Осевая и центральная симметрия рисунок: Осевая симметрия рисунки по геометрии 8 класс

Содержание

Осевая симметрия рисунки по геометрии 8 класс

В природе симметрия встречается очень часто. Ее можно наблюдать в расположении органов у животных, в строении листьев и цветов растений, во взмахе крыльев, одним словом везде. А человек взял на вооружение этот инструмент, и использует его и в проектировании сложных объектов, и в искусстве, а так же в других сферах деятельности. Различают осевую и центральную симметрию, а чтобы разобраться какая между ними разница, надо изучить рисунки из этой статьи.

Осевая симметрия.

Рисунок яблока в симметрии.

Центральная симметрия — симметрия относительно точки.

У равностороннего треугольника три оси симметрии.

На тетрадном листочке.

Зеркальное отражение.

Квадрат имеет четыре оси симметрии.

Центральная симметрия в квадратах.

Ось симметрии в творчестве.

Осевая симметрия.

Относительно одной точки. Все отрезки равны.

Симметрия относительно прямой.

Ось — воображаемая линия, делящая тело на две равные половины.

В художестве.

Осевая симметрия ℹ️ определение, виды, свойства, техника построения, интересные факты, доказательство и примеры симметричных фигур в жизни, природе и геометрии

Что такое осевая симметрия? Само слово «симметрия» имеет греческие корни и говорит о существующем определенном порядке расположения частей некого предмета, а также о его соразмерности. 

Под симметрией понимается такое качество предметов, что их можно совместить друг с другом при некоторых преобразованиях.

Что такое симметрия

Наиболее часто это понятие встречается в геометрии. Объект считается симметричным, если после некоторых геометрических преобразований он смог сохранить свои первоначальные свойства.

В качестве примера стоит рассмотреть обычный круг. Если его вращать вокруг условного центра, он сохранит свою форму и первоначальные характеристики. Поэтому этот геометрический предмет смело можно назвать симметричным.

Виды симметрии определяются возможными преобразованиями для данного объекта и его свойствами, которые в результате проведенных манипуляций должны сохраниться. В случае, когда это условие не соблюдается, можно утверждать о наличии асимметрии.

Рис. 1 Фигуры, обладающие симметричностью

Центральная симметрия

Это явление относительно некой точки. Она представляет собой преобразование множества точек пространства или поверхности, во время которого ее центр всегда постоянен и не меняет своего положения.

Данный вид симметрии предполагает, что на равном расстоянии от ее центра располагаются два предмета, например, две точки. Если провести между ними условную прямую, они будут располагаться на ее противоположных концах, а середина этой прямой и будет являться осевым центром. 

Если считать центр неподвижным и начать преобразовывать прямую (т. е. вращать ее относительно центральной точки), то точки на ее концах опишут две кривые. Все точки одной кривой будут иметь такие же симметричные точки на другой кривой.

Объекты, обладающие центром симметрии, представляют большой интерес для ученых. В геометрии насчитывается достаточно много таких объектов. К ним относятся прямые, отрезки, окружность, прямоугольник и др. Центрально симметричные объекты встречаются и в природе.

Рис. 2 Графическое представление центральной симметрии

Осевая симметрия

Это симметрия относительно прямой. В данном классе две точки симметричны относительно некой прямой, если она пересекает центр отрезка, соединяющего эти две точки и является перпендикуляром к нему. Любая точка прямой симметрична сама себе.

Рис. 3 Наглядное представление осевой симметрии

Объект симметричен относительно прямой, если все его точки имеют такие же симметричные аналоги относительно этой прямой. Она же — центр симметрии.

В качестве наглядно примера можно взять обычный бумажный лист, если его сложить пополам. Если через линию сгиба провести прямую – это и будет центром. 

Определенная точка одной половины листы имеет такую же симметричную точку на другой его части, расположенную на перпендикуляре на таком же расстоянии от осевой линии. Одна часть листа тетради является по сути зеркальным отображением другой.

Рис. 4 Примеры осевой симметрии


Фигуры, имеющие несколько осей симметрии

Есть предметы и геометрические фигуры с некоторым числом осей. Для начала в качестве примера стоит рассмотреть прямоугольник и ромб, которые имеют две такие оси.

Две оси симметрии характерны для прямоугольника. Это прямые, которые проведены через точки, являющиеся серединами его противоположных сторон.

То же самое (наличие двух осей) присуще и ромбу. Оси являются прямыми, содержащими диагонали данной геометрической фигуры.

Интерес представляет и квадрат, у которого насчитывается четыре оси. Данная фигура является одновременно и ромбом, и прямоугольником. Остальные виды параллелограммов не имеют осей симметрии вообще.

Рис. 5 Оси симметрии ромба

Единственной фигурой, у которой есть три оси симметрии, является равносторонний треугольник. Они представляют собой не что иное, как его медианы, линии соединяющие середины его сторон. Медианы равностороннего треугольник – это его и биссектрисы, и высоты.

Рис. 6 Оси симметрии равностороннего треугольника

В обычной жизни многие даже не задумываются о том, как часто они сталкиваются с различными видами симметрии. Это понятие характерно не только для мира математики. 

Симметрия встречается в мире природы, архитектуре, в мире искусства и композиции, а также в других сферах человеческой жизни.

Осознание данного факта прошло долгий путь во времени, над ним задумывались великие умы на протяжении многих столетий. С древних времен и до настоящего времени определение этого понятия прошло долгий путь развития.


Центральная и осевая симметрия

Определение. Симметрия (означает «соразмерность» ) — свойство геометрических объектов совмещаться с собой при определенных преобразованиях. Под симметрией понимают всякую правильность во внутреннем строении тела или фигуры.

Симметрия относительно точки — это центральная симметрия (рис. 23 ниже), а симметрия относительно прямой — это осевая симметрия (рис. 24 ниже).

Симметрия относительно точки предполагает, что по обе стороны от точки на одинаковых расстояниях находится что-либо, например другие точки или геометрическое место точек (прямые линии, кривые линии, геометрические фигуры).

Если соединить прямой симметричные точки (точки геометрической фигуры) через точку симметрии, то симметричные точки будут лежать на концах прямой, а точка симметрии будет ее серединой. Если закрепить точку симметрии и вращать прямую, то симметричные точки опишут кривые, каждая точка которых тоже будет симметрична точке другой кривой линии.

Симметрия относительно прямой (оси симметрии) предполагает, что по перпендикуляру, проведенному через каждую точку оси симметрии, на одинаковом расстоянии от нее расположены две симметричные точки. Относительно оси симметрии (прямой) могут располагаться те же геометрические фигуры, что и относительно точки симметрии.

Примером может служить лист тетради, который согнут пополам, если по линии сгиба провести прямую линию (ось симметрии). Каждая точка одной половины листа будет иметь симметричную точку на второй половине листа, если они расположены на одинаковом расстоянии от линии сгиба на перпендикуляре к оси.

Линия осевой симметрии, как на рисунке 24, вертикальна, и горизонтальные края листа перпендикулярны ей. Т. е. ось симметрии служит перпендикуляром к серединам горизонтальных ограничивающих лист прямых. Симметричные точки (R и F, C и D) расположены на одинаковом расстоянии от осевой прямой — перпендикуляра к прямым, соединяющим эти точки. Следовательно, все точки перпендикуляра (оси симметрии), проведенного через середину отрезка, равноудалены от его концов; или любая точка перпендикуляра (оси симметрии) к середине отрезка равноудалена от концов этого отрезка.


Урок по теме «Осевая и центральная симметрия»

Цели урока:

  • образовательные: провести исследовательские работы по изучению явлений симметрии и сформулировать понятия осевой и центральной симметрий, в природе, архитектуре и технике;
  • развивающие: развитие логического мышления, творческой активности, познавательного интереса;
  • воспитательные: воспитание умения сплоченно и дружно работать в коллективе, внимательно слушать речь других, приобретение навыков самостоятельной работы.

Оборудование: мультимедийная аппаратура, раздаточный материал: задания с лабораторной работой, карточки с исследовательскими задачами.

Учащиеся 8 класса разбиваются на группы по 4-5 чел.

Презентация.

ХОД УРОКА

:что есть красота?
И почему ее обожествляют люди?
Сосуд, она в котором пустота,
Или огонь, мерцающий в сосуде?
Н. Заболоцкий.

Перед вами одно из архитектурных чудес света, (слайд 2) так называемый «мавзолей любви», неофициальный, но признанный самым популярным в мире символ Индии — Тадж-Махал. Легенда гласит, что у шаха Джахана был большой гарем, а жемчужиной этого гарема была Мумтаз Махал, которую он нежно любил.

Но счастье не бывает вечным. Рождение 14 ребенка стало причиной смерти Махал. Горе шаха было безгранично. И он повелел построить мавзолей и белого мрамора по красоте достойный его любимой женщины, а по величию — силы их чувств.

Почти 400 лет на берегу Джамны возвышается этот памятник любви, поражающий воображение красотой, строгостью линий, великолепием отделки.

Законченность ансамблю придает парк, разбитый вокруг мавзолея, осью которого является мраморный бассейн, в чистых водах которого отражается памятник архитектурного зодчества, особенно великолепный в первых лучах утреннего солнца.

— Что вас привлекло в этой фотографии?

— Что люди вкладывают в понятие красоты?

Задание 1. У вас на столах лежат картинки (слайд 3). Ваша задача распределить их в три группы по определенным признакам. На выполнение задания вам 2 минуты.

Вопросы к заданию:

  • По какому принципу вы распределяли картинки?
  • Что помогло выявить эту закономерность?
  • В чем различия между группами рисунков?

(Как правило, дети раскладывают картинки не следуя принципам симметричности. Но не ненужно навязывать им какое-то правило. Они сами поймут все к концу урока и смогут разложить картинки учитывая вид симметрии. А сейчас следует согласиться с тем, что они предложили.)

Вы правильно классифицировали картинки. В конце урока мы попытаемся расположить картинки по другому принципу, с точки зрения математики.

Тема нашего урока: «Осевая и центральная симметрии». Откройте тетради и запишите число и тему урока. (Слайд 4).

Симметрия

— в переводе с греческого означает «одинаковость в расположении частей, пропорциональность», «гармония», «красота».

Кто не любовался симметричностью творений природы: листьями, цветами, птицами, животными; или творениями человека: зданиями, техникой, - всем тем, что нас с детства окружает, тем, что стремится к красоте и гармонии.

Герман Вейль — немецкий математик сформулировал определение симметрии сравнительно недавно — в начале ХХ века. И наша с вами задача попробовать повторить его открытие, самостоятельно вывести определение осевой симметрии и центральной симметрии. На уроке мы рассмотрим осевую и центральную симметрию, а с зеркальной симметрией более подробно вы познакомитесь в старших классах.

У вас на столах лежат листы-задания к лабораторной работе №1. В результате выполнения работы вы должны сформулировать определение точек симметричных относительно прямой. На выполнение работы вам отводится 5 минут. (Группам можно предложить одинаковую лабораторную работу, а можно разные)

Лабораторная работа №1А

1) Возьмите лист белой бумаги, согните его пополам.

2) Капните на него каплю краски, (пусть это будет клякса А) сложите лист в двое, а затем разогните.

3) На другой стороне листа вы получили такую же кляксу (пусть это будет клякса А1).

4) Соедините А и А1 отрезком.

5) Измерьте расстояние от А и от А1 до линии сгиба.

Расстояние от А до линии сгиба равно _______________________

Расстояние от А1 до линии сгиба равно ______________________

6) Сравните эти расстояния. Они ____________________

7) Определение:

Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой, если эта прямая проходит через____________________ отрезка АА1 и ______________________ к нему.

Лабораторная работа №1Б

1) Возьмите лист белой бумаги, согните его пополам.

2) Проткните двойной лист иголкой, а затем разогните.

3) Вы получили две точки. Обозначьте одну буквой А, а другую — А1.

4) Соедините А и А1 отрезком.

5) Измерьте расстояние от А и от А1 до линии сгиба.

Расстояние от А до линии сгиба равно _______________________

Расстояние от А1 до линии сгиба равно ______________________

6) Сравните эти расстояния. Они ____________________

7) Определение:

Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой, если эта прямая проходит через____________________ отрезка АА1 и ______________________ к нему.

— Итак, что у вас получилось. Пожалуйста, представители групп, слушаем вас.

— Назовите условия симметрии:(1. равны расстояния от точек до прямой; 2. отрезок и прямая перпендикулярны)

— Посмотрите на слайд (слайд 5). Проверим, а правы ли вы. Запишите определение в тетрадь.

Определение 1: Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.

Задание 2. Перенесите рисунок себе в тетрадь (слайд 6) и постройте точку К1, симметричную точке К относительно прямой т.

Вопросы:

  • Если взять еще одну точку, принадлежащую прямоугольнику и построить ей симметричную, то будет ли она принадлежать прямоугольнику?
  • Как вы считаете, эта фигура симметрична относительно прямой т ?
  • На основании чего вы сделали такой вывод?

— Смотрим, так ли это на самом деле. (слайд 7).

— На основании уже известных вам фактов попробуйте сформулировать определение симметричности фигуры относительно прямой. Посовещайтесь в группах.

Определение 2: Фигура называется симметричной относительно прямой, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре.

Задание 3. Вспомните изученные вами геометрические фигуры. (Ребята перечисляют известные им фигуры на плоскости) Попытайтесь провести ось симметрии в фигурах, которые вам достались (раздать листы с готовыми 2-3 геометрическими фигурами).

Вопросы: (Слайд 8)

  • Сколько осей симметрии у равнобедренного треугольника и равнобедренной трапеции?
  • Что вы можете сказать по поводу квадрата, прямоугольника, ромба?
  • Сколько осей симметрии у окружности?
  • Какой вывод отсюда следует? (Фигура может иметь как одну ось симметрии, так и несколько)

Задание 4. Постройте отрезок АА1 и найдите его середину току О. Как иначе можно назвать точку О. (Центр). Попробуйте сформулировать определение точек, симметричных относительно центра после просмотра слайда. (слайд 9)

Определение 3: Точки A и A1 называются симметричными относительно точки О, если О — середина отрезка AA1.

Лабораторная работа №2

  1. Постройте параллелограмм АВСD.
  2. Проведите диагонали параллелограмма.
  3. Отметьте их точку пересечения О.
  4. Отметьте на стороне АВ произвольную точку М и постройте точку М1, симметричную точке М относительно центра О.
  5. Отметьте на диагонали АС точку К, отличную от точки О и постройте точку К1 симметричную точке К относительно центра О.
  6. Сделайте вывод: если точка принадлежит параллелограмму, то где находится симметричная ей точка?

Определение:

Фигура называется симметричной относительно центра, если для каждой точки фигуры_________________________ ей точка также ___________________ этой фигуре.

Проверим по слайду правильность ваших построений

Вопросы:

Обсудите в группах и сформулируйте, какая фигура называется симметричной относительно центра?

Определение 4: Фигура называется симметричной относительно центра, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре. (Слайд 10)

Задание 5. Симметрия присутствует не только в геометрии, но в алгебре. Посмотрите на слайд. (Слайд 11) Что вы можете сказать о точках, изображенных в системах координат? Определите вид симметрии?

А теперь давайте вернемся к началу урока. Вы должны сгруппировать картинки уже с математической точки зрения?

Сравните со слайдами (слады 12-14), все ли вы выполнили верно? Поздравляю вас с успешным выполнением поставленной задачи.

Ваше домашнее задание — распределить буквы русского алфавита по виду симметрии или её отсутствию, то есть аналогично тому, как вы сейчас распределяли картинки.

Итак, урок подошел к концу. Попробуем подвести итоги.

— Что удалось узнать за урок?

— А что же поражает воображение в Тадж-Махале? (слайд 15) Почему он считается одним из чудес света? (Идеальная симметрия).

— А я хочу вам предложить еще несколько прекраснейших творений природы и человека. (Показ слайдов 16-36)

— Спасибо за урок, мне приятно было с вами работать.

Примеры центральной симметрии — презентация по Геометрии

Презентация на тему: Примеры центральной симметрии

Скачать эту презентацию

Скачать эту презентацию

№ слайда 1 Описание слайда:

Подготовили ученики X «А» класса: Зацепина Екатерина, Павлова Юлия. Центральная симметрия. 5klass.net

№ слайда 2 Описание слайда:

Центральная симметрия. Определение: Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

№ слайда 3 Описание слайда:

Приведём примеры фигур, обладающие центральной симметрией: Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм. Центром симметрии окружности является центр окружности,а центром симметрии параллелограмма — точка пересечения его диагоналей. O O

№ слайда 4 Описание слайда:

А В О Две точки А и В называются симметричными относительно точки О, если О — середина отрезка АВ. Точка О считается симметричной самой себе.

№ слайда 5 Описание слайда:

Например: На рисунке точки М и М1, N и N1 симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки. М М1 N N1 О Р Q

№ слайда 6 Описание слайда:

Центральная симметрия в прямоугольной системе координат: Если в прямоугольной системе координат точка А имеет координаты (x0;y0), то координаты (-x0;-y0) точки А1, симметричной точке А относительно начала координат, выражаются формулами x0 = -x0 y0 = -y0 у х 0 А(x0;y0) А1(-x0;-y0) x0 -x0 y0 -y0

№ слайда 7 Описание слайда:

Центральная симметрии в прямоугольных трапециях: О

№ слайда 8 Описание слайда:

Центральная симметрия в квадратах: О

№ слайда 9 Описание слайда:

Центральная симметрия в параллелограммах: О

№ слайда 10 Описание слайда:

Центральная симметрия в шестиконечной звезде: О

№ слайда 11 Описание слайда:

Точка О является центром симметрии, если при повороте вокруг точки О на 180° фигура переходит сама в себя. О 180°

№ слайда 12 Описание слайда:

Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от других фигур, которые имеют только один центр симметрии(точка О на рисунках), у прямой их бесконечно много — любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник. А В С

№ слайда 13 Описание слайда:

Применение на практике: Примеры симметрии в растениях: Вопрос о симметрии в растениях возник ещё в 5 веке до н. э. На явление симметрии в живой природе обратили внимание в Древней Греции пифагорейцы в связи с развитием ими учения о гармонии. В 19 веке появлялись отдельные работы, касающиеся этой темы. А в 1961 году как результат многовековых исследований, посвященных поиску красоты и гармонии окружающей нас природы, появилась наука биосимметрика. Центральная симметрия характерна для различных плодов: голубика, черника, вишня, клюква. Рассмотрим разрез любой из этих ягод. В разрезе она представляет собой окружность, а окружность, как нам известно, имеет центр симметрии. Центральную симметрию можно наблюдать на изображении таких цветов как цветок одуванчика, цветок мать-и-мачехи, цветок кувшинки, сердцевина ромашки, а в некоторых случаях центральной симметрией обладает и изображение всего цветка ромашки. Её сердцевина представляет собой окружность, и поэтому центрально симметрична, так как мы знаем, что окружность имеет центр симметрии. Весь же цветок обладает центральной симметрией только в случае четного количества лепестков. В случае же нечетного количества лепестков, вспомните анютины глазки , он обладает только осевой. Выводы: По нашим наблюдениям, в любом растении можно найти какую-то его часть, обладающую осевой или центральной симметрией. Это могут быть листья, цветы, стебли, стволы деревьев, плоды, и более мелкие части, такие как сердцевина цветка, пестик, тычинки и другие. Осевая симметрия присуща различным видам растений и грибам, и их частям. Центральная симметрия наиболее характерна для плодов растений и некоторых цветов.

№ слайда 14 Описание слайда:

Ромашка Анютины глазки

№ слайда 15 Описание слайда:

Центральная симметрия в архитектуре: Во второй половине XVIII — первой трети XIX века Петербург приобрёл воспетый А.С. Пушкиным “строгий, стройный вид”, который придала городу архитектура классицизма. Все здания, построенные в стиле классицизм, имеют четкие прямолинейные симметричные композиции. В начале XIX века по проекту А.Н. Воронихина было сооружено выдающееся произведение искусства – Казанский собор. Перед Казанским собором симметрично установлены памятники М.И. Кутузову и М.Б. Барклаю-де-Толли, полководцам, разгромившим армию Наполеона. Примером современных зданий, построенных в середине ХХ века, является гостиница “Прибалтийская”. Симметричность, как видно из чертежа присутствует как в общей композиции, так и в каждой из трех его составляющих:средняя часть – арка с куполом и пикой на вершине, два боковых крыла гостиницы. Выводы: Принципы симметрии являются основополагающими для любого архитектора, но вопрос о соотношении между симметрией и асимметрией каждый архитектор решает по-разному. Асимметричное в целом сооружение может являть собой гармоническую композицию симметричных элементов. Удачное решение определяется талантом зодчего, его художественным вкусом и его пониманием прекрасного. Прогуляйтесь по нашему городу и убедитесь, что удачных решений может быть очень много, но неизменным остается одно – стремление архитектора к гармонии, а это в той или иной степени связано с симметрией.

№ слайда 16 Описание слайда:

Гостиница «Прибалтийская» Казанский собор

№ слайда 17 Описание слайда:

Центральная симметрия в зоологии: Рассмотрим, как связаны животный мир и симметрия. Центральная симметрия наиболее характерна для животных, ведущих подводный образ жизни. А также есть пример асимметричных животных: инфузория-туфелька и амёба Выводы: Симметрию живого существа определяет направление его движения. Для живых существ, для которых ведущим направлением является направление движения “вперед”, наиболее характерна осевая симметрия. Так как в этом направлении животные устремляются за пищей и в этом же спасаются от преследователей. А нарушение симметрии привело бы к торможению одной из сторон и превращению поступательного движения в круговое. Центральная симметрия чаще встречается в форме животных, обитающих под водой. Асимметрию можно наблюдать на примере простейших животных.

№ слайда 18 Описание слайда:

Лягушка Паук Бабочка

№ слайда 19 Описание слайда:

инфузория-туфелька и амёба

№ слайда 20 Описание слайда:

Центральная симметрия в транспорте: Центральная симметрия не совместима с формой наземного и подземного транспорта. Причиной этого служит его направление движения. При рассмотрении вида сверху трамвая, электровоза, телеги, мы видим, что ось симметрии проходит вдоль направления движения. Таким образом, центральную симметрию следует искать в воздушном и подводном транспорте, т. е. в таких видах, где направления: вперед, назад, вправо, влево, – равноценны. Один из таких видов транспорта – это воздушный шар. Другой пример воздушного транспорта – это парашют. Ученые относят его изобретение еще к 13 веку. На нашем чертеже мы представили вид сверху воздушного шара. Отметим, что он аналогичен виду сверху парашюта. Как мы видим, эта фигура центрально симметрична. О – центр симметрии. Дальнейшее развитие парашют получил в изобретении нашими учеными “надувного тормозного устройства”. Оно предназначено для спуска грузов и человека с орбиты. Надувное тормозное устройство представляет собой эластичную оболочку, наполняемую в космосе. Она имеет гибкую теплозащиту и дополнительную надувную оболочку. На базе него предполагается конструирование и спасательных устройств, которые могут использоваться, например, при пожаре в многоэтажных домах. Вид сверху этого устройства представляет собой круг. А круг, как мы знаем, не только обладает осевой симметрией, но и центральной. Центр симметрии совпадает с центром круга. Выводы: Вид сверху и вид спереди различных видов транспорта обладает либо центральной, либо осевой симметрией. Для наземного вида транспорта в большей степени характерна осевая симметрия. Причиной этого является направление его движения. Центральная симметрия чаще встречается в форме воздушного и подводного транспорта, для которого направления: вправо, влево, вперед, назад, – равноценны. Модели транспорта будущего в той же степени, что и модели настоящего и прошлого обладают различными видами.

№ слайда 21 Описание слайда:

Надувное тормозное устройство Капсула поезда Парашют (вид сверху)

№ слайда 22 Описание слайда:

А также с симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. В большинстве случаев симметричны относительно центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например зубчатые колёса.

№ слайда 23 Описание слайда:

Аксиомы стереометрии и планиметрии Подготовила: ученица Х «А» класса Зацепина Екатерина.

№ слайда 24 Описание слайда:

Аксиомы стереометрии.

№ слайда 25 Описание слайда:

Аксиома 1(С1): Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. А α , В α α Α в Э Э

№ слайда 26 Описание слайда:

Аксиома 2(С2): Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по одной прямой, проходящей через эту точку. β α А α А β Э Э } α β = m U m А

№ слайда 27 Описание слайда:

Аксиома 3(С3): Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну. a b = d a, b, d α U Э d α в a

№ слайда 28 Описание слайда:

Аксиомы планиметрии.

№ слайда 29 Описание слайда:

Аксиома I: Какова бы не была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. А α , В α Э Э А В А,В=α α α А В

№ слайда 30 Описание слайда:

Аксиома II: Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. А В С

№ слайда 31 Описание слайда:

Аксиома III: Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. А В АВ > 0

№ слайда 32 Описание слайда:

Аксиома III: Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. А В АC + CВ > 0 C

№ слайда 33 Описание слайда:

Аксиома III: Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. А В АC+CВ > 0 C

№ слайда 34 Описание слайда:

Аксиома IV: Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости: β и φ β α φ

№ слайда 35 Описание слайда:

Аксиома V: Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180 . Градусная мера угла равна сумме, градусных мер углов,на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. 180 В А

№ слайда 36 Описание слайда:

Аксиома VI: На любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один. А В АВ α Э

№ слайда 37 Описание слайда:

Аксиома VII: От полупрямой на содержащей её плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180, и только один. φ = 45°< 180° α b φ=45°

№ слайда 38 Описание слайда:

Аксиома VIII: Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости. α а А В С А1 В1 С1

№ слайда 39 Описание слайда:

Аксиома IX: На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. А α β φ B

№ слайда 40 Описание слайда:

Аксиома 1(С1): Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. А α , В α α Α в Э Э

№ слайда 41 Описание слайда:

Аксиома I: Какова бы не была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. А α , В α Э Э А В А,В=α α α А В

Осевая и центральная симметрия

Осевая и центральная симметрии

Задание 1Осевая симметрия – это …

Выберите один из 2 вариантов ответа:

1) симметрия относительно прямой

2) симметрия относительно точки

Задание 2Центральная симметрия – это …

Выберите один из 2 вариантов ответа:

1) симметрия относительно прямой

2) симметрия относительно точки

Задание 3Отметьте точки, которые являются симметричными относительно прямой

Выберите несколько из 4 вариантов ответа:

1) и 2) и 3) и

4) Точка симметрична самой себе относительно прямой

Задание 4Отметьте точки, которые являются симметричными относительно точки .

Выберите несколько из 4 вариантов ответа:

1) и 2) и 3) и

4) Точка симметрична самой себе.

Задание 5Сколько осей симметрии имеет равнобедренный треугольник?

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) Одну 2) Две 3) Три 4) Не имеет осей симметрии

Задание 6Сколько осей симметрии имеет равносторонний треугольник?

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) Одну 2) Две 3) Три 4) Не имеет осей симметрии

Задание 7

Сколько осей симметрии имеет разносторонний треугольник?

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) Одну 2) Две 3) Три 4) Не имеет осей симметрии

Задание 8Какие из фигур обладают центральной симметрией?

Выберите несколько из 4 вариантов ответа:

1) Окружность 2) Произвольный треугольник

3) Прямая 4) Ромб

Задание 9Какие из букв имеют ось симметрии?

Выберите несколько из 4 вариантов ответа:

1) А 2) Б 3) Г 4) Е

Задание 10Какие из букв имеют центр симметрии?

Выберите несколько из 4 вариантов ответа:

1) А

2) О

3) М

4) Х

Ответы:

1) (1 б.) Верные ответы: 1;

2) (1 б.) Верные ответы: 2;

3) (1 б.) Верные ответы: 1; 4;

4) (1 б.) Верные ответы: 1; 2; 4;

5) (1 б.) Верные ответы: 1;

6) (1 б.) Верные ответы: 3;

7) (1 б.) Верные ответы: 4;

8) (1 б.) Верные ответы: 1; 3; 4;

9) (1 б.) Верные ответы: 1; 4;

10) (1 б.) Верные ответы: 2; 4;

Урок по теме «Симметрия в пространстве»

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: комбинированный.

Цели урока:

  • Рассмотреть осевую, центральную и зеркальную симметрии как свойства некоторых геометрических фигур.
  • Научить строить симметричные точки и распознавать фигуры, обладающие осевой симметрией и центральной симметрией.
  • Совершенствовать навыки решения задач.

Задачи урока:

  • Формирование пространственных представлений учащихся.
  • Развитие умения наблюдать и рассуждать; развитие интереса к предмету через использование информационных технологий.
  • Воспитание человека, умеющего ценить прекрасное.

Оборудование урока:

  • Использование информационных технологий (презентация).
  • Рисунки.
  • Карточки с домашним заданием.

Ход урока 

I. Организационный момент.

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Введение.

Что такое симметрия?

Выдающийся математик Герман Вейль высоко оценил роль симметрии в современной науке: «Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство».

Мы живем в очень красивом и гармоничном мире. Нас окружают предметы, которые радуют глаз. Например, бабочка, кленовый лист, снежинка. Посмотрите, как они прекрасны. Вы обращали на них внимание? Сегодня мы с вами прикоснемся к этому прекрасному математическому явлению – симметрии. Познакомимся с понятием осевой, центральной и зеркальной симметрий. Будем учиться строить и определять симметричные относительно оси, центра и плоскости фигуры.

Слово “симметрия” в переводе с греческого звучит как “гармония”, означая красоту, соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придает гармоничность, законченность.

В наиболее общем виде под «симметрией» в математике понимается такое преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка M переходит в другую точку M’ относительно некоторой плоскости (или прямой) a, когда отрезок MM’ является перпендикулярным плоскости (или прямой) a и делится ею пополам. Плоскость (прямая) a называется при этом плоскостью (или осью) симметрии. К фундаментальным понятиям симметрии относятся плоскость симметрии, ось симметрии, центр симметрии. Плоскостью симметрии P называется такая плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части, расположенные друг относительно друга так, как предмет и его зеркальное отражение.

III. Основная часть. Виды симметрии.

Центральная симметрия

Симметрия относительно точки или центральная симметрия – это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону центра симметрии, соответствует другая точка, расположенная по другую сторону центра. При этом точки находятся на отрезке прямой, проходящей через центр, делящий отрезок пополам.

Практическое задание.

  1. Даны точки А, В и М. Постройте точку, симметричную точке М относительно середины отрезка АВ.
  2. Какие из следующих букв имеют центр симметрии: А, О, М, Х, К?
  3. Имеют ли центр симметрии: а) отрезок; б) луч; в) пара пересекающихся прямых; г) квадрат?

Осевая симметрия

Симметрия относительно прямой (или осевая симметрия) – это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону прямой, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны оси симметрии и делятся ею пополам.

Практическое задание.

  1. Даны две точки А и В, симметричные относительно некоторой прямой, и точка М. Постройте точку, симметричную точке М относительно той же прямой.
  2. Какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, Г, Е, О?
  3. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч?
  4. Сколько осей симметрии имеет рисунок? (см. рис. 1)


Рис. 1

Зеркальная симметрия

Точки А и В называются симметричными относительно плоскости α (плоскость симметрии), если плоскость α проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости α считается симметричной сама себе.

Практическое задание.

  1. Найдите координаты точек, в которые переходят точки А (0; 1; 2), В (3; -1; 4), С (1; 0; -2) при: а) центральной симметрии относительно начала координат; б) осевой симметрии относительно координатных осей; в)зеркальной симметрии относительно координатных плоскостей.
  2. В правую или левую перчатку переходит правая перчатка при зеркальной симметрии? осевой симметрии? центральной симметрии?
  3. На рисунке показано, как цифра 4 отражается в двух зеркалах. Что будет видно на месте знака вопроса, если то же самое сделать с цифрой 5? (см. рис. 2)
  4. На рисунке показано, как слово КЕНГУРУ отражается в двух зеркалах. Что получится, если то же самое проделать с числом 2011? (см. рис. 3)


Рис. 2


Рис. 3

Это интересно.

Симметрия в живой природе.

Почти все живые существа построены по законам симметрии, недаром в переводе с греческого слово «симметрия» означает «соразмерность».

Среди цветов, например, наблюдается поворотная симметрия. Многие цветы можно повернуть так, что каждый лепесток займет положение соседнего, цветок совместится с самим собой. Минимальный угол такого поворота для различных цветов неодинаков. Для ириса он равен 120°, для колокольчика – 72°, для нарцисса – 60°.

В расположении листьев на стеблях растений наблюдается винтовая симметрия. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются в разные стороны и не заслоняют друг друга от света, хотя сами листья тоже имеют ось симметрии. Рассматривая общий план строения какого-либо животного, мы замечаем обычно известную правильность в расположении частей тела или органов, которые повторяются вокруг некоторой оси или занимают одно и то же положение по отношению к некоторой плоскости. Эту правильность называют симметрией тела. Явления симметрии столь широко распространены в животном мире, что весьма трудно указать группу, в которой никакой симметрии тела подметить нельзя. Симметрией обладают и маленькие насекомые, и крупные животные.

Симметрия в неживой природе.

Среди бесконечного разнообразия форм неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образы, чей вид неизменно привлекает наше внимание. Наблюдая за красотой природы, можно заметить, что при отражении предметов в лужах, озерах проявляется зеркальная симметрия (см. рис. 4).

В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. Каждая снежинка – это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают поворотной симметрией и, кроме того, зеркальной симметрией.

Нельзя не увидеть симметрию и в ограненных драгоценных камнях. Многие гранильщики стараются придать бриллиантам форму тетраэдра, куба, октаэдра или икосаэдра. Так как гранат имеет те же элементы что и куб, он высоко ценится знатоками драгоценных камней. Художественные изделия из гранатов были обнаружены в могилах Древнего Египта, относящихся еще к додинастическому периоду (свыше двух тысячелетий до н.э.) (см. рис. 5).

В коллекциях Эрмитажа особым вниманием пользуются золотые украшения древних скифов. Необычайно тонка художественная работа золотых венков, диадем, дерева и украшенных драгоценными красно-фиолетовыми гранатами.

Одним из самых наглядных использований законов симметрии в жизни служат строения архитектуры. Это то, что чаще всего мы можем увидеть. В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла (см. рис. 6). В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях.

Еще одним примером использования человеком симметрии в своей практике – это техника. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оце

Симметрия относительно оси | Purplemath

Purplemath

«Симметрия» — это признание совпадения частей формы.

Например, человеческое тело имеет «двустороннюю» (то есть двустороннюю) симметрию, потому что левая и правая половины тела отражают друг друга внешне, как вы можете видеть на изображении ниже:

MathHelp.com

Но эта симметрия применима только к основной обрамляющей структуре нашего тела; Большая часть наших внутренностей, наших органов, не совпадают, как вы можете видеть на изображении справа: посмотрите, как печень (коричневый) и желудок (розовый) меняют стороны, когда органы переворачиваются.:

(Рисунок выше анимирован на «живом» сайте.)

Пунктирная линия, проходящая посередине первого рисунка выше, называется «осью симметрии».

Если вы думаете о картине с двусторонней симметрией, нарисованной на листе прозрачного пластика с шампуром для шашлыка, проткнутым через пунктирную линию, вы можете повернуть шампур (и, следовательно, лист) на 180 ° и в итоге посмотреть на тот же рисунок, но с другой стороны пластика:

(Приведенный выше рисунок анимирован на «живом» сайте.)

У фигурки столько симметрий, сколько на ее пластиковом листе могут быть шпажки.

Например, прямоугольник можно вращать через середины, поэтому прямоугольник имеет две симметрии.

(Рисунок выше анимирован на «живом» сайте.)

Квадрат также можно вращать по диагоналям, поэтому квадрат имеет четыре симметрии.

(Приведенный выше рисунок анимирован на «живом» сайте.)

Треугольник может иметь одну или три линии симметрии, но обычно их нет. Например:

одна линия симметрии:

три линии симметрии:

без линий симметрии:

А круг имеет бесконечно много линий симметрии, поскольку любая линия, проходящая через его центр (то есть любой диаметр), также является осью симметрии.


При работе с симметрией относительно линии вас обычно спрашивают о симметрии относительно оси. С параболами (и другими кониками) вас могут спросить о симметрии относительно любой линии . В любом случае, концепции те же, потому что:

Ось x — это просто линия y = 0, а ось y — это просто линия x = 0.

Вот несколько примеров этих типов симметрии:

Парабола y = x 2 — 4 показана ниже:

Линия (или «ось») симметрии — это ось y , также известная как линия x = 0.Эта линия отмечена на картинке зеленым. График называется «симметричным относительно оси y », и эта линия симметрии также называется «осью симметрии» параболы.

В отличие от предыдущего примера, парабола y = ( x -2) 2 -4 имеет линию (или ось) симметрии, но не симметрична относительно любой из осей (т. Е. несимметрично относительно оси x или y ):

Ось здесь — это линия x = 2, как отмечено зеленым выше.Если бы вас попросили «найти ось симметрии параболы», вы бы ответили « x = 2».

Однако, если вас спросят: «Симметричен ли график относительно любой из осей?», Вы поймете, что они спрашивают только о симметрии относительно оси x — или y ; вы бы ответили: «Нет».


Филиал


Иногда вас спросят о симметрии графиков, которые не соответствуют функциям, но на самом деле являются отношениями.(То есть графики не проходят тест вертикальной линии.) Нефункциональные отношения могут иметь оси симметрии. Например, график y 2 = x + 4 симметричен относительно оси x :

Ось симметрии — это линия y = 0, которая также является осью x . Если бы вас спросили, является ли этот график симметричным относительно какой-либо оси, вы бы ответили: «Да, относительно оси x ».«Если бы вас спросили об оси симметрии (боковой) параболы, вы бы сказали:« прямая y = 0. »

С другой стороны, смещенная парабола ( y -2) 2 = x + 4 имеет ось симметрии, но не симметрична ни по одной из (регулярных) осей:

Если бы вас спросили: «Симметричен ли этот график относительно какой-либо оси?», Вы бы ответили: «Нет». Если вас спросят об оси симметрии, вы ответите « y = 2» или «ось x ».«

Другими словами, ваш ответ будет зависеть от контекста. Если вы обнаружите «четные» функции, вы будете искать один вид симметрии (то есть симметрию относительно оси y ). Если вы посмотрите на графики коник, вы увидите другой вид симметрии (то есть симметрию относительно любой прямой линии , обычно параллельной одной из x — и y — оси).

Кстати, не позволяйте предыдущим графикам вводить вас в заблуждение.Линия симметрии не обязательно должна проходить или касаться графика основной функции или отношения. Например, ось симметрии гиперболы не будет касаться графика:

горизонтальная линия симметрии:
не касается гиперболы


URL: https: //www.purplemath.com / modules / symry.htm

.

Вся элементарная математика — Учебное пособие — Геометрия

Зеркальная симметрия. Плоскость симметрии. Симметричные фигуры.
Отразите равные фигуры. Центральная симметрия. Центр симметрии.
Симметрия вращения. Ось симметрии. Осевая симметрия.
Примеры видов симметрии. Симметрия плоских фигур.
Примеры симметрии плоских фигур.

Зеркальная симметрия. Геометрическая фигура называется симметричной относительно плоскости S (рис.104), если для каждой точки E этого рисунка может быть найдена точка E того же рисунка, так что отрезок EE перпендикулярен плоскости S и делится этой плоскостью на два (EA = AE). Плоскость S называется плоскостью симметрии . Симметричные фигуры, предметы и тела не равны друг другу в узком смысле. (например, левая перчатка не подходит для правой руки и наоборот). Называются они зеркалом , равным .

Центральная симметрия. Геометрическая фигура (или тело) называется симметричной относительно центра C (рис.105), если для каждой точки A этого рисунка находится точка E того же рисунка, так что отрезок AE проходит через центр C и делится в этой точке на два (AC = CE). Точка C называется центр симметрии .

Симметрия вращения. Тело (рисунок) имеет вращательную симметрию (рис.106), если при повороте на угол 360 / n (здесь n целое число) вокруг некоторой прямой AB ( ось симметрии ) полностью совпадает со своим исходным положением. При n = 2 ср. обладают осевой симметрией . Треугольники (рис.105) также обладают осевой симметрией.

Примеры вышеупомянутых видов симметрии. Сфера (шар) имеет центральную, зеркальную и вращательную симметрию.Центр симметрии — это центр шара; плоскость симметрии — это плоскость любого большого круга; ось симметрии — диаметр шара. Круглый конус имеет осевая симметрия; ось симметрии — ось конуса. Правая призма имеет зеркальную симметрию. Плоскость симметрии параллельна его основаниям и размещена равное расстояние между ними.

Симметрия плоских фигур. Зеркально-осевая симметрия. Если на плоской фигуре ABCDE (рис.107) симметричен относительно плоскости S (что возможно только в том случае, если плоскость фигуры перпендикулярна плоскости S), то прямая KL, по которой эти плоскости пересекаются, является ось симметрии 2-го порядка фигуры ABCDE. В этом случае фигура ABCDE называется зеркально-симметричной .

Центральная симметрия. Если плоская фигура (ABCDEF, рис.108) имеет ось симметрии 2-го порядка, перпендикулярную плоскости фигуры (прямая MN, рис.108), то точка O, в которой пересекаются MN и плоскость фигуры ABCDEF, является симметрией центром .

Примеры симметрии плоских фигур.
Параллелограмм имеет только центральную симметрию. Центр его симметрии — точка пересечения диагоналей. Равнобедренная трапеция имеет только осевую симметрию. Ось симметрии — перпендикуляр, проведенный через середины его оснований. Ромб имеет как центральную, так и осевую симметрию.Ось симметрии — это любая его диагональ; центр симметрии — это точка их пересечения. Круг имеет Что вы можете сказать о кругах видов симметрии?

.

Симметрия и графики | Purplemath

Purplemath

Симметрия — это скорее геометрическая, чем алгебраическая концепция, но, как упоминалось на предыдущих двух страницах, тема симметрии действительно возникает в нескольких алгебраических контекстах. При построении квадратичных диаграмм вас могут спросить об оси симметрии параболы. Обычно это просто вертикальная линия x = h , где « h » — это координата x вершины ( h , k ).То есть ось симметрии параболы обычно представляет собой вертикальную линию, проходящую через ее вершину. Другой обычный контекст для симметрии — это оценка по графику, является ли функция четной или нечетной.

Примечание. По определению, никакая функция не может быть симметричной относительно оси x (или любой другой горизонтальной линии), поскольку все, что отражается вокруг горизонтальной линии, будет нарушать тест вертикальной линии.

MathHelp.com

С другой стороны, функция может быть симметричной относительно вертикальной линии или относительно точки. В частности, функция, симметричная относительно оси y , также является «четной» функцией, а функция, симметричная относительно начала координат, также является «нечетной» функцией.Из-за этого соответствия между симметрией графика и четностью или нечетностью функции «симметрия» в алгебре обычно применяется к оси y и началу координат.


  • Далее перечислите любые симметрии, если таковые имеются, для отображаемого графика и укажите, показывает ли график функцию.

График A: Этот график симметричен относительно своей оси; то есть симметрично относительно линии x = 3.Другой симметрии нет. На этом графике показана функция.

График B: Этот график симметричен относительно осей; то есть он симметричен относительно линий x = 0 (ось y ) и y = 0 (ось x ). Он также симметричен относительно начала координат. Поскольку существуют вертикальные линии (например, линия x = 2), которые дважды пересекают этот график, то, что он показывает, не является функцией.

График C: Этот график симметричен относительно линий x = 1 и y = –2 и симметричен относительно точки (1, –2).Поскольку можно провести вертикальную линию, дважды пересекающую эллипс, это не функция.

График D: Этот график симметричен относительно наклонных линий: y = x и y = — x . Он также симметричен относительно начала координат. Поскольку эта гипербола расположена под правильным углом (так что ни одна вертикальная линия не может пересекать график более одного раза), график показывает функцию.

График E: Этот график (функции квадратного корня) не показывает никакой симметрии, но это функция.

График F: Этот график (кубической функции) симметричен относительно точки (–4, –1), но не относительно каких-либо линий. Этот график действительно показывает функцию.

График G: Эта парабола лежит на боку. Он симметричен относительно прямой y = 2. Это не функция.

График H: Эта парабола вертикальна и симметрична относительно оси y .Это функция; на самом деле это четная функция.


  • В дальнейшем определите по графикам, являются ли отображаемые функции четными, нечетными или ни одним из них.

График A: Этот линейный график проходит через начало координат. Если я поверну график на 180 ° вокруг начала координат, я получу такое же изображение.Так что этот график нечетный. (Функция не была бы странной, если бы эта строка не проходила через начало координат.)

График B: Вершина этой параболы находится на оси y , поэтому ось симметрии — это ось y . Это означает, что функция четная.

График C: Этот кубик с центром в начале координат. Если я поверну график на 180 ° вокруг начала координат, я получу такое же изображение.Так что этот график нечетный.

График D: этот кубик с центром в точке (0, –3). Этот график симметричен, но не относительно начала координат или оси y . Таким образом, эта функция не является ни четной, ни нечетной.

График E: Этот корень куба центрирован в начале координат, поэтому эта функция нечетная.

График F. Этот квадратный корень не имеет симметрии.Функция не четная и не нечетная.

График G: Этот график выглядит как колоколообразная кривая. Поскольку она зеркально отражена вокруг оси y , функция четная.

График H: эта гипербола симметрична относительно линий y = x и y = — x , но это ничего не говорит мне о четности или нечетности. Однако график также симметричен относительно начала координат, поэтому эта функция нечетная.


В поисках симметрии не нужно просто сидеть и разгадывать загадку в своей голове. Вместо этого возьмите бумагу и карандаш и посмотрите, есть ли место, куда вы можете вставить ластик для карандаша, а затем крутите бумагу на столе. Когда он развернется наполовину, вы получите ту же картину, что и раньше? Затем ваш ластик отмечает точку симметрии. Возьмите линейку и поставьте ее на край в середине графика.Посмотрите на бумагу и проведите глазами по двум «сторонам» изображения. Две части графика, по обе стороны от линейки, выглядят как зеркальные изображения? Затем линейка отмечает линию симметрии. Не стесняйтесь вкладывать руки в работу; это действительно может помочь «почувствовать» симметрию.


URL: https: // www.purplemath.com/modules/symmetry3.htm

.

линий симметрии | Помощь с математикой

Выводы: после этого урока учащиеся смогут:

  • Определить, является ли фигура симметричной
  • Нарисуйте линии симметрии на фигуре
  • Нарисуйте линию симметрии

Обозначение симметричных фигур

Этот раздел поможет вашему ребенку определить, симметрична ли фигура.

Фигура считается симметричной, если ее можно разделить точно пополам.Посмотрите на пример ниже.

Симметрия означает, что обе стороны
в точности совпадают с
при разделении пополам.

Обратите внимание, что обе стороны счастливого лица выглядят совершенно одинаково. Это означает, что эта фигура симметрична.

Посмотрите на следующий пример. Эта фигура симметрична? Это выглядит одинаково по обе стороны от линии?

Этот восьмиугольник имеет более одной линии симметрии.Вы можете найти остальных?

Восьмиугольник симметричный. Если вы сложите его там, где находится линия, каждая сторона будет идеально соответствовать. Но как узнать, что фигура НЕ симметрична? Посмотрите на пример ниже. Эта фигура не симметрична. Вы можете понять почему?

Обе стороны не одинаковые!

Молния не является симметричной, потому что она не разделяется пополам с двумя равными сторонами.Один из простых способов узнать, симметрична ли фигура — это нарисовать ее на бумаге и сложить пополам. Если стороны полностью совпадают, это симметрично.

Рисование линий симметрии

Этот раздел поможет вашему ребенку рисовать линии симметрии на фигуре.

Линия симметрии делит фигуру пополам. Фигуры могут иметь более одной линии симметрии.

Посмотрите на квадрат ниже. Сколько линий симметрии вы считаете? Будьте осторожны, чтобы считать каждую строку только один раз!

Имеет ли прямоугольник столько же линий симметрии, сколько квадрат? Помните, что линия симметрии разделит фигуру пополам, так что каждая часть будет абсолютно одинаковой.Обратите внимание, что у прямоугольника на две линии симметрии меньше. Вы можете подумать, в каком направлении не может идти линия симметрии?

Прямоугольник не может иметь диагональную линию симметрии, как квадрат, потому что стороны не одинаковой длины. Если вы сложите этот прямоугольник по диагонали так, чтобы угол A совпадал с углом D, стороны не совпадают с . Попробуйте это с блокнотом!

Вы можете рисовать линии симметрии на самых разных фигурах. Посмотрите на линии симметрии на рисунках ниже.Обратите внимание, как разные типы фигур могут иметь разное количество линий симметрии.

Создание симметричных фигур

Этот раздел поможет вашему ребенку нарисовать линию симметрии.

Посмотрите на рисунок ниже. Рисуется только половина. Вы можете использовать линию симметрии в качестве ориентира, чтобы нарисовать вторую половину. Начните с точки на линии симметрии и нарисуйте то же самое на другой стороне.

Проведите горизонтальную линию
Проведите вертикальную линию
Проведите горизонтальную линию
Проведите диагональную линию

Рисунок A является исходным чертежом, а рисунок B представляет собой симметричную или идентичную деталь.

Примеры

На рисунке ниже показано количество линий симметрии различных типов фигур. Обратите внимание, что для правильных многоугольников количество линий симметрии равно количеству сторон фигуры.

Таблицы симметрии

Вы можете щелкнуть приведенные ниже ссылки и попросить ребенка попробовать рабочие листы симметрии. Эти рабочие листы помогут практиковать то, что показано выше.

Симметрия в вашей жизни (деятельности)

Вот список действий, которыми вы можете заниматься дома или в вашем районе, чтобы помочь понять симметрию.

  • Симметрия в супермаркете
    • Сходите в супермаркет и найдите симметричные коробки, контейнеры и упаковки.
    • Посмотрите на разные фрукты и овощи. Какие симметричны, а какие нет? Что может быть симметричным — фрукты или овощи?
  • Симметрия в природе
    • Осмотреть цветы, деревья, листья на симметрию
    • Сфотографируйте насекомое — где линия симметрии?
  • Симметрия в вашей спальне
    • Определите линии симметрии на вашей кровати, телевизоре, игровой системе, компьютере и дверце шкафа.
    • У кого в спальне более симметричные фигуры — у тебя или твоего брата или сестры? Сколько еще симметричных фигур вы видите?
  • Симметрия кухни
    • Используйте коробки или контейнеры из кухонных шкафов, чтобы создать симметричную фигуру по обе стороны от линии симметрии (вы можете использовать метр или длинный кусок ленты в качестве линии симметрии).
  • Район охоты за мусором
    • Ищите примеры симметрии, просто прогуливаясь по окрестностям.
    • Записывайте рисунки или изображения симметричных фигур.
.

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о