Что такое верное неравенство: Верные и неверные равенства и неравенства — урок. Математика, 1 класс.

Содержание

Неравенства. Основные свойства неравенств

Неравенства. Основные свойства неравенств


Два выражения, числовые или буквенные, соединенные знаком «больше» (>) или знаком «меньше» (<), образуют неравенство (числовое или буквенное).
Всякое верное числовое неравенство, а также всякое буквенное неравенство, справедливое при всех числовых действительных значениях входящих в него букв, называется тождественным.

Пример 1. Числовое неравенство 2•3-5 < 8-5 (оно верно!) есть тождественное неравенство.
Пример 2. Буквенное неравенство a2 > -2 тождественно, так как при всяком числовом (действительном) значении а величина a2 положительна или равна нулю и, значит, всегда больше, чем -2.

Два выражения соединяются также знаками («меньше или равно») и («больше или равно»). Так, запись 2a ≥ 3b означает, что величина 2a либо больше величины 3b, либо равна ей. Такие записи также именуются неравенствами.

Буквенные величины, входящие в неравенство, могут подразделяться на известные и неизвестные. Какие из букв представляют известные, а какие неизвестные величины, должно быть отдельно указано. Обычно для этого неизвестные величины обозначаются последними буквами латинского алфавита

х, у, z, u, v и т. д.

Решить неравенство — значит указать границы, в которых должны заключаться (действительные) значения неизвестных величин, чтобы неравенство было верным.
Если дано несколько неравенств, то решить систему этих неравенств — значит указать границы, в которых должны заключаться значения неизвестных величин, чтобы все данные неравенства были верными.

Пример 3. Решить неравенство a2 < 4. Это неравенство верно, если |x| < 2, т. е. если x заключено в границах между -2 и +2.
Решение имеет вид: -2 < x < 2.
Пример 4. Решить неравенство 2x > 8. Решение имеет вид: x > 4. Здесь x ограничено только с одной стороны.
Пример 5. Неравенство

(x — 2)(x — 3) > 0 верно, если x > 3 (тогда оба сомножителя (x — 2), (x — 3) положительны), а также при х < 2 (тогда оба сомножителя отрицательны), и неверно, когда x заключено в границах между 2 и 3 (а также при x = 2 и при x = 3). Поэтому решение представляется двумя неравенствами: x > 3; x < 2.
Пример 6. Неравенство x2 < -2 не имеет решений.

Основные свойства неравенств

1. Если a > b, то b < a; и наоборот, если a < b то b > a.
Пример. Если 5x — 1 > 2x + 1, то 2x + 1 < 5x — 1.

2. Если a > b и b > c, то a > c. Точно так же, если a < b и b < c, то a < c.
Пример. Из неравенств x > 2y, 2y > 10 следует, что x > 10.

3. Если

a > b, то a + c > b + ca — c > b — c). Если же a < b, то a + c < b + ca — c < b — c), т. е. к обеим частям неравенства можно прибавить (или из них вычесть) одну и ту же величину.
Пример 1. Дано неравенство x + 8 > 3. Вычитая из обеих частей неравенства число 8, находим x > -5.
Пример 2. Дано неравенство x — 6 < -2. Прибавляя к

Линейные неравенства. Исчерпывающий гид (ЕГЭ — 2021)

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт

Числовые неравенства и их свойства с примерами решения

Числовые неравенства и их свойства

Обратим внимание на то обстоятельство, что понятие неравенства, вообще говоря, можно ввести только на

упорядоченном числовом множестве, например на множестве действительных чисел.

Если два действительных числа а и b соединены одним из знаков неравенств:

, или , или , или , или , то говорят, что задано числовое неравенство. При этом неравенства и называются строгими, а неравенства и — нестрогими. Числовое неравенство может быть верным либо неверным.

Ниже при доказательстве свойств числовых неравенств наряду с законами коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности и утверждениями 1, 2, 3 мы будем использовать (без доказательства) также три следующих утверждения, вытекающие из определения арифметических операций суммы и произведения двух действительных чисел, понятия противоположных (по знаку) чисел, а также операции сравнения действительных чисел.

Утв. 4. Сумма двух положительных чисел положительна.

Утв. 5. Произведение двух положительных чисел положительно.

Утв. 6. Если

, то ; если , то .

Свойства числовых неравенств

Пусть а ,b, c ,d — произвольные действительные числа. Приведённые ниже свойства сформулированы для строгих и нестрогих неравенств, но доказываются только для случая строгих неравенств.

1. Одно из двух чисел больше второго тогда и только тогда, когда второе число меньше первого:

2. Если одно число больше второго, а второе число больше третьего, то первое число больше третьего (транзитивность неравенств):

(последнее неравенство обращается в равенство

).

3.К обеим частям неравенства можно прибавлять (вычитать) одно и то же число, при этом знак неравенства сохраняется:

1.а) Обе части неравенства можно умножать (делить) на одно и то же положительное число, при этом знак неравенства сохраняется:

если

, то

б) Обе части неравенства можно умножать (делить) на одно и то же отрицательное число, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

если

, то

5.Неравенства одного знака можно почленно складывать:

(последнее неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда одновременно а = b и с = d ).

6.Неравенства одного знака с положительными (неотрицательными) членами можно почленно перемножать:

(последнее неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда одновременно

а = b и с = d ).

Если перемножаются нестрогое неравенство со строгим, то в результате может получиться как строгое неравенство:

так и нестрогое неравенство:

(последнее неравенство обращается в равенство

).

7.а) Число, обратное к положительному (отрицательному) числу, положительно (отрицательно):

б) Числа, обратные к двум числам одного знака, связаны неравенством противоположного знака:

Следствие.

8.а) Если обе части неравенства положительны, то при возведении его в любую натуральную степень n (т.е. умножении самого на себя n раз) знак неравенства сохраняется:

Сформулированное свойство можно усилить:

б) если

то

в) если n — нечётно, то при любых верно утверждение:

Следствие. Для любого положительного числа а и любого натурального числа n неравенство а > 1 выполняется тогда и только тогда, когда выполняется неравенство

.

Доказательство.

Докажем, что

. Согласно утверждению 2, . По утверждению 6, В соответствии с законом дистрибутивности раскроем скобки: , а в соответствии с

законом коммутативности поменяем слагаемые местами:

. Согласно утверждению 3, последнее неравенство равносильно тому, что b < а .

Докажем, например, что если а > b и b > c, то а > c . Согласно утвер-ждению 2, имеем:

Поскольку , и, согласно утверждению 4, , то . Наконец, по утверждению 2,

Докажем, что при любом c равносильны неравенства а > b и а +c> b +c . Согласно утверждению 2,

. Поскольку, используя закон ассоциативности сложения, то . Согласно утверждению 2, .

а) Докажем, что если c > 0 , то неравенства а > b и

равносильны.

Необходимость. Пусть а > b , и требуется доказать, что

. Во-первых, согласно утверждению 2, . Во-вторых, согласно утверждению 5, . Согласно распределительному закону, раскроем в последнем неравенстве скобки: . Наконец, согласно утверждению 2, .

Достаточность. Пусть

и требуется доказать, что а > b . Докажем методом «от противного». Так как а
не может быть равно b , иначе по свойству 6 числовых равенств имели бы , то предположим, что а < b. Тогда, согласно доказанному выше свойству 1 числовых неравенств, это равносильно тому, что b > а . Согласно утверждению 2, . Далее, поскольку b — а > 0 ,c>0, то, согласно утверждению 5, . Раскрывая скобки в соответствии с распределительным законом, получаем, что тогда . Согласно утверждению 2, последнее неравенство равносильно , что противоречит условию. Следовательно, а > b.

б) Докажем, что если c < 0 , то неравенство а > b равносильно неравенству

. Так как c < 0 , то, согласно утверждению 6, . Воспользуемся только что доказанным свойством 4.а: (по закону дистрибутивности) (по свойству 1 числовых неравенств) (по утверждению 3) (согласно распределительному закону) (по переместительному закону) (по утверждению 3)

Пусть а > b, с > d . Докажем, что тогда а + с > b + d . Так как а > b и c > d, то (по утверждению 2) это равносильно тому, что а-b> 0, с — d > 0

(по утверждению 4) (а — b) + (с — d) > 0 (согласно сочетательному и распределительному законам) (а + с) — (b + d)> 0 (по утверждению 2) а + с > b + d .

Рассмотрим краткое доказательство свойства (1) (более подробное доказательство этого, а также последующих свойств со всеми необходимыми обоснованиями и ссылками проведите самостоятельно).

Пусть

. Требуется доказать, что . Рассмотрим разность (так как в каждом из последних слагаемых оба сомножителя положительны), т.е.

а) Необходимость докажем «от противного». Пусть b > 0, но 1/b < 0

—1/b>0. Перемножим последнее неравенство с неравенством Ь> 0: , т.е. — 1 > 0 . Из противоречия 1/b > 0 .

Достаточность. Пусть теперь

. Умножим это неравенство на верное неравенство и получим , т.е. .

б) Пусть

. Так как (числитель и знаменатель дроби положительны), то отсюда и вытекает доказываемое свойство.

а) По свойству 6 умножим неравенство

само на себя и получим . Полученное неравенство ещё раз умножим на

т.д. Таким образом, для любого конечного n за n шагов получим

.

б) Воспользуемся формулой сокращённого умножения

Так как выражение во вторых скобках положительно, то знак разности

совпадает со знаком .

в) Докажите свойство самостоятельно.

Примеры задач, в которых используются указанные выше свойства числовых равенств и неравенств, можно встретить практически в любом разделе современной математики. Чаще всего подобные свойства используются при сравнении между собой чисел, в задачах на преобразования алгебраических и прочих выражений, на доказательство тождеств и неравенств, а также при получении разнообразных оценок для числовых выражений и значений функций.

Пример №118.

Пусть

Оценить, какие значения могут принимать

Решение. Пусть известно, что

, оценим возможные значения величины . Воспользуемся графическим подходом. Рассмотрим функцию и найдём область её изменения на указанном выше полуинтервале.

Как следует из графика, функция принимает все значения от 4 до 9 (не включая 9). Аналогично оцениваются

. Ответ: ,
Пример №119.

Известно, что

. Оценить значения:

Решение:

Объединяя полученные результаты, получим:

Объединяя полученные результаты, получим:

Ответ-.

Пример №120.

Найти наибольшее и наименьшее значения выражения

, если —

Решение:

Оценим вначале, какие значения может принимать дробь 4/(х — 2). Поскольку

то , а, значит,

Теперь оценим выражение

Если представить график квадратичной функции на отрезке , то имеем вершину параболы при , при этом . Наименьшее значение функции на указанном отрезке достигается при и равно . Таким образом, . Складывая полученные оценки для выражений , приходим к ответу:
Пример №121.

Числа изменяются в пределах: . В каких пределах изменяется выражение

Решение:

Поскольку

т.е. и , то, складывая последние два неравенства, получаем оценку:

В силу монотонного возрастания показательной функции с основанием 4 имеем

Аналогично находим, что

Оба выражения

и достигают своих наименьшего и наибольшего значений одновременно, при одних и тех же значениях x и у . Их наименьшие значения достигаются при а наибольшие соответственно при . Это вытекает из того, что оба выражения монотонно возрастают по x и независимо от этого монотонно убывают по у . Складывая почленно неравенства (1) и (2), получаем:

Ответ:

Пример №122.

Какие значения может принимать функция

Решение:

Так как

то Обозначим Таким образом, задачу можно сформулировать в виде: «Оценить, какие значения может принимать величина , если известно, что ». Поскольку , рассмотрим отдельно два промежутка:. В первом случае имеем: , а во втором: . Объединяя, получаем ответ.

Ответ:

Пример №123.

Доказать неравенство,

Доказательство. Очевидно, что при любом

справедливы неравенства

Складывая эти неравенства, получим:

Неравенство также может быть доказано методом математической индукции.

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Равенство и неравенство — Студопедия

Два числовых математических выражения, соединенные знаком «=» называют равенством.

Например: 3 + 7 = 10 — равенство.

Равенство может быть верным и неверным.

Смысл решения любого примера состоит в том, чтобы найти та­кое значение выражения, которое превращает его в верное равенство.

Для формирования представлений о верных и неверных равенствах в учебнике 1 класса используются примеры с окошком.

Например:


Методом подбора ребенок находит подходящие числа и проверяет верность равенства вычислением.

Процесс сравнения чисел и обозначение отношений между ними с помощью знаков сравнения приводит к получению неравенств.

Например: 5 < 7; б > 4 — числовые неравенства

Неравенства также могут быть верными и неверными.

Например:

Методом подбора ребенок находит подходящие числа и проверяет верность неравенства.

Числовые неравенства получаются при сравнении числовых выражений и числа.

Например:

При выборе знака сравнения ребенок вычисляет значение выражения и сравнивает его с заданным числом, что отражается в выборе соответствующего знака:

10-2>7 5+К7 7 + 3>9 6-3 = 3

Возможен другой способ выбора знака сравнения — без ссылки на вычисления значения выражения.


Наппимеп:

Для постановки знаков сравнения можно провести такие рассуждения:

Сумма чисел 7 и 2 будет заведомо больше, чем число 7, значит, 7 + 2 > 7.

Разность чисел 10 и 3 будет заведомо меньше, чем число 10, значит, 10 — 3 < 10.

Числовые неравенства получаются при сравнении двух числовых выражений.

Сравнить два выражения — значит сравнить их значения. Например:

При выборе знака сравнения ребенок вычисляет значения выражений и сравнивает их, что отражается в выборе соответствующего знака:

Возможен другой способ выбора знака сравнения — без ссылки на вычисления значения выражения. Например:

Для постановки знаков сравнения можно провести такие рассуждения:

Сумма чисел 6 и 4 больше суммы чисел 6 и 3, поскольку 4 > 3, значит, 6 + 4 > 6 + 3.

Разность чисел 7 и 5 меньше, чем разность чисел 7 и 3, поскольку 5 > 3, значит, 7 — 5 < 7 — 3.

Частное чисел 90 и 5 больше, чем частное чисел 90 и 10, поскольку при делении одного и того же числа на число большее, частное получается меньшее, значит, 90 : 5 > 90 :10.

Для формирования представлений о верных и неверных равенствах и неравенствах в новой редакции учебника (2001) используются задания вида:


Для проверки используется метод вычисления значения выражений и сравнения полученных чисел.

Неравенства с переменной практически не используются в последних редакциях стабильного учебника математики, хотя в более ранних изданиях они присутствовали. Неравенства с переменными активно используются в альтернативных учебниках математики. Это неравенства вида:

 + 7 < 10; 5 —  > 2;  > 0;  > О

После введения буквы для обозначения неизвестного числа такие неравенства приобретают привычный вид неравенства с переменной:

а + 7>10; 12-d<7.

Значения неизвестных чисел в таких неравенствах находятся методом подбора, а затем подстановкой проверяется каждое подобранное число. Особенность данных неравенств состоит в том, что могут быть подобраны несколько чисел, подходящих к ним (дающих верное неравенство).

Например: а + 7 > 10; а = 4, а = 5 , а = 6 и т. д. — количество значений для буквы а бесконечно, для данного неравенства подхо­дит любое число а > 3; 12 — d < 7; d = 6, d = 7, d = 8, d = 9, d = 10, d = 11, d = 12 — количество значений для буквы d конечно, все значения могут быть перечислены. Ребенок подставляет каждое найденное значение переменной в выражение, вычисляет значение выражения и сравнивает его с заданным числом. Выбираются те значения переменной, при которых неравенство является верным.

В случае бесконечного множества решений или большого количества решений неравенства ребенок ограничивается подбором нескольких значений переменной, при которых неравенство является верным.

Что такое числовые выражения, равенства, неравенства и уравнения

Выражение

Числовое выражение — это числа, соединённые знаками арифметических действий: сложение, вычитание, умножение и деление.

Найти значение числового выражения — это значит выполнить все указанные арифметические действия и получить конкретное число.

Кроме арифметических действий выражения могут содержать скобки, которые влияют на порядок действий при решении выражения.

Пример 1:

2 • 5 — 3 = 7

  • 2 • 5 — 3 — числовое выражение
  • 7 — значение числового выражения.

Равенство

Равенства — это числа или выражения, соединённые знаком = (равно).

Равенство считается верным, если числа или числовые выражения слева и справа от знака =, имеют равное значение.

Равенство считается неверным, если числа или числовые выражения слева и справа от знака =, не равны (≠).

При решении равенств соблюдается следующий порядок действий:

Пример 2: 

1) 5 = 7 — равенство неверно, так как  5 ≠ 7.

2) 36 : 2 = 6 • 3 — равенство верно, так как:

  • 36 : 2 = 18
  • 6 • 3 = 18
  • 18 = 18

3) 48 + 9 = 54 — 1 — равенство неверно, так как:

  • 48 + 9 = 57
  • 54 — 1 = 53
  • 57 ≠ 53

Неравенство

Неравенства — это числа или числовые выражения соединённые знаком > (больше) или < (меньше).

Неравенство считается верным, если значения выражений слева и справа от знака неравенства, соответствуют обозначенному условию. То есть:

  • если поставлен знак > (больше), то значение выражения слева должно быть больше, чем значение выражения справа;
  • если поставлен знак < (меньше), то значение выражения слева должно быть меньше, чем значение выражения справа.

Неравенство считается неверным, если значения выражений слева и справа от знака неравенства, не соответствуют обозначенному условию. То есть:

  • если поставлен знак > (больше), а значение выражения слева меньше или равно, чем значение выражения справа;
  • если поставлен знак < (меньше), а значение выражения слева больше или равно, чем значение выражения справа.

При решении неравенств соблюдается следующий порядок действий:

Пример 3:

1) 5 > 7 — неравенство неверно, так как 5 < 7.

2) 3 • 10 < 160 : 4 — неравенство верно, так как:

  • 3 • 10 = 30
  • 160 : 4 = 40
  • 30 < 40

3) 4 + 5 • 6 > (4 + 5) • 6 — неравенство неверно, так как:

  • 4 + 5 • 6 = 4 + 30 = 34
  • (4 + 5) • 6 = 9 • 6 = 36
  • 34 < 36

Уравнение

Уравнение — это равенство, которое содержит неизвестное число, обозначенное какой-либо латинской буквой: x, y, a, b, z, d и т.д.

Корень уравнения — это число, при подставлении котрого вместо буквы в равенство делает это равенство верным.

Решить уравнение — это значит найти все возможные корни уравнения.

Порядок и правила решения уравнений зависят от того, к какому типу они относятся:

Пример 4:

25 + х = 75
х = 75 — 25
х = 50

Проверка:

25 + 50 = 75
75 = 75 — верно

Неравенство — это… Что такое Неравенство?

В математике неравенство (≠) есть утверждение об относительной величине или порядке двух объектов, или о том, что они просто не одинаковы (см. также Равенство).

Типы неравенств

  • запись означает, что a меньше, чем b;
  • запись означает, что a больше, чем b.
  • запись означает, что a не равно b.

Эти математические отношения называются строгим неравенством. В противоположность им нестрогие неравенства означают следующее:

  • запись означает, что a меньше либо равно b;
  • запись означает, что a больше либо равно b.

Кроме того, иногда требуется показать, что одна из величин много больше другой, обычно на несколько порядков:

  • запись означает, что a намного больше b.

Иногда не требуется знать результат и тогда можно определить формальное неравенство как два числа или алгебраических выражения, соединённые знаками >,<,≠.

Неравенство называется точным если его нельзя улучшить.

  • Например является точным, а нет.

Неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются на:[1]

  • алгебраические
  • трансцендентные

Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.

Пример:
Неравенство — алгебраическое, первой степени.
Неравенство  — алгебраическое, второй степени.
Неравенство  — трансцендентное.

Решение неравенств второй степени

Решение неравенства второй степени вида или можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения (промежутки знакопостоянства).

Пример 1.

Решить неравенство .

Решение. Рассмотрим функцию . Для того чтобы решить это неравенство методом интервалов нам следует найти нули функции и выбрать соответствующие интервалы, в которых она принимает отрицательные значения.

Итак, корни уравнения , наш искомый интервал: .

Ответ: .

Решение неравенств методом интервалов

Пусть у нас есть неравенство вида Для его решения нам необходимо:

  • разбить ось на интервалы знакопостоянства
  • поставить в каждом таком интервале знак неравенства на этом интервале (, если больше нуля, если меньше)
  • выбрать те интервалы, где стоит знак начального неравенства

Крайними точками интервалов будут , и нули функций .

Равносильные переходы при решении иррациональных неравенств

Пример 2.

Решить неравенство .

Решение. Действуем по плану:

Из последней выкладки видно, что наше неравенство решений не имеет.

Ответ: Ø

Знаки неравенства

Русскоязычная традиция начертания знаков и отличается от принятой в англоязычной литературе.

Символ Код в
Юникоде
Название
в Юникоде
Название HTML
шестн.
HTML
десят.
HTML
обозн.
LaTeX
U+2A7D Less-than or slanted equal to Меньше либо равно &#x2A7D; &#10877; отсутствует \leqslant
U+2A7E Greater-than or slanted equal to Больше либо равно &#x2A7E; &#10878; отсутствует \geqslant
U+2264 Less-than or equal to Меньше либо равно &#x2264; &#8804; &le; \le, \leq
U+2265 Greater-than or equal to Больше либо равно &#x2265; &#8805; &ge; \ge, \geq

Примечание

  1. М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике», М., 1974

См. также

UNU-WIDER: Что такое неравенство?

Неравенство обычно рассматривается как разные люди или домохозяйства, имеющие разный уровень жизни. Таким образом, неравенство связано с относительным положением разных людей (или домохозяйств) в распределении.

Почему это имеет значение?

Помимо среднего уровня жизни в стране, его распределение влияет на благосостояние ее граждан. При меньшем неравенстве те, кто находится в нижней части распределения, относительно лучше живут для каждого уровня среднего дохода в стране.Многие думают, что разумно эгалитарное распределение доходов является очень стоящей социальной целью, в то время как другие указывают, что достижение равного распределения может подорвать стимулы для достижения более высокого уровня жизни в среднем. Дебаты о влиянии неравенства и перераспределения на экономические показатели все еще продолжаются.

Как это измеряется?

Чаще всего неравенство измеряется на основе дохода или потребления домохозяйства. Данные для измерения этих типов переменных обычно доступны из обследований домашних хозяйств, которые теперь доступны для многих стран.

Неравенство по таким переменным обычно обозначается индексом неравенства. Был разработан широкий спектр показателей неравенства неравенства. Один простой, но информативный способ рассмотрения неравенства — это рассмотреть доли общего дохода, приходящиеся на долю тех, кто находится в разных частях распределения. Например, домохозяйства можно упорядочить от самых бедных до самых богатых и разделить на десять частей (децилей). Затем можно изучить доли дохода, приходящиеся на определенный дециль, и сравнить с ними между странами.Аналогичным образом домохозяйства можно разделить на пять групп (квинтилей). Часто представляет интерес соотношение доходов пяти процентов бедных и верхних (называемых процентилями 5 и 95 или P5 и P95).

На рисунке ниже по горизонтальной оси показано население, ранжированное от самых бедных до самых богатых, и доля общего дохода при данном уровне дохода (вертикальная ось). Комбинация долей дохода называется кривой Лоренца. Линия под углом 45 градусов показывает распределение дохода в случае, если доход был распределен идеально равномерно.

Индекс Джини определяется как площадь между линией 45 градусов и кривой Лоренца. Чем больше индекс Джини, тем неравномернее распределяется доход. Он принимает значения от 0 (совершенно равное распределение) до 100 (совершенно неравное распределение, когда весь доход идет в домохозяйство с самым высоким доходом).

Индекс Джини может быть рассчитан на основе валового дохода (доход, который люди получают на рынке) и располагаемого дохода (доход после государственного вмешательства посредством налогов и трансфертов).Индекс Джини также можно измерить на основе потребления. Валовой доход часто распределяется гораздо более неравномерно, чем располагаемый доход или потребление.

Что такое WIID?

Всемирная база данных о неравенстве доходов (WIID) UNU-WIDER собирает и хранит информацию о неравенстве доходов в развитых, развивающихся странах и странах с переходной экономикой. Помимо простого представления индексов неравенства для всех стран, было уделено внимание определению концептуальной основы для каждого наблюдения и иному документированию данных.

Наблюдения могут относиться к различным концепциям неравенства (например, является ли индекс Джини для валового дохода, располагаемого дохода или неравенства потребления). Значения WIID могли быть рассчитаны на основе всего населения или с использованием только подмножества (сельское и городское), либо они могут основываться на различных шкалах эквивалентности. Это означает, что не существует единого «правильного» значения WIID для страны в конкретный год. Это означает, что, когда аналитики проводят межстрановые сравнения неравенства доходов, ряды, на которые они опираются, должны быть тщательно отобраны, чтобы они были сопоставимы.

Важно отметить, что WIID также содержит качественную классификацию наблюдений. Наблюдения самого высокого качества не всегда доступны для всех стран и лет, особенно для развивающихся стран.

Сравнение неравенства между странами очень полезно, но не всегда легко. Идея, лежащая в основе WIID, ​​состоит в том, чтобы позволить исследователям и политикам проводить эти сравнения как можно более надежно.

WIID был оценен как надежный источник информации о неравенстве в сравнении, проведенном по заказу Общества изучения экономического неравенства (ECINEQ), см. Jenkins (Journal of Economic Inequality, готовится к печати).



Прямая графическая интерпретация коэффициента Джини дана в терминах кривой Лоренца, которая является жирной кривой на рисунке выше. По горизонтальной оси измеряется совокупный процент населения, неравенство которого рассматривается, начиная с самых бедных и заканчивая самыми богатыми. Вертикальная ось измеряет совокупный процент дохода (или расходов), связанный с единицами на горизонтальной оси.

В случае полностью эгалитарного распределения доходов, при котором все население имеет одинаковый доход, кривая Лоренца будет пунктирной линией под углом 45 градусов.Когда доходы внутри населения различаются, бедное население имеет пропорционально более низкую долю дохода по сравнению с богатым населением, и кривая Лоренца может выглядеть как жирная кривая выше под линией в 45 градусов. По мере увеличения неравенства жирная кривая перемещается в правый нижний угол.

Коэффициент Джини — это площадь А между линией 45 градусов и кривой Лоренца, деленная на 1/2, общая площадь под линией 45 градусов. Коэффициент Джини может быть выражен в процентах или в процентах.Отсюда ясно, что коэффициент Джини будет равен 0 при равном распределении. Если общий доход общества достается только одному человеку / единице домашнего хозяйства, а остальные вообще не имеют дохода, то коэффициент Джини приближается к 1 или 100%.


Неужели технологические инновации делают общество более неравным?

2016 • 12 • 21

Вим Науде и Паула Наглер

Общество, возможно, никогда не было более неравным, чем сейчас, с точки зрения распределения доходов и богатства.Неравенство доходов внутри страны (измеряемое коэффициентом Джини), согласно Программе развития ООН, «сегодня неравномернее, чем когда-либо со времен Второй мировой войны».

Это неравенство и связанное с ним социальное разделение явились одной из причин глобального финансового кризиса 2008 года — и, в свою очередь, были им усилены. Экономика стран Запада, эпицентра кризиса, остается в застое спустя десятилетие после кризиса. Политический подъем Дональда Трампа в Соединенных Штатах и ​​голосование за Брексит в Соединенном Королевстве — не говоря уже о росте национализма в Европе и политических неудачах и напряженности в Бразилии, Южной Африке и России — все это можно утверждать как результат или связанных с этим неравенством.

Много было написано о причинах и последствиях высокого и растущего неравенства в доходах и богатстве. За два года до начала финансового кризиса, еще в 2006 году, исследование UNU-WIDER по глобальному распределению благосостояния частных домохозяйств показало, что «10% самых богатых взрослых в мире владеют 85% мирового благосостояния домохозяйств; нижняя половина в совокупности владеет лишь 1% ».

Виноваты роботы?

Почему растет неравенство? Основные повествования связывают более высокое неравенство внутри страны с институциональными и управленческими слабостями, особенно в США и Европе.Это позволило предпринимательской элите захватить политику и регулирование, что привело к увеличению доли ВВП, приходящейся на владельцев капитала.

Однако в последние годы технологическим инновациям как еще одной возможной причине уделяется повышенное внимание. В частности, достижения в области информационных и коммуникационных технологий (ИКТ), такие как робототехника, автоматизированные процессы, машинное обучение, Интернет вещей (IoT), «большие данные» и искусственный интеллект, обвиняются в том, что они заставляют сотрудников (в первую очередь тех, кто навыки среднего уровня на работах со средней заработной платой) избыточны.

Утверждалось, что мир находится в начале «Новой промышленной революции» (например, Питер Марш в его книге « Новая промышленная революция »). Однако, в то время как Первая промышленная революция создала тысячи рабочих мест в обрабатывающей промышленности, новая промышленная революция (см. Также «Индустрию 4.0» или «Четвертую промышленную революцию» ВЭФ) может привести к тому, что люди будут в значительной степени заменены роботами. Часто цитируемым примером является компания Rethink Robotics, которая произвела робота по имени Baxter, который, по ее утверждению, может заменить всех людей в повседневных производственных задачах, таких как «обработка материалов, загрузка и разгрузка линии, проверка продукции, легкая сборка, сортировка и упаковка» .

Роботы со временем становятся «умнее». Многие новые модели обладают способностью к обучению, а достижения в области искусственного интеллекта только увеличат ценность этих роботов. В результате роботы все чаще предпочитаются людям, особенно для рутинных, сложных / опасных или черных видов работ. Действительно, роботы лучше справляются с работой, которая «скучна, опасна и грязна». Сообщается, что «почасовая оплата» такого робота, как Бакстер, составляет около 4,32 доллара США в час, что меньше средней почасовой оплаты труда в 23 доллара США.32 человека были выплачены людям на производстве в США. Роботы уже производят около 80% автомобилей в мире.

С учетом того, что автономные (самоуправляемые) автомобили, вероятно, станут обычным явлением на дорогах в течение следующего десятилетия, огромной транспортной отрасли, включая компании такси и грузовых автомобилей, потребуется меньше людей-водителей. Например, гигант транспортных услуг Uber заказал у Mercedes-Benz 100 000 автономных автомобилей.

Это затронет и многие другие отрасли — по крайней мере, с точки зрения типов задач, выполняемых в определенной профессии.Некоторые работы, особенно связанные с рутинными задачами, более подвержены избыточности машин. Что касается общего воздействия на занятость, Фрей и Осборн подсчитали (в 2013 г.), что 47% текущих рабочих мест в США, вероятно, будут заменены компьютерами в течение следующих двадцати лет.

Эта тенденция не ограничивается только развитыми экономиками, такими как США, но также влияет на развивающиеся экономики. По оценке Frey et al (2016), до 66% всех рабочих мест в развивающихся странах подвержены риску.И развивающиеся страны — не только пассивные участники Новой промышленной революции; они все чаще принимают участие в производстве робототехники. По оценкам Международной федерации робототехники, к 2017 году в Китае будет больше роботов, чем в США или Европе. Индия приближается к первой десятке на рынках продаж робототехники. Действительно, по словам Сиркина, «страны, которые наиболее агрессивно продвигаются вперед — устанавливают больше роботов, чем можно было бы ожидать с учетом их затрат на рабочую силу с поправкой на производительность, — являются развивающимися рынками».

Четыре десятилетия ИКТ

Возникает вопрос: в какой степени технологические инновации были ответственны за исторический рост неравенства доходов и благосостояния — особенно с 1970-х годов, когда началась нынешняя тенденция к росту?

Многие авторы отмечают, что 1970-е годы совпали с началом революции в области ИКТ. В 1974 году пиццу впервые заказали через компьютер. К 1989 году была запущена всемирная паутина. Революция в области ИКТ привела к появлению технологий, которые дополнили труд высококвалифицированных рабочих.Те, кто смог их использовать, испытали повышение производительности и заработной платы по сравнению с менее квалифицированными работниками, что запустило самоподдерживающийся цикл: большее количество ИКТ повысило производительность квалифицированных рабочих, создавая более высокий спрос на квалифицированную рабочую силу, что привело к увеличению инвестиций в сфере образования и, таким образом, растущее предложение квалифицированных рабочих.

Более широкая доступность квалифицированных рабочих, в свою очередь, создала стимул для дальнейших инноваций в области ИКТ и так далее. Там, где предложение навыков не могло соответствовать спросу, высококвалифицированные рабочие требовали «надбавки за квалификацию», и неравенство в оплате труда увеличивалось.Говоря экономическим языком, технология не нейтральна, а «ориентирована на навыки».

С 1970-х годов революция в области ИКТ также привела к тому, что пропорционально больше рабочих мест со средней квалификацией было заменено или автоматизировано компьютерами. Это вызвало «поляризацию рабочих мест», когда спрос на высококвалифицированных и низкоквалифицированных рабочих увеличился, в то время как спрос на работников средней квалификации снизился, что привело к разрыву в заработной плате.

Каков эффект технологических инноваций?

Эмпирические данные подтверждают как концепцию надбавки за квалификацию, так и концепцию поляризации должности.Однако масштабы этих эффектов предположительно невелики. Различные фрагменты противоречивых эмпирических данных предполагают, что другие факторы, включая глобализацию и «офшоринг» рабочих мест, изменения на рынке труда и упадок институтов социального обеспечения на Западе, оказали еще более значительное влияние.

Во-первых, рост неравенства доходов в основном произошел в верхней части распределения доходов 0,1%. В США доля дохода составляет 0.1% получателей дохода вырос на впечатляющие 324% в период с 1979 по 2006 год. Это отражено в том факте, что заработная плата генерального директора выросла с 20: 1 в 1965 году до 352: 1 в 2007 году по сравнению со средней оплатой труда работников в США. НАС.

Во-вторых, во многих странах Запада большое количество высококвалифицированных рабочих столкнулось с «снижением отдачи от образования, меньшими гарантиями занятости и более коротким сроком пребывания на работе» за последние десять лет, особенно после мирового финансового кризиса. Однако неравенство доходов продолжает увеличиваться, что свидетельствует о том, что рост неравенства обусловлен не избыточным спросом на высококвалифицированных работников.

В-третьих, в странах, где внедрение промышленных роботов наиболее продвинуто, таких как Япония и Германия, неравенство намного ниже, чем во многих других менее автоматизированных обществах.

Наконец, в случае стран с развитой экономикой, таких как Европейский Союз, остается неясным, почему средняя производительность труда снижалась с 1970-х годов, если технологические инновации были такими быстрыми, как утверждается. На самом деле, в последнее время в разных странах еврозоны инвестиции в ИКТ сокращались.

Слабое управление, слабое предпринимательство

Вывод из этих соображений состоит в том, что, хотя технологические инновации, возможно, способствовали росту неравенства, их реальный вклад, вероятно, затмевается слабостями институционального управления. Рост доли доходов 0,1% самых богатых людей был вызван сокращением социальной защиты, ослаблением власти и прав профсоюзного движения и коллективных переговоров, а также регулирующим захватом богатых.Это привело к сокращению налогообложения и трансфертных платежей, а также к более низкому регулированию глобализации и деятельности многонациональных предприятий.

Вместо того, чтобы обвинять технологии, на самом деле существует вероятность того, что технологические инновации могут привести к созданию большего количества рабочих мест и возможностей получения дохода, а также к более равным социальным результатам. Новые технологии обладают потенциалом для улучшения экономической и социальной политики и открывают новые возможности для бизнеса.

Это, в свою очередь, может привести к появлению новых рынков и новых бизнес-моделей, включая бизнес-модели, которые продвигают круговую экономику, удовлетворяют потребности в области здравоохранения и позволяют пожилым людям и инвалидам вести более долгую и продуктивную жизнь.Однако для этого потребуется больше и более совершенное предпринимательство, чем когда-либо, что может оказаться сложной задачей, поскольку само предпринимательство во многих странах и регионах переживает кризис.

— — — — —

Эта статья основана на справочном документе для отчета UNIDO Industrial Development Report 2016 . Полный текст см. В документе « Индустриализация, инновации, включение », Рабочий документ ЮНИДО № 15/2015, Вена: Организация Объединенных Наций по промышленному развитию.

Глобальное неравенство — Inequality.org

Неравенство растет во всем мире в течение нескольких десятилетий. Некоторые страны сократили количество людей, живущих в крайней нищете. Но экономический разрыв продолжал расти, поскольку самые богатые накапливали беспрецедентный уровень богатства. Среди промышленно развитых стран Соединенные Штаты, безусловно, являются наиболее богатыми, с гораздо большей долей национального богатства и доходов, приходящейся на 1 процент самых богатых, чем в любой другой стране.

Глобальное неравенство богатства
Мировое неравенство доходов
Концентрация богатства в США по сравнению с другими странами

Глобальное неравенство богатства

Согласно отчету Credit Suisse Global Wealth Report, 1 процент самых богатых в мире, имеющих более 1 миллиона долларов, владеют 44 процентами мирового богатства. Их данные также показывают, что взрослые с богатством менее 10 000 долларов составляют 56,6 процента населения мира, но владеют менее 2 процентов мирового богатства.Лица, владеющие активами на сумму более 100 000 долларов, составляют менее 11 процентов населения мира, но владеют 82,8 процентами мирового богатства. Credit Suisse определяет «богатство» как стоимость финансовых активов домохозяйства плюс реальные активы (в основном жилье) за вычетом их долгов.

«Лица со сверхвысоким уровнем собственного капитала» — термин, которым в индустрии управления активами называют людей с состоянием более 30 миллионов долларов, — занимают поразительно непропорциональную долю мирового богатства. Эти владельцы богатства владели 7,2% от общего мирового богатства, но представляют лишь небольшую часть (0.002%) мирового населения, на основе анализа данных о богатстве Capgemini и Credit Suisse, проведенного Институтом политических исследований, и оценок населения Бюро переписи населения.

Согласно данным Международного валютного фонда, 10 самых богатых миллиардеров мира, по данным Forbes, владеют 801 миллиардом долларов совокупного состояния, что превышает совокупный объем товаров и услуг, производимых большинством стран за год. Согласно рейтингу Forbes за 2019 год, на земном шаре проживает 2153 миллиардера.

Очень богатые люди часто копят состояния на плечах людей по всему миру, которые работают за низкую заработную плату и в опасных условиях.Согласно Oxfam, разрыв в богатстве между глобальными миллиардерами и нижней половиной человечества неуклонно растет. В период с 2009 по 2018 год количество миллиардеров, необходимое для того, чтобы сравняться с богатством 50 процентов беднейших слоев населения мира, сократилось с 380 до 26.

Capgemini определяет «состоятельное физическое лицо» как лицо, имеющее не менее 1 миллиона долларов в инвестиционных активах (без учета их основного места жительства и потребительских товаров). Общее количество состоятельных физических лиц в 2019 году превысило 19 миллионов.Подавляющая часть из них владеет активами менее 5 миллионов долларов. Годовой отчет Capgemini показывает, что верхний уровень этих богатых людей, имеющих не менее 30 миллионов долларов, значительно вырос в 2019 году после того, как они немного упали в 2018 году из-за спада на фондовых рынках.

Отчет Capgemini о мировом благосостоянии показывает, что люди с инвестиционными активами от 1 до 5 миллионов долларов составляют самую большую долю мировых миллионеров. Но те, у кого больше 5 миллионов долларов, составляют подавляющее большинство (56.2 процента) мирового богатства миллионеров.


Глобальное неравенство доходов

С 1980 года данные Доклада о мировом неравенстве показали, что доля национального дохода, приходящаяся на 1 процент самых богатых, быстро увеличивалась в Северной Америке (определяемой здесь как Соединенные Штаты и Канада), Китае, Индии и России и более умеренно в Европа. Исследователи World Inequality Lab отмечают, что этот период совпадает с откатом в этих странах и регионах различных политик после Второй мировой войны, направленных на сокращение экономического разрыва.Напротив, они указывают, что страны и регионы, в которых не было послевоенного эгалитарного режима, такие как Ближний Восток, страны Африки к югу от Сахары и Бразилия, имели относительно стабильный, но чрезвычайно высокий уровень неравенства.

Быстрый экономический рост в Азии (особенно в Китае и Индии) помог многим людям выбраться из крайней нищеты. Но согласно докладу о мировом неравенстве, самый богатый 1 процент населения мира получил гораздо большую долю экономических выгод. Хотя их доля в мировом доходе несколько снизилась после финансового кризиса 2008 года, более чем на 20 процентов она все еще намного превышает их долю в 16 процентов в 1980 году.


Концентрация богатства в США по сравнению с другими странами

Статистические данные ОЭСР показывают, что на 1 процент богатых в Соединенных Штатах приходится 42,5 процента национального богатства, что намного больше, чем в других странах ОЭСР. Ни в одной другой индустриальной стране 1 процент самых богатых не владеет более 28 процентами богатства своей страны.

Соединенные Штаты доминируют среди состоятельных физических лиц в мире, причем более 5,9 миллиона человек владеют финансовыми активами на сумму не менее 1 миллиона долларов (не включая их основное место жительства или потребительские товары), согласно подсчетам Capgemini’s World Wealth Report.

В Китае наблюдается самый быстрый рост доли миллионеров в мире, увеличившись почти вдвое с 5 процентов от общемирового показателя в 2017 году до 9,5 процента в 2019 году. Но 62 процента миллионеров мира по-прежнему проживают в Европе или Северной Америке, при этом почти По данным Global Wealth Report, 40 процентов этих миллионеров называют Соединенные Штаты своим домом.

В Соединенных Штатах проживает более чем в два раза больше взрослых с активами не менее 50 миллионов долларов, чем в следующих пяти странах с самыми супербогатыми вместе взятыми.Китай быстро поднимается в рейтинге, и, как показывают данные Global Wealth Report, число участников клуба с бюджетом в 50 миллионов долларов выросло с 9555 до 18 132 в период с 2017 по 2019 год.

У Соединенных Штатов больше богатств, чем у любой другой страны. Но, согласно отчету Credit Suisse Global Wealth Report, из-за чрезмерного распределения богатства в Америке типичные взрослые американцы имеют гораздо меньшее богатство, чем их коллеги из других индустриальных стран.

Wealth Inequality — Неравенство.org

Мы приравниваем богатство к «чистой стоимости», то есть к сумме ваших активов за вычетом обязательств. Активы могут включать в себя все: от личного жилья и наличных на сберегательных счетах до инвестиций в акции и облигации, недвижимость и пенсионные счета. Обязательства покрывают задолженность семьи: ссуду на покупку автомобиля, остаток на кредитной карте, студенческую ссуду, ипотеку или любой другой счет, который еще не оплачен. В Соединенных Штатах неравенство благосостояния выражено даже сильнее, чем неравенство доходов.

400 самых богатых американцев по Forbes

Домашнее богатство

Разделение расового богатства


Forbes 400 самых богатых американцев

Самым заметным индикатором неравенства доходов в современной Америке может быть список 400 самых богатых людей страны, составленный журналом Forbes. В 2018 году три человека в верхней части этого списка — основатель Amazon Джефф Безос, основатель Microsoft Билл Гейтс и инвестор Уоррен Баффет — владели совокупным состоянием, превышающим совокупное состояние беднейшей половины американцев.Вы можете найти более подробную информацию об этих цифрах в нашем отчете Billionaire Bonanza 2020 .

В 1982 году состояние «беднейшего» американца, включенного в первый ежегодный список 400 самых богатых людей Америки, составленное журналом Forbes, составляло 210 миллионов долларов в сегодняшних долларах. Состояние среднего члена этого первого списка составляло 600 миллионов долларов. В 2019 году богатым американцам для входа в Forbes 400 требовалось 2,1 миллиарда долларов, а средний член держал 7,4 миллиарда долларов, что в 12 раз больше среднего показателя 1982 года с поправкой на инфляцию.

Неравенство стремительно растет даже в списке Forbes 400 самых богатых людей Америки. По состоянию на 2019 год чистая стоимость самого богатого члена этой группы была в 21 раз больше, чем чистая стоимость самого богатого члена в 1982 году (в сегодняшних долларах). С 1982 года это место занимали всего семь человек: судоходный магнат Дэниел Людвиг (1982), нефтяной управляющий Гордон Гетти (1983-1984), основатель Walmart Сэм Уолтон (1985-1988), владелец медиа-компании Джон Клюге (1989-1991), Основатель Microsoft Билл Гейтс (1992-2017, кроме 1993), инвестор Уоррен Баффет (1993) и основатель Amazon Джефф Безос (2018-2019).


Домашнее богатство

За последние три десятилетия самые богатые семьи Америки увеличили свой собственный капитал, в то время как те, кто находится в самом низу, опустились до «отрицательного богатства», что означает, что стоимость их долгов превышает стоимость их активов, согласно Национальному бюро экономики. Данные исследования.

За последнее столетие Национальное бюро экономических исследований обнаружило, что доля богатства Америки, принадлежащая самым богатым, заметно изменилась.Эта доля достигла пика в конце 1920-х годов, прямо перед Великой депрессией, а затем упала более чем вдвое в течение следующих трех десятилетий. Но выравнивающие тенденции середины 20-го века теперь почти полностью исчезли. На пике американского экономического саммита самые богатые из богатых нации теперь владеют такой же большой долей богатства, как и в 1920-х годах.

У богатых не просто больше богатства, чем у всех остальных. Большая часть их богатства поступает из различных — и более прибыльных — источников активов, как показывают данные распределительных финансовых счетов Федеральной резервной системы.Например, 1 процент самых богатых людей Америки владеет более чем половиной национального богатства, вложенным в акции и паевые инвестиционные фонды. Большая часть богатства американцев, относящихся к беднейшим 90 процентам, приходится на их дома — категория активов, которая больше всего пострадала во время Великой рецессии. На эти американцы также приходится более трех четвертей американского долга.


Разделение расового богатства

Согласно нашему отчету «Расовое разделение богатства», средняя семья Блэков, имеющая чуть более 3500 долларов, владеет всего 2 процентами от почти 147 000 долларов, которыми владеет средняя семья Белых.Срединная латиноамериканская семья с чуть более 6500 долларов владеет всего 4 процентами богатства средней семьи Уайтов. Иными словами, медианная семья Уайтов имеет в 41 раз больше богатства, чем медианная семья Блэков, и в 22 раза больше богатства, чем средняя латиноамериканская семья.

Отчет Института политических исследований «Разделение расового богатства» также показывает, что семьи с нулевым или даже «отрицательным» богатством (то есть стоимость их долгов превышает стоимость их активов) живут на грани, оставив лишь одну небольшую экономическую неудачу. от трагедии.Семьи чернокожих и латиноамериканцев с большей вероятностью окажутся в этой опасной ситуации. Доля чернокожих семей с нулевым или отрицательным богатством выросла на 8,5 процента до 37 процентов в период с 1983 по 2016 год. Доля латиноамериканских семей с нулевым или отрицательным собственным капиталом снизилась на 19 процентов за последние 30 лет, но все еще более чем вдвое выше. как ставка для белых.

Как и в случае с общим богатством, наш отчет показывает, что домовладение сильно смещено в сторону белых семей. В 2016 году 72 процента белых семей владели своим домом по сравнению с 44 процентами черных семей.В период с 1983 по 2016 год количество домовладений латиноамериканцев резко увеличилось почти на 40 процентов, но остается намного ниже, чем у белых — всего 45 процентов.

правил неравенства | Примеры неравенств

Неравенства — важная тема для рассуждений, и вопросы по ней часто появляются во многих конкурсных экзаменах. Это тема для выставления оценок, и вопросы, основанные на этой концепции, не следует оставлять на экзамене. Как только вы усвоите концепцию, решить любой вопрос из этой темы станет легко.

Чтобы понять концепцию неравенства, мы должны иметь в виду, что равенство означает равенство, а неравенство означает, что существует пять возможностей между терминами / объектами. Давайте разберемся с этими типами возможностей через таблицу.

Знаки Значение
> Больше
< Менее
Больше или равно
Меньше или равно
= равно

Рассмотрим две переменные X и Y.

Знаки Значение
X> Y X больше Y
X X меньше Y
X≥Y X больше или равно Y
X≤Y X меньше или равно Y
X = Y X равен Y

Правила неравенства:

Связь между двумя неравенствами может быть установлена, если у них есть общий термин.Например,

a) A> B, B> C: глядя на это, мы можем легко определить отношение, которое A> B> C, что означает A> C или C

б) A C или C

c) A ≥ B, B ≥ C: это означает, что A ≥ B ≥ C, что означает A ≥ C или C ≤ A.

Отношение не может быть определено, если у них нет общего термина. Например,

a) A> B, C> B: это означает, что мы не можем определить конкретное отношение между A и C, поскольку оба они больше, чем B.

b) B> A, D

c) A ≥ B, B ≤ C: это означает, что нельзя установить связь между A и C, поскольку оба они больше или равны B.

Дополнительные пары: (Либо &, или) — Либо и или случаи встречаются только в дополнительных парах. Мы не можем объединить два элемента с общими элементами, между которыми не устанавливается связь. Например, B ≤ C, A ≥ B.здесь можно заключить, что A ≥ C или A

Чтобы правильно понять концепцию, давайте попробуем задать несколько вопросов.

Решенные вопросы

Вопрос 1: Заявления: a) A> B b) B> C

Выводы: а) А> В б) В> А

Решение: Объединив оба утверждения, мы получим: A> B> C

Итак, мы можем легко сказать, что следует вывод а), т.е. A> C

Вопрос 2: Заявления: a) A> B b) B

Выводы: a) A> C б) A

Решение: Здесь мы видим, что и A, и C больше, чем B, но мы не можем установить какое-либо отношение между A и C.

Таким образом, ответ на вышеуказанные вопросы будет «ничего нельзя сделать».

Вопрос 3: Заявление: A> B> C

Заключение: а) A> D

б) D> B

Решение: Здесь ничего нельзя сделать вывод, потому что нет определенного отношения между A & D и D&B, мы не можем сказать, что больше, равно или меньше.

Вопрос 4: Заявление: P T

Выводы: a) T

б) S> P

c) R> T

г) Q

Решение: Здесь мы можем видеть, что R либо больше, либо меньше, либо равно T, потому что между ними не определено конкретное отношение.Итак, мы не можем сделать никаких выводов по части «а)». Но в части «б)» мы видим, что S> P. Итак, это правда.

Говоря о части «c)», мы не можем сказать, что R> T, поскольку в заявлении между ними не определено конкретное отношение.

Когда мы смотрим на утверждение, мы можем легко сказать, что Q

Вопрос 5: Утверждения: a) M ≤ N≤ O

C

Заключение: а) M

б) P ≥ M

в) P ≥ K

г) M ≥ D

д) С = Р

f) O ≥ M

Решение: a) Из утверждений мы видим, что O ≥ M.Итак, нельзя сказать, что M

б) Здесь P> M и не больше или равно. Следовательно, этот вывод также неверен.

c) Здесь мы видим, что P> N и K ≥ O. Но мы не можем найти какой-либо конкретной связи между P и K. Таким образом, мы не можем сказать, что P ≥ K.

d) D нигде в заявлении не упоминается. Так что из этого вообще нельзя сделать вывод.

e) Из утверждения a) видно, что P> O, а из утверждения b) можно сказать, что O> C.При объединении обоих, мы можем сказать, что P> O> C. Итак, мы можем сказать, что P> C, но мы не можем сказать, что P = C. Следовательно, вывод, данный в вопросе, неверен.

е) Мы видим, что O ≥ N ≥ M. Следовательно, мы легко можем сказать, что O ≥ M. Следовательно, вывод верен.

Вопрос 6: Утверждения: a) A> B = C ≥ D b) P ≥ Q = R ≥ D

Выводы: а) C = P

б) A ≥ Q

c) A

Решение: a) Глядя на оба утверждения, мы не можем заключить связь между C и P.

b) Мы не можем сказать, что A ≥ Q, так как между двумя терминами нет никакого отношения или комбинации.

c) Также нельзя сказать, что A

Но мы можем сказать, что A

Ключевое обучение:

В этой статье мы узнали способы нахождения определенной связи между двумя или более данными терминами.

Либерализм и неравенство | Практическая этика

Жоао Фабиано

Почему имеет значение неравенство

Диаграмма 1: Неуклонный рост неравенства среди богатых.(Сайт Габриэля Цукмана)

Философы, утверждающие, что мы должны заботиться о неравенстве, часто имеют некоторые вариации априоритарного взгляда. Для них благополучие имеет большее значение для тех, кто находится в худшем положении, и мы должны уделять приоритетное внимание улучшению их жизни, а не жизни других. Некоторые другие считают, что мы должны заботиться о неравенстве, потому что по своей сути плохо, что один человек находится в худшем положении, чем другой, не по своей вине — некоторые добавляют требование, чтобы оба человека были в равной степени заслуженными.В любом случае, немногие философы будут утверждать, что мы должны ухудшать положение более состоятельных людей или ухудшать среднее значение, при этом сохраняя положение худших в таком же тяжелом положении, только чтобы сократить разрыв в неравенстве. Следовательно, когда дело доходит до экономического неравенства, мы должны предпочесть улучшать положение бедных, делая всех богаче, а не делать всех, в среднем или в целом, беднее. Более того, согласно большинству взглядов, разумно больше заботиться о неравенстве внизу, а не наверху. Мы должны предпочесть уменьшить неравенство, сделав беднее богаче, вместо того, чтобы сокращать разрыв между теми, кто уже стал лучше.Я считаю, что более пристальное рассмотрение того, как эти равноправные / приоритетные предпочтения трансформируются в экономические проблемы, может привести к отказу от нескольких распространенных предположений.

Часто считается, что либеральная экономическая модель по сравнению с сильными моделями благосостояния наносит ущерб экономическому равенству людей. В конце концов, сокращение масштабов нищеты, уравниловка и перераспределение богатства являются одними из главных принципов государства всеобщего благосостояния. Расширение разрыва между верхом и низом часто вызывает озабоченность в либеральных государствах.Я хочу утверждать, что из различных доступных статистических данных о неравенстве, если мы посмотрим на те, которые кажутся более актуальными для этики равенства, то сильные государства всеобщего благосостояния живут хуже, чем экономически либеральные государства [1]. Для этого я сосредоточусь на сравнении уровней неравенства в США и европейских государствах всеобщего благосостояния.

Внутреннее неравенство

Диаграмма 2: Располагаемый семейный доход по процентилям для Франции, Германии, Великобритании и США: 1994 и 2007 годы

Это правда, что при простых мерах, таких как неравенство коэффициента Джини в США, шире и продолжает расти.Но если мы отвергаем любую форму крайнего уравниловки, предписывающего ухудшить положение всех, чтобы сократить разрыв, то более пристальный взгляд на экономику США, кажется, обнаруживает, что это привело к лучшему распределению богатства в целом — картину, которую можно измерить простым способом. скучать.

Большая часть увеличения неравенства в благосостоянии в Америке пришлась на самую вершину, среди домохозяйств с уровнем выше 99,9-го процентиля [2], чистая стоимость которых превысила 20 миллионов долларов в 2012 году ( Рисунок 1 ).Но почему нас должно волновать, есть ли у Уоррена Баффета сейчас на 50 миллиардов долларов, а не на 20 миллиардов долларов больше, чем у Джорджа Сороса? Сможет ли Опра позволить себе два частных острова больше, чем Мадонна? Этот пробел в значительной степени неуместен и даже комичен. Жизнь миллионеров и миллиардеров ненамного более несправедлива, потому что их богатство теперь отличается на несколько десятков или сотен миллионов, не говоря уже о том, что наша жизнь хуже из-за этого. Если миллиардер получит еще один миллиард, коэффициент Джини укажет на большее увеличение неравенства, чем если несколько семей перейдут из бедности в крайнюю бедность; его способность отслеживать морально значимое неравенство ограничено.

В то время как 5-й процентиль распределения реального располагаемого дохода домохозяйств [3] был почти идентичным с 1994 по 2007 год в США, Великобритании, Германии и Франции, все остальные процентили показали, что их доход увеличился больше в США, чем в любой другой стране.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *