Чем отличается луч от прямой

Луч и прямая относятся к числу основных геометрических элементов. Сведения о них даются уже на первом этапе изучения соответствующего раздела математики. Чем отличается луч от прямой? Информация об этом изложена ниже.

Определение

Луч – это полупрямая, с одной стороны исходящая из конкретной точки, с другой – ничем не ограниченная.

Луч

Прямая – это бесконечная с обеих сторон линия, проходящая через две любые точки и не меняющая свое направление (в отличие от кривой или ломаной).

Прямаяк содержанию ↑

Сравнение

Из определений видно, что кардинальное отличие луча от прямой заключается в том, ограниченны ли они в пространстве. Так, луч обязательно имеет начало и продолжается только с одной стороны. У прямой, в свою очередь, нет предела ни с того, ни с другого края. В связи с этим начертить можно лишь ее часть, что, впрочем, относится и к лучу.

Если взять на прямой произвольную точку, то отходящая от нее бесконечная линия будет являться лучом. В этом смысле луч можно назвать частью прямой. Справедливо и то, что избранная точка будет служить в качестве исходной сразу для двух противоположно направленных лучей.

Сравнивая луч и прямую, следует сказать о способах их обозначения. Каждый из геометрических объектов может называться латинской строчной буквой: луч a (с, d, t) или прямая b (a, h, c). Также в том и другом случае используется обозначение двумя заглавными буквами: луч NK или прямая OD.

Однако в последнем пункте имеются отличия. Буквы в названии прямой, помечающие точки, через которые она проведена, при чтении и записи можно менять местами. Между тем относительно луча первым указывается строго его начало, а затем точка, расположенная на определенном расстоянии от исходной.

Кроме того, луч имеет собственный вариант обозначения. В этом случае после заглавного символа, называющего начальную точку, с помощью строчной буквы указывается прямая, на которой расположен луч. Таким образом, обозначение Bo трактуется так: луч с началом в точке B принадлежит прямой o.

В чем разница между лучом и прямой, кроме сказанного? В том, что лучи могут образовывать угол. Для этого они должны исходить из одной точки. Прямые углов не образуют.

к содержанию ↑

Таблица

Луч	Прямая
Имеет начало, бесконечен только с одной стороны	Абсолютно бесконечна
Обозначается: одиночными строчными символами, двумя заглавными буквами, заглавной и строчной буквами (называющими начальную точку луча и прямую соответственно)	Обозначается: одиночными строчными символами, двумя заглавными буквами
Исходная точка всегда идет первой в названии	Порядок букв в названии не важен
Может являться элементом угла	Не участвует в образовании углов

Урок 21. прямая, луч, отрезок — Математика — 5 класс

Математика

5 класс

Урок №21

Прямая, луч, отрезок

Перечень рассматриваемых вопросов:

— понятия «прямая», «луч», «отрезок»;

— отличия прямой, луча, отрезка;

— прямая, луч, отрезок на чертежах, рисунках и моделях.

Тезаурус

Отрезок – часть прямой, ограниченный двумя точками.

Концы отрезка – точки, ограничивающие отрезок.

Обязательная литература

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф.Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009.–142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы.// И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин.– М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Основными геометрическими фигурами принято считать плоскость, прямую и точку, все остальные фигуры образуются из них или их частей, поясним сказанное на примерах. Начнём с того, что различные геометрические фигуры располагаются на плоскости. Представление о плоскости даёт нам, например, поверхность стола или школьной доски. Стоит отметить, что эти поверхности имеют края. У плоскости нет краёв. Она безгранично простирается во всех направлениях.

Введём ещё одно понятие – прямая. Её обозначают малой латинской буквой (например, а) или двумя заглавными буквами (например, АВ, если на прямой отмечены соответствующие точки).

Стоит заметить, что прямая линия не имеет ни начала, ни конца,

 поэтому её изображение можно продолжить в обе стороны. Две различные прямые могут иметь только одну общую точку, в этом случае говорят, что прямые пересекаются.

Две различные прямые на плоскости могут и не пересекаться, сколько бы их не продолжали, такие прямые называют параллельными.

Параллельные прямые можно легко построить с помощью линейки и угольника, передвигая его вдоль линейки так, как показано на рисунке.

Через любые две точки можно провести только одну прямую.

Выполним построение. Для этого отметим две точки А и В и проведём через эти точки прямую b.

Провести через точки А и В другую прямую, отличную от прямой b, нельзя.

Используя прямую и точку в виде деталей геометрического конструктора, можно создавать новые геометрические объекты.

Например, начертим прямую с и отметим на ней точку А. Точка А разделила прямую на две части.

Каждую из этих частей называют лучом, исходящим из точки А.

Итак, луч – это прямая линия, которая имеет начало, но не имеет конца.

Луч следует обозначать двумя заглавными буквами латинского алфавита, при этом на первое место надо ставить обозначение начала луча. Например, АВ, как в нашем случае, где точка А – начало луча.

Переставлять буквы в названии луча нельзя. 

Теперь рассмотрим ещё одно важное геометрическое понятие – отрезок.

Отрезком называют часть прямой между двумя точками. Отрезок обозначают АВ или ВА. При этом точки А и В называют концами отрезка АВ.

В отличие от луча, в названии отрезка переставлять буквы допустимо, поэтому его можно обозначить как АВ, так и ВА.

Заметим, что два отрезка называются равными, если они совмещаются при наложении.

Итак, сегодня мы познакомились с понятиями прямая, луч, отрезок, как одними из основополагающих понятий в геометрии.

Это интересно

Помимо геометрии, мы можем встретить слово «луч» и в других научных областях.

• Космические лучи – это элементарные частицы и ядра атомов, движущиеся с высокими энергиями в космическом пространстве.
• Противосумеречные лучи (англ. anticrepuscular rays) – расходящиеся веером лучи, наблюдающиеся на закате дня со стороны, противоположной Солнцу (то есть, на востоке).
• Белохохлый солнечный луч (лат. Aglaeactis castelnaudii) – вид птиц из семейства колибри (Trochilidae).
• Луч света в темном царстве – крылатое выражение, вошедшее в речь после публикации в 1860 году статьи публициста-демократа Николая Александровича Добролюбова, посвящённой драме А. Н. Островского «Гроза».

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Тип задания: добавление подписей к изображениям.

Разместите нужные подписи к изображениям.

Для выполнения задания обратитесь к теоретическому материалу урока.

Правильные ответы:

1) а – это прямая.

2) АВ – это отрезок.

3) А – это луч.

№ 2. Тип задания: подстановка элементов в пропуски в тексте.

Вставьте в текст нужные слова.

Через__________ две____________ можно провести только одну _________.

Слова: любые; точки; прямую; ломаную.

Правильный ответ: через любые две точки можно провести только одну прямую.

Урок-сказка «Луч. Отрезок. Прямая». 2-й класс

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

• Закрепить представления о понятиях «прямая», «луч», «отрезок»;
• Учить детей распознавать прямые, лучи, отрезки; изображать их с помощью линейки, находить и обозначать точки их пересечения;
• Закреплять навыки сложения и вычитания трехзначных чисел;
• Развивать творческое мышление, интерес к математике.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

Слайд 3. Решив данные примеры и расположив ответы в порядке возрастания, вы узнаете, в чье королевство мы сегодня отправимся за новыми знаниями.

32	440	588	635	744

Появляется слово «Точка». «Молодцы!» (Слайд 4)

III. Работа над темой урока. Сказка про Точку.

Слово учителя: Сегодня мы отправимся в увлекательное путешествие по стране Геометрии. Встречает нас здесь королева этой страны, без которой невозможно построить ни одной фигуры, это Точка (Слайд 5).

Жила-была Точка. Она была очень любопытна и хотела все знать. Увидит незнакомую линию и непременно спросит:

— Как эта линия называется?

— Длинная она или короткая?

Подумала однажды Точка: «Как же я смогу все узнать, если всегда буду жить на одном месте? «Отправлюсь-ка я в путешествие!».

— Ребята, вы готовы совершить путешествие вместе с Точкой? (Да).

Сказано — сделано. Вышла точка на прямую и пошла по этой линии (Слайд 6). Долго шла. Устала. Остановилась и говорит: «Долго ли я еще буду идти?».

— Ребята, а скоро ли конец прямой? (У прямой нет конца).

— Тогда я наверное поверну назад, — ответила Точка. Я наверное пошла не в ту сторону.

— Ребята, сможет ли Точка найти концы прямой? (Нет)

Слайд 7.

Без конца и края
Линия прямая!
Хоть сто лет по ней идти —
Не найти конца пути!

— Опечалилась Точка. Что же, так мне и придется идти, идти и идти без конца?

— А что если я позову на помощь Ножницы?

Тут откуда не возьмись, появились Ножницы. Щелкнули перед самым Точкиным носом и разрезали прямую (Слайд 8)

— Ура! Воскликнула Точка. Получился конец, да не один, а целых два, с одной стороны и с другой! Что же стало с моей прямой? (Слайд 9) Как называется получившаяся фигура? (Отрезок). Чем отличается от прямой? (Имеет начало и конец).

— Я запомню это название — «отрезок», сказала Точка. Мне нравится на отрезке, я устрою здесь себе дом::. Но прямая мне тоже нравилась. Жаль, что её не стало. Ведь теперь вместо прямой есть мой отрезок и еще два :.этих::.ну этих::.даже не знаю как назвать. У них конец с одной стороны, а с другой нет конца. Как же они называются? (Лучи). Слайд 10

— А я знаю почему они так называются. Воскликнула Точка. Они похожи на солнечные лучики! Солнечные лучи начинаются на солнце и идут от солнца без конца:.. В Геометрии каждый луч, отрезок, прямая имеют название. Обратите внимание, что луч обозначается либо одной строчной буквой, либо двумя прописными, причем при чтении и записи на первом месте указывается начало луча, а при названии прямой или отрезка порядок не имеет значения. Точка обозначается одной буквой. Давайте правильно прочитаем название фигур (Буквы латинского алфавита). Слайд 11

— В чем отличие прямой от луча? Отрезок от прямой? Луч от отрезка?

Молодцы!!!! Слайд 12.

Слайд 13. Физминутка. Учащиеся танцуют под «Танец маленьких утят».

IV. Закрепление пройденного материала.

Работа по учебнику Л.Г.Петерсон Математика 2 класс. Тема: «Луч. Отрезок. Прямая».

№ 1. Откройте тетради. Обозначьте точку. Сколько можно провести прямых через данную точку? (Слайд 14) Какой можно сделать вывод? Вывод: через одну точку можно провести сколько угодно прямых.

№ 2. Поставьте две точки на расстоянии друг от друга (Слайд 15). Сколько можно провести прямых через эти две точки? Вывод: Через две точки можно провести только одну прямую.

V. Итоги урока.

1. А теперь повторим: о каких геометрических фигурах мы узнали, благодаря нашей гостье Королеве — Точке? (Слайд 16)

2. Что вы узнали о каждой из этих фигур? (Слайд 17)

ПРЯМАЯ — НЕ ИМЕЕТ НИ НАЧАЛА, НИ КОНЦА, МЫ МОЖЕМ НАЧЕРТИТЬ ТОЛЬКО ЧАСТЬ ПРЯМОЙ, ТАК КАК ЕЁ МОЖНО ПРОДОЛЖИТЬ, ПРЯМУЮ ПРИНЯТО ОБОЗНАЧАТЬ ОДНОЙ ИЛИ ДВУМЯ БУКВАМИ.

ЛУЧ — ИМЕЕТ НАЧАЛО, НО НЕ ИМЕЕТ КОНЦА, ЕГО МОЖНО ПРОДОЛЖИТЬ ТОЛЬКО В ОДНУ СТОРОНУ.

ОТРЕЗОК — ИМЕЕТ НАЧАЛО И КОНЕЦ, ЕГО НЕЛЬЗЯ ПРОДОЛЖИТЬ.

НУ ВОТ И ВСЕ, КОНЕЦ! А КТО СЛУШАЛ, МОЛОДЕЦ!!!

Тема: Прямая. Луч. Отрезок.

Разработка урока математики во 2 классе

…»

Тема: Прямая. Луч. Отрезок.

Цели:

1. Закрепить представления о понятиях «прямая», «луч», «отрезок». Учить детей распознавать прямые, лучи, отрезки; изображать их с помощью линейки; находить и обозначать точки их пересечения.

2. Повторить изученное; закреплять навыки сложения и вычитания трёхзначных чисел.

3.Развивать творческое мышление, интерес к математике.

Ход урока.

I. Оргмомент.

II. Актуализация знаний.

1 Индивидуальная работа.

О 31-9 Ч 18+17 А 87+13

Т 24-7 К 60-12

17 22 35 48 100

Т О Ч К А

2 Фронтальная работа.

• Если правильно выполните все задания, то сможете прочитать название страны, куда мы отправимся во время изучения новой темы.

а) Продолжи ряд чисел 3, 6, 9….(мет) (Слайд 1,2)

б) Как удобнее вычислить? 13+16+19+22+25+28+31+34+37 (о) (Слайд 3,4)

в) Какие цифры пропущены? (Слайд 5,6)

4

6

>

8

5

6

>

5

(ге)

г) Сколько треугольников на рисунке? (рия)

(Слайд 7,8)

III. Работа над темой.

Сказка про Точку.

Сегодня мы отправимся в увлекательное путешествие по стране Геометрия. Встречает нас здесь королева этой страны, без которой нельзя построить ни одну фигуру. Кто она? (Точка)

Жила была Точка. Она была очень любопытна и хотела всё знать. Увидит незнакомую линию и непременно спросит:

Подумала однажды Точка: «Как же я смогу все узнать, если всегда буду жить на одном месте? Отправлюсь-ка я путешествовать!»

Ребята, вы готовы совершить путешествие вместе с Точкой? (Да)

Сказано — сделано. Вышла Точка на прямую линию и пошла по этой линии. ( Слайд 10)

Шла, шла по прямой линии. Долго шла. Устала. Остановилась и говорит: « Долго ли я ещё буду идти?»

–Ребята, скоро ли конец прямой линии? (У прямой нет конца)

–Тогда я поверну назад–сказала Точка.– Я, наверное, пошла не в ту сторону. (Слайд 11)

–Сможет ли Точка найти концы прямой? (Нет)

Без конца и края

Линия прямая!

Хоть сто лет по ней идти

Не найти конца пути!

–Опечалилась Точка. Что же, так и идти без конца? Вдруг Точка решила: « А что, если я позову на помощь Ножницы. Тут, откуда ни возьмись, появились Ножницы; щёлкнули перед самым Точкиным носом и разрезали прямую.

–Ура!– закричала Точка.- Вот и конец получился! Ай да Ножницы! А теперь сделайте, пожалуйста, конец с другой стороны.

–Можно и с другой, – послушно щёлкнули Ножницы. (Слайд12)

–Как интересно!– воскликнула Точка. – Что же из моей прямой получилось? С одной стороны конец, с другой стороны конец.

–Ребята, как называется эта фигура? (отрезок)

–Отрезок!– с удовольствием повторила Точка, прогуливаясь по отрезку от одного конца до другого.

–Ребята, а чем отрезок отличается от прямой? (имеет концы)

– Я запомню это название. Мне нравится отрезок. Здесь я устрою свой дом. Но прямая мне тоже нравилась. Жаль, что её не стало. Ведь теперь вместо прямой есть мой отрезок и ещё два этих ….не знаю, как их назвать. У них конец только с одной стороны, а в другую сторону нет конца.

– Как они называются? (Лучи)

– А!– радостно сказала Точка.– Я знаю, почему они так называются. Они похожи на солнечные лучики. Начинаются на солнце и идут без конца, если только не встретят что-нибудь на своём пути.

–Чем луч отличается от отрезка? От прямой?

Показ слайда с фигурами (слайд 13)

– Что вы здесь видите?

• Назовите прямые

• Назовите лучи

• Назовите отрезки

IV.Закрепление.

–Точка предлагает нам рассмотреть упражнения в учебнике.

№2, стр.7. Задание выполняется под руководством учителя.

№3, стр.7. Самостоятельно. Проверка фронтально.

№6, стр.8 Работа в парах с взаимопроверкой. (Слайд 14)

V. Повторение.

Точка довольна тем, как мы выполнили задания с геометрическими фигурами. А теперь давайте покажем, как мы умеем решать задачи.

№8, стр.8– Решение самостоятельное с последующей проверкой на (Слайде 15)

Задание усложняется.

№10,стр. 9– Разбор и решение задачи под руководством учителя.

№15, стр.9– Самостоятельная работа на сложение и вычитание трёхзначных чисел.

Проверка (Слайд16)

Комментарий к «Суздаль»

Исторический центр города Суздаля, окруженный насыпными земляными валами, сохранившимися и по сей день, и его сердце — Суздальский Кремль, в одной из многочисленных экспозиций которого Вы найдёте миниатюрный макет города Суздаля, каким он был сотни лет назад…

Монастыри, храмы и соборы Суздаля — одни из самых ярких памятников архитектуры города, но кроме них есть ещё и другие, не менее заметные и значимые — такие, как торговые ряды на центральной («торговой») площади Суздаля, и сама торговая площадь, вымощенная старинным булыжником, с ансамблем церквей на заднем плане — излюбленное место для фотографирования…

VI.Итог урока.

• Путешествие, в какую страну мы сегодня совершили?

• С какими фигурами встретились на уроке?

• Чем отличается отрезок от прямой?

• Что вы можете сказать про луч?

(Слайд 17)

VII. Домашнее задание. Стр.8, №7, №14.

Тезис:

Урок математики 2 класса,.» «Прямая. Луч. Отрезок» Урок помогает закрепить представления о понятиях «прямая», «луч», «отрезок», распознавать их, находить и обозначать точки пересечения. На уроке отрабатываются вычислительные навыки

Пробелы в геометрии (линия, угол, луч, отрезок, прямая, кривая, замкнутая линии)

Посещая дополнительные занятия мы поняли, что не умеем оперировать понятиями точка, линия, угол, луч, отрезок, прямая, кривая, замкнутая линии и рисовать их, точнее рисовать можем, но идентифицировать не получается.

Дети должны различать линии, кривые, окружности. Это развивает у них графику и чувство правильности при занятиях рисованием, аппликацией. Важно знать, какие основные геометрические фигуры существую, что из себя представляют. Разложите карточки перед ребенком, попросите нарисовать точно так же как на картинке. Повторите несколько раз.

На занятиях нам выдали следующие материалы:

Небольшая сказка.

В стране Геометрии жила-была точка. Она была маленькой. Ее оставил карандаш, когда наступил на лист тетради, и никто ее не замечал. Так и жила она, пока не попала в гости к линиям. (На доске рисунок.)

— Посмотрите, какие это были линии. (Прямые и кривые.)

Прямые линии похожи на натянутые веревочки, а веревочки, которые не натянули, — это кривые линии.

— Сколько прямых линий? (2.)

— Сколько кривых? (3.)

Прямая линия начала хвастаться: «Я самая длинная! У меня нет ни начала, ни конца! Я бесконечная!»

Очень интересно стало точке посмотреть на нее. Сама-то точка малюсенькая. Вышла она да так увлеклась, что не заметила, как наступила на прямую линию. И вдруг исчезла прямая линия. На ее месте появился луч.

Он тоже был очень длинный, но все-таки не такой, как прямая линия. У него появилось начало.

Испугалась точка: «Что же я наделала!» Хотела она убежать, да как назло наступила опять на луч.

И на месте луча появился отрезок. Он не хвастался, какой он большой, у него уже были и начало, и конец.

Вот так маленькая точка смогла изменить жизнь больших линий.

— Так кто догадался кто вместе с котиком пришел к нам в гости?( прямая линия, луч, отрезок и точка)

— Правильно вместе с котиком пришли прямая линия, луч, отрезок и точка к нам на урок.

-Кто догадался, что мы будем делать на этом уроке? (Учиться распознавать и чертить прямую линию, луч, отрезок.)

Вопросы:

— О каких линиях вы узнали? (О прямой, луче, отрезке.)

— Что узнали о прямой линии? (Она не имеет ни начала, ни конца. Она бесконечная.)

(Берем две катушки ниток, натягивает их, изображая прямую линию, и разматывая то одну, то другую, демонстрирует, что прямую можно продолжать в оба конца до бесконечности.)

— Что узнали о луче? (У него есть начало, но нет конца.) (Педагог берет ножницы, разрезает нитку. Показывает, что теперь линию можно продолжать только в один конец.)

— Что узнали об отрезке? (Унего есть и начало, и конец.) (Педагог отрезает другой конец нитки и показывает, что нитка не тянется. У нее есть и начало, и конец.)

— Как начертить прямую линию? (Провести по линейке линию.)

— Как начертить отрезок? (Поставить две точки и соединить их.)

И конечно прописи:

Если у кого-то есть в наличии дополнительные материалы по этой теме прошу поделиться!

Точка, отрезок, луч, прямая — числовая прямая

 

Мы рассмотрим каждую из тем, а в конце будут даны тесты по темам.

Точка в математике

Что такое точка в математике? Математическая точка не имеет размеров и обозначается заглавными латинскими буквами: A, B, C, D, F и т.д.

На рисунке можно видеть изображение точек A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Отрезок в математике

Что такое отрезок в математике? На уроках математики можно услышать следующее объяснение: математический отрезок имеет длину и концы. Отрезок в математике — это совокупность всех точек, лежащих на прямой между концами отрезка. Концы отрезка — две граничные точки.

На рисунке мы видим следующее: отрезки [A;C],[C;D],[D;M],[M;F],[F;E] и [E;T], а также две точки B и S.

Прямая в математике

Что такое прямая в математике? Определение прямой в математике: прямая не имеет концов и может продолжаться в обе стороны до бесконечности. Прямая в математике обозначается двумя любыми точками прямой. Для объяснения понятия прямой ученику можно сказать, что прямая — это отрезок, который не имеет двух концов.

На рисунке изображены две прямые: CD и EF.

Луч в математике

Что же такое луч? Определение луча в математике: луч — часть прямой, которая имеет начало и не имеет конца. В названии луча присутствуют две буквы, например, DC. Причем первая буква всегда обозначает точку начала луча, поэтому менять местами буквы нельзя.

На рисунке изображены лучи: DC, KC, EF, MT, MS. Лучи KC и KD — один луч, т.к. у них общее начало.

Числовая прямая в математике

Определение числовой прямой в математике: прямая, точки которой отмечают числа, называют числовой прямой.

На рисунке изображена числовая прямая, а также луч OD и ED

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: ПРИМЕРЫ
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspЧтение и запись больших натуральных чисел: разряды, классы + ПРИМЕР

Все неприличные комментарии будут удаляться.

Прямые уравнения: параллельные и перпендикулярные прямые

Purplemath

Есть еще одно соображение для уравнений прямой линии: нахождение параллельных и перпендикулярных линий. Вот общий формат упражнений по этой теме:

• Для прямой 2 x — 3 y = 9 и точки (4, –1) найдите прямые в форме пересечения с наклоном, проходящие через данную точку так, чтобы две прямые были соответственно:

(а) параллельно данной линии, а

(б) перпендикулярно ему.

Мне дали эталонную линию, а именно: 2 x — 3 y = 9; это линия, наклон которой я буду ссылаться позже в своей работе.

MathHelp.com

Эта линия имеет некоторое значение наклона (хотя, конечно, не значение «2», потому что это уравнение линии не решается для « y =»).

я сначала нужно найти наклон опорной линии. Я мог бы использовать метод, дважды вставляя значения x в опорную линию, находя соответствующие значения y , а затем вставляя две найденные точки в формулу наклона, но я бы предпочел просто решить для « y =». (Это только мои личные предпочтения. Если ваши предпочтения отличаются, то используйте тот метод, который вам больше нравится.) Итак:

Первое, что я сделаю, это решу «2 x — 3 y = 9» для « y =», чтобы найти свой опорный наклон:

2 x — 3 y = 9 –3 y = –2 x + 9 y = ( ² / ₃ ) x — 3

Таким образом, опорный склон от опорной линии

м = ² / ₃ .

Теперь мне нужно найти два новых склона и использовать их с той точкой, которую они мне дали; а именно с точкой (4, –1). Они хотят, чтобы я нашел прямую через (4, –1), параллельную 2 x — 3 y = 9; то есть через данную точку они хотят, чтобы я нашел линию, имеющую такой же наклон, как и опорная линия. Затем они хотят, чтобы я нашел прямую через (4, –1), которая перпендикулярна 2 x — 3 y = 9; то есть, через данную точку, они хотят, чтобы найти строку, которая имеет наклон, который является отрицательным взаимным наклоном опорной линии.

Поскольку параллельная прямая имеет одинаковый наклон, то параллельная прямая, проходящая через (4, –1), будет иметь наклон

м = ² / ₃ . Эй, теперь у меня есть точка и наклон! Итак, я воспользуюсь формой точечного уклона, чтобы найти линию:

y — (–1) = ( ² / ₃ ) ( x — 4)

y + 1 = ( ² / ₃ ) x — ⁸ / ₃

y = ( ² / ₃ ) x — ⁸ / ₃ — ³ / ₃

y = ( ² / ₃ ) x — ¹¹ / ₃

Это параллельная линия, которую они просили, и она в форме пересечения наклона, которую они указали.

Для перпендикулярной линии я должен найти перпендикулярный уклон. Базовый уклон

м = ² / ₃ . Для перпендикулярного уклона я переворачиваю опорный уклон и меняю знак. Тогда перпендикулярный уклон м = — ³ / ₂ .

Опять же, у меня есть точка и наклон, поэтому я могу использовать форму точки-наклона, чтобы найти свое уравнение. Обратите внимание, что единственное изменение, в дальнейшем, из вычислений, которые я только что сделал выше (для параллельной линии), состоит в том, что наклон другой, теперь это наклон перпендикулярной линии.

y — (–1) = (- ³ / ₂ ) ( x — 4)

y + 1 = (- ³ / ₂ ) x + 6

y = (- ³ / ₂ ) x + 5

Тогда полное решение этого упражнения:

параллельно:

y = ( ² / ₃ ) x — ¹¹ / ₃

перпендикулярно:

y = (- ³ / ₂ ) x + 5

---

Предупреждение: Если вас спросят, являются ли две данные линии «параллельными, перпендикулярными или ни одной», вы должны ответить на этот вопрос, определив их наклоны, а не нарисовав картинку! Изображения могут дать вам лишь приблизительное представление о том, что происходит.

Например, вы просто не сможете сказать, просто «посмотрев» на картинку, что нарисованные линии с наклоном, скажем, м ₁ = 1,00 и м ₂ = 0,99 НЕ являются параллельно — и они будут уверены, что будут выглядеть на картинке параллельно . Но поскольку 1,00 не равно 0,99, линии не могут быть параллельны.

Другими словами, чтобы ответить на этот вид упражнения, всегда находите числовые наклоны; не пытайтесь уйти с рук, просто нарисовав красивые картинки.

---

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в поиске параллельной прямой, проходящей через заданную точку. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Следующий виджет предназначен для поиска перпендикулярных линий.) Или перейдите к двум следующим комплексным примерам.

(Нажав «Нажмите, чтобы просмотреть шаги» на экране ответа виджета, вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления.)

---

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в нахождении перпендикулярной линии через заданную точку. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.

(Щелкнув «Нажмите, чтобы просмотреть шаги» на экране ответа виджета, вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления.)

---

Практически все упражнения по нахождению уравнений параллельных и перпендикулярных прямых будут похожи на приведенные выше.Вот два примера более сложных типов упражнений:

• При каком значении a прямая y = ax перпендикулярна прямой ( ² / ₃ ) y — 6 x = 3?

Поскольку наклон — это значение, умноженное на « x », когда уравнение решается для « y =», то значение « a » будет значением наклона для перпендикулярной линии.Другими словами, меня спрашивают перпендикулярный уклон, но они немного скрывают свое предназначение. Мне нужно заметить связь.

Первое, что нужно сделать, это найти наклон опорной линии. Я решу для « y =»:

(2/3) y — 6 x = 3

2 y — 18 x = 9

y — 9 x = 9/2

y = 9 x + 9/2

Тогда базовый уклон м = 9.Перпендикулярна наклон (будучи значение « в », за которую они попросили меня) будет отрицательной обратной величиной опорного склона.

Я начинаю с преобразования цифры «9» в дробную форму, помещая ее над «1». Потом переворачиваю и меняю знак. Результат:

---

• Каково расстояние между линиями, заданными уравнениями 3 x + 2 y = 15 и 4 y + 6 x = 3?

Расстояние между этими двумя линиями может быть только в том случае, если они параллельны.(В противном случае они должны встретиться в какой-то точке, в которой расстояние между линиями, очевидно, будет равно нулю.) Параллельны ли эти линии? Я решу каждую для « y =», чтобы быть уверенным:

3 x + 2 y = 15

2 y = –3 x + 15

y ₁ = (–3/2) x + 15/2

…и:

4 y + 6 x = 3

4 y = –6 x + 3

y = (–6/4) x + 3/4

y ₂ = (–3/2) x + 3/4

Линии имеют одинаковый наклон, поэтому они действительно параллельны. И у них разные перехватчики y , так что это не одна и та же линия.Следовательно, между этими двумя линиями действительно есть некоторое расстояние. Но как мне найти это расстояние? Это будет перпендикулярное расстояние между двумя линиями, но как его найти?

Я знаю, что могу найти расстояние между двумя точками; Я подставляю две точки в формулу расстояния. Но у меня нет двух очков. Ах; но я могу выбрать любую точку на одной из линий, а затем найти перпендикулярную линию через эту точку.Поскольку исходные линии параллельны, эта перпендикулярная линия также перпендикулярна второй из исходных линий. Затем я могу найти, где пересекаются перпендикулярная линия и вторая линия . Эта точка пересечения будет второй точкой, которая мне понадобится для формулы расстояния.

Я знаю, что исходный уклон

м = –3/2. Тогда мой перпендикулярный уклон будет м = 2/3. Теперь мне нужна точка, через которую я проведу перпендикулярную линию.Я выберу x = 1 и вставлю это в уравнение первой строки, чтобы найти соответствующее значение y :

y = (–3/2) (1) + 15/2

= –3/2 + 15/2

= 12/2 = 6

Итак, моя точка (в первой строке, которую они мне дали): (1, 6). С помощью этой точки и моего перпендикулярного наклона я могу найти уравнение перпендикулярной линии, которое даст мне расстояние между двумя исходными линиями:

y -6 = (2/3) ( x -1)

y — 6 = (2/3) x — 2/3

y = (2/3) x — 2/3 + 18/3

y = (2/3) x + 16/3

Хорошо; теперь у меня есть уравнение перпендикуляра.Расстояние будет длиной сегмента вдоль этой линии, который пересекает каждую из исходных линий.

Где эта линия пересекает вторую из данных линий? Он будет пересекаться там, где уравнения двух линий равны, поэтому я устанавливаю стороны уравнения второй исходной линии и уравнения перпендикулярной линии, отличные от y , равными друг другу, и решаю:

(–3/2) x + 3/4 = (2/3) x + 16/3

–9 x + 9/2 = 4 x + 32

9/2 — 32 = 13 x

(–55/2) / 13 = x

x = –55/26

---

Это более чем завершает часть упражнения с линейным уравнением.Я оставлю вам остальную часть упражнения, если вам интересно.

(Чтобы закончить, вам придется подставить это последнее значение x в уравнение перпендикулярной линии, чтобы найти соответствующее значение y . Это даст вам вторую точку. [Оказывается,

(–55/26, 51/13) , если вы сделаете математику.] Затем вам нужно будет вставить эту точку вместе с первой (1, 6) в формулу расстояния, чтобы найти расстояние между линиями.[Расстояние оказывается (27/26) * sqrt [13] , или около 3,7442, если потратиться на вычисления.])

Обратите внимание, что расстояние между линиями , а не , такое же, как расстояние между линиями по вертикали или горизонтали, поэтому вы можете использовать , а не , в качестве прокси для расстояния x или y .

Что еще более важно, обратите внимание на то, что в этом упражнении ничего не говорилось о параллельных или перпендикулярных линиях и не указывается на то, чтобы найти какое-либо уравнение линии.Студенту оставалось выяснить, какие инструменты могут пригодиться. Не бойтесь подобных упражнений. Да, они могут быть длинными и беспорядочными. Но даже всего попыток их, вместо того, чтобы сразу вскинуть руки в поражении, укрепит ваши навыки, а также принесет вам несколько основных «шоколадных очков» с вашим инструктором.

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/strtlneq3.htm

.

Уравнение прямой

Уравнение прямой обычно записывают так:

(или «y = mx + c» в Великобритании см. ниже)

Что это означает?

y = насколько выше

x = расстояние от

м = Наклон или градиент (насколько крутая линия)

b = значение y , когда x = 0

Как найти «м» и «б»?

• b легко: просто посмотрите, где линия пересекает ось Y.
• м (Уклон) требует расчета:

м = Изменение в Y Изменение в X

Зная это, мы можем составить уравнение прямой:

Пример 1

м = 2 1 = 2

b = 1 (значение y при x = 0)

Итак: y = 2x + 1

Теперь вы можете воспользоваться этим уравнением…

… выберите любое значение для x и найдите соответствующее значение для y

Например, когда x равно 1:

y = 2 × 1 + 1 = 3

Убедитесь сами, что x = 1 и y = 3 действительно на линии.

Или мы могли бы выбрать другое значение для x, например 7:

y = 2 × 7 + 1 = 15

Итак, когда x = 7, у вас будет y = 15

Положительный или отрицательный наклон?

Двигаясь слева направо, велосипедист должен пройти P по пролету P Угол наклона:

Пример 2

м = −3 1 = −3

b = 0

Это дает нам y = −3x + 0

Нам ноль не нужен!

Итак: y = −3x

Пример 3: Вертикальная линия

Какое уравнение представляет собой вертикальная линия?
Наклон undefined … а где он пересекает ось Y?

Фактически, это особый случай , и вы используете другое уравнение, а не « y = …», а вместо этого используете « x = …».

Как это:

x = 1,5

Каждая точка на линии имеет координату x 1,5 ,
, поэтому ее уравнение составляет x = 1,5

Взлет и бег

Иногда используются слова «взлетать» и «бегать».

• Насколько далеко вверх
• Run — это расстояние вдоль

Итак, уклон «м» равен:

м = подъем пробег

Возможно, вам будет легче запомнить.

Другие формы

Мы смотрели на форму «наклон-пересечение». Уравнение прямой можно записать многими другими способами .

Еще одна популярная форма — это уравнение прямой и наклонной линии.

Сноска

Страна Примечание:

В разных странах учат разным «обозначениям» (прислал мне добрые читатели):

В США, Австралии, Канаде, Эритрее, Иране, Мексике, Португалии, Филиппинах и Саудовской Аравии обозначение:	y = mx + b
В Великобритания, Австралия (также), Багамы, Бангладеш, Бельгия, Бруней, Болгария, Кипр, Египет, Германия, Гана, Индия, Индонезия, Ирландия, Ямайка, Кения, Кувейт, Малайзия, Малави, Мальта, Непал , Новая Зеландия, Нигерия, Оман, Пакистан, Перу, Сингапур, Соломоновы Острова, Южная Африка, Шри-Ланка, Турция, ОАЭ, Замбия и Зимбабве	y = mx + c
В Афганистан, Албания, Алжир, Бразилия, Китай, Чешская Республика, Дания, Эфиопия, Франция, Ливан, Нидерланды, Косово, Кыргызстан, Норвегия, Польша, Румыния, Южная Корея, Суринам, Испания, Тунис и Вьетнам Нам:	у = ах + Ь
В Азербайджане, Китае, Финляндии, России и Украине :	y = kx + b
В Греция :	ψ = αχ + β
В Италия :	y = mx + q
В Япония :	y = mx + d
В Куба и Израиль :	y = mx + n
В Румыния :	у = gA + C
В Латвии и Швеции :	y = kx + m
В Сербии и Словении :	y = kx + n
В вашей стране:	сообщите нам!

… но все это означает одно и то же, только разные буквы.

.

Уравнение прямой в различных формах — Учебный материал для IIT JEE

 
 

 
 Прямые линии составляют важную тему трехмерной геометрии.Тема немного сложная, но, немного поработав, можно получить несколько прямых вопросов. Прямая линия может быть представлена ​​в разных формах, и вопросы часто задаются на экзамене по этим формам. Сначала мы обсудим некоторые формы представления прямой линии, а затем перейдем к некоторым связанным вопросам. 

  
 
  Что такое прямая линия?  
 

 
 В трехмерной геометрии прямая линия определяется как пересечение двух плоскостей.Таким образом, общее уравнение прямой линии сформулировано как уравнения обеих плоскостей вместе, т.е. общее уравнение прямой линии имеет вид  1  x + b  1  y + c  1  z + d  1  = 0, a  2  x + b  2  y + c  2  z + d  2  = 0 …… (1) 

 
 Итак, уравнение (1) представляет собой прямую линию, полученную пересечением двух плоскостей.   

 
  Посмотреть видео по прямым  

 
    

  
 
  Уравнение прямой в разных формах  
 

 
  Симметричная форма:  

 

• Уравнение прямой, проходящей через точку P (x ₁ , y ₁ , z ₁ ), направляющие косинусы которой равны l, m, n равно

(x – x 1 ) / l = (y — y 1 ) / m = (z — z 1 ) / n.

• Уравнение прямой, проходящей через две точки P (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и Q (x ₂ , y ₂ , z ₂ ), составляет

x – x 1 / x 2 — x 1 = y – y 1 / y 2 — y 1 = z — y 1 / z 2 — z 1

• Формула сечения: Если P (x, y) делит линию, соединяющую A (x ₁ , y ₁ ) и B (x ₂ , y ₂ ) в соотношении м: н тогда,

x = (mx ₂ + nx ₁ ) / (m + n) и y = (my ₂ + ny ₁ ) / (m + n)

• Форма пересечения: Если прямая линия пересекает, скажем, «a» и «b» по осям x и y соответственно, тогда уравнение прямой будет иметь вид

• Общие координаты точки на линии задаются выражением (x ₁ + lr, y ₁ + mr, z ₁ + nr), где r — расстояние между точкой (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и точку, координаты которой необходимо записать.

Иллюстрация: Найдите уравнения прямых, проходящих через точку (a, b, c), которые равны

(а) параллельно оси z (б) перпендикулярно оси z

Решение: (i) Уравнение прямых линий, параллельных оси z, имеет

α = 90 ⁰ , β = 90 ⁰ , γ = 0 ⁰

=> l = 0, m = 0, n = 1.

Следовательно, уравнение прямой, параллельной оси z и проходящей через (a, b, c), равно

(х — а) / 0 = (у — б) / 0 = (г — в) / 1

(ii) Уравнение прямой, перпендикулярной оси z

Предположим, что он составляет угол α и β с осями x и y соответственно.

Тогда уравнение прямой, перпендикулярной оси z и проходящей через (a, b, c), равно

(x – a) / cos α = (y — b) / sin α = (z — c) / 0

=> (x – a) / l = (y — b) / m = (z — c) / 0.

Иллюстрация: Найдите координаты точки, в которой линия, соединяющая точки (2, –3, 1) и (3, –4, –5), пересекает плоскость 2x + y + z = 7.

Решение: Соотношения направлений линии составляют 3 — 2, –4 — (–3), –5 — 1 i.е. 1, –1, –6

Следовательно, уравнение линии, соединяющей данные точки, равно

(x – 2) / 1 = (y + 3) / –1 = (z — 1) / — 6 = r (скажем)

Координаты любой точки на этой прямой: (r + 2, –r — 3, –6r + 1).

Если эта точка лежит на данной плоскости 2x + y + z = 7, то

2 (r + 2) + (–r — 3) + (–6r + 1) = 7 => r = –1

Координаты точки: (–1 + 2, — (- 1) — 3, –6 (–1) + 1), то есть (1, –2, 7).

Примечание: Если уравнение прямой задано в общем виде, его можно преобразовать в симметричный. Метод описан на следующем рисунке.

Иллюстрация: Найдите в симметричной форме уравнения прямой

3x + 2y — z — 4 = 0 = 4x + y — 2z + 3.

Решение: Уравнения прямой в общем виде:

3x + 2y — z — 4 = 0, 4x + y — 2z + 3 = 0 …… (1)

Пусть l, m, n — направляющие косинусы прямой.Поскольку линия является общей для обеих плоскостей, она перпендикулярна нормали к обеим плоскостям.

Отсюда 3l + 2m — n = 0, 4l + m — 2n = 0

Решая их, получаем,

L / –4 + 1 = m – 4 + 6 = n / 3–8

т.е. 1 / –3 = m / 2 = n / –5 = 1 / √ (–3) ² + 2 ² + (–5) ² = 1 / √38

Итак, направляющие косинусы линии равны –3 / √38, 2 / √38, –5 / √38.

Теперь, чтобы найти координаты точки на прямой: давайте найдем точку, в которой она пересекает плоскость z = 0.Положив z = 0 в уравнение (1), получим

3х + 2у — 4 = 0, 4х + у + 3 = 0

Решая их, получаем x = –2, y = 5

Итак, одна точка линии равна (–2, 5, 0).

∴ Уравнение прямой в симметричной форме

Иллюстрация: Если P = (1, 0), Q = (-1, 0) и R = (2, 0) — три заданные точки, то геометрическое место точек удовлетворяет соотношению SQ ² + SR ² = 2SP ² , это….? (1988)

Решение: Пусть координата S будет (x, y).

Тогда согласно заданному условию SQ ² + SR ² = 2SP ²

Поскольку координаты заданы, подставляем их в условие и получаем

(x + 1) ² + y ² + (x-2) ² + y ² = 2 [(x-1) ² + y ² ]

Это дает, x ² + 2x + 1 + y ² + x ² — 4x + 4 + y ² = 2 (x ² + 1 — 2x + y ² )

Это дает 2x + 3 = 0.

Следовательно, x = -3/2.

Следовательно, линия, удовлетворяющая данному условию, является прямой линией, параллельной оси y.

Иллюстрация: Пусть a и b ненулевые действительные числа, тогда что означает уравнение

(ax ² + by ² + c) (x ² — 5xy + 6y ² ) представляют? (2008)

Решение: пусть a и b будут двумя ненулевыми действительными числами.

Следовательно, уравнение (ax ² + by ² + c) (x ² — 5xy + 6y ² ) подразумевает, что либо

(x ² — 5xy + 6y ² ) = 0

Это дает (x-2y) (x-3y) = 0

Или x = 2y и x = 3y

Это две прямые, проходящие через начало координат или

(ax ² + by ² + c) = 0, когда c = 0 и a и b имеют одинаковые знаки, тогда

(ax ² + by ² + c) = 0 и x = 0 и y = 0

Это фактически точка, указанная в начале координат.

Когда a = b и c имеет знак, противоположный знаку a, (ax ² + на ² + c) представляет собой круг. Следовательно, данное уравнение может представлять две прямые и окружность.

askIITians — это онлайн-портал, который действует как платформа для соискателей JEE, где они могут задавать любые вопросы в 3D, такие как уравнение оси Y в 3D, демонстрация общей формы прямой линии или уравнения оси Z в 3D.

Связанные ресурсы

Чтобы узнать больше, купите учебные материалы 3D Geometry , включающие учебные заметки, заметки о пересмотре, видеолекции, решенные вопросы за предыдущий год и т. Д.Также просмотрите дополнительные учебные материалы по математике здесь .

Особенности курса

• 731 Видео-лекции
• Примечания к редакции
• Документы за предыдущий год
• Интеллектуальная карта
• Планировщик исследования
• Решения NCERT
• Обсуждение Форум
• Тестовая бумага с видео-решением

.

графиков — Как вы проверяете пересечение между линейным сегментом и линейным лучом, исходящим из точки под углом к ​​горизонтали?

Переполнение стека

1. Около
2. Продукты
3. Для команд

1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
2. Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
3. Вакансии Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
4. Талант Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя
5. Реклама Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира
6. О компании

.