Верные неравенства это: Верные и неверные равенства и неравенства — урок. Математика, 1 класс.

Содержание

Общие сведения о неравенствах

Данный материал может показаться сложным для понимания. Рекомендуется изучать его маленькими частями.

Предварительные навыки

Определения и свойства

Неравенством мы будем называть два числовых или буквенных выражения, соединенных знаками >, <, ≥, ≤ или ≠.

Пример: 5 > 3

Данное неравенство говорит о том, что число 5 больше, чем число 3. Острый угол знака неравенства должен быть направлен в сторону меньшего числа. Это неравенство является верным, поскольку 5 больше, чем 3.

Если на левую чашу весов положить арбуз массой 5 кг, а на правую — арбуз массой 3 кг, то левая чаша перевесит правую, и экран весов покажет, что левая чаша тяжелее правой:

Если 5 > 3, то 3 < 5. То есть левую и правую часть неравенства можно поменять местами, изменив знак неравенства на противоположный. В ситуации с весами: большой арбуз можно положить на правую чашу, а маленький арбуз на левую. Тогда правая чаша перевесит левую, и экран покажет знак <

Если в неравенстве 5 > 3, не трогая левую и правую часть, поменять знак на <, то получится неравенство 5 < 3. Это неравенство не является верным, поскольку число 3 не может быть больше числа 5.

Числа, которые располагаются в левой и правой части неравенства, будем называть членами этого неравенства. Например, в неравенстве 5 > 3 членами являются числа 5 и 3.

Рассмотрим некоторые важные свойства для неравенства 5 > 3.
В будущем эти свойства будут работать и для других неравенств.

Свойство 1.

Если к левой и правой части неравенства 5 > 3 прибавить или вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится.

Например, прибавим к обеим частям неравенства число 4. Тогда получим:

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Теперь попробуем вычесть из обеих частей неравенства 5 > 3 какое-нибудь число, скажем число 2

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Из данного свойства следует, что любой член неравенства можно перенести из одной части в другую часть, изменив знак этого члена. Знак неравенства при этом не изменится.

Например, перенесём в неравенстве 5 > 3, член 5 из левой части в правую часть, изменив знак этого члена. После переноса члена 5 в правую часть, в левой части ничего не останется, поэтому запишем там 0

0 > 3 − 5

0 > −2

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.


Свойство 2.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.

Например, умножим обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь положительное число, скажем на число 2. Тогда получим:

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь число. Разделим их на 2

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Свойство 3.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Например, умножим обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь отрицательное число, скажем на число −2. Тогда получим:

Видим, что левая часть стала меньше правой. То есть знак неравенства изменился на противоположный.

Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь отрицательное число. Давайте разделим их на −1

Видим, что левая часть стала меньше правой. То есть знак неравенства изменился на противоположный.

Само по себе неравенство можно понимать, как некоторое условие. Если условие выполняется, то неравенство является верным. И наоборот, если условие не выполняется, то неравенство не верно.

Например, чтобы ответить на вопрос является ли верным неравенство 7 > 3, нужно проверить выполняется ли условие «больше ли 7, чем 3». Мы знаем, что число 7 больше, чем число 3. То есть условие выполнено, а значит и неравенство 7 > 3 верно.

Неравенство 8 < 6 не является верным, поскольку не выполняется условие «8 меньше, чем 6».

Другим способом определения верности неравенства является составление разности из левой и правой части данного неравенства. Если разность положительна, то левая часть больше правой части. И наоборот, если разность отрицательна, то левая часть меньше правой части. Более точно это правило выглядит следующим образом:

Число a больше числа b, если разность a − b положительна. Число

a меньше числа b, если разность a − b отрицательна.

Например, мы выяснили, что неравенство 7 > 3 является верным, поскольку число 7 больше, чем число 3. Докажем это с помощью правила, приведённого выше.

Составим разность из членов 7 и 3. Тогда получим 7 − 3 = 4. Согласно правилу, число 7 будет больше числа 3, если разность 7 − 3 окажется положительной. У нас она равна 4, то есть разность положительна. А значит число 7 больше числа 3.

Проверим с помощью разности верно ли неравенство 3 < 4. Составим разность, получим 3 − 4 = −1. Согласно правилу, число 3 будет меньше числа 4, если разность 3 − 4 окажется отрицательной. У нас она равна −1, то есть разность отрицательна. А значит число 3 меньше числа 4.

Проверим верно ли неравенство 5 > 8. Составим разность, получим 5 − 8 = −3. Согласно правилу, число 5 будет больше числа 8, если разность 5 − 8 окажется положительной. У нас разность равна −3, то есть она

не является положительной. А значит число 5 не больше числа 3. Иными словами, неравенство 5 > 8 не является верным.


Строгие и нестрогие неравенства

Неравенства, содержащие знаки >, < называют строгими. А неравенства, содержащие знаки ≥, ≤  называют нестрогими.

Примеры строгих неравенства мы рассматривали ранее. Таковыми являются неравенства 5 > 3, 7 < 9.

Нестрогим, например, является неравенство 2 ≤ 5. Данное неравенство читают следующим образом: «2 меньше или равно 5».

Запись 2 ≤ 5 является неполной. Полная запись этого неравенства выглядит следующим образом:

2 < 5 или 2 = 5

Тогда становится очевидным, что неравенство 2 ≤ 5 состоит из двух условий: «два меньше пять» и «два равно пять».

Нестрогое неравенство верно в том случае, если выполняется хотя бы одно из его условий. В нашем примере верным является условие

«2 меньше 5». Значит и само неравенство 2 ≤ 5 верно.

Пример 2. Неравенство 2 ≤ 2 является верным, поскольку выполняется одно из его условий, а именно 2 = 2.

Пример 3. Неравенство 5 ≤ 2 не является верным, поскольку не выполняется ни одно из его условий: ни 5 < 2 ни 5 = 2.


Двойное неравенство

Число 3 больше, чем число 2 и меньше, чем число 4. В виде неравенства это высказывание можно записать так: 2 < 3 < 4. Такое неравенство называют двойным.

Двойное неравенство может содержать знаки нестрогих неравенств. К примеру, если число 5 больше или равно, чем число 2, и меньше или равно, чем число 7, то можно записать, что 2 ≤ 5 ≤ 7

Чтобы правильно записать двойное неравенство, сначала записывают член находящийся в середине, затем член находящийся слева, затем член находящийся справа.

Например, запишем, что число 6 больше, чем число 4, и меньше, чем число 9.

Сначала записываем 6

Слева записываем, что это число больше, чем число 4

Справа записываем, что число 6 меньше, чем число 9


Неравенство с переменной

Неравенство, как и равенство может содержать переменную.

Например, неравенство x > 2 содержит переменную x. Обычно такое неравенство нужно решить, то есть выяснить при каких значениях x данное неравенство становится верным.

Решить неравенство означает найти такие значения переменной x, при которых данное неравенство становится верным.

Значение переменной, при котором неравенство становится верным, называется решением неравенства

.

Неравенство > 2 становится верным при x = 3, x = 4, x = 5, x = 6 и так далее до бесконечности. Видим, что это неравенство имеет не одно решение, а множество решений.

Другими словами, решением неравенства x > 2 является множество всех чисел, бóльших 2. При этих числах неравенство будет верным. Примеры:

3 > 2

4 > 2

5 > 2

Число 2, располагающееся в правой части неравенства x > 2, будем называть границей данного неравенства. В зависимости от знака неравенства, граница может принадлежать множеству решений неравенства либо не принадлежать ему.

В нашем примере граница неравенства не принадлежит множеству решений, поскольку при подстановке числа 2 в неравенство x > 2 получается не верное неравенство 2 > 2. Число 2 не может быть больше самого себя, поскольку оно равно самому себе (2 = 2).

Неравенство x > 2 является строгим. Его можно прочитать так: «x строго больше 2″. То есть все значения, принимаемые переменной x должны быть строго больше 2. В противном случае, неравенство верным не будет.

Если бы нам было дано нестрогое неравенство ≥ 2, то решениями данного неравенства были бы все числа, которые больше 2, в том числе и само число 2. В этом неравенстве граница 2 принадлежит множеству решений неравенства, поскольку при подстановке числа 2 в неравенство x ≥ 2 получается верное неравенство 2 ≥ 2. Ранее было сказано, что нестрогое неравенство является верным, если выполняется хотя бы одно из его условий. В неравенстве 2 ≥ 2 выполняется условие 2 = 2, поэтому и само неравенство 2 ≥ 2 верно.


Как решать неравенства

Процесс решения неравенств во многом схож с процессом решения уравнений. При решении неравенств мы будем применять свойства, которые изучили вначале данного урока, такие как: перенос слагаемых из одной части неравенства в другую часть, меняя знак; умножение (или деление) обеих частей неравенства на одно и то же число.

Эти свойства позволяют получить неравенство, которое равносильно исходному. Равносильными называют неравенства, решения которых совпадают.

Решая уравнения мы выполняли тождественные преобразования до тех пор, пока в левой части уравнения не оставалась переменная, а в правой части значение этой переменной (например: x = 2, x = 5). Иными словами, заменяли исходное уравнение на равносильное ему уравнение до тех пор, пока не получалось уравнение вида x = a, где a значение переменной x. В зависимости от уравнения, корней могло быть один, два, бесконечное множество, либо не быть совсем.

А при решении неравенств мы будем заменять исходное неравенство на равносильное ему неравенство до тех пор, пока в левой части не останется переменная этого неравенства, а в правой части его граница.

Пример 1. Решить неравенство 2> 6

Итак, нужно найти такие значения x, при подстановке которых в 2> 6 получится верное неравенство.

Вначале данного урока было сказано, что если обе части неравенства разделить на какое-нибудь положительное число, то знак неравенства не изменится. Если применить это свойство к неравенству, содержащему переменную, то получится неравенство равносильное исходному.

В нашем случае, если мы разделим обе части неравенства 2> 6 на какое-нибудь положительное число, то получится неравенство, которое равносильно исходному неравенству 2> 6. 

Итак, разделим обе части неравенства на 2.

В левой части осталась переменная

x, а правая часть стала равна 3. Получилось равносильное неравенство > 3. На этом решение завершается, поскольку в левой части осталась переменная, а в правой части граница неравенства.

Теперь можно сделать вывод, что решениями неравенства > 3 являются все числа, которые больше 3. Это числа 4, 5, 6, 7 и так далее до бесконечности. При этих значениях неравенство > 3 будет верным.

4 > 3

5 > 3

6 > 3

7 > 3

Отметим, что неравенство > 3 является строгим. «Переменная x строго больше трёх».

А поскольку неравенство > 3 равносильно исходному неравенству 2> 6, то их решения будут совпадать. Иначе говоря, значения, которые подходят неравенству > 3, будут подходить и неравенству 2> 6. Покажем это.

Возьмём, например, число 5 и подставим его сначала в полученное нами равносильное неравенство > 3, а потом в исходное 2> 6.

Видим, что в обоих случаях получается верное неравенство.

После того, как неравенство решено, ответ нужно записать в виде так называемого числового промежутка следующим образом:

В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x, принадлежат числовому промежутку от трёх до плюс бесконечности.

Иначе говоря, все числа, начиная от трёх до плюс бесконечности являются решениями неравенства > 3. Знак  в математике означает бесконечность.

Учитывая, что понятие числового промежутка очень важно, остановимся на нём подробнее.


Числовые промежутки

Числовым промежутком называют множество чисел на координатной прямой, которое может быть описано с помощью неравенства.

Допустим, мы хотим изобразить на координатной прямой множество чисел от 2 до 8. Для этого сначала на координатной прямой отмечаем точки с координатами 2 и 8, а затем выделяем штрихами ту область, которая располагается между координатами 2 и 8. Эти штрихи будут играть роль чисел, располагающихся между числами 2 и 8

Числа 2 и 8 назовём границами числового промежутка. Рисуя числовой промежуток, точки для его границ изображают не в виде точек как таковых, а в виде кружков, которые можно разглядеть.

Границы могут принадлежать числовому промежутку либо не принадлежать ему.

Если границы не принадлежат числовому промежутку, то они изображаются на координатной прямой в виде пустых кружков.

Если границы принадлежат числовому промежутку, то кружки необходимо закрасить.

На нашем рисунке кружки были оставлены пустыми. Это означало, что границы 2 и 8 не принадлежат числовому промежутку. Значит в наш числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, кроме чисел 2 и 8.

Если мы хотим включить границы 2 и 8 в числовой промежуток, то кружки необходимо закрасить:

В данном случае в числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, включая числа 2 и 8.

На письме числовой промежуток обозначается указанием его границ с помощью круглых или квадратных скобок.

Если границы не принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются круглыми скобками.

Если границы принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются квадратными скобками.

На рисунке представлено два числовых промежутка от 2 до 8 с соответствующими обозначениями:

На первом рисунке числовой промежуток обозначен с помощью круглых скобок, поскольку границы 2 и 8 не принадлежат этому числовому промежутку.

На втором рисунке числовой промежуток обозначен с помощью квадратных скобок, поскольку границы 2 и 8 принадлежат этому числовому промежутку.

С помощью числовых промежутков можно записывать ответы к неравенствам. Например, ответ к двойному неравенству 2 ≤ ≤ 8 записывается так:

x ∈ [ 2 ; 8 ]

То есть сначала записывают переменную, входящую в неравенство, затем с помощью знака принадлежности ∈ указывают к какому числовому промежутку принадлежат значения этой переменной. В данном случае выражение x ∈ [ 2 ; 8 ] указывает на то, что переменная x, входящая в неравенство 2 ≤ ≤ 8, принимает все значения в промежутке от 2 до 8 включительно. При этих значениях неравенство будет верным.

Обратим внимание на то, что ответ записан с помощью квадратных скобок, поскольку границы неравенства 2 ≤ ≤ 8, а именно числа 2 и 8 принадлежат множеству решений этого неравенства.

Множество решений неравенства 2 ≤ ≤ 8 также можно изобразить с помощью координатной прямой:

Здесь границы числового промежутка 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ ≤ 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 ≤ ≤ 8.

В некоторых источниках границы, которые не принадлежат числовому промежутку, называют открытыми.

Открытыми их называют по той причине, что числовой промежуток остаётся открытым из-за того, что его границы не принадлежат этому числовому промежутку. Пустой кружок на координатной прямой математики называют выколотой точкой. Выколоть точку значит исключить её из числового промежутка или из множества решений неравенства.

А в случае, когда границы принадлежат числовому промежутку, их называют закрытыми (или замкнутыми), поскольку такие границы закрывают (замыкают) собой числовой промежуток. Закрашенный кружок на координатной прямой также говорит о закрытости границ.

Существуют разновидности числовых промежутков. Рассмотрим каждый из них.

Числовой луч

Числовым лучом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x ≥ a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства.

Пусть = 3. Тогда неравенство x ≥ a примет вид ≥ 3. Решениями данного неравенства являются все числа, которые больше 3, включая само число 3.

Изобразим числовой луч, заданный неравенством ≥ 3, на координатной прямой. Для этого отметим на ней точку с координатой 3, а всю оставшуюся справа от неё область выделим штрихами. Выделяется именно правая часть, поскольку решениями неравенства ≥ 3 являются числа, бóльшие 3. А бóльшие числа на координатной прямой располагаются правее

Здесь точка 3 соответствует границе неравенства ≥ 3, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства ≥ 3.

Точка 3, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства ≥ 3 принадлежит множеству его решений.

На письме числовой луч, заданный неравенством x ≥ a, обозначается следующим образом:

[ ; +∞ )

Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница числового луча принадлежит ему, а другая нет, поскольку бесконечность сама по себе границ не имеет и подразумевается, что по ту сторону нет числа, замыкающего этот числовой луч.

Учитывая то, что одна из границ числового луча закрыта, данный промежуток часто называют закрытым числовым лучом.

Запишем ответ к неравенству ≥ 3 с помощью обозначения числового луча. У нас переменная a равна 3

x ∈  [ 3 ; +∞ )

В этом выражении говорится, что переменная x, входящая в неравенство ≥ 3, принимает все значения от 3 до плюс бесконечности.

Иначе говоря

Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.

Меню

Поиск

Поиск

  • Ёжику Понятно
  • Структура ОГЭ 2021 по математике
    • Задания 1-5 (ОГЭ 2020)
    • Задание 6 (ОГЭ 2020)
    • Задание 7 (ОГЭ 2020)
    • Задание 8 (ОГЭ 2020)
    • Задание 9 (ОГЭ 2020)
    • Задание 10 (ОГЭ 2020)
    • Задание 11 (ОГЭ 2020)
    • Задание 12 (ОГЭ 2020)
    • Задание 13 (ОГЭ 2020)
    • Задание 14 (ОГЭ 2020)
    • Задание 15 (ОГЭ 2020)
    • Задания 16-19 (ОГЭ 2020)
    • Задание 20 (ОГЭ 2020)
    • ОГЭ по математике: 2 часть
  • Начать обучение
    • Модуль Алгебра
      • Алгебра. Урок 1. Числа и вычисления
      • Алгебра. Урок 2. Числовые неравенства. Координатная прямая
      • Алгебра. Урок 3. Вычисления и алгебраические выражения
      • Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений
        • Линейные уравнения
        • Квадратные уравнения
        • Квадратный трехчлен: разложение на множители
        • Дробно рациональные уравнения
        • Система уравнений
      • Алгебра. Урок 5. Графики функций
      • Алгебра. Урок 6. Прогрессии
      • Алгебра. Урок 7. Алгебраические выражения
      • Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств
        • Квадратные неравенства
        • Линейные неравенства
        • Дробно рациональные неравенства
        • Системы неравенств
      • Алгебра. Урок 9. Статистика, вероятности
      • Алгебра. Урок 10. Расчеты по формулам
    • Модуль Геометрия
      • Геометрия. Урок 1. Тригонометрия
      • Геометрия. Урок 2. Углы
      • Геометрия. Урок 3. Треугольники
      • Геометрия. Урок 4. Четырехугольники
      • Геометрия. Урок 5. Окружность
      • Геометрия. Урок 6. Анализ геометрических высказываний
      • Геометрия. Урок 7. Практические задачи по геометрии
    • План участка (хозяйственная задача)
    • ОГЭ по математике: 2 часть
  • Шпаргалки
  • Записаться на занятие
Перейти к содержимому
  • Ёжику Понятно
  • Структура ОГЭ 2021 по математике
    • Задания 1-5 (ОГЭ 2020)
    • Задание 6 (ОГЭ 2020)
    • Задание 7 (ОГЭ 2020)
    • Задание 8 (ОГЭ 2020)
    • Задание 9 (ОГЭ 2020)
    • Задание 10 (ОГЭ 2020)
    • Задание 11 (ОГЭ 2020)
    • Задание 12 (ОГЭ 2020)
    • Задание 13 (ОГЭ 2020)

Линейные неравенства — ЁП

Меню

Поиск

Поиск

  • Ёжику Понятно
  • Структура ОГЭ 2021 по математике
    • Задания 1-5 (ОГЭ 2020)
    • Задание 6 (ОГЭ 2020)
    • Задание 7 (ОГЭ 2020)
    • Задание 8 (ОГЭ 2020)
    • Задание 9 (ОГЭ 2020)
    • Задание 10 (ОГЭ 2020)
    • Задание 11 (ОГЭ 2020)
    • Задание 12 (ОГЭ 2020)
    • Задание 13 (ОГЭ 2020)
    • Задание 14 (ОГЭ 2020)
    • Задание 15 (ОГЭ 2020)
    • Задания 16-19 (ОГЭ 2020)
    • Задание 20 (ОГЭ 2020)
    • ОГЭ по математике: 2 часть
  • Начать обучение
    • Модуль Алгебра
      • Алгебра. Урок 1. Числа и вычисления
      • Алгебра. Урок 2. Числовые неравенства. Координатная прямая
      • Алгебра. Урок 3. Вычисления и алгебраические выражения
      • Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений
        • Линейные уравнения
        • Квадратные уравнения
        • Квадратный трехчлен: разложение на множители
        • Дробно рациональные уравнения
        • Система уравнений
      • Алгебра. Урок 5. Графики функций
      • Алгебра. Урок 6. Прогрессии
      • Алгебра. Урок 7. Алгебраические выражения
      • Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств
        • Квадратные неравенства
        • Линейные неравенства
        • Дробно рациональные неравенства
        • Системы неравенств
      • Алгебра. Урок 9. Статистика, вероятности
      • Алгебра. Урок 10. Расчеты по формулам
    • Модуль Геометрия
      • Геометрия. Урок 1. Тригонометрия
      • Геометрия. Урок 2. Углы
      • Геометрия. Урок 3. Треугольники
      • Геометрия. Урок 4. Четырехугольники
      • Геометрия. Урок 5. Окружность
      • Геометрия. Урок 6. Анализ геометрических высказываний
      • Геометрия. Урок 7. Практические задачи по геометрии
    • План участка (хозяйственная задача)
    • ОГЭ по математике: 2 часть
  • Шпаргалки
  • Записаться на занятие
Перейти к содержимому
  • Ёжику Понятно
  • Структура ОГЭ 2021 по математике
    • Задания 1-5 (ОГЭ 2020)
    • Задание 6 (ОГЭ 2020)
    • Задание 7 (ОГЭ 2020)
    • Задание 8 (ОГЭ 2020)
    • Задание 9 (ОГЭ 2020)
    • Задание 10 (ОГЭ 2020)
    • Задание 11 (ОГЭ 2020)
    • Задание 12 (ОГЭ 2020)

Урок 3: Неравенства с одной переменной

План урока:

Целые неравенства

Неравенства первой степени

Неравенства второй степени

Метод интервалов

Неравенства высоких степеней

Дробно-рациональные неравенства

 

Целые неравенства

Неравенства по своей сути очень похожи на уравнения. Аналогично понятию целого уравнения существует понятие целого неравенства. Так называют то нер-во, в котором используются сложение и умножение, вычитание и деление, возведение в степень, но в котором нет деления на выражения с переменной. Другими словами, ни в одном знаменателе в целом нер-ве не должно быть переменных величин.

Приведем примеры целых нер-в:

14х4 + 13х2⩽ 91х3 + 2

у3 – 7 > 1/5

(z + 1)/8 <z15 + 4z9

Если бы переменная могла быть в знаменателе, то знаменатель мог бы обращаться в ноль при некоторых ее значениях, что недопустимо в математике.Но так как в целых нер-вах переменная не находиться в знаменателе, то она может принимать любое значение.

Любое целое нер-во можно преобразовать так, чтобы в одной его части (обычно правой) стоял ноль, а в другой части – некоторый многочлен Р(х).

 

Пример. Преобразуйте нер-во

3 + 7)(2х – 3) >4х(х2 – 5х + 9)

к виду Р(х) > 0, где Р(х) – это многочлен.

Решение. Раскроем скобки в каждой части нер-ва:

3 + 7)(2х – 3) >4х(х2 – 5х + 9)

4 – 3х3 + 14х – 21 > 4x3– 20х2 + 36х

Перенесем слагаемые влево и приведем подобные слагаемые:

4 – 3х3 + 14х – 21 – 4x3+ 20х2 – 36х > 0

4 – 7х3 + 20х2 – 22х – 21 > 0

Ответ:2х4 – 7х3 + 20х2 – 22х – 21 > 0

Как и в случае с уравнениями, у нер-в есть степени. Она равна степени многочлена, стоящего в одной из его частей. Так, степень неравенства в рассмотренном только что примере равна 4, ведь степень полинома 2х4 – 7х3 + 20х2 – 22х – 21 равна 4.

Неравенства первой степени

В общем виде неравенства первой степени выглядит так:

ах + b> 0

где а и b– некоторые числа, а х – переменная.

Естественно, вместо знака «>»могут стоять знаки «<», «⩾» и«⩽». Приведем примеры нер-в первой степени:

5х – 12 > 0

– 4,52у + 63 ⩾ 0

34z+ 9 < 0

Для решения такого нер-ва свободный член (коэффициент b) переносят в другую часть нер-ва, а потом делят нер-во на коэффициент а. Здесь важно помнить, что при делении нер-ва на отрицательное число оно меняет знак!

 

Пример. Решите нер-во

5х – 15 > 0

Решение:

5х – 15 > 0

5х > 15

х > 15/5

х > 3

Напомним, что решения нер-в традиционно записывают в виде числовых промежутков. Запись х > 3 аналогична записи х∈(3; + ∞). На числовой прямой этот промежуток выглядит так (отмечен штриховкой):

Для наглядности построим график функции у = 5х – 15 и отметим промежуток, на котором она больше нуля:

Заметим, что неравенство строгое, а потому само число 3 в его решение не входит. Из-за этого в записи (3; + ∞) первая скобка – круглая.

Ответ:(3; + ∞)

 

Пример. Решите нер-во

– 3х – 9 ⩾0

Решение:

– 3х – 9 ⩾0

– 3х ⩾9

х ⩽ 9/(– 3) (обратите внимание, из-за деления на отрицательное число изменился знак нер-ва!)

х ⩽ – 3

х∈(– ∞; – 3]

Также построим график у = – 3х – 9 и убедимся, что мы не ошиблись:

Неравенство нестрогое, и число – 3 входит в ответ, поэтому поле него в промежутке стоит квадратная скобка.

Ответ:(– ∞; – 3]

 

Неравенства второй степени

Неравенства второй степени в общем виде записываются так:

ах2 + bx + c> 0

Примерами таких нер-в являются

2 – 3х + 19 > 0

– 12у2 + 1,23у + 64 ⩾ 0

462z2 + 3z– 54 < 0

В левой части такого нер-ва стоит квадратичная функция. Вспомним два важных момента:

  1. Ветви параболы у = ах2 + bx + c смотрят вверх, если коэффициент а > 0, и смотрят вниз, если а < 0.
  2. Чтобы найти нули функции у = ах2 + bx + c, надо решить квадратное ур-ние ах2 + bx + c = 0. Если его дискриминант (D) больше нуля, то есть два нуля. Если D = 0, то есть только один ноль. Если D< 0, то парабола не пересекает ось Ох.

В соответствии с этим возможно 6 случаев расположения графика квадратичной функции на координатной плоскости, в зависимости от значений старшего коэффициента и дискриминанта D:

При решении нер-в 2-ой степени обязательно возникает один из этих случаев. Поэтому для решения нер-ва

ах2 + bx + c> 0

надо решить ур-ние ах2 + bx + c = 0 и проанализировать положение графика квадратичной функции относительно оси Ох.

 

Пример. Найдите промежуток, на котором справедливо нер-во

2 – 5х + 2 < 0

Решение. Найдем корни ур-ния 2х2 – 5х + 2 = 0.

D = b2– 4ас = (– 5)2 – 4•2•2 = 25 – 16 = 9

х1 = (5 – 3)/4 = 0,5

х2 = (5 + 3)/4 = 2

Коэффициент а параболы положителен, поэтому ее ветви смотрят вверх. Сам график будет выглядеть так:

Однако нам достаточно и схематичного изображения параболы и ее нулей на координатной прямой:

Нули функции разбивают прямую на три промежутка. На каждом из них знак квадратичной функции неизменен. Отметим эти знаки:

В нер-ве стоит знак «<». Значит, нам нужен промежуток от 0,5 до 2, на котором ф-ция отрицательна (парабола ниже оси Ох). Нер-во строгое, а потому сами числа 0,5 и 2 не входят в промежуток. Такие «выколотые точки» обозначают белыми кружочками:

Ответ: (0,5; 2)

 

Пример. Решите нер-во

– 2х2 + 9х – 9 ≤ 0

Решение. Сначала находим нули параболы, решая ур-ние

– 2х2 + 9х – 9 = 0

D = b2– 4ас = 92 – 4•(– 2)•(– 9) = 81 – 72 = 9

х1 = (– 9 – 3)/ (– 4) = 3

х2 = (– 9 + 3)/ (– 4) = 1,5

Коэффициент а параболы отрицательный, поэтому ее ветви смотрят вниз. Отметим на координатной прямой нули ф-ции и схематично график параболы, а также промежуток, на котором она неположительна:

Так как нер-во нестрогое, то сами нули ф-ции входят в ответ, а потому скобки рядом с нулями – квадратные. В итоге х∊(– ∞; 1,5]∪[3; + ∞).

Ответ: х∊(– ∞; 1,5]∪[3; + ∞).

 

Пример Решите нер-во

х2 – 2х + 1 > 0

Решение. Решим квадратное ур-ние

х2 – 2х + 1 = 0

D = b2– 4ас = (– 2)2 – 4•1•1 = 4 – 4 = 0

Дискриминант равен нулю, поэтому у ур-ния лишь 1 корень.

х1 = – b/2a = – (– 2)/2 = 1

Парабола будет касаться прямой Ох в единственной точке, при этом ветви параболы должны смотреть вверх:

Получается, что ф-ция положительна на всей координатной прямой, кроме точки х = 1, где она обращается в ноль. Соответственно, в ответе надо указать объединение промежутков: х∊(– ∞; 1)∪(1; + ∞).

Ответ: (– ∞; 1)∪(1; + ∞).

 

Пример. Найдите решение нер-ва

– 5х2 + х – 100 < 0

Решение. Попытаемся найти корни ур-ния

– 5х2 + х – 100 = 0

D = b2– 4ас = 12 – 4•(– 5)•(– 100) = 1 – 2000 = – 2001

Дискриминант меньше нуля, поэтому корней не будет. Вся парабола будет находиться ниже оси Ох, так как ее ветви должны смотреть вниз из-за отрицательного коэффициента а = – 5.

Видно, что при любых значениях х левая часть нер-ва меньше нуля, то есть нер-во справедливо при х∊(– ∞; + ∞).

Ответ: (– ∞; + ∞).

 

Метод интервалов

Ясно, что знак произведения зависит от знаков множителей. Так, если мы перемножаем три отрицательных числа и два положительных, то мы получим отрицательное произведение:

(– 1)•(– 2)•(– 3)•4•5 = – 120

Если же отрицательных множителей два или четыре, то итоговое произведение получится положительным:

(– 1)•(– 2)•3•4•5 = 120

(– 1)•(– 2)•(– 3)•(–4)•5 = 120

Вообще можно заметить, что если в произведении находится нечетное количество множителей (1, 3, 5, 7…), то и всё произведение отрицательно. Если же количество отрицательных множителей четно (0, 2, 4, 6, 8…), то произведение положительно. Дело в том, что при умножении отрицательных чисел действует правило «минус на минус дает плюс», то есть два минуса как бы «самоуничтожаются». Поэтому при перемножении четного количества отрицательных чисел все минусы попарно сократятся. Из этого правила есть одно исключение – если хотя бы один множитель равен нулю, то и всё произведение равно нулю, независимо от количества отрицательных сомножителей.

 

Пример. Справедливо ли нер-во

(– 12)•453•62,36•725•(– 975)•(– 812,99) < 0

Решение. Для ответа на вопрос нет смысла вычислять значение выражения слева. Оно представляет собой произведение, в котором 3 отрицательных множителя. 3 – это нечетное число, а потому и всё произведение отрицательно. Значит, нер-во справедливо.

Ответ: справедливо.

Далее рассмотрим нер-во, где слева стоит произведение скобок. В каждой из скобок записано выражение вида (х – а), например:

(х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4) < 0

Произведение слева отрицательно, если отрицательна либо одна, либо три скобки. Определим, какие знаки принимают выражения в скобках при разных значениях х. В первой скобке записано выражение х – 1, поэтому рассмотрим нер-во

х – 1 > 0

Перенеся единицу вправо, получим, что

х > 1

Графически это можно показать так:

Аналогично, рассматривая нер-ва

х – 2 > 0

x – 3 > 0

х – 4 > 0

можно показать, какие значения принимает каждая из скобок при различных х:

Видно, что скобки (х – 1), (х – 2), (х – 3) и (х – 4) изменяют знаки с «–» на «+» при «перескоке» через точки 1, 2, 3 и 4. Отметим их все вместе на одной прямой и укажем знаки скобок на каждом из образовавшихся промежутков:

Получили 5 промежутков. Если выражение выделено красным, то оно отрицательно на промежутке, а если синим – то положительно. Напомним, что произведение отрицательно, если в его состав входит нечетное количество (1, 3, 5…) отрицательных множителей. На рисунке видно, что на промежутке (1; 2) отрицательны 3 множителя, а на промежутке (3; 4) – один множитель. Следовательно, именно на них всё произведение

(х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4)

оказывается отрицательным. Соответственно на других промежутках произведение положительно. Это можно отметить так:

Штриховкой отмечены промежутки, где произведение отрицательно. Получается, что решением нер-ва является объединение промежутков (1; 2)∪(3; 4). Сами точки 1, 2, 3 и 4 исключены из решения, так как нер-во строгое. Если бы нер-во было нестрогим, то на рисунке точки были бы закрашены, а скобки в промежутке были бы квадратными.

Убедимся в верности этого решения, выбрав произвольное число из каждого промежутка и подставив его в произведение.

Из промежутка (– ∞; 1) возьмем значение х = 0:

(0 – 1)(0 – 2)(0 – 3)(0 – 4) = (– 1)•(– 2)(– 3)•(– 4) = 24 > 0

Из следующего промежутка возьмем х = 1,5:

(1,5 – 1)(1,5 – 2)(1,5 – 3)(1,5 – 4) = 0,5•(– 0,5)•(– 1,5)•(– 2,5) < 0

Примечание. Здесь мы не стали вычислять точное значение произведения, а просто посчитали, что в нем 3 отрицательных множителя. Следовательно, всё произведение отрицательно, то есть меньше нуля.

Из интервала (2; 3) возьмем число 2,5:

(2,5 – 1)(2,5 – 2)(2,5 – 3)(2,5 – 4) = 1,5•0,5•(– 0,5)•(– 1,5) > 0

Из промежутка (3; 4) выберем х = 3,5:

(3,5 – 1)(3,5 – 2)(3,5 – 3)(3,5 – 4) = 3,5•1,5•0,5•(– 0,5) < 0

Наконец, из последнего интервала (4; + ∞) возьмем число 5:

(5 – 1)(5 – 2)(5 – 3)(5 – 4) = 4•3•2•1 > 0

Для решения нер-ва мы просто нашли, при каких значениях выражение слева принимает нулевые значения, а потом расставили знаки в полученных интервалах. Данный способ называется методом интервалов.

 

Пример. Решите неравенство методом интервалов:

(у – 5)(– 2у + 6)(у + 4) ≥0

Решение. Вынесем из второй скобки множитель (– 2):

(у – 5)(– 2)(у – 3)(у + 4) ≥ 0

Поделим нер-во на число (– 2). Напомним, что при делении нер-ва на отрицательную величину его знак меняется на противоположный:

(у – 5)(у – 3)(у + 4) ≤ 0

Используем метод интервалов. Отметим на координатной прямой точки, при которых каждая скобка обращается в ноль (это 5, 3 и (– 4)), и расставим знаки над получившимися промежутками:

Определить эти знаки можно, просто выбрав произвольное число из промежутка и подставив его в левую часть. Так, выберем из промежутка (– ∞; – 4) число (– 5) и получим:

(– 5 – 5)(– 5 – 3)(– 5 + 4) = (– 10)•(– 8)•(– 1) < 0

Из промежутка (–4; 3) выберем число 0:

(0 – 5)(0 – 3)(0 + 4) = (– 5)•(– 3)•(4) > 0

Из промежутка (3; 5) возьмем число 4:

(4 – 5)(4 – 3)(4 + 4) = (– 1)•1•8 < 0

Из множества (5; + ∞) возьмем шестерку:

(6 – 5)(6 – 3)(6 + 4) = 1•3•10 > 0

Итак, выражение слева меньше или равно нулю при у∊(– ∞; – 4]∪[3; 5].

Ответ: (– ∞; – 4]∪[3; 5].

Обратим внимание, что в рассмотренных примерах знаки на промежутках чередовались. Это значит, что достаточно было определить знак на одном промежутке, а дальше просто менять их при переходе через отмеченные точки. Есть один частный случай, когда такое чередование НЕ происходит. Такое возможно, если в двух скобках находится одинаковые выражения.

 

Пример. Решите нер-во

(z – 5)(3z – 15)(7 – z) ≤ 0

Решение. Вынесем из второй скобки множитель 3, а из третьей – (– 1):

(z – 5)•3•(z – 5)•(– 1)•(z – 7) ≤ 0

Делим нер-во на (– 3):

(z – 5)(z – 5)(z – 7) ≥ 0

Обратите внимание – мы получили две одинаковые скобки (z – 5). Отметим на прямой нули левого выражения (это числа 5 и 7), а также знаки промежутков:

Для расстановки знаков подставим в выражение слева числа:

при z = 4 (4 – 5)(4 – 5)(4 – 7) = (– 1)•(– 1)•(– 3) < 0

при z = 6 (6 – 5)(6 – 5)(6 – 7) = 1•1•(– 1) < 0

при z = 8 (8 – 5)(6 – 5)(8 – 7) = 3•3•1> 0

Получилось, что на соседних интервалах (– ∞; 5) и (5; 7) знаки совпадают, а не чередуются. Так произошло из-за того, что при переходе через точку z = 5 знак поменяла не одна, а сразу 2 скобки (х – 5).

При записи ответа надо учесть, что в задании дано нестрогое нер-во. Поэтому в ответ надо включить как промежуток [7; + ∞), так и число 5, которое обращает в ноль произведение в левой части.

Ответ: 5∪[7; + ∞).

Только усвоенная информация становится знанием. В этом вам помогут онлайн-курсы

Перейти

Неравенства высоких степеней

Напомним, что если некоторое число а – корень многочлена Р(х) (то есть оно является корнем ур-ния Р(х) = 0), то этот многочлен можно представить как произведение двучлена (х – а) и какого-то другого многочлена Р1(х). Другими словами, зная корни многочлена, можно разложить его на множители. За счет этого можно решать нер-ва высоких степеней.

 

Пример. Решите нер-во

х3 – 3х2 – х + 3 < 0

Решение. Найдем корни многочлена, стоящего в левой части, то есть решим ур-ние

х3 – 3х2 – х + 3 = 0

Попробуем подобрать корни, начав с целых чисел. Напомним, что все целые корни должны быть делителем свободного члена, то есть в данном случае числа 3. Поэтому «кандидатами» являются числа 1, (– 1), 3 и (– 3). Подставляя их в ур-ние, находим, что оно имеет три корня: 1, (– 1) и 3:

13 – 3•12 – 1 + 3 = 1 – 3 – 1 + 3 = 0

(– 1)3 – 3•(– 1)2 – (– 1) + 3 = – 1 – 3 + 1 + 3 = 0

33 – 3•32 – 3 + 3 = 27 – 27 – 3 + 3 = 0

Число (– 3) не подходит, ведь при его подстановке в левую часть ноль не получается:

(– 3)3 – 3•(– 3)2 – (– 3) + (– 3) = – 27 +27 + 3 + 3 = 6

Напомним, что у ур-ния 3-ей степени не может быть более 3 корней, поэтому других корней у ур-ния нет.

Зная корни, мы можем разложить многочлен на множители:

х3 – 3х2 – х + 3 = (х – 1)(х + 1)(х – 3).

В справедливости такого разложения можно убедиться, раскрыв скобки в правой части этого равенства. Теперь можно переписать исходное нер-во

х3 – 3х2 – х + 3 < 0

(х – 1)(х + 1)(х – 3) < 0

Найдем его решение методом интервалов:

Убедимся в том, что мы правильно расставили знаки, подставляя в нер-во произвольные числа из промежутков:

при х = – 2 имеем (– 2 – 1)(– 2 + 1)(– 2 – 3) = (– 3)•(– 1)•(– 5) < 0

при х = 0 получится (0 – 1)(0 + 1)(0 – 3) = (– 1)•1•(– 3) > 0

при х = 2 имеем (2 – 1)(2 + 1)(2 – 3) = 1•3•(– 1) < 0

при х = 4 получится (4 – 1)(4 + 1)(4 – 3) = 3•5•1 > 0

Получаем, что левая часть отрицательна при х∊(– ∞; – 1)∪(1; 3).

Ответ:(– ∞; – 1)∪(1; 3).

 

Пример. Решите нер-во

х3 + 2х – 3 > 0

Решение. Рассмотрим ур-ние

х3 + 2х – 3 = 0

Подбором можно определить лишь один его корень – единицу:

13 + 2•1 – 3 = 0

Поделим исходный многочлен на (х – 1):

Подробнее в уроке 2

Получили, что х3 + 2х – 3 = (х – 1)(х2 + 2х + 3)

Можно ли разложить на множители квадратный трехчлен х2 + 2х + 3? Попытаемся решить ур-ние

х2 + 2х + 3 = 0

D = b2– 4ас = 42 – 4•2•3 = 16 – 24 = – 8

Получили, что корней нет. Это значит, что функция у = х2 + 2х + 3 не пересекает ось Ох, и, так как коэффициент а этого трехчлена положителен, то выражение х2 + 2х + 3 больше нулю при любом х.

Это можно показать и иначе, если выделить полный квадрат из трехчлена:

х2 + 2х + 3 = х2 + 2х + 1 + 2 = (х + 1)2 + 2

Перепишем исходное нер-во с учетом разложения многочлена на множители:

х3 + 2х + 3 > 0

(х – 1)(х2 + 2х + 3) > 0

Так как выражение х2 + 2х + 3 положительно при любом значении х, то мы можем поделить неравенство на него:

х – 1 > 0

Отсюда получаем, что х∊(1; + ∞).

Ответ: (1; + ∞).

 

Пример. Укажите наименьшее целое решение неравенства

3 + 4х2 – 7х + 2 > 0

Решение. Попытаемся найти корень многочлена 4х3 + 4х2 – 7х + 2. Целый корень должен быть делителем двойки (свободного члена), то есть возможны варианты 1 и (–1), 2 и (– 2). Из них подходит только – 2:

4•(– 2)3 + 4•(– 2)2 – 7•(– 2) + 2 = – 32 + 16 + 14 + 2 = 0

Значит, можно поделить исходный многочлен на х + 2:

Подробнее в уроке 2

Можно записать, что 4х3 + 4х2 – 7х + 2 = (х + 2)(4х2 – 4х + 1).

Далее разложим получившийся при делении квадратный трехчлен на множители, для чего приравняем его к нулю:

2 – 4х + 1 = 0

D = b2– 4ас = (– 4)2 – 4•4•1 = 16 – 16 = 0

Получается, что есть лишь один корень.

х = – b/(2a) = – (– 4)/(2•4) = 0,5

Если у квадратного трехчлена дискриминант равен нулю, то это значит, что он является полным квадратом какого-то выражения. Действительно:

2 – 4х + 1 = (2х)2 – 2•2х•1 + 12 = (2х – 1)2

Тогда можно записать:

3 + 4х2 – 7х + 2 = (х + 2)(4х2 – 4х + 1) = (х + 2)(2х – 1)2 =

= (х + 2)(2х – 1)(2х – 1)

Перепишем с учетом этого исходное нер-во:

3 + 4х2 – 7х + 2 > 0

(х + 2)(2х – 1)(2х – 1) > 0

Вынесем множитель 2 из двух последних скобок и поделим нер-во на них:

(х + 2)•2•(х – 0,5)•2•(х – 0,5) > 0

(х + 2)(х – 0,5)(х – 0,5) > 0

Решим его методом интервалов:

Снова из-за двух одинаковых скобок (х – 0,5) на соседних промежутках (– 2; 0,5) и (0,5; 2) получили один и тот же знак. Функция положительна на них, однако она равна нулю при х = 0,5, поэтому это число из решения неравенства исключается. Получаем, что х∈(– 2; 0,5)∪(0,5; + ∞).

Нам надо указать наименьшее целое решение. Самым малым целым числом из множества (– 2; 0,5)∪(0,5; + ∞) является (– 1).

Ответ: (– 1).

Онлайн-курсы по математике помогут подготовиться к ОГЭ наилучшим образом

Перейти

Дробно-рациональные неравенства

До сих пор мы рассматривали целые нер-ва. Однако, по аналогии с уравнениями, существуют ещё и дробно-рациональные нер-ва. В них выражение с переменной может стоять в знаменателе. Приведем примеры дробно-рациональных нер-в:

Любое такое нер-во можно представить в виде

где Р(х) и Q(х) – некоторые многочлены. Естественно, вместо знака «>» может стоять и другой знак. Для примера преобразуем к такому виду нер-во

Перенесем все слагаемые влево:

Далее приведем левую часть к общему знаменателю:

Осталось раскрыть скобки:

В итоге и в числителе, и в знаменателе стоят многочлены.

Рассмотрим нер-ва

а/b>0 и ab> 0

Докажем, что они равносильны друг другу. Возможны 5 случаев:

  1. И а, и b являются положительными числами. Тогда оба нер-ва верны, ведь и произведение, и отношение двух положительных чисел само положительно:

10•5 = 50 > 0

10/5 = 2 > 0

  1. Оба числа, а и b, отрицательны, тогда снова оба нер-ва справедливы, ведь при умножении и делении двух отрицательных чисел получается положительное число. Например:

(– 10)•(– 5) = 50 > 0

(– 10)/(– 5) = 2 > 0

  1. Только одно из чисел положительно, а другое отрицательно, тогда их произведение, как и частное, меньше нуля, и нер-ва неверны:

(– 10)•5 = – 50< 0

(– 10):5 = – 2 < 0

  1. Число a равно нулю. Тогда выражения ab и a/b также равны нулю, а потому рассматриваемые нер-ва неверны:

0•5 = 0

0/5 = 0

  1. Число b равно нулю. Тогда произведение ab равно нулю, а дробь а/b не имеет смысла (из-за нуля в знаменателе). То есть нер-ва а/b> 0 и ab> 0 снова одновременно неверны.

Получили, что при любых значениях а и b нер-ва а/b> 0 и ab> 0 либо одновременно справедливы, либо одновременно несправедливы. Это значит, что они равносильны.

Это значит, что от дробно-рационального нер-ва можно перейти к равносильному ему целому нер-ву.

 

Пример. Решите нер-во

Решение:

Исходному нер-ву равносильно иное нер-во:

(х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4)> 0

Решим его методом интервалов:

Получаем, что х∊(1; 2)∪(3; 4).

Ответ: (1; 2)∪(3; 4).

 

Пример. Решите нер-во

Решение. В числителе и знаменателе находятся квадратные трехчлены. Их можно разложить на корни, если знать их корни. Найдем их.

х2 – 9х + 14 = 0

D = b2– 4ас = (– 9)2 – 4•1•14 = 84 – 56 = 25

х1 = (9 – 5)/2 = 2

х2 = (9 + 5)/2 = 7

Так как корни равны 2 и 7, то можно записать, что

х2 – 9х + 14 = (х – 2)(х – 7)

Аналогично разложим знаменатель

х2 – 14х + 45 = 0

D = b2– 4ас = (– 14)2 – 4•1•45 = 196 – 180 = 16

х1 = (14 – 4)/2 = 5

х2 = (14 + 4)/2 = 9

х2 – 14х + 45 = (х – 5)(х – 9)

Перепишем исходное нер-во:

Ему равносильно другое нер-во:

(х – 2)(х – 7)(х – 5)(х – 9) > 0

Его можно решить методом интервалов:

Получаем, что х∊(– ∞; 2)∪(5; 7)∪(9; + ∞).

Ответ: х∊(– ∞; 2)∪(5; 7)∪(9; + ∞).

Обратим внимание на одну особенность метода интервала в случаях, когда решается дробно-рациональное нер-во. Она касается нестрогих нер-в (со знаками «≤» и «≥»). В целых нестрогих нер-вах сами точки, при которых выражение слева обращается в ноль, включаются в решение. Но при рассмотрении дроби важно понимать, что ее знаменатель не может быть равным нулю. Поэтому при нестрогом нер-ве в ответ надо включить точки, обращающие в ноль числитель, но при этом исключить точки, обращающие в ноль знаменатель.

 

Пример. Решите нер-во

Числитель обращается в ноль в точках (– 2) и 4, а знаменатель – в точках (– 7) и 8. Так как нер-во нестрогое, то числа 4 и (– 2) будут входить в решение (на координатной прямой мы отметим их закрашенным кружочком), а числа (– 7) и 8 – нет (их отметим как «выколотые точки»):

В итоге получаем, что дробь неотрицательна при х∊(– ∞; – 7)∪[– 2; 4]∪(8; – ∞).

Ответ: (– ∞; – 7)∪[– 2; 4]∪(8; – ∞).

Мы сделали подборку лучших онлайн-курсов для эффективной подготовки к ОГЭ

Перейти

 

Линейные неравенства. Решение линейных неравенств

Линейные неравенства – такие неравенства, которые можно привести к одному из видов:

\(ax>b\),         \(ax<b\),         \(ax \geq b\),         \(ax \leq b\),

где \(a\) и \(b\) любые числа (причем \(a\neq0\)), а \(x\) — неизвестная переменная.

Проще можно сказать, что это такие неравенства, в которых есть переменная только в первой степени, и она не находится в знаменателе дроби.

Примеры:

\(3x>-2\)

\(\frac{3y-4}{5}\)\(\leq1\)

\(5(x-1)-2x>3x-8\)

Примеры не линейных неравенств:

\(3>-2\) – здесь нет переменных, только лишь числа, значит это числовое неравенство
\(\frac{-14}{(y-3)^{2}-5}\) \(\leq0\) – есть переменная в знаменателе, это дробно-рациональное неравенство
\(5(x-1)-2x>3x^{2}-8\) — есть переменная во второй степени, это квадратное неравенство

Решение линейных неравенств

Решением неравенства будет любое число, подстановка которого вместо переменной сделает неравенство верным. Решить неравенство – значит найти все такие числа.

Например, для неравенства \(x-2>0\) число \(5\) будет решением, т.к. при подстановке пятерки вместо икса мы получим верное числовое: \(3>0\). А вот число \(1\) решением не будет, так как при подстановке получится неверное числовое неравенство:\(-1>0\) . Но решением неравенства будут не только пятерка, но и \(4\), \(7\), \(15\), \(42\), \(726\) и еще бесконечное множество чисел: любое число, больше двойки.

Поэтому линейные неравенства не решают перебором и подстановкой значений. Вместо этого их с помощью равносильных преобразований приводят к одному из видов:

\(x<c\),        \(x>c\),        \(x\leqс\),        \(x\geqс\),       где \(с\) — любое число

После чего ответ отмечается на числовой оси и записывается в виде промежутка (также называемого интервалом).

Вообще, если вы умеете решать линейные уравнения, то и линейные неравенства вам под силу, потому что процесс решения очень схож. Есть лишь одно важное дополнение: 

При умножении или делении неравенства на любое отрицательное число (или выражение) нужно менять знак сравнения на противоположный (почему так – смотри здесь).

Пример. Решить неравенство \(2(x+1)-1<7+8x\)
Решение:

\(2(x+1)-1<7+8x\)

Раскроем скобки

\(2x+2-1<7+8x\)

 

Перенесем \(8x\) влево, а \(2\) и \(-1\) вправо, не забывая при этом менять знаки

\(2x-8x<7-2+1\)

 

Приведем подобные слагаемые

\(-6x<6\)        \(|:(-6)\)

 

Поделим обе части неравенства на \(-6\), не забыв поменять знак сравнения

\(x>-1\)


Отметим на оси числовой промежуток. Неравенство строгое, поэтому само значение \(-1\) «выкалываем» и в ответ не берем



Запишем ответ в виде интервала

Ответ: \(x\in(-1;\infty)\)



Особый случай №1: решение неравенства – любое число

В линейных неравенствах возможна ситуация, когда ему в качестве решения пойдет абсолютно любое число – целое, дробное, отрицательное, положительное, ноль… Например, вот такое неравенство \(x+2>x\) будет верным при любом значении икса. Ну, а как же может быть иначе, ведь слева к иксу прибавили двойку, а справа – нет. Естественно, что слева будет получаться большее число, какой бы икс мы не взяли.

Пример. Решить неравенство \(3(2x-1)+5<6x+4\)
Решение:

\(3(2x-1)+5<6x+4\)

Раскроем скобки

\(6x-3+5<6x+4\)

 

Приведем подобные слагаемые

\(6x+2<6x+4\)

 

Перенесем  члены с иксом влево, а числа вправо, не забывая при этом менять знаки

\(6x-6x<4-2\)

 

Приведем подобные слагаемые

\(0<2\)


Получили верное числовое неравенство. Причем оно будет верным при любом иксе, ведь он никак не влияет на получившееся неравенство. Значит, любое значение икса будет решением

Ответ: \(x\in(-\infty;\infty)\)

Особый случай №2: неравенство не имеет решений

Возможна и обратная ситуация, когда у линейного неравенства вообще нет решений, то есть никакой икс не сделает его верным. Например, \(x-2>x\) не будет верным никогда, ведь слева из икса вычитают двойку, а справа – нет. Значит, слева всегда будет меньше, а не больше.

Пример. Решить неравенство \(\frac{x-5}{2}\)\(>\) \(\frac{3x+2}{6}\)\(-1\)
Решение:

\(\frac{x-5}{2}\)\(>\) \(\frac{3x+2}{6}\)\(-1\)

Нам мешают знаменатели. Сразу же избавляемся от них, умножая всё неравенство на общий знаменатель всех дробей, то есть – на 6

\(6\cdot\)\(\frac{x-5}{2}\)\(>\)\(6\cdot\)\((\frac{3x+2}{6}\)\(-1\)\()\)

 

Раскроем скобки

\(6\cdot\)\(\frac{x-5}{2}\)\(>\)\(6\cdot\)\(\frac{3x+2}{6}\)\(-6\)

 

Сократим то, что можно сократить 

\(3\cdot(x-5)>3x+2-6\)

 

Слева раскроем скобку, а справа приведем подобные слагаемые

\(3x-15>3x-4\)


Перенесем \(3x\) влево, а \(-15\) вправо, меняя знаки

\(3x-3x>-4+15\)


Вновь приводим подобные слагаемые

\(0>11\)


Получили неверное числовое неравенство. И оно будет неверным при любом иксе, ведь он никак не влияет на получившееся неравенство. Значит, любое значение икса решением не будет.

Ответ: \(x\in\varnothing\)

Смотрите также:  
Системы линейных неравенств
Строгие и нестрогие неравенства


Скачать статью

Двойные неравенства. 2 способа решения

Например:

\(5<11<17\)
\(-2\leq3x+5\leq2\)
\(2x-5\leq3x+7\leq8x\)

Двойное неравенство по своей сути – это система из двух неравенств, записанных в одну строку. Поэтому  их всегда можно представить в виде системы.

Например:

\(-2\leq3x+5\leq2\Leftrightarrow\begin{cases}-2\leq3x+5\\3x+5\leq2\end{cases}\)
\(2x-5\leq3x+7\leq8x\Leftrightarrow\begin{cases}2x-5\leq3x+7\\3x+7\leq8x\end{cases}\)

Но делать это нужно не всегда.

2 способа решения двойного неравенства

1) Если в крайней левой и крайней правой частях двойного неравенства нет неизвестных, то удобнее оставить его как есть. При этом в процессе решения стремится равносильными преобразованиями привести неравенство к виду \([число]\)\(<\)\(x\)\(<\)\([число]\).

Пример: Решите двойное неравенство:

\(-2\leq3x+5\leq2\)    \(|-5\)

Здесь нет неизвестных по краям, поэтому к системе переходить не будем. Вместо этого делаем такие преобразования, чтоб в центре остался голый икс, а по краям — числа.
Для того чтобы «оголить» икс нужно избавиться от пятерки и тройки. Вычтем \(5\) из всего неравенства.

\(-7≤3x≤-3\)   \(|:3\)

 

Теперь нам мешает \(3\). Поделим все три части неравенства на \(3\).

\(-\)\(\frac{7}{3}\)\(\leq x \leq-1\)

 

Готово, наш икс «голый». Можно записывать ответ.

Ответ: \([-\)\(\frac{7}{3}\)\(;-1]\)

2) Если в крайних частях двойного неравенства есть неизвестные лучше перевести неравенство в систему и решать его как обычную систему неравенств.

Пример: Решите двойное неравенство:

\(2x-5<3x+7≤8x\)

В крайней левой и крайней правой частях есть неизвестные –значит переходим к системе.

\(\begin{cases}2x-5<3x+7\\3x+7\leq8x\end{cases}\)

Решаем обычные линейные неравенства: все, что с иксами переносим в левую сторону, все что без иксов — в правую.

\(\begin{cases}2x-3x<7+5\\3x-8x\leq-7\end{cases}\)

Приводим подобные слагаемые

\(\begin{cases}-x<12   \\-5x\leq-7   \end{cases}\)

«Оголим» иксы, поделив верхнее неравенство на \((-1)\), нижнее на \((-5)\). Не забываем при этом перевернуть знаки сравнения, так как мы делим на отрицательное число.

\(\begin{cases}x>-12   \\x\geq \frac{7}{5}\end{cases}\)

Отметим на числовой оси оба решения

  

Так как у нас система, то мы ищем значения иксов, которые подойдут обоим неравенствам, т.е. интервал, где есть двойная штриховка: и сверху, и снизу. Его и запишем ответ.

Ответ: \([\)\(\frac{7}{5}\)\(;\infty)\)

Скачать статью

Решайте неравенства с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»


Введите уравнение вместе с переменной, для которой вы хотите его решить, и нажмите кнопку «Решить».

В этой главе мы разработаем определенные методы, которые помогут решить проблемы, сформулированные на словах. Эти методы включают переписывание задач в виде символов. Например, заявленная проблема

«Найдите число, которое при добавлении к 3 дает 7»

можно записать как:

3+? = 7, 3 + n = 7, 3 + x = 1

и так далее, где символы?, N и x представляют собой число, которое мы хотим найти.Мы называем такие сокращенные версии поставленных задач уравнениями или символическими предложениями. Такие уравнения, как x + 3 = 7, являются уравнениями первой степени, поскольку переменная имеет показатель степени 1. Члены слева от знака равенства составляют левую часть уравнения; те, что справа, составляют правую часть. Таким образом, в уравнении x + 3 = 7 левый член равен x + 3, а правый член равен 7.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Уравнения могут быть истинными или ложными, так же как предложения слов могут быть истинными или ложными.Уравнение:

3 + х = 7

будет ложным, если вместо переменной подставлено любое число, кроме 4. Значение переменной, для которой верно уравнение (4 в этом примере), называется решением уравнения. Мы можем определить, является ли данное число решением данного уравнения, подставив число вместо переменной и определив истинность или ложность результата.

Пример 1 Определите, является ли значение 3 решением уравнения

4x — 2 = 3x + 1

Решение Мы подставляем значение 3 вместо x в уравнение и смотрим, совпадает ли левый член с правым.

4 (3) — 2 = 3 (3) + 1

12 — 2 = 9 + 1

10 = 10

Отв. 3 — это решение.

Уравнения первой степени, которые мы рассматриваем в этой главе, имеют не более одного решения. Решения многих таких уравнений можно определить путем осмотра.

Пример 2 Найдите решение каждого уравнения путем осмотра.

а. х + 5 = 12
б. 4 · х = -20

Решения а. 7 — решение, так как 7 + 5 = 12.
b. -5 — это решение, поскольку 4 (-5) = -20.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ

В разделе 3.1 мы решили несколько простых уравнений первой степени путем проверки. Однако решения большинства уравнений не сразу видны при осмотре. Следовательно, нам необходимы некоторые математические «инструменты» для решения уравнений.

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Эквивалентные уравнения — это уравнения, которые имеют идентичные решения. Таким образом,

3x + 3 = x + 13, 3x = x + 10, 2x = 10 и x = 5

эквивалентны уравнениям, потому что 5 — единственное решение каждого из них.Обратите внимание, что в уравнении 3x + 3 = x + 13 решение 5 не очевидно при осмотре, но в уравнении x = 5 решение 5 очевидно при осмотре. Решая любое уравнение, мы преобразуем данное уравнение, решение которого может быть неочевидным, в эквивалентное уравнение, решение которого легко заметить.

Следующее свойство, иногда называемое свойством сложения-вычитания , является одним из способов создания эквивалентных уравнений.

Если одинаковое количество прибавляется или вычитается из обоих элементов уравнения, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнение.

в символах,

a — b, a + c = b + c и a — c = b — c

— эквивалентные уравнения.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

х + 3 = 7

путем вычитания 3 из каждого члена.

Решение Если вычесть 3 из каждого члена, получим

х + 3 — 3 = 7 — 3

или

х = 4

Обратите внимание, что x + 3 = 7 и x = 4 являются эквивалентными уравнениями, поскольку решение одинаково для обоих, а именно 4.В следующем примере показано, как мы можем генерировать эквивалентные уравнения, сначала упростив один или оба члена уравнения.

Пример 2 Напишите уравнение, эквивалентное

4x- 2-3x = 4 + 6

, объединив одинаковые термины, а затем добавив по 2 к каждому члену.

Объединение одинаковых терминов дает

х — 2 = 10

Добавление 2 к каждому члену дает

х-2 + 2 = 10 + 2

х = 12

Чтобы решить уравнение, мы используем свойство сложения-вычитания, чтобы преобразовать данное уравнение в эквивалентное уравнение вида x = a, из которого мы можем найти решение путем проверки.

Пример 3 Решите 2x + 1 = x — 2.

Мы хотим получить эквивалентное уравнение, в котором все члены, содержащие x, находятся в одном члене, а все члены, не содержащие x, — в другом. Если мы сначала прибавим -1 к каждому члену (или вычтем 1 из него), мы получим

2x + 1- 1 = x — 2-1

2x = х — 3

Если мы теперь прибавим -x к каждому члену (или вычтем x из него), мы получим

2х-х = х — 3 — х

х = -3

, где решение -3 очевидно.

Решением исходного уравнения является число -3; однако ответ часто отображается в виде уравнения x = -3.

Поскольку каждое уравнение, полученное в процессе, эквивалентно исходному уравнению, -3 также является решением 2x + 1 = x — 2. В приведенном выше примере мы можем проверить решение, подставив — 3 вместо x в исходном уравнении.

2 (-3) + 1 = (-3) — 2

-5 = -5

Симметричное свойство равенства также помогает при решении уравнений. В этом объекте указано

Если a = b, то b = a

Это позволяет нам менять местами члены уравнения в любое время, не беспокоясь о каких-либо изменениях знака.Таким образом,

Если 4 = x + 2, то x + 2 = 4

Если x + 3 = 2x — 5, то 2x — 5 = x + 3

Если d = rt, то rt = d

Может быть несколько разных способов применить свойство сложения, указанное выше. Иногда один метод лучше другого, а в некоторых случаях также полезно симметричное свойство равенства.

Пример 4 Решите 2x = 3x — 9. (1)

Решение Если мы сначала добавим -3x к каждому члену, мы получим

2x — 3x = 3x — 9 — 3x

-x = -9

, где переменная имеет отрицательный коэффициент.Хотя при осмотре можно увидеть, что решение равно 9, поскольку — (9) = -9, мы можем избежать отрицательного коэффициента, добавив -2x и +9 к каждому члену уравнения (1). В этом случае получаем

2x-2x + 9 = 3x- 9-2x + 9

9 = х

, из которого решение 9 очевидно. При желании мы можем записать последнее уравнение как x = 9 по симметричному свойству равенства.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВА DIVISION

Рассмотрим уравнение

3x = 12

Решение этого уравнения — 4.Также обратите внимание, что если мы разделим каждый член уравнения на 3, мы получим уравнения

, решение которого также равно 4. В общем, мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством деления.

Если оба члена уравнения делятся на одно и то же (ненулевое) количество, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.

в символах,

— эквивалентные уравнения.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

-4x = 12

, разделив каждый член на -4.

Решение Разделив оба элемента на -4, получим

При решении уравнений мы используем указанное выше свойство для создания эквивалентных уравнений, в которых переменная имеет коэффициент 1.

Пример 2 Решите 3y + 2y = 20.

Сначала мы объединяем одинаковые термины, чтобы получить

5лет = 20

Тогда, разделив каждый член на 5, получим

В следующем примере мы используем свойство сложения-вычитания и свойство деления для решения уравнения.

Пример 3 Решить 4x + 7 = x — 2.

Решение

Сначала мы добавляем -x и -7 к каждому члену, чтобы получить

4x + 7 — x — 7 = x — 2 — x — 1

Далее, объединяя одинаковые термины, получаем

3x = -9

Наконец, мы разделим каждый член на 3, чтобы получить

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С СВОЙСТВОМ УМНОЖЕНИЯ

Рассмотрим уравнение

Решение этого уравнения — 12. Также обратите внимание, что если мы умножим каждый член уравнения на 4, мы получим уравнения

, решение которого также равно 12.В общем, мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством умножения.

Если оба члена уравнения умножаются на одну и ту же ненулевую величину, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.

в символах,

a = b и a · c = b · c (c ≠ 0)

— эквивалентные уравнения.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

путем умножения каждого члена на 6.

Решение Умножение каждого члена на 6 дает

При решении уравнений мы используем указанное выше свойство для создания эквивалентных уравнений, не содержащих дробей.

Пример 2 Решить

Решение Сначала умножьте каждый член на 5, чтобы получить

Теперь разделите каждого члена на 3,

Пример 3 Решить.

Решение Во-первых, упростите над дробной чертой, чтобы получить

Затем умножьте каждый член на 3, чтобы получить

Наконец, разделив каждого члена на 5, получим

ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Теперь мы знаем все методы, необходимые для решения большинства уравнений первой степени.Не существует определенного порядка, в котором следует применять свойства. Может оказаться подходящим любой один или несколько из следующих шагов, перечисленных на странице 102.

Шаги по решению уравнений первой степени:

  1. Объедините одинаковые члены в каждом члене уравнения.
  2. Используя свойство сложения или вычитания, запишите уравнение со всеми членами, содержащими неизвестное в одном члене, и всеми членами, не содержащими неизвестное в другом.
  3. Объедините одинаковые термины в каждом элементе.
  4. Используйте свойство умножения для удаления дробей.
  5. Используйте свойство деления, чтобы получить коэффициент 1 для переменной.

Пример 1 Решите 5x — 7 = 2x — 4x + 14.

Решение

Сначала мы объединяем одинаковые члены, 2x — 4x, чтобы получить

5x — 7 = -2x + 14

Затем мы добавляем + 2x и +7 к каждому члену и объединяем одинаковые термины, чтобы получить

5x — 7 + 2x + 7 = -2x + 14 + 2x + 1

7x = 21

Наконец, мы разделим каждый член на 7, чтобы получить

В следующем примере мы упрощаем над дробной полосой перед применением свойств, которые мы изучали.

Пример 2 Решить

Решение Сначала мы объединяем одинаковые термины, 4x — 2x, чтобы получить

Затем мы добавляем -3 к каждому члену и упрощаем

Затем мы умножаем каждый член на 3, чтобы получить

Наконец, мы делим каждый член на 2, чтобы получить

РЕШЕНИЕ ФОРМУЛ

Уравнения, в которых используются переменные для измерения двух или более физических величин, называются формулами. Мы можем найти любую одну из переменных в формуле, если известны значения других переменных.Мы подставляем известные значения в формулу и решаем неизвестную переменную методами, которые мы использовали в предыдущих разделах.

Пример 1 В формуле d = rt найти t, если d = 24 и r = 3.

Решение Мы можем найти t, заменив 24 на d и 3 на r. То есть

d = rt

(24) = (3) т

8 = т

Часто бывает необходимо решить формулы или уравнения, в которых существует более одной переменной для одной из переменных в терминах других.Мы используем те же методы, которые продемонстрированы в предыдущих разделах.

Пример 2 В формуле d = rt найдите t через r и d.

Решение Мы можем решить для t в терминах r и d, разделив оба члена на r, чтобы получить

из которых по закону симметрии

В приведенном выше примере мы решили для t, применив свойство деления для создания эквивалентного уравнения. Иногда необходимо применить более одного такого свойства.

Пример 3 В уравнении ax + b = c решите относительно x через a, b и c.

Решение Мы можем решить для x, сначала добавив -b к каждому члену, чтобы получить

, затем разделив каждый член на a, мы получим

5 шокирующих фактов о крайнем глобальном неравенстве и о том, как его сравнять

Самый богатый 1% мира имеет состояние более чем в два раза больше, чем 6,9 миллиарда человек.

Почти половина человечества живет менее чем на 5 долларов.50 в день.

1. Пополнение карманов миллиардеров мира. На самой вершине экономической пирамиды триллионы долларов состояния находятся в руках очень небольшой группы людей, преимущественно мужчин, чье состояние и власть растут в геометрической прогрессии. Миллиардеры сегодня обладают большим богатством, чем 4,6 миллиарда человек, которые составляют 60 процентов населения планеты. Между тем около 735 миллионов человек по-прежнему живут в крайней нищете. Многие другие — всего лишь один больничный счет или неудачный сбор урожая, чтобы не попасть в него.

Только 4 цента на каждый доллар налоговых поступлений приходится на налоги на богатство.

Сверхбогатые избегают до 30 процентов своих налоговых обязательств.

2. Облагаемый налогом капитал. В то время как самые богатые продолжают процветать, они также пользуются одними из самых низких уровней налогов за последние десятилетия — как и корпорации, которыми они владеют. Вместо этого налоги непропорционально падают на трудящихся. Когда правительства берут на себя налоги на богатых, остается меньше денег на жизненно важные услуги, такие как здравоохранение и образование, увеличивая объем работы по уходу, которая ложится на плечи женщин и девочек.

Сегодня 258 миллионов детей — каждый пятый — не будут допущены в школу.

На каждые 100 мальчиков младшего школьного возраста, не посещающих школу, 121 девочка лишена права на образование.

3. Недофинансирование государственных услуг. В то же время государственные услуги страдают от хронического недофинансирования или передаются на аутсорсинг частным компаниям, что исключает беднейшие слои населения. Во многих странах достойное образование или качественное здравоохранение стали роскошью, которую могут себе позволить только богатые.Это имеет серьезные последствия для будущего наших детей и возможностей, которые у них появятся, чтобы жить лучше и дольше.

Каждый день 10 000 человек умирают из-за отсутствия доступа к доступной медицинской помощи.

Каждый год 100 миллионов человек вынуждены жить в крайней нищете из-за расходов на здравоохранение.

4. Отказано в более продолжительной жизни. В большинстве стран наличие денег — это пропуск к лучшему здоровью и более продолжительной жизни, тогда как бедность слишком часто означает больше болезней и более раннюю могилу.Люди из бедных сообществ могут умереть на десять или двадцать лет раньше, чем люди из богатых районов. В развивающихся странах вероятность смерти ребенка из бедной семьи до достижения пятилетнего возраста в два раза выше, чем у ребенка из богатой семьи.

Мужчины владеют на 50% больше мирового богатства, чем женщины, и 22 самых богатых мужчины имеют больше богатства, чем все женщины в Африке.

Неоплачиваемая работа по уходу, выполняемая женщинами, оценивается в 10,8 триллиона долларов в год — в три раза больше, чем в индустрии высоких технологий.

5. Неравенство сексистское. Обладая меньшими доходами и меньшими активами, чем мужчины, женщины составляют самую большую часть беднейших домохозяйств в мире, и эта доля растет. Они чаще работают с плохо оплачиваемой и нестандартной занятостью, поддерживая рыночную экономику дешевой или бесплатной рабочей силой. Они также поддерживают государство посредством миллиардов часов неоплачиваемой или недостаточно оплачиваемой работы по уходу, что является огромным, но непризнанным вкладом в наши общества и экономическое процветание.

Введение в неравенства и интервальную нотацию

Неограниченные интервалы

Алгебраическое неравенство Выражения, связанные с символами ≤, <, ≥ и>., Например x≥2, читается как « x больше или равно 2». Это неравенство имеет бесконечно много решений для x . Некоторые из решений: 2, 3, 3.5, 5, 20 и 20.001. Поскольку невозможно перечислить все решения, необходима система, позволяющая четко передавать этот бесконечный набор.Два распространенных способа выражения решений неравенства — это их отображение на числовой прямой. Решения алгебраического неравенства, выраженные затенением решения на числовой прямой. и с использованием интервальной нотации Текстовая система выражения решений алгебраического неравенства.

Чтобы выразить решение графически, нарисуйте числовую линию и заштрихуйте все значения, которые являются решениями неравенства. Обозначение интервалов является текстовым и использует следующие специальные обозначения:

Определите обозначение интервала после построения графика решения, установленного на числовой прямой.Числа в обозначении интервалов должны быть записаны в том же порядке, в котором они появляются в числовой строке, причем меньшие числа в наборе появляются первыми. В этом примере имеется инклюзивное неравенство Неравенство, которое включает граничную точку, обозначенную «или равной» частью символов ≤ и ≥, и замкнутую точку на числовой прямой., Что означает, что нижняя граница 2 включена в решение. Обозначьте это закрытой точкой на числовой прямой и квадратной скобкой в ​​обозначении интервалов. Символ (∞) читается как бесконечность. Символ (∞) указывает, что интервал неограничен вправо.и указывает, что набор неограничен справа на числовой прямой. Для обозначения интервалов необходимо, чтобы бесконечность заключалась в круглые скобки. Квадратная скобка указывает на то, что граница включена в решение. Скобки означают, что граница не включена. Бесконечность — это верхняя граница действительных чисел, но сама по себе не является действительным числом: его нельзя включить в набор решений.

Теперь сравните обозначение интервала в предыдущем примере с обозначением строгого или неисключающего неравенства, которое следует ниже:

Строгие неравенства Выразите отношения упорядочения с помощью символа <для «меньше чем» и> для «больше чем».”Означают, что решения могут очень близко подходить к граничной точке, в данном случае 2, но фактически не включать ее. Обозначьте эту идею открытой точкой на числовой прямой и круглой скобкой в ​​обозначении интервалов.

Пример 1: Изобразите график и дайте эквивалент записи интервала: x <3.

Решение: Используйте открытую точку в точке 3 и закрасьте все действительные числа строго меньше 3. Используйте отрицательную бесконечность. Символ (-∞) указывает, что интервал неограничен слева.(−∞), чтобы указать, что множество решений неограничено слева на числовой прямой.

Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 3)

Пример 2: График и дайте эквивалент записи интервала: x≤5.

Решение: Используйте закрытую точку и заштрихуйте все числа меньше 5 включительно.

Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 5]

Важно видеть, что 5≥x то же самое, что x≤5.Оба требуют, чтобы значения x были меньше или равны 5. Чтобы избежать путаницы, рекомендуется переписать все неравенства с переменной слева. Кроме того, при использовании текста используйте «inf» как сокращенную форму бесконечности. Например, (−∞, 5] можно текстуально выразить как (−inf, 5].

Сложное неравенство Два неравенства в одном утверждении, соединенные словом «и» или словом «или». на самом деле представляет собой два или более неравенства в одном утверждении, соединенных словом «и» или словом «или».«Сложные неравенства с логическим« или »требуют выполнения любого из условий. Следовательно, множество решений этого типа сложного неравенства состоит из всех элементов множеств решений каждого неравенства. Когда мы объединяем эти индивидуальные наборы решений, это называется объединением. Множество образовано путем объединения индивидуальных наборов решений, обозначенных логическим использованием слова «или» и обозначенных символом ∪., Обозначенным ∪. Например, решения составного неравенства x <3 или x≥6 можно изобразить следующим образом:

Иногда встречаются сложные неравенства, когда отдельные наборы решений перекрываются.В случае, когда составное неравенство содержит слово «или», мы объединяем все элементы обоих наборов, чтобы создать один набор, содержащий все элементы каждого.

Пример 3: График и дайте эквивалент записи интервала: x≤ − 1 или x <3.

Решение: Объедините все решения обоих неравенств. Решения каждого неравенства показаны над числовой линией как средство определения объединения, которое изображено на числовой прямой ниже.

Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 3)

Любое действительное число меньше 3 в заштрихованной области числовой прямой удовлетворяет по крайней мере одному из двух указанных неравенств.

Пример 4: Изобразите график и укажите эквивалентную запись интервала: x <3 или x≥ − 1.

Решение: Оба набора решений изображены над объединением, которое показано ниже.

Ответ: Обозначение интервала: R = (−∞, ∞)

Когда вы объединяете оба набора решений и формируете объединение, вы можете видеть, что все действительные числа удовлетворяют исходному составному неравенству.

Таким образом,

и

Гендерное равенство | Организация Объединенных Наций

Незавершенные дела нашего времени

Женщины и девочки составляют половину населения мира и, следовательно, также половину его потенциала.Гендерное равенство, помимо того, что является одним из основных прав человека, необходимо для построения мирных обществ с полным человеческим потенциалом и устойчивым развитием. Более того, было показано, что расширение прав и возможностей женщин стимулирует производительность и экономический рост.

К сожалению, до полного равенства прав и возможностей мужчин и женщин еще предстоит пройти долгий путь, предупреждает «ООН-женщины». Следовательно, крайне важно положить конец множественным формам гендерного насилия и обеспечить равный доступ к качественному образованию и здравоохранению, экономическим ресурсам и участию в политической жизни как для женщин, так и для девочек, мужчин и мальчиков.Также важно обеспечить равные возможности в доступе к занятости, руководящим должностям и принятию решений на всех уровнях.

Генеральный секретарь ООН г-н Антониу Гутерриш заявил, что достижение гендерного равенства и расширение прав и возможностей женщин и девочек — это незавершенное дело нашего времени и величайшая проблема в области прав человека в нашем мире.

Организация Объединенных Наций и женщины

Поддержка прав женщин со стороны ООН началась с Устава Организации.Среди целей ООН, провозглашенных в статье 1 ее Устава: « Для достижения международного сотрудничества … в поощрении и поощрении уважения прав человека и основных свобод для всех, без различия расы, пола, языка или религии . »

В течение первого года существования ООН Экономический и Социальный Совет учредил Комиссию по положению женщин в качестве главного глобального политического органа, занимающегося исключительно вопросами гендерного равенства и улучшения положения женщин.Среди его первых достижений было обеспечение нейтральности с гендерной точки зрения формулировок в проекте Всеобщей декларации прав человека.

Женщины и права человека

Историческая Декларация, принятая Генеральной Ассамблеей 10 декабря 1948 года, подтверждает, что « Все люди рождаются свободными и равными в своем достоинстве и правах » и что « каждый имеет право на все права и свободы, изложенные в настоящей Декларации, без какого-либо различия, такого как раса, цвет кожи, пол, язык, религия,… рождение или другой статус .

Когда международное феминистское движение начало набирать обороты в 1970-е годы, Генеральная Ассамблея провозгласила 1975 год Международным годом женщин и организовала первую Всемирную конференцию по положению женщин в Мехико. По настоянию конференции она впоследствии провозгласила 1976-1985 годы Десятилетием женщин ООН и учредила Добровольный фонд для Десятилетия.

В 1979 году Генеральная Ассамблея приняла Конвенцию о ликвидации всех форм дискриминации в отношении женщин (CEDAW), которую часто называют Международным биллем о правах женщин.В своих 30 статьях Конвенция прямо определяет дискриминацию в отношении женщин и устанавливает программу национальных действий по прекращению такой дискриминации. Конвенция нацелена на культуру и традиции как на влиятельные силы, формирующие гендерные роли и семейные отношения, и это первый договор о правах человека, подтверждающий репродуктивные права женщин.

Через пять лет после конференции в Мехико в 1980 году в Копенгагене была проведена Вторая Всемирная конференция по положению женщин. Итоговая Программа действий призвала к усилению национальных мер по обеспечению владения женщинами собственностью и контролю над ней, а также к улучшению прав женщин с уважение к наследству, опеке над детьми и утрате гражданства.

Рождение глобального феминизма

В 1985 году в Найроби прошла Всемирная конференция по обзору и оценке достижений Десятилетия женщины Организации Объединенных Наций: равенство, развитие и мир. Он был созван в то время, когда движение за гендерное равенство наконец получило подлинное всемирное признание, и 15 000 представителей неправительственных организаций (НПО) приняли участие в параллельном Форуме НПО.

Это событие многие назвали «рождением глобального феминизма».Понимая, что цели конференции в Мехико не были должным образом достигнуты, правительства 157 стран-участниц приняли Найробийские перспективные стратегии до 2000 года. Этот документ открыл новые горизонты, объявив, что все вопросы касаются женщин.

Пекинская конференция по положению женщин

Четвертая Всемирная конференция по положению женщин, состоявшаяся в Пекине в 1995 году, пошла на шаг дальше, чем Найробийская конференция. Пекинская платформа действий провозглашает права женщин правами человека и обязуется принимать конкретные меры по обеспечению соблюдения этих прав.Примите участие в кампании Структуры «ООН-женщины» за равенство поколений в ознаменование 25 годовщины Пекинской декларации и Платформы действий.

Комиссия по положению женщин

Комиссия по положению женщин (CSW) является основным глобальным межправительственным органом, занимающимся исключительно продвижением гендерного равенства и расширением прав и возможностей женщин. КПЖ играет важную роль в поощрении прав женщин, документировании реальности жизни женщин во всем мире и формировании глобальных стандартов гендерного равенства и расширения прав и возможностей женщин.

Организация женщин

2 июля 2010 года Генеральная Ассамблея Организации Объединенных Наций единогласно проголосовала за создание единого органа ООН, задачей которого является ускорение прогресса в достижении гендерного равенства и расширения прав и возможностей женщин. Новая структура ООН по вопросам гендерного равенства и расширения прав и возможностей женщин — или «ООН-женщины» — объединила четыре всемирных агентства и офиса: Фонд развития ООН в интересах женщин (ЮНИФЕМ), Отдел по улучшению положения женщин (DAW), Управление Специального советника по гендерным вопросам и Международного учебного и научно-исследовательского института ООН по улучшению положения женщин.

Женщины и цели в области устойчивого развития

Гендерное равенство

В настоящее время Организация Объединенных Наций сосредоточивает свою глобальную деятельность в области развития на недавно разработанных 17 целях в области устойчивого развития (ЦУР). Женщины призваны сыграть решающую роль во всех ЦУР, при этом во многих задачах прямо признается равенство и расширение прав и возможностей женщин как цель и как часть решения.

Цель 5 «Достижение гендерного равенства и расширение прав и возможностей всех женщин и девочек» известна как отдельная гендерная цель, поскольку она направлена ​​на достижение этих целей.Для обеспечения прав женщин во всем мире необходимы глубокие правовые и законодательные изменения. В то время как рекордные 143 страны гарантировали равенство между мужчинами и женщинами в своих конституциях к 2014 году, еще 52 страны не пошли на этот шаг.

В экономической и политической сферах сохраняется резкое гендерное неравенство. Хотя за последние десятилетия был достигнут определенный прогресс, в среднем женщины на рынке труда по-прежнему зарабатывают на 20 процентов меньше мужчин во всем мире. По состоянию на 2018 год женщины составляли только 24 процента всех национальных парламентариев, что является медленным ростом с 11.3 процента в 1995 году.

Искоренение насилия в отношении женщин

Система ООН продолжает уделять особое внимание проблеме насилия в отношении женщин. Декларация Генеральной Ассамблеи 1993 года об искоренении насилия в отношении женщин содержала «четкое и всеобъемлющее определение насилия в отношении женщин [и] четкое заявление о правах, которые должны применяться для обеспечения искоренения насилия в отношении женщин во всех его формах». Он представляет собой «приверженность государств выполнению своих обязательств и приверженность международного сообщества в целом искоренению насилия в отношении женщин».

Насилие в отношении женщин — это пандемия, затрагивающая все страны, даже те, которые добились похвального прогресса в других областях. Во всем мире 35 процентов женщин подвергались физическому и / или сексуальному насилию со стороны интимного партнера или сексуальному насилию со стороны стороннего партнера.

В сентябре 2017 года Европейский Союз и Организация Объединенных Наций объединили усилия для запуска инициативы «В центре внимания» — глобальной, рассчитанной на несколько лет инициативы, направленной на искоренение всех форм насилия в отношении женщин и девочек.

Международный день борьбы за ликвидацию насилия в отношении женщин отмечается 25 ноября.

Женский день и другие памятные даты

Международный женский день отмечается ежегодно 8 марта. Международный женский день впервые появился в результате деятельности рабочих движений на рубеже двадцатого века в Северной Америке и по всей Европе. Это день, отмечаемый во многих странах по всему миру, когда женщины получают признание за их достижения без учета различий, будь то национальное, этническое, языковое, культурное, экономическое или политическое.

Помимо Международного женского дня и Международного дня борьбы за ликвидацию насилия в отношении женщин, ООН отмечает другие международные дни, посвященные повышению осведомленности о различных аспектах борьбы за гендерное равенство и расширение прав и возможностей женщин. 6 февраля отмечается Международный день нетерпимости к калечащим операциям на женских половых органах, 11 февраля — Международный день женщин и девочек в науке, 19 июня — Международный день борьбы за ликвидацию сексуального насилия в условиях конфликта, 23 июня — Международный день вдов. «День 11 октября — Международный день девочек, а 15 октября — Международный день сельских женщин.

Язык с учетом гендерного фактора

Учитывая ключевую роль языка в формировании культурных и социальных отношений, использование языка с учетом гендерного фактора является мощным способом продвижения гендерного равенства и искоренения гендерных предубеждений.

Быть инклюзивным с точки зрения гендерного языка означает говорить и писать таким образом, чтобы не допускать дискриминации по отношению к определенному полу, социальному полу или гендерной идентичности и не увековечивать гендерные стереотипы.

Эти Руководящие принципы включают рекомендации и материалы, созданные для того, чтобы помочь персоналу Организации Объединенных Наций использовать язык с учетом гендерного фактора в любом виде общения — устном или письменном, официальном или неформальном — и являются полезной отправной точкой для всех.

Ресурсы

Причины гендерного неравенства | HubPages

Гендерное неравенство, которое в данном контексте подразумевает несправедливое отношение к женскому полу по отношению к мужскому, имеет множество причин. Его причины включают культуру и традиции, религию, недостаток прав и возможностей, менталитет и неадекватное образование.

Культура и традиции : Культуру можно просто определить как образ жизни определенного общества или этнической группы, а традицию — это обычай или вера общества.Честно говоря, эти два слова — одна из причин, по которым в большинстве африканских стран женщин не считают никем. Трудно войти в какое-либо сообщество на земле игбо (этническая группа в Нигерии) и увидеть женщину, управляющую любым сообществом. Почему это так? Ответ на этот вопрос заключается в том, что правление любой женщины считается мерзостью, когда в этом сообществе есть способные мужчины, которые могут быть лидерами в этом сообществе. Старейшины общины не любят слышать о женском лидерстве, не говоря уже о том, чтобы женщина была лидером.Когда мужчины являются единственными лидерами в некоторых сообществах, это часть их жизни, поскольку они считают это нормальным явлением. Чтобы рассматривать как женский, так и мужской пол как равные, необходимо серьезное возрождение некоторых культур и традиций.

Религия : В современном мире у очень многих людей развилось предвзятое отношение к религии, потому что они недавно обнаружили, что так много религиозных групп причиняют вред человечеству, вместо того, чтобы делать его лучше для всех. Некоторые учения некоторых религий причиняют миру больше боли, чем мира.

Принадлежать к какой-либо религиозной группе — это хорошо, но правда остается в том, что некоторые из этих религий не дают свободы слабому полу. Как вы думаете, хорошо ли стирать религию с поверхности земли? Нет, потому что религия играет важную роль в направлении масс к тому, как жить хорошей жизнью, чтобы существовали мир и единство. Несмотря на то, что религия играет важную роль в жизни каждого мужчины, в некоторых религиях есть слабые места, поскольку некоторые из них действуют как клетки для женщин.В исламе, например, передвижение многих женщин ограничено, даже если они не думают о занятии политических должностей. Только мудрые, образованные, рациональные и динамичные дамы, принадлежащие к этой религиозной группе, вырываются из преграды. Принадлежать к религиозной группе — это хорошо, и лучше, если вы знаете, что правильно делать как личность, независимо от какой-либо религиозной группы.

Отсутствие полномочий : В некоторых частях мира женщин по-прежнему не считают ничем, поскольку женщины не наделены полномочиями.Понимание важности расширения прав и возможностей молодежи, когда больше внимания будет уделяться расширению прав и возможностей большинства женщин, позволит обуздать проблему гендерного неравенства женщин. Правительство каждой страны должно понимать важность обучения и развития и прилагать усилия для обучения женщин, которые затем «родят» правильное развитие; и, следовательно, снижает гендерное неравенство женщин. Я считаю, что женщины могут выйти на сцену, если они наделены полномочиями, но сколько отдельных организаций проводят семинары по расширению прав и возможностей женщин? Эгоистичные политики, занимающие политические посты в некоторых странах, не думают об этом, потому что смотрят на женщин свысока и не хотят видеть их в составе лиц, принимающих решения в правительственных домах.Когда женщин поощряют, им дают чувство принадлежности, и это может устранить большой разрыв между соотношением женщин и мужчин в управлении различными странами.

Ментальность: Многие люди все еще сохраняют определенные архаичные (устаревшие) менталитеты, которые никогда не позволят ни одной женщине или женщине управлять ими в какой-либо организации. Этот старый менталитет является одной из основных причин меньшего уважения к женщинам в некоторых обществах. Кроме того, многие женщины придерживаются мнения, что они не могут занимать руководящие должности в политике и других областях.У них есть менталитет, что лидерами должны быть только мужчины, а не женщины. Этот старый менталитет индуцирует страх в них и делает их неохотно вместо того чтобы работать трудно быть зарегистрирован как большой босс некоторых ведущих компаний.

Отсутствие надлежащего образования: Есть поговорка: «образование — сила к успеху». Исходя из этой темы, отсутствие надлежащего образования является причиной гендерного неравенства, поскольку никто не может далеко уйти в этом современном мире без хорошего образования. Да, любую женщину трудно узнать без надлежащего и адекватного образования.Прискорбно, что многие семьи не уделяют должного внимания своим детям женского пола, потому что семьи не считают их очень ценными для себя по сравнению с мужчинами. В некоторых странах, например, семьи тратят деньги на обучение представителей мужского пола, а не женского, потому что они считают женский пол обузой (что не дает большого преимущества).

Согласно базе данных по гендерным вопросам, институтам и развитию (GID-DB), 67 процентов женщин женского пола в Африке получают начальное образование после 72.6 мужского пола. Они (семьи) полагают, что если женщин обучат образовательно и они выйдут замуж позже, они (семья) ничего не выиграют, поскольку все деньги, которые она зарабатывает, достаются мужу и ее новой семье. Это причина того, что процент образованных мужчин больше, чем процент женщин в некоторых странах. Когда женщины не имеют образования, им будет трудно достичь руководящего положения, поскольку они не могут хорошо представлять организации, не имея образовательной подготовки.Правительства всех стран должны понимать важность образования для стран, которое должно включать как мужское, так и женское образование.

Количество GMAT: Арифметика с неравенствами

Вот четыре вопроса о достаточности данных GMAT, связанных с неравенствами.

Полные решения будут в конце этой статьи.

Арифметика уравнений: обзор

Прежде всего, давайте рассмотрим то, что должно быть более привычным — арифметику уравнений.Предположим, A = B и P = Q. Звуковой байт таков: вы можете комбинировать их практически любым мыслимым образом, чтобы получить новое действительное уравнение. Вы можете добавлять их в любом порядке (A + P = B + Q) или (A + Q = B + P). Затем вы можете вычесть одно из другого в любом порядке (четыре уравнения вычитания: например, A — P = B — Q). Вы можете умножать их в любом порядке (A * P = B * Q) или (A * Q = B * P). Вы можете разделить одно на другое (при условии, что вы не делите на ноль) в любом порядке (четыре уравнения деления: e.(–1). Нецелые степени отрицания приводят к комплексным числам — опять же, за пределами того, что вы должны знать в GMAT).

Наконец, приведенное выше может показаться простым, и если A, B, P и Q — это просто отдельные числа, тогда эти уравнения в значительной степени просты. Все становится намного интереснее, если некоторые или все эти буквы не являются отдельными числами, а являются алгебраическими выражениями. Даже с четырьмя различными алгебраическими выражениями все это по-прежнему верно для уравнений.

Добавление неравенств

С неравенством все усложняется.Во-первых, уравнение, такое как A = B, по своей природе симметрично и «двусторонне», но неравенство — это скорее односторонняя, однонаправленная вещь. При любой арифметике неравенств мы должны учитывать направление неравенства. Кроме того, уравнения очень интуитивно понятны, но некоторые арифметические операции с неравенствами совершенно не интуитивны.

Сложить неравенства — это не так уж плохо: вы можете добавить неравенства с тем же направлением неравенства. Таким образом, если A> B и P> Q, то должно быть верно, что A + P> B + Q.Это всегда работает, и во многих отношениях это именно то, чего вы ожидаете.

Вычитание неравенств

Это тот, который намного сложнее. Если A> B и P> Q, то наивно можно было бы ожидать, что (A — P) будет больше, чем (B — Q), но это не обязательно так. Например, предположим, что у нас есть 10> 5 и 2> 1 — тогда мы могли бы вычесть их в том же направлении неравенства, и мы получили бы 8> 4, что все еще работает. НО, предположим, что 10> 5 и 100> 1, оба истинны — теперь, если мы вычитаем в том же направлении неравенства, мы обнаруживаем, что (–90) это , а не больше 4.Если мы вычтем два неравенства в том же направлении, что и неравенство, мы можем получить еще одно истинное утверждение, но у нас нет гарантии, что это приведет к истинным утверждениям, поэтому это очень неразумный шаг в решении проблем.

Вот настоящая проблема: мы не можем вычесть неравенства с тем же направлением неравенства , но мы МОЖЕМ вычесть неравенства с противоположным направлением неравенства — другими словами, если A> B и P> Q , то должно быть верно, что (A — Q)> (B — P).Это может озадачить символически, поэтому подумайте об этом в терминах реального мира. Предположим, у Энн больше денег, чем у Боба. Предположим, я беру меньше от более богатого человека, Энн, и больше от более бедного, Боба. Когда я закончу, у Энн останется больше, чем у Боба — на самом деле, разница будет больше, чем существовало между ними раньше!

Умножение и деление

Все становится намного сложнее с умножением или разделением неравенств, если учесть — одна или обе стороны могут быть отрицательными.Хммм. Если мы умножаем или делим обе стороны неравенства на одно отрицательное число, это совершенно законно, но мы должны помнить, что нужно изменить направление неравенства. Что произойдет, если мы умножим или разделим неравенство и негативное отношение? Например, если мы знаем, что x> –6 и y> –7, то что мы можем сказать о произведении xy? Оказывается, мы могли бы выбрать x и y, которые удовлетворяли бы исходным неравенствам и сделать произведение xy равным абсолютно любому числу на числовой прямой.Эта ошеломляющая часть математики просто демонстрирует, почему GMAT не касается умножения или деления общих неравенств с помощью десятифутового шеста!

Давайте, однако, сосредоточимся на особом случае, который может появиться на экзамене GMAT еще в самом начале. Предположим, мы знаем, что все четыре числа или выражения являются положительными : A> B> 0 и P> Q> 0. Затем, как и в случае сложения, мы можем умножать неравенства в одном направлении: A * P> B * Q должно быть правда. И, как и в случае с вычитанием, мы можем разделить неравенства в обратном направлении: A / Q> B / P.Опять же, помните, что все должно быть положительным, чтобы эти шаблоны работали. Если что-то может быть отрицательным, все становится намного сложнее, настолько сложным, что GMAT не спрашивает о них.

Абсолютные неравенства

Абсолютное неравенство ценностей — обширная тема с некоторыми умопомрачительными изгибами и поворотами, но шансы велики, что GMAT не собирается так глубоко исследовать эту тему. Фактически, вероятно, большинство неравенств по абсолютным значениям в GMAT будут иметь форму: | x — p |, где p — некоторое заданное фиксированное число.

Здесь мы должны помнить несколько ключевых математических фактов. Прежде всего, вычитание дает нам расстояние на числовой прямой. Технически вычитание дает расстояние со знаком . Что я имею в виду? Ну, 5 — 2 = +3, что означает, что это знаковое расстояние положительного числа 3, то есть на три единицы вправо, от 2 до 5; для сравнения, 2-5 = –3, что указывает на то, что это знаковое расстояние, равное отрицательному 3, то есть на три единицы слева, от 5 до 2.

Для обычного расстояния, расстояния в геометрическом смысле этого слова, нас не волнует знак или направление — расстояние между двумя точками — это просто положительное число и одинаково, будь то от A до B или от B до A.Вот где появляется абсолютное значение. Выражение | p — q | — это расстояние между числами p и q на числовой прямой . Это ОГРОМНАЯ идея.

Таким образом, | x — 5 | — расстояние между переменной точкой x и фиксированной точкой 5. Выражение | x — 5 | <2 обозначает набор всех точек x, расстояние от которых до точки 5 меньше двух. Сразу же, просто подумав об этой логике и без дальнейших вычислений, мы увидим, что | x - 5 | <2 полностью эквивалентно 3

Сводка

Если вы прочитали эту статью, я рекомендую вам еще раз взглянуть на практические вопросы вверху, прежде чем читать решения ниже.Вот аналогичный вопрос изнутри Magoosh.

5) http://gmat.magoosh.com/questions/960

Если у вас есть что добавить или какие-либо вопросы, пожалуйста, дайте нам знать в разделе комментариев ниже.

Решения практических задач

1) В этой задаче заманчивым неправильным ответом будет (A) , или каким-то образом будет достаточно утверждения №1, но это не так. Это приводит к идее, обсуждаемой в этом блоге — мы не можем вычесть неравенства с тем же направлением неравенства, но мы можем вычесть неравенства с противоположным направлением неравенства.

Утверждение №1: Таким образом, быстрое неравенство и неравенство этого утверждения будут верны для a + b = 15, c + d = 7, b = 6, d = 2

быстрое неравенство: 15> 7 — верно

утверждение # 1 неравенство: 6> 2 — верно

подскажите вопрос: 9> 5 — a> c, ответ «да»

Но оба неравенства все равно будут верны для a + b = 20, c + d = 18, b = 15, d = 3

быстрое неравенство: 20> 18 — верно

утверждение # 1 неравенство: 15> 3 — верно

подсказка: 5 <15 - a

Мы можем делать разные выборы в соответствии со всеми данными утверждениями, которые дадут ответ «да» или «нет» на вопрос.Это означает, что с учетом этого утверждения мы не можем дать однозначный окончательный ответ на вопрос. Это утверждение само по себе недостаточно .

Утверждение № 2: Здесь нам разрешено законно вычитать неравенства, потому что направления неравенства находятся в противоположном порядке. Когда мы вычитаем (b c + d), мы получаем a> c, окончательный ответ «да».

Другой способ думать об этом: (a + b) = БОЛЬШЕ и (c + d) = МЕНЬШЕ, поэтому, конечно, первое больше, чем второе.Теперь предположим, что b = крошечный, а d = больший, поэтому, конечно, b

(i) a = (a + b) — b = БОЛЬШЕ — крошечный

(ii) c = (c + d) — d = МЕНЬШЕ — больше

Очевидно, что если начать с чего-то БОЛЬШЕ, и вычесть что-то крошечное, результат будет больше, чем если начать с чего-то МЕНЬШЕГО и вычесть что-то большее. Следовательно, a> c, однозначный ответ на наводящий вопрос.

Это утверждение позволяет нам дать окончательный ответ «да» на подсказку, так что этого утверждения, само по себе, достаточно .

Ответ = B

2) Утверждение №1: если p = 2 и q = 1, то уравнение этого утверждения истинно, 4> 1 и p> q, поэтому ответ на запрос — «да».

Но, если p = –2 и q = –1, то все еще верно, что квадрат p больше квадрата q, 4> 1, но теперь верно, что p

Мы можем делать разные выборы в соответствии со всеми данными утверждениями, которые дадут ответ «да» или «нет» на вопрос.Это означает, что с учетом этого утверждения мы не можем дать однозначный окончательный ответ на вопрос. Это утверждение само по себе недостаточно .

Утверждение № 2: если p = 2 и q = 1, то уравнение этого утверждения истинно, 8> 1 и p> q, поэтому ответ на запрос — «да».

Переход на негатив не имеет значения, потому что куб негатив все еще отрицательный. Значения p = –2 и q = –3 удовлетворяют неравенству утверждения, и по-прежнему верно, что p> q

А как насчет дробей? Если p = 1/2 и q = 1/3, то p в кубе по-прежнему больше, чем в кубе q, (1/8)> (1/27), а p по-прежнему больше q.Независимо от того, какие числа мы выберем, неравенство в утверждении № 2 прямо подразумевает быстрое неравенство. Математический способ сказать это: кубирование или извлечение кубического корня сохраняет порядок любого неравенства.

Это утверждение дает нам окончательный ответ «да» на вопрос, поэтому этого утверждения, само по себе, достаточно .

Ответ = B

3) Подумайте о дистанционной интерпретации неравенства абсолютных значений.Мы хотим знать: находится ли x дальше, чем на две единицы от 6 на числовой прямой?

Утверждение №1: значения x, разрешенные этим утверждением, — это x, которые больше трех единиц от 4. Вот изображение этих значений, выделенное зеленым цветом:

Обратите внимание, конечные точки 1 и 7 не допускаются, потому что они ровно на три единицы из 4, и ровно 3 не больше 3. Большинство из этих точек находятся дальше двух от точки 6, но некоторые, например точка 7 ближе двух единиц к шести.Таким образом, учитывая это ограничение, мы могли бы найти много точек, которые дают ответ «да» на подсказку, но некоторые, которые дают ответ «нет». Разные варианты дают разные ответы. Это означает, что с учетом этого утверждения мы не можем дать однозначный окончательный ответ на вопрос. Это утверждение само по себе недостаточно .

Утверждение № 2: значения x, разрешенные этим утверждением, — это x, которые больше одной единицы из 8. Вот изображение этих значений, выделенное зеленым:

Опять же, обратите внимание, что конечные точки не включены.Многие из этих точек удалены от точки 6 более чем на два, но некоторые, например, точка 7, ближе, чем на две единицы к шести. Фактически, сама точка 6, которая находится на расстоянии 0 единиц от 6, допускается этим утверждением! Таким образом, учитывая это ограничение, мы могли бы найти много точек, которые дают ответ «да» на подсказку, но некоторые, которые дают ответ «нет». Разные варианты дают разные ответы. Это означает, что с учетом этого утверждения мы не можем дать однозначный окончательный ответ на вопрос.Это утверждение само по себе недостаточно .

Комбинированные операторы: Теперь мы объединяем ограничения отдельных операторов. Теперь допустимые точки должны быть больше трех единиц из 4 и более одной единицы из 8. Зеленым цветом показаны точки, которые одновременно удовлетворяют обоим ограничениям:

Теперь все зеленые точки отстоят более чем на две единицы от 6, и совершенно невозможно выбрать значение x, которое одновременно удовлетворяет ограничениям обоих операторов и ближе чем на две единицы к 6.Комбинированные утверждения позволяют дать однозначный ответ «да» на запрос. Вместе заявлений достаточно .

Ответ = C

4) Утверждение №1: это раскрывает фундаментальный смысл неравенства. Если y на единицу больше x, он должен быть больше x. Прибавить единицу к числу означает переместить его на одну единицу вправо по числовой строке, поэтому y должно быть на одну единицу правее x, что означает, что оно больше x. Это позволяет определить однозначное «да» на напрашиваемый вопрос.Одного этого утверждения достаточно .

Утверждение № 2: Есть несколько способов подумать об этом. Один из них — рассматривать разные категории чисел.

(i) если x отрицательно, то возведением в квадрат y будет положительным, а y> x.

(ii) если x = 0, y = 1 и y> x

(iii) если x является дробью от 0 до 1, то его квадрат также будет между 0 и 1, и добавление единицы к нему даст число больше 1, от 1 до 2.2) +1 — это тот же сдвиг параболы вверх на единицу в направлении y, проходящий через (0, 1) вместо начала координат. Теперь сравните эту смещенную параболу с линией y = x. Одно из особых свойств прямой y = x состоит в том, что все точки над этой линией, независимо от квадранта, обладают свойством y> x. Подумайте о графике:

Парабола всегда находится выше линии y = x, поэтому каждая точка параболы должна удовлетворять условию y> x.

В любом случае, это позволяет нам однозначно определить «да» на вопрос.Одного этого утверждения достаточно .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *