Как найти смежный угол треугольника. Смежные и вертикальные углы

Геометрия — это весьма многогранная наука. Она развивает логику, воображение и интеллект. Конечно, из-за своей сложности и огромного количества теорем и аксиом, она не всегда нравится школьникам. Кроме этого, существует необходимость постоянно доказывать свои выводы, используя общепринятые стандарты и правила.

Смежные и вертикальные углы — это неотъемлемая составляющая геометрии. Наверняка многие школьники просто обожают их по той причине, что их свойства понятны и просты в доказательстве.

Образование углов

Любой угол образуется путем пересечения двух прямых или проведения двух лучей из одной точки. Они могут называться либо одной буквой, либо тремя, которые последовательно обозначают точки построения угла.

Углы измеряются в градусах и могут (в зависимости от их значения) по-разному называться. Так, существует прямой угол, острый, тупой и развернутый. Каждому из названий соответствует определенная градусная мера или ее промежуток.

Острым называется угол, мера которого не превышает 90 градусов.

Тупым является угол, превышающий 90 градусов.

Угол называется прямым в том случае, когда его градусная мера равна 90.

В том случае, когда он образован одной сплошной прямой, и его градусная мера равна 180, его называют развернутым.

Углы, имеющие общую сторону, вторая сторона которых продолжает друг друга, называются смежными. Они могут быть как острыми, так и тупыми. Пересечение линией образует смежные углы. Свойства их следующие:

1. Сумма таких углов будет равна 180 градусам (существует теорема, доказывающая это). Поэтому можно легко вычислить один из них, если известен другой.
2. Из первого пункта следует, что смежные углы не могут быть образованы двумя тупыми или двумя острыми углами.

Благодаря этим свойствам, можно всегда вычислить градусную меру угла, имея значение другого угла или, по крайней мере, отношение между ними.

Вертикальные углы

Углы, стороны которых являются продолжением друг друга, называются вертикальными. В качестве такой пары могут выступать любые их разновидности. Вертикальные углы всегда равны между собой.

Они образуются при пересечении прямых. Совместно с ними всегда присутствуют и смежные углы. Угол может быть одновременно смежным для одного и вертикальным для другого.

При пересечении произвольной линией также рассматривают еще несколько видов углов. Такая линия называется секущей, она и образует соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Они равны между собой. Их можно рассматривать в свете свойств, которые имеют вертикальные и смежные углы.

Таким образом, тема углов представляется довольно простой и понятной. Все их свойства легко запомнить и доказать. Решение задач не представляется сложным до тех пор, пока углам соответствует числовое значение. Уже дальше, когда начнется изучение sin и cos, придется запоминать множество сложных формул, их выводов и следствий. А до того времени можно просто наслаждаться легкими задачками, в которых необходимо найти смежные углы.

2)Сколько общих точек могут иметь 2 прямые?
3)Объясните что такое отрезок?
4)Объясните что такое луч.Как обозначаются лучи?
5)Какая фигура называется углом?Объясните что такое вершина и стороны угла?
6)Какой угол называется развернутым?
7)Какие фигуры называют равными?
8)Объясните как сравнить 2 отрезка
9)Какая точка называется серединой отрезка?
10)Объясните как сравнить 2 угла.
11)Какой луч называется биссектрисой угла?
12)Точка С делит отрезок АВ на 2 отрезка.Как найти длину отрезка АВ если известны длины отрезков АС и СВ?
13)Какими инструментами пользуются для измерения расстояний?
14)Что такое градусная мера угла?
15)Луч ОС делит угол АОВ на 2 угла. Как найти градусную меру угла АОВ если известны градусные меры углов АОС и СОВ?
16)Какой угол называется острым?прямым?тупым?
17)Какие углы называют смежными?Чему равна сумма смежных углов?
18)Какие углы называются вертикальными?Каким свойством обладают вертикальные углы?
19)Какие прямы называются перпендикулярными?
20)Объясните почему 2 прямые перпендикулярные к 3-ей не пересекаются?
21)Какие приборы применяют для построения прямых углов на местности?

2сколько общих точек могут иметь две прямые?
3обьясните что такое отрезок
4обьясните что такое луч.Как обозначаются лучи?
5какая фигура называется углом? обьясните что такое вершина и стороны угла
6какой угол называется развёрнутым
7какие фигуры называются равными
8обьясните как сравнить два отрезка
9какая точка называется серединой отрезка
10обьясните как сравнить два угла
11какой луч называется биссектрисой угла
12точка с делит отрезок аб на два отрезка.Как найти длину отрезка аб если известны длины отрезков ас и сб
13какими инструментами пользуются для измерения расстояний
14что такое градусная мера угла
15луч ос делит угол аоб на два угла.Как найти градусную меру угла аоб,если известны меры углов аос в соб
16какой угол называется острым?,прямым?,тупым?.
17какие углы называются смежными?чему равна сумма смежных углов?
18какие углы называются вертикальными?каким свойством обладают вертикальные углы
19какие прямые называются перпендикулярными
20обьясните почему две прямые перпендикулярные к третьей не пересикаются
21какие приборы применяют для построения прямых углов на местности?

вертикальными каким свойством обладают вертикальные углы 5)

7. Докажите, что если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов.

8. Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перепендикулярна одной из двух параллелных прямых, то она перепендикулярна и другой.

9. Докажите, что сумма углов треугольника равна 180 градусов.

10. Докажите, что у любого треугольника по крайней мере два угла острые.

11. Что такое внешний угол треугольника?

12. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

13. Докажите, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

14. Какой треугольник называется прямоугольным?

15. Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?

16. Какая сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой? Какие стороны называются катетами?

17. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

18. Докажите, что из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

19. Что называется расстоянием от точки до прямой?

20. Объясните, что такое расстояние между параллельными прямыми.

Г Л А В А I.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

§11. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ.

1. Смежные углы.

Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (черт. 72): / А ВС и / СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие АВи ВD составляют прямую линию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.

Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.
Например, / АDF и / FDВ — углы смежные (черт. 73).

Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (черт. 74).

Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 2d.

Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.

Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.

Например, если один из смежных углов равен 3 / 5 d , то второй угол будет равен:

2d — 3 / 5 d = l 2 / 5 d .

2. Вертикальные углы.

Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На чертеже 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF — также вертикальные.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Пусть / 1 = 7 / 8 d (черт. 76). Смежный с ним / 2 будет равен 2d — 7 / 8 d , т. е. 1 1 / 8 d .

Таким же образом можно вычислить, чему равны / 3 и / 4.
/ 3 = 2d — 1 1 / 8 d = 7 / 8 d ; / 4 = 2d — 7 / 8 d = 1 1 / 8 d (черт. 77).

Мы видим, что / 1 = / 3 и / 2 = / 4.

Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.

Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.

Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём рассуждения, путём доказательства.

Доказательство можно провести следующим образом (черт. 78):

/ a + / c = 2d ;
/ b + / c = 2d ;

(так как сумма смежных углов равна 2d ).

/ a + / c = / b + / c

(так как и левая часть этого равенства равна 2d , и правая его часть тоже равна 2d ).

В это равенство входит один и тот же угол с .

Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: / a = / b , т. е. вертикальные углы равны между собой.

При рассмотрении вопроса о вертикальных углах мы сначала объяснили, какие углы называются вертикальными, т. е. дали определение вертикальных углов.

Затем мы высказали суждение (утверждение) о равенстве вертикальных углов и в справедливости этого суждения убедились путём доказательства. Такие суждения, справедливость которых надо доказывать, называются теоремами . Таким образом, в данном параграфе мы дали определение вертикальных углов, а также высказали и доказали теорему об их свойстве.

В дальнейшем при изучении геометрии нам постоянно придётся встречаться с определениями и доказательствами теорем.

3. Сумма углов, имеющих общую вершину.

На чертеже 79 / 1, / 2, / 3 и / 4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d .

На чертеже 80 / 1, / 2, / 3, / 4 и / 5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d .

Упражнения.

1. Один из смежных углов равен 0,72 d. Вычислить угол, составленный биссектрисами этих смежных углов.

2. Доказать, что биссектрисы двух смежных углов образуют прямой угол.

3. Доказать, что если два угла равны, то равны и их смежные углы.

4. Сколько пар смежных углов на чертеже 81?

5. Может ли пара смежных углов состоять из двух острых углов? из двух тупых углов? из прямого и тупого угла? из прямого и острого угла?

6. Если один из смежных углов прямой, то что можно сказать о величине смежного с ним угла?

7. Если при пересечении двух прямых линий один угол прямой, то что можно сказать о величине остальных трёх углов?

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Сумма смежных углов равна 180°

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Вертикальные углы равны

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

АН — перпендикуляр к прямой

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Чертежный угольник

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Решение. Обозначим градусную меру другого угла через x , тогда согласно теореме 1.
44° + х = 180°.
Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.

Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Решение. Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
∠ АОС = 180° — ∠ COD = 180° — 45° = 135°.

Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
Значит, смежные углы равны 45° и 135°.

Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180° — 50° = 130°.

Что такое смежный угол

Угол – это геометрическая фигура (рис.1), образованная двумя лучами OA и OB (стороны угла), исходящими из одной точки O (вершина угла).

СМЕЖНЫЕ УГЛЫ — два угла, сумма которых равна 180°. Каждый из этих углов дополняет другой до развернутого угла.

Смежные углы — (Agles adjacets) такие, которые имеют общую вершину и общую сторону. Преимущественно под этим именем подразумеваются такие углы, которых остальные две стороны лежат по противоположным направлениям одной прямой, проведенной через.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

рис. 2

На рисунке 2 углы a1b и a2b смежные. У них общая сторона b, а стороны a1, a2 — дополнительные полупрямые.

рис. 3

На рисунке 3 изображена прямая AB, точка C расположена между точками A и B. Точка D — точка не лежащая на прямой AB. Получается, что углы BCD и ACD смежные. У них общая сторона CD, а стороны CA и CB дополнительные полупрямые прямой AB, так как точки A, B разделены начальной точкой C.

Теорема о смежных углах

Теорема: сумма смежных углов равна 180°

Доказательство:
Углы a1b и a2b смежные (см. рис. 2) Луч b проходит между сторонами a1, и a2 развернутого угла. Следовательно, сумма углов a1b и a2b равна развернутому углу, то есть 180°. Теорема доказана.

Угол, равный 90° называется прямым. Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом также прямой угол. Угол, меньший 90° называется острым, а угол больше 90° — тупым. Так как сумма смежных углов равна 180°, значит угол, смежный с острым углом — тупой угол. А угол смежный с тупым углом — острый угол.

Смежные углы — два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.

Определение 1. Углом называется часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Определение 1.1. Углом называют фигуру, состоящую из точки — вершины угла — и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, — сторон угла.
Например, угол ВОС на рис1 Рассмотрим сначала две пересекающиеся прямые. При пересечении прямые образуют углы. Есть частные случаи:

Определение 2. Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым.

Определение 3. Прямой угол — это угол величиной в 90 градусов.

Определение 4. Угол, меньший 90 градусов, называется острым углом.

Определение 5. Угол, больший 90 градусов и меньший 180 градусов, называется тупым углом.
пересекающиеся прямые.

Определение 6. Два угла, одна сторона которых общая, а другие стороны лежат на одной прямой, называются смежными.

Определение 7. Углы, стороны которых продолжают друг друга, называются вертикальными углами.
На рисунке 1:
смежные: 1 и 2; 2 и 3; 3 и 4; 4 и 1
вертикальные: 1 и 3; 2 и 4
Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180 градусов.
Для доказательства рассмотрим на рис. 4 смежные углы АОВ и ВОС. Их суммой является развернутый угол АОС. Поэтому сумма данных смежных углов равна 180 градусов.

рис. 4

Связь математики с музыкой

«Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и, что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства.»
Г. Нейгауз
Казалось бы, искусство — весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика — самая абстрактная из наук, а музыка — наиболее отвлеченный вид искусства.
Консонанс определяет приятное для слуха звучание струны
В основе этой музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых — Пифагора и Архита. Вот эти законы:
1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.
2. Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l .
w = a: l ,
где а — коэффициент, характеризующий физические свойства струны.

Так же предложу вашему внимаю забавную пародию про спор двух математиков =)

Геометрия вокруг нас

Геометрия в нашей жизни имеет немаловажное значение. Ввиду того, что когда оглядеться вокруг, то не сложно будет заметить, что нас окружают различные геометрические фигуры. Мы с ними сталкиваемся повсюду: на улице, в классе, дома, в парке, в спортивном зале, в школьной столовой, в принципе везде, где бы мы с вами не находились. Но темой сегодняшнего урока являются смежные угли. Поэтому давайте оглянемся вокруг и попытаемся в этом окружении найти углы. Если вы внимательно посмотрите в окно, то можете увидеть, что некоторые ветки дерева образуют смежные углы, а в перегородках на воротах можно заметить множество вертикальных углов. Приведите свои примеры смежных углов, которые вы наблюдаете в окружающей обстановке.

Задание 1.

1. Вот на столе на книжной подставке стоит книга. Какой угол она образует?
2. А вот ученик работает за ноутбуком. Какой угол вы видите здесь?
3. Какой угол образует фото рамка на подставке?
4. Как вы думаете, возможно ли, чтобы два смежных угла были равными?

Задание 2.

Перед вами изображена геометрическая фигура. Что это за фигура, назовите ее? А теперь назовите все смежные углы, которые вы можете увидеть на этой геометрической фигуре.

Задание 3.

Перед вами изображение рисунка и картины. Рассмотрите их внимательно и скажите, какие виды улов вы видите на картине, а какие углы на рисунке.

Решение задач

Математический диктант на повторение ранее выученного материала

Решите задачи:

1. Может ли сумма 3-х углов, образованных при пересечении 2-х прямых, равняться 100°? 370°?
2. На рисунке найдите все пары смежных углов. А теперь вертикальных углов. Назовите эти углы.

3. Нужно найти угол, когда он втрое больше, чем смежный с ним.
4. Две прямые пересеклись между собой. В результате этого пересечения образовались четыре угла. Определите величину любого из них, при условии что:

а) сумма 2-х углов из четырех 84°;
б) разность 2-х углов из них равна 45°;
в) один угол в 4 раза меньше чем второй;
г) сумма трех из данных углов равна 290°.

Итог урока

1. назовите углы, которые образуются при пересечении 2-х прямых?
2. Назовите все возможные пары углов, находящихся на рисунке, и определите их вид.

Домашнее задание:

1. Найдите отношение градусных мер смежных углов, когда один из них на 54° больше второго.
2. Найдите углы, которые образуются при пересечении 2-х прямых, при условии, что один из углов равняется сумме 2-х других углов, смежных с ним.
3. Необходимо найти смежные углы, когда биссектриса одного из них образует со стороной второго угол, который больше чем второй угол на 60°.
4. Разница 2-х смежных углов равна трети от суммы этих двух углов. Определите величины 2-х смежных углов.
5. Разница и сумма 2-х смежных углов относятся как 1: 5 соответственно. Найдите смежные углы.
6. Разница двух смежных составляет 25% от их суммы. Как относятся величины 2-х смежных углов? Определите величины 2-х смежных углов.

Вопросы:

1. Что такое угол?
2. Какие бывают типы углов?
3. Какая особенность смежных углов?

5.3 Свойства света: доработка | Геометрическая оптика

Когда свет взаимодействует с объектами или средой, такой как стекло или вода, он отображает определенные свойства: может быть отражено , поглощено или передано .

Отражение (ESBN2)

Когда вы улыбаетесь в зеркало, вы видите свое собственное лицо, улыбающееся вам в ответ. Это вызвано отражение световых лучей на зеркале.Отражение происходит, когда входящий световой луч отскакивает от поверхности. На следующем рисунке тихое озеро отражает пейзаж. окружающий его.

Для описания отражения света мы будем использовать следующую терминологию. Входящий световой луч называется падающим лучом .Луч света удаляется от поверхность — это отраженный луч . Самая важная характеристика эти лучи — это их углы по отношению к отражающей поверхности. Эти углы измеряется относительно нормали к поверхности. нормальный — это воображаемая линия, перпендикулярная поверхности. Угол падения , \ (\ theta_i \) измеряется между падающим лучом и поверхностью. обычный.Угол отражения , \ (\ theta_r \) измеряется между отраженный луч и нормаль к поверхности. Это показано на Рисунке 5.3.

Когда луч света отражается, отраженный луч лежит в той же плоскости, что и падающий. луч и нормальный.Эта плоскость называется плоскостью падения и является показано на рисунке 5.4.

Закон отражения

Угол падения равен углу отражения:

\ [\ theta_ {i} = \ theta_ {r} \]

и падающий луч, отраженный луч и нормаль лежат в одном и том же самолет.

Самый простой пример закона отражения — если угол падения равен \ (\ текст {0} \) \ (\ текст {°} \). В этом случае угол отражения также равен \ (\ текст {0} \) \ (\ текст {°} \). Вы видите это, когда смотрите прямо в зеркало.

Применяя то, что мы знаем из закона отражения, если луч света падает на поверхность на \ (\ text {60} \) \ (\ text {°} \) к нормали к поверхности, затем угол, на который отраженный луч, сделанный по нормали, также должен быть \ (\ text {60} \) \ (\ text {°} \), как показано на рисунке 5.6.

Реальные приложения отражения

Параболический отражатель — это зеркало или тарелка (например, спутниковая тарелка), имеющая параболическая форма. Некоторые примеры очень полезных параболических отражателей: автомобиль. фары, прожекторы, телескопы и спутниковые антенны.В случае автомобиля фары или прожекторы, исходящий свет лампы отражается параболическим зеркалом за колбой так, чтобы он выходил в виде коллимированного луча (т.е. все отраженные лучи параллельны). Обратная ситуация верна для телескоп, в который падающий свет от далеких объектов попадает в виде параллельных лучей и фокусируется параболическим зеркалом в точку, называемую фокусом, где изображение можно сделать.Поверхность такого рефлектора должна иметь очень хорошую форму. внимательно, чтобы все лучи попадали в одну и ту же точку фокусировки.

Лучи и отражение

Реальны ли световые лучи? Объяснять.

Световые лучи не настоящие.

В физике мы используем идею светового луча для обозначения направление, в котором движется свет. В геометрической оптике мы изображаем световые лучи прямыми стрелками, чтобы показать, как свет распространяется.Световые лучи не точные описание света; скорее они показывают направление в котором движутся световые фронты.

На схеме изображена криволинейная поверхность.Нарисуйте нормали к поверхность в отмеченных точках.

Укажите закон отражения.Нарисуйте схему, пометьте подходящие углы и напишите математическое выражение для Закона Отражения.

Закон отражения гласит, что угол падения равен равный углу отражения и падающего луча, отраженный луч и нормаль лежат в одном самолет.

Мы можем записать это математически как: \ (θ_ {i} = θ_ {r} \).

Нарисуйте диаграмму лучей, чтобы показать взаимосвязь между углом падения и угла отражения.

На схеме показан падающий луч \ (I \). Какие из остальных 5 лучи (A, B, C, D, E) лучше всего представляют отраженный луч из \ (I \)?

Луч B выглядит так, как будто он отражается под тем же углом, что и падающий луч.

Луч света падает на поверхность \ (\ text {15} \) \ (\ text {°} \) к нормали к поверхность. Нарисуйте диаграмму лучей, показывающую падающий луч, отраженный луч и нормаль к поверхности.Рассчитать углы инцидентов и размышлений и заполните их на своем диаграмма.

Нам говорят, что луч света падает на поверхность в \ (\ text {15} \) \ (\ text {°} \) к нормали к поверхность, поэтому угол падения \ (\ text {15} \) \ (\ text {°} \).Поскольку угол падение равно углу отражения, угол отражения также \ (\ text {15} \) \ (\ text {°} \).

Нанесение на диаграмму лучей (не в масштабе!):

Луч света покидает поверхность на \ (\ text {45} \) \ (\ text {°} \) к нормали к поверхность.Нарисуйте диаграмму лучей, показывающую падающий луч, отраженный луч и нормаль к поверхности. Рассчитать углы инцидентов и размышлений и заполните их на своем диаграмма.

Нам говорят, что луч света покидает поверхность на \ (\ text {45} \) \ (\ text {°} \) к нормали к поверхность, поэтому угол отражения \ (\ text {45} \) \ (\ text {°} \).Поскольку угол отражение равно углу падения, угол инцидентности также \ (\ text {15} \) \ (\ text {°} \).

Нанесение на диаграмму лучей (не в масштабе!):

Луч света падает на поверхность \ (\ text {25} \) \ (\ text {°} \) на поверхность.Нарисовать лучевая диаграмма, показывающая падающий луч, отраженный луч и поверхность нормальная. Рассчитайте углы падения и отражение и заполните их на диаграмме.

Нам говорят, что луч света падает на поверхность в \ (\ text {25} \) \ (\ text {°} \) на поверхность.Найти угол падения заметим, что проведена нормаль в \ (\ text {90} \) \ (\ text {°} \) на поверхность. Так что угол падения \ (\ text {90} \ text {°} — \ text {25} \ text {°} = \ text {65} \ text {°} \). С угол падения равен углу отражение, угол отражения также \ (\ text {65} \) \ (\ text {°} \).

Нанесение на диаграмму лучей (не в масштабе!):

Луч света покидает поверхность на \ (\ text {65} \) \ (\ text {°} \) на поверхность.Нарисовать лучевая диаграмма, показывающая падающий луч, отраженный луч и поверхность нормальная. Рассчитайте углы падения и отражение и заполните их на диаграмме.

Нам говорят, что луч света покидает поверхность на \ (\ text {65} \) \ (\ text {°} \) на поверхность.Найти угол отражения заметим, что нарисована нормаль в \ (\ text {90} \) \ (\ text {°} \) на поверхность. Так что угол отражения \ (\ text {90} \ text {°} — \ text {65} \ text {°} = \ text {25} \ text {°} \). С угол отражения равен углу падения, угол падения также \ (\ текст {25} \) \ (\ текст {°} \).

Нанесение на диаграмму лучей (не в масштабе!):

Луч света (например, от фонаря) обычно не виден ночью, так как путешествует по воздуху.Попробуй это для себя. Однако, если вы осветите факел насквозь пыль, луч виден. Объясните, почему это происходит.

Чтобы увидеть луч от фонаря, световые лучи, испускаемые факел должен отражаться от чего-то, чтобы наш глаз видеть это.Ночью лучи света не отражаются выключено ничего и поэтому мы не видим луч фонаря. Если посветить факелом сквозь пыль, то мы увидим луч, поскольку световые лучи отражаются от частиц пыли.

Если луч фонаря освещает класс, только учащиеся по прямой линии луча можно было бы увидеть, что светит факел.Однако если луч попадает в стены, весь класс сможет увидеть сделанное у балки на стене. Объясните, почему это происходит.

Чтобы увидеть луч от фонаря, световые лучи, испускаемые факел должен отражаться от чего-то, чтобы наш глаз видеть это.Так что только ученики на прямом пути свет увидит, что факел светит. Однако как как только луч фонаря отражается от стены, все учащиеся могут видеть место, где луч отражает.

Будет ли она видеть свои ноги, если она отступит? из зеркала?

Она не сможет видеть свои ноги.Ваши взгляды вдоль линии, чтобы увидеть свои ноги. Эта строка должна пересечь зеркало.

Сплошные линии показывают путь света от нее. подол лабораторного халата до глаз, а пунктирная линия показывает путь, по которому должен пройти свет дотронься до ее глаз с ее ног.Как она движется подальше единственное, что меняется, — это углы падения и отражения.

Что, если она подойдет к зеркалу?

Она по-прежнему не видит своих ног.Твой глаз смотрит вдоль линии, чтобы увидеть свои ноги. Эта линия должен пересекать зеркало.

Сплошные линии показывают путь света от нее. подол лабораторного халата до глаз, а пунктирная линия показывает путь, по которому должен пройти свет дотронься до ее глаз с ее ног.Как она движется ближе единственное, что меняется, это углы падения и отражения.

Поглощение

Помимо отражения, свет может также поглощаться .Отзывать начиная с 10 класса, видимый свет охватывает диапазон длин волн в электромагнитный спектр. Цвета, которые мы видим глазами, соответствуют свету волны с разными длинами волн или частотами.

Представьте, что вы освещаете факелом или другим источником белого света белый кусок бумага.Свет отражается от бумаги в наши глаза, и мы видим цвет бумаги белый. Теперь, если бы мы пролили тот же свет на красный яблоко мы заметим, что цвет яблока кажется красным. Это означает, что поверхность яблока только отражает красный свет в наши глаза. Все другие длины волн падающего белого света поглощаются кожурой яблока.Если вы дотронетесь до яблока, оно станет теплым, потому что поглощает энергию. от всего света, который он поглощает. Благодаря поглощению и отражению мы можем воспринимать цвета разных предметов. Белые объекты отражают все или большую часть длины волн падающего на них света, цветные объекты отражают особые длины волн света и поглощают остальное.Черные предметы поглощают весь свет падает на них. Вот почему носить белую футболку на улице на солнце — это круче, чем носить черную футболку, потому что белая футболка отражает больше всего падающего на нее света, а черная футболка поглотит его и нагреется.

Трансмиссия

Еще одним свойством света является то, что он может пропускать через объекты или среда.Объекты, через которые может проходить свет, называются прозрачный и предметы, которые блокируют свет или не пропускают свет сквозные называются непрозрачными .

Например, стеклянные окна пропускают через них видимый свет, поэтому мы можно видеть сквозь окна. Световые лучи от вещей за окном могут проходить через стекло или передаваться в наши глаза.Кирпичные стены на другая сторона непрозрачна для видимого света. Мы не можем видеть сквозь кирпичные стены потому что свет не может проходить через стену в наши глаза. В передача света через объект зависит от длины волны света. Например, коротковолновый видимый свет не может быть передан через кирпичная стена, тогда как длинноволновые радиоволны могут легко проходить сквозь стены и быть полученным по радио или мобильному телефону.Другими словами, кирпичная стена — это прозрачен для радиоволн!

9.3.2: Линзы и трассировка лучей

В этом разделе мы узнаем, как использовать точки фокусировки, чтобы определить, как линзы изгибают световые лучи. Для каждой из наших линз есть три луча, которые легко найти, если мы знаем только точку фокусировки и положение объекта — мы называем эти специальные лучи основными лучами . Мы покажем, как найти главные лучи как для собирающей, так и для расходящейся линзы.

Начнем с некоторых общих замечаний, касающихся как собирающих, так и расходящихся линз. В задаче линзы мы начинаем с объекта , реального предмета, отражающего реальный свет. Обычно мы представляем этот объект в виде стрелки, чтобы по окончательному изображению можно было определить, перевернут ли объект линзой.

Мы обсудили, что является фокусом для объектива; для симметричной линзы у нас есть две точки фокусировки с каждой стороны. Для собирающей линзы лучи, параллельные оптической оси, падающие на правую сторону линзы, фокусируются слева, параллельные лучи слева фокусируются справа.

Фокусное расстояние объектива \ (f \) говорит нам, как далеко от объектива находятся точки фокусировки. Величина фокусного расстояния — это расстояние от линзы до каждой точки фокусировки, а знак сообщает нам, сходится ли линза или расходится. В качестве собирающей линзы возьмем \ (f> 0 \), а в качестве расходящейся линзы — \ (f <0 \). Типичная диаграмма объектива и его характеристики (т. Е. Точки фокусировки и оптическая ось) показаны ниже.

Как видно из рисунка выше, на визуальных схемах линз обычно не отображается вся линза.Мы делаем приближение, что линза тонкая и что преломление (изгиб) происходит только один раз в центре линзы. Чтобы прояснить это приближение, мы изображаем линзу вертикальной линией и стрелками, направленными наружу и внутрь, чтобы указать нам, сходится ли линза или расходится соответственно.

Как найти изображение по сформированному ниже объекту? А пока позвольте нам просто спросить о кончике стрелки. Мы знаем, что чтобы найти изображение точки, мы должны смотреть на несколько лучей из этой точки и видеть, куда они уходят.Начнем с рисования множества разных лучей, исходящих от объекта. Каждый из этих лучей преломляется. Из нарисованных падающих лучей есть три луча (обозначенные ниже 1, 2 и 3), для которых мы можем нарисовать преломленный луч, не выполняя никаких вычислений.

Луч 1 параллелен оптической оси; мы знаем, что лучи, параллельные оптической оси, падающие на линзу, преломляются через точку фокусировки на другой стороне линзы. Мы также обсудили, насколько тонкая линза, поэтому мы можем приблизительно представить луч 2, проходящий через центр, как проходящий через тонкий лист стекла; она не преломляется заметно.

Сделанные выше выводы можно отобразить визуально:

Луч, помеченный цифрой 3, требует большего внимания. Во-первых, вспомните из закона Снеллиуса, что преломление происходит симметрично в любом направлении (не имеет значения, какая среда имеет метку «1» или «2»; они обратимы). Как следствие, мы видим, что свет, который попадает в линзу с через точку фокусировки , преломляется в направлении , параллельном оптической оси .

На диаграмме ниже этот вывод явно показан на луче 3:

Обратите внимание, что все эти лучи пересекаются в определенном месте.Это то место, где острие стрелки будет казаться любому наблюдателю справа от линзы. Световые лучи, проходящие мимо этой точки, выглядят так, как если бы здесь был помещен настоящий наконечник стрелы. Поскольку разработчик линз (мы предполагаем) сделал линзу точно, все остальные световые лучи должны быть сфокусированы так же, как первые три, которые мы нарисовали. Рисуя все световые лучи, мы получаем картинку:

Обратите внимание, что из этого анализа мы видим только то, где будет изображение наконечника стрелки.Поскольку мы не знаем, где будет изображение базы, мы просто нарисовали вопросительные знаки внизу стрелки. Точки на оптической оси немного сложнее проследить лучи, потому что все основные лучи, представленные там, проходят через центр линзы. Мы вернемся к вопросу об оптической оси после обсуждения расходящихся линз. Поскольку в этом примере световые лучи фактически пересекаются, мы назвали бы это реальным изображением .

Если нас интересует только расположение изображения, то нам нужно только узнать, где пересекаются три главных луча.Три главных луча:

1. Луч, попадающий в линзу параллельно оптической оси; этот луч изгибается, чтобы пройти через точку фокусировки.
2. Луч, проходящий через центр; этот луч не гнет.
3. Луч, проходящий через точку фокусировки в линзу; этот луч преломляется параллельно оптической оси.

В типичных оптических задачах мы будем рисовать только главные лучи, хотя важно понимать, что все световые лучи, которые проходят через линзу и отвечают за формирование изображения.

Наша процедура получения расходящихся линз аналогична описанной выше для собирающих линз. Сначала мы должны нарисовать три основных луча. Первый главный луч, луч 1, выходит из объекта параллельно оптической оси и изгибается так, что кажется, что луч исходит из точки фокусировки, как показано ниже. Пунктирный луч показывает, откуда, по-видимому, исходит световой луч. Мы также включаем луч 2, который проходит через центр без преломления.

Третий главный луч снова получается с учетом обратимости рефракции (и симметрии линзы). Мы знаем, что любой свет, идущий параллельно оптической оси, изгибается так, что кажется, что он исходит на из фокальной точки. Думая о свете, движущемся в другую сторону, мы можем видеть, что свет от стрелки, направленной в сторону фокуса с правой стороны, преломляется линзой, чтобы быть параллельным оптической оси. Мы показываем это ниже, где мы отмечаем, что пунктирная линия справа указывает, куда прошел бы световой луч , если бы там не было линзы.

Обычно мы не рисуем там, где бы прошел световой луч ; он полезен только для того, чтобы показать вам, где провести черту. Пунктирная линия слева, показывающая, откуда, по-видимому, исходит свет, невероятно важна; Человек, наблюдающий за светом справа от линзы, подумает, что этот луч движется параллельно оптической оси.

Сложим все три луча вместе:

Отметим, что в отличие от нашего предыдущего примера, световые лучи (сплошные линии) на самом деле нигде не пересекаются.Однако наблюдатель справа от нашей линзы может подумать, что свет исходит из точки пересечения пунктирных линий. Поскольку изображение расположено на пересечении воображаемых лучей, а не реальных световых лучей, мы называем это виртуальным изображением .

Чтобы было немного понятнее, почему изображение, которое видит человек справа, совпадает с маленькой стрелкой на пересечении пунктирных линий, полезно запомнить, что такое изображение. Мы могли бы спросить: «Если бы не было линзы, объект какого размера нам понадобился бы и где нам нужно было бы его разместить, чтобы свет, который доходит до нас, выглядел точно так же?» В приведенных выше примерах мы показываем, как найти эту информацию.

В обоих примерах вы можете заменить линзу и исходную стрелку стрелкой в ​​точке пересечения лучей. Мы видим, что эти конфигурации кажутся абсолютно одинаковыми любому наблюдателю справа. Если вы стоите справа, единственная информация, которую имеют ваши глаза, — это световые лучи, которые попадают в них, и у вас нет возможности различить эти две ситуации. Мы можем видеть, что световые лучи перед попаданием в линзу выглядят совершенно иначе, но это не влияет на наблюдателя справа от линзы.

Мы завершаем этот раздел, резюмируя, как найти три основных луча для расходящейся линзы:

1. Луч, идущий параллельно оптической оси, преломляется так, что кажется, что он исходит из фокальной точки на стороне объектива линзы.
2. Луч, проходящий через центр, не отклоняется.
3. Луч, который прошел бы через точку фокусировки на дальней стороне линзы, преломляется и становится параллельным оптической оси.

Пока что мы нашли расположение изображения только для кончиков представленных стрелок.Попытка найти местоположение изображения для основания стрелки приводит к проблеме для рассмотренных до сих пор примеров, поскольку основание стрелки находилось на оптической оси. Как для собирающих, так и для расходящихся линз проблема связана с оптической осью. Причина в том, что луч, проходящий через центр линзы , также проходит через обе точки фокусировки. Наш метод построения трех главных лучей не работает ни в одной точке на оптической оси, поскольку все три главных луча одинаковы.

Однако мы знаем, что точки на оптической оси имеют изображения на оптической оси. Мы знаем это, потому что один главный луч, который мы можем нарисовать для точки на оптической оси, всегда находится на оптической оси, и мы знаем, что на изображении лучи, проходящие через ось, встречаются (или кажутся исходящими). Поскольку у нас есть один луч, который всегда находится на оптической оси, изображение также должно быть на оптической оси.

Итак, как нам найти , где вдоль оптической оси формируется изображение? Один из способов найти это — нарисовать точку, которая очень близко к оптической оси, но не совсем на ней, и вместо этого выполнить трассировку лучей для этой точки.Другой способ использует информацию, которую мы представим позже, — уравнение для тонкой линзы . Какой бы способ вы ни выбрали, в результате расстояние изображения для основания стрелки будет таким же, как расстояние изображения для кончика стрелки (при условии, что кончик исходной стрелки находится непосредственно над основанием). Отсюда мы будем рисовать наши изображения стрелок вниз (или вверх) от кончика к оптической оси. Если основание вашего объекта не находится на оптической оси, отдельная трассировка лучей для основы необходима для завершения всего изображения.

рентгеновских лучей | ARPANSA

Как и все формы ионизирующего излучения, рентгеновские лучи производят электроны и ионы, когда они проходят через материалы.

Рентгеновский луч — это пакет электромагнитной энергии (фотон), исходящий из электронного облака атома. Обычно это вызвано изменениями энергии электрона, который перемещается с более высокого энергетического уровня на более низкий, вызывая высвобождение избыточной энергии. Рентгеновские лучи похожи на гамма-лучи, однако главное отличие состоит в том, как они производятся. Рентгеновские лучи производятся электронами, находящимися вне ядра.Традиционно рентгеновские лучи имели более длинные волны и меньшую энергию, чем гамма-лучи, но это устарело с современными методами получения рентгеновских лучей.

Рентгеновские лучи — это форма электромагнитного излучения, похожая на радиоволны, микроволны, видимый свет и гамма-лучи. Рентгеновские фотоны обладают высокой энергией и обладают достаточной энергией, чтобы расщеплять молекулы и, следовательно, повреждать живые клетки. Когда рентгеновские лучи попадают в материал, одни поглощаются, а другие проходят. Как правило, чем выше энергия, тем больше рентгеновских лучей проходит (таблица 1).Именно эта проникающая способность позволяет нам делать внутренние образы человеческого тела или предметов. Рентгеновские лучи не могут управляться электрическими и магнитными полями, такими как альфа, бета или другие заряженные частицы.

Таблица 1

Рентгеновские лучи обладают высокой проникающей способностью и взаимодействуют с веществом посредством ионизации через три процесса: фотоэлектрический эффект, комптоновское рассеяние или образование пар.Из-за их высокой проникающей способности воздействие рентгеновских лучей может происходить по всему телу, однако они менее ионизируют, чем альфа-частицы. Рентгеновские лучи считаются внешней опасностью с точки зрения радиационной защиты.

Подобно любому воздействию ионизирующего излучения, высокие дозы могут вызывать прямые острые эффекты в результате немедленного повреждения клеток. Низкие уровни воздействия несут стохастический риск для здоровья, при котором вероятность индукции рака увеличивается с увеличением воздействия.

Ключевое различие между гамма-лучами и рентгеновскими лучами заключается в том, как они производятся.Гамма-лучи возникают в процессе осаждения возбужденного ядра радионуклида после того, как оно подвергается радиоактивному распаду, тогда как рентгеновские лучи образуются, когда электроны поражают цель или когда электроны перестраиваются внутри атома.

Рентгеновские лучи обычно производятся в рентгеновских трубках путем ускорения электронов через разность потенциалов (падение напряжения) и направления их на материал мишени (например, вольфрам).

Поступающие электроны испускают рентгеновские лучи, когда они замедляются в цели (тормозное излучение или тормозное излучение).Рентгеновские фотоны, произведенные таким образом, имеют энергию от почти нуля до энергии электронов. Падающий электрон также может столкнуться с атомом в мишени, выбив электрон и оставив вакансию в одной из электронных оболочек атома. Другой электрон может заполнить вакансию и при этом испустить рентгеновский фотон определенной энергии (характеристическое рентгеновское излучение). Рентгеновский спектр, показанный на картинке, представляет собой график зависимости количества фотонов от энергии фотона.

Сканер компьютерной томографии (КТ) — это особый тип рентгеновского аппарата, в котором рентгеновская трубка создает луч в форме веера и перемещается вокруг пациента по кругу.Рентгеновские лучи регистрируются электронным способом, и компьютер использует эту информацию для восстановления изображения области обнаженного тела.

Рентгеновское излучение может также производиться синхротроном. Синхротрон — это устройство, которое ускоряет электроны в вакуумированном кольце (часто несколько десятков метров в диаметре), управляя ими с помощью магнитов. Управляя электронным пучком контролируемым образом с помощью магнитов, можно получить интенсивные пучки рентгеновских лучей. Установки синхротрона используются в исследовательских целях.

Рентгеновские лучи находят широкое применение в медицинских, промышленных и исследовательских целях.Диагностические медицинские рентгеновские лучи — это наиболее вероятный способ обнаружить рентгеновские лучи. Данные Комиссии по страхованию здоровья показывают, что каждый год в рамках программы Medicare поступает более 12 миллионов заявлений на обследования на рентгеновских аппаратах, а также более 2 миллионов заявлений на обследования с помощью компьютерной томографии (КТ). Лучевая терапия — еще один пример медицинского использования рентгеновских лучей для лечения рака.

В среднем каждый австралиец получает эффективную дозу около 1,7 мЗв в год от медицинских процедур, включая около 1,1 мЗв при компьютерной томографии.Это похоже на дозу, которую каждый получает от фонового излучения, которое есть и всегда было в нашей окружающей среде.

Использование рентгеновских лучей в промышленных и исследовательских целях включает рентгеновскую кристаллографию и рентгеноскопию, которые обычно используются для контроля качества материалов (т.е. качества металла) и исследования свойств материалов. Промышленная радиография может использовать рентгеновские или гамма-источники для анализа, чтобы искать трещины в зданиях, конструкциях или сосудах под давлением.

Рентгеновские лучи также используются в процессах безопасности при досмотре багажа / контейнеров в аэропортах и ​​портах.

Ускоряющее напряжение и материал мишени, используемый для получения рентгеновских лучей, различаются в зависимости от конкретного применения (таблица 2).

Таблица 2

Как и для всех типов излучения, принципами защиты являются время, расстояние и экранирование.

Диагностический рентген должен быть выполнен для получения информации, которая поможет медицинскому персоналу надлежащим образом лечить состояние пациента. В общем, эта информация гораздо важнее для здоровья человека, чем небольшой расчетный риск (обычно менее 0,01%) вероятности развития рака в результате процедуры. Поскольку свинец является очень хорошим аттенюатором рентгеновских лучей (см. Таблицу 1), одежду, пропитанную небольшим количеством свинца, можно использовать для прикрытия чувствительных частей тела. Современное рентгеновское оборудование имеет множество функций, которые при правильном использовании могут ограничить облучаемую область и дозу до минимума, необходимого для получения диагностической информации.В некоторых случаях альтернативный тип визуализации (ультразвуковая или магнитно-резонансная томография) может предоставить искомую информацию и поэтому может использоваться вместо рентгеновского снимка.

Введение в Point, Ray, Line и Line-Segment — MathsTips.com

Point

Point — это основной строительный блок геометрии. Каждая форма создается путем объединения точек.

Маленькая точка, отмеченная карандашом, — это точка. У точки нет ни длины, ни ширины. У него нет толщины.Точка — это знак положения. Точка указывает точное местоположение. Точка обозначена точкой (.) И названа в алфавитном порядке.

На рисунке выше O — точка, так как на ней есть определенная отметка. Здесь это означает, что эта точка O расположена в центре плоскости. На рисунке ниже есть еще одна точка А. Она находится в правом нижнем углу плана.

Луч

Давайте представим факел. Световые лучи выходят из него и удаляются. Возьмем, к примеру, солнце.Лучи исходят от солнца и расходятся во все стороны, доходя до нас.

В геометрии луч также начинается из точки и может уходить в бесконечность. У него есть начальная точка, но нет конечной точки. Мы говорим, что луч имеет одну конечную точку и идет без конца в одном направлении.

На приведенном выше рисунке начинается с A, а стрелка означает, что он может уходить в бесконечность.

Его длину невозможно измерить. Неограниченное количество лучей может быть проведено в разные стороны от заданной точки

Лучи, исходящие от факела или солнца, являются примерами лучей.

Это луч, потому что луч имеет одну конечную точку и идет без конца в одном направлении

Строка

Посмотрите на рисунок выше. С двух сторон есть стрелки. Это означает, что он может идти дальше с обеих сторон без конца. Это называется линия.

Линия идет без конца в обоих направлениях. Оба конца линии могут уходить в бесконечность. Линия не имеет конечных точек. Длину линии невозможно измерить. Линия не имеет определенной длины.

Линия называется любыми двумя точками на ней и записывается как линия AB или линия PQ.Можно провести одну и только одну линию, проходящую через две заданные точки A и B. Эта линия называется AB. Его также можно назвать БА. Линия BA совпадает с линией AB. Оба проходят через одни и те же две точки A и B.

Через заданную точку A можно провести неограниченное количество линий.

Горизонтальная линия идет прямо влево или вправо. Вертикальная линия идет прямо вверх или вниз.

Диагональная линия может располагаться в любом направлении между горизонтальной линией и вертикальной линией.

Линейный сегмент

Теперь посмотрим на рисунок выше. Ни на одном конце стрелки нет. Он начинается с одной точки и заканчивается в другой точке. Это называется отрезком линии. Отрезок линии — это отрезок линии.

Линейный сегмент имеет две конечные точки. Отрезок — это прямая линия, соединяющая две точки. Это кратчайший путь между двумя точками. Отрезок линии имеет определенную длину. Его длину можно измерить.

Отметим две маленькие точки (.) карандашом как точки A и B. Соединим их, проведя прямую линию. Это образует линейный сегмент. Линейный сегмент называется по двум его конечным точкам и записывается как линейный сегмент AB или линейный сегмент PQ.

На рисунке выше отрезок AB имеет две конечные точки A и B. Он начинается из точки A и заканчивается в точке B. Один и только один отрезок прямой может находиться между двумя заданными точками A и B. называется AB. Его также можно назвать БА. Линия BA совпадает с линией AB.Оба проходят через одни и те же две точки A и B.

Отрезок линии также может быть частью линии, как показано на рисунке ниже.

Линейный сегмент также может быть частью луча. На рисунке ниже отрезок AB имеет две конечные точки A и B. Это часть луча, начинающегося с A.

Параллельные линии

Две линии в одной плоскости либо встречаются, либо не встречаются. Если две прямые на плоскости пересекаются, мы говорим, что две прямые пересекаются, и точка, в которой они встречаются, называется точкой пересечения.Если две линии не могут встретиться ни в одной точке, они называются параллельными линиями. Две точки не могут быть общими для двух параллельных линий.

На рисунке выше две линии не пересекаются. Даже если мы продолжим эти линии дальше, они не будут касаться и встречаться друг с другом. Это параллельные линии.

Пересечение линий

Давайте посмотрим на две линии AB и CD на рисунке выше. Они пересекаются в точке O. Следовательно, они не параллельные прямые.Точка O — это точка их пересечения.

Параллельные линии

Три или более прямых, проходящих через одну и ту же точку на плоскости, называются параллельными линиями. На рисунке ниже три прямые AB, CD и EF пересекаются друг с другом в точке O.

Коллинеарные точки

Три или более точки на плоскости * называются коллинеарными, если все они лежат на одной прямой.

На рисунке выше точки A, B и C находятся на одной линии.Следовательно, эти три точки A, B и C лежат на одной прямой.

* Плоская поверхность в геометрии называется плоскостью. Можно сказать, что листок из нашей тетради — это самолет.

Измерение отрезка

Линейка — геометрический инструмент. Мы используем линейку, чтобы нарисовать отрезок линии. Мы также используем его для измерения длины отрезка линии.

Линейка обычно имеет длину 1 фут (30 см) и называется одноногой линейкой. Иногда это просто называют масштабом. Некоторые линейки имеют длину шесть дюймов (15 см) и называются линейкой на полфута.На одном крае линейки нанесены шкалы в дюймах, а на другом — в сантиметрах.

Размещаем линейку краем вдоль отрезка AB с нулевой отметкой линейки в начальной точке A отрезка. Мы читаем метку на линейке в другой конечной точке B отрезка.

Что следует помнить

1. Маленькая отмеченная точка — это точка.
2. У точки нет длины, ширины или толщины.
3. Точка указывает точное местоположение.
4. Луч начинается из точки и уходит в бесконечность.
5. Линия не имеет конечных точек.
6. Линейный сегмент имеет две конечные точки.
7. Линейный сегмент соединяет обе конечные точки.
8. Если две прямые не могут пересечься ни в одной точке, они называются параллельными линиями.
9. Три или более точки на одной прямой считаются коллинеарными точками
10. Линейка используется для рисования отрезка и измерения его длины.

Вопросы и ответы

Вопрос 1 : Нарисуйте на бумаге две точки A и B и нарисуйте отрезок линии.

Ответ : Мы отмечаем точку A на странице письма, а затем отмечаем другую точку B на той же странице. Соединяем эти две точки линией. Это отрезок линии.

Вопрос 2: Нарисуйте две пересекающиеся линии.

Ответ: Берем линейку и проводим линию АВ. Затем слегка поворачиваем линейку и проводим еще одну линию CD таким образом, чтобы она проходила через любую точку линии AB.

Вопрос 3: Напишите два основных различия между линией и линейным сегментом.

Ответ:

1. Линейный сегмент имеет две конечные точки. Линия не имеет конечной точки.
2. Отрезок имеет определенную длину. Но у линии нет определенной длины.

Вопрос 4: Напишите два основных различия между линией и лучом.

Ответ:

1. Линия идет без конца в обоих направлениях, но луч имеет одну конечную точку и идет без конца в одном направлении.
2. Линия AB такая же, как линия BA.Но луч AB отличается от луча BA.

Вопрос 5: Что означают коллинеарные точки?

Ответ: Коллинеарные точки — это точки на одной прямой. Три или более точки на плоскости называются коллинеарными, если все они лежат на одной прямой.

Упражнение

1. Определите рисунок ниже?

1. Луч
2. Строка
3. Отрезок линии

2. Определить рисунок ниже?

1. Луч
2. Строка
3. Отрезок линии

3.Определите рисунок ниже?

1. Луч
2. Строка
3. Отрезок линии

4. Что из следующего имеет определенную длину?

1. Луч
2. Строка
3. Отрезок линии

Верно или неверно

5. Две линии на рисунке ниже — параллельные линии

1. Истинно
2. Ложь

6. Две линии на рисунке ниже являются параллельными линиями

1. Истинно
2. Ложь

Заполнить пропуски

7.………………… имеет определенную длину

1. Луч
2. Строка
3. Отрезок линии

8. ………………… не имеет конечных точек

1. Луч
2. Строка
3. Отрезок линии

9. Что из перечисленного является только одной конечной точкой?

1. Луч
2. Строка
3. Отрезок линии

10. Какое из следующих утверждений НЕ правильно?

1. Через точку можно провести неограниченное количество линий.
2. Две линии всегда встречаются в какой-то момент.
3. Линия длиннее отрезка.

Фотография 51, Розалинд Франклин (1952)