Меры длины и меры площади: Старинные русские меры длины, веса, объёма — Кому за пятьдесят

Содержание

Урок 3: Единицы длины и площади

План урока:

Единицы длины. Километр

Единицы площади. Квадратный метр, квадратный километр, квадратный миллиметр

Ар. Гектар

Нахождение нескольких долей целого

Сегодня на уроке узнаем новые единицы длины и площади, будем учиться находить несколько долей целого.

Начнем урок с небольшой разминки. Выполните верно вычисления, запишите ответы через запятую, расположите их в порядке возрастания, соотнесите каждое число с буквой в таблице. Вы сможете прочитать слово, которое обозначает старинную меру длины.

Правильный ответ вы увидите в рубрике «Это интересно!»

Единицы длины. Километр

Какие меры длины вам уже известны? Что бы вы выбрали для измерения длины простого карандаша, школьного коридора, ширины тетрадной клетки.

Карандаш удобно измерять в сантиметрах или дециметрах, для школьного коридора воспользуемся метром, ширину клетки измерим в миллиметрах.

Ребята, как вы думаете, подойдут ли эти величины для измерения расстояния от Москвы до Санкт-Петербурга?

Конечно, нет! Для измерения больших расстояний будем использовать крупную единицу длины – километр.

Кратко слово «километр» в математике записывают так: км

Добавим эту единицу длины в таблицу:

Отправляясь в путешествие из Москвы в Санкт-Петербург, следует помнить, что путь составляет чуть больше 700 км.

Источник

Ребята, давайте узнаем, сколько метров содержится в 700 км. По таблице мы видим, что

1 км = 1000 м.

700 ∙ 1000 = 700.000

Расстояние между городами 700.000 метров или 700 км.

Пользуясь таблицей, узнайте расстояние между Нижним Новгородом и Сочи, если известно, что в метрах оно составляет –

1.800.000

Небольшая подсказка.

Разберем задачу вместе. Мы знаем, что 1 км = 1000 м

Один шаг жирафа составляет 2 м.

1000 : 2 = 500 (ш.) – сделает жираф.

Ответ: 500 шагов.

Это интересно!

Единицы площади. Квадратный метр, квадратный километр, квадратный миллиметр

В рамке схематично изображены единицы площади. Какая из них самая крупная? Конечно, это км². А мелкая? Эту единицу площади лучше всего можно рассмотреть на миллиметровой бумаге, которую используют для черчения – мм².

В квадратных километрах удобно измерять площадь различных стран. Например, площадь нашей страны составляет 17. 000.000 км². А вот площадь Сан-Марино – всего 61 км².

Источник

В квадратных метрах удобнее всего измерять площадь помещений. Например, площадь класса в школе составляет 50 м², а площадь будки Мухтара – всего 1 м².

Источник

Квадратный миллиметр настолько мал, что внутри этого квадратика можно только поставить небольшую точку.

Источник

Чтобы преобразовать одну единицу площади в другую, воспользуемся таблицей и подсказкой.

Источник

Выразим в м²: 600 дм², 18.000 см², 3 км².

1 м² = 100 дм², поэтому 600 : 100 = 6.

600 дм² = 6 м²

1 м² = 10.000 см², поэтому 18.000 : 10.000 = 18.

18.000 см² = 18 м².

1 км² = 1.000.000 м², поэтому 3 ∙ 1.000.000 = 3.000.000.

3 км² = 3.000.000 м²

Попробуйте самостоятельно выразить в км²: 5.000.000 м², 21.000.000 м². Воспользуйтесь таблицей единиц площади и подсказкой!

Проверь себя.

5.000.000 м² = 5 км²

21.000.000 м² = 21 км²

Это интересно!

Ар. Гектар

Ребята, как вы думаете, какие существуют меры для измерения больших площадей? Для этих целей используют такие единицы площади, как ар и гектар.

Например, площадь дачных участков или огородов удобно измерять в арах, а площадь посевов сельскохозяйственных культур – в гектарах.

Что такое ар и гектар?

По-другому ар называют соткой, потому что в 1 а = 100 м². Например, площадь дачного участка 6 соток.

Задача

Рассмотрите внимательно план участка, на котором будет построен дом, заложен сад, отведено место под огород. Узнай площадь каждой части и всего участка.

Вырази площадь участка в арах.

Проверь себя.

1)10 ∙ 8 = 80 (м²) – площадь под дом.

2) 10 ∙ 12 = 120 (м²) – площадь под сад.

3) 10 ∙ 20 = 200 (м²) – площадь под огород.

4) 80 + 120 + 200 = 400 (м²) – площадь участка.

Ответ: 400 м² = 4 а или 4 сотки.

Нахождение нескольких долей целого

Ребята, посмотрите на циферблат часов и скажите, сколько минут составляет ¼ часа.

Мы умеем находить долю от целого числа. В одном часе 60 минут. Разделим 60 на 4 части, заштрихуем одну часть.

60 : 4 = 15 (мин.) – одна доля.

Сколько минут составляют ¾ часа? Затруднились? Мы пока не умеем находить несколько долей от целого числа.

Заштрихуем на нашем циферблате 3 части из 4-х.

Одна доля составляет 15 минут. Значит, 3 таких доли составят 3 раза по 15, то есть

15 ∙ 3 = 45 (мин.) — ¾ часа.

Ответ: 45 минут.

Сделаем вывод. Составим алгоритм:

найти одну долю;
полученное число умножить на количество долей.

Попробуйте самостоятельно решить задачи.

Задача 1

Ваня начертил в тетради отрезок длиной 15 см. Сколько см в 4/5 долях этого отрезка?

Воспользуйтесь подсказкой в виде схематического рисунка.

Проверь себя.

15 : 5 = 3 (см) – одна доля.

3 ∙ 4 = 12 (см) – в 4/5 отрезка.

Ответ: 12 см.

Задача 2

Сережа потратил на сон 3/8 части суток.

Вспомните, сколько часов содержат сутки. Найдите 3/8 части суток. Ответьте на вопрос: «Сколько часов Сережа потратил на сон?»

Проверь себя.

В сутках 24 часа.

24 : 8 = 3 (ч) – одна доля.

3 ∙ 3 = 9 (ч) – потратил Сережа на сон.

Ответ: 9 часов.

Сегодня на уроке мы узнали новые единицы длины и площади, научились находить несколько долей целого числа. Всего доброго, ребята! До скорой встречи.

Учителю физики и ученикам — Меры длины, площади, массы, объема

Меню сайта

Поиск по сайту

Мини-чат
Реклама удаляется администратором сайта!

Наш опрос

День недели

Определи день недели Your browser doesn’t support JavaScript.

Статистика

Онлайн всего: 1

Гостей: 1

Пользователей: 0

Приветствую Вас, Гость · RSS

24.11.2020, 04:26

Меры длины, площади, массы, объема

В таблице приведены меры длины, площади, массы, объема а также соотношения для перевода.

МЕРЫ ДЛИНЫ или ЛИНЕЙНЫЕ
1 километр (км) = 1 000 метров (м) 1 метр (м) = 10 дециметрам (дм) = 100 сантиметрам (см) 1 дециметр (дм) = 10 сантиметрам (см) 1 сантиметр (см) = 10 миллиметрам (мм)
МЕРЫ МАССЫ
1 тонна (т) = 1 000 килограммов (кг) 1 центнер (ц) = 100 килограммов (кг) 1 килограмм (кг) = 1 000 граммов (г) 1 грамм (г) = 1 000 миллиграммов (мг)
МЕРЫ ПЛОЩАДИ
1 кв. километр (кв. км) = 1 000 000 кв. метров (кв. м) 1 кв. метр (кв. м) = 100 кв. дециметрам (кв. дм) = 10 000 кв. сантиметров (кв. см) 1 гектар (га) = 100 арам (а) = 10 000 кв. метров (кв. м) 1 ар (а) = 100 кв. метрам (кв. м)
МЕРЫ ОБЪЕМА
1 куб. метр (куб. м) = 1 000 куб. дециметров = 1 000 000 куб. сантиметров (куб. см) 1 куб. дециметр (куб. дм) = 1 000 куб. сантиметров (куб. см) 1 литр (л) = 1 куб. дециметр (куб. дм) гектолитр (гл) = 100 литрам (л)

Англо-американская система мер

Англо–американские меры длин, площади и объема: морская, английская, международная, географическая мили, дюйм, фут, ярд, сотка, гектар, акр, гран, карат, тройская унция, фунт, центал, короткая, длинная и регистровая тонны, пинта, кварта, галлон, баррель, бушель.

1 кабельтов = 1/10 морской мили = 185,2 м

1 миля сухопутная = 5 280 футам = 1 760 ярдов

1 миля английская = 5000 футов = 1,523 км

1 миля морская (международная) = 1,852 км

1 миля морская (английская) = 1853 км

1 морская лига = 3 международные мили = 5555,55 м

1 дюйм = 25,4 мм

1 фут = 30,48 cм

1 ярд = 0,9144 м

1 кв. дюйм = 6,4516 см2

1 кв. фут = 144 кв. дюймам = 0,0929 м2

1 кв. ярд = 9 кв. футам = 0,8361 м2

1 акр = 0,4047 га

1 кв. миля = 640 акрам = 259 га

Сотка (квадрат со стороной 10 м) = 100 м2

Гектар (квадрат со стороной 100 м) = 100 акрам = 10 000 м2

Географическая (английская) миля = 1° земного экватора = 1851,1 м

1 гран = 64,8 мг

1 карат = 3,086 гран = 200 мг

1 тройская унция = 31,1035 г

1 тройский фунт = 12 тройским унциям = 5760 гранам = 373,242 г

1 унция = 28,35 г

1 фунт = 16 унциям = 453,592 г

1 центал анлийский (CWT) = 112 фунтам = 50,8 кг

1 тонна короткая = 2000 фунтов = 907,18 кг

1 тонна длинная = 2240 фунтов = 1016 кг

1 регистровая тонна (водоизмещение судов) = 2832 м3

1 пинта (английская) = 568,24 мл

1 кварта (английская) = 2 пинтам = 1,1365 л

1 галлон (английский) = 4,546 л

1 баррель нефтяной = 42 галлонам = 159 л

1 бушель = 8 галлонам = 36,36 л

Старинные и современные единицы измерения

29.01.2017

Для того чтобы получить объективную информацию об объекте или явлении, его свойствах и параметрах нам необходимо его описать: измерить, посчитать, разобрать на составные элементы и снова собрать в целое. Это всё, конечно, касается внешних характеристик и не раскрывает сути вещей, которая познаётся совершенно иным образом.

В повседневной жизни мы постоянно пользуемся измерительными приборами, таким как часы, электрические счётчики, весы, термометр, линейка и многие другие. Измерить какую-нибудь величину – значит узнать, сколько раз в ней содержится другая величина того же рода, принятая за единицу измерения.

На сегодняшний день 95% населения Земли использует метрическую систему измерений, но так было не всегда.

Справка

Международная десятичная система измерений, в основу которой положено использование таких единиц, как килограмм и метр, называется Метрической. На данный момент Метрическая система мер используется в большинстве стран мира. Есть, однако, несколько крупных государств, в которых по сей день применяется основанная на таких единицах, как фунт, фут и секунда – английская система мер. К ним относятся Великобритания, США и Канада. Однако эти страны также уже приняли несколько законодательных мер, направленных на переход к Метрической системе мер.

На Руси традиционно применялась руская система мер, основным измерительным элементом которой являлся человек. С одной стороны – это очень удобно в повседневных хозяйственных делах (измерительный прибор всегда при себе), с другой это вызывало затруднения в торговых сделках, при взимании налогов и в развитии промышленности (ведь у разных людей такие измерительные единицы различны).

В России в разных местностях почти все меры имели различные значения, поэтому в учебниках арифметики до революции помещали подробные таблицы мер. В одном распространённом дореволюционном справочнике можно было найти до 100 различных футов, 46 различных миль, 120 различных фунтов и т.д. Ведь и шаг у людей бывает разный и длина ступни у них неодинакова, и пальцы у всех разной ширины…

Поэтому возникла необходимость искать в окружающей природе новые унифицированные единицы измерения.

Так на смену нашей исконной системе пришла метрическая, зародившаяся во Франции в середине 18 века, система мер. Она была допущена к применению в России (в необязательном порядке) по закону от 4 июня 1899 года. Применение метрической системы мер в РСФСР стало обязательным по декрету СНК РСФСР от 14 сентября 1918 года, а в СССР — постановлением СНК СССР от 21 июля 1925 года.

Итак, современные единицы измерения:

Меры веса

1 тонна (т) = 1000 килограммам (кг)
1 центнер (ц) = 100 килограммам (кг)
1 килограмм (кг) = 1000 граммам (г)
1 грамм (г) = 1000 миллиграммам (мг)

Меры длины

1 километр (км) = 1000 метрам (м)
1 метр (м) = 10 дециметрам (дм) = 100 сантиметрам (см)
1 дециметр (дм) = 10 сантиметрам (см)
1 сантиметр (см) = 10 миллиметрам (мм)

Меры площади

1 кв. километр (км2) = 1 000 000 кв. метрам (м2)
1 кв. метр (м2) = 100 кв. дециметрам (дм2) = 10 000 кв. сантиметрам (см2)
1 гектар (га) = 100 арам (а) = 10 000 кв. метрам (м2)
1 ар (а) =100 кв. метрам (м2)

Меры объёма

1 куб. метр (м3) = 1000 куб. дециметрам (дм3) = 1 000 000 куб. сантиметрам (см3)
1 куб. дециметр (дм3) = 1000 куб. сантиметрам (см3)
1 литр (л) = 1 куб. дециметру (дм3)
1 гектолитр (гл) = 100 литрам (л)

Старинные руские меры

С древности мерой длины и веса всегда был человек: на сколько он протянет руку, сколько сможет поднять на плечи и т.д. Система древнеруских мер длины включала в себя следующие основные меры: версту, сажень, аршин, локоть, пядь и вершок.

Перечислим некоторые единицы измерения, которые в настоящее время уже не используются.

1 ансырь — большая унция — 409,4 грамма, или фунт

1 аршин — 16 вершков — 71,12 см

1 кв. аршин — 0,5 м²

1 берковец — 10 пудов — 163,8 кг

1 бочка — 40 вёдер — 491,96 л

1 ведро — 12,296 л

1 верста — 500 саженей — 1,067 км

1 верста квадратная (кв.) — 250000 кв. саженей — 1,138 км²

1 верста лапотная — расстояние, равное износу пары лаптей

1 вершок — 1 3/4 дюйма — 4,45 см

1 кв. вершок — 19,758 см²

1 гривна — около 400 граммов

1 гарнец — 1/8 четверика — 3,279 л

1 десятина — 2400 кв. саженей — 1,025 га — 10925 м²

1 доля — 1/96 золотников — 44,43 мг — 0,044 г

1 дюйм — 1/12 фута — 2,54 см

1 золотник — 96 долей — 4,266 г

1 кентарь — более 3 пудов

1 копна сена — десятая часть десятины луга

1 коробь — мера зерна для завеса 3 десятин пашни

1 кадь — 14 пудов — 229,32 кг

1 ласт — 72 пуда — 1179,4 кг

1 локоть — 15 вершков — 66,6 см — 0,666 м

1 лот — 3 золотника — 12,8 г — 0,0128 кг

1 линия — 10 точкам — 2,54 мм

1 мера — 1,09 пуда — 17,87 кг

1 миля — 7 верст — 7,468 км

1 осьмина — 4 четверика — 104,95 л

1 позмог — 5 пудов — 81,9 кг

1 поприще — 20 вёрст, или суточный переход, ошибочно упоминается как верста

1 пуд — 40 фунтов — 16,38 кг

1 пядь: малая — 19 см, большая — 23 см

1 румынка — бочка на 8-10 пудов

1 руский фут — 1/7 сажени — 12 дюймов — 0,3046 м

1 сажень — 3 аршина — 2,1336 м

1 косая сажень — расстояние между пальцами вытянутой вверх левой руки и носком отставленной правой ноги

1 кв. сажень — 4,55 м² — 9 кв. аршин

1 сапец — 6 пудов — 98,28 кг

1 точка — 0,254 мм

1 фунт — 32 лота — 96 золотников — 0,409 кг

1 фут — 12 дюймам — 304,8 мм

1 чарка — 1/10 штофа — 2 шкалика — 0,123 л

1 четверик — 8 гарнцев — 26,24 л

1 четверть (жидкостей) — 1/4 ведра — 3,08 л

1 четверть (мальтер, четь) — 4 пуда — 64 кг, точнее 65,52 кг

1 четверть (сыпучих тел) — 209,91 л

1 четверть — 17,8 см — 0,178 м

1 четь (площадь) — половина десятины пахотной земли

1 шкалик — 1/2 чарки — 0,06 л, или 1/200 ведра

1 штоф — 10 чарок — 1,23 л

АРШИН — мера длины, равная, в современном исчислении 0,7112м. Аршином, так же, называли мерную линейку, на которую, обычно, наносили деления в вершках.

Есть различные версии происхождения аршинной меры длины. Возможно, первоначально, «аршин» обозначал длину человеческого шага (порядка семидесяти сантиметров, при ходьбе по равнине, в среднем темпе) и являлся базовой величиной для других крупных мер определения длины, расстояний (сажень, верста). Корень «АР» в слове а р ш и н — в древнеруском языке (и в других, соседних) означает «ЗЕМЛЯ», «поверхность земли», и указывает на то, что эта мера могла применяться при определении длины пройденного пешком пути. Было и другое название этой меры – ШАГ. Практически, счёт мог производиться парами шагов взрослого человека («малыми <простыми> саженями»; раз-два – один, раз-два – два, раз-два – три …), или тройками («казёнными саженями»; раз-два-три – один, раз-два-три – два …), а при измерении шагами небольших расстояний, применялся пошаговый счёт. В дальнейшем, стали так же применять, под этим названием, равную величину – длину руки.

Купцы, продавая товар, как правило, мерили его своим аршином (линейкой) или по-быстрому – отмеряя «от плеча». Чтобы исключить обмер, властями был введён, в качестве эталона – «казённый аршин», представляющий собой деревянную линейку, на концах которой клепались металлические наконечники с государственным клеймом.

ВЕРСТА — путевая мера (её раннее название — »поприще»). Этим словом, первоначально называли расстояние, пройденное от одного поворота плуга до другого во время пахоты. Два названия долгое время употреблялись параллельно, как синонимы. Известны упоминания в письменных источниках 11 века. В рукописях XV в. есть запись: «поприще сажений 7 сот и 50» (длиной в 750 сажень). До царя Алексея Михайловича в 1 версте считали 1000 саженей. При Петре I одна верста равнялась 500 саженей, в современном исчислении — 213,36 X 500 = 1066,8 м.

«Верстой» также назывался верстовой столб на дороге.

Величина версты неоднократно менялась в зависимости от числа сажен, входивших в неё, и величины сажени. Уложением 1649 года была установлена «межевая верста» в 1 тысячу саженей. Позже, в XVIII веке наряду с ней стала использоваться и «путевая верста» в 500 саженей («пятисотная верста»).

САЖЕНЬ — одна из наиболее распространённых на Руси мер длины. Различных по назначению (и, соответственно, величине) саженей было больше десяти. «Маховая сажень» — расстояние между концами пальцев широко расставленных рук взрослого мужчины. «Косая сажень» — самая длинная: расстояние от носка левой ноги до конца среднего пальца поднятой вверх правой руки. Используется в словосочетании: «у него косая сажень в плечах » (в значении — богатырь, великан).

Эта старинная мера длины упоминается Нестором в 1017г. Наименование сажень происходит от глагола сягать (досягать) — на сколько можно было дотянуться рукой. Для определения значения древнеруской сажени большую роль сыграла находка камня, на котором была высечена славянскими буквами надпись: «В лето 6576 (1068 г.) индикта 6 дня, Глеб князь мерил … 10000 и 4000 сажен». Из сравнения этого результата с измерениями топографов получено значение сажени 151,4 см. С этим значением совпали результаты измерений храмов и значение руских народных мер. Существовали саженные мерные верёвки и деревянные «складени», имевшие применение при измерении расстояний и в строительстве.

По данным историков и архитекторов, саженей было более 10 и они имели свои названия, были несоизмеримы и не кратны одна другой. Сажени: городовая — 284,8 см, без названия — 258,4 см, великая — 244,0 см, греческая — 230,4 см, казённая — 217,6 см, царская — 197,4 см, церковная — 186,4 см, народная — 176,0 см, кладочная — 159,7 см, простая — 150,8 см, малая — 142,4 см и ещё одна без названия — 134,5 см, а также — дворовая, мостовая.

ЛОКОТЬ равнялся длине руки от пальцев до локтя (по другим данным — «расстояние по прямой от локтевого сгиба до конца вытянутого среднего пальца руки»). Величина этой древнейшей меры длины, по разным источникам, составляла от 38 до 47 см. С 16-го века постепенно вытесняется аршином и в 19 веке почти не употребляется.

Локоть широко применяли в торговле как особенно удобную меру. В розничной торговле холстом, сукном, полотном — локоть был основной мерой. В крупной оптовой торговле — полотно, сукно и прочее, поступали в виде больших отрезов — «поставов», длина которых в разное время и в разных местах колебалась от 30 до 60 локтей (в местах торговли эти меры имели конкретное, вполне определённое значение).

ВЕРШОК — мера длины, равная ширине двух пальцев (указательного и среднего). 1 вершок = 4 ногтя (по ширине — 1,1 см) = 1/4 пяди = 1/16 аршина, 1/4 четверти. В современном исчислении — 4,44см. Наименование «Вершок» происходит от слова «верх». В литературе XVII в. встречаются и доли вершка — полвершки и четвертьвершки.

При определении роста человека или животного счёт вёлся после двух аршин (обязательных для нормального взрослого человека): если говорилось, что измеряемый был 15 вершков роста, то это означало, что он был 2 аршина 15 вершков, т.е. 209 см.

Рост в Вершках	1	3	5	7	9	10	15
Рост в метрах	1,47	1,56	1,65	1,73	1,82	1,87	2,09

Для человека использовали два способа полного выражения роста:

1 — сочетание «роста *** локтей, *** пядей»
2 — сочетание «рост *** аршина, *** вершков»
с 18 века — » *** фута, *** дюйма»
Для домашних мелких животных использовали — «рост *** вершков»
Для деревьев — «высота *** аршин»

Во второй половине XVII века аршин применяли совместно с вершком в различных отраслях производства. В «Описных книгах» оружейной палаты Кирилло-Белозерского монастыря (1668 г.) записано: «… пушка медная полковая, гладкая, прозванием Кашпир, московское дело, длина три аршина полодинадцаты вершка (10,5 вершка)… Пищаль большая чугунная, Лев железная, с поясами, длина три аршина три чети с полувершком.» Древнюю рускую меру «локоть» продолжали ещё употреблять в быту для измерения сукна, полотна и шерстяных тканей. Как следует из Торговой книги, три локтя приравниваются двум аршинам. Пядь как древняя мера длины ещё продолжала существовать, но так как значение её изменилось, из-за согласования с четвертью аршина, то это название (пядь) постепенно выходило из употребления. Пядь заменили на четверть аршина. В строительном и инженерном деле широко применялось деление сажени на 100 частей.

Со второй половины XVIII века подразделения вершка, в связи с приведением аршина и сажени к кратному отношению с английскими мерами, были заменены мелкими английскими мерами: дюймом, линией и точкой, но прижился только дюйм. Линии и точки применялись сравнительно мало. В линиях выражались размеры ламповых стёкол и калибры ружей (например, десяти- или 20-линейное стекло, известное в обиходе). Точки применялись только для определения размеров золотой и серебряной монеты. В механике и машиностроении дюйм делили на 4, 8, 16, 32 и 64 части.

Живое творчество

Благодаря тому, что в древности основные единицы измерения были заключены в особенностях человеческого тела, то и созданные с помощью этих мер объекты всегда были индивидуальны и неповторимы, чего не скажешь о современном массовом творчестве.

Применение старинных руских мер в строительстве помогало и помогает созданию живых зданий с уникальной внешней формой и обережной внутренней сутью.

Как отмечает геометр А.Черняев, построенное в руских саженях помещение, даже кажущееся квадратным, всё же квадратом быть не может. И когда мы скользим по нему взглядом, то не обнаруживаем симметричной строгости, хотя суммарные пропорции каждого угла помещения остаются неизменными. От движения глаз помещение оживает, меняя свои визуальные размеры. Живая фигура, например, квадрат — это переходная граница, отделяющая восприятие квадрата от прямоугольника, такая фигура, которая ещё не квадрат, но уже и не прямоугольник. В старых помещениях строгой параллельности никогда не было — всюду имелись живительные углы наклона.

Также весьма оправданы конструирование и пошив одежды с использованием не стандартных, а древнеруских индивидуальных мер, что позволяет достичь органического сочетания различных частей одежды и получить гармоничную и стройную систему «человек-одёжа» как единое целое. Применение старинных руских мер даёт возможность через резонансные соотношения организовать тесное взаимодействие человека с живой природой и тем самым способствовать сохранению и укреплению здоровья.

Общая для всех система измерений сильно облегчает и упрощает жизнь общества в целом, но вместе с этим из неё уходит нечто важное, то, о чём ведали наши мудрые Предки. Через вслушивание в старинные руские меры возможно пробуждение Родовой памяти.

Пословицы и поговорки с использованием старинных мер длины и их переводы на современные единицы измерения:

1. Аршин да кафтан, да два на заплатки — 0,71 м да кафтан, да 1,42 м на заплатки.

2. Борода с вершок, а слов с мешок — борода с 44 см, а слов с мешок.

3. Врёт семь верст до небес, и все лесом — врёт 7,469 км до небес, и все лесом.

4. За семь верст комара искали, а комар — на носу — за 7,469 км комара искали, а комар — на носу.

5. На три аршина в землю видит — на 2,13 м в землю видит.

6. Охотник за семь верст ходит киселя хлебать — охотник за 7,469 км ходит киселя хлебать.

7. Ты от правды на пядень, а она от тебя на сажень — Ты от правды на 19 см, а она от тебя на 2,13 м.

8. Тянись верстой, да не будь простой — тянись 1,067 км, да не будь простой.

9. За это можно и пудовую свечку поставить — за это можно и 16,4 кг свечку поставить.

10. Зернышко пуд бережет — зернышко 16,4 кг бережет

11. Два вершка (или полвершка) от горшка, а уже указчик — 0,888 м (или 0,222 м) от горшка, а уже указчик.

12. У нее суббота через пятницу на два вершка вылезла — у нее суббота через пятницу на 0,888 м вылезла.

13. Не уступишь не пяди — не уступишь не 27 см.

14. Уступишь на пядь, потеряешь сажень — уступишь 27 см, потеряешь 2,13 м.

15. Семь пядей во лбу — 189 см во лбу.

16. Сам с ноготок, а борода с локоток — сам с локоток, а борода 38—46 см.

17. Шагнул и царство покорил — на 71 см шагнул и царство покорил.

18. Ни шагу назад! — ни 71 см назад.

19. Каждый купец на свой аршин меряет — каждый купец на свои 71 см меряет.

20. На аршин борода, да ума на пядь — на 71 см борода, а ума на 27 см.

21. Косая сажень в плечах — 2,13 м в плечах.

22. Москва верстой далека, а сердцу рядом — Москва на 1,067 км далека, а сердцу рядом.

23. Любовь не верстами меряется — любовь не 1,067 км меряется.

24. От слова до дела — целая верста — от слова до дела — 1,067 км.

25. Верстой ближе, пятаком дешевле — 1,067 км ближе, пятаком дешевле.

26. Семь вёрст молодцу не крюк — 7,469 км молодцу не крюк.

27. Его за версту видно — его видно за 1,067 км.

28. От мысли до мысли пять тысяч верст — от мысли до мысли — 5335 км.

29. Писать о чужих грехах аршинами, а о своих — строчными буквами — писать о чужих грехах 71 см, а о своих строчными буквами.

30. Тянись верстой, да не будь простой — тянись на 1,067 км, да не будь простой.

Если вы хотите всегда вовремя узнавать о новых публикациях на сайте, то подпишитесь на нашу рассылку.

Памятка по математике 2-4 классы. Меры массы, площади, объема, длины

Инфоурок › Математика ›Другие методич. материалы›Памятка по математике 2-4 классы. Меры массы, площади, объема, длины

Курс повышения квалификации

Курс профессиональной переподготовки

Учитель математики

Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Выберите категорию: Все категорииАлгебраАнглийский языкАстрономияБиологияВнеурочная деятельностьВсеобщая историяГеографияГеометрияДиректору, завучуДоп. образованиеДошкольное образованиеЕстествознаниеИЗО, МХКИностранные языкиИнформатикаИстория РоссииКлассному руководителюКоррекционное обучениеЛитератураЛитературное чтениеЛогопедия, ДефектологияМатематикаМузыкаНачальные классыНемецкий языкОБЖОбществознаниеОкружающий мирПриродоведениеРелигиоведениеРодная литератураРодной языкРусский языкСоциальному педагогуТехнологияУкраинский языкФизикаФизическая культураФилософияФранцузский языкХимияЧерчениеШкольному психологуЭкологияДругое

Выберите класс: Все классыДошкольники1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс

Выберите учебник: Все учебники

Выберите тему: Все темы

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Номер материала: ДБ-959843

Оставьте свой комментарий

Интегрированный урок физика-алгебра по теме «Меры длины, площади,объёма, массы в наше время и в древности»

Инфоурок › Физика ›Презентации›Интегрированный урок физика-алгебра по теме «Меры длины, площади,объёма, массы в наше время и в древности»

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Описание слайда:

Урок № 30 Урок № 30 Урок № 4 ИНТЕГРИРОВАННЫЙ УРОК класс Преподаватель: Баринова Лариса Алексеевна Якубовская Татьяна Александровна

2 слайд Описание слайда:

«Наука начинается с тех пор, как начинают измерять. Точная наука немыслима без меры» Д.И. Менделеев

3 слайд Описание слайда:

До принятия метрической системы (СИ), люди разных стран пользовались своими единицами измерения. Чаще всего эти размеры соответствовали размерам предметов, которые были всегда под рукой, а ещё чаще размерам самой руки. Недостатком таких измерений было то, что они зависели от размеров конкретного человека и могли сильно отличаться при измерении одного и того же предмета разными людьми.

4 слайд Описание слайда:

Меры длины.

5 слайд Описание слайда:

ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ДРЕВНЕЙ РУСИ перст – был равен ширине указательного пальца, что составляет примерно 2 см вершок дюйм пядь сажень локоть аршин

6 слайд Описание слайда:

Верста – старорусская путевая мера (её раннее название — »поприще»). Этим словом, первоначально называли расстояние, пройденное от одного поворота плуга до другого во время пахоты. «Верстой» также назывался верстовой столб на дороге.

7 слайд Описание слайда:

1 сажень = 3 аршина = 12 пядей = 48 вершков = 84 дюйма = 213,36 см 1 вершок = 4,45 сантиметра 1 пядь = 19-23 см 1 локоть = 38-46 см 1 аршин = 16 вершкам = 71 сантиметру 1 сажень = 3 аршинам = 2,13 метра 1 верста = 500 саженям = 1,06 км Для измерения длины в Англии использовались дюйм, ярд, фут.

8 слайд Описание слайда:

Морская миля Миля — это русская мера длины используется для измерения больших расстояний равна 7 верстам или 70468 км. И в наше время эта единица актуальна. И используется в морской профессии.

9 слайд Описание слайда:

ЛЮБОПЫТНЫЕ СПОСОБЫ ИЗМЕРЕНИЯ У славян была такая мера длины, как «вержение камня», «перестрел» , «бычачий рев» , «пушечный выстрел» У эстонских моряков – «три трубки» В Японии – «соломенный башмак» В Испании – «сигара» В Сибири – бука У римлян — югер

10 слайд Описание слайда:

Меры объема.

11 слайд Описание слайда:

Старинные меры объема: 1 куб. сажень = 9,713 куб. метра 1 куб. аршин = 0,3597 куб. метра 1 куб. вершок = 87,82 куб. см 1 куб. фут = 28,32 куб. дециметра (литра) 1 куб. дюйм = 16,39 куб. см 1 куб. линия = 16,39 куб. мм 1 Кварта — немногим больше литра. : .

12 слайд Описание слайда:

Ведро = 1/40 бочки = 10 кружек = 30 фунтов воды = 100 чарок = 200 шкаликов = 12 литров. Это железная, деревянная или кожаная посуда, преимущественно цилиндрической формы, с ушками или дужкой для ношения. В обиходе, два ведра на коромысле должны быть в «подъём женщине». Деление на более мелкие меры проводилось по двоичному принципу: ведро делили на 2 полуведра или на 4 четверти ведра или на 8 получетвертей, а также на кружки и чарки. Объем ведра был равен 134,297 кубических вершков. Древнейшая «международная» мера объёма — «горсть».

13 слайд Описание слайда:

Бочка, как мера жидкостей применялась в основном в процессе торговли с иностранцами, которым запрещалось вести розничную торговлю вином на малые меры. Равнялась 40 ведрам (492 л) Чаще всего в крестьянском быту использовались небольшие бочки и бочонки от 5-и до 120-и литров. Большие бочки вмещали до сорока вёдер (сороковки).

14 слайд Описание слайда:

Кружка (слово означает – «для пития по кругу») = 10 чаркам = 1,23 л. Современный граненый стакан раньше назывался «досканом» (строганые доски), состоящим из обвязанных верёвкой ладов-дощечек, вокруг деревянного донца. Чарка (русская мера жидкости) = 1/10 штофа = 2 шкаликам = 0,123 л.

15 слайд Описание слайда:

Меры массы.

16 слайд Описание слайда:

На Руси использовались в торговле следующие меры веса : берковец = 10 пудов пуд = 40 фунтов = 16,38 кг фунт (гривна) = 96 золотников = 0,41 кг лот = 3 золотника = 12,797 г золотник = 4,27 г доля = 0,044 г

17 слайд Описание слайда:

БЕРКОВЕЦ — от названия острова Бьерк. Так на Руси называлась мера веса в 10 пудов, как раз стандартная бочка с воском, которую один человек мог закатить на купеческую ладью, плывущую на этот самый остров. (163,8 кг). Известно упоминание берковца в XII веке в уставной грамоте князя Всеволода Гавриила Мстиславича новгородскому купечеству. ЗОЛОТНИК равнялся 4,26 г. Про него говорили: «мал золотник да дорог». Это слово, первоначально обозначало зoлотую монету. КУЛЬ — эта большая мера веса, употреблялась в оптовой торговле преимущественно для взвешивания воска, меда и т.д. ГАРНЕЦ («горшок» по-древнерусски). Общевосточнославянская мера сыпучих тел. «Найдется купец и на дырявый гарнец!»

18 слайд Описание слайда:

Массу можно определять, сравнивая скорости, приобретенные при взаимодействии, но на практике проще это сделать с помощью весов. Весы могут быть разные.

19 слайд Описание слайда:

Меры площади.

20 слайд Описание слайда:

Меры площади поверхности: 1 кв. верста = 250000 квадратных саженей = 1,138 кв. километра 1 десятина = 2400 квадратных саженей = 1,093 гектара 1 копна = 0,1 десятины 1 кв. сажень = 16 квадратных аршинов = 4,552 кв. метра 1 кв. аршин=0,5058 кв. метра 1 кв. вершок=19,76 кв. см 1 кв. фут=9,29 кв. дюйма=0,0929 кв. м 1 кв. дюйм=6,452 кв. сантиметра 1 кв. линия=6,452 кв. миллиметра

21 слайд Описание слайда:

Основной мерой измерения площадей считалась десятина, а так же, доли десятины: полдесятины, четверть (четь — составляла 40 саженъ длины и 30 широты) и так далее. Землемеры применяли (особенно после «Соборного уложения» 1649 г.) преимущественно, казённую трехаршинную сажень, равную 2.1336 м., таким образом, десятина в 2400 квадратных сажен равнялась, приблизительно, 1.093 гектара. МЕРЫ ПЛОЩАДИ

22 слайд Описание слайда:

Масштабы использования десятины и четверти росли в соответствии с освоением угодий и увеличением территории государства В 40-х годах XVI века один из просвещеннейших людей Ермолай Еразм предложил пользоваться более крупной единицей — четверогранным поприщем, под которым подразумевалась квадратная площадь со стороной в 1000-саженную версту. МЕРЫ ПЛОЩАДИ

23 слайд Описание слайда:

При определении площадей сенокосных угодий десятина внедрялась с большим трудом т.к. угодия из-за их расположения и неправильных форм были неудобны для измерения. Чаще применялась урожайная мера — копна. Постепенно эта мера получила значение, увязанное с десятиной, и подразделялась на 2 полукопны, на 4 четверти копны, на 8 полчетвертей копны и т.д. С течением времени копна, как мера площади, была приравнена 0,1 десятины (т.е. считали, что с десятины снимали в среднем 10 копен сена). Трудовые и посевные меры выражались через геометрическую меру — десятину. МЕРЫ ПЛОЩАДИ

24 слайд Описание слайда:

В 1960 году на Генеральной конференции по мерам и весам представители 32 стран приняли Международную систему единиц. С 1963 года этой системой пользуются во всех областях науки, техники и народного хозяйства.

25 слайд Описание слайда:

МЕРЫ ДЛИНЫ или ЛИНЕЙНЫЕ 1 километр (км) = 1 000 метров (м) 1 метр (м) = 10 дециметров (дм) = 100 сантиметров (см) 1 дециметр (дм) = 10 сантиметров (см) 1 сантиметр (см) = 10 миллиметров (мм) МЕРЫ МАССЫ 1 тонна (т) = 1 000 килограммов (кг) 1 центнер (ц) = 100 килограммов (кг) 1 килограмм (кг) = 1 000 граммов (г) 1 грамм (г) = 1 000 миллиграммов (мг) МЕРЫ ПЛОЩАДИ 1 кв. километр (кв. км) = 1 000 000 кв. метров (кв. м) 1 кв. метр (кв. м) = 100 кв. дециметров (кв. дм) = 10 000 кв. сантиметров (кв. см) 1 кв. дециметр (кв. дм) = 100 кв. сантиметров (кв. см) = 10 000 кв. миллиметров (кв. мм.) 1 гектар (га) = 100 аров (а) = 10 000 кв. метров (кв. м) 1 ар (а) = 100 кв. метров (кв. м) МЕРЫ ОБЪЕМА 1 куб. метр (куб. м) = 1 000 куб. дециметров = 1 000 000 куб. сантиметров (куб. см) 1 куб. дециметр (куб. дм) = 1 000 куб. сантиметров (куб. см) 1 литр (л) = 1 куб. дециметр (куб. дм) 1 гектолитр (гл) = 100 литров (л)

26 слайд Описание слайда:

МЕЖДУНАРОДНЫЕ ЭТАЛОНЫ. Эталон метра Эталон килограмма

27 слайд Описание слайда:

Старинные меры длины в пословицах и поговорках: Один, как перст . От горшка два вершка. Семь пядей во лбу. Каждый купец на свой аршин меряет. Косая сажень в плечах. Полено к полену – сажень. От слова до дела — целая верста. Семимильные шаги.

28 слайд Описание слайда:

Таблица перевода различных единиц длины в метры. Название приставки Название единицы кратной или дольной метру Множитель милли (м) миллиметр (мм) 0,001 санти (см) сантиметр (см) 0,01 деци (д) дециметр (дм) 0,1 кило (к) километр (км) 1000 нано (н) нанометр (нм) 0,000000001 микро (мк) микрометр (мкм) 0,000001 мега (М) мегаметр (Мм) 1 000 000 гига (Г) гигаметр (Гм) 1 000 000 000

29 слайд Описание слайда:

Викторина (единицы измерения). Найди пары! 10 мм 60 с 1 мин 1000 г 1 кг 1000 мг 1 см 1 дм 100 см 1 г 10 см 1 м 60 мин 1000 кг 1 т 1ч

30 слайд Описание слайда:

Викторина (приставки). Найди пары! кило (к) 10⁻² нано (нано) микро (мк) 10⁹ 10⁻³ 10⁻⁶ 10⁶ гига (Г) 10⁻¹ 10³ деци (д) 10⁻⁹ санти (с) мега (М) милли (м)

31 слайд Описание слайда:

Переведи в современные меры веса Продукты для приготовления пасхи: Творог — 2,4 фунта, Яйца — 3 шт., Изюм — пол фунта, Сливочное масло — 1\4 фунта, Сахара — 1\2 фунта, Соль — 1 золотник, Ванилин – щепотка. 40 фунтов = 16,38 кг фунт = 0,41 кг золотник = 4,3 г щепотка = 2 г Задача-рецепт подобрана учеником 7 класса.

32 слайд Описание слайда:

1.Haукa о природе. 2.Прибор для измерения длины. З.Прибор для измерения объема жидкости. 4. Физическое тело, представляющее собой длинный и тонкий кусок металла. 5.Твердое вещество, которое часто используется для изготовления школьных принадлежностей. 6. Мера нагретости тела. Кроссворд составлен учеником 7 класса.

Курс повышения квалификации

Курс профессиональной переподготовки

Учитель физики

Курс повышения квалификации

Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Выберите учебник: Все учебники

Выберите тему: Все темы

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Номер материала: ДБ-348150

Оставьте свой комментарий

Таблицы мер и единиц площади. Конвертер

Конвертер единиц площади поможет переводить значения величин из одной системы мер в другую. Например, Вам нужно знать, сколько квадратных дюймов будет в листе фанеры, площадью в 2 квадратных метра. Или определить площадь земельного участка в акрах, если известна его площадь в гектарах. А можно просто пользоваться таблицами, которые Вы видите ниже, и в которых представлены единицы площади в метрической, английской и старорусской системе мер.

Таблица единиц площади в метрической системе мер

1 см²	100 мм²
1 дм²	100 см²
1 дм²	10 000 мм²
1 м²	100 дм²
1 м²	10 000 см²
1 м²	1 000 000 мм²
1 ар (сотка)	100 м²
1 га	100 ар
1 га	10 000 м²
1 км²	100 га
1 км²	10 000 ар
1 км²	1 000 000 м²

Таблица единиц площади в британской системе мер

1 дюйм²	645,16 мм²
1 фут²	144 дюйма²
1 ярд²	9 футов²
1 ярд²	1 296 дюймов²
1 акр	4 840 ярдов²
1 акр	43 560 футов²
1 миля²	640 акров
1 миля²	3 097 600 ярдов²

Таблица единиц площади в старорусской системе мер

1 аршин²	784 дюйма²
1 сажень²	9 аршин²
1 сажень²	7 056 дюймов²
1 верста²	250 000 саженей²
1 верста²	2 250 000 аршин²

Конвертер единиц площади

Перевести

Поделитесь информацией с друзьями

Другие таблицы

Меры объёма
Меры длины

секторов, областей и дуг | Purplemath

Purplemath

Как вы помните из геометрии, задается площадь A окружности с радиусом длины r :

Окружность C (то есть длина по внешней стороне) того же круга определяется как:

Эти формулы дают нам площадь и длину дуги (то есть длину «дуги» или изогнутой линии) для всего круга .Но иногда нам нужно работать только с частью оборота круга или со многими оборотами круга. Какие формулы мы тогда используем?

MathHelp.com

Если мы начнем с круга с обозначенной радиусной линией и немного повернем круг, то выделенная область будет выглядеть как кусок пирога или кусок пиццы; это называется «сектором» круга, и этот сектор выглядит как зеленая часть этого изображения:

Угол, отмеченный исходным и конечным местоположениями радиусной линии (то есть, угол в центре пирога / пиццы), является «вытянутым» углом сектора.Этот угол также можно назвать «центральным» углом сектора. На картинке выше центральный угол обозначен как «θ» (произносится как «THAY-tuh»).

Филиал

Какова площадь A сектора, ограниченного отмеченным центральным углом θ? Какова длина s дуги, являющейся частью окружности, образуемой этим углом?

Чтобы определить эти значения, давайте сначала внимательно рассмотрим формулы площади и окружности.Площадь и длина окружности указаны для всей окружности, т.е. на один полный оборот радиусной линии. Подложенный угол для «одного полного оборота» составляет 2π. Таким образом, формулы для площади и окружности всего круга можно переформулировать как:

Каков смысл разделения значения угла «один раз по кругу»? Я сделал это, чтобы подчеркнуть, как угол всего круга (равный 2π) вписывается в формулы для всего круга.Затем это позволяет нам точно увидеть, как и где предполагаемый угол θ сектора впишется в формулы сектора. Теперь мы можем заменить угол «один раз вокруг» (то есть 2π) для всей окружности мерой угла наклона сектора θ, и это даст нам формулы для площади и длины дуги этого сектора:

Примечание. Если вы работаете с углами, измеряемыми в градусах, а не в радианах, вам необходимо включить дополнительный коэффициент преобразования:

Признание: Большая часть причины, по которой я объяснил взаимосвязь между формулами круга и формулами сектора, заключается в том, что я никогда не мог отслеживать формулы площади сектора и длины дуги; Я всегда их забывала или портила.Но я всегда мог вспомнить формулы для площади и длины окружности всего круга. Таким образом, я узнал (на собственном горьком опыте), что, помня о вышеупомянутой взаимосвязи, отмечая, где идут углы в формулах для полного круга, всегда можно сохранить прямую форму.

Для окружности с радиусом r = 8 единиц и сектора с прилегающим углом 45 ° найдите площадь сектора и длину дуги.

Они дали мне радиус и центральный угол, так что я могу просто ввести формулы и упростить получение ответов. Для удобства я сначала конвертирую «45 °» в соответствующее значение радиана

π / 4. Затем я сделаю свой плагин:

Тогда мой ответ:

площадь A = 8π квадратных единиц, длина дуги с = 2π единиц

Обратите внимание, как я добавляю «единицы» в свои ответы.Если бы они указали конкретную единицу измерения радиуса, например «сантиметры» или «мили» или что-то еще, то я мог бы дать более конкретный ответ. Как бы то ни было, я должен был быть общим.

Часто, если в вопросе не указывается единица или просто говорится «единицы», вы, вероятно, можете уйти, не добавляя «единицы» в свой ответ. Однако это часто приводит к плохой привычке полностью игнорировать юниты, а потом — сюрприз! — инструктор рассчитывает на тесте, потому что вы не включили никаких единиц.Вероятно, лучше проявить осторожность и всегда ставить или единиц в свои ответы, даже если это просто «единицы».

Дан сектор радиусом r = 3 см и соответствующей длиной дуги 5π радиан, найдите площадь сектора.

Для этого упражнения мне дали радиус и длину дуги. Чтобы найти площадь сектора, мне нужно измерить центральный угол, который мне дали , а не .Однако в формулу длины дуги входит центральный угол. Итак, я могу подставить радиус и длину дуги в формулу длины дуги и найти меру приложенного угла. Как только у меня это получится, я могу быстро найти сектор.

Таким образом, центральный угол этого сектора составляет

(5/3) π. Тогда площадь сектора равна:

И это значение — числовая часть моего ответа.Поскольку это значение означает «площадь», то есть квадратное измерение, я хочу не забыть поставить «квадрат» на единицы, которые они дали мне для радиуса.

см ²

Иногда упражнение дает вам информацию, но, как и выше, может показаться, что это не та информация, которая вам действительно нужна. Не бойтесь возиться со значениями и формулами; попытайтесь выяснить, сможете ли вы найти черный ход к решению или какую-нибудь другую манипуляцию, которая даст вам то, что вам нужно.Это нормально не знать в самом начале, как вы собираетесь дойти до конца. (И, если они сообщают или спрашивают диаметр, помните, что радиус равен половине диаметра, а диаметр — удвоенному радиусу.)

Сектор круга имеет площадь 108 см. ², а сектор пересекает дугу длиной 12 см. Найдите диаметр круга.

У меня спросили диаметр.В формулах, которые я узнал, используется радиус. Но я могу найти радиус, а затем удвоить его, чтобы получить диаметр, так что это не проблема. Однако они попросили меня указать длину, учитывая длину дуги и площадь, каждая из которых использует радиус и предполагаемый угол. И у меня нет ни одной из этих ценностей. Так что же мне делать?

Когда я не могу придумать, что еще делать, я включаю все, что они мне дали, в любые формулы, которые могут иметь отношение, и я надеюсь, что из этого выпадет что-то, что я смогу использовать.Итак:

A = (θ / 2) r ² = 108

с = θ r = 12

Я могу заменить из второй строки выше на первую строку выше (после некоторой перестановки) и посмотреть, поможет ли мне результат вообще:

(θ / 2) r ² = 108

(1/2) [θ r ] r = 108

(1/2) [12] r = 108

r = 18

га! Я нашел значение радиуса! У меня нет значения центрального угла, но они этого не просили, и, оказывается, мне это все равно не понадобилось.Они спросили меня о диаметре, который в два раза больше радиуса, поэтому мой ответ (включая единицы измерения!):

URL: https://www.purplemath.com/modules/sectors.htm

Калькулятор прямоугольного треугольника

Укажите 2 значения ниже, чтобы рассчитать другие значения прямоугольного треугольника. Если в качестве единицы измерения угла выбраны радианы, он может принимать такие значения, как пи / 3, пи / 4 и т. Д.

Калькулятор связанного треугольника | Калькулятор по теореме Пифагора

Прямой треугольник

Прямоугольный треугольник — это тип треугольника, угол которого составляет 90 °. Правые треугольники и отношения между их сторонами и углами являются основой тригонометрии.

В прямоугольном треугольнике сторона, противоположная углу 90 °, является самой длинной стороной треугольника и называется гипотенузой. Стороны прямоугольного треугольника обычно обозначают переменными a, b и c, где c — гипотенуза, а a и b — длины более коротких сторон.Их углы также обычно обозначаются прописной буквой, соответствующей длине стороны: угол A для стороны a, угол B для стороны b и угол C (для прямоугольного треугольника это будет 90 °) для стороны c, как показано ниже. . В этом калькуляторе для обозначения неизвестных угловых величин используются греческие символы α (альфа) и β (бета). h обозначает высоту треугольника, которая представляет собой длину от вершины прямого угла треугольника до гипотенузы треугольника. Высота делит исходный треугольник на два меньших, похожих треугольника, которые также похожи на исходный треугольник.

Если все три стороны прямоугольного треугольника имеют целые числа, это называется треугольником Пифагора. В треугольнике этого типа длины трех сторон в совокупности известны как тройка Пифагора. Примеры включают: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17 и т. Д.

Площадь и периметр прямоугольного треугольника рассчитываются так же, как и любого другого треугольника. Периметр — это сумма трех сторон треугольника, а площадь можно определить с помощью следующего уравнения:

Специальные прямоугольные треугольники

треугольник 30 ° -60 ° -90 °:

30 ° -60 ° -90 ° относится к угловым измерениям в градусах этого типа специального прямоугольного треугольника.В этом типе прямоугольного треугольника стороны, соответствующие углам 30 ° -60 ° -90 °, имеют соотношение 1: √3: 2. Таким образом, в этом типе треугольника, если длина одной стороны и соответствующий угол стороны известны, длина других сторон может быть определена с использованием вышеуказанного соотношения. Например, учитывая, что сторона, соответствующая углу 60 °, равна 5, пусть a — длина стороны, соответствующей углу 30 °, b — длина стороны 60 °, а c — длина стороны 90 °. сб .:

Углы: 30 °: 60 °: 90 °

Соотношение сторон: 1: √3: 2

Длина сторон: a: 5: c

Затем, используя известные отношения сторон этого особого типа треугольника:

Как видно из вышеизложенного, знание только одной стороны треугольника 30 ° -60 ° -90 ° позволяет относительно легко определить длину любой другой стороны.Этот тип треугольника можно использовать для вычисления тригонометрических функций, кратных π / 6.

45 ° -45 ° -90 ° треугольник:

Треугольник 45 ° -45 ° -90 °, также называемый равнобедренным прямоугольным треугольником, поскольку он имеет две стороны равной длины, является прямоугольным треугольником, в котором стороны, соответствующие углам, составляют 45 ° -45 ° -90 °, соблюдайте соотношение 1: 1: √2. Как и в треугольнике 30 ° -60 ° -90 °, знание длины одной стороны позволяет определить длины других сторон треугольника 45 ° -45 ° -90 °.

Углы: 45 °: 45 °: 90 °

Соотношение сторон: 1: 1: √2

Длина сторон: a: a: c

Учитывая c = 5:

Треугольники 45 ° -45 ° -90 ° могут использоваться для вычисления тригонометрических функций для кратных π / 4.

ошибок измерения

Ошибка?
Нет … вы не измерили неправильно … это примерно точности .

Измерительные приборы не точны!

Степень точности

Точность зависит от прибора, которым вы проводите измерения.Но как правило:

Степень точности составляет половину единицы с каждой стороны единицы измерения

Примеры:

Когда ваш прибор измеряет в «1» с , тогда любое значение от 6½ до 7½ измеряется как «7»
Если ваш прибор измеряет в «2» с , тогда любое значение от 7 до 9 измеряется как «8»

Обратите внимание, что стрелка указывает на одно и то же место, но измеренные значения отличаются!

Плюс или Минус

Мы можем показать ошибку с помощью знака «плюс» или «минус»:

Когда значение может быть между 6½ и 7½ :

7 ± 0.5

Погрешность ± 0,5

Когда значение может быть между 7 и 9 :

8 ± 1

Погрешность ± 1

Пример: длина забора составляет 12,5 метра с точностью до 0,1 метра

С точностью до 0,1 м означает, что может быть до 0,05 м в любом направлении:

Длина = 12.5 ± 0,05 м

Так что это действительно может быть от 12,45 м до 12,55 м в длину.

Абсолютная, относительная и процентная ошибка

Абсолютная ошибка — это разница между фактическим значением и измеренным значением .
Но … при измерении мы не знаем действительного значения! Итак, мы используем максимально возможную ошибку.
В приведенном выше примере абсолютная погрешность составляет 0,05 м.
Что случилось с ±…? Ну, нам просто нужен размер (абсолютное значение) разницы.
Относительная ошибка — это абсолютная ошибка, деленная на фактическое измерение.
Мы не знаем фактического измерения, поэтому лучшее, что мы можем сделать, это использовать измеренное значение :
Относительная ошибка = Абсолютная ошибка Измеренное значение
Ошибка в процентах — это относительная ошибка, отображаемая в процентах (см. Ошибка в процентах).
Рассмотрим их на примере:
Пример: забор (продолжение)
Длина = 12.5 ± 0,05 м
Итак:
Абсолютная ошибка = 0,05 м
А:
Относительная погрешность = 0,05 м 12,5 м = 0,004
А:
Ошибка в процентах = 0,4%
Другие примеры:
Пример: термометр измеряет с точностью до 2 градусов. Температура составила 38 ° C
Температура может составлять до 1 ° в любую сторону от 38 ° (т. Е. От 37 ° до 39 °)
Температура = 38 ± 1 °
Итак:
Абсолютная ошибка = 1 °
А:
Относительная погрешность = 1 ° 38 ° = 0.0263 …
А:
Ошибка в процентах = 2,63 …%
Пример: вы измеряете высоту растения 80 см (с точностью до см)
Это означает, что вы можете ошибиться на 0,5 см (высота растения может быть от 79,5 до 80,5 см)
Высота = 80 ± 0,5 см
Итак:
Абсолютная ошибка = 0,5 см
А:
Относительная погрешность = 0,5 см 80 см = 0.00625
А:
Ошибка в процентах = 0,625%
Площадь
При проработке областей вы должны думать как о ширине , так и о длине … они могут быть как наименьшей мерой, так и обеими наибольшими.
Пример: Алекс измерил поле с точностью до метра и получил ширину 6 м и длину 8 м.
Измерение с точностью до метра означает, что истинное значение может быть на полметра меньше или больше.
Ширина (w) может составлять от 5,5 м до 6,5 м:
5,5 ≤ w <6,5
Длина (l) может составлять от 7,5 м до 8,5 м:
7,5 ≤ л <8,5
Площадка ширина × длина:
A = ш × д
Наименьшая возможная площадь: 5,5 м × 7,5 м = 41,25 м ²
Измеренная площадь: 6 м × 8 м = 48 м ²
И максимально возможная площадь: 6,5 м × 8.5 м = 55,25 м ²
41,25 ≤ A <55,25
Абсолютная, относительная и процентная ошибка
Единственная хитрость здесь … какой является абсолютной ошибкой?
От 41,25 до 48 = 6,75
От 48 до 55,25 = 7,25
Ответ: выбирайте самый большой! Итак:
Абсолютная ошибка = 7,25 м ²
Относительная ошибка = 7.25 м ² 48 м ² = 0,151 …
Ошибка в процентах = 15,1%
(что не очень точно, правда?)
Объем
А объем имеет три измерения: ширина , длина и высота!
Каждое измерение может быть наименьшим из возможных или наибольшим.
Пример: Сэм измерил коробку с точностью до 2 см и получил 24 см × 24 см × 20 см
Измерение с точностью до 2 см означает, что истинное значение может быть до на 1 см меньше или больше.
Три размера:
24 ± 1 см
24 ± 1 см
20 ± 1 см
Объем: ширина × длина × высота:
V = ш × д × в
Наименьший возможный объем: 23 см × 23 см × 19 см = 10051 см ³
Измеренный объем: 24 см × 24 см × 20 см = 11520 см ³
Максимально возможный объем: 25 см × 25 см × 21 см = 13125 см ³
И так получаем:
10051 ≤ В <13125
Абсолютная, относительная и процентная ошибка
Абсолютная ошибка:
От 10051 до 11520 = 1469
от 11520 до 13125 = 1605
Выберите самый большой:
Абсолютная ошибка = 1605 см ³
Относительная погрешность = 1605 см ³ 11520 см ³ = 0.139 …
Per
Измерение длины и площади — Скачать PDF бесплатно
1 11 Измерение длины и площади 11.1 Области треугольников и параллелограммов 11.2 Области трапеций, ромбов и воздушных змеев 11.3 Периметр и площадь аналогичных фигур 11.4 Окружность и длина дуги 11.5 Области кругов и секторов 11.6 Области правильных многоугольников 11.7 Использование геометрической вероятности до В предыдущих главах вы изучили следующие навыки, которые вы будете использовать в главе 11: применение свойств окружностей и многоугольников, использование формул, решение для длин в прямоугольных треугольниках и с использованием соотношений и пропорций. Необходимые навыки ПРОВЕРКА СЛОВА Дайте указанную меру для (стр. 1. Радиуса 2. диаметра 3. mcadb D C P B A ПРОВЕРКА НАВЫКОВ И АЛГЕБРЫ 4.Воспользуйтесь формулой, чтобы найти ширину w прямоугольника, имеющего периметр 24 см и длину 9 см. (Просмотрите стр. 49 для 11.1.) В n ABC угол C является прямым. Используйте данную информацию, чтобы найти AC. (Просмотрите стр. 433, 457, 473 для 11.1, 11.6.) 5. AB 5 14, BC m A 5 358, AB m B 5 608, BC Какие специальные четырехугольники имеют диагонали, пересекающие друг друга пополам? (Просмотрите стр. 533, 542 для 11.2.) 9. Используйте пропорции, чтобы найти XY, если nuvw, nxyz. (См. Стр. 372 для 11.3.) U V 5 8 W X Y 12 Z 718
2 Теперь В главе 11 вы примените важные идеи, перечисленные ниже и рассмотренные в Резюме главы на странице 779.Вы также будете использовать ключевую лексику, указанную ниже. Основные идеи 1 Использование формул площади для многоугольников 2 Соотношение длины, периметра и отношения площадей в похожих многоугольниках 3 Сравнение мер для частей окружности и всего круга КЛЮЧЕВОЙ СЛОВАРЬ основания параллелограмма, стр. 720 высота параллелограмма, стр. 720 высота трапеции, стр. 730 окружность, стр. 746 длина дуги, стр. 747 сектор круга, стр. 756 центр многоугольника, стр. 762 радиус многоугольника, стр. 762 апофема многоугольника, стр. 762 центральный угол правильного многоугольника, стр.762 вероятность, стр. 771 геометрическая вероятность, стр. 771 Почему? Вы можете применять формулы для периметра, окружности и площади, чтобы находить и сравнивать меры. Чтобы определить длину беговой дорожки, ее можно разбить на прямые стороны и полукруги. Геометрия Анимация, показанная ниже для примера 5 на стр. 749, поможет вам ответить на этот вопрос: как далеко бегун проходит, чтобы обогнуть дорожку? Ваша цель — найти расстояние, пройденное двумя бегунами по разным дорожкам. Выберите правильные выражения, чтобы завершить уравнение.Геометрия на classzone.com Другие анимации для главы 11: страницы 720, 739, 759, 765 и
3 11.1 Области треугольников и параллелограммов Перед тем, как вы узнали о свойствах треугольников и параллелограммов. Теперь вы найдете области треугольников и параллелограммов. Зачем? Таким образом, вы можете спланировать проект по изготовлению украшений, как в Исх. 44. Ключевые словарные основы высоты параллелограмма области параллелограмма, с. 49 периметр, стр. 49 ПОСТУЛАТ ПОСТУЛАТОВ 24 Площадь постулата квадрата для вашей записной книжки Площадь квадрата — это квадрат длины его стороны.s ПОСТУЛАТ 25 Постулат конгруэнтности площадей A 5 s 2 Если два многоугольника конгруэнтны, то они имеют одинаковую площадь. ПОСТУЛАТ 26 Постулат сложения площади Площадь области — это сумма площадей ее неперекрывающихся частей. ПРЯМОУГОЛЬНИКИ Прямоугольник размером b единиц на h можно разделить на квадраты единиц bph, так что формула площади прямоугольника следует из постулатов 24 и 26. ТЕОРЕМА для вашего ноутбука ТЕОРЕМА 11.1. его основания и высоты.Обоснование: Исх. 46, стр. 726 b A 5 bh h СХЕМЫ ЧТЕНИЯ Слово base может относиться к сегменту или его длине. Сегмент, используемый для определения высоты, должен быть перпендикулярен используемым основаниям. ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ Любая пара параллельных сторон может использоваться в качестве основания параллелограмма. Высота — это перпендикулярное расстояние между этими основаниями. Если вы трансформируете прямоугольник, чтобы сформировать другие параллелограммы с тем же основанием и высотой, площадь останется прежней. base height base at classzone.com 720 Глава 11 Измерение длины и площади
4 ПРОЧИТАЙТЕ СЛОВАРЬ Высота треугольника — это длина высоты, проведенной до данной базы.ТЕОРЕМЫ ТЕОРЕМА 11.2 Площадь параллелограмма Площадь параллелограмма является произведением основания и соответствующей ему высоты. Обоснование: Исх. 42, стр. 725 ТЕОРЕМА 11.3 Площадь треугольника Площадь треугольника равна половине произведения основания и соответствующей высоты. Обоснование: Исх. 43, стр. 726 Для вашего ноутбука hb A 5 bh hb A 5} 1 bh 2 ФОРМУЛ СВЯЗАННОЙ ОБЛАСТИ Как показано ниже, формула площади для параллелограмма связана с формулой для прямоугольника, а формула площади для треугольника связана с формулой для параллелограмм.Вы напишете обоснование этих соотношений в упражнениях 42 и 43 на страницах hhb Площадь ~ 5 Площадь прямоугольника b Площадь n 5 1} 2 p Площадь ~ E XAMPLE 1 Используйте формулу, чтобы найти площадь. Найдите площадь ~ PQRS. . Решение P R 4 12 T 8 Метод 1 Используйте} PS в качестве основы. Основание удлиняется для измерения высоты RU. Итак, b 5 6 и h 5 8. P 6 S U Площадь 5 bh 5 6 (8) 5 48 квадратных единиц Метод 2 Используйте} PQ в качестве основы. Тогда высота равна QT. Итак, b 5 12 и h 5 4. Площадь 5 bh 5 12 (4) 5 48 квадратных единиц РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ПРАКТИКИ для примера 1 Найдите периметр и площадь многоугольника. Области треугольников и параллелограммов 721
5 E XAMPLE 2 Решите относительно неизвестных меры НАРИСОВАТЬ ДИАГРАММЫ Обратите внимание, что есть и другие способы нарисовать треугольник, описанные в Примере 2.АЛГЕБРА Основание треугольника вдвое больше его высоты. Площадь треугольника — 36 квадратных дюймов. Найдите основание и высоту. Пусть h представляет высоту треугольника. Тогда база равна 2ч. A5} 1 ч. Ч. Запишите формулу. 2 2h h 2h 36 5} 1 (2h) (h) 2 Заменить 36 на A и 2h на b h 2 Упростить. 65 ч. Найдите положительный квадратный корень из каждой стороны. c Высота треугольника — 6 дюймов, основание — 6 p дюймов. E ПРИМЕР 3 Решите многоэтапную задачу ПОКРАСКА Вам нужно купить краску, чтобы можно было покрасить боковину сарая.Галлон краски покрывает 350 квадратных футов. Сколько галлонов вы должны купить? ДРУГОЙ СПОСОБ В примере 3 у вас есть треугольник, поэтому вы также можете найти x, используя тригонометрию или специальные прямые углы. Решение Вы можете использовать прямоугольный и прямоугольный треугольники, чтобы приблизительно определить площадь стороны сарая. ШАГ 1 Найдите длину x каждого катета треугольника x 2 1 x 2 Используйте теорему Пифагора x 2 Упростите. Ï} x Найдите положительное значение x. 18 футов 26 футов 26 футов 18 футов ШАГ 2 Найдите приблизительную площадь стороны сарая.Площадь 5 Площадь прямоугольника 1 Площадь треугольника 5 26 (18) 1 1} 2 p F (Ï} 338) (Ï} 338) G ft 2 ШАГ 3 Определите, сколько галлонов краски вам нужно. 637 футов 2 фунта} 1 галлон ø 1,82 галлона Используйте анализ единиц измерения. 350 футов 2 c Округлите, чтобы у вас было достаточно краски. Вам нужно купить 2 галлона краски. РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ПРИМЕРОВ 2 и 3 4. Параллелограмм имеет площадь 153 квадратных дюйма и высоту 17 дюймов. Какая длина основания? 5. ЧТО ЕСЛИ? В примере 3 предположим, что сбоку от сарая есть прямоугольное окно размером 5 на 10 футов.Какую приблизительную область вам нужно покрасить? 722 Глава 11 Измерение длины и площади
6 11.1 УПРАЖНЕНИЯ НАВЫКИ ПРАКТИКА КЛЮЧ ДЛЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ 5 ПРОЧИТАННЫЕ РЕШЕНИЯ на стр. WS1 для Exs. 7, 23 и 37 5 СТАНДАРТНАЯ ПРАКТИКА ИСПЫТАНИЙ Exs. 2, 21, 30, 39 и СЛОВАРЬ Копирование и завершение: любую пару параллельных сторон параллелограмма можно назвать его?, А расстояние по перпендикуляру между этими сторонами называется ?. 2. ПИСЬМО. Какие две формулы вы выучили для определения площади прямоугольника? Объясните, почему эти формулы дают одинаковые результаты.ПРИМЕР 1 ПОИСК ОБЛАСТИ Найдите площадь многоугольника. на стр. 721 для Exs МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ Покажите два разных способа вычисления площади параллелограмма ABCD. Сравните свои результаты. A B 8 E D 10 C АНАЛИЗ ОШИБОК Опишите и исправьте ошибку при нахождении области параллелограмма. 10. A 5 bh 5 (6) (5) A 5 bh 5 (7) (4) Пифагорейская теорема Даны длины гипотенузы и одного катета прямоугольного треугольника. Найдите периметр и площадь треугольника. 12. Гипотенуза: 15 дюймов; нога: 12 дюймов 13. Гипотенуза: 34 фута; нога: 16 футов 14.Гипотенуза: 85 м; нога: 84 м 15. Гипотенуза: 29 см; ножка: 20 см. ПРИМЕР 2 на стр. 722 для Exs АЛГЕБРА Найдите значение x. 16. A 5 36 дюймов A ft A см 2 x 12 футов 17 см 12 дюймов x x 11,1 Площади треугольников и параллелограммов 723
7 19. АЛГЕБРА Площадь треугольника составляет 4 квадратных фута. Высота треугольника равна половине его основания. Найдите основание и высоту. 20. АЛГЕБРА Площадь параллелограмма составляет 507 квадратных сантиметров, а его высота в три раза больше основания.Найдите основание и высоту. 21. ОТКРЫТЫЕ МАТЕМАТИКИ Площадь многоугольника составляет 80 квадратных метров, а высота — 10 метров. Сделайте масштабные чертежи трех разных треугольников и трех разных параллелограммов, соответствующих этому описанию. Обозначьте основание и высоту. ПРИМЕР 3 на стр. 722 для Exs ПОИСК ОБЛАСТИ Найдите площадь закрашенного многоугольника фут см м 8 футов 13 см 10 м 17 футов 9 см 11 см 16 м дюймов 26 м 5 дюймов 19 дюймов 40 м 20 м 8 дюймов КООРДИНАТНАЯ ГРАФИКА Нарисуйте точки и соедините их в виде многоугольника.Найдите площадь многоугольника. 28. A (3, 3), B (10, 3), C (8, 23), D (1, 23) 29. E (22, 22), F (5, 1), G (3, 22) ) 30. МНОЖЕСТВЕННЫЙ ВЫБОР Какова площадь параллелограмма, показанного справа? A 8 футов 2 6 дюймов 2 B 1350 дюймов C 675 дюймов 2 D футов 2 2 футов 3 дюймов 4 футов 2 дюймов 31. ТЕХНОЛОГИЯ Используйте программное обеспечение для рисования геометрии, чтобы провести линию l и линию m, параллельную l. Затем нарисуйте n ABC так, чтобы C находился на прямой l, а} AB — на m. Найдите основание AB, высоту CD и площадь n ABC. Переместите точку C, чтобы изменить форму n ABC.Что вы заметили в основании, высоте и площади n ABC? 32. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ В ~ ABCD основание AD равно 15, а AB равно 8. Каковы высота и площадь ~ ABCD, если m DAB равно 208? если м DAB 508? 33. АЛГЕБРА Найдите площадь прямоугольного треугольника с длинами сторон 12, 35 и 37 сантиметров. Затем найдите длину высоты, проведенной к гипотенузе. 34. АЛГЕБРА Найдите площадь треугольника со сторонами 5 футов, 5 футов и 8 футов. Затем найдите длины всех трех высот треугольника.35. ЗАДАЧА Вершины четырехугольника ABCD — это A (2, 22), B (6, 4), C (21, 5) и D (25, 2). Не используя формулу расстояния, найдите площадь ABCD. Покажите свои шаги РАЗРАБОТАННЫЕ РЕШЕНИЯ на стр. WS1 5 СТАНДАРТНАЯ ПРАКТИКА ИСПЫТАНИЙ
8 РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМ 36. ПАРУС Паруса A и B представляют собой прямоугольные треугольники. Парус А имеет длину 65 и 35 футов. Парус B имеет длину 29,5 футов и 10,5 футов. Найдите площадь каждого паруса с точностью до квадратного фута.Примерно во сколько раз площадь паруса A больше площади паруса B? ПРИМЕР 3 на стр. 722 для Ex MOWING Вы можете скосить 10 квадратных ярдов травы за одну минуту. Сколько времени нужно, чтобы косить треугольный участок высотой 25 ярдов и основанием 24 ярда? Сколько времени нужно, чтобы косить прямоугольный участок с базой 24 ярда и высотой 36 ярдов? B 38. ПЛОТНИЦА Вы делаете стол в форме параллелограмма, чтобы заменить старый прямоугольный стол размером 24 на 15 дюймов. Вы хотите, чтобы площади двух таблиц были равны.Основание параллелограмма — 20 дюймов. Какой должна быть высота? 39. КРАТКИЙ ОТВЕТ Квадрат формата А4 дюйма — это квадрат со стороной 4 дюйма. Имеет ли 4-дюймовый квадрат площадь 4 квадратных дюйма? Если нет, то какой квадрат имеет площадь 4 квадратных дюйма? Объясни. 40. ЖИВОПИСЬ Вы зарабатываете деньги, раскрашивая сарай. Вы планируете сегодня покрасить сарай с двух сторон. Каждая из двух сторон имеет размеры, указанные справа. Вы можете красить 200 квадратных футов в час, и вы берете 20 долларов за час.Сколько вам заплатят за покраску этих двух сторон сарая? футов 6,5 футов 41. КОНВЕРТЫ На приведенном ниже рисунке показано, как сделать конверт для открытки размером 17 на 14 сантиметров. С каких размеров прямоугольник вам нужно начать? Какая площадь бумаги фактически используется в конверте? обрезанной бумаги? 14 см 14 см 17 см 42. ТЕОРЕМА ОБОСНОВАНИЯ 11.2 Вы можете использовать формулу площади для прямоугольника, чтобы оправдать формулу площади для параллелограмма.Сначала нарисуйте ~ PQRS с основанием b и высотой h, как показано. Затем проведите отрезок, перпендикулярный] PS через точку R. Обозначьте точку V. a. На схеме объясните, откуда вы знаете, что npqt> nsrv. б. Объясните, откуда вы знаете, что площадь PQRS равна площади QRVT. Откуда вы знаете, что область PQRS 5 bh? 17 см P R h P T b S V 11.1 Площади треугольников и параллелограммов 725
9 43. ОБОСНОВАНИЕ ТЕОРЕМЫ 11.3 Вы можете использовать формулу площади для параллелограмма, чтобы выровнять формулу площади для треугольника.Начните с двух равных треугольников с основанием b и высотой h. Разместите и пометьте их, как показано. Объясните, откуда вы знаете, что Y Z h XYZW — параллелограмм, а эта область равна nxyw 5 1} 2 bh. X b W 44. МНОГОЭТАПНАЯ ЗАДАЧА У вас достаточно серебра, чтобы сделать кулон площадью 4 квадратных сантиметра. Кулон будет представлять собой равносторонний треугольник. Пусть s — длина стороны треугольника. а. Найдите высоту h треугольника через s. Затем напишите формулу площади треугольника через s. б. Найдите длину стороны треугольника.Округлите до ближайшего сантиметра. 45. РАСШИРЕННЫЙ ОТВЕТ Основание параллелограмма — 7 футов, а высота — 3 фута. Объясните, почему периметр не может быть определен по предоставленной информации. Есть ли у параллелограмма минимально возможный периметр? Есть ли максимально возможный периметр? Объясни. 46. ОБОСНОВАНИЕ ТЕОРЕМЫ 11.1. Вы можете использовать диаграмму, чтобы показать, что площадь прямоугольника является произведением его основания b и высоты h. а. Рисунки MRVU и VSPT представляют собой конгруэнтные прямоугольники с U S V основанием b и высотой h.Объясните, почему RNSV, UVTQ и MNPQ b представляют собой квадраты. Напишите выражения через b и h для площадей квадратов. б. Пусть A будет площадью MRVU. Подставьте A и выражения из части (a) в уравнение ниже. Решите, чтобы найти выражение для A. P T h P Площадь MNPQ 5 Площадь MRVU 1 Область UVTQ 1 Область RNSV 1 Область VSPT 47. ЗАДАЧА Уравнение] AB равно y 5 x. Уравнение] AC: y 5 2. Предположим, что] BC размещен так, что n ABC равнобедренный с площадью 4 квадратных единицы. Найдите две разные линии, соответствующие этим условиям.Приведите уравнение для каждой строки. Есть ли другая линия, которая могла бы соответствовать этому требованию для] BC? Объясни. y A y 5 x B M b R N h C y 5 2 x MIXED REVIEW PREVIEW Подготовьтесь к уроку 11.2 в Exs. Найдите длину среднего сегмента} MN трапеции. (стр. 542) M N M N M Координаты npqr: P (24, 1), Q (2, 5) и R (1, 24). Постройте изображение треугольника после перевода. Используйте простые обозначения. (стр.572) 51. (x, y) (x 1 1, y 1 4) 52. (x, y) (x 1 3, y 2 5) 53. (x, y) (x 2 3, y 2 2) 54. (x, y) (x 2 2, y 1 3) 27 N 726 ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ПРАКТИКА к Уроку 11.1, стр. 916 ОНЛАЙН-ВОПРОС на classzone.com
10 Расширение Использование после урока 11.1 Ключевой словарь единица измерения наибольшая возможная погрешность относительная погрешность Определение точности и достоверности ЦЕЛЬ Определить точность и точность измерений. Все измерения являются приблизительными. Длина каждого сегмента ниже с точностью до дюйма составляет 2 дюйма. Измерение ведется с точностью до дюйма, поэтому единица измерения — 1 дюйм. Если вам говорят, что объект имеет длину 2 дюйма, вы знаете, что его точная длина составляет от 1} 1 дюйма до 2} 1 дюйма, или в пределах 1 дюйма 2 дюйма.Максимально возможная погрешность измерения равна половине единицы измерения. Чем меньше единица измерения, тем меньше наибольшая возможная погрешность и точность измерения. Использование одной восьмой дюйма в качестве единицы измерения для сегментов выше дает длины 1} 6 дюймов и 2} 3 дюйма и 8 8 с максимально возможной погрешностью 1 дюйм. 16 E ПРИМЕР 1 Найдите максимально возможную ошибку ПАРК РАЗВЛЕЧЕНИЙ Последний спуск бревенчатого лотка указан в руководстве по парку как 52,3 фута. Найдите единицу измерения и максимально возможную погрешность.Решение Измерение 52,3 фута даётся с точностью до десятых долей фута. Итак, единица измерения — 1 фут. Максимально возможная погрешность составляет половину единицы измерения. 10 Поскольку 1}}}, максимально возможная ошибка составляет 0,05 фута. ПРОЧИТАЙТЕ СЛОВАРЬ Точность измерения зависит только от единицы измерения. Точность измерения зависит как от единицы измерения, так и от размера измеряемого объекта. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ОШИБКА Диаметр велосипедной шины составляет 26 дюймов. Диаметр кольца для ключей — 1 дюйм.В каждом случае максимально возможная ошибка составляет 1 дюйм, но ошибка в 2 полдюйма оказывает гораздо большее влияние на диаметр меньшего объекта. максимально возможная ошибка Относительная ошибка измерения — это отношение}}. мерная длина Отн. погрешность 5 Диаметр шины велосипеда Диаметр брелока 0,5 дюйма 0,5 дюйма} ø ø 1,9% Отн. error 5}% 26 дюймов 1 дюйм. Измерение с меньшей относительной погрешностью считается более точным. Расширение: определение точности и точности 727
11 E XAMPLE 2 Найдите относительную погрешность ИГРОВЫЕ ОБЛАСТИ Стол для аэрохоккея равен 3.7 футов шириной. Ледовый каток шириной 85 футов. Найдите относительную ошибку каждого измерения. Какое измерение более точное? Стол для аэрохоккея (3,7 фута) Каток (85 футов) Единица измерения 0,1 фут 1 фут Наибольшая возможная погрешность 1} 2 p (единица измерения) 1} 2 (0,1 фут) фут 1} 2 (1 фут) фут Относительная погрешность максимально возможная погрешность}} измеренная длина 0,05 фута} 3,7 фута ø 1,4% 0,5 фута} 85 футов ø 0,6% c Ширина ледового катка имеет меньшую относительную погрешность, поэтому она более точна. ПРАКТИКА 1. СЛОВАРЬ Опишите разницу между точностью измерения и точностью измерения.Приведите пример, иллюстрирующий разницу. ПРИМЕР 1 на стр. 727 для Exs. 2 5 ПРИМЕР 2 на стр. 728 для Exs. 6 9 НАИБОЛЕЕ ВОЗМОЖНАЯ ОШИБКА Найдите единицу измерения. Затем найдите максимально возможную ошибку в м км 5. 4} ярд 16 ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ОШИБКА Найдите относительную погрешность измерения в см в м мм 10. ВЫБОР ЕДИНИЦЫ Вы оцениваете количество бумаги, необходимое для изготовления обложек для ваших учебников. Какую единицу измерения, 1 фут, 1 дюйм или 1 дюйм, вы должны использовать для измерения своих учебников? Объясните ПРИЧИНУ Максимально возможная погрешность измерения составляет} 1 дюйм.16 Объясните, как такое измерение может быть более точным в одной ситуации, чем в другой. ТОЧНОСТЬ И ТОЧНОСТЬ Укажите, какое измерение более точное. Затем скажите, какое из двух измерений в см более точное; 12 см футов; 25,6 футов дюйма; 13,4 футов футов; 35 дюймов 16. ПЕРИМЕТР Сторона ластика изображена в виде параллелограмма. Какова наибольшая возможная погрешность длины каждой стороны параллелограмма? за периметр параллелограмма? Найдите наибольший и наименьший возможный периметр параллелограмма.5,1 см 1,4 см 728 Глава 11 Измерение длины и площади
12 Исследование g-геометрии ДЕЙСТВИЕ Используйте перед уроком области трапеций и воздушных змеев МАТЕРИАЛЫ миллиметровая бумага линейка ножницы лента ВОПРОС Как можно использовать параллелограмм, чтобы найти другие области? Трапецию или воздушный змей можно вырезать и переставить в параллелограмм. E XPLORE 1 Используйте две совпадающие трапеции, чтобы сформировать параллелограмм ШАГ 1 ШАГ 2 h b 1 b 2 h b 1 b 2 b2 b1 h Нарисуйте трапецию Сложите миллиметровку пополам и нарисуйте трапецию.Вырежьте две совпадающие трапеции. Наклейте этикетку, как показано. Создайте параллелограмм Расположите две трапеции из шага 1, чтобы сформировать параллелограмм. Затем склейте их вместе. E XPLORE 2 Используйте один воздушный змей, чтобы сформировать прямоугольник ШАГ 1 ШАГ 2 ШАГ 3 d 2 d 1 Нарисуйте воздушный змей Нарисуйте воздушный змей и его перпендикулярные диагонали. Обозначьте диагональ, которая представляет собой линию симметрии d 1. Обозначьте другую диагональ d 2. Вырежьте треугольники Вырежьте змей. Разрежьте по d 1, чтобы получились два равных треугольника. Затем вырежьте один треугольник вдоль части d 2, чтобы получились два прямоугольных треугольника.Создайте прямоугольник Переверните правильные треугольники. Поместите каждую гипотенузу вдоль стороны большего треугольника, чтобы получился прямоугольник. Затем скотчем части вместе. НАРИСИТЕ ВЫВОДЫ Используйте свои наблюдения для выполнения этих упражнений 1. Как в разделе «Исследование 1» сравнить площадь одной трапеции с площадью параллелограмма, образованного двумя трапециями? Запишите выражения в виде b 1, b 2 и h для основания, высоты и площади параллелограмма. Затем напишите формулу площади трапеции.2. Как в Explore 2 соотносятся основание и высота прямоугольника с d 1 и d 2? Напишите выражение для площади прямоугольника через d 1 и d 2. Затем используйте это выражение, чтобы написать формулу для площади воздушного змея Области трапеций, ромбов и воздушных змеев 729
13 11.2 Области трапеций, ромбов и Kites Before You нашли области треугольников и параллелограммов. Теперь вы найдете области других типов четырехугольников. Зачем? Таким образом, вы можете найти проблемную зону в спорте со штрафным броском, например, дорожку, в примере, как в примере Ключевые слова: высота диагонали трапеции, стр.507 оснований трапеции, стр. 542 Как вы видели в упражнении на стр. 729, вы можете использовать формулу площади для параллелограмма, чтобы разработать формулы площади для других специальных четырехугольников. Площадь рисунков ниже соответствует длине отмеченных сегментов. Высота трапеции — это расстояние по перпендикуляру между ее основаниями. Коршун-трапеция. Диагонали основания ромба. Диагонали основания. ТЕОРЕМА. ТЕОРЕМА. 11.4. Площадь трапеции. Площадь трапеции равна половине произведения высоты и суммы длин оснований.h b 1 Доказательство: Пр. 40, стр. 736 b 2 A 5 1} 2 h (b 1 1 b 2) E XAMPLE 1 Найдите зону трапеции. БАСКЕТБОЛ Дорожка для штрафных бросков на международной баскетбольной площадке имеет форму трапеции. Найдите зону для штрафного броска. 3,6 м ДРУГОЙ СПОСОБ В трапеции средняя длина оснований также равна длине среднего сегмента. Таким образом, вы также можете найти площадь, умножив средний сегмент на высоту. Решение Высота трапеции составляет 5,8 метра. Длина оснований 3.6 метров и 6 метров. A 5 1} 2 h (b 1 1 b 2) Формула для площади трапеции 5 1} 2 (5.8) () Замените 5,8 вместо h, 3,6 вместо b 1 и 6 для b Упростите. c Площадь дорожки для штрафных бросков составляет около 27,8 квадратных метров. 5,8 м 6 м 730 Глава 11 Измерение длины и площади
14 ТЕОРЕМЫ ДЛЯ НОУТБУКА ТЕОРЕМА 11.5 Площадь ромба Помните, что ромб — это тоже параллелограмм, поэтому вы также можете использовать формулу A 5 bh. Площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей.Обоснование: Исх. 39, стр. 735 d 2 A 5 1} 2 d 1 d 2 d 1 ТЕОРЕМА 11.6 Площадь воздушного змея Площадь воздушного змея равна половине произведения длин его диагоналей. d 1 d 2 Доказательство: Пр. 41, стр. 736 A 5 1} 2 d 1 d 2 E XAMPLE 2 Найдите область ромба ЧИТАТЬ ДИАГРАММЫ МУЗЫКА Ромб PQRS представляет собой одну из вставок на гитаре на фотографии. Найдите область инкрустации. Раствор 9 мм P Когда вы читаете схему, ищите информацию, которую вам нужно найти. На диаграмме указаны длины} QN и} PN, но не длины} QS и} PR.ШАГ 1 Найдите длину каждой P диагонали. Диагонали ромба рассекают друг друга пополам, 12 мм, поэтому QN 5 нс и PN 5 NR. QS 5 QN 1 NS мм PR 5 PN 1 NR мм S N R ШАГ 2 Найдите площадь ромба. Пусть d 1 представляет QS, а d 2 представляет PR. A 5 1} 2 d 1 d 2 Формула для площади ромба 5 1} 2 (18) (24) Заменить Упростить. c Площадь бейки — 216 квадратных миллиметров. РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ПРАКТИКИ для примеров 1 и 2 Найдите площадь фигуры в футах 2. 4 фута 6 дюймов в метрах 8 футов 14 дюймов в 40 м 11.2 Области трапеций, ромбов и воздушных змеев 731
15 E ПРИМЕР 3 Стандартизированная практика тестирования УДАЛИТЬ ВЫБОР В В примере 3 вы можете исключить варианты A и B, потому что в каждом случае одна диагональ не вдвое длиннее другой.Одна диагональ кайта в два раза длиннее другой. Площадь кайта — квадратные дюймы. Какова длина диагоналей? A 6 дюймов, 6 дюймов B 8,5 дюймов, 8,5 дюймов C 8,5 дюймов, 17 дюймов D 6 дюймов, 12 дюймов Решение Нарисуйте и подпишите схему. Пусть x — длина одной диагонали. Другая диагональ вдвое длиннее, поэтому назовите ее вдвое. Используйте формулу для площади воздушного змея, чтобы найти значение x. 2x A 5 1} 2 d 1 d 2 Формула для вычисления площади воздушного змея} 2 (x) (2x) Замените A, x вместо d 1 и 2x вместо d 2.x x 2 Упростить x Найдите положительный квадратный корень из каждой стороны. Длина диагоналей составляет 8,5 дюйма и 2 (8,5) 5 17 дюймов. c Правильный ответ: C. A B C D E ПРИМЕР 4 Найдите область на координатной плоскости ПЛАНИРОВАНИЕ ГОРОДА У вас есть карта городского парка. Каждый квадрат сетки представляет собой квадрат размером 10 на 10 метров. Найдите территорию парка. y B C Решение ШАГ 1 Найдите длину оснований и высоту трапеции ABCD. b 1 5 BC m 10 O A 10 E D x b 2 5 AD m h 5 BE m ШАГ 2 Найдите площадь ABCD.A 5 1} 2 h (b 1 1 b 2) 5 1} 2 (50) () c Площадь парка 2750 квадратных метров. РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ПРАКТИКИ для примеров 3 и 4 4. Площадь воздушного змея составляет 80 квадратных футов. Одна диагональ в 4 раза длиннее другой. Найдите длину диагонали. 5. Найдите площадь ромба с вершинами M (1, 3), N (5, 5), P (9, 3) и Q (5, 1). 732 Глава 11 Измерение длины и площади
16 11.2 УПРАЖНЕНИЯ НАВЫК ПРАКТИКА КЛЮЧ ДЛЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ 5 ПРОРАБОТАННЫЕ РЕШЕНИЯ на стр. WS1 для Exs.9, 17 и 35 5 СТАНДАРТНАЯ ПРАКТИКА ИСПЫТАНИЙ Exs. 2, 15, 30, 39 и СЛОВАРЬ Копирование и заполнение: перпендикулярное расстояние между основаниями трапеции называется? трапеции. 2. НАПИСАНИЕ Нарисуйте воздушный змей и его диагонали. Опишите, что вы знаете о сегментах и углах, образованных пересекающимися диагоналями. ПРИМЕР 1 на стр. 730 для Exs. 3 6 ПОИСК ОБЛАСТИ Найдите площадь трапеции. ЧЕРТЕЖНЫЕ ДИАГРАММЫ Длина оснований трапеции составляет 5,4 см и 10,2 см.Высота 8 сантиметров. Нарисуйте и обозначьте трапецию, соответствующую этому описанию. Затем найдите его область. ПРИМЕР 2 на стр. 731 для Exs ПОИСК ОБЛАСТИ Найдите область ромба или воздушного змея АНАЛИЗ ОШИБОК Опишите и исправьте ошибку при нахождении области см 13 см 12 см 19 см A 5} 1 (13) () см 2 12 см A 5 1} 2 ( 12) (21) см 2 5 см 16 см ПРИМЕР 3 на стр. 732 for Exs НЕСКОЛЬКО ВЫБОР Одна диагональ ромба в три раза длиннее другой диагонали. Площадь ромба — 24 квадратных фута. Какова длина диагоналей? A 8 футов, 11 футов B 4 фута, 12 футов C 2 фута, 6 футов D 6 футов, 24 фута 11.2 Области трапеций, ромбов и воздушных змеев 733
17 АЛГЕБРА Используйте данную информацию, чтобы найти значение x. 16. Площадь фут Площадь м Площадь ярд 2 x 22 футов x 20 м 10 ярдов 10 м 14 футов x ПРИМЕР 4 на стр. 732 для Exs КООРДИНАТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Найдите область фигуры. 19. y 20. y 1 4 x y 4 1 x 1 x АЛГЕБРА Найдите длины оснований описанной трапеции. 22. Высота 3 фута. Одна база вдвое длиннее другой. Площадь составляет 13,5 квадратных футов. 23.Одно основание на 8 сантиметров длиннее другого. Высота 6 сантиметров, площадь 54 квадратных сантиметра. НАЙТИ ПЛОЩАДЬ Найдите площадь заштрихованной области. ОТКРЫТЫЙ МАТЕРИАЛ Нарисуйте три примера трапеций, которые соответствуют этому описанию: Высота трапеции составляет 3 единицы, а ее площадь такая же, как площадь параллелограмма с высотой 3 единицы и основанием 8 единицы. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ Нарисуйте фигуру. Затем определите его периметр и площадь. 31. Фигура представляет собой трапецию. У него два прямых угла.Длина его оснований — 7 и 15. Высота — Фигура в виде ромба. Длина его стороны равна 13. Длина одной из диагоналей равна 24. B 33. ЗАДАЧА На диаграмме, показанной справа, ABCD — это параллелограмм, а BF Найдите площадь ~ ABCD. Объясните свои рассуждения. (Подсказка: проведите вспомогательные линии через точку A и через точку D, которые параллельны} EH.) A C 10 D 9 E 8 F 3 G H РАЗРАБОТАННЫЕ РЕШЕНИЯ на стр. WS1 5 СТАНДАРТНАЯ ПРАКТИКА ИСПЫТАНИЙ
18 ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ 1 на стр.730 для Ex TRUCKS Ветровое стекло грузового автомобиля имеет форму трапеции. Длина оснований трапеции составляет 70 дюймов и 79 дюймов. Высота 35 дюймов. Найдите площадь стекла в лобовом стекле. ПРИМЕР 2 на стр. 731 for Ex INTERNET Вы создаете логотип в форме воздушного змея для веб-сайта вашей школы. Диагонали логотипа составляют 8 миллиметров и 5 миллиметров в длину. Найдите область логотипа. Нарисуйте две разные возможные формы логотипа. 36. ДИЗАЙН Вы разрабатываете настенную подвеску в форме ромба.Площадь настенной подвески составляет 432 квадратных дюйма, а длина одной диагонали — 36 дюймов. Найдите длину другой диагонали. 37. МНОГОЭТАПНАЯ ЗАДАЧА Как показано, игровое поле бейсбольного стадиона имеет форму пятиугольника. Чтобы найти область игрового поля, показанную справа, вы можете разделить поле на два меньших многоугольника. а. Классифицируйте два полигона. б. Найдите площадь игрового поля в квадратных футах. Затем выразите свой ответ в квадратных ярдах. Округлить до ближайшего квадратного фута. 145 футов 179 футов 450 футов 315 футов 322 футов 38.ВИЗУАЛЬНОЕ ОБОСНОВАНИЕ Выполните шаги, указанные в частях (а) (с). а. Анализ Скопируйте таблицу и расширьте ее, чтобы включить столбец для n 5 5. Заполните таблицу для n 5 4 и n 5 5. Число ромба, n Диаграмма? Площадь, А 2 4 6? б. Использование алгебры Опишите взаимосвязь между числом ромба n и площадью ромба. Затем напишите алгебраическое правило для определения площади n-го ромба. c. Сравнить В каждом ромбе длина одной диагонали (d 1) равна 2. Какова длина другой диагонали (d 2) для n-го ромба? Воспользуйтесь формулой для определения площади ромба, чтобы написать правило для определения площади n-го ромба.Сравните это правило с тем, что вы написали в части (b). 39. КРАТКИЙ ОТВЕТ Вернитесь к упражнению на странице 729. Объясните, как результаты для воздушных змеев в Исследовании 2 могут быть использованы для обоснования теоремы 11.5, формулы для площади ромба Области трапеций, ромбов и воздушных змеев 735
19 Доказательство теорем 11.4 и 11.6. Используйте формулу площади треугольника и треугольники на диаграмме, чтобы составить план доказательства. 40. Покажите, что площадь A трапеции 41.Покажите, что площадь A показанного кайта равна} 1 h (b b 2). показано} 1 d 2 1 d 2. P b 2 P P h P R d 1 S b 1 R d 2 S 42. РАСШИРЕННЫЙ ОТВЕТ Вы исследуете эффект перемещения диагонали. A B C A B C Перемещено} BD ближе к C. Не перемещал его вверх или вниз. D оригинальный змей D еще змей а. Исследование Нарисуйте воздушный змей, у которого большая диагональ горизонтальна. Предположим, эта диагональ зафиксирована, и вы можете перемещать вертикальную диагональ влево или вправо, вверх или вниз. Вы можете продолжать скользить, пока диагонали продолжают пересекаться.Нарисуйте и определите каждый тип фигур, которые вы можете сформировать. б. Обоснование Можно ли образовать фигуры, не являющиеся четырехугольниками? Объясни. c. Сравните Сравните площади различных фигур, которые вы нашли в части (b). Что вы замечаете в областях? Объясни. 43. ЗАДАЧА Джеймс А. Гарфилд, двадцатый президент Соединенных Штатов, обнаружил доказательство теоремы Пифагора в своем доказательстве, включающем тот факт, что трапеция может быть образована из двух равных прямоугольных треугольников и равнобедренного прямоугольного треугольника.Используйте диаграмму, чтобы показать, что a 2 1 b 2 5 c 2. b a c c b a MIXED REVIEW Решите для указанной переменной. Напишите причину каждого шага. (стр. 105) 44. d 5 rt; решите относительно t 45. A 5 1} 2 bh; решить для h 46. P 5 2l 1 2w; решить для w ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ПРОСМОТР Подготовьтесь к уроку 11.3 в Ex. Найдите угловые размеры равнобедренного треугольника, если размер базового угла в 4 раза больше угла при вершине. (стр. 264) 48. На диаграмме справа n PQR, n STU. Периметр n СТЮ — 81 дюйм. Найдите высоту h и периметр n PQR.(стр. 372) P 20 h P R S T U 736 ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ПРАКТИКА к Уроку 11.2, стр. 916 ОНЛАЙН-ВИКТОРИНА на classzone.com
20 11.3 Периметр и площадь схожих фигур Раньше Вы использовали отношения, чтобы найти периметры схожих фигур. Теперь вы будете использовать отношения, чтобы найти области с похожими фигурами. Почему. Итак, вы можете применить подобие в кулинарии, как в Примере 3. Ключевой словарь правильного многоугольника, стр. 43 соответствующие стороны, стр. 225 подобных многоугольников, стр. 372 В главе 6 вы узнали, что если два многоугольника похожи, то отношение их периметров или любых двух соответствующих длин равно отношению их соответствующих длин сторон.Как показано ниже, у площадей другое соотношение. Соотношение периметров Синий} 5} 10t 5 t Красный 10 Соотношение площадей Синий} Красный 5 6t2} 6 5 t 2 3 3t 2 2t ТЕОРЕМА для вашего ноутбука ТЕОРЕМА 11.7 Области похожих многоугольников Если два многоугольника одинаковы с длинами соответствующих сторон в соотношении a: b, то соотношение их площадей равно 2: b 2. Длина стороны многоугольника I}}} Длина стороны многоугольника II 5 a} b Площадь многоугольника I}} 5} a2 Площадь многоугольника II b 2 a I b II Обоснование: Исх. 30, стр. 742 Многоугольник I, Многоугольник II E XAMPLE 1 Найдите соотношения похожих многоугольников На диаграмме n ABC, n DEF.Найдите указанное соотношение. ИНТЕРПРЕТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ Вы также можете сравнить меры с дробями. Периметр n ABC составляет две трети периметра ndef. Площадь n ABC составляет четыре девятых от площади ndef. а. Соотношение (красный и синий) периметров F B b. Отношение (красный к синему) площадей 8 12 A C Решение Отношение длин соответствующих сторон составляет} 8 5} 2, или 2: a. По теореме 6.1 на стр. 374 соотношение периметров составляет 2: 3. b. По теореме 11.7 выше соотношение площадей 2 2: 3 2 или 4: 9.E D 11.3 Периметр и площадь схожих фигур 737
21 E XAMPLE 2 Стандартизированная практика испытаний Вы устанавливаете один и тот же ковер в спальне и комнате. Этажи комнат аналогичны. Ковер для спальни стоит 225 долларов. Ковер продается за квадратный фут. Сколько стоит ковровое покрытие в берлоге? A 115 долларов B 161 C 315 D 441 D ОЦЕНКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ Стоимость логова в 49} раз больше стоимости 25 спальни. Поскольку} немного меньше 2, стоимость логова будет чуть меньше двух 225 долларов.Единственно возможный выбор — D. Решение Отношение длины стороны логова к соответствующей длине стороны спальни составляет 14: 10 или 7: 5. Таким образом, соотношение площадей составляет 7 2: 5 2, или 49: 25. Это соотношение также является соотношением затрат на ковровое покрытие. Пусть x будет стоимостью логова. 49} 25 5 x} 225 x5 441 Решите относительно x. Стоимость ковра для комнаты Стоимость ковра для спальни c Ковролин в спальне стоит 441 доллар. Правильный ответ — D. РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ПРАКТИКИ для примеров 1 и 2 1. Периметр n ABC составляет 16 футов, а его площадь — 64 фута.Периметр n DEF составляет 12 футов. Для заданных n ABC, n DEF найдите отношение площади n ABC к площади ndef. Затем найдите площадь n DEF. E ПРИМЕР 3 Используйте соотношение площадей ПРИГОТОВЛЕНИЕ Большой прямоугольный противень имеет длину 15 дюймов и ширину 10 дюймов. Кастрюля меньшего размера похожа на большую. Площадь меньшей посуды составляет 96 квадратных дюймов. Найдите ширину меньшей кастрюли. ДРУГОЙ СПОСОБ Чтобы узнать об альтернативном методе решения проблемы в Примере 3, перейдите на страницу 744 для семинара по решению проблем.Решение Сначала нарисуйте диаграмму, изображающую проблему. Отметьте размеры и площади. Затем используйте теорему. Если соотношение площадей равно 2: b 2, то соотношение длины равно a: b. 15 дюймов A 5 15 (10) дюймов 2 Площадь меньшего поддона}} Площадь большого поддона 5 96}} 25 Запишите соотношение известных областей. Тогда упростите. Длина на меньшей чаше}} Длина на большой чашке 5 4} 5 Найдите квадратный корень из отношения площадей. 10 дюймов? A 5 96 дюймов 2 c Любая длина в меньшей посуде равна} 4 или 0,8 соответствующей длины в большой чаше 5. Итак, ширина меньшей кастрюли равна 0.8 (10 дюймов) 5 8 дюймов. 738 Глава 11 Измерение длины и площади
22 ПРАВИЛЬНЫЕ ПОЛИГОНЫ Рассмотрим два правильных многоугольника с одинаковым числом сторон. Все углы совпадают. Длины всех пар соответствующих сторон находятся в одинаковом соотношении. Итак, любые два таких многоугольника подобны. Также любые два круга похожи. E XAMPLE 4 Решение многоступенчатой задачи ГАЗЕБО Пол показанной беседки представляет собой правильный восьмиугольник. Каждая сторона пола составляет 8 футов, а площадь составляет около 309 квадратных футов.Вы строите небольшую модельную беседку в форме правильного восьмиугольника. Периметр пола модельной беседки — 24 дюйма. Найдите площадь пола модельной беседки с точностью до десятых квадратных дюйма. ДРУГОЙ СПОСОБ На шаге 1 вместо определения периметра полноразмерной модели и сравнения периметров вы можете найти длину стороны модели и сравнить длины сторон, так что соотношение длин сторон составляет 8 футов 96 дюймов} 5} 5} дюйм. 3 дюйм. 1 Решение Все правильные восьмиугольники похожи, поэтому пол модели подобен полу полноразмерной беседки.ШАГ 1 Найдите соотношение длин двух этажей, определив соотношение периметров. Используйте одинаковые единицы измерения для обеих длин в соотношении. Периметр полноразмерной модели 8 (8 футов) 64 фута 64 фута}} 5} 5} 5} 5} 32 Периметр модели 24 дюйма 24 дюйма 2 фута 1 Итак, соотношение соответствующих длин (полноразмерной модели и модели) ) составляет 32: 1. ШАГ 2 Рассчитайте площадь пола модельной беседки. Пусть x будет этой областью. (Длина в натуральную величину) 2 Площадь в полном размере}} 5}} Теорема 11.7 (Длина в модели) 2 Площадь модели 32 2} ft2} x ft 2 Заменить.Свойство перекрестных произведений 1024x ШАГ 3 Преобразуйте площадь в квадратные дюймы фут дюйм 2 p} 1 фут 2 ø 43,5 дюйма 2 x ø фут 2 Решите относительно x. c Площадь пола модельной беседки составляет около 43,5 квадратных дюймов. на classzone.com РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ПРАКТИКИ для примеров 3 и 4 2. Отношение площадей двух правильных декагонов составляет 20: 36. Каково отношение их соответствующих длин сторон в простейшей радикальной форме? 3. Прямоугольники I и II подобны. Периметр прямоугольника I составляет 66 дюймов. Прямоугольник II имеет длину 35 футов и ширину 20 футов.Покажите шаги, которые вы использовали бы для определения соотношения площадей, а затем найдите площадь периметра прямоугольника I и площади аналогичных фигур 739
23 11.3 УПРАЖНЕНИЯ НАВЫКИ ПРАКТИКА КЛЮЧ ДЛЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ 5 ПРОЧИЕ РЕШЕНИЯ на стр. WS1 для Exs. 7, 17 и 27 5 СТАНДАРТНАЯ ПРАКТИКА ИСПЫТАНИЙ Exs. 2, 12, 18, 28, 32 и СЛОВАРЬ Нарисуйте два похожих треугольника. Используйте свой набросок, чтобы объяснить, что подразумевается под соответствующей длиной сторон. 2. ПИСЬМО. Два правильных n-угольника подобны.Отношение длин сторон их составляет 3: 4. Нужно ли знать значение n, чтобы найти соотношение периметров или соотношение площадей многоугольников? Объясни. ПРИМЕРЫ 1 и 2 на стр. Для Exs. 3 8 ПОИСК СООТНОШЕНИЙ Скопируйте и заполните таблицу соотношений для похожих многоугольников. Соотношение соответствующих длин сторон Соотношение периметров Соотношение площадей: 11 ?? 20:36 5 ??? СООТНОШЕНИЯ И ПЛОЩАДКИ Даны соответствующие длины на аналогичных цифрах. Найдите соотношение (красный и синий) периметров и площадей. Найдите неизвестную область.5. A 5 2 фута 2 2 фута 6 футов см 20 см A см 2 7. A в A 5 40 ярдов 2 7 дюймов 9 дюймов 5 ярдов 3 ярдов ПРИМЕР 3 на стр. 738 для Exs. ПОИСК СООТНОШЕНИЙ ДЛИНЫ Дано соотношение площадей двух одинаковых фигур. Напишите соотношение длин соответствующих сторон. 9. Отношение площадей 5 49: Отношение площадей 5 16: Отношение площадей 5 121: МНОЖЕСТВЕННЫЙ ВЫБОР Площадь n LMN составляет 18 футов 2, а площадь n FGH составляет 24 фута 2. Если n LMN, n FGH, то какое такое отношение LM к FG? A 3: 4 B 9:16 C Ï} 3: 2 D 4: 3 ПОИСК ДЛИНЫ БОКОВОЙ Используйте указанную область, чтобы найти XY.13. n DEF, n XYZ 14. UVWXY, LMNPQ D 4 см FA 5 7 см 2 EXYZA 5 28 см 2 UVA дюйм 2 YWXLA 5 88 дюймов 2 NMP 10 дюймов P 740 Глава 11 Измерение длины и площади
24 15. АНАЛИЗ ОШИБОК На диаграмме прямоугольники DEFG и WXYZ похожи. Отношение площади DEFG к площади WXYZ составляет 1: 4. Опишите и исправьте ошибку поиска З.Ы. D E W G 12 F Z Y ZY 5 4 (12) 5 48 X ПРИМЕР 4 на стр. 739 для Exs ОБЫЧНЫЕ ПЕНТАГОНЫ Обычный пятиугольник QRSTU имеет длину стороны 12 сантиметров и площадь около 248 квадратных сантиметров.Правильный пятиугольник VWXYZ имеет периметр 140 сантиметров. Найдите его область. 17. РОМБЫ Ромбы MNPQ и RSTU подобны. Площадь РГТУ — 28 квадратных футов. Диагонали MNPQ составляют 25 футов в длину и 14 футов в длину. Найдите район MNPQ. Затем по соотношению площадей найдите длины диагоналей РГТУ. 18. КОРОТКИЙ ОТВЕТ. Вы увеличиваете одну и ту же фигуру тремя разными способами. В каждом случае увеличенная фигура похожа на оригинал. Составьте список увеличений в порядке от самого маленького к большему.Объясни. Случай 1 Длины сторон исходной фигуры умножаются на 3. Случай 2 Периметр исходной фигуры умножается на 4. Случай 3 Площадь исходной фигуры умножается на 5. РАССМОТРЕНИЕ В упражнениях 19 и 20 скопируйте и завершите утверждение, использующее всегда, иногда или никогда. Объясните свои рассуждения. 19. Увеличить длину стороны квадрата вдвое? удваивает площадь. 20. Два одинаковых восьмиугольника? имеют одинаковый периметр. 21. ОБЩАЯ ОБЛАСТЬ Стороны n ABC имеют длину 4,5, 7,5 и 9 футов.Площадь около 17 квадратных футов. Объясните, как использовать площадь n ABC, чтобы найти площадь n DEF с длинами сторон 6 футов, 10 футов и 12 футов. 22. ПРЯМОУГОЛЬНИКИ Прямоугольники ABCD и DEFG подобны. Длина ABCD составляет 24 фута, а периметр — 84 квадратных фута. Ширина DEFG составляет 3 ярда. Найдите отношение площади ABCD к площади DEFG. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ Объясните, почему красный и синий треугольники похожи. Найдите соотношение (красного и синего) площадей треугольников. Покажи свои шаги. 23.D F E 10 м L M 24. A m 2 21 м N T U Y 3 ярда 308 X W V 25. ЗАДАЧА На показанной диаграмме ABCD представляет собой параллелограмм. Отношение площади n AGB к площади n CGE составляет 9:25, CG 5 10 и GE a. Найдите AG, GB, GF и FE. Покажи свои методы. б. Укажите два соотношения площадей, отличные от 9: 25 или 25: 9 для пар похожих треугольников на рисунке. Объясни. A G F E D C B 11.3 Периметр и площадь схожих фигур 741
25 РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМ 26. БАННЕР Показаны два прямоугольных баннера с музыкального фестиваля этого года.Организаторы фестиваля в следующем году хотят разработать новый баннер, который будет похож на баннер, размеры которого указаны на фотографии. Длина самой длинной стороны нового баннера составит 5 футов. Найдите область нового баннера. 3 фута ПРИМЕР 3 на стр. 738 для Ex PATIO Новый внутренний дворик будет иметь форму неправильного шестиугольника. Внутренний дворик будет иметь две длинные параллельные стороны и иметь площадь 360 квадратных футов. Площадь патио аналогичной формы составляет 250 квадратных футов, а его длинные параллельные стороны находятся на расстоянии 12,5 футов друг от друга.Какое будет соответствующее расстояние на новом дворике? 1 фут 28. МНОЖЕСТВЕННЫЙ ВЫБОР Вам нужно 20 фунтов семян травы, чтобы посадить траву внутри показанного ромба бейсбола. Примерно сколько фунтов вам нужно, чтобы посадить траву внутри алмаза для софтбола? A 6 B 9 60 футов C 13 D футов софтбол алмаз бейсбольный мяч 29. МНОГОЭТАПНАЯ ПРОБЛЕМА Используйте миллиметровую бумагу для деталей (a) и (b). а. Нарисуйте треугольник и обозначьте его вершины. Найдите площадь треугольника. б. Отметьте и обозначьте середины каждой стороны треугольника. Соедините середины, чтобы сформировать меньший треугольник.Покажите, что больший и меньший треугольники похожи. Затем используйте тот факт, что треугольники похожи, чтобы найти площадь меньшего треугольника. 30. ОБОСНОВАНИЕ ТЕОРЕМЫ 11.7 Выберите тип многоугольника, для которого вам известна формула площади. Используйте алгебру и формулу площади, чтобы доказать теорему 11.7 для этого многоугольника. (Подсказка: используйте соотношение для соответствующих длин сторон в двух подобных многоугольниках, чтобы выразить каждое измерение в одном многоугольнике как} a, умноженное на соответствующее измерение в другом многоугольнике.) 31.Вводящие в заблуждение графики Ученик хочет показать, что ученики научного класса предпочитают загадки книгам научной фантастики. За два месяца ученики в классе прочитали 50 загадок, но только 25 научно-фантастических книг. Студент строит гистограмму этих данных. Объясните, почему график вводит в заблуждение. Покажите, как учащийся может перерисовать гистограмму. Книги, недавно прочитанные, ПРОЧИЕ РЕШЕНИЯ на стр. WS1 5 СТАНДАРТНАЯ ИСПЫТАТЕЛЬНАЯ ПРАКТИКА
26 32.ОТКРЫТЫЙ МАТЕРИАЛ Соотношение площадей двух одинаковых многоугольников составляет 9: 6. Нарисуйте два многоугольника, которые соответствуют этому описанию. Найдите соотношение их периметров. Затем запишите соотношение в простейшей радикальной форме. 33. РАСШИРЕННЫЙ ОТВЕТ Используйте диаграмму, показанную справа. а. Назовите как можно больше пар похожих треугольников. Объясните свои рассуждения. б. Найдите соотношение площадей для одной пары одинаковых треугольников. A 10 9 D B F 11 C c. Покажите два способа найти длину} DE. E 34. ЗАДАЧА На диаграмме сплошная фигура — это куб.Четырехугольник JKNM находится на плоскости, пересекающей куб, с JL 5 KL. а. Объясните, откуда вы знаете, что n JKL, n MNP. б. Предположим,} JK 5} 1. Найдите отношение площади n JKL к площади MN 3 одной грани куба. c. Найдите отношение площади n JKL к площади пятиугольника JKQRS. R P S J L K P M T N СМЕШАННЫЙ ОБЗОР ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ПРОСМОТР Подготовка к уроку 11.4 в Exs. Найдите длину окружности с заданным радиусом r или диаметром d. Используйте p ø Округлите ответы до ближайшей сотой. (стр.49) 35.d 5 4 см 36. d 5 10 футов 37. r yd 38. r m Найдите значение x. 39. (стр. 295) 40. (стр. 672) 41. (стр. 680) x 10 x8 858 x ВИКТОРИНА для уроков Высота ~ ABCD в 3 раза больше его основания. Его площадь составляет 108 квадратных футов. Найдите основание и высоту. (стр. 720) Найдите площадь фигуры (стр. 720) (стр. 730) 4. (стр. 730) Отношение длин соответствующих сторон двух одинаковых семиугольников равно 7: 20. Найдите соотношение их сторон. периметры и их площади. (стр. 737) 6. Треугольники PQR и XYZ подобны. Площадь n PQR составляет 1200 футов 2, а площадь n XYZ — 48 футов 2.Для PQ 5 50 футов найдите XY. (стр. 737) ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ПРАКТИКА к Уроку 11.3, стр. 916 ОНЛАЙН-ВИКТОРИНА на classzone.com 743
27 УРОК 11.3 Использование альтернативных методов Другой способ решения Пример 3, стр. 738 НЕСКОЛЬКО ПРЕДСТАВЛЕНИЙ В Примере 3 на стр. 738 вы использовали пропорциональное рассуждение для решения задачи о приготовлении пищи. Вы также можете решить проблему с помощью формулы площади. ПРИГОТОВЛЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ Большой прямоугольный противень имеет длину 15 дюймов и ширину 10 дюймов.Кастрюля меньшего размера похожа на большую. Площадь меньшей посуды составляет 96 квадратных дюймов. Найдите ширину меньшей кастрюли. МЕТОД Использование формулы Вы можете использовать то, что вы знаете о длинах сторон похожих фигур, чтобы найти ширину кастрюли. ШАГ 1 Используйте заданные размеры большой посуды, чтобы написать выражения для размеров меньшей посуды. Пусть x представляет собой ширину меньшей кастрюли. 15 дюймов 10 дюймов A 5 96 дюймов 2 x Длина большей кастрюли в 1,5 раза больше ее ширины. Таким образом, длина меньшей кастрюли также равна 1.В 5 раз больше его ширины, или в 1,5 раза. ШАГ 2 Используйте формулу для площади прямоугольника, чтобы написать уравнение. Формула 5 lw для площади прямоугольника x p x Замените 1,5x вместо l и x вместо w. 85 x Найдите положительное значение x. c Ширина меньшей кастрюли составляет 8 дюймов. ПРИГОТОВЛЕНИЕ 1. ПРИГОТОВЛЕНИЕ Третий противень похож на показанный выше большой противень, его площадь в 1,44 раза больше. Найдите длину третьей сковороды. 2. ТРАПЕЦОИДЫ Трапеция PQRS похожа на трапецию WXYZ. Площадь WXYZ составляет 28 квадратных единиц. Найдите WZ.P 9 R X Y 3. КВАДРАТЫ У одного квадрата стороны длиной s. Если площадь другого квадрата в два раза больше, чем у первого квадрата, какова длина его стороны? 4. РАССМОТРЕНИЕ n ABC, n DEF и площадь n DEF равны квадратным сантиметрам. Найдите DE и DF. Объясните свои рассуждения. A D 6 P 12 S W Z 5 см B 8 см C E F 744 Глава 11 Измерение длины и площади
28 СМЕШАННЫЙ ОБЗОР уроков по решению задач МНОГОЭТАПНАЯ ЗАДАЧА На рисунке ниже изображена прямоугольная клумба. На схеме ноги AG и GE 5 15 футов.ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПРАКТИКА ИСПЫТАНИЙ classzone.com 4. КОРОТКИЙ ОТВЕТ Что произойдет с площадью ромба, если удвоить длину каждой диагонали? если утроить длину каждой диагонали? Объясните, что произойдет с площадью ромба, если каждую диагональ умножить на одинаковое число n. а. Объясните, откуда вы знаете, что BDFH — это ромб. б. Найдите площадь прямоугольника ACEG и площадь ромба BDFH. c. Вы хотите посадить астры внутри ромба BDFH и бархатцы в других частях клумбы. Стоит около $.30 за квадратный фут для посадки бархатцев и около 40 центов за квадратный фут для посадки астры. Сколько вы потратите на цветы? 2. ОТКРЫТЫЙ-КОНЕЦ Полигон имеет площадь 48 квадратных метров и высоту 8 метров. Нарисуйте три разных треугольника, соответствующих этому описанию, и три разных параллелограмма. Объясните свое мышление. 3. РАСШИРЕННЫЙ ОТВЕТ Вы укладываете плитку прямоугольный пол размером 12 на 21 фут. Ниже указаны цены на квадратную плитку двух размеров. 18 дюймов $ 2,25 $ дюйма a. Сколько мелкой плитки вам понадобится для пола? Сколько больших плиток? б.Найдите стоимость покупки большой плитки для пола и стоимость покупки маленькой плитки для пола. Какую плитку использовать, если вы хотите тратить как можно меньше? c. Сравните длины сторон, площади и стоимость двух плиток. Стоимость плитки зависит от длины стороны или площади? Объясни. 5. МНОГОЭТАПНАЯ ЗАДАЧА Показанный бассейн представляет собой прямоугольный треугольник с длиной ног 40 футов и 41 футов. Дорожка вокруг бассейна шириной 40 дюймов. R U 40 T Не в масштабе P a. Найдите район нсту.б. На диаграмме npqr, nstu, а масштабный коэффициент двух треугольников равен 1,3: 1. Найдите периметр npqr. c. Найдите площадь npqr. Затем найдите участок дорожки вокруг бассейна. 6. СЕТЕВОЙ ОТВЕТ В виде трапеции ABCD,} AB i} CD, m D 5 908, AD 5 5 дюймов и CD 5 3 p AB. Площадь трапеции ABCD составляет 1250 квадратных дюймов. Найдите длину (в дюймах) CD. 7. РАСШИРЕННЫЙ ОТВЕТ На диаграмме ниже n EFH — это равнобедренный прямоугольный треугольник, а n FGH — равносторонний треугольник. E H F 608 а. Найдите FH.Объясните свои рассуждения. б. Найдите EG. Объясните свои рассуждения. c. Найдите область EFGH. S P J G Смешанный обзор решения проблем 745
Метрология | измерение | Britannica
Метрология , наука об измерениях. Из трех основных величин, длины, массы и времени, всех других механических величин, т.е.g., площадь, объем, ускорение и мощность — могут быть получены. Комплексная система практических измерений должна включать, по крайней мере, три других основы, включая измерение электромагнитных величин, температуры и интенсивности излучения, например света.
Подробнее по этой теме
измерительная система
… процесс связывания чисел с физическими величинами и явлениями. Хотя понятие мер и весов сегодня включает в себя такие…
Соответственно, 11-я Генеральная конференция мер и весов в 1960 году приняла шесть величин и единиц в качестве основы, на которой была установлена Международная система единиц. С 1887 года было основано множество национальных лабораторий эталонов для создания и поддержания эталонов измерения как для шести основных величин, так и для их систематических производных. Они также проводят сопутствующие испытания и проверки для науки и промышленности. Примерами являются Национальное бюро стандартов (NBS) в Соединенных Штатах (теперь известное как Национальный институт стандартов и технологий; NIST), Национальная физическая лаборатория (NPL) в Великобритании и аналогичные организации во многих других странах.Международная метрическая организация, созданная в соответствии с Метрической конвенцией 1875 г. (с поправками 1921 г.), также имеет центральную лабораторию, Международное бюро мер и весов, в Севре (недалеко от Парижа). Он имеет обязанности, аналогичные обязанностям национальных лабораторий, но в первую очередь занимается международной координацией всей научной работы, связанной с поддержанием и улучшением метрической системы единиц и стандартов. Эта организация действует под руководством Генеральной конференции мер и весов при помощи избранного исполнительного органа, Международного комитета мер и весов, который собирается ежегодно.
Измерение количества означает определение его отношения к некоторому другому фиксированному количеству того же типа, известному как единица этого вида количества. Единица — это абстрактная концепция, определяемая либо ссылкой на некоторый произвольный материальный стандарт, либо на природные явления. Например, стандарт длины в метрической системе был определен (1889–1960 гг.) Путем разделения двух линий на определенном металлическом стержне, но теперь он определяется как равный расстоянию, пройденному светом в вакууме за определенный период. времени (см. метр).
Британские единицы | История, измерения и факты
Имперские единицы , также называются Британской Имперской Системой , единицы измерения Британской Имперской Системы, традиционной системы мер и весов, официально использовавшейся в Великобритании с 1824 года до принятия метрической системы, начиная с 1965 года. Обычная система мер и весов Соединенных Штатов происходит от Британской имперской системы. Имперские единицы теперь юридически определены в метрических единицах.
Раннее происхождение
Британская имперская система произошла от тысяч римских, кельтских, англосаксонских и традиционных местных единиц, использовавшихся в средние века. Широко использовались традиционные названия, такие как фунт, фут и галлон, но обозначенные таким образом значения менялись в зависимости от времени, места, торговли, технических характеристик продукта и десятков других требований. Ранние королевские стандарты, установленные для обеспечения единообразия, получили название Винчестер в честь древней столицы Британии, где саксонский король 10-го века Эдгар Миролюбивый держал королевскую меру в бушелях и, возможно, другие.В уставе четырнадцатого века был записан ярд (возможно, первоначально основанный на стержне или палке) в 3 фута, каждый фут состоял из 12 дюймов, каждый дюйм равнялся длине трех ячменных зерен (использовался просто как обучающее устройство, поскольку фактическим стандартом было расстояние между две отметки на дворовой планке). Также были указаны единицы вместимости и веса. В конце 15 века король Генрих VII подтвердил общепринятые винчестерские стандарты вместимости и длины и распространил королевские стандарты (физические воплощения утвержденных единиц) по всему королевству.Этот процесс повторился примерно столетие спустя во время правления королевы Елизаветы I. В 16 веке удочка (5,5 ярдов или 16,5 футов) была определена (снова как обучающее устройство, а не как стандарт) как длина стержня. левые ступни 16 мужчин встали пятки до пят, когда они выходили из церкви. К 17-му веку обычай и закон установили акр, прут и фарлонг в их нынешних значениях (4840 квадратных ярдов, 16,5 футов и 660 футов соответственно) вместе с другими историческими единицами. Несколько обычных торговых фунтов были сокращены до двух: тройской фунт, в основном для драгоценных металлов, и фунт эрирдупуа для других товаров, продаваемых на вес.
Меры и весы проходят испытания во время правления Генриха VII.
Photos.com/Jupiterimages
Создание системы
Закон о мерах и весах 1824 года и Закон 1878 года установили британскую имперскую систему на основе точных определений отдельных существующих единиц. Закон 1824 года санкционировал один имперский галлон, чтобы заменить вино, эль и кукурузные (пшеничные) галлоны, которые в то время использовались повсеместно. Новый галлон был определен как равный по объему 10 фунтам энирдупуа дистиллированной воды, взвешенным при 62 ° F с барометром на 30 дюймах, или 277.274 кубических дюйма (позже исправлено до 277,421 кубических дюймов). Двумя новыми основными стандартными единицами стали императорский эталонный ярд и тройской фунт, который позже был ограничен для взвешивания наркотиков, драгоценных металлов и драгоценностей. Закон 1963 года отменил такие архаичные меры, как стержень и чалдрон (мера угля, равная 36 бушелям), и переопределил стандартный ярд и фунт как 0,9144 метра и 0,45359237 кг соответственно. Теперь галлон равен объему, занимаемому 10 фунтами дистиллированной воды плотностью 0.998859 граммов на миллилитр при взвешивании в воздухе с плотностью 0,001217 граммов на миллилитр по сравнению с массами с плотностью 8,136 граммов на миллилитр.
В то время как британцы реформировали свои меры веса и меры в 19 веке, американцы просто принимали единицы измерения, основанные на тех единицах, которые были отклонены законом 1824 года. Стандартный галлон США основан на винном галлоне Королевы Анны объемом 231 кубический дюйм и составляет около На 17 процентов меньше британского имперского галлона. Американский бушель объемом 2150,42 кубических дюйма, полученный из винчестерского бушеля, заброшенного в Великобритании, примерно на 3 процента меньше британского имперского бушеля.В британской системе единицы емкости для сухого и жидкого топлива одинаковы, в то время как в США они различаются; пинта жидкости и сухая пинта в Великобритании равны 0,568 кубических дециметров, в то время как пинта жидкости в США составляет 0,473 кубических дециметра, а пинта сухой жидкости США составляет 0,551 кубических дециметров. Британские и американские единицы линейной меры и веса по существу одинаковы. Заметными исключениями являются британский камень весом 14 фунтов, который не используется в Соединенных Штатах, и расхождение в определении центнера (100 фунтов в Соединенных Штатах, 112 в Великобритании), которое дает две разные тонны, короткую U.С. тонна 2 000 фунтов и длинная британская тонна 2 240 фунтов. В 1959 году основные англоязычные страны приняли общие метрические определения дюйма (2,54 см), ярда (0,9144 метра) и фунта (0,4536 кг).
Получите эксклюзивный доступ к контенту из нашего первого издания 1768 с вашей подпиской. Подпишитесь сегодня Редакторы Британской энциклопедии
Меры и вес в британской имперской системе
Список мер и весов Британской Империи приведен в таблице.
» футов
Британская имперская система мер и весов США
шт. аббревиатура или символ эквивалентов в других единицах той же системы метрический эквивалент
Масса
Avoirdupois * avdp
^* В США используются единицы эвердупуа в качестве общей системы измерения веса.
тонн
короткая тонна 20 коротких центнеров, или 2000 фунтов 0.907 метрических тонн
длинная тонна 20 длинных центнеров или 2240 фунтов 1,016 метрических тонн
центнер cwt
короткий центнер 100 фунтов, или 0,05 короткой тонны 45,359 килограмма
центнер длинный 112 фунтов или 0,05 длинной тонны 50,802 килограмма
фунтов lb, lb avdp или # 16 унций или 7000 гран 0.454 килограмм
унция унций или avdp 16 драмов, 437,5 гран или 0,0625 фунта 28,350 грамма
драм dr, или dr avdp 27,344 гран, или 0,0625 унции 1,772 грамма
зерно гр 0,037 драм, или 0,002286 унции 0,0648 грамм
камень ул 0,14 короткого центнера или 14 фунтов 6.35 килограмм
Троя
фунтов фунт т 12 унций, 240 пенни или 5760 гран 0,373 килограмма
унция унции т Вес 20 пенни, 480 гран или 0,083 фунта 31,103 грамма
пеннивейт dwt или pwt 24 зерна или 0,05 унции 1,555 грамма
зерно гр 0.042 пенни, или 0,002083 унции 0,0648 грамм
Аптекарская
фунтов фунтов ap 12 унций или 5760 гран 0,373 килограмма
унция унций ap 8 драмов, 480 гран или 0,083 фунта 31,103 грамма
драм др ap 3 ломтика, или 60 гран 3,888 грамма
совесть s ap 20 зерен, или 0.333 драм 1,296 грамма
зерно гр 0,05 сома, 0,002083 унции, или 0,0166 драмов 0,0648 грамм
Вместимость
Меры для жидкости США
галлонов галлон 4 кварты 3,785 литра
кварт кварт 2 пинты 0,946 литр
пинта пт 4 жабры 0.473 литр
жабра gi 4 жидких унции 118,294 миллилитра
жидкая унция жидкая унция 8 драм жидкости 29,573 миллилитров
жидкий драм эт др 60 минимумов 3,697 миллилитра
минимум мин. ¹/₆₀ жидких драм 0,06 1610 миллилитр
U.С. сухие меры
бушель bu 4 пика 35,239 литра
клюв pk 8 кварт 8,810 литров
кварт кварт 2 пинты 1,101 литра
пинта пт ¹/₂ кварт 0,551 литр
Британские жидкие и сухие меры
бушель bu 4 пика 0.036 куб.м.
клюв шт. 2 галлона 0,0091 куб.м
галлона галлонов 4 кварты 4,546 литров
кварт кварт 2 пинты 1,136 литра
пинта пт 4 жабры 568,26 кубических сантиметра
жабра gi 5 жидких унций 142.066 кубических сантиметров
жидкая унция жидких унций 8 драм жидкости 28,412 кубических сантиметра
жидкий драм эт др 60 минимум 3,5516 кубических сантиметров
минимум мин. ¹/₆₀ жидких драмов 0,059194 кубический сантиметр
Длина
морская миля нм 6076 футов, или 1.151 миль 1852 метра
миля миль 5280 футов, 1760 ярдов или 320 удочек 1 609 метров, или 1 609 км
фарлонг мех 660 футов, 220 ярдов или ¹/₈ миль 201 метр
стержень rd 5,50 ярдов или 16,5 футов 5,029 метра
сажень пятый 6 футов или 72 дюйма 1.829 метров
двор ярдов 3 фута или 36 дюймов 0,9144 метра
фут футов, или ‘ 12 дюймов или 0,333 ярда 30,48 см
дюйм дюйм или « 0,083 фута или 0,028 ярда 2,54 см
Площадь
квадратная миля кв. Миль или ² 640 акров, или 102 400 квадратных стержней 2.590 кв. Км
акров 4840 квадратных ярдов, или 43 560 квадратных футов 0,405 га, или 4047 кв.м
квадратный стержень кв, или ² 30,25 квадратных ярда, или 0,00625 акра 25,293 кв. М.
двор кв ярд или ² 1296 квадратных дюймов или 9 квадратных футов 0,836 кв.м
квадратный фут кв. Футов или футов ² 144 квадратных дюйма, или 0.111 кв. Ярд 0,093 кв.м
квадратный дюйм кв. Дюймов, или в ² 0,0069 квадратных футов или 0,00077 квадратных ярдов 6,452 квадратных сантиметра
Объем
кубический ярд куб. Ярдов, или ³ 27 кубических футов, или 46 656 кубических дюймов 0,765 м3
кубических футов куб. Футов или футов ³ 1728 кубических дюймов, или 0.0370 куб. Ярд 0,028 м3
кубический дюйм у.е. дюйм, или в ³ 0,00058 кубических футов, или 0,000021 кубических ярдов 16,387 кубических сантиметра
акр-фут футов 43560 кубических футов, или 1613 кубических ярдов 1233 м3
дощатая лапка bd ft 144 кубических дюйма, или ¹/₁₂ кубических футов 2.36 литров
шнур cd 128 кубических футов 3,62 м3
Эта статья была недавно отредактирована и обновлена Адамом Августином, управляющим редактором, справочное содержание.
Узнайте больше в этих связанных статьях Britannica:
Средние века
Средневековье, период европейской истории от краха римской цивилизации в V веке нашей эры до периода Возрождения (по-разному интерпретируется как начало XIII, XIV или XV веков, в зависимости от региона Европы и других факторов). ).…
Измерение
Измерение, процесс соотнесения чисел с физическими величинами и явлениями.
No related posts.

шт.	аббревиатура или символ	эквивалентов в других единицах той же системы	метрический эквивалент
Масса
Avoirdupois *	avdp
^* В США используются единицы эвердупуа в качестве общей системы измерения веса.
тонн
короткая тонна		20 коротких центнеров, или 2000 фунтов	0.907 метрических тонн
длинная тонна		20 длинных центнеров или 2240 фунтов	1,016 метрических тонн
центнер	cwt
короткий центнер		100 фунтов, или 0,05 короткой тонны	45,359 килограмма
центнер длинный		112 фунтов или 0,05 длинной тонны	50,802 килограмма
фунтов	lb, lb avdp или #	16 унций или 7000 гран	0.454 килограмм
унция	унций или avdp	16 драмов, 437,5 гран или 0,0625 фунта	28,350 грамма
драм	dr, или dr avdp	27,344 гран, или 0,0625 унции	1,772 грамма
зерно	гр	0,037 драм, или 0,002286 унции	0,0648 грамм
камень	ул	0,14 короткого центнера или 14 фунтов	6.35 килограмм
Троя
фунтов	фунт т	12 унций, 240 пенни или 5760 гран	0,373 килограмма
унция	унции т	Вес 20 пенни, 480 гран или 0,083 фунта	31,103 грамма
пеннивейт	dwt или pwt	24 зерна или 0,05 унции	1,555 грамма
зерно	гр	0.042 пенни, или 0,002083 унции	0,0648 грамм
Аптекарская
фунтов	фунтов ap	12 унций или 5760 гран	0,373 килограмма
унция	унций ap	8 драмов, 480 гран или 0,083 фунта	31,103 грамма
драм	др ap	3 ломтика, или 60 гран	3,888 грамма
совесть	s ap	20 зерен, или 0.333 драм	1,296 грамма
зерно	гр	0,05 сома, 0,002083 унции, или 0,0166 драмов	0,0648 грамм
Вместимость
Меры для жидкости США
галлонов	галлон	4 кварты	3,785 литра
кварт	кварт	2 пинты	0,946 литр
пинта	пт	4 жабры	0.473 литр
жабра	gi	4 жидких унции	118,294 миллилитра
жидкая унция	жидкая унция	8 драм жидкости	29,573 миллилитров
жидкий драм	эт др	60 минимумов	3,697 миллилитра
минимум	мин.	¹/₆₀ жидких драм	0,06 1610 миллилитр
U.С. сухие меры
бушель	bu	4 пика	35,239 литра
клюв	pk	8 кварт	8,810 литров
кварт	кварт	2 пинты	1,101 литра
пинта	пт	¹/₂ кварт	0,551 литр
Британские жидкие и сухие меры
бушель	bu	4 пика	0.036 куб.м.
клюв	шт.	2 галлона	0,0091 куб.м
галлона	галлонов	4 кварты	4,546 литров
кварт	кварт	2 пинты	1,136 литра
пинта	пт	4 жабры	568,26 кубических сантиметра
жабра	gi	5 жидких унций	142.066 кубических сантиметров
жидкая унция	жидких унций	8 драм жидкости	28,412 кубических сантиметра
жидкий драм	эт др	60 минимум	3,5516 кубических сантиметров
минимум	мин.	¹/₆₀ жидких драмов	0,059194 кубический сантиметр
Длина
морская миля	нм	6076 футов, или 1.151 миль	1852 метра
миля	миль	5280 футов, 1760 ярдов или 320 удочек	1 609 метров, или 1 609 км
фарлонг	мех	660 футов, 220 ярдов или ¹/₈ миль	201 метр
стержень	rd	5,50 ярдов или 16,5 футов	5,029 метра
сажень	пятый	6 футов или 72 дюйма	1.829 метров
двор	ярдов	3 фута или 36 дюймов	0,9144 метра
фут	футов, или ‘	12 дюймов или 0,333 ярда	30,48 см
дюйм	дюйм или «	0,083 фута или 0,028 ярда	2,54 см
Площадь
квадратная миля	кв. Миль или ²	640 акров, или 102 400 квадратных стержней	2.590 кв. Км
акров		4840 квадратных ярдов, или 43 560 квадратных футов	0,405 га, или 4047 кв.м
квадратный стержень	кв, или ²	30,25 квадратных ярда, или 0,00625 акра	25,293 кв. М.
двор	кв ярд или ²	1296 квадратных дюймов или 9 квадратных футов	0,836 кв.м
квадратный фут	кв. Футов или футов ²	144 квадратных дюйма, или 0.111 кв. Ярд	0,093 кв.м
квадратный дюйм	кв. Дюймов, или в ²	0,0069 квадратных футов или 0,00077 квадратных ярдов	6,452 квадратных сантиметра
Объем
кубический ярд	куб. Ярдов, или ³	27 кубических футов, или 46 656 кубических дюймов	0,765 м3
кубических футов	куб. Футов или футов ³	1728 кубических дюймов, или 0.0370 куб. Ярд	0,028 м3
кубический дюйм	у.е. дюйм, или в ³	0,00058 кубических футов, или 0,000021 кубических ярдов	16,387 кубических сантиметра
акр-фут	футов	43560 кубических футов, или 1613 кубических ярдов	1233 м3
дощатая лапка	bd ft	144 кубических дюйма, или ¹/₁₂ кубических футов	2.36 литров
шнур	cd	128 кубических футов	3,62 м3

Урок 3: Единицы длины и площади

Единицы длины. Километр

Единицы площади. Квадратный метр, квадратный километр, квадратный миллиметр

Ар. Гектар

Нахождение нескольких долей целого

Учителю физики и ученикам — Меры длины, площади, массы, объема

Меры длины, площади, массы, объема

Англо-американская система мер

Старинные и современные единицы измерения

Старинные руские меры

Живое творчество

Памятка по математике 2-4 классы. Меры массы, площади, объема, длины

Оставьте свой комментарий

Интегрированный урок физика-алгебра по теме «Меры длины, площади,объёма, массы в наше время и в древности»

Оставьте свой комментарий

Таблицы мер и единиц площади. Конвертер

Таблица единиц площади в метрической системе мер

Таблица единиц площади в британской системе мер

Таблица единиц площади в старорусской системе мер

Конвертер единиц площади

Другие таблицы

секторов, областей и дуг | Purplemath

Purplemath

MathHelp.com

Для окружности с радиусом r = 8 единиц и сектора с прилегающим углом 45 ° найдите площадь сектора и длину дуги.

Дан сектор радиусом r = 3 см и соответствующей длиной дуги 5π радиан, найдите площадь сектора.

Сектор круга имеет площадь 108 см. 2 , а сектор пересекает дугу длиной 12 см. Найдите диаметр круга.

Калькулятор прямоугольного треугольника

Прямой треугольник

Специальные прямоугольные треугольники

ошибок измерения

Степень точности

Примеры:

Плюс или Минус

Пример: длина забора составляет 12,5 метра с точностью до 0,1 метра

Абсолютная, относительная и процентная ошибка

Пример: забор (продолжение)

Пример: термометр измеряет с точностью до 2 градусов. Температура составила 38 ° C

Пример: вы измеряете высоту растения 80 см (с точностью до см)

Площадь

Пример: Алекс измерил поле с точностью до метра и получил ширину 6 м и длину 8 м.

Абсолютная, относительная и процентная ошибка

Объем

Пример: Сэм измерил коробку с точностью до 2 см и получил 24 см × 24 см × 20 см

Абсолютная, относительная и процентная ошибка

Измерение длины и площади — Скачать PDF бесплатно

Метрология | измерение | Britannica

Британские единицы | История, измерения и факты

Раннее происхождение

Создание системы

Меры и вес в британской имперской системе

Узнайте больше в этих связанных статьях Britannica:

Добавить комментарий Отменить ответ

Рубрики

Сектор круга имеет площадь 108 см. ², а сектор пересекает дугу длиной 12 см. Найдите диаметр круга.