тема «Равенства-неравенства»
Урок математики в 1 классе. Программа «Школа России»
Тема: Равенства и неравенства.
Лялина Ирина Анатольевна
ГКОУ «Бежецкая школа-интернат»
учитель начальных классов
Тема предыдущего урока: «Знаки «>», «<», «=».
13 урок в разделе «Числа от 1 до 10 и число 0. Нумерация.»
Цели урока:
1.Обучающие:
Познакомить учащихся с терминами «равенство», «неравенство».
Формировать умение детей сравнивать числа и правильно использовать знаки сравнения «больше», «меньше», «равно».
2. Развивающие:
Способствовать развитию мыслительных операций: анализа, синтеза, обобщения, сравнения.
Развивать логическое мышление, речь, внимание.
Развивать умение грамотно, логично полно давать ответы на вопросы, уметь доказывать, аргументировать своё мнение.
3. Воспитательные:
Воспитывать интерес к математике, создавать мотивацию к дальнейшему изучению предмету.
Воспитывать стремление использовать математические знания в повседневной жизни.
Содействовать развитию у детей умения общаться, радоваться успехам товарищей.
Планируемые образовательные результаты
Предметные УУД.
Знают термины «равенство», «неравенство».
Умеют сравнивать числа и правильно использовать знаки сравнения «больше», «меньше», «равно».
Метапредметные УУД.
Познавательные:
умеют анализировать, сравнивать и обобщать полученную информацию на уроке.
Регулятивные:
умеют ставить учебные задачи и самостоятельно формулировать выводы;
умеют слушать собеседника, излагать своё мнение и аргументировать свою точку зрения.
Личностные:
осуществлять сотрудничество в парах, группах при выполнении учебных задач.
Коммуникативные:
вступать в учебное сотрудничество с одноклассниками; участвовать в совместной деятельности;
участвовать в диалоге, в общей беседе, взаимопомощь; осуществлять взаимоконтроль;
проявлять доброжелательное отношение к партнёрам.
Место занятия – учебный кабинет.
Тип урока: урок — «открытие» новых знаний.
Форма урока: урок-исследование.
Межпредметные связи: русский язык, физкультура.
Формы организации работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, парная, дифференцированная.
Методы и приёмы: словесный, наглядный, объяснительно-иллюстративный, опора, частично-поисковый, доказательство, рассуждение, инструктаж, наблюдение, конкретизация, целеполагание, сравнение.
Методы и формы контроля: наблюдение, самооценка, самоконтроль, рефлексия.
Конспект урока по математике.
1 класс.
Тема: Равенства. Неравенства. Знаки «<», «>» «=».
Ι. Орг. момент
Психологический настрой
Улыбнитесь друг другу, подарите улыбки, и мне тоже. Ведь улыбки располагают к приятному общению, а теперь настроимся на работу – откроем ладошки новым знаниям.
Ведь вокруг нас так много интересного, стоит только оглянуться по сторонам. Но в любом деле необходимо соблюдать определенные правила. Давайте вспомним наши правила.
Не выкрикивай, не перебиваем друг друга
Мы слышим друг друга, учимся работать сообща.
ΙΙ. Устный счёт.
1)- Назвать предыдущее число: 3, 5, 2, 4
— Что значит, предыдущее?
— Назвать последующее число: 4, 5, 3, 2
— Что значит, следующее?
2) — Листья желтеют и опадают – это приметы чего? (осени )
— Ветер осенью летал, ветер листики считал:
Красный лист, зеленый лист.
Липы лист, клена лист.
Хорошо ли ты считал? Сколько листьев насчитал? 4
— Назовите соседей числа 4
— Как получить число 4? (состав числа 4)
— Какой сегодня день недели? (пятница)
— А по счёту какой? ( Повторение состава «5»)
ΙΙΙ. Работа по теме.
Объяснение нового материала поисковым методом.
— Кого больше белочек или утят?
— Кого меньше мышат или зайчат?
— Что мы делали? (сравнивали)
— Тогда скажите, что мы будем делать на уроке?
— Сегодня на уроке мы будем сравнивать числа и выражения, узнаем, что такое равенство и неравенство.
— Сколько синих квадратов? (3)
— Сколько красных квадратов? (3)
– то можно сказать о количестве синих и красных? (Их поровну. Столько же.)
–Какой знак поставим между цифрами? (Равно.)
Учитель записывает на доске 3=3.
— Прочти выражение.
— Это равенство.
— Как думаете, почему мы называем это выражение равенство? ( Если количество равное, то такое математическое выражение называется равенством)
— Сколько синих треугольников? (3)
— Сколько зеленых треугольников? (2)
– Что можно сказать о количестве синих и зеленых треугольников? (Синих треугольников больше.)
– Какой знак поставим между цифрами? (Больше.)
Учитель записывает на доске 3>2.
— Прочти выражение.
— Это неравенство.
— Как думаете, почему мы называем это выражение неравенство? (Если количество неравное, то математическое выражение называется неравенством.)
– Какой вывод можно сделать? (Если между числами или числовыми выражениями стоит знак «равно», то это равенство, если между числами или числовыми выражениями стоит знак « > » или « < », то это – неравенство.
)
Первичное закрепление. Игра.Показываю карточки (2=2, 4>2, 4=4,1<3,1=1,4>3). Если показываю равенство, вы стоите ровно, если неравенство, делаете наклон.
Работа по учебнику с.48
Прочитай равенства, затем неравенства
Сравни( устно)
4. Работа в тетради на печатной основе с.19
IV.Итог урока.
Я научился….
Сегодня мне удалось….
Теперь я умею…
Я буду стараться, чтобы….
Открытый урок по математике на тему «Равенства и неравенства» в 1 классе
Создание положительного эмоционального настроя
Стратегия «Ладошки»
— Повернитесь друг к другу, положите свои ладошки на ладошки своего соседа и повторяйте за мной:
— Я желаю тебе сегодня добра,
Ты желаешь мне сегодня добра,
Если будет трудно, я тебе помогу.
Актуализация знаний.
-Сегодня мы с вами отправимся
в путешествие, а куда вы узнаете, отгадав
загадку.
В этом месте
всегда интересно,
Тигры здесь по
струнке сидят,
Собачонки на
лапках ходят,
И слоны свои
трюки показать хотят.
Акробаты к
куполу взлетают,
Фокусники
чудеса в жизнь воплощают.
(Цирк)
-Да, сегодня мы с вами отправимся в цирк.
Но, прежде чем отправиться в цирк, мы с вами должны вспомнить некоторые правила поведения. .
Соблюдаем правила культурного поведения.
-Приходить на представление вовремя.
-Кушать во время представления запрещено.
-Нельзя сорить и мусорить в цирке.
-Не вставайте во время представления и не машите руками.
-Нельзя подходить к животным, выступающим на арене.
Устный
счет.
Ребята, вы знаете, что в цирке зрители рассаживаются по рядам, которые указаны на входном билете. Входные билеты у каждого лежат на парте. Вычислите значение выражений и посмотрите правильно ли мы расселись по рядам.
3+4= 5+3= 10-1=
5+2= 8+0= 3+6=
8-1= 9-1= 4+5=
9-2= 10-2= 7+2=
Покажите с помощью цифр номер вашего ряда.
Что можно сказать об этом числе? (Однозначное, так как в записи используется одна цифра)
Молодцы! Представление началось.
Постановка проблемной ситуации.
Первым нас встречает клоун Тим. Клоуны любят дурачиться и веселить публику. И часто все путают. Вот и сегодня клоун Тим перепутал выражения, помогите клоуну Тиму разделить выражения на две группы.
Работа в парах.
У вас на столе выражения, рассмотрите их.
2=2 3›1
5=5 4‹ 5
6=6 4›2
— Что вы можете о них сказать?
— Какие математические вопросы можно поставить?
Постановка учебной задачи:
— Какие две группы у вас получились? (там, где знак равно и знаки больше и меньше)
Открытие нового знания
— Как назвать эти выражения?
— Что показывает знак равно? (что значение левой части выражения равно значению правой части)
— Что показывает знак больше? (что значение левой части выражения больше значения правой части)
— Что показывает знак меньше? (что значение левой части выражения меньше значения правой части)
Вывод:
Если между числами или числовыми
выражениями стоит знак «равно», то это равенство, если между
числами или числовыми выражениями стоит знак « > » или « < »,
то это – неравенство.
— Как вы думаете, о чём мы будем говорить сегодня на уроке?
И так тема сегодняшнего урока: «Равенства и неравенства»
— Какую цель мы поставим перед собой на уроке?
(На доске слова — подсказки)
Узнать…
Научиться…
Закрепить…
метод интервалов, алгоритм решения, определние, примеры
Понятие рациональных неравенств с одной переменной и их решения
Общие свойства неравенств и линейные неравенства с одной переменной подробно рассматриваются в Главе 6, §§36-40 справочника для 8 класса.
О рациональных алгебраических выражениях – см. §1 справочника для 7 класса.
Рациональное неравенство с одной переменной – это математическое выражение, в котором есть две стороны и один из знаков неравенства между ними: $\neq, \lt, \le, \ge, \gt $
Каждая из сторон рационального неравенства с одной переменной является рациональным выражением с этой переменной.
3+1 \gt 3y-5 $$
Решением рационального неравенства с одной переменной называют такое множество всех значений этой переменной, при подстановке которых в это неравенство вместо неизвестного получается верное числовое неравенство.
При решении неравенств используются свойства неравенств (см. §36 справочника для 8 класса), из которых следует:
- если перенести какое-либо слагаемое неравенства в другую часть, знак неравенства не изменится;
- если разделить обе части неравенства на одно и то же положительное число, знак не изменится; при делении на одно и то же отрицательное число знак нужно поменять.
Алгоритм решения неравенств первой степени
Напомним, что неравенство первой степени также называют «линейным неравенством» (см. Главу 6, §§36-40 справочника для 8 класса)
На входе: неравенство $ax+b \gt 0$ или $ax+b \lt 0$ или аналогичные нестрогие неравенства, где x — переменная, $a \in \Bbb R, b \in \Bbb R$ — некоторые действительные числа, причем $a \neq 0$.
Ход решения:
$$ ax+b \gt 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c}a \gt 0 \\ x \gt -\frac{b}{a}, т.е. x \in (-\frac{b}{a};+ \infty)\end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a \lt 0 \\ x \lt -\frac{b}{a}, т.е. x \in(- \infty;-\frac{b}{a} )\end{array} \right.} \end{array} \right. $$
$$ ax+b \ge 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} a \gt 0\\x \ge -\frac{b}{a}, т.е. x \in [-\frac{b}{a};+ \infty) \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a \lt 0 \\ x \le -\frac{b}{a}, т.е. x \in (- \infty;-\frac{b}{a}]\end{array} \right.} \end{array} \right. $$
Неравенства со знаками $ \lt $ и $ \le $ решаются аналогично.
Например:
1. $5x+8 \gt 0 \Rightarrow 5x \gt -8 \Rightarrow x \gt -1,6 \Rightarrow x \in(-1,6;+ \infty)$
2. $4-2x \le 0 \Rightarrow -2x \le -4 \Rightarrow x \ge 2 \Rightarrow x \in [2;+ \infty)$
Алгоритм решения неравенств второй степени
На входе: неравенство $ax^2+bx+c \gt 0$ или $ax^2+bx+c \lt 0$ или аналогичные нестрогие неравенства, где x — переменная, $a \in \Bbb R, b \in \Bbb R, c \in \Bbb R$ — некоторые действительные числа, причем $a \neq 0$.
2+7x+10 \gt 0 $
D = 49-40 = 9
$x = \frac{-7 \pm 3}{2} = \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -5 \\ x_2 = -2 \end{array} \right.$
$a = 1 \gt 0$, парабола ветками вверх, точки над осью OX соответствуют
промежуткам:
$x \in (-\infty;-5) \cup (-2;+\infty)$
Алгебра 7-9 классы. 26. Линейные неравенства. Решение линейных неравенств
Алгебра 7-9 классы. 26. Линейные неравенства. Решение линейных неравенств
- Подробности
- Категория: Алгебра 7-9 классы
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Свойства числовых равенств помогали нам решать уравнения, т.
е. находить те значения переменной, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Точно так же свойства числовых неравенств помогут нам решать неравенства с переменной, т. е. находить те значения переменной, при которых неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство. Каждое такое значение переменной называют обычно решением неравенства с переменной.
Рассмотрим, например, неравенство
2х + 5 < 7.
Подставив вместо х значение 0, получим 5 < 7 — верное неравенство; значит, х = 0 — решение данного неравенства. Подставив вместо х значение 1, получим 7 < 7 — неверное неравенство; поэтому х = 1 не является решением данного неравенства. Подставив вместо х значение -3, получим -6 + 5 < 7, т.е. — 1 < 7 — верное неравенство; следовательно, х = -3 — решение данного неравенства.
Подставив вместо х значение 2,5, получим 2 — 2,5 + 5 < 7, т. е. 10 < 7 — неверное неравенство. Значит, х = 2,5 не является решением неравенства.
Но вы же понимаете, что это — тупиковый путь: ни один математик не станет так решать неравенство, ведь все числа невозможно перебрать! Вот тут-то и нужно использовать свойства числовых неравенств, рассуждая следующим образом.
Нас интересуют такие числа х, при которых 2х + 5 < 7 — верное числовое неравенство. Но тогда и 2х + 5 — 5< 7 — 5 — верное неравенство (согласно свойству 2: к обеим частям неравенства прибавили одно и то же число — 5). Получили более простое неравенство 2х < 2. Разделив обе его части на положительное число 2, получим (на основании свойства 3) верное неравенство х < 1.
Что это значит? Это значит, что решением неравенства является любое число х, которое меньше 1. Эти числа заполняют открытый луч (-∞, 1). Обычно говорят, что этот луч — решение неравенства 2х + 5 < 7 (точнее было бы говорить о множестве решений, но математики, как всегда, экономны в словах). Таким образом, можно использовать два варианта записи решений данного неравенства: х < 1 или (-∞, 1).
Свойства числовых неравенств позволяют руководствоваться при решении неравенств следующими правилами:
Правило 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства.
Правило 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.
Правило 3.
Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.
Применим эти правила для решения линейных неравенств, т. е. неравенств, сводящихся к виду ах + b > 0 (или ах + b < 0),
где а и b — любые числа, за одним исключением: а ≠ 0.
Пример 1.
Решить неравенство Зх — 5 ≥ 7х — 15.
Р е ш е н и е.
Перенесем член 7х в левую часть неравенства, а член — 5 — в правую часть неравенства, не забыв при этом изменить знаки и у члена 7х, и у члена -5 (руководствуемся правилом 1). Тогда получим
Зх — 7х ≥ — 15 + 5, т. е. — 4х ≥ — 10.
Разделим обе части последнего неравенства на одно и то же отрицательное число — 4, не забыв при этом перейти к неравенству противоположного смысла (руководствуясь правилом 3).
Получим х < 2,5. Это и есть решение заданного неравенства.
Как мы условились, для записи решения можно использовать обозначение соответствующего промежутка числовой прямой: (-∞, 2,5].
О т в е т: х < 2,5, или (-∞, 2,5].
Для неравенств, как и для уравнений, вводится понятие равносильности. Два неравенства f(x) < g(x) и r(x) < s(x) называют равносильными, если они имеют одинаковые решения (или, в частности, если оба неравенства не имеют решений).
Обычно при решении неравенства стараются заменить данное неравенство более простым, но равносильным ему. Такую замену называют равносильным преобразованием неравенства. Эти преобразования как раз и указаны в сформулированных выше правилах 1—3.
Пример 2.
Решить неравенство
Р е ш е н и е.
Умножим обе части неравенства на положительное число 15, оставив знак неравенства без изменения (правило 2), Это позволит нам освободиться от знаменателей, т.
е. перейти к более простому неравенству, равносильному данному:
Воспользовавшись для последнего неравенства правилом 1, получим равносильное ему более простое неравенство:
Наконец, применив правило 3, получим
О т в е т: или
В заключение заметим, что, используя свойства числовых неравенств, мы, конечно, сможем решить не любое неравенство с переменной, а только такое, которое после ряда простейших преобразований (типа тех, что были выполнены в примерах из этого параграфа) принимает вид ах > b (вместо знака > может быть, разумеется, любой другой знак неравенства, строгого или нестрогого).
2 |
И сегодня он пришел к нам в гости, чтобы найти ответы на некоторые вопросы.
Столько же.)
)
Какой знак поставим? (3=4-1)Тема: «Равенство», «неравенство» | Тип: Изучение нового материала | ||
Задачи:
| |||
Планируемые результаты: | |||
Предметные: Отношения «больше», «меньше», «равно» для чисел, их запись с помощью знаков: (больше), Сравнение двух чисел, запись результата сравнения | Метапредметные: Понимать и принимать учебную задачу урока, решать её под руководством учителя. Выполнять мыслительные операции анализа и синтеза, делать умозаключения. Искать разные способы решения задач. Слушать собеседника и вести диалог. Взаимодействовать с учителем, работать по заданному алгоритму. | Личностные: Проявлять интерес к математике. Осваивать роль ученика на основе выполнения правил поведения на уроке, взаимодействия с учителем и одноклассниками. Проявлять заинтересованность в приобретении и расширении знаний. | |
Ресурсы урока: Учебник «Математика», ч.1, стр. 46-47, рабочая тетрадь, ч.1 стр. 18, разрезной материал (Приложение). | |||
Ход урока | |||
Содержание деятельности учителя | Содержание деятельности ученика | ||
Мотивация познавательной деятельности | |||
Актуализация необходимых знаний | |||
|
| ||
Организация познавательной деятельности | |||
|
| ||
Подведение итогов | |||
Предлагает обратиться к плану, составленному в начале урока, проанализировать успешность выполнения, оценить работу на уроке | Соотносят выполненные задания с планом. | ||
Дополнительный материал: С.И. Волкова «Математика. Устные упражнения. Пособие для учителя», упражнения к уроку №21. | |||
Диагностика достижения планируемых результатов: самостоятельно выполнить задание «Проверь себя и оцени свои успехи», (учебник, стр. 47). | |||
Дополнительное творческое задание: провести игру «Магазин», предложить «купить» предметы, заплатив по-разному (поля учебника, стр. 47). | |||
1 класс
46-47).
Пишут знаки сравнения, самостоятельно выполняют задания о мячике, делают вывод, записывают с помощью цифр и знаков. Проверяют свою работу, корректируют, оценивают. Демонстрируют правильный способ прочтения записи.
Анализируют выполнение. Оценивают свою работу на уроке, начиная со слов: «Сегодня на уроке я узнал…», «Сегодня на уроке я научился…», «Сегодня на уроке я удивился тому, что…»Сложное неравенство
Сложное неравенство — это предложение с двумя утверждениями неравенства, соединенными либо словом «или», либо словом «и». «И» означает, что оба утверждения составного предложения верны одновременно.
Это перекрытие или пересечение наборов решений для отдельных утверждений. «Или» означает, что, пока истинно любое из утверждений, истинно все составное предложение. Это комбинация или объединение наборов решений для отдельных операторов.Сложное неравенство, в котором используется слово «и», известно как соединение . Хотя «и» и «или» являются частями речи, известными как союзы, математический союз имеет значение, отличное от грамматического. Чтобы доказать эту точку зрения, союз (часть речи) «или» — при использовании в составном неравенстве — образует так называемую дизъюнкцию . Просто помните, что «con» означает «с другим», а «dis» означает «одно ИЛИ другое».
Пример 1
Решите для x : 3 x + 2 <14 и 2 x — 5> –11.
Решите каждое неравенство отдельно. Поскольку объединяющим словом является «и», это указывает на то, что перекрытие или пересечение является желаемым результатом.
x <4 обозначает все числа слева от 4, а x > –3 обозначает все числа справа от –3.
На пересечении этих двух графиков представлены все числа от –3 до 4. Набор решений:
{ x | x > –3 и x <4}
Другой способ выразить этот набор решений —
{ x | –3 < x <4}
Когда составное неравенство написано без выраженных слов «и» или «или», оно автоматически понимается как слово «и.»При чтении { x | –3 < x <4} из позиции« x »вы говорите (чтение слева):« x больше, чем –3 и (чтение справа) x меньше 4 ». График набора решений показан на рисунке 1.
Рис. 1. x больше –3 и меньше 4.
Пример 2
Решите для x : 2 x + 7 <–11 или –3 x — 2 <13.
Решите каждое неравенство отдельно. Поскольку присоединяющееся слово — «или», объедините ответы; то есть найти объединение множеств решений каждого предложения неравенства.
Не забудьте, как и в последнем шаге справа, переключить неравенство при умножении на отрицательное.
x <–9 указывает все числа слева от –9, а x > –5 указывает все числа справа от –5. Набор решений записывается как
{ x | x <–9 или x > –5}
График этого набора решений показан на рисунке 2.
Рисунок 2. x меньше –9 или больше –5.
Пример 3
Решите для x : –12 ≤ 2 x + 6 ≤ 8.
Поскольку это сложное неравенство не имеет связующего слова, оно понимается как «и». Это переведено в следующее сложное предложение.
–9 ≤ x обозначает все числа справа от –9 включительно, а x ≤ 1 обозначает все числа слева от 1, включая 1.На пересечении этих графиков находятся числа от –9 до 1, включая –9 и 1. Набор решений можно записать как
{ x | x ≥ –9 и x ≤ 1} или { x | –9 ≤ x ≤ 1}
График набора решений показан на рисунке 3.
Рис. 3. Точки указывают на включение точек.
Пример 4
Решите для x : 3 x — 2> –8 или 2 x + 1 <9.
x > –2 обозначает все числа справа от –2, а x <4 обозначает все числа слева от 4. Объединение этих графиков представляет собой целую числовую строку. То есть набор решений - это все действительные числа. График набора решений представляет собой всю числовую прямую (см. Рисунок 4).
Рис. 4. Стрелки указывают на бесконечность.
Пример 5
Решите для x : 4 x — 2 <10 и 3 x + 1> 22.
x <3 обозначает все числа слева от 3, а x > 7 обозначает все числа справа от 7. На пересечении этих графиков чисел нет. То есть набор решений — это пустой набор,. Способ изобразить пустой набор — это нарисовать числовую линию, но не затемнить ни одну ее часть. График пустого множества показан на рисунке 5.
Рисунок 5. Пустой набор.
Решение квадратичных неравенств: примеры
Решение
Квадратичные неравенства: примеры (стр.
2 из 3)
- Решить 2 x 2 + 4 x > x 2 x 6.
Как видите, это
трудно сказать где зеленая линия ( y = 2 x 2 + 4 x )
находится выше синей линии
( y = x 2 x 6).
Итак, вместо того, чтобы пытаться решить это неравенство, я буду работать
со следующим неравенством:
Это последнее неравенство
с этим проще иметь дело, потому что теперь все, что мне нужно сделать, это найти нули
от до = x 2 + 5 x + 6
(что легко), а затем выберите правильные интервалы, основываясь только на
одна парабола (что тоже несложно).То есть сравнивать проще
одна парабола с осью x чем сравнивать две параболы друг с другом.
Но поскольку одна парабола
( y = x 2 + 5 x + 6)
возникла в результате объединения двух исходных парабол («параболы»?),
решение более простого однопараболического неравенства будет таким же
как решение исходного двухпараболического неравенства.Поскольку решения
будет так же, буду работать с более простым случаем.
Я упростил «2 x 2 + 4 x > x 2 x 6 дюймов чтобы получить « x 2 + 5 x + 6 > 0 «. Соответствующее уравнение с двумя переменными: y = x 2 + 5 x + 6.Сначала я найду нули (то есть перехват x ):
Эти два перехвата
разделите числовую строку на три интервала, а именно x <3, 3 < x <2,
и x > 2.
На котором
из этих трех интервалов составляет y = x 2 + 5 x + 6
над осью x ?
С по = x 2 + 5 x + 6
графиков как параболы, направленной вверх правой стороной вверх, квадратичная диаграмма находится над осью
на концах:
Тогда решение:
Почему было ли это решение «или равно», а не просто «больше чем «или» меньше чем «? Потому что исходное неравенство «или равно», поэтому граничные точки, являющиеся нулями или перехватами x , включены в решение.Авторские права Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены
Первый, Найду нулей:
Хм …
Поскольку внутри квадратного корня стоит отрицательное число, не должно быть
любые x — перехватывает.
То есть эта квадратичная величина всегда должна быть выше оси x .
или всегда внизу, потому что он никогда не может пересекать или касаться оси.
|
В
вышеупомянутое решение также может быть указано как «все действительные числа» или
записывается как интервал «от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности».
Это выглядит так же, как и предыдущая проблема, за исключением того, что теперь я ищу где парабола находится ниже оси. Я уже знаю что есть нет x — перехватывает. Кроме того, поскольку это парабола, направленная вверх правой стороной, я знаю, что график всегда находится над осью. Итак, где y = x 2 + x + 1 меньше нуля? Никуда! Тогда решение:
вышеупомянутое решение также может быть указано как «нет решения» или как « пустой набор «, представленный символом» «.
Когда угодно
у вас есть квадратное неравенство, в котором соответствующее квадратное уравнение
не имеет реальных решений (то есть там, где соответствующая парабола
не пересекать ось x ),
решение неравенства будет либо «все x »
или «нет x «,
в зависимости от того, находится ли парабола на той стороне оси, которую вы
нужно.
<< Предыдущая Вверх | 1 | 2 | 3 | Возвращение в индекс далее >>
Цитируйте эту статью как: | Стапель, Елизавета.«Решение квадратичных неравенств: примеры». Purplemath .
Доступно по номеру |
Решение линейных неравенств: расширенные примеры
Решение
Линейные неравенства:
Расширенные примеры (стр.
3 из 3)
Разделы: Введение и форматирование, Элементарные примеры, Дополнительно примеры
- Скорость
для объекта, направленного прямо вверх, определяется как V = 80 — 32 t , где t в секундах.
Когда скорость будет между
32 и 64 футами в секунду? Я установлю соединение
неравенство, а затем решите для t :
32 <80 - 32 т <64
32 — 80 <80 - 80 - 32 т <64 - 80
–48 <–32 т <–16–48 / –32 > –32 т / –32 > –16 / –32
1.5 > т > 0,5
Обратите внимание, что, поскольку у меня чтобы разделить на негатив, мне пришлось перевернуть знаки неравенства. Также обратите внимание, что вы можете (как и я) найти приведенный выше ответ более легко понять, если написать наоборот:
Оглядываясь на оригинал
вопрос, он не запрашивал значение переменной « t «,
но спросил, когда скорость была между определенными значениями.
Итак, фактический ответ:
Скорость будет между 32 и 64 футами в секунду между 0,5 секунды после запуска и 1,5 секунды после запуска.
Всегда помните, когда делаете проблемы со словами, что, как только вы нашли значение переменной, вы нужно вернуться и перечитать проблему, чтобы убедиться, что вы отвечаете актуальный вопрос.Неравенство «0,5 < т <1,5 " не ответил на актуальный вопрос относительно времени. Мне пришлось интерпретировать неравенство и выразите ценности в терминах исходного вопроса.
Сначала умножу через в правой части, а затем решите как обычно:
Поскольку я разделил
положительной «2»
чтобы получить окончательный ответ, мне не пришлось переворачивать знак неравенства.
- Вы хотите
вложить 30 000 долларов. Часть этой суммы будет инвестирована в стабильные 5% -ные простые проценты.
Оценить счет. Остаток будет «вложен» в
бизнес, и он говорит, что вернет вам 7% годовых. Ваш отец знает, что вы вкладываете деньги в
для оплаты обучения вашего ребенка в колледже с процентного дохода.
Как минимум вы можете «вложить» в своего отца, и все же
(при условии, что он действительно вам вернет) получить проценты не менее 1900 долларов?
Часть этой суммы будет инвестирована в стабильные 5% -ные простые проценты.
Оценить счет. Остаток будет «вложен» в
бизнес, и он говорит, что вернет вам 7% годовых. Ваш отец знает, что вы вкладываете деньги в
для оплаты обучения вашего ребенка в колледже с процентного дохода.
Как минимум вы можете «вложить» в своего отца, и все же
(при условии, что он действительно вам вернет) получить проценты не менее 1900 долларов? Сначала я должен установить уравнения для этого.Интерес формула для простого проценты I = Prt, , где I — проценты, P — начальная основная сумма, r — процентная ставка, выраженная в десятичной дроби, а t — время в годах. Поскольку для этой проблемы не указаны временные рамки, Я предполагаю, что t = 1. Я положу x быть той суммой, которую я собираюсь «вложить» с моим отцом.затем будет 30000 — x слева, чтобы инвестировать в безопасный счет. Проценты на вложения в бизнес, при условии, что мне вернут деньги, будет:
Проценты на сейф вложения составит:
Тогда общий процент это:
Мне нужно получить минимум 1900 долларов, так:
То есть мне понадобится «инвестировать» вместе с отцом не менее 20 000 долларов, чтобы получить 1900 долларов процентного дохода.Поскольку я хочу дать ему как можно меньше денег, Отдам ему минимальную сумму:
Я вложу 20 000 долларов под 7%.
- Сплав должен содержат от 46% меди до 50% меди. Найдите наименьшее и наибольшее количество сплава 60% меди, которое следует смешать с сплавом 40% меди, чтобы в итоге получить тридцать фунтов сплава, содержащего допустимый процент меди.
Это похоже на смешанное слово проблема, кроме что это будут знаки неравенства, а не «равно» приметы. Я настрою его точно так же:
| фунтов | % медь | фунтов медь | |
| 60% | x | 0.6 | 0,6 x |
| 40% | 30 — x | 0,4 | 0,4 (30 — x ) = 12 — 0,4 x |
| смесь | 30 | от 0,46 до 0,5 | между 13.8 и 15 |
Как я получил эти значения в нижнем правом поле? Я умножил общее количество фунтов в смеси (30) на минимальные и максимальные проценты (46% и 50%, соответственно). То есть я умножил на нижний ряд, так же как Я сделал в «60%» строка и «40%» row, чтобы получить значение правого столбца.Общее количество меди в смеси будет сумма меди из двух сплавов, положенных в смесь, поэтому я добавлю выражения для количества меди из сплавов, и поместите сумму между минимальным и максимальным допустимые количества меди: Авторские права © Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены
Мне нужно будет использовать от 9 до 15 фунтов 60% сплава.
- Решить 3 ( x -2) + 4 > 2 (2 x -3).
Сначала умножу через и упростить; тогда решу:
3 ( x -2) + 4 > 2 (2 x -3)
3 x -6 + 4 > 4 x -6
3 x — 2 > 4 x — 6
–2 > x — 6
(*)
4 > x
x < 4
Почему я переместил «3 x » в правую сторону (чтобы добраться до линии, отмеченной звездочкой), вместо перемещения «4 x » в левую сторону? Потому что, переместив меньший член, я смог чтобы избежать отрицательного коэффициента при переменной, и, следовательно, Мне удалось избежать необходимости помнить об обратном неравенстве, когда я делил от этого коэффициента.Я считаю, что так работать проще; Я делаю меньше ошибки. Но это дело вкуса.
Почему я переключил неравенство в последней строке и поместите переменную слева? Потому что мне удобнее с неравенствами при таком формате ответов. Опять же, это только дело вкуса. Форма ответа в предыдущей строке: «4 > x », вполне приемлемо.Пока вы не забываете перевернуть неравенство знак, когда вы умножаете или делите на минус, вы не должны есть проблемы с решением линейных неравенств.
<< Предыдущий Наверх | 1 | 2 | 3 | Возвращение в индекс
Цитируйте эту статью как: | Стапель, Елизавета.«Решение линейных неравенств: расширенные примеры». Purplemath . Доступна с |
Правила операций с неравенствами
- Образование
- Математика
- Правила операций с неравенствами
Мэри Джейн Стерлинг
Если ваш преподаватель математики просит вас решить линейное неравенство, вы можете использовать наибольшее линейное неравенство. тех же правил, которые вы использовали бы при решении линейных уравнений.Однако есть два огромных исключения, о которых вы узнаете здесь.
В следующем списке показаны все правила, которые вам необходимо знать при выполнении операций с неравенствами. Обратите внимание, что хотя в этом списке показан только символ <, эти же правила применяются к любому неравенству, включая>, ≤ и ≥.
- Если a < b , то a + c < b + c. Добавление одинакового числа к каждой стороне неравенства не меняет направление символа неравенства.
- Если a < b , то a — c < b — c . Вычитание одного и того же числа с каждой стороны неравенства не меняет направления символа неравенства.
- Если a < b и если c — положительное число, то a · c < b · c.
Умножение каждой стороны неравенства на положительное число не меняет направления символа неравенства. - Если a < b и если c является положительным числом, то
Разделение каждой стороны неравенства на положительное число не меняет направления символа неравенства. - Если a < b и если c — отрицательное число, то a · c > b · c.
Умножение каждой стороны неравенства на отрицательное число меняет направление символа неравенства.
- Если a < b и если c — отрицательное число, то
Деление каждой стороны неравенства на отрицательное число меняет направление символа неравенства на противоположное.
А теперь давайте применим эти правила к некоторым примерам. Во-первых, упростим линейное неравенство 4 x — 3 ≥ 21 и решим относительно x . Сначала нужно прибавить 3 к каждой стороне, а затем разделить каждую сторону на 4. Символ неравенства остается в том же направлении.
Любое число 6 или больше является решением неравенства 4 x — 3 ≥ 21.
Теперь давайте попробуем пример, который включает деление на отрицательное число: решите 16-5 x <11, чтобы получить x . В этом случае вам сначала нужно вычесть 16 с каждой стороны, а затем разделить на –5. Деление на отрицательное число означает, что вы переворачиваете символ неравенства.
Любое число больше 1 является решением неравенства 16-5 x <11.
Об авторе книги
Мэри Джейн Стерлинг является автором Алгебра I для чайников, Учебное пособие по алгебре для чайников, и многих других книг Для чайников . Она преподавала в Университете Брэдли в Пеории, штат Иллинойс, более 30 лет, преподавая алгебру, бизнес-исчисление, геометрию и конечную математику.
Неравенство в политическом классе Америки
Разрыв в уровне благосостояния между кандидатами в президенты и средними американцами едва ли может быть более резким.
В преддверии своей победы на праймериз в Нью-Гэмпшире сенатор Берни Сандерс усилил свою общественную поддержку, подорвав прибыльные связи Хиллари Клинтон с Уолл-стрит.
Это общественное беспокойство по поводу отношений Клинтон с финансовой индустрией говорит не только о пожертвованиях на избирательную кампанию. Среднестатистические американцы сегодня беспокоятся о силе и влиянии богатых американцев, особенно богатых белых мужчин, на политический класс. Сами наши политические лидеры слишком часто оказываются частью той же самой белой мужской экономической элиты.
Кандидаты в президенты 2016 года могут быть более разнообразными по расе, полу и классу, чем кандидаты в прошлом. Но это мало что говорит. По данным Forbes, шесть из оставшихся 10 основных претендентов имеют состояния не менее 20 миллионов долларов. Трамп, с его суммой в 4,5 миллиарда долларов, просто нереалистичен. За исключением Сандерса и сенатора Рубио, каждый кандидат на высшем уровне имеет личное состояние стоимостью не менее 3 миллионов долларов.
Источник: Агустино Фонтевеккья, «Список богатства кандидатов в президенты» Forbes за 2016 год.”
Разрыв в уровне благосостояния между кандидатами в президенты и средними американцами едва ли может быть более резким. Согласно отчету IPS Billionaire Bonanza: Forbes 400 and the Rest of Us , средняя американская семья имеет только 81 400 долларов состояния.
Разрыв становится еще более заметным, если мы рассмотрим расу: среднее домохозяйство чернокожих владеет активами всего лишь на 11 000 долларов, в то время как домашние хозяйства латиноамериканцев имеют только 13 700 долларов.
Конгресс США даже более однороден, чем президентское поле.В настоящее время мужчины составляют колоссальные 80 процентов обеих палат, а белые составляют 80 процентов членов Палаты представителей и 94 процента сенаторов. И все же это тело традиционно было таким преимущественно белым и мужским, что Washington Post рекламировал нынешний 114-й Конгресс как «один из самых разнообразных в американской истории».
По оценкеOpen Secrets, среднее состояние члена Конгресса превышает 1 миллион долларов. По сравнению с самыми богатыми членами эта медиана кажется ничтожной. Например, Rep.Даррелл Исса, бывший председатель комитета палаты представителей по надзору и правительственной реформе, владеет личными активами на 254 миллиона долларов.
Самые богатые члены Конгресса довольно точно демонстрируют расовое и гендерное неравенство, которое мы наблюдаем в нашем более широком американском обществе. Согласно ежегодному «Индексу богатства Конгресса» Roll Call , 10 самых богатых членов Конгресса — все белые. За исключением сенатора Дайанн Файнштейн и члена палаты представителей Дайан Блэк, 10 самых богатых членов Конгресса — все мужчины.
Источник: «Wealth of Congress Index», ноябрь 2015 г.
Наша представительная демократия исходит из идеи, что избрание тех, кто отражает ценности и жизнь своих избирателей, является добродетелью. Наше текущее отсутствие разнообразного представительства убирает голоса обычных американцев из политического дискурса, теряя ценные идеи, которые могли бы улучшить жизнь для всех.
Поощрение большей явки избирателей и политического участия было бы только одним решением.Нам также нужна реформа финансирования избирательных кампаний, чтобы ограничить влияние денег в политике и лишить самые богатые классы их непропорционального политического влияния.
Кандидатуры Сандерса и Рубио доказывают, что у нас могут быть жизнеспособные кандидаты в президенты-немиллионеры, но общее состояние богатства в политике сильно лишает гражданских прав людей со скромным достатком, особенно женщин и цветных.
Многие прогрессивные организации объединились, чтобы поддержать «Пробуждение демократии», серию мобилизаций в Вашингтоне, округ Колумбия.C. В апреле и мае этого года, мы надеемся, что это приведет к большей приверженности увеличению разнообразия нашего политического класса за счет ограничения власти денег и богатства в политике.
При более равных условиях игры у нас было бы большее количество цветных людей, женщин и американцев с любым уровнем дохода и достатка, которые баллотировались бы на работу и чтобы их голоса были услышаны.
Марк Пристер — научный сотрудник Института политических исследований. Имеет степень в области управления и политики Университета Мэриленда.
Примеры— документация CVXPY 1.1.5
В этих примерах показано множество различных способов использования CVXPY.
В разделе «Основные примеры» показано, как решить некоторые общие проблемы оптимизации. в CVXPY.
Раздел «Дисциплинированное геометрическое программирование» показывает, как решать логарифмические выпуклые программы.
В разделе «Дисциплинированное квазивыпуклое программирование» есть примеры квазивыпуклого программирования.
В разделе «Производные» показано, как вычислять анализ чувствительности и градиенты решений.
Есть также разделы, относящиеся к конкретным приложениям.
Раздел Машинное обучение представляет собой руководство по выпуклой оптимизации в машинное обучение.
Разделы Advanced и Advanced Applications содержат более сложные примеры для специалистов по выпуклой оптимизации.
Базовые примеры¶
Наименьшие квадраты [.ipynb]
Линейная программа [.ipynb]
Квадратичная программа [.ipynb]
Программа конуса второго порядка [.ipynb]
Полуопределенная программа [.ipynb]
Смешанная целочисленная квадратичная программа [.ipynb]
Контроль
Оптимизация портфеля
Анализ риска наихудшего случая
Модель штуцера
Оптимальная реклама
Всего вариаций в росписи [.ipynb]
Дисциплинированное геометрическое программирование¶
Основы DGP [.ipynb]
Увеличение объема ящика [.ipynb]
Регулятор мощности [.ipynb]
Завершение матрицы Перрона-Фробениуса [.ipynb]
Факторизация неотрицательной матрицы первого ранга [.ipynb]
Дисциплинированное квазивыпуклое программирование¶
Вогнутая дробная функция [.ipynb]
Метод наименьших квадратов минимальной длины [.ipynb]
Конструкция гиперзвуковой формы [.ipynb]
Производные финансовые инструменты¶
Основы [.ipynb]
Организация массового обслуживания [.ipynb]
Структурированное прогнозирование [.ipynb]
Машинное обучение¶
Регрессия хребта [.ipynb]
Регрессия лассо [.