1 слагаемое 2 слагаемое сумма таблица: компоненты математических действий

Содержание

Урок 35. уменьшаемое. вычитаемое. разность. использование этих терминов при чтении записей — Математика — 1 класс

Математика, 1 класс

Урок № 35. Уменьшаемое. Вычитаемое. Разность. Использование этих терминов при чтении записей

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Как называются числа при вычитании?
Как можно прочитать равенства на вычитание?

Глоссарий по теме:

Вычитание – действие обратное сложению.

Уменьшаемое – число, из которого вычитают.

Вычитаемое – число, которое вычитают.

Разность – результат вычитания.

Слагаемое – число, которое складывают.

Сумма – результат сложения.

Обязательная литература и дополнительная литература:

Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 1 класс. Учебник для общеобразовательных организаций в 2-х частях. Ч. 2. М.; Просвещение, 2017. – с. 29.
М. И. Моро, С. И. Волкова. Для тех, кто любит математику 1 класс. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. М.; Просвещение, 2016. – с. 25.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте решим задачу. В гараже стояли 5 машин. 2 машины уехали. Сколько машин осталось в гараже?

Для решения задачи выберем действие вычитание. Так как машины уехали, их стало меньше.

5 – 2 = 3 (м.)

Ответ: 3 машины в гараже.

Как называются числа при вычитании?

Рассмотрим рисунок.

Составим равенство.

8 – 5 = 3

Первое число 8 – число, из которого вычитают. Это уменьшаемое.

Второе число 5 – число, которое вычитают. Это вычитаемое.

Третье число 3 – результат вычитания. Это разность.

Выражение 8 – 5 тоже называется разность.

Равенство 8 – 5 = 3 можно прочитать так. Уменьшаемое – 8, вычитаемое – 5. Разность – 3. Или, разность восьми и пяти равна трем.

Рассмотрим рисунок.

Составим равенство.

6 – 2 = 4

Назовем числа при вычитании.

6 – уменьшаемое, 2 – вычитаемое, 4 – разность. Выражение 6 – 2 тоже разность.

Соединим предложение с математической записью.

Уменьшаемое – 9, вычитаемое – 6. 8 – 3

Вычитаемое – 3, уменьшаемое – 8. 7 – 2

Разность чисел 7 и 2. 9 – 6

Решим задачу.

В коробке было 10 карандашей. Взяли 4 карандаша. Сколько карандашей осталось в коробке.

Для решения задачи выберем действие вычитание. Запишем разность чисел.

10 – 4 = 6 (к.)

Ответ: 6 карандашей.

Вывод:

Ответим на вопросы, поставленные в начале урока.

Числа при вычитании называются уменьшаемое, вычитаемое, разность.

Уменьшаемое – число, из которого вычитают. Вычитаемое – число, которое вычитают. Разность – результат вычитания.

Выражение на вычитание можно читать по-разному. Например, 8 – 1 = 7

Уменьшаемое – 8, вычитаемое – 1, разность – 7. Или, разность чисел 8 и 1 равна 7.

Выполним несколько тренировочных заданий.

Запишите выражение. Вычислите.

а) Вычитаемое – 3. Уменьшаемое – 5.

5 – 3 = 2

б) Разность чисел 7 и 2.

7 – 2 = 5

в) Сумма чисел 5 и 4.

5 + 4 = 9

Рассмотрите равенства. Подчеркните: слагаемое – красным, уменьшаемое – синим, вычитаемое – зелёным.

7 + 3 = 10 10 – 2 = 8 8 – 4 = 4

7 – 5 = 2 5 + 4 = 9 3 + 2 = 5

Проверьте.

7 + 3 = 10 10 – 2 = 8 8 – 4 = 4

7 – 5 = 2 5 + 4 = 9 3 + 2 = 5

Тренажер по математике 1 класс

Цифры и числа

Цифр всего 10.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — эти цифры принято называть арабскими, так как европейцы переняли их у арабов.

Каждая цифра обозначает однозначное число. Числа состоящие из двух цифр, называют двузначными, из трёх цифр – трёхзначными и так далее.

Числа, для записи которых нужно больше одной цифры, называются многозначными.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – однозначные числа

10, 15, 27. 99 – двузначные числа

100, 285, 999 – трёхзначные числа

Десятичная система счисления.

Нумерация многозначных чисел.

Система счисления, которой мы привыкли пользоваться, называется десятичной.

Число 10 – это основа десятичной нумерации.

единиц одного разряда образуют 1 единицу следующего за ним разряда:

единиц = 1 десяток

единиц = 10 десятков =1 сотня

10, 100, … — разрядные единицы

Числа 2, 4, 6 – это однозначные числа. Они состоят из единиц.

Числа 20, 30, 40 – двузначные числа. Они состоят из десятков и единиц. В числе 21, 2 дес. 0 ед.

1.Дайте характеристику чисел 5, 7, 9

Образец: число 4 ______________ ____________ ____________

-число однозначное ______________ ____________ ____________

-предыдущее 3 ______________ ____________ ____________

-последующее 5 ______________ _____________ ____________

2. Дайте характеристику чисел 32, 71, 99

Образец: число 14 _______________ _____________ _____________

— число двузначное ________________ _____________ _____________

— предыдущее 13 ________________ _____________ _____________

— последующее 15 ________________ _____________ _____________

— сумма разрядных слагаемых 10+4 _________ _________ __________

3.Сколько однозначных чисел?__________

4.Сколько всего двузначных чисел?______________

5.Назови числа, в которых десятков столько же, сколько единиц.

__________________________________________________________________

6.Назови наибольшее однозначное число________

7. Назови наименьшее двузначное число ______

Арифметические действия

(Сложение и вычитание)

Сложение: 5 + 4 = 9

Пять плюс четыре равно девяти.

К пяти прибавить четыре — получится девять.

Пять увеличить на 4 — получится девять.

Сумма пяти и четырёх равна девяти.

Первое слагаемое 5, второе слагаемое 4, сумма равна 9.

Свойства сложения

Переместительное свойство : а + в = в + а.

Сочетательное свойство : ( а + в ) + с = а + ( в + с ).

Свойства сложения показывают , что значение суммы не зависит от порядка слагаемых и порядка действий. Это позволяет упрощать вычисления.

Пример: ( 7 + 19 ) + ( 1 + 3 ) = ( 19 + 1 ) + ( 7 + 3 ) = 20 + 10 = 30

Вычисли сумму, пользуясь свойствами сложения:

( 4 + 17 ) + 3 =____________________ 12 + 14 + 16 + 18 =_____________________

12 + ( 8 + 47) =____________________ (16 + 5 ) + ( 15 + 4) =___________________

Сложение с нулём:

6 + 0 = 6 0 + 7 = 7 0 + 0 = 0

Вычитание : 14 – 8 = 6

Четырнадцать минус восемь равно 6.

Из четырнадцати вычесть восемь – получится шесть.

От четырнадцати отнять восемь – получится шесть.

Разность четырнадцати и восьми равна шести.

Шесть – это разность четырнадцати и восьми.

Уменьшаемое четырнадцать, вычитаемое 8, разность равна шести.

Свойства вычитания

! Из меньшего числа нельзя вычесть большее.

Вычитание суммы из числа. Чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть одно слагаемое, а потом другое.

а – ( в + с ) = ( а – в ) – с = ( а – с ) – в

Вычитание числа из суммы. Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого и прибавить второе слагаемое:

( а + в ) – с = ( а – с ) + в = а + ( в – с )

Вычитание с нулём:

12 — 0 = 12 0 – 0 = 0

Вычисли удобным способом:

12– ( 2 + 9 ) =________________________

45 – ( 8 + 5) =________________________

35 – 17 – 3 =_________________________

25 – 5 – 4 =__________________________

Случаи сложения и вычитания 1

Прибавить 1 – значит назвать последующее число.

Вычесть 1 – значить назвать предыдущее число.

Последующее число для 8 – число 9, а предыдущее — число 7.

1.Прочитайте и запомните.

1 + 1 = 2 2 – 1 = 1

2 + 1 = 3 3 – 1 = 2

3 + 1 = 4 4 – 1 = 3

4 + 1 = 5 5 – 1 = 4

5 + 1 = 6 6 – 1 = 5

6 + 1 = 7 7 – 1 = 6

7 + 1 = 8 8 – 1 = 7

8 + 1 = 9 9 – 1 = 8

9 + 1 = 10 10 –1 = 9

2.Решите примеры.

8 + 1 = 18 – 1 = 9 + 1= 14 + 1 = 19 + 1 = 3 + 1=

10 +1 = 26 – 1 = 16 – 1 = 27 –1 = 40 –1 = 60 –1=

12+1 = 17 –1 = 27 – 1= 40 –1 = 29 + 1= 59 + 1=

34 +1 = 30 –1 = 34 +1= 71 –1 = 80 – 1 = 80 +1 =

18+1= 10 –1= 40 +1 = 100+1= 39 +1= 100 — 1=

39 +1= 30 – 1 = 80 – 1 = 97 – 1 = 50 – 1= 93 – 1=

60 – 1 = 43 + 1= 71 – 1 = 60 + 1 = 101 –1 = 76 +1=

54 +1 = 86 – 1 = 65 – 1 = 17 –1 = 81 –1 = 90 +1=

87 +1= 43 + 1= 89 + 1 = 99 +1= 75 +1= 64 –1=

100 +1= 101 –1= 100 — 1= 83 +1= 99 – 1= 100-1=

3.Поставьте знак + или -.

9…1 = 10 22…1 = 21 71…1 = 70 83…1 = 84 23…1 = 24

80…1 = 79 73…1 = 72 80…1 = 79 86…1 = 86 29…1 = 30

99…1 = 100 89…1 = 90 69…1 = 70 89…1 = 88 40…1 = 39

7…1 = 6 57…1 =56 18…1 = 19 90…1 = 89 17…1 = 1

15…1 = 16 53…1 = 54 100…1 = 99 29…1 = 28 41…1 = 40

47…1 =46 100…1=99 100…1=101 16…1 =15 101…1=100

69…1=70 86…1 =87 56…1=70 47…1 =48 59…1 = 60

76… 1=75 101…1=100 79…1=80 300…1=301 199…1=200

499…1=500 400…1=399 899…1=900 901…1=902 500…1=499

4.Напишите, чему равно А.

А0 – А = 9 Проверка:_____________

Ответ:________________.

Напишите, чему равно У.

9 + У = У0 Проверка:_____________

Ответ:________________.

Состав чисел первого десятка

Каждое число первого десятка можно представить как сумму двух слагаемых.

Допиши числа, где они пропущены. .

2 = 1 +… 8 = 1 + …

8 = …+ 6

3 = 1 + … 8 = 3 +…

3 = … + 2 8 = …+ 4

8 = 5 +…

4 = 1 + … 8 =… + 2

4 = … + 2 8 = 7 + …

4 = 3 + …

9 = 1 + …

5 = 1 + … 9 = … + 7

5 = … + 3 9 = 3 + …

5 = 3 + … 9 = … + 5

5 = … + 4 9 = … + 4

9 = … + 3

6 = 1 + … 9 = 7 + …

6 = … + 4 9 = 8 + …

6 = 3 + …

6 = … + 2 10 = 1 + …

6 = 5 + … 10 = … + 8

10 = 3 + …

7 = … + 6 10 = … + 6

7 = 2 + … 10 = 5 + …

7 = … +4 10 = … + 4

7 = 3 + … 10 = 7 + …

7 = … + 2 10 = … + 2

7 = 6 + … 10 = 9 + …

7 = … + 7 10 = … + 10

Запомни состав чисел первого десятка!

Компоненты сложения

Числа при сложении имеют свои названия.

Числа, которые мы складываем, называются слагаемыми, а число, которое получается в результате сложения , называются суммой.

1-е слагаемое 2-е слагаемое сумма

5 + 3 = 8

сумма

Реши примеры, рассуждая по образцу.

5 + 2 = 7

5 – первое слагаемое

2 – второе слагаемое

7 – сумма или сумма 5 и 2 равна 7

6 + 3 = 4 + 3 = 5 + 4 = 7 + 3 = 1 + 9 =

3 + 5 = 7 + 2 = 1 + 9 = 6 + 3 = 4 + 2 =

5 + 5 = 4 + 6 = 3 + 3 = 7 + 1 = 2 + 6 =

Подчеркните первое слагаемое одной чертой, второе слагаемое двумя чертами, результат сложения обведите в кружочек.

Связь между суммой и слагаемыми

Если из суммы вычесть одно слагаемое, то получается другое слагаемое.

5 + 1 = 6 6 – 5 = 1 6 – 1 = 5

напишите к каждому примеру два обратных по образцу:

2 + 6 =8 4 + 3 = … 5 + 4 = … 6 + 4 =… 3 + 7 =…

8 – 2 = 6 _________ _________ ________ ________

8 – 6 = 2 _________ _________ ________ _________

!Связь между суммой и слагаемыми используется при решении уравнений.

Чтобы найти неизвестное первое слагаемое нужно из суммы вычесть второе слагаемое.

Чтобы найти неизвестное второе слагаемое нужно из суммы вычесть первое слагаемое.

Реши уравнения, рассуждая.

Образец решения:

Х + 4 = 10 7 + у = 9 х + 3 = 6 8 + В= 9 а + 2 = 8

Х = 10 – 4 у = 9 – 7 ………… ………… …………

Х = 6 у = 2 ………… ………… …………

6 + 4 = 10 7 + 2 = 9 …………. ………… ………….

10 = 10 9 = 9 ……… ……… ………

Ответ: 6. Ответ: 2. Ответ:___ Ответ:___ Ответ: ___

х + 7 = 14 5 + у = 15 х + 1 = 20 7 + В = 15 а + 6 = 13

………… ………… ………… ………… ……………

………… ……….. ………… ………… ……………

………… ………… …………. …………. ……………

…….. …….. ……. …….. ………

Ответ:___ Ответ:___ Ответ:____ Ответ:____ Ответ:_____

Компоненты вычитания

Уменьшаемое вычитаемое разность

8 — 6 = 2

разность

1.Реши примеры, рассуждая по образцу.

7 – 2 = 5

уменьшаемое 7

вычитаемое 2

разность равна 5

10 – 4 = 7 – 5 = 15 – 5 = 5 — 3 = 7 – 6 =

12 – 10 = 6 – 4 = 14 – 4 = 7 – 2 = 8 – 5 =

14 – 10 = 7 – 4 = 12 – 2 = 8 – 7 = 9 – 6 =

Вычитаемое подчеркните одной чертой, разность — двумя чертами, уменьшаемое обведите в кружочек.

Связь между разностью и компонентами вычитания.

Если к разности прибавить вычитаемое, получится уменьшаемое.

Если из уменьшаемого вычесть разность, получится вычитаемое.

7 – 2 = 5 5 + 2 = 7 7 – 5 = 2

Напиши к каждому примеру два обратных по обратных.

10 – 6 = 4 8 – 6 = … 9 – 4 = … 7 – 2 = … 6 – 4 = …

10 – 4 = 6 _________ ________ ________ ________

4 + 6 = 10 _________ ________ ________ ________

! Связь между компонентами вычитания используется при решении уравнений

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

2.Реши уравнения, рассуждая.

Образцы решения:

х – 5 = 2 8 – у = 3 в – 6 = 9 7 – х = 2 у – 6 = 10

х = 2 + 5 у = 8 – 3 ……….. ……….. …………

х = 7 у = 5 ……….. ……….. …………

7 – 5 = 2 8 – 5 = 3 ……….. ………… …………

2 = 2 3 = 3 …….. …….. ……..

Ответ : 7. Ответ : 5. Ответ: ___. Ответ: ___. Ответ: ___.

Х – 7 = 10 15 – у = 5 а – 4 = 8 20 – с = 10 у – 5 = 7

…………. ………… ………….. …………. ………….

…………. ………… ………… ………… ………….

…….. …… …….. …….. ………

Ответ:___ Ответ:___ Ответ:___ Ответ:___ Ответ:____

Таблица сложения и вычитания в пределах 10

Прочитай правила. Заполни таблицу.

Состав чисел

От перестановки слагаемых сумма не изменяется

Если из суммы вычесть первое слагаемое получается второе слагаемое

Если из суммы вычесть второе слагаемое получается первое слагаемое

0 +1 = 1

1+0 = 1

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

0 + 2 = 2

1 + 1 = 2

2 + 0 = 2

1 + 1 = 2

2 – 0 = 2

2 – 1 = 1

2 – 2 = 0

2 – 1 = 1

0 +3 = 3

1 + 2 = 3

3 + 0 = 3

2 + 1 = 3

3 – 0 = 3

3 – 1 = 2

3 – 3 = 0

3 – 2 = 1

0 +4 = 4

1 + 3 = 4

2 + 2 =4

_________

_______________

_________

0 + 5 = 5

1 + 4 = 5

2 + 3 = 5

__________

_________

0 + 6 = 6

1 + 5 = 6

2 + 4 = 6

3 + 3 = 6

___________

__________

0 + 7 = 7

1 + 6 = 7

2 + 5 = 7

3 + 4 = 7

___________

__________

___________

0 + 8 = 8

1 + 7 = 8

2 + 6 = 8

3 + 5 = 8

4 + 4 = 8

___________

__________

0 + 9 = 9

1 + 8 = 9

2 + 7 = 9

3 + 6 = 9

4 + 5 = 9

___________

0 + 10 = 10

1 + 9 = 10

2 + 8 = 10

3 + 7 = 10

4 + 6 = 10

5 + 5 = 10

____________

Таблицу сложения и вычитания в пределах 10 выучить наизусть !

Устный счёт. Сложение и вычитание в пределах 10

7+ 3 = 1 + 5 = 4 + 3 = 1 + 7 = 8 – 2 = 6 – 4 = 5 + 3=

6 –3 = 2 + 8 = 7 – 3 = 5 + 5 = 6 – 5 = 7 – 5 = 8 –7 =

6 +2 = 3 + 2 = 6 + 4 = 4 + 6 = 9 – 8 = 1 +6 = 4 + 4=

9 – 3 = 6 + 2 = 7 – 4 = 2 + 7 = 7 –5 = 5 + 2 = 8 –3 =

1 + 3 = 1 + 7 = 2 + 4 = 2 +6 = 10 – 6 = 7 –7 = 3 + 6=

7 – 3 = 3 + 6 = 6 –4 = 9 –5 = 6 – 3 = 4 + 3 = 8 –7 =

4 + 4 = 5 + 5 = 3 + 4 = 8 – 7 = 5 – 3 = 6 –3 = 2 + 6=

5 +4 = 1 + 8 = 8 – 4 = 10 – 9 = 7 + 3 = 7 + 4 = 8 – 8=

4 +3 = 2 + 3 = 10 – 4 = 9 – 6 = 4 – 3 = 1 + 5 = 5 + 3=

5 +3 = 2 + 6 = 5 + 4 = 9 –8 = 6 + 3 = 6 – 5 = 1 + 7=

8 –3 = 8 – 5 = 3 + 4 = 9 –7 = 3 + 5 = 7 – 4 = 9 –6 =

4 – 2 = 1 + 9 = 2 + 7 = 10 – 2 = 9 –8 = 2 + 4 = 5 + 2=

8 – 8 = 9 – 0 = 7 – 0 = 0 + 4 = 7 + 0 = 6 + 3 = 0 + 9=

4 + 4 = 3 + 3 = 2 + 3 = 0 + 3 = 2 + 2= 7 – 5 = 8 + 0=

10 – 4= 5 + 5 = 7 – 0 = 6 + 4= 6 – 6 = 7 + 2 = 5 – 0=

4 – 3 = 3 + 5 = 8 – 6 = 7 – 4 = 5 – 4 = 6 – 6 = 3 – 3 =

1 – 1 = 2 + 3 = 9 – 6 = 4 + 6 = 4 – 1 = 4 + 1 = 2 + 6=

2 + 1 = 5 – 4 = 10 – 5 = 5 – 3 = 6 – 3 = 5 – 2 = 7 – 7 =

3 – 3 = 7 – 5 = 6 + 4 = 3 – 2 = 4 – 3 = 7 – 2 = 4 + 3 =

1 +2 = 8 – 4 = 9 – 3 = 1 + 9 = 7 – 6 = 5 – 4 = 6 – 3 =

3 – 1 = 4 + 3 = 8 + 2 = 10 – 2 = 6 + 0 = 6 + 3 = 7 – 4 =

2 – 2 = 8 – 6 = 9 – 7 = 7 + 3 = 8 – 5 = 3 + 2 = 1 + 5 =

3 – 2 = 5 – 3 = 6 + 3 = 4 + 2 = 4 – 2 = 7 + 3 = 7 – 3 =

1 + 0 = 6 – 2 = 9 – 8 = 10 – 9 = 7 – 5 = 6 – 4 = 8 – 6=

2 – 1 = 8 – 7 = 5 + 4 = 3 + 6 = 5 – 5 = 10 – 6 = 3 + 5=

2 + 7 = 3 + 5 = 8 – 3 = 2 + 8 = 7 – 1 = 4 – 3 = 3 + 6=

8 – 7 = 9 – 6 = 8 – 4 = 10 – 6 = 10 – 3 = 6 – 5 = 8 – 6 =

5 + 2 = 8 – 8 = 6 – 5 = 3 + 7 = 4 + 5 = 7 – 4 = 2 + 7=

4 + 5 = 2 – 0 = 2 – 2 = 0 + 4 = 5 + 0 = 9 –5 = 5 + 0=

3 + 0 = 5 – 5 = 6 – 5 = 8 – 3 = 6 – 6 = 8 – 7 = 6 – 6=

3 + 7 = 6 – 4 = 4 – 4 = 8 – 0 = 9 –1 = 7 – 4 = 8 – 0=

6 – 3 = 3 + 3 = 8 – 4 = 6 + 0 = 8+ 1 = 7 – 0 = 0 + 5=

1 +7 = 2 + 6 = 8 – 5 = 10 – 4 = 10 – 10= 7 – 6 = 4 – 3=

5 – 4 = 7 – 5 = 3 + 6 = 8 – 6 = 5 + 4 = 8 – 7 = 6 + 4=

1 + 8 = 2 + 7 = 4 + 6 = 2 + 2 = 4 + 4 = 10 – 7 = 6 – 5 =

5 – 1 = 3 + 7 = 6 – 6 = 7 + 0 = 3 + 3 = 0 + 10 = 9 – 7=

3 – 0 = 7 – 7 = 0 + 4 = 5 – 0 = 5 + 5 = 8 – 8 = 4 – 0 =

8 – 8 = 6 + 4 = 4 – 4 = 8 – 5 = 9 – 3 = 5 + 2 = 9 – 9=

6 – 6 = 7 – 4 = 8 – 4 = 8 – 2 = 7 + 3 = 9 + 1 = 0 + 3=

4 + 6 = 9 – 3 = 7 + 2 = 9 – 0 = 7 – 7 = 8 + 2 = 8 + 0=

8 + 2 = 8 – 7 = 9 – 5 = 7 – 5 = 8 – 3 = 5 – 4 = 6 – 6=

6 + 3 = 7 – 3 = 8 – 4 = 9 – 2 = 7 + 0 = 8 – 5 = 6+ 4=

7 – 2 = 8 – 3 = 7 – 4 = 9 – 5 = 6 + 2 = 7 – 6 = 10 – 6=

3 + 4 = 5 – 2 = 8 + 1 = 0 + 4 = 7 – 0 = 8 – 8= 7 + 3 =

6 – 5 = 7 +2 = 6 – 2 = 0 + 9= 6 – 3 = 9 – 5 = 6 + 3 =

4 + 6 = 8 – 2 = 6 + 0 = 4 – 4 = 7 + 2 = 6 – 4 = 0 + 4=

8 – 5 = 7 + 2 = 10 – 6= 7 – 3 = 9 + 1 = 9 – 7 = 6 + 3=

Состав двузначных чисел (сумма разрядных слагаемых)

/ 10 / 10 / 10 / ? / 10

11 12 13 14 15

\ 1 \ 2 \ ? \ 4 \ ?

11 – это 10 и 1 12 – это 10 и 2 13 –это 10 и … 14 –это … и 4 15 – это 10 и …

10 10 10 10 10

\ \ \ \ \

15 ? ? ? ?

/ / / / /

5 6 7 8 9

10 и 5 –это 15 10 и 6 – это … 10 и 7 –это … 10 и 8 – это … 10 и 9 – это…

1. Вспомни правила. Заполни таблицу.

Сумма

разрядных слагаемых

От перестановки слагаемых сумма не изменяется

Если из суммы вычесть первое слагаемое, получится второе слагаемое

Если из суммы вычесть второе слагаемое, получится первое слагаемое

10 + 1 = 11

10 + 2 = 12

10 + 3 = 13

10 + 4 = 14

10 + 5 = 15

10 + 6 = 16

10 + 7 = 17

10 + 8 = 18

10 + 9 = 19

________________

_______________

Аналогично решаются примеры вида:

70 + 3 = 73 3 + 70 = 73 73 – 70 = 3 73 – 3 = 70

Реши примеры.

10 + 7 = 4 + 90 = 87 – 80 = 57 –7 = 45 – 5 =

20 + 8 = 5 + 10 = 56 – 50 = 62 – 2 = 18 –10 =

30 + 2 = 6 + 70 = 63 – 60 = 63 –3 = 43 – 40 =

40 + 4 = 2 + 90 = 45 – 40 = 83 – 3 = 50 + 5 =

50 + 6 = 3 + 20 = 33 – 30 = 48 – 8 = 33 – 3 =

60 + 3 = 1 + 30 = 27 – 20 = 39 – 9 = 99 – 9 =

70 + 4 = 8 + 40 = 17 – 10 = 16 – 6 = 62 – 60 =

80 + 5 = 3 + 50 = 92 – 90 = 86 – 6 = 73 – 3 =

90 +1 = 7 + 70 = 88 – 80 = 44 – 4 = 5 + 70 =

30 + 4 = 9 + 20 = 77 – 70 = 53 – 3 = 80 + 9 =

60 + 7 = 3 + 40 = 59 – 50 = 12 – 2 = 1 + 90 =

50 + 4 = 7 + 30 = 69 – 60 = 8 3 – 3 = 77 – 7=

Устный счёт. Сложение и вычитание вида 30 + 2, 73 – 70 , 86 – 80

25 – 20 = 89 – 80 = 36 – 30 = 34 – 4 = 53 – 3 = 32 – 2 =

30 + 6 = 32 – 30 = 24 – 20 = 20 + 8 = 42 – 40 = 60 + 6 =

46 – 6 = 27 –7 = 76 – 6 = 14 – 10 = 15 – 10 = 22 – 20=

40 + 2 = 39 – 9 = 80 + 2 = 45 – 5 = 10 + 7 = 15 – 10=

27 — 20 = 40 + 5 = 93 – 3 = 29 – 20 = 40 + 6 = 77 – 7 =

32 – 30 = 42 – 2 = 90 + 7 = 22 – 2 = 52 – 50 = 55 – 5 =

74 – 4 = 33 – 3 = 82 – 80 = 38 – 8 = 37 – 30 = 99 – 90=

28 – 8 = 90 + 7 = 30 + 8 = 29 – 9 = 46 – 6 = 30 + 7 =

80 + 5 = 78 – 70 = 59 – 9 = 50 + 6 = 78 – 70 = 70 + 8=

91 – 1 = 33 – 3 = 44 – 40 = 59 – 50 = 96 –6 = 83 – 3 =

47 – 40 = 70 +6 = 54 – 4 = 60 + 5 = 93 – 90 = 57 –7 =

3 + 70 = 80 + 6 = 55 – 50 = 20 + 9 = 13 – 3 = 47 – 40=

40 + 6 = 64 – 4 = 69 – 60 = 8 + 70 = 93 – 3 = 85 – 80 =

98 – 8 = 40 + 9 = 79 – 9 = 57 – 50 = 8 + 60 = 70 + 6 =

57 – 7 = 90 + 4 = 75 – 5 = 41 – 1 = 2 + 20 = 69 – 9 =

40 +4 = 53 – 3 = 60 + 4 = 72 – 70 = 63 – 3 = 55 – 5=

40 + 3 = 67 – 7 = 60 + 9 = 58 – 50 = 85 –5 = 48 –8=

78 – 8 = 89 – 80 = 47 – 40 = 30 + 5 = 66 – 6 = 2 + 60 =

67 – 60 = 7 + 40 = 69 –60 = 55 – 50 = 28 – 8 = 19 – 10=

23 – 20 = 60 + 9 = 43 – 3 = 92 – 90 = 76 – 6 = 7 + 60 =

40 + 8 = 50 + 3 = 80 + 4 = 40 + 3 = 60 + 7 = 50 + 4=

65 – 5 = 87 – 7 = 95 –5 = 78 – 8 = 34 – 4 = 62 –2 =

45 – 40 = 67 – 60 = 32 – 30 = 67 – 60 = 56 – 50 = 87 – 80=

5 + 90 = 7 + 60 = 3 + 40 = 6 + 50 = 7 + 60 = 6 + 40 =

50 + 6 = 40 + 4 = 30 + 3 = 20 + 2 = 10 + 1 = 70 + 7 =

36 – 30 = 33 – 30 = 22 –20 = 11 – 10 = 44 – 40 = 99 – 90=

5 + 50 = 2 + 20 = 3 + 30 = 4 + 40 = 7 + 70 = 9 + 90 =

11 – 1 = 22 – 2 = 33 – 3 = 44 – 4 = 55 – 5 = 66 – 6=

40 + 7 = 60 + 7 = 50 + 7 = 20 + 7 = 30 + 7 = 40 + 8=

30 + 6 = 50 + 4 = 30 + 9 = 60 + 3 = 40 + 6 = 30 + 8=

35 – 5 = 61 – 1 = 56 – 6 = 73 – 3 = 86 – 6 = 62 – 2=

6 + 70 = 7 + 60 = 3 + 50 = 4 + 60 = 8 + 50 = 1 + 50=

46 – 40= 49 – 40= 57 – 50= 72 – 70= 56 – 50= 99 – 90=

40 + 7 = 50 + 2 = 60 + 4 = 40 + 5 = 20 + 6 = 30 + 4=

82 – 2 = 47 – 7 = 23 –3 = 76 – 6 = 27 – 7 = 37 – 7 =

4 + 70 = 2 + 60 = 3 + 50 = 4 + 70 = 5 + 70 = 4 + 70=

78 – 70= 32 – 30= 43 – 40= 52 – 50= 64 – 60= 87 –80=

60 + 1 = 90 + 2 = 80 + 3 = 70 + 4 = 80 + 6 = 50 + 6=

45 – 5 = 34 – 4 = 23 – 3 = 43 – 3 = 56 –6 = 79 – 9=

1 + 90 = 2 + 80 = 3 + 70 = 4 + 60 = 5 + 50 = 6 + 40=

Таблица сложения и вычитания в пределах 20

(с переходом через десяток)

Заполни таблицу, используя переместительное свойство сложения и связь между суммой и слагаемыми.

Сумма однозначных чисел

От перестановки слагаемых сумма не изменяется

Если из суммы вычесть первое слагаемое, получается второе слагаемое

Если из суммы вычесть второе слагаемое, получается первое слагаемое

2 + 9 = 11

9 + 2 = 11

11 – 2 = 9

11 – 9 = 2

3 + 8 = 11

4 + 7 = 11

5 + 6 = 11

3 + 9 = 12

4 + 8 = 12

5 + 7 = 12

6 + 6 = 12

4 + 9 = 13

5 + 8 = 13

6 + 7 = 13

5 + 9 = 14

6 + 8 = 14

7 + 7 = 14

6 + 9 = 15

7 + 8 = 15

7 + 9 = 16

8 + 8 = 16

8 + 9 = 17

9 + 9 = 18

Таблицу сложения и вычитания чисел в пределах 20

(с переходом через десяток )

выучить наизусть !

Устный счёт. Сложение и вычитание в пределах 20

(с переходом через десяток)

12 – 4 = 12 – 5 = 17 – 9 = 3 + 9 = 12 – 7 = 5 + 6 =

6 + 5 = 7 + 5 = 11 — 5 = 9 + 6 = 11 – 2 = 17 –9 = 5 + 9 = 8 + 4 = 14 – 9 = 7 + 7 = 6 + 5 = 12 – 5 =

11 — 8 = 13 – 7 = 8 + 8 = 7 + 8 = 6 + 6 = 12 – 7 =

14 – 5 = 15 – 6 = 16 – 7 = 6 + 5 = 7 + 5 = 12 – 3 = 4 + 7 = 8 + 8 = 8 + 7 = 15 – 7 = 13 – 8 = 13 – 4 = 5 + 7 = 6 + 8 = 7 + 9 = 8 + 7 = 3 + 8 = 7 + 5 =

12 – 5 = 11 – 3 = 11 – 5 = 15 – 8 = 2 + 9 = 16 – 9 =

15 — 8 = 18 – 9 = 9 + 3 = 18 – 9 = 14 – 9 = 12 – 3 =

5 + 8 = 9 + 5 = 6 + 6 = 5 + 6 = 17 – 8 = 17 – 9 =

3 + 9 = 8 + 9 = 15 – 7 = 2 + 9 = 8 + 8 = 11- 5 =

14 – 6 = 6 + 7 = 14 – 9 = 11 – 3 = 7 + 5 = 12 – 5=

11 – 3 = 15 – 6 = 7 + 6 = 11 – 9 = 16 – 7 = 8 + 8=

7 + 6 = 16 – 8 = 17 – 9 = 18 – 9 = 11 – 2 = 11- 3 =

11 – 4 = 11 – 5 = 11 – 6 = 11 – 7 = 11 – 8 = 11 – 9= 2 + 9 = 3 + 8 = 4 + 7 = 5 + 8= 6 + 9 = 7 + 4=

12 – 3 = 12 – 4 = 12 – 5 = 12 – 6= 12 – 7 = 12 – 8 =

12 – 9 = 2 + 9 = 3 + 9 = 4 + 9 = 5 + 9 = 6 + 9 =

9 + 7 = 9 + 8 = 8 + 9 = 13 – 4 = 13 – 5 = 14 – 6 =

13 – 6 = 13 – 7 = 13 – 8 = 13 – 9 = 8 + 3 = 8 + 4 =

8 + 5 = 8 + 6 = 8 + 7 = 8 + 8 = 8 + 9 = 14 — 7=

14 – 5 = 14 – 8 = 14 – 9 = 15 – 6 = 15 – 7 = 15 – 8 =

15 – 9 = 5 + 6 = 5 + 7 = 5 + 8 = 5 + 9 = 16 – 7 =

16 – 8 = 16 – 9 = 17 – 8 = 9 + 2 = 12 – 7 = 13 – 5=

12 – 7 = 12 – 6 = 12 – 5 = 12 – 4 = 12 – 3 = 5 + 6 =

12 – 3 = 15 – 7 = 14 –8 = 15 – 8 = 11 – 8 = 12 – 6 = 8 + 8 = 9 + 8 = 7 + 7 = 6 + 6 = 16 – 9 = 6 + 9=

3 + 8 = 7 + 8 = 6 + 9 = 4 + 7 = 5 + 8 = 5 + 6=

7 + 7 = 9 + 2 = 4 + 7 = 8 + 5 = 7 + 4 = 16 – 9= 3 + 8 = 8 + 3 = 5 + 9 = 7 + 5 = 13 – 5= 13 – 7=

8 + 7 = 12 – 4 = 8 + 4 = 2 + 9 = 7 + 6 = 13 – 5=

14 – 8 = 17- 8 = 11 – 3 = 11 – 9 = 15 – 8 = 2 + 9=

16 – 8 = 9 + 4 = 13 – 4 = 12 – 4 = 16 – 8 = 11 – 9=

7 + 9 = 13 – 7 = 8 + 7 = 8 + 8 = 6 + 8 = 11 – 4=

5 + 6 = 9 + 4 = 4 + 9 = 17 – 8 = 13 – 6 = 12 – 8=

12 – 5 = 15 – 9 = 14 – 5 = 12 – 6 = 5 + 7 = 12 – 7=

13 – 4 = 13 – 5 = 13 – 6 = 13 – 7 = 13 –8 = 13 – 9 =

2 + 9 = 3 + 9 = 4 + 9 = 5 + 9 = 6 + 9 = 7 + 9 =

8 + 9 = 9 + 9 = 14 – 5 = 14 – 6 = 14 – 7 = 14 – 8=

14 – 9 = 3 + 8 = 4 + 8 = 5 + 8 = 6 + 8 = 7 + 8 =

Внетабличное сложение и вычитание

Сложение и вычитание круглых чисел

30 + 20 = 50 60 – 20 = 40

3 дес. + 2 дес. = 5 дес. 6 дес. — 2 дес. = 4 дес.

60 + 10 = 40 + 10 = 30 + 20 = 70 – 40 = 80 – 30 =

50 + 30 = 30 + 60 = 40 + 50 = 70 – 20 = 90 – 50 =

80 – 20 = 50 + 20 = 20 – 10 = 20 + 60 = 90 – 30 =

60 – 10 = 70 – 40 = 70 – 30 = 30 + 50 = 40 + 50 =

40 – 10 = 50 + 40 = 30 + 50 = 70 – 50 = 90 – 60 =

30 – 20 = 80 + 10 = 60 – 50 = 80 – 70 = 40 – 30 =

40 + 50 = 70 – 20 = 80 – 30 = 70 + 20 = 80 – 60 =

30 + 50 = 40 – 20 = 80 – 40 = 20 + 70 = 60 – 50 =

70 – 10 = 70 – 30 = 70 – 50 = 70 – 60 = 10 + 80 =

10 + 70 = 10 + 60 = 10 + 50 = 10 + 40 = 10 + 30=

10 + 20 = 80 – 10 = 80 – 20 = 80 – 30 = 80 – 40 =

20 + 20 = 30 + 30 = 40 + 40 = 70 – 20 = 70 – 30 =

! Помни, что 1 сотня — это 10 десятков.

80 + 20 = 100 100 – 30 = 70

8 дес. + 2 дес. = 10 дес. 10 дес. – 3 дес. =7 дес.

90 + 10 = 40 + 60 = 100 – 10 = 100 – 90 = 100 – 40 =

80 + 20 = 20 + 80 = 100 – 50 = 100 –70 = 50 + 50 =

30 + 70 = 10 + 90 = 100 – 20 = 100 – 80 = 100 – 30 =

50 + 50 = 70 + 30 = 100 – 40 = 100 – 60 = 60 + 40 =

20 + 80 = 30 + 70 = 100 – 80 = 100 – 50 = 100 – 70 =

60 + 40 = 80 + 20 = 100 – 30 = 100 – 10 = 20 + 80 =

1. Впиши числа.

100 — … =90 … — 40 =20 … — 70 = 20 70 + … = 100

50 + … = 70 30 + …= 100 30 + … = 70 … — 80 = 20

… — 90 = 10 … — 20 = 80 … — 40 = 60 40 + … = 90

60 + … = 90 40 — … =10 60 + … = 70 30 — … = 20

20+ … = 100 50 + … = 80 80 — … = 30 40 + … 100

100 — … = 60 90 — … =40 … + 10 =100 … — 50 = 50

80 + … = 90 … — 70 = 30 … + 40 = 30 50 -… = 40

2.Напиши, чему равно у и х

У0 + х0 = 30 проверка:______________

Ответ:___________

3.Напиши, чему равно а

а0 + а0 + а0 +а0 = 40 проверка:___________________

Ответ:________________

Внетабличное сложение

Сложение вида 36 + 2, 30 + 24

36 + 2 = 30 + 24 =

/ \ / \

30 6 20 4

30 + ( 6 + 2 ) = 38 ( 30 + 20 ) + 4 = 54

Единицы складывают с единицами.

Десятки складывают с десятками.

1. Вычисли с устным объяснением.

17 + 2 = 20 + 15 = 10 + 88 = 28 + 70 =

/ \ / \ / \ / \

60 + 18 = 70 + 19 = 22 + 7 = 43 +6 =

/ \ / \ / \ / \

56 + 3 = 61 + 4 = 91 + 7 = 25 + 4 =

/ \ / \ / \ / \

70 + 24 = 50 + 34 = 35 + 60 = 4 + 32 =

/ \ / \ / \ / \

2. «Разбей» числа на десятки и единицы. Реши.

31 + 7= 76 + 3 = 34 + 4 = 56 + 3 = 36 + 20 =

80 + 14 = 30 + 12 = 30 + 62 = 70 + 24 = 25 + 3 =

62 + 10 = 22 + 60 = 33 + 6 = 62 + 20 = 81 + 8 =

82 + 4 = 30 + 25 = 20 + 71 = 53 + 40 = 60 + 27 =

73 + 5 = 15 + 80 = 82 + 10 = 20 + 78 = 32 + 60 =

Реши самостоятельно, рассуждая.

24 + 3 = 41 + 50 = 23 + 60 = 50 + 14 = 37 + 2 = 42 + 30 =

72 + 20 = 20 + 69 = 56 + 40 = 57 + 30 = 41 + 20 = 23 + 50 =

18 + 30 = 4 + 34 = 4 + 72 = 17 + 80 = 54 + 30 = 3 + 65 =

20 + 36 = 54 + 20 = 26 + 3 = 8 + 31 = 3 + 62 = 57 + 2=

44 + 5 = 3 + 71 = 17 + 40 = 24 + 70 = 57 + 1 = 45 + 50 =

36 + 40 = 81 + 7 = 36 + 50 = 56 + 30 = 63 + 5 = 36 + 3 =

35 + 20 = 54 + 30 = 76 + 20 = 56 + 20 = 37 + 60 = 21 + 50 =

4 + 42 = 56 + 3 = 5 + 43 = 4 + 63 = 2 + 56 = 5 + 42 =

50 + 35 = 40 + 37 = 20 + 76 = 10 + 56 = 40 + 29 = 30 + 34 =

45 + 3 = 57 + 2 = 56 + 3 = 32 + 7 = 42 + 5 = 75 + 4 =

Внетабличное сложение

Сложение вида 26 + 4

26 + 4 = 95 + 5 =

/ \ / \

20 6 90 5

20 + ( 6 + 4 ) = 30 90 + ( 5 + 5) = 100

1. Вычисли с устным объяснением.

12 + 8 = 53 + 7 = 36 + 4 = 93 + 7=

/ \ / \ / \ / \

43 + 7 = 68 + 2 = 91 + 9 = 27 + 3 =

/ \ / \ / \ / \

81 + 9 = 3 + 47 = 27 + 3 = 2 + 98 =

/ \ / \ / \ / \

65 + 5 = 3 + 67 = 4 + 96 = 5 + 45 =

/ \ / \ / \ / \

2. «Разбей» числа на десятки и единицы. Реши.

78 + 2 = 83 + 7 = 1 + 29 = 3 + 47 = 5 + 35 =

64 + 6 = 4 + 76 = 33 + 7 = 77+ 3 = 4 + 56 =

41 + 9 = 85 + 5 = 17 + 3 = 4 + 76 = 62 + 8 =

97 + 3 = 15 + 5 = 4 + 96 = 37 + 3 = 42 + 8 =

73 + 7 = 5 + 85 = 56 + 4 = 6 + 44 = 51 + 9 =

56 + 4 = 1 + 99 = 2 + 68 = 67 + 3 = 5 + 65 =

3. Реши самостоятельно, рассуждая.

64 + 6 = 86 + 4 = 15 + 5 = 6 + 44 = 8 + 82 = 7 + 53=

33 + 7 = 91 + 9 = 47 + 3 = 6 + 94 = 54 + 6 = 27 + 3 =

18 + 2 = 3 + 77 = 4 + 66 = 1 + 69 = 2 + 58 = 7 + 43 =

5 + 95 = 6 + 74 = 53 + 7 = 62 + 8 = 22 + 8 = 88 + 2 =

64 + 6 = 99 + 1 = 17 + 3 = 98 + 2 = 84 + 6 = 36 + 4 =

7 + 53 = 6 + 54 = 2 + 98 = 64 + 6 = 4 + 46 = 3 + 57 =

93 + 7 = 74 + 6 = 32 + 8 = 75 + 5 = 64 + 6 = 57 + 3 =

56 + 4 = 77 + 3 = 33 + 7 = 22 + 8 = 11 + 9 = 13 + 7 =

55 + 5 = 66 + 4 = 99 + 1 = 7 + 53 = 2 + 58 = 3 + 47 =

1 + 69 = 2 + 28 = 3 + 37 = 4 + 46 = 5 + 55 = 6 + 64 =

7 + 73 = 8 + 82 = 9 + 91 = 1 + 99 = 2 + 48 = 24 + 6 =

35 + 5 = 56 + 4 = 67 + 3 = 78 + 2 = 89 + 1 = 91 + 9 =

Внетабличное вычитание

Вычитание вида 36 – 2, 36 – 20

36 –2 36 – 20

/ \ / \

30 6 30 6

30 + ( 6 – 2 ) = 34 ( 30 – 20 ) + 6 = 16

Единицы вычитают из единиц.

Десятки вычитают из десятков.

1. Вычисли с устным объяснением .

86 – 5 = 86 – 50 = 77- 6 = 77 — 60 =

/ \ / \ / \ / \

78 – 6 = 78 – 60 = 44 – 3 = 44 – 30 =

/ \ / \ / \ / \

56 – 4 = 56 –40 = 89 – 7 = 89 –70 =

/ \ / \ / \ / \

65 – 4 = 65 –40 = 96 – 5 = 96 – 50 =

/ \ / \ / \ / \

«Разбей» числа на десятки и единицы. Реши.

47 – 2 = 54 – 3 = 78 – 6 = 54 – 2 = 16 – 4 =

64 – 20 = 54 – 30 = 78 – 60 = 54 – 20 = 26 – 10 =

34 – 3 = 63 –2 = 76 – 5 = 53 – 1 = 19 – 7 =

16 – 5 = 27 – 10 = 56 – 30 = 64 – 30 = 96 – 90 =

37 – 7 = 36 – 3 = 79 – 6 = 57 – 6 = 46 – 6 =

58 – 30 = 47 – 20 = 87 – 60 = 47 – 10 = 54 – 50 =

Реши самостоятельно, рассуждая.

88 – 2 = 94 – 2 = 54 – 3 = 56 – 5 = 17 – 3 = 84 – 6 =

67 – 30 = 86 – 70 = 78 – 50 = 72 – 60 = 92 – 40 = 56 – 50=

82 – 50 = 76 – 50 = 59 – 8 = 46 – 3 = 46 –30 = 86 –30 =

73 –50 = 77 – 5= 36 – 10 = 62 – 40 = 67 – 10 = 72 – 30 =

68 – 4 = 65 – 2 = 99 – 8 = 88 – 5 = 13 – 2 = 26 – 4 =

68 – 40 = 65 – 20 = 99 – 80 = 88 – 50 = 27 – 20 = 76 – 40=

29 – 5 = 38 – 6 = 47 – 5 = 56 – 4 = 32 – 1 = 43 – 2 =

45 – 30 = 43 – 20 = 78 – 60 = 83 – 40 = 74 – 50 = 74 – 20 =

Внетабличное вычитание

Вычитание вида 30 – 4

30 – 4 =

/ \

20 + ( 10 – 4 ) = 26

30 40 50 60 70 80 90 100

/ \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \

20 10 … 10 … 10 … 10 … 10 … 10 … 10 … 10

Вычисли с устным объяснением.

50 – 6= 30 – 5 = 100 – 4 = 60 – 8 =

/ \ / \ / \ / \

70 – 4 = 40 – 5 = 100 – 9 = 100 – 2 =

/ \ / \ / \ / \

80 – 3 = 20 – 4 = 30 – 5 = 40 – 6 =

/ \ / \ / \ / \

90 – 4 = 50 – 6 = 60 – 3 = 20 – 5 =

/ \ / \ / \ / \

«Разбей» числа на круглые десятки по образцу. Реши.

70 – 8 = 80 – 4 = 90 – 3 = 100 – 4 = 20 – 3 =

20 – 7 = 30 – 6 = 40 – 8 = 50 –3 = 60 – 2 =

70 – 9 = 80 – 1= 90 – 6 = 20 – 3 = 100 – 9 =

40 – 7= 40 – 9 = 30 – 4 = 50 – 5 = 60 – 4 =

70 – 7 = 80 – 8 = 90 – 9 = 100 – 4 = 20 – 2=

3. Реши самостоятельно, рассуждая.

20 – 1 = 30 – 2 = 40 – 3 = 50 –4 = 60 – 5= 70 – 6 =

80 – 7 = 90 – 8 = 100 – 9 = 20 – 9 = 30 – 8 = 40 – 7 =

50 – 6 = 60 – 5 = 70 – 4 = 80 – 3 = 90 – 2 = 100 – 1 =

20 – 2 = 30 — 4 = 40 – 5 = 50 – 6 = 60 – 7 = 70 – 8=

80 – 9 = 100 – 1 = 20 – 1 = 30 –2 = 40 – 3 = 50 – 4 =

60 – 5= 70 – 6 = 80 – 7 = 90 – 8 = 100 – 9 = 20 – 4 =

30 – 5 = 40 – 6 = 50 – 7 = 60 – 8 = 70 – 9 = 90 – 2 =

100 – 4 = 20 – 9 = 30 – 1 = 40 – 2 = 50 – 3 = 60 –4 =

70 – 5 = 80 – 6 = 70 – 4 = 90 – 7 = 20 – 7 = 30 – 8 =

40 – 9 = 50 – 7 = 70 – 1 = 80 – 2 = 90 – 3 = 100 – 4 =

Внетабличное вычитание

Вычитание вида 60 – 24

60 – 24 =

/ \

( 60 – 20 ) – 4 = 36

1. Вычисли с устным объяснением.

70 – 28 = 90 – 39 40 – 28 = 80 – 67 =

/ \ / \ / \ / \

30 – 23 = 40 – 36 = 50 – 21 = 80 – 76 =

/ \ / \ / \ / \

40 –14 = 100 – 44 = 70 – 29 = 100 – 21 =

/ \ / \ / \ / \

50 – 36 = 70 –23 = 80 – 77 = 40 – 34 =

/ \ / \ / \ / \

«Разбей» числа на десятки и единицы. Реши.

40 –15 = 70 – 18 = 100 – 18 = 50 – 46 = 30 –22 =

50 – 46 = 80 – 73 = 80 – 19 = 30 – 23 = 50 – 36 =

60 –57 = 40 – 33 = 40 – 36 = 40 – 16 = 100 – 34 =

80 – 57 = 30 –18 = 30 – 12 = 70 – 16 = 100 – 78 =

50 — 47 = 30 – 29 = 50 – 38 = 40 – 27 = 50 – 36 =

3. Реши самостоятельно, рассуждая.

50 – 32 = 30 – 21 = 50 – 43 = 60 – 56 = 30 – 26 = 60 – 44 = 80 – 75 = 90 – 56 = 100 – 98= 40 – 17 = 70 – 48 = 90 – 81 =

90 – 72 = 60 – 31 = 70 – 48 = 90 – 66 = 90 – 24 = 90 – 75 = 100 – 87 = 60 – 43 = 70 – 67 = 100 – 17 = 80 – 57 = 80 – 16 = 60 – 12 = 70 – 34 = 60 – 57 = 90 – 12 = 60 – 28 = 50 – 23 =

40 – 23 = 40 – 14 = 70 – 29 = 80 – 76 = 40 – 24 = 50 – 25 = 70 – 51 = 70 – 31 = 70 – 54 = 50 – 43 = 70 – 32 = 100 – 99 = 100 – 56 = 80 – 37 = 90 – 51 = 60 – 43 = 80 – 54 = 60 – 51 = 80 = 31 = 80 – 44 = 50 – 32 = 60 – 45 = 70 – 53 = 80 – 54 = 90 – 73 = 80 – 56 = 70 – 43 = 60 – 43 = 90 – 72 = 80 – 65 =

40 – 23 = 50 – 32 = 60 – 45 = 70 – 53 = 80 – 54 = 80 — 53 =

60 – 45 = 70 – 32 = 80 – 34 = 80 – 65 = 90 – 64 = 40 – 32 =

50 – 34 = 60 – 23 = 30 – 13 = 30 – 23 = 90 – 72 = 70 – 45 =

Внетабличное сложение

Сложение вида 26 + 7

26 + 7 =

/ \

( 26 + 4 ) + 3 = 33

1. Вставь нужное число.

38 + 5 64 + 9 23 + 8

38 + 2 + … = 64 + 6 + … = 23 — … — … =

75 + 8 49 + 6 47 + 5

75 + … + … = 49 + … + … = 47+ … + … =

2. Вычисли с устным объяснением.

63 + 9 = 54 + 8 = 73+ 9 = 43 + 9 =

/ \ / \ / \ / \

76 + 6 = 63 + 9 = 86 + 8 = 56 + 8 =

/ \ / \ / \ / \

62 + 9 = 75 + 6 = 32 + 9 = 39 + 7 =

/ \ / \ / \ / \

46 + 8 = 46 + 8 = 27 + 8 = 48 + 5 =

/ \ / \ / \ / \

«Разбей» второе слагаемое на удобные слагаемые.

57 + 8 = 72 + 9 = 44 + 9 = 78 + 8 = 76 + 6 =

37 + 8 = 36 + 7 = 45 + 7 = 56 + 7 = 88 + 7 =

24 + 7 = 25 + 6 = 74 + 9 = 57 + 7 = 92 + 9 =

77 + 8 = 44 + 8 = 66 + 5 = 54 + 8 = 55 + 7 =

4.Реши самостоятельно, рассуждая.

56 + 8 = 45 +6 = 39 + 9 = 65 + 7 = 87 + 4 = 23 + 8 =

34 + 8 = 47 + 7 = 26 + 9 = 74 + 8 = 48 + 9 = 43 + 9 = 22 + 9 = 53 + 8 = 29 + 4 = 67 + 8 = 58 + 7 = 56 + 8 = 54 + 7 = 58 + 3 = 84 + 8 = 63 + 8 = 78 + 8 = 44 + 7 = 47 + 7 = 53 + 8 = 26 + 7 = 26 + 9 = 73 + 8 = 13 + 9 = 14 + 8 = 23 + 7 = 34 + 7 = 34 + 8 = 36 + 7 = 35 + 6 = 46 + 7 = 56 + 5 = 67 + 5 = 78 + 8 = 89 + 7 = 23 + 9 = 34 + 7 = 34 + 9 = 54 + 7 = 65 + 8 = 65 + 7 = 76 + 5 =

85 + 7 = 67 + 5 = 27 + 8 = 17 + 5 = 26 + 9 = 27 + 8 =

35 + 9 = 42 + 9 = 54 + 8 = 65 + 8 = 45 + 8 = 83 + 8 =

Внетабличное вычитание

Вычитание вида 35 – 7

35 – 7

/ \

5 2

( 35 – 5 ) – 2 = 28

1.Вставь нужное число.

42 – 6 53 –8 24 — 7

42 – 2 — …= 53 – … — … = 24 — … — …=

76 – 8 64 –8 45 – 6

76 — … — … = 64 — … — … = 45 -… — …=

2. Реши с устным объяснением.

26 – 8 = 65 – 8 = 44 – 8 = 36 – 8 =

/ \ / \ / \ / \

32 – 6 = 43 – 6 = 74 – 6 = 2 5 – 6 =

/ \ / \ / \ / \

27 – 8 = 36 – 9 = 45 – 9 = 23 – 9 =

/ \ / \ / \ / \

75 – 7 = 23 – 7 = 34 – 7 = 46 – 7 =

/ \ / \ / \ / \

3.Реши, рассуждая.

72 – 5 = 25 – 7 = 27 – 9 = 23 – 4 = 97 – 9 =

56 – 7 = 76 – 8 = 63 – 8 = 76 – 7 = 83 – 4 =

37 – 9 = 53 – 9 = 56 – 9 = 76 – 8 = 45 – 7 =

26 – 7 = 46 – 8 = 78 – 9 = 46 – 9 = 37 – 8 =

4.Реши самостоятельно.

73 – 4 = 57 – 9 = 92 – 7 = 55 – 7 = 26 – 9 = 34 – 6 =

96 – 7 = 63 – 6 = 85 – 6 = 72 – 3 = 52 – 3 = 84 – 8 = 82 – 4 = 44 – 5 = 44 – 6= 81 – 4 = 61 – 2 = 64 – 5 = 27 – 9 = 83 – 6 = 26 – 8 = 71 – 5 = 33 – 4 = 34 – 6 = 64 – 9 = 73 – 5= 63 – 6 = 51 – 5 = 91 – 9 = 75 – 8 = 81 – 7 = 56 – 7 = 51 – 6 = 48 – 9 = 36 – 9 = 66 – 8 = 34 – 8 = 76 – 7 = 72 – 6 = 43 – 7 = 38 – 8 = 45 – 8 = 82 – 3 = 85 – 8 = 54 – 9 = 57 – 8 = 67 – 8 = 93 – 6 = 61 – 7 = 62 – 8 = 43 – 9 = 56 – 7 = 82 – 6 = 72 – 5 =

34 – 7 = 45 – 6 = 24 – 6 = 23 – 6 = 43 – 8 = 25 – 6 =

Арифметические действия

Умножение и деление

Умножение: 2 х 3 = 6

умножить на 3 равно шести.

увеличить в 3 раза — получится шесть.

Произведение двух и трёх равно шести.

Свойства умножения

Переместительное свойство умножения. От перестановки множителей произведение не меняется.

а х в = в х а

2. Сочетательное свойство умножения.

( а х в ) х с = а х ( в х с )

Свойства умножения показывают, что значение произведения не зависит от порядка множителей и порядка действий.

Это позволяет упрощать вычисления.

Примеры:

1) 2 х ( 7 х 5 ) = ( 2х5 ) х 7 = 10 х 7 = 70;

2) 15 х 16 = ( 3х 5 ) х ( 8 х 2 ) = ( 3 х 8 ) х ( 5 х 2 ) = 24 х 10 = 240.

3. Распределительное свойство умножения.

( а + в ) х с = а х с + в х с

( 3 + 7 ) х 2 = 3 х 2 + 7 х 2 = 6 + 14 = 20

Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Умножение на 0 и на 1

а х 1 = а 8 х 1 = 8 1 х а = а 1 х 8 = 8

а х 0 = 0 8 х 0 = 0 0 х а = 0 0 х 8 = 0

Деление: 6 : 2 = 3

разделить на 2 равно шести.

уменьшить в 2 раза – получится шесть.

Частное шести и двух равно трём.

Деление суммы на число. Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить:

( а + в ) : с = а : с + в : с

Реши пример разными способами.

48 : 4 = ( 40 + 8 ) : 4 = 40 : 4 + 8 : 4 =

48 : 4 = ( 28 + 20 ) : 4 =

48 : 4 = ( 24 + 24 ) : 4 =

Деление нуля

0 : в = 0 Если нуль разделить на любое другое число, то получится нуль.

0 : 8 = 0 0 : 98 = 0

Делить на нуль нельзя !

При делении числа на себя получается единица, а при делении числа на единицу получается то же самое число.

а : а = 1 3 : 3 = 1 а : 1 = а 3 : 1 = 3

Компоненты умножения

1-множитель 2-множитель Произведение

5 х 2 = 10

произведение

Реши примеры.

Образец объяснения: 2 х 6 = 12

первый множитель – 2,

второй множитель – 6,

произведение равно двенадцати.

2 х 4 = 4 х 3 = 3 х 6 = 4 х 6 = 2 х 1 =

5 х 3 = 2 х 5 = 4 х 1 = 5 х 4 = 2 х 2 =

3 х 2 = 4 х 2 = 3 х 7 = 5 х 5 = 2 х 7 =

Связь компонентов умножения

Компоненты умножения связаны между собой. 5 х 2 = 10

Если произведение разделить на первый множитель – получится второй множитель. 10 : 5 = 2

Если произведение разделить на второй множитель – получится первый множитель. 10 : 2 = 5

2.Напиши по 2 примера по образцу.

3 х 6 = 18 5 х 4 = 20 2 х 4 = … 7 х 3 =… 3 х 4 =

18 : 3 = 6 ________ _________ _________ _______

18 : 6 = 3 ________ _________ _________ _______

Связь компонентов умножения используется при решении уравнений.

Чтобы найти неизвестный первый множитель, нужно произведение разделить на второй множитель.

Чтобы найти второй множитель, нужно произведение разделить на первый множитель.

Реши уравнения по образцу.

у х 4 = 12 а х 6 = 12 а х 4 = 20 у х 3 = 15 в х 6 =18

у = 12 : 4 ………… ………… ……….. …………

у = 3 ………… ………… ……….. …………

3 х 4 = 12 ………… ………… ……….. …………

12 = 12 ………… ………… ……….. …………

Ответ: 3.

3 х у = 12 4 х в = 16 5 х а = 10 2 х у = 10 3 х х = 18

у = 12 : 3 ………… …………. ………… ………….

у = 4 ………… ………… ………… ………….

3 х 4 = 12 ………… ………… ………… ………….

12 = 12 ………… ………… ………… ………….

Ответ: 4. Ответ:___ Ответ: __ Ответ:___ Ответ: ___

Компоненты деления

Операция деления обратна операции умножения. Чтобы разделить число а на число в, надо подобрать такое число с, которое при умножении на в даёт а. а : в = с

с х в = а

делимое делитель частное

6 : 2 = 3

частное

1.Реши примеры.

Образец рассуждения:

Делимое — 6,

Делитель – 2,

Частное равно трём.

10: 2 = 8 : 2 = 4 : 2 = 10 : 5 = 12 : 3 =

14: 7 = 12 : 2 = 12 : 4 = 15 : 5 = 16 : 4 =

15: 3 = 18 : 6 = 16 : 2 = 16 : 8 = 12 : 6 =

Делители и кратные

8 х 2 = 16

2 х 8 =16 8 и 2 – делители числа 16

16 : 8 = 2

16 : 2 = 8 16 – кратное чисел 8 и 2

1. Допиши числа по образцу.

Образец:

4 х 2 = 8 3 х 5 = 15 3 х 7 = 21 6 х 3 =18 2 х 5 = 10

2 х 4 = 8 ________ ________ ________ ________

8 : 4 = 2 _________ ________ ________ ________

8 : 2 =4 _________ _________ ________ ________

Решение уравнений.

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое на частное.

2.Реши уравнения по образцу.

х: 2 = 6 12 : у = 4 в : 5 = 2 16 : у = 4 а : 2 = 4

х= 6 х 2 у = 12 : 4 ………… ………… ………..

х= 12 у = 3 .………… ……… ………..

12 : 2 = 6 12 : 3 = 4 …………. ………… ………..

6 = 6 4 = 4 …….. …….. ……..

Ответ: 12. Ответ: 3. Ответ : ___ Ответ : ___ Ответ : __

14 : а = 2 в : 3 = 4 15 : с = 5 у : 5 = 4 18 : у = 3

Таблица умножения и деления на 2

половина числа

Заполни таблицу

От перестановки множителей произведение не меняется

Если произведение разделить на первый множитель – получится второй множитель

Если произведение разделить на второй множитель – получится первый множитель

2 х 0 = 0

0 х 2 = 0

0 : 2 = 0

На нуль делить нельзя !

2 х 1 = 2

1 х 2 = 2

2 : 2 = 1

2 : 1 = 2

2 х 2 = 4

4 : 2 = 2

2 х 3 = 6

6 : 2 = 3

6 : 3 = 3

2 х 4 = 8

2 х 5 = 10

2 х 6 = 12

2 х 7 = 14

2 х 8 = 16

2 х 9 = 18

2 х 10 = 20

Разделить число на 2 – это значит найти его половину ( одну вторую часть).

Чтобы найти половину какого-нибудь числа, надо это число разделить на 2.

Таблица умножения и деления на 3

треть числа

Заполни таблицу

От перестановки множителей произведение

не меняется

Если произведение разделить на первый множитель – получится второй множитель

Если произведение разделить на второй множитель – получится первый множитель

3 х 0 = 0

0 х 3 = 0

0 : 3 = 0

На нуль делить нельзя !

3 х 1 = 3

1 х 3 = 3

3 : 3 = 1

3 : 1 = 3

3 х 2 = 6

3 х 3 = 9

3 х 4 = 12

3 х 5 = 15

3 х 6 = 18

3 х 7 = 21

3 х 8 = 24

3 х 9 = 27

3 х 10 = 30

Разделить число на 3 – это значит найти его треть ( одну третью часть).

Чтобы найти треть какого-нибудь числа, надо это число разделить на 3.

Таблица умножения и деления на 4

четверть числа

Заполни таблицу

первый множитель х

второй множитель

= произведение

От перестановки множителей произведение

не меняется.

Если произведение разделить на первый множитель – получается второй множитель

Если произведение разделить на второй множитель – получается второй множитель

4 х 0 = 0

0 х 4 =

0 : 4 = 0

На нуль делить нельзя !

4 х 1 = 4

1 х 4 =

4 : 4 =

4 : 1 =

4 х 2 = 8

2 х 4 =

4 х 3 = 12

4 х 4 = 16

4 х 5 = 20

4 х 6 = 24

4 х 7 = 28

4 х 8 = 32

4 х 9 = 36

4 х 10 = 40

Разделить число на 4 – это значит найти его четверть ( одну четвёртую часть).

Чтобы найти четверть какого-нибудь числа, надо это число разделить на 4.

Таблица умножения и деления на 5

пятая часть числа

Заполни таблицу

первый множитель х

второй множитель

= произведение

От перестановки множителей произведение

не меняется

Если произведение разделить на первый множитель – получается второй множитель

Если произведение разделить на второй множитель – получается первый множитель

5 х 0 = 0

0 х 5 =

0 : 5 =

На нуль делить нельзя!

5 х 1 = 5

1 х 5 =

5 : 5 =

5 : 1 =

5 х 2 = 10

2 х 5 =

10 : 5 =

10 : 2 =

5 х 3 = 15

5 х 4 = 20

5 х 5 = 25

5 х 6 = 30

5 х 7 = 35

5 х 8 = 40

5 х 9 = 45

5 х 10 = 50

Разделить число на 5 – это значит найти его пятую часть (одну пятую часть)

Чтобы найти пятую часть какого-нибудь числа, надо это число разделить на 5.

Таблица умножения и деления на 6

шестая часть числа

Заполни таблицу

первый множитель х

второй множитель

= произведение

От перестановки множителей произведение

не меняется

Если произведение разделить на первый множитель – получается второй множитель

Если произведение разделить на второй множитель – получается первый множитель

6 х 0 = 0

0 х 6 =

0 : 6 = 0

На нуль делить нельзя!

6 х 1 = 6

1 х 6 =

6 : 6 =

6 : 1 =

6 х 2 = 12

2 х 6 =

12 : 6 =

12 : 2 =

6 х 3 = 18

6 х 4 = 24

6 х 5 = 30

6 х 6 = 36

6 х 7 = 42

6 х 8 = 48

6 х 9 = 54

6 х 10 = 60

Разделить на 6 — это значит найти его шестую часть ( одну шестую часть). Чтобы найти шестую часть какого-нибудь числа, надо это число разделить на 6.

Таблица умножения и деления на 7

седьмая часть числа

Заполни таблицу

первый множитель х

второй множитель

=произведение

От перестановки множителей произведение

не меняется

Если произведение разделить на первый множитель – получается второй множитель

Если произведение разделить на второй множитель – получается второй множитель

7 х 0 = 0

0 х 7 =

0 : 7 =

На нуль делить нельзя!

7 х 1 = 7

1 х 7 =

7 : 7 =

7 : 1 =

7 х 2 = 14

2 х 7 =

14 : 7 =

14 : 2 =

7 х 3 = 21

7 х 4 = 28

7 х 5 = 35

7 х 6 = 42

7 х 7 = 49

7 х 8 = 56

7 х 9 = 63

7 х 10 = 70

Разделить на 7 – это значит найти седьмую часть числа ( одну седьмую часть).

Чтобы найти седьмую часть какого-нибудь числа, надо это число разделить на 7.

Таблица умножения и деления на 8

восьмая часть числа

Заполни таблицу.

первый множитель х

второй множитель

= произведение

От перестановки множителей произведение

не меняется

Если произведение разделить на первый множитель – получится второй множитель

Если произведение разделить на второй множитель – получится первый множитель

8 х 0 = 0

0 х 8 =

0 : 8 =

На нуль делить нельзя!

8 х 1 = 8

1 х 8 =

8 : 8 =

8 : 1 =

8 х 2 = 16

2 х 8 =

16 : 8 =

16 : 2 =

8 х 3 = 24

8 х 4 = 32

8 х 5 = 40

8 х 6 = 48

8 х 7 = 56

8 х 8 = 64

8 х 9 = 72

8 х 10 = 80

Разделить число на 8 –это значит найти его восьмую часть(одну восьмую часть).

Чтобы найти восьмую часть какого-нибудь числа, надо это число разделить на 8.

Таблица умножения и деления на 9

девятая часть числа

Заполни таблицу.

первый множитель х

второй множитель

= произведение

От перестановки множителей произведение

не меняется

Если произведение разделить на первый множитель – получится второй множитель

Если произведение разделить на второй множитель – получится первый множитель

9 х 0 = 0

0 х 9 =

0 : 9 =

На нуль делить нельзя!

9 х 1 =9

1 х 9 =

9 : 9 =

9 : 1 =

9 х 2 = 18

2 х 9 =

18 : 9 =

18 : 2 =

9 х 3 = 27

9 х 4 = 36

9 х 5 = 45

9 х 6 = 54

9 х 7 = 63

9 х 8 = 72

9 х 9 = 81

9 х 10 = 90

Разделить число на девять – это значит найти его девятую часть (одну девятую

часть). Чтобы найти девятую часть какого-нибудь числа, надо это число разделить на 9.

Геометрические фигуры и величины

Прямоугольник. Квадрат.

Прямоугольником называется такой четырёхугольник, у которого все углы прямые.

! В прямоугольнике длины противоположных сторон равны .

! Длины диагоналей прямоугольника равны.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны имеют одну и ту же длину.

Периметр многоугольника

Сумму длин всех сторон многоугольника называют периметром.

а а

в а

1. Р = а + в + а + в 1. Р = а + а + а + а

пр. кв.

2 .Р = а х 2 + в х 2 2. Р = а х 4

пр. кв.

3. Р = (а + в ) х 2

пр.

а = Р : 2 – в а = Р : 4

Соотношения между единицами длины

1 см = 10 мм 1 м = 10 дм 1 км = 1000м

1 дм = 10 см 1 м = 100см

Площадь фигуры. Единицы площади.

Квадратным дециметром называют площадь квадрата с длиной стороны 1 дм.

Квадратным сантиметром называют _____________________________________.

Квадратным метром называют __________________________________________.

2 2 2 2

1 см = 100 мм 1 м = 100см

2 2 2 2

1дм = 100см 1дм = 10 000 см

S = а х в S = а х а

Пр.

а = S : в

Единицы массы

1 кг = 1000 г 1т = 1000кг

1 ц = 100 кг 1 т = 10 ц

Единицы времени

1 мин = 60 сек 1 сут. = 24 ч 1 век = 100г.

1 ч = 60 мин 1 г. = 12 мес

Устный счет 1 класс. Заполни таблицу. Презентация

Интерактивные задания изложены в краткой и логичной форме, не требуют больших затрат времени на их выполнение, способствуют формированию прочных вычислительных навыков и умений, повышают интерес к урокам математики, как одного из важнейших мотивов учебно-познавательной деятельности, способствуют развитию логического мышления и личностных качеств ребенка.

Просмотр содержимого документа
«Устный счет 1 класс. Заполни таблицу. Презентация»

Учись играя!

Заполни таблицу

Математика 1-2 класс

Жигулина Ольга Геннадьевна

учитель начальных классов

первая категория

Самарская область

г.Новокуйбышевск

Заполни таблицу

Слагаемое

Сумма

Заполни таблицу

1 слагаемое

2 слагаемое

сумма

Заполни таблицу

Уменьшаемое

Вычитаемое

Разность

Заполни таблицу

слагаемое

сумма

Реши примеры. Назови слово

7 – 6 = 3 + 2 = 5 + 3 =

7 – 4 = 4 + 3 = 8 – 6 =

10 – 6 = 8 + 2 =

6 + 3 =

4 + 2 =

Реши примеры. Назови слово

8 – 7 = 2 + 3 = 1 + 7 =

7 – 4 = 2 + 5 = 6 – 4 =

10 – 6 =

Угадай сказочного героя

47 – 7 =

27 – 2 =

53 + 6 =

39 – 30 =

40 + 8 =

73 – 70 =

36 – 12 =

Угадай сказочного героя

18 + 40 = 30 – 11 =

47 – 9 = 77 – 37 =

37 + 13 = 15 + 16 =

21 – 6 = 60 – 33 =

Заполни таблицу

Слагаемое

Сумма

Заполни таблицу

Слагаемое

Сумма

Заполни таблицу

Уменьшаемое

Вычитаемое

Разность

Заполни таблицу

Уменьшаемое

Вычитаемое

Разность

Заполни таблицу

Множитель

Произведение

Заполни таблицу

a • 4

a • 3

Заполни таблицу

a : 2

Заполни таблицу

a : 3

Заполни таблицу

a : 4

Заполни таблицу

a • 2

a • 3

Заполни таблицу

2 • a

3 • a

Заполни таблицу

2 • a

3 • a

Найди значения выражений

3 • 2 = 9 • 2 =

6 • 2 = 5 • 3 =

4 • 3 = 3 • 3 =

8 : 2 = 27 : 3 =

12 : 3 = 18 : 3 =

Правила сложения и вычитания. — таблицы Tehtab.ru

Правила сложения и вычитания.

1. От перемены мест слагаемых сумма не изменится (коммутативное свойство сложения)

Пример:

13+25=38, можно записать как: 25+13=38

2. Результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой (ассоциативное свойство сложения).

Пример:

10+13+3+5=31 можно записать как: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31 и т.д.

3. Единицы складываются с единицами, десятки с десятками и т.д.

Пример:

34+11=45 (3 десяка плюс еще 1 десяток; 4 единицы плюс 1 единица).

4. Единицы вычитаются из единиц, десятки из десятков и т.д.

Пример:

53-12=41 (3 единицы минус 2 единицы; 5 десятков минус 1 десяток)

примечание: 10 единиц составляют один десяток. Это надо помнить при вычитании, т.к. если количество единиц у вычитаемого больше, чем у уменьшаемого, то мы можем «занять» один десяток у уменьшаемого.

Пример:

41-12=29 (Для того чтобы и 1 вычесть 2, мы сначала должны «занять» единицу у десятков, получаем 11-2=9; помним, что у уменьшаемого остается на 1 десяток меньше, следовательно, остается 3 десятка и от него отнимается 1 десяток. Ответ 29).

5. Если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится второе слагаемое.

Это значит, что сложение можно проверить с помощью вычитания.

Пример:

42+7=49

Для проверки из суммы вычитают одно из слагаемых: 49-7=42 или 49-42=7

Примечание:

Если в результате вычитания вы не получили одно из слагаемых, значит в вашем сложении была допущена ошибка.

6. Если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое.

Это значит, что вычитание можно проверить сложением.

Пример:

69-50=19

Для проверки к разности прибавим вычитаемое: 19+50=69.

Примечание:

Если в результате описанной выше процедуры вы не получили уменшьшаемое, значит в вашем вычитании была допущена ошибка.

Нахождение неизвестного слагаемого, множителя, и т.п.: правила, примеры, решения

Чтобы научиться быстро и успешно решать уравнения, нужно начать с самых простых правил и примеров. В первую очередь надо научиться решать уравнения, слева у которых стоит разность, сумма, частное или произведение некоторых чисел с одним неизвестным, а справа другое число. Иными словами, в этих уравнениях есть одно неизвестное слагаемое и либо уменьшаемое с вычитаемым, либо делимое с делителем и т.д. Именно об уравнениях такого типа мы с вами поговорим.

Эта статья посвящена основным правилам, позволяющим найти множители, неизвестные слагаемые и др. Все теоретические положения будем сразу пояснять на конкретных примерах.

Нахождение неизвестного слагаемого

Допустим, у нас есть некоторое количество шариков в двух вазах, например, 9. Мы знаем, что во второй вазе 4 шарика. Как найти количество во второй? Запишем эту задачу в математическом виде, обозначив число, которое нужно найти, как x. Согласно первоначальному условию, это число вместе с 4 образуют 9, значит, можно записать уравнение 4+x=9. Слева у нас получилась сумма с одним неизвестным слагаемым, справа – значение этой суммы. Как найти x? Для этого надо использовать правило:

Определение 1

Для нахождения неизвестного слагаемого надо вычесть известное из суммы.

В данном случае мы придаем вычитанию смысл, который является обратным смыслу сложения. Иначе говоря, есть определенная связь между действиями сложения и вычитания, которую можно в буквенном виде выразить так: если a+b=c, то c−a=b и c−b=a, и наоборот, из выражений c−a=b и c−b=a можно вывести, что a+b=c.

Зная это правило, мы можем найти одно неизвестное слагаемое, используя известное и сумму. Какое именно слагаемое мы знаем, первое или второе, в данном случае неважно. Посмотрим, как применить данное правило на практике.

Пример 1

Возьмем то уравнение, что у нас получилось выше: 4+x=9. Согласно правилу, нам нужно вычесть из известной суммы, равной 9, известное слагаемое, равное 4. Вычтем одно натуральное число из другого: 9-4=5. Мы получили нужное нам слагаемое, равное 5.

Обычно решения подобных уравнений записывают следующим образом:

Первым пишется исходное уравнение.
Далее мы записываем уравнение, которое получилось после того, как мы применили правило вычисления неизвестного слагаемого.
После этого пишем уравнение, которое получилось после всех действий с числами.

Такая форма записи нужна для того, чтобы проиллюстрировать последовательную замену исходного уравнения равносильными и отобразить процесс нахождения корня. Решение нашего простого уравнения, приведенного выше, правильно будет записать так:

4+x=9,x=9−4,x=5.

Мы можем проверить правильность полученного ответа. Подставим то, что у нас получилось, в исходное уравнение и посмотрим, выйдет ли из него верное числовое равенство. Подставим 5 в 4+x=9 и получим: 4+5=9. Равенство 9=9 верное, значит, неизвестное слагаемое было найдено правильно. Если бы равенство оказалось неверным, то нам следовало бы вернуться к решению и перепроверить его, поскольку это знак допущенной ошибки. Как правило, чаще всего это бывает вычислительная ошибка или применение неверного правила.

Нахождение неизвестного вычитаемого или уменьшаемого

Как мы уже упоминали в первом пункте, между процессами сложения и вычитания существует определенная связь. С ее помощью можно сформулировать правило, которое поможет найти неизвестное уменьшаемое, когда мы знаем разность и вычитаемое, или же неизвестное вычитаемое через уменьшаемое или разность. Запишем эти два правила по очереди и покажем, как применять их при решении задач.

Определение 2

Для нахождения неизвестного уменьшаемого надо прибавить вычитаемое к разности.

Пример 2

Например, у нас есть уравнение x-6=10. Неизвестно уменьшаемое. Согласно правилу, нам надо прибавить к разности 10 вычитаемое 6, получим 16. То есть исходное уменьшаемое равно шестнадцати. Запишем все решение целиком:

x−6=10,x=10+6,x=16.

Проверим получившийся результат, добавив получившееся число в исходное уравнение: 16-6=10. Равенство 16-16 будет верным, значит, мы все подсчитали правильно.

Переходим к следующему правилу.

Определение 3

Для нахождения неизвестного вычитаемого надо вычесть разность из уменьшаемого.

Пример 3

Воспользуемся правилом для решения уравнения 10-x=8. Мы не знаем вычитаемого, поэтому нам надо из 10 вычесть разность, т.е. 10-8=2. Значит, искомое вычитаемое равно двум. Вот вся запись решения:

10-x=8,x=10-8,x=2.

Сделаем проверку на правильность, подставив двойку в исходное уравнение. Получим верное равенство 10-2=8 и убедимся, что найденное нами значение будет правильным.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Перед тем, как перейти к другим правилам, отметим, что существует правило переноса любых слагаемых из одной части уравнения в другую с заменой знака на противоположный. Все приведенные выше правила ему полностью соответствуют.

Нахождение неизвестного множителя

Посмотрим на два уравнения: x·2=20 и 3·x=12. В обоих нам известно значение произведения и один из множителей, необходимо найти второй. Для этого нам надо воспользоваться другим правилом.

Определение 4

Для нахождения неизвестного множителя нужно выполнить деление произведения на известный множитель.

Данное правило базируется на смысле, который является обратным смыслу умножения. Между умножением и делением есть следующая связь: a·b=c при a и b, не равных 0, c: a=b, c: b=c и наоборот.

Пример 4

Вычислим неизвестный множитель в первом уравнении, разделив известное частное 20 на известный множитель 2. Проводим деление натуральных чисел и получаем 10. Запишем последовательность равенств:

x·2=20x=20:2x=10.

Подставляем десятку в исходное равенство и получаем, что 2·10=20. Значение неизвестного множителя было выполнено правильно.

Уточним, что в случае, если один из множителей нулевой, данное правило применять нельзя. Так, уравнение x·0=11 с его помощью решить мы не можем. Эта запись не имеет смысла, поскольку для решения надо разделить 11 на 0, а деление на нуль не определено. Подробнее о подобных случаях мы рассказали в статье, посвященной линейным уравнениям.

Когда мы применяем это правило, мы, по сути, делим обе части уравнения на другой множитель, отличный от 0. Существует отдельное правило, согласно которому можно проводить такое деление, и оно не повлияет на корни уравнения, и то, о чем мы писали в этом пункте, с ним полностью согласовано.

Нахождение неизвестного делимого или делителя

Еще один случай, который нам нужно рассмотреть, – это нахождение неизвестного делимого, если мы знаем делитель и частное, а также нахождение делителя при известном частном и делимом. Сформулировать это правило мы можем с помощью уже упомянутой здесь связи между умножением и делением.

Определение 5

Для нахождения неизвестного делимого нужно умножить делитель на частное.

Посмотрим, как применяется данное правило.

Пример 5

Решим с его помощью уравнение x:3=5. Перемножаем между собой известное частное и известный делитель и получаем 15, которое и будет нужным нам делимым.

Вот краткая запись всего решения:

x:3=5,x=3·5,x=15.

Проверка показывает, что мы все подсчитали верно, ведь при делении 15 на 3 действительно получается 5. Верное числовое равенство – свидетельство правильного решения.

Указанное правило можно интерпретировать как умножение правой и левой части уравнения на одинаковое отличное от 0 число. Это преобразование никак не влияет на корни уравнения.

Переходим к следующему правилу.

Определение 6

Для нахождения неизвестного делителя нужно разделить делимое на частное.

Пример 6

Возьмем простой пример – уравнение 21:x=3. Для его решения разделим известное делимое 21 на частное 3 и получим 7. Это и будет искомый делитель. Теперь оформляем решение правильно:

21:x=3,x=21:3,x=7.

Удостоверимся в верности результата, подставив семерку в исходное уравнение. 21:7=3, так что корень уравнения был вычислен верно.

Важно отметить, что это правило применимо только для случаев, когда частное не равно нулю, ведь в противном случае нам опять же придется делить на 0. Если же частным будет нуль, возможны два варианта. Если делимое также равно нулю и уравнение выглядит как 0:x=0, то значение переменной будет любым, то есть данное уравнение имеет бесконечное число корней. А вот уравнение с частным, равным 0, с делимым, отличным от 0, решений иметь не будет, поскольку таких значений делителя не существует. Примером может быть уравнение 5:x=0, которое не имеет ни одного корня.

Последовательное применение правил

Зачастую на практике встречаются более сложные задачи, в которых правила нахождения слагаемых, уменьшаемых, вычитаемых, множителей, делимых и частных нужно применять последовательно. Приведем пример.

Пример 7

У нас есть уравнение вида 3·x+1=7. Вычисляем неизвестное слагаемое 3·x, отняв от 7 единицу. Получим в итоге 3·x=7−1, потом 3·x=6. Это уравнение решить очень просто: делим 6 на 3 и получаем корень исходного уравнения.

Вот краткая запись решения еще одного уравнения (2·x−7):3−5=2:

(2·x−7):3−5=2,(2·x−7):3=2+5,(2·x−7):3=7,2·x−7=7·3,2·x−7=21,2·x=21+7,2·x=28,x=28:2,x=14.

Правила сложения и вычитания. — Инженерный справочник DPVA.ru / Технический справочник ДПВА / Таблицы для инженеров (ex DPVA-info)

Правила сложения и вычитания.

1. От перемены мест слагаемых сумма не изменится (коммутативное свойство сложения)

Пример:

13+25=38, можно записать как: 25+13=38

Пример:

10+13+3+5=31 можно записать как: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31 и т.д.

3. Единицы складываются с единицами, десятки с десятками и т.д.

Пример:

34+11=45 (3 десяка плюс еще 1 десяток; 4 единицы плюс 1 единица).

4. Единицы вычитаются из единиц, десятки из десятков и т.д.

Пример:

53-12=41 (3 единицы минус 2 единицы; 5 десятков минус 1 десяток)

Пример:

5. Если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится второе слагаемое.

Это значит, что сложение можно проверить с помощью вычитания.

Пример:

42+7=49

Для проверки из суммы вычитают одно из слагаемых: 49-7=42 или 49-42=7

Примечание:

Если в результате вычитания вы не получили одно из слагаемых, значит в вашем сложении была допущена ошибка.

6. Если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое.

Это значит, что вычитание можно проверить сложением.

Пример:

69-50=19

Для проверки к разности прибавим вычитаемое: 19+50=69.

Примечание:

Сложение чисел 5,6,7,8,9. Слагаемое, слагаемое, сумма

Б: — Здравствуйте, а что вы делаете.

Л: — Дядя Филя сказал вот по этим рисункам составить и решить два примера.

Б: — Ну и как у вас получается?

Ё: — Не очень.

Б: — Это же так легко. Смотрите. На первом рисунке у нас слева три яблока а справа два.

Значит можно составить следующий пример:

Ё: А на втором рисунке наоборот слева два яблока, а справа три.

Второй пример у нас записан теми же цифрами, что и первый, и ответ при этом не изменился. Значит можно сделать вывод: при сложении числа можно менять местами и ответ при этом не изменится.

Ё: — Все понятно. Интересно, а зачем дядя Филя дал нам такое задание?

Б: — Ну, наверное, после этого задания он хотел вам рассказать, как к числу можно прибавлять числа пять, шесть, семь, восемь и девять.

Ё: — Столько много чисел. Наверное, очень сложно в этом разобраться.

Б: — И вовсе не сложно. Давайте подумаем, как можно к трем прибавить пять.

Ё: — Я наверное знаю. Можно поменять местами пять и три. А как к пяти прибавить три мы уже знаем. Будет восемь.

Б: — Все верно. К трем прибавить пять можно и по частям. Для этого надо вспомнить состав числа пять.

Значит, чтобы к трем прибавить пять можно сначала прибавить три, а потом еще два. Три да три будет шесть, да еще два будет восемь. Или чтобы к трем прибавить пять, можно сначала прибавить один а потом еще четыре. Тоже будет восемь.

Видите, не смотря на то что мы к трем прибавляли пять, по разному ответ при этом не изменился. А теперь попробуйте сами решить следующие примеры.

Л: — Легко. При сложении мы числа поменяем местами и у нас получатся уже ранее изученные примеры. Получим:

Б:- Все верно. Видите, как все оказывается просто. А знаете ли вы, что в математике числа при сложении имеют свои названия. Например, в примере: 6+2=8, число шесть называется первое слагаемое, число два называется второе слагаемое, а результат, который получится при сложении, называется сумма. Эту запись иногда читают так сумма чисел шесть и два равна восьми, или первое слагаемое шесть, второе два. Сумма равна восьми.

Л:- Белочка, ты такая умная. Откуда ты все знаешь?

Б:- Так мне дядя Филя уже все рассказал. А еще он дал мне одну интересную электронную игру, в которой надо записать примеры цифрами и посчитать ответ. И если мы правильно посчитаем, то кто-то должен появится.

Ё:- Все понятно. Белочка, давай я первый начну. Итак. Первое слагаемое два, второе семь. Найти сумму. Запишем:

Чтобы удобнее было посчитать, мысленно поменяем слагаемые местами. Проверим. Все верно.

Л:- Теперь моя очередь. Сумма чисел пять и три. Значит надо записать

Проверим. Все верно. Белочка. Теперь твоя очередь.

Б: — Первое слагаемое один, второе слагаемое девять. Запишем.

Проверим. Тоже верно.

Ё:- Да хорошую тебе игру дядя Филя дал.

Б:- А еще дядя Филя дал мне вот такие таблички и сказал, чтобы я их запомнила.

Ну, вот и подошел к концу наш урок. Скажите, что вы запомнили?

Ё: При сложении числа можно менять местами или прибавлять по частям. И удобнее считать, когда к большему числу прибавляешь меньшее.

Л: — А я запомнил, что числа при сложении называются так: первое слагаемое и второе слагаемое, а ответ, который получится называется суммой.

— Молодцы. Ну что, пошлите к дяде Филе. Он нам что-нибудь еще интересное расскажет.

Сумма первых n членов арифметической последовательности

Предположим, что последовательность номеров арифметика (то есть он увеличивается или уменьшается на постоянную величину для каждого члена), и вы хотите найти сумму первых п условия.

Обозначим эту частичную сумму через S п . Затем

S п знак равно п ( а 1 + а п ) 2 ,
где п это количество терминов, а 1 это первый член и а п это последний срок.

Сумма первых п члены арифметической последовательности называются арифметический ряд .

Пример 1:

Найдите сумму первых 20 члены арифметического ряда, если а 1 знак равно 5 и а 20 знак равно 62 .

S 20 знак равно 20 ( 5 + 62 ) 2 S 20 знак равно 670

Пример 2:

Найдите сумму первых 40 термины арифметики последовательность 2 , 5 , 8 , 11 , ⋯ .

Сначала найдите 40 th срок:

а 40 знак равно а 1 + ( п — 1 ) d знак равно 2 + 39 ( 3 ) знак равно 119

Затем найдите сумму:

S п знак равно п ( а 1 + а п ) 2 S 40 знак равно 40 ( 2 + 119 ) 2 знак равно 2420

Пример 3:

Найдите сумму:

∑ k знак равно 1 50 ( 3 k + 2 )

Первая находка а 1 и а 50 :

а 1 знак равно 3 ( 1 ) + 2 знак равно 5 а 50 знак равно 3 ( 50 ) + 2 знак равно 152

Затем найдите сумму:

S k знак равно k ( а 1 + а k ) 2 S 50 знак равно 50 ( 5 + 152 ) 2 знак равно 3925

Смотрите также: сигма-обозначение ряда и n-й член арифметической последовательности

Сумма N условий AP | Решенные примеры | Алгебра

Содержание

Мы в Cuemath считаем, что математика — это жизненный навык.Наши эксперты по математике сосредотачиваются на том, «почему» стоит за «что». Учащиеся могут исследовать огромное количество интерактивных листов, наглядных пособий, симуляторов, практических тестов и многого другого, чтобы глубже понять концепцию.

Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня! и поучаствуйте в онлайн-классе Cuemath LIVE вместе со своим ребенком.

Введение

В 19 годах в Германии преподавали математику для 10 класса.

Учитель попросила своих учеников просуммировать все числа от \ (1 \) до \ (100 \).

Студенты пытались подсчитать сумму всех этих чисел.

Один мальчик выкрикнул ответ \ (5050 \), в то время как другие ученики все еще находились на начальных этапах подсчета суммы.

Этим мальчиком был великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс.

Как он так быстро пришел к сумме?

Ну, он заметил, что члены, равноотстоящие от начала и до конца ряда, имеют постоянную сумму, равную \ (101 \).

Мы видим, что в последовательности \ (1,2,3 ,.{th} \) срок, \ (a_n \) известен:

\ [S_n = \ frac {n} {2} [a_1 + a_n] \]

Как получить эти формулы?

Мы будем использовать ту же логику, которую использовал выше Карл Фридрих Гаусс.

Рассмотрим арифметическую прогрессию с \ (n \) членами:

\ [a, a + d, a + 2d, … (a + (n-2) d), (a + (n-1) d) \]

Сумма \ (n \) членов этой прогрессии составляет:

\ [S_n = a + (a + d) + \ ldots + (a + (n-2) d) + (a + (n-1) d) \, \, \, \, \, \, \ rightarrow (1) \]

Путем изменения порядка членов этого уравнения:

\ [S_n = (a + (n-1) d) + (a + (n-2) d) + \ ldots + (a + d) + a \, \, \, \, \, \, \ rightarrow (2 ) \]

Мы видим, что сумма соответствующих членов уравнения (1) и уравнения (2) дает ту же сумму, которая равна \ (2a + (n-1) d \).

Мы знаем, что в указанном выше AP есть полностью \ (n \) терминов.

Итак, сложив (1) и (2), мы получим:

\ [\ begin {align}
2S_n & = n (2a + (n-1) d) \\ [0,3 см]
S_n & = \ frac {n} {2} (2a + (n-1) d)
\ end {align} \]

Вышеупомянутая сумма уравнения арифметической прогрессии может быть записана как:

\ [\ begin {align}
S_n & = \ frac {n} {2} (2a + (n-1) d) \\ [0,3 см]
S_n & = \ frac {n} {2} (a + a + (n-1) d) \\ [0.3см]
S_n & = \ frac {n} {2} (a_1 + a_n) [\ потому что a_n = a + (n-1) d \ text {and} a = a_1]
\ end {align} \]

Таким образом, сумма уравнений арифметической прогрессии равна:

\ (\ begin {align}
S_n & = \ frac {n} {2} (2a + (n-1) d) \\ [0,3 см]
S_n & = \ frac {n} {2} (a_1 + a_n)
\ end {align} \)

Давайте взглянем на следующую блок-схему, чтобы получить представление о формуле, которая должна использоваться для нахождения суммы арифметической прогрессии в соответствии с доступной нам информацией.

CLUEless по математике? Узнайте, как учителя CUEMATH объяснят вашему ребенку Сумма из n условий AP , используя интерактивные модели и рабочие листы, чтобы им больше никогда не приходилось запоминать что-либо по математике!

Изучите интерактивные и персонализированные онлайн-классы Cuemath, чтобы сделать своего ребенка экспертом по математике. Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня!

Сумма AP натуральных чисел

AP натуральных чисел:

\ [1,2,3 ,…, п, … \]

Найдем сумму \ (n \) членов AP натуральных чисел.

Это будет:

\ [1 + 2 + 3 + … + n \]

Мы можем найти сумму двумя способами, используя две приведенные выше формулы.

Метод 1

Здесь,

Первый член — \ (a = 1 \).

Общая разница: \ (d = 1 \).

Количество терминов \ (n \).

Подставьте все эти значения в первую сумму формулы AP:

\ [\ begin {align}
S_n & = \ frac {n} {2} (2a + (n-1) d) \\ [0.3см]
S_n & = \ frac {n} {2} (2 (1) + (n-1) 1) \\ [0,3 см]
S_n & = \ frac {n} {2} (2 + n-1) \\ [0,3 см]
S_n & = \ frac {n (n + 1)} {2}
\ end {align} \]

Метод 2

Здесь,

Первый член — \ (a_1 = 1 \).

n-й член вышеуказанного AP равен \ (a_n = n \).

Подставьте все эти значения во вторую сумму формулы AP:

\ [\ begin {align}
S_n & = \ frac {n} {2} (a_1 + a_n) \\ [0,3 см]
S_n & = \ frac {n} {2} (1 + n) \\ [0.3см]
S_n & = \ frac {n (n + 1)} {2}
\ end {align} \]

Таким образом, из описанных выше методов сумма AP натуральных чисел равна:

Сумма AP натуральных чисел \ (= \ dfrac {n (n + 1)} {2} \)

Сумма бесконечных AP

Рассмотрим пример суммы бесконечной AP.

\ [2+ 5 + 8 + … \]

Здесь первый член \ (a = 2 \).

Общая разница: \ (d = 3 \).

Количество терминов: \ (n = \ infty \).

Подставьте все эти значения в формулу суммы AP:

\ [\ begin {align}
S_n & = \ frac {n} {2} (2a + (n-1) d) \\ [0,3 см]
S_n & = \ frac {\ infty} {2} (2 (2) + (\ infty-1) 3) \\ [0,3 см]
S_n & = \ infty
\ end {align} \]

Мы обнаружили, что сумма бесконечных AP равна \ (\ infty \), когда

\ (d> 0 \).

Таким же образом сумма бесконечных AP равна \ (- \ infty \), когда

\ (d <0 \).

Таким образом,

\ (\ text {Сумма бесконечных чисел} A P = \ left \ {\ begin {array} {ll}
\ infty, & \ text {if} \ quad d> 0 \ [0,3 см]
— \ infty, & \ text {if} \ quad d <0
\ end {array} \ right.
\)

Важные примечания

Сумма арифметической прогрессии, первый член которой равен \ (a \), а общая разница равна \ (d \), может быть вычислена по одной из следующих формул:
\ [\ begin {align}
S_n & = \ frac {n} {2} (2a + (n-1) d) \\ [0.3см]
S_n & = \ frac {n} {2} (a_1 + a_n)
\ end {align} \]
Сумма AP натуральных чисел \ (n \) равна:
\ [\ Dfrac {n (n + 1)} {2} \]
Сумма бесконечных AP:
\ [\ left \ {\ begin {array} {ll}
\ infty, & \ text {if} \ quad d> 0 \ [0,3 см]
— \ infty, & \ text {if} \ quad d <0
\ end {array} \ right.
\]

Калькулятор суммы AP

Мы можем узнать сумму AP, используя следующий «Калькулятор суммы AP», введя первый член, общую разницу и количество членов.

Помогите своему ребенку набрать больше баллов с помощью запатентованного БЕСПЛАТНОГО диагностического теста Cuemath. Получите доступ к подробным отчетам, индивидуальным планам обучения и БЕСПЛАТНОЙ консультации. Попытайтесь проверить сейчас.

Решенные примеры

Вычислите следующую сумму:

\ [S = \ underbrace {190 + 167 + 144 + 121 + \ ldots} _ {20 \ text {terms}} \]

Решение:

Нам неизвестен последний член в этой последовательности, поэтому мы будем использовать первую формулу для вычисления этой суммы, которая составляет:

\ [S = \ frac {n} {2} (2a + (n-1) d) \]

Здесь имеем:

\ [a = 190, \ quad d = -23, \ quad n = 20 \]

Подставляя все эти значения в формулу выше,

\ [\ begin {align} S & = \ frac {20} {2} (2 (190) + (20-1) (- 23)) \\ [0.3см]
& = 10 (380-437) \\ [0,3 см]
& = 10 (-57) \\ [0,3 см]
& = — 570
\ end {align} \]

Рассмотрим следующую точку доступа:

\ [24,21,18, \ ldots \]

Сколько членов этой AP нужно рассмотреть, чтобы их сумма была \ (78 \)?

Решение:

Обозначим количество членов, дающих сумму \ (78 \), как \ (n \).

У нас:

\ [a = 24, d = -3, \ quad S = 78 \]

Подставляя все эти значения в первую формулу суммы AP,

\ [\ begin {align}
S = & \ frac {n} {2} (2 a + (n-1) d) \\ [0.{2} -17 n + 52 = 0 \\ [0,3 см]
\ Rightarrow & (n-4) (n-13) = 0 \\ [0,3 см]
\ Rightarrow & n = 4, \, \, 13
\ end {align}
\]

\ (\ следовательно \ begin {align}
\ text {Сумма 4-х членов} & = 78 \\
\ text {Сумма 13 членов} & = 78 \\
\ end {align} \)

Учитывая \ (a = 5 \), \ (d = 3 \) и \ (a_n = 50 \), найдите значение \ (S_n \).{th} \) член AP, мы используем следующую формулу, чтобы найти сумму:

\ [\ begin {align} S_n & = \ frac {n} {2} (a_1 + a_n) \\ [0,3 см] S_n & = \ frac {16} {2} (5 + 50) \\ [0,3 см ] S_n & = 8 (55) \\ [0,3 см] S_n & = 440 \ end {align} \]

Сложные вопросы

Найдите сумму \ (7 + 10 \ frac {1} {2} +14+ \ ldots + 84 \).
Найдите сумму \ (\ frac {1} {15}, \ frac {1} {12}, \ frac {1} {10}, \ ldots, \ text {to} 13 \ text {terms.} \)
Сколько членов АП \ (9,17,25, \ ldots \).нужно взять, чтобы получить сумму \ (636 \)?

Практические вопросы

Образцы материалов олимпиады по математике

IMO (Международная олимпиада по математике) — это конкурсный экзамен по математике, который ежегодно проводится для школьников. Он побуждает детей развивать свои навыки решения математических задач с точки зрения соревнований.

Вы можете БЕСПЛАТНО скачать образцы работ по оценкам ниже:

Чтобы узнать больше об олимпиаде по математике щелкните здесь

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

1. Какова сумма арифметической последовательности?

Сумма арифметической последовательности — это «сумма первых \ (n \) членов» последовательности, и ее можно найти с помощью одной из следующих формул:

\ [\ begin {align}
S_n & = \ frac {n} {2} (2a + (n-1) d) \\ [0.{th} \) срок

\ (S_n \) = сумма первых \ (n \) членов.

2. Какова сумма n членов AP?

\ [\ begin {align}
S_n & = \ frac {n} {2} (2a + (n-1) d) \\ [0,3 см]
S_n & = \ frac {n} {2} (a_1 + a_n)
\ end {align} \]

Здесь,

\ (a = a_1 \) = первый член

\ (d \) = общая разница

\ (n \) = количество терминов

\ (a_n = n ^ {th} \) срок

\ (S_n \) = сумма первых \ (n \) членов. {th} \) срок
\ (S_n \) = сумма первых \ (n \) членов.{n} -1 \ right)} {r-1} \]
Здесь
\ (a \) = первый член
\ (r \) = обыкновенное отношение
\ (n \) = количество терминов
\ (S_n \) = сумма первых \ (n \) членов.

4. Какова формула \ (S_n \)?

Мы используем несколько формул при нахождении суммы ряда, представленного как \ (S_n \).

Если серия AP, то мы используем следующие формулы, чтобы найти сумму.
\ [\ begin {align}
S_n & = \ frac {n} {2} (2a + (n-1) d) \\ [0.{n} -1 \ right)} {r-1} \]
Здесь
\ (a \) = первый член
\ (r \) = обыкновенное отношение
\ (n \) = количество терминов
\ (S_n \) = сумма первых \ (n \) членов.

Произведение выражения суммы в булевой алгебре

В учебнике, посвященном выражению Sum-of-Product (SOP), мы увидели, что оно представляет собой стандартное логическое (переключающее) выражение, которое «суммирует» два или более «продуктов», беря выходные данные из двух или более логических элементов AND и ИЛИ объедините их вместе, чтобы создать окончательный результат.Но мы также можем взять выходы двух или более вентилей ИЛИ и подключить их в качестве входов к вентилю И, чтобы получить выход «Произведение суммы» (логика ИЛИ-И).

В булевой алгебре сложение двух значений эквивалентно функции логического ИЛИ, в результате чего получается член «Сумма», когда две или более входных переменных или констант соединяются вместе «ИЛИ». Другими словами, в булевой алгебре функция ИЛИ эквивалентна сложению, поэтому ее выходное состояние представляет собой «сумму» входных данных.

Произведение суммы выражений — это логические выражения, составленные из сумм, состоящих из одной или нескольких переменных, либо в его нормальной истинной форме, либо в дополненной форме, либо в комбинации оба, которые затем объединяются AND.Если логическая функция нескольких переменных выражается в терминах произведения суммы, то каждый член называется максимальным членом. То есть переменная принимается как логический «0», как мы увидим позже. Но сначала давайте разберемся, что представляет собой сумма , срок .

Сумма (ИЛИ) Срок

В то время как функция И обычно упоминается как член Произведение , функция ИЛИ упоминается как член суммы. Функция ИЛИ является математическим эквивалентом сложения, которое обозначается знаком плюс (+).Таким образом, логический элемент ИЛИ с 2 входами имеет выходной член, представленный логическим выражением A + B, потому что это логическая сумма A и B.

OR Gate (Сумма)

Эта логическая сумма обычно известна как логическое сложение, так как функция ИЛИ дает суммированный член двух или более входных переменных или констант. Таким образом, логическое уравнение для логического элемента ИЛИ с двумя входами задается следующим образом: Q = A + B, то есть Q равно как A OR B. »Или« 0 », либо иметь дополненную форму, поэтому A + B, A + B или A + B классифицируются как суммы.

Итак, теперь мы знаем, что в булевой алгебре «сумма» означает объединение «ИЛИ» членов с переменными в термине суммы, имеющем один экземпляр в его истинной неполной форме или в его дополненной форме, так что результирующее выражение суммы не может быть упрощено. дальше. Эти термины суммы известны как maxterms , то есть максимальный член представляет собой полную сумму всех переменных и констант с инверсией или без нее в логическом выражении. Итак, как мы можем показать работу этой функции «суммы» в логической Альбегре.

Член суммы может иметь одну или две независимые переменные, такие как A и B, или он может иметь одну или две фиксированные константы, снова 0 и 1. Мы можем использовать эти переменные и константы в различных комбинациях, давая Суммируйте результат, как показано в следующих списках.

Суммы булевой алгебры

Переменные и константы
А + 0 = А
А + 1 = 1
А + А = А
А + А = 1

Только константы
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1

Обратите внимание, что логическая «переменная» может иметь одно из двух значений, либо «1», либо «0», и может изменять свое значение.Например, A = 0 или A = 1, тогда как логическая «константа», которая также может иметь форму «1» или «0», является фиксированным значением и поэтому не может изменяться.

Затем мы видим, что любую заданную логическую сумму можно упростить до единственной константы или переменной с кратким описанием различных логических законов, приведенных ниже, где «A» представляет входную переменную.

Закон идентичности — Термин ИЛИ с 0 всегда равен члену (A + 0 = A)
Закон об аннулировании — Член ИЛИ с 1 всегда равен 1 (A + 1 = 1)
Закон идемпотентности — Термин ИЛИ с самим собой всегда равен термину (A + A = A)
Закон о дополнении — Термин, соединенный ИЛИ с дополнением, всегда равен 1 (A + A = 1)
Коммутативный закон — Порядок, в котором два термина объединяются ИЛИ, одинаков (A + 1 = 1 + A)

Условие продукта (AND)

В то время как функцию ИЛИ обычно называют термином суммы, функция И называется термином произведения.Функция И — это математический эквивалент умножения, который обозначается крестиком (x) или знаком звезды (*). Таким образом, логический элемент И с двумя входами имеет выходной член, представленный логическим выражением A.B, потому что он является логическим произведением A и B.

Ворота И (Изделие)

Это логическое произведение широко известно как логическое умножение, так как функция И производит умноженный член двух или более входных переменных или констант. Но пока вспомним, что функция И представляет термин продукта .

Произведение на сумму

Итак, мы видели, что функция ИЛИ производит логическую сумму логического сложения, а функция И — логическую сумму логического умножения. Но когда мы имеем дело с комбинационными логическими схемами, в которых элементы И, элементы ИЛИ и элементы НЕ соединены вместе, широко используются выражения Произведение суммы .

Выражение Произведение суммы (POS) происходит из того факта, что две или более суммы (OR) складываются (AND) вместе.То есть выходы двух или более вентилей ИЛИ подключены к входу логического элемента И, так что они эффективно соединяются вместе для создания конечного выхода (ИЛИ, И). Например, следующая логическая функция является типичным выражением произведения суммы:

Произведение выражений сумм

Q = (A + B). (B + C). (A + 1)

, а также

(А + В + С). (А + С). (В + С)

Однако булевы функции также могут быть выражены в нестандартном произведении форм суммы, как показано ниже, но они могут быть преобразованы в стандартную форму POS, используя закон распределения для расширения выражения по отношению к сумме.Следовательно:

Q = A + (BC)

Составляется в расширенном произведении суммы:

Q = (A + B) (A + C)

Другой нестандартный пример:

Q = (A + B) + (A.C)

Становится расширенным выражением произведения суммы:

Q = (A + B + A) (A + B + C)

, который при необходимости может быть уменьшен с использованием закона распределения и закона поглощения , а также закона :

Q = (A + B) (A + B + C)

Q = A + B + C

Q = A + B

Преобразование POS-выражения в таблицу истинности

Мы можем отобразить любой член произведения суммы в форме таблицы истинности, поскольку каждая входная комбинация, которая дает логический «0» на выходе, является термином ИЛИ или суммой, как показано ниже.

Рассмотрим следующий результат на выражение суммы :

Q = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C)

Теперь мы можем составить таблицу истинности для приведенного выше выражения, чтобы показать список всех возможных входных комбинаций для A, B и C, которые приведут к выходу «0».

Продукт формы таблицы истинности суммы

9015

Входы			Выход	Продукт
C	B	A	Q
0	0	C
0	0	1	1
0	1	0	0	A + B + C
1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1		1 + B + C
1	1	1	1

Тогда мы можем ясно видеть из таблицы истинности, что каждая строка, которая дает «0» для своего вывода, соответствует своему логическому выражению сложения со всеми другими строками, имеющими на выходе «1».Преимущество здесь состоит в том, что таблица истинности дает нам визуальное представление о логическом выражении, позволяя нам упростить выражение, помня о том, что член суммы дает на выходе «0», когда все его входные данные равны «0». Итак, чтобы сделать строку суммирующего члена равной «0», мы должны инвертировать все входные данные, которые равны «1».

Пример произведения суммы

Следующее выражение булевой алгебры имеет вид:

Q = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C)

1.Используйте таблицу истинности, чтобы показать все возможные комбинации входных условий, при которых на выходе будет «0».

2. Нарисуйте схему логического элемента для выражения POS.

1. Таблица истинности

Продукт формы таблицы истинности суммы

Входы			Выход	Продукт
C	B	A	Q
0	0	C
0	0	1	1
0	1	0	0	A + B + C	1
1	0	0	1
1	0	1	0	9016	1	0	0	A + B + C
1	1	1	1

2.Схема логического шлюза

Затем мы увидели в этом руководстве, что выражение Product-of-Sum (POS) является стандартным логическим выражением, которое принимает «Продукт» из двух или более «сумм». Для цифровой логической схемы выражение POS берет выходной сигнал двух или более логических элементов ИЛИ и соединяет их вместе, чтобы создать окончательный логический выход ИЛИ-И.

Сумма выражения произведения в булевой алгебре

Булева алгебра — это простой и эффективный способ представления переключающего действия стандартных логических вентилей, и был изобретен набор правил или законов, помогающих уменьшить количество логических вентилей, необходимых для выполнения конкретной логической операции.Булева алгебра — это математика цифровой логики, которую мы используем для анализа вентилей и схем переключения, например, для вентильных функций И, ИЛИ и НЕ, также известных как «Полный набор» в теории переключений.

В математике число или количество, полученное умножением двух (или более) чисел, называется произведением . Например, если мы умножим число 2 на 3, в результате получится 6, так как 2 * 3 = 6, поэтому «6» будет номером продукта.

В булевой алгебре умножение двух целых чисел эквивалентно операции логического И, в результате чего получается термин «Продукт», когда две или более входных переменных соединяются вместе «И».Другими словами, в булевой алгебре функция И является эквивалентом умножения, и поэтому ее выходное состояние представляет собой произведение входных данных.

Ворота И (Изделие)

В отличие от традиционной математики, которая использует крест (x) или звезду (*) для представления действия умножения, функция AND представлена в логическом умножении одной точкой (.). Таким образом, логическое уравнение для логического элемента И с двумя входами имеет вид: Q = A.B, то есть Q равно как A, так и B.Для термина продукта эти входные переменные могут иметь значение «истина» или «ложь», «1» или «0» или иметь дополненную форму, поэтому все термины A.B, A.B или A.B классифицируются как термины продукта.

Срок действия продукта (И)

Итак, теперь мы знаем, что в булевой алгебре «продукт» означает объединение терминов с переменными в термине продукта, имеющем один экземпляр в его истинной форме или в его дополненной форме, таким образом, чтобы полученный продукт не мог быть упрощен дальше. Они известны как минтермов .Итак, как мы можем показать работу этой функции «продукта» в Boolean Albegra.

Термин продукта может иметь одну или две независимые переменные, такие как A и B, или он может иметь одну или две фиксированные константы, снова 0 и 1. Мы можем использовать эти переменные и константы в различных комбинациях и производить результат продукта, как показано в следующих списках.

Условия продукта для булевой алгебры

Переменные и константы
А. 0 = 0
А.1 = A
А. А = А
А. А = 0

Только константы
0. 0 = 0
0. 1 = 0
1. 0 = 0
1. 1 = 1

Обратите внимание, что логическая «переменная» может иметь одно из двух значений, либо «1», либо «0», и может изменять свое значение. Например, A = 0 или A = 1, тогда как логическая «константа», которая также может иметь форму «1» или «0», является фиксированным значением и поэтому не может изменяться.

Затем мы видим, что любое данное логическое произведение может быть упрощено до единственной константы или переменной с кратким описанием различных логических законов, приведенных ниже, где «A» представляет входную переменную.

Закон об аннулировании — Член AND с 0 всегда равен 0 (A.0 = 0)
Закон об идентичности — Член AND с 1 всегда равен члену (A.1 = A)
Закон идемпотентности — Термин, соединенный с самим собой, всегда равен термину (A.A = A)
Закон о дополнении — Член AND с дополнением всегда равен 0 (A.A = 0)
Коммутативный закон — Порядок, в котором два термина объединяются AND, одинаков (A.1 = 1.A)

Сумма (ИЛИ) Срок

В то время как функцию И обычно называют термином произведения, функция ИЛИ называется термином суммы. Функция ИЛИ является математическим эквивалентом сложения, которое обозначается знаком плюс (+). Таким образом, логический элемент ИЛИ с 2 входами имеет выходной член, представленный логическим выражением A + B, потому что это логическая сумма A и B.

OR Gate (Сумма)

Эта логическая сумма обычно известна как логическое сложение, так как функция ИЛИ дает суммированный член двух или более входных переменных или констант.В следующем уроке мы рассмотрим функцию ИЛИ и логическое сложение более подробно, а пока вспомним, что функция ИЛИ представляет собой термин суммы .

Сумма продуктов

Итак, мы видели, что функция И дает логическое произведение логического умножения, а функция ИЛИ дает логическую сумму логического сложения. Но при работе с комбинационными логическими схемами, в которых элементы И, ИЛИ и элементы НЕ соединены вместе, широко используются выражения суммы произведений и произведения сумм .

Выражение Сумма произведения (СОП) происходит из того факта, что два или более продукта (И) суммируются (ИЛИ) вместе. То есть выходы двух или более вентилей И соединяются со входом логического элемента ИЛИ, так что они эффективно объединяются ИЛИ для создания окончательного логического выхода И-ИЛИ. Например, следующая логическая функция является типичным выражением суммы произведений:

Сумма выражения произведения

Q = (A.B) + (B.C) + (A.1)

, а также

(А.До н.э.) + (A.C) + (до н.э.)

Тем не менее, логические функции также могут быть выражены в нестандартных формах суммы продуктов, как показано ниже, но их можно преобразовать в стандартную форму СОП, расширив выражение. Итак:

Q = A.B (C + C) + ABC

Становится в сумме произведенной продукции:

Q = A.B.C + A.B.C + ABC

На самом деле это большое выражение СОП может быть дополнительно сокращено с помощью законов булевой алгебры, чтобы получить сокращенное выражение СОП:

Q = А.B + A.C

Преобразование выражения СОП в таблицу истинности

Мы можем отобразить любой член суммы произведений в форме таблицы истинности, поскольку каждая комбинация входов, дающая логическую «1» на выходе, является термином И или продуктом, как показано ниже.

Рассмотрим следующее выражение суммы продукта :

Q = A.B.C + A.B.C + A.B.C

Теперь мы можем составить таблицу истинности для приведенного выше выражения, чтобы показать список всех возможных входных комбинаций для A, B и C, которые приведут к выходу «1».

Форма таблицы истинности продукта

9015

Входы			Выход	Продукт
C	B	A	Q
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0 0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1	1	A.ВС
1	0	0	0
1	0	1	1	ABC
1 ABC
1	1	1	0

Тогда мы можем ясно видеть из таблицы истинности, что каждая строка продукта, которая дает «1» для своего вывода, соответствует своему логическому выражению умножения, со всеми другими строками, имеющими выход «0», поскольку «1» всегда выводится из ворота ИЛИ.

Очевидно преимущество здесь в том, что таблица истинности дает нам визуальную индикацию логического выражения, позволяя нам упростить выражение. Например, указанный выше термин суммы произведений можно упростить до: Q = A. (B + B.C), если требуется.

Пример суммы продукта

Следующее выражение булевой алгебры имеет вид:

Q = A (BC + BC + BC) + ABC

1. Преобразуйте это логическое уравнение в эквивалентный член СОП.

2. Используйте таблицу истинности, чтобы показать все возможные комбинации входных условий, которые дадут результат.

3. Нарисуйте схему логического элемента для выражения.

1. Преобразовать в термин СОП

Q = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C

2. Таблица истинности

Форма таблицы истинности продукта

Входы			Выход	Продукт
C	B	A	Q
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0 0	1	0
0	1	0	1	A.BC
0	1	1	0
1	0	0	1	ABC	ABC
ABC

1	1	0	1	ABC
1	1	1	1 AB16К

3. Схема СОП логического шлюза

Затем мы увидели в этом руководстве, что выражение Sum-of-Products (SOP) является стандартным логическим выражением, которое «суммирует» два или более «Products», и что для цифровой логической схемы выражение SOP принимает выходные данные два или более логических элемента И и их ИЛИ вместе для создания окончательного (И-ИЛИ) вывода.

Написание членов последовательности, определяемой рекурсивной формулой

Последовательности естественным образом встречаются в структурах роста раковин наутилуса, сосновых шишек, ветвей деревьев и многих других природных структур.Мы можем видеть последовательность в расположении листьев или ветвей, количество лепестков цветка или узор камер в раковине наутилуса. Их рост следует последовательности Фибоначчи, известной последовательности, в которой каждый член можно найти, добавив два предыдущих члена. Цифры в последовательности: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…. Другими примерами из мира природы, которые демонстрируют последовательность Фибоначчи, являются лилия Калла, у которой всего один лепесток, Черноглазая Сьюзен с 13 лепестками и различные разновидности ромашек, у которых может быть 21 или 34 лепестка.

Каждый член последовательности Фибоначчи зависит от членов, стоящих перед ним. Последовательность Фибоначчи не может быть легко записана с использованием явной формулы. Вместо этого мы описываем последовательность, используя рекурсивную формулу , формулу, которая определяет термины последовательности с использованием предыдущих терминов.

Рекурсивная формула всегда состоит из двух частей: значения начального члена (или членов) и уравнения, определяющего [латекс] {a} _ {n} [/ latex] в терминах предыдущих терминов. Например, предположим, что мы знаем следующее:

[латекс] \ begin {array} {l} {a} _ {1} = 3 \ hfill \\ {a} _ {n} = 2 {a} _ {n — 1} -1, \ text {для } n \ ge 2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Мы можем найти последующие члены последовательности, используя первый член.

[латекс] \ begin {array} {l} {a} _ {1} = 3 \\ {a} _ {2} = 2 {a} _ {1} -1 = 2 \ left (3 \ right) -1 = 5 \\ {a} _ {3} = 2 {a} _ {2} -1 = 2 \ left (5 \ right) -1 = 9 \\ {a} _ {4} = 2 {a } _ {3} -1 = 2 \ влево (9 \ вправо) -1 = 17 \ end {array} [/ latex]

Итак, первые четыре члена последовательности: [latex] \ left \ {3, \ text {} 5, \ text {} 9, \ text {} 17 \ right \} [/ latex].

Рекурсивная формула для последовательности Фибоначчи устанавливает первые два члена и определяет каждый последующий член как сумму двух предыдущих членов.

[латекс] \ begin {array} {l} {a} _ {1} = 1 \ hfill \\ {a} _ {2} = 1 \ hfill \\ {a} _ {n} = {a} _ {n — 1} + {a} _ {n — 2}, \ text {for} n \ ge 3 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Чтобы найти десятый член последовательности, например, нам нужно добавить восьмой и девятый члены.Ранее нам сказали, что восьмой и девятый термины — это 21 и 34, поэтому

[латекс] {a} _ {10} = {a} _ {9} + {a} _ {8} = 34 + 21 = 55 [/ латекс]

Общее примечание: рекурсивная формула

Рекурсивная формула — это формула, которая определяет каждый член последовательности с использованием предыдущего члена (ов). Рекурсивные формулы всегда должны указывать начальный член или члены последовательности.

Вопросы и ответы

Должны ли всегда быть первые два члена в рекурсивной формуле?

№Последовательность Фибоначчи определяет каждый термин, используя два предыдущих термина, но многие рекурсивные формулы определяют каждый термин, используя только один предыдущий термин. Эти последовательности требуют определения только первого члена.

Практическое руководство. Имея рекурсивную формулу, содержащую только первый член, напишите первые [латексные] n [/ латексные] термины последовательности.

Укажите начальный термин [латекс] {a} _ {1} [/ latex], который дается как часть формулы. Это первый срок.
Чтобы найти второй член, [латекс] {a} _ {2} [/ latex], подставьте первый член в формулу для [латекс] {a} _ {n — 1} [/ latex].Решить.
Чтобы найти третий член, [латекс] {a} _ {3} [/ latex], подставьте второй член в формулу. Решить.
Повторяйте, пока не решите термин [латекс] n \ text {th} [/ latex].

Пример 5: Написание условий последовательности, определенной рекурсивной формулой

Запишите первые пять членов последовательности, определяемой рекурсивной формулой.

[латекс] \ begin {array} {l} \ begin {array} {l} \\ {a} _ {1} = 9 \ end {array} \ hfill \\ {a} _ {n} = 3 { a} _ {n — 1} -20 \ text {, для} n \ ge 2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Решение

Первый член приведен в формуле.Для каждого последующего термина мы заменяем [latex] {a} _ {n — 1} [/ latex] значением предыдущего термина.

[латекс] \ begin {array} {ll} n = 1 \ begin {array} {lllll} \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \ end {array} \ hfill & {a} _ { 1} = 9 \ hfill \\ n = 2 \ hfill & {a} _ {2} = 3 {a} _ {1} -20 = 3 \ left (9 \ right) -20 = 27 — 20 = 7 \ hfill \\ n = 3 \ hfill & {a} _ {3} = 3 {a} _ {2} -20 = 3 \ left (7 \ right) -20 = 21-20 = 1 \ hfill \\ n = 4 \ hfill & {a} _ {4} = 3 {a} _ {3} -20 = 3 \ left (1 \ right) -20 = 3-20 = -17 \ hfill \\ n = 5 \ hfill & {a} _ {5} = 3 {a} _ {4} -20 = 3 \ left (-17 \ right) -20 = -51 — 20 = -71 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Первые пять терминов: [latex] \ left \ {9, \ text {} 7, \ text {} 1, \ text {} -17, \ text {} -71 \ right \} [/ latex].

Рисунок 6

Попробовать 7

Запишите первые пять членов последовательности, определяемой рекурсивной формулой.

[латекс] \ begin {array} {l} {a} _ {1} = 2 \\ {a} _ {n} = 2 {a} _ {n — 1} +1 \ text {, for} n \ ge 2 \ end {array} [/ latex]

Практическое руководство. Имея рекурсивную формулу с двумя начальными членами, запишите первые [латексные] n [/ латексные] термины последовательности.

Укажите начальный термин [латекс] {a} _ {1} [/ latex], который дается как часть формулы.
Укажите второй член, [латекс] {a} _ {2} [/ latex], который дается как часть формулы.
Чтобы найти третий член, подставьте в формулу начальный член и второй член. Оценивать.
Повторяйте, пока не оцените термин [latex] n \ text {th} [/ latex].

Пример 6: Написание терминов последовательности, определенной рекурсивной формулой

Запишите первые шесть членов последовательности, определенной рекурсивной формулой.

[латекс] \ begin {array} {l} {a} _ {1} = 1 \\ {a} _ {2} = 2 \\ {a} _ {n} = 3 {a} _ {n — 1} +4 {a} _ {n — 2} \ text {, for} n \ ge 3 \ end {array} [/ latex]

Решение

Приведены первые два члена.Для каждого последующего термина мы заменяем [латекс] {a} _ {n — 1} [/ latex] и [latex] {a} _ {n — 2} [/ latex] значениями двух предыдущих терминов.

[латекс] \ begin {array} {lllllll} n = 3 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & {a} _ {3} = 3 {a} _ {2} + 4 {a} _ {1} = 3 \ left (2 \ right) +4 \ left (1 \ right) = 10 \ hfill \\ n = 4 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & {a} _ {4} = 3 {a} _ {3} +4 {a} _ {2} = 3 \ left (10 \ right) +4 \ left (2 \ right) = 38 \ hfill \\ n = 5 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & {a} _ {5} = 3 {a} _ {4} +4 {a} _ {3} = 3 \ left (38 \ right) +4 \ left (10 \ right) = 154 \ hfill \\ n = 6 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & {a} _ {6} = 3 {a} _ {5} +4 {a} _ {4} = 3 \ left (154 \ right) +4 \ left (38 \ right) = 614 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Первые шесть терминов — [латекс] \ text {{1,2,10,38,154,614}} \ text {.} [/ латекс]

Рисунок 7

Попробовать 8

Запишите первые восемь членов последовательности, определенной рекурсивной формулой.

[латекс] \ begin {array} {l} \ begin {array} {l} \\ {a} _ {1} = 0 \ end {array} \ hfill \\ {a} _ {2} = 1 \ hfill \\ {a} _ {3} = 1 \ hfill \\ {a} _ {n} = \ frac {{a} _ {n — 1}} {{a} _ {n — 2}} + { a} _ {n — 3} \ text {, for} n \ ge 4 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Использование факторной записи

Формулы некоторых последовательностей включают произведения последовательных положительных целых чисел. [латекс] n [/ latex] факториал , записанный как [latex] n! [/ Latex], является произведением положительных целых чисел от 1 до [latex] n [/ latex]. Например,

[латекс] \ begin {array} {l} 4! = 4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1 = 24 \ hfill \\ 5! = 5 \ cdot 4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1 = 120 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Пример формулы, содержащей факториал : [latex] {a} _ {n} = \ left (n + 1 \ right)! [/ Latex]. Шестой член последовательности можно найти, заменив 6 на [латекс] n [/ латекс].

[латекс] {a} _ {6} = \ left (6 + 1 \ right)! = 7! = 7 \ cdot 6 \ cdot 5 \ cdot 4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1 = 5040 [/ латекс ]

Факториал любого целого числа [latex] n [/ latex] равен [latex] n \ left (n — 1 \ right)! [/ Latex] Таким образом, мы можем думать о [latex] 5! [/ Latex] как [латекс] 5 \ cdot 4! \ text {.} [/ латекс]

Общее примечание: Факториал

n факториал — это математическая операция, которая может быть определена с помощью рекурсивной формулы. Факториал [latex] n [/ latex], обозначаемый [latex] n! [/ Latex], определяется для положительного целого числа [latex] n [/ latex] как:

[латекс] \ begin {array} {l} 0! = 1 \\ 1! = 1 \\ n! = N \ left (n — 1 \ right) \ left (n — 2 \ right) \ cdots \ left (2 \ right) \ left (1 \ right) \ text {, for} n \ ge 2 \ end {array} [/ latex]

Особый случай [латекс] 0! [/ Латекс] определяется как [латекс] 0! = 1 [/ латекс].

Вопросы и ответы

Всегда ли факториалы можно найти с помощью калькулятора?

Нет. Факториалы становятся большими очень быстро — быстрее, чем даже экспоненциальные функции! Когда вывод становится слишком большим для калькулятора, он не сможет вычислить факториал.

Пример 7: Написание терминов последовательности с использованием факториалов

Запишите первые пять членов последовательности, определенной явной формулой [latex] {a} _ {n} = \ frac {5n} {\ left (n + 2 \ right)!} [/ Latex].

Решение

Заменить в формуле [латекс] n = 1, n = 2 [/ latex] и т. Д.

[латекс] \ begin {array} {lllll} n = 1 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & {a} _ {1} = \ frac {5 \ left (1 \ right)} {\ left (1 + 2 \ справа)!} = \ Frac {5} {3!} = \ Frac {5} {3 \ cdot 2 \ cdot 1} = \ frac {5} {6} \ hfill \\ n = 2 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & {a} _ {2} = \ frac {5 \ left (2 \ right)} {\ left (2 + 2 \ right)!} = \ frac {10} {4!} = \ Frac {10} {4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1} = \ frac {5} {12} \ hfill \\ n = 3 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & {a} _ {3} = \ frac {5 \ left (3 \ right)} {\ left (3 + 2 \ right)!} = \ frac {15} {5!} = \ frac {15} {5 \ cdot 4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1} = \ frac {1} {8} \ hfill \\ n = 4 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & {a} _ {4} = \ frac {5 \ left (4 \ right)} {\ left (4 + 2 \ right)!} = \ frac {20} {6!} = \ frac {20} {6 \ cdot 5 \ cdot 4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1} = \ frac {1} {36} \ hfill \\ n = 5 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill & {a} _ {5} = \ frac {5 \ left ( 5 \ right)} {\ left (5 + 2 \ right)!} = \ Frac {25} {7!} = \ Frac {25} {7 \ cdot 6 \ cdot 5 \ cdot 4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1} = \ frac {5} {1 \ text {,} 008} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Первые пять членов: [latex] \ left \ {\ frac {5} {6}, \ frac {5} {12}, \ frac {1} {8}, \ frac {1} {36}, \ гидроразрыв {5} {1,008} \ right \} [/ latex].

Анализ решения

На рисунке 8 показан график последовательности. Обратите внимание, что, поскольку факториалы растут очень быстро, присутствие факторного члена в знаменателе приводит к тому, что знаменатель становится намного больше, чем числитель, когда [латекс] n [/ латекс] увеличивается. Это означает, что частное становится меньше, и, как показывает график слагаемых, слагаемые уменьшаются и приближаются к нулю.

Рисунок 8

Попробуй 9

Запишите первые пять членов последовательности, определенной явной формулой [latex] {a} _ {n} = \ frac {\ left (n + 1 \ right)!} {2n} [/ latex].

Решение

предварительное вычисление алгебры — Как вычислить n-й член и сумму в этом ряду, если общая разница между ними не является явной?

Как говорит Гуаранг Тандон. Вы можете создать таблицу различий между последовательными терминами, а затем повторить этот процесс в только что созданном списке.

\ begin {array} {| l | c | ccccccc |} \ hline \ text {index} & n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \ dots \\ \ hline \ text {последовательность} & f_n & 1 & 2 & 5 & 10 & 17 & 26 & \ dots \\ \ text {первые отличия} & \ Delta f_n && 1 и 3 и 5 и 7 и 9 & \ точки \\ \ text {вторая разница} & \ Delta ^ 2 f_n &&& 2 & 2 & 2 & 2 & \ dots \\ \ hline \ end {array}

Если вам повезет, в какой-то момент все различия будут постоянными.2 + n + 6) \ right | _ {n = 15} = 1256 $.

геометрических последовательностей и серии

Геометрические последовательности

Геометрическая последовательность. Последовательность чисел, в которой каждое последующее число является произведением предыдущего числа и некоторой константы r ., Или геометрическая прогрессия, используемая при ссылке на геометрическую последовательность., Представляет собой последовательность чисел, в которой каждое последующее число является произведением предыдущее число и некоторая постоянная r .

an = ran − 1 Геометрическая последовательность

И поскольку anan − 1 = r, постоянный множитель r называется общим отношением Константа r , которая получается делением любых двух последовательных членов геометрической последовательности; анан − 1 = г.. Например, следующая геометрическая последовательность:

9,27,81,243,729…

Здесь a1 = 9, а отношение между любыми двумя последовательными членами равно 3. Мы можем построить общий член an = 3an − 1, где,

a1 = 9a2 = 3a1 = 3 (9) = 27a3 = 3a2 = 3 (27) = 81a4 = 3a3 = 3 (81) = 243a5 = 3a4 = 3 (243) = 729 ⋮

В общем, учитывая первый член a1 и знаменатель r геометрической последовательности, мы можем записать следующее:

a2 = ra1a3 = ra2 = r (a1r) = a1r2a4 = ra3 = r (a1r2) = a1r3a5 = ra3 = r (a1r3) = a1r4 ⋮

Из этого мы видим, что любую геометрическую последовательность можно записать в терминах ее первого элемента, ее общего отношения и индекса следующим образом:

an = a1rn − 1 Геометрическая последовательность

Фактически, любой общий член, являющийся экспонентой в n , является геометрической последовательностью.

Пример 1

Найдите уравнение для общего члена данной геометрической последовательности и используйте его для вычисления 10 ^{-го члена}: 3,6,12,24,48…

Решение:

Начните с нахождения общего отношения,

г = 63 = 2

Обратите внимание, что соотношение между любыми двумя последовательными членами равно 2. Последовательность действительно представляет собой геометрическую прогрессию, где a1 = 3 и r = 2.

an = a1rn − 1 = 3 (2) n − 1

Следовательно, мы можем записать общий член an = 3 (2) n − 1, а член 10 ^-го можно вычислить следующим образом:

a10 = 3 (2) 10−1 = 3 (2) 9 = 1,536

Ответ: an = 3 (2) n − 1; а10 = 1,536

Термины между данными элементами геометрической последовательности называются средними геометрическими. Термины между данными элементами геометрической последовательности..

Пример 2

Найдите все члены геометрической последовательности между a1 = −5 и a4 = −135. Другими словами, найдите все геометрические средние между 1 и 4 членами.

Решение:

Начнем с нахождения общего отношения r . В данном случае нам даны первый и четвертый слагаемые:

an = a1rn − 1 Используйте n = 4.a4 = a1r4−1a4 = a1r3

Подставляем a1 = −5 и a4 = −135 в приведенное выше уравнение, а затем решаем относительно r .

−135 = −5r327 = r33 = r

Затем используйте первый член a1 = −5 и общее отношение r = 3, чтобы найти уравнение для n -го члена последовательности.

an = a1rn − 1an = −5 (3) n − 1

Теперь мы можем использовать an = −5 (3) n − 1, где n — положительное целое число, чтобы определить пропущенные члены.

a1 = −5 (3) 1−1 = −5⋅30 = −5a2 = −5 (3) 2−1 = −5⋅31 = −15a3 = −5 (3) 3−1 = −5⋅32 = −45} средние геометрические a4 = −5 (3) 4−1 = −5⋅33 = −135

Ответ: −15, −45,

Первый член геометрической последовательности не может быть указан.

Пример 3

Найдите общий член геометрической последовательности, где a2 = −2 и a5 = 2125.

Решение:

Чтобы определить формулу для общего члена, нам нужны a1 и r. Нелинейная система с этими переменными может быть сформирована с использованием данной информации и an = a1rn − 1:

{a2 = a1r2−1a5 = a1r5−1 ⇒ {−2 = a1r2125 = a1r4 Используйте a2 = −2. Используйте a5 = 2125.

Решите относительно a1 в первом уравнении,

{−2 = a1r ⇒ −2r = a12125 = a1r4

Подставляем a1 = −2r во второе уравнение и решаем: r .

2125 = a1r42125 = (- 2r) r42125 = −2r3−1125 = r3−15 = r

Обратный заменитель, чтобы найти a1:

a1 = −2r = −2 (−15) = 10

Следовательно, a1 = 10 и r = −15.

Ответ: an = 10 (−15) n − 1

Попробуй! Найдите уравнение для общего члена данной геометрической последовательности и используйте его для вычисления его 6 ^{-го члена}: 2,43,89,…

Ответ: an = 2 (23) n − 1; а6 = 64243

Геометрическая серия

Геометрический ряд Сумма членов геометрической последовательности.представляет собой сумму членов геометрической последовательности. Например, сумма первых 5 членов геометрической последовательности, определенной как an = 3n + 1, выглядит следующим образом:

S5 = Σn = 153n + 1 = 31 + 1 + 32 + 1 + 33 + 1 + 34 + 1 + 35 + 1 = 32 + 33 + 34 + 35 + 36 = 9 + 27 + 81 + 243 + 729 = 1089

Можно добавить 5 натуральных чисел. Однако задача добавления большого количества терминов не стоит. Поэтому затем мы разработаем формулу, которую можно использовать для вычисления суммы первых n членов любой геометрической последовательности.В целом

Sn = a1 + a1r + a1r2 +… + a1rn − 1

Умножая обе стороны на r , мы можем написать,

rSn = a1r + a1r2 + a1r3 +… + a1rn

Вычитая эти два уравнения, получаем

Sn-rSn = a1-a1rnSn (1-r) = a1 (1-rn)

Если предположить, что r ≠ 1, деление обеих сторон на (1 − r), приводит нас к формуле для n -й частичной суммы геометрической последовательности Сумма первых n членов геометрической последовательности, заданной формулой: Sn = a1 (1 − rn) 1 − r, r ≠ 1.:

Sn = a1 (1 − rn) 1 − r (r ≠ 1)

Другими словами, частичная сумма n любой геометрической последовательности может быть вычислена с использованием первого члена и общего отношения. Например, чтобы вычислить сумму первых 15 членов геометрической последовательности, определенной как an = 3n + 1, используйте формулу с a1 = 9 и r = 3.

S15 = a1 (1 − r15) 1 − r = 9⋅ (1−315) 1−3 = 9 (−14,348,906) −2 = 64,570,077

Пример 4

Найдите сумму первых 10 членов заданной последовательности: 4, −8, 16, −32, 64,…

Решение:

Определите, существует ли общее соотношение между данными терминами.

г = −84 = −2

Обратите внимание, что отношение между любыми двумя последовательными членами равно -2; следовательно, данная последовательность является геометрической последовательностью. Используйте r = −2 и тот факт, что a1 = 4, чтобы вычислить сумму первых 10 членов,

Sn = a1 (1 − rn) 1 − rS10 = 4 [1 — (- 2) 10] 1 — (- 2) = 4 (1−1,024) 1 + 2 = 4 (−1,023) 3 = −1,364

Ответ: S10 = −1,364

Пример 5

Вычислить: Σn = 162 (−5) n.

Решение:

В этом случае нас просят найти сумму первых 6 членов геометрической последовательности с общим членом an = 2 (−5) n.Используйте это, чтобы определить член 1 ^st и обыкновенное отношение r :

а1 = 2 (−5) 1 = −10

Чтобы показать, что существует обычное отношение, мы можем использовать следующие друг за другом следующие термины:

r = anan − 1 = 2 (−5) n2 (−5) n − 1 = (- 5) n− (n − 1) = (- 5) 1 = −5

Используйте a1 = −10 и r = −5, чтобы вычислить частичную сумму 6 ^-го.

Sn = a1 (1 − rn) 1 − rS6 = −10 [1 — (- 5) 6] 1 — (- 5) = — 10 (1−15,625) 1 + 5 = −10 (−15,624) 6 = 26 040

Ответ: 26 040

Попробуй! Найдите сумму первых 9 членов заданной последовательности: −2, 1, −1 / 2,…

Ответ: S9 = −171128

Если общее отношение r бесконечной геометрической последовательности является дробью, где | r | <1 (то есть -1 n -я частичная сумма стремится к 1 по мере увеличения n .Например, если r = 110 и n = 2,4,6, мы имеем

1− (110) 2 = 1−0,01 = 0,991− (110) 4 = 1−0,0001 = 0,99991− (110) 6 = 1−0,000001 = 0,999999

Здесь мы видим, что этот коэффициент становится все ближе и ближе к 1 для все больших значений n . Это иллюстрирует идею предела, важную концепцию, широко используемую в математике более высокого уровня, которая выражается с помощью следующих обозначений:

limn → ∞ (1 − rn) = 1, где | r | <1

Читается, что «предел (1-rn), когда n приближается к бесконечности, равен 1.«Хотя это дает предварительный обзор того, что должно произойти в вашем продолжающемся изучении математики, на данный момент мы заинтересованы в разработке формулы для специальных бесконечных геометрических рядов. Рассмотрим n -ю частичную сумму любой геометрической последовательности,

Sn = a1 (1 − rn) 1 − r = a11 − r (1 − rn)

Если | r | <1, то предел частичных сумм, когда n приближается к бесконечности, существует, и мы можем написать,

Sn = a11 − r (1 − rn) ⇒n → ∞ S∞ = a11 − r⋅1

Следовательно, сходящийся геометрический ряд — это бесконечный геометрический ряд, где | r | <1, сумма которого определяется формулой: S∞ = a11 − r.бесконечный геометрический ряд, где | r | <1; его сумму можно рассчитать по формуле:

S∞ = a11 − r

Пример 6

Найдите сумму бесконечного геометрического ряда: 32 + 12 + 16 + 118 + 154 + ⋯

Решение:

Определить обычное отношение,

г = 1232 = 12⋅23 = 13

Поскольку знаменатель r = 13 является дробью от -1 до 1, это сходящийся геометрический ряд.Используйте первый член a1 = 32 и обыкновенное отношение, чтобы вычислить его сумму.

S∞ = a11 − r = 321− (13) = 32 23 = 32⋅32 = 94

Ответ: S∞ = 94

Примечание : В случае бесконечного геометрического ряда, где | r | ≥1, ряд расходится, и мы говорим, что нет суммы. Например, если an = (5) n − 1, то r = 5, и мы имеем

S∞ = Σn = 1∞ (5) n − 1 = 1 + 5 + 25 +

Мы видим, что эта сумма неограниченно растет и не имеет суммы.

Попробуй! Найдите сумму бесконечного геометрического ряда: Σn = 1∞ − 2 (59) n − 1.

Ответ: −9/2

Повторяющаяся десятичная дробь может быть записана как бесконечный геометрический ряд, значащий коэффициент которого равен степени 1/10. Таким образом, формулу сходящегося геометрического ряда можно использовать для преобразования повторяющегося десятичного числа в дробь.

Пример 7

Запишите в виде дроби: 1.181818…

Решение:

Начните с определения повторяющихся цифр справа от десятичной дроби и перепишите их в геометрической прогрессии.

0,181818… = 0,18 + 0,0018 + 0,000018 +… = 18100 + 1810 000 + 181 000 000 +…

В этой форме мы можем определить общее отношение,

г = 1810,000 18100 = 1810,000 × 10018 = 1100

Обратите внимание, что отношение между любыми двумя последовательными членами равно 1100. Используйте это, а также тот факт, что a1 = 18100, чтобы вычислить бесконечную сумму:

S∞ = a11 − r = 181001− (1100) = 1810099100 = 18100⋅10099 = 211

Следовательно, 0.181818… = 211 и имеем

1,181818… = 1 + 211 = 1211

Ответ: 1211

Пример 8

Определенный мяч отскакивает назад на две трети высоты, с которой он упал. Если этот мяч первоначально падает с 27 футов, приблизительно общее расстояние, которое проходит мяч.

Решение:

Мы можем вычислить высоту каждого последующего отскока:

27⋅23 = 18 футов Высота первого отскока 18⋅23 = 12 футов Высота второго отскока 12⋅23 = 8 футов Высота третьего отскока

Общее расстояние, которое проходит мяч, складывается из расстояний, на которые мяч падает, и расстояний, на которые мяч поднимается.Расстояния, на которые падает мяч, образуют геометрическую серию

27 + 18 + 12 + ⋯ Дистанция падения мяча

, где a1 = 27 и r = 23. Поскольку r представляет собой дробную часть от -1 до 1, эту сумму можно рассчитать следующим образом:

S∞ = a11 − r = 271−23 = 2713 = 81

Следовательно, мяч падает на общую дистанцию 81 фут. Расстояния, на которые мяч поднимается, образуют геометрическую серию

18 + 12 + 8 + ⋯ Расстояние подъема мяча

, где a1 = 18 и r = 23.Вычислите эту сумму аналогично:

S∞ = a11 − r = 181−23 = 1813 = 54

Следовательно, мяч поднимается на общую дистанцию 54 фута. Приблизительно общее пройденное расстояние, сложив общее расстояние подъема и падения:

81 + 54 = 135 футов

Ответ: 135 футов

Основные выводы

Геометрическая последовательность — это последовательность, в которой отношение r между последовательными членами является постоянным.
Общий член геометрической последовательности может быть записан в терминах его первого члена a1, общего отношения r и индекса n следующим образом: an = a1rn − 1.
Геометрический ряд — это сумма членов геометрической последовательности.
Частичная сумма n -й геометрической последовательности может быть вычислена с использованием первого члена a1 и общего отношения r следующим образом: Sn = a1 (1-rn) 1-r.
Бесконечная сумма геометрической последовательности может быть вычислена, если общее отношение представляет собой дробь от -1 до 1 (то есть | r | <1) следующим образом: S∞ = a11-r.Если | r | ≥1, то суммы не существует.

Тематические упражнения

Часть A: Геометрические последовательности

Запишите первые 5 членов геометрической последовательности с учетом первого члена и общего отношения. Найдите формулу для его общего члена.

Учитывая геометрическую последовательность, найдите формулу для общего члена и используйте ее, чтобы определить 5 ^{-й член} в последовательности.

−3.6, −4,32, −5,184,…
Найдите общий член и используйте его для определения 20-го члена в последовательности: 1, x2, x24,…
Найдите общий член и используйте его для определения 20-го члена в последовательности: 2, −6x, 18×2,…
Количество клеток в культуре определенных бактерий удваивается каждые 4 часа.Если изначально присутствует 200 ячеек, напишите последовательность, которая показывает популяцию ячеек после каждых n -го 4-часового периода в течение одного дня. Напишите формулу, которая дает количество ячеек после любого 4-часового периода.
Определенный мяч отскакивает назад на половине высоты, с которой он упал. Если этот мяч первоначально падает с 12 футов, найдите формулу, которая дает высоту мяча при отскоке n -м, и используйте ее, чтобы найти высоту мяча при отскоке 6 ^-го.
Учитывая геометрическую последовательность, определяемую рекуррентным соотношением an = 4an − 1, где a1 = 2 и n> 1, найдите уравнение, которое дает общий член в терминах a1 и общего отношения r .
Учитывая геометрическую последовательность, определяемую рекуррентным соотношением an = 6an − 1, где a1 = 12 и n> 1, найдите уравнение, которое дает общий член в терминах a1 и общего отношения r .

Учитывая члены геометрической последовательности, найдите формулу для общего члена.

a4 = −2.4 × 10−3 и a9 = −7,68 × 10−7

Найдите все геометрические средние между заданными членами.

a2 = −20 и a5 = −20 000

Часть B: геометрическая серия

Рассчитайте указанную сумму.

∑n = 155n
∑n = 16 (−4) п
∑k = 1102k + 1
∑k = 1142k − 1
∑k = 110−2 (3) к
∑k = 185 (−2) к
∑n = 152 (12) n + 2
∑n = 14−3 (23) п
∑n = 1∞2 (13) n − 1
∑n = 1∞ (15) п
∑n = 1∞3 (2) n − 2
∑n = 1∞ − 14 (3) n − 2
∑n = 1∞12 (−16) п
∑n = 1∞13 (−25) п

Запишите как смешанное число.

Предположим, вы согласились работать за гроши в день в течение 30 дней.Вы заработаете 1 пенни в первый день, 2 пенни во второй день, 4 пенни в третий день и так далее. Сколько всего пенни вы заработаете в конце 30-дневного периода? Какая сумма в долларах?
Первоначальная ставка в рулетке 100 долларов делается (красное поле) и проигрывает. Чтобы компенсировать разницу, игрок удваивает ставку, делает ставку 200 долларов и проигрывает.Опять же, чтобы компенсировать разницу, игрок удваивает ставку до 400 долларов и проигрывает. Если игрок продолжает удваивать свою ставку таким образом и проигрывает 7 раз подряд, сколько в целом он проиграет?
Определенный мяч отскакивает назад на половину высоты, с которой он упал. Если этот мяч изначально падает с 12 футов, приблизьте общее расстояние, которое он пролетит.
Мяч для гольфа отскакивает от цементного тротуара на три четверти высоты, с которой он упал. Если мяч изначально падает с 8 метров, приблизьте общее расстояние, которое он пролетит.
Структурированное поселение ежегодно приносит сумму в долларах, представленную как n , в соответствии с формулой pn = 6000 (0.80) п — 1. Какова общая сумма дохода от урегулирования через 10 лет?
Начните с квадрата, каждая сторона которого составляет 1 единицу, начертите еще один квадрат, соединив середины каждой стороны. Продолжайте писать квадраты таким образом до бесконечности, как показано на рисунке:
Найдите сумму площадей всех квадратов на рисунке.(Подсказка: начните с поиска последовательности, сформированной с использованием площадей каждого квадрата.)

Часть C: Последовательности и серии

Определите последовательность как арифметическую, геометрическую или ни то ни другое. Укажите общее различие или соотношение, если оно существует.

Определите последовательность как арифметическую или геометрическую, а затем вычислите указанную сумму.

Рассчитайте указанную сумму.

∑n = 150 (3n − 5)
∑n = 125 (4−8n)
∑n = 112 (−2) n − 1
∑n = 1∞5 (−12) n − 1
∑n = 1405
∑n = 1∞0.6n

Часть D: Обсуждение

Используйте методы, описанные в этом разделе, чтобы объяснить, почему 0,999… = 1.
Постройте геометрическую последовательность, где r = 1. Исследуйте n -ю частичную сумму такой последовательности.Какие выводы мы можем сделать?

ответов

1, 5, 25, 125, 625; ан = 5n − 1
2, 6, 18, 54, 162; ан = 2 (3) п − 1
2, -6, 18, -54, 162; ан = 2 (−3) п − 1
3, 2, 43, 89, 1627; ан = 3 (23) п − 1
1.2, 0,72, 0,432, 0,2592, 0,15552; ан = 1,2 (0,6) п − 1
an = — (- 23) n − 1, a5 = −1681
ан = −3.6 (1,2) п − 1, а5 = −7,46496
400 ячеек; 800 ячеек; 1600 ячеек; 3200 ячеек; 6400 ячеек; 12800 ячеек; pn = 400 (2) n − 1 ячеек

1,073,741,823 пенни; 10 737 418 долларов.23