Геометрические фигуры ◼️ виды с названиями, определение и обозначение, основные свойства, интересные факты о простых и сложных фигурах

Общая характеристика

Предметы в геометрическом изображении состоят из отдельных частей: точек, линий, лучей, отрезков и вершин. Отдельно взятый предмет имеет свое предназначение.

Основные понятия о составляющих

Когда все точки фигуры принадлежат одной плоскости, она является плоской. К ней относятся отрезок, прямоугольник. Существуют геометрические объекты, не являющиеся разновидностью плоскости, — куб, шар, пирамида, призма.

Минимальным объектом геометрии является точка. Определение того, какой она должна быть известно из школьного математического курса. Учебник характеризует ее как объект, не имеющий измерительных особенностей. Точка (Т) не содержит стандартных свойств: высоты, длины, радиуса, важным является только ее расположение. Обозначается числом или большой заглавной буквой. Например, точка называется D, E, F или 1, 2, 3. Несколько точек бывают отмечены разными цветами или буквами для удобного различия.

Линия состоит из множества точек. Измеряется длина этого составляющего объекта и обозначается маленькими буквами (abc).

Виды линий:

• Замкнутая. Когда в одной точке расположена начальная и конечная часть направления. Из незамкнутой линии получают обратный вариант.
• Разомкнутая. Начало и окончание не соединяются.
• Прямая. Обозначается буквой а или b.
• Ломаная. Заключается в соединенных отрезках не под углом 180 градусов. Линия обозначается перечислением всех вершин.
• Кривая.Отличная от прямой линии.

Задания из школьной программы кажутся школьникам скучными, неинтересным, но эти азы являются основой составления фигур простых и более сложных.

Существуют подвиды прямой линии: пересекающиеся, содержащие общую точку и когда две прямые линии соединяются в одной точке.

Луч в математике представляет часть прямой, имеющей начальную точку, но не имеющую конец. Это продолжение в одну сторону. Если Т разделяет линию пополам — получается два луча. Лучевые линии совпадают, когда расположены на одной прямой, начинаются в точке или направляются в одну сторону.

Отрезок представляет составную часть прямой, ограниченной двумя точками — она имеет начало и конец, поэтому измеряется. Длина отрезка представляет расстояние между его первой и последней точками. Через одну Т проводится бесконечное число линий, а через две — кривые и только одна прямая.

Стандартные объекты

К основным фигурам геометрии на плоскости относятся прямоугольник, треугольник, квадрат, многоугольник и круг. Прямоугольник выглядит как фигура, состоящая из четырех сторон и четырех прямых углов (ПУ). Противоположные стороны равны между собой. В математике прямоугольник обозначается четырьмя латинским заглавными буквами. Все ПУ расположены под 90 градусов. Прямоугольник с равными, одинаковыми сторонами называется квадратом.

Фигура, имеющая 3 стороны и столько же углов (вершин), называется треугольником. Существует классификация этой фигуры по типу У.

Виды треугольника в зависимости от угла (У):

• Прямой. Один У будет прямым, два — менее 90 градусов.
• Острый. Градусная мера больше 0, но меньше 90 гр.
• Тупой. Один У тупой, два других будут острыми.

Геометрическая фигура с углами разной формы называется многоугольником. Его вершины представлены точками, соединяющими отрезками.

Радиус круга — промежуток от середины окружности до любой ее точки. Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки окружности, проходящий через ее середину.

Параллелепипед — это призма, у которой основанием является параллелограмм. Когда все ребра параллелепипеда равны, получается куб.

Многогранная фигура, у которой одна грань является многоугольником, а остальные грани (боковые) — треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.

Семиугольник (гептагон) — это многоугольник с 7 углами. Многоугольник представляет замкнутую ломанную линию.

Основные фигуры перечислены, но геометрия включает еще сложные объекты, использующиеся в различных областях жизни.

Сложные модели

В сложной геометрии выделяют фигуры с пространственным, плоским и объемным наполнением. Существует понятие геометрического тела, 3D-моделирование и проекция.

Определение тела и пространства

Геометрическое тело (ГТ) представляет часть пространства, отделенное замкнутой поверхностью наружной границы. Это понятие относится к компактному множеству точек, а две из них соединяют отрезком, проходящим внутри границы тела. Внешняя граница ГТ является его гранью, которых может быть несколько. Множество плоских граней определяет вершины и ребра ГТ. Все геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения.

Тела вращения — объемные тела, образующиеся из-за вращения плоской фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси. Эта ось расположена в той же плоскости. При вращении контуров фигур вокруг собственной оси возникает поверхность вращения, а если вращать заполненные контуры — возникают объекты (шар).

Шар представляет множество точек, расположенных от данной точки на небольшом пространстве. Точка является центром шара, а расстояние ограничено радиусом.

В сферу геометрии входят плоские (двухмерные) и объемные пространственные фигуры (трехмерные).

Плоские фигуры представляют точка, круг, полукруг, окружность, овал, прямоугольник, квадрат, луч, ромб, трапеция.

Существуют двухмерные фигуры (2D), представленные углом, многоугольником, четырехугольником, окружностью, кругом, эллипсом и овалом. Объекты 3D выделены двугранным или многогранным углом. Среди них известны призма, параллелепипед, куб, антипризма, пирамида, тетраэдр икосаэдр, бипирамида, геоид, эллипсоид, сфера шар и другие. Плоские фигуры изучает планиметрия, а объемные — стереометрия.

Объемные фигуры:

• Шар.
• Конус.
• Параллелепипед.
• Цилиндр.
• Сфера.

Конус образуется из треугольника с прямыми углами, при вращении его вокруг одного из катетов. Тороид возникает из замкнутой плоскости (окружности), вращающейся вокруг прямой и не пересекающей ее. Многогранник называется полиэдр, представляет замкнутую поверхность, состоящую из многоугольников.

Виды многогранников:

• Тетраэдер (четырехгранник). Это правильный треугольник.
• Куб (гексаэдр). Грани являются квадратом.
• Октаэдр. Имеется шесть вершин и восемь граней.
• Икосаэдр. Равносторонние треугольники являются гранями. Имеется 12 граней и 12 вершин.
• Додекаэдр. Правильные шестиугольники, имеется 12 граней, 20 вершин.

В школьной программе имеются специальные разделы геометрии, позволяющие распределить знания и не путать их в будущем. Это касается плоских, объемных фигур — одни изучает стереометрия, другие планиметрия.

Познавательные игрушки детям

Геометрия является наукой, которой можно знакомить детей с раннего возраста. Лучше распечатать картинки, геометрические фигуры для детей, затем нарисовать их вместе на чистом листе. Малышу первого года подобное занятие будет не очень интересным и понятным, а у дошкольника вызовет интерес, особенно если объекты изучения будут разноцветными или в необычном исполнении.

Основной материал для обучения детей:

• Яркие карточки с основными фигурами, формами. Шаблоны будут наглядным пособием перед школой.
• Раскраски, прописи, рабочая тетрадь. На каждой странице тетради представлены простейшие графические упражнения и задания. Выполняя их, малыш познакомится с геометрией и узнает названия фигур.
• Специальная детская литература.

Увлекательные, забавные, задорные стихи «Веселая геометрия для малышей» помогут детям быстро познакомиться и усвоить много важной информации о фигурах и размерах предметов. Веселые стишки помогут юному читателю соотнести малопонятные геометрические знания с обыденными предметами обихода. Например, в женской юбке представлена трапеция, в блюдце— круг, а в трубе цилиндр.

Учить детей начинают с плоских фигурок, сделанных из цветной бумаги или фетра. Не нужно ограничивать ребенка в фантазии, ведь он различает фигуры по цветам и форме — треугольник, овал, круг, ромб, квадрат. Увлекательным будет занятие с использованием сортеров, пирамидок из различных геометрических объектов.

Ближе к дошкольному возрасту переходят на объемные фигуры, кубики, конусы, кольца и цилиндры. В школьном возрасте знания накопятся, и дети будут осознанно различать равнобедренный, равносторонний треугольник, три понятия: луч, отрезок, окружность.

Раздел математики геометрия изучает пространственные отношения и формы. Фигура как понятие, рассмотренное во всех учебниках геометрии, является пространственной формой.

Геометрию можно обнаружить везде — в любых окружающих предметах. Это современные здания, архитектурные строения, формы, космическая станция, интерьер квартиры, подводные лодки.

Математические знания являются профессионально важными для современных специальностей: дизайнеров и конструкторов, рабочих и ученых. Без знания основ геометрии невозможно построить здание или отремонтировать квартиру.

Картинки названия геометрических фигур (30 фото) • Прикольные картинки и позитив

Геометрические фигуры нужно знать для лучшего понимания предмета. Смотрите далее красивые картинки про названия геометрических фигур.
Прямоугольник, ромб, круг.
Параллелепипед, шар, конус.
Круг, квадрат, овал.
Сложные геометрические фигуры с названием.
Ломанная, многоугольник, отрезок.
Конус, цилиндр, сфера.
Картинка про название геометрических фигур.
Полукруг, треугольник, трапеция.
Квадраты, круги, овалы.
Разные фигуры из геометрии.
Параллелограмм, восьмиугольник.
Квадрат, шестиугольник, семиугольник.
Звезда, призма, сфера.
Предметная картинка про геометрические фигуры.
Большой красный конус.
Оранжевый ромб.
Синий куб.
Название геометрических фигур
Геометрические тела.
Разные пирамиды.
Простая картинка названия геометрических фигур.
Фиолетовый ромб.
Красивый конус.
Овал, трапеция, ромб.
Много фигур из учебника геометрии.
Куб, сфера.

Сердце, звезда, овал.
Геометрические фигуры и их названия.

Геометрические фигуры — виды с названиями и основные свойства

Скопление точек и линий на плоскости образует геометрические фигуры. Их названия зависят от свойств и особенностей. Фигура ограничена линиями и это условие влияет на многообразие форм. Каждый предмет индивидуален, имеет свои предназначения и задачи. Существуют простые и сложные фигуры, различающиеся личными параметрами.

Общая характеристика

Предметы в геометрическом изображении состоят из отдельных частей: точек, линий, лучей, отрезков и вершин. Отдельно взятый предмет имеет свое предназначение.

Основные понятия о составляющих

Когда все точки фигуры принадлежат одной плоскости, она является плоской. К ней относятся отрезок, прямоугольник. Существуют геометрические объекты, не являющиеся разновидностью плоскости, — куб, шар, пирамида, призма.

Минимальным объектом геометрии является точка. Определение того, какой она должна быть известно из школьного математического курса. Учебник характеризует ее как объект, не имеющий измерительных особенностей. Точка (Т) не содержит стандартных свойств: высоты, длины, радиуса, важным является только ее расположение. Обозначается числом или большой заглавной буквой. Например, точка называется D, E, F или 1, 2, 3. Несколько точек бывают отмечены разными цветами или буквами для удобного различия.

Линия состоит из множества точек. Измеряется длина этого составляющего объекта и обозначается маленькими буквами (abc).

Виды линий:

• Замкнутая. Когда в одной точке расположена начальная и конечная часть направления. Из незамкнутой линии получают обратный вариант.
• Разомкнутая. Начало и окончание не соединяются.
• Прямая. Обозначается буквой а или b.
• Ломаная. Заключается в соединенных отрезках не под углом 180 градусов. Линия обозначается перечислением всех вершин.
• Кривая.Отличная от прямой линии.

Задания из школьной программы кажутся школьникам скучными, неинтересным, но эти азы являются основой составления фигур простых и более сложных.

Существуют подвиды прямой линии: пересекающиеся, содержащие общую точку и когда две прямые линии соединяются в одной точке.

Луч в математике представляет часть прямой, имеющей начальную точку, но не имеющую конец. Это продолжение в одну сторону. Если Т разделяет линию пополам — получается два луча. Лучевые линии совпадают, когда расположены на одной прямой, начинаются в точке или направляются в одну сторону.

Отрезок представляет составную часть прямой, ограниченной двумя точками — она имеет начало и конец, поэтому измеряется. Длина отрезка представляет расстояние между его первой и последней точками. Через одну Т проводится бесконечное число линий, а через две — кривые и только одна прямая.

Стандартные объекты

К основным фигурам геометрии на плоскости относятся прямоугольник, треугольник, квадрат, многоугольник и круг. Прямоугольник выглядит как фигура, состоящая из четырех сторон и четырех прямых углов (ПУ). Противоположные стороны равны между собой. В математике прямоугольник обозначается четырьмя латинским заглавными буквами. Все ПУ расположены под 90 градусов. Прямоугольник с равными, одинаковыми сторонами называется квадратом.

Фигура, имеющая 3 стороны и столько же углов (вершин), называется треугольником. Существует классификация этой фигуры по типу У.

Виды треугольника в зависимости от угла (У):

• Прямой. Один У будет прямым, два — менее 90 градусов.
• Острый. Градусная мера больше 0, но меньше 90 гр.
• Тупой. Один У тупой, два других будут острыми.

Геометрическая фигура с углами разной формы называется многоугольником. Его вершины представлены точками, соединяющими отрезками.

Радиус круга — промежуток от середины окружности до любой ее точки. Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки окружности, проходящий через ее середину.

Параллелепипед — это призма, у которой основанием является параллелограмм. Когда все ребра параллелепипеда равны, получается куб.

Многогранная фигура, у которой одна грань является многоугольником, а остальные грани (боковые) — треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.

Семиугольник (гептагон) — это многоугольник с 7 углами. Многоугольник представляет замкнутую ломанную линию.

Основные фигуры перечислены, но геометрия включает еще сложные объекты, использующиеся в различных областях жизни.

Сложные модели

В сложной геометрии выделяют фигуры с пространственным, плоским и объемным наполнением. Существует понятие геометрического тела, 3D-моделирование и проекция.

Определение тела и пространства

Геометрическое тело (ГТ) представляет часть пространства, отделенное замкнутой поверхностью наружной границы. Это понятие относится к компактному множеству точек, а две из них соединяют отрезком, проходящим внутри границы тела. Внешняя граница ГТ является его гранью, которых может быть несколько. Множество плоских граней определяет вершины и ребра ГТ. Все геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения.

Тела вращения — объемные тела, образующиеся из-за вращения плоской фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси. Эта ось расположена в той же плоскости. При вращении контуров фигур вокруг собственной оси возникает поверхность вращения, а если вращать заполненные контуры — возникают объекты (шар).

Шар представляет множество точек, расположенных от данной точки на небольшом пространстве. Точка является центром шара, а расстояние ограничено радиусом.

В сферу геометрии входят плоские (двухмерные) и объемные пространственные фигуры (трехмерные).

Плоские фигуры представляют точка, круг, полукруг, окружность, овал, прямоугольник, квадрат, луч, ромб, трапеция.

Существуют двухмерные фигуры (2D), представленные углом, многоугольником, четырехугольником, окружностью, кругом, эллипсом и овалом. Объекты 3D выделены двугранным или многогранным углом. Среди них известны призма, параллелепипед, куб, антипризма, пирамида, тетраэдр икосаэдр, бипирамида, геоид, эллипсоид, сфера шар и другие. Плоские фигуры изучает планиметрия, а объемные — стереометрия.

Объемные фигуры:

• Шар.
• Конус.
• Параллелепипед.
• Цилиндр.
• Сфера.

Конус образуется из треугольника с прямыми углами, при вращении его вокруг одного из катетов. Тороид возникает из замкнутой плоскости (окружности), вращающейся вокруг прямой и не пересекающей ее. Многогранник называется полиэдр, представляет замкнутую поверхность, состоящую из многоугольников.

Виды многогранников:

• Тетраэдер (четырехгранник). Это правильный треугольник.
• Куб (гексаэдр). Грани являются квадратом.
• Октаэдр. Имеется шесть вершин и восемь граней.
• Икосаэдр. Равносторонние треугольники являются гранями. Имеется 12 граней и 12 вершин.
• Додекаэдр. Правильные шестиугольники, имеется 12 граней, 20 вершин.

В школьной программе имеются специальные разделы геометрии, позволяющие распределить знания и не путать их в будущем. Это касается плоских, объемных фигур — одни изучает стереометрия, другие планиметрия.

Познавательные игрушки детям

Геометрия является наукой, которой можно знакомить детей с раннего возраста. Лучше распечатать картинки, геометрические фигуры для детей, затем нарисовать их вместе на чистом листе. Малышу первого года подобное занятие будет не очень интересным и понятным, а у дошкольника вызовет интерес, особенно если объекты изучения будут разноцветными или в необычном исполнении.

Основной материал для обучения детей:

• Яркие карточки с основными фигурами, формами. Шаблоны будут наглядным пособием перед школой.
• Раскраски, прописи, рабочая тетрадь. На каждой странице тетради представлены простейшие графические упражнения и задания. Выполняя их, малыш познакомится с геометрией и узнает названия фигур.
• Специальная детская литература.

Увлекательные, забавные, задорные стихи «Веселая геометрия для малышей» помогут детям быстро познакомиться и усвоить много важной информации о фигурах и размерах предметов. Веселые стишки помогут юному читателю соотнести малопонятные геометрические знания с обыденными предметами обихода. Например, в женской юбке представлена трапеция, в блюдце— круг, а в трубе цилиндр.

Учить детей начинают с плоских фигурок, сделанных из цветной бумаги или фетра. Не нужно ограничивать ребенка в фантазии, ведь он различает фигуры по цветам и форме — треугольник, овал, круг, ромб, квадрат. Увлекательным будет занятие с использованием сортеров, пирамидок из различных геометрических объектов.

Ближе к дошкольному возрасту переходят на объемные фигуры, кубики, конусы, кольца и цилиндры. В школьном возрасте знания накопятся, и дети будут осознанно различать равнобедренный, равносторонний треугольник, три понятия: луч, отрезок, окружность.

Раздел математики геометрия изучает пространственные отношения и формы. Фигура как понятие, рассмотренное во всех учебниках геометрии, является пространственной формой.

Геометрию можно обнаружить везде — в любых окружающих предметах. Это современные здания, архитектурные строения, формы, космическая станция, интерьер квартиры, подводные лодки.

Математические знания являются профессионально важными для современных специальностей: дизайнеров и конструкторов, рабочих и ученых. Без знания основ геометрии невозможно построить здание или отремонтировать квартиру.

Предыдущая

ГеометрияАрктангенс- определение, свойства и формулы

Следующая

ГеометрияОстроугольный треугольник — виды, свойства и признаки

шар, куб, пирамида, призма, тетраэдр

Геометрические объемные фигуры — это твердые тела, которые занимают ненулевой объем в евклидовом (трехмерном) пространстве. Эти фигуры изучает раздел математики, который носит название «пространственная геометрия». Знания о свойствах объемных фигур применяются в инженерии и в науках о природе. Рассмотрим в статье вопрос, геометрические объемные фигуры и их названия.

Геометрические объемные тела

Поскольку эти тела имеют конечную размерность в трех пространственных направлениях, то для их описания в геометрии используют систему из трех координатных осей. Эти оси обладают следующими свойствами:

1. Они ортогональны друг другу, то есть перпендикулярны.
2. Эти оси нормализированы, то есть базисные вектора каждой оси имеют одинаковую длину.
3. Любая из осей координат — это результат векторного произведения двух других.

Говоря о геометрических объемных фигурах и их названиях, следует отметить, что все они принадлежат к одному из 2-х больших классов:

1. Класс полиэдров. Эти фигуры, исходя из названия класса, имеют прямые ребра и плоские грани. Грань — это плоскость, которая ограничивает фигуру. Место соединения двух граней называется ребром, а точка соединения трех граней — это вершина. К полиэдрам относятся геометрическая фигура куб, тетраэдры, призмы, пирамиды. Для этих фигур справедлива теорема Эйлера, которая устанавливает связь между числом сторон (С), ребер (Р) и вершин (В) для каждого полиэдра. Математически эта теорема записывается так: С + В = Р + 2.
2. Класс круглых тел или тел вращения. Эти фигуры имеют хотя бы одну поверхность, образующую их, изогнутой формы. Например, шар, конус, цилиндр, тор.

Что касается свойств объемных фигур, то следует выделить два самых важных из них:

1. Наличие определенного объема, который фигура занимает в пространстве.
2. Наличие у каждой объемной фигуры площади поверхности.

Оба свойства для каждой фигуры описываются конкретными математическими формулами.

Рассмотрим ниже самые простые геометрические объемные фигуры и их названия: куб, пирамиду, призму, тетраэдр и шар.

Фигура куб: описание

Под геометрической фигурой куб понимают объемное тело, которое образовано 6-тью квадратными плоскостями или поверхностями. Также эту фигуру называют правильный гексаэдр, поскольку она имеет 6 сторон, или прямоугольный параллелепипед, так как он состоит из 3-х пар параллельных сторон, которые взаимно перпендикулярны друг другу. Называют куб и прямоугольной призмой, у которой основание является квадратом, а высота равна стороне основания.

Поскольку куб является многогранником или полиэдром, то для него можно применить теорему Эйлера, чтобы определить число его ребер. Зная, что число сторон равно 6, а вершин у куба 8, число ребер равно: Р = С + В — 2 = 6 + 8 — 2 = 12.

Если обозначить буквой «a» длину стороны куба, тогда формулы для его объема и площади поверхности будут иметь вид: V = a³ и S = 6*a², соответственно.

Фигура пирамида

Пирамида — это полиэдр, который состоит из простого многогранника (основание пирамиды) и треугольников, которые соединяются с основанием и имеют одну общую вершину (вершина пирамиды). Треугольники называются боковыми гранями пирамиды.

Геометрические характеристики пирамиды зависят от того, какой многоугольник лежит в ее основании, а также от того, является ли пирамида прямой или косой. Под прямой пирамидой понимают такую пирамиду, для которой перпендикулярная основанию прямая, проведенная через вершину пирамиды, пересекает основание в ее геометрическом центре.

Одной из простых пирамид является четырехугольная прямая пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной «a», высота этой пирамиды «h». Для этой фигуры пирамиды объем и площадь поверхности будут равны: V = a²*h/3 и S = 2*a*√(h²+a²/4) + a², соответственно. Применяя теорему Эйлера для нее, с учетом того, что число граней равно 5, и число вершин равно 5, получаем количество ребер: Р = 5 + 5 — 2 = 8.

Фигура тетраэдр: описание

Под геометрической фигурой тетраэдр понимают объемное тело, образованное 4-мя гранями. Исходя из свойств пространства, такие грани могут представлять только треугольники. Таким образом, тетраэдр является частным случаем пирамиды, у которой в основании лежит треугольник.

Если все 4-ре треугольника, образующие грани тетраэдра, являются равносторонними и равными между собой, то такой тетраэдр называется правильным. Этот тетраэдр имеет 4 грани и 4 вершины, число ребер составляет 4 + 4 — 2 = 6. Применяя стандартные формулы из плоской геометрии для рассматриваемой фигуры, получаем: V = a^3*√2/12 и S = √3*a², где a — длина стороны равностороннего треугольника.

Интересно отметить, что в природе некоторые молекулы имеют форму правильного тетраэдра. Например, молекула метана CH₄, в которой атомы водорода расположены в вершинах тетраэдра, и соединены с атомом углерода ковалентными химическими связями. Атом углерода находится в геометрическом центре тетраэдра.

Простая в изготовлении форма фигуры тетраэдр используется также в инженерии. Например, тетраэдрическую форму используют при изготовлении якорей для кораблей. Отметим, что космический зонд НАСА, Mars Pathfinder, который совершил посадку на поверхность Марса 4 июля 1997 года, также имел форму тетраэдра.

Фигура призма

Эту геометрическую фигуру можно получить, если взять два многогранника, расположить их параллельно друг другу в разных плоскостях пространства, и соединить их вершины соответствующим образом между собой. В итоге получится призма, два многогранника называются ее основаниями, а поверхности, соединяющие эти многогранники, будут иметь форму параллелограммов. Призма называется прямой, если ее боковые стороны (параллелограммы) являются прямоугольниками.

Призма — это полиэдр, поэтому для нее верна теорема Эйлера. Например, если в основании призмы лежит шестиугольник, тогда, количество сторон у призмы равно 8, а количество вершин — 12. Число ребер будет равно: Р = 8 + 12 — 2 = 18. Для прямой призмы высотой h, в основании которой лежит правильный шестиугольник со стороной a, объем равен: V = a²*h*√3/4, площадь поверхности равна: S = 3*a*(a*√3 + 2*h).

Фигура шар

Говоря о простых геометрических объемных фигурах и их названиях, следует упомянуть шар. Под объемным телом под названием шар понимают тело, которое ограничено сферой. В свою очередь, сфера — это совокупность точек пространства, равноудаленных от одной точки, которая называется центром сферы.

Поскольку шар относится к классу круглых тел, то для него не существует понятия о сторонах, ребрах и вершинах. Площадь поверхности сферы, ограничивающей шар, находится по формуле: S = 4*pi*r², а объем шара можно вычислить по формуле: V = 4*pi*r³/3, где pi — число пи (3,14), r — радиус сферы (шара).

Простейшие геометрические фигуры

Простейшие геометрические фигуры — это фигуры, из которых состоят сложные геометрические фигуры. Чтобы построить дом нам необходимы кирпичи. Также и для сложных фигур нам необходимы простейшие фигуры. К простейшим геометрическим фигурам относятся: точка, линия, луч, отрезок и ломаная линия.

Необходимо заметить, что мы изучаем геометрические фигуры, которые лежат на плоскости. Плоскость — это бесконечная поверхность. Представь, что на столе лежит лист бумаги. Плоскость — это бесконечный лист бумаги, на котором мы будем рисовать различные геометрические фигуры. Начнем изучать и рисовать.

Точка

Точка это самая простая фигура. Точка очень важная фигура, так как она используется для построения всех фигур. На рисунке мы нарисовали точки. Точки очень легко рисовать на бумаге. Возьми чистый лист бумаги и карандашом прикоснись к бумаге. Нарисуй несколько точек, например, как сделали мы на рисунке ниже. Точки обозначаются заглавными латинскими буквами. На своем рисунке обозначь точки заглавными буквами, например A, B, C, D, F.

Линия

Линия, также как и точка, является одним из фундаментальных понятий в математике. Существуют прямые и кривые линии. Прямая линия (или просто прямая) не имеет начала и конца — она бесконечна. Изобразить всю прямую и измерить ее невозможно. Кривая линия отличается от прямой тем, что она кривая по форме. Ее можно назвать границей более сложных геометрических фигур. Давай на рисунке, где ты нарисовал точки, проведем прямую красную линию через точки А и В, а кривую линию зеленым через точки D и F. Линии обозначаются маленькими латинскими буквам — на рисунке обозначим латинскими буквами a и b.

Луч или полупрямая

Луч — это часть линии, которая имеет начал, но не имеет конца. Луч направлен из точки в бесконечность. Луч также называют полупрямой. В начале луча находится точка — начало луча или начальная точка полупрямой.  Давай на рисунке нарисуем синий луч от точки C, который пройдет через точку B, и светло синий луч от точки C к точке D. Луч обозначается двумя большими латинскими символами, где первый символ — это точка начало луча, а вторая точка — это произвольная точка на линии.  У луча есть направление. Если мы на прямой линии поставим точку, то у нас получится два луча, направленных в разные стороны. На рисунке мы нарисовали 2 луча CB и CD и указали направление в виде маленьких стрелок. 

Отрезок

Отрезок — это часть прямой линии, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка. Точки на линии, между концами отрезка, называются внутренними точками. Отрезок мы можем измерить, так как он ограничен двумя точками. Отрезок, концами которого являются точки G и H, обозначается GH или HG. У отрезка есть направление как у луча. Например на рисунке отрезки GH и HG одинаковые, но имеют разное направление. GH направлен в вправо, а HG направлен в противоположную сторону, влево.

Найди на рисунке все отрезки, кроме GH и HG

• AB и BA;
• DB и BD;
• DC и CD;
• CB и BC.

Ломаная

Ломаная линия — это несколько отрезков, которые последовательно соединены друг другом и точки соседних отрезков не лежат на одной прямой. Точка конца отрезка, является точкой начала нового отрезка. Все точки в ломаной линии называются вершинами. Если начальная точка первого отрезка совпадает с конечной точкой последнего отрезка, то такая ломаная называется замкнутой. Ломаная линия обозначается заглавными латинскими буквами: перечень всех точек-вершин в ломаной по порядку, например, ABCDFG. На рисунке мы нарисовали две ломаные красным и синим цветом. Синяя ломаная — замкнутая, так как первая и последняя вершины совпадают.

19Понятие геометрической фигуры. Виды геометрических фигур.

Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек.

Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости она называется плоской. Например, отрезок, прямоугольник – это плоские фигуры. Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.

Так как понятие геометрической фигуры определено через понятие множество, то можно говорить о том, что одна фигура включена в другую (или содержится в другой), можно рассматривать объединение, пересечение и разность фигур.

Точка – неопределяемое понятие. С точкой обычно знакомят, рисуя ее или прокалывая стержнем ручки в листочке бумаги. Считается, что точка не имеет ни длины, ни ширины, ни площади.

Линия – неопределяемое понятие. С линией знакомят, моделируя ее из шнура или рисуя на доске, на листе бумаги. Основное свойство прямой линии: прямая линия бесконечна. Кривые линии могут быть замкнутыми и незамкнутыми.

Луч – это часть прямой, ограниченная с одной стороны.

Отрезок – часть прямой, заключенная между двумя точками – концами отрезка.

Ломаная – линия из отрезков, соединенных последовательно под углом друг к другу. Звено ломаной – отрезок. Точки соединения звеньев называют вершинами ломаной.

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – его вершиной. Угол обозначают по-разному: указывают либо его вершину, либо его стороны, либо три точки: вершину и две точки на сторонах угла.

Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой. Угол, составляющий половину развернутого угла, называется прямым. Угол, меньший прямого, называется острым. Угол, больший прямого, но меньше развернутого, называется тупым.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

Треугольник – одна из простейших геометрических фигур. Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков. В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии.

Остроугольным называется треугольник, все углы которого острые. Прямоугольным – треугольник, который имеет прямой угол. Треугольник, который имеет тупой угол, называется тупоугольным. Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием треугольника.

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки – сторонами.

Диагональю называется отрезок, соединяющий противоположные вершины многоугольника.

Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Многоугольником называется простая замкнутая ломаная, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а ее звенья – его сторонами. Отрезки, соединяющие не соседние, называются диагоналями.

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, которая называется центром. Но поскольку в начальных классах не дается это классическое определение, знакомство с окружностью проводят методом показа, связывая его с непосредственной практической деятельностью по вычерчиванию окружности с помощью циркуля. Расстояние от точек до ее центра называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.

Круг-часть плоскости, ограниченная окружностью.

Параллелепипед – призма, у которой основание – параллелограмм.

Куб – это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны.

Пирамида – многогранник, у которого одна грань (ее называют основанием) – какой-нибудь многоугольник, а остальные грани (их называют боковыми) – треугольники с общей вершиной.

Цилиндр – геометрическое тело, образованное заключенными между двумя параллельными плоскостями отрезками всех параллельных прямых, пересекающих круг в одной из плоскостей, и перпендикулярных плоскостям оснований. Конус – тело, образованное всеми отрезками, соединяющими данную точку – его вершину – с точками некоторого круга – основание конуса.

Шар – множество точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии не большем некоторого данного положительного расстояния. Данная точка – это центр шара, а данное расстояние – радиус.

Фигуры

В окружающем нас мире существует множество материальных предметов разных форм и размеров: жилые дома, детали машин, книги, украшения, игрушки и т. д. В геометрии вместо слова предмет говорят геометрическая фигура. Геометрическая фигура (или кратко: фигура) – это мысленный образ реального предмета, в котором сохраняются только форма и размеры, и только они принимаются во внимание. Геометрические фигуры разделяют на плоские и пространственные. В планиметрии рассматриваются только плоские фигуры. Плоской геометрической фигурой называется такая, все точки которой лежат на одной плоскости. Представление о такой фигуре даёт любой рисунок, сделанный на листе бумаги. Геометрические фигуры бывают весьма разнообразны, например, треугольник, квадрат, окружность и др. Часть любой геометрической фигуры (кроме точки), также является геометрической фигурой. Объединение нескольких геометрических фигур, тоже будет являться геометрической фигурой.

• Круг и окружность

  Круг — геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной заданной точки, называемой центром круга.

• Треугольник — многоугольник, образованный тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.

• Прямоугольный треугольник

  Треугольник называют прямоугольным, если у него есть прямой угол, который равен 90 градусов.

• Четырёхугольник

  Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

• Прямоугольник

  Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

• Квадрат — это правильный четырёхугольник. У него все стороны и углы равны между собой.

• Параллелограмм

  Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

• Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

• Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две стороны не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, две другие — боковыми сторонами.

• Правильный шестиугольник (гексагон) — многоугольник с шестью равными сторонами.

Шпаргалка по геометрии

Добро пожаловать в область шпаргалок по геометрии математических саламандр.

Здесь вы найдете ряд различных кратких справочных листов по геометрии, которые помогут вам ответить на ряд вопросов о геометрии.

Здесь вы найдете нашу онлайн-страницу поддержки геометрии о различных формулах геометрии, включая свойства углов, 2D и 3D форм, а также некоторые общие формулы, которые помогут вам определить площадь и объем.

Использование этих листов поможет вашему ребенку:

• идентифицируют 2d-формы и знают, какие особые свойства они имеют;
• идентифицирует ряд трехмерных форм и знает, сколько у них граней, ребер и вершин;
• знает общие формулы для 2-мерных фигур;
• знает формулы для расчета площадей и объемов поверхностей различных трехмерных форм.

Все шпаргалки по геометрии в этом разделе помогут вам ответить и узнать основные факты о геометрии.

Вот наша подборка кратких справочных листов по геометрии, которые помогут вам изучить факты о геометрии.

Каждая шпаргалка содержит факты и информацию об одном аспекте геометрии.

Большинство листов имеют как цветную, так и черно-белую версию.

Cheat Sheet 1 содержит следующую информацию об углах.

• виды углов: прямой, острый, тупой, рефлекторный;
• углов в треугольнике;
• углов в четырехугольнике;
• углов в точке;
• внутренних углов правильных многоугольников.

Существует версия этого листа для США и Великобритании из-за различий в некоторых формах.

Cheat Sheet 2 содержит следующую информацию о 2D-фигурах:

• виды и свойства треугольников;
• видов и свойств четырехугольников;
• свойств правильных многоугольников;

Cheat Sheet 3 содержит следующую информацию о трехмерных фигурах:

• видов 3d фигур;
• свойств трехмерных фигур: грани, ребра и вершины.

Обратите внимание, что есть некоторые разногласия по поводу определений и свойств трехмерных фигур.

Некоторые математики допускают искривление грани, а некоторые — нет.

Некоторые математики допускают изгиб кромки, а некоторые — нет.

Шпаргалка 4 содержит ряд формул о 2d-фигурах:

• углов в треугольнике;
• теорема Пифагора;
• основных законов тригонометрии;
• формул длины окружности и площади круга;
• формула длины дуги и площади сектора;
• формул площади ряда четырехугольников.

Шпаргалка 5 содержит ряд формул о трехмерных фигурах:

• Площадь поверхности ряда трехмерных форм;
• объем ряда 3d фигур.

Взгляните на еще несколько наших рабочих листов, похожих на эти.

Здесь вы найдете страницу поддержки, заполненную множеством геометрических формул.

На этой странице приведены формулы для:

• площади и объемы 2D и 3D форм
• внутренние углы полигонов
• Уголки двухмерных фигур
• формулы и теоремы треугольника

Эта страница станет полезным справочником для всех, кому нужна геометрическая формула.

Здесь вы найдете страницу поддержки, которая поможет вам понять некоторые из особенности треугольников, особенно прямоугольных.

Использование этой страницы поддержки поможет вам:

• разбираться в различных типах и свойствах треугольников;
• понять, как найти площадь треугольника;
• знать, использовать и применять теорему Пифагора.

Все бесплатные рабочие листы геометрии для печати в этом Раздел поддерживает тесты элементарной математики.

Здесь вы найдете список различных геометрических фигур.

К каждой форме прилагается небольшое изображение и описание свойств. форма имеет и как она соотносится с другими формами.

На этой странице представлены следующие формы:

• треугольники
• четырехугольники
• правильных многоугольников
• неправильные многоугольники
• серия 3d фигур

Все распечатываемые листы геометрии в этом разделе поддерживают Тесты по элементарной математике.

Здесь вы найдете наш ассортимент бесплатных сетей для трехмерных фигур.

Следующие печатные формы содержат сети распространенных трехмерных фигур. что ваш ребенок должен знать. Доступен каждый сетчатый лист как с язычками, так и без них для облегчения склеивания.

Использование этих листов поможет вашему ребенку:

• знать свойства различных 3D-форм;
• распознает разные 2D-формы внутри 3D-фигур;
• построить трехмерную фигуру из сетки;
• распознает 3D-формы в разных ориентациях и размерах;
• испытайте удовольствие и чудо создания трехмерной формы из сети.

Саламандры-математики надеются, что вам понравятся эти бесплатные распечатываемые рабочие листы по математике. и все другие наши математические игры и ресурсы.

Мы приветствуем любые комментарии о нашем сайте или рабочие листы в поле комментариев Facebook внизу каждой страницы.

.

Введение в геометрию | SkillsYouNeed

Когда вы начинаете изучать геометрию, важно знать и понимать некоторые основные концепции.

Эта страница поможет вам понять концепцию размеров в геометрии и понять, работаете ли вы в одном, двух или трех измерениях.

Он также объясняет некоторые основные термины и указывает вам на другие страницы для получения дополнительной информации.

На этой странице представлены точки, линии и плоскости.

На других страницах этой серии рассказывается об углах и формах, включая многоугольники, круги и другие изогнутые формы, а также трехмерные формы.

Что такое геометрия?

---

Геометрия , н. та часть математики, которая рассматривает свойства точек, линий, поверхностей и твердых тел…

---

Chambers English Dictionary, издание 1989 г.

Геометрия происходит от греческого слова «измерение земли» и представляет собой визуальное изучение форм, размеров и узоров, а также того, как они сочетаются друг с другом в пространстве.Вы обнаружите, что наши страницы геометрии содержат множество диаграмм, которые помогут вам понять предмет.

Когда вы столкнулись с проблемой, связанной с геометрией, может быть очень полезно нарисовать диаграмму самостоятельно.

---

Работа в разных размерах

Нет, не континуум пространства-времени! Мы говорим о фигурах в одном, двух и трех измерениях.

То есть объекты, имеющие длину (одно измерение), длину и ширину (два измерения) и длину, ширину и глубину или высоту (три измерения).

очков: особый случай: без размеров

точка — это отдельная точка в пространстве. Он часто представлен точкой на странице, но на самом деле не имеет реального размера или формы.

Вы не можете описать точку с точки зрения длины, ширины или высоты, поэтому она является безразмерной . Однако точка может быть описана координатами. Координаты не определяют ничего о точке, кроме ее положения в пространстве по отношению к контрольной точке с известными координатами.Вы встретите координаты точек во многих приложениях, например, когда вы рисуете графики или читаете карты.

Практически все в геометрии начинается с точки, будь то линия или сложная трехмерная форма.

линий: одно измерение

Линия — это кратчайшее расстояние между двумя точками. Он имеет длину, но не ширину, что делает его одномерным.

Везде, где встречаются или пересекаются две или более прямых, есть точка, и говорят, что две линии имеют общую точку:

---

Отрезки и лучи

Есть два типа линий: те, у которых есть определенная начальная и конечная точки, и те, которые продолжаются вечно.

Линии, которые перемещаются между двумя точками, называются отрезками линии . Они начинаются с определенной точки и переходят к другой, конечной точке. Как и следовало ожидать, они нарисованы как линия между двумя точками.

Второй тип линий называется луч , и они продолжаются вечно. Их часто проводят в виде линии, начинающейся от точки со стрелкой на другом конце:

---

Параллельные и перпендикулярные линии

Есть два типа линий, которые особенно интересны и / или полезны в математике. Параллельные линии никогда не пересекаются и не пересекаются. Они просто идут вечно бок о бок, как железнодорожные пути. Условием показа параллельности линий на диаграмме является добавление «перьев», которые выглядят как наконечники стрелок.

Перпендикулярные линии пересекаются под прямым углом, 90 °:

---

Плоскости и двумерные формы

Теперь, когда мы разобрались с одним измерением, пора перейти к двум.

Плоскость — это плоская поверхность, также известная как двумерная.Технически он неограничен, что означает, что он продолжается вечно в любом заданном направлении, и поэтому его невозможно нарисовать на странице.

Одним из ключевых элементов геометрии является количество измерений, с которыми вы работаете в любой момент времени. Если вы работаете в одной плоскости, то это либо одна (длина), либо две (длина и ширина). При наличии более чем одной плоскости он должен быть трехмерным, потому что высота / глубина также учитываются.

Двумерные фигуры включают многоугольники, такие как квадраты, прямоугольники и треугольники, у которых есть прямые линии и точки в каждом углу.

Подробнее о полигонах читайте на нашей странице Полигоны . Другие двумерные формы включают круги и любую другую форму, которая включает кривую. Вы можете узнать больше об этом на нашей странице Curved Shapes .

Три измерения: многогранники и изогнутые формы

Наконец, есть также трехмерных фигур , таких как кубы, сферы, пирамиды и цилиндры.

Чтобы узнать больше об этом, посетите нашу страницу Трехмерные фигуры .

---

Знаки, символы и терминология

Форма, показанная здесь, представляет собой неправильный пятиугольник, пятиугольный многоугольник с разными внутренними углами и длинами линий (подробнее об этих формах см. Нашу страницу о Многоугольники ).

Градусы ° — это мера вращения, определяющая величину угла между двумя сторонами.

Углы обычно обозначаются в геометрии с использованием сегмента окружности (дуги), если только они не являются прямым углом, когда они «возведены в квадрат».В приведенном здесь примере угловые метки обозначены зеленым цветом. Смотрите нашу страницу Уголки для получения дополнительной информации.

Отметки (показаны оранжевым цветом) обозначают стороны формы, которые имеют одинаковую длину (стороны формы, совпадающие с или совпадающие). Одиночные линии показывают, что две вертикальные линии имеют одинаковую длину, а двойные линии показывают, что две диагональные линии имеют одинаковую длину. Нижняя горизонтальная линия в этом примере отличается по длине от остальных 4 линий и поэтому не отмечена.Отметки также могут называться « штриховок ».

Вершина — это точка пересечения линий (линии также называются лучами или ребрами). Множественное число вершин — это вершины. В этом примере пять вершин помечены как A, B, C, D и E. Называть вершины буквами — обычное дело в геометрии.

В замкнутой форме, такой как в нашем примере, математическое соглашение гласит, что буквы всегда должны располагаться в порядке по часовой стрелке или против часовой стрелки.Нашу форму можно описать как «ABCDE», но было бы неправильно обозначать вершины так, чтобы форма была, например, «ADBEC». Это может показаться несущественным, но в некоторых сложных ситуациях важно избегать путаницы.

Символ угла ‘’ используется в качестве сокращенного символа в геометрии при описании угла. Выражение ∠ABC является сокращением для описания угла между точками A и C в точке B. Средняя буква в таких выражениях всегда является вершиной угла, который вы описываете — порядок сторон не важен. ∠ABC совпадает с ∠CBA, , и оба описывают вершину B в этом примере.

Если вы хотите записать измеренный угол в точке B в сокращенном виде, вы должны использовать:

m∠ABC = 128 ° (m просто означает «мера»)

или

м∠CBA = 128 °

В нашем примере мы также можем сказать:

м∠EAB = 90 °

м∠BCD = 104 °

---

Почему эти концепции имеют значение?

Точки, линии и плоскости лежат в основе почти всех других геометрических концепций.Углы образуются между двумя линиями, начиная с общей точки. Фигуры, двухмерные или трехмерные, состоят из линий, соединяющих точки. Плоскости важны, потому что двумерные формы имеют только одну плоскость; у трехмерных их два и более.

Другими словами, вам действительно нужно понять идеи на этой странице, прежде чем вы сможете перейти к любой другой области геометрии.

.Структуры данных

— документация GeoPandas 0.8.0

GeoPandas реализует две основные структуры данных: GeoSeries и GeoDataFrame . Это подклассы pandas Series и DataFrame соответственно.

GeoSeries

GeoSeries — это, по сути, вектор, в котором каждая запись в векторе представляет собой набор фигур, соответствующих одному наблюдению. Запись может состоять только одной формы (например, одного многоугольника) или нескольких фигур, которые должны рассматриваться как одно наблюдение (например, множество многоугольников, составляют штат Гавайи или такую ​​страну, как Индонезия).

geopandas имеет три основных класса геометрических объектов (которые на самом деле являются красивыми объектами ):

Обратите внимание, что все записи в GeoSeries не обязательно должны быть одного и того же геометрического типа, хотя некоторые операции экспорта не будут выполнены, если это не так.

Обзор атрибутов и методов

Класс GeoSeries реализует почти все атрибуты и методы Shapely объектов. Применительно к GeoSeries они будет применяться поэлементно ко всем геометриям в серии.Двоичный операции могут применяться между двумя GeoSeries , и в этом случае операция проводится поэлементно. Две серии будут выровнены путем сопоставления индексов. Бинарные операции также могут применяться к единой геометрии, и в этом случае операция выполняется для каждого элемент серии с такой геометрией. В любом случае Series или GeoSeries будут возвращены в зависимости от обстоятельств.

Краткое описание некоторых атрибутов и методов для GeoSeries: представлен здесь, а полный список можно найти на странице всех атрибутов и методов.Также существует семейство методов для создания новых форм путем расширения существующие формы или применение теоретико-множественных операций, таких как «объединение», описанных в геометрических манипуляциях.

Атрибуты

• площадь : площадь формы (единицы проецирования — см. Проекции)

• bounds : набор максимальных и минимальных координат на каждой оси для каждой формы

• total_bounds : набор максимальных и минимальных координат на каждой оси для всей GeoSeries

• geom_type : тип геометрии.

• is_valid : проверяет, образуют ли координаты разумную геометрическую форму (в соответствии с этим).

Тесты отношений

• geom_almost_equals () : форма почти такая же, как другие (хорошо, когда из-за проблем с точностью с плавающей запятой формы немного отличаются)

• содержит () : форма, содержащаяся в пределах другое

• пересекает () : пересекает ли форма другие

GeoDataFrame

GeoDataFrame — это табличная структура данных, которая содержит GeoSeries .

Наиболее важным свойством GeoDataFrame является то, что он всегда имеет один столбец GeoSeries , который имеет особый статус. Эта GeoSeries упоминается как «геометрия» GeoDataFrame . Когда пространственный метод применяется к GeoDataFrame (или вызывается пространственный атрибут, например, area ), эти команды всегда будут действовать в столбце «геометрия».

Столбец «геометрия» — независимо от его имени — доступен через

.

No related posts.