Сколько треугольников необходимо чтобы сложить фигуру см рисунок: сколько одинаковых треугольников необходимо чтобы сложить фигуру смотрите B2

Содержание

Тест «Конструктивный рисунок человека из геометрических фигур»

ТЕСТ
«Конструктивный рисунок человека из геометрических фигур»

Ф. И. О. оцениваемого __________________________________________
Возраст (полных лет)

__________________________________________

Должность

__________________________________________

Подразделение

__________________________________________

Дата заполнения

__________________________________________

 

Инструкция

Нарисуйте, пожалуйста, фигуру человека, составленную из 10 элементов, среди которых могут быть треугольники, круги, квадраты. Вы можете увеличивать или уменьшать эти элементы (геометрические фигуры) в размерах, накладывать друг на друга по мере надобности.

Важно, чтобы все эти три элемента в изображении человека присутствовали, а сумма общего количества использованных фигур была равна 10. Если при рисовании вы использовали большее количество фигур, то нужно зачеркнуть лишние, если же вами использовано фигур меньше чем 10, необходимо дорисовать недостающие.

При нарушении инструкции данные не обрабатываются.

Спасибо!

Ключ к тесту «Конструктивный рисунок человека из геометрических фигур»

Описание

Тест «Конструктивный рисунок человека из геометрических фигур» предназначен для выявления индивидуально-типологических различий.

Сотруднику предлагают три листа бумаги размером 10 × 10 см. Каждый лист нумеруется и подписывается. На первом листе выполняется первый пробный рисунок, далее, соответственно, на листе втором – второй, на листе третьем – третий.

Сотруднику необходимо на каждом листе нарисовать фигуру человека, составленную из 10 элементов, среди которых могут быть треугольники, круги, квадраты. Сотрудник может увеличивать или уменьшать эти элементы (геометрические фигуры) в размерах, накладывать друг на друга по мере надобности. Важно, чтобы все эти три элемента в изображении человека присутствовали, а сумма общего количества использованных фигур была равна 10.

Если при рисовании сотрудник использовал большее количество фигур, то ему необходимо зачеркнуть лишние, если же использовал фигур меньше чем 10, ему необходимо дорисовать недостающие.

При нарушении инструкции данные не обрабатываются.

Пример рисунков, сделанных тремя оцениваемыми

Обработка результата

Подсчитайте количество затраченных в изображении человечка треугольников, кругов и квадратов (по каждому рисунку отдельно). Запишите результат в виде трехзначных чисел, где:

  • сотни обозначают количество треугольников;
  • десятки – количество кругов;
  • единицы – количество квадратов.

Эти трехзначные цифры составляют так называемую формулу рисунка, по которой происходит отнесение рисующих к соответствующим типам и подтипам.

Интерпретация результата

Собственные эмпирические исследования, в которых получено и проанализировано более 2000 рисунков, показали, что соотношение различных элементов в конструктивных рисунках не случайно. Анализ позволяет выделить восемь основных типов, которым соответствуют определенные типологические характеристики.

Интерпретация теста основана на том, что геометрические фигуры, использованные в рисунках, различаются по семантике:

  • треугольник обычно относят к острой, наступательной фигуре, связанной с мужским началом;
  • круг – фигура обтекаемая, более созвучна с сочувствием, мягкостью, округлостью, женственностью;
  • квадрат, прямоугольник интерпретируются как специфически техническая конструктивная фигура, технический модуль.

Типология, основанная на предпочтении геометрических фигур, позволяет сформировать своего рода систему индивидуально-типологических различий.

Типы

I тип – руководитель

Формулы рисунков: 901, 910, 802, 811, 820, 703, 712, 721, 730, 604, 613, 622, 631, 640. Наиболее жестко доминирование над другими выражено у подтипов 901, 910, 802, 811, 820; ситуативно – у 703, 712, 721, 730; при воздействии речью на людей – вербальный руководитель или преподавательский подтип – 604, 613, 622, 631, 640.

Обычно это люди, имеющие склонность к руководящей и организаторской деятельности, ориентированные на социально значимые нормы поведения, могут обладать даром хороших рассказчиков, основывающимся на высоком уровне речевого развития. Обладают хорошей адаптацией в социальной сфере, доминирование над другими удерживают в определенных границах.

Нужно помнить, что проявление данных качеств зависит от уровня психического развития. При высоком уровне развития индивидуальные черты развития реализуемы, достаточно хорошо осознаются.

При низком уровне они могут не выявляться в профессиональной деятельности, а присутствовать ситуативно, хуже, если неадекватно ситуациям. Это относится ко всем характеристикам.

II тип – ответственный исполнитель

Формулы рисунков: 505, 514, 523, 532, 541, 550.

Данный тип людей обладает многими чертами типа «руководитель», являясь расположенным к нему, однако в принятии ответственных решений часто присутствуют колебания. Такой человек ориентирован на умение делать дело, высокий профессионализм, обладает высоким чувством ответственности и требовательности к себе и другим, высоко ценит правоту, то есть характеризуется повышенной чувствительностью к правдивости. Часто он страдает соматическими заболеваниями нервного происхождения вследствие перенапряжения.

III тип – тревожно-мнительный

Формулы рисунков: 406, 415, 424, 433, 442, 451, 460.

Данный тип людей характеризуется разнообразием способностей и одаренности – от тонких ручных навыков до литературной одаренности. Обычно этим людям тесно в рамках одной профессии, они могут поменять ее на совершенно противоположную и неожиданную, иметь также хобби, которое по сути является второй профессией. Физически не переносят беспорядка и грязи. Обычно конфликтуют из-за этого с другими людьми. Отличаются повышенной ранимостью и часто сомневаются в себе. Нуждаются в подбадривании.

Кроме этого, 415 – «поэтический подтип» – обычно лица, имеющие такую формулу рисунка, обладают поэтической одаренностью; 424 – подтип людей, узнаваемых по фразе «Как это можно плохо работать? Я себе не представляю, как это можно плохо работать». Люди такого типа отличаются особой тщательностью в работе.

IV тип – ученый

Формулы рисунков: 307, 316, 325, 334, 343, 352, 361, 370.

Эти люди легко абстрагируются от реальности, обладают концептуальным умом, отличаются способностью разрабатывать все свои теории. Обычно обладают душевным равновесием и рационально продумывают свое поведение.

Подтип 316 характеризуется способностью создавать теории, по преимуществу глобальные, или осуществлять большую и сложную координационную работу.

325 – подтип, характеризующийся большой увлеченностью познания жизни, здоровья, биологическими дисциплинами, медициной. Представители этого типа часто встречаются среди лиц, занимающихся синтетическими видами искусства: кино, цирк, театрально-зрелищная режиссура, мультипликация и т. д.

V тип – интуитивный

Формулы рисунков: 208, 217, 226, 235, 244, 253, 262, 271, 280.

Люди этого типа обладают сильной чувствительностью нервной системы, ее высокой истощаемостью. Легче работают на переключаемости от одной деятельности к другой, обычно выступают адвокатами меньшинства. Обладают повышенной чувствительностью к новизне. Альтруистичны, часто проявляют заботу о других, обладают хорошими ручными навыками и образным воображением, что дает им возможность заниматься техническими видами творчества. Обычно вырабатывают свои нормы морали, обладают внутренним самоконтролем, то есть предпочитают самоконтроль, отрицательно реагируя на посягательства, касающиеся их свободы.

Также выделяют особенности следующих подтипов:

235 – часто встречается среди профессиональных психологов или лиц с повышенным интересом к психологии;

244 – обладает способностью к литературному творчеству;

217 – обладает способностью к изобретательской деятельности;

226 – имеет большую потребность в новизне, обычно ставит очень высокие критерии достижений для себя.

VI тип – изобретатель, конструктор, художник

Формулы рисунков: 109, 118, 127, 136, 145, 019, 028, 037, 046.

Часто встречается среди лиц с технической жилкой. Это люди, обладающие богатым воображением, пространственным видением, часто занимаются различными видами технического, художественного и интеллектуального творчества. Чаще интровертированы, так же как интуитивный тип, живут собственными моральными нормами, не приемлют никаких воздействий со стороны, кроме самоконтроля. Эмоциональны, одержимы собственными оригинальными идеями.

Также выделяют особенности следующих подтипов:

019 – встречается среди лиц, хорошо владеющих аудиторией;

118 – тип с наиболее сильно выраженными конструктивными возможностями и способностью к изобретениям.

VII тип – эмотивный

Формулы рисунков: 550, 451, 460, 352, 361, 370, 253, 262, 271, 280, 154, 163, 172, 181, 190, 055, 064, 073, 082, 091.

Обладают повышенным сопереживанием по отношению к другим, тяжело переживают жестокие кадры фильма, могут надолго быть выбитыми из колеи и быть потрясенными от жестоких событий. Боли и заботы других людей находят в них участие, сопереживание и сочувствие, на которое они тратят много собственной энергии, в результате становится затруднительной реализация их собственных способностей.

VIII тип – противоположность эмотивного

Формулы рисунков: 901, 802, 703, 604, 505, 406, 307, 208, 109.

Данный тип людей обладает противоположной тенденцией эмотивному типу. Обычно не чувствует переживаний других людей, или относится к ним с невниманием, или даже усиливает давление на людей. Если это хороший специалист, то он может заставить других делать то, что он считает нужным. Иногда для него характерна черствость, которая возникает ситуативно, когда в силу каких-либо причин человек замыкается в кругу собственных проблем.

Комментарий к тесту

Несмотря на относительную ненадежность диагностики, данная методика может служить хорошим посредником в процессе общения психолога-консультанта с контролируемым. Сообщая индивидуально-типовую характеристику, можно на основании особенностей построения изображения задать следующие вопросы (на которые обычно следует утвердительный ответ).

При наличии:

1) шеи: «Являетесь ли вы ранимым человеком, случается так, что вас слишком легко обидеть?»

2) ушей: «Вас считают человеком, умеющим слушать?»

3) на голове шляпы в виде квадрата или треугольника в одном рисунке: «Вы, по-видимому, сделали вынужденную уступку и досадуете на это?»; при наличии шляпы во всех трех изображениях: «Можно ли сказать, что сейчас вы переживаете «полосу скованного положения»?»

4) кармашка на теле человека: «У вас есть дети?»

5) полностью прорисованного лица: «Считаете ли вы себя общительным человеком?»

6) одного рта на лице: «Любите ли вы поговорить?»

7) одного лишь носа: «Чутко ли вы улавливаете запахи, любите ли духи?»

8) изображения кружка на теле: «В круг ваших забот входит необходимость отдавать кому-либо распоряжения?»

Урок по математике, УМК «Планета знаний». 2-й класс

Цель: знакомство с видами треугольников: прямоугольным, остроугольным, тупоугольным и их отличиях на рисунках.

Материал: индивидуальный набор прямоугольных треугольников (8 штук), шаблоны равносторонних треугольников, линейка.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Сегодня, друзья, мы отправимся в путь
Хорошее настроение взять  с собой не позабудь!
Ждут нас встречи и друзья,

Треугольников семья.

II. Загадка в стихах

В детском саду есть… паровоз,
Шесть автомобилей,
Чёрный пёс – блестящий нос,
Белый кот Василий,
Восемь куколок в одной
Кукле деревянной.
И Петрушка заводной,
Рыжий и румяный.
Кто внимательно прослушал,
Сколько в том саду игрушек? (19)

– Как получить число 19 путём сложения двух слагаемых, одно из которых число двухзначное, а другое однозначное.

III. Устный счёт

– А сейчас немного посчитаем. Каждая цифра обозначена буквой, решив столбики, мы расшифруем слова.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
с г м у в р к о л б
                    11 – 6 = 5   Р                                           12 – 6 = 6   К                                8 – 5 = 3   У
                    15 – 8 = 7   О                                          13 – 8 = 5   Р                                 9 – 8 = 1   Г
                    11 – 9 = 2  М                                          12 – 9 = 3   У                                12 – 5 = 7 О
                    14 – 5 = 9  Б                                            7 – 6 = 1    Г                                 10 – 2 = 8 Л

– Какие  ещё геометрические фигуры вы знаете? (Рисунок 1)

Вы всем известны,
Без вас не обойтись нигде,
Вы так чудесны,
Вы так нужны везде.
Вы – Геометрические фигуры

– Что вы знаете об этой фигуре. А сегодня на уроке подробнее поговорим о свойствах этой фигуры.

IV.Сообщение темы урока

– Почему треугольник мы называем треугольником? (Рисунок 2)

№1.

Трилистник – это лист из трёх листиков. Трилистник изображён на гербе Ирландии.
Трилогия – это роман или фильм в трёх частях.
Треух – это зимняя шапка с тремя ушами.
Триптих – это картина или икона из трёх частей.
Треугольник – это фигура с тремя углами.

Три стороны и три угла
И столько же вершин.
И трижды трудные дела
Мы трижды совершим.

– Интересно, а трикотаж – это три кота или нет?
– Найдите слова, в которых встречается число три:

Стрижи, троица, вытри, трижды, тройной, трио, трико….
Триада, тридевятое, тридцать, триллион, троеборье, троечник, тройня, тройчатка.

Этот город нам знаком.
Мы были в нём когда-то.
И вот на страже у ворот
Стоят родных три брата.

Узнает очень просто
Меня любой школьник.
Я тупо-прямо-остро
Угольник треугольник.

Все в нашем городе – друзья,
Дружнее – не сыскать.
Мы треугольников семья,
Нас каждый должен знать.

V. Геометрическое конструирование

– Из каких фигур состоит узор?     
– Сколько треугольников? (8)
– Из каких треугольников состоит котик? (Прямоугольных)

(Рисунок 3)

№ 2.

– Треугольник с прямым углом называют прямоугольным.
– Что можем сказать об этой фигуре?

Острых два, а третий прям –
Прямоугольным зваться буду.

– Треугольник с тупым углом называют тупоугольным.
– Чем похожи фигуры? Чем отличаются?

С одним тупым углом –
И я тупоуголен.

– Треугольник, у которого все углы острые, называют остроугольным.

Если остры углы –
И я остроуголен.

(Рисунок 4)

№ 3.

– Сколько на рисунке прямоугольных треугольников?   3, 9, 6

3+ 9 + 6 = 18

– Сколько тупоугольных?  1, 5,  8

1 + 5 + 8 = 14

– А  сколько остроугольных треугольников? 2, 4, 7

2  + 4 + 7 = 13

– Сложи числа на треугольниках одного вида.
– Какое число лишнее? Почему? (13, нечётное)

VI. Физкультминутка

Встали дети, скажем тихо.
Раз, два, три, четыре, пять.
Потянулись, чуть присели
И соседа не задели,
А теперь придётся встать,
тихо сесть, считать начать.

VII. Практическая работа

№ 4.

– Измерьте треугольник. Каким является равносторонний треугольник – прямоугольным, остроугольным или тупоугольным?
– Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним. Все равносторонние треугольники имеют одинаковую форму, но могут  иметь разные размеры.

По сторонам бываю я равносторонним,
Когда все стороны равны.

– Равносторонний треугольник является остроугольным.

№ 5.

Прямоугольник разрезали на два одинаковых прямоугольных треугольника.

– Какие фигуры можно сложить из этих треугольников?
– Какая у них площадь (в клетках)?

(Рисунок 5)

№ 6

– Сколько треугольников на рисунке?
– Сравни свой ответ с ответом товарища?

  (Рисунок 6)

Очень быстро и умело
«Треугольники «считать».
Например, в фигуре этой,
Сколько их! Рассмотри!
Всё внимательно исследуй
И по «краю» и «внутри».

VIII. Самостоятельная работа

Найти периметр треугольника со сторонами 4 см, 5 см, 8 см.

Р = 4см + 5 см + 8 см = 17 см

IX. Итог

Нам друзья возвращаться пора,
Но друзья треугольники хотят
Знать, хорошо ли вы запомнили их имена.

– Повторим виды треугольников и их свойства.

Проверочная работа (тест)

  Имеет прямой угол Имеетравные стороны Имеет острый угол Имеет тупой угол
Остроугольный треугольник        
Тупоугольный треугольник        
Прямоугольный треугольник        

Собери прямоугольник из 5 фигур. Распечатай и играй


Пентамино — очень популярная логическая игра и головоломка одновременно. Элементы в игре — плоские фигуры, каждая из которых состоит из пяти одинаковых квадратов. Всего существуют 12 элементов пентамино, обозначаемых латинскими буквами, форму которых они напоминают (см. рисунок).

Как сделать Пентамино

Можно изготовить пентамино из кубиков, но тогда Вам нужно будет склеить и обклеить цветной пленкой 60 кубиков — трудновато. Предлагаем сделать элементы их плотного картона.

  • Рисуем каждый элемент на твердом картоне, вырезаем, проверяем, чтобы элемент входил в элемент “U”. Подрезаем, если надо лишнее. Мы рисовали детали из квадратиков 2,5х2,5 см.
  • Обводим готовый картонный элемент на сложенной вдвое цветной бумаге и вырезаем сразу две цветные детали. Лучше цветные детали делать меньше, чем картонные, и приклеиваются лучше, и углы поровнее будут.
  • Клеим клеем-карандашом цветную бумагу с двух сторон картонки.
  • Находим коробочку для хранения деталей, куда потом будем складывать также схемы и задания к игре.

Игры и задачи с Пентамино

Сложи прямоугольник.

Самая распространённая задача о пентамино — сложить из всех фигурок, без перекрытий и зазоров, прямоугольник. Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов. Возможны прямоугольники 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20.
Существует ровно 2339 различных укладок пентамино в прямоугольник 6×10, а вот вариантов прямоугольника 3х20 всего 2.

Один из двух способов складывания прямоугольника 3х20

Честно скажу, пыталась весь вечер сложить — не получилось, поэтому ребенку такую задачу лучше не предлагать.

Детям лучше тренироваться на маленьких прямоугольниках из нескольких деталей.
Вот нарисовали варианты складывания прямоугольников из трех деталей.

Сложи фигуру

Их элементов можно складывать различные фигуры, симметричные узоры, буква алфавита, цифры.
Для маленьких детей, лучше фигуры складывать по образцу, как мозаику.
Фигурки можно распечатать или перерисовать на листочек в клеточку.

Фигура “Утка”, сложенная по образцу.

Игры с малышами.

С малышами играть лучше совсем по другому, не стоит им давать сразу сложные задания на логику, пусть играют с пентамино как с пазлами.

  • Моя дочь (3,5 года) складывает их один в другой, ищет подходящий по цвету или форме, а в получившейся собранной фигуре ищет признаки сходства с животным или знакомым предметом. Например, если фигура похожа на слона, то можно пытается сделать хобот подлиннее или увеличить уши, а потом убрать пару элементов и превратить фигуру в мышь или еще кого-нибудь.
  • Покажите ребенку как складывать маленький прямоугольник. Потом разломайте, как будто нечаянно. Можно перед тем как сломать, обратить внимание ребенка на то, где какие детали лежат. Попросите помочь собрать его заново, а то у вас не получается.

Да, много еще игр можно придумать с пентамино, главное, что бы ребенку и вам было интересно.

Пентамино из Лего

Кстати, если у Вас дома много стандартных кирпичиков лего, то можно попробовать сделать пентамино их них. Фигурки сложенные из Лего получаться объемные, и можно будет собирать помимо обычных, плоскостных моделей, объемные фигуры.

Схема сборки достаточно простая: два ряда кирпичиков уложенные друг на друга со смещением.

Мало кто в детстве любил математику, зато математические головоломки в интернете всегда становятся хитами, ведь для их решения обычно не требуется углубленных знаний, зато требуются смекалка и нестандартное мышление. Предлагаем вам проверить себя на пяти главных логических задачках этого года.

Задача №1

Кумар Анкит предложил пользователям Facebook посчитать, сколько треугольников изображено на его рисунке. С простым, казалось бы, заданием подсчитать фигуры не справился практически никто из пользователей. Близки к правильному ответу оказываются многие, но большинству не хватает чуть-чуть внимательности.

Ответ:

Внутри большого треугольника находится 24 треугольника, посчитать это несложно, но большинство пользователей не обратили внимание на еще один треугольник, скрытый в подписи автора. Таким образом, всего на картинке 25 треугольников.

Задача №2

Необычную задачку с двумя решениями предложили пользователям интернета создатели сайта gotumble.com. По их словам, одно решение головоломки более простое, его способны найти около 10% людей, а вот дойти до второго решения получается у одного человека из тысячи. Попробуйте сделать это сами.

Ответ:

Первое решение состоит в том, чтобы прибавлять к каждому следующему примеру результат предыдущего. Так, прибавив 5 к сумме 2 и 5, мы получим 12. Прибавив 12 к сумме 3 и 6, получим 21. И так далее. В таком случае правильным ответом головоломки будет 40.

А вот второе решение , до которого доходит лишь один человек из тысячи, состоит в том, чтобы сложить первую цифру примера с произведением двух цифр:

2 + 2*5 = 12, 3 + 3*6 = 21, 8 + 8*11 = 96.

Задача №3

У нас есть треугольник, состоящий из четырех частей, но если перегруппировать части, то в нем появляется пустой квадрат. Как такое может быть?

Ответ:

Это вовсе не оптический обман. Все дело в разных углах наклона гипотенузы красного и бирюзового треугольника — отсюда и разные размеры фигур.

Задача №4

Колумнист издания The Guardian Алекс Беллос предложил читателям решить задачку, которая является частью выпускного экзамена по математике в некоторых странах. По статистике ее решает всего один человек из 10.

У нас есть цилиндр, вокруг которого симметрично четыре раза обмотана нить. Окружность цилиндра составляет 4 см, а его длина – 12 см. Нужно найти длину нити.

Ответ:

Задача кажется большинству школьников слишком сложной, на самом же деле надо лишь понять, что, развернув цилиндр на плоскость, мы получим обыкновенный прямоугольник со сторонами — 4 и 12 см, который можно разделить на четыре прямоугольника поменьше со сторонами — 4 и 3 см. Нить в этом случае будет гипотенузой прямоугольного треугольника и ее длину в каждой из четырех фигур можно вычислить по простой школьной формуле, она равняется 5 см. В результате общая длина нити равняется 20 сантиметрам.

Задача №5

И наконец, последняя математическая головоломка, взорвавшая соцсети. По словам автора поста, на ней изображена загадка, которую дают в качестве бонусного вопроса студентам в Сингапуре. Составители загадки предлагают изучить числовую последовательность и заполнить четыре свободных окошка недостающими числами.

Ответ:

Пользователи сети долго ломали голову над этой задачкой, но справиться с ней не смогли даже серьезные математики. А министерство образования Сингапура от этого задания открестилось, заявив, что никакого отношения к нему не имеет. Так что скорее всего головоломка была просто чьей-то злой шуткой.

Собираем танграм

По одной из легенд танграм появился почти две с половиной тысячи лет тому назад в Древнем Китае. У немолодого императора родился долгожданный сын и наследник. Шли годы. Мальчик рос здоровым и сообразительным не по летам. Но старого императора беспокоило, что его сын, будущий властелин огромной страны, не хотел учиться. Мальчику больше нравилось играть с игрушками. Император призвал к себе трех мудрецов, один из которых был известен как математик, другой прославился как художник, а третий был знаменитым философом, и повелел им придумать игру, забавляясь которой, его сын постиг бы начала математики, научился смотреть на окружающий мир пристальными глазами художника, стал бы терпеливым, как истинный философ, и понял бы, что зачастую сложные вещи состоят из простых вещей. И три мудреца придумали «Ши-Чао-Тю» – квадрат, разрезанный на семь частей.

Парфенова Валентина Николаевна, воспитатель детского сада

Одной из составных частей методического сопровождения по разделу “Элементарные математические представления в детском саду” является игра “Танграм”, посредством которой можно решать математические, речевые и коррекционные задачи.

Игра “Танграм” — одна из несложных математических игр. Игра проста в изготовлении. Квадрат 10 на 10 см. из картона или пластика, одинаково окрашенный с обеих сторон, разрезают на 7 частей, которые называются танами. В результате получаются 2 больших, 2 маленьких и 1 средний треугольники, квадрат и параллелограмм. Каждому ребенку дается конверт с 7 танами и лист картона, на котором они выкладывают картинку с образца. Используя все 7 танов, плотно присоединяя их один к другому, дети составляют очень много различных изображений по образцам и по собственному замыслу.

Игра интересна и детям, и взрослым. Детей увлекает результат – они включаются в активную практическую деятельность по подбору способа расположения фигур с целью создания силуэта.

Успешность освоения игры в дошкольном возрасте зависит от уровня сенсорного развития детей. Играя, дети запоминают названия геометрических фигур, их свойства, отличительные признаки, обследуют формы зрительным и осязательно-двигательным путем, свободно перемещают их с целью получения новой фигуры. У детей развивается умение анализировать простые изображения, выделять в них и в окружающих предметах геометрические формы, практически видоизменять фигуры путем разрезания и составлять их из частей.

На первом этапе освоения игры “Танграм” проводится ряд упражнений, направленных на развитие у детей пространственных представлений, элементов геометрического воображения, на выработку практических умений в составлении новых фигур путем присоединения одной из них к другой.

Детям предлагаются разные задания: составлять фигуры по образцу, устному заданию, замыслу. Эти упражнения являются подготовительными ко второму этапу освоения игры – составлению фигур по расчлененным образцам .

Для успешного воссоздания фигур необходимо умение зрительно анализировать форму плоскостной фигуры и ее частей. Дети часто допускают ошибки в соединении фигур по сторонам и в пропорциональном соотношении.

Затем следуют упражнения в составлении фигур. В случае затруднений дети обращаются к образцу. Он изготовляется в виде таблицы на листе бумаги такой же по размеру фигуры-силуэта, как и наборы фигур, имеющиеся у детей. Это облегчает на первых занятиях анализ и проверку воссозданного изображения с образцом .

Третий этап освоения игры – это составление фигур по образцам контурного характера, нерасчлененных . Это доступно детям 6-7 лет при условии обучения. За играми на составление фигур по образцам следуют упражнения в составлении изображений по собственному замыслу.

Этапы работы по введению игры “Танграм” с детьми старшего дошкольного возраста с общим недоразвитием речи (ОНР) были следующими.

Сначала игра “Танграм” проводилась как часть занятия по математике в течение 5-7 минут. Наблюдения за детьми во время игры подтвердили тот факт, что игра детям понравилась. После этого был введен элемент соревнования, и тот, кто быстрее других выкладывал картинку, получал награду-фишку.

Детей это еще больше заинтересовывало. Они стали просить оставлять побольше времени для игры “Танграм”. Это позволило проводить математические досуги, викторины, где дети играли до 20-40 минут.

Для обогащения тематики игры возникла необходимость разнообразия данного материала, его находили в журналах “Начальная школа”, “Дошкольное воспитание”, в книгах З.А.Михайловой, Т.И.Тарабариной, Н.В.Елкиной. и др.

Много картинок разрабатывалось воспитателем. Ряд картинок придумали дети подготовительной группы. Наблюдения за детьми подтвердили, что данная игра развивает умственные и речевые способности у детей.

Были ребята с диагнозом “общее недоразвитие речи”, с плохой памятью, с малым запасом слов, замкнутые. Они чаще играли в одиночку. С такими детьми воспитатели играли индивидуально, предлагали картинки для игры дома всей семьей. Результаты были неожиданными, дети стали выравниваться, кто-то быстрее, кто-то медленнее, но они уже не отставали от сверстников в выкладывании картинок и даже опережали некоторых. Победив свою застенчивость, замкнутость, эти ребята стали быстрее овладевать азбукой, чтением, математикой и в школу уходили из детского сада с чистой речью, умея хорошо читать и считать.

Следующим этапом по усложнению данной игры был подбор речевого материала к картинкам: загадки, веселые короткие стишки, скороговорки, чистоговорки, считалки, физминутки. В логопедическом детском саду этот речевой материал для детей с нарушениями звукопроизношения и речи стал особенно полезен. Играя в “Танграм”, дети заучивали этот материал, закрепляли и автоматизировали звуки в чистоговорках и скороговорках. У детей обогащалась речь, тренировалась память.

Во время игры в “Танграм” у детей закреплялись навыки количественного счета. (Всего 5 треугольников, 2 больших треугольника, 2 маленьких треугольника, 1 средний по величине треугольник. Всего в игре 7 танов).

Дети практически овладевали порядковым счетом. Так, если считать таны картинки “Ракета” сверху вниз, то квадрат стоит на пятом месте, маленькие треугольники стоят на первом и четвертом месте, средний треугольник – на третьем, большие треугольники – на шестом и седьмом месте .

Считая таны сверху вниз, слева направо, дети упражняются в ориентировке на листе бумаги.

Составляя ту или иную картинку, дети сравнивают по величине треугольники, определяют место для маленьких, больших и средних треугольников в картинках игры “Танграм”.

Постоянно закрепляется знание детьми геометрических фигур в данной игре (треугольника, квадрата и четырехугольника).

Играя, переставляя маленькие картонные фигурки-таны, дети тренируют мелкие мышцы рук и пальцев.

В логопедических группах детского сада работа ведется по лексико-грамматическим темам, в рамках которых уточняются и закрепляются знания детей об окружающем мире. По многим темам разработаны картинки к игре “Танграм” (дикие и домашние животные и птицы, деревья, дома, мебель, игрушки, посуда, транспорт, человек, семья, цветы, грибы, насекомые, рыбы и др.). По теме “Дикие животные” разработаны картинки: заяц, лиса, волк, медведь, белка, лев, кенгуру . Играя с картинками, выкладывая их, дети заучивают разнообразный речевой материал, а также закрепляют и автоматизируют поставленные логопедом звуки.

Часто папы задаются вопросом: во что поиграть с ребенком дома? Да так, что бы игра была с пользой для развития малыша. Тем более, если этот малыш уже бегает и во всю болтает.

В то время, когда мамы больше любят играть в игры на развитие творческих способностей ребенка (поют, рисуют, лепят с малышом), папы чаще пекутся о логико-математическом развитии их чада. Так во что же поиграть?

Предлагаем Вам игру-головоломку “Танграм”, которую Вы, дорогие папы, легко сможете смастерить для своих чад сами. Эту игру часто называют “головоломкой из картона” или “геометрическим конструктором”. «Танграм» — одна из несложных головоломок, которая под силу ребенку с 3,5-4 лет, а усложняя задачи, она может быть интересной и полезной и для ребят 5-7 лет.

Как сделать «Танграм»?

Изготовить головоломку очень просто. Вам нужен квадрат 8х8 см. Вырезать его можно из картона, из гладкой потолочной плитки (если осталась после ремонта) или из пластиковой коробки из-под DVD фильмов. Главное, чтобы материал этот был одинаково раскрашенный с двух сторон. Потом тот же квадрат разрезают на 7 частей. Это должны быть: 2 больших, 1 средний и 2 маленьких треугольника, квадрат и параллелограмм. Используя все 7 частей, плотно присоединяя их друг к другу, можно составить очень много различных фигурок по образцам и по собственному замыслу.

Чем полезна игра ребенку?

Изначально «танграм» — это головоломка. Она направлена на развитие логического, пространственного и конструктивного мышления, сообразительности.

В результате этих игровых упражнений и заданий, ребенок научится анализировать простые изображения, выделять в них геометрические фигуры, визуально разбивать целый объект на части и наоборот составлять из элементов заданную модель.

Так с чего же начать?

Этап 1

Для начала можно составить изображения из двух-трех элементов. Например, из треугольников составить квадрат, трапецию. Ребенку можно предложить посчитать все детальки, сравнить их по размеру, найти среди них треугольники.

Потом можно просто прикладывать детали друг к другу и смотреть, что получится: грибок, домик, елочка, бантик, конфетка и т.д.

Этап 2

Немного позже можно переходить к упражнениям по складыванию фигурок по заданному примеру. В этих заданиях нужно использовать все 7 элементов головоломки. Начать лучше с составления зайца – это самая простая из нижеприведенных фигур.

Этап 3

Более сложной и интересной для ребят задачей является воссоздание изображений по образцам-контурам. Это упражнение требует зрительного членения формы на составные части, то есть на геометрические фигуры. Такие задания можно предлагать ребятам 5-6 лет.

Это уже посложнее — фигуры человека бегущего и сидящего.

Это самые трудные фигуры в этой головоломке. Но потренировавшись, думаем, и они станут под силу Вашим ребятам.

Тут уже дети могут собирать изображения по своим замыслам. Картинка сначала задумывается мысленно, затем собираются составные отдельные части, после этого создается вся картинка.

Дорогие папы, совсем не обязательно тратить деньги на дорогостоящие игрушки. Помните, что самыми дорогими из всех игрушек для ребенка могут стать те, которые Вы сделаете для него сами. И, конечно же, с которыми играть будете вместе.

Еще задания с ответами к головоломке:

Для организации занятий необходимы следующие инструменты и принадлежности: линейка, угольник, циркуль, ножницы, простой карандаш, картон.

— «Танграм «

«Танграмм» — несложная игра, которая будет интересна детям и взрослым. Успешность освоения игры в дошкольном возрасте зависит от уровня сенсорного развития ребенка. Дети должны знать не только названия геометрических фигур, но и их свойства, отличительные признаки.

Квадрат размером 100х100 мм, оклеенный с двух сторон цветной бумагой, разрезают на 7 частей. В результате пулучается 2 больших, 1 средний и 2 маленьких треугольника, квадрат и параллелограмм. Из полученных фигур складывают различные силуэты.

Головоломка «Пифагора»

Квадрат размером 7х7 см разрезать на 7 частей. Из полученных фигур слажить различные силуэты.

«Волшебный круг»

Круг разрезается на 10 частей. Правила игры те же, что и в других подобных играх: использовать для составления силуэта все 10 частей, не накладывая одну не другую. Разрезанный круг должен быть окрашен одинаково, с двух сторон.

Танграм (кит.七巧板, пиньинь qī qiǎo bǎn, букв. «семь дощечек мастерства») — головоломка, состоящая из семи плоских фигур, которые складывают определённым образом для получения другой, более сложной, фигуры (изображающей человека, животное, предмет домашнего обихода, букву или цифру и т. д.). Фигура, которую необходимо получить, при этом обычно задаётся в виде силуэта или внешнего контура. При решении головоломки требуется соблюдать два условия: первое — необходимо использовать все семь фигур танграма, и второе — фигуры не должны перекрываться между собой.

Фигуры

Размеры приведены относительно большого квадрата, стороны и площадь которого принимают равными 1.

5 прямоугольных треугольников

· 2 маленьких (с гипотенузой, равной и катетами)

· 1 средний (гипотенуза и катеты)

· 2 больших (гипотенуза и катеты)

1 квадрат (со стороной)

1 параллелограмм (со сторонами и и углами и)

Среди этих семи частей параллелограмм выделяется отсутствием у него зеркальной симметрии (он обладает только вращательной симметрией), так что его зеркальное отражение можно получить, только перевернув его. Это единственная часть танграма, которую требуется перевернуть, чтобы сложить определённые фигуры. При использовании одностороннего набора (в котором переворачивать фигуры запрещено) есть фигуры, которые можно сложить, в то время как их зеркальное отражение — нельзя.

Педагогическое значение танграма

Способствует развитию у детей умения играть по правилам и выполнять инструкции, наглядно-образного мышления, воображения, внимания, понимания цвета, величины и формы, восприятия, комбинаторных способностей.

Автор книги, известный многим читателям по выступлениям в печати о воспитании детей, рассказывает об опыте применения и использования в своей семье развивающих игр, которые позволяют успешно решить задачу развития творческих способностей ребенка.

Книга содержит описание игр, являющихся своеобразной «умственной гимнастикой», подробное описание методики их проведения и способа изготовления.

ВСТУПЛЕНИЕ

ГЛАВА 1. ЧТО ТАКОЕ РАЗВИВАЮЩИЕ ИГРЫ?

Развивающие игры Никитиных. Золотая середина. Творцы и исполнители. Какие игры у Никитина. Сколько игр нужно иметь? «Обезьянка»

ГЛАВА 2. ИГРА «СЛОЖИ УЗОР»

Когда и как начинать. Рисованные задания. Ошибки, помощь и подсказки. Не только узоры. Такой же, не такой. Такого же цвета. Размеры. Счет. Один, много, несколько. Счет по порядку. Больше, меньше, поровну. Столько же. Угадай, сколько. Отсчитай. Состав числа. Знакомимся с десятком. Знакомимся с цифрами. Плюс, минус, равно. Понарошку. Делим поровну. Прятки со счетом. Тренируемся и запоминаем. Ориентировка в пространстве. Дорожки и домики. Диктант кубиками. Ищем клад. Последовательности. Что изменилось? Как было? Периметр и площадь. Фигуры и их стороны. Знакомство с периметром. Знакомство с площадью. И периметр, и площадь. Комбинаторика. Симметрия.

ГЛАВА 3. РАМКИ И ВКЛАДЫШИ МОНТЕССОРИ

Знакомство с игрой. Учимся закрывать «окошки». Закрываем «окошки» самостоятельно. Обводим рамки и учимся закрашивать. Обводим рамки и играем. Обводим вкладыши. Закрашиваем. Штрихуем. «Узнай фигуру на ощупь». Вставь на ощупь. Рассортируй. Сравни. Соответствия. «Бусы». «Домик». Тренируем внимательность.

ГЛАВА 4. «УНИКУБ», «СЛОЖИ КВАДРАТ» И ДРУГИЕ ИГРОВЫЕ НАБОРЫ «Уникуб». «Сложи квадрат».

Цвет, форма, размер. Найти подобное. Углы. Длина. На что похоже? Играем в «Обезьянку». «Найди ошибку». Порисуй фигурками. Уменьшенная копия. Начальная геометрия. Заполни силуэт. Что изменилось? Как было? Симметрия. «Кирпичики». «Кубики для всех».

ГЛАВА 5. А ТЕПЕРЬ ВНИМАНИЕ! «Внимание». «Внимание! Угадай-ка»

ГЛАВА 6. ПЛАНЫ И КАРТЫ

Кукольные планы. План комнаты и квартиры. План для самых маленьких. План окрестностей. Мой город. Игры с настоящими географическими картами. Игры с картой, висящей на стене. Игры с картой, лежащей на полу. Карта по кусочкам. Игры-путешествия. Игра «Я знаю!». Отгадай, что это?

ГЛАВА 7. КОТОРЫЙ ЧАС?

Знакомство с часами. Полчаса. Сколько было? Пять минут. Как сказать? Распорядок дня.

ГЛАВА 8. МАТЕМАТИКА С ИГРАМИ НИКИТИНЫХ

«Дроби». Играем с кружочками. Одинаковый и разный. Большие и маленькие. От большого к маленькому. Играем в «Обезьянку». Как было? Учимся считать. Поровну. Состав числа. Знакомимся с дробями. Числитель и знаменатель. От записи числа — к счету в уме. Какая часть цветная? Сколько не хватает? Целое с половинкой. Сравните дроби. Не только дроби. И снова симметрия. «ТЕРМОМЕТР» И «УЗЕЛКИ»

БИБЛИОГРАФИЯ ПРИЛОЖЕНИЯ.

Непосредственно текст книги занимает 104 страницы. Остальная часть книги приложения – материалы для игр. Ниже фото отдельных страниц книги. Например, страница из главы «сложи узор» и страница из приложения к этой игре.

Фото пары страниц из глав «дроби» и «рамки и вкладыши Монтессори»

Если оценивать книгу по содержанию и стилю изложения, лично я поставила бы «5+».

Как видно из содержания, в книге рассматриваются приемы игры с Никитинскими играми. До покупки этой книги у меня уже была книга Никитина «Интеллектуальные игры». Тогда я думала, а нужна ли еще книга, если есть первоисточник. Купив книгу, ответила себе однозначно «да», т.к.

1. В книге рассматриваются не только игры, рекомендуемые Никитиным, но и другие игры, придуманные Леной Даниловой. Получается, что, обладая несколькими играми, можно играть долго и разнообразно.

2. Очень полезны приложения. Мы сами пока только воспользовались приложениями к игре «сложи узор». Начать сразу составлять узоры Никитина не так просто. В приложении даны примеры рисунков, начиная с одного кубика и далее по нарастающей сложности. Есть приложения и к другим играм.

3. В книге даются рекомендации, как заинтересовать ребенка, если не получается играть сразу (даются и общие рекомендации, и по конкретным играм). Не все дети хотят играть по правилам, и не все дети готовы проявлять интерес только при виде новой игры, родители таких детей найдут в книге немало полезных советов.

Танграм в китайском языке имеет буквальное значение как «семь дощечек мастерства». Считается, что это одна из самых древнейших головоломок в истории человеческой цивилизации, хотя впервые об этой интеллектуальной игре было упомянуто в китайской книге во время правления седьмого маньчжурского императора государства Цин, который правил под девизом «Цзяцин — Прекрасное и радостное». А в европейском лексиконе слово «танграм» впервые появилось в 1848 году в брошюре «Головоломки для обучения геометрии» написанной Томасом Хиллом, в дальнейшем президентом Гарвардского университета.

Считающийся классическим танграм состоит из семи плоских геометрических фигур – два больших, один средний и два маленьких треугольника, квадрат и параллелограмм. Эти фигуры складывают для получения другой, более сложной, фигуры. Часто это эти фигуры изображают человека в различных движениях, какое-либо животное или предмет, букву или цифру. Фигура, которую требуется сложить задаётся в виде силуэта или контура и задача найти решение как разместить геометрические фигуры входящие в танграм, чтобы получилось требуемое.

При нахождении решения Танграма требуется соблюдать два условия: первое — необходимо использовать все семь фигур танграма, и второе — фигуры не должны перекрываться между собой (накладываться друг на друга).

Как можно заметить из истории весьма уважаемые и умные люди относили такую совсем простую с виду игру к достойному самого пристального внимания способу развития интеллекта. Попробуйте и Вы — купить танграм и сложить несколько фигур их этих семи многоугольников.

Кроме этого вида существуют и другие виды танграмов. Все они интересны и увлекательны в нахождении решения. Попробуйте сами.

Головоломка «Танграм»

Одним из самых известных поклонников танграма считается всемирно известный писатель и математик Льюис Кэрролл, тот самый которому человечество обязано появлению разнообразных приключений девочки Алисы. Он обожал эту игру и часто предлагал друзьям задачи из имеющейся у него китайской книги с 323 задачами.

Так же он написал книгу «Модная китайская головоломка», в которой утверждал, что Наполеон Бонапарт, после своего поражения и заточения на остров Святой Елены, проводил время за танграмом «упражняя свое терпение и находчивость». У него был классический набор этой логической игры из слоновой кости и книга с задачами. Подтверждение этому занятию Наполеона есть в книге Джерри Слокума «The Tangram Book».

Не менее известным любителем поразмышлять над собиранием головоломки из семи отдельных фигур являлся Эдгар Аллан По. Этот популярный писатель детективных рассказов с интересными сюжетами часто решал задачи головоломки «Танграм».

Мы рассказали лишь о нескольких известных персоналиях, которые были увлечены этой интересной логической игрой. Надеемся, что купить головоломку «Танграм» теперь будет более интересно. Стоит добавить, что великое разнообразие возможных фигур из семи геометрических фигур поражает – их несколько тысяч, Возможно Вы сможете добавить к ним ещё несколько.

Головоломка танграм «Стомахион» (Игра Архимеда)

Великий мыслитель и математик Архимед упоминает эту логическую задачу в своём труде, который сейчас имеет название Палимпсест Архимеда. В нём содержится одноимённый трактат «Стомахион», в котором рассказывается о таком понятии как абсолютная бесконечность, а также о комбинаторике и математической физике. О всём том, что в современную нам эпоху является важным разделом информатики.

Есть мнение, что Архимед предпринимал попытки выяснить количество комбинаций, с помощью которых можно сложить из 14 сегментов идеальный квадрат. И только в 2003 году с помощью специально разработанной компьютерной программы американец Билл Батлер смог вычислить все возможные решения. Математик пришёл к выводу, что всего эта игра имеет 17152 комбинаций, а при условии, что квадрат не может вращаться и у него не может быть зеркального отражения, то «всего» 536 варианта.

Игра-головоломка «Стомахион» очень похожа на танграм и основным отличием является количество и форма элементов, из которых она состоит. При всей своей незамысловатости эта логическая игра достойна внимания. Древние греки и арабы придавали большое значение задачам и обучению с её помощью.

Кроме задачи найти 536 вариантов идеального квадрата Архимеда эта логическая игра предлагает сложить различные фигуры из составляющих её 14 геометрических фигур. Попробуйте сложить фигуры человека, животных и объектов. Это на самом деле не простая задача как может показаться на первый взгляд. Правила просты: все элементы головоломки «Стомахион» можно поворачивать любой стороной и все они должны быть использованы.

Танграм — старинная восточная головоломка из фигур, получившихся при разрезании квадрата на 7 частей особым образом: 2 больших треугольника, один средний, 2 маленьких треугольника, квадрат и параллелограмм. В результате складывания этих частей друг с другом получаются плоские фигуры, контуры которых напоминают всевозможные предметы, начиная от человека, животных и заканчивая орудиями труда и предметами обихода. Такого рода головоломки часто называют «геометрическими конструкторами», «головоломками из картона» или «разрезными головоломками».

С танграмом ребенок научится анализировать изображения, выделять в них геометрические фигуры, научится визуально разбивать целый объект на части, и наоборот — составлять из элементов заданную модель, а самое главное — логически мыслить.

Как сделать танграм

Танграм можно сделать из картона или бумаги, распечатав шаблон и разрезав по линиям. Вы можете скачать и распечатать схему квадрата танграма, кликнув по картинке и выбрав «печать» или «сохранить картинку как…».

Можно и без шаблона. В квадрате чертим диагональ — получается 2 треугольника. Один из них разрезаем пополам на 2 небольших треугольника. Отмечаем на каждой стороне второго большого треугольника середину. Отсекаем по этим отметкам средний треугольник и остальные фигуры. Есть и другие варианты, как расчертить танграм, но когда вы его разрежете на части, они будут абсолютно те же самые.

Более практичный и долговечный танграм можно вырезать из жесткой офисной папки или пластиковой коробки из под DVD. Можно немного усложнить себе задачу, вырезав танграм из кусочков разного фетра, обметав их по краям, или вовсе из фанеры или дерева.

Как играть в танграм

Каждая фигура игры должна складываться из семи частей танграма, и при этом они не должны перекрываться.

Самый легкий вариант для детей дошкольников 4-5 лет — собирать фигуры по расчерченным на элементы схемам (ответам), как мозаику. Немного практики, и ребенок научится составлять фигуры по образцу-контуру и даже придумывать свои фигуры по такому же принципу.

Схемы и фигуры игры танграм

В последнее время танграм частенько используют дизайнеры. Самое удачное применение танграма, пожалуй, в качестве мебели. Есть и столы-танграмы, и трансформируемая мягкая мебель, и корпусная мебель. Вся мебель, построенная по принципу танграма, довольно удобна и функциональна. Она может видоизменятся в зависимости от настроения и желания хозяина. Сколько всевозможных вариантов и комбинаций можно составить из треугольных, квадратных и четырехугольных полок. При покупке такой мебели вместе с инструкцией покупателю выдаются несколько листов с картинками на разные темы, которые можно сложить из этих полок. В гостиной можно повесить полки в виде людей, в детской из этих же полок можно сложить котов, зайцев и птиц, а в столовой или библиотеке — рисунок может быть на строительную тему — дома, замки, храмы.

Вот такой многофункциональный танграм.

“Пентамино” — одна из самых популярных мировых головоломок, пик популярности пришелся на конец 60-х годов. Сама игра подробно описывалась в журнале “Наука и жизнь”. В эту головоломку могут играть и дети и взрослые.

Запатентовал головоломку “Pentomino” Соломон Вольф Голомб , житель Балтимора, математик и инженер, профессор университета Южная Калифорния. Игра состоит из плоских фигур, каждая из которых состоит из пяти одинаковых квадратов, соединённых между собой сторонами, отсюда и название. Существуют еще версия головоломок Тетрамино, состоящие из четырех квадратов, от этой игры и произошел известный Тетрис.

Элементы Пентамино

Игровой набор “Пентамино” состоит из 12 фигурок. Каждая фигура обозначается латинской буквой, форму которой она напоминает. При решении задач и головоломок фигурки можно вертеть и переворачивать, поэтому при изготовлении игры своими руками элементы делайте двухсторонними.

Популярные головоломки

Игры и игрушки на основе Пентамино

Сейчас в интернет магазинах можно найти игры и головоломки, сделанный на основе элементов Пентамино.

Пентамино своими руками

Предлагаем сделать элементы игры из плотного картона или пластика и обклеить цветной бумагой или клеящейся пленкой. Внизу представлен вариант изготовления из картона.

  • Рисуем каждый элемент на твердом картоне или пластике. Рисовать лучше, каждый элемент по отдельности, не складывая в прямоугольник — так вырезать будет легче.
  • Вырезаем первую фигуру “U”, перепроверяем размеры. Далее вырезаем все остальные элементы, проверяя чтобы они спокойно входили в элемент “U” своими выпуклыми частями. Подрезаем, если надо лишнее. На фотографии показаны элементы с размером квадратного модуля 2,5 х 2,5 сантиметра.
  • Обводим готовый картонный элемент на сложенной вдвое цветной бумаге и вырезаем сразу две цветные детали. Лучше цветные детали делать чуть меньше, чем картонные, и приклеиваются лучше, и края не будут отклеиваться от частого использования.
  • Клеим цветную бумагу с двух сторон к картону.
  • Находим коробочку для хранения деталей, куда потом будем складывать также схемы и задания к игре. Схемы можно распечатывать на сайте, а можно рисовать и раскрашивать на тетрадном листе в клеточку.

Понравилась статья? Поделись с друзьями:

Facebook

Twitter

Мой мир

Вконтакте

Google+

Самое интересное:

Разложи фигуры в четыре кармашка.

Материал игры: геометрические фигуры — круги, прямоугольники, квадраты, треугольники разных цветов (красный, зеленый, синий, белый, желтый, коричневый) и размеров (рис. 58).

Содержание игры. Учащиеся, принимая во внимание только форму и отвлекаясь от цвета и величины,
должны разложить геометрические фигуры в четыре кармашка.

Проверка проводится путем подсчета фигур в каждом кармашке. Например, подсчитывается сколько в кармашке кругов, квадратов, прямоугольников, треугольников. Примечание. Геометрические фигуры учащиеся делают сами.

 

 

 

183. Будь внимателен!

Материал игры: рисунки геометрический фигур (рис. 59).

Содержание игры. Учитель ставит такие вопросы: «Какие геометрические фигуры ты видишь на рисунках? Подсчитай, сколько одинаковых геометрических фигур на каждом рисунке». Выигрьmает тот,
кто при подсчете ни разу не ошибся.

Кто внимательнее?

Материал игры: геометрические фигуры (рис. 60).

Содержание игры. На наборном полотне учитель строит из геометрических фигур домик, проговаривая, какие геометрические фигуры он берет и как располагает друг относительно друга.
«Беру квадрат, сверху ставлю треугольник (КI?ЫШУ),
в середине квадрата — прямоугольник-окошечко. Домик готов. Постройте такой же дом сами».

Сначала учащиеся только все воспроизводят за учителем. Затем задача усложняется: учитель домик убирает и учащиеся по памяти должны воспроизвести его на партах. Затем они дают словесный отчет.

Выигрывает тот, кто справился с заданием безошибочно.

 

Рис.62 рис.63,64 рис.65,66

 

Кто быстро и верно сложит заданную фигуру.

Материал игры: полоски бумаги.

Содержание игры.

В а р и а н т 1. Учитель диктует: «Сложите такую же фигуру (показывает треугольник, прямоугольник или

квадрат)».

В а р и а н т 2. Учитель предлагает: «Сложите прямоугольник. Сложите треугольник. Сложите квадрат». Учащиеся выполняют задание не по образцу, а по представлению.

Выигрывает тот, кто первый правильно сложи фигуру.

186. Какая фигура получилась?
Материал игры: набор одинаковых палочек длиной 4-5 см у каждого ученика (рис. 61, 62).

Содержание игры. Учитель предлагает отобрать три палочки и выложить из них геометрическую фигуру, Какая фигура получилась?

Затем предлагается отобрать четыре палочки и сложить геометрическую фигуру. Какая фигура получилась?

Учитель просит взять еще одну палочку и положить ее на квадрат. Какие фигуры получились? Сколько их?

Из шести палочек надо сложить две геометрические фигуры. Какие фигуры получились?

Прuмечание. Постепенно число палочек можно увеличивать, но только тем учащимся, которые справились успешно с предыдущими заданиями.

Какой отрезок длиннее?

Игра состоит в определении длины отрезков на глаз (рис. 63, 64). С помощью линейки ученик должен про-
верить, на сколько он ошибся. (Может быть дано задание определить на глаз длину и ширину учительского
стола, доски; подоконника, оконной рамы, двери и Т.Д. с последующей проверкой.)

188. Распознай фигуру.

Игра выполняется с помощью рисунка 65. Учащиеся должны ответить на вопросы:

Сколько всего квадратов в квадрате?
Сколько всего Прямоугольников в квадрате?

— 189. Игра аналогична предьщушей. Проводится она с рисунком 66, с помощью которого учащиеся должны распознать прямоугольники в квадрате, занимающем четыре клетки.

Найди фигуру.

Содержание игры. На рисунке 67 надо найти три треугольника, три четырёхугольника.

рис.67

 

Соревнование может проходить между двумя учениками, а могут соревноваться и команды по рядам. За каждый правильный ответ команде насчитывается одно-два очка в зависимости от трудности заданий. Очки записываются против фамилии учеников или под номерами команд. В конце игры подводятся итоги и определяются победители.

Аналогичные задачи могут составить представители команд. За удачно составленную задачу команде начисляется от пяти очков и более.

Кто точнее?

Содержание игры.

1. Учащимся предлагается полоска бумаги. Они должны определить длину и ширину полоски на глаз, а

потом проверить.

На глаз, с последующей проверкой, учащиеся определяют длину и ширину тетради, учебника, карандаша.

Желательно провести соревнование между двумя учениками или между двумя командами. Кто допустит
меньше ошибок и неточностей, является победителем.
2. Определить на глаз расстояние от учительского стола до второй парты, от последней парты до доски,
ДО стены.

Результаты определения расстояний на глаз и результаты измерения с помощью инструментов сравнить.

Победителем считается тот, кто точнее определил длину предмета на глаз.

Какая фигура получилась?

Соединить точки по порядку и назвать, какая фигура получилась (рис. 68).

Сколько отрезков?

Содержание игры. Ученики должны выполнить задания:

Начерти отрезок АВ. Раздели его на части точкой С.

Сколько оТреЗКОВ получилось? (Три отрезка.)

Если отметить на отрезке АВ еще одну точку D, то сколько теперь будет отрезков? Назови и покажи их

(рис. 69).

Можно организовать соревнование между двумя учениками. Один чертит отрезок и ставит одну точку. Другой называет, сколько всего отрезков, и ставит еще одну точку.
Теперь число отрезков называет первый ученик и т.д.

Класс следит за соревнованием, которое проводится до первой ошибки.

Сколько треугольников?

Содержание игры. На доске начерчен треугольник (рис. 70).

Учитель проводит одну линию в треугольнике и просит сосчитать, сколько треугольников образовалось. Затем он проводит вторую линию И Т.д.

Соревнование можно организовать между двумя учениками,

Сколько окружностей?

Учащиеся должны сосчитать, сколько окружностей на рисунке 71 .

196. Какие геометрические фигуры и сколько их на каждом рисунке? (Рис. 72-76.) .

197. Каких фигур недостает?

Материал игры: наборное полотно, геометрические фигуры (рис. 77).

 

 

Рис.71 рис.72 рис.73 рис.74 рис.75

 

Рис.76 рис.77

 

 

 

Содержание игры. На наборном полотне учитель выставляет все известные геометрические фигуры и про-
сит назвать их по порядку. К доске выходит один из учащихся. Он становится спиной к наборному полот-
ну, а учитель одну из фигур убирает. Ученик поворачивается и определяет, какой фигуры недостает. Если он назвал фигуру верно, то учитель убирает уже две, а затем и три фигуры. Если ученик ошибся, то его место занимает другой.

Победителем в игре будет тот ученик, который ни разу не ошибся.

Каких углов больше?

Материал игры: таблица, на которой даны в различном расположении 4 тупых, 6 острых, 5 прямых углов
(рис. 78).

Содержание игры. Ученикам класса предлагается определить, углы каких видов расположены на таблице.

Затем один из учеников подходит к таблице. Он должен определить количество прямых, острых и тупых
углов и сказать, каких углов больше.

Остальные учащиеся класса наблюдают и проверяют ответы, Могут быть вызваны два-три ученика. Ответы их сравниваются, определяются победители.

рис.78

Кто вернее?

Содержание игры. Соревнуются два ученика. Учитель поочередно задает им несколько вопросов. Если
ученик ошибся, то его место занимает следующий. Победителем считается тот, кто безошибочно ответил на все вопросы. Затем вызывается следующая пара. Им задаются аналогичные вопросы,

В о п ро с ы.

1. Как называется фигура, у которой три (четыре, ПЯТЬ, шесть) угла?

2. Как называется треугольник, у которого один угол прямой (тупой, острый)?

 

Рис. 79

 

3. Как называется треугольник, у которого все три стороны равны? три стороны различны по длине две

стороны равны?

4. Если у треугольника один угол прямой (тупой), то какие два других угла?

200. Найди названные треугольники.

Материал игры: на рисунке 79 или на наборном полотне по два остроугольных, тупоугольных, прямоугольных треугольника в разном расположении.

Содержание игры. Вызванный ученик сначала на глаз определяет все остроугольные треугольники, а
потом проверяет свой ответ с помощью чертежного угольника.

Два других ученика, вызванные поочередно, также отыскивают прямоугольные и .тупоугольные треугольники и доказывают правильность ответа.

Кто выполнил задание точно, тот считается победителем.

 

Примечание. Аналогичную игру можно организовать на различение треугольников по длине сторон, использовав рисунок 80

 

 

Рис.80 рис.81

Определить на глаз.

Содержание игры. Вызванный ученик определяет сначала на глаз, какая ломаная линия длиннее, а потом
проверяет себя с помощью линейки (рис. 81).

В а р и а н т и гр ы. Вызваны три ученика. Они на глаз определяют длину каждой ломаной линии и записывают соответственно под каждой из них результаты.
Затем измеряют с помощью линейки длину каждого отрезка ломаной и вычисляют ее длину. Результаты записывают рядом с предыдущим и определяют ошибку.
Выигрывает тот, кто определил длину ‘ломаной с большей точностью.

Урок 14. измерение площади фигуры с помощью палетки — Математика — 4 класс

Математика, 4 класс

Урок №14. Измерение площади фигуры с помощью палетки

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Площадь геометрической фигуры.

Вычисление площади фигур произвольной формы, используя палетку.

Глоссарий по теме:

Площадь — свойство фигур занимать место на плоскости.

Длина — свойство предмета “быть протяжённым в пространстве”

Палетка — прозрачная пластинка, разделенная на единицы площади.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

  1. Математика: 4 класс: учебник в 2 ч. Ч.1/ М.И.Моро, М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова, С.И.Волкова, С.В.Степанова – М. Просвещение, 2016. – с. 36-38
  2. Всероссийские проверочные работе. Математика. Рабочая тетрадь 4 класс в 2 ч. Ч 1/ под.ред. Н.А. Сопруновой – М.; Просвещение, 2016. – с. 50 -68

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Вычислите площадь прямоугольника, если известно, что его длина равна 8см, а ширина 5см.

Вы уже знаете, чтобы найти площадь прямоугольника, нужно длину умножить на ширину. S= 8 ∙ 5 = 40 см2

А теперь попробуйте вычислить площадь данной фигуры:

-?

Сегодня мы узнаем, что для нахождения площади фигур можно использовать палетку. Палетка – это прозрачная плёнка, которая может быть разбита на квадратные дециметры, квадратные сантиметры, квадратные миллиметры. Простейшая палетка — лист кальки, разделенный на квадратные сантиметры. Палетку используют для измерения площади фигур, ограниченных кривой линией.

Чтобы найти площадь данной фигуры, нужно:

1) На данную фигуру наложить палетку. Не сдвигать!

2)Сосчитать, сколько целых клеток- квадратных единиц — содержится в фигуре.

Целых 34 клетки.

3) Сосчитать, сколько нецелых квадратных единиц содержится в фигуре.

Неполных 8 клеток.

4) Количество нецелых квадратных единиц разделить на 2, примерно столько целых квадратных единиц они образуют.

8 : 2 = 4

5) Сложить числа, полученные в пунктах 2 и 4.

6) В ответе записать, что площадь фигуры приблизительно равна найденной сумме.

S = 34 + (8 : 2) = 38 см2

Ответ: S = 38 см2

Задания тренировочного модуля:

1. Определите, какая фигура имеет большую площадь, а какая — меньшую, и решите ребус соответствия.

Правильный ответ: Прямоугольник – большую, круг – меньшую.

Сторона клетки фигуры на рисунке равна 1 см. Найдите её площадь и периметр.

Правильный ответ:

Площадь 7 см2

Периметр 12 см

Как Разрезать Квадрат На 7 Треугольников

Квадрат

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

В геометрии квадрат, также как и прямоугольник, обозначают четырьмя большими латинскими буквами.

Стороны квадрата KLFM: KL = LF = FM = MK.

Углы: KLF = LFM = FMK = MKL = 90° — все углы прямые.

На нашем сайте вы можете проверить свои вычисления, используя калькулятор расчёта периметра и площади квадрата онлайн.

Треугольник

Треугольник — это геометрическая фигура, которая имеет три стороны и три угла (вершины треугольника).

Треугольник обозначается тремя заглавными латинскими буквами, перед которыми ставится знак:

Треугольник EFG сокращенно обозначается как EFG.

Виды треугольников

Вид треугольникаПример
Прямоугольный
(Один угол прямой, два других острых)
Остроугольный
(Все углы острые)
Тупоугольный
(Один угол тупой, два других — острые)

Прямоугольник

Прямоугольник — это фигура, которая имеет четыре стороны и четыре прямых угла.

У прямоугольника противоположные стороны равны.

В геометрии прямоугольник обозначают четырьмя заглавными латинскими буквами.

Противоположные стороны прямоугольника ABCD: AB = CD, BC = DA.

Углы: ABC = BCD = CDA = DAB = 90° — все углы прямые.

Геометрические фигуры

Познакомимся с основными фигурами геометрии.

Многоугольник

Многоугольники — это геометрические фигуры различной формы.

Вершины многоугольника — это точки, соединяющие отрезки, из которых состоит многоугольник.

Стороны многоугольника — это отрезки, из которых состоит многоугольник.

  • Вершины многоугольника — E, L, F, N, K.
  • Стороны многоугольника — EL, LN, NF, FK, KE.

Окружность. Круг

Окружность — это геометрическая фигура, образованная замкнутой кривой линией, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра.

Круг — это геометрическая фигура, которая ограничена окружностью.

Окружность — это граница круга.

Радиус круга — это расстояние от центра окружности до любой её точки.

Диаметр круга — это отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр.

Диаметр круга равен двум его радиусам.

  • Точка O — центр круга.
  • AB — диаметр круга (обозначается буквой « d »).
  • OK — радиус круга (обозначается буквой « r »).
  • АB = 2OK

Исследовательская работа «Равновеликие и равно составленные фигуры

Для дошкольников и учеников 1-11 классов

Рекордно низкий оргвзнос 25 Р.

Управление образования администрации Павловского района

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя школа г. Павлово.

Научно-исследовательская работа на тему

«Равновеликие и равносоставленные фигуры».

ученик 8 А класса

Бочкарев Максим (14 лет)

Практическое применение равносоставленности…………………… 12-14

Рассмотрим две совершенно непохожие друг на друга фигуры. Казалось бы они совершенно разные, т.е. с точки зрения обывателя неравны. Но если эти фигуры вырезать из бумаги и разрезать одну из них на более мелкие фигуры, как показано на рисунке, то из этих частей можно сложить вторую фигуру.

Данная головоломка «Танграм» появилась в Китае в конце восемнадцатого века (рисунок). Головоломка «Танграм». квадрат, разрезанный на 7 частей из которых составляют различные силуэты. Первое ее изображение (1780 г.) обнаружено на ксилографии японского художника Утамаро, где две девушки складывают фигурки «чи чао ту». так называется танграм на его родине (в переводе. умственная головоломка из семи частей»). Название танграм возникло в Европе вероятнее всего от слова «тань» (на кантонском диалекте. китаец) и часто встречающегося греческого корня «грамма» (буква). Известно около семи тысяч различных комбинаций. Впрочем, авторы многих книг по занимательной математике приписывают изобретение танграма якобы жившему 4 тысячи лет назад в Китае ученому Тангу. Суть этой игры не только и не столько в собирании первоначальной фигуры — из разрезанных кусочков можно собирать разнообразные силуэты людей, животных, предметов домашнего обихода, игрушек, цифр, букв и т. д.

Какая же связь этой игры с математикой? Во первых, в основе всей игры лежат геометрические фигуры, а во вторых при разрезании одной фигуры и составлении из нее другой фигуры используются свойства площадей данных фигур.

В 8 классе на уроках геометрии мы начали изучать площади многоугольников. При доказательстве форму площади параллелограмм и треугольника мы использовали способ перекраивания. Параллелограмм разрезанием и перекладыванием сводится к прямоугольнику, треугольник – к параллелограмму. Меня заинтересовали задачи, связанные с «разрезанием фигуры на части и перекладыванием этих частей». Так я впервые познакомился с понятиями «равновеликие фигуры и равносоставленные фигуры». Что же такое равновеликие и равносоставленные фигуры? Могут ли равные фигуры быть неравными и наоборот? Исследованием этих вопросов я занялся в своей работе.

При изучении теоремы Пифагора, я узнал, что теорему Пифагора можно доказывать различными способами, один из которых и использует равносоставленность и равновеликость.

Актуальность моего исследования состоит в том, что на основании понятий равносоставленности и перекраивания можно находить площади разных фигур, а также составлять головоломки.

Основная цель моей работы. исследовать различные геометрические плоские фигуры и способы нахождения площадей этих фигур путем «перекраивания», а также применение этих способов для доказательства некоторых теорем геометрии.

Занимаясь данным исследованием, я попытался решить следующие задачи:

Изучить понятия равносоставленность и равновеликость и теоремы связанные с этими понятиями;

Рассмотреть способы перекраивания многоугольников при определении их площадей

Составить и решить некоторые головоломки на составление различных равновеликих фигур.

Найти практическое применение геометрических понятий равносоставленности и равновеликости

При исследовании различных многоугольников, я выдвинул гипотезу, что из любого многоугольника путем разрезания его определенным образом на конечное число частей можно составить любой другой равновеликий ему многоугольник.

А что же такое равновеликие и равносоставленные фигуры?

Равновеликие фигуры — плоские фигуры одинаковой площади. а равносоставленные фигуры — фигуры, которые можно разрезать на одинаковое число соответственно равных частей. Эквивалентным понятию равносоставленности является понятие равнодополняемости, которое лежит в основе «метода дополнения», то есть дополнения двух фигур равными частями так, чтобы получившиеся после такого дополнения фигуры были равны.

Как

разрезать квадрат на 7 треугольников
  • Новые рефераты
  • Популярные
  • Добавить реферат
  • Поиск
  • Контакты

Изучение геометрии на уроках математики в 5-6 классах

Из прямоугольника 10х7 клеток вырезали прямоугольник 1х6. как показано на рисунке. Разрежьте полученную фигуру на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

Из прямоугольника 8х9 клеток вырезали закрашенные фигуры, как показано на рисунке. Разрежьте полученную фигуру на две равные части так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник 6х10.

На клетчатой бумаге нарисован квадрат размером 5х5 клеток. Покажите, как разрезать его по сторонам клеток на 7 различных прямоугольников.

Разрежьте квадрат 13х13 на 5 прямоугольников по сторонам клеток так, чтобы все десять чисел, выражающих длины сторон прямоугольников, были различными целыми числами.

Разделите фигуры, изображенные на рисунке, на две части. (Разрезать можно не только по лескам клеток, но и по их диагоналям.)

Разрежьте фигуры, изображенные на рисунке, на четыре равные части.

2.4 Задачи на разрезание треугольника

Задачами на разрезание увлекались многие ученые с древнейших времен. Решения многих простых задач на разрезание были найдены еще древними греками, китайцами, но первый систематический трактат на эту тему принадлежит перу Абул-Вефа, знаменитого персидского астронома Х века, жившего в Багдаде. Геометры всерьез занялись решением задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующее составление из них той или иной новой фигуры лишь в начале ХХ века. Одним из основоположников этого увлекательного раздела геометрии был знаменитый составитель головоломок Генри Э. Дьюдени.

В наши дни любители головоломок увлекаются решением задач на разрезание прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берется за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению. Поскольку здесь не требуется глубокое знание геометрии, то любители иногда могут даже превзойти профессионалов-математиков.

Вместе с тем, задачи на разрезание не являются несерьезными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьезных математических задач.

Задачи на разрезание помогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале. При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.

Можно ли провести разрез произвольного треугольника так, чтобы получить два треугольника?

Можно ли провести разрез треугольника так, чтобы получить три треугольника?

Можно ли провести два разреза треугольника, чтобы получить три треугольника?

Можно ли проведением двух разрезов треугольника получить четыре треугольника?

Можно ли провести два разреза треугольника так, чтобы получить пять треугольников?

Как нужно провести два разреза треугольника, чтобы получить шесть треугольников?

Можно ли двумя разрезами разбить треугольник на семь треугольников?

Можно ли двумя разрезами разбить треугольник на восемь треугольников?

Какое количество треугольников можно получить при проведении трех разрезов данного треугольника?

Сколько треугольников изображено на рисунке? Назовите их.

Сколько углов вы видите на рисунке? Назовите их.

Сосчитайте сколько треугольников изображено на рисунке?

Цепочка задач построена таким образом, что при переходе к каждой последующей фигуре увеличивается число искомых треугольников (принцип нарушается при переходе от случая «в» к случаю «г», но в случае «г» усложняется «геометрический фон», т.е. появляются такие взаимопроникающие треугольники, которые состоят, например, из треугольника и четырехугольника, а в случае «в» все взаимопроникающие треугольники можно рассматривать состоящими только из треугольников).

Оценка выполнения задания

1) Если учащийся увидел большой треугольник, состоящий из двух маленьких, т.е. всего три треугольника, то он получает 1 балл.

2) Если учащийся не видит какой-либо из трех треугольников, то он получает 0 баллов.

На данном рисунке изображен большой треугольник, состоящий из трех маленьких, всего четыре треугольника. Такое решение оценивается в 1 балл.

Схема рассуждений и ход решения

Сосчитаем все маленькие треугольники, их всего шесть

Сосчитаем треугольники, состоящие из двух маленьких, их всего три

Сосчитаем треугольники, состоящие из трех маленьких, их всего шесть

Треугольник, состоящий из шести маленьких треугольников – 2

Всего получилось 16 треугольников

Оценка выполнения задания

1) Учащиеся сосчитали (увидели) все взаимопроникающие треугольники, подсчет вели с помощью алгоритма – 2 балла.

2) Задача решалась без применения алгоритма (какие треугольники учащийся увидел, такие и сосчитал, но нашел больше семи треугольников – 1 балл).

3) Учащийся при решении насчитал меньше семи треугольников, т.е. не увидел взаимопроникающих треугольников. оценка 0 баллов.

Схема рассуждений и ход решения

1) Сосчитаем треугольники в «нижней» части рисунка, их всего шесть, причем все они состоят только из треугольников.

2) Добавляем «верхнюю» часть, получаем треугольники, состоящие из треугольников и четырехугольника.

Всего получилось: (321)(321)=12 треугольников.

Оценка выполнения задания

1) Учащийся подсчитал все треугольники с помощью алгоритма (выбор алгоритма значения не имеет) – оценка 3 балла.

2) Учащийся применил для решения алгоритм, не позволяющий выделить все имеющиеся на рисунке треугольники – оценка 2 балла.

3) Учащиеся, не увидевшие взаимопроникающих треугольников, получают 1 балл.

4) Учащиеся, увидевшие на рисунке меньше семи треугольников, получают 0 баллов.

Сосчитайте число треугольников, изображенных на рисунке.

Как построить квадрат, два способа

Научный форум dxdy

Вход Регистрация Donate FAQ Правила Поиск

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву. правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Можно ли

квадрат разбить на 7 равновеликих треугольников

Последний раз редактировалось boriska 18.03.2015, 11:54, всего редактировалось 1 раз.

1) Можно ли разбить квадрат на 7 равновеликих треугольников, все вершины которых лежат на двух противоположных сторонах квадрата?

Пусть сторона квадрата равна и сторона основания каждого треугольника будет. Тогда площадь треугольника равна. Площадь семи треугольников равна. тогда.

Пока что построить такое чудо не получилось. Возможно ли это? Можно подсказку, пожалуйста!

2) На плоскости нарисованы 30 отрезков. Никакие два из них не имеют общих точек и не лежат на одной прямой. Может ли быть так, что для каждого отрезка выполняется следующее условие: прямая, содержащая этот отрезок, пересекает (во внутренних точках) ровно 15 других отрезков?

Я начал так. Пусть есть есть некий отрезок. тогда найдутся для него 15 других отрезков, которые пересекает прямая. Нарисовал это. Потом начал рассматривать второй отрезок и понял, что вариантов слишком много будет. И вряд ли найдутся такие отрезки, что лежат на параллельных прямых.

Начнем с главного правила разрезания и складывания: Два многоугольника называются равносоставленными, если один из них можно разбить (

разрезать) на некоторые другие многоугольники, из которых затем можно составить второй многоугольник.

В этой теореме речь идет о так называемых простых многоугольниках. Простой многоугольник – это такой многоугольник, у которого граница состоит из одной замкнутой косильной лески без самопересечений, и в каждой вершине этой ломаной сходится ровно два ее звена. Важным свойством простого многоугольника является тот факт, что он имеет, по крайней мере, одну внутреннюю диагональ.

Равносоставленными являются треугольник и прямоугольник. (рисунок 2).

Решение задачи видно из рисунка 6.

Обучающий тур

Задачи для самостоятельного решения командами «младшей» возрастной группы

Улитка ползёт вверх по столбу высотой 10 м. За день она поднимается на 5 м, а за ночь — опускается на 4 м. За какое время улитка доберётся от подножья до вершины столба?

Можно ли в тетрадном листке вырезать такую дырку, через которую пролез бы человек?

Зайцы пилят бревно. Они сделали 10 распилов. Сколько получилось чурбачков?

Бублик режут на сектора. Сделали 10 разрезов. Сколько получилось кусков?

На большом круглом торте сделали 10 разрезов так, что каждый разрез идёт от края до края и проходит через центр торта. Сколько получилось кусков?

У двух человек было два квадратных торта. Каждый сделал на своём торте по 2 прямолинейных разреза от края до края. При этом у одного получилось три куска, а у другого — четыре. Как это могло быть?

Зайцы снова пилят бревно, но теперь уже оба конца бревна закреплены. Десять средних чурбачков упали, а два крайних так и остались закреплёнными. Сколько распилов сделали зайцы?

Как разделить блинчик тремя прямолинейными разрезами на 4,5, 6, 7 частей?

На прямоугольном торте лежит круглая шоколадка. Как разрезать торт на две равные части так, чтобы и шоколадка тоже разделилась ровно пополам?

Можно ли испечь такой торт, который может быть разделён одним прямолинейным разрезом на 4 части?

На какое максимальное число кусков можно разделить круглый блинчик при помощи трех прямолинейных разрезов?

Во сколько раз лестница на четвёртый этаж дома длиннее, чем лестница на второй этаж этого же дома?

У Джузеппе есть лист фанеры, размером 22× 15. Джузеппе хочет из него вырезать как можно больше прямоугольных заготовок размером 3× 5. Как это сделать?

В Волшебной Стране свои волшебные законы природы, один из которых гласит: «Ковёр-самолёт будет летать только тогда, когда он имеет прямоугольную форму».

У Ивана-царевича был ковёр-самолёт размером 9 ×12. Как-то раз Змей Горыныч подкрался и отрезал от этого ковра маленький коврик размером 1 ×8. Иван-царевич очень расстроился, и хотел было отрезать ещё кусочек 1 × 4, чтобы получился прямоугольник 8 ×12, но Василиса Премудрая предложила поступить по-другому. Она разрезала ковёр на три части, из которых волшебными нитками сшила квадратный ковёр-самолёт размером 10× 10.

Сможете ли вы догадаться, как Василиса Премудрая переделала испорченный ковёр?

Когда Гулливер попал в Лилипутию, он обнаружил, что там все вещи ровно в 12 раз короче, чем на его родине. Сможете ли вы сказать, сколько лилипутских спичечных коробков поместится в спичечный коробок Гулливера?

На мачте пиратского корабля развевается двухцветный прямоугольный флаг, состоящий из чередующихся чёрных и белых вертикальных полос одинаковой ширины. Общее число полос равно числу пленных, находящихся в данный момент на корабле. Сначала на корабле было 12 пленных, а на флаге — 12 полос; затем два пленных сбежали. Как разрезать флаг на две части, а затем сшить их, чтобы площадь флага и ширина полос не изменились, а число полос стало равным 10?

В круге отметили точку. Можно ли так разрезать этот круг на три части, чтобы из них можно было бы сложить новый круг, у которого отмеченная точка стояла бы в центре?

Можно ли разрезать квадрат на четыре части так, чтобы каждая часть соприкасалась (т. е. имела общие участки границы) с тремя другими?

Задача 19

Листок календаря частично закрыт предыдущим оторванным листком (см. рисунок). Вершины A и B верхнего листка лежат на сторонах нижнего листка. Четвёртая вершина нижнего листка не видна — она закрыта верхним листком. Верхний и нижний листки, естественно, равны между собой.

Какая часть нижнего листка больше — закрытая или открытая?

Вдоль беговой дорожки расставлено 12 флажков на одинаковом расстоянии друг от друга. Спортсмен стартует у первого флажка и бежит с постоянной скоростью. Уже через 12 секунд спортсмен был у 4-го флажка. За какое время он пробежит всю дорожку?

Какой длины получится полоса, если кубический километр разрезать на кубические метры и выложить их в одну леску?

Внутренние покои дворца султана Ибрагима ибн-Саида состоят из 100 одинаковых квадратных комнат, расположенных в виде квадрата 10 ×10 комнат. Если у двух комнат есть общая стена, то в ней обязательно есть ровно одна дверь. А если стена торцевая, то в ней обязательно есть ровно одно окно. Как сосчитать, сколько окон и дверей в покоях Ибрагима ибн-Саида?

Расстояние между Атосом и Арамисом, скачущими по дороге, равно 20 лье. За час Атос покрывает 4 лье, а Арамис — 5 лье. Какое расстояние будет между ними через час?

На линейке длиной 9 см нет делений. Нанесите на неё три промежуточных деления так, чтобы ею можно было измерять расстояние от 1 до 9 см с точностью до 1 см.

Около каждой вершины треугольника напишите какие-нибудь числа, возле каждой стороны треугольника напишите сумму чисел, стоящих на концах этой стороны. Теперь каждое число, стоящее около вершины, сложите с числом, стоящим около противоположной стороны. Как вы думаете, почему получились одинаковые суммы?

Чему равна площадь треугольника со сторонами 18, 17, 35?

Разрежьте квадрат на пять треугольников так, чтобы площадь одного из этих треугольников равнялась сумме площадей оставшихся.

Квадратный лист бумаги разрезали на шесть кусков в форме выпуклых многоугольников; пять кусков затерялись, остался один кусок в форме правильного восьмиугольника (см. рисунок). Можно ли по одному этому восьмиугольнику восстановить исходный квадрат?

Легко можно разрезать квадрат на два равных треугольника или два равных четырехугольника. А как разрезать квадрат на два равных пятиугольника или два равных шестиугольника?

Пошёл Иван-царевич искать похищенную Кощеем Василису Прекрасную. Навстречу ему Леший.

— Знаю, — говорит, — я дорогу в Кощеево Царство, случалось, ходил туда. Шёл я четыре дня и четыре ночи. За первые сутки я прошёл треть пути—прямой дорогой на север. Потом повернул на запад, сутки продирался лесом и прошёл вдвое меньше. Третьи сутки я шёл лесом, уже на юг, и вышел на прямую дорогу, ведущую на восток. Прошагал я по ней за сутки 100 вёрст и попал в Кощеево царство. Ты ходок такой же резвый, как и я. Иди, Иван-царевич, глядишь, на пятый день будешь в гостях у Кощея.

— Нет,— отвечал Иван-царевич, — если всё так, как ты говоришь, то уже завтра я увижу мою Василису Прекрасную.

Прав ли он? Сколько вёрст прошёл Леший и сколько думает пройти Иван-царевич?

Придумайте раскраску граней кубика, чтобы в трёх различных положениях он выглядел, как показано на рисунке. (Укажите, как раскрасить невидимые грани, или нарисуйте развёртку.)

Задача 32

У нумизмата Феди все монеты имеют диаметр не больше 10 см. Он хранит их в плоской коробке размером 30 см 70 см (в один слой). Ему подарили монету диаметром 25 см. Докажите, что все монеты можно уложить в одну плоскую коробку размером 55 см 55 см.

Из квадрата 5×5 вырезали центральную клетку. Разрежьте получившуюся фигуру на две части, в которые можно завернуть куб 2×2×2.

Разрежьте данный квадрат по сторонам клеток на четыре части так, чтобы все части были одинакового размера и одинаковой формы и чтобы каждая часть содержала по одному кружку и по одной звёздочке.

Автостоянка в Цветочном городе представляет собой квадрат 7x 7 клеточек, в каждой из которых можно поставить машину. Стоянка обнесена забором, одна из сторон угловой клетки удалена (это ворота). Машина ездит по дорожке шириной в клетку. Незнайку попросили разместить как можно больше машин на стоянке таким образом, чтобы любая могла выехать, когда прочие стоят. Незнайка расставил 24 машины так, как показано на рис. Попытайтесь расставить машины по-другому, чтобы их поместилось больше.

Петя и Вася живут в соседних домах (см. план на рисунке). Вася живет в четвертом подъезде. Известно, что Пете, чтобы добежать до Васи кратчайшим путем (не обязательно идущим по сторонам клеток), безразлично, с какой стороны обегать свой дом. Определите, в каком подъезде живет Петя.

Предложите способ измерения диагонали обычного кирпича, который легко реализуется на практике (без теоремы Пифагора).

Разрежьте крест, составленный из пяти одинаковых квадратов, на три многоугольника, равных по площади и периметру.

Дан прямоугольный треугольник (см. рисунок). Приложите к нему какой-нибудь треугольник (эти треугольники должны иметь общую сторону, но не должны перекрываться даже частично) так, чтобы получился треугольник с двумя равными сторонами.

Укажите (нарисуйте!) несколько различных решений. Каждое новое решение — дополнительный балл.

У Пети есть три фигуры, вырезанные из бумаги. Каждая из них с одной стороны белая, а с другой — серая. Какие из пяти прямоугольников, изображенных на рисунке, нельзя сложить из этих фигур?

Изображенные на рисунке тела состоят из кубиков. Сколько кубиков в каждом из них?

Из фигур на рисунке к задаче выберите те, которые являются развертками куба. Вырежьте их и покажите, как из них склеить куб.

Выберите кубик соответствующий данной развертке.

На видимых гранях куба проставлены числа 1, 2 и 3. А на развертках — два из названных чисел или одно. Расставьте на развертках куба числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы сумма чисел на противоположных гранях была равна 7.

Пунктирными лесками на рисунке обозначены невидимые ребра куба. Соответственно, сплошными лесками показаны видимые косильной лески. Мы смотрели на куб справа сверху. На рисунках а, б, в, проведите сплошные косильной лески так, чтобы куб был виден

справа снизу; слева сверху; слева снизу.

а) Тетраэдр б) куб разрезали по ребрам, выделенным жирными лесками (см. рисунки) и развернули. Нарисуйте получившиеся развертки.

Мик 4

               С. И. Волкова                                         осс*


Математика

и конструирование

              ШКОЛА РОССИИ                 ФГОС

С И. Волкова


Математика

и конструирование

удк 373.167.1:51Серия «Школа России» основана в 2001 году ББК 22.1я72

Вб7

В пособии представлен учебный материал, соответствующий программе курса «Математика и конструирование», который создаёт условия для расширения, углубления и совершенствования геометрических представлений, знаний и умений учащихся, помогает формировать элементы конструкторских и графических умений, развивать воображение и логическое мышление детей.

Учебное издание

Серия «Школа России»

Волкова Светлана Ивановна

МАТЕМАТИКА И конструировАНИЕ

4 КЛАСС

Пособие для учащихся общеобразовательных организаций

Центр развития начального образования Руководитель Центра М. К. Антошин

Заместитель руководителя Центра О. А. Железникова Руководитель издательского проекта

«Школа России» З. Д. Назарова

Редактор Т. Б. Бука

Художественные редакторы И. Н. Васильев, Т. В. Морозова

Художники И. А. Болотина, Г. Л. Заславская

Технический редактор Н. А. Киселева

Корректор И. В. Чернова

Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции

ОК 005-93 — 953000. изд. лиц. Серия ид № 05824 от 12.09.01.

Подписано в печать 14.05.13. Формат 70х901/16

Бумага офсетная. Гарнитура Прагматика. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 4,37. тираж 18000 экз. Заказ №244З.

Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Отпечатано в ОАО «Кострома»,

156010, г. Кострома, ул. Самоковская, 10

lSBN 978-5-09-031421О Издательство «Просвещение», 2004, 2013 О Художественное оформление.

Издательство «Просвещение», 2004, 2013

Все права защищены

СЛОВО К УЧИТЕЛЮ

В течение четвёртого года обучения по курсу «Математика и конструирование» продолжается систематическая работа по расширению и уточнению геометрических знаний учащихся, по формированию пространственного восприятия и воображения, элементов конструкторского и логического мышления, по развитию и совершенствованию конструкторских и графических умений и навыков, по подготовке к изучению систематического курса геометрии и черчения.

По своей структуре курс продолжает ранее начатую линию введения геометрических понятий: точка линейные и плоскостные фигуры пространственнЬе тела, а по содержанию посвящён достаточно подробному и полному изучению основных многогранников прямоугольного параллелепипеда (куба), их свойств, формированию у детей умений изготавливать развёртки и модели этих многогранников, называть и показывать их элементы: вершины, рёбра, грани, знать свойства граней и рёбер прямоугольного параллелепипеда, вычерчивать названные многогранники в трёх проекциях, соотносить развёртку, рисунок, чертёж, модель, использовать эти знания в прикладных целях, в частности для изготовления по чертежам моделей предметов, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда (куба). На этом же материале закрепляются знания и умения детей вычислять ПЛОЩиЬ прямоугольника (квадрага): так, часто предлагается посчитать ПЛОЩиЬ поверхности прямоугольного параллелепипеда (куба), вычислить площадь прямоугольной фигуры более сложной конфигурации, чем прямоугольник (квадрат), и др.

На уровне общих представлений дети знакомятся с цилиндром, шаром и сферой.

Большой раздел посвящён ознакомлению учеников с осевой симметрией, он органично связан с другим геометрическим материалом, в частности с вычерчиванием фигур, делением их на части и др.

Продолжается работа по формированию умений читать и выполнять несложный чертёж, рисунок, технологическую карту, изготавливать по ним модели изделий.

Параллельно с изучением пространственных тел проводится работа по применению ранее полученных знаний в изменённых условиях. Это относится к заданиям на деление фигуры на части и составление фигур из частей, на преобразование одной фигуры в другую по заданному условию и др. И хотя задания такого плана в основном строятся на использовании плоских фигур, тем не менее ряд заданий достаточно сложен. Приведём решения некоторых из них:


                     с. 12, № з:                                           2-е решение:

разрезать

по линии           м КМ или МЕ. 1-е решение:

                                                               к       А

2

с. 16, № 2:

з

с. 38, № з общую грань имеют параллелепипеды 1 и 2, общее ребро

           с. 58, № 1 :                              с. 62, № 7:

с. 76, № 2:

с. 80, № 1 — куб с номером 4.

В альбом включено три Приложения. Цель Приложения 1 познакомить детей с составлением, чтением и использованием простейших столбчатых диаграмм. Этот материал изучается по усмотрению учителя.

Приложение 2 (Изготовление набора «Монгольская игра») продолжает работу по составлению фигур-силуэтов из специально подготовленного набора, содержащего 11 частей. Задания этого набора могут использоваться в течение всего года для организации индивидуальной работы детей.

Приложение З (Оригами «Лиса и Журавль») используется по усмотрению учителя в конце учебного года на 2—3 последних уроках.

Если учитель распределяет материал пособия по урокам математики (4 ч в неделю), то задания выполняются одно за другим без пропусков, по 1—3 задания за урок. Требования к знаниям и умениям учащихся в конце изучения курса «Математика и конструирование» сформулированы в программе этого курса.

С пожеланием успехов автор

4


КРОССВОРД

5

4

63.

7

Разгадай кроссворд.

Если в столбцах правильно запишешь назва8 ния соответствующих геометрических фигур, то в выделенной строке получишь слово, обозначающее ту часть математики, которая 9 является основой курса «Математика и конструирование».

1.           Из 20 счётных палочек выложи фигуру, как на рисунке. Убедись, что в этой фигуре есть 21 прямоугольник.

Переложи 7 палочек так, чтобы получилось две пары равных квадратов. Зарисуй результат: 2 клетки 1 палочка.

2.           Рассмотри рисунок и назови предметы, которые на нём изображены. Что общего у всех этих предметов? Из каких геометрических фигур образованы нарисованные предметы?

Сколько всего прямоугольников надо вырезать, чтобы обклеить коробочку (рис. 1) со всех сторон?

1                                 2                                з

Начерти на цветной бумаге 2 прямоугольника со сторонами 5 см и 4 см; 2 прямоугольника со сторонами 5 см и 2 см; 2 прямоугольника со сторонами 4 см и 2 см, располагая их, как на чертеже. Вырежи полученную фигуру. Перегни её по штрихпунктирным линиям так, чтобы получилась коробочка.

Проклей места соединения сторон прямоугольника клейкой лентой. Получился прямоугольный параллелепипед. Фигура, изображённая на рисунке, развёртка прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольники, из которых образован прямоугольный параллелепипед, его грани.

Запиши, сколько граней у прямоугольного параллелепипеда.



Из 12 счётных палочек выложи фигуру, как на рисунке. Переложи 5 палочек так, чтобы получилось З равных квадрата. Зарисуй их.

Начерти на листе клетчатой бумаги квадрат со стороной З см. Вырежи его. Разрежь квадрат на 4 равные части так, чтобы из них можно было сложить как прямоугольник (рис. 1), так и равнобедренный треугольник (рис. 2). Составь сначала первую фигуру, а затем вторую. Наклей на одну из фигур все 4 части.

Отгадай геометрический ребус.

Известно, что некоторый треугольник разрезали на 2 части и из них составили прямоугольник. Какого вида мог быть треугольник? Рассмотри и зарисуй все возможные варианты.

Посмотри, как можно нарисовать прямоугольный параллелепипед. Невидимые рёбра чертят пунктирной линией.

Обозначь параллелепипед буквами.

Отметь все вершины красным карандашом и запиши, сколько их. Проведи все рёбра синим карандашом и запиши, сколько их.

Раскрась видимые грани жёлтым карандашом и запиши, сколько всего граней.

1.  Начерти на развёртку прямоугольного параллелепипеда с рёбрами длиной 6 см, 5 см и 2 см.

Нарисуй клапаны для склеивания. Вырежи развёртку и изготовь из неё прямоугольный параллелепипед. Сохрани его.

2.  Дорисуй начерченные прямоугольники так, чтобы получились рисунки предметов, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда.

iii

З. Из 16 счётных палочек выложи фигуру, как на рисунке. Переложи 2 палочки так, чтобы стало 4 квадрата. Зарисуй результат.

1и{‘д:;

i’11

Напиши названия всех четырёхугольников со стороной АВ.

На начерти развёртку прямоугольного параллелепипеда, как на рисунке. Вырежи её. Изготовь из развёртки прямоугольный параллелепипед и сохрани его.

ii

Начерти на листе клетчатой бумаги такой треугольник. Вырежи его и разрежь по пунктирным линиям на З треугольника. Из полученных треугольников сложи квадрат. Вычисли периметр квадрата.

1


iii

З. Обозначь все фигуры буквами.

Сколько на рисунке квадратов?

Сколько на рисунке треугольников? Напиши названия всех квадратов.



4. Найди на рисунке 10 отрезков. Напиши их названия.

КУБ

1. 1) На листе клетчатой бумаги начерти 6 равных квадратов со стороной 4 см, расположив их, как на рисунке. Вырежи полученную фигуру. Перегни её по штрихпунктирным линиям. Проклей места соединения сторон квадратов. Получился куб.

2) Покажи на кубе его вершины, рёбра, грани. Что можно сказать про длины рёбер куба?

З) Возьми прямоугольный параллелепипед и сравни его с кубом.

2. На развёртке куба пронумерованы его грани. Запиши парами номера противоположных граней (тех граней, которые не имеют общих рёбер).

Перечерти развёртку на бумагу, обозначь грани цифрами, вырежи её, изготовь куб и проверь свой ответ.

З. Начерти на плотной бумаге с помощью циркуля 5 кругов одинакового радиуса (например, З см) и вырежи их. Расположи эти круги так, чтобы каждый из них касался четырёх остальных кругов.

4.           Отгадай геометрический ребус.

5.           Сравни две начерченные развёртки. Развёртку прямоугольного параллелепипеда раскрась тремя разными цветными карандашами, отмечая при этом одним цветом равные грани, а развёртку куба раскрась синим карандашом.

6.           Дорисуй начерченные квадраты так, чтобы получились рисунки предметов, имеющих форму куба.


1.           На листе клетчатой бумаги начерти развёртку куба с ребром длиной З см. Вырежи её и изготовь куб.

Сколько у куба граней?

Сколько у куба вершин?

1

Сколько у куба рёбер?

2.           Раскрась ту фигуру, которая является развёрткой прямоугольного параллелепипеда. Используй З цветных карандаша для обозначения пар равных граней. Объясни свой выбор.

З. Из 16 счётных палочек выложи фигуру, как на рисунке. Возьми ещё 8 палочек и положи их так, чтобы они разделили фигуру на 4 равные фигуры, которые по форме похожи на заданную. Зарисуй результат.

4. Сколько окружностей на рисунке?

Подумай, как легче сосчитать их.

С помощью циркуля выполни такой чертёж. Раскрась его, как тебе понравится.

1. Из 4 счётных палочек выложи квадрат. Можно ли выложить 2 квадрата из 7 счётных палочек? Можно ли выложить 6 равных квадратов из 12 счётных палочек?

Попробуй выполнить задание, используя маленькие шарики пластилина. У тебя получился каркас куба, на котором хорошо видны рёбра и вершины куба.

Начерти на клетчатой бумаге развёртку куба с ребром длиной 4 см. Закрась одним цветным карандашом противоположные грани куба, а затем вырежи развёртку (не забудь про клапаны для склеивания) и изготовь из неё куб. Сохрани его.

Из 18 счётных палочек выложи фигуру, как на рисунке. Убери 5 палочек так, чтобы осталось 5 равных треугольников. Найди 2 способа решения. Зарисуй один из них.

4.    Раскрась ту фигуру, которая является развёрткой куба.

5.    Отгадай геометрический ребус.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

ИЗГОТОВЛЕНИЕ КУБА СПЛЕТЕНИЕМ ИЗ ТРЁХ полосок.

1. Вырежи З прямоугольные полоски, длиной 15 см и шириной З см каждая, трёх разных цветов (например, жёлтую, синюю и красную) и раздели каждую из них на 5 равных квадратов (рис. 1).

       1                                                 2

       з                                          5

2. Возьми жёлтую полоску, сложи её, как показано на рисунке 2.

з. Оберни её синей полоской (рис. З).

4.              Получится куб, у которого передняя и задняя грани жёлтые, а остальные синие (рис. 4).

5.              Возьми красную полоску, перегни её по линиям, отделяющим один квадрат от другого. Полученную заготовку (рис. 4) поставь на средний квадрат красной полоски так, чтобы наложенные друг на друга синие грани оказались справа. Оберни куб красной полоской, а конечные её квадраты пропусти в щель между синей и жёлтой гранями.

Куб готов.

1.            У мальчика есть несколько кубиков с длиной ребра 35 мм (рис. 1). Из таких кубиков он построил куб с ребром длиной 7 см (рис. 2). Сколько кубиков для этого использовал мальчик?

1

2

з

Сколько потребуется кубиков, чтобы построить большой куб (рис. З) с длиной ребра 14 см?

2.            На развёртке куба нарисуй заданные фигуры и предметы так, чтобы на противоположных гранях располагались: круг и треугольник; цветок и квадрат; лист и яблоко.

Из 20 счётных палочек выложи фигуру, как на рисунке. Какое наименьшее число палочек надо переложить, чтобы получилось 7 равных квадратов? Выполни задание и зарисуй результат.

Составь ребус, отгадкой которого будет слово «вершина».

1. 1) На развёртке куба (рис. 1) зелёным цветом закраЦ.нча верхняя его грань, а жёлтым боковая. Закрась нижнюю грань зелёным, а грань, противоположную закрашенной боковой, жёлтым цветом.

ж.

2) На развёртке куба (рис. 2) боковая грань обозначена буквой «Б», а нижняя — буквой «Н». Расставь на развёртке буквы «В» (верхняя грань) и «Б» (грань, противоположная данной боковой) в соответствии с уже поставленными буквами.

2. Является ли начерченная фигура развёрткой прямоугольного параллелепипеда? Внеси в чертёж изменения так, чтобы он стал развёрткой прямоугольного параллелепипеда.

iii

1.             Начерти прямоугольник со сторонами 10 клеток и 4 клетки. Сосчитай, сколько клеток полностью расположено внутри прямоугольника.

Сколько клеток составляют 1 квадратный сантиметр?

 Вырази площадь прямоугольника в квадратных сантиметрах.

2.             Начерти прямоугольник со сторонами 4 см и З см. Вычисли его площадь.

Начерти прямоугольник со сторонами 6 см и З см. Вычисли его площадь.

Отрезком раздели прямоугольник на 2 равных треугольника и вычисли площадь каждого из них.

4. Определи и запиши номер развёртки, из которой можно сложить куб (рис. 1), и номера развёрток, из которых можно сложить прямоугольный параллелепипед (рис. 2).

Рис. 1

Определи площадь каждого четырёхугольника.

1)                Начерти на клетчатой бумаге 2 таких креста и вырежи их. Разрежь каждый крест по пунктирной линии.

Из четырёх полученных частей сложи квадрат.

2)                Вычисли площадь полученного квадрата.

З. КРОССВОРД

Впиши по горизонтали названия данных геометрических фигур. Если все названия вписаны верно, то в выделенном столбце прочтёшь слово, которым можно назвать треугольники, четырёхугольники, пятиугольники и т. д.

••

20 П 2- О

                                                                1 1                       13

12 liiiiiiiiiiiiiiiiiii—


Начерти развёртку прямоугольного параллелепипеда с рёбрами длиной 4 см, З см и 2 см.

Закрась противоположные грани с размерами 4 см и З см красным карандашом, противоположные грани с размерами 4 см и 2 см синим карандашом, а противоположные грани с размерами З см и 2 см жёлтым. Подумай, сколькими разными способами можно расположить на парте прямоугольный параллелепипед. Почему? Перенеси развёртку на лист клетчатой бумаги и изготовь из неё прямоугольный параллелепипед.

2, Изготовленный прямоугольный параллелепипед поставь на ладонь так, чтобы перед тобой была грань с размерами 4 см и З см. Расположи ладонь так, чтобы была видна только эта грань. Какую фигуру ты видишь?

Это вид спереди. Договорились на чертеже (на плоском листе бумаги) прямоугольный параллелепипед изображать так: чертят две прямые, которые, пересекаясь, образуют прямые углы; в верхнем левом углу чертят вид прямоугольного лараллелепипеда спереди, в нашем случае прямоугольник со сторонами 4 см и З см.

Под ним, в нижнем левом углу, чертят вид сверху.

Посмотри на прямоугольный параллелепипед: ты увидишь грань с размерами 4 см и 2 см. Найди её на чертеже. В верхнем правом углу чертят вид сбоку. Каких размеров прямоугольник надо начертить?

                 вид спереди                 вид

сбоку

вид сверху

Получился чертёж прямоугольного параллелепипеда в трёх проекциях.


1. Закрась видимые грани на рисунке прямоугольного параллелепипеда так же, как они закрашены на его развёртке.

кр. кр.

Выполни чертёж прямоугольного параллелепипеда в трёх проекциях, сохраняя заданные размеры.

см

Рассмотри рисунок. Запиши, какие из этих параллелепипедов имеют: общую грань.

общее ребро.

Построй пятиугольник произвольных размеров, у которого будет 2 прямых и 2 тупых угла. Обозначь его буквами.

Проведи в нём все диагонали.

Сосчитай, сколько их.

Сколько треугольников получилось?

Раскрась красным карандашом маленький пятиугольник.

На чертеже прямоугольного параллелепипеда отмечено 5 точек. Отметь эти точки на рисунке прямоугольного параллелепипеда.

2

На рисунке прямоугольного параллелепипеда отмечено 6 точек. Отметь эти точки на его чертеже.

Является ли начерченная фигура развёрткой прямоугольного параллелепипеда? Почему?

Исправь чертёж так, чтобы он стал развёрткой прямоугольного параллелепипеда.

4. Отгадай геометрический ребус.

1. Начерти развёртку куба с ребром длиной 2 см, а затем выполни его чертёж в трёх проекциях.

2

1)               Раздели фигуру на 4 равные части одинаковой формы.

2)               Вычисли площадь всей фигуры и площадь каждой полученной части.

Покажи, как разделить двумя отрезками крест (рис. 1) на 5 таких частей (рис. 2).

Если будут затруднения, то перечерти части, данные на рисунке 2, на клетчатую бумагу, вырежи их и расположи эти части на рисунке 1.

Сравни 2 чертежа и раскрась тот из них, который является чертежом куба.

Начерти развёртку прямоугольного параллелепипеда с рёбрами длиной 4 см, З см, 2 см. Как можно начертить её по-другому? Сделай это.

2

Из фигуры, составленной из трёх равных квадратов, как на рисунке, мысленно вырежи такую часть,. чтобы при сложении её с оставшейся частью получилась квадратная рамка (квадрат с квадратным отверстием в середине). Зарисуй результат. Найди площадь полученной рамки самым простым способом.


iii

З. Из 10 счётных палочек выложи фигуру, как на рисунке. Переложи 4 палочки так, чтобы получилось 2 квадрата. Зарисуй результат.

4. На рисунке изображена фигура, сложенная из двух ОДИНаКОВЫХ по размеру кубиков. Выполни её чертёж и раскрась его в соответствии с рисунком фигуры.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

ИЗГОТОВЛЕНИЕ модЕЛИ ГАРАЖА.

Перенеси чертежи на цветную бумагу и изготовь по ним модель гаража.

iii

К многограннику, начерченному в предыдущем задании 4, добавили справа ещё 1 куб, как на рисунке. Выполни чертёж этой фигуры.

Определи, как изменили фигуру из задания 1, если её чертёж стал таким.

Проследи, как меняется фигура и её чертёж при переходе от одного задания к другому. Отметь, что меняется, а что остаётся неизменным.

46

Длины сторон прямоугольника 8 см и 2 см. Вычисли его площадь. Найди длину стороны квадрата, который имеет такую же площадь, как заданный прямоугольник. Начерти обе фигуры. Проведи в каждой фигуре отрезки так, чтобы стало видно, что они имеют равные площади.

Начерти развёртку прямоугольного параллелепипеда с рёбрами длиной 4 см, З см, 2 см. Найди площадь всей развёртки.

5.      По чертежу прямоугольного параллелепипеда начерти его развёртку.

48

6.      Используя циркуль и линейку без делений, раздели пополам отрезок АВ.

в

1. Лист бумаги прямоугольной формы перегни пополам и начерти на нём окружность. Раскрой лист, обведи оттиск на второй половине листа, а по линии сгиба проведи по линейке прямую. Рассмотри, как расположены 2 окружности относительно линии сгиба. Линия сгиба будет осью симметрии этих двух окружностей.

Сделай рисунок собачки, симметричный нарисованному относительно вертикальной линии (оси симметрии).

Отгадай геометрический ребус.


1. Проведи оси симметрии в этих фигурах.

1)               Обведи красным карандашом те прочерченные линии, которые будут осями симметрии в каждой из следующих фигур.

2)               Проведи синим карандашом новые оси симметрии, где это возможно.

З) Сколько осей симметрии у фигуры 1? 2? З? 4? 5?

Начерти: 1) квадрат со стороной З см; 2) прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см; З) круг радиусом 2 см. В каждой фигуре проведи оси симметрии.

Сколько осей симметрии ты провёл: в прямоугольнике? в квадрате?

Сколько осей симметрии ты провёл в круге?

Можно ли провести ещё? А ещё? Устно объясни почему.

Проведи все возможные оси симметрии в каждой фигуре, в каждом слове.

АННА

      ШАЛАШ                            ОКО

Прочерти красным карандашом те линии, которые являются осями симметрии, а синим — те, которые не являются осями симметрии.

ll•m

Сделай рисунок буквы «Т», симметричный нарисованному относительно вертикальной оси симметрии.

Вычисли площадь буквы «Т» в квадратных сантиметрах.

КЫ1

З. Начерти фигуры, которые имеют: 1) одну ось симметрии; 2) две оси симметрии; З) три оси симметрии; 4) четыре оси симметрии; 5) бесконечное число осей симметрии.

4. Отгадай геометрический ребус.

1. Начерти развёртку прямоугольного параллелепипеда с размерами 5 см, 4 см и З см. Изготовь из этой развёртки прямоугольный параллелепипед. Поставь его на грань с размерами 5 см и З см и поверни к себе гранью с размерами 5 см и 4 см. Сделай чертёж этого прямоугольного параллелепипеда в трёх проекциях.

13

Каждая фигура сложена из 5 одинаковых кубиков. 1) Обведи номер той фигуры, чертёж которой здесь изо бражён.

2) Выполни чертёж каждой оставшейся фигуры.

Раскрась тот чертёж, который является развёрткой куба. Объясни свой выбор.

Из 12 счётных палочек выложи фигуру, как на рисунке. Переложи З палочки так, чтобы получилось З равных

квадрата. З Зарисуй результат.

Начерти треугольник, у которого будет З оси симметрии.

lll:

2. С помощью циркуля и линейки начерти треугольник со сторонами 6 см, 5 см и 5 см. Раздели его одним отрезком на 2 равных прямоугольных треугольника. Начерти тот прямоугольник, который можно составить из этих двух треугольников. Измерь длины сторон прямоугольника и вычисли его площадь. Какой будет площадь исходного треугольника?

З. На рисунке изображён куб и его развёртка. Какое число записано: на нижней г ани? на боковой грани? на задней грани?

5 1 6 1 2 1 1

4.            Составь выражение для нахождения площади фигуры, изображённой на чертеже. Рассмотри несколько способов решения.

5.            Рассмотри рисунок. На нём изображена фигура, похожая на широкую запятую. Она построена так: на прямой описан полукруг с диаметром АВ, равным З см, а затем на каждой половине отрезка АВ описаны маленькие полукруги один справа, другой слева. . Как разделить круг на 2 такие запятые?

Проведи оси симметрии в фигурах, начерченных ниже.

Из 16 счётных палочек выложи фигуру, как на рисунке. Переложи 6 палочек так, чтобы получилось 2 равных квадрата. Зарисуй результат. Вычисли площадь одного такого квадрата.

Начерти прямоугольный треугольник, у которого каждая из сторон, образующих прямой угол, равна 4 см. Найди площадь этого треугольника.

От вершины прямого угла треугольника на каждой из сторон отложи по 2 см и на этой основе построй квадрат. Какие ещё фигуры образовались при этом?

Найди площадь одного из полученных треугольников.

2. Длина ребра куба 2 см. Сделай чертёж куба в трёх проекциях. Вычисли площадь одной грани куба.

Вычисли сумму площадей всех граней куба (всей его поверхности).

2) Рассмотри рисунок и, используя его, определи длину радиуса окружности, если диагональ прямоугольника равна 4 см.

Обозначь буквами все фигуры на чертеже.

5.            Начерти квадрат, площадь которого 16 см?. Начерти хотя бы один прямоугольник, имеющий такую же площадь.

6.            Найди площадь каждой начерченной фигуры, сделав необходимые измерения.

7.            Какой частью из данных четырёх надо дополнить фигуру, начерченную слева, чтобы рисунок сохранился? Запиши её номер.

                                                1                      2

                                         з                   4

8.            Найди 2 одинаковые фигуры и запиши их номера.


1                       2                        з                          4

5                   6                    7                     8

9                      10                      11                      12


глт#тг

озьми прямоугольный лист бумаги, сверни его в труббчку, как показано на рисунке, а затем склей. Получиля предмет, очень похожий на трубу. Если её с двух сторон закрыть кругами, то получится цилиндр.

Назови предметы, которые имеют форму цилиндра, и нарисуй один из них в таблице.

                Цилиндр           Цилиндр

2. Перенеси чертёж (развёртку цилиндра) на цветную бумагу и вырежи по нему все детали, а затем изготовь цилиндр.

30

2 детали

З. Найди площадь каждой фигуры, изображённой на рисунках, проведя необходимые измерения.

ИЗГОТОВЛЕНИЕ КАРАНДАШНИЦЫ.

Перенеси чертёж на цветную бумагу, вырежи все детали и изготовь карандашницу цилиндрической формы.


1

10s i5Q)

О

сч

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

190

 

20

 

210

 

 

 

коробка

4

Заштрихованный квадрат нужно вырезать. кольцо

Рассмотри таблицу. На свободном месте нарисуй другие предметы, которые имеют форму шара.

              Арбуз                                      Апельсин

Шар

Назови ещё несколько предметов, которые имеют форму шара.

2. Скатай из пластилина шар. Возьми металлическую линейку и разрежь шар на 2 полушара. Какую фигуру ещё ты получил при этом?

Подобно тому как границей круга на плоскости является окружность, границей шара в пространстве является сфера. Все точки сферы одинаково удалены от её центра. Назови предметы сферической формы.

З. Фигуру, изображённую на чертеже, разрежь на 2 такие части, из которых можно составить квадрат. Зарисуй его.

Чтобы найти способ решения, ответь на вопросы. 4 Какую площадь будет иметь этот квадрат? (Площадь можно выразить в тех квадратах, на которые разбита заданная фигура.) Какой длины будет сторона квадрата? (Линия, по которой надо разрезать фигуру, будет представлять собой ломаную из пяти звеньев.)

4. Отгадай геометрический ребус.

:lii

ЦИРК

Выполни в трёх проекциях чертёж прямоугольного параллелепипеда с рёбрами длиной З см, 2 см и 1 см, расположенного так, как показано на каждом из рисунков.

1.          Сделай рисунок прямоугольного параллелепипеда по заданному чертежу.

2.          На листе клетчатой бумаги начерти 2 рамки прямоугольной формы, как на рисунке.

Каждую рамку разрежь на 2 части так, чтобы из первой можно было составить прямоугольник, а из второй квадрат. Линии разреза покажи цветными карандашами на нарисованных рамках.

Составь геометрический ребус, отгадкой которого будет название данной геометрической фигуры.

Два параллелепипеда расположены, как показано на рисунке. Выполни чертёж этой композиции, если один параллелепипед имеет размеры З см, 2 см и 1 см.

По заданному чертежу покажи на рисунке, как распо- 4 ложены два параллелепипеда, чертёж КОТОРЫХ выполнен.

З. Поставь номер фигуры после её названия.

                        Цилиндр                                                        Шар

куб     Прямоугольный параллелепипед

4. Начерти фигуру, симметричную данной относительно оси симметрии, проведённой вертикально.

Вычисли площадь фигуры, начерченной слева.

4 Какой будет площадь фигуры, которую ты начертил справа?

1. Сделай чертёж фигуры, данной на рисунке.

Из 24 счётных палочек выложи фигуру, как на рисунке. 4 1) Запиши, сколько всего квадратов получилось.

2) Убери 2 палочки так, чтобы осталось 7 равных квадратов. Зарисуй результат.

З) Восстанови фигуру. Убери 6 палочек так, чтобы образовалось З квадрата. Зарисуй результат.

1.          


Найди тот кубик, который сделан из данной на рисунке развёртки, и обведи кружком его номер. Объясни свой выбор.

1

               4         5         6

7

2.           Из трёх приведённых чертежей один неправильный. Раскрась правильные чертежи. Объясни, в чём заключается ошибка в неправильном чертеже.

Отгадай геометрический ребус. Чем сфера отличается от шара?

iiR

Для каждого рисунка выполни рисунок, симметричный данному относительно оси симметрии, начерченной вертикально.

заи

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА ИЗГОТОВЛЕНИЕ МОДЕЛИ АСФАЛЬТОВОГО КАТКА.


Приложения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 год 2 года 3 года 4 года 5 лет б лет

 

 

 




По приведённым рисункам изготовь рыжую Лису.

Перегни заготовку и снова разверни её.

СОДЕРЖАНИЕ

Слово к учителю

Прямоугольный параллелепипед 6

                                  Куб                                                                  18

Изображение прямоугольного параллелепипеда (куба) на чертеже в трёх проекциях 34


                           Осевая симметрия                           50

Представления о цилиндре, шаре и сфере         68

Приложение 1. Знакомство с диаграммами 85

Приложение 2. Изготовление набора «Монгольская игра» 90

Приложение З.

Оригами «Лиса и Журавль» 92



Иллюстративная математика

Задача

Ниже представлены изображения четырех треугольников с заданной длиной сторон:

Для каждого треугольника найдите и проведите все линии симметрии.

Комментарий IM

Можно представить себе деление треугольников на разносторонние, равнобедренные и равносторонние. с точки зрения линий симметрии. Разносторонний треугольник — это треугольник без линии симметрии, в то время как равнобедренный треугольник имеет хотя бы одну линию симметрии а равносторонний треугольник имеет три линии симметрии.Эта деятельность обеспечивает учащимся предоставляется возможность распознать эти отличительные черты различных типов треугольников до того, как будет введен технический язык. Для найдя линии симметрии, вырезанные модели четырех треугольников будут полезно, чтобы ученики могли сложить их, чтобы найти линии.

Это задание предназначено для обучения, предоставления студентам с возможностью экспериментировать с физическими моделями треугольников, получая пространственные интуиция, выполняя размышления.В конце решения было добавлено слово о том, почему для этих треугольников нет других линий симметрии: это было вставлено на тот случай, если эта тема поднимется в ходе обсуждения в классе, но основное внимание должно быть уделено определению правильных линий симметрии. .

Решение

На рисунке показаны линии симметрии четырех треугольников. ниже:

Линия симметрии треугольника должна проходить через одну вершину. Две стороны, встречающиеся в этой вершине, должны быть одинаковой длины, чтобы была линия симметрии.Когда две стороны, встречающиеся в вершине, действительно имеют одинаковую длину, линия симметрии, проходящая через эту вершину, проходит через середину противоположной стороны. Для треугольника с длинами сторон 4,4,3 единственная возможность — сложить так, чтобы две стороны длины 4 выровнялись, так что линия симметрии проходит через вершину, где встречаются эти две стороны. Для треугольника, все стороны которого имеют длину 3, правильный сгиб через любую вершину может служить линией симметрии, поэтому существует три возможных прямых. Треугольник с длинами сторон 2,4,5 не может иметь никаких линий симметрии, так как все стороны имеют разные длины.Наконец, треугольник с длинами сторон 3,5,5 имеет одну линию симметрии, проходящую через вершину, в которой встречаются две стороны длиной 5.

Чтобы понять, почему для этих треугольников нет других линий симметрии, обратите внимание, что линия симметрии должна проходить через вершину треугольника: если линия разрезает треугольник на два многоугольника, но не проходит через вершину, то одна из этих линий polygons — это треугольник, а другой — четырехугольник. Как только вершина треугольника выбрана, существует только одна возможная линия симметрии для треугольника, проходящая через эту вершину, а именно та, которая проходит через середину противоположной стороны.

Weekend Diversion: Triangles, Puzzle and Beauty

«Арифметика! Алгебра! Геометрия! Грандиозная троица! Светящийся треугольник! Тот, кто вас не знал, бессмысленен!» — Граф де Лотреамон

Если задуматься, удивительно, что наша физическая Вселенная вообще имеет смысл. Тот факт, что мы можем наблюдать за происходящим, определять законы, которые этим управляют, и предсказывать, что произойдет при тех же или подобных обстоятельствах, — это самая замечательная сила, которой обладает наука.Если это то, что вы делаете в любом аспекте своей жизни, примите мои поздравления, вы ученый. Но это, по сути, не говорит нам о том, на что похожа Вселенная на самом базовом уровне. Состоим ли мы из точечных частиц? Или это геометрические конструкции? Неужели мы рябь во Вселенной? В некотором смысле, They Might Be Giants, возможно, размышляют именно об этом в своей песне, которую я представляю вам в эти выходные,

.

Человек из частиц.

В основе всего этого лежит математика, которая по-своему прекрасна, элегантна и является нашей основой для осмысления Вселенной.И в том, что казалось простой головоломкой, я увидел изображение, похожее на это, плавающее в Интернете и появляющееся в Facebook.

Сколько треугольников на этом изображении? 92,6% американцев задают этот вопрос неправильно!

Это довольно просто: равносторонний треугольник с тремя дополнительными линиями, выходящими из двух вершин, а также вопрос «сколько треугольников?» можно найти на этом изображении.

Попробуйте решить ее самостоятельно, если хотите, прежде чем читать дальше, где я объясню вам правильный ответ и покажу вам забавный и красивый математический шаблон, который тоже там есть.

Как и следовало ожидать, я видел большое количество попыток ответить на этот вопрос, в том числе несколько изощренных ошибочных.

Изображение предоставлено: источник неизвестен, получено от Ирены Хадж.

Имеет смысл попытаться построить треугольники из каждой точки пересечения линий, но вы должны быть осторожны, чтобы не пересчитать треугольники в два или три раза. Число здесь слишком велико, так как ответ не семьдесят.

Изображение предоставлено: Патрик Соларчик.

Этот был особенно надоедливым, потому что — предупреждение о спойлере — 64 — правильный ответ , но эта диаграмма полностью неверна, отсутствуют некоторые треугольники, которые на самом деле существуют, и количество треугольников считается дважды.(Например, посмотрите на пятый ряд, на красный треугольник в первом столбце и на то, что он совпадает с зеленым треугольником в шестом ряду, втором столбце.)

Когда кто-то получает правильный ответ по неправильной причине, это особенно обидно, потому что для этого требуется несколько ошибок. Итак, я хотел бы показать вам надежный способ показать вам все уникальные треугольники на этой диаграмме, и когда мы закончим, мы увидим образец и получим формулу, чтобы узнать что-то интересное и красивое.

Все точки пересечения линий внутри нашего треугольника.

Начнем с основания треугольника с двумя базовыми вершинами. По мере продвижения вверх по диаграмме мы постепенно будем сталкиваться с точками пересечения двух линий, отмеченными выше в том порядке, в котором мы будем сталкиваться с ними.

Каждый раз, когда мы это делаем, мы будем считать все новых уникальных треугольников, используя новую точку пересечения и одну (или обе) из двух базовых вершин в нижней части треугольника.Чтобы избежать двойного счета, мы будем создавать треугольники только с использованием точек ниже нашей текущей точки, гарантируя, что мы никогда не будем считать один и тот же треугольник дважды. Вы также заметите, что некоторые точки — обозначенные 2 и 3, 4 и 5, 6 и 7, 9 и 10, 11 и 12, 14 и 15 — являются зеркальным отражением друг друга, поэтому эти наборы лучше дают нам такое же количество треугольников.

Давайте пройдемся по этим пунктам от 1 до 16 и посмотрим, что мы получим.

Точка №1 как необходимая вершина в каждом треугольнике.

Для первой точки, к которой мы подошли, есть только один возможный треугольник, использующий точки под ним: в треугольнике три точки, и этот треугольник использует все из них.

Достаточно просто, так что переходим к следующему (-ым).

Точки №2 и №3 как необходимая вершина в каждом треугольнике.

Как видите, каждая из этих новых точек может образовывать два новых треугольника, один из которых использует обе базовые вершины, а другой — нашу точку пересечения №1, которая теперь является вариантом создания треугольника.Эта модель будет продолжаться по мере того, как мы продолжаем двигаться вверх, поскольку все более низкие точки теперь становятся справедливой игрой.

Итак, перейдем к пунктам 4 и 5.

Точки №4 и №5 как необходимые вершины в каждом треугольнике.

Как видите, мы можем построить три новых треугольника для каждого из них. Это довольно просто, как и пункты 6 и 7 ниже.

Точки №6 и №7 как необходимая вершина в каждом треугольнике.

Четыре новых треугольника каждый, используя все допустимые нижние точки в качестве возможных вершин.Пока все хорошо: ни двойного счета, ни пропущенных треугольников. И подъем еще на один вверх, к точке пересечения №8, наконец, становится немного интереснее.

Точка №8 как необходимая вершина в каждом треугольнике.

Почему этот пункт №8 интересен по сравнению с другими? Потому что впервые мы можем построить успешные, новые, уникальные треугольники, которые соединяются с либо с одной из базовых вершин, о чем мы должны помнить для всех наших последующих точек.

Давайте двигаться дальше, и достигнем пунктов 9 и 10.

Точки № 9 и № 10 как необходимая вершина в каждом треугольнике.

Пункты 9 и 10 дают нам по четыре новых уникальных треугольника, каждый из которых соединяется с одной (или обеими) базовой вершиной (или вершинами), в зависимости от ситуации.

Точки № 11 и № 12 как необходимая вершина в каждом треугольнике.

И для пунктов 11 и 12 мы получаем по пять. Не стесняйтесь проверить: все эти треугольники пока уникальны и инкапсулируют их все.У нас осталось всего четыре точки пересечения, так что давайте разберем их все!

Точка №13 как необходимая вершина в каждом треугольнике.

Еще пять для точки пересечения №13 …

Точки №14 и №15 как необходимая вершина в каждом треугольнике.

По шесть для точек №14 и 15, и для последней, самой верхней точки …

Точка №16 как необходимая вершина в каждом треугольнике.

Семь! В общем, мы можем сложить их и получить 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 6 + 7 = 64 , и так вот на самом деле здесь 64 уникальных треугольника.

Итак, 64 — интересное число: это идеальный квадрат (8 2 = 64), это идеальный куб (4 3 = 64), и вы можете задаться вопросом, связано ли это с количеством выходящих дополнительных строк. этих двух базовых вершин. Ну, это , но узор действительно фантастический. Давайте покажем вам, что мы получим, если посчитаем количество новых треугольников, которые мы смогли создать, используя каждую новую точку как необходимую вершину, по мере продвижения вверх по треугольнику.

Количество треугольников, созданных в каждой новой вершине, идущей вверх.

Итак, это красивый узор, и оказалось, что очень тесно связано с количеством линий — в данном случае 4 — выходящих из каждой базовой вершины треугольника.

Если бы у нас было только и один , у нас была бы только самая нижняя линия из каждой вершины, то есть мы получили бы только 1 треугольник.

Если бы у нас было только и два , у нас были бы две самые нижние линии из каждой вершины, получив в общей сложности 8 треугольников: 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 1 = 8.

Если бы у нас было только три , мы получили бы три самые низкие линии из каждой вершины, всего 27 треугольников: 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 2 + 5 x 1 = 27.

И, как видите, для из четырех мы получаем 64: 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + 5 x 3 + 6 x 2 + 7 x 1 = 64.

И, как вы, возможно, заметили, 1 3 = 1, 2 3 = 8, 3 3 = 27 и 4 3 = 64, так что вот как работает шаблон! Итак, продолжайте и нарисуйте треугольник с произвольным количеством линий, выходящих из каждой вершины; теперь вы не только знаете шаблон, в том числе, сколько треугольников вы можете сгенерировать в каждой вершине при движении вверх, но теперь вы знаете отличный способ генерировать идеальные кубики чисел! Какой забавный и красивый кусочек математики, и я надеюсь, что он поможет вам не только отлично провести выходные, но и поможет вам расслабиться и решить эту грандиозную загадку треугольника!

Сколько треугольников 1

Сколько треугольников вы можете сосчитать на этой диаграмме?

Нажмите желтую кнопку, чтобы узнать.

ответы

Войдите в свою учетную запись подписки Transum, чтобы увидеть ответы

Важен не ответ, а способ, которым вы пришли к нему. У вас был структурированный подход? Вы были уверены, что получили правильный ответ?

Для подписчиков Transum к этому занятию прилагается распечатанный рабочий лист.

Можете ли вы составить подобную головоломку, чтобы другие решали ее?

Extension Challenge

Сколько треугольников на передней панели стойки регистрации отеля?


Ваш доступ к большинству ресурсов Transum по-прежнему бесплатный, но вы можете помочь поддержать постоянный рост веб-сайта, совершая покупки на Amazon, используя ссылки на этой странице.Ниже находится поле поиска Amazon и некоторые элементы, которые я выбрал и рекомендую для начала. Как партнер Amazon я зарабатываю небольшую сумму на соответствующих покупках, которые помогают оплачивать содержание этого веб-сайта.

Редакция GCSE и практика

Какую бы экзаменационную комиссию вы ни использовали для сдачи экзаменов по математике GCSE, эта книга Дэвида Рейнера остается абсолютным победителем. Благодаря этому последнему выпуску, представленному в цвете и полностью обновленному в соответствии с новыми спецификациями GCSE (9-1), этот уникальный эффективный текст продолжает увеличивать ваши шансы на получение хорошей оценки.

Эта книга нацелена на более высокий уровень GCSE и предлагает обширные практические занятия с осторожным прогрессом, а также существенную поддержку пересмотра оценок нового стиля и экзаменационных вопросов. Со всеми новыми темами и специальным разделом по использованию и применению математики этот уникальный ресурс можно использовать либо как учебник на два или три года, либо как исправленный текст перед экзаменами. подробнее …

Maths Футболки


Maths Футболки на Amazon

Сколько квадратов 1? | Сколько квадратов 2?
Сколько треугольников 1? | Сколько треугольников 2? | Сколько треугольников 3?
Сколько прямоугольников? | Исследование прямоугольников | Икосаэдр | Мистическая роза


Учитель, у ваших учеников есть доступ к компам?
Есть ли у них iPad или ноутбуки на уроках?

Независимо от того, есть ли у ваших учеников планшетный ПК, Surface или Mac, эта деятельность поддается электронному обучению (интерактивное обучение).

Вот краткий URL-адрес версии этой страницы без комментариев.

Transum.org/go/?Start=September23

Вот URL-адрес, по которому они будут перенаправлены на соответствующее студенческое мероприятие.

Transum.org/go/?to=howmany


треугольников и четырехугольников — математика для учителей начальной школы

Думай / Пара / Делись

Самостоятельно следуйте этим указаниям:

  • Нарисуйте на бумаге любой треугольник.
  • Нарисуйте второй треугольник, который чем-то отличается от вашего первого. Напишите одно или два предложения, чтобы сказать, чем они отличаются.
  • Нарисуйте третий треугольник, который отличается от обоих ваших двух других. Опишите, чем это отличается.
  • Нарисуйте еще два треугольника, отличных от всех предыдущих.

Сравните ваши треугольники и описания с партнером. Чтобы сделать «разные» треугольники, вам нужно изменить какую-то особенность треугольника. Составьте список функций, которые вы или ваш партнер изменили.

Треугольники классифицируются по разным свойствам. Смысл изучения геометрии не в том, чтобы выучить большой словарный запас, но полезно использовать правильные термины для объектов, чтобы мы могли ясно общаться. Вот краткий словарь некоторых типов треугольников.

Классификация по сторонам

разносторонняя равнобедренный равносторонний
все стороны имеют разную длину две стороны имеют одинаковую длину все три стороны имеют одинаковую длину

Классификация по углам

острый тупой
все внутренние углы меньше 90 ° один внутренний угол больше 90 °
правый равносторонний
точный размер одного внутреннего угла 90 ° все внутренние углы имеют одинаковый размер

Помните, что «геометрия — это искусство хороших рассуждений на основе плохих рисунков.«Это означает, что вы не всегда можете доверять своим глазам. Если вы смотрите на изображение треугольника, и одна сторона кажется длиннее другой, это может означать, что рисунок был выполнен немного небрежно.

Обозначение: деления

Математики либо записывают измерения, либо используют отметки, чтобы указать, когда стороны и углы должны быть равны.

Если две стороны имеют одинаковые размеры или одинаковое количество делений, вы должны верить, что они равны, и решить проблему соответствующим образом, , даже если это не так выглядит для ваших глаз .

Вы можете увидеть их примеры на некоторых из картинок выше. Другой пример — маленький квадрат, используемый для обозначения прямого угла на изображении прямоугольного треугольника.

Самостоятельно

Работайте над следующими упражнениями самостоятельно или с партнером.

1. Подразумевается, что на рисунке ниже какие стороны имеют одинаковую длину (даже если на чертеже это не выглядит так)?

2. Какие углы на рисунке ниже имеют одинаковую величину (даже если на чертеже это не так)?

3.Вот такой разносторонний треугольник. Нарисуйте еще два разносторонних треугольника, каждый из которых чем-то отличается от показанного здесь.

4. Вот острый треугольник. Нарисуйте еще два острых треугольника, каждый из которых чем-то отличается от показанного здесь.

5. Вот тупой треугольник. Нарисуйте еще два тупых треугольника, каждый из которых чем-то отличается от показанного здесь.

6. Вот прямоугольный треугольник. Нарисуйте еще два прямоугольных треугольника, каждый из которых чем-то отличается от показанного здесь.Обязательно укажите, какой угол равен 90 °.

7. Вот равнобедренный треугольник. Нарисуйте еще два равнобедренных треугольника, каждый из которых чем-то отличается от показанного здесь. Используйте галочки, чтобы указать, какие стороны равны.

Думай / Пара / Делись

К настоящему времени вы нарисовали на бумаге несколько разных треугольников. Выберите один из своих треугольников и следуйте этим указаниям:

  • Ножницами вырежьте треугольник.
  • Оторвите (не обрезайте) углы и соедините три вершины вместе. У вас должно получиться что-то похожее на эту картинку:

Что вы заметили? Что это говорит об углах в треугольнике?

Возможно, вы узнали, что сумма углов в любом треугольнике равна 180 °. В вашем классе теперь есть много примеров треугольников, у которых сумма углов кажется равной 180 °. Но помните, наши рисунки неточны.Как мы можем быть уверены, что наши глаза не обманывают нас? Как мы можем быть уверены, что сумма углов в треугольнике не равна 181 ° или 178 °, а действительно составляет 180 ° на носу в каждом случае?

Думай / Пара / Делись

Что могло бы убедить вас вне всяких сомнений в том, что сумма углов в любом треугольнике равна 180 °? Будет ли достаточно тестирования множества кейсов? На сколько хватит? Сможете ли вы когда-нибудь проверить все возможные треугольники?

Часто учителя геометрии в средней школе доказывают, что сумма углов в треугольнике равна 180 °, обычно используя некоторые факты о параллельных линиях.Но (может быть, удивительно?) Так же хорошо принять это как аксиому , как данный факт о том, как работает геометрия, и двигаться дальше. Возможно, это менее удовлетворительно, чем доказательство на основе какого-либо другого утверждения, и если вам интересно, вы наверняка найдете доказательство или ваш инструктор поделится им с вами.

Примерно 300 г. до н.э. Евклид был первым математиком (насколько нам известно), который попытался записать точные аксиомы, а затем построить на их основе строгие доказательства математических истин.

Евклид

У Евклида было пять геометрических аксиом, первые четыре из которых казались математикам довольно очевидными. Люди считали их разумными предположениями, из которых можно было строить геометрические истины:

1. Имея две точки, вы можете соединить их отрезком прямой.

2. Имея линейный сегмент, вы можете удлинить его, насколько хотите, в любом направлении, образуя линию.

3. Имея отрезок прямой, вы можете нарисовать круг, имеющий этот отрезок в качестве радиуса.

4. Все прямые углы совпадают.

Пятый постулат беспокоил людей немного больше. Первоначально это было сказано более цветистым языком, но это было эквивалентно этому утверждению:

5. Сумма углов в треугольнике составляет 180 °.

Легко понять, почему эта пятая аксиома вызвала такой шум в математике. Это казалось гораздо менее очевидным, чем четыре других, и математики чувствовали, что они каким-то образом жульничают, если они просто предполагают это, а не доказывают, что это должно быть правдой.Многие математики потратили много-много лет, пытаясь доказать эту пятую аксиому с помощью других аксиом, но им это не удалось. И не без оснований: есть и другие виды геометрий, в которых первые четыре аксиомы верны, а пятая — нет!

Например, если вы создаете геометрию на сфере — например, баскетбольном мяче или, что более важно, на поверхности Земли — а не на плоской плоскости, первые четыре аксиомы верны. Но на поверхности земли треугольники выглядят немного странно. У каждого треугольника, который вы можете нарисовать на поверхности земли, сумма углов строго больше, чем 180 °.Фактически, вы можете нарисовать на Земле треугольник с тремя прямыми углами, в результате чего сумма углов составит 270 °.

Треугольник с тремя прямыми углами на сфере.

На такой сфере, как Земля, сумма углов не постоянна для всех треугольников. У больших треугольников есть большие суммы углов, а у меньших треугольников меньшие суммы углов, но даже у крошечных треугольников сумма углов больше 180 °.

Геометрия, которую вы изучаете в школе, называется Евклидова геометрия ; это геометрия плоской плоскости, плоского мира.Это довольно хорошее приближение для маленького кусочка Земли, который мы видим в любой момент времени, но это не единственная существующая геометрия!

Сделайте копии этих полосок бумаги и вырежьте их. Они имеют длину от 1 единицы до 6 единиц. Вы можете раскрасить полоски, написать на них числа или сделать что-нибудь, что упростит отслеживание разной длины.

Задача 3

Повторите следующий процесс несколько раз (не менее 10) и отслеживайте результаты (за вас была запущена таблица).

  • Возьмите три полоски бумаги. (Длина не обязательно должна отличаться друг от друга; поэтому у вас есть несколько копий каждой длины.)
  • Попробуйте сделать треугольник из этих трех полосок и решите, возможно ли вам это. (Не перекрывайте полоски, не обрезайте их и не складывайте. Длина полос должна быть равной длине сторон треугольника.)
Длина 1 Длина 2 Длина 3 Треугольник?
4 3 2 да
4 2 1 нет
4 2 2 ??

Ваша цель — придумать правило , которое описывает, когда три длины образуют треугольник , а когда нет.Запишите правило своими словами.

Думай / Пара / Делись

Сравните свое правило с другими учащимися. Затем используйте свое правило, чтобы ответить на следующие вопросы. Имейте в виду, что цель состоит не в том, чтобы попытаться построить треугольник, а в том, чтобы предсказать результат на основе вашего правила.

  • Предположим, вас попросили составить треугольник со сторонами 40 единиц, 40 единиц и 100 единиц длиной. Как ты думаешь, ты сможешь это сделать? Поясните свой ответ.
  • Предположим, вас попросили составить треугольник со стороной 2.5 единиц, 2,6 единицы и 5 единиц в длину. Как ты думаешь, ты сможешь это сделать? Поясните свой ответ.

Вы, наверное, придумали какую-то версию этого утверждения:

Теорема: неравенство треугольника

Сумма длин двух сторон треугольника больше, чем длина третьей стороны.

Конечно, мы знаем, что в геометрии не следует верить своим глазам. Вам нужно искать объяснение . Почему ваше утверждение имеет смысл?

Помните, что «геометрия — это искусство рассуждать на основе плохих рисунков.«Наши материалы были неточными, так как мы можем быть уверены, что это правило, которое мы придумали, верно?

Что ж, в данном случае правило такое же, как в поговорке «кратчайшее расстояние между двумя точками — это прямая линия». Фактически, это именно то, что мы подразумеваем под словами прямая в геометрии.

Мы говорим, что два треугольника (или любые два геометрических объекта) являются конгруэнтными , если они имеют точно такую ​​же форму и одинаковый размер. Это означает, что если бы вы могли поднять один из них и переместить его, чтобы положить на другой, они бы точно перекрывались.

Задача 4

Повторите следующий процесс несколько раз и отслеживайте результаты.

  • Возьмите три полоски бумаги, которые определенно образуют треугольник.
  • Попробуйте создать два разных (несовпадающих) треугольников из трех одинаковых полосок бумаги. Запишите, если вам это удалось.

Задача 5

Повторите следующий процесс несколько раз и отслеживайте результаты.

  • Возьмите четыре полоски бумаги и сформируйте из них четырехугольник.(Если ваши четыре полоски не образуют четырехугольник, возьмите еще четыре полоски.)
  • Попробуйте сделать два разных (не совпадающих) четырехугольника из тех же четырех полосок бумаги. Запишите, если вам это удалось.

Думай / Пара / Делись

Что вы замечаете в задачах 4 и 5? Можете ли вы сделать общее заявление, чтобы описать происходящее? Вы можете объяснить, почему ваше утверждение имеет смысл?

Вы, наверное, придумали какую-то версию этого утверждения:

Теорема: SSS (сторона-сторона-сторона) Конгруэнтность

Если два треугольника имеют одинаковую длину сторон, они равны.

Это определенно неверно для четырехугольника. Например, если вы выберете четыре полосы одинаковой длины, вы получите квадрат:

Но вы также можете сжать этот квадрат в неквадратный ромб. (Попробуйте!)

Если вы не выберете четыре одинаковых длины, вы можете не только «сжать» форму, но и переставить стороны, чтобы получить разные (не совпадающие) формы. (Попробуйте!)

Эти два четырехугольника имеют одинаковые четыре стороны длины в одинаковом порядке.

Эти два четырехугольника имеют те же четыре стороны длины, что и два выше,

, но стороны расположены в другом порядке.

Но этого не может быть с треугольниками. Почему нет? Ну, конечно, вы не можете переставить три стороны. Это было бы то же самое, что повернуть треугольник или перевернуть его, но не создать новую форму.

Почему треугольники не могут «сжиматься», как четырехугольник (и другие формы)? Вот один из способов понять это.Представьте, что вы берете два из трех отрезков длины и кладете их друг на друга, шарнирно прикрепляя к одному углу.

Это показывает более длинный отрезок фиолетовой пунктирной линии и более короткий отрезок зеленого цвета.

Два сегмента прикреплены к красной точке слева.

Теперь представьте, что петли открываются понемногу.

По мере того, как шарнир открывается, две не шарнирные конечные точки удаляются все дальше и дальше друг от друга.Какой бы ни была ваша третья длина (при условии, что вы действительно можете сделать треугольник из ваших трех длин), есть ровно одна позиция петли, где она точно подходит, чтобы закрыть треугольник. Никакая другая позиция работать не будет.

Складные фракции | plus.maths.org

Сможете ли вы сложить лист бумаги пополам? Конечно, можно, это просто, достаточно совместить два угла с одной стороны. Но можно ли сложить его пополам? Вы могли бы сложить его на трети, немного возясь и угадывая, но как насчет пятых? Или седьмой? Или тринадцатые? Вот простой способ сложить лист бумаги в любую желаемую фракцию — точно — без догадок и возни!

Складывание третьего

Для начала возьмите квадратный лист бумаги и отметьте половину его верхней стороны небольшой складкой.Теперь согните нижний левый угол до середины отметки и согните бумагу.

Первое, на что следует обратить внимание, — это интересная взаимосвязь между тремя треугольниками, которые вы создали: один в верхнем левом углу, один в верхнем правом углу и один в нижнем левом углу, нависающий над краем бумаги.

В центре верхнего края три угла сходятся вместе, образуя 180 градусов. Один из них — прямой угол (отмечен квадратным углом на картинке), что означает, что пара других углов (отмеченных одинарной и двойной линиями на картинке) складываются в 90 градусов.Каждый из углов этой пары также является частью прямоугольного треугольника (верхний правый и верхний левый треугольники), что означает, что другой угол пары также появляется в каждом из этих прямоугольных треугольников. И нижний правый треугольник также имеет угол с верхним правым треугольником. И поскольку это также прямоугольный треугольник, он также содержит ту же пару углов.

Все это означает, что три треугольника на похожи на — они имеют одинаковую форму. То есть все они имеют одинаковые углы и, следовательно, одинаковое соотношение длин сторон.Мы можем использовать эти похожие треугольники вместе с теоремой Пифагора, чтобы сложить бумагу втрое.

Если мы возьмем длину стороны нашего квадратного листа равной 1, то у нашего верхнего левого треугольника будет одна сторона длины, одна сторона неизвестной длины, которую мы назовем, присвоив другой стороне длину. Тогда по теореме Пифагора мы знаем, что

Расширение:
который, переставив, дает нам.

Теперь мы можем вычислить длину сторон в правом верхнем треугольнике. Этот треугольник имеет одну сторону длины, а другую — неизвестной длины. Поскольку треугольники похожи, мы знаем, что соотношение длин их сторон должно быть одинаковым. Так

И как, находим то. Таким образом, мы можем построить, сложив эту длину пополам.

Фальцовка любая фракция

Казуо Хага, бывший профессор биологии из Японии, придумал этот гениальный метод.Несмотря на то, что он был биологом, он очень интересовался использованием оригами для изучения математики (вы можете найти больше информации в его увлекательной книге). Фактически, Хага понял, что этот метод был даже более полезным.

Предположим, что вместо того, чтобы складывать левый нижний угол листа бумаги до середины верхнего края, вы вместо этого загибаете левый нижний угол до точки, расположенной вдоль верхнего края.

Тогда верхний левый треугольник имеет стороны длиной и. Тогда, как и выше, теорема Пифагора говорит нам, что:

дает
который переставил.И, используя аналогичный аргумент треугольников, мы получаем, что
Если мы сложим эти два уравнения вместе, получим
, который можно изменить как
И (поскольку) это можно упростить до
Это известно как теорема Хага , и она позволяет нам сложить любую желаемую дробь из квадратного листа бумаги.

Мы уже видели, что нам разрешили сбросить карты. Что, если мы повернем квадратную бумагу и согнем нижний левый угол до точки вдоль верхнего края? Тогда у нас есть теорема Хаги, которая означает, что

До сих пор, начиная с 1/2, мы использовали метод Хаги, чтобы сбросить 1/3, а затем 1/4. И если мы продолжим повторять этот метод, мы сможем сложить любую дробь. Если начать с некоторого числа, то

Таким образом, повторяя метод Хаги снова и снова, мы можем построить каждую единицу дроби (одна с 1 в числителе): складывая 1/5….

… складывание 1/6 ….

… складывание 1/7 …

…и так далее. И затем мы можем использовать их для создания любого кратного этих единичных дробей и, таким образом, сложить любое рациональное число. Ура, Хага!


Об авторе

Рэйчел Томас — редактор журнала Plus .

Об этой статье

Эта статья была вдохновлена ​​контентом нашего дочернего сайта Wild Maths, который побуждает студентов изучать математику за пределами классной комнаты и разработан для развития математического творчества.Сайт предназначен для детей от 7 до 16 лет, но открыт для всех. Он предоставляет игры, расследования, истории и пространства для исследования, где можно делать открытия. У некоторых есть отправные точки, у некоторых — большой вопрос, а у других есть свободное пространство для исследования.

Треугольная пирамида — определение, формула и примеры

Треугольная пирамида — это геометрическое тело с треугольным основанием, и все три боковые грани также являются треугольниками с общей вершиной. Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду с равносторонними треугольниками на каждой грани.Четыре треугольника образуют треугольную пирамиду. Треугольные пирамиды бывают правильными, неправильными и прямоугольными.

Трехмерная фигура со всеми четырьмя гранями в виде треугольников известна как треугольная пирамида.

Что такое треугольная пирамида?

Треугольная пирамида — это трехмерная фигура, все грани которой выполнены в форме треугольников. Треугольная пирамида — это пирамида с треугольным основанием, ограниченная четырьмя треугольными гранями, где 3 грани пересекаются в одной вершине.Основание — прямоугольный треугольник в прямоугольной треугольной пирамиде, а остальные грани — равнобедренные треугольники.

Сетки для треугольных пирамид

Сетчатый рисунок различается для разных типов твердых тел. Сети полезны для определения площади поверхности твердых тел. Треугольная сетка-пирамида — это узор, который образуется, когда ее поверхность уложена ровно, показывая каждую треугольную грань формы. Сетка треугольной пирамиды состоит из четырех треугольников. Основание пирамиды — треугольник; боковые грани тоже треугольники.

Давайте займемся небольшим занятием. Возьмите лист бумаги. Вы можете увидеть две разные сети треугольной пирамиды, показанной ниже. Скопируйте это на лист бумаги. Обрежьте его по краю и сложите, как показано на картинке ниже. Сложенная бумага образует треугольную пирамиду.

Типы треугольных пирамид

Как и любые другие геометрические фигуры, треугольные пирамиды также можно разделить на правильные и неправильные пирамиды. Ниже описаны различные типы треугольных пирамид:

Правильная треугольная пирамида

Грани правильной треугольной пирамиды равносторонние треугольники.Поскольку он состоит из равносторонних треугольников, все его внутренние углы составляют 60 °.

Неправильная треугольная пирамида

Неправильная треугольная пирамида также имеет треугольные грани, но они не равносторонние. Сумма внутренних углов в каждой плоскости составляет 180 °, поскольку они имеют треугольную форму. Если треугольная пирамида специально не упоминается как неправильная, все треугольные пирамиды считаются правильными треугольными пирамидами.

Право-треугольная пирамида

Прямоугольная пирамида (трехмерная фигура) имеет основание прямоугольного треугольника и вершину, выровненную над центром основания.У него 1 основание, 6 ребер, 3 грани и 4 вершины.

Важные примечания

  • Треугольная пирамида имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины. Все четыре грани имеют треугольную форму.
  • Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду с равносторонними равносторонними треугольниками на каждой грани.

Свойства треугольной пирамиды

Свойства треугольной пирамиды помогают нам быстро и легко идентифицировать пирамиду из заданного набора фигур.Различные свойства треугольной пирамиды:

  • У него 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
  • В каждой вершине пересекаются по 3 ребра.
  • У треугольной пирамиды нет параллельных граней.
  • У правильной треугольной пирамиды все грани равносторонних треугольников. Имеет 6 плоскостей симметрии.
  • Треугольные пирамиды бывают правильными, неправильными и прямоугольными.

Формулы треугольной пирамиды

Существуют различные формулы для вычисления объема, площади поверхности и периметра треугольных пирамид.Эти формулы приведены ниже:

Чтобы найти объем пирамиды с треугольным основанием, умножьте площадь треугольного основания на высоту пирамиды (измеренную от основания до вершины). Затем разделите этот продукт на три.

Объем треугольной пирамиды = 1/3 × площадь основания × высота

Наклонная высота треугольной пирамиды — это расстояние от ее треугольного основания по центру грани до вершины. Чтобы определить площадь поверхности пирамиды с треугольным основанием, сложите площадь основания и площадь всех сторон.

Площадь поверхности треугольной пирамиды (общая) = площадь основания + 1/2 (периметр × высота наклона)

Теперь рассмотрим правильную треугольную пирамиду, составленную из равносторонних треугольников со стороной а .

Объем правильной треугольной пирамиды = a 3 / 6√2

Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды (общая) = √3a 2

Формулы прямоугольной пирамиды

Площадь поверхности прямоугольной треугольной пирамиды (\ (A_ {s} \)) = 1/2 (\ (h_ {b} \) × a) + 3/2 (a × \ (h_ {s} \))

Объем прямоугольной треугольной пирамиды (V) = 1/6 × \ (h_ {b} \) × a × h = 1/3 × \ (A_ {b} \) × h

Где \ (A_ {s} \) = Площадь поверхности, \ (A_ {b} \) = Площадь основания, V = Объем, a = Край, h = Высота, \ (h_ {b} \) = Высота основания, и \ (h_ {s} \) = Высота стороны.

Сложные вопросы:

  • Новая форма образуется путем совмещения грани треугольной пирамиды точно по одной треугольной грани квадратной пирамиды. Сколько вершин, ребер и граней будет у новой формы?
  • У Рохана есть палатка, имеющая форму неправильной треугольной пирамиды. Объем палатки v куб. См, высота h см. Какова будет площадь основания его палатки?

Статьи по теме треугольной пирамиды

Ознакомьтесь с этими интересными статьями о треугольных пирамидах.Нажмите, чтобы узнать больше!

Часто задаваемые вопросы о треугольной пирамиде

Сколько треугольников образуют треугольную пирамиду?

Четыре треугольника образуют из них треугольную пирамиду: один является основанием, а другие три треугольника — тремя боковыми гранями пирамиды.

Сколько вершин у треугольной пирамиды?

У треугольной пирамиды 4 вершины. В каждой вершине пересекаются три ребра. Из 4 вершин три вершины находятся в основании треугольной пирамиды и одна вершина находится наверху.

Какие бывают типы треугольных пирамид?

Существует три типа треугольной пирамиды: правильная, неправильная и прямоугольная треугольная пирамида.

Пирамида — это треугольная призма?

Призма — это многогранник с параллельными верхним и нижним основаниями и прямоугольными боковыми гранями. Пирамида имеет одно основание и треугольные боковые грани, которые пересекаются в центральной вершине. Треугольная пирамида — это геометрическое тело с треугольным основанием, и все остальные грани также являются треугольниками с общей вершиной.Итак, пирамида — это не треугольная призма.

Как называется 6-сторонняя пирамида?

В геометрии шестиугольная пирамида — это пирамида с шестиугольным основанием, на котором возвышаются шесть равнобедренных треугольных граней, которые встречаются в одной точке (вершине).

Почему пирамида — это треугольник?

Каждая сторона пирамиды (каждое основание и вершина) образует треугольник. Пирамида, основанная на треугольнике, имеет четыре треугольные стороны.

Составлена ​​ли пирамида из равносторонних треугольников?

Когда пирамида состоит из равносторонних треугольников, она называется правильной треугольной пирамидой.У него четыре грани, включая основание.

Математика 6 класс, Блок 1 — Семейные материалы

Рассуждения о поиске области

До 6 класса ваш ученик научился измерять площадь фигуры, определяя количество единичных квадратов, которые покрывают фигуру без пробелов и перекрытий. Например, оранжевая и синяя формы имеют площадь по 8 квадратных единиц каждая.

В 6 классе учащиеся учатся находить области более сложных форм, используя две идеи:

  • Две формы, которые «точно совпадают», имеют одинаковую площадь.Например, треугольники A и B имеют одинаковую площадь, потому что треугольник A можно разместить на треугольнике B, чтобы они точно совпадали.
  • Мы можем разложить (разбить) фигуру на более мелкие части и найти ее площадь, добавив площади частей. Например, площадь фигуры слева равна площади прямоугольника A, плюс площадь прямоугольника B, плюс площадь прямоугольника C.

Иногда бывает полезно переставить частей формы, чтобы найти ее площадь.Например, прямоугольный кусок, который составляет 2 единицы на 4 единицы в верхней части формы, можно сломать и переставить, чтобы получился простой прямоугольник, который составляет 8 единиц и 6 единиц. Мы можем легко найти площадь этого прямоугольника (48 квадратных единиц, потому что 8 \ умножить на 6 = 48).


Вот задание, которое стоит попробовать со своим учеником:

Площадь квадрата 1 кв. Найдите площадь всей заштрихованной области. Покажи свои рассуждения.

Решение:

4 \ frac12 кв.Пример рассуждения: остальную часть области можно разложить на квадрат и несколько треугольников. Два треугольника можно расположить так, чтобы они идеально соответствовали квадрату, так что каждый треугольник имеет половину площади квадрата (\ frac12 квадратных единиц). Во всей форме всего 2 квадрата (2 квадратных единицы) и 5 ​​треугольников (5 \ times \ frac12 или 2 \ frac12 квадратных единиц). 2 + 2 \ frac12 = 4 \ frac12.

Параллелограммы

На этой неделе ваш ученик исследует параллелограммов , которые представляют собой четырехсторонние фигуры, противоположные стороны которых параллельны.

Мы можем найти область параллелограмма , разбив его на части и переставив части, чтобы сформировать прямоугольник. На схеме показано несколько способов перестановки частей параллелограмма. В каждом из них получается прямоугольник размером 4 на 3 единицы, поэтому его площадь составляет 12 квадратных единиц. Площадь исходного параллелограмма также составляет 12 квадратных единиц.

Использование этих стратегий позволяет учащимся замечать пары измерений, которые помогают найти площадь любого параллелограмма: основание и соответствующая высота .Длина любой стороны параллелограмма может быть использована в качестве основы. Высота — это расстояние от основания до противоположной стороны, измеренное под прямым углом. В параллелограмме, показанном здесь, мы можем сказать, что горизонтальная сторона длиной 4 единицы является основанием, а вертикальный сегмент длиной 3 единицы — высотой, соответствующей этому основанию.

Площадь любого параллелограмма равна основанию, умноженному на высоту.

Вот задание, которое стоит попробовать со своим учеником:

Елена и Ной исследуют этот параллелограмм.

Елена говорит: «Если сторона, равная 9 единицам, является основанием, то высота составляет 7,2 единицы. Если сторона, равная 7,5 единицам, является основанием, соответствующая высота составляет 6 единиц ».

Ной говорит: «Я думаю, что если основание составляет 9 единиц, соответствующая высота будет 6 единиц. Если основание составляет 7,5 единиц, соответствующая высота составляет 7,2 единицы ».

Вы согласны с одним из них? Объясните свои рассуждения.

Решение:

Согласен с Ноем. Объяснения разные. Пример пояснения: Соответствующая высота должна быть перпендикулярна (нарисована под прямым углом) стороне, выбранной в качестве основания.Пунктирный сегмент, равный 6 единицам, перпендикулярен двум параллельным сторонам, длина которых составляет 9 единиц. Пунктирный сегмент длиной 7,2 единицы перпендикулярен двум сторонам, равным 7,5 единицам.

Треугольники

Теперь ваш ученик будет использовать свои знания о площади параллелограммов, чтобы найти площадь треугольников. Например, чтобы найти площадь синего треугольника слева, мы можем сделать его копию, повернуть копию и использовать два треугольника, чтобы образовать параллелограмм.

Этот параллелограмм имеет основание из 6 единиц, высоту 3 единицы и площадь 18 квадратных единиц.Таким образом, площадь каждого треугольника составляет половину 18 квадратных единиц, что составляет 9 квадратных единиц.

Треугольник также имеет оснований и соответствующие высоты . Любая сторона треугольника может быть основанием. Соответствующая высота — это расстояние от стороны, выбранной в качестве основания, до противоположного угла, измеренное под прямым углом. В этом примере сторона длиной 6 единиц является основанием, а высота равна 3 единицам.

Поскольку две копии треугольника всегда можно расположить в виде параллелограмма, площадь треугольника всегда равна половине площади параллелограмма с той же парой основания и высоты.Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти площадь любого треугольника: \ frac12 \ times base \ times height

Вот задание, которое стоит попробовать со своим учеником:

Найдите площадь каждого треугольника. Покажи свои рассуждения.

Решение:

  1. 12 квадратных футов. Пример рассуждения: треугольник представляет собой половину прямоугольника размером 3 на 8 футов, площадь которого составляет 24 квадратных фута.
  2. \ frac {15} 2 кв.Пример рассуждения: треугольник представляет собой половину параллелограмма с основанием в 5 единиц и высотой 3 единицы. \ frac12 \ boldcdot 5 \ boldcdot 3 = \ frac {15} 2.

Полигоны

Знание того, как найти площадь треугольников, позволяет вашему ученику найти площадь многоугольников , которые представляют собой двумерные формы, состоящие из отрезков линий. Отрезки пересекаются друг с другом только в своих конечных точках. Треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и т. Д. — все это многоугольники.

Чтобы найти площадь любого многоугольника , мы можем разбить его на прямоугольники и треугольники.Вот многоугольник с 7 сторонами и одним из способов разбить его на треугольники. Нахождение площадей всех треугольников и их добавление дает площадь исходного многоугольника.


Вот задание, которое стоит попробовать со своим учеником:

Найдите площадь многоугольников A и B. Объясните или покажите свои рассуждения.


Решение:

A: 12 квадратных единиц, B: 18 квадратных единиц. Образец схемы и пояснения:

Многоугольник A можно разбить на два треугольника. Тот, что слева, имеет основание 6 единиц и высоту 3 единицы, поэтому его площадь составляет 9 квадратных единиц (\ frac12 \ boldcdot 6 \ boldcdot 3 = 12).Тот, что справа, имеет основание 6 единиц и высоту 1 единицу, поэтому его площадь составляет 3 квадратных единицы (\ frac12 \ boldcdot 6 \ boldcdot 1 = 3). Общая площадь 9 + 3 или 12 кв.

Многоугольник B можно разбить на прямоугольник и два треугольника. Площадь верхнего треугольника равна \ frac12 \ boldcdot 4 \ boldcdot 1 или 2 квадратных единицы. Прямоугольник составляет 8 квадратных единиц. Площадь нижнего треугольника равна \ frac12 \ boldcdot 4 \ boldcdot 4 или 8 квадратных единиц. 2 + 8 + 8 = 18

Площадь

Представьте, что вы раскрашиваете коробку со всех сторон.Количество поверхности, которую нужно покрыть краской, составляет площадь поверхности коробки. Ваш ученик сосредоточится на поиске поверхностей различных трехмерных объектов, таких как призмы и пирамиды , показанные здесь.

Один из способов найти площадь поверхности трехмерного объекта — нарисовать его сетку , которая показывает все граней объекта в виде двухмерного чертежа. Сетку можно вырезать и сложить, чтобы получился предмет.Чтобы найти площадь поверхности объекта, мы можем найти площадь каждой грани (как показано в сети) и сложить их. Площадь шести показанных прямоугольных граней в сумме составляет 76 квадратных единиц, потому что 10 + 20 + 10 + 20 + 8 + 8 = 76, поэтому площадь поверхности этого прямоугольника составляет 76 квадратных единиц.

Вот задание, которое стоит попробовать со своим учеником:

Андре нарисовал сетку треугольной призмы и вычислил ее площадь. Он допустил ошибку как при розыгрыше сетки, так и в расчетах.

  1. Определите ошибки Андре.
  2. Найдите правильную площадь поверхности призмы. Покажи свои рассуждения.

Решение:

  1. Сетка: треугольники в треугольной призме должны быть идентичными, но сетка показывает два разных треугольника. Расчет: есть несколько ошибок. Площадь каждого треугольника должна составлять \ frac 12 \ boldcdot 8 \ boldcdot 3 или 12 квадратных единиц. Андре не стал вдвое умножать базу и рост. Неправильный расчет повторяется для обоих треугольников. При расчете площади поверхности Андре удвоил площадь самого большого прямоугольника (который составляет 16 квадратных единиц), в то время как существует только один прямоугольник с этой площадью.
  2. Площадь поверхности должна составлять 60 квадратных единиц. Общая площадь двух треугольников должна составлять 2 (\ frac 12 \ boldcdot 8 \ boldcdot 3) или 24 квадратных единицы.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *