Пример

Сколько всего осей симметрии имеет фигура, изображённая на рисунке?

Дополнительно

subjects/geometry/центральная_и_осевая_симметрии.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:02 — ¶

Центральная симметрия — понятие, свойства и примеры фигур

Центральная симметрия – самая интересная и познавательная тема в геометрии, которую изучают в начальных классах школы и более тщательно — в 8 — 11 классах. Знания по этой теме обязательно пригодятся ученику в жизни.

Что такое центральная симметрия

Начнём с определения: центральная симметрия — одно из свойств определённой геометрической фигуры, при котором точке В соответствует некая точка В1, находящая в таком же пространственном положении относительно точки С. Точка С лежит на середине отрезка ВВ1. Точка С называется центром симметрии. Это определение соответствует курсу планиметрии.

Центральную симметрию можно построить и в пространстве. В пространстве центральной симметрией называется словно зеркальное отображение какой-либо геометрической фигуры. Она представляет собой две одинаковые фигуры, соответственные точки которых попарно симметричны относительно точки пространства О.

Свойства центральной симметрии

Основные свойства следующие:

1. Центральную симметрию называют движением, при котором соответствующие точки также остаются симметричными, то есть расстояние между ними остаётся прежним.

Посмотрим на рисунок. Треугольники АВС и А1В1С1
симметричны в пространстве относительно точки О. При каком либо преобразовании пространства сохраняются условия: АО=А1О, ВО=В1О, СО=С1О. Значит, картинка остаётся той же.

Однако если представить геометрическую фигуру в виде векторов, то при преобразовании пространства эти векторы поменяют свои направления;

2. Центральная симметрия имеет только одну центральную точку, которая является неподвижной при преобразовании пространства;

3. Если прямая проходит через центр симметрии, то она соответствует самой себе, то есть симметрична;

4. Центральная симметрия переводит прямую, не проходящую через центр симметрии, в параллельную ей прямую.

Доказывается это свойство достаточно просто. Для этого нужно построить две параллельные прямые АВ и А1В1 относительно точки О.

Далее соединяем симметричные точки и получаем отрезки АА1 и ВВ1. Далее легко заметить, что отрезки АО и А1О будут равны. Соответственно равны и отрезки ВО и В1О. Углы, которые образуются при пересечении двумя прямыми точки О также равны. 

Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, равны углы А,А1 и В,В1. Значит они являются накрест лежащими при секущих АА1 и ВВ1. Задача решена, АВ и А1В1 параллельны;

5. При центральной симметрии отрезки симметричны отрезкам, лучи симметричны лучам, прямые симметричны прямым.

Примеры фигур, обладающих центральной симметрией

Фигур, как имеющих углы, так и без углов, но при этом обладающих центральной симметрией не так уж мало:

• параллелограмм;

• окружность;

• ромб и квадрат;

• различные правильные многоугольники.

Интересные факты о центральной симметрии

Вся окружающая нас природа – сплошная центральная симметрия. Многие растения и насекомые обладают центральной симметрией. 

Практически у каждого фрукта есть своя симметрия. Например, кокос в разрезе представляет собой окружность с центром в некоторой точке. 

Ещё один очевидный пример – бабочка. 

Великолепные узоры на её крылышках – четкая и яркая симметрия. 

Каждый знает, что видовое разнообразие морских ракушек бесконечно. Наверняка, вы сможете найти несколько как с осевой, так и центральной симметрией.

Великолепные примеры с элементами центральной симметрии можно наблюдать и в архитектуре. Потолки различных храмов и церквей украшаются орнаментами, основой которых является центральная симметрия. 

Собор Парижской Богоматери имеет прекрасный, утончённый узор, основанный на центральной симметрии.

Рукодельницы в своих произведениях искусства применяют симметрию, которая заметна в удивительных и затейливых узорах.

Таким образом, центральная симметрия – основа, которая составляет природу, архитектуру и даже иногда музыку. Именно это проявление так радует человеческий глаз при появлении первых снежинок или при знакомстве с сооружениями архитектуры.

ГеометрияТангенс в прямоугольном треугольнике — свойства, формула и примеры нахождения

ГеометрияКуб — свойства, виды и формулы

Осевая и центральная симметрия — презентация онлайн

2. Что такое симметрия

3. Вейль Герман

4. Виды симметрии.

5. Осевая (зеркальная) симметрия.

6. Осевая симметрия

9. Фигуры, не имеющие осей симметрии.

10. Фигуры, обладающие одной осью симметрии

11. Фигуры, обладающие двумя осями симметрии

12. Фигуры, имеющие более двух осей симметрии

13. Фигуры, не обладающие осевой симметрией

14. Буквы c горизонтальной осью симметрии

15. Буквы с вертикальной осью симметрии

16. Буквы без оси симметрии

17. Фигуры, симметричные относительно прямой

20. Центральная симметрия.

21. Фигуры, обладающие центральной симметрией.

22. Фигуры, обладающие центральной симметрией

23. Фигуры симметричные относительно точки (примеры)

100 ballov.kz образовательный портал для подготовки к ЕНТ и КТА

Что такое центральная симметрия определение с рисунком. Что такое центральная симметрия? Осевая симметрия как понятие

С древних времен человек выработал представления о красоте. Красивы все творения природы. По-своему прекрасны люди, восхитительны животные и растения. Радует взор зрелище драгоценного камня или кристалла соли, сложно не любоваться снежинкой или бабочкой. Но почему так происходит? Нам кажется правильным и завершенным вид объектов, правая и левая половина которых выглядит одинаково, как в зеркальном отражении.

Видимо, первыми о сути красоты задумывались люди искусства. Древние скульпторы, изучавшие строение человеческого тела, еще в V веке до н.э. стали применять понятие «симметрия». Это слово имеет греческое происхождение и означает гармоничность, пропорциональность и похожесть расположения составляющих частей. Платон утверждал, что прекрасным может быть лишь то, что симметрично и соразмерно.

В геометрии и математике рассматриваются три вида симметрии: осевая симметрия (относительно прямой), центральная (относительно точки) и зеркальная (относительно плоскости).

Если каждая из точек объекта имеет в пределах него свое точное отображение относительно его центра — имеет место центральная симметрия. Ее примером являются такие геометрические тела, как цилиндр, шар, правильная призма и т.д.

Осевая симметрия точек относительно прямой предусматривает, что эта прямая пересекает середину отрезка, соединяющего точки, и перпендикулярна ему. Примеры биссектриса неразвернутого угла равнобедренного треугольника, любая прямая, проведенная через центр окружности, и т.д. Если свойственна осевая симметрия, определение зеркальных точек можно наглядно представить, просто перегнув ее по оси и сложив равные половинки «лицом к лицу». Искомые точки при этом соприкоснутся.

При зеркальной симметрии точки объекта расположены одинаково относительно плоскости, что проходит через его центр.

Природа мудра и рациональна, поэтому почти все ее творения имеют гармоничное строение. Это относится и к живым существам, и к неодушевленным объектам. Для строения большинства форм жизни характерен один из трех видов симметрии: двусторонняя, лучевая или шаровидная.

Чаще всего осевая может наблюдаться у растений, развивающихся перпендикулярно поверхности почвы. В этом случае симметричность является результатом поворота идентичных элементов вокруг общей оси, находящейся в центре. Угол и частота их расположения могут быть разными. Примером служат деревья: ель, клен и другие. У некоторых животных осевая симметрия тоже встречается, но это бывает реже. Конечно, природе редко присуща математическая точность, но похожесть элементов организма все равно поразительна.

Биологами чаще рассматривается не осевая симметрия, а двусторонняя (билатеральная). Ее примером могут служить крылья бабочки или стрекозы, листья растений, лепестки цветов и т.д. В каждом случае правая и левая части живого объекта равны и представляют собой зеркальное отображение друг друга.

Шаровидная симметрия характерна для плодов многих растений, для некоторых рыб, моллюсков и вирусов. А примерами лучевой симметрии являются некоторые виды червей, иглокожие.

В глазах человека несимметричность чаще всего ассоциируется с неправильностью или ущербностью. Поэтому в большинстве творений людских рук прослеживается симметричность и гармония.

Понятие движения

Разберем сначала такое понятие как движение.

Определение 1

Отображение плоскости называется движением плоскости, если при этом отображении сохраняются расстояния.

Существуют несколько теорем, связанных с этим понятием.

Теорема 2

Треугольник, при движении, переходит в равный ему треугольник.

Теорема 3

Любая фигура, при движении, переходит в равную ей фигуру.

Осевая и центральная симметрия являются примерами движения. Рассмотрим их более подробно.

Осевая симметрия

Определение 2

Точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно прямой $a$, если эта прямая перпендикулярна к отрезку ${AA}_1$ и проходит через его центр (рис. 1).

Рисунок 1.

Рассмотрим осевую симметрию на примере задачи.

Пример 1

Построить симметричный треугольник для данного треугольника относительно какой-либо его стороны.

Решение.

Пусть нам дан треугольник $ABC$. Будем строить его симметрию относительно стороны $BC$. Сторона $BC$ при осевой симметрии перейдет в саму себя (следует из определения). Точка $A$ перейдет в точку $A_1$ следующим образом: ${AA}_1\bot BC$, ${AH=HA}_1$. Треугольник $ABC$ перейдет в треугольник $A_1BC$ (Рис. 2).

Рисунок 2.

Определение 3

Фигура называется симметричной относительно прямой $a$, если каждая симметричная точка этой фигуры содержится на этой же фигуре (рис. 3).

Рисунок 3.

На рисунке $3$ изображен прямоугольник. Он обладает осевой симметрией относительно каждого своего диаметра, а также относительно двух прямых, которые проходят через центры противоположных сторон данного прямоугольника.

Центральная симметрия

Определение 4

Точки $X$ и $X_1$ называются симметричными относительно точки $O$, если точка $O$ является центром отрезка ${XX}_1$ (рис. 4).

Рисунок 4.

Рассмотрим центральную симметрию на примере задачи.

Пример 2

Построить симметричный треугольник для данного треугольника какой-либо его вершины.

Решение.

Пусть нам дан треугольник $ABC$. Будем строить его симметрию относительно вершины $A$. Вершина $A$ при центральной симметрии перейдет в саму себя (следует из определения). Точка $B$ перейдет в точку $B_1$ следующим образом ${BA=AB}_1$, а точка $C$ перейдет в точку $C_1$ следующим образом: ${CA=AC}_1$. Треугольник $ABC$ перейдет в треугольник ${AB}_1C_1$ (Рис. 5).

Рисунок 5.

Определение 5

Фигура является симметричной относительно точки $O$, если каждая симметричная точка этой фигуры содержится на этой же фигуре(рис. 6).

Рисунок 6.

На рисунке $6$ изображен параллелограмм. Он обладает центральной симметрией относительно точки пересечения его диагоналей.

Пример задачи.

Пример 3

Пусть нам дан отрезок $AB$. Построить его симметрию относительно прямой $l$, не пересекающий данный отрезок и относительно точки $C$, лежащей на прямой $l$.{«»}C=BC$.

Рисунок 9.

Выполнила: Смецкая Екатерина
Ученица 11а класса

Проверила: Басарыгина А.А.

П. Локомотивный 2013г

Введение………………………………………………………… …………3 стр.
Раздел I. Симметрия в математике, физике …..…………………………4 стр.
Раздел II. Осевая симметрия………………………………………………5 стр.
Раздел III. Симметрия растений…………………………..………….……6 стр.
Раздел IV. Симметрия животных………………………………….….…..7 стр.
Раздел V. Симметрия в архитектуре…………………………….…..……8 стр.
Заключение…………………………………………………… …….………9 стр.
Список литературы………………………………… ……………….………10 стр.

Введение

Тема моего реферата была выбрана после изучения курса «Геометрия 10-11 класса», раздела «Осевая и центральная симметрия». Остановилась я именно на этой теме не случайно, мне хотелось узнать принципы симметрии, её виды, разнообразие её в живой и неживой природе.
Как говорил академик А.В. Шубников, посвятивший изучению симметрии всю свою долгую жизнь: «Изучение археологических памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело представление о симметрии и осуществляло её в рисунке и в предметах быта. Надо полагать, что применение симметрии в первобытном производстве определялось не только эстетическими мотивами, но в известной мере и уверенностью человека в большей пригодности для практики правильных форм».
Под симметрией (от греч. symmetria — соразмерность) в широком смысле понимают правильность в строении тела и фигуры. Учение о симметрии представляет собой большую и важную ветвь тесно связанную с науками разных отраслей. С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например, зубчатые колеса.
Замечу также, что симметрия широко используется в искусстве, особенно в европейском. Но в некоторых восточных культурах, например в японской, также широко используется асимметрия. Такая, подчеркнуто асимметричная структура, свойственна, в частности, канону дзэнского сада камней. Аналогичный принцип относится у японцев и к построению изображения на картине, которое должно быть сдвинуто к краю и занимает сравнительно небольшую площадь, уравновешиваясь более значительным свободным полем, символизирующим беспредельность мира.
Мне это было интересно, потому что данная тема затрагивает не только математику, хотя она и лежит в её основе, но и другие области науки, техники, природы. Симметрия, как мне кажется, является фундаментом природы, представление о котором слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений людей.
Я обратила внимание на то, что во многих вещах, в основе красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все её виды — от простейших до самых сложных. Можно говорить о симметрии, как о гармонии пропорций, как о «соразмерности», регулярности и упорядоченности.

Раздел I. Симметрия в математике, физике

По справедливому замечанию Германа Вейля (известный математик прошлого столетия), у истоков симметрии лежит математика. Замечательные слова, сказанные им: «Симметрия… есть идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство». Понятие симметрии раскрывается в учебнике «Геометрия 10-11», и для осознания этого понятия в школе данной формулировки я считаю достаточно.
Но вместе с тем симметрия воспринимается нами как элемент красоты вообще и красоты природы в частности. Математики вкладывают в понятие симметрия точный математический смысл, рассматривают специальные виды симметрии. И в результате симметрия становится мощным средством математических исследований, помогает решать трудные задачи.
Итак, геометрический объект или физическое явление считаются симметричными, если с ними можно сделать что-то такое, после чего они останутся неизменными. И если говорить о геометрических объектах, то симметрию можно будет называть геометрической, если о физических явлениях, то – физическая симметрия.
Симметрия – одно из фундаментальных понятий в современной физике, играющее важнейшую роль в формулировке современных физических теорий. Симметрии, учитываемые в физике, довольно разнообразны, начиная с симметрий обычного трехмерного «физического пространства» (такими, например, как зеркальная симметрия), кончая более абстрактными и менее наглядными. Некоторые симметрии в современной физике считаются точными, другие – лишь приближёнными. Исторически использование симметрии в физике прослеживается с древности, но наиболее революционным для физики в целом, по-видимому, стало применение такого принципа симметрии, как принцип относительности (как у Галилея, так и у Пуанкаре-Лоренца-Эйнштейна), ставшего затем как бы образцом для введения и использования в теоретической физике других принципов симметрии, которые привели к общей теории относительности Энштейна.
В теоретической физике поведение физической системы описывается обычно некоторыми уравнениями. Если эти уравнения обладают какими-либо симметриями, то часто удаётся упростить их решение путём нахождения сохраняющихся величин. Например, следует, что инвариантность (неизменность) уравнений движения тела с течением времени приводит к закону сохранения энергии; инвариантность относительно сдвигов в пространстве – к закону сохранения импульса; инвариантность относительно вращений – к закону сохранения моментов импульса.

Раздел III. Осевая симметрия

Понятие осевой симметрии представлено следующим образом: «Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая a называется осью симметрии фигуры». Тогда говорят, что фигура обладает осевой симметрией.
В более узком смысле осью симметрии называют ось симметрии второго порядка и говорят об «осевой симметрии», которую можно определить так: фигура (или тело) обладает осевой симметрией относительно некоторой оси, если каждой её точке Е соответствует такая принадлежащая этой же фигуре точка F, что отрезок EF перпендикулярен к оси, пересекает её и в точке пересечения делится пополам.
Приведу примеры фигур, обладающих осевой симметрией. У неразвернутого угла одна ось симметрии — прямая, на которой расположена биссектриса угла. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии, а равносторонний треугольник- три оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии, а квадрат- четыре оси симметрии. У окружности их бесконечно много — любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии.
Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

Раздел IV. Симметрия растений

Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля.
Среди цветов наблюдаются поворотные симметрии разных порядков. Многие цветы обладают характерным свойством: цветок можно повернуть так, что каждый лепесток займёт положение соседнего, цветок же совместится с самим собой. Такой цветок обладает осью симметрии. Минимальный угол, на который нужно повернуть цветок вокруг оси симметрии, чтобы он совместился с самим собой, называется элементарным углом поворота оси. Этот угол для различных цветов не одинаков. Для ириса он равен 120 ? , для колокольчика – 72 ? , для нарцисса – 60 ? . Поворотную ось можно характеризовать и с помощью другой величины, называемой порядком оси и показывающей, сколько раз произойдет совмещение при повороте на 360 ? . Те же цветы ириса, колокольчика и нарцисса обладают осями третьего, пятого и шестого порядков соответственно. Особенно часто среди цветов встречается симметрия пятого порядка. Это такие полевые цветы как колокольчик, незабудка, зверобой, лапчатка гусиная и др.; цветы плодовых деревьев – вишня, яблоня, груша, мандарин и др., цветы плодово-ягодных растений – земляника, ежевика, малина, шиповник; садовые цветы – настурция, флокс и др.
В пространстве существуют тела, обладающие винтовой симметрией, т. е. совмещающиеся со своим первоначальным положением после поворота на угол вокруг оси, дополненного сдвигом вдоль той же оси.
Винтовая симметрия наблюдается в расположении листьев на стеблях большинства растений. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются во все стороны и не заслоняют друг друга от света, крайне необходимого для жизни растений. Это интересное ботаническое явление носит название филлотаксиса, что буквально означает строение листа. Другим проявлением филлотаксиса оказывается устройство соцветия подсолнечника или чешуи еловой шишки, в которой чешуйки располагаются в виде спиралей и винтовых линий. Такое расположение особенно четко видно у ананаса, имеющего более или менее шестиугольные ячейки, которые образуют ряды, идущие в различных направлениях.
Билатеральной симметрией обладают также органы растений, например, многие стебли с двурядно расположенными листьями или боковыми побегами, стебли многих кактусов и т.п. Билатеральными называются также листья, у которых верхняя и нижняя поверхности различны по строению.
В ботанике часто встречаются радиально симметрично построенные цветы: 3 плоскости симметрии имеет водокрас лягушачий, 4 – лапчатка прямая, 5 – колокольчик, 6 – безвременник.

Раздел V. Симметрия животных

Внимательное наблюдение обнаруживает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все её виды – от простейших до самых сложных. Симметрия в строение животных – почти общее явление, хотя почти всегда встречаются исключения из общего правила.
Под симметрией у животных понимают соответствие в размерах, форме и очертаниях, а также относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии. Строение тела многих многоклеточных организмов отражает определённые формы симметрии, такие как радиальную (лучевая) или билатеральную (двусторонняя), которые являются основными типами симметрии. Кстати, склонность к регенерации (восстановление) зависит от типа симметрии животного.
В биологии о радиальной симметрии идёт речь, когда через трёхмерное существо проходят две или более плоскости симметрии. Эти плоскости пересекаются в прямой. Если животное будет вращаться вокруг этой оси на определённый градус, то оно будет отображаться само на себе. В двухмерной проекции радиальная симметрия может сохраняться, если ось симметрии направлена перпендикулярно к проекционной плоскости. Иными словами, сохранение радиальной симметрии зависит от угла наблюдения.
При радиальной или лучистой симметрии тело имеет форму короткого или длинного цилиндра либо сосуда с центральной осью, от которого отходят в радиальном порядке части тела. Среди них встречается так называемая пентасимметрия, базирующаяся на пяти плоскостях симметрии.
Радиальная симметрия характерна для многих стрекающих, а также для большинства иглокожих, кишечнополостных. Взрослые формы иглокожих приближаются к радиальной симметрии, в то время как их личинки билатерально симметричны.
Лучевую симметрию мы также видим у медуз, кораллов, актиний, морских звёзд. Если вращать их вокруг собственной оси, они несколько раз «совместятся сами с собой». Если отрезать у морской звезды любое из пяти щупалец, оно сумеет восстановить всю звезду. От радиальной симметрии различаются двулучевая радиальная симметрия (две плоскости симметрии, к примеру, гребневики), а также билатеральная симметрия (одна плоскость симметрии, к примеру, двусторонне-симметричные).

Радел VI. Симметрия в архитектуре

Принцип симметрии играет важную роль и в архитектуре. «Архитектура – по словам Н.В. Гоголя – это летопись мира». Она несет в себе уникальную информацию о жизни людей в давно прошедшие исторические эпохи.
Термин «симметрия» в разные исторические эпохи использовался для обозначения разных понятий. Для греков симметрия означала соразмерность. Считалось, что две величины являются соразмерными, если существует третья величина, на которую эти две величины делятся без остатка. Здание (или статуя) считалось симметричным, если оно имело какую-то легко различимую часть, такую, что размеры всех остальных частей получались умножением этой части на целые числа, и таким образом исходная часть служила видимым и понятным модулем. Ещё в Древности греки строили пирамиды строго симметрично. Те же развалины Парфенона на Акрополе служат доказательством этого.
Симметрия в Средневековье присутствовала в романском стиле (сооружения в форме креста), в готике (архитектурные конструкции имели прямоугольный или крестообразный вид). На смену готике пришёл стиль «барокко», который использовал асимметрию. Но смену этому стилю приходит «классицизм» – самый симметричный из всех известных стилей. Практически поворот на 180 градусов произошел при смене классицизма модерном. Стиль «модерн» использует асимметрию – волнообразное построение архитектурных композиций. В настоящее время каких-либо стилей нет, каждый архитектор работает в своей манере.
Композиция в русской традиционной архитектуре в значительной степени основывалась на специфическом применении симметрии, широко применялись как классическая, так и неклассические симметрии. Применение симметрии основывалось на особенностях зрительного восприятия сооружений в натуре. Поэтому на чертежах и планах симметрия может отсутствовать.
В искусстве симметрия играет огромную роль, многие шедевры архитектуры обладают симметрией. При этом обычно имеется в виду зеркальная симметрия.
Немалую роль симметрия играет в архитектурной композиции — закономерное расположение частей формы относительно друг друга. История архитектуры полна всеми видами симметричных преобразований, основными из которых являются отражение, поворот и перенос.

Заключение

И в заключении хочу сказать о том, что быть прекрасным значит быть симметричным и соразмерным.
Доктор Марио Ливио (Mario Livio) из института Space Telescope Science Institute в Балтиморе сделал предположение, что стремление человека к упорядоченным структурам и симметричным объектам не позволяет нам видеть окружающий мир таким, какой он есть в действительности, и законы природы на самом деле могут и не подчиняться законам симметрии, сообщает Live Science.
В естественных науках также царят законы симметрии. В математике симметрия выражена наиболее чётко. В физике это симметрия пространственно-временных преобразований. Если бы законы природы не были основаны на свойстве симметрии, их даже не смогли бы открыть — они менялись бы в зависимости от того, где, когда и в каком направлении проводился эксперимент.
Немало примеров, демонстрирующих правильность формы объектов или предметов, созданных человеком. Симметрия присутствует везде: в регулярности смены дня и ночи, времён года, в ритмичном построении стихотворения, практически там, где присутствует какая-то упорядоченность и регулярность.
В своем реферате я попыталась рассмотреть симметрию в целом, как соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей в живой и неживой природе, в словах, числах и самой математике. И если в древности слово «симметрия» употреблялось в значении «гармония», «красота
и т.д……………..

(означает «соразмерность») — свойство геометрических объектов совмещаться с собой при определенных преобразованиях. Под «симметрией» понимают всякую правильность во внутреннем строении тела или фигуры.

Центральная симметрия — симметрия относительно точки.

относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры.

В одномерном пространстве (на прямой) центральная симметрия является зеркальной симметрией.

На плоскости (в 2-мерном пространстве) симметрия с центром А представляет собой поворот на 180 градусов с центром А. Центральная симметрия на плоскости, как и поворот, сохраняет ориентацию.

Центральную симметрию в трёхмерном пространстве называют также сферической симметрией. Её можно представить как композицию отражения относительно плоскости, проходящей через центр симметрии, с поворотом на 180° относительно прямой, проходящей через центр симметрии и перпендикулярной вышеупомянутой плоскости отражения.

В 4-мерном пространстве центральную симметрию можно представить как композицию двух поворотов на 180° вокруг двух взаимно перпендикулярных плоскостей, проходящих через центр симметрии.

Осевая симметрия — симметрия относительно прямой.

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры.

Осевая симметрия имеет два определения:

— Отражательная симметрия.

В математике осевая симметрия — вид движения (зеркального отражения), при котором множеством неподвижных точек является прямая, называемая осью симметрии. Например, плоская фигура прямоугольник в пространстве осимметрична и имеет 3 оси симметрии, если это не квадрат.

— Вращательная симметрия.

В естественных науках под осевой симметрией понимают вращательную симметриею, относительно поворотов вокруг прямой. При этом тела называют осесимметричными, если они переходят в себя при любом повороте вокруг этой прямой. В этом случае, прямоугольник не будет осесимметричным телом, но конус будет.

Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля.

С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например зубчатые колеса.

, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели и задачи:

• совершенствование знаний об осевой симметрии;
• познакомить с понятием центральная симметрия;
• научить распознавать фигуры, обладающие осевой симметрией и центральной симметрией;
• совершенствование знаний и умений при работе с чертежно — измерительными инструментами;
• развивать пространственное воображение, конструкторские навыки и творчество;
• способствовать развитию интереса к техническому творчеству;
• расширение кругозора.

Материалы и инструменты:

• Компьютер учителя (ноутбук), мультимедийный проектор, экран; слайдовая презентация к занятию; циркуль для доски; циркули ученические, треугольники, цветной картон и бумага, ножницы, клей.

План занятия:

Организационная часть (подготовка к работе).

Актуализация опорных знаний.

Повторение геометрического материала.

Практическая работа, объяснение и показ основных методов выполнения работы, соревнования.

Подведение итогов занятия, обсуждение выполненной работы.

Уборка рабочих мест.

Ход занятия

Организационный момент. Проверка готовности к занятию.

Задание №1. «Разделите треугольник» Слайд 2

ОТВЕТ (рис.2):

рис. 2

Разделите представленный на рисунке равносторонний треугольник следующим образом:

1. Тремя линиями на четыре равные части.

2. Тремя линиями на шесть равных частей.

3. Тремя линиями на три равные части.

4. Одной линией на четыре произвольные части

Задание №2. Слайд 3

В квадрате 6 на 6 клеток нарисовать геометрический орнамент, через 2 два столбика клеток его повторить до конца листа.

В древности слово «СИММЕТРИЯ» употреблялось в значении «гармония», «красота». Действительно, в переводе с греческого это слово означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей».

С симметрией мы встречаемся везде — в природе, технике, искусстве, науке. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого развития. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придает гармоничность, законченность. Что же такое симметрия? Почему симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир?

Мы рассмотрим ту симметрию, которую можно непосредственно видеть — симметрию положений, форм, структур. Она может быть названа геометрической симметрией.

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ Слайд 4

Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну линию симметрии. А равносторонний треугольник — три линии симметрии.

У неразвёрнутого угла одна линия симметрии — прямая, на которой расположена биссектриса угла.

Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами имеют по две линии симметрии , а квадрат — четыре линии симметрии.

Выступление «Зеркальная (осевая) симметрия» Приложение № 1

Найдите фигуры, обладающие линией симметрии (Задание №1) Приложение № 2

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ Слайд 8

Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм.

Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма — точка пересечения его диагоналей.

Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии у прямой их бесконечно много — любая точка прямой является её центром симметрии.

Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

Найдите фигуры, обладающие центральной симметрией (Задание №2) Приложение № 2

Найдите фигуры, имеющие обе оси симметрии (Задание №3) Приложение № 2

Выступление «Симметрия в буквах» Приложение № 3

Раз — руки вверх махнули
И при том вздохнули
Два — три нагнулись, пол достали
А четыре — прямо встали и сначала повторяем.
Воздух сильно мы вдыхаем
При наклонах выдох дружный
Но колени гнуть не нужно.
Чтобы руки не устали,
Мы на пояс их поставим.
Прыгаем как мячики
Девочки и мальчики.

Практическая работа «Летающая тарелка» Приложение № 5

На какое геометрическое тело похожа летающая тарелка? (цилиндр)

Каким инструментом мы будем пользоваться? (циркуль)

Правила техники безопасности при работе с циркулем.

Сейчас начинаем практическую работу (рис.10):

1. Для изготовления летающей тарелки используем картон любого цвета.
2. На изнаночной стороне картона чертим окружность R55 (1 деталь) и R36 (2 детали).
3. По длине картона откладываем прямоугольник длиной 220 мм и шириной 12 мм (по длине отмечаем клапаны).
4. Вырезаем все детали.
5. Склеиваем детали №2 и №3, получился цилиндр.
6. Приклеиваем цилиндр на деталь №1
7. Получилась «Летающая тарелка».
8. Оформление по собственному замыслу.
9. Соревнования.
10. Подведение итогов

Итог занятия

Сегодня на занятии мы с вами повторили и изучили осевую и центральную симметрии.

• Сколько осей симметрии имеет отрезок, прямая? (по 2).
• Имеют ли центр симметрии отрезок, прямая, квадрат? (по2)
• Какие из данных букв имеют ось симметрии? (М, А, Н, Е)
• Какие из данных букв имеют центр симметрии? (Н, О) Приложение № 6

Все правильно.

Сегодня все хорошо поработали и разобрались с симметрией, но если кто — то все-таки сомневается, я вам подготовила вот такую подсказку

Награждение и поздравление победителей соревнований.

Уборка рабочих мест.

Литература.

1. Тарасов Л. Этот удивительный симметричный мир. М., 1982 г.
2. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. М., 1995 г.
3. Интернет ресурсы.

Осевая и центральная симметрия. Параллельный перенос, поворот – как движение плоскости

Движение – это отображение плоскости на себя, при котором сохраняются расстояния между точками. Если две фигуры совместить (наложить) друг с другом посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны.

Одно из таких движений – осевая симметрия. Каждой точке в плоскости по определенному закону ставится в соответствие другая точка той же плоскости.

Точки M и M₁ являются симметричными относительно прямой а, если она проходит через центр отрезка MM₁, и если она расположена под прямым углом к этому отрезку. Все точки рассматриваемой прямой а считаются симметричными сами себе. Фигура считается симметричной относительно прямой а, если для каждой точки рассматриваемой фигуры симметричная для нее точка относительно прямой а также находится на этой фигуре. Прямая а является в этом случае осью симметрии фигуры (фигура с осевой симметрией).

Другим частным случаем отображения плоскости на себя является центральная симметрия. Точка плоскости M переходит в точку плоскости M₁ по следующему закону:

1. Из точки M проводится прямая, соединяющая точку с центром симметрии (точкой O).

2. На прямой откладывается отрезок \(OM_1=OM\), и находится точка \(M_1\).

Фигура симметрична относительно точки О, если для каждой этой точки фигуры симметричная ей точка также лежит на этой фигуре. Точка О – это центр симметрии. Есть фигуры с центральной симметрией – это, например, окружность и параллелограмм. У окружности центр симметрии – это ее центр, у параллелограмма центр симметрии – это точка, в которой пересекаются его диагонали.

Параллельным переносом фигуры называется перенос всех точек пространства на одно расстояние в одном направлении.

Параллельный перенос определяет вектор, по которому совершается перенос.

Чтобы совершить параллельный перенос, нужно знать направление и расстояние, что означает – задать вектор.

Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления, т. е. AB = A₁B₁.

Если одна фигура получена из другой фигуры поворотом всех ее точек относительно центра O на один и тот же угол в одном и том же направлении, то такое преобразование фигуры называется поворотом.

Чтобы поворот имел место, должен быть задан центр O и угол поворота α.

Против часовой стрелки положительный угол поворота, наоборот – отрицательный угол поворота (так же, как углы поворота в единичной окружности).

Обозначим на плоскости точку О (центр поворота) и зададим угол α (угол поворота). Треугольник ABC повернут в положительном направлении (приблизительно на α = 45 градусов). При этом точка О остается на своем месте, т. е. отображается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одинаковом направлении – по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Урок по теме «Осевая и центральная симметрии»

Конспект урока по геометрии по теме: “ Осевая и центральная симметрия”.

Цели урока:

— Предметные:

1) Сформулировать понятие осевой и центральной симметрии, симметричной фигуры;

2) Рассмотреть какими видами симметрии обладают известные нам геометрические фигуры;

3)Научиться строить симметричные точки и определять фигуры, обладающие осевой и центральной симметрией;

4)Совершенствовать навыки решения задач.

-Метапредметные:

1) Развивать мотивы и интересы познавательной деятельности учащихся;

2)Сформировать умения планировать пути достижения результата, выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач;

3) Сформировать умения преобразовывать символы и знаки;

4)Сформировать навыки контроля и оценки своей деятельности.

— Личностные:

1) Сформировать ответственное отношение к учебе, способность к саморазвитию;

2) Сформировать уважительное отношение к мнению других учащих,

умение вести диалог и достигать в нем взаимопонимания;

3) Развивать коммуникативную компетенцию в учебно — исследовательской деятельности.

План урока:

1. Организационный этап.

2. Этап вовлечения в активную деятельность.

3. Этап первичного закрепления навыков и умений с проговариванием во внешней речи.

4. Этап контроля знаний и умений.

5. Физкультминутка.

6. Рефлексия.

7. Подведение итогов урока.

8. Домашнее задание.

Ход урока:

1. Организационный этап.

Сегодня у нас необычный урок, Урок – конференция. Посмотрите на слайд №1 и слайд №2.

— Что общего вы заметили на этих фотографиях?

— Чем они отличаются?

— Приведите свои примеры живых существ и предметов из окружающего мира, обладающие аналогичными свойствами.

— Как определить какие предметы и живые существа нам подойдут, а какие нет?

— Каким свойством они обладают?

— О чем мы будем говорить сегодня на уроке?

— Сформулируем тему урока.

Тема урока: ” Осевая и центральная симметрия”.

2. Этап включения в активную деятельность.

На этом уроке мы должны ответить на вопросы:

— Что такое симметрия?

— Какая бывает симметрия?

— Какие фигуры симметричны, а какие не симметричны?

— Научиться строить симметричные фигуры.

— Познакомиться с многообразием проявления симметрии в окружающем мире.

— Какая симметрия является главной?

На предыдущем уроке были сформированы две группы, защищающие осевую и центральную симметрии. Каждая группа, пользуясь дополнительными справочными материалами, должна была подготовить сообщение о выбранной симметрии по следующим направлениям:

1. Что называется симметрией?

2. История возникновения понятия симметрия.

3. Примеры геометрических фигур, обладающих данной симметрией.

4. Примеры из окружающего мира.

5. Построение симметричной точки.

6. Симметричность фигуры. Построение симметричных фигур.

7. Высказывания великих людей о симметрии.

К доске приглашаются представители группы “Осевая симметрия”.

Они — специалисты по данной симметрии. Остальные ребята внимательно слушают и при необходимости задают свои вопросы, а конце выступления оценивают ответы специалистов.

Далее к доске приглашаются представители группы “Центральная симметрия”. Теперь они выступают в качестве специалистов, а противоположная группа задает свои вопросы и оценивает их ответы.

3. Этап первичного закрепления навыков и умений с проговариванием

во внешней речи.

Подведем итоги выступлений наших специалистов. Еще раз повторим:

— Какие две точки называются симметричными относительно прямой?

— Как построить точку, симметричную данной точке относительно прямой?

— Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой?

— Какие две точки называются симметричными относительно данной точки?

— Как построить точку, симметричную данной точке?

— Какая фигура называется симметричной относительно данной точки?

Обобщим полученные знания. Ответим на вопросы:

— Что общего у осевой и центральной симметрии?

— В чем различие между осевой и центральной симметрией?

— Какая симметрия является главной и первостепенной?

4) Этап контроля знаний и умений.

Выполним практическое задание. У каждого ученика на парте приготовлены двойные листочки и выданы карточки с заданиями.

Главное отличие заданий предыдущего этапа в том, что теперь задание по осевой симметрии будет выполнять группа центральной симметрии и наоборот.

Группа центральной симметрии выполняет карточки первого варианта, а группа осевой симметрии – карточки второго варианта.

Вариант 1.

1. Построить с помощью циркуля и чертежного треугольника точку, симметричную точке К относительно прямой b.

2. Построить все оси симметрии данных фигур и указать, сколько осей симметрии имеет каждая из данных фигур.

Изображение

фигуры

Название

фигуры

Количество осей

симметрии.

отрезок

угол

Две пересекающиеся

прямые

прямоугольник

ромб

квадрат

окружность

4. Выпишите печатные прописные буквы русского алфавита, которые имеют ось симметрии.

Вариант 2.

1. Построить с помощью циркуля и линейки точку, симметричную точке Р относительно точки В.

2. Отметить все центры симметрии данных фигур, если они есть, и указать, сколько центров симметрии имеет каждая фигура.

Изображение

фигуры

Название

фигуры

Количество центров

симметрии

отрезок

угол

Две пересекающиеся

прямые

прямоугольник

ромб

квадрат

окружность

3. Выписать печатные прописные буквы русского языка, которые имеют центр симметрии.

5)Физкультминутка.

8. Рефлексия.

— Все ли было понятно на уроке?

-Оцените свои достижения на уроке. Кто доволен своей работой?

8) Подведение итогов урока.

Сегодня на уроке мы рассмотрели осевую и центральную симметрию и сделали главный вывод, что каждый из видов симметрии играет важную роль в устройстве окружающего мира. Каждый из видов симметрии создает свою неповторимую гармонию и красоту, совершенство нашей природы и творения рук человека. Каждый ученик внес свою умственную и творческую лепту в наш урок. Вы были активны, трудолюбивы и любознательны. Оценки за работу будут выставлены в журнал.

— Что вам понравилось сегодня на уроке?

— Что вызвало затруднения?

— Какими знаниями, полученными на уроке, полученными на уроке, вы хотели бы поделиться дома?

— Где можно применить полученные знания?

9) Домашнее задание.

В качестве домашнего задания каждой творческой группе следует выполнить презентацию по теме своих оппонентов. Творческая группа осевой симметрии выполняет презентацию по центральной симметрии и наоборот.

— EnchantedLearning.com

EnchantedLearning.com — это сайт, поддерживаемый пользователями.
В качестве бонуса участники сайта получают доступ к версии сайта без баннерной рекламы и страниц, удобных для печати.
Щелкните здесь, чтобы узнать больше.

Рабочие листы для печати:

Зачарованный поиск обучения

Имеет ли S точечную симметрию?

Имеет ли S точечную симметрию?

Это оставит F, G, J, K, L, N, P, Q, R, S и Z, всего 11 букв, которые не имеют ни точечной, ни линейной симметрии.

Какая фигура имеет хотя бы одну линию симметрии?

Треугольники Равносторонний треугольник (все стороны равны, все углы равны) Равнобедренный треугольник (две стороны равны, два угла равны) Чешуйчатый треугольник (нет равных сторон, нет равных углов) 3 линии симметрии 1 линия симметрии Нет линий симметрии 1 дополнительная строка

Как узнать, симметрична ли форма?

Фигуры или формы, которые имеют точное сходство с другой его частью, когда они разделены на две или более равных части, называются симметричными.Линия симметрии игр. Формы и предметы, которые не похожи друг на друга при разделении на две части, называются асимметричными. Линии симметрии могут быть вертикальными, горизонтальными или диагональными.

Что такое симметричная форма тела?

ФОРМА. Соответствующие части тела по обе стороны от центрированной разделительной линии находятся в одинаковом положении по отношению друг к другу (зеркальное отображение между двумя половинами тела, разделенными сагиттальной плоскостью).

Какие примеры асимметрии?

Американский флаг — пример асимметрии.Если вы понимаете симметрию, вы на пути к пониманию асимметрии. Симметрия означает, что части чего-то равны или совпадают: если обе половины дома выглядят одинаково, это пример симметрии. Если стороны разные, это асимметрия.

Асимметричный — это слово?

прилагательное. не идентичны по обе стороны от центральной линии; несимметричный; отсутствие симметрии: большинство лиц асимметричны.

Какие буквы симметричны?

Заглавные буквы A, M, T, U, V, W и Y симметричны по вертикали, заглавные буквы B, C, D, E и K симметричны по горизонтали, заглавные буквы H, I и X расположены как по горизонтали, так и по вертикали. симметричная, а буква O — бесконечно симметричная.

Какие буквы имеют симметрию отражения?

(заглавные) буквы A, B, C, D, E, H, I, K, L, M, O, T, U, V, W, X и Y (в зависимости от того, как вы это рисуете) имеют на хотя бы одна плоскость симметрии отражения.

Имеет ли буква K симметрию отражения?

J, K, L, N и P имеют нулевые линии симметрии. M имеет одну линию симметрии, а H, I и O имеют две линии симметрии. Q, R, S не симметричны, поэтому у них нулевые линии симметрии. T, U и V симметричны, но каждая из них имеет только одну линию симметрии.

Имеет ли W вращательную симметрию?

Заглавные буквы, имеющие симметрию вращения: Z, S, H, N и O. Буквы Z, S, H и N при повороте на 180 градусов по или против часовой стрелки будут выглядеть так же после завершения вращения. Примеры букв с вертикальной линией симметрии: A, H, I, M, O, T, U, V, W, X и Y.

У какого треугольника только одна линия симметрии?

равнобедренный треугольник

Как определить вращательную симметрию?

Фигура обладает осевой симметрией, если ее можно повернуть на угол от 0 ° до 360 ° так, чтобы изображение совпадало с прообразом.Угол вращательной симметрии — это наименьший угол, на который фигура может поворачиваться, чтобы совпадать с самой собой.

Может ли форма иметь вращательную симметрию порядка 0?

Форма имеет симметрию вращения, когда ее можно вращать, и она по-прежнему выглядит так же. Порядок вращательной симметрии фигуры — это количество раз, которое она может повернуть вокруг полного круга и при этом выглядеть одинаково. Минимальный порядок вращательной симметрии, который может иметь форма — 1.

Имеет ли квадрат симметрию вращения 180 градусов?

Определение углов поворота На сколько углов поворота квадрат переносится на сам себя? Вращения на 90 ∘, 180 ∘ и в любом направлении заставят квадрат переноситься на себя.Квадрат имеет симметрию вращения на четверть оборота и, следовательно, имеет порядок 4.

Каков угол вращательной симметрии, когда порядок равен 3?

120 °

центральная симметрия в предложении

SentencesMobile

• Другой мерой является асимметрия расстояния, для которого нулевое значение подразумевает центральную симметрию.
• С другой стороны, тетраэдр не имеет центральной симметрии, поэтому нет «полутетраэдра».
• Сферические многогранники без центральной симметрии не определяют проективный многогранник, так как изображения вершин, ребер и граней будут перекрываться.
• Кристаллическая структура ASIC1 и исследования сайт-направленного мутагенеза предполагают, что ENaC имеет центральный ионный канал, расположенный вдоль центральной оси симметрии между тремя субъединицами.
• Особый интерес представляют дискретные подгруппы, которые могут быть реализованы как симметрии проективных многогранников, соответствующие (дискретным) точечным группам, которые включают центральную симметрию.
• Так как центральная симметрия также отображает ортоцентр опорного треугольника в ортоцентр треугольника Джонсона, гомотетический центр также является центром из девяти точек треугольника Джонсона.
• Префикс «полу» также используется для обозначения некоторых проективных многогранников, таких как полукуб, который является изображением карты 2 к 1 сферического многогранника с центральной симметрией.
• Где V _ {s _ 0} — постоянный собственный потенциал на пересечении кругового края тела и центральной плоскости симметрии, определяемый уравнением «? D = 0».
• Фактически, для пластины круглой формы, покоящейся в центре (или на границе, или, по крайней мере, в наборе точек с центральной симметрией), все узловые моды колебаний имеют центральную симметрию, поэтому наблюдение Дженни полностью в соответствии с хорошо известными математическими свойствами.
• Фактически, для пластины круглой формы, расположенной в центре (или на границе, или, по крайней мере, в наборе точек с центральной симметрией), все узловые моды колебаний имеют центральную симметрию, поэтому наблюдение Дженни полностью в соответствии с хорошо известными математическими свойствами.
• В предложении сложно увидеть центральную симметрию.
• Например, в 3-х измерениях 4 из 5 Платоновых тел имеют центральную симметрию (куб / октаэдр, додекаэдр / икосаэдр), в то время как тетраэдр не имеет, однако звездчатый октаэдр имеет центральную симметрию, хотя результирующая группа симметрии такая же как у куба / октаэдра.
• Например, в 3-х измерениях 4 из 5 Платоновых тел имеют центральную симметрию (куб / октаэдр, додекаэдр / икосаэдр), в то время как тетраэдр не имеет, однако звездчатый октаэдр имеет центральную симметрию, хотя результирующая группа симметрии такая же как у куба / октаэдра.
• При этой связи группы симметрии центрально-симметричных многогранников соответствуют группам симметрии соответствующего проективного многогранника, а группы симметрии сферических многогранников без центральной симметрии соответствуют группам симметрии проективных многогранников степени 2 (мозаики, дважды покрывающие проективное пространство), которые крышка (соответствующая присоединению соединения) представляет собой соединение двух многогранников исходный многогранник и его центральный инверсный.

Форма образца с центральной симметрией.Фигура называется симметричной относительно прямой a, если для каждой точки фигуры есть точка, симметричная ей относительно прямой и также принадлежащая этой фигуре

Считать осевую и центральную симметрию свойствами некоторых геометрических фигур; Считайте осевую и центральную симметрию свойствами некоторых геометрических фигур; Уметь строить симметричные точки и уметь распознавать формы, симметричные относительно точки или линии; Уметь строить симметричные точки и уметь распознавать формы, симметричные относительно точки или линии; Улучшение навыков решения проблем; Улучшение навыков решения проблем; Продолжить работу над точностью записи и завершения геометрического рисунка; Продолжить работу над точностью записи и исполнения геометрического рисунка;

Устная работа «Нежный обзор» Устная работа «Нежный обзор» Какая точка называется серединой отрезка? Какой треугольник называется равнобедренным? Каким свойством обладают диагонали ромба? Сформулируйте свойство биссектрисы равнобедренного треугольника.Какие прямые называются перпендикулярными? Какой треугольник называется равносторонним? Какое свойство имеют диагонали квадрата? Какие фигуры называются равными?

Какие новые концепции вы встретили на уроке? С какими новыми концепциями вы познакомились на уроке? Что нового в геометрических фигурах? Что нового в геометрических фигурах? Приведите примеры осесимметричных геометрических фигур.Приведите примеры осесимметричных геометрических фигур. Приведите пример фигур с центральной симметрией. Приведите пример фигур с центральной симметрией. Приведите примеры предметов из окружающей жизни, обладающих одним или двумя типами симметрии. Приведите примеры предметов из окружающей жизни, обладающих одним или двумя типами симметрии.

«Точка симметрии» — Симметрия в архитектуре. Примеры симметрии плоских фигур. Две точки A и A1 называются симметричными относительно O, если O — середина отрезка AA1.Примеры фигур с центральной симметрией — круг и параллелограмм. Точка C называется центром симметрии. Симметрия в науке и технике.

«Построение геометрических фигур» — Учебный аспект. Контроль и коррекция ассимиляции. Изучение теории, на которой основан метод. В стереометрии — не строгие конструкции. Стереометрическое построение. Алгебраический метод. Метод преобразований (подобие, симметрия, параллельный перенос и т. Д.). Например: прямой; биссектриса угла; средний перпендикуляр.

«Человеческая фигура» — форма и движения человеческого тела во многом определяются скелетом. Ярмарка с театральным представлением. Как вы думаете, в цирке есть работа артисту? Скелет играет роль скелета в строении фигуры. Основное тело (живот, грудь) Не обращал внимания Голова, лицо, руки. А. Матис. Пропорции. Древняя Греция.

«Симметрия относительно линии» — Симметрия относительно прямой называется осевой симметрией. Линия а — ось симметрии. Симметрия относительно прямой.Булавин Павел, 9Б класс. Сколько осей симметрии у каждой фигуры? Фигура может иметь одну или несколько осей симметрии. Центральная симметрия. Равнобедренная трапеция. Прямоугольник.

«Геометрия квадратов фигур» — теорема Пифагора. Квадраты различной формы. Решите ребус. Формы с равными площадями называются равными. Единицы площади. Площадь треугольника. Прямоугольник, треугольник, параллелограмм. Квадратный сантиметр. Формы одинаковой площади. Равные части б). Квадратный миллиметр. v). которая будет равна площади фигуры, составленной из фигур A и D.

«Предел функции в точке» -, Тогда в этом случае. При стремлении. Предел функции в точке. Непрерывный в точке. Равно значению функции в. Но при вычислении предела функции в. Равно стоимости. Выражение. Стремление. Или можно сказать так: в достаточно малой окрестности точки. Составлено из. Решение. Непрерывно через определенные промежутки времени. Между.

Homotetia и т.п.16), а отношение ОМ «: ОМ = λ одинаково для всех точек, кроме О. Фиксированная точка О называется центром гомотетии. Отношение ОМ»: ОМ считается положительным, если М «и М лежат по одну сторону от О, отрицательным. — на противоположных сторонах. Число X называется коэффициентом гомотетии. При NS0 гомотетия называется обратной. Atλ = — 1 гомотетия превращается в преобразование симметрии относительно точки O. При гомотетии прямая линия переходит в прямую, параллельность прямых и плоскостей сохраняется, углы (линейные и двугранные) сохраняются, каждая фигура входит в нее аналогично (рис. .5.17).

Верно и обратное. Гомотетию можно определить как аффинное преобразование, при котором прямые, соединяющие соответствующие точки, проходят через одну точку — центр гомотетии. Гомотетия используется для увеличения изображений (проекционный свет, кино).

Центральная и зеркальная симметрия. Симметрия (в широком смысле) — свойство геометрической фигуры F, характеризующее некоторую правильность ее формы, ее неизменность под действием движений и отражений.Фигура Φ имеет симметрию (симметричность), если существуют неидентичные ортогональные преобразования, переводящие эту фигуру в себя. Совокупность всех ортогональных преобразований, объединяющих фигуру Φ с самой собой, является группой этой фигуры. Итак, плоская фигура (рис. 5.18) с точкой М, трансформирующейся —

себе в зеркальном отражении, симметричном относительно прямой — оси AB. Здесь группа симметрии состоит из двух элементов — точки M, преобразованной в M «.

Если фигура Ф на плоскости такова, что повороты вокруг любой точки O на угол 360 ° / n, где n> 2 — целое число, переводят ее в себя, то фигура Ф имеет симметрию n-го порядка относительно точка О — центр симметрии.Примером таких фигур являются правильные многоугольники, например, звездообразный (рис. 5.19), имеющий симметрию восьмого порядка относительно своего центра. Группа симметрии здесь — это так называемая циклическая группа порядка n. Круг имеет симметрию бесконечного порядка (поскольку он выравнивается сам с собой, поворачивая его на любой угол).

Самыми простыми типами пространственной симметрии являются центральная симметрия (инверсия). В этом случае относительно точки O фигура Ф совмещается сама с собой после последовательных отражений от трех взаимно перпендикулярных плоскостей, то есть точка O — середина отрезка, соединяющего симметричные точки F.Итак, для куба (рис. 5.20) точка O является центром симметрии. Точки M и M «куб

СИММЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР

По словам известного немецкого математика Г. Вейля (1885-1955), «симметрия — это идея, с помощью которой человек веками пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство».
Красивые изображения симметрии витрины произведений искусства: архитектуры, живописи, скульптуры и т. Д.
В процессе планиметрии учитывалась концепция симметрии фигур на плоскости.В частности, определены понятия центральной и осевой симметрии. Для пространственных фигур понятие симметрии определяется аналогичным образом.
Давайте сначала рассмотрим центральную симметрию.
, симметричный относительно точки O, называется центром симметрии , если O является средней точкой сегмента AA. «Точка O считается симметричной самой себе.
Преобразование пространства, в котором каждая точка A связана с точкой A,« симметричной ей (относительно данной точки O) », называется центральной симметрией … В этом случае точка O называется центром симметрии .
Две фигуры F и F «называются центрально-симметричными , если существует преобразование симметрии, преобразующее одну из них в другую.
Фигура F называется центрально-симметричной , если она центрально-симметрична сама себе.
Например, параллелепипед центрально симметричен относительно пересечения его диагоналей, шар и сфера центрально симметричны относительно своих центров.
Из правильных многогранников куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр центрально-симметричны. Тетраэдр не является центрально-симметричной фигурой.
Рассмотрим некоторые свойства центральной симметрии.
Свойство 1. Если O 1, O 2 являются центрами симметрии фигуры Ф, то точка O 3, симметричная O 1 относительно O 2, также является центром симметрии этой фигуры.
Доказательство. Пусть A — точка в пространстве, A 2 — точка, симметричная ей относительно O 2, A 1 — точка, симметричная A 2 относительно O 1 и A 3 — точка, симметричная A 1 относительно O 2 (рис.1).

Тогда треугольники O 2 O 1 A 1 и O 2 O 3 A 3, O 2 O 1 A 2 и O 2 O 3 A равны. Следовательно, A и A 3 симметричны относительно O 3 … Итак, симметрия относительно O 3 представляет собой композицию симметрий относительно O 2, O 1 и O 2 … Следовательно, при этой симметрии фигура Φ переходит в себя, т.е. O 3 является центром симметрии F.

Последствия. Любая фигура либо не имеет центра симметрии, либо имеет один центр симметрии, либо имеет бесконечно много центров симметрии

Действительно, если O 1, O 2 являются центрами симметрии фигуры Ф, то точка O 3, симметричная O 1 относительно O 2, также является центром симметрии этой фигуры.Аналогично, точка O 4, симметричная O 2 относительно O 3, также является центром симметрии фигуры Ф и т. Д. Таким образом, в этом случае фигура Ф имеет бесконечно много центров симметрии.

Рассмотрим теперь концепцию осевой симметрии .
Точки A и A «пространства называются симметричными относительно прямой a , называемой осью симметрии , если прямая a проходит через среднюю точку сегмента AA» и перпендикулярна этому сегменту.Каждая точка линии a считается симметричной самой себе.
Преобразование пространства, в котором каждая точка A связана с симметричной точкой A «(относительно данной линии a ), называется осевой симметрией … Прямая a называется осью симметрии .
Две фигуры называются симметричными относительно прямой , и , если преобразование симметрии относительно этой прямой преобразует одну из них в другую.
Фигура Ф в пространстве называется симметричной относительно прямой a , если она симметрична самой себе.
Например, прямоугольный параллелепипед симметричен относительно прямой линии, проходящей через центры противоположных граней. Прямой круговой цилиндр симметричен относительно своей оси, шар и сфера симметричны относительно любых прямых линий, проходящих через их центры, и т. Д.
Куб имеет три оси симметрии, проходящие через центры противоположных граней, и шесть осей симметрии, проходящие через середины противоположных краев.
Тетраэдр имеет три оси симметрии, проходящие через середины противоположных сторон.
Октаэдр имеет три оси симметрии, проходящие через противоположные вершины, и шесть осей симметрии, проходящие через середины противоположных ребер.
Икосаэдр и додекаэдр имеют по пятнадцать осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер.
Свойство 3. Если a 1, a 2 — ось симметрии фигуры Ф, затем прямая a 3, симметричная a 1 относительно a 2 также является осью симметрии этой фигуры.

Доказательство аналогично доказательству свойства 1.

Свойство 4. Если две пересекающиеся перпендикулярные линии в пространстве являются осями симметрии этой фигуры Φ, то прямая, проходящая через точку пересечения и перпендикулярная плоскости этих линий, также будет осью симметрии фигуры F.
Доказательство. Рассмотрим оси координат O x , O y , O z … Симметрия относительно оси O x x , y , z ) в точку фигуры Ф с координатами ( x, –y, –z ).Точно так же симметрия относительно оси O y переводит точку фигуры Ф с координатами ( x , — y , — z ) в точку фигуры Ф с координатами (- x, –y, z ) . Таким образом, композиция этих симметрий переводит точку фигуры Ф с координатами ( x, y, z ) в точку фигуры Ф с координатами (- x, –y, z ). Следовательно, ось O z является осью симметрии F.

Последствия. Любая фигура в пространстве не может иметь четное (ненулевое) количество осей симметрии.
Действительно, зафиксируем некоторую ось симметрии a … Если b — ось симметрии, не пересекает a или не пересекает ее под прямым углом, то для нее существует еще одна ось симметрии b ‘ симметрично относительно a … Если ось симметрии b пересекает a под прямым углом, то для нее существует другая ось симметрии b’ , проходящая через точку пересечение и перпендикулярно плоскости прямых a и b … Следовательно, в дополнение к оси симметрии a возможно четное или бесконечное количество осей симметрии. Таким образом, общее четное (ненулевое) число осей симметрии невозможно.
В дополнение к осям симметрии, определенным выше, мы также рассматриваем оси симметрии n -го порядка , n 2 .
Прямая a называется осью симметрии n -го порядка цифрой Ф, если при повороте фигуры Ф вокруг прямой a на угол фигура Ф совмещается сама с собой.

Ясно, что ось симметрии 2-го порядка — это просто ось симметрии.
Например, в правильной n -угольной пирамиде прямая линия, проходящая через вершину и центр основания, является осью симметрии n -го порядка.
Выясним, какие оси симметрии имеют правильные многогранники.
Куб имеет три оси симметрии 4-го порядка, проходящие через центры противоположных граней, четыре оси симметрии 3-го порядка, проходящие через противоположные вершины, и шесть осей симметрии 2-го порядка, проходящие через середины противоположных граней.
Тетраэдр имеет три оси симметрии второго порядка, проходящие через середины противоположных ребер.
Икосаэдр имеет шесть осей симметрии 5-го порядка, проходящих через противоположные вершины; десять осей симметрии 3-го порядка, проходящие через центры противоположных граней, и пятнадцать осей симметрии 2-го порядка, проходящие через середины противоположных граней.
Додекаэдр имеет шесть осей симметрии 5-го порядка, проходящих через центры противоположных граней; десять осей симметрии 3-го порядка, проходящие через противоположные вершины, и пятнадцать осей симметрии 2-го порядка, проходящие через середины противоположных ребер.
Рассмотрим концепцию зеркальной симметрии .
Точки A и A «в пространстве называются , симметричными относительно плоскости , или, по-другому, зеркально-симметричными , если эта плоскость проходит через среднюю точку отрезка AA» и перпендикулярна ему. Каждая точка плоскости считается симметричной самой себе.
Преобразование пространства, в котором каждая точка A связана с точкой A «, симметричной ей (относительно данной плоскости), называется зеркальной симметрией … В этом случае плоскость называется плоскостью симметрии .
Две фигуры называются зеркально-симметричными относительно плоскости, если преобразование симметрии относительно этой плоскости преобразует одну из них в другую.
Фигура Ф в пространстве называется зеркально-симметричной , если она зеркально-симметрична самой себе.
Например, прямоугольный параллелепипед является зеркально-симметричным относительно плоскости, проходящей через ось симметрии и параллельной одной из пар противоположных граней.Цилиндр является зеркально-симметричным относительно любой плоскости, проходящей через его ось, и т. Д.
Среди правильных многогранников куб и октаэдр имеют по девять плоскостей симметрии. Тетраэдр имеет шесть плоскостей симметрии. Икосаэдр и додекаэдр имеют по пятнадцать плоскостей симметрии, проходящих через пары противоположных ребер.
Свойство 5. Композиция двух зеркальных симметрий относительно параллельных плоскостей представляет собой параллельный перенос на вектор, перпендикулярный этим плоскостям и равный по величине удвоенному расстоянию между этими плоскостями.
Последствия. Параллельный перенос можно рассматривать как композицию двух зеркальных симметрий.
Свойство 6. Композиция двух зеркальных симметрий относительно плоскостей, пересекающихся по прямой линии, представляет собой вращение вокруг этой прямой на угол, равный удвоенному двугранному углу между этими плоскостями. В частности, осевая симметрия — это композиция двух зеркальных симметрий относительно перпендикулярных плоскостей.
Последствия. Вращение можно рассматривать как композицию двух зеркальных симметрий.
Свойство 7. Центральную симметрию можно представить как композицию трех зеркальных симметрий.
Докажем это свойство координатным методом. Пусть точка A в пространстве имеет координаты ( x, y, z ) . Зеркальная симметрия относительно координатной плоскости меняет знак соответствующей координаты. Например, зеркальная симметрия относительно плоскости O xy переводит точку с координатами ( x, y, z ) в точку с координатами ( x, y, –z ).Композиция трех зеркальных симметрий относительно координатных плоскостей переводит точку с координатами ( x, y, z ) в точку с координатами (- x, –y, –z ), центрально симметричную относительно начала координат A.
Движения, переносящие фигуру F в себя, образуют группу относительно композиции. Она называется группой симметрии фигур F.
Найдем порядок группы симметрии куба.
Ясно, что любое движение, которое переводит куб сам на себя, оставляет центр куба на месте, переводит центры граней в центры граней, средние точки ребер в средние точки ребер и вершины. к вершинам.
Таким образом, чтобы определить движение куба, достаточно определить, куда идет центр грани, середина ребра этой грани и вершина ребра.
Рассмотрим разбиение куба на тетраэдры, вершинами каждого из которых являются центр куба, центр грани, середина ребра этой грани и вершина ребра. Всего таких тетраэдров 48. Поскольку движение полностью определяется тем, в какой из тетраэдров переносится данный тетраэдр, порядок группы симметрии куба будет 48.
Порядки групп симметрии тетраэдра, октаэдра, икосаэдра и додекаэдра находятся аналогично.
Найдите группу симметрии единичной окружности S 1 … Эта группа обозначается O (2). Это бесконечная топологическая группа. Мы представляем единичный круг как группу комплексных чисел по модулю единицы. Существует естественный эпиморфизм p: O (2) -> S 1, сопоставляющий элемент u группы O (2) с элементом u (1) в S 1 … Ядром этого отображения является группа Z 2, порожденная симметрией единичной окружности относительно оси Ox.Следовательно, O (2) / Z 2S 1 … Более того, если не принимать во внимание структуру группы, то мы имеем гомеоморфизм между O (2) и прямым произведением S 1 и Z 2.
Аналогично, группа симметрии группы двумерная сфера S 2 обозначается O (3), а изоморфизм O (3) / O (2) S 2.
Группы симметрии n-мерных сфер играют важную роль в современных разделах топологии: теории многообразий, теории расслоенных пространств и т. Д.
Кристаллы — одно из самых ярких проявлений симметрии в природе.Свойства кристаллов определяются особенностями их геометрического строения, в частности симметричным расположением атомов в кристаллической решетке. Внешняя форма кристаллов является следствием их внутренней симметрии.
Первые, до сих пор смутные предположения о том, что атомы в кристаллах имеют правильную, правильную, симметричную структуру, были высказаны в трудах различных естествоиспытателей уже в те дни, когда само понятие атома было неясным и не было экспериментальных доказательств существования атома. атомная структура вещества.Симметричная внешняя форма кристаллов невольно подсказывала, что внутреннее строение кристаллов должно быть симметричным и правильным. Законы симметрии внешней формы кристаллов были полностью установлены в середине XIX века, а к концу этого века были четко и точно выведены законы симметрии, которые определяют атомные структуры в кристаллах.
Основоположником математической теории строения кристаллов является выдающийся русский математик и кристаллограф — Евграф Степанович Федоров (1853-1919).Математика, химия, геология, минералогия, петрография, горное дело — Е.С. Федоров внес значительный вклад в каждое из этих направлений. В 1890 году он строго математически вывел все возможные геометрические законы сочетания элементов симметрии в кристаллических структурах, другими словами, симметрии расположения частиц внутри кристаллов. Оказалось, что количество таких законов ограничено. Федоров показал, что существует 230 пространственных групп симметрии, которые впоследствии были названы Федоровыми в честь ученого.Это была гигантская работа, проделанная за 10 лет до открытия рентгеновских лучей, за 27 лет до того, как они доказали существование самой кристаллической решетки. Существование 230 федоровских групп — один из важнейших геометрических законов современной структурной кристаллографии. «Гигантский научный подвиг Е.С. Федорова, сумевшего свести весь естественный« хаос »бесчисленных кристаллических образований в единую геометрическую схему, до сих пор вызывает восхищение. Это открытие сродни открытию периодической таблицы Д.И. Менделеева.вершина классической федоровской кристаллографии », — сказал академик А.В. Шубников.

Литература
1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть II. Стереометрия. — 3-е изд. — М .: Учпедгиз, 1958.
2. Вейль Г. Симметрия. — М .: Наука, 1968.
3. Вигнер Э. Исследования симметрии. — М .: Мир, 1971.
4. Гарднер М. Это правый, левый мир. — М .: Мир, 1967.
5. Гильде В. Зеркальный мир. — М .: Мир, 1982.
6. Компанеец А.С. Симметрия в микро- и макромире.- М .: Наука, 1978.
7. Парамонова И.М. Симметрия в математике. — М .: МЦНМО, 2000.
8. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. Часть II. Геометрия в космосе. — М.-Л .: Государственное изд. техническая и теоретическая литература, 1949.
9. Сонин А.С. Понимание совершенства (симметрия, асимметрия, диссимметрия, антисимметрия). — М .: Знание, 1987.
10. Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир. — М .: Просвещение, 1982.
11. Узоры симметрии. — М .: Мир, 1980.
12. Шафрановский И.И. Симметрия в природе. — 2-е изд. — Л .; 1985.
13. Шубников А.В., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. — М .: Наука, 1972.

Симметрия молекулярной точки

Симметрия молекулярных точек

Изолированные молекулы дают множество примеров кристаллографических (и некристаллографическая) точечно-групповая симметрия.Перед предоставлением официального таблицы 32 кристаллографических точечных групп, поучительно посмотреть, как оси вращения и вращения-инверсии взаимодействуют в некоторых молекулярные структуры.

На приведенной ниже диаграмме показана одна молекула воды. Молекула плоская так что все три атома (O и два H) лежат в плоскости зеркала, показанной на зеленый. Кроме того, есть вторая зеркальная плоскость, показанная синим цветом, которая перпендикулярна плоскости первого зеркала: два атома водорода расположены симметрия, связанная с этим элементом симметрии, который проходит через центральную атом кислорода.Наконец, комбинация двух зеркальных плоскостей автоматически подразумевает наличие двойной оси вращения, показан красным, который проходит через атом кислорода и по линии пересечения двух зеркальных плоскостей. Как и во всех точечных группах, существует также операция идентификации, 1. Комбинация элементов симметрии 1, 2, м и м ′ образует кристаллографическая точечная группа с обозначением « мм 2».

Важно понимать, что многие молекулы и ионы могут не иметь кристаллографических точечно-групповая симметрия, e.грамм. линейные молекулы или ионы, и S ₈ . Актуальный пример — C ₆₀ молекула, показанная ниже, которая является на основе атомов углерода в идеальных пяти- и гексагональных кольцах. Изолированные молекулы имеют оси пятикратного вращения, проходящие через центр каждой пятиугольное кольцо вместе с тройными осями вращения, проходящими через середину каждого шестиугольного кольца. Симметрия молекулы описывается как икосаэдр.

Что такое центральная симметрия? — природа 2021

Понятие «центральная симметрия» фигуры подразумевает наличие определенной точки — центра симметрии.По обе стороны от него — точки, принадлежащие этой фигуре. Каждый из них симметричен сам себе.

Следует сказать, что понятие центра отсутствует в евклидовой геометрии. Более того, в одиннадцатой книге, в тридцать восьмом предложении, есть определение пространственной оси симметрии. Концепция центра впервые появилась в 16 веке.

Центральная симметрия присутствует в таких известных фигурах, как параллелограмм и круг. И первая, и вторая фигура имеют один центр.Центр симметрии параллелограмма находится на пересечении прямых, выходящих из противоположных точек; в круге это центр самого себя. Для прямой характерно наличие бесконечного числа таких участков. Каждая его точка может быть центром симметрии. Прямой ящик состоит из девяти плоскостей. Из всех симметричных плоскостей три перпендикулярны краям. Остальные шесть проходят по диагоналям граней. Однако есть фигура, на которой этого нет.Это произвольный треугольник.

В некоторых источниках понятие «центральная симметрия» определяется следующим образом: геометрическое тело (фигура) считается симметричным относительно центра C, если каждая точка A тела имеет точку E, лежащую внутри той же фигуры, поэтому что отрезок AE, проходящий через центр C, разрезан в нем пополам. Для соответствующих пар точек есть равные отрезки.

Соответствующие углы двух половин фигуры, в которых присутствует центральная симметрия, также равны.Две фигуры, лежащие по обе стороны от центральной точки, в этом случае могут накладываться друг на друга. Однако надо сказать, что накладка выполняется особым образом. В отличие от зеркала, центральная симметрия предполагает поворот одной части фигуры на сто восемьдесят градусов около центра. Таким образом, одна деталь будет стоять в зеркальном положении относительно второй. Таким образом, две части рисунка могут быть наложены друг на друга, не выходя из общей плоскости.

В алгебре изучение четных и нечетных функций проводится с помощью графов.Для четной функции график строится симметрично относительно координатной оси. Для нечетной — относительно начала координат, то есть О. Итак, для нечетной функции присуща центральная симметрия, а для четной — осевая.

Центральная симметрия подразумевает наличие оси симметрии второго порядка на плоской фигуре. В этом случае ось будет лежать перпендикулярно плоскости.

Центральная симметрия в природе встречается довольно часто. Среди многообразия форм в изобилии можно найти самые продвинутые конструкции.К таким привлекательным экземплярам относятся различные виды растений, моллюски, насекомые и многие животные. Человек восхищается очарованием отдельных цветов, лепестков, его удивляет совершенная конструкция пчелиных сот, расположение на шляпке семечек, листьев на стебле растений. Центральная симметрия в жизни повсеместна.

точек симметрии — французский перевод — Linguee