира часто имеют симметрию. Определите все отражательные и вращательные симметрии на следующих рисунках. а. б. в. д. е. ф. 9. (Узорные блоки) Создайте привлекательный дизайн, используя Узорные блоки (или бумажные блоки из Приложения G). Применяется ли в вашем дизайне симметрия отражения или симметрия вращения? 10.Предположим, треугольник ABC имеет ось симметрии k. Что это говорит вам о следующих объектах? а. отрезки АВ и АС (каким должен быть треугольник АВС?) b. углы B и C c. точка M и отрезок BC d. углы х и у

                        7 Раздел 18.1 Симметрия фигур на плоскости Предположим, что m — линия симметрии шестиугольника ABCDEF. Что это говорит вам о следующих объектах?а. сегменты BC и AF? Объяснять. б. сегменты CD и EF? в. длины отрезков AB и ED? д. углы F и C? Объяснять. е. другие сегменты или углы? 12. Предположим, что шестиугольник GHIJKL имеет вращательную симметрию, равную 180, с центром X. G H L K X J I Что поворот на 180 говорит вам о конкретных отношениях между сегментами и между углами в шестиугольнике? 13. а. Используя симметрию, обосновать, что диагонали равнобедренной трапеции имеют одинаковую длину. б. Верен ли результат, указанный в пункте (а), также и для прямоугольников? Для параллелограммов? Объяснять.14. а. Используя симметрию, обосновать, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. б. Верен ли результат, указанный в пункте (а), для специальных параллелограммов? Для воздушных змеев? Объяснять. 15. Изучите следующие предположения о некоторых четырехугольниках, чтобы увидеть, можете ли вы обосновать какие-либо из них, используя симметрию. а. Длинная диагональ воздушного змея делит короткую диагональ на отрезки одинаковой длины. б. В воздушном змее, подобном показанному справа, углы 1 и 2 имеют одинаковый размер. 1 2 в.Все стороны ромба имеют одинаковую длину. д. Диагонали прямоугольника разрезают друг друга на четыре отрезка одинаковой длины.

                        8 430 Глава 18 Симметрия 18.2 Симметрия многогранников В разделе 16.4 мы неформально связали конгруэнтность многогранников с движениями. Поскольку мы также связали симметрию 2D-форм с движениями, неудивительно, что симметрия 3D-форм также может быть описана движениями.Этот раздел знакомит с симметрией трехмерных фигур, рассматривая многогранники и иллюстрируя два типа трехмерной симметрии. Имейте под рукой набор форм! Симметрии отражения Хлопните в ладоши и держите их вместе. Представьте себе плоскость (или бесконечное двустороннее зеркало) между кончиками пальцев. Если вы думаете, что каждая рука отражается в этой плоскости или зеркале, отражение каждой руки будет точно соответствовать другой руке. Левая рука будет отражаться на правой руке, а правая рука будет отражаться на левой руке.Плоскость разрезает двурукую фигуру на две части, являющиеся зеркальным отражением друг друга; отражая фигуру, пара рук в плоскости дает исходную фигуру. Фигура, сделанная вашими двумя руками, имеет отражательную симметрию относительно плоскости. Симметрию относительно плоскости иногда называют симметрией зеркального отображения или просто симметрией отражения, если контекст ясен. Упражнение 4 Разделение куба 1. Есть ли у куба отражательная симметрия? Опишите поперечное сечение для каждой обнаруженной вами симметрии отражения.2. Имеют ли прямоугольные призмы какие-либо симметрии отражения? Опишите поперечное сечение для каждой обнаруженной вами симметрии отражения. Вращательная симметрия Фигура обладает вращательной симметрией по отношению к определенной линии, если при повороте фигуры на определенное число градусов с использованием линии в качестве оси повернутая версия совпадает с исходной фигурой. Точки теперь могут быть в разных местах после поворота, но фигура в целом будет занимать тот же набор точек после поворота, что и раньше.Линию иногда называют осью вращательной симметрии, или осью. Фигура может иметь более одной оси вращательной симметрии. Как и в случае с кубом, изображенным на следующей странице, возможно иметь различную вращательную симметрию с одной и той же осью за счет поворота на разное число градусов. Поскольку два вращения, показанные на 90° и 180°, по-разному влияют по крайней мере на одну точку, они считаются двумя разными вращательными симметриями. Куб занимает в целом тот же набор точек после любого поворота, что и до поворота, поэтому два поворота действительно являются симметриями.

                        9 Раздел 18.2 Симметрия многогранников 431 Точно так же повороты на 270 и 360 относительно одной и той же оси дают третью и четвертую вращательную симметрию. Таким образом, для этой одной оси существует четыре различных вращательных симметрии: 90, 180, 270 и 360 (или 0°). Задание 5 Скругление куба 1. Найдите все оси вращательной симметрии куба. (Их больше трех.) Для каждой оси найдите все возможные вращательные симметрии, указав количество градусов для каждой вращательной симметрии.2. Повторите Задание 1 для равносторонней треугольной прямой призмы (см. фигуру C в вашем наборе фигур). ВЫНОС… Некоторые трехмерные формы имеют много симметрий, но применимы те же идеи, что и с симметриями двумерных форм. За исключением исключительно способных или опытных визуализаторов, большинство людей находят модель формы полезной для подсчета всех симметрий трехмерной формы. Учебные упражнения для секции. Можете ли вы держать две руки так, чтобы для них существовала вращательная симметрия (кроме 360°)? Каждая рука должна заканчиваться точно там же, где начиналась другая рука.2. Сколько различных плоскостей дает симметрии для этих фигур из вашего набора? Запишите несколько плоскостей симметрии в эскизах для практики. а. Форма А б. Форма D в. Форма Fd. Форма G 3. Сколько вращательных симметрий имеет каждая фигура в обучающем упражнении 2? Покажите несколько осей симметрии на эскизах, для практики.

                        10 432 Глава 18 Симметрия 4. Вы ученый, изучающий кристаллы в форме H из вашего набора.Подсчитайте симметрии формы H, как отражательную, так и вращательную. (Посчитайте вращательную симметрию 360 только один раз.) 5. Опишите симметрии, если они есть, каждой из следующих фигур, состоящих из кубов. а. б. в. Вид сверху для c: 6. Скопируйте и закончите следующие незавершенные здания так, чтобы они имели симметрию отражения. Завершите каждый двумя способами, считая дополнительное количество кубиков, необходимое для каждого способа. (Здание в части (b) уже имеет одну плоскость симметрии; вы ее видите? Это все еще плоскость симметрии после ваших дополнительных кубов?) a.б. 7. Спроектируйте сеть для пирамиды, которая имеет ровно четыре вращательные симметрии (включая только одну, включающую 360°). 8. Представьте себе правильную восьмиугольную призму с основаниями типа . Сколько симметрий отражения будет у призмы? Сколько вращательных симметрий? 9. Показанный ниже куб разделен указанной плоскостью симметрии. Какой точке соответствует каждая вершина отражения на плоскости? А > В > С > Г > Е > Ж > З > Н >

                        11 Раздел 18.3 Вопросы для изучения: Что такое геометрия и измерения в учебной программе Объясните, почему считается, что каждая пара описывает только одну симметрию фигуры. а. вращение на 180° по часовой стрелке и вращение на 180° против часовой стрелки (одна ось) b. вращение на 360° с одной осью и вращение на 360° с другой осью 11. (Предложение: поработайте с одноклассником.) Возможно, вы подсчитали симметрии отражения и симметрии вращения правильного тетраэдра (форма А в вашем наборе) и куба. Выберите один из других типов правильных многогранников и подсчитайте его отражательные симметрии и оси вращательных симметрий Вопросы для изучения: Какая геометрия и измерения входят в учебную программу? В отличие от работы с числами, охват геометрии в классах К 8 в США неравномерен, особенно в отношении работы с объемными фигурами.Темы измерения обязательно возникнут, но часто основное внимание уделяется формулам, а не вовлеченным идеям. Общенациональные тесты, используемые Национальной оценкой образовательного прогресса, показывают, какое внимание, по мнению составителей тестов, следует уделять геометрии и измерениям. i В 4 классе примерно 15 % заданий посвящены геометрии (и пространственному восприятию) и 20 % — измерению. В 8 классе примерно 20 % заданий посвящены геометрии (и пространственному чувству) и 15 % — измерению. Таким образом, более трети экзаменационных вопросов связаны с геометрией и измерениями, что свидетельствует о важности этих тем в учебной программе.Книга «Принципы и стандарты школьной математики ii» дает представление о том, что может быть включено в учебную программу в различных классах, поэтому мы будем использовать ее как указание на то, какую геометрию и измерения вы, возможно, ожидаете увидеть в классах K 8. Примечания PSSM: Геометрия — это больше, чем определения; речь идет об описании взаимосвязей и рассуждений (стр. 41). Изучение измерений важно в учебной программе по математике от дошкольного возраста до старшей школы из-за практичности и распространенности измерений во многих аспектах повседневной жизни (стр.44). В частности, измерение связывает многие геометрические идеи с числовыми и позволяет выполнять практические действия с объектами, которые являются естественной частью детской среды. В следующих кратких обзорах, взятых из PSSM, вы можете встретить термины, которые вам незнакомы; они возникнут в последующих главах этой книги. PSSM включает в себя гораздо больше деталей, чем то, что здесь дано, конечно же, а также примеры для иллюстрации некоторых моментов. Повсюду PSSM поощряет использование технологий, которые поддерживают приобретение знаний о формах и измерениях.PSSM систематизирует свои рекомендации по группам оценок: Pre-K 2, 3 5, 6 8 и Здесь представлены только первые три группы. Эти краткие обзоры могут дать вам представление об объеме и относительной важности геометрии и измерений в учебной программе K 8, поскольку большая часть изучения начинается в младших классах.

                        12 434 Глава 18 Симметрия Классы Pre-K 2. Дети должны уметь распознавать, называть, строить, рисовать и сортировать фигуры, как двумерные, так и трехмерные, а также распознавать их в своем окружении.Они должны уметь использовать язык для обозначения направлений, расстояния и местоположения, используя такие термины, как «над», «под», «близко», «далеко» и «между». Они должны быть знакомы с идеями симметрии и жесткими движениями, такими как скольжение, сальто и повороты. При измерении дети должны иметь опыт работы с длиной, площадью и объемом (а также с весом и временем), измерять как нестандартными, так и стандартными единицами измерения и знакомиться с идеей повторения единицы измерения. Язык измерений, включающий такие слова, как «глубокий», «большой» и «длинный», должен стать удобной частью их словарного запаса.3 класс 5. Учащиеся должны уделять больше внимания свойствам двух- и трехмерных фигур, а также определениям таких идей, как треугольники и пирамиды. Такие термины, как параллель, перпендикуляр, вершина, угол, трапеция и т. д., должны стать частью их лексикона. Должны быть введены системы конгруэнтности, подобия и координат. Студенты должны сделать и проверить предположения, и они должны обосновать свои выводы. Они должны опираться на свою более раннюю работу с жесткими движениями и симметрией.Они должны уметь рисовать двухмерное изображение трехмерной формы и, наоборот, создавать или распознавать трехмерную форму из двухмерного изображения. Ссылки на искусство и науку должны возникать естественным образом. Идеи измерения в классах 3-5 должны быть расширены, чтобы включить размер угла. Учащиеся должны попрактиковаться в преобразованиях в системе единиц (например, изменение измерения, указанного в сантиметрах, на единицу в метрах или единицу измерения, заданную в футах, на единицу в дюймах). Их навыки оценки измерений с использованием эталонов должны расти, а также их понимание того, что большинство измерений являются приблизительными.Они должны разработать формулы для площадей прямоугольников, треугольников и параллелограммов, и они должны иметь некоторую практику в применении их к площадям поверхностей прямоугольных призм. Студенты должны предложить идеи для определения объема прямоугольной призмы. 6 класс 8. Предыдущую работу следует расширить, чтобы учащиеся поняли взаимосвязь между различными типами многоугольников (например, квадраты – это специальные ромбы). Они должны знать соотношения между углами, длинами, площадями и объемами подобных фигур.Их изучение координатной геометрии и геометрии преобразований должно продолжаться, возможно, включающее состав жестких движений. Ученики должны работать с теоремой Пифагора. Темы измерения будут включать формулы, относящиеся к окружности круга, и дополнительные формулы площади для трапеций и окружностей. Студенты чувствуют, что измерения являются приблизительными, и их следует уточнить. Им следует изучить площади поверхности и объемы некоторых пирамид, пирамид и цилиндров. Они также должны изучить такие показатели, как скорость и плотность.Второй документ, Основные моменты учебной программы от дошкольного возраста до 8-го класса по математике: поиск согласованности, iii, был опубликован после PSSM. Этот документ содержит список из трех координаторов для каждого класса. Таким образом, учителя могут быть уверены, что основные идеи рассматриваются на каждом уровне обучения, когда не все в учебнике может быть завершено в течение учебного года. Например, вот один координатор учебной программы для 3 класса:

                        .

                        13 Раздел 18.4 Проверьте себя 435 Описание и анализ свойств двумерных фигур. Учащиеся описывают, анализируют, сравнивают и классифицируют двухмерные фигуры по их сторонам и углам и связывают эти атрибуты с определениями форм. Учащиеся исследуют, описывают и рассуждают о разложении, объединении и преобразовании многоугольников для создания других многоугольников. Создавая, рисуя и анализируя двумерные фигуры, учащиеся понимают атрибуты и свойства двухмерного пространства и использование этих атрибутов и свойств при решении задач, включая приложения, связанные с конгруэнтностью и симметрией (стр. 15).Координатор 4-го класса продолжает эту работу, сосредотачиваясь на развитии понимания площади и определении площади, а в 5-м классе переходит к трехмерным формам, включая площадь поверхности и объем. следующие цели. 1. Дайте определение симметричности фигуры. 2. Нарисуйте фигуру, имеющую заданную симметрию. 3. Определите все симметрии отражения и вращательные симметрии данной двумерной фигуры, если таковые имеются.Ваша идентификация должна включать линию отражения или количество градусов вращения. 4. Используйте симметрию, чтобы аргументировать определенные предположения. Некоторые из них приведены в тексте, а другие требуются в учебных упражнениях, но может потребоваться аргументация в пользу какого-либо другого факта. 5. Определите и перечислите все симметрии отражения (в плоскости) и симметрии вращения (относительно линии) данной трехмерной фигуры. ССЫЛКИ К ГЛАВЕ 18 i Сильвер, Э. А., и Кенни, П. А. (2000). Результаты седьмой математической оценки национальной оценки образовательного прогресса.Рестон, Вирджиния: Национальный совет учителей математики. ii Национальный совет учителей математики. (2000). Принципы и стандарты школьной математики. Рестон, Вирджиния: Автор. iii Национальный совет учителей математики. (2006). Основные моменты учебной программы от дошкольного возраста до 8 класса по математике: в поисках согласованности. Рестон, Вирджиния: Автор.

                        14

                        Презентация на тему вписанный и описанный круг.Окружность, описанная около треугольника



                        На каком рисунке изображена окружность, вписанная в треугольник?

                        Если окружность вписана в треугольник,

                        , то треугольник описан вблизи окружности.


                        Теорема. В треугольник можно вписать круг, и притом только один. Его центр является точкой пересечения биссектрисы треугольника.

                        Dano: ABC

                        Докажите: Существует OCC.(O;R),

                        вписанный в треугольник

                        Доказательство:

                        Проведем биссектрису треугольника: AA 1, BB 1, SS 1.

                        По свойству (чудесная точка треугольника)

                        биссектрисы пересекаются в одной точке — о,

                        и эта точка равноудалена от всех сторон треугольника, т.е.

                        ОК = ОЕ = ИЛИ, где ОК АВ, ОЕ Солнце, ИЛИ АС, значит

                        О — центр окружности, а АВ , Sun, AU — касательные к ней.

                        Итак, окружность вписана в ABC.


                        Дано: OCP. (О; Р) вписанный в АВС,

                        р = ½ (АВ+Солнце+АС) — половинчатый вариант.

                        Доказать С. АВС = p·r

                        Доказательство:

                        соединить центр окружности с вершинами

                        треугольника и провести точку касания в окружности радиусом

                        08 9.

                        Эти радиусы являются

                        высотами треугольников АО, Вос, Соа.

                        S ABC = S AOB + S Boc + S AOC = ½ AB · R + ½ BC · R + ½ AC · R =

                        = ½ (AB + BC + AC) · R = ½ P · Р.


                        Задача: в равносторонний треугольник со стороной 4 см

                        вписана окружность. Найдите ее радиус.


                        Вывод формулы радиуса, вписанного в треугольник окружности

                        S = p · r = ½ p · r = ½ (a + b + c) · r

                        2s = (A + Б + В) · Р


                        Искомая формула радиуса окружности,

                        вписанного в прямоугольный треугольник

                        карт, С — гипотенуза


                        Определение: Окружность называется вписанной в четырехугольник, если его касаются все стороны квадролона.

                        В какую фигуру вписана окружность четырехугольника:


                        Теорема: если окружность вписана в четырехугольник,

                        то суммы противоположных сторон

                        четырехугольника равны ( в любом описанном

                        четырехугольнике ).

                        АВ + СК = Вс + АК.

                        Обратная теорема.: если суммы противоположных сторон

                        выпуклого четверика равны,

                        то в нем можно войти в круг.


                        Задача: В ромб, острый угол которого равен 60 0 , вписана окружность,

                        радиус которой 2см. Найдите периметр ромба.


                        Разделение задач

                        Данар: OCP. (О; Р) вписано в АВСК,

                        Р Авск = 10

                        Найти: Вс + АК

                        Дано: АВСМ описан возле ОКР. (О; Р)

                        ВС = 6, ам = 15,

                        «Алгебра и геометрия» — женщина учит детей геометрии. Бале был уже, по словам мамы, последним представителем греческой геометрии.Вне 4-й степени таких формул нет уравнения для общего решения. Интерлоганы и новоевропейская наука были арабами. Был поднят вопрос о геометрии физики.

                        «Термины геометрии» — биссектриса треугольника. Точка абстракции. Диагональ. Словарь по геометрии. Круг. Радиус. Периметр треугольника. Вертикальные углы. Условия. Угол. Окружность хорды. Вы можете добавить свои условия. Теорема. Выберите первую букву. Геометрия. Электронный словарь.Хлеб. Компас. Родственные углы. Срединный треугольник.

                        «Геометрия 8 класс» — так выворачивая теоремы можно добраться до аксиомы. Понятие теоремы. Квадраты гипотенуз равны сумме площадей катетов. А2+В2=С2. Понятие аксиомы. Каждое математическое утверждение, полученное логическим доказательством, является теоремой. У любого здания есть фундамент. Каждое утверждение опирается на уже доказанное.

                        «Визуальная геометрия» — Квадрат. Конверт номер 3. Помогите, пожалуйста, ребята, а то Матроскин меня жидко разжижит.Все стороны квадрата равны. Площади вокруг нас. Сколько квадратов изображено на картинке? Задания на внимательность. Конверт № 2. Все углы квадрата прямые. Дорогой мяч! Зрительная геометрия, 5 класс. Отличные свойства разной длины сторон разного цвета.

                        «Исходная геометрическая информация» — Евклид. Чтение. Что говорят о нас цифры. На рисунке выделен участок прямой, ограниченный двумя точками. Через одну точку можно проводить любые разные прямые линии.Математика. В геометрии нет царского пути. Записывать. Дополнительные задания. Планиметрия. Обозначение. Страницы «Начало» Евклида. Платон (477-347 до н.э.) — древнегреческий философ, ученик Сократа.

                        «Таблицы по геометрии» — таблицы. Умножение вектора на число осевой и центральной симметрии. Касательная к окружности Центральный и вписанный углы вписаны и описывают окружность. Концепция вектора. Сложение и вычитание векторов. Содержание: Многоугольники параллелограммы и трапеция Прямоугольник, ромб, квадрат Многоугольник Квадрат Квадрат Треугольник, Поллограмма и трапеция Теорема Пифагора Подобные треугольники Признаки подобия треугольников Отношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника Взаимное расположение прямых и окружностей.

                        Чтобы насладиться предварительным просмотром презентаций, создайте себе учетную запись (аккаунт) Google и войдите в нее: https://accounts.google.com


                        Подписи к слайдам:

                        Описанный круг

                        Определение: Круг называется описанным рядом треугольник, если все вершины треугольника лежат на этой окружности. На каком рисунке описана окружность около треугольника: 1) 2) 3) 4) 5) если окружность описана около треугольника, то треугольник вписан в окружность.

                        Теорема. Возле треугольника можно описать круг, и притом только один. Ее центр является точкой пересечения средних перпендикуляров к сторонам треугольника. А в заданном: Азбука доказать: Есть ОКР. (O;R), описанный около ABC. Доказательство: Проведем срединные перпендикуляры Р, К, N к сторонам АВ, Солнца, АС по свойству серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (чудесная точка треугольника): они пересекаются в одной точке — о, для чего ОА = ОС = ОС.То есть все вершины треугольника равноудалены от точки о, значит, они лежат на окружности с центром О. Итак, окружность описана вблизи треугольника АБС. О н п к

                        Важное свойство: если окружность описана около прямоугольного треугольника, то его центр — середина гипотенузы. O R R c a b r = ½ AB Задача: найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, карты которого равны 3 см и 4 см. Центр окружности, описанной около тупого треугольника, лежит вне треугольника.

                        a B C R R = Формулы для радиуса описанной около окружности треугольника Задача: найти радиус описанной окружности около равностороннего треугольника, сторона которого равна 4 см. Решение: R = R =, ответ: см (см)

                        Задача: В окружность, радиус которой 10 см, вписан равноправный треугольник. Высота до основания 16 см. Найдите сторону и площадь треугольника. А в Ц ВКЛ Решение: Т. К. Окружность описана около равноцепного треугольника АВС, центр окружности лежит на высоте ВН.АО = СО = СО = 10 см, он = вн — ат = 16 — 10 = 6 (см) Аон — прямоугольный, АО 2 = Ан 2 + Ан 2 , Ан 2 \ u 10 2 — 6 2 = 64, Ан = 8 см АВН — прямоугольная, АВ 2 = АН 2 + ВН 2 = 8 2 + 16 2 = 64 + 256 = 320, АВ = (см) АС = 2АН = 2 · 8 = 16 (см), с АВС = ½ АС · Вн = ½ · 16 · 16 = 128 (см 2) Ответ: Ср = см S = 128 см 2 , Находим: Ав, С АВС Дано: АВС-П/Б, ВН АС, ВН = 16 см ОК. (около ; 10 см) описано около ABC

                        Определение: Окружность называется описанной около четырехугольника, если все вершины четырехугольника лежат на окружности.Теорема. Если около четырехугольника описана окружность, то сумма его противоположных углов равна 180 0 . Доказательство: Т. К. Окружность описана около ABC D, тогда А, В, С, D — вписанные, значит, а + с = ½ BCD + ½ BAD = ½ (BCD + BAD) = ½ · 360 0 = 180 0 b + D = ½ ADC + ½ ABC = ½ (ADC + ABC) = ½ · 360 0 = 180 0 A + C = B + D = 180 0 дано: OCC. (О; Р) описал про АВС Д доказывать: значит а + С = b + d = 180 0 Другая формулировка теоремы: Сумма противоположных углов равна 180 вписанной в окружность четырехугольника.A b c d

                        Обратная теорема: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность. Дано: ABC D, A + C = 180 0 A B C D о докажите: OCC. (O;R) описал про ABC D Доказательство: №729 (учебник) вокруг которого квадролон нельзя описать по окружности?

                        Следствие 1: Возле любого прямоугольника можно описать окружность, центр которой является точкой пересечения диагоналей. Следствие 2. Около равновесной трапеции можно описать окружность.А в с до

                        Share Tasks 80 0 120 0? ? А В С М К Н О Р Е 70 0 Найдите углы квадрокоптера RCEN: 80 0

                        Слайд 1.

                        Клада 2.

                        Определение: Окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на этой окружности. Если окружность описана рядом с треугольником, то треугольник вписан в окружность.

                        Слайд 3.

                        Теорема. Возле треугольника можно описать круг, и притом только один. Ее центр является точкой пересечения средних перпендикуляров к сторонам треугольника.Доказательство: Проведем срединные перпендикуляры Р, К, N к сторонам АВ, Солнца, АС по свойству серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (чудесная точка треугольника): они пересекаются в одной точке — о, для чего ОА = ОС = ОС. То есть все вершины треугольника равноудалены от точки о, значит, они лежат на окружности с центром О. Итак, окружность описана вблизи треугольника АБС.

                        Слайд 4.

                        Важное свойство: если окружность описана около прямоугольного треугольника, то его центр является серединой гипотенузы.R = ½ АВ Задача: найти радиус окружности, описанной возле прямоугольного треугольника, карты которого равны 3 см и 4 см.

                        Слайд 5.

                        Формулы радиуса описанной около треугольника окружности Задача: найти радиус описанной окружности около равностороннего треугольника, сторона которого равна 4 см. Решение:

                        Слайд 6.

                        Задача: В окружность, радиус которой 10 см, вписать равнобедренный треугольник. Высота до основания 16 см. Найдите сторону и площадь треугольника.Решение: Т. К. Окружность описана около равноцепного треугольника АВС, тогда центр окружности лежит на высоте ВН. АО = СО = СО = 10 см, ит = вн — ат = 16 — 10 = 6 (см) ас = 2ан = 2 · 8 = 16 (см), САВС = ½ AS · ВН = ½ · 16 · 16 = 128 (см2)

                        Слайд 7.

                        Определение: Окружность называется описанной около четырехугольника, если все вершины четырехугольника лежат на окружности. Теорема. Если около четырехугольника описать окружность, то сумма его противоположных углов равна 1800.Доказательство: другая формулировка теоремы: Сумма противоположных углов равна 1800, вписанным в окружность величины.

                        Слайд 8.

                        Обратная теорема: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 1800, то около него можно описать окружность. Доказательство: № 729 (учебник) вокруг которого квадролон нельзя описать по окружности?

                        Чтобы насладиться просмотром презентаций, создайте себе учетную запись (аккаунт) Google и войдите в нее: https://accounts.google.com


                        Подписи к слайдам:

                        8 класс Л.С. Атанасян Геометрия 7-9 вписанная и описанная окружность

                        O D C Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник. A E Многоугольник называется описанным около этой окружности.

                        D каким из двух четырехугольников ABC D или AEK D описывается? И е примерно

                        D в с прямоугольником не может войти в круг. А О.

                        D Какие известные свойства пригодятся нам при изучении вписанной окружности? A E о свойстве касательности касательных отрезков f p

                        D C в любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.A E O A A R N F B B C C C D D

                        D C Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 15 см. Найдите периметр этого четырехугольника. А про число 695 в С + AD = 15 AB + DC = 15 P ABCD = 30 см

                        D f Найти FD A O N? 4 7 6 5

                        D в с равновесной трапецией описана около окружности. Основания трапеции равны 2 и 8. Найдите радиус вписанной окружности. А в c + ad = 1 0 ab + dc = 1 0 2 8 5 5 2 n f 3 3 4 s l

                        D B верно и обратное утверждение.o Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то его можно вставить в него. Солнце + А Д = АВ + ДЦ

                        Д в С можно ли вписать окружность в этот четырехугольник? А О 5 + 7 = 4 + 8 5 7 4 8

                        В С и в любом треугольнике можно вписать окружность. Теорема Докажите, что в треугольнике можно войти в окружность дано: ABC

                        K в C и L M о 1) DP: биссектриса углов треугольника 2) при OL = CO M, по гипотенузе и восток. Угол L = М проводят из точки перпендикуляра к сторонам треугольника 3) МОА = СоА, по гипотенузе и ОСТ.Угол МО = КО 4) L О = М О = К относительно точки о равноудаленной от стороны треугольника. Итак, окружность с центром в So проходит через точки k, l и m. Стороны треугольника ABC касаются этой окружности. Значит, в окружность вписана буква АВС.

                        К в С и в любой треугольник можно вписать круг. Л М О теореме

                        Д в с докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.A № 69 7 F R A 1 A 2 A 3 R O R … + K

                        O D C Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанным многоугольником. A E Многоугольник называется вписанным в эту окружность.

                        О D с каким из многоугольников, изображенных на рисунке, вписан в окружность? A E L P X E O D B C A E

                        O и в D какие известные свойства пригодятся нам при изучении описываемой окружности? Теорема о вписанном угле

                        O и D В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .С + 360 0

                        59 0? 90 0? 65 0? 100 0 D A B C O 80 0 115 0 D A B C O 121 0 Найдите неизвестные углы четырехугольников.

                        D — истинное и обратное утверждение. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то возле него можно написать окружность. A B C O 80 0 100 0 113 0 67 0 O D A B C 79 0 99 0 123 0 77 0

                        В С и о любом треугольнике можно описать окружность. Теорема Докажите, что окружность может быть описана: АВС

                        К в С и лм о 1) ДП: середина перпендикулярна сторонам = СО 2) в ОЛ = СО Л, по разрядам 3) сом = и о м, согласно к КАТЕМС СО = АО 4) ат = со = АО, т.е. Точка равна вершинам треугольника. Значит, окружность с центром в Т.ОО и радиусом ОА будет проходить через все три вершины треугольника, т.е. это описываемая окружность.

                        К в С и про любой треугольник можно описать окружность. Л М Теорема О

                        Треугольник АВС так, что диаметр окружности вписан в С и С и С С А № 702. Найти углы треугольника, если: а) Солнце = 134 0 134 0 67 0 23 0 б ) ас = 70 0 70 0 55 0 35 0

                        О в С и №703 Случайно вписан в уравновешивающий треугольник ABC с основанием самолета. Найдите углы треугольника, если Солнце = 102 0. 102 0 51 0 (180 0 — 51 0): 2 = 129 0 : 2 = 128 0 60 / : 2 = 64 0 30 /

                        О в C и № 704 (a) Окружность с центром О описана рядом с прямоугольным треугольником. Докажите, что эта точка лежит на середине гипотенузы. 180 0 d и a m e t p

                        O в C № 704 (b) Циркумстиальная с центром O описана около прямоугольного треугольника.Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен D и один из острых углов треугольника равен. Д.

                        О с С № 705 (а) Возле прямоугольного треугольника АВС с прямым углом с описанной окружностью. Найдите радиус этой окружности, если копье = 8 см, Солнце = 6 см. 8 6 10 5 5

                        О с и в № 705 (б) возле прямоугольного треугольника АВС с прямым углом с описанной окружностью. Найдите радиус этой окружности, если динамик = 18 см, 18 30 0 36 18 18

                        О в С и боковые стороны треугольника, изображенного на рисунке, равны 3 см.Найдите радиус окружности, описанной рядом с ним. 180 0 3 3

                        O в C, а радиус окружности, описанной возле треугольника, изображенного на рисунке, равен 2 см. Найдите сторону АВ. 180 0 2 2 45 0?


                        На тему: Методические разработки, презентации и конспекты

                        Презентация к занятию включает определения основных понятий, создание проблемной ситуации, а также развитие творческих способностей учащихся….

                        Рабочая программа для элективный курс по геометрии «Решение контурных задач на вписанные и описанные окружности» 9

                        Статистические данные анализа результатов состояния ЭЭГ говорят о том, что наименьший процент правильных ответов традиционно дают студенты по геометрическим задачам.Задания по планиметрии входят в…

                        Презентация на тему описанная окружность. описанный круг. тогда суммы противоположных сторон







                        OA=OB O b => OB=OC => O перпендикулярная биссектриса к AC => прибл. ABC может описывать окружность ba =>OA=OC =>» title=»(!ЯЗЫК:Теорема 1 Доказательство: 1) a — биссектриса к AB 2) b — биссектриса к BC 3) ab=O 4) O a = > OA=OB O b => OB=OC => O биссектриса, перпендикулярная AC => прибл.ABC может описать окружность ba =>OA=OC =>»> 8 !} Теорема 1 Доказательство: 1) a — биссектриса к AB 2) b — биссектриса к BC 3) ab=O 4) O a => OA=OB O b => OB=OC => O перпендикуляр биссектриса к AC => о тр. ABC может описывать окружность ba => OA=OC => OA=OB O b => OB=OC => O биссектриса, перпендикулярная AC => прибл. ABC может описывать окружность ba =>OA=OC =>»> OA=OB O b => OB=OC => O биссектриса, перпендикулярная AC => около tr.ABC может описать окружность ba =>OA=OC =>»> OA=OB O b => OB=OC => O перпендикулярная биссектриса к AC => приблизительно ABC может описать окружность ba =>OA=OC =>» title=»(!ЯЗЫК:Теорема 1 Доказательство: 1) a — биссектриса, лежащая на AB 2) b — биссектриса, лежащая на BC 3) ab=O 4) O a = > OA=OB O b => OB=OC => O биссектриса, перпендикулярная AC => приблизительно ABC описывает окружность ba =>OA=OC =>»> title=»Теорема 1 Доказательство: 1) a — биссектриса, лежащая на AB 2) b — биссектриса на BC 3) ab=O 4) O a => OA=OB O b => OB=OC => O серединный перпендикуляр к АС => о тр.ABC может описать окружность ba =>OA=OC =>»> !}

                        Свойства треугольника и трапеции, вписанных в круг тупоугольного тр-ка, не лежащего в тр-ке


                        «Алгебра и геометрия» — Женщина учит детей геометрии. Прокл уже был, по-видимому, последним представителем греческой геометрии. За пределами 4-й степени таких формул для общего решения уравнений нет. Посредниками между эллинской и новоевропейской наукой были арабы.Был поставлен вопрос о геометризации физики.

                        «Термины по геометрии» — Биссектриса треугольника. Абсцисса точки. Диагональ. Словарь по геометрии. Круг. Радиус. Периметр треугольника. Вертикальные углы. Условия. Инъекция. Аккорд круга. Вы можете добавить свои условия. Теорема. Выберите первую букву. Геометрия. Электронный словарь. ломаная линия. Компас. смежные углы. Медиана треугольника.

                        «Геометрия 8 класс» — Так перебирая теоремы, можно добраться и до аксиом.Понятие теоремы. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. а2+b2=с2. Понятие аксиом. Каждое математическое утверждение, полученное путем логического доказательства, является теоремой. У каждого здания есть фундамент. Каждое утверждение основывается на том, что уже было доказано.

                        «Визуальная геометрия» — Квадрат. Конверт №3. Помогите, пожалуйста, ребята, а то Матроскин от меня совсем сдохнет. Все стороны квадрата равны. квадраты вокруг нас. Сколько квадратов изображено на картинке? Задания на внимание.Конверт № 2. Все углы квадрата прямые. Дорогой Шарик! Визуальная геометрия, 5 класс. Отличные свойства. Разные длины сторон. Разный цвет.

                        «Исходная геометрическая информация» — Евклид. Чтение. Что о нас говорят цифры. На рисунке выделен участок прямой, ограниченный двумя точками. Через одну точку можно провести любое количество различных линий. Математика. В геометрии нет царского пути. Записывать. Дополнительные задания. Планиметрия. Обозначение.Страницы «Начал» Евклида. Платон (477-347 до н.э.) — древнегреческий философ, ученик Сократа.

                        «Таблицы по геометрии» — Таблицы. Умножение вектора на число Осевая и центральная симметрия. Касательная к окружности Центральный и вписанный углы Вписанная и описанная окружность Понятие вектора Сложение и вычитание векторов. Содержание: Многоугольники Параллелограмм и трапеция Прямоугольник, ромб, квадрат Площадь многоугольника Площадь треугольника, параллелограмма и трапеции Теорема Пифагора Подобные треугольники Признаки подобия треугольников Отношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника Взаимное расположение прямой и окружности.

                        слайд 1

                        слайд 2

                        Определение: Говорят, что окружность описана около треугольника, если все вершины треугольника лежат на этой окружности. Если вокруг треугольника описана окружность, то треугольник вписан в окружность.

                        слайд 3

                        Теорема. Около треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Его центр является точкой пересечения середин перпендикуляров к сторонам треугольника. Доказательство: Проведем серединные перпендикуляры p, k, n к сторонам AB, BC, AC По свойству серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (чудесная точка треугольника): они пересекаются в одной точке — О, для которых ОА = ОБ = ОС.То есть все вершины треугольника равноудалены от точки О, а значит, лежат на окружности с центром О. Это значит, что окружность описана около треугольника АВС.

                        слайд 4

                        Важное свойство: если около прямоугольного треугольника описана окружность, то ее центр лежит в середине гипотенузы. R = ½ AB Задача: найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, катеты которого равны 3 см и 4 см.

                        слайд 5

                        Формулы радиуса окружности, описанной около треугольника Задача: найти радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, сторона которого равна 4 см.Решение:

                        слайд 6

                        Задача: В окружность радиусом 10 см вписан равнобедренный треугольник. Высота, проведенная к его основанию, равна 16 см. Найдите сторону и площадь треугольника. Решение: Поскольку окружность описана около равнобедренного треугольника ABC, центр окружности лежит на высоте BH. АО = VO = CO = 10 см, OH = VN — VO = = 16 — 10 = 6 (см) AC = 2AH = 2 8 = 16 (см), SABC = ½ AC WH = ½ 16 16 128 (см2)

                        Слайд 7

                        Определение: Говорят, что окружность описана около четырехугольника, если все вершины четырехугольника лежат на этой окружности.Теорема. Если окружность описана около четырехугольника, то сумма его противоположных углов равна 1800. Доказательство: Другая формулировка теоремы: у четырехугольника, вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна 1800.

                        Слайд 8

                        Обратная теорема: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 1800, то вокруг него можно описать окружность. Доказательство: № 729 (учебник) Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность?

                        Чтобы использовать предварительный просмотр презентаций, создайте учетную запись Google (аккаунт) и войдите: https://accounts.google.com


                        Подписи к слайдам:

                        Описанная окружность

                        Определение: Говорят, что окружность описана около треугольника, если все вершины треугольника лежат на этой окружности. На каком рисунке около треугольника описана окружность: 1) 2) 3) 4) 5) Если окружность описана около треугольника, то треугольник вписан в окружность.

                        Теорема. Около треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Его центр является точкой пересечения середин перпендикуляров к сторонам треугольника.A B C Дано: ABC Докажите, что существует Osp.(O; r), описанный вокруг ABC. Доказательство: Проведем серединные перпендикуляры p, k, n к сторонам AB, BC, AC По свойству серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (чудесная точка треугольника): они пересекаются в одной точке — О, для которых ОА = ОБ = ОС. То есть все вершины треугольника равноудалены от точки О, а значит, лежат на окружности с центром О. Это значит, что окружность описана около треугольника АВС.On p k

                        Важное свойство: Если около прямоугольного треугольника описана окружность, то ее центр лежит в середине гипотенузы. O R R C A B R = ½ AB Задача: найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, катеты которого равны 3 см и 4 см. Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, лежит вне треугольника.

                        a b c R R = Формулы для радиуса окружности, описанной вокруг треугольника Задача: найти радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника со стороной 4 см.Решение: R = R = , Ответ: см (см)

                        Задача: В окружность радиусом 10 см вписан равнобедренный треугольник. Высота, проведенная к его основанию, равна 16 см. Найдите сторону и площадь треугольника. A B C O N Решение: Поскольку окружность описана около равнобедренного треугольника ABC, центр окружности лежит на высоте BH. АО = ВО = СО = 10 см, ОН = ВН — ВО = = 16 — 10 = 6 (см) АОН — прямоугольная, АО 2 = АН 2 + АН 2, АН 2 = 10 2 — 6 2 = 64, АН = 8 см АБН — прямоугольная, АВ 2 = АН 2 + ВН 2 = 8 2 + 16 2 = 64 + 256 = 320, АВ = (см) АС = 2АН = 2 8 = 16 (см ), S АВС = ½ АС ВН = ½ 16 16 = 128 (см 2) Ответ: АВ = см S = 128 см 2 , Найти: АВ, S АВС Дано: АВС-р/б, ВН АС , ВН = 16 см окр.(O ; 10 см), описанный около ABC

                        Определение: Говорят, что окружность описана около четырехугольника, если все вершины четырехугольника лежат на этой окружности. Теорема. Если окружность описана около четырехугольника, то сумма его противоположных углов равна 180 0 . Доказательство: Так как окружность описана около ABC D, то A, B, C, D вписаны, значит A + C = ½ BCD + ½ BAD = ½ (BCD + BAD) = ½ 360 0 = 180 0 B+ D = ½ ADC + ½ ABC = ½ (ADC + ABC) = ½ 360 0 = 180 0 A + C = B + D = 180 0 C = B + D = 180 0 Другая формулировка теоремы: в четырехугольник вписан в окружности сумма противоположных углов равна 180 0 .A B C D O

                        Обратная теорема: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то вокруг него можно описать окружность. Дано: ABC D, A + C = 180 0 A B C D O

                        Следствие 1: около любого прямоугольника можно описать окружность, центр которой является точкой пересечения диагоналей. Следствие 2. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность. A B C K

                        Решение задач 80 0 120 0 ? ? A B C M K N O R E 70 0 Найдите углы четырехугольника РКЭН: 80 0

                        Для использования предварительного просмотра презентаций создайте учетную запись Google (аккаунт) и войдите: https://accounts.google.com


                        Подписи к слайдам:

                        8 класс LS Атанасян Геометрия 7-9 Вписанные и описанные окружности

                        О D В С Если все стороны многоугольника касаются окружности, то говорят, что окружность вписана в многоугольник. A E A Говорят, что в эту окружность вписан многоугольник.

                        D B C Какой из двух четырехугольников ABC D или AEK D описан? A E K O

                        D B C Круг нельзя вписать в прямоугольник. A O

                        D B C Какие известные свойства пригодятся нам при изучении вписанной окружности? A E O K Свойство касательных Свойство касательных отрезков F P

                        D В С В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.A E O a a R N F b b c c d

                        D B C Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 15 см. Найдите периметр этого четырехугольника. A O № 695 B C+AD=15 AB+DC=15 P ABCD = 30 см

                        D F Найти FD A O N ? 4 7 6 5

                        D B C Равнобедренная трапеция описана около окружности. Основания трапеции равны 2 и 8. Найдите радиус вписанной окружности. A B C+AD=1 0 AB+DC=1 0 2 8 5 5 2 N F 3 3 4 S L O

                        D B C Верно и обратное.A O Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. BC + A D = AB + DC

                        D B C Можно ли вписать окружность в данный четырехугольник? A O 5 + 7 = 4 + 8 5 7 4 8

                        B C A В любой треугольник можно вписать окружность. Теорема Докажите, что в треугольник можно вписать окружность Дано: ABC

                        K B C A L M O 1) DP: биссектрисы углов треугольника 2) C OL = CO M, вдоль гипотенузы и остальных. угол О Л = М О Проведите из точки О перпендикулярно сторонам треугольника 3) МОА = КОА, по гипотенузе и ост.угол МО = КО 4) Л О = М О = К О точка О равноудалена от сторон треугольника. Следовательно, окружность с центром в точке O проходит через точки K, L и M. Стороны треугольника ABC касаются этой окружности. Таким образом, окружность является вписанной окружностью ABC.

                        K B C A В любой треугольник можно вписать окружность. L M O Теорема

                        D B C Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.A № 69 7 F r a 1 a 2 a 3 r O r … + K

                        О D В С Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то говорят, что окружность описана около многоугольника. A E A Говорят, что многоугольник вписан в эту окружность.

                        O D B C Какой из многоугольников, изображенных на рисунке, вписан в окружность? A E L P X E O D B C A E

                        O A B D C Какие известные свойства пригодятся нам при изучении описанной окружности? Теорема о вписанном угле

                        O A B D В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .С + 360 0

                        590? 900? 650? 100 0 D A B C O 80 0 115 0 D A B C O 121 0 Найдите неизвестные углы четырехугольников.

                        D Верно и обратное. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то вокруг него можно вписать окружность. A B C O 80 0 100 0 113 0 67 0 O D A B C 79 0 99 0 123 0 77 0

                        B C A Около любого треугольника можно описать окружность. Теорема Докажите, что можно описать окружность Дано: ABC

                        K B C A LM O 1) DP: серединные перпендикуляры к сторонам BO = CO 2) B OL = CO L, по катетам 3) COM = A O M, по ножкам СО = АО 4) ВО = СО = АО, т.е.е. е. точка O равноудалена от вершин треугольника. Это означает, что окружность с центром в точке t.O и радиусом OA пройдет через все три вершины треугольника, т. е. является описанной окружностью.

                        K B C A Вокруг любого треугольника можно описать окружность. L M Теорема O

                        O B C A O B C A № 702 Треугольник ABC вписан в окружность так, что AB — диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: а) ВС = 134 0 134 0 67 0 23 0 б) АС = 70 0 70 0 55 0 35 0

                        O B C A No.703 Равнобедренный треугольник ABC с основанием BC вписан в окружность. Найдите углы треугольника, если BC = 102 0 . 102 0 51 0 (180 0 — 51 0) : 2 = 129 0: 2 = 128 0 60 / : 2 = 64 0 30 /

                        O B C A № 704 (a) Окружность с центром O описана около прямоугольного треугольника . Докажите, что точка О является серединой гипотенузы. 180 0 диаметр

                        O B C A № 704 (b) Вокруг прямоугольного треугольника описана окружность с центром O. Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен d и один из острых углов треугольника равен.d

                        O C B A № 705 (a) Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если AC=8 см, BC=6 см. 8 6 10 5 5

                        O C A B № 705(b) Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если AC=18 см, 18 30 0 36 18 18

                        O B C A Стороны треугольника, изображенного на рисунке, равны 3 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности. 180 0 3 3

                        O B C A Радиус окружности, описанной вокруг треугольника, изображенного на рисунке, равен 2 см.Найдите сторону АВ. 180 0 2 2 45 0 ?


                        На тему: методические разработки, презентации и конспекты

                        Презентация к занятию включает определения основных понятий, создание проблемной ситуации, а также развитие творческих способностей учащихся….

                        Рабочая программа по элективному курсу по геометрии «Решение планиметрических задач на вписанных и описанных окружностях» 9 класс

                        Результаты анализа статистики проведения ЕГЭ говорят о том, что наименьший процент правильных ответов традиционно дают ученики на геометрические задачи.Планиметрические задачи, входящие в…

                        Фейсбук

                        Твиттер

                        В контакте с

                        Гугл Плюс

                        Фонвизин .

                        Добавить комментарий

                        Ваш адрес email не будет опубликован.