Что такое ось симметрии треугольника: Что такое осевая и центральная симметрия?

Содержание

Что такое осевая и центральная симметрия?

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, у которых есть ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

Ось симметрии угла — биссектриса.
Ось симметрии треугольника — биссектриса, медиана, высота.
Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу квадрат, треугольник и ромб.
Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Не зря осевую и центральную симметрию изучают в 8 классе — цифра 8 очень симметрична. Если вы хотите, чтобы ваш ребенок чертил и высчитывал не хуже да Винчи, записывайтесь на бесплатный вводный урок математики.

Преподаватели школы Skysmart на интересных примерах из жизни объяснят любую тему, а на нашей интерактивной доске и сам Леонардо не отказался бы почертить.

Осевая симметрия

Вот, как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

На рисунках осевая симметрия: точки A и B симметричны относительно прямой a; точки R и F симметричны относительно прямой A

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A1B1C1 ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.

Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на прямой.

С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.

Соединяем точки отрезками и строим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC.

Получаем два треугольника с осевой симметрией.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.

Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.

Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.

Соединяем точки и строим треугольник A₁B₁C₁.

Пример 3. Построить отрезок A1B1, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

Измеряем расстояние от точки B до прямой l и от точки A до прямой l.

Проводим прямую от точки А через прямую l, выводя за ось симметрии.

Проводим прямую от точки B через прямую l, выводя за ось симметрии.

Соединяем точки отрезка A₁B₁.

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

На картинках центральная симметрия: точка O здесь — центр симметрии

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах на 8 марта.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A1B1C1 ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.

Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).

Получившиеся точки соединяем отрезками A₁B₁ A₁C₁ B₁C₁.

Получаем треугольник A₁B₁ C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Постройте треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

По аналогии с предыдущим примером сначала соединяем точки ABC с точкой O.

Выводим отрезки за точку О.

Измеряем отрезки AO, BO, CO и чертим такие же на противоположной стороне.

Получаем два центрально-симметричных треугольника.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.

Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.

Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.

Чертим на противоположной стороне отрезки равные отрезкам АО и АB.

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М1 N1 — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М1 N1.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точки N и N1 на прямую MМ1

Задачка 2. Постройте фигуру, симметричную данной относительно оси a.

Чтобы у вашего ребенка не возникало больше вопросов, как построить осевую симметрию или чем центральная симметрия отличается от зеркальной, — запишите его на уроки математики в онлайн-школу Skysmart. На наших занятиях даже самые скучные геометрические чертежи превращаются в забавные рисунки.

2 ось симметрии треугольника. Фигуры, имеющие две оси симметрии

Сколько разных осей симметрии сможет иметь какой — нибудь треугольник, зависит от его геометрической формы. Если это равносторонний треугольник, тогда у него будут сразу целых три оси симметрии.

А в случае если это равнобедренний треугольник, у него будет только одна ось симметрии.

Сын сестры как раз проходит эту тему в школе на уроках геометрии. Ось симметрии — это прямая линия, при повороте вокруг которой на конкретный угол симметричная фигура займет такое же положение в пространстве, которое она занимала до поворота, а на место одних ее частей станут такие же другие.

Это, смотря какой треугольник. У равностороннего треугольника имеются три оси симметрии, которые проходят через три его вершины. Равнобедренный треугольник, соответственно имеет одну ось симметрии. Остальные треугольники, оси симметрии не имеют.

От этого легче запомнить следующее

Нет равных сторон, то есть все стороны разные,значит нет осей симметрии

А в равнобедренном треугольнике всего одна ось

Нельзя просто ответить, сколько осей симметрии у треугольника, не разобравшись с тем, о каком именно треугольнике идет речь.

У треугольника равностороннего имеется три оси симметрии, соответственно.

У треугольника равнобедренного имеется всего лишь одна ось симметрии.

У любых других треугольников с разными по длине сторонами вообще нет ни одной оси симметрии.

Треугольник, у которого все стороны разные по величине, не имеет осей симметрии.

Прямоугольный треугольник может иметь одну ось симметрии в случае, если его катеты равны.

В треугольнике, у которого две стороны равны (равнобедренном) можно провести одну ось, а у которого все три стороны равны (равностороннем) — три.

Прежде, чем ответить на вопрос о том, сколько осей симметрии имеет треугольник, сначала нужно вообще вспомнить, что такое ось симметрии.

Так вот, говоря просто, в геометрии ось симметрии — это линия, если по которой согнуть фигуру, то получим одинаковые половинки.

но стоит помнить, что треугольники тоже бывают разными.

Так вот, равнобедренный треугольник (треугольник с двумя равными сторонами) имеет одну ось симметрии.

Равносторонний треугольник соответственно имеет 3 оси симметрии, так как все стороны у этого треугольника равны.

А вот разносторонний треугольник вообще осей симметрии не имеет. Хоть как его складывай и хоть где прямые линии проводи, но раз стороны разные, то и двух одинаковых половиной не получится.

Насколько помню геометрию, у равностороннего треугольника три оси симметрии, проходящие через его вершины, это его биссектрисы. У прямоугольного треугольника, как и разностороннего, тупоугольного и остроугольного треугольников осей симметрии вообще нет, а у равнобедренного она одна.

А проверить это легко — просто представить линию, по которой его можно разрезать надвое так, чтобы получить два одинаковых треугольника.

Так как треугольники бывают разные, то и оси симметрии у них соответственно в разных количествах. Например, треугольник с разными сторонами вообще без осей симметрии. А у равностороннего их аж три. Есть еще один вид треугольника, который имеет одну ось симметрии. У него две стороны равны, и один прямой угол.

Произвольный треугольник не имеет осей симметрии. Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии — это медиана к одиночной стороне. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии — это три его медианы.

Что же такое ось симметрии? Это множество точек, которые образуют прямую, являющуюся основой симметрии, то есть, если от прямой отложили определенное расстояние с одной стороны, то оно отразится и в другую сторону в таком же размере. Осью может выступать все, что угодно, — точка, прямая, плоскость и так далее. Но об этом лучше говорить на наглядных примерах.

Симметрия

Для того чтобы понять, что такое ось симметрии, нужно вникнуть в само определение симметрии. Это соответствие определенного фрагмента тела относительно какой-либо оси, когда его структура неизменна, а свойства и форма такого объекта остаются прежними относительно его преобразований. Можно сказать, что симметрия — свойство тел к отображению. Когда фрагмент не может иметь подобного соответствия, это называется асимметрией или же аритмией.

Некоторые фигуры не имеют симметрии, поэтому они и называются неправильными или же асимметричными. К таким относятся различные трапеции (кроме равнобедренной), треугольники (кроме равнобедренного и равностороннего) и другие.

Виды симметрии

Также обсудим некоторые виды симметрии, чтобы до конца изучить это понятие. Их разделяют так:

Осевая. Осью симметрии является прямая, проходящая через центр тела. Как это? Если наложить части вокруг оси симметрии, то они будут равными. Это можно увидеть на примере сферы.

Зеркальная. Осью симметрии здесь является прямая, относительно которой тело можно отразить и получить обратное отображение. Например, крылья бабочки зеркально симметричны.

Центральная. Осью симметрии является точка в центре тела, относительно которой при всех преобразованиях части тела равны при наложении.

История симметрии

Само понятие симметрии часто бывает отправной точкой в теориях и гипотезах ученых древних времен, которые были уверены в математической гармонии мироздания, а также в проявлении божественного начала. Древние греки свято верили в то, что Вселенная симметрична, потому что симметрия великолепна. Человек очень давно использовал идею симметрии в своих познаниях картины мироздания.

В V веке до нашей эры Пифагор считал сферу самой совершенной формой и думал, что Земля имеет форму сферы и таким же образом движется. Также он полагал, что Земля движется по форме какого-то «центрального огня», вокруг которого должны были вращаться 6 планет (известные на то время), Луна, Солнце и все другие звезды.

А философ Платон считал многогранники олицетворением четырех природных стихий:

тетраэдр — огонь, так как его вершина направлена вверх;
куб — земля, так как это самое устойчивое тело;
октаэдр — воздух, нет каких-либо объяснений;
икосаэдр — вода, так как тело не имеет грубых геометрических форм, углов и так далее;
образом всей Вселенной являлся додекаэдр.

Из-за всех этих теорий правильные многогранники называют телами Платона.

Симметрией пользовались еще зодчие Древней Греции. Все их постройки были симметричны, об этом свидетельствуют изображения древнего храма Зевса в Олимпии.

Голландский художник М. К. Эшер также прибегал к симметрии в своих картинах. В частности, мозаика из двух птиц, летящих навстречу, стала основой картины «День и ночь».

Также и наши искусствоведы не пренебрегали правилами симметрии, что видно на примере картины Васнецова В. М. «Богатыри».

Что уж там говорить, симметрия — ключевое понятие для всех деятелей искусства на протяжении многих веков, но в XX веке ее смысл оценили также все деятели точных наук. Точным свидетельством являются физические и космологические теории, например, теория относительности, теория струн, абсолютно вся квантовая механика. Со времен Древнего Вавилона и, заканчивая передовыми открытиями современной науки, прослеживаются пути изучения симметрии и открытия ее основных законов.

Симметрия геометрических фигур и тел

Рассмотрим внимательнее геометрические тела. Например, осью симметрии параболы является прямая, проходящая через ее вершину и рассекающая данное тело пополам. У этой фигуры имеется одна единственная ось.

А с геометрическими фигурами дело обстоит иначе. Ось симметрии прямоугольника — также прямая, но их несколько. Можно провести ось параллельно отрезкам ширины, а можно — длины. Но не все так просто. Вот прямая не имеет осей симметрии, так как ее конец не определен. Могла существовать только центральная симметрия, но, соответственно, и таковой не будет.

Следует также знать то, что некоторые тела имеют множество осей симметрии. Об этом догадаться несложно. Даже не нужно говорить о том, сколько осей симметрии имеет окружность. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является таковой и этих прямых — бесконечное множество.

У некоторые четырехугольников может быть две оси симметрии. Но вторые должны быть перпендикулярны. Это происходит в случае с ромбом и прямоугольником. В первом оси симметрии — диагонали, а во втором — средние линии. Множество таковых осей только у квадрата.

Симметрия в природе

Природа поражает множеством примеров симметрии. Даже наше человеческое тело устроено симметрично. Два глаза, два уха, нос и рот расположены симметрично относительно центральной оси лица. Руки, ноги и все тело в общем устроено симметрично оси, проходящей через середину нашего тела.

А сколько примеров окружает нас постоянно! Это цветы, листья, лепестки, овощи и фрукты, животные и даже соты пчел имеют ярко выраженную геометрическую форму и симметрию. Вся природа устроена упорядоченно, всему есть свое место, что еще раз подтверждает совершенство законов природы, в которых симметрия — основное условие.

Вывод

Нас постоянно окружают какие-либо явления и предметы, например, радуга, капля, цветы, лепестки и так далее. Их симметрия — очевидна, в какой-то степени она обусловлена гравитацией. Часто в природе под понятием «симметрия» понимают регулярную смену дня и ночи, времен года и так далее.

Подобные свойства наблюдаются везде, где есть порядок и равенство. Также и сами законы природы — астрономические, химические, биологические и даже генетические подчинены определенным принципам симметрии, так как имеют совершенную системность, а значит, сбалансированность имеет всеохватывающий масштаб. Следовательно, осевая симметрия — один из основополагающих законов мироздания в целом.

I . Симметрия в математике :

Основные понятия и определения.

Осевая симметрия (определения, план построения, примеры)

Центральная симметрия (определения, план построения, при меры)

Обобщающая таблица (все свойства, особенности)

II . Применения симметрии:

1) в математике

2) в химии

3) в биологии, ботанике и зоологии

4) в искусстве, литературе и архитектуре

1. Основные понятия симметрии и ее виды.

Понятие симметрии пр оходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека. И употреблялось скульпторами ещё в 5 веке до н. э. Слово “симметрия” греческое, оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей”. Его широко используют все без исключения направления современной науки. Об этой закономерности задумывались многие великие люди. Например, Л. Н. Толстой говорил: “Стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия понятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основано?”. Действительно симметричность приятна глазу. Кто не любовался симметричностью творений природы: листьями, цветами, птицами, животными; или творениями человека: зданиями, техникой, – всем тем, что нас с детства окружает, тем, что стремится к красоте и гармонии. Герман Вейль сказал: “Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство”. Герман Вейль – это немецкий математик. Его деятельность приходится на первую половину ХХ века. Именно он сформулировал определение симметрии, установил по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае. Таким образом, математически строгое представление сформировалось сравнительно недавно – в начале ХХ века. Оно достаточно сложное. Мы же обратимся и еще раз вспомним те определения, которые даны нам в учебнике.

2. Осевая симметрия.

2.1 Основные определения

Определение. Две точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

Определение. Фигура называется симметричной относительно прямой а , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

2.2 План построения

И так, для построения симметричной фигуры относительно прямой от каждой точки проводим перпендикуляр к данной прямой и продлеваем его на такое же расстояние, отмечаем полученную точку. Так поступаем с каждой точкой, получаем симметричные вершины новой фигуры. Затем последовательно их соединяем и получаем симметричную фигуру данной относительной оси.

2.3 Примеры фигур, обладающих осевой симметрией.

3. Центральная симметрия

3.1 Основные определения

Определение . Две точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О, если О — середина отрезка АА 1 . Точка О считается симметричной самой себе.

Определение. Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

3.2 План построения

Построение треугольника симметричного данному относительно центра О.

Чтобы построить точку, симметричную точке А относительно точки О , достаточно провести прямую ОА (рис. 46) и по другую сторону от точки О отложить отрезок, равный отрезку ОА . Иными словами, точки А и ; В и ; С и симметричны относительно некоторой точки О. На рис. 46 построен треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно точки О. Эти треугольники равны.

Построение симметричных точек относительно центра.

На рисунке точки М и М 1 , N и N 1 симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки.

Вообще фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.

3.3 Примеры

Приведём примеры фигур, обладающие центральной симметрией. Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм.

Точка О называется центром симметрии фигуры. В подобных случаях фигура обладает центральной симметрией. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма- точка пересечения его диагоналей.

Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии (точка О на рисунке) у прямой их бесконечно много — любая точка прямой является её центром симметрии.

На рисунках показан угол симметричный относительно вершины, отрезок симметричный другому отрезку относительно центра А и четырехугольник симметричный относительно своей вершины М.

Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

4. Итог урока

Обобщим полученные знания. Сегодня на уроке мы познакомились с двумя основными видами симметрии: центральная и осевая. Посмотрим на экран и систематизируем полученные знания.

Обобщающая таблица

	Осевая симметрия	Центральная симметрия
Особенность	Все точки фигуры должны быть симметричны относительно какой-нибудь прямой.	Все точки фигуры должны, симметричны относительно точки, выбранной в качестве центра симметрии.
Свойства	1. Симметричные точки лежат на перпендикулярах к прямой. 3. Прямые переходят в прямые, углы в равные углы. 4. Сохраняются размеры и формы фигур.	1. Симметричные точки лежат на прямой, проходящей через центр и данную точку фигуры. 2. Расстояние от точки до прямой равно расстоянию от прямой до симметричной точки. 3. Сохраняются размеры и формы фигур.

II. Применение симметрии

Математика

На уроках алгебры мы изучили графики функций y=x и y=x

На рисунках представлены различные картинки, изображенные с помощью ветвей парабол.

(а) Октаэдр,

(б) ромбический додекаэдр, (в) гексагональной октаэдр.

Русский язык

Печатные буквы русского алфавита тоже обладают различными видами симметрий.

В русском языке есть «симметричные» слова — палиндромы , которые можно читать одинаково в двух направлениях.

А Д Л М П Т Ф Ш – вертикальная ось

В Е З К С Э Ю — горизонтальная ось

Ж Н О Х — и вертикальная и горизонтальная

Б Г И Й Р У Ц Ч Щ Я – ни какой оси

Радар шалаш Алла Анна

Литература

Могут быть палиндромичес- кими и предложения. Брюсов написал стихотворение «Голос луны», в котором каждая строка — палиндром.

Посмотрите на четверости -шие А.С.Пушкина «Медный всадник». Если провести линию после второй строчки мы можем заметить элементы осевой симметрии

А роза упала на лапу Азора.

Я иду с мечем судия. (Державин)

«Искать такси»

«Аргентина манит негра»,

«Ценит негра аргентинец»,

«Леша на полке клопа нашел».

В гранит оделася Нева;

Мосты повисли над водами;

Темно-зелеными садами

Ее покрылись острова…

Биология

Тело человека построено по принципу двусторонней симметрии. Большинство из нас рассматривает мозг как единую структуру, в действительности он разделён на две половины. Эти две части — два полушария — плотно прилегают друг к другу. В полном соответствии с общей симметрией тела человека каждое полушарие представляет собой почти точное зеркальное отображение другого

Управление основными движениями тела человека и его сенсорными функциями равномерно распределено между двумя полушариями мозга. Левое полушарие контролирует правую сторону мозга, а правое — левую сторону.

Ботаника

Цветок считается симметричным, когда каждый околоцветник состоит из равного числа частей. Цветки, имея парные части, считаются цветками с двойной симметрией и т.д. Тройная симметрия обычна для однодольных растений, пятерная — для двудольных Характерной чертой строения растений и их развития является спиральность.

Обратите внимание на побеги листорасположения – это тоже своеобразный вид спирали – винтовая. Еще Гёте, который был не только великим поэтом, но и естествоиспытателем, считал спиральность одним из характерных признаков всех организмов, проявлением самой сокровенной сущности жизни. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спиральные движения наблюдаются при росте корней и побегов.

Характерной чертой строения растений и их развития является спиральность.

Посмотрите на сосновую шишку. Чешуйки на ее поверхности расположены строго закономерно — по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом. Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21.

Зоология

Под симметрией у животных понимают соответствие в размерах, форме и очертаниях, а также относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии. При радиальной или лучистой симметрии тело имеет форму короткого или длинного цилиндра либо сосуда с центральной осью, от которого отходят в радиальном порядке части тела. Это кишечнополостные, иглокожие, морские звёзды. При билатеральной симметрии осей симметрии три, но симметричных сторон только одна пара. Потому что две другие стороны — брюшная и спинная — друг на друга не похожи. Этот вид симметрии характерен для большинства животных, в том числе насекомых, рыб, земноводных, рептилий, птиц, млекопитающих.

Осевая симметрия

Различные виды симметрии физических явлений: симметрия электрического и магнитного полей (рис. 1)

Во взаимно перпендикулярных плоскостях симметрично распространение электромагнитных волн (рис. 2)

рис.1 рис.2

Искусство

В произведениях искусства часто можно наблюдать зеркальную симметрию. Зеркальная» симметрия широко встречается в произведениях искусства примитивных цивилизаций и в древней живописи. Средневековые религиозные картины также характеризуются этим видом симметрии.

Одно из лучших ранних произведений Рафаэля – «Обручение Марии» — создано в 1504 году. Под солнечным голубым небом раскинулась долина, увенчанная белокаменным храмом. На первом плане – обряд обручения. Первосвященник сближает руки Марии и Иосифа. За Марией – группа девушек, за Иосифом – юношей. Обе части симметричной композиции скреплены встречным движением персонажей. На современный вкус композиция такой картины скучна, поскольку симметрия слишком очевидна.

Химия

Молекула воды имеет плоскость симметрии (прямая вертикальная линия).Исключительно важную роль в мире живой природы играют молекулы ДНК (дезоксирибонуклеиновая кислота). Это двуцепочечный высокомолекулярный полимер, мономером которого являются нуклеотиды. Молекулы ДНК имеют структуру двойной спирали, построенной по принципу комплементарности.

Архите ктура

Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Особенно блистательно использовали симметрию в архитектурных сооружениях древние зодчие. Причем древнегреческие архитекторы были убеждены, что в своих произведениях они руководствуются законами, которые управляют природой. Выбирая симметричные формы, художник тем самым выражал свое понимание природной гармонии как устойчивости и равновесия.

В городе Осло, столице Норвегии, есть выразительный ансамбль природы и художественных произведений. Это Фрогнер – парк – комплекс садово-парковой скульптуры, который создавался в течение 40 лет.

Дом Пашкова Лувр (Париж)

«Симметрия вокруг нас» — Все виды осевой симметрии. Вращения. Греческое слово симметрия означает «пропорциональность», «гармония». Произвольная. Центральная относительно точки. Симметрия в пространстве. Вращения (поворотная). В геометрии есть фигуры, которые имеют. Симметрия. Осевая. Один вид симметрии. Вокруг нас. Центральная.

«В мире симметрии» — Орнаменты, фризы имеют в своей основе периодически повторяющийся узор. Симметричны формы жука, червяка, гриба, листа, цветка и др. Большинство зданий зеркально симметричны. Во всем ли в жизни должна быть симметрия? Зачем надо знать о симметрии, изучая технические науки? Что такое симметрия? Симметрия в природе и технике.

«Симметрия в искусстве» — Центрально- осевая симметрия в архитектуре. II.1. Пропорция в архитектуре. Палаццо Спада (Рим). По характеру своих творческих возможностей периодичность — универсальное явление. III. Ле-Корбюэье. Ритм является одним из основных элементов выразительности мелодии. Р. Декарт. Ж. А. Фабр. Геометрические методы изображения пространственных фигур:

«Точка симметрии» — Фигуры, не имеющие осей симметрии. Точка О называется центром симметрии. Две точки А и А1 называются симметричными относительно О, если О середина отрезка АА1. Равнобочная трапеция имеет только осевую симметрию. Симметрия в природе. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют две оси симметрии.

«Математическая симметрия» — Однако у сложных молекул, как правило, отсутствует симметрия. Палиндромы. Осевая. Центральная симметрия. Осевая симметрия. Типы симметрии. Симметрия в биологии. Вращательная симметрия. Симметрия в искусствах. ИМЕЕТ МНОГО ОБЩЕГО С ПОСТУПАТЕЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ В МАТЕМАТИКЕ. Спиральная симметрия. Поступательная.

«Виды симметрии» — Центральная симметрия является движением. Зеркальный двойник оказывается «вывернутым» вдоль направления перпендикулярного к плоскости зеркала. Осевая симметрия также является движением. Теорема. Параллельный перенос. Центральная симметрия. Виды движения. Понятие движения. Параллельный перенос – один из видов движения.

Всего в теме 11 презентаций

Цели:

образовательные:
- дать представление о симметрии;
- познакомить с основными видами симметрии на плоскости и в пространстве;
- выработать прочные навыки построения симметричных фигур;
- расширить представления об известных фигурах, познакомив со свойствами, связанных с симметрией;
- показать возможности использования симметрии при решении различных задач;
- закрепить полученные знания;
общеучебные:
- научить настраивать себя на работу;
- научить вести контроль за собой и соседом по парте;
- научить оценивать себя и соседа по парте;
развивающие:
- активизировать самостоятельную деятельность;
- развивать познавательную деятельность;
- учить обобщать и систематизировать полученную информацию;
воспитательные:
- воспитываать у учащихся “чувство плеча”;
- воспитывать коммуникативность;
- прививать культуру общения.

ХОД УРОКА

Перед каждым лежат ножницы и лист бумаги.

Задание 1 (3 мин).

– Возьмем лист бумаги, сложим его попалам и вырежем какую-нибудь фигурку. Теперь развернем лист и посмотрим на линию сгиба.

Вопрос: Какую функцию выполняет эта линия?

Предполагаемый ответ: Эта линия делит фигуру пополам.

Вопрос: Как расположены все точки фигуры на двух получившихся половинках?

Предполагаемый ответ: Все точки половинок находятся на равном расстоянии от линии сгиба и на одном уровне.

– Значит, линия сгиба делит фигурку пополам так, что 1 половинка является копией 2 половинки, т.е. эта линия непростая, она обладает замечательным свойством (все точки относительно ее находятся на одинаковом расстоянии), эта линия – ось симметрии.

Задание 2 (2 мин).

– Вырезать снежинку, найти ось симметрии, охарактеризовать ее.

Задание 3 (5 мин).

– Начертить в тетради окружность.

Вопрос: Определить, как проходит ось симметрии?

Предполагаемый ответ: По-разному.

Вопрос: Так сколько осей симметрии имеет окружность?

Предполагаемый ответ: Много.

– Правильно, окружность имеет множество осей симметрии. Такой же замечательной фигурой является шар (пространственная фигура)

Вопрос: Какие еще фигуры имеют не одну ось симметрии?

Предполагаемый ответ: Квадрат, прямоугольник, равнобедренный и равносторонний треугольники.

– Рассмотрим объемные фигуры: куб, пирамиду, конус, цилиндр и т.д. Эти фигуры тоже имеют ось симметрии.Определите, сколько осей симметрии у квадрата, прямоугольника, равностороннего треугольника и у предложенных объемных фигур?

Раздаю учащимся половинки фигурок из пластилина.

Задание 4 (3 мин).

– Используя полученную информацию, долепить недостающую часть фигурки.

Примечание: фигурка может быть и плоскостной, и объемной. Важно, чтобы учащиеся определили, как проходит ось симметрии, и долепили недостающий элемент. Правильность выполнения определяет сосед по парте, оценивает, насколько правильно проделана работа.

Из шнурка одного цвета на рабочем столе выложена линия (замкнутая, незамкнутая, с самопересечением, без самопересечения).

Задание 5 (групповая работа 5 мин).

– Определить визуально ось симметрии и относительно нее достроить из шнурка другого цвета вторую часть.

Правильность выполненной работы определяется самими учениками.

Перед учащимися представлены элементы рисунков

Задание 6 (2 мин).

– Найдите симметричные части этих рисунков.

Для закрепления пройденного материала предлагаю следующие задания, предусмотренные на 15 мин.:

Назовите все равные элементы треугольника КОР и КОМ. Каков вид этих треугольников?

2. Начертите в тетради несколько равнобедренных треугольников с общим основанием равным 6 см.

3. Начертите отрезок АВ. Постройте прямую перпендикулярную отрезку АВ и проходящую через его середину. Отметьте на ней точки С и D так, чтобы четырехугольник АСВD был симметричен относительно прямой АВ.

– Наши первоначальные представления о форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века – палеолита. В течение сотен тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в условиях мало отличавшихся от жизни животных. Люди изготовляли орудия для охоты и рыболовства, вырабатывали язык для общения друг с другом, а в эпоху позднего палеолита украшали свое существование, создавая произведения искусства, статуэтки и рисунки, в которых обнаруживается замечательное чувство формы.
Когда произошел переход от простого собирания пищи к активному ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию, человечество вступает в новый каменный век, в неолит.
Человек неолита обладал острым чувством геометрической формы. Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление камышовых циновок, корзин, тканей, позже – обработка металлов вырабатывали представления о плоскостных и пространственных фигурах. Неолитические орнаменты радовали глаз, выявляя равенство и симметрию.
– А где в природе встречается симметрия?

Предполагаемый ответ: крылья бабочек, жуков, листья деревьев…

– Симметрию можно наблюдать и в архитектуре. Строя здания, строители четко придерживаются симметрии.

Поэтому здания получаются такие красивые. Также примером симметрии служит человек, животные.

Задание на дом:

1. Придумать свой орнамент, изобразить его на листе формат А4 (можно нарисовать в виде ковра).
2. Нарисовать бабочек, отметить, где присутствуют элементы симметрии.

Ось симметрии отрезка рисунок. Сколько осей симметрии имеет треугольник

А в случае если это равнобедренний треугольник, у него будет только одна ось симметрии.

Самое простое, что можно запомнить — это у равностороннего треугольника три стороны равны и он имеет три оси симметрии

От этого легче запомнить следующее

Нет равных сторон, то есть все стороны разные,значит нет осей симметрии

А в равнобедренном треугольнике всего одна ось

У треугольника равностороннего имеется три оси симметрии, соответственно.

У треугольника равнобедренного имеется всего лишь одна ось симметрии.

У любых других треугольников с разными по длине сторонами вообще нет ни одной оси симметрии.

Треугольник, у которого все стороны разные по величине, не имеет осей симметрии.

Прямоугольный треугольник может иметь одну ось симметрии в случае, если его катеты равны.

но стоит помнить, что треугольники тоже бывают разными.

Так вот, равнобедренный треугольник (треугольник с двумя равными сторонами) имеет одну ось симметрии.

20 мая 2014

Жизнь людей наполнена симметрией. Это удобно, красиво, не нужно выдумывать новых стандартов. Но что она есть на самом деле и так ли красива в природе, как принято считать?

Симметрия

С древних времен люди стремятся упорядочить мир вокруг себя. Поэтому что-то считается красивым, а что-то не очень. С эстетической точки зрения как привлекательные рассматриваются золотое и серебряное сечения, а также, разумеется, симметрия. Этот термин имеет греческое происхождение и дословно означает «соразмерность». Разумеется, речь идет не только о совпадении по этому признаку, но также и по некоторым другим. В общем смысле симметрия — это такое свойство объекта, когда в результате тех или иных образований результат равен исходным данным. Это встречается как в живой, так и в неживой природе, а также в предметах, сделанных человеком.

Прежде всего термин «симметрия» употребляется в геометрии, но находит применение во многих научных областях, причем его значение остается в общем и целом неизменным. Это явление достаточно часто встречается и считается интересным, поскольку различается несколько его видов, а также элементов. Использование симметрии также интересно, ведь она встречается не только в природе, но и в орнаментах на ткани, бордюрах зданий и многих других рукотворных предметах. Стоит рассмотреть это явление поподробнее, поскольку это крайне увлекательно.

Употребление термина в других научных областях

В дальнейшем симметрия будет рассматриваться с точки зрения геометрии, однако стоит упомянуть, что данное слово используется не только здесь. Биология, вирусология, химия, физика, кристаллография — все это неполный список областей, в которых данное явление изучается с различных сторон и в разных условиях. От того, к какой науке относится этот термин, зависит, например, классификация. Так, разделение на типы серьезно варьируется, хотя некоторые основные, пожалуй, остаются неизменными везде.

Видео по теме

Классификация

Различают несколько основных типов симметрии, из которых наиболее часто встречаются три:

Кроме того, в геометрии различают также следующие типы, они встречаются значительно реже, но не менее любопытны:

скользящая;
вращательная;
точечная;
поступательная;
винтовая;
фрактальная;
и т. д.

В биологии все виды называются несколько иначе, хотя по сути могут быть такими же. Подразделение на те или иные группы происходит на основании наличия или отсутствия, а также количества некоторых элементов, таких как центры, плоскости и оси симметрии. Их следует рассмотреть отдельно и более подробно.

Базовые элементы

В явлении выделяют некоторые черты, одна из которых обязательно присутствует. Так называемые базовые элементы включают в себя плоскости, центры и оси симметрии. Именно в соответствии с их наличием, отсутствием и количеством определяется тип.

Центром симметрии называют точку внутри фигуры или кристалла, в которой сходятся линии, соединяющие попарно все параллельные друг другу стороны. Разумеется, он существует не всегда. Если есть стороны, к которым нет параллельной пары, то такую точку найти невозможно, поскольку ее нет. В соответствии с определением, очевидно, что центр симметрии — это то, через что фигура может быть отражена сама на себя. Примером может служить, например, окружность и точка в ее середине. Этот элемент обычно обозначается как C.

Плоскость симметрии, разумеется, воображаема, но именно она делит фигуру на две равные друг другу части. Она может проходить через одну или несколько сторон, быть параллельной ей, а может делить их. Для одной и той же фигуры может существовать сразу несколько плоскостей. Эти элементы обычно обозначаются как P.

Но, пожалуй, наиболее часто встречается то, что называют «оси симметрии». Это нередкое явление можно увидеть как в геометрии, так и в природе. И оно достойно отдельного рассмотрения.

Оси

Часто элементом, относительно которого фигуру можно назвать симметричной,

выступает прямая или отрезок. В любом случае речь идет не о точке и не о плоскости. Тогда рассматриваются оси симметрии фигур. Их может быть очень много, и расположены они могут быть как угодно: делить стороны или быть параллельными им, а также пересекать углы или не делать этого. Оси симметрии обычно обозначаются как L.

Примерами могут служить равнобедренные и равносторонние треугольники. В первом случае будет вертикальная ось симметрии, по обе стороны от которой равные грани, а во втором линии будут пересекать каждый угол и совпадать со всеми биссектрисами, медианами и высотами. Обычные же треугольники ею не обладают.

Кстати, совокупность всех вышеназванных элементов в кристаллографии и стереометрии называется степенью симметрии. Этот показатель зависит от количества осей, плоскостей и центров.

Примеры в геометрии

Условно можно разделить все множество объектов изучения математиков на фигуры, имеющие ось симметрии, и такие, у которых ее нет. В первую категорию автоматически попадают все правильные многоугольники, окружности, овалы, а также некоторые частные случаи, остальные же попадают во вторую группу.

Как и в случае, когда говорилось про ось симметрии треугольника, данный элемент для четырехугольника существует не всегда. Для квадрата, прямоугольника, ромба или параллелограмма он есть, а для неправильной фигуры, соответственно, нет. Для окружности оси симметрии — это множество прямых, которые проходят через ее центр.

Кроме того, интересно рассмотреть и объемные фигуры с этой точки зрения. Хотя бы одной осью симметрии помимо всех правильных многоугольников и шара будут обладать некоторые конусы, а также пирамиды, параллелограммы и некоторые другие. Каждый случай необходимо рассматривать отдельно.

Примеры в природе

Зеркальная симметрия в жизни называется билатеральной, она встречается наиболее
часто. Любой человек и очень многие животные тому пример. Осевая же называется радиальной и встречается гораздо реже, как правило, в растительном мире. И все-таки они есть. Например, стоит подумать, сколько осей симметрии имеет звезда, и имеет ли она их вообще? Разумеется, речь идет о морских обитателях, а не о предмете изучения астрономов. И правильным ответом будет такой: это зависит от количества лучей звезды, например пять, если она пятиконечная.

Кроме того, радиальная симметрия наблюдается у многих цветков: ромашки, васильки, подсолнухи и т. д. Примеров огромное количество, они буквально везде вокруг.

Аритмия

Этот термин, прежде всего, напоминает большинству о медицине и кардиологии, однако он изначально имеет несколько другое значение. В данном случае синонимом будет «асимметрия», то есть отсутствие или нарушение регулярности в том или ином виде. Ее можно встретить как случайность, а иногда она может стать прекрасным приемом, например, в одежде или архитектуре. Ведь симметричных зданий очень много, но знаменитая Пизанская башня чуть наклонена, и хоть она не одна такая, но это самый известный пример. Известно, что так получилось случайно, но в этом есть своя прелесть.

Кроме того, очевидно, что лица и тела людей и животных тоже не полностью симметричны. Проводились даже исследования, согласно результатам которых «правильные» лица расценивались как неживые или просто непривлекательные. Все-таки восприятие симметрии и это явление само по себе удивительны и пока не до конца изучены, а потому крайне интересны.

Вам понадобится

— свойства симметричных точек;
— свойства симметричных фигур;
— линейка;
— угольник;
— циркуль;
— карандаш;
— лист бумаги;
— компьютер с графическим редактором.

Инструкция

Проведите прямую a, которая будет являться осью симметрии. Если ее координаты не заданы, начертите ее произвольно. С одной стороны от этой прямой поставьте произвольную точку A. необходимо найти симметричную точку.

Полезный совет

Свойства симметрии постоянно используются в программе AutoCAD. Для этого используется опция Mirror. Для построения равнобедренного треугольника или равнобедренной трапеции достаточно начертить нижнее основание и угол между ним и боковой стороной. Отразите их с помощью указанной команды и продлите боковые стороны до необходимой величины. В случае с треугольником это будет точка их пересечения, а для трапеции — заданная величина.

С симметрией вы постоянно сталкиваетесь в графических редакторах, когда пользуетесь опцией «отразить по вертикали/горизонтали». В этом случае за ось симметрии берется прямая, соответствующая одной из вертикальных или горизонтальных сторон рамки рисунка.

Источники:

как начертить центральную симметрию

Построение сечения конуса не такая уж сложная задача. Главное — соблюдать строгую последовательность действий. Тогда данная задача будет легко выполнима и не потребует от Вас больших трудозатрат.

Вам понадобится

— бумага;
— ручка;
— циркль;
— линейка.

Инструкция

При ответе на этот вопрос, сначала следует определиться – какими параметрами задано сечение.
Пусть это будет прямая пересечения плоскости l с плоскостью и точка О, которая местом пересечения с его сечением.

Построение иллюстрирует рис.1. Первый шаг построения сечения – это через центр сечения его диаметра, продленного до l перпендикулярно этой линии. В итоге получается точка L. Далее через т.О проведите прямую LW, и постройте две направляющие конуса, лежащие в главном сечении О2М и О2С. В пересечении этих направляющих лежат точка Q, а также уже показанная точка W. Это первые две точки искомого сечения.

Теперь проведите в основании конуса ВВ1 перпендикулярный МС и постройте образующие перпендикулярного сечения О2В и О2В1. В этом сечении через т.О проведите прямую RG, параллельную ВВ1. Т.R и т.G — еще две точки искомого сечения. Если бы сечения бал известен, то его можно было бы построить уже на этой стадии. Однако это вовсе не эллипс, а нечто эллипсообразное, имеющее симметрию относительно отрезка QW. Поэтому следует строить как можно больше точек сечения, чтобы соединяя их в дальнейшем плавной кривой получить наиболее достоверный эскиз.

Постройте произвольную точку сечения. Для этого проведите в основании конуса произвольный диаметр AN и постройте соответствующие направляющие О2A и O2N. Через т.О проведите прямую, проходящую через PQ и WG, до ее пересечения с только что построенными направляющими в точках P и E. Это еще две точки искомого сечения. Продолжая так же и дальше, можно сколь угодно искомых точек.

Правда, процедуру их получения можно немного упростить пользуясь симметрией относительно QW. Для этого можно в плоскости искомого сечения провести прямые SS’, параллельные RG до пересечения их с поверхность конуса. Построение завершается скруглением построенной ломаной из хорд. Достаточно построить половину искомого сечения в силу уже упомянутой симметрии относительно QW.

Видео по теме

Вам требуется начертить график тригонометрической функции ? Освойте алгоритм действий на примере построения синусоиды. Для решения поставленной задачи используйте метод исследования.

Вам понадобится

— линейка;
— карандаш;
— знание основ тригонометрии.

Инструкция

Видео по теме

Обратите внимание

Если две полуоси однополосного гиперболоида равны, то фигуру можно получить путем вращения гиперболы с полуосями, одна из которых вышеуказанная, а другая, отличающаяся от двух равных, вокруг мнимой оси.

Полезный совет

При рассмотрении этой фигуры относительно осей Oxz и Oyz видно, что ее главными сечениями являются гиперболы. А при разрезе данной пространственной фигуры вращения плоскостью Oxy ее сечение представляет собой эллипс. Горловой эллипс однополосного гиперболоида проходит через начало координат, ведь z=0.

Горловой эллипс описывается уравнением x²/a² +y²/b²=1, а другие эллипсы составляются по уравнению x²/a² +y²/b²=1+h²/c².

Источники:

Эллипсоиды, параболоиды, гиперболоиды. Прямолинейные образующие

Форма пятиконечной звезды повсеместно используется человеком с древних времен. Мы считаем ее форму прекрасной, так как бессознательно различаем в ней соотношения золотого сечения, т.е. красота пятиконечной звезды обоснована математически. Первым описал построение пятиконечной звезды Евклид в своих «Началах». Давайте же приобщимся к его опыту.

Вам понадобится

линейка;
карандаш;
циркуль;
транспортир.

Инструкция

Построение звезды сводится к построению с последующим соединением его вершин друг с другом последовательно через одну. Для того чтобы построить правильный необходимо разбить окружность на пять .
Постройте произвольную окружность при помощи циркуля. Обозначьте ее центр точкой O.

Отметьте точку A и при помощи линейки начертите отрезок ОА. Теперь необходимо разделить отрезок OA пополам, для этого из точки А проведите дугу радиусом ОА до пересечения ее с окружностью в двух точках M и N. Постройте отрезок MN. Точка Е, в которой MN пересекает OA, будет делить отрезок OA пополам.

Восстановите перпендикуляр OD к радиусу ОА и соедините точку D и E. Сделайте засечку B на OA из точки E радиусом ED.

Теперь при помощи отрезка DB разметьте окружность на пять равных частей. Обозначьте вершины правильного пятиугольника последовательно цифрами от 1 до 5. Соедините точки в следующей последовательности: 1 с 3, 2 с 4, 3 с 5, 4 с 1, 5 с 2. Вот и правильная пятиконечная звезда, в правильный пятиугольник. Именно таким способом строил

Симметрия

Виды симметрии

Также обсудим некоторые виды симметрии, чтобы до конца изучить это понятие. Их разделяют так:

Осевая. Осью симметрии является прямая, проходящая через центр тела.

Как это? Если наложить части вокруг оси симметрии, то они будут равными. Это можно увидеть на примере сферы.

История симметрии

А философ Платон считал многогранники олицетворением четырех природных стихий:

тетраэдр — огонь, так как его вершина направлена вверх;
куб — земля, так как это самое устойчивое тело;
октаэдр — воздух, нет каких-либо объяснений;
икосаэдр — вода, так как тело не имеет грубых геометрических форм, углов и так далее;
образом всей Вселенной являлся додекаэдр.

Из-за всех этих теорий правильные многогранники называют телами Платона.

Симметрия геометрических фигур и тел

Симметрия в природе

Вывод

Цели:

образовательные:
- дать представление о симметрии;
- познакомить с основными видами симметрии на плоскости и в пространстве;
- выработать прочные навыки построения симметричных фигур;
- расширить представления об известных фигурах, познакомив со свойствами, связанных с симметрией;
- показать возможности использования симметрии при решении различных задач;
- закрепить полученные знания;
общеучебные:
- научить настраивать себя на работу;
- научить вести контроль за собой и соседом по парте;
- научить оценивать себя и соседа по парте;
развивающие:
- активизировать самостоятельную деятельность;
- развивать познавательную деятельность;
- учить обобщать и систематизировать полученную информацию;
воспитательные:
- воспитываать у учащихся “чувство плеча”;
- воспитывать коммуникативность;
- прививать культуру общения.

ХОД УРОКА

Перед каждым лежат ножницы и лист бумаги.

Задание 1 (3 мин).

Вопрос: Какую функцию выполняет эта линия?

Предполагаемый ответ: Эта линия делит фигуру пополам.

Вопрос: Как расположены все точки фигуры на двух получившихся половинках?

Предполагаемый ответ: Все точки половинок находятся на равном расстоянии от линии сгиба и на одном уровне.

Задание 2 (2 мин).

– Вырезать снежинку, найти ось симметрии, охарактеризовать ее.

Задание 3 (5 мин).

– Начертить в тетради окружность.

Вопрос: Определить, как проходит ось симметрии?

Предполагаемый ответ: По-разному.

Вопрос: Так сколько осей симметрии имеет окружность?

Предполагаемый ответ: Много.

Вопрос: Какие еще фигуры имеют не одну ось симметрии?

Предполагаемый ответ: Квадрат, прямоугольник, равнобедренный и равносторонний треугольники.

Раздаю учащимся половинки фигурок из пластилина.

Задание 4 (3 мин).

– Используя полученную информацию, долепить недостающую часть фигурки.

Задание 5 (групповая работа 5 мин).

– Определить визуально ось симметрии и относительно нее достроить из шнурка другого цвета вторую часть.

Правильность выполненной работы определяется самими учениками.

Перед учащимися представлены элементы рисунков

Задание 6 (2 мин).

– Найдите симметричные части этих рисунков.

Для закрепления пройденного материала предлагаю следующие задания, предусмотренные на 15 мин.:

Назовите все равные элементы треугольника КОР и КОМ. Каков вид этих треугольников?

2. Начертите в тетради несколько равнобедренных треугольников с общим основанием равным 6 см.

Предполагаемый ответ: крылья бабочек, жуков, листья деревьев…

– Симметрию можно наблюдать и в архитектуре. Строя здания, строители четко придерживаются симметрии.

Поэтому здания получаются такие красивые. Также примером симметрии служит человек, животные.

Задание на дом:

Симметричные фигуры

☰

Фигуры могут обладать симметрией относительно точки и относительно прямой.

Фигура симметрична относительно точки тогда, когда в ней есть некая точка (центр симметрии), относительно которой у каждой другой точки фигуры есть симметричная точка этой же фигуры. Например, если отрезок разделить пополам, то центральная его точка будет центром симметрии, а концы отрезков симметричными относительно его. То есть симметричные точки находятся на одинаковом расстоянии от центра симметрии.

Еще одним примером фигуры, обладающей центральной симметрией является круг. Если представить, что в центр круга вбит гвоздик, то как круг не поворачивай, он всегда совместится сам с собой.

Параллелограмм также обладает центральной симметрией. Центром симметрии у него является точка пересечения диагоналей. Если параллелограмм повернуть на 180°, то он совместится сам с собой.

Все правильные многоугольники с четным количеством сторон (2n) также обладают центральной симметрией. Точками симметрии являются центры таких многоугольников.

Также многие фигуры симметричны относительно прямой. В таких фигурах можно провести прямую (ось симметрии), относительно которой все другие точки фигуры будут иметь соответствующие симметричные им точки. То есть если такую фигуру перегнуть вдоль оси симметрии, то половинки полностью совместятся. Другими словами, такие фигуры обладают осевой симметрией.

Угол (кроме развернутого) имеет одну осевую симметрию. Ось симметрии проходит по биссектрисе угла. А вот развернутый угол по сути представляет собой прямую, поэтому обладает центральной симметрией (симметрией относительно точки).

У равнобедренного треугольника есть одна ось симметрии. Это медиана (она же биссектриса и высота) к основанию. А вот у равностороннего треугольника три оси симметрии. Точка пересечения биссектрис равностороннего треугольника — является точкой симметрии фигуры. Таким образом, равносторонний треугольник обладает и центральной и осевой симметрией. Равнобедренный — только осевой.

Разные фигуры имеют различное количество осей симметрии. Так у круга их бесконечное множество. У квадрата четыре оси симметрии (прямые, делящие стороны пополам, и диагонали), у прямоугольника — только две (прямые, делящие стороны пополам).

Любой правильный многоугольник имеет количество осей симметрии, равное количеству его сторон.

Осей симметрии нет у параллелограмма (кроме ромба), неравнобедренных трапеции и треугольника.

ПНШ 3 класс. Математика. Учебник № 1, с. 137

Поупражняемся в построении треугольников

Ответы к с. 137

457. Сколько прямоугольных треугольников на данном чертеже?

Для наглядности обозначим прямоугольник буквами. Тогда прямоугольными будут следующие треугольники: ABD, BCD, CDA и DAB. Прямые углы отмечены на рисунке.

458. Начерти треугольник, сторона которого 4 см и у которого есть ось симметрии.

Ось симметрии есть у равностороннего и равнобедренного треугольника. Поскольку указано, что сторона треугольника 4 см, предположим – это равносторонний треугольник.

459. Начерти прямоугольный треугольник, у которого есть ось симметрии.

Данный треугольник будет равнобедренным.

460. Начерти тупоугольный треугольник, у которого есть ось симметрии.

Данный треугольник будет равнобедренным.

461. Начерти остроугольный треугольник, у которого есть ось симметрии.

Данный треугольник будет равнобедренным.

462. У какого треугольника есть три оси симметрии.

У равностороннего треугольника.

463. Начерти равнобедренный треугольник со стороной 5 см.

Поскольку равносторонний треугольник не относится к равнобедренным (это частный случай равнобедренного треугольника), то возможно три варианта выполнения задания:
1 – равнобедренный тупоугольный треугольник;
2 – равнобедренный остроугольный треугольник;
3 – равнобедренный прямоугольный треугольник.

Ответы к заданиям. Математика. Учебник. Часть 1. Чекин А.Л. 2013 г.

Математика. 3 класс. Чекин А.Л.

4 / 5 ( 7 голосов )

Прямоугольник. Ось симметрии фигуры

Цели:

образовательные:
- дать представление о симметрии;
- познакомить с основными видами симметрии на плоскости и в пространстве;
- выработать прочные навыки построения симметричных фигур;
- расширить представления об известных фигурах, познакомив со свойствами, связанных с симметрией;
- показать возможности использования симметрии при решении различных задач;
- закрепить полученные знания;
общеучебные:
- научить настраивать себя на работу;
- научить вести контроль за собой и соседом по парте;
- научить оценивать себя и соседа по парте;
развивающие:
- активизировать самостоятельную деятельность;
- развивать познавательную деятельность;
- учить обобщать и систематизировать полученную информацию;
воспитательные:
- воспитываать у учащихся “чувство плеча”;
- воспитывать коммуникативность;
- прививать культуру общения.

ХОД УРОКА

Перед каждым лежат ножницы и лист бумаги.

Задание 1 (3 мин).

Вопрос: Какую функцию выполняет эта линия?

Предполагаемый ответ: Эта линия делит фигуру пополам.

Вопрос: Как расположены все точки фигуры на двух получившихся половинках?

Предполагаемый ответ: Все точки половинок находятся на равном расстоянии от линии сгиба и на одном уровне.

Задание 2 (2 мин).

– Вырезать снежинку, найти ось симметрии, охарактеризовать ее.

Задание 3 (5 мин).

– Начертить в тетради окружность.

Вопрос: Определить, как проходит ось симметрии?

Предполагаемый ответ: По-разному.

Вопрос: Так сколько осей симметрии имеет окружность?

Предполагаемый ответ: Много.

Вопрос: Какие еще фигуры имеют не одну ось симметрии?

Предполагаемый ответ: Квадрат, прямоугольник, равнобедренный и равносторонний треугольники.

Раздаю учащимся половинки фигурок из пластилина.

Задание 4 (3 мин).

– Используя полученную информацию, долепить недостающую часть фигурки.

Задание 5 (групповая работа 5 мин).

– Определить визуально ось симметрии и относительно нее достроить из шнурка другого цвета вторую часть.

Правильность выполненной работы определяется самими учениками.

Перед учащимися представлены элементы рисунков

Задание 6 (2 мин).

– Найдите симметричные части этих рисунков.

Для закрепления пройденного материала предлагаю следующие задания, предусмотренные на 15 мин.:

Назовите все равные элементы треугольника КОР и КОМ. Каков вид этих треугольников?

2. Начертите в тетради несколько равнобедренных треугольников с общим основанием равным 6 см.

Предполагаемый ответ: крылья бабочек, жуков, листья деревьев…

– Симметрию можно наблюдать и в архитектуре. Строя здания, строители четко придерживаются симметрии.

Поэтому здания получаются такие красивые. Также примером симметрии служит человек, животные.

Задание на дом:

Симметрия бывает двух видов: центральная и осевая. При центральной симметрии любая прямая, проведенная через центр фигуры, делит ее на две абсолютно одинаковые части, которые полностью симметричны. Простыми словами, они являются зеркальным отражением друг друга. У окружности таких прямых можно провести бесконечное множество, в любом случае они поделят ее на две симметричные части.

Ось симметрии

Большинство же геометрических фигур не имеют таких характеристик. В них можно провести только ось симметрии и то далеко не у всех. Ось — это также прямая, которая делит фигуру на симметричные части. Но для оси симметрии существует лишь определенное местоположение и если его слегка изменить, то симметрия нарушится.

Логично, что каждый квадрат имеет ось симметрии, ведь у него все стороны равны и каждый угол равен девяноста градусам. Треугольники же бывают разные. Треугольники, у которых все стороны разные, не может иметь ни ось, ни центр симметрии. А вот в равнобедренных треугольниках провести ось симметрии можно. Вспомним, что равнобедренным считается треугольник с двумя равными сторонами и соответственно двумя равными углами, прилегающими к третьей стороне — основанию. Для равнобедренного треугольника осью будет являться прямая, проходящая из вершины треугольника к основанию. В данном случае эта прямая будет одновременно и медианой, и биссектрисой, так как она разделит угол пополам и дойдет ровно до середины третьей стороны. Если по этой прямой сложить треугольник, то получившиеся фигуры полностью скопируют друг друга. Однако в равнобедренном треугольнике ось симметрии может быть только одна. Если через ее центр провести другую прямую, то она не разделит его на две симметричные части.

Особенный треугольник

Уникальным является равносторонний треугольник. Это особый вид треугольников, который также является равнобедренным. Правда, у него каждая сторона может считаться основанием, так как все его стороны равны, а каждый угол составляет шестьдесят градусов. Следовательно, у равностороннего треугольника существуют целых три оси симметрии. Эти прямые сходятся в одной точке в центре треугольника. Но даже такая особенность не превращает равносторонний треугольник в фигуру с центральной симметрией. Центра симметрии нет даже у равностороннего треугольника, так как через указанную точку лишь три прямые делят фигуру на равные части. Если провести прямую в другом направлении, то треугольник обладать симметрией уже не будет. Значит, эти фигуры обладают только осевой симметрией.

Если в четырехугольнике все углы прямые, то его называют прямоугольником.

На рисунке 125 изображен прямоугольник ABCD.

Стороны AB и BC имеют общую вершину B. Их называют соседними сторонами прямоугольника ABCD. Также соседними являются, например, стороны BC и CD.

Соседние стороны прямоугольника называют его длиной и шириной .

Стороны AB и CD не имеют общих вершин. Их называют противоположными сторонами прямоугольника ABCD. Также противолежащими являются стороны BC и AD.

Противолежащие стороны прямоугольника равны.

На рисунке 125 AB = CD, BC = AD. Если длина прямоугольника равна a, а ширина − b, то его периметр вычисляют по уже знакомой тебе формуле:

P = 2 a + 2 b

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называют квадратом (рис. 126 ).

Проведем прямую l, проходящую через середины двух противолежащих сторон прямоугольника (рис. 127 ). Если лист бумаги перегнуть по прямой l, то две части прямоугольника, лежащие по разные стороны от прямой l, совпадут.

Аналогичным свойством обладают фигуры, изображенные на рисунке 128 . Такие фигуры называют симметричными относительно прямой . Прямую l называют осью симметрии фигуры .

Итак, прямоугольник − это фигура, имеющая ось симметрии. Также ось симметрии имеет равнобедренный треугольник (рис. 129 ).

Фигура может иметь более одной оси симметрии. Например, прямоугольник, отличный от квадрата, имеет две оси симметрии (рис. 130 ), а квадрат − четыре оси симметрии (рис. 131 ). Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (рис. 132 ).

Изучая окружающий мир, мы часто встречаемся с симметрией. Примеры симметрии в природе показаны на рисунке 133 .

Объекты, имеющие ось симметрии, легко воспринимаются и приятные для глаза. Недаром в Древней Греции слово «симметрия» служило синонимом слов «гармония», «красота».

Идея симметрии широко используется в изобразительном искусстве, архитектуре (рис. 134 ).

Симметрия

Употребление термина в других научных областях

Классификация

Различают несколько основных типов симметрии, из которых наиболее часто встречаются три:

скользящая;
вращательная;
точечная;
поступательная;
винтовая;
фрактальная;
и т. д.

Базовые элементы

Оси

Часто элементом, относительно которого фигуру можно назвать симметричной,

выступает прямая или отрезок.

В любом случае речь идет не о точке и не о плоскости. Тогда рассматриваются фигур. Их может быть очень много, и расположены они могут быть как угодно: делить стороны или быть параллельными им, а также пересекать углы или не делать этого. Оси симметрии обычно обозначаются как L.

Примерами могут служить равнобедренные и В первом случае будет вертикальная ось симметрии, по обе стороны от которой равные грани, а во втором линии будут пересекать каждый угол и совпадать со всеми биссектрисами, медианами и высотами. Обычные же треугольники ею не обладают.

Примеры в геометрии

Условно можно разделить все множество объектов изучения математиков на фигуры, имеющие ось симметрии, и такие, у которых ее нет. В первую категорию автоматически попадают все окружности, овалы, а также некоторые частные случаи, остальные же попадают во вторую группу.

Примеры в природе

В жизни называется билатеральной, она встречается наиболее
часто. Любой человек и очень многие животные тому пример. Осевая же называется радиальной и встречается гораздо реже, как правило, в растительном мире. И все-таки они есть. Например, стоит подумать, сколько осей симметрии имеет звезда, и имеет ли она их вообще? Разумеется, речь идет о морских обитателях, а не о предмете изучения астрономов. И правильным ответом будет такой: это зависит от количества лучей звезды, например пять, если она пятиконечная.

Аритмия

Этот термин, прежде всего, напоминает большинству о медицине и кардиологии, однако он изначально имеет несколько другое значение. В данном случае синонимом будет «асимметрия», то есть отсутствие или нарушение регулярности в том или ином виде. Ее можно встретить как случайность, а иногда она может стать прекрасным приемом, например, в одежде или архитектуре. Ведь симметричных зданий очень много, но знаменитая чуть наклонена, и хоть она не одна такая, но это самый известный пример. Известно, что так получилось случайно, но в этом есть своя прелесть.

Осевая симметрия — это симметрия относительно прямой.

Пусть дана некоторая прямая g .

Чтобы построить точку, симметричную некоторой точке A относительно прямой g , надо:

1) Провести из точки A к прямой g перпендикуляр AO.

2) На продолжении перпендикуляра с другой стороны от прямой g отложить отрезок OA1, равный отрезку AO: OA1=AO.

Полученная точка A1 симметрична точке A относительно прямой g .

Прямая g называется осью симметрии.

Таким образом, точки A и A1 симметричны относительно прямой g, если эта прямая проходит через середину отрезка AA1 и перпендикулярна к нему .

Если точка A лежит на прямой g, то симметричная ей точка есть сама точка A.

Преобразование фигуры F в фигуру F1, при котором каждая её точка A переходит в точку A1, симметричную относительно данной прямой g , называется преобразованием симметрии относительно прямой g .

Фигуры F и F1 называются фигурами, симметричными относительно прямой g.

Чтобы построить треугольник, симметричный данному относительно прямой g , достаточно построить точки, симметричные вершинам треугольника, и соединить их отрезками.

Например, треугольники ABC и A1B1C1 симметричны относительно прямой g .

Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру в себя, то такая фигура называется симметричной относительно прямой g , а прямая g называется её осью симметрии.

Симметричная фигура своей осью симметрии делится на две равные половины. Если симметричную фигуру нарисовать на бумаге, вырезать и согнуть по оси симметрии, то эти половинки совпадут.

Примеры фигур, симметричных относительно прямой.

1) Прямоугольник.

Прямоугольник имеет 2 оси симметрии: прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей параллельно сторонам.

Ромб имеет две оси симметрии:

прямые, на которых лежат его диагонали.

3) Квадрат, как ромб и прямоугольник, имеет четыре оси симметрии: прямые, содержащие его диагонали, и прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей параллельно сторонам.

4) Окружность.

Окружность имеет бесконечное множество осей симметрии:

любая прямая, содержащая диаметр, является осью симметрии окружности.

Прямая также имеет бесконечное множество осей симметрии: любая перпендикулярная ей прямая является для данной прямой осью симметрии.

6) Равнобедренная трапеция.

Равнобедренная трапеция — фигура, симметричная относительно прямой,перпендикулярной основаниям и проходящей через их середины.

7) Равнобедренный треугольник.

Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии:

прямую, проходящую через высоту (медиану, биссектрису), проведённую к основанию.

8) Равносторонний треугольник.

Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии:

Угол — фигура, симметричная относительно прямой, содержащей его биссектрису.

Осевая симметрия является движением.

Симметрия

Употребление термина в других научных областях

Классификация

Различают несколько основных типов симметрии, из которых наиболее часто встречаются три:

скользящая;
вращательная;
точечная;
поступательная;
винтовая;
фрактальная;
и т. д.

Базовые элементы

Оси

Примеры в геометрии

Примеры в природе

Аритмия

Геометрическая симметрия

Применительно к геометрической фигуре симметрия означает, что если данную фигуру преобразовать – например, повернуть – некоторые ее свойства останутся прежними.

Возможность таких преобразований различается от фигуры к фигуре. Например, круг можно сколько угодно вращать вокруг точки, расположенной в его центре, он так и останется кругом, ничто для него не изменится.

Понятие симметрии можно объяснить, не прибегая к вращению. Достаточно провести через центр круга прямую и построить в любом месте фигуры перпендикулярный ей отрезок, соединяющий две точки на окружности. Точка пересечения с прямой будет делить данный отрезок на две части, которые будут равны друг другу.

Иными словами, прямая разделила фигуру на две равные части. Точки частей фигуры, расположенные на прямых, перпендикулярных данной, находятся на равном расстоянии от нее. Вот эта пряма и будет называться осью симметрии. Симметрия такого рода – относительно прямой – называется осевой симметрией.

Количество осей симметрии

У разных фигур количество осей симметрии будет различным. Например, у круга и шара таких осей множество. У равностороннего треугольника осью симметрии будет перпендикуляр, опущенный на каждую из сторон, следовательно, у него три оси. У квадрата и прямоугольника можно провести четыре оси симметрии. Две из них перпендикулярны сторонам четырехугольников, а две другие являются диагоналями. А вот у равнобедренного треугольника ось симметрии только одна, располагающаяся меду равными его сторонами.

Осевая симметрия встречается и в природе. Ее можно наблюдать в двух вариантах.

Первый вид – радиальная симметрия, предполагающая наличие нескольких осей. Она характерна, например, для морских звезд. Более высокоразвитым организмам присуща билатеральная, или двусторонняя симметрия с единственной осью, делящей тело на две части.

Человеческому телу тоже присуща билатеральная симметрия, но идеальной ее назвать нельзя. Симметрично расположены ноги, руки, глаза, легкие, но не сердце, печень или селезенка. Отклонения от билатеральной симметрии заметны даже внешне. Например, крайне редко бывает так, чтобы у человека на обеих щеках были одинаковые родинки.

Как проводится ось симметрии треугольника. Симметрия в архитектуре. Осевая симметрия как математическое понятие

«Симметрия » в переводе с греческого означает «соразмерность» (повторяемость). Симметричные тела и предметы состоят из равнозначных, правильно повторяющихся в пространстве частей. Особенно разнообразна симметрия кристаллов. Различные кристаллы отличаются большей или меньшей симметричностью. Она является их важнейшим и специфическим свойством, отражающим закономерность внутреннего строения.

По более точному определению симметрия – это закономерная повторяемость элементов (или частей) фигуры или какого-либо тела, при которой фигура совмещается сама с собой при некоторых преобразованиях (вращение вокруг оси, отражение в плоскости). Подавляющее большинство кристаллов обладает симметрией.

Понятие симметрии включает в себя составные части – элементы симметрии. Сюда относятся плоскость симметрии , ось симметрии , центр симметрии , или центр инверсии .

Плоскость симметрии делит кристалл на две зеркально равные части. Обозначается она буквой Р. Части, на которые плоскость симметрии рассекает многогранник, относятся одна к другой, как предмет к своему изображению в зеркале разные кристаллы имеют различное количество плоскостей симметрии, которое ставится перед буквой Р. Наибольшее количество таких плоскостей у природных кристаллов – девять 9Р. В кристалле серы насчитывается 3Р, а у гипса только одна. Значит, в одном кристалле может быть несколько плоскостей симметрии. В некоторых кристаллах плоскость симметрии отсутствует.

Относительно элементов ограничения плоскость симметрии может занимать следующее положение:

проходит через ребра;
лежать перпендикулярно к ребрам в их серединах;
проходить через грань перпендикулярно к ней;
пересекать гранные углы в их вершинах.

В кристаллах возможны следующие количества плоскостей симметрии: 9Р, 7Р, 6Р, 5Р, 4Р, 3Р, 2Р, Р, отсутствие плоскости симметрии.

Ось симметрии

Ось симметрии – воображаемая ось, при повороте вокруг которой на некоторый угол фигура совмещается сама с собой в пространстве. Она обозначается буквой L. У кристаллов при вращении вокруг оси симметрии на полный оборот одинаковые элементы ограничения (грани, ребра, углы) могут повторяться только 2, 3, 4, 6 раз. Соответственно этому оси будут называться осями симметрии второго, третьего, четвертого и шестого порядка и обозначаться: L2, L3, L4 и L6.Порядок оси определяется числом совмещений при повороте на 360⁰С.

Ось симметрии первого порядка не принимается во внимание, так как ею обладают вообще не фигуры, в том числе и несимметричные. Количество осей одного и того же порядка пишут перед буквой L: 6L6, 3L4 и т.п.

Центр симметрии

Центр симметрии – это точка внутри кристалла, в которой пересекаются и делятся пополам линии, соединяющие одинаковые элементы ограничения кристалла (грани, ребра, углы). Обозначается она буквой С. Практически присутствие центра симметрии будет сказываться в том, что каждое ребро многогранника имеет параллельное себе ребро, каждая грань – такую же параллельную себе зеркально-обратную грань. Если же в многограннике присутствуют грани, не имеющие себе параллельных, то такой многогранник не обладает центром симметрии.

Достаточно поставить многогранник гранью на стол, чтобы заметить, имеется ли сверху такая же параллельная ей зеркально-обратная грань. Конечно, на параллельность нужно проверить все типы граней.

Существует ряд простых закономерностей, по которым сочетаются друг с другом элементы симметрии. Значение этих правил облегчает их нахождение.

Линия пересечения двух или нескольких плоскостей является осью симметрии. Порядок такой оси равен числу пересекающихся в ней плоскостей.
L6 может присутствовать в кристалле только в единственном числе.
С L6 не могут комбинироваться ни L4, ни L3, но может сочетаться L2 причем L6 и L2 должны быть перпендикулярны; в таком случае присутствует 6L2.
L4 может встречаться в единственном числе или трех взаимно перпендикулярных осей.
L3 может встречаться в единственном числе или с 4L3.

Степенью симметрии называется совокупность всех элементов симметрии, которыми обладает данный кристалл.

Кристалл, имеющий форму куба, обладает высокой степенью симметрии. В нем присутствуют три оси симметрии четвертого порядка (3L4), проходящие через середины граней куба, четыре оси симметрии третьего порядка (4L3), проходящие через вершины трехгранных углов, и шесть осей второго порядка (6L2), проходящих через середины ребер. В точке пересечения осей симметрии располагается центр симметрии куба (С). Кроме того, в кубе можно провести девять плоскостей симметрии (9Р). Элементы симметрии кристалла можно изобразить кристаллографической формулой.

Для куба формула имеет вид: 9P, 3L4, 4L3, 6L2, C.

Русский ученый А.В. Гадолин в 1869 г. показал, что у кристаллов возможны 32 различных сочетания элементов симметрии, составляющих классы (виды) симметрии. Таким образом, класс объединяет группу кристаллов с одинаковой степенью симметрии.

Фридрих В.А. 1

Дементьева В.В. 1

1 Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 6», г. Александровск, Пермский край

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

«Стоя перед черной доской и рисуя на ней

мелом разные фигуры,

я вдруг был поражен мыслью:

почему симметрия приятна глазу?

Что такое симметрия?

Это врожденное чувство, отвечал я сам себе»

Л.Н. Толстой

В учебнике математика 6 класс, автор Никольский С. М., на страницах 132 — 133 раздел Дополнительные задачи к главе № 3, имеются задания для исследования фигур на плоскости, симметричных относительно прямой. Меня заинтересовала данная тема, я решила выполнить задания и более подробно изучить данную тему.

Объект исследования — симметрия.

Предмет исследования — симметрия как основополагающий закон вселенной.

Какую гипотезу я буду проверять:

Я считаю, что осевая симметрия является не только математическим и геометрическим понятием, и применяется только для решения соответствующих задач, но и является основой гармонии, красоты, равновесия и устойчивости. Принцип симметрии используется практически во всех науках, в нашей повседневной жизни и является одним из «краеугольных» законов, на котором базируется мироздание в целом.

Актуальность темы

Понятие симметрия проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков его развития. В наше время, наверное, трудно найти человека, который не имел бы какого-либо представления о симметрии. Мир, в котором мы живём, наполнен симметрией домов, улиц, творениями природы и человека. С симметрией мы встречаемся буквально на каждом шагу: в технике, искусстве, науке.

Поэтому, знание и понимание о симметрии в окружающем нас мире, является обязательным и необходимым, которое пригодится в дальнейшем для изучения других научных дисциплин. В этом и заключается актуальность избранной мной темы.

Цель и задачи

Цель работы: выяснить, какую роль играет симметрия в повседневной жизни человека, в природе, архитектуре, в быту, музыке и других науках.

Для достижения поставленной цели, мне необходимо выполнить следующие задачи:

1. Найти необходимую информацию, литературу и фотографии. Установить наибольшее количество данных, необходимых для моей работы, с помощью доступных для меня источников: учебники, энциклопедии или другие носители информации, соответствующих заданной теме.

2. Дать общие понятие о симметрии, видах симметрии и истории происхождения термина.

3. Для подтверждения своей гипотезы, создать поделки и провести эксперимент с данными фигурами, имеющими симметрию и не несимметричными.

4. Продемонстрировать и представить результаты наблюдений в своём исследовании.

Для практической части исследовательской работы мне необходимо сделать следующее, для чего я составила план работы:

1. Создать своими руками поделки с заданными свойствами — симметричные и не симметричные модели, композицию, используя цветную бумагу, картон, ножницы, фломастеры, клей и т.д.;

2. Провести эксперимент с моими поделками, с двумя вариантами симметрии.

3. Исследовать, проанализировать и систематизировать полученные результаты, составив таблицу.

4. Для наглядного и интересного закрепления полученных знаний, с помощью приложения «Paint 3 D» создать рисунки для наглядности, а так же нарисовать картинки, с заданиями — дорисовать симметричную половинку (начиная с простых рисунков и заканчивая сложными) и объединить их, создав электронную книгу.

Методы исследования:

1. Анализ статей и всей информации о симметрии.

2. Компьютерное моделирование (обработка фотографий средствами графического редактора).

3. Обобщение и систематизация полученных данных.

Основная часть.

Осевая симметрия и понятие совершенства

С древних времен человек выработал представления о красоте и пытался постигнуть смысл совершенства. Красивы все творения природы. По-своему прекрасны люди, восхитительны животные и растения. Радует взор зрелище драгоценного камня или кристалла соли, сложно не любоваться снежинкой или бабочкой. Но почему так происходит? Нам кажется правильным и завершенным вид объектов, правая и левая половина которых выглядит одинаково.

Видимо, первыми о сути красоты задумывались люди искусства.

Впервые обосновали это понятие художники, философы и математики Древней Греции. Древние скульпторы, изучавшие строение человеческого тела, еще в V веке до н.э. стали применять понятие «симметрия». Это слово имеет греческое происхождение и означает гармоничность, пропорциональность и похожесть расположения составляющих частей. Древнегреческий мыслитель и философ Платон утверждал, что прекрасным может быть лишь то, что симметрично и соразмерно.

И действительно, «радуют глаз» те явления и формы, которые имеют пропорциональность и завершенность. Их мы называем правильными.

Виды симметрии

В геометрии и математике рассматриваются три вида симметрии: осевая симметрия (относительно прямой), центральная (относительно точки) и зеркальная (относительно плоскости).

Осевая симметрия как математическое понятие

Точки симметричны относительно некой прямой (оси симметрии), если они лежат на прямой, перпендикулярной данной прямой, и на одинаковом расстоянии от оси симметрии.

Фигура считается симметричной относительно прямой, если для каждой точки рассматриваемой фигуры, симметричная для неё точка относительно данной прямой также находится на этой фигуре. Прямая является в этом случае осью симметрии фигуры.

Фигуры, симметричные относительно прямой равны. Если геометрической фигуре свойственна осевая симметрия, определение зеркальных точек можно наглядно представить, просто перегнув ее по оси и сложив равные половинки «лицом к лицу». Искомые точки при этом соприкоснутся.

Примеры оси симметрии: биссектриса неразвернутого угла равнобедренного треугольника, любая прямая, проведенная через центр окружности, и т.д. Если геометрической фигуре свойственна осевая симметрия, определение зеркальных точек можно наглядно представить, просто перегнув ее по оси и сложив равные половинки «лицом к лицу». Искомые точки при этом соприкоснутся.

Фигуры могут иметь несколько осей симметрии:

· осью симметрии угла является прямая, на которой лежит его биссектриса;

· осью симметрии окружности и круга является любая прямая, проходящая через их диаметр;

· равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии, равносторонний треугольник — три оси симметрии;

· прямоугольник имеет 2 оси симметрии, квадрат — 4, ромб — 2 оси симметрии.

Ось симметрии — это воображаемая линия разделяющая объект на симметричные части. На моём рисунке она изображена для наглядности.

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относится параллелограмм, отличный от прямоугольника и ромба, разносторонний треугольник.

Осевая симметрия в природе

Природа мудра и рациональна, поэтому почти все ее творения имеют гармоничное строение. Это относится и к живым существам, и к неодушевленным объектам.

Внимательное наблюдение показывает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия. Ярко выраженной симметрией обладают листья, цветы, плоды. Их зеркальная, радиальная, центральная, осевая симметрия — очевидны. В значительной степени она обусловлена явлением гравитации.

Геометрические формы кристаллов с их плоскими поверхностями представляют собой удивительное явление природы. Однако подлинная физическая симметрия кристалла проявляется не столько в его внешнем виде, сколько во внутреннем строении кристаллического вещества.

Осевая симметрия в животном мире

Симметрия в мире живых существ, проявляется в закономерном расположении одинаковых частей тела относительно центра или оси. Чаще в природе встречается осевая симметрия. Она обуславливает не только общее строение организма, но и возможности его последующего развития. Каждому виду животных присущ характерный окрас. Если в расцветке фигурирует рисунок, то, как правило, он дублируется с обеих сторон.

Осевая симметрия и человек

Если взглянуть на любое живое существо, сразу бросается в глаза симметричность устройства организма. Человек: две руки, две ноги, два глаза, два уха и так далее.

Это означает, что существует некая линия, по которой животные и люди могут быть визуально «поделены» на две идентичные половинки, то есть в основе их геометрического устройства лежит осевая симметрия.

Как видно из приведённых примеров, любой живой организм природа создает не хаотично и бессмысленно, а согласно общим законам мироустройства, ведь во Вселенной ничто не имеет чисто эстетического, декоративного назначения. Это обусловлено закономерной необходимостью.

Конечно, природе редко присуща математическая точность, но похожесть элементов организма все равно поразительна.

Симметрия в архитектуре

С древнейших времен архитекторы хорошо знали математическую пропорцию и симметрию, и использовали их при строительстве архитектурных сооружений. Например, архитектура русских православных храмов и соборов Руси: Кремль, собор Христа Спасителя г. Москва, Казанский и Исаакиевский соборы г. Санкт-Петербург и др.

А также другие всемирно известные достопримечательности, многие из которых во всех странах мира, мы можем видеть и сейчас: Египетские пирамиды, Лувр, Тадж-Махал, Кёльнский собор и т.д. Все они, как мы видим, имеют симметрию.

Симметрия в музыке

Я учусь в музыкальной школе, для меня было интересно найти примеры симметрии в данной области. Не только музыкальные инструменты обладают явной симметрией, но и части музыкальных произведений звучат в определённом порядке, в соответствии с партитурой и замыслом композитора.

Например, реприза — (франц. reprise, от reprendre -возобновлять). Повторение темы или группы тем после этапа её (их) развития или изложения нового тематического материала.

Также в одномерном повторении во времени через равные интервалы состоит музыкальный принцип ритма.

Симметрия в технике

Мы живем в стремительно — меняющемся высокотехнологическом, информационном обществе, и не задумываемся, почему некоторые окружающие нас предметы и явления пробуждают чувство прекрасного, а другие нет. Мы их не замечаем, даже не задумываемся, об их свойствах.

Но кроме этого, данные технические и механические устройства, детали, механизмы, агрегаты не смогут правильно работать и вообще функционировать, если при этом не будет соблюдена симметрия, а вернее, некая ось, в механике это — центр тяжести.

Сбалансированность по центру, в данном случае, является обязательным техническим требованием, соблюдение которого строго регламентируется ГОСТ или ТУ и должно соблюдаться.

Симметрия и космические объекты

Но, пожалуй, самыми загадочными, волновавшими умы многих, ещё с древнейших времён, являются космические объекты. Которые также имеют симметрию — солнце, луна, планеты.

Эту цепочку можно продолжать, но мы сейчас говорим о чем-то едином: о том, что осевая симметрия является основополагающим законом вселенной, является основой красоты, гармонии и пропорциональности, и во взаимосвязи этого с математикой.

Практическая часть

Найдя необходимую информацию, изучив литературу, я убедилась в правоте своей гипотезы и сделала вывод о том, что в глазах человека несимметричность чаще всего ассоциируется с неправильностью или ущербностью. Поэтому в большинстве творений людских рук прослеживается симметричность и гармония, как необходимое и обязательное требование.

Это хорошо видно на моём рисунке, где изображён поросёнок, с непропорциональными частями тела, что сразу бросается в глаза!

И только после того, как подольше приглядишься к нему, посчитаешь его милым?

Несмотря на то, что данная тема известна, хорошо изучена, но все эти данные рассмотрены отдельно в каждой дисциплине. Обобщённых данных о том, что принцип симметрии используется, и именно на нём базируются многие другие науки, и их взаимосвязи с математикой я не встретила.

Поэтому я решила доказать своё утверждение с помощью самого простого и доступного для меня способа. Таким решением, я считаю, будет проведение эксперимента с испытаниями.

Для наглядного доказательства того, что асимметричные модели не устойчивы, не обладают необходимыми требованиями и жизненно необходимыми навыками, и подтверждения своей гипотезы мне необходимо создать поделки, рисунки и композицию:

1 вариант — симметричны относительно оси;

2 вариант — с явным нарушением симметрии.

Поскольку я считаю, что такой дисбаланс будет хорошо виден на следующих примерах, для чего я создала поделки-оригами (самолёт и лягушонок) из цветной бумаги. Для чистоты эксперимента они сделаны из одинаковой цветной бумаги и тестировались в одинаковых условиях. И композицию «Маяк», где маяк сделан из пустой пластиковой бутылки, обклеен цветной бумагой. Для украшения композиции использованы игрушечные фигуры человека, модели парусника и лодки, декоративные камни, а для имитации света я использовала светящийся от батарейки элемент.

Я провела испытания с данными поделками, все показатели зафиксировала и занесла в таблицу (все показатели можно посмотреть в приложении № 1 стр. 18 — 21).

Все поделки делались с соблюдением техники безопасности (приложение № 2 стр. 21)

Все полученные данные я проанализировала, вот что у меня получилось.

Анализ полученных данных

Эксперимент № 1

Испытание — прыжок лягушек в длину, замер этого расстояния.

Лягушонок Зелёный (симметричный) прыгает ровно, на большее расстояние, а Красный (не симметричный) ни разу не прыгнул ровно, всегда с поворотом или переворотом в сторону, на расстояние в 2 — 3 раза меньше.

Таким образом, можно сделать вывод, что такое животное не сможет быстро охотиться или наоборот убегать, эффективно добывать пищу, что уменьшает шансы на выживание, это доказывает, что в природе всё сбалансировано, пропорционально, правильно — симметрично.

Эксперимент № 2

Вид испытания — запуск самолётов в полёт и измерение расстояния длины полёта.

Самолётик № 1 «Розовый» (симметричный) летит из 10 раз, 8 раз ровно и прямо, на максимальную длину, (т.е. на всю длину моей комнаты), а траектория полёта самолётика № 2 «Оранжевый» (не симметричный) из 10 раз — ни разу не летел ровно, всегда с поворотом или переворотом, на меньшее расстояние. То есть, если бы это был настоящий самолёт, то он не смог бы лететь ровно, в правильном направлении. Такой полёт был бы очень неудобен или даже опасен для человека (также как и для птиц), а машины и другие транспортные средства передвижения, не смогли бы ехать, плыть и т.д. в необходимую сторону.

Эксперимент № 3

Вид испытания — проверка устойчивости здания «Маяка», при уменьшении угла наклона сооружения, относительно поверхности.

1. Создав композицию «Маяка», я установила его прямо, т.е. перпендикулярно (под углом 90 0) относительно стен сооружения к поверхности. Данная конструкция стоит ровно, выдерживает установленный световой элемент и фигурку человека.

2. Для дальнейшего проведения эксперимента мне было необходимо расчертить основание башни на углы, равные 10 0 .

После чего я отрезала от основания угол равный 10 0 .

Под углом в 80 0 здание стоит криво, шатается, но дополнительную нагрузку выдерживает.

3. Отрезав ещё 10 0 , получился угол наклона в 70 0 , при котором вся моя конструкция рушится.

Данный опыт доказывает, что исторически сложившиеся традиция строительства под прямым углом и соблюдение при этом симметрии самого здания, является необходимым условием для устойчивого, надёжного возведения и эксплуатации архитектурных зданий и сооружений.

Для наглядного примера осевой симметрии и доказательства утверждения о том, что человек воспринимает любые окружающие его предметы, образы животных и т.д. только симметрично, то есть, когда обе стороны, «половинки» одинаковы, равны, я создала электронную раскраску, которую можно распечатать, составив детскую книжку-раскраску. Данное пособие поможет всем желающим лучше усвоить тему, интересно и с удовольствием провести свободное время (Титульный лист изображён на этом рисунке, остальные рисунки расположены в приложении № 3 стр. 21 -24).

Проведённые мною эксперименты доказывают, что симметрия является не только математическим и геометрическим понятием, а является сферой, средой нашего проживания, неким техническим требованием, так же необходимым условием для выживания в целом, как для людей, так и для животных. Симметрия объединяет всё это воедино, и уходит далеко за пределы обычной науки!

Заключение

Выводы:

Я выяснила, что симметрия является одной из главных составляющих в повседневной жизни человека, в предметах быта, в архитектуре, технике, в природе, музыке, науке и т. д.

Результат:

Я нашла необходимую информацию, доказала свою гипотезу, проверила и подтвердила её опытным путём. Я создала поделки, композицию, рисунки и электронную раскраску для наглядного проведения эксперимента.

Я выяснила, что все законы природы — биологические, химические, генетические, астрономические связаны с симметрией. Практически, всё то, что нас окружает, что создано человеком — подчинено общим для нас всех принципам симметрии, поскольку имеют завидную системность. Таким образом, сбалансированность, тождественность как принцип имеет всеобщий масштаб.

Можно сказать, что симметрия является основополагающим законом, на котором базируются основные законы науки? Наверное, да.

Эту тайну пытались осмыслить великие мыслители человечества. Сегодня в разгадку этой тайны погрузились и мы.

Один из известных математиков Герман Вейль писал, что «симметрия — является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство».

Может мы нашли секрет создания красоты, совершенства или даже создания основных законов вселенной? Может это симметрия?

Приложения

Приложение № 1 Таблица испытаний:

Эксперимент № 1
Попытка №	Вид испытания	«Зелёная лягушка» (симметричная)	Результат и характеристика испытания «Красная лягушка» (не симметричная)
	Прыжок лягушки в длину (измерение в см.)		6,0 в левую сторону
		14,4 с небольшим поворотом вправо	9,0 переворот назад
		10,5 почти ровно	2,0 переворот
		9,5 с небольшим поворотом вправо	5,0 переворот в левую сторону
		10,6 с небольшим поворотом вправо	3,0 в левую сторону

		9,0 переворот	9,0 поворот влево
		13,5 почти ровно	1,5 назад, с поворотом влево
			9,5 влево с переворотом
		21,2 почти ровно	4,5 влево с переворотом
Эксперимент № 2
		Самолёт «Розовый» (Симметричный)	Самолёт «Оранжевый» (Не симметричный)
	Запуск самолётика в длину Максимальная (5,1 метра)	5,1 с 2 переворотами	3,04 с переворотами вправо
			2,78 с переворотами вправо
		5,1 с наклоном вправо	3, 65 с переворотами вправо
		5,1 с наклоном вправо	1,51 почти ровно
		5,1 почти ровно	4,73 с переворотами вправо
		5,1 с наклоном в левую сторону	3,82 поворот вправо
		5,1 почти ровно	3,41 с переворотами
		5,1 почти ровно	3,37 поворот влево
		5,1 с переворотом	3,51 с переворотами влево
		5,1 почти ровно	3,19 с переворотами вправо

Эксперимент № 3
Попытка №	Характеристика свойств объекта	Вид и характеристика испытания	Результат
	Сооружение стоит перпендикулярно поверхности (т. е. под углом в 90 0)	Установка дополнительной нагрузки: светящийся элемент и игрушечная фигура человека	Маяк стоит ровно, надёжно
	Под углом 80 0	От основания маяка я наметала и отрезала угол в 10 0	Маяк выдерживает нагрузку, но стоит ненадёжно, шатается
	Под углом 70 0	От основания маяка я ещё раз отрезала 10 0	Сооружение падает и рушится

Приложение № 2

При изготовлении моих поделок соблюдалась техника безопасности, а именно:

Ножницы или нож должны быть хорошо заточены и отрегулированы.

Хранить необходимо в определенном и безопасном месте или коробке.

При пользовании ножниц (ножа), нельзя отвлекаться, нужно быть максимально внимательными, дисциплинированными.

Передавая ножницы (нож), держать их за сомкнутые лезвия (остриё).

Ножницы (нож) класть справа сомкнутыми лезвиями (остриём) направленными от себя.

При резании узкое лезвие ножниц (остриё ножа) должно быть внизу.

После использования клея вымыть руки.

Приложение № 3

Электронная книга-раскраска

Симметрия-

Это означает то, что одна часть предмета похожа на другую.

Осевая симметрия- это симметрия относительно прямой (линии).

Ось симметрии — это воображаемая линия разделяющая объект на симметричные части. На рисунках она изображена для наглядности.

В этой книге нужно закончить рисунки, соединяя точки.

Затемможнораскрашиватьто, чтополучилось.

Попробуй закончить эти рисунки:

Сердечко

Треугольник Домик

Звёздочка Листочек

Мышка Ёлочка

Собачка Замок

К роме осевой симметрии есть и симметрия относительно точки.

Этот шар симметричен

И ёщё один вид симметрии — зеркальная симметрия.

Зеркальная симметрия-

это симметрия относительно плоскости. Например, относительно зеркала.

Симметрия это—

Используемая литература

2. Герман Вейль «Симметрия» (Издательство «Наука» главная редакция физико-математической литературы, Москва 1968 г.)

4. Мои рисунки и фотографии.

5. Справочник машиностроителя, том 1, (Государственное научно — техническое издательство машиностроительной литературы, Москвы 1960 г.)

6. Фотографии и рисунки из сети «Интернет».

А в случае если это равнобедренний треугольник, у него будет только одна ось симметрии.

От этого легче запомнить следующее

Нет равных сторон, то есть все стороны разные,значит нет осей симметрии

А в равнобедренном треугольнике всего одна ось

У треугольника равностороннего имеется три оси симметрии, соответственно.

У треугольника равнобедренного имеется всего лишь одна ось симметрии.

У любых других треугольников с разными по длине сторонами вообще нет ни одной оси симметрии.

Треугольник, у которого все стороны разные по величине, не имеет осей симметрии.

Прямоугольный треугольник может иметь одну ось симметрии в случае, если его катеты равны.

но стоит помнить, что треугольники тоже бывают разными.

Так вот, равнобедренный треугольник (треугольник с двумя равными сторонами) имеет одну ось симметрии.

В широком смысле симметрией именуется сохранение чего-либо неизменным при каких-то преобразованиях. Обладают таким свойством и некоторые геометрические фигуры.

Геометрическая симметрия

Применительно к геометрической фигуре означает, что если данную фигуру преобразовать – например, повернуть – некоторые ее свойства останутся прежними.

Понятие симметрии можно объяснить, не прибегая к вращению. Достаточно провести через центр круга прямую и построить в любом месте фигуры перпендикулярный ей отрезок, соединяющий две точки на окружности. Точка пересечения с прямой будет делить на две части, которые будут равны друг другу.

Иными словами, прямая разделила фигуру на две равные части. Точки частей фигуры, расположенные на прямых, перпендикулярных данной, находятся на равном расстоянии от нее. Вот эта пряма и будет называться осью симметрии. Симметрия такого рода – – называется осевой симметрией.

Количество осей симметрии

У количество будет различным. Например, у круга и шара таких осей множество. У равностороннего треугольника осью симметрии будет перпендикуляр, опущенный на каждую из сторон, следовательно, у него три оси. У квадрата и прямоугольника можно провести четыре оси симметрии. Две из них перпендикулярны сторонам четырехугольников, а две другие являются диагоналями. А вот у равнобедренного треугольника ось симметрии только одна, располагающаяся меду равными его сторонами.

Осевая симметрия встречается и в природе. Ее можно наблюдать в двух вариантах.

Симметрия

Виды симметрии

Также обсудим некоторые виды симметрии, чтобы до конца изучить это понятие. Их разделяют так:

История симметрии

А философ Платон считал многогранники олицетворением четырех природных стихий:

тетраэдр — огонь, так как его вершина направлена вверх;
куб — земля, так как это самое устойчивое тело;
октаэдр — воздух, нет каких-либо объяснений;
икосаэдр — вода, так как тело не имеет грубых геометрических форм, углов и так далее;
образом всей Вселенной являлся додекаэдр.

Из-за всех этих теорий правильные многогранники называют телами Платона.

Симметрия геометрических фигур и тел

Симметрия в природе

Вывод

BestMaths

Есть два типа симметрии: симметрия линий, которая включает отражение, и симметрия вращения, которая включает вращение. Общий порядок симметрии фигуры — это сумма количества линий симметрии и порядка симметрии вращения фигуры.

Симметрия линий

У фигуры есть линия симметрии, если она отображается на себя при отражении в линии.

например

Прямоугольник имеет 2 оси симметрии.(m и n — оси симметрии.)
Правильный шестиугольник имеет 6 осей симметрии.
Окружность имеет бесконечных осей симметрии.

На рисунке ниже нет оси симметрии.

Симметрия вращения

Фигура имеет симметрию вращения , если она отображается на себя при вращении вокруг точки в ее центре.

Порядок симметрии вращения — это количество раз, когда форма отображается на себя во время вращения на 360, °, .

например

Общий порядок симметрии

Общий порядок симметрии = количество осей симметрии + порядок вращательной симметрии.

В таблице показаны свойства симметрии некоторых распространенных форм.

Форма	Оси симметрии	Порядок вращательной симметрии	Полный порядок симметрии
Чешуйчатый треугольник	0	1	1
Равнобедренный треугольник	1	1	2
Равносторонний треугольник	3	3	6
Воздушный змей	1	1	2
Трапеция	0	1	1
Равнобедренная трапеция	1	1	2
Параллелограмм	0	2	2
Ромб	2	2	4
Прямоугольник	2	2	4
Площадь	4	4	8
Правильный пятиугольник	5	5	10
Правильный шестигранник	6	6	12
Правильный восьмиугольник	8	8	16

Фигура имеет точек симметрии , если она отображается на себя при повороте на 180 ° (пол-оборота).

Сводка преобразований

Отражение	Вращение	Перевод	Расширение
Длина, размер угла и площадь неизменны	Длина, размер угла и площадь неизменны	Длина, размер угла и площадь неизменны	Угловой инвариант
Косвенный	Прямой	Прямой	Прямой
Изометрия	Изометрия	Изометрия	Не изометрия
Точки на зеркальной линии неизменны	Центр вращения неизменен	Нет инвариантных точек	Центр увеличения неизменен

сколько линий симметрии у треугольника

Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 9 см и 12 см A. Треугольник ABC сначала поворачивается по часовой стрелке вокруг A на 90 градусов до треугольника AB1C1. Сколько линий симметрии у прямоугольного треугольника? Фигура должна быть ромбом, потому что у нее ровно 2 пары совпадающих углов. Имеет лицензию Illustrative Mathematics в соответствии с международной лицензией Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0. ahlukileoi и еще 8 пользователей сочли этот ответ полезным 5.0 (5 голосов) Две стороны, встречающиеся в этой вершине, должны быть одинаковой длины, чтобы существовала линия симметрии.Разделение фигуры на одинаковые половинки — главный критерий симметрии. Есть ли у треугольника точечная симметрия? Для треугольника, все стороны которого имеют длину 3, правильный сгиб через любую вершину может служить линией симметрии, поэтому существует три возможных прямых. Какой тип треугольника всегда будет иметь ровно 1-кратную отражательную симметрию? найдя линии симметрии, вырезанные модели из четырех треугольников будут 1. а разносторонний треугольник? Какая фигура имеет тот же порядок вращательной симметрии, что и прямоугольник? Треугольник с длинами сторон 2,4,5 не может иметь никаких линий симметрии, поскольку все стороны имеют разные длины. Если у правильного многоугольника четное количество сторон, то линий симметрии столько, сколько сторон. У равнобедренных треугольников две стороны равной длины. Верстать 4 мая 2016 г., 18:58:52. В противном случае даже озеро Мичиган имело бы точечную симметрию. Чтобы определить, какая форма имеет наибольшее количество линий симметрии, нам нужно выяснить, сколько линий симметрии содержится в каждой форме. равнобедренный треугольник (не прямоугольный). Во-первых, равносторонний треугольник, у которого все три стороны имеют одинаковую длину.Порядок симметрии равностороннего треугольника равен 3. Отв. 3. В этом упражнении мы рассмотрим симметрию отражения треугольников. Можно считать, что треугольники делятся на разносторонние, равнобедренные и равносторонние. Равносторонние треугольники имеют 3 равных угла и 3 равные стороны, и поэтому являются правильными треугольниками. Привлекайте своих учеников с помощью эффективных ресурсов для дистанционного обучения. Сколько линий симметрии имеет следующее: (а) параллелограмм (б) равносторонний треугольник (в) прямой угол с равными катетами (г) угол с равными плечами (д) полукруг (е) ромб (д) ) квадрат (h) разносторонний треугольник Решение: Вопрос 13. Интуиция Creative Commons путем выполнения размышлений. Разносторонний треугольник — это треугольник без линий симметрии, в то время как равнобедренный треугольник имеет по крайней мере одну линию симметрии, а равносторонний треугольник имеет три линии симметрии. Геометрические ответы. Сколько линий симметрии у равнобедренной трапеции? учащимся предоставляется возможность распознавать эти отличительные черты различных типов треугольников до того, как будет введен технический язык. Каков наименьший угол вращательной симметрии квадрата? У этого треугольника две стороны равной длины.Если наименьший угол поворота правильного многоугольника равен 18 °, сколько сторон у многоугольника? i Сколько линий симметрии у звезды? 1 ii Если треугольник OQS взят из MATH 1120 Университета Ньюкасла Сколько линий симметрии имеет равносторонний треугольник? В равностороннем треугольнике есть три линии отражательной симметрии. Это задание предназначено для обучения, обеспечивая учащимся линии симметрии, в то время как равнобедренный треугольник имеет хотя бы одну линию симметрии. Какой набор длин сторон представляет собой треугольник с 3 линиями отражательной симметрии? Назовите многоугольник с девятью линиями симметрии.Ниже представлены изображения четырех треугольников с заданной длиной сторон: Для каждого треугольника найдите и проведите все линии симметрии. Равносторонний треугольник имеет три линии симметрии. Ответ от: lauren21bunch. Мы переместили весь контент для этой концепции в целях лучшей организации. Равносторонний треугольник имеет только 3 линии симметрии. Если формы на обеих сторонах линии не совпадают, то линия, через которую складывается бумага, не может считаться линией симметрии. У правильного многоугольника 15 сторон.В общем, треугольник может иметь 0, 1 или 3 линии симметрии… ∆ ABC — равнобедренный треугольник. Пожалуйста, обновите ваши закладки соответствующим образом. Затем треугольник A2B2C2 расширяется примерно до треугольника A3B3C3 с масштабным коэффициентом -4. Сколько линий симметрии у бабочки? Какой угол поворота является углом симметрии вращения для всех фигур? Разделение треугольников на разносторонние, равнобедренные и равносторонние можно представить в терминах линий симметрии. Форма, которую вы получите в результате этой процедуры, будет иметь как минимум 2 линии симметрии.Чтобы понять, почему для этих треугольников нет других линий симметрии, обратите внимание, что линия симметрии должна проходить через вершину треугольника: если линия разрезает треугольник на два многоугольника, но не проходит через вершину, то одна из этих линий polygons — это треугольник, а другой — четырехугольник. Для треугольника с длинами сторон 4,4,3 единственная возможность — сложить так, чтобы две стороны длины 4 выровнялись, так что линия симметрии проходит через вершину, где встречаются эти две стороны. У него только одна ось симметрии.1. Затем треугольник AB1C1 отражается над B1C1 в треугольник A1B1C1. Отраженная форма будет точно такой же, как и исходная. Линии симметрии для четырех треугольников показаны на рисунке. Есть фигуры и формы, которые могут иметь более одной линии симметрии. Итак, равносторонний треугольник имеет три линии симметрии. Сколько линий отражательной симметрии имеет равносторонний треугольник? а равносторонний треугольник имеет три линии симметрии. Напишите четыре таких английских буквы, у которых нет линии симметрии.Он имеет вращательную симметрию порядка 3. Большинство неправильных многоугольников не имеют линии симметрии; однако есть несколько исключений. Линия AD — ось симметрии. Равнобедренный треугольник имеет только одну линию симметрии. А чтобы тупой треугольник имел линию симметрии, 2 его угла должны быть одинаковыми. Это зависит от типа треугольника, потому что равносторонний треугольник имеет 3 линии симметрии, в то время как равнобедренный треугольник имеет только 1 линию симметрии, а любые другие треугольники не имеют линий симметрии.После выбора вершины треугольника остается только одна возможная линия симметрии для треугольника, проходящая через эту вершину, а именно та, которая проходит через середину противоположной стороны. Линия. 5,5,5. Какая фигура имеет симметрию вращения третьего порядка? Чтобы узнать больше о треугольниках, перейдите по адресу brainly.ph/question/1441042. У круга есть бесконечные линии симметрии. brainly.ph/question/255962. Научитесь определять линии симметрии. В равностороннем треугольнике: * Все стороны равны. 21 см C. 15 см D. 225 см. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 13 см. Длина одного катета 5 см. Найдите длину другого катета A.равнобедренный треугольник? Симметрия Класс 6 Дополнительные вопросы Математика Глава 13 Дополнительные вопросы для класса 6 Математика Глава 13 Симметрия Симметрия Класс 6 Дополнительные вопросы Очень короткий Тип ответа Вопрос 1. Перемещая оранжевые точки, поместите линию в одну из зеркальных линий красного треугольника. Сколько линий симметрии имеет треугольник? Чтобы узнать больше о двух линиях симметрии, загрузите BYJU’S — The Learning App. Помните, что наши линии симметрии — это места, где одна половина нашей формы отражается на другую половину.Мы можем представить себе форму в виде бумаги. Q2. Градусы, которые вы должны повернуть: x | 0

Жена Джона Ксефоса, Сабор А Ми Писта, Вопросы под капотом для экзамена по вождению, Подержанное оборудование для содержания овец, Полный альбом Foals Youtube, Viper The Rapper Bandcamp,

Симметрия

и многоугольники

Симметрия и многоугольники Вернуться к содержанию

Обзор базовой геометрии — Урок 6

Обзор урока

Фигурки с симметричным отражением

Плоская фигура отражательно-симметричная тогда и только тогда, когда есть линия, отражающая фигуру сама на себя.

Эта линия является линией симметрии фигуры.

Заглавные буквы A, B, C, D, E, H, I, K, M, O, T, U, V, W, X и Y часто записываются как отражающие симметричные фигуры. Некоторые симметричны относительно горизонтальной линии (BCDEHIKOX) в то время как другие симметричны относительно вертикальной линии (AHIMOTUVWXY). Как видите, поскольку некоторые из них находятся в обоих списках (HIOX), может быть более одной линии симметрии. Сложно было бы найти такие слова, как ДИКСИ или ПОВАРКА. полностью состоит из букв с горизонтальной линией симметрии или MOM, WAXY, YOUTH (написано вертикально!) полностью состоит букв с вертикальной линией симметрии.Собрав достаточно этих слов, вы можете сделать их в кроссворд (за дополнительную плату)!

В нашем учебнике говорится и доказывается то, что они называют Теорема о триггере : (отражение симметрично).

Если F и G точки / цифры, и r _l (F) = G , затем r _l (G) = F .

Отсюда можно доказать, что каждый сегмент имеет две линии симметрии : сам и его серединный перпендикуляр.Это то же самое, что и письмо, о котором я говорил выше. У углов есть только одна линия симметрии: угол биссектриса, которая заставляет один луч отражаться на другой луч. В круге бесконечно много линий симметрии (независимо от того, как вы рисуете диаметр, полукруги являются отражением друг друга). Раздел завершается следующим важным результатом.

Если фигура симметрична, то любая пара соответствующих частей по симметрии конгруэнтны.

Пятна Роршаха и логотипы обычно являются отражательно-симметричными. Эти симметрии будут полезны при применении к различным многоугольникам. Симметрия также важна в алгебре. Функция y = x ² определяет параболу, в которой знак x значения не имеет. Это делает его четной функцией (показатель степени 2 — еще одна подсказка).

Симметричные треугольники (равнобедренные и равносторонние)

Треугольники, упомянутые в Числа 11 урока и Урок геометрии 2, можно классифицировать либо по количество сторон одинаковой длины (0 — разносторонний, 2 или более — равнобедренный, все 3 — равносторонний) или по наибольшему углу (острый, правый, тупой).Слева представлена диаграмма иерархии, объединяющая обе ситуации. Из-за перекрытия диаграммы иерархии для любой ситуации обычно даются взамен. Примечание: правый / острый / тупой треугольник может быть разносторонним или равнобедренным.

Кроме того, наше определение равнобедренного сустава включает, но не исключает равносторонний треугольник. Так же, как есть особые имена, связанные со сторонами прямоугольный треугольник (гипотенуза и катеты ), есть специальные названия, связанные с углами и сторонами равнобедренный треугольник.Угол, определяемый двумя равными сторонами называется углом при вершине . Сторона, противоположная вершине угла, называется основанием . Два угла напротив равных сторон — это базовые углы (и равны). Их также можно описать как углы на концах основания.

Три важные теоремы заключаются в следующем. Некоторые термины будут определены ниже.

Прямая, содержащая биссектрису угла при вершине равнобедренного треугольника
линия симметрии треугольника.

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине равна
серединный перпендикуляр к основанию, а медиана — к основание определяют ту же линию.

Если треугольник имеет две равные стороны, то углы напротив них конгруэнтны.

Эта последняя теорема широко известна как Угол основания равнобедренного треугольника Tneorem и обычно обозначается как: в равнобедренном треугольнике угла основания равны . Обратное (если два угла треугольника совпадают, тогда стороны напротив них совпадают) тоже верно но ждет главы 7. Иногда это происходит по историческое латинское название: pons asinorum , или мост ослы / дураки, из-за использованной схемы доказательства.
Каждый равносторонний треугольник имеет три линии симметрии. Это биссектрисы углов / сторон.
Если треугольник равносторонний, то он равносторонний.
Следствие (теорема, которая немедленно следует из логики из другой теоремы) состоит в том, что угла равностороннего треугольника равны 60 ° . Хотя линия симметрии равнобедренного треугольника — биссектриса угла, медиана, середина перпендикуляра и высота, в большинстве треугольников эти линии разные.
Incenter, Circumcenter, Orthocenter и Centroid
Мы определим различные важные вспомогательные линии который можно построить на многоугольнике. Мы также обсудим некоторые конкретные приложения этих линий к треугольникам.
Луч — это биссектриса угла тогда и только тогда, когда он образует два угла равной меры со сторонами угла.
Три биссектрисы треугольника совпадают в точке , входящей в центр .
Инцентратор находится на одинаковом расстоянии (расстояние х ) от всех три стороны треугольника.Таким образом, если бы круг был нарисован с центр в центре с радиусом r , это будет вписано в треугольник.
Сегмент, луч или прямая — это серединный перпендикуляр (сегмента) тогда и только тогда, когда он содержит середину сегмента и перпендикулярно сегменту.
Три серединных перпендикуляра треугольника совпадают. при центре окружности .
Центр описанной окружности находится на одинаковом расстоянии (расстояние r ) от всех три вершины треугольника. Таким образом, если бы круг был нарисован с центр описанной окружности как ее центр с радиусом r , он бы описал треугольник.
Сегмент — , высота тогда и только тогда, когда он перпендикулярен линии, содержащей сторона, противоположная вершине и содержащая эту вершину.
Высота также может относиться к длине описанного выше сегмента.У трапеций тоже есть высота. Кроме того, высота трехмерных объектов: призмы, цилиндры, пирамиды и конусы называют высотой.
Три высоты треугольника совпадают в ортоцентре .
Ортоцентр не обязательно должен находиться внутри треугольника. Он будет располагаться внутри только в том случае, если треугольник острый. Если треугольник правильный, ортоцентр будет на гипотенузе. Если треугольник тупой, ортоцентр будет вне треугольника.
Сегмент является медианой треугольника тогда и только тогда, когда он соединяет одну вершину со средней точкой противоположной стороны.
Три медианы треугольника совпадают в центроиде .
Если бы треугольник был сделан из однородно плотного материала, центроид будет центром масс или центром тяжести треугольника.Тонкий твердый объект такой формы уравновесит на этой точке. Таким образом, если треугольник подвешен за вершину, линия к локальной точке гравитационного притяжения (местный надир или прямо вниз) описал бы медиану и прошел бы через центроид. У медиан есть еще одно важное свойство.
Медианы всегда делят друг друга в соотношении 1: 2, с большей частью ( 2/3 ) к вершине и меньшая часть ( 1/3 ) с противоположной стороны.
Центр окружности, ортоцентр и центроид всегда коллинеарны. Эта линия называется линией Эйлера .
В равнобедренном треугольнике все четыре точки лежат на одной прямой. В равностороннем треугольнике все четыре совпадают.
Интересная конструкция Девятиконечная окружность , круг, проходящий через середины каждой стороны, основание каждой высоты, а также середина отрезки между ортоцентром и каждой вершиной.
Типы четырехугольников
Четырехугольники можно классифицировать по длине сторон и количеству пары сторон параллельны. Ознакомьтесь с иерархией диаграмма слева. Помните, что любое имущество, принадлежащее всем фигурам одного типа удерживается всеми типами, связанными ниже.
Воздушные змеи и их свойства
Четырехугольник — это змей тогда и только тогда, когда у него есть две различные пары последовательных конгруэнтных сторон.
Это имя должно быть знакомо по форме научный инструмент, предположительно используемый Бенджамином Франклином, которые сейчас используются в основном как игрушки. Наконечник стрелы, или шеврон Startrek обычно имеет форму невыпуклого воздушного змея. Другое распространенное название этой формы — дротик. Вершины, общие для конгруэнтных сторон, — это , концы . Линия, содержащая концы воздушного змея, является линией симметрии воздушного змея.Линия симметрии воздушного змея делит углы на концах змея пополам. Диагональ симметрии воздушного змея — это серединный перпендикуляр к плоскости другая диагональ.
Трапеции и их свойства
Четырехугольник — это трапеция тогда и только тогда, когда он имеет как минимум одну пару параллельных сторон.
Некоторые книги определяют трапеции как имеющие ровно одну пара параллельных сторон, так что будьте осторожны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями . В трапеции последовательные углы между парами параллельных сторон являются дополнительными.
Трапеция — это равнобедренная трапеция тогда и только тогда, когда она имеет конгруэнтные базовые углы.
Если непосредственно следует, что стороны, противоположные конгруэнтному углы в равнобедренной трапеции равны. В равнобедренной трапеции серединный перпендикуляр одного основания также является серединным перпендикуляром к другому основанию.Таким образом, эта биссектриса также является линией симметрии.
В одном из моих любимых вопросов используется равнобедренный трапозоид. Если дать высоту равнобедренного трапозоида, а также длины его двух оснований, можно найти его периметр. Пример: предположим, что мы знаем некоторую равнобедренную трапозоид имеет основания 10 и 16 с высотой 4. Мы знаем, что прямоугольные треугольники образуются вне прямоугольной области определяется высотой и более коротким основанием. Правильные треугольники имеют основание 3 и высоту 4, следовательно, гипотенуза 5. Следовательно, периметр равен 36. Сформированные треугольники не обязательно быть целым числом, и мы продолжим с областью в позже урок.
Параллелограммы и их свойства
Четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда обе пары сторон параллельны.
Таким образом, параллелограмм — это не только трапеция, но также представляет собой равнобедренную трапецию.
Четырехугольник — это прямоугольник тогда и только тогда, когда все углы совпадают.
Таким образом, прямоугольник — это равносторонний четырехугольник. Каждый угол составляет 90 ° или вправо. Поскольку альтернативные внутренние углы равны, мы можем легко сделать вывод, что стороны также параллельны. Таким образом, прямоугольник — это параллелограмм. Обе серединные перпендикулярные сторонам прямоугольника являются линиями симметрии.
Четырехугольник — это ромб тогда и только тогда, когда все стороны совпадают.
Таким образом, ромб — это равносторонний четырехугольник. Ромб — это и воздушный змей, и параллелограмм, причем двумя разными способами. Диагонали ромба перпендикулярны биссектрисам друг друга. В детском саду вы, вероятно, узнали о форме под названием «ромб ». Однако эта форма не очень специфична в том смысле, что она может быть либо (неквадратный) ромб или воздушный змей (более традиционный стиль угольные кристаллы). Таким образом, мы не будем использовать это обозначение формы.
Четырехугольник — это квадрат тогда и только тогда, когда все стороны и все углы совпадают.
Обратите внимание, что квадрат — это прямоугольник и квадрат — это ромб . Это также воздушный змей, параллелограмм и трапеция. К сожалению, многие из вас еще в дошкольном возрасте узнали об обратном. а чтобы чему-то научить, требуется в пять раз больше времени, чем чтобы этому научить! Также обратите внимание, что большинство четырехугольников не принадлежат ни к одному из этих специальные категории! Есть и другие классификации.Например, четырехугольники, которые можно вписать в круг. циклические .
Симметрия вращения
Плоская фигура F — осесимметричная тогда и только тогда, когда есть вращение (строго) между 0 ° и 360 ° такое, что R ( F ) = F . Центр R является центром симметрии для F .
Обратите внимание, что 0 ° и 360 ° исключены (ничего не происходит).
Считается, что фигура имеет n -кратную вращательную симметрию, если n вращения каждый на 360 ° / n производят идентичный рисунок. Последний поворот возвращает его в исходное положение. Фигура может иметь вращательные и отражающие свойства по отдельности или вместе. Фигура с отражающими свойствами может иметь симметрию вращения. тогда и только тогда, когда линии симметрии пересекаются.
Возвращаясь к нашим примерам букв, H, I, O, X имели два пересекающихся линии симметричной и, следовательно, отражательной и вращательной симметрии.Буквы N, S и Z имеют симметрию вращения, но не отражают симметрия. Некоторые буквы (M & W, b & q, d & p, n & u, h & y? Или 4 ??) вращаются в другую пару!
Правильные многоугольники
Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, все углы которого равны конгруэнтны и все стороны равны. Правильные многоугольники с три и четыре стороны имеют специальные названия равносторонний треугольник и квадрат соответственно.В противном случае их просто называют правильный пятиугольник , правильный шестиугольник , и т. Д. , штатный n -гон.
Многоугольник может быть равносторонним или равносторонним без, обязательно, будучи обоими (обычными). Прямоугольник — это пример равностороннего четырехугольника, а ромб — это пример равностороннего четырехугольника. Ни то ни другое не должно быть квадратом. Однако для 3-угольников, как указано в теореме выше, равносторонний треугольник также должен быть равноугольным.
В любом правильном многоугольнике точка называется центром . равноудалена от всех вершин.
Расстояние от середины сторона правильного многоугольника в центре находится апофема .
Апофема может также относиться к сегменту с длиной, как описано выше. Апофема часто используется в некоторых формулах. Например, площадь правильного многоугольника равна A = asn /2, где a — апофема, s — длина каждой стороны, и n — количество сторон. Поскольку p = sn или периметр — это количество сторон, умноженное на длину каждой стороны, можно также записать A = ap /2.
Каждый правильный n -угольник имеет n линий симметрии и n -кратная вращательная симметрия. Все линии симметрии либо биссектрисы, либо перпендикулярны биссектрисы каждой стороны (или обе, если n нечетное).
Мера внутренних углов регулярного n- гон можно найти следующим образом.Триангулируйте многоугольник с помощью рисование диагоналей n -3 от одной вершины ко всем остальным вершинам. Это делит n- угольник на n -2 треугольников. Углы сумма любого треугольника равна 180 °. Таким образом, внутренние углы любого n- гонсум до (n-2) • 180 °. Внутренние углы обычный угольник n- будет иметь вид (n-2) • 180 ° / n . Мы привели формулу для числа диагоналей угольника n в урок 2 как n • ( n -3) / 2. Вы можете дополнительно подумать, сколько разной длины эти диагонали может быть, особенно в правильном многоугольнике.
Расписания с правильными многоугольниками
Регулярные многоугольники могут быть использованы для формирования расписания кругового турнира , турнир, где каждая команда играет друг с другом один раз. Есть и другие методы, но ни один из них не настолько прост. Чтобы использовать этот алгоритм, используйте правильный многоугольник с n или n -1 сторона, в зависимости от того, что нечетное.Разместите команды в вершинах. Если один остался, поместите эту команду посередине. Нарисуйте параллельные диагонали, соединяющие пары команд ( пары ). (Это также могут быть аккорды на круге.) Тот, кто остался, либо получит , пока (не играть в этом раунде), если он нечетный; или пары с командой в центре, если даже. Запишите эти пары как первый раунд. Поверните диагонали / хорды к следующей вершине. Запишите эти пары как второй раунд. Когда вы пройдете половину пути, у вас будут все возможные пары, или полное расписание турниров по круговой системе.
Теорема Нётер
В 1905 году Эмили Нётер опубликовала теорему о сохранении законы физики симметрии в математической формулировке. Тот факт, что энергия и импульс сохраняются, связаны с симметрии во времени и пространстве. Точно так же сохранение угловой момент связан с вращательной симметрией.Остальные симметрии дискретны, а не непрерывны, такие как три, известные как CPT: зарядовое сопряжение, четность и разворот времени. Долгое время считалось, что частицы и античастицы подчиняться тем же законам физики (C), что физика в зеркальной вселенной было то же самое (P), и что физика не зависела от направления во времени (T). Теперь мы знаем, что P максимально нарушено ˜ есть только левосторонние нейтрино ~ и C также нарушается слабым взаимодействием. Комбинированная работа КП нарушается примерно дважды в каждом тысячу раз.Стандартная модель физики предполагает комбинированная работа CPT сохраняется. Однако CP-нарушение подразумевает T-нарушение, которое пока не обнаружено.
Порядок симметрии вращения
Определение:
порядок вращательной симметрии состоит в том, что объект имеет количество раз что он прилегает к себе при полном вращении на 360 градусов.
Примеры
Пример 1:
Каков порядок симметрии вращения равностороннего треугольника?
Решение:
Как объяснено в определении, мы должны проверить, сколько раз равносторонний треугольник подходит к самому себе за полный оборот на 360 градусов.
Посмотрите на изображения равностороннего треугольника в порядке A, B и C. A — исходное изображение. Изображения B и C создаются путем поворота исходного изображения A.
Когда мы смотрим на вышеприведенные изображения равностороннего треугольника, он подходит к самому себе 3 раза за полный оборот на 360 градусов.
Итак, равносторонний треугольник имеет вращательную симметрию порядка 3.
Пример 2:
Каков порядок вращательной симметрии квадрата?
Решение:
Посмотрите изображения квадрата в порядке A, B, C, D и E.А — исходное изображение. Изображения B, C, D и E генерируются путем поворота исходного изображения A.
Когда мы смотрим на изображения квадрата выше, он умещается на себе 4 раза за полный оборот на 360 градусов.
Итак, квадрат имеет вращательную симметрию порядка 4.
Пример 3:
Каков порядок вращательной симметрии правильного пятиугольника?
Решение:
Пожалуйста, посмотрите на изображения правильного пятиугольника в порядке A, B, C, D, E и F.А — исходное изображение. Изображения B, C, D, E и F создаются путем поворота исходного изображения A.
Когда мы смотрим на приведенные выше изображения правильного пятиугольника, он подходит к себе 5 раз за полный оборот на 360 градусов.
Итак, правильный пятиугольник имеет вращательную симметрию пятого порядка.
Пример 4:
Каков порядок вращательной симметрии параллелограмма?
Решение:
Посмотрите изображения параллелограмма в порядке A, B и C.А — исходное изображение. Изображения B и C создаются путем поворота исходного изображения A.
Когда мы смотрим на приведенные выше изображения параллелограмма, он подходит к себе 2 раза за полный оборот на 360 градусов.
Итак, параллелограмм имеет вращательную симметрию порядка 2.
Пример 5:
Каков порядок вращательной симметрии равнобедренного треугольника?
Решение:
Посмотрите изображения равнобедренного треугольника в порядке A и B.А — исходное изображение. Изображение B создается путем поворота исходного изображения A.
Когда мы смотрим на вышеприведенные изображения равнобедренного треугольника, он подходит к себе 1 раз за полный оборот на 360 градусов.
Итак, равнобедренный треугольник имеет вращательную симметрию порядка 1.
Пример 6:
Каков порядок вращательной симметрии разностороннего треугольника?
Решение:
Посмотрите изображения разностороннего треугольника в порядке A и B.А — исходное изображение. Изображение B создается путем поворота исходного изображения A.
Когда мы смотрим на вышеприведенные изображения равнобедренного треугольника, он подходит к себе 1 раз за полный оборот на 360 градусов.
Итак, разносторонний треугольник имеет вращательную симметрию порядка 1.
Пример 7:
Каков порядок вращательной симметрии трапеции?
Решение:
Посмотрите изображения трапеции в порядке A и B.А — исходное изображение. Изображение B создается путем поворота исходного изображения A.
Когда мы смотрим на вышеприведенные изображения трапеции, она ложится на себя 1 раз за полный оборот на 360 градусов.
Итак, трапеция имеет вращательную симметрию порядка 1.
Пример 8:
Каков порядок вращательной симметрии равнобедренной трапеции?
Решение:
Посмотрите изображения равнобедренной трапеции в порядке A и B. А — исходное изображение. Изображение B создается путем поворота исходного изображения A.
Когда мы смотрим на вышеприведенные изображения равнобедренной трапеции, она ложится на себя 1 раз за полный оборот на 360 градусов.
Итак, равнобедренная трапеция имеет вращательную симметрию порядка 1.
Пример 9:
Каков порядок вращательной симметрии воздушного змея?
Решение:
Пожалуйста, посмотрите изображения кайта в порядке A и B.А — исходное изображение. Изображение B создается путем поворота исходного изображения A.
Когда мы смотрим на изображения воздушного змея выше, он надевается на себя 1 раз за полный оборот на 360 градусов.
Итак, кайт имеет вращательную симметрию порядка 1.
Пример 10:
Каков порядок вращательной симметрии ромба?
Решение:
Пожалуйста, посмотрите изображения ромба в порядке A, B и C.А — исходное изображение. Изображения B и C создаются путем поворота исходного изображения A.
Когда мы смотрим на вышеприведенные изображения ромба, он ложится на себя 2 раза за полный оборот на 360 градусов.
Итак, ромб имеет вращательную симметрию порядка 2.
Пример 11:
Каков порядок вращательной симметрии эллипса?
Решение:
Пожалуйста, посмотрите изображения эллипса в порядке A, B и C.А — исходное изображение. Изображения B и C создаются путем поворота исходного изображения A.
Когда мы смотрим на вышеприведенные изображения эллипса, он подходит к самому себе 2 раза за полный оборот на 360 градусов.
Итак, эллипс имеет вращательную симметрию порядка 2.
Пример 12:
Каков порядок вращательной симметрии окружности?
Решение:
Окружность имеет бесконечный «порядок симметрии вращения».Проще говоря, круг всегда вписывается в свой исходный контур, независимо от того, сколько раз он поворачивается.
Итак, круг имеет бесконечный порядок вращательной симметрии.
Кроме того, что описано в этом разделе, если вам нужны другие математические данные, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.
Если у вас есть отзывы о наших математических материалах, напишите нам:
[email protected]
Мы всегда ценим ваши отзывы.
Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.
ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ
Задачи со словами HCF и LCM
Задачи со словами на простых уравнениях
Задачи со словами на линейных уравнениях

Задачи со словами на квадратных уравнениях

Проблемы со словами в поездах

Проблемы со словами по площади и периметру

Проблемы со словами по прямой и обратной вариациям

Проблемы со словами по цене за единицу

Проблемы со словами по скорости единицы

Задачи по сравнению ставок

Преобразование обычных единиц в текстовые задачи

Преобразование в метрические единицы в словесных задачах

Словесные задачи по простому проценту

Словесные задачи по сложным процентам

Текстовые задачи по типам ngles

Проблемы с дополнительными и дополнительными углами в словах

Проблемы со словами с двойными фактами

Проблемы со словами тригонометрии

Проблемы со словами в процентах

Проблемы со словами для разметки

и 9333 задачи

задачи с десятичными числами

задачи со словами на дроби

задачи со словами на смешанные дроби

задачи со словами на одноэтапное уравнение

задачи с линейным неравенством и соотношением слов

23 Задачи со словами

Проблемы со временем и рабочими словами

Задачи со словами на множествах и диаграммах Венна

Проблемы со словами на возрастах

Проблемы со словами из теоремы Пифагора

Процент числового слова проблемы

Проблемы со словами при постоянной скорости

Проблемы со словами при средней скорости

Проблемы со словами при сумме углов треугольника 180 градусов

ДРУГИЕ ТЕМЫ

Сокращения прибыли и убытков

Сокращение в процентах

Сокращение в таблице времен

Сокращение времени, скорости и расстояния

Сокращение соотношения и пропорции

0 Домен и диапазон рациональных функций 9323 функции с отверстиями

График рациональных функций

График рациональных функций с отверстиями

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

Десятичное представление рациональных чисел

видение

Л. Метод CM для решения временных и рабочих задач

Преобразование задач со словами в алгебраические выражения

Остаток при делении 2 в степени 256 на 17

Остаток при делении степени 17 на 16 на 16

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

Сумма всех трехзначных чисел, делящихся на 8

Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

TriangleGroup

TriangleGroup Группа симметрии треугольника Есть шесть движений, которые могут вернуть равносторонний треугольник в исходное положение. Они есть
Ничего не делать
Повернуть на 120 градусов против часовой стрелки
Повернуть на 240 градусов против часовой стрелки
Переворот вокруг оси симметрии через верхнюю вершину
Переворот вокруг оси симметрии через нижнюю левую вершину
Переворот вокруг оси симметрии через правую нижнюю вершину
Есть и другие предложения, но они «эквивалентны» перечисленным выше.Например, поворот треугольника на 360 градусов «эквивалентен» бездействию. так как основная ориентация треугольника не изменилась.
Мы пометили вершины A, B и C и показали 6 движений симметрии. ниже:

Равносторонний треугольник до движения и после любого движения
, который ничего не меняет (например, поворот на 360 градусов).
(Обратите внимание на маркировку углов)

Равносторонний треугольник после поворота на 120 градусов против часовой стрелки
(обратите внимание на новое расположение вершин A, B и C)

Треугольник после поворота на 240 градусов против часовой стрелки.
(обратите внимание на новые положения вершин A, B и C)

Треугольник после поворота вокруг оси через верхнюю вершину.
(обратите внимание на новые положения вершин A, B и C)

Треугольник после переворота вокруг оси через нижний левый угол вершина.
(обратите внимание на новое положение вершин A, B и C.)

Треугольник после поворота вокруг оси через нижнюю правую часть вершина.
(Обратите внимание на новые позиции вершин A, B и C)

Теперь мы можем объединить эти операции симметрии треугольника, чтобы сформировать группу. Мы просто используем операцию , за которой следует , и находим, что
У нас есть закрытие: выполняет одно движение, , за которым следует , выполняет ‘ другое движение эквивалентно (имеет тот же эффект), что и выполнение одного из 6 движений.
У нас есть ассоциативность: , так как , за которым следует , всегда ассоциативная операция.
У нас есть идентификатор: Движение Ничего не делать — это элемент идентичности.
У нас есть инверсии: У каждого элемента есть инверсия:
Ничего не делать является обратным.
Поворот на 120 градусов и Поворот на 240 градусов противоположны друг другу.
Три механизма Flip сами по себе перевернуты.
Хорошая идея — последовать совету Марии Монтессори и привлечь много смыслов в вашем обучении.С этой целью советую вам сделать бумагу или картонный треугольник и обозначьте его вершины A, B и C . Затем нарисуйте на листе бумаги аналогичный треугольник. Начните с треугольника в исходное положение (как показано на первом рисунке) и выполните различные движения, одно за другим. Обратите внимание на окончательную ориентацию треугольник (по распределению его вершин) после двух движений были выполнены (один , затем еще ). Какое одиночное движение это эквивалентно?
Продолжая таким образом, вы можете заполнить таблицу Кэли для симметрии Группа равностороннего треугольника .
Итак, сделаем это. Нам понадобятся символы, обозначающие наши движения. Итак, давайте
e подставка для механизма Do nothing .
a подставка для Поворот на 120 градусов против часовой стрелки движение.
b подставка для Повернуть на 240 градусов против часовой стрелки движение.
X подставка для Переворот вокруг оси через верхнюю вершину движение.
Y подставка для Flip вокруг оси через нижний левый угол вершина движения.
Z подставка для Переворот вокруг оси через нижний правый угол вершина движения.
Используя эти определения для e, a, b, X, Y, и Z , мы можем образуют таблицу Кэли для группы симметрии равностороннего треугольника: (В этой таблице первое выполненное движение находится в левом столбце а второе движение находится в верхнем ряду.)
• e a b X Y Z
e e a b X Y Z
a a b e Y Z X
b b e a Z X Y
X X Z Y e b a
Y Y X Z a e b
Z Z Y X b a e
Ваша таблица соответствует приведенной выше ?? Если да, похлопайте себя по обратно и наклеить на холодильник.
Далее. . .
Подгруппы: Группы внутри групп
Вернуться к индексу:
Комментарии, исправления и критические замечания направляйте по адресу:
[email protected]
& копия 1999 Арфуром Догфри
Четырехугольники
Многоугольник — это форма с плоской поверхностью.
Четырехугольник — это четырехугольник.
Прямоугольник
Прямоугольник — это четырехугольник, противоположные стороны которого равны и параллельны.
Все углы прямоугольника прямые.
AB = DC и Н.э. =
г. до н.э.
Прямоугольник имеет две оси симметрии линии.
Он имеет вращательную симметрию порядка 2
, т.е. симметрию на 1/2 оборота

Диагонали прямоугольника равны и делят друг друга пополам.
(пополам означает разрезание пополам)

AC = BD.
OA = OB = OC = OD
Квадрат
Квадрат — это особый прямоугольник.
Это прямоугольник со всеми равными сторонами.
AB II CD и AD II BC
AB = BC = CD = DA

Квадрат имеет четыре оси симметрии линии.
Обладает r осевой симметрией порядка 4
, т.е. симметрией ¼ поворота

Диагонали квадрата
(i) разделите пополам углы квадрата.
(ii) разделите друг друга пополам под прямым углом.
(iii) разделите углы пополам.
Воздушный змей
Воздушный змей — это четырехугольник с одной осью линейной симметрии.
Не имеет вращательной симметрии .
Воздушный змей имеет две пары равных смежных сторон.
перевернутый змей

Диагонали пересекаются под прямым углом, но не делят друг друга пополам.

Ромб
Ромб — это особый воздушный змей с двумя осями симметрии.
Он имеет вращательную симметрию порядка 2
, т.е. симметрию на 1/2 оборота

Диагонали ромба пересекают друг друга под прямым углом.
Диагонали ромба делят углы пополам.
Противоположные стороны ромба параллельны.
Все стороны равны, а противоположные углы равны .
Параллелограмм
Параллелограмм — это четырехугольник без оси прямой симметрии.
Он имеет вращательную симметрию порядка 2
, т.е. симметрию на 1/2 оборота

Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.
Противоположные углы параллелограмма равны.

Трапеция
У трапеции одна пара параллельных сторон.
Не имеет вращательной симметрии .
Обычная трапеция не имеет оси симметрии линии
Равнобедренная трапеция имеет одну ось симметрии линии
Трапеция обыкновенная
Равнобедренная трапеция

© Александр Форрест
Блок 15 Раздел 3: Симметрия
В этом разделе мы пересматриваем симметрию объектов и исследуем симметрию правильных многоугольников.
Существует два типа симметрии: отражательная симметрия и вращательная симметрия.
Отражательная симметрия
Объект имеет отражательную симметрию , если он может отражаться в определенной линии и выглядит так же, как оригинал.
Линия, через которую отражается объект, называется линией симметрии или линией зеркала .
Ищите линии симметрии в двух фигурах ниже:

В (a) есть две линии симметрии, одна горизонтальная и одна вертикальная.
В (b) также есть две линии симметрии, обе диагональные.
Вот фигуры с линиями симметрии:
Симметрия вращения
Объект имеет симметрию вращения , если при повороте он выглядит так же, как и изначально.
Порядок симметрии вращения. — это количество раз, когда объект выглядит так же, как и изначально, когда он вращается на 360 °.Даже если кажется, что фигура не имеет симметрии вращения, порядок симметрии вращения все равно будет равен 1, потому что каждая фигура в конце поворота на 360 ° выглядит так же, как и первоначально.
Имеется центр вращения , относительно которого возникает симметрия вращения. У фигуры может быть только один центр вращения.
На трех диаграммах ниже показаны формы с разным порядком симметрии вращения.
Один имеет порядок вращательной симметрии 1, второй порядок 2, а другой порядок 4.
Нажмите на фигуры, чтобы увидеть, как они вращаются, и посчитайте, сколько раз они выглядят одинаково за один ход.
Обратите внимание, как все они вращаются вокруг креста — это центр вращения.
Симметрии в правильных многоугольниках
Посмотрите на правильный семиугольник ниже. Семигранник — это фигура с семью сторонами, у которой равные стороны и равные углы.
Вы можете видеть, что существует семь линий симметрии, и правильный семиугольник также имеет седьмой порядок симметрии вращения.
Порядок вращательной симметрии и количество линий симметрии любого правильного многоугольника равны количеству сторон.
& nbsp
Упражнения
Ответьте на приведенные ниже вопросы и заполните поля. Нажать на кнопку, чтобы узнать, правильно ли вы ответили. Если ты прав затем появится, и вы должны перейти к следующему вопрос. Если появляется, значит, ваш ответ неверный. Нажмите на, чтобы очистить исходный ответ и попробовать еще раз. Если вы не можете найти правильный ответ, нажмите чтобы увидеть ответ.
ПРИМЕЧАНИЕ. В следующем вопросе вам нужно нанести точки и нарисовать линии на сетке.
Чтобы построить точку, просто щелкните сетку левой кнопкой мыши. Чтобы нарисовать линию, удерживайте
нажмите левую кнопку мыши в одной точке линии и перетащите указатель в другую точку линии.
Когда вы отпустите кнопку, появится линия, которая автоматически пересечет всю сетку.
Если вы ошиблись, нажмите клавишу удаления, и сетка очистится.
Вопрос 1
На каждой из шести диаграмм ниже нарисуйте все линии симметрии и отметьте центр вращения.
После того, как вы проверили их с помощью кнопки, укажите порядок симметрии вращения для каждого из них и проверьте это тоже.
No related posts.