Учим состав числа — Kid-mama
Для успешного обучения в начальной школе будет очень полезно, если ребенок еще до поступления в первый класс выучит состав чисел до десяти. Однако дети обычно не любят его заучивать. Другое дело, если превратить процесс обучения в красочную, увлекательную онлайн игру!
В данном разделе мы предлагаем вам развивающие онлайн игры, в которые можно играть совершенно бесплатно и без регистрации на нашем сайте. С ними вы легко выучите состав числа до 10.Мы предлагаем вам 3 серии онлайн игр, которые последовательно и логично дополняют друг друга, а также серию игр, включающих разные задания.
Прежде всего — это серия онлайн игр «Лампочки», в которых состав числа показывается наглядно, кроме того, ребенок в конце игры сам может позажигать и посчитать лампочки.
Вы не знаете, как объяснить ребенку, что такое состав числа? Идите скорее к нам! Представляем вам уникальную серию развивающих онлайн игр «Лампочки», в которые можно играть совершенно бесплатно и без регистрации на нашем сайте. В этих играх наглядно представлен состав числа 5, 6, 7, 8, 9 и 10. Как же учить состав числа? Возьмем, например, онлайн игру «Состав числа 5». На первом слайде мы видим ряд лампочек, которые не горят. Пересчитываем лампочки, и в этом нам помогает игра. Их 5. Затем, на следующем слайде — одна лампочка загорается, и ребенку предлагается посчитать, сколько лампочек из 5 горит, а сколько еще нет, и вставить соответствующие цифры в окошечки . Кнопки с цифрами расположены прямо на экране, что особенно удобно при работе на планшете. Если ребенок ввел цифры правильно, справа появляется ряд примеров, составленных из соответствующих цифр. На каждом последующем слайде загорается на одну лампочку больше. На последнем слайде учить состав числа еще интересней: ребенок сам может зажигать и гасить любые лампочки, просто кликая по ним левой кнопкой мыши. Таким образом скучное заучивание состава чисел до 10 можно превратить в увлекательную игру.
Состав числа 5 — считаем лампочки | Состав числа 6 — считаем лампочки | Состав числа 7 — считаем лампочки |
Состав числа 8 — считаем лампочки | Состав числа 9 — считаем лампочки | Состав числа 10 — считаем лампочки |
Далее — развивающие
Cостав числа 5 – числовые домики | Состав числа 6 — числовые домики | Состав числа 7 — числовые домики |
Состав числа 8 — числовые домики | Состав числа 9 — числовые домики | Состав числа 10 — числовые домики |
Онлайн игры, включающие разные задания: числовые домики, примеры, уравнения, задачи. Эти игры работают и на мобильных устройствах.
Однако, не забывайте и о других способах заучивания состава числа, так как долгое время находиться перед экраном компьютера ребенку вредно.
Предлагаем вам также серию тренажеров для заучивания состава чисел до 20.
Как правильно объяснить дошкольнику состав числа
В первом классе ученик обязательно изучает состав числа до 10. Не всем ребятам эти знания даются легко, поэтому родителям приходится помогать чаду во время домашних занятий. Невозможно оставить без внимания этот пробел, так как знания о составе числа помогают быстро осваивать математику, ее основные азы.
Учим состав числа на домашних занятиях
Домашнее обучение позволяет облегчить школьные занятия по математике, которые в первом классе являются довольно сложными для маленьких учеников. Дети вынуждены полностью менять привычный распорядок дня и выполнять незнакомые обязанности, что отодвигает овладение знаниями на второй план. Домочадцы могут помочь маленькому ученику, если будут в ненавязчивой и увлекательной форме повторять школьные темы. Не надо браться за какие-то сложные задания, достаточно заняться основным, например, четко знать,как объяснить ребенку состав числа.
Важно! Современное образование упирается именно в освоение состава числа. Это помогает запомнить основные понятия математики. Арифметические операции и сравнение чисел будут проходить легко для ребенка.
Как учить быстрому счету
Еще до поступления ребенка в школу, родители могут быстро научить его считать до 10. Главное, сделать этот процесс максимально доступным, чтобы затем приступить к более сложным знаниям — ознакомлению детей с составом числа. Даже младшего дошкольника можно учить считать деревья, шаги, ступеньки и все окружающие предметы. При закреплении следует делать акцент на единице, правильно называть цифру «один», а не «раз», объяснить, что такое пустота, математический «0». После этого полезно показать графическое изображение цифр. Лучше делать это в игровой форме. Следует применять наглядные примеры, пользоваться магнитными досками, цифрами, игрушками.
К сведению родителей! Нужно рассказать маленькому ученику, что цифра — это символ для записи чисел, а число — это математическое понятие. Цифр только девять, от 0 до 9, а чисел множество.
После того, как все цифры усвоены, можно приступать к счету. Следует показать, как необходимо считать на пальцах, счетных палочках, других приспособлениях. Рекомендуется сравнивать цифры, объяснять, какое число больше или меньше, насколько. Также необходимо выучить математические знаки для наглядного предоставления информации. Важно правильно объяснить, что два меньших числа могут превратиться в большее и, наоборот, большее число разделиться на два меньших.
- Чтобы запомнить состав чисел, можно поиграть с ребенком в числовые домики. Это классическое игровое упражнение. Взрослый вместе с малышом рисует несколько домиков, которые отличаются друг от друга количеством этажей. Начинать с одноэтажного, последним будет девятиэтажный. На крыше изображается определенное число. На каждом этаже по две квартиры, в которых проживают жильцы. Их количество зависит от этажности дома. Например, в трехэтажном на первом этаже живут 0 и 4, на втором — 1 и 3, на третьем — 2 и 2. Так ребенок узнает о составе числа 4.
- Можно задать число и предложить малышу назвать «соседей», какое число стоит перед ним и после него, задать два числа, спросить, что стоит между ними. Обсудить, чем отличаются числа (предыдущее — меньше на 1, последующее — больше на 1).
- На листе бумаги написать цифру и попросить найти указанное количество карандашей, горошин или стаканчиков. Поменять задание, предложить составить записанное число из разных предметов. Показать, как по-разному можно составить заданное число.
- Когда выучены цифры до 10, можно вводить понятие «единицы и десяток». Цифры могут превращаться в домики, где десятки являются этажами, а единицы квартирами. Хорошо помогают одинаковые мелкие игрушки, когда надо их выстроить по десять в два ряда. Таким образом заучивается второй десяток.
Устный счет помогает выполнять задания с максимальной скоростью. Для легкого счета нужно обязательно объяснить ребенку состав чисел, выучить в игровой форме расклад чисел до 10, причем, чем больше цифра, тем большее внимание ей уделяется. Вначале на своем примере показать, как в уме следует перебирать состав определенного числа. К примеру, нужно спросить ученика, сколько нужно еще добавить к числу 2, чтобы получить 5. Естественно, сначала возникнут сложности с усвоением, но в скором времени ребенок будет легко считать устно.
Важно! Обучая устному счету, желательно ограничить ученика в применении различных предметов, палочек и пальцев, так как это замедляет навык считать в уме.
Подходящий возраст для занятий
Оптимальный возраст для обучения счету является понятием относительным. Некоторые дети уже в 4 года пытаются считать и делают это весьма успешно, другие даже в 6 лет не готовы к этому. Однако в 5 — 6 лет следует обязательно готовить малыша к школе. Именно в этот период мозг легко воспринимает новую информацию, чадо тянется к знаниям. Воспитатели подготовительной группы основной упор делают на действия с числами в пределах 10. Дети в состоянии в этом возрасте выполнять сложение и вычитание, запомнить состав числа. Школьная программа не стоит на месте, новая тема осваивается ежедневно, поэтому без определенных навыков у ребенка могут возникнуть проблемы с математикой.
Что пригодится для домашних занятий
Сегодня для домашних занятий можно выбрать любые счетные материалы. Наиболее популярными среди них являются палочки для счета. Однако немногие задумываются над тем, что они недостаточно эффективны. Дошкольник при использовании палочек не в состоянии научиться быстро считать устно. Для ознакомления детей с составом числа предлагается использовать следующие счетные приспособления:
- Быстро выучить состав числа помогут карточки с различными предметами (домиками, цветочной полянкой, угощением для зверей), домино. Они входят в наборы для счета, как игровая форма. Когда малыши учатся находить составляющие чисел, к ним приходит понимание истин и основных математических понятий.
- Наборы из дерева и пластика с цифрами и математическими знаками тоже помогают ускорить учебный процесс и сделать его максимально эффективным. Различные игры с озвучиванием позволяют освоить запоминание цифр и чисел.
- Барабаны с цифрами отлично подходят для деток постарше, которые уже успели освоить математические азы. Ребенку требуется перебирать цифровые колесики, чтобы получить примеры для решения. Для малышей предусмотрены пирамидки и штыри. Перекладывание кубиков тоже способствует запоминанию чисел.
- Наиболее интересными материалами для счета станут созданные своими руками пособия. Можно вместе рисовать, клеить коробочки с цифрами, считать карандаши, лепить цифры из пластилина и теста. Все это помогает легко и прочно запомнить цифры.
Простые и доступные методики обучения
Существует множество эффективных методов, помогающих родителям понять, как научить ребенка составу числа до 10. Есть возможность выбрать для домашних занятий наиболее подходящую.
- Для облегчения подготовки к домашним занятиям можно приобрести материалы для дидактических игр, книги, обучающие предметы, мультики. Все они способствуют легкому обучению числам, составу числа, запоминанию и правильному применению. Все задания представлены в этих пособиях, родителям не надо ничего придумывать.
- Чтобы повторять школьные темы, можно воспользоваться наглядными примерами. Рекомендуется остаться с учеником в комнате вдвоем и спросить, сколько находится человек в помещении. Когда он скажет, что два, можно попросить других домочадцев по очереди входить в комнату. Пусть ребенок посчитает два плюс один и научится понимать, из чего состоит число три. Таким образом действовать дальше. Малыш должен видеть, как все происходит, почему меняются числа и как их можно складывать или вычитать.
- Для дошколят хорошо использовать игру со счетом шагов. К примеру, мама и дети отправились на прогулку. Нужно отмерять шагами расстояние и считать их по порядку. А затем возвращаться и считать шаги в обратной последовательности. Ребята быстро освоят это задание, а оно и является составом числа.
- Даже бытовые ситуации помогут выучить с ребенком состав числа. Например, попросить малыша накрыть стол к обеду, поставить 5 тарелок, столько же ложек, разложить по два куска хлеба. Если ребенок испытывает затруднения со счетом, нужно обязательно помочь ему сориентироваться, объяснить, почему нужно именно столько предметов.
- Счетные палочки помогут даже самым маленьким членам семьи научиться счету в пределах 10. Для этого следует положить на стол одну палочку, а затем попросить добавить определенное количество палочек, чтобы получилось пять. Примеры нужно постоянно усложнять, тренироваться не только увеличивать числа, но и уменьшать их.
Советы педагогов для правильного домашнего обучения
- Педагоги категорически не рекомендуют применять запись состава числа для дошкольников. Пока для них это трудно. Следует устно научить считать до 10. Желательно использовать для этого игрушки, окружающие вещи, столовые предметы, книги.
- На первом плане должны производиться действия с предметами, к примеру, был один кубик, к нему добавили еще один, стало их два, и так дальше.
- Рекомендуется как можно чаще спрашивать малыша о количестве предметов. Посчитать можно все, что находится рядом, даже ступеньки на лестнице при выходе из подъезда.
Важно! Ребенок должен четко уяснить, что каждое число меньше следующего на единицу и больше предыдущего на столько же.
Преподаватели в первом классе нередко используют классический прием для изучения цифр и чисел:
- сначала выходит один ученик и сообщает, что он первый вагон поезда;
- за ним выходит еще один и говорит, что он второй вагон;
- каждый раз проговаривается, что на один больше будет последующая цифра;
- и так дальше;
- затем вагоны называются в обратном порядке.
Основные рекомендации
- Родители должны осознать важность изучения состава чисел, в процессе домашних занятий соблюдать некоторые рекомендации специалистов, чтобы дошкольник мог спокойно освоить информацию и правильно применить ее. Естественно, не исключены кризисы в процессе, недопонимания, но все это проходит, а остаются знания, которые необходимы при школьном обучении.
- Нужно обязательно давать ребенку свободу. Родители часто предъявляют требования к чаду, которые не соответствуют его возможностям. Следует задуматься о запретах и наказаниях за незнание, выяснить, обоснованы ли они в действительности.
- Необходимо учитывать мнение ребенка. Нужно понимать, что у малыша существует собственная позиция по всем вопросам. Если учить ребенка насильно, то это не принесет желаемого эффекта. Приказной тон на занятиях попросту неуместен.
- Если малыш категорически отказывается учить цифры, то нужно поинтересоваться причинами этого. Вполне возможно, что он попросту боится расстроить родителей своим незнанием. Тогда хорошим выходом будет организация творческого процесса с привлечением всех домочадцев. Совместное изготовление пособий, рисунков из цифр, соревнования, кто быстрее назовет числа, напишет цифры, посчитает игрушки — сделает обучение легким и увлекательным.
- Необходимо всегда позитивно оценивать достижения малыша, демонстрировать доброжелательность, показывать поддержку в сложных ситуациях, совместно устранять ошибки, обсуждать варианты возможных решений. Главное дать понять ребенку, что у него все получится, по-другому и быть не может.
Родителям важно помнить, что домашние занятия не должны вызывать неприязнь у чада. Ребятишки воспринимают подачу информации лучше всего в игре. В начале школьного учения педагоги продолжают вести занятия именно в игровой форме. Это способствует легкому и быстрому восприятию математических знаний.
Состав числа до 20 — Развитие и обучение для детей Мама7я %
Состав числа до 20 распечатать
Как только ребенок освоил состав числа до 10 и закрепил полученные знания за несколько уроков, тогда можно смело переходить на новый этап — это изучение состава числа до 20.
Состав чисел до 20 таблица
Начнем изучение состава чисел до 20 с таблицы.
Таблица состава чисел до 20 представлена ниже.
Состав чисел до 20 таблицаСостав числа до 20 домики
Домики с составом числа до 20 отличные помощник в изучении этого вопроса.
Состав чисел до 20 таблица распечатать
Поиграйте в игру с ребенком: в каждом домике состава чисдо до 20 живут дружные соседи. Помоги каждому числу занять свое место.
Состав чисел до 20 1 класс
В 1 классе ученики разбирают состав числа до 20. Для успешной учебы и легкого дальнейшего изучения тем, можно освоить состав чисел до 20 еще до 1 класса.
Состав числа до 20 домики распечатать
Состав числа до 20 с домиками помогает легко освоить ребенку математический счет.
Состав числа до 20 распечатать 1 класс
Число 11 состоит из суммы следующих чисел: 9 и 2, 8 и 3, 7 и 4, 6 и 5.
Число 12 состоит из суммы следующих чисел: 9 и 3, 8 и 4, 7 и 5, 6 и 6.
Число 13 состоит из суммы следующих чисел: 9 и 4, 8 и 5, 7 и 6.
Число 14 состоит из суммы следующих чисел: 9 и 5, 8 и 6, 7 и 7.
Число 15 состоит из суммы следующих чисел: 9 и 6, 8 и 7.
Число 16 состоит из суммы следующих чисел: 9 и 7, 8 и 8.
Число 17 состоит из суммы следующих чисел: 9 и 8.
Число 18 состоит из суммы следующих чисел: 9 и 9.
Состав чисел до 20 1 класс таблица
Задание на состав чисел до 20: распределите числа правильно, чтобы получить сумму.
Составляем число 11 из чисел в таблице ниже.
□ + 3 = 11
□ + 9 = 11
□ + 8 = 11
4 + □ = 11
□ + 7 = 11
□ + 2 = 11
□ + 0 = 11
□ + 6 = 11
10 + □ = 11
□ + 1 = 11
□ + 5 = 11
Состав чисел до 20 тренажер
Составим число 12 и запишем верный ответ в пустые ячейки.
□ + 11 = 12
4 + □ = 12
□ + 6 = 12
10 + □ = 12
5 + □ = 12
□ + 3 = 12
□ + 7 = 12
1 + □ = 12
□ + 2 = 12
□ + 8 = 12
□ + 9 = 12
0 + □ = 12
Состав чисел до 20 таблица домики
Составляем число 13 и вписываем правильный ответ в домик.
□ + 8 = 13
□ + 4 = 13
3 + □ = 13
0 + □ = 13
□ + 2 = 13
10 + □ = 13
1 + □ = 13
7 + □ = 13
9 + □ = 13
□ + 11 = 13
5 + □ = 13
□ + 12 = 13
6 + □ = 13
Состав чисел до 20 таблица распечатать домики
Составляем число 14 из чисел и вписываем верный ответ в домик ниже.
□ + 8 = 14
1 + □ = 14
□ + 3 = 14
□ + 12 = 14
9 + □ = 14
□ + 2 = 14
5 + □ = 14
□ + 4 = 14
6 + □ = 14
□ + 13 = 14
□ + 10 = 14
11 + □ = 14
□ + 0 = 14
7 + □ = 14
Состав чисел от 11 до 20
Составим число 15 из подходящих чисел, верный ответ впишем в нужное место.
□ + 3 = 15
11 + □ = 15
□ + 10 = 15
4 + □ = 15
□ + 5 = 15
1 + □ = 15
□ + 2 = 15
8 + □ = 15
12 + □ = 15
14 + □ = 15
□ + 6 = 15
0 + □ = 15
13 + □ = 15
9 + □ = 15
7 + □ = 15
Состав чисел от 10 до 20
Состав числа 16 впишем в пустые клеточки.
□ + 0 = 16
□ + 7 = 16
□ + 2 = 16
□ + 3 = 16
15 + □ = 16
□ + 14 = 16
11 + □ = 16
1 + □ = 16
□ + 12 = 16
5 + □ = 16
13 + □ = 16
10 + □ = 16
□ + 8 = 16
4 + □ = 16
6 + □ = 16
□ + 9 = 16
Состав числа до 20 тренажер распечатать
Произведем расчет состава числа 17 в тенажер таблицу ниже.
□ + 1 = 17
8 + □ = 17
□ + 4 = 17
11 + □ = 17
3 + □ = 17
□ + 15 = 17
□ + 13 = 17
7 + □ = 17
16 + □ = 17
9 + □ = 17
□ + 12 = 17
2 + □ = 17
□ + 10 = 17
0 + □ = 17
6 + □ = 17
□ + 14 = 17
□ + 5 = 17
Состав числа до 20 домики тренажер
Состав числа до 18 сделаем через тренажер домик и заполним пустые ячейки.
□ + 13 = 18
□ + 16 = 18
5 + □ = 18
17 + □ = 18
□ + 14 = 18
□ + 8 = 18
□ + 3 = 18
10 + □ = 18
□ + 12 = 18
9 + □ = 18
1 + □ = 18
□ + 6 = 18
□ + 15 = 18
□ + 11 = 18
7 + □ = 18
0 + □ = 18
□ + 4 = 18
□ + 2 = 18
Состав чисел до 20 2 класс
Заполним таблицу состава числа 19 ниже.
14 + □ = 19
13 + □ = 19
□ + 10 = 19
0 + □ = 19
□ + 3 = 19
9 + □ = 19
7 + □ = 19
□ + 6 = 19
2 + □ = 19
5 + □ = 19
□ + 4 = 19
□ + 12 = 19
□ + 17 = 19
11 + □ = 19
□ + 16 = 19
8 + □ = 19
1 + □ = 19
□ + 18 = 19
□ + 15 = 19
Состав числа до 20 домики тренажер распечатать
Вставим в пустые ячейки правильное число, чтобы получить из этой суммы чисел состав числа 20.
□ + 2 = 20
□ + 6 = 20
□ + 9 = 20
0 + □ = 20
10 + □ = 20
□ + 11 = 20
□ + 12 = 20
□ + 3 = 20
□ + 7 = 20
13 + □ = 20
19 + □ = 20
□ + 14 = 20
5 + □ = 20
□ + 17 = 20
□ + 16 = 20
□ + 1 = 20
8 + □ = 20
□ + 15 = 20
□ + 18 = 20
□ + 4 = 20
Состав чисел от 1 до 20
Задания для изучения состава чисел до 20. Эти упражнения необходимо самим нарисовать и проделать задания вместе с ребенком. Создавая задания с нуля, вы заинтересуете ребенка изучением состава числа до 20 в игровой форме.
- Разложи перед собой на столе 10 карандашей и добавь еще 1 карандаш. Сколько карандашей ты видишь перед собой?
- Нарисуй 6 квадратов зеленого цвета и 6 квадратов синего цвета. Сколько квадратов получилось?
- Убери в коробку 8 игрушек, а потом еще 5. Сколько всего игрушек убрали в коробку?
Математика состав чисел до 20
- Построй башню из кубиков. Сначало поставь друг на друга 7 кубиков, а затем еще 7. Из скольки кубиков получилась башня.
- Нарисуй облако, а затем 9 капелек дождя. Дождик стал идти сильнее и нужно нарисовать еще 6 капель. Сколько капель дождя ты нарисовал?
- Сложи в тарелку 10 конфет, а потом добавь еще 6 конфет. Сосчитай, сколько теперь конфет лежит в тарелке?
Онлайн состав числа до 20
- Нарисуй на листе бумаги 8 кругов сверху и 9 снизу. Сколько всего кругов ты нарисовал на бумаге?
- Положи на стол слевой стороны 4 фломастера, а справой стороны 14 фломастеров. Сколько теперь фломастеров лежит на столе?
- Возьми в руки 6 листов бумаги, а затем возьми еще 13 листов. Посчитай, сколько теперь листов бумаги ты держишь в руках?
- Убери на книжную полку 10 книг и добавь к ним еще столько же. Сколько книг ты добавил на книжную полку?
Выучить состав числа до 20
Такие таблицы домики помогут выучить состав чисел до 20 через регулярную тренировку по таким тренажерам. Как только ребенок освоит и закрепит опрелеленный состав числа, только тогда можно приступать уже к изучению последующего состава чисел. Закрепление состава числа это важный этап формирования полученных знаний.
Картинка состав чисел до 20
Состав чисел до 20 домикиСостав числа от 11 до 20 распечатать
Для закрепления изученного материала по составу числа до 20 требуется ежедневная тренировка. В этом помогут материалы, которые можно всегда распечатать и приступить к повторению в удобное время.
Примеры состав числа до 20
Ниже представлены примеры состава числа до 20, которые помогут повторить полученные знания.
- 6 + 12 =
- 14 — 3 =
- 4 + 15 =
- 17 — 1 =
- 16 + 1 =
- 1 + 17 =
- 3 + 11 =
- 6 + 11 =
- 0 + 12 =
- 17 — 3 =
- 14 + 5 =
- 19 + 0 =
- 14 + 1 =
- 1 + 13 =
- 16 — 5 =
- 3 + 16 =
Состав чисел от 2 до 20
- 12 +2 =
- 15 — 4 =
- 17 — 7 =
- 20 — 0 =
- 11 + 4 =
- 4 + 13 =
- 13 + 1 =
- 16 — 6 =
- 20 — 9 =
- 14 — 4 =
- 5 + 13 =
- 0 + 15 =
- 17 + 1 =
- 13 — 2 =
- 4 + 12 =
- 0 + 14 =
- 14 + 3 =
- 13 + 3 =
- 20 — 5 =
- 16 — 4 =
- 12 — 0 =
- 4 + 11 =
- 16 + 3 =
- 13 + 6 =
Состав чисел до 20 домики в картинках
Соседи числа — Математические задания для детей
Соседи числа — это математические задания на закрепление знания порядкового счета. В этих заданиях ребенку нужно будет определить соседей для заданных чисел. Для этого ему нужно в уме представить числовой ряд от 0 до 10 и определить какие числа стоят до и после указанного в задании числа.
5.Скачать карточки «Соседи чисел»
Во вложениях внизу страницы вы можете скачать карточки «Соседи чисел» — 2 бланка одним файлом. Распечатать карточки на цветном принтере и получить дополнительное пособие для занятий с ребенком по математике на закрепление темы «Соседи чисел». После распечатки бланков, разрежьте каждый лист на 4 части и у вас получится 8 цветных карточек с заданиями для ваших малышей. Помимо того, что ребенку нужно будет написать в кружочках соседей чисел, ему необходимо дополнительно решить примеры в домиках на закрепление темы «Состав числа».
Карточки «Соседи чисел 2, 4, 6, 8.»
Карточки «Соседи чисел 3, 5, 7, 9.»
4.Помоги животным — Впиши соседей числа.
В четвертом задании ребенку нужно помочь животным: корове, лошадке, свинке, лисичке, овечке, волку, котенку, зайчику и вписать в окошки домиков соседей десяти чисел. После того, как малыш выполнит восемь заданий, попросите его назвать общего соседа чисел 1 и 3, 5 и 7, 8 и 10, 6 и 8, 2 и 4, 3 и 5, 4 и 6, 7 и 9.
Соседи числа — Знаешь ли ты порядковый счет?
В первом задании нарисована деревня, в которой множество домов. Но каждый домик не одинок, он имеет своих соседей. Соседи числа — это и есть соседи каждого домика, который находится в центре. Ребенку нужно определить каждого соседа центрального домика, представив в уме математический числовой ряд до 10, а затем вписать эти числа справа и слева (клетки с точками). Под первым рядом домиков расположены числа, из которых и нужно выбрать соседей. (Хотя можно и не смотреть на эти числа, так как они не являются числовым рядом порядкового счета).
Если у ребенка возникают сложности с заданием и он не может визуально представить себе порядковый счет от 0 до 10, то сделайте ему лист-подсказку, на котором напишите по порядку числа до 10. Пусть ребенок подсматривает в него до тех пор, пока не выучит наизусть.
Во втором задании мы еще раз проверяем навыки счета — здесь нужно посчитать предметы в каждой картинке и обвести соответствующее число.
Скачать задания в картинках — Соседи числа — Знаешь ли ты порядковый счет? — вы можете во вложениях внизу страницы
Найди состав чисел и соседей числа в домиках
В первом задании нарисованы многоэтажные домики, на крыше которых написано число. Ребенку нужно определить состав этого числа, учитывая что одно из чисел уже указано на каждом этаже. Осталось дописать второе число в пустые клетки.
Во втором задании нужно определить соседей числа и вписать в пустые клетки полученные числа. После выполнения задания можно раскрасить картинки.
Скачать задания «Соседи числа» (цветная и черно-белая картинки) вы можете во вложениях внизу страницы.
Числовые домики — Состав чисел от 2 до 9
Следующее пособие поможет малышу закрепить знания состава чисел от 2 до 9 с помощью восьми многоэтажных домиков, в окошки которых ребенок будет вписывать недостающие числа. На домиках сверху написаны числа, состав которых необходимо разместить на каждом этаже в двух окошках. Имея первое слагаемое, изображенное в 1 окошке, ребенку нужно вспомнить и дописать в соседнем — второе.
Рядом с домиками малыш найдет различные предметы, количество которых соответствует цифре, указанной на домике.
Скачать задание — Числовые домики — вы можете во вложениях внизу страницы
Также вы можете скачать и другие математические задания в картинках:
Задания по математике для дошкольников — В картинках
Задания по математике для дошкольников, представленные в этом материале, помогут вам разнообразить свои занятия с детьми, обучая их самым основным математическим понятиям.
Примеры по математике — 1 класс — Распечатать в картинках
Здесь вы можете найти примеры по математике (1 класс), распечатать на принтере и использовать в качестве учебного материала на уроках математики или в детских садах на этапе подготовки к поступлению в школу.
Математические задания для 1 класса — В картинках для печати
Математические задания для 1 класса — это яркие красочные картинки с развивающими упражнениями по математике, включающие в себя разнообразные игровые задания для детей.
Задачи по математике — 1 класс. Распечатать в картинках
Здесь вы найдете увлекательные задачи по математике (1 класс) в картинках, которые научат детей мыслить логически и выполнять простые математические действия.
Разделить поровну предметы — Математические картинки
Здесь вы можете посмотреть и скачать красочные картинки задания, в которых нужно разделить поровну различные предметы. Такие занятия подготавливают детей к одному из сложных математических выражений — делению.
Задания с раскрасками — Порядковый счет до 10
В этих интересных заданиях дети узнают, что такое порядковый счет до 10. А те, кто уже знакомы с этим понятием, могут показать свои знания с помощью данного упражнения.
Устный счет в пределах 10 — Картинки с заданиями
Здесь мы подготовили для вас устный счет в пределах 10 в виде математических заданий в картинках. Данные задания формируют у детей навыки счета и способствуют более эффективному обучению простых математических действий.
Состав числа до 20 — Распечатать числовую таблицу
Здесь вы можете состав числа до 20 распечатать в виде числовой таблицы и дать ребенку для заполнения. Такое занятие прекрасно тренирует навыки счета дошкольников, а также приучает решать примеры до 20.
Названия геометрических фигур — Картинки с заданиями
Здесь вы с ребенком можете изучить геометрические фигуры и их названия с помощью веселых заданий в картинках.
А еще вы можете поиграть в математические игры онлайн от лисенка Бибуши:
Игра «Счет от 1 до 10 — Посчитай картинки и выбери число»
В этой игре малыш должен посчитать количество предметов на игровом экране и нажать на соответствующее число. После этого он увидит и услышит порядковый счет до данного числа.
Игра «Найди числа на картинке» для малышей от 4 лет
Здесь ребенку нужно быть внимательным, чтобы найти все спрятанные числа на картинке. В игре также используется порядковый счет.
Математическая игра «Найди наибольшее и наименьшее число»
В этой игре ребенку необходимо выбрать среди предложенных чисел самое большое или самое маленькое.
Игра «Сложение и вычитание до 10» — Задачки в картинках
Представляем вашему вниманию еще одну развивающую математическую игру «Сложение и вычитание до 10» для детей раннего возраста от Лисенка Бибуши
Задачи-примеры для малышей в картинках
Математическая онлайн игра «Задачи-примеры для малышей в картинках» состоит из восьми задачек и подойдет детям, которые учатся считать до 10.
Состав числа 10 — домики распечатать
На чтение 4 мин Просмотров 10.1к. Опубликовано Обновлено
Изучение и закрепление счета до 10, состава чисел до 10 – один из основных разделов в дошкольном образовании ребенка. К 5-6 годам с детьми желательно освоить:
- устный счет до 10,
- устный обратный счет от 10,
- пересчет предметов,
- ценность денег, понимание разницы между банкнотами и монетами,
- написание цифр до 10,
- состав числа до 10.
В ходе обучения удобно использовать любой счетный материал: счетные палочки, кубики, колечки пирамидки, камешки, бумажки, монеты, счеты, ПАЛЬЦЫ, карточки и тренажеры.
Различные тренажеры для изучения и закрепления состава числа до 10 для бесплатного скачивания и распечатывания в личных целях будут представлены ниже.
Также, вас могут заинтересовать карточки для изучения счета до 20.
Распечатать тренажер Домики
Карточки необходимо распечатать и разрезать (помощь ребенка приветствуется). Далее необходимо попросить ребенка выкладывать карточки для получения определенной комбинации. В зависимости от возраста ребенка, можно сначала изучить состав числа 5, например.
Как легко и просто сделать все бумажные пособия многоразовыми и крепкими – читайте здесь.
Не делайте задачу линейной, это ведет к бессмысленной зубрежке. Если наш тренажер создан для закрепления числа 10, это не значит, что вы не можете использовать его для заданий на состав чисел 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С такими заданиями ваши математические занятия будут полноценными и развивающими.
Плакат 30*50 см Состав числа
Тренажер Паровозик
В этом задании необходимо заполнить пропуски в окошках поезда.
Если ребенок любит вырезать и клеить, можно предложить вырезать поезд и его вагончики и расположить их в правильной последовательности.
Тренажеры-таблицы на счет до 10
Тренажер-мемори для закрепления счета до 10
В отличие от классического мемори, в этом задании нужно соотносить не одинаковые картинки, а цифру и количество предметов, ей соответствующее.
Впрочем, если распечатать 2 комплекта карточек, можно играть в привычном варианте, открывая одинаковые картинки и одинаковые цифры – такое математическое мемори тоже будет полезно.
Состав числа 10: динозаврики в яйце
Смогут ли ваши дети тщательно подсчитать детенышей динозавров и сопоставить их с правильной половинкой яйца? Есть только один способ это выяснить… Распечатайте карточки, вырежьте их с помощью детей или без. Играйте и развивайтесь!
С помощью динозавриков вы совершенствуете у детей: навыки подсчета, навыки распознавания цифр, упорядочивание чисел, субитизацию (это способность быстро распознать количество вещей при взгляде на них).
Считаем до 10 рыбок в аквариуме
Изучать состав числа 10 очень забавно с крекерами-рыбками. Распечатайте эти шаблоны – они активно задействуют сенсорику при изучении математических основ, что хорошо закрепляет знания в памяти.
Итак, на распечатанных шаблонах ребенку необходимо: положить нужное количество рыбок-крекеров в аквариум, под аквариум положить по же число “икринок” из пластилина, выложить цифру из пластилина и написать ее в специальной секции в верхнем правом углу.
Распечатывайте различные карточки и тренажеры для наглядного обучения дошкольников. Но не забывайте и про самые доступные методы: подсчет пальчиков, разглядывание номеров домов и машин на прогулке, пересчет игрушек в песочнице и тарелок при сервировке стола.
Не прекращайте развитие дошколенка в повседневной жизни, и не превращайте его в унылое обучение только лишь по бумажкам от звонка до звонка – все это еще ждет вашего ребенка впереди.
Учим цифры до 10
Специальные задания помогают детям связать цифру с определенным символом-образом. Это важно для дошкольников, ведь они лучше запоминают то, что почувствовали. Поэтому многие математические задания задействуют сенсорику ребенка.
Здесь: скачать красочные задания для дошкольников по математике.
Математика / 6 лет / Состав чисел в пределах 10
Математические основы для дошкольниковШесть лет – важный и любознательный возраст для малыша. Именно сейчас его мозг вступает в активную фазу и готов усваивать максимальное количество полезной информации. В этом возрасте особенно важно предоставить ему необходимое количество занятий по самым разнообразным дисциплинам. За год до поступления в общеобразовательную школу необходимо максимально подготовить ребёнка к основным учебным дисциплинам.
Задача родителей – подобрать программу занятий, которые смогут максимально полно раскрыть все необходимые для изучения разделы знаний. Наши уникальные онлайн–программы смогут помочь Вам в этом не простом деле. Все они разрабатывались командой профессиональных методистов, которые в своей работе консультировались с детскими психологами и педагогами младших классов. В итоге мы получили эксклюзивную онлайн–программу обучения, которая соответствует всем возрастным, эмоциональным и прочим потребностям современного поколения.
Весёлые числаМатематика является основой всех прочих наук. Знакомить с ней малышей следует с самого раннего возраста, чтобы впоследствии у них не возникало трудностей в обучении. В самом юном возрасте, они начинают изучать числа и их знаковое обозначение – цифры. Далее идёт счёт до десяти и простые математические действия. Очень важно, чтобы ребёнок понимал из чего состоит то или иное число. Благодаря таким знаниям, он с лёгкостью сможет продолжить обучение в общеобразовательной школе на должном уровне.
Наша онлайн–программа занятий «Состав чисел в пределах 10» для 6 лет легко и просто донесёт основные правила по данному разделу до Вашего дошкольника. Здесь Вы найдёте красочный дидактический материал, который в игровой форме расскажет ребёнку основные принципы составление того или иного числа. Именно благодаря теоретической части с яркими иллюстрациями, красочными примерами и отличными аудио материалами, Ваш малыш без труда запомнит основные правила составлении чисел.
В данном разделе происходит знакомство ребенка с такими понятиями, как состав числа, одинаковые части числа и многими другими. На иллюстрациях, которые мы подготовили для него, без труда можно понять, как строится состав числа. А наши числовые домики и паровозики особенно понравятся маленьким исследователям.
После теоретической части следуют интерактивные задания. Именно с их помощью, ребёнок без труда научится применять полученные знания на практике. Выполняйте их вместе, превращая данное действие в увлекательную совместную игру. При таком подходе, первые положительные результаты не заставят себя ждать.
В данной онлайн–программе занятий Вы найдёте:
•Теоретическую часть с основными принципами и правилами оп заданной теме, яркими иллюстрациями и красочными примерами;
•Интерактивные тестирования, представленные в игровом формате, что соответствует возрастным особенностям дошкольника;
•Систему поощрения, которая способна мотивировать ребёнка на выполнение большего объёма заданий;
•Статистику успеваемости, которая наглядно показывает каких успехов успел добиться Ваш малыш, а над чем стоит поработать дополнительно.
Пройдя весь курс целиком, Вы сможете отметить положительную динамику в развитии Вашего ребёнка. И речь идёт не только о его подготовке к школе. Уже давно доказано, что изучение математики развивает логику, мышление, память и нестандартное видение ситуации у человека. Такие качества обязательно помогут ему как в учёбе, так и в жизни.
Преимущества онлайн–программ
Многие родители высказываются против того, чтобы разрешать своему дошкольнику заниматься за компьютером. Однако, просто невозможно игнорировать тот факт, что современное поколение проявляет повышенный интерес к техническому прогрессу. Мы решили обернуть его им на пользу. Если ребёнок просит поиграть на компьютере, то гораздо лучше если это будут образовательные интерактивные тестирования, которые представлены в игровой форме. Ребенок останется в восторге, потому что он сможет проводить время за компьютером играя, но при этом его мозг будет запоминать все основные правила по выбранной Вами дисциплине. Такой вариант кажется нам оптимальным.
Более того, именно за счёт того, что наши курсы можно проходить онлайн, Вы больше не привязаны к месту и времени занятия. Вы можете заниматься развитием своего чада из любой точки планеты, где бы Вы не находились. Также можно выполнять задания стоя в пробках, сидя в очередях или даже на отдыхе. Больше нет предела для получения новых знаний.
Множество семей по всему миру уже смогли оценить преимущества наших онлайн–курсов. Присоединяйтесь и Вы, чтобы уже завтра радоваться первым достижениям в учёбе Вашего малыша!
И это всё о нас…: Онлайн-тренажеры по математике
Тренажер по математике для автоматизации счета. Решаем примеры на время. Есть счетчик правильных ответов.
Игра помогает наглядно представить состав числа 5. Считаем, сколько лампочек из 5 горит, а сколько — не горит. В конце игры самостоятельно зажигаем и гасим лампочки!
Интерактивное наглядное пособие для изучения состава числа. Считаем лампочки и учим состав числа 6.
Учим состав числа 6 с интерактивными числовыми домиками.
Тренажер для закрепления состава числа 6. Содержит 40 примеров и 40 уравнений. Счетчик правильных ответов. Игра способствует автоматизации счета, увеличивает скорость вычислительных процессов.
Тренажер для закрепления состава чисел от 5 до 10
В этой игре 10 примеров на вычитание от 1 до 10. Движущиеся и падающие яблочки на яблоне подсказывают ребенку суть математического действия вычитания. Играя в математические онлайн-игры, ребенок быстрее научится считать. Игра подходит для подготовки к школе.
В этой математической онлайн-игре 10 примеров, но без подсказок, как в первом уровне. Игра также подходит для подготовки к школе.
Сложение и вычитание чисел от 1 до 10 — онлайн тренажер Математический тренажер для тренировки устного счета в пределах десяти. В тренажере 100 примеров, некоторые из которых повторяются несколько раз. Как правило это примеры на сложение и вычитание, наиболее часто вызывающие затруднения. Еще один математический тренажер для автоматизации счета в пределах 10. Тренажер содержит 100 примеров, немного посложнее, чем первый.
В этой игре мы будем сравнивать числа до 10 и числовые выражения. Нужно выбрать и нажать правильный знак — >, <, или =.
В эту игру могут играть не только первоклашки, её можно использовать и для подготовки к школе.
Тренажер по математике, в котором можно потренироваться складывать числа с переходом через десяток в пределах от 1 до 20. Вам не придется придумывать примеры и проверять их, программа все сделает сама.
Интерактивный тренажер поможет потренироваться правильно раскладывать вычитаемое. Перетаскивайте цифры в пустые окошки, затем нажмите кнопку «Проверить». Впрочем, при правильном ответе переход слайда произойдет автоматически.
Числа представлены в виде ряда шариков, в каждом ряду — 10 ячеек. При складывании мы «занимаем» шарики из второго слагаемого, дополняя первое слагаемое до 10, а затем прибавляем оставшуюся часть.
В этой математической игре мы будем решать примеры в два действия с переходом через десяток, в пределах от 1 до 20.
Эта игра поможет вашему ребенку потренироваться в решении таких примеров. Игру можно также использовать и для подготовки к школе. Нужно нажать кнопку с правильной цифрой. В игре имеется счетчик неправильных ответов.
В первом классе примеры часто представлены в виде схем со стрелками. Подобные схемы составляются и к задачам. Попробуйте порешать уравнения, представленные в виде схем в нашей игре. Необходимо нажать нужную цифру. Имеется счетчик неправильных ответов.
Типы чисел — различие и классификация
Можете ли вы представить, какой была бы ваша жизнь, если бы у вас не было возможности представить возраст, вес, дни рождения, время, результаты, банковские счета и номера телефонов? Десять математических цифр (от 0 до 9) используются для определения всех этих величин.
Числа — это цепочки цифр, используемые для представления количества. Величина числа указывает размер количества. Он может быть как большим, так и маленьким. Они существуют в разных формах, например, 3, 999, 0.351, 2/5 и т. Д.
Типы чисел в математике
Так же, как разные члены семьи живут в разных домах, разные числа принадлежат к одной семье, но имеют разные типы. Со временем различные комбинации десяти цифр были классифицированы на множество типов чисел. Эти шаблоны чисел отличаются друг от друга из-за разных представлений и свойств.
Натуральные числа
Натуральные числа или счетные числа — это самые основные типы чисел, которые вы впервые выучили в раннем детстве.Они начинаются с 1 и уходят в бесконечность, то есть 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее. Их также называют положительными целыми числами. В установленном виде они могут быть записаны как:
{1, 2, 3, 4, 5,…}
Натуральные числа представлены символом N .
Целые числа
Целые числа — это набор натуральных чисел, включая ноль. Это означает, что они начинаются с 0 и увеличиваются до 1, 2, 3 и так далее, т.е.
{0, 1, 2, 3, 4, 5,…}
Целые числа представлены символом W .
Целые числа
Целые числа — это совокупность всех целых чисел и отрицательных чисел натуральных чисел. Они содержат все числа, лежащие между отрицательной бесконечностью и положительной бесконечностью. Они могут быть положительными, нулевыми или отрицательными, но не могут быть записаны в десятичной или дробной форме. Целые числа могут быть записаны в виде набора как
{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}
Мы можем сказать, что все целые числа и натуральные числа являются целыми, но не все целые числа — это натуральные или целые числа.
Символ Z представляет целые числа.
Дроби
Дробь представляет собой части целого куска. Его можно записать в виде a / b , где a и b — целые числа, а b никогда не может быть равным 0. Все дроби являются рациональными числами, но не все рациональные числа являются дробями. .
Далее дроби сокращаются до правильных и неправильных дробей. Неправильные дроби — это дроби, в которых числитель больше знаменателя, в то время как для правильных функций верно обратное, т.е.е., знаменатель больше числителя. Примеры правильных дробей: 3/7 и 99/101, а 7/3 и 101/99 — неправильные дроби. Это означает, что неправильные дроби всегда больше 1.
Все завершающие десятичные дроби и повторяющиеся десятичные дроби могут быть записаны как дроби. Вы можете записать завершающую десятичную дробь 1,25 как 125/100 = 5/4. Повторяющееся десятичное число 0,3333 можно записать как 1/3.
Рациональные числа
Вы можете записывать рациональные числа в форме дробей. Слово «рациональный» происходит от слова «соотношение», поскольку рациональные числа — это отношения двух целых чисел.Например, 0,7 — рациональное число, потому что его можно записать как 7/10. Другими примерами рациональных чисел являются -1/3, 2/5, 99/100, 1,57 и т. Д.
Рассмотрим рациональное число p / q , где p и q — два целых числа. Здесь числитель p может быть любым целым числом (положительным или отрицательным), но знаменатель q никогда не может быть 0, поскольку дробь не определена. Кроме того, если q = 1, то дробь является целым числом.
Символ Q представляет рациональные числа.
Иррациональные числа
Иррациональные числа не могут быть записаны в дробной форме, т.е.они не могут быть записаны как отношение двух целых чисел. Вот несколько примеров иррациональных чисел: √2, √5, 0,353535…, π и так далее. Вы можете видеть, что цифры в иррациональных числах продолжаются до бесконечности без повторяющегося шаблона.
Символ Q обозначает иррациональные числа.
Действительные числа
Действительные числа — это совокупность всех рациональных и иррациональных чисел. Сюда входят все числа, которые можно записать в десятичной форме.Все целые числа являются действительными числами, но не все действительные числа являются целыми числами. Действительные числа включают в себя все целые числа, целые числа, дроби, повторяющиеся десятичные дроби, завершающие десятичные дроби и т. Д.
Символ R представляет действительные числа.
Мнимые числа
Не действительные числа, а мнимые или комплексные числа. Когда мы возводим в квадрат мнимое число, это дает отрицательный результат, что означает, что это квадратный корень из отрицательного числа, например, √-2 и √-5. Когда мы возводим эти числа в квадрат, получаем -2 и -5.Квадратный корень из отрицательной единицы представлен буквой i , т.е.
i = √-1
Пример 1
Что такое квадратный корень из -16? Запишите свой ответ, используя воображаемое число i .
Решение
- Шаг 1. Запишите форму квадратного корня.
√ (-16)
√ (16 × -1)
- Шаг 3. Разделите квадратные корни.
√ (16) × √ (-1)
- Шаг 4: Найдите квадратный корень.
4 × √ (-1)
- Шаг 5: Запишите в виде i.
4 i
Иногда вы получаете мнимое решение уравнений.
Пример 2
Решите уравнение,
x 2 + 2 = 0
Решение
- Шаг 1. Возьмите постоянный член с другой стороны уравнения.
x 2 = -2
- Шаг 2: извлеките квадратный корень с обеих сторон.
√ x 2 = + √-2 или -√-2
x = √ (2) × √ (-1)
x = + √2 i или -√2 i
- Шаг 4. Проверьте ответы, подставив значения в исходное уравнение, и посмотрите, получим ли мы 0.
x 2 + 2
(+ √2 i ) 2 + 2 = -2 + 2 = 0 (поскольку i = √-1 и квадрат i равен -1)
(-√2 i ) 2 + 2 = — 2 + 2 = 0 (поскольку i = √-1 и квадрат i равен -1)
То, что их имя «воображаемое» не означает, что они бесполезны.У них много приложений. Одно из самых больших применений мнимых чисел — их использование в электрических цепях. Вычисления силы тока и напряжения производятся в виде мнимых чисел. Эти числа также используются в сложных вычислительных вычислениях. В некоторых местах мнимое число также обозначается буквой j .
Комплексные числа
Мнимое число комбинируется с действительным числом, чтобы получить комплексное число. Оно представлено как a + bi , где действительная часть и b являются комплексной частью комплексного числа.Действительные числа лежат на числовой прямой, а комплексные — на двумерной плоскости.
Подобно мнимым числам, комплексные числа тоже не бесполезны. Они используются во многих приложениях, таких как «Сигналы и системы» и «Преобразование Фурье».
Простые числа и составные числа
Простые и составные числа противоположны друг другу. Простые числа — это целые числа без факторов, кроме них самих и 1, например 2, 3, 5, 7 и т. Д.Число 4 не является простым числом, потому что оно делится на 2. Аналогично, 12 также не является простым числом, потому что оно делится на 2, 3 и 4. Следовательно, 4 и 12 являются примерами составных чисел.
Трансцендентные числа
Числа, которые никогда не могут быть нулем (или корнем) полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами, называются трансцендентными числами. Не все иррациональные числа являются трансцендентными числами, но все трансцендентные числа являются иррациональными числами.
Классификация чисел
Семейство чисел, которое мы видели выше, также можно разделить на разные категории. Это похоже на то, что в семье 20 человек, но они живут в двух совместных семейных домах по 10 человек в каждом, что означает, что 10 человек живут в одном доме. Мы можем сказать, что два или более типа чисел могут подпадать под одну категорию.
Дискретные и непрерывные числа
Типы счетных чисел называются дискретными числами, а типы чисел, которые не могут быть подсчитаны, называются непрерывными числами.Все натуральные, целые, целые и рациональные числа дискретны. Это потому, что каждый их набор является счетным. Набор действительных чисел слишком велик и не может быть посчитан, поэтому классифицируется как непрерывные числа. Если мы случайным образом возьмем два ближайших действительных числа, между ними все равно будет существовать бесконечно больше вещественных чисел; следовательно, их нельзя сосчитать.
Наборы номеров
Номера также можно классифицировать в виде наборов. Каждый тип числа является подмножеством другого типа числа.Например, натуральные числа — это подмножество целых чисел. Точно так же целые числа — это подмножество целых чисел. Набор рациональных чисел содержит все числа и дроби. Наборы рациональных чисел и иррациональных чисел образуют действительные числа. Действительные числа относятся к комплексным числам с мнимой частью как 0. Мы можем классифицировать эти числа в иерархической диаграмме, как показано ниже:
Натуральные числа могут быть далее уменьшены до четных, нечетных, простых, простых, составных и точных квадратов. числа.
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урокЧто такое составные числа и как их идентифицировать?
Что такое составные числа? В чем разница между составными числами и простыми числами? Если вы хотите узнать больше о классификации чисел, вы попали в нужное место. Вот некоторые из ответов на часто задаваемые вопросы о составных числах.
По Индии Изображение
Что такое составные числа?
Составные числа — это целые числа, у которых есть как минимум три множителя.Простые числа имеют два фактора: один и само. Например, единственными множителями для 2 являются 1 и 2 (1 x 2). Однако у 4 есть 3 фактора: 1, 2 и 4 (1 x 4 и 2 x 2). Если вы хотите определить, является ли число простым или составным, вы должны выяснить, сколько факторов у этого числа.
Какие числа являются составными?
От 1 до 100 следующие составные числа:
4, 6, 8, 9, 10
12, 14, 15, 16, 18, 20
21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30
32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40
42, 44, 45, 46, 48, 49, 50
51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60
62 , 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70
72, 74, 75, 76, 77, 78, 80
81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90
91, 92, 94 , 95, 96, 98, 99, 100
Как проверить составные числа?
Лучший способ выяснить, составное ли это число — выполнить тест на делимость.Для этого вам следует проверить, можно ли разделить число на следующие общие множители: 2, 3, 5, 7, 11 и 13. Если число четное, начните с числа 2. Если число заканчивается с 0 или 5 попробуйте разделить на 5. Если число не может быть разделено ни на одно из этих 6 чисел, то это, скорее всего, простое число.
Проверьте свои навыки с помощью теста на делимость, используя следующие 4 примера:
243
Поскольку число заканчивается на 3, мы знаем, что это не четное число.Следовательно, оно не делится на 2. Кроме того, оно не заканчивается на 0 или 5, поэтому оно также не делится на 5. Итак, мы можем перейти к следующему наименьшему числу: 3.
243/3 = 81
Поскольку число состоит из более чем двух факторов, мы знаем, что это составное число. Множители 243 равны 1, 3, 8, 27, 81, 243 (1 x 243, 3 x 81, 9 x 27).
283
Выполняя тест на делимость с 283, мы находим, что
283/2 = 141,5
283/3 = 94,33
283/5 = 56,6
283/7 = 40.43
283/11 = 25,72
283/13 = 21,76
Поскольку частные не являются целыми числами, мы можем с уверенностью сказать, что 283 — простое число.
187
Мы можем исключить 2 и 5 как множители для 187. Затем мы переходим к остальным числам. Получаем следующие частные:
187/3 = 62,33
187/7 = 26,71
Затем мы переходим к 11 и находим 187/11 = 17. Множители 187 равны 1, 11, 17 и 187, так что это составное число.
113
Еще раз, число нечетное и не заканчивается на 0 или 5.Мы можем попытаться умножить его на 3, 7, 11 и 13, но в итоге получим остаток или десятичную точку. Поскольку других целочисленных множителей нет, единственными множителями являются 1 и 113, что делает его простым числом.
Итак, что такое составные числа? Составные числа — это целых чисел, которые имеют не менее трех множителей . Выполнение теста на делимость поможет вам определить, является ли число простым или составным.
О Джейми Гудвине
Джейми окончил Университет Бригама Янга в Айдахо по специальности «Английское образование».Она провела несколько лет, обучая и обучая учеников начальной, средней школы и колледжа. В настоящее время она работает автором контракта и разработчиком учебных программ для онлайн-курсов. В свободное время она любит бегать и проводить время со своими мальчиками!простых чисел — почему они такие захватывающие? · Границы для молодых умов
Аннотация
Простые числа привлекали человеческое внимание с первых дней цивилизации.Мы объясняем, что они из себя представляют, почему их исследования волнуют и математиков, и любителей, а по пути мы открываем окно в мир математиков.
С самого начала истории человечества простые числа вызывали у людей любопытство. Кто они такие? Почему вопросы, связанные с ними, так сложны? Одна из самых интересных особенностей простых чисел — это их распределение среди натуральных чисел. В маленьком масштабе появление простых чисел кажется случайным, но в большом — закономерность, которая до сих пор не до конца понятна.В этой короткой статье мы попытаемся проследить историю простых чисел с древних времен и использовать эту возможность, чтобы погрузиться в мир математиков и лучше понять его.
Составные числа и простые числа
Вы когда-нибудь задумывались, почему день делится ровно на 24 часа, а круг — на 360 градусов? Число 24 имеет интересное свойство: его можно разделить на целых равных частей относительно большим количеством способов. Например, 24 ÷ 2 = 12, 24 ÷ 3 = 8, 24 ÷ 4 = 6 и так далее (оставшиеся варианты заполните самостоятельно!).Это означает, что день можно разделить на две равные части по 12 часов каждая, дневную и ночную. На фабрике, которая работает без перерыва в 8-часовые смены, каждый день делится ровно на три смены.
Это также причина, по которой круг был разделен на 360 °. Если круг разделен на две, три, четыре, десять, двенадцать или тридцать равных частей, каждая часть будет содержать целое число градусов; и есть дополнительные способы разделения круга, о которых мы не упомянули. В древности деление круга на сектора равного размера с высокой точностью было необходимо для различных художественных, астрономических и инженерных целей.Поскольку циркуль и транспортир были единственными доступными инструментами, деление круга на равные секторы имело большое практическое значение. 1
Целое число, которое может быть записано как произведение двух меньших чисел, называется составным числом . Например, уравнения 24 = 4 × 6 и 33 = 3 × 11 показывают, что 24 и 33 — составные числа. Число, которое не может быть разбито таким образом, называется простым числом . Цифры
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и 29
— все простые числа.Фактически, это первые 10 простых чисел (при желании вы можете проверить это сами!).
Глядя на этот короткий список простых чисел, можно уже сделать несколько интересных наблюдений. Во-первых, за исключением числа 2, все простые числа нечетные, так как четное число делится на 2, что делает его составным. Таким образом, расстояние между любыми двумя простыми числами в строке (называемыми последовательными простыми числами) составляет не менее 2. В нашем списке мы находим последовательные простые числа, разность которых равна точно двум (например, пары 3,5 и 17, 19).Между последовательными простыми числами также есть большие промежутки, например, промежуток из шести чисел между 23 и 29; каждое из чисел 24, 25, 26, 27 и 28 является составным числом. Еще одно интересное наблюдение заключается в том, что в каждой из первой и второй групп по 10 чисел (то есть от 1–10 до 11–20) есть четыре простых числа, а в третьей группе из 10 (21–30) их всего два. Что это значит? Становятся ли простые числа реже по мере их роста? Может ли кто-нибудь пообещать нам, что мы сможем находить все больше и больше простых чисел бесконечно?
Если на этом этапе вас что-то волнует, и вы хотите продолжить изучение списка простых чисел и вопросов, которые мы подняли, это означает, что у вас душа математика.Останавливаться! Не продолжайте читать! 2 Возьмите карандаш и лист бумаги. Напишите все числа до 100 и отметьте простые числа. Проверьте, сколько пар с разницей в два есть. Проверьте, сколько простых чисел содержится в каждой группе из 10. Можете ли вы найти какие-нибудь закономерности? Или список простых чисел до 100 кажется вам случайным?
Немного истории и понятие теоремы
Простые числа привлекали человеческое внимание с древних времен и даже ассоциировались со сверхъестественным.Даже сегодня, в наше время, есть люди, пытающиеся наделить простые числа мистическими свойствами. Известный астроном и научный писатель Карл Саган написал в 1985 году книгу под названием «Контакт», посвященную инопланетянам (человекоподобная культура за пределами Земли), пытающимся общаться с людьми, используя простые числа в качестве сигналов. Идея о том, что сигналы, основанные на простых числах, могут служить основой для общения с инопланетными культурами, по сей день продолжает будоражить воображение многих людей.
Принято считать, что серьезный интерес к простым числам возник еще во времена Пифагора. Пифагор был древнегреческим математиком. Его ученики, пифагорейцы, отчасти ученые, а отчасти мистики, жили в шестом веке до нашей эры. Они не оставили письменных свидетельств, и то, что мы знаем о них, исходит из устных рассказов. Триста лет спустя, в третьем веке до нашей эры, Александрия (в современном Египте) была культурной столицей греческого мира. Евклид (рис. 1), живший в Александрии во времена Птолемея Первого, может быть известен вам из евклидовой геометрии, названной в его честь.Евклидова геометрия преподается в школах более 2000 лет. Но Евклида также интересовали числа. В девятой книге его работы «Элементы» в предложении 20 впервые появляется математическое доказательство теоремы о том, что существует бесконечно много простых чисел.
- Рисунок 1
- Люди, стоящие за простыми числами.
Это хорошее место, чтобы сказать несколько слов о концепциях теоремы и математического доказательства.Теорема — это утверждение, которое выражено на математическом языке, и можно с уверенностью сказать, что оно действительное или недействительное. Например, теорема «существует бесконечно много простых чисел» утверждает, что в системе натуральных чисел (1,2,3…) список простых чисел бесконечен. Точнее, эта теорема утверждает, что если мы напишем конечный список простых чисел, мы всегда сможем найти другое простое число, которого нет в списке. Чтобы доказать эту теорему, недостаточно указать дополнительное простое число для конкретного заданного списка.Например, если мы укажем 31 как простое число за пределами списка первых 10 простых чисел, упомянутого ранее, мы действительно покажем, что этот список не включал все простые числа. Но, может быть, добавив 31, мы нашли все простые числа, и их больше нет? Что нам нужно сделать — и то, что сделал Евклид 2300 лет назад, — это представить убедительный аргумент, почему для любого конечного списка , каким бы длинным он ни был, мы можем найти простое число, которое в него не входит. В следующем разделе мы представим доказательство Евклида, не обременяя вас излишними подробностями.
Доказательство Евклида существования бесконечного множества простых чисел
Чтобы доказать, что существует бесконечно много простых чисел, Евклид использовал другую основную теорему, которая была ему известна, а именно утверждение, что « каждое натуральное число может быть записано как произведение простых чисел ». Убедиться в истинности этого последнего утверждения легко. Если вы выберете несоставное число, оно само будет простым. В противном случае вы можете записать выбранное вами число как произведение двух меньших чисел.Если каждое из меньших чисел является простым, вы выразили свое число как произведение простых чисел. Если нет, запишите меньшие составные числа как произведения еще меньших чисел и т. Д. В этом процессе вы продолжаете заменять любые составные числа произведением меньших чисел. Поскольку невозможно делать это вечно, этот процесс должен завершиться, и все меньшие числа, которые вы получите, больше не могут быть разбиты, то есть они являются простыми числами. В качестве примера давайте разберем число 72 на простые множители:
72 = 12 × 6 = 3 × 4 × 6 = 3 × 2 × 2 × 6 = 3 × 2 × 2 × 2 × 3.
Основываясь на этом основном факте, мы можем теперь объяснить прекрасное доказательство Евклида бесконечности множества простых чисел. Мы продемонстрируем эту идею, используя список из первых 10 простых чисел, но заметим, что эта же идея работает для любого конечного списка простых чисел. Умножим все числа в списке и прибавим к результату единицу. Дадим полученному номеру имя N . (Значение N на самом деле не имеет значения, поскольку аргумент должен быть допустимым для любого списка.)
N = (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29) +1.
Число N , как и любое другое натуральное число, можно записать как произведение простых чисел. Кто эти простые числа, простые множители числа N ? Мы не знаем, потому что мы их не вычисляли, но одно мы знаем наверняка: все они делят N . Но число N оставляет остаток единицы при делении на любое из простых чисел в нашем списке 2, 3, 5, 7,…, 23, 29.Предполагается, что это полный список наших простых чисел, но ни одно из них не делит N . Таким образом, простых множителей числа N нет в этом списке, и, в частности, должны быть новые простые числа, превышающие 29.
Сито Эратосфена
Вы нашли все простые числа меньше 100? Какой метод вы использовали? Вы проверяли каждое число по отдельности, чтобы увидеть, делится ли оно на меньшие числа? Если вы выбрали именно этот путь, вы определенно потратили много времени.Эратосфен (рис. 1), один из величайших ученых эллинистического периода, жил через несколько десятилетий после Евклида. Он работал главным библиотекарем в Александрийской библиотеке , первой в истории и самой большой библиотеке в древнем мире. Он интересовался не только математикой, но и астрономией, музыкой и географией, и был первым, кто вычислил окружность Земли с впечатляющей для своего времени точностью. Среди прочего, он разработал умный способ найти все простые числа вплоть до заданного числа.Поскольку этот метод основан на идее просеивания (просеивания) составных чисел, он называется Сито Эратосфена .
Мы продемонстрируем решето Эратосфена в списке простых чисел меньше 100, который, надеюсь, все еще перед вами (рис. 2). Обведите число 2, так как это первое простое число, а затем удалите все его более высокие кратные, а именно все составные четные числа. Перейдите к следующему не стертому номеру, цифре 3.Поскольку он не был удален, это не результат меньших чисел, и мы можем обвести его, зная, что оно простое. Снова сотрите все его более высокие кратные. Обратите внимание, что некоторые из них, например, 6, уже были удалены, а другие, например 9, теперь будут удалены. Следующее не стертое число — 5 — будет обведено. Опять же, удалите все его более высокие кратные: 10, 15 и 20 уже были удалены, но, например, 25 и 35 должны быть удалены сейчас. Продолжайте в той же манере. До тех пор, пока не? Попробуйте подумать, почему после передачи 10 = 100 нам не нужно продолжать процесс.Все числа меньше 100, которые не были удалены, являются простыми числами и могут быть обведены кружком!
- Рисунок 2 — Сито Эратосфена.
- Составные числа зачеркнуты, а простые числа обведены.
Частота простых чисел
Какая частота встречаемости простых чисел? Сколько примерно простых чисел между 1 000 000 и 1 001 000 (один миллион и один миллион плюс одна тысяча) и сколько между 1 000 000 000 и 1 000 001 000 (один миллиард и один миллиард плюс одна тысяча)? Можем ли мы оценить количество простых чисел от одного триллиона (1 000 000 000 000) до одного триллиона плюс тысяча?
Расчеты показывают, что простые числа становятся все более редкими по мере того, как числа становятся больше.Но можно ли сформулировать точную теорему, которая точно выразит, насколько они редки? Такая теорема была впервые сформулирована как гипотеза великим математиком Карлом Фридрихом Гауссом в 1793 году в возрасте 16 лет. Математик девятнадцатого века Бернхард Риман (рис. 1), оказавший влияние на изучение простых чисел в наше время. чем кто-либо другой, разработал дополнительные инструменты, необходимые для решения этой проблемы. Но формальное доказательство теоремы было дано только в 1896 году, через столетие после того, как она была сформулирована.Удивительно, но два независимых доказательства были предоставлены в том же году французом Жаком Адамаром и бельгийцем де ла Валле-Пуссен (рис. 1). Интересно отметить, что оба мужчины родились примерно во время смерти Римана. Доказанная ими теорема получила название « теорема о простых числах » из-за своей важности.
Точная формулировка теоремы о простых числах, тем более детали ее доказательства, требуют продвинутой математики, которую мы не можем здесь обсуждать.Но, говоря менее точно, теорема о простых числах утверждает, что частота появления простых чисел вокруг x обратно пропорциональна количеству цифр в x . В приведенном выше примере количество простых чисел в «окне» длиной 1000 около одного миллиона (под которым мы подразумеваем интервал от одного миллиона до одного миллиона и одной тысячи) будет на 50% больше, чем количество простых чисел в том же самом. «Окно» около одного миллиарда (соотношение 9: 6, точно так же, как соотношение между количеством нулей в одном миллиард и один миллион), и примерно вдвое больше, чем количество простых чисел в том же окне около одного триллиона (где соотношение количества нулей 12: 6).Действительно, компьютерные вычисления показывают, что в первом окне 75 простых чисел, 49 во втором и только 37 в третьем, от одного триллиона до одного триллиона плюс одна тысяча.
Эту же информацию можно изобразить в виде графика, показанного ниже (Рисунок 3). Вы можете увидеть, как число π ( x ) простых чисел до x изменяется в диапазоне x ≤ 100 и снова для x ≤ 1000. Обратите внимание, что каждый раз, когда мы встречаем новое простое число вдоль оси x , график увеличивается на 1, поэтому график принимает форму ступеней (рис. 3A).В мелком масштабе трудно обнаружить закономерность на графике. Довольно легко доказать, что мы можем найти сколь угодно большие интервалы, в которых нет простых чисел, то есть интервалы, в которых граф не поднимается. С другой стороны, известная гипотеза (см. Ниже) утверждает, что существует бесконечно много простых чисел-близнецов , то есть пар простых чисел с разницей в 2 между ними, что соответствует «шагу» шириной 2 в график. Однако в большем масштабе график выглядит гладким (рис. 3В).Эта гладкая кривая, наблюдаемая в большом масштабе, демонстрирует теорему о простых числах.
- Рисунок 3 — Частота появления простых чисел.
- Графики, показывающие π ( x ), количество простых чисел до числа x . На панели A. x колеблется от 0 до 100, а график ступенчатый. На панели B. x находится в диапазоне от 0 до 1000, поэтому масштаб больше, а график выглядит более гладким.
Тот факт, что математическое явление, кажется, ведет себя случайным образом в одной шкале, но демонстрирует регулярность (гладкость) в другой / большей шкале — регулярность, которая становится все более и более точной по мере роста шкалы — не нов для математики.Таким образом ведут себя системы вероятности, такие как подбрасывание монеты. Невозможно предсказать результат одного подбрасывания монеты, но со временем, если монета будет беспристрастной, в половине случаев она будет выпадать орлом. Что удивительно, так это то, что система простых чисел не является вероятностной, но по-прежнему ведет себя во многих отношениях так, как если бы она была выбрана случайным образом.
Резюме: Кто хочет стать миллионером?
Теория чисел, которая включает изучение простых чисел, богата нерешенными проблемами, безуспешно решались величайшими умами за сотни лет.Некоторые из этих открытых проблем представляют собой математические утверждения, которые еще не доказаны, но в правильность которых мы твердо верим. Такие недоказанные теоремы называются «гипотезами» или «гипотезами». Мы уже упоминали гипотезу о существовании бесконечного числа простых чисел-близнецов — пар простых чисел, находящихся на расстоянии двух друг от друга. Другая хорошо известная гипотеза, называемая гипотезой Гольдбаха, утверждает, что каждое четное число может быть записано как сумма двух простых чисел. Например: 16 = 13 + 3, 54 = 47 + 7.Если вам удастся доказать любое из них, вы получите вечную славу. 3
Пожалуй, самая известная нерешенная проблема в математике, Гипотеза Римана , была предложена тем же Бернхардом Риманом, о котором упоминалось ранее. В единственной исследовательской работе Римана о простых числах, опубликованной в 1859 году, Риман высказал гипотезу, предсказывающую, насколько далеко от истинного значения π ( x ) число простых чисел до x находится приближение, данное простым числом. числовая теорема.Другими словами, что можно сказать о «члене ошибки» в теореме о простых числах — разнице между действительной величиной и предложенной формулой? Clay Foundation назвал эту проблему одной из семи проблем, за решение которых он заплатит приз в размере 1 000 000 долларов! Если вы до сих пор не были заинтригованы, возможно, этот приз вас замотивирует…
Почему это важно? Кого это интересует? Математики судят о своих проблемах прежде всего по их сложности и внутренней красоте.Простые числа имеют высокие баллы по обоим этим критериям. Однако простые числа полезны и на практике. Исследования простых чисел нашли важное применение в шифровании (науке о кодировании секретных сообщений) за последние несколько десятилетий. Ранее мы упоминали художественную книгу Карла Сагана о внеземной культуре, общающейся с человечеством с помощью простых чисел. Но есть гораздо более «горячая» область, вообще не вымышленная, где простые числа используются либо в гражданских, либо в военных целях; то есть зашифрованные передачи.Когда мы снимаем деньги в банкомате, мы используем дебетовую карту, и связь между нами и банкоматом зашифрована. Как и многие другие коды для шифрования, код RSA, который можно найти почти на каждой дебетовой карте (названный в честь его изобретателей — Ривеста, Шамира и Адлемана), основан на свойствах простых чисел.
История простых чисел до сих пор окутана тайной. Итак, их история еще не закончена и…
Глоссарий
Составное число : ↑ целое число, которое может быть записано как произведение двух меньших чисел, например, 24 = 3 × 8.
Простое число (несоставное) : ↑ целое число, которое не может быть записано как произведение двух меньших чисел, например 7 или 23.
Математическое доказательство : ↑ серия логических аргументов, призванных доказать истинность математической теоремы. Доказательство основано на основных предположениях, которые были проверены, или на других теоремах, которые были ранее доказаны.
Математическая теорема : ↑ Утверждение, выраженное на языке математики, которое определенно можно назвать действительным или недействительным в определенной системе.
Математическая гипотеза : ↑ (также называемая гипотезой) — математическое утверждение, которое считается истинным, но еще не доказано. «Вера в достоверность» может быть результатом проверки особых случаев, вычислительных свидетельств или математической интуиции. Есть математические предположения, по которым люди все еще расходятся.
Двойные простые числа : ↑ пара простых чисел с разницей в два, например 5, 7 или 41, 43.
Заявление о конфликте интересов
Автор заявляет, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могут быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.
Дополнительная литература
[1] ↑ Du Sautoy, M. 2003. Музыка простых людей . HarperCollins.
[2] ↑ Доксиадис, А. 1992. Гипотеза дяди Петроса и Гольдбаха . Блумсбери.
[3] ↑ Померанс, C. 2004. «Простые числа и поиск внеземного разума», в Mathematical Adventures for Student and Amateurs , под ред. Д. Хейса и Т. Шубина (M.A.А), 1–4.
[4] ↑ Singh, S. 1999. The Code Book . Лондон, Четвертое поместье.
Сноски
[1] ↑ Разделение круга на 360 впервые появляется в трудах греческих и египетских астрономов, но основано на более раннем делении часа на 60 минут вавилонянами. Несомненно, это также связано с тем фактом, что солнечные годы длятся 365 дней (в среднем), но обратите внимание, что 365 = 5 x 73, а поскольку и 5, и 73 простые числа, 365 допускает гораздо меньше факторизаций, чем 360.
[2] ↑ Правильное прочтение математического текста — это «активное чтение», когда читатель проверяет, что говорится, вычисляет примеры и т. Д. Но, если вы хотите пропустить предлагаемую задачу, вы можете выполнить Итак, мы вернемся к нему и обсудим это позже.
[3] ↑ Гипотеза о простых числах-близнецах, засвидетельствованная в последние годы удивительными открытиями Чжана и Мейнарда, тем не менее остается открытой. Что касается гипотезы Гольдбаха, Хельфготт доказал в 2014 году, что каждые нечетных числа больше 5 представляют собой сумму трех простых чисел.
Простые числа — факты, примеры и таблица всего до 1000
Простое число без остатка можно разделить только само на себя и на 1. Например, 17 можно разделить только на 17 и на 1.
Некоторые факты:
- Единственное четное простое число — 2. Все остальные четные числа можно разделить на 2.
- Если сумма цифр числа кратна 3, это число можно разделить на 3.
- Нет простых чисел больше 5, оканчивающихся на 5.Любое число больше 5, оканчивающееся на 5, можно разделить на 5.
- Ноль и 1 не считаются простыми числами.
- Число, за исключением 0 и 1, может быть простым или составным числом. Составное число определяется как любое число больше 1, которое не является простым.
Чтобы проверить, является ли число простым, сначала попробуйте разделить его на 2 и посмотрите, получите ли вы целое число. Если да, то это не может быть простое число. Если вы не получаете целое число, попробуйте разделить его на простые числа: 3, 5, 7, 11 (9 делится на 3) и так далее, всегда делите на простое число (см. Таблицу ниже).
Вот таблица всех простых чисел до 1000:
| 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | ||||||
| 71 | 73 | 79 | 89 | 79 | 83 | 79 | 83 | 103 | 107 | 109 | |||||||||||||
| 113 | 127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 | 157 | 163 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 | 227 | 906 61|||||||
| 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 | 269 | 271 | 277 | ||||||||||||||
| 313 | 317 | 331 | 337 | 347 | |||||||||||||||||||
| 349 | 353 | 359 | 367 | 373 | 379 | 379 | 383 | 419 | 421 | 431 | 433 | 439 | 443 | 449 | 457 | 461 | |||||||
| 463 | |||||||||||||||||||||||
| 463 | 467 | ||||||||||||||||||||||
| 463 | 467 9064 | 509 | 521 | 523 | |||||||||||||||||||
| 541 | 547 | 557 | 563 | 569 | 571 | 577 | 587 | 593 | 599 | ||||||||||||||
| 607 | 9064 | ||||||||||||||||||||||
| 643 | 647 | 653 | |||||||||||||||||||||
| 659 | 661 | 673 | 677 | 683 | 691 | 701 | 709 | 9064 719 719 719 719 719 719 | 751 | 757 | 761 | 769 | 773 | 787 | 797 | ||||||||
| 809 | 811 | 821 | 823 | 821 | 823 | 821 | 823 | 821 | 823 | 821 | 823 | 859 | |||||||||||
| 863 | 877 | 881 | 883 | 887 | 907 | 911 | 919 | 929 | 937 | ||||||||||||||
| 941 | 947 | 941 | 947 | 953 | 967 | 9064 9064 967 |
3.4: Состав функций — математика LibreTexts
Предположим, мы хотим подсчитать, сколько стоит отапливать дом в определенный день года. Стоимость отопления дома будет зависеть от средней дневной температуры, а средняя дневная температура, в свою очередь, зависит от конкретного дня в году. Обратите внимание, как мы только что определили два отношения: стоимость зависит от температуры, а температура зависит от дня.
Используя описательные переменные, мы можем записать эти две функции.Функция \ (C (T) \) дает стоимость \ (C \) отопления дома для данной средней дневной температуры в \ (T \) градусах Цельсия. Функция \ (T (d) \) дает среднюю дневную температуру в день d года. Для любого дня \ (Cost = C (T (d)) \) означает, что стоимость зависит от температуры, которая, в свою очередь, зависит от дня в году. Таким образом, мы можем оценить функцию стоимости при температуре \ (T (d) \). Например, мы могли бы вычислить \ (T (5) \), чтобы определить среднесуточную температуру на 5-й день года.Затем мы могли бы оценить функцию стоимости при этой температуре. Мы бы написали \ (C (T (5)) \).
Объединив эти два отношения в одну функцию, мы выполнили композицию функций, которой и посвящен этот раздел.
Объединение функций с помощью алгебраических операций
Композиция функций — это только один из способов объединения существующих функций. Другой способ — выполнять обычные алгебраические операции над функциями, такие как сложение, вычитание, умножение и деление.Мы делаем это, выполняя операции с выходами функции, определяя результат как выход нашей новой функции.
Предположим, нам нужно сложить два столбца чисел, которые представляют отдельные годовые доходы мужа и жены за период лет, в результате чего получится их общий семейный доход. Мы хотим делать это для каждого года, добавляя только доходы за этот год, а затем собирая все данные в новом столбце. Если \ (w (y) \) — доход жены, а \ (h (y) \) — доход мужа в году \ (y \), и мы хотим, чтобы \ (T \) представлял общий доход, тогда мы может определить новую функцию.
\ [T (y) = h (y) + w (y) \ nonumber \]
Если это верно для каждого года, то мы можем сосредоточиться на связи между функциями без привязки к году и написать
\ [T = h + w \ nonumber \]
Так же, как и для этой суммы двух функций, мы можем определить функции разности, произведения и отношения для любой пары функций, которые имеют одинаковые типы входов (не обязательно числа), а также одинаковые виды выходов (которые должны быть числа, так что обычные операции алгебры могут применяться к ним, и которые также должны иметь те же единицы или не иметь единиц, когда мы складываем и вычитаем).Таким образом, мы можем думать о сложении, вычитании, умножении и делении функций.
Для двух функций \ (f (x) \) и \ (g (x) \) с выходами вещественных чисел мы определяем новые функции \ (f + g \), \ (f − g \), \ (fg \ ) и \ (\ frac {f} {g} \) соотношениями.
\ [\ begin {align *} (f + g) (x) & = f (x) + g (x) \\ [4pt] (f − g) (x) & = f (x) −g ( x) \\ [4pt] (fg) (x) & = f (x) g (x) \\ [4pt] \ left (\ dfrac {f} {g} \ right) (x) & = \ dfrac { f (x)} {g (x)} \ end {align *} \]
Пример \ (\ PageIndex {1} \): выполнение алгебраических операций над функциями
Найдите и упростите функции \ ((g − f) (x) \) и \ (\ left (\ dfrac {g} {f} \ right) (x) \), учитывая \ (f (x) = x −1 \) и \ (g (x) = x ^ 2−1 \). 2 \)
Нет, функции разные.
Создание функции с помощью композиции функций
Выполнение алгебраических операций над функциями объединяет их в новую функцию, но мы также можем создавать функции, составляя функции. Когда мы хотели вычислить стоимость отопления для одного дня в году, мы создали новую функцию, которая принимает день в качестве входных данных и дает стоимость в качестве выходных данных. Процесс комбинирования функций , так что выход одной функции становится входом другой, известен как комбинация функций .Результирующая функция известна как составная функция . Представим эту комбинацию следующими обозначениями:
\ [f {\ circ} g (x) = f (g (x)) \]
Мы читаем левую часть как «\ (f \), составленную из \ (g \) в \ (x \)», а правую часть как «\ (f \) из \ (g \) из \ (x \) ». Две стороны уравнения имеют одинаковый математический смысл и равны. Символ открытого круга \ (\ circ \) называется оператором композиции. Мы используем этот оператор в основном, когда хотим подчеркнуть взаимосвязь между самими функциями, не обращаясь к какому-либо конкретному входному значению.Композиция — это бинарная операция, которая принимает две функции и формирует новую функцию, подобно тому, как сложение или умножение принимает два числа и дает новое число. Однако важно не путать композицию функций с умножением, потому что, как мы узнали выше, в большинстве случаев \ (f (g (x)) {\ neq} f (x) g (x) \).
Также важно понимать порядок операций при оценке составной функции. Мы следуем обычному соглашению с круглыми скобками, начиная сначала с самых внутренних скобок, а затем перейдя к внешним.В приведенном выше уравнении функция \ (g \) сначала принимает вход \ (x \) и дает выход \ (g (x) \). Тогда функция \ (f \) принимает \ (g (x) \) в качестве входных данных и дает выход \ (f (g (x)) \).
Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Объяснение составной функции.В общем, \ (f {\ circ} g \) и \ (g {\ circ} f \) — разные функции. 2 + 2 \ end {align *} \]
Эти выражения не равны для всех значений x, поэтому две функции не равны.Неважно, что выражения совпадают для единственного входного значения \ (x = — \ frac {1} {2} \).
Обратите внимание, что диапазон внутренней функции (первая функция, которая должна быть оценена) должен находиться в пределах области внешней функции. Менее формально композиция должна иметь смысл с точки зрения входов и выходов.
Состав функций
Когда вывод одной функции используется как ввод другой, мы называем всю операцию композицией функций.Для любого входа \ (x \) и функций \ (f \) и \ (g \) это действие определяет составную функцию , которую мы записываем как \ (f {\ circ} g \), такую, что
\ [(f {\ circ} g) (x) = f (g (x)) \]
Область определения составной функции \ (f {\ circ} g \) — это все \ (x \) такие, что \ (x \) находится в области значений \ (g \) и \ (g (x) \) находится в области \ (f \).
Важно понимать, что произведение функций \ (fg \) не то же самое, что композиция функций \ (f (g (x)) \), потому что, как правило, \ (f (x) g (x ) {\ neq} f (g (x)) \).
Пример \ (\ PageIndex {2} \): определение того, является ли композиция функций коммутативной
Используя предоставленные функции, найдите \ (f (g (x)) \) и \ (g (f (x)) \). Определите, является ли состав функций коммутативным .
\ [f (x) = 2x + 1 \; \; \; \; г (х) = 3 − х \ nonumber \]
Решение
Начнем с замены \ (g (x) \) на \ (f (x) \).
\ [\ begin {align *} f (g (x)) & = 2 (3 − x) +1 \\ [4pt] & = 6−2x + 1 \\ [4pt] & = 7−2x \ end {align *} \]
Теперь мы можем заменить \ (f (x) \) на \ (g (x) \).
\ [\ begin {align *} g (f (x)) & = 3− (2x + 1) \\ [4pt] & = 3−2x − 1 \\ [4pt] & = 2-2x \ end { выровнять *} \]
Мы находим, что \ (g (f (x)) {\ neq} f (g (x)) \), поэтому операция композиции функций не коммутативна.
Пример \ (\ PageIndex {3} \): интерпретация составных функций
Функция \ (c (s) \) дает количество сожженных калорий при выполнении \ (s \) приседаний, а \ (s (t) \) дает количество приседаний, которые человек может выполнить за \ ( t \) минут. Интерпретируйте \ (c (s (3)) \).
Решение
Внутреннее выражение в композиции — \ (s (3) \). Поскольку входными данными для функции \ (s \) является время, \ (t = 3 \) представляет 3 минуты, а \ (s (3) \) — количество приседаний, выполненных за 3 минуты.
Использование \ (s (3) \) в качестве входных данных для функции \ (c (s) \) дает нам количество калорий, сожженных за количество приседаний, которые можно выполнить за 3 минуты, или просто количество калорий, сожженных за 3 минуты (делая приседания).
Пример \ (\ PageIndex {4} \): Исследование порядка функциональной композиции
Предположим, что \ (f (x) \) дает мили, которые можно проехать за \ (x \) часов, а \ (g (y) \) дает галлоны бензина, использованные для движения \ (y \) миль.Какое из этих выражений имеет смысл: \ (f (g (y)) \) или \ (g (f (x)) \)?
Решение
Функция \ (y = f (x) \) — это функция, выходом которой является количество пройденных миль, соответствующее количеству пройденных часов.
\ [\ text {количество миль} = f (\ text {количество часов}) \ nonumber \]
Функция \ (g (y) \) — это функция, выходом которой является количество использованных галлонов, соответствующее количеству пройденных миль. Это означает:
\ [\ text {количество галлонов} = g (\ text {количество миль}) \ nonumber \]
Выражение \ (g (y) \) принимает мили в качестве входных данных и количество галлонов в качестве выходных данных.Функция \ (f (x) \) требует ввода количества часов. Пытаться ввести количество галлонов не имеет смысла. Выражение \ (f (g (y)) \) бессмысленно.
Выражение \ (f (x) \) принимает часы в качестве входных данных и количество пройденных миль в качестве выходных данных. Функция \ (g (y) \) требует ввода количества миль. Использование \ (f (x) \) (пройденные мили) в качестве входного значения для \ (g (y) \), где галлоны бензина зависят от пройденных миль, имеет смысл. Выражение \ (g (f (x)) \) имеет смысл и даст количество использованных галлонов газа, \ (g \), проехав определенное количество миль, \ (f (x) \), в \ (x \) часов.
Вопрос / Ответ
Существуют ли ситуации, когда \ (f (g (y)) \) и \ (g (f (x)) \) оба будут значимыми или полезными выражениями?
Да. Для многих чисто математических функций обе композиции имеют смысл, даже если они обычно создают разные новые функции. В реальных задачах функции, входы и выходы которых имеют одинаковые единицы измерения, также могут давать композиции, которые имеют смысл в любом порядке
Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)
Гравитационная сила на планете на расстоянии \ (r \) от Солнца задается функцией \ (G (r) \).Ускорение планеты, подверженной действию любой силы \ (F \), задается функцией \ (a (F) \). Составьте осмысленную композицию из этих двух функций и объясните, что это означает.
- Ответ
Гравитационная сила по-прежнему является силой, поэтому \ (a (G (r)) \) имеет смысл как ускорение планеты на расстоянии \ (r \) от Солнца (из-за силы тяжести), но \ (G (a (F)) \) не имеет смысла.
Оценка составных функций
После того, как мы составим новую функцию из двух существующих функций, нам нужно иметь возможность оценивать ее для любого ввода в ее домене.Мы сделаем это с помощью конкретных числовых входных данных для функций, выраженных в виде таблиц, графиков и формул, и с переменными в качестве входных данных для функций, выраженных в виде формул. В каждом случае мы оцениваем внутреннюю функцию, используя начальный ввод, а затем используем вывод внутренней функции как ввод для внешней функции.
Оценка составных функций с помощью таблиц
При работе с функциями, заданными в виде таблиц, мы считываем входные и выходные значения из записей таблицы и всегда работаем изнутри наружу.Сначала мы оцениваем внутреннюю функцию, а затем используем вывод внутренней функции как вход для внешней функции.
Пример \ (\ PageIndex {5} \): Использование таблицы для вычисления составной функции
Используя таблицу \ (\ PageIndex {1} \), вычислите \ (f (g (3)) \) и \ (g (f (3)) \).
| \ (х \) | \ (е (х) \) | \ (г (х) \) |
|---|---|---|
| 1 | 6 | 3 |
| 2 | 8 | 5 |
| 3 | 3 | 2 |
| 4 | 1 | 7 |
Раствор
Чтобы оценить \ (f (g (3)) \), мы начинаем изнутри с входного значения 3.Затем мы вычисляем внутреннее выражение \ (g (3) \), используя таблицу, которая определяет функцию \ (g: g (3) = 2 \). Затем мы можем использовать этот результат в качестве входных данных для функции \ (f \), поэтому \ (g (3) \) заменяется на 2, и мы получаем \ (f (2) \). Затем, используя таблицу, определяющую функцию \ (f \), находим, что \ (f (2) = 8 \).
\ [g (3) = 2 \ nonumber \]
\ [f (g (3)) = f (2) = 8 \ nonumber \]
Чтобы вычислить \ (g (f (3)) \), мы сначала вычисляем внутреннее выражение \ (f (3) \), используя первую таблицу: \ (f (3) = 3 \).Затем, используя таблицу для \ (g \), мы можем оценить
\ [g (f (3)) = g (3) = 2 \ nonumber \]
Таблица \ (\ PageIndex {2} \) показывает составные функции \ (f {\ circ} g \) и \ (g {\ circ} f \) в виде таблиц.
| \ (х \) | \ (г (х) \) | \ (е (г (х)) \) | \ (е (х) \) | \ (г (е (х)) \) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 2 | 8 | 3 | 2 |
Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)
Используя таблицу \ (\ PageIndex {1} \), вычислите \ (f (g (1)) \) и \ (g (f (4)) \).
- Ответ
\ (f (g (1)) = f (3) = 3 \) и \ (g (f (4)) = g (1) = 3 \)
Оценка составных функций с помощью графиков
Когда нам даются отдельные функции в виде графиков, процедура оценки составных функций аналогична процессу, который мы используем для оценки таблиц. Мы считываем входные и выходные значения, но на этот раз по осям x и y графиков.
Как …
Учитывая составную функцию и графики отдельных функций, оцените ее, используя информацию, представленную на графиках.
- Найдите входные данные внутренней функции на оси x ее графика.
- Считайте выходные данные внутренней функции по оси ординат ее графика.
- Найдите выход внутренней функции на оси x графика внешней функции.
- Считайте результат внешней функции по оси ординат ее графика. Это результат составной функции.
Пример \ (\ PageIndex {6} \): использование графика для вычисления составной функции
Используя рисунок \ (\ PageIndex {3} \), вычислите \ (f (g (1)) \).
Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): два графика положительной и отрицательной параболы.Решение
Чтобы оценить \ (f (g (1)) \), мы начнем с внутренней оценки. См. Рисунок \ (\ PageIndex {4} \).
Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): два графика положительной параболы \ (g (x) \) и отрицательной параболы \ (f (x) \). Построены следующие точки: \ (g (1) = 3 \) и \ (f (3) = 6 \).Мы оцениваем \ (g (1) \), используя график \ (g (x) \), находя вход 1 на оси x и находя выходное значение графика на этом входе.Здесь \ (g (1) = 3 \). Мы используем это значение в качестве входных данных для функции \ (f \).
\ [f (g (1)) = f (3) \ nonumber \]
Затем мы можем оценить составную функцию, посмотрев на график \ (f (x) \), найдя вход 3 на оси x и прочитав выходное значение графика на этом входе. Здесь \ (f (3) = 6 \), поэтому \ (f (g (1)) = 6 \).
Анализ
На рисунке \ (\ PageIndex {5} \) показано, как мы можем пометить графики стрелками, чтобы проследить путь от входного значения к выходному значению.
Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): два графика положительной и отрицательной параболы.Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)
Используя рисунок \ (\ PageIndex {3} \), вычислите \ (g (f (2)) \).
- Ответ
\ (g (f (2)) = g (5) = 3 \)
Оценка составных функций с помощью формул
При оценке составной функции, в которой мы либо создали, либо получили формулы, правило работы изнутри остается неизменным.2 − t \), мы подставляем значение внутри круглых скобок в формулу везде, где видим входную переменную.
Как …
Имея формулу для составной функции, вычислите функцию.
- Оцените внутреннюю функцию, используя предоставленное входное значение или переменную.
- Используйте полученный результат как вход для внешней функции.
Пример \ (\ PageIndex {7} \): оценка композиции функций, выраженных в виде формул, с числовым вводом
Учитывая \ (f (t) = t ^ 2 − t \) и \ (h (x) = 3x + 2 \), оцените \ (f (h (1)) \).2 − t \) и \ (h (x) = 3x + 2 \), оценить
а. \ (h (f (2)) \)
б. \ (h (f (−2)) \)
- Ответьте на
8
- Ответ б
20
Нахождение области составной функции
Как мы обсуждали ранее, область составной функции , такой как \ (f {\ circ} g \), зависит от области определения \ (g \) и области определения \ (f \). Важно знать, когда мы можем применить составную функцию, а когда нет, то есть знать область определения функции, такой как \ (f {\ circ} g \).Предположим, мы знаем области определения функций \ (f \) и \ (g \) по отдельности. Если мы запишем составную функцию для входа \ (x \) как \ (f (g (x)) \), мы сразу увидим, что \ (x \) должен быть членом области определения g, чтобы выражение должно иметь смысл, потому что в противном случае мы не сможем завершить оценку внутренней функции. Однако мы также видим, что \ (g (x) \) должен быть членом области \ (f \), иначе вторая оценка функции в \ (f (g (x)) \) не может быть завершена, и выражение все еще не определено.Таким образом, область \ (f {\ circ} g \) состоит только из тех входов в области \ (g \), которые производят выходы из \ (g \), принадлежащие области \ (f \). Обратите внимание, что область \ (f \), составленная из \ (g \), — это множество всех \ (x \) таких, что \ (x \) находится в области \ (g \) и g (x) \ ) находится в области \ (f \).
Определение: область составной функции
Область сложной функции \ (f (g (x)) \) — это набор тех входов \ (x \) в области \ (g \), для которых \ (g (x) \) находится в области \ (f \).
Как …
Дана композиция функции \ (f (g (x)) \), определите ее область определения.
- Найдите область значений \ (g \).
- Найдите домен \ (f \).
- Найдите те входы \ (x \) в области \ (g \), для которых \ (g (x) \) находится в области \ (f \). То есть исключить те входы \ (x \) из области \ (g \), для которых \ (g (x) \) не находится в области \ (f \). Результирующий набор является областью определения \ (f {\ circ} g \).
Пример \ (\ PageIndex {8A} \): поиск домена составной функции
Найдите домен
\ [(f∘g) (x) \ text {где} f (x) = \ dfrac {5} {x − 1} \ text {и} g (x) = \ dfrac {4} {3x − 2 } \ nonumber \]
Решение
Область \ (g (x) \) состоит из всех действительных чисел, кроме \ (x = \ frac {2} {3} \), поскольку это входное значение заставит нас разделить на 0.Точно так же область определения \ (f \) состоит из всех действительных чисел, кроме 1. Поэтому нам нужно исключить из области определения \ (g (x) \) то значение \ (x \), для которого \ (g (x ) = 1 \).
\ [\ begin {align *} \ dfrac {4} {3x-2} & = 1 \\ [4pt] 4 & = 3x-2 \\ [4pt] 6 & = 3x \\ [4pt] x & = 2 \ конец {выравнивание *} \]
Таким образом, область значений \ (f {\ circ} g \) — это набор всех действительных чисел, кроме \ (\ frac {2} {3} \) и \ (2 \). Это означает, что
\ [x {\ neq} \ dfrac {2} {3} \ text {или} x \ neq2 \ nonumber \]
Мы можем записать это в обозначении интервалов как
\ [\ left (- \ infty, \ dfrac {2} {3} \ right) \ cup \ left (\ dfrac {2} {3}, 2 \ right) \ cup \ left (2, \ infty \ right ) \ nonumber \]
Пример \ (\ PageIndex {8B} \): поиск области составной функции, включающей радикалы
Найдите домен
\ [(f {\ circ} g) (x) \ text {где} f (x) = \ sqrt {x + 2} \ text {and} g (x) = \ sqrt {3 − x} \ nonumber \]
Решение
Поскольку мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, область значений \ (g \) равна \ (\ left (- \ infty, 3 \ right] \).Теперь проверим область определения составной функции
\ [(f {\ circ} g) (x) = \ sqrt {\ sqrt {3 − x} +2} \ nonumber \]
Для \ ((f∘g) (x) = \ sqrt {\ sqrt {3 − x} +2}, \ sqrt {3 − x} + 2≥0, \), поскольку подкоренное выражение квадратного корня должно быть положительный. Поскольку квадратные корни положительны, \ (\ sqrt {3 − x} ≥0 \) или \ (3 − x≥0, \), что дает область значений \ ((- ∞, 3] \).
Анализ
Этот пример показывает, что знание диапазона функций (в частности, внутренней функции) также может быть полезно при поиске области определения составной функции.Это также показывает, что область значений \ (f {\ circ} g \) может содержать значения, которые не находятся в области \ (f \), хотя они должны быть в области \ (g \).
Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)
Найдите домен
\ [(f {\ circ} g) (x) \ text {где} f (x) = \ dfrac {1} {x − 2} \ text {and} g (x) = \ sqrt {x + 4 } \ nonumber \]
- Ответ
\ ([- 4,0) ∪ (0, ∞) \)
Разложение составной функции на ее составные функции
В некоторых случаях необходимо разложить сложную функцию.2} \)
\ (h (x) = \ dfrac {4} {3 − x} \)
\ (f = h {\ circ} g \)
Получите доступ к этим онлайн-ресурсам, чтобы получить дополнительные инструкции и попрактиковаться в комбинированных функциях.
1.7 Состав функций | Конечная математика
Предположим, мы хотим подсчитать, сколько стоит отапливать дом в определенный день года. Стоимость отопления дома будет зависеть от средней дневной температуры, а средняя дневная температура зависит от конкретного дня в году.Обратите внимание, как мы только что определили два отношения: температура зависит от дня, а стоимость зависит от температуры. Используя описательные переменные, мы можем записать эти две функции.
Первая функция, C ( T ) , дает C затрат на отопление дома при средней дневной температуре T градус Цельсия, а вторая T ( d ) , дает среднесуточную температуру в конкретном городе на дней года.Если бы мы хотели определить стоимость отопления дома на 5 -й день в году, мы могли бы сделать это, объединив две наши функции вместе, идея, называемая композицией функций. Используя функцию T ( d ), мы могли бы оценить T (5), чтобы определить среднесуточную температуру в 5 -й день в году. Затем мы могли бы использовать эту температуру в качестве входных данных для функции C ( T ), чтобы найти стоимость отопления дома в 5 -й день в году: C ( T (5)) .
Состав функций
Когда вывод одной функции используется как ввод другой, мы называем всю операцию композицией функций . Мы пишем f ( g, ( x )) и читаем это как « f из g, из x » или « f , составленное из g, при x. ”
Альтернативное обозначение композиции с использованием оператора композиции [латекс] \ o [/ latex] читается как « f из г из x » или « f составлено из г при x, ». точно так же, как f (g (x)).
(f
° г) = f (g (x))Пример 1
Предположим, что c (s) дает количество сожженных калорий при выполнении s приседаний, а s (t) дает количество приседаний, которое человек может сделать за t минуту. Интерпретировать c ( s (3)) .
Когда нас просят интерпретировать, нас просят объяснить значение выражения словами. Внутреннее выражение в композиции — s (3).Поскольку входными данными для функции с является время, цифра 3 представляет 3 минуты, а с (3) — это количество приседаний, которые можно выполнить за 3 минуты. Взяв этот результат и используя его в качестве входных данных для функции c (s) , мы получим калории, которые можно сжечь за количество приседаний, которые можно выполнить за 3 минуты.
Обратите внимание, что не важно, чтобы одна и та же переменная использовалась для вывода внутренней функции и ввода внешней функции.Однако важно, чтобы единицы на выходе внутренней функции совпадали с единицами на входе внешней функции, если единицы указаны.
Пример 2
Предположим, что f (x) дает мили, которые можно проехать за x часов, а g (y) дает галлоны бензина, использованные для движения y миль. Какое из этих выражений имеет смысл: f (g (y)) или g (f (x)) ?
Выражение g (y) принимает мили в качестве входных данных и выводит количество галлонов.Функция f (x) ожидает количество часов в качестве входных данных; пытаться ввести количество галлонов в качестве входных данных не имеет смысла. Помните, что единицы измерения должны совпадать, а количество галлонов не совпадает с количеством часов, поэтому выражение f (g (y)) не имеет смысла.
Выражение f (x) принимает часы на входе и выводит количество пройденных миль. Функция g (y) ожидает количество миль в качестве входных данных, поэтому дает выход функции f (x) (пройденные мили) в качестве входного значения для g ( y ), где галлоны бензин зависит от пройденных миль, имеет смысл.Выражение g (f (x)) имеет смысл и дает количество использованных галлонов газа, g , на проезд определенного количества миль, f (x) , за x часов.
Попробовать 1
В универмаге вы видите табличку с надписью «50% скидка на товары с распродажей», поэтому окончательная стоимость C зависит от отпускной цены, p , в соответствии с функцией C (p) . Цена распродажи, р, , зависит от исходной скидки, д, , данной позиции распродажи, р (д).
Интерпретировать C (p (d)) .
Покажи ответОкончательная стоимость C зависит от цены распродажи p, которая основана на первоначальной скидке d. (Или исходная скидка d определяет цену распродажи, а окончательная стоимость составляет половину цены распродажи.)
Составление функций с помощью таблиц и графиков
При работе с функциями, представленными в виде таблиц и графиков, мы можем искать значения для функций, используя предоставленную таблицу или график, как описано в разделе 1.1. Мы начинаем оценку с предоставленных входных данных и сначала оцениваем внутреннюю функцию. Затем мы можем использовать вывод внутренней функции как ввод для внешней функции. Чтобы помнить об этом, всегда работайте изнутри.
Пример 3
Используя приведенные ниже таблицы, оцените f ( g (3)) и g ( f (4))
Чтобы оценить f ( g (3)), мы начинаем изнутри со значения 3. Затем мы вычисляем внутреннее выражение g (3) , используя таблицу, которая определяет функцию g : г (3) = 2 .Затем мы можем использовать этот результат в качестве входных данных для функции f , поэтому g (3) заменяется эквивалентным значением 2, и мы получаем f (2) . Затем, используя таблицу, определяющую функцию f , находим, что f (2) = 8 .
f ( г (3)) = f (2) = 8
Чтобы оценить g ( f (4)), мы сначала вычисляем внутреннее выражение f (4) , используя первую таблицу: f (4) = 1 . Затем, используя таблицу для г , мы можем оценить: г ( f (4)) = г (1) = 3
Попробовать 2
Используя таблицы из приведенного выше примера, оцените f ( g (1)) и g ( f (3)) .
Покажи ответf (g (1) = f (3) = 3 и g (f (3)) = g (3) = 2
Пример 4
Используя графики ниже, оцените f ( g (1)) .
Чтобы оценить f ( g (1)), мы снова начнем с внутренней оценки.Мы оцениваем g (1), используя график функции g (x) , находя вход 1 на горизонтальной оси и находя выходное значение графика на этом входе. Здесь г (1) = 3 . Используя это значение в качестве входных данных для функции f , f ( g (1) = f (3). Затем мы можем оценить это, посмотрев на график функции f (x) , находя вход 3 на горизонтальной оси и считывая выходное значение графика на этом входе.Здесь f (3) = 6 , поэтому f ( g (1)) = 6 .
Попробовать 3
Используя графики из предыдущего примера, оцените g ( f (2)) .
Покажи ответг (f (2)) = g (5) = 3
Состав по формулам
При оценке композиции функций, в которой мы либо создали, либо получили формулы, концепция работы изнутри остается неизменной. Сначала мы оцениваем внутреннюю функцию, используя предоставленное входное значение, а затем используем полученный результат в качестве входных данных для внешней функции.
Пример 5
Дано f ( t ) = t 2 — t и h ( x ) = 3 x + 2, оценить f ( h (1)) .
Поскольку внутренняя оценка составляет h (1), мы начинаем с оценки функции h (x) при 1: h (1) = 3 (1) + 2 = 5
Тогда f ( h (1)) = f (5), поэтому мы оцениваем функцию f (t) на входе 5: f ( h (1) = f (5) = 5 2 — 5 = 20
Попробовать 4
Используя функции из приведенного выше примера, вычислите h (f (-2)).
Покажи ответh (f (–2)) = h (6) = 20 Вы не забыли вставить свои входные значения в круглые скобки?
Хотя мы можем составить функции, как указано выше, для каждого отдельного входного значения, иногда было бы действительно полезно найти единственную формулу, которая будет вычислять результат композиции f (g (x)) . Для этого мы расширим наше представление об оценке функций. Напомним, что когда мы оцениваем функцию типа f ( t ) = t 2 — t , мы помещаем любое значение в круглые скобки после имени функции в формулу везде, где мы видим входную переменную.
Пример 6
Учитывая, f ( t ) = t 2 — t оценить f (3) и f (–2).
f (3) = 3 2 — 3
f (–2) = (–2) 2 — (–2)
Мы могли бы упростить приведенные выше результаты, если бы хотели f (3) = 3 2 –3 = 9 — 3 = 6
f (–2) = (–2) 2 — (–2) = 4 + 2 = 6
Однако мы не ограничены использованием числового значения в качестве входных данных функции.Мы можем поместить в функцию что угодно: значение, другую переменную или даже алгебраическое выражение, при условии, что мы используем входное выражение везде, где видим входную переменную.
Пример 7
Используя функцию из предыдущего примера, оцените f (a)
Это означает, что входное значение для t — это некоторая неизвестная величина a . Как и раньше, мы оцениваем, заменяя входную переменную t входной величиной, в данном случае a .
f ( a ) = a 2 — a
Та же идея может быть применена к выражениям более сложным, чем одна буква.
Пример 8
Используя ту же функцию f (t) , описанную выше, оцените f ( x + 2).
Везде в формуле для f , где было t , мы заменяли бы его входными данными ( x + 2). Поскольку в исходной формуле вход t был возведен в квадрат в первом члене, весь вход x + 2 должен быть возведен в квадрат при замене, поэтому нам нужно использовать группирующие скобки . {{2}} + {3} {x} + {2} [/ латекс ]
Пример 9
Используя ту же функцию, оцените
f ( t 3 ).
Обратите внимание, что в этом примере одна и та же переменная используется во входном выражении и в качестве входной переменной функции. Это не имеет значения — мы по-прежнему заменяем исходный ввод
t в формуле новым входным выражением t 3 .
f ( т 3 ) = ( т 3 ) 2 — ( т 3 ) = т 6 — т 3
Попробовать 5
Учитывая
[латекс] \ displaystyle {g {{\ left ({x} \ right)}}} = {3} {x} — \ sqrt {{x}} [/ latex], оцените г ( т — 2).
[латекс] \ displaystyle {g {{\ left ({t} — {2} \ right)}}} = {3} {\ left ({t} — {2} \ right)} — \ sqrt {{ {\ left ({t} — {2} \ right)}}} [/ латекс]
Теперь это позволяет нам найти выражение для композиции функций. Если мы хотим найти формулу для
f (g (x)) , мы можем начать с написания формулы для g (x) . Затем мы можем вычислить функцию f (x) в этом выражении, как в приведенных выше примерах.
Пример 10
Пусть и
f ( x ) = x 2 и [латекс] \ displaystyle {g {{\ left ({x} \ right)}}} = \ frac {{1}} { {x}} — {2} {x} [/ latex], найти
f (g (x)) и g (f (x)).
Чтобы найти
f (g (x)) , мы начинаем с оценки внутренней части, записывая формулу для g (x)
[латекс] \ displaystyle {g {{\ left ({x} \ right)}}} = \ frac {{1}} {{x}} — {2} {x} [/ latex]
Затем мы используем выражение
[latex] \ displaystyle {\ left (\ frac {{1}} {{x}} — {2} {x} \ right)} [/ latex] в качестве входных данных для функции
f .
[латекс] \ Displaystyle {е {{\ left ({г {{\ left ({x} \ right)}}} \ right)}}} = {е {{\ left (\ frac {{1}}) {{x}} — {2} {x} \ right)}}} [/ латекс]
Затем мы вычисляем функцию
f (x) , используя формулу для g (x) в качестве входных данных. {{2}} [/ latex]
Попробовать 6
Пусть
f ( x ) = x 3 + 3 x и [латекс] \ displaystyle {g {\ left ({x} \ right)}}} = \ sqrt {{ x}} [/ latex], найдите f (g (x)) и g (f (x)).{{3}} + {3} {\ left (\ sqrt {{x}} \ right)} [/ латекс]
Пример 11
Городской менеджер определяет, что налоговые поступления в размере
R в миллионах долларов, собранные с населения p тысяча человек, вычисляются по формуле [latex] \ displaystyle {R} {\ left ({p} \ right)} = {0,03} {p} + \ sqrt {{p}} [/ latex], где t измеряется в годах после 2010 года. Найдите формулу налоговых поступлений в зависимости от года.
Поскольку мы хотим, чтобы налоговые поступления были функцией года, мы хотим, чтобы год был нашим начальным вводом, а доход был нашим окончательным результатом.{{2}} [/ латекс]
- Определение состава функций
- Составы с использованием:
Дэвид Липпман и Мелони Расмуссен, Книжный магазин Open Text, Precalculus: An Investigation of Functions, ”
Chapter 1: Functions”, под лицензией CC BY-SA 3.0.
Числа природы: последовательность Фибоначчи
Числа природы: последовательность Фибоначчи
Последовательность Фибоначчи всегда привлекала внимание людей, поскольку, помимо особых математических свойств, другие числа, столь распространенные, как числа Фибоначчи, не существуют больше нигде в математике: они появляются в геометрии, алгебре, теории чисел и во многих других областях. области математики и даже в природе! Давайте вместе узнаем, что это такое…
Жизнь Фибоначчи
Леонардо Пизано по имени Фибоначчи (Фибоначчи означает filius Bonacii ) родился в Пизе около 1170 года.Его отец, Гульельмо деи Боначчи, богатый пизанский купец и представитель купцов Пизанской республики в районе Буджи в Кабилии (на территории современного северо-восточного Алжира), после 1192 года забрал с собой сына, потому что хотел, чтобы Леонардо был стать купцом.
Источник: Википедия
Таким образом, он заставил Леонардо учиться под руководством мусульманского учителя, который руководил им в изучении методов вычисления, особенно тех, которые касались индо-арабских чисел, которые еще не были введены в Европе.Обучение Фибоначчи началось в Беджая и продолжилось также в Египте, Сирии и Греции, местах, которые он посетил со своим отцом на торговых путях, прежде чем окончательно вернуться в Пизу примерно с 1200 года. В течение следующих 25 лет Фибоначчи посвятил себя написанию математических рукописей: из них Liber Abaci (1202), благодаря которым Европа узнала об индо-арабских числах, сегодня нам известны Practica Geometriae (1220), Flos (1225) и Liber Quadratorum (1225). .
Репутация Леонардо как математика стала настолько велика, что император Федерико II попросил аудиенции в Пизе в 1225 году. После 1228 года о жизни Леонардо мало что известно, за исключением того, что он был удостоен звания « Discretus et sapiens magister» Леонардо Биголло »В знак признания большого прогресса, которого он добился в математике. Фибоначчи умер где-то после 1240 года, предположительно в Пизе.
Кролики Фибоначчи и знаменитая последовательность
Liber Abaci , помимо ссылки на индо-арабские числа, которые впоследствии заменили римские цифры, также включали большой набор задач, адресованных торговцам, относительно цен на продукты, расчет прибыли от бизнеса, конвертация валюты в различные монеты, используемые в странах Средиземноморья, а также другие проблемы китайского происхождения.Наряду с этими коммерческими проблемами были и другие, гораздо более известные, которые также оказали большое влияние на более поздних авторов. Среди них наиболее известным, источником вдохновения для многих математиков более поздних веков является следующее: «Сколько пар кроликов родится за год, начиная с одной пары, если каждый месяц каждая пара рождает нового? пара, которая становится репродуктивной со второго месяца? ». Решением этой проблемы является знаменитая «последовательность Фибоначчи»: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55,89… последовательность чисел, в которой каждый член является суммой предыдущие два.
Источник: Oilproject
Важной характеристикой последовательности является тот факт, что отношение между любым числом и предыдущим в серии стремится к четко определенному значению: 1,618… Это золотое сечение или золотое сечение, φ (Phi), которое часто встречается. в природе (чтобы узнать больше: Совершенство улитки).
Когда Фибоначчи проиллюстрировал эту последовательность как решение проблемы «развлекательной математики», он не придал ей особого значения.Только в 1877 году математик Эдуард Лукас опубликовал ряд важных исследований этой последовательности, которые, как он утверждал, обнаружил в Liber Abaci и которые в честь автора он назвал «последовательностью Фибоначчи». Впоследствии количество исследований увеличилось, и были обнаружены многочисленные и неожиданные свойства этой последовательности, настолько, что с 1963 года издается журнал, посвященный исключительно ей, «Ежеквартальный отчет Фибоначчи».
Последовательность Фибоначчи в природе
Наблюдая за геометрией растений, цветов или фруктов, легко распознать наличие повторяющихся структур и форм.Последовательность Фибоначчи, например, играет жизненно важную роль в филлотаксисе, который изучает расположение листьев, ветвей, цветов или семян у растений с основной целью выявить существование регулярных паттернов. Различное расположение природных элементов следует удивительным математическим закономерностям: Д’арси Томпсон заметил, что царство растений имеет любопытное предпочтение определенным числам и определенной спиральной геометрии, и что эти числа и геометрии тесно связаны.
Мы можем легко найти номера последовательности Фибоначчи в спиралях, образованных отдельными цветками в составных соцветиях маргариток, подсолнечника, цветной капусты и брокколи.
У подсолнечника отдельные цветки расположены вдоль изогнутых линий, которые вращаются по и против часовой стрелки. Источники: Последовательность Фибоначчи в филлотаксисе — Лаура Реста (диссертация по биоматематике)
Кеплер заметил, что на многих типах деревьев листья выровнены по образцу, который включает два числа Фибоначчи. Начиная с любого листа, после одного, двух, трех или пяти витков спирали всегда есть лист, выровненный с первым, и, в зависимости от вида, это будет второй, третий, пятый, восьмой или тринадцатый. лист.
Расположение листьев на стебле. Источники: Последовательность Фибоначчи в филлотаксисе — Лаура Реста (диссертация по биоматематике)
Другой простой пример, в котором можно найти последовательность Фибоначчи в природе, дается количеством лепестков цветов.