Симметрия кристаллов центр симметрии — Справочник химика 21

    Плотная упаковка молекул в кристалле и местная симметрия кристалла приводят к тому, что молекула бензола из всех своих элементов симметрии сохраняет только центр инверсии [19]. Согласно данным Кокса [17], длины С — С связей молекулы бензола в кристалле действительно не все одинаковы, и симметрия ее равна С, = I (рис. 2. 2) .  [c.38]

    Этот ряд, однако, не может быть вычислен, пока неизвестны фазовые углы a hkl). Если группа симметрии включает центр симметрии, то p x,y,z)=p —x,—y,—z), все фазовые углы равны О или я и F hki) = F hkl), но знак все же остается неопределенным. Это и есть та фазовая проблема , благодаря которой у некоторых сохраняется интерес к процессу анализа структуры кристаллов. Проекция электронной плотности может быть представлена двухмерным рядом Фурье например при проектировании в направлении оси — с 

    Кристаллы обладают лишь некоторыми элементами симметрии. К числу таких элементов симметрии относятся центр симметрии, осп симметрии второго порядка, [c.32]

    Кроме осей и плоскостей симметрии, в кристаллах могут быть и другие элементы симметрии. Одним из таких элементов симметрии является центр симметрии, или центр инверсии. 

    В этом случае причина наличия вращательной способности, очевидно, должна быть связана со строением молекул соответствующих соединений. Пытаясь найти нечто общее в строении молекул соединений, способных к проявлению оптической деятельности, и учитывая характерные особенности строения оптически деятельных кристаллов, Пастер высказал мысль, что основным условием для возникновения у химического соединения оптической деятельности, сохраняющейся в растворенном и парообразном состояниях, является асимметрия строения его молекулы, т. е. отсутствие в молекуле плоскостей симметрии. Слово асимметрия не совсем точно передает имеющиеся здесь соотношения. Как известно из кристаллографии, в число так называемых элементов симметрии входят наряду с плоскостями симметрии также центр симметрии и оси симметрии. Таким образом, говоря о молекулярной асимметрии как об основном условии для наличия у вещества способности к оптической деятельности, мы, согласно Пастеру, имеем в виду отсутствие в молекуле соединения 

    Для проявления сегнетоэлектричества необходимы два условия 1) отсутствие в кристалле центра симметрии, что допускает образование электрического диполя, и 2) наличие двух равновесных состояний диполя, разделенных энергетическим барьером, т. е. возможность для атома в кристалле занимать два положения и переходить из одного в другое под действием электрического поля. 

    Кристалл имеет центр симметрии, если каждая точка на поверхности кристалла имеет идентичную точку с другой стороны от центра, а центр находится на одинаковом расстоянии от обеих точек. Правильный куб — это хороший пример тела, имеющего центр симметрии. [c.20]

    Центр симметрии — точка внутри кристалла, в которой, пересекаясь, делятся пополам все линии, соединяющие противоположные точки поверхности. Ось симметрии — прямая, при полном обороте вокруг которой кристалл несколько раз займет одинаковое положение в пространстве. Плоскость симметрии — плоскость, рассекающая кристалл на две части — зеркальные отображения одна другой. 

    Поскольку в кристалле центр симметрии отсутствует, для колебательных мод типа Е в спектре КР могут наблюдаться как продольные, так и поперечные оптические моды. [c.469]

    Напомним, что интенсивности отражений типа МО, hOL и Qkl зависят от расположения атомов в проекциях ячейки на координатные плоскости XY, XZ, YZ. Поэтому характер распределения зависит не от симметрии кристалла в целом, а от симметрии проекции. Последняя может отличаться от симметрии кристалла она бывает центросимметричной при отсутствии истинного центра инверсии в кристалле й центрированной (в общем случае — непримитивной) при примитивности решетки кристалла (см. часть V, гл. III). Выбор правильной формулы распределения и средних значений основывается на рассмотрении симметрии соответствующей проекции. Сами формулы распределений даются выражениями, выведенными в предыдущем разделе. 

    Заключительную и наиболее сложную часть задачи составляют поиски мотива заполнения пустот. Если число катионов значительно меньше общего количества пустот, представляемых в их распоряжение, различных вариантов размещения оказывается достаточно много. Одной из сторон, ограничивающих число вариантов, является симметрия кристалла центры всех пустот распределяются по нескольким правильным системам точек, между которыми и надлежит произвести выбор. 

    Симметрия проекции структуры зависит не только от симметрии кристалла, но и ОТ направления проектирования. Последнее имеет не меньшее значение, чем симметрия кристалла. Только центры инверсии кристалла дают центры симметрии на любой проекции кристалла. В остальных случаях наличие или отсутствие в проекции элементов симметрии, подобных элементам симметрии пространственной группы, целиком зависит от взаимной ориентации этих элементов и направления проектирования. Для того чтобы тот или иной элемент симметрии создал некоторую симметрическую закономерность в проекции, он должен быть расположен либо параллельно, либо перпендикулярно линии проектирования. Если рассмотреть последовательно все элементы симметрии пространственных групп, можно выявить общие правила, определяю- щие симметрию проекции. 

    Важнейшая особенность кристаллов состоит в том, что они являются симметричными фигурами, отдельные части которых можно полностью совместить друг с другом либо поворотом, либо зеркальным отражением. Симметрия кристаллов является характерным признаком, посредством которого можно провести классификацию кристаллических форм. В кристаллах различают следующие элементы симметрии. Плоскость симметрии—воображаемая плоскость, разделяющая кристалл иа две части так, что одна из частей является зеркальным отражением другой. Ось симметрии — линия, при вращении вокруг которой кристалл несколько раз может совместиться с самим собой. Центр симметрии — точка внутри кристалла, в которой пересекаются и разделяются пополам линии, соединяющие соответственные точки на поверхности кристалла. 

    Это означает, что дифракционная картина имеет центр симметрии. Поэтому из такого эксперимента нельзя установить, имеет ли реальный кристалл центр симметрии. Поскольку для левого и правого энантиомеров г/( ) =—г/(5) [см. уравнение (XI.1)], то 

    Центром симметрии называется такая точка внутри кристалла, в которой пересекаются и делятся пополам все оси симметрии. [c.87]

    Таким образом, точечная группа определяется по симметрии рентгенограмм лишь с точностью до центра инверсии (и равнодействующих элементов симметрии). Например, кристаллы с симметрией 2, т и 2/ш дадут рентгенограммы с одинаковой симметрией 21т. Из 32 кристаллографических групп одиннадцать содержат операцию инверсии. Следовательно, рентгенографически (по симметрии рентгенограмм) все точечные группы распределяются по 11 семействам — так называемым классам Лауэ .  [c.69]

    Укладка молекул в М. к. осуществляется по принципу плотной упаковки. Стремление к плотной упаковке часто приводит к тому, что молекула в кристалле утрачивает собств. элементы симметрии (кроме центра симметрии), однако из-за слабости межмолекулярных ван-дер-ваальсовых взаимод. по сравнению с ковалентными связями искажения собств. симметрии невелики. Типичный пример-нафталин, своб. молекула к-рого кроме центра имеет три зеркальные плоскости симметрии, но в кристалле сохраняется лишь центр-плоскости симметрии утрачиваются, что проявляется в небольших искажениях длин связей и валентных углов. Молекула с центром симметрии в кристалле практически всегда располагается в центре кристаллич. симметрии (правило центросимметричиости). [c.117]

    Кристаллы кварца, имеющие симметрию 32, энантиоморфны, не обладают ни плоскостями, ни центром симметрии. Правые и левые формы можно отличить друг от друга по маленьким косым граням пирамид [ккЩ. Однако кристаллы кварца, выросшие в природных условиях, при действии вертикально циркулирующих потоков обычно приобретают вынужденную внешнюю симметрию грани ромбоэдров 1011 и 0 И1 развиваются одинаково, маленькие косые грани дипирамиды 1121 и трапецоэдра (5161 зарастают и кристаллы вырастают в виде шестигранных карандашей с видимой симметрией Зт или даже бтт. Элементы симметрии, обусловливающие энантиоморфизм кристаллов кварца, исчезают, потому что их нет в симметрии кристаллообразующей среды (см. рис. 84, 85). [c.187]

    Выражение для структурного фактора упрощается при наличии в кристаллах центра симметрии и некоторых других элементов симметрии (осей, плоскостей, дополнительных трансл ий). При выборе начала координат в центре симметрии каждому атому с координатами Д», у, Z будет соответсг-вовать атом с координатами j[, у, 2, поэтому 5 О, A=2yfi os 2 ff» ( hj f + kyj + Iz,- ), причем сумм фОвание ведется по атомам, не связанным центром симметрии. В нецентросимметричных структурах с четными осями симметрии такое упрощение будет иметь место для некоторых групп индексов. [c.183]

    Бихромат калия К2СГ2О7. Моноклинный. Сложная огранка. Интересен как вещество, которое обнаруживает свою истинную симметрию (отсутствие центра симметрии) благодаря особенностям роста кристаллов одна из пар противоположных граней резко отличается по дефектности, а одна из этих граней не растет при небольших пересыщениях. После выдержки раствора выше 50° С кристаллы растут при комнатной температуре более симметричными при отсутствии заметных изменений в структуре кристалла. [c.188]

    Картина будет нагляднее, если следить за движением нормали к отражающей плоскости. При вращении кристалла она опишет конус вокруг оси вращения. Плоскость будет отражать только в те моменты, когда угол между первичным пучком и нормалью к плоскости будет равен 90°—О, где 0 определяется уравнением Брегга—Вульфа. Из рис. 126 очевидно, что нормаль проходит четыре раза через положения, при которых она составляет такой угол с первичным пучком два раза одним своим концом и два—другим. В соответствии с этим плоскость будет четыре раза в отражающем положении, и на пленке возникнут четыре пятна. Эти пйтна будут расположены симметрично (и, очевидно, будут иметь одинаковую интенсивность) если координаты одного пятна ху, то остальные будут иметь координаты ху, ху ху. Таким образом, рентгенограмма вращения всегда обладает двумя взаимно перпендикулярными линиями симметрии (и центром симметрии в точке их пересечения) [c.201]

    Если при наложении подобных слоев обилие кислородные атомы становятся центрами симметрии каждой пары тетраэдров, то получается структура высокотемпературного а-кристобалита (рис. 33). В том же случае, когда через общий атом кислорода проходит плоскость симметрии, получается высокотемпературный гексагональный а-триди-мит. Наличие плоскости симметрии в структуре тридимита приводит к тому, что кольца 81зОд образуют каналы, проходящие через кристалл. В кри-стобалите эти пустоты ограничиваются высотой, соответствующей трем слоям. [c.38]

    Лауэвские классы симметрии. Симметрия рентгенограммы складывается из симметрии кристалла и симметрии фотографической пластинки. По лауэ-грамме нельзя определить наличие или отсутствие центра симметрии. В один лауэвский класс симметрии объединяются те классы, которые отличаются друг от друга только наличием или отсутствием центра симметрии. [c.65]

    В заключение рассмотрим очень важный вопрос о сравнении (или корреляции) симметрии кристаллов с симметрией молекул, образующих структуру кристалла. Прежде чем рассмотреть возможные ответы на этот вопрос, вернемся вновь к проблеме симметрии в целом. В общем, чтобы описать положения всех атомов бензола СеНе, необходимо 3X12 = 36 координат. Однако в каждой молекуле бензола имеется большой набор элементов симметрии одна ось 6-го порядка, шесть осей 2-го порядка, семь плоскостей симметрии и центр симметрии. Порядок этой группы равен 24 (6X2X2), а атомов углерода всего шесть, поэтому каждый из них должен быть расположен на оси или в плоскости симметрии, так что симметрия непосредственного окружения каждого атома имеет порядок 4 = 24/6 то же самое относится к атомам водорода. В рассматриваемом примере оба типа атомов должны располагаться на осях 2-го порядка, через которые проходят две плоскости симметрии. [c.34]

    Диметилглиоксиматы никеля [7, 8] и палладия [7, 9] (СНзСОЫНСОЫСНз)гМ изоструктурны. Молекулы этих соединений плоские (рис. 1) и занимают в кристалле центры симметрии. Авторы [7] обнаружили ряд отличий в межатомных расстояниях в молекулах диметилглиоксиматов никеля и палладия. В молекуле диметилглиоксимата никеля соответственные межатомные расстояния попарно пякны, тогда как в молекуле диметилглиоксимата палладия некоторые из них значительно отличаются, например расстояния Pd—N (1,99 и 1,93А) [7]. Расстояния [c.8]

    Rh(4) и Rh(5) проходит плоскость симметрии кристалла. Приблизительная симметрия кластера Сз ось третьего порядка проходит через атом С(5) и через центры двух параллельных граней октаэдра Rh(2), Rh ), Rh ) и Rh(4), Rh(i), Rh(/), так что кластер можно рассматривать как фрагмент трехслойнюй шаровой упаковки. Расстояния Rh—Rh указаны на рис. 69. (стср = =0,01 А). [c.121]

    Обсудим теперь симметрию кристаллов с точечными дефектами молекулярного типа, занимающими несколько узлов или междоузлий кристаллической решетки. Дефект молекулярного типа обладает определенной точечной симметрией и вне кристалла всегда можно поместить начало координат в центр тяжести молекулярной системы, так как для центра тяжести молекулярной системы локальная си.мметрия совпадает с точечной группой молекулы. В кристалле центр тяжести примесной молекулы оказывается в точке с той или иной локальной симметрией, так что точечная группа системы в целом определяется общими элементами двух групп локальной группы изолированной молекулы и локальной группы узла кристаллической решетки. Следует, однако, иметь в виду, что существенна и ориентация примесной молекулы относительно осей симметрии кристалла, которая может несколько изменить симметрию системы в целом. [c.248]

    В качестве примера рассмотрим молекулу титаноцена ( jHj)2Ti. Было много споров относительно предложенной геометрической структуры этого соединения, поскольку теоретические соображения говорят в пользу изогнутой структуры, тогда как вполне возможна структура, аналогичная структуре ферроцена. Обнаружено, что ( 5115)2X1 существует только в димерной форме, и, таким образом, этот вопрос имеет смысл только для недавно синтезированной молекулы ( 5M 5)2Ti, в которой все атомы водорода замещены на метильные группы. Это соединение в растворе представляет собой мономер если его выделить в виде твердого кристалла, то в элементарной ячейке симметрии P2i/ содержатся две молекулы [5]. В этой группе общая точка порождает четыре молекулы на элементарную ячейку, в то время как особых точек всего две с симметрией Т. Очевидно, для того чтобы молекула ( 5Me5)2Ti находилась в центре симметрии 1, ее структура должна иметь центр инверсии, и поэтому одно циклопентадиенильное кольцо будет порождать другое, параллельное первому. Поскольку при воздействии рентгеновских лучей кристаллы этого вещества при комнатной температуре медленно разлагаются, точные данные по интенсивности рентгеновского излучения получить трудно однако ограниченный набор данных согласуется со сделанным предположением о наличии только центровой симметрии. [c.372]

    Классификация кристаллических форм. Классификация кристаллов основана на определении степени их симметрии плоскостей, осей и центра симметрии. А. В. Гадолнн в работе Вывод всех кристаллографических систем… математически доказал (1867), что возможны 32 вида симметрии кристаллических форм. [c.131]

    При кристаллизации полимеров из концентрированных растворов или из переохлажденных расплавов образуется другая разновидность надмолекулярной структуры —сферолит (рис. VI. 12). Это наиболее распространенный тип структуры полимеров. Сфе-ролиты представляют собой трехмерные поликристаллические образования, обладающие сферической симметрией относительно центра. Они построены из множества фибриллярных или пластинчатых кристаллов, расходящихся по радиусу из одного общего центра. Размеры сферолитов в поликристаллических полимерах обычно лежат в пределах 10—10″ мкм. Образованию сферолитов способствует высокая вязкость расплава или большое пересыщение раствора. В этих случаях одновременно возникает большое число зародышей кристаллизации и дальнейший их рост происходит в радиальных направлениях. Как правило, зародышами кристаллизации служат маленькие кристаллики, образовавшиеся по механизму складывания цепей. Далее они растут таким образом, что ось с кристалла, совпадающая с направлением осей макромо-,иекул, располагается перпендикулярно радиусу сферолита или под [c.175]

    Симметрия кристаллов является тем характерным признаком, с помощью которого можно провести классификацию кристаллических форм. Симметричные кристаллы обладают одним или несколькими элементами симметрии, которыми являются центр симметрии, оси и плоскости. Центром симметрии (центром инверсии) тела называется точка, в которой может отразиться каждая точка данного тела. Например, для тела, изображенного на рис. П1.48, а, возьмем точку А и соединим ее с центром инверсии О. Затем продолжим прямую линию за точку О на равный отрезок. В результате попадаем в точку А, во всех отношениях подобную исдодной точке А. Аналогичные операции можно провести со всеми остальными точками тела, чтобы убедиться, что точка О является центром симметрии. Центр симметрии может быть иногда единственным элементом симметрии кристалла, как, например, в кристаллах медного купороса. [c.234]

Ответы к странице 159 №609-617 ГДЗ к учебнику «Математика» 6 класс Дорофеев, Шарыгин

Задание № 609

Разрежьте квадрат, как показано на рисунке 7.41. Сложите из четырех получившихся частей фигуру, у которой:
а) есть центр симметрии, но нет оси симметрии;
б) есть оси симметрии, но нет центра симметрии;
в) есть и центр симметрии, и ось симметрии.
Начертите эти фигуры в тетради.

Решение

Задание № 610

Начертите какую−нибудь развертку куба, у которой есть центр симметрии.

Решение

Задание № 611

Сделав соответствующий рисунок, определите, верно ли следующее утверждение:
а) Любая прямая, проходящая через центр симметрии прямоугольника, делит его на две равные части.
б) Любая ломаная, центрально−симметричная относительно центра квадрата, делит его на две равные части.

Решение

а)

Утверждение верно

б)

Утверждение верно

Задание № 612

Через точку O требуется провести прямую, которая разбила бы данную фигуру на две равные части (рис.7.42,а,б). Как это сделать?
Указание. Обратите внимание, что фигура имеет центр симметрии.

Решение

Задание № 613

Представьте, что вы с другом играете в игру. Вы должны по очереди выкладывать одинаковые кубики на прямоугольный стол. Кто не сможет выложить очередной кубик, тот проигрывает (кубики имеются в достаточном количестве). Если вы догадаетесь, как использовать значения о центральной симметрии, то наверняка сможете выиграть, при условии, что будете ходить первым. Как вы должны играть?

Решение

Нужно ставить кубик симметрично ходу, который сделал противник, относительно центра симметрии прямоугольного стола.

Задание № 614с ответами

Выполните действия:

а) $\frac{0,2\ast7}{0,42}=\frac{1,4}{0,42}=\frac{140}{42}=\frac{70}{21}=\frac{10}3=3\frac13$

б) $\frac{0,04\ast0,025}{0,9-0,88}=\frac{0,001}{0,02}=\frac1{20}$

Задание № 615

Собственная скорость лодки 8,5 км/ч, скорость течения реки 1,5 км/ч. Какое расстояние пройдет лодка за 0,3 ч, если будет плыть против течения реки? по течению реки?

Решение

1) 8,5 − 1,5 = 7 (км/ч) − скорость лодки против течения;
2) 0,3 * 7 = 2,1 (км) − пройдет лодка против течения;
3) 8,5 + 1,5 = 10 (км/ч) − скорость лодки по течению;
4) 0,3 * 10 = 3 (км) − пройдет лодка по течению.
Ответ: 2,1 км против течения; 3 км по течению.

Задание № 616

Два брата должны были покрасить половину забора, длина которого 128 м. Один из них выполнил 2/3 их общей работы, а другой − остальную часть. Сколько метров забора покрасил каждый?

Решение

1) 128 : 2 = 64 (м) − забора покрасили братья вместе;
2) $64\ast\frac23=\frac{128}3=42\frac23$ (м) − забора покрасил один брат;
3) $64-42\frac23=21\frac13$ (м) − забора покрасил другой брат.
Ответ: $42\frac23$ м и $21\frac13$ м забора.

Задание № 617

В секции дзюдо занимаются 18 школьников. Число девочек относится к числу мальчиков как 2 : 7. Во сколько раз число мальчиков больше, чем число девочек? Есть ли в задаче лишние данные?

Решение

7 : 2 = в 3,5 (раза) − число мальчиков больше, чем число девочек.
Ответ: в 3,5 раза; лишние данные: количество школьников.

Приложение 1. Список основных теорем, изучаемых в 11 классе

Приложения

Приложение 1

Список основных теорем, изучаемых в 11 классе

Теорема 1. Композиция двух движений пространства есть движение.

Теорема  2. Движение пространства отображает:

а) отрезок на равный ему отрезок;

б) прямую на прямую;

в) луч на луч;

г) треугольник на равный ему треугольник;

д) плоскость на плоскость;

е) полуплоскость на полуплоскость;

ж) тетраэдр на равный ему тетраэдр;

з) полупространство на полупространство.

Теорема  3. При центральной симметрии пространства:

1. а) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя;

б) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую;

2. а) плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя;

б) плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость.

Теорема  4. Поворот вокруг оси есть движение.

Теорема 5. Всякое движение пространства есть композиция не более четырёх симметрий относительно плоскости.

Теорема 6 (пространственная теорема Шаля). Любое движение пространства, сохраняющее ориентацию тетраэдра (движение первого рода), есть параллельный перенос, либо поворот вокруг оси (в частности, осевая симметрия), либо винтовое движение. Любое движение пространства, изменяющее ориентацию тетраэдра (движение второго рода), представляет собой либо зеркальную симметрию, либо скользящую симметрию, либо зеркальный поворот (в частности, центральную симметрию — зеркальный поворот на угол 180°).

Теорема 7. При гомотетии с коэффициентом k расстояние между точками изменяется в | k | раз.

Теорема 8. При гомотетии плоскость отображается на параллельную ей или совпадающую с ней плоскость.

Теорема 9. Подобие с коэффициентом k можно разложить в композицию движения и гомотетии с некоторым центром и тем же коэффициентом.

Теорема 10 (теорема Декарта—Эйлера для выпуклого многогранника). Для любого выпуклого многогранника сумма числа вершин В и числа граней Г на две единицы больше числа его рёбер Р, т. е. справедлива формула В – Р + Г = 2.

Теорема 11. Плоскость, проходящая через внутреннюю точку выпуклого многогранника, пересекает его по выпуклому многоугольнику.

Теорема 12. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания призмы на боковое ребро.

Теорема 13. Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения призматической поверхности на боковое ребро.

Теорема 14. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

Теорема 15. Объём наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения призматической поверхности на боковое ребро.

Теорема 16. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трёх его рёбер, исходящих из одной вершины.

Теорема 17. В трёхгранном угле величина каждого плоского угла меньше суммы величин двух других его плоских углов.

Теорема 18. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.

Теорема 19. Если все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом ϕ и высота пересекает основание, то Sбок = .

Теорема 20. Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то: 1) боковые рёбра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части; 2) в сечении получается многоугольник, подобный основанию; 3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

Теорема 21. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров её оснований на апофему.

Теорема 22. Объём любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Теорема 23. Объём любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Теорема 24. Объём усечённой пирамиды, у которой площади оснований равны S1 и S2, а высота — Н, вычисляется по формуле

V =  H(S1 + + S2).

Теорема 25. Существует пять различных (с точностью до подобия) правильных многогранников: правильный тетраэдр, правильный гексаэдр (куб), правильный октаэдр, правильный додекаэдр и правильный икосаэдр.

Теорема 26. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.

Теорема 27. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Теорема 28. Если конус пересечён плоскостью, параллельной основанию, то:

1) все образующие и высота конуса делятся этой плоскостью на пропорциональные части;

2) в сечении получается круг, подобный основанию;

3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

Теорема 29. Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

Теорема 30 (о пересечении шара и сферы с плоскостью).

1) Если расстояние от центра шара до данной плоскости меньше радиуса шара, то пересечением шара с плоскостью является круг. Центром этого круга является основание перпендикуляра, проведённого из центра шара на плоскость, или сам центр шара, если плоскость проходит через этот центр. Пересечением сферы с плоскостью является окружность указанного круга. Радиус r сечения в этом случае равен r = где R — радиус шара, a d — расстояние от центра шара до плоскости сечения.

2) Если расстояние от центра шара до данной плоскости равно радиусу шара, то плоскость имеет с шаром и ограничивающей его сферой только одну общую точку.

3) Если расстояние от центра шара до данной плоскости больше радиуса, то плоскость не имеет с шаром общих точек.

Теорема 31. Если плоскость касается сферы, то она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Теорема 32. Если плоскость проходит через точку сферы и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то она касается сферы.

Ponarin-I — Стр 17

точке P , пересекаясь с прямыми a и b, дает точки A и B. Касательная в одной из этих точек пересекает прямую c в третьей искомой точке C. Исследование опускаем.

Задачи на доказательство

1.27.Даны две концентрические окружности. Через две точки этих окружностей, лежащие на одной прямой с центром, проведена произвольная окружность. Докажите, что две другие точки пересечения ее с данными окружностями также коллинеарны с центром.

1.28.Окружность, концентричная с вписанной в треугольник окружностью, пересекает прямые, содержащие его стороны, соответственно в парах точек A и B, C и D, E и F . Докажите, что AB = CD = EF .

1.29.Если ортоцентр треугольника совпадает с центром вписанной

внего окружности, то треугольник правильный. Докажите.

1.30.Если ортоцентр треугольника совпадает с его центроидом, то треугольник правильный. Докажите.

1.31.Точки A, B, C лежат на одной прямой. Точка M не принадлежит этой прямой. Докажите, что окружности с диаметрами MA, MB, MC имеют еще одну общую точку.

1.32.Докажите, что точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно прямых, содержащих его стороны, лежат на описанной около треугольника окружности.

1.33.Если H — ортоцентр треугольника ABC, то окружности, описанные около треугольников HAB, HBC, HCA, равны. Докажите.

1.34.Докажите, что точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно прямых, содержащих его стороны, являются вершинами треугольника, биссектрисы которого лежат на тех же прямых, что и высоты данного треугольника.

1.35.На биссектрисе внешнего угла C треугольника ABC взята точка M 6= C. Докажите, что MA + MB > CA + CB.

Задачи на построение

1.36.С помощью построений определите расстояние от данной точки на стороне угла до его вершины, если эта вершина недоступна.

1.37.Через данную точку проведите прямую, пересекающую две данные прямые под равными углами.

1.38.На плоскости даны непараллельные прямые a и b. Постройте прямую, перпендикулярную третьей данной прямой m и пересекающую прямые a и b в точках, равноудаленных от m.

1.39.Постройте квадрат, две противоположные вершины которого лежали бы на данной прямой, а две другие — на данных окружностях.

симметрия как понятие о сарозмерном и гармоничном

Слайд 1

Слайд 2

Содержание Цели и задачи 3 Введение 4 Аспекты, без которых симметрия невозможна 5 Типы симметрий 6-12 Симметрия в архитектуре 13-16 Симметрия в изобразительном искусстве 17-19 Симметрия в музыке 20 Симметрия в русском языке 21 Симметрия в поэзии 22 Симметрия в химии 23 Заключение 24 Вывод 25-26 Используемая литература 27 2

Слайд 3

Цели -Познакомиться с общим понятием симметрии; -Рассмотреть виды и типы симметрий; -Проанализировать как и где используется симметрия. Задачи -Изучение научно-популярной литературы, чертежей зданий с целью выявления симметрии; -Анализ фотографий на предмет выявления симметрии; — Узнать, как понимали симметрию древнейшие учёные; — Познакомиться с основными видами симметрии и использованием их в различных областях жизни и деятельности человека; — Рассмотреть примеры применения симметрии в архитектуре, искусстве, точных и гуманитарных науках. 3

Слайд 4

Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека, и употреблялось скульпторами ещё в V веке до н. э. Слово «симметрия» греческое. Оно означает «соразмерность», «пропорциональность», одинаковость в расположении фрагментов. В сбалансированности и равновесии симметрия показывает тот способ согласования многих частей, с помощью которого они объединяются в целое. Симметрия является той идеей, посредством которой, человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство. (Г. Вейль) Введение 4

Слайд 5

5 — объект — носитель симметрии; в роли симметричных объектов могут выступать вещи, процессы, геометрические фигуры, математические выражения, живые организмы и т.д. — некоторые признаки — величины, свойства, отношения, процессы, явления — объекта, которые при преобразованиях симметрии остаются неизменными; их называют инвариантными или инвариантами. — изменения (объекта), которые оставляют объект тождественным самому себе по инвариантным признакам; такие изменения называются преобразованиями симметрии; — свойство объекта превращаться по выделенным признакам в самого себя после соответствующих его изменений. А спекты, без которых симметрия невозможна

Слайд 6

6 Типы симметрий Двусторонняя симметрия (осевая, билатеральная симметрия) — симметрия зеркального отражения, при которой объект имеет одну плоскость симметрии, относительно которой две его половины зеркально симметричны. Если на плоскость симметрии опустить перпендикуляр из точки А и затем из точки О на плоскости симметрии продолжить его на длину О, то он попадёт в точку А1 , во всем подобную точке А. Двусторонняя симметрия достаточно распространена в жизни. Треугольник, трапеция – двусторонне симметричные фигуры. У животных билатеральная симметрия проявляется в схожести левой и правой половин тела.

Слайд 7

7 В пространстве аналогом оси симметрии является плоскость симметрии. Отображение пространства на себя относительно плоскости называют зеркальной симметрией. Название это оправдано тем, что обе части фигуры, находящиеся по разные стороны от плоскости симметрии, похожи на некоторый объект и его отражение в зеркале. З еркальная симметрия (частный случай двухсторонней симметрии)- о тображение пространства на себя относительно плоскости. В пространстве аналогом оси симметрии является плоскость симметрии. Название это оправдано тем, что обе части фигуры, находящиеся по разные стороны от плоскости симметрии, похожи на некоторый объект и его отражение в зеркале.

Слайд 8

8 П ереносная симметрия ( частный случай билатеральной симметрии ) — вид симметрии, состоящий в том, что части целой формы организованы таким образом, что каждая следующая повторяет предыдущую и отстоит от нее на определенный интервал в определенном направлении. Этот интервал называют шагом симметрии. Переносная симметрия обычно используется при построении бордюров. В произведениях архитектурного искусства ее можно увидеть в орнаментах или решетках, которые используются для их украшения. Переносная симметрия используются и в интерьерах зданий.

Слайд 9

9 Аксиальная симметрия (центральная, радиальная , лучевая симметрия) —форма симметрии, при которой тело (или фигура) совпадает само с собой при вращении объекта вокруг определённой точки или прямой. Часто эта точка совпадает с центром симметрии объекта, то есть той точкой, в которой пересекается бесконечное количество осей двусторонней симметрии. Радиальной симметрией обладают такие геометрические объекты, как круг, шар, цилиндр или конус.

Слайд 10

10 Ц ентральная симметрия – явление, при котором ф игура симметрична относительно точки (центр симметрии), если ее точки попарно лежат на прямых, проходящих через центр симметрии, по разные стороны и на равных расстояниях от него.

Слайд 11

11 Сферическая симметрия — симметричность относительно вращений в трёхмерном пространстве на произвольные углы. Локальная сферическая симметрия пространства или среды называется также изотропией.

Слайд 12

12 Вращательная симметрия — термин, означающий симметрию объекта относительно всех или некоторых собственных вращений m-мерного евклидова пространства.

Слайд 13

13 В архитектуре чаще всего распространён простейший вид симметрии — зеркальная симметрия , симметрия левого и правого. Ей подчинены постройки Древнего Египта, храмы античной Греции, амфитеатры, термы, триумфальные арки римлян, ровно как и многочисленные сооружения современной архитектуры. Плоскость симметрии в произведениях архитектуры, как правило, вертикальна . В горизонтальной проекции строго дисциплинируется расположение частей здания и его деталей, по вертикали развивается свободное и разнообразное чередование элементов и их частей. Центрально-осевая симметрия ( симметрия относительно вертикальной оси, линии пересечения двух или большего числа вертикальных плоскостей симметрии) реже использовалась в истории архитектуры . Сооружение при этом состоит из равных частей, которые могут совмещаться при повороте вокруг оси симметрии. Ей подчинены античные круглые храмы и построенные в подражание им парковые павильоны классицизма. Центрально-осевая симметрия определяет также форму некоторых архитектурных деталей — например колонн и их капителей. Наивысшей степенью симметрии обладает шар, в центре которого пересекается бесконеч­ное множество осей и плоскостей симметрии,— впрочем, шар или полная сфера используются в архитектуре лишь в случаях исключительных. Симметрия в архитектуре

Слайд 14

14 Миланский кафедральный собор Дуомо (Д. Висконти ) Собор Святого Петра ( Д. Браманте ) Дворец Лувр ( П . Леско) Эйфелева башня ( Г. Эйфель) Джан Галеаццо Висконти Джан Галеаццо Висконти Джан Галеаццо Висконти

Слайд 15

15 Симметрия объединяет композицию. Расположение главного элемента на оси подчеркивает его значимость, усиливая соподчиненность частей. Каждая деталь в симметричной системе существует как двойник своей обязательной паре, расположенной по другую сторону оси, и благодаря этому она может рассматриваться лишь как часть целого. Значение общего здесь снижает действенность отдельных элементов. Главной оси, объединяющей всю композицию , могут сопутствовать подчиненные оси, определяющие симметрию частей . Характерный пример многоосевой симметрии — здание Главного адмиралтейства ( К . Росси).

Слайд 16

16 Прочие виды симметрии в архитектуре используются крайне редко, но и они могут обеспечить практическую и художественную целесообразность формы. Например, относительную и винтообразную симметрию , для проектирования элементов здания — винтовых лестниц и пандусов, витых стволов колонн, использовал американский архитектор Ф. Л. Райт. (музей Гуггенхайма)

Слайд 17

17 Симметрия в искусстве берет свое начало в реальной действительности , изобилующей симметрично устроенными формами. Для симметричной организации композиции характерна уравновешенность ее частей по массам, по тону, цвету и даже по форме. В таких случаях одна часть почти зеркально похожа на вторую. В симметричных композициях чаще всего имеется ярко выраженный центр. Как правило, он совпадает с геометрическим центром картинной плоскости. Если точка схода смещена от центра, одна из частей более загружена по массам или изображение строится по диагонали, все это сообщает динамичность композиции и в какой-то мере нарушает идеальное равновесие. Симметрия в изобразительном искусстве

Слайд 18

18 «Тайная Вечеря» ( Л. да Винчи)

Слайд 19

19 «Обручение Марии» ( Р. Санти ) «Богатыри» ( В. Васнецов )

Слайд 20

20 Симметрия в музыке «Душа музыки – ритм – состоит в правильном периодическом повторении частей музыкального произведения, — писал в Г.В. Вульф. – Правильное же повторение одинаковых частей в целом и составляет сущность симметрии. Мы с тем большим правом можем приложить к музыкальному произведению понятие симметрии, что это произведение записывается при помощи нот, т.е. получает пространственный геометрический образ, части которого мы можем обозревать». Законы симметрии проявляются и в современной музыкальной системе: в строении гаммы (тетрахорды), ладов, интервалов, аккордов, мелодии, сонаты, симфонии, аппликатуры в фортепианной игре, а так же в строении музыкальных инструментом или их частей.

Слайд 21

21 А, М, Т, Ш, П – вертикальная симметрия В, З, К, С, Э, В, Е – горизонтальная симметрия Ж, Н, О, Ф, Х – горизонтальная и вертикальная симметрия . Симметрия в русском языке Симметрия в русском я зыке может просматриваться в симметричности некоторых букв. Симметрия так же присутствует в словах и словосочетаниях, например: КАЗАК ШАЛАШ ИСКАТЬ ТАКСИ

Слайд 22

«Подобно музыкальным произведениям, могут быть симметричны и произведения словесные, в особенности стихотворения» ( Г.В. Вульф). В стихотворениях подразумевается симметрия чередования рифм, ударных слогов, то есть опять таки ритмичность. Поэт в своём стихотворении может по нескольку раз возвращаться к одной и той же теме, постепенно разрабатывая ее. Симметрия в поэзии 22 Я помню чудное мгнов енье: Передо мной явилась ты , Как мимолетное вид енье , Как гений чистой красо ты . ( А. Пушкин )

Слайд 23

23 Симметрия обнаруживается также и на атомном уровне изучения вещества. Она проявляется в недоступных непосредственному наблюдению геометрически упорядоченных атомных структурах молекул. В молекуле метана СН 4 атом углерода связан с четырьмя одинаковыми атомами водорода. Физическое равноправие всех четырёх связей между атомами углерода и водорода естественным образом согласуется с пространственной структурой молекулы метана в виде тетраэдра, в вершине которого находятся атомы водорода, а в центре — атом углерода. В молекуле воды тоже можно наглядно увидеть симметрию. Симметрия в химии

Слайд 24

24 В своей работе мы рассмотрели архитектурные сооружения различных стилей, произведения искусства и даже молекулы некоторых веществ и выявили, что практически везде и всегда просматривается симметрия. Памятники архитектуры, получившие широкую известность как образцы пропорциональности и гармонии, буквально пронизаны математикой, численными расчетами и геометрией. Любимые нами стихотворения и картины в своей структуре имеют симметрию, даже, если изучить состав молекул, там мы тоже встретимся с этим понятием. Симметрия — неотъемлемая часть нашей жизни. Заключение Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии.

Слайд 25

25 Вывод Симметричные объекты обладают высокой степенью целесообразности – ведь симметричные предметы обладают большей устойчивостью и равной функциональностью в разных направлениях . М ногообразная закономерность организации формы, эффективное средство приведения к единству производят впечатление волевой организованности, величественности. Все это привело человека к мысли, что чтобы сооружение было красивым оно должно быть симметричным. Соблюдение симметрии является первым правилом архитектора при проектировании любого сооружения. Симметрия важна при написании стихотворения или музыкального произведения. Симметрия везде и во всём, но вот, что интересно: всегда существуют случайные отклонения от симметрии (например, различия в папиллярных линиях, ветвлении сосудов и расположении родинок на правой и левой руках человека). Часто существуют небольшие, но закономерные различия во внешнем строении (например, более развитая мускулатура правой руки у праворуких людей) Можно сделать вывод, что симметрия существует вокруг нас, но одновременно её и нет, ведь нет абсолютно одинаковых глаз, арок зданий, частей самолёта и т. д., но в любом случае с имметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, а значит внутреннего порядка. Внешне этот внутренний порядок воспринимается как красота.

Слайд 26

26 О симметрия! Гимн тебе пою! Тебя повсюду в мире узнаю Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке, Ты в елочке, что у лесной дорожки. С тобою в дружбе и тюльпан и роза И снежный рай – творение мороза . (К. Антонов)

Слайд 27

27 Используемая литература — Л. С.Атанасян . Геометрия10-11.Москва «Просвещение» 2009; — Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия . Электронное издание; — http ://www. wikipedia . ru ; Вульф Г.В. Симметрия и ее проявления в природе. М., Изд. Отд. Нар. ком. Просвещение, 1991; http://simmetria. narod . ru /architecture_1.htm .

Осевая и центральная симметрии» Тема урока — презентация на Slide-Share.ru 🎓

1

Первый слайд презентации

«Осевая и центральная симметрии» Тема урока

Изображение слайда

2

Слайд 2

Симметрия в окружающем нас мире Взгляните на снежинку, бабочку, морскую звезду, листья растений, паутинку – это лишь некоторые про-явления симметрии в природе. Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии.

Изображение слайда

3

Слайд 3

С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большин-стве случаев симметрич-ны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обо-ях. Симметричны многие детали механизмов.

Изображение слайда

4

Слайд 4

Слово «симметрия» греческое ( συμμετρία), оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей”, неизменность при каких-либо преобразованиях.

Изображение слайда

5

Слайд 5: Мысли великих…

Стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражён мыслью: почему симметрия понятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. Л.Н.Толстой. Русский художник Илья Ефимович Репин Портрет писателя Л.Н.Толстого. 1887 г. http://ilya-repin.ru/master/repin9.php

Изображение слайда

6

Слайд 6: О чём гласит предание…

В японском городе Никко находятся красивейшие ворота страны. Они необычайно сложные, со множеством фронтонов и изумительной резьбой. Но в сложном и искусном рисунке на одной из колонн некоторые из его мелких деталей вырезаны вверх ногами. В остальном, рисунок полностью симметричен. Для чего это было нужно? http://www.walls-world.ru/download-wallpapers-4109-original.html

Изображение слайда

7

Слайд 7

Как говорит предание, симметрия была нарушена намеренно, чтобы боги не заподозрили человека в совершенстве и не разгневались на него. http://www.walls-world.ru/download-wallpapers-4109-original.html

Изображение слайда

8

Слайд 8

Центральная симметрия Центральная симметрия является одним из видов симметрии. Фигура называется симметричной относительно точки O, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки O также принадлежит этой фигуре. Точка O называется центром симметрии.

Изображение слайда

9

Слайд 9

Точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА 1 А А 1 О АО = ОА 1 Точка О – центр симметрии Центральная симметрия

Изображение слайда

10

Слайд 10: Центральная симметрия (алгоритм построения)

А А1 О Точка А симметрична точке А1 относительно точки О. О — центр симметрии. Отметим на листе бумаги произвольные точки O и A. Проведём через точки прямую OA. На этой прямой отложим от то ч ки O отрезок OA 1, равный отрезку AO, но по другую сторону от точки O.

Изображение слайда

11

Слайд 11: Фигуры, симметричные относительно точки (примеры)

Изображение слайда

12

Слайд 12

Если внимательно рассмотреть данные орнаменты и фигуры, можно заметить, что все они имеют центр симметрии. Задание. На рисунке изображены различные геометричес-кие фигуры. Выберите из них те, которые име-ют центр симметрии, и изобразите их в тет-ради. Отметьте центр симметрии и точки, симметричные отмечен-ным точкам. б) в) г) а) д) е)

Изображение слайда

13

Слайд 13

В А С О Центральная симметрия В1 А1 С1 Задание. Выполнить построение треугольника, симметричного данному, относительно точки O.

Изображение слайда

14

Слайд 14

Задание. Выполнить построение трапеции, симметричной данной, относительно точки O. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 O 1) Проведём от вершин трапеции через точку O лучи AO, BO, CO, DO. 2) Построим на лучах точки, симметричные вершинам трапеции, относительно точки O. 3) Соединим полученные точки.

Изображение слайда

15

Слайд 15

Осевая симметрия Фигура называется симмет-ричной относительно прямой a, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка отно-сительно прямой a также при-надлежит этой фигуре. Прямая a называется осью симметрии фигуры. Рассмотрите данные фигуры. Каждая из них состоит как бы из двух полови-нок, одна из ко-торых является зеркальным отра-жением другой. Каждую из этих фигур можно сог-нуть «пополам» так, что эти поло-винки совпадут. Говорят, что эти фигуры симмет-ричны относи-тельно прямой – линии сгиба.

Изображение слайда

16

Слайд 16: Осевая симметрия

Точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а, если: эта прямая проходит через середину отрезка АА 1, а перпендикулярна АА 1. А А1 а a – ось симметрии. Точка А симметрична точке А1 относительно прямой а.

Изображение слайда

17

Слайд 17: Осевая симметрия (алгоритм построения)

А А1 а 1 ) Проведём через точку А прямую А O,перпендикулярную оси симметрии a. 2 ) С помощью циркуля отло-жим на прямой А O отрезок O А 1, равный отрезку O А.

Изображение слайда

18

Слайд 18: Фигуры симметричные относительно прямой (примеры)

Изображение слайда

19

Слайд 19

Ось симметрии имеют плоские и пространственные фигуры. Например: Некоторые фигуры имеют не одну ось симметрии. Задание. Из данных фигур выберите те, которые имеют ось симметрии. Есть ли среди них такие, которые имеют более одной оси симметрии? а) б) в) г) На листе бумаги изображена «ёлочка». Концы её нижних «веток» обозначены буквами A и A 1. Если перегнуть «ёлочку» по прямой l, то точки A и A 1 совпадут. Если посмотреть на рисунок сверху, то точки A и A 1 будут расположены на пер-пендикуляре к прямой l по разные стороны и на равных расстояниях от неё. Такие точки называют симмет-ричными относительно пря-мой l.

Изображение слайда

20

Слайд 20

B C А C1 B1 A1 а Осевая симметрия Задание. Выполнить построение треугольника, симметричного данному относительно прямой a.

Изображение слайда

21

Слайд 21

Задание. Выполнить построение пря-моугольника, симметричного данному относительно прямой a. 1) Проведём от вершин прямоугольника прямые, перпендикулярные данной прямой a. B B 1 a A C D A 1 C 1 D 1 2) Построим точки, симметричные вершинам прямоугольника. 3) Соединим полученные точки.

Изображение слайда

22

Слайд 22: 417 (а)

1 2 3 Ответ: две прямые.

Изображение слайда

23

Слайд 23: 417 (б)

1 2 Ответ: бесконечно много осей симметрии (любая прямая, перпендикулярная данной; сама прямая). № 417 (в) Ответ: одна прямая. 3 4 5

Изображение слайда

24

Слайд 24: 418

F А Б E Г O 1 2

Изображение слайда

25

Слайд 25: 422

а) в) б) 1 2 Ответ: да. Ответ: нет. 3 4 Ответ: да. г) 5 Ответ: да.

Изображение слайда

26

Слайд 26: 423

А О М Х К 1 Ответ: О, Х.

Изображение слайда

27

Слайд 27

Распределите данные фигуры по трём столбикам таблицы: «Фигуры, обладающие центральной симметрией», «Фигуры, обладающие осевой симметрией», «Фигуры, имеющие обе симметрии». 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Изображение слайда

28

Слайд 28

Изображение слайда

29

Последний слайд презентации: Осевая и центральная симметрии» Тема урока: Домашнее задание

П.46,47,48 №401(б), 405 (а), 421

Изображение слайда

Симметрия относительно точки | Purplemath

Purplemath

Помимо поиска линий (осей) симметрии, вы также можете искать точки симметрии.

Точка симметрии — это точка, которая представляет своего рода «центр» фигуры. Для любой линии, проведенной через точку симметрии, если эта линия пересекает фигуру с одной стороны от точки, линия также пересечет фигуру с другой стороны от точки и на точно таком же расстоянии от точки

Например, у восьмерки есть точка симметрии посередине, где линии пересекаются (показано ниже синей точкой):

MathHelp.com

(Приведенный выше рисунок анимирован на «живом» сайте.)

На каждом этапе вращения либо линия, проходящая через точку, вообще не пересекает фигуру (так что линия вся черная), либо расстояние вдоль линии до фигуры в одном направлении равно расстоянию по линии к рисунку в другом направлении (показано красной частью черной линии).

Для гиперболы центром является точка симметрии:

(Приведенный выше рисунок анимирован на «живом» сайте.)

Как видно из гиперболы, точка симметрии не обязательно должна быть точкой на фигуре; он может, как и здесь, находиться за пределами рисунка или графика. Кроме того, в этом случае точка симметрии оказывается началом координат. Это не всегда будет правдой.Например, если бы гипербола вообще сместилась, то ее точка симметрии сместилась бы за пределы начала координат.

Вы также можете рассматривать точки симметрии как точки, относительно которых вы можете повернуть фигуру на 180 ° (в результате чего повернутый график выглядит идентично исходному графику), как показано ниже с гиперболой:

(Приведенный выше рисунок анимирован на «живом» сайте.)

…и восьмерка:

(Приведенный выше рисунок анимирован на «живом» сайте.)

На предыдущей странице мы видели, что линии симметрии графика не обязательно должны быть осями x или y . Точно так же точки симметрии не обязательно должны находиться в начале координат. Например:

точка симметрии:
не в начале координат

Мы также видели на предыдущей странице, что ось симметрии не может пересекать или касаться графика.Точно так же точки симметрии не обязательно должны лежать на графике. Например:

точка симметрии:
не на графике

При работе с функциями вам будет предложено проверить, является ли функция «нечетной», что означает, что вы будете проверять, является ли график симметричным относительно начала координат. Единственная другая точка симметрии, о которой вас, вероятно, спросят, — это центры коник.

График y = x ³ показан ниже:

Точка симметрии — это зеленая точка, которая находится в начале координат. В этом контексте вас, вероятно, спросят что-то вроде: «Является ли функция нечетной?», И вы ответите «Да».

С другой стороны, график y = ( x — 1) ³ — 2 показан ниже:

Точка симметрии на приведенном выше графике находится в том же месте на кривой, но, поскольку кривая была смещена, эта точка симметрии больше не находится в начале координат; вместо этого теперь он равен (1, –2).Если бы вас спросили: «Эта функция нечетная?», Вы бы ответили: «Нет», потому что точка симметрии не находится в начале координат. Однако, если бы вас просто спросили о точке симметрии, вы бы ответили «(1, –2)».

Центры некоторых коник (а именно, окружностей, эллипсов и гипербол) являются точками симметрии. График эллипса

Центр эллипса — это его точка симметрии, и в этом случае точка симметрии является началом координат.

С другой стороны, график

В этом случае точка симметрии не находится в начале координат, а вместо этого расположена в (2, 1).

Если вы рассматриваете точечную симметрию в контексте «нечетных» функций, вам будут заданы такие вопросы, как: «Является ли график y = x ⁵ симметричным относительно начала координат?» Вы бы ответили: «Да.«Но если бы вас спросили, просто в общем, если данная функция или отношение имеет точку симметрии, вас бы спросили что-то вроде:« Найдите точку симметрии для ( x — 3) ² + ( y + 2) ² = 1. «Из уравнения вы заметите, что это круг, и вы бы ответили координатами центра:» точка симметрии: (3, — 2) «

URL: https: //www.purplemath.ru / модули / симметрия2.htm

12.2: Элементы симметрии — Химия LibreTexts

Операция симметрии — это действие, при котором объект остается неизменным после его выполнения. Например, если мы возьмем молекулу воды и повернем ее на 180 ° вокруг оси, проходящей через центральный атом O (между двумя атомами H), она будет выглядеть так же, как и раньше. Каждая операция симметрии имеет соответствующий элемент симметрии , который является осью, плоскостью, линией или точкой, относительно которой выполняется операция симметрии.Элемент симметрии состоит из всех точек, которые остаются на одном месте при выполнении операции симметрии. При вращении линия точек, которые остаются на одном месте, составляют ось симметрии ; в отражении точки, которые остаются неизменными, составляют плоскость симметрии . Элементы симметрии, которыми может обладать молекула (и любой другой трехмерный объект), обсуждаются ниже.

Операция симметрии — это перестановка атомов таким образом, что молекула переводится в состояние , неотличимое от исходного состояния.

\ (E \): симметрия идентичности

Операция идентичности состоит в том, чтобы ничего не делать, и соответствующий элемент симметрии — это вся молекула. В каждой молекуле есть хотя бы этот элемент. Например, молекула \ (CHFClBr \) на рисунке \ (\ PageIndex {1} \). Идентификационная симметрия не указывается, поскольку все молекулы обладают этой симметрией.

\ (C_n \): \ (n \) — ось вращения сгиба

Вращение на \ (360 ° / n \) оставляет молекулу неизменной. Молекула \ (H_2O \) имеет ось \ (C_2 \) (рисунок \ (\ PageIndex {2} \)). Некоторые молекулы имеют более одной оси \ (C_n \), и в этом случае ось с наибольшим значением \ (n \) называется главной осью . Обратите внимание, что по соглашению вращение составляет против часовой стрелки и вокруг оси. Повороты \ (C_n \) обозначаются векторами с метками, как показано ниже.

\ (\ sigma \): плоскость симметрии

При отражении в плоскости молекула выглядит так же. В молекуле, которая также имеет ось симметрии, плоскость зеркала, которая включает ось, называется вертикальной плоскостью зеркала и обозначается \ (\ sigma_v \), а плоскость, перпендикулярная оси, называется горизонтальной плоскостью зеркала и обозначается \ (\ sigma_h \). Вертикальная зеркальная плоскость, которая делит пополам угол между двумя осями \ (C_2 \), называется двугранной зеркальной плоскостью, \ (\ sigma_d \).\ (\ sigma \) симметрия обозначена как плоскость на молекулах; так как они часто делят атомы пополам, что должно быть четко указано.

\ (i \): симметрия центра инверсии

Инверсия через центр симметрии оставляет молекулу неизменной. Инверсия состоит в прохождении каждой точки через центр инверсии на такое же расстояние с другой стороны молекулы. Примеры молекул с центрами инверсии показаны на рисунке \ (\ PageIndex {4} \). Центры инверсии обозначены точкой, которая может перекрываться, а может и не перекрываться с атомами.Центры инверсии в примерах ниже не перекрываются атомами.

\ (S_n \): \ (n \) — ось сгиба неправильного вращения Симметрия

Неправильное вращение также называется осью отражения вращения. Операция вращательного отражения состоит из поворота на угол \ (360 ° / n \) вокруг оси с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной оси.Неправильная симметрия вращения указывается как для оси, так и для плана, как показано в примерах на рисунке \ (\ PageIndex {5} \).

\ (S_1 \) то же самое, что и отражение, а \ (S_2 \) то же самое, что инверсия.

Тождество \ (E \) и вращения \ (C_n \) — это операции симметрии, которые на самом деле могут быть выполнены на молекуле.По этой причине они называются операциями правильной симметрии . Отражения, инверсии и неправильные повороты можно только вообразить (на самом деле невозможно превратить молекулу в ее зеркальное отображение или инвертировать без некоторой довольно радикальной перестройки химических связей) и, как таковые, называются операциями неправильной симметрии . Эти пять элементов симметрии сведены в таблицу \ (\ PageIndex {1} \) вместе с соответствующими операторами.

Обычно при наложении на молекулу набора декартовых осей (что нам понадобится сделать позже в этом курсе), ось \ (z \) лежит вдоль главной оси молекулы, ось \ (x \) лежит в плоскости молекулы (или в плоскости, содержащей наибольшее количество атомов, если молекула неплоская), а ось \ (y \) составляет правостороннюю систему осей.

Группы молекулярных точек

В молекуле (или любом другом объекте) могут присутствовать только определенные комбинации элементов симметрии. В результате мы можем группировать молекулы, обладающие одинаковыми элементами симметрии, и классифицировать молекулы в соответствии с их симметрией. Эти группы элементов симметрии называются точечными группами (из-за того, что есть по крайней мере одна точка в пространстве, которая остается неизменной независимо от того, какая операция симметрии из группы применяется).Существуют две системы обозначений для обозначения групп симметрии, которые называются системами Шенфлиса и Германа-Могена (или Интернэшнл). Симметрия отдельных молекул обычно описывается с использованием обозначений Schoenflies , которые используются ниже.

Некоторые группы точек имеют общие имена с операциями симметрии, поэтому будьте осторожны, не перепутайте их.Обычно из контекста ясно, о чем идет речь.

1. \ (C_1 \) — содержит только тождество (поворот \ (C_1 \) — это поворот на 360 ° и совпадает с операцией тождества), например. CHDFCl.

2. \ (C_i \) — содержит тождество \ (E \) и центр инверсии \ (i \).

3. \ (C_S \) — содержит тождество \ (E \) и плоскость отражения \ (\ sigma \).

4. \ (C_n \) — содержит тождественную и \ (n \) — ось поворота.

5. \ (C_ {nv} \) — содержит тождество, \ (n \) — ось поворота и \ (n \) вертикальные зеркальные плоскости \ (\ sigma_v \).

6. \ (C_ {nh} \) — содержит тождество, \ (n \) — ось поворота и горизонтальную плоскость отражения \ (\ sigma_h \) (обратите внимание, что в \ (C_ {2h} \) эта комбинация элементов симметрии автоматически подразумевает центр инверсии).

7. \ (D_n \) — содержит тождество, \ (n \) — ось поворота и \ (n \) двукратные вращения вокруг осей, перпендикулярных главной оси.

8. \ (D_ {nh} \) — содержит те же элементы симметрии, что и \ (D_n \), с добавлением горизонтальной зеркальной плоскости.

9. \ (D_ {nd} \) — содержит те же элементы симметрии, что и \ (D_n \), с добавлением \ (n \) двугранных зеркальных плоскостей.

10. \ (S_n \) — содержит тождество и одну ось \ (S_n \). Обратите внимание, что молекулы принадлежат к \ (S_n \) только в том случае, если они еще не были классифицированы в терминах одной из предыдущих точечных групп (например,грамм. \ (S_2 \) совпадает с \ (C_i \), и молекула с такой симметрией уже была бы классифицирована).

Следующие группы представляют собой кубические группы, которые содержат более одной главной оси. Они разделяются на группы тетраэдров (\ (T_d \), \ (T_h \) и \ (T \)) и группы октаэдров (\ (O \) и \ (O_h \)). Группа икосаэдров также существует, но не включена ниже.

11. \ (T_d \) — содержит все элементы симметрии правильного тетраэдра, включая единицу, 4 \ (C_3 \) оси, 3 \ (C_2 \) оси, 6 двугранных зеркальных плоскостей и 3 \ (S_4 \) оси e.грамм. \ (CH_4 \).

12. \ (T \) — как для \ (T_d \), но без плоскостей отражения.
13. \ (T_h \) — как для \ (T \), но содержит центр инверсии.
14. \ (O_h \) — группа правильного октаэдра, например. \ (SF_6 \).

15. \ (O \) — как для \ (O_h \), но без плоскостей отражения.

Последняя группа — это группа полного вращения \ (R_3 \), которая состоит из бесконечного числа осей \ (C_n \) со всеми возможными значениями \ (n \) и описывает симметрию сферы.Атомы (но не молекулы) принадлежат \ (R_3 \), и эта группа имеет важные приложения в атомной квантовой механике. Однако мы не будем рассматривать это дальше.

Когда вы ближе познакомитесь с элементами симметрии и точечными группами, описанными выше, вы обнаружите, что довольно просто классифицировать молекулу по ее точечной группе. А пока блок-схема, показанная ниже, предлагает пошаговый подход к проблеме.

¹ Хотя систему Германа-Могена можно использовать для обозначения точечных групп, она обычно используется при обсуждении симметрии кристаллов.В кристаллах, помимо элементов симметрии, описанных выше, очень важны элементы трансляционной симметрии. Операции трансляционной симметрии не оставляют ни одной точки неизменной, в результате чего симметрия кристалла описывается в терминах пространственных групп , а не точечных групп .

Симметрия и физические свойства

Выполнение операции симметрии молекулы не должно изменять какие-либо ее физические свойства. Оказывается, это имеет некоторые интересные последствия, позволяющие нам предсказать, может ли молекула быть хиральной или полярной, на основе ее точечной группы.

Чтобы молекула имела постоянный дипольный момент, она должна иметь асимметричное распределение заряда. Точечная группа молекулы не только определяет, может ли молекула иметь дипольный момент, но и в каком направлении (ах) она может указывать. Если молекула имеет ось \ (C_n \) с \ (n> 1 \), она не может иметь дипольный момент, перпендикулярный оси вращения (например, вращение \ (C_2 \) поменяет концы такой дипольный момент и поменять полярность, что недопустимо — вращения с более высокими значениями \ (n \) также изменили бы направление, в котором указывает диполь).Любой диполь должен лежать параллельно оси \ (C_n \).

Кроме того, если точечная группа молекулы содержит любую операцию симметрии, которая поменяет местами два конца молекулы, например плоскость зеркала \ (\ sigma_h \) или вращение \ (C_2 \) перпендикулярно главной оси, тогда вдоль оси не может быть дипольного момента. Единственные группы, совместимые с дипольным моментом, — это \ (C_n \), \ (C_ {nv} \) и \ (C_s \). В молекулах, принадлежащих \ (C_n \) или \ (C_ {nv} \), диполь должен располагаться вдоль оси вращения.

Один из примеров симметрии в химии, с которым вы уже сталкивались, — это изомерные пары молекул, называемые энантиомерами. Энантиомеры представляют собой несовместимые зеркальные изображения друг друга, и одним из следствий этого симметричного отношения является то, что они вращают плоскость поляризованного света, проходящего через них, в противоположных направлениях. Такие молекулы называются хиральными, ² , что означает, что они не могут быть наложены на их зеркальное изображение. Формально элементом симметрии, который не позволяет молекуле быть хиральной, является ось вращения-отражения \ (S_n \).Такая ось часто подразумевается другими элементами симметрии, присутствующими в группе.

Например, группа точек с элементами \ (C_n \) и \ (\ sigma_h \) также будет иметь \ (S_n \). Точно так же центр инверсии эквивалентен \ (S_2 \). Как показывает опыт, молекула определенно не может быть хиральной, если у нее есть центр инверсии или зеркальная плоскость любого типа (\ (\ sigma_h \), \ (\ sigma_v \) или \ (\ sigma_d \)), но если эти элементы симметрии отсутствуют, молекулу следует тщательно проверить на наличие оси \ (S_n \), прежде чем считать ее хиральной.

  "Настоящая проблема нашего мира не в том, что он
    неразумный мир, и даже не то, что он разумный.
    Самая распространенная проблема состоит в том, что это почти разумно,
    но не совсем .... Это выглядит немного более математически и
    регулярнее, чем есть; его точность очевидна, но его неточность
    скрыта; его дикость подстерегает." 

  "Это тихое отклонение от точности на дюйм, то есть
    сверхъестественный элемент во всем.Это вроде секрет
    измена во Вселенной. . . Везде в вещах есть это
    элемент тишины и неисчислимости ».