Примеры фигур, обладающих осевой симметрией
Фигуры, не обладающие осевой симметрией:
параллелограмм, но не прямоугольник и не ромб,
разносторонний треугольник,
неравнобедренная трапеция.
Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно стебля.
С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси узоры на коврах, тканях, обоях. Симметричны многие детали механизмов.
Осевая симметрия обладает важным свойством, сформулированным в следующей теореме.
Дано: М, N, М Sa > Mx, N Sa > N.
Доказать: MN = MXN\.
Рис. 5
Доказательство
Sa
->M 1, N
Из точек N и N\ проведем перпендикуляры NP и N1P1 к прямой ММ\. Рассмотрим получившиеся прямоугольные треугольникиSa
-> Ni, поэтому МО = ОМ1 и
По условию теоремы, М NO1 = O1N1, ММ1± а и NN1 ± а.
Так как перпендикуляры к одной прямой параллельны, то ММ1 || NN1. Значит, NP = N1P1 как расстояния между параллельными прямыми ММ1 и NN
Так как на прямой NN1 отложены равные отрезки NO1, O1N1 и через их концы проведены параллельные прямые NP и N1P1 (NP || N1P1 как перпендикуляры к прямой ММ1), то по теореме Фалеса РО =ОР1, значит и МР = M1P1.
Получили, что NP
Возможны другие случаи расположения точек М, N и М1, N1, они представлены на рисунке 5, в каждом из них MN = M1N1.
Итак, осевая симметрия является отображением плоскости на себя, которое сохраняет расстояние между точками, то есть является движением плоскости.
Ч.т.д.
Рис. 4
Замечание. Осевую симметрию можно представить как поворот плоскости в пространстве на 180° вокруг оси а.Теорема Пифагора.
Центральная симметрия. Определение, примеры.
Билет № 16 Теорема Пифагора
Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
b
a
b
b
b
a
Дано: прямоугольный треугольник, а, b — катеты, с — гипотенуза.Доказать: а2 + b2 = с2.
Доказательство
Достроим треугольник до квадрата со стороной а + b так, как показано на рисунке.
Площадь S этого квадрата равна (a + b) .
С другой стороны квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников и квадрата со стороной с.
Докажем, что этот четырёхугольник, действительно, является квадратом. По построению в четырёхугольнике все стороны равны с, поэтому по признаку параллелограмма он — параллелограмм.
Так
как сумма острых углов прямоугольного
треугольника равна 90о, то Z1
+
Z2
= 90о. По построению
Z3
и
Z4
соответственно равны
Z1
и
Z2,
значит, Z3
+
Z4
= 90
Получили, что в параллелограмме один из углов прямой, поэтому по признаку прямоугольника он — прямоугольник, а так как в прямоугольнике все стороны равны, то он является квадратом.
Итак, площадь получившегося квадрата равна сумме площадей четырёх
прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна 2 ab, и
площади квадрата со стороной с, которая равна с2.
22 b) и S = 2ab + с , отсюда,
a2 + 2ab + b2
2 i u2 2
Таким образом, S = (а
2ab + с2
a + b = с .Итак, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Ч.т.д.
Замечание. В настоящее время насчитывается более ста различных доказательств теоремы Пифагора, поэтому она даже попала в Книгу рекордов Гин- неса. Однако принципиально различных идей в этих доказательствах используется сравнительно немного.
Вопрос № 2
Центральная симметрия. Определение, примеры
Если каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке, то говорят, что дано отображение плоскости на себя.
Примером отображения плоскости на себя является центральная симметрия.
Две точки А и Ai называются симметричными относительно точки О,
если О — середина отрезка
A
Построение
А, О — центр симметрии;
АО;
ОА1 = ОА, ОА1 с ОА;
А1 — искомая.
А ——® А1
Пусть точка О — центр симметрии.
Возьмем произвольную точку А, и построим симметричную ей точку А1 относительно точки О.
Для этого проведем прямую АО и отложим на ней отрезок ОА1 = АО.
Точка А
Z
Точка О считается симметричной самой себе: О —>О .
Если точка А совпадает с центром симметрии, то она тоже считается
Z
симметричной самой себе: А —> А.
Мы видим, что с помощью центральной симметрии каждой точке А плоскости ставится в соответствие точка А1 этой же плоскости. При этом любая точка А1 оказывается сопоставленной некоторой точке А. Значит, центральная симметрия представляет собой отображение плоскости на себя.
Рис. 1
Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят, что «фигура обладает центральной симметрией».Примеры фигур, обладающих центральной симметрией
Е2 ф
Рис. 2
Центром симметрии окружности является центр окружности.
Центром симметрии параллелограмма (прямоугольника, квадрата, ромба) является точка пересечения его диагоналей.
Прямая также обладает центральной симметрией, но в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии (точку О), у прямой их бесконечно много — любая точка прямой является центром симметрии.
Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.
Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют центр симметрии. С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно центра лепестки цветов, узоры на коврах, тканях. Симметричны многие детали механизмов, например, зубчатые колеса.
Центральная симметрия обладает важным свойством, сформулированным в следующей теореме.
Теорема. Центральная симметрия является движением, то есть отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние между точками.1
Рис. 3
ь
Дано: М, N, М — N-Доказать: MN = MbNb.
Доказательство
Рассмотрим D OMN и D OM1N1.
Z z
По условию теоремы М M1, N N1, поэтому МО = ОМ1 и
NO = ONZ 1 = Z 2 как вертикальные.
Следовательно, D OMN = D OM1N1 по I признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому MN = M1N1. Значит, расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными им точками М1 и N1.
Итак, центральная симметрия является отображением плоскости на себя, которое сохраняет расстояние между точками, то есть является движением плоскости.
Ч.т.д.
Замечание. Центральную симметрию можно представить как поворот всей плоскости вокруг точки О на 180°.
Теорема синусов.
Серединный перпендикуляр. Определение, свойство.
Осевая симметрия — виды, свойства и примеры фигур
Что такое осевая симметрия? Само слово «симметрия» имеет греческие корни и говорит о существующем определенном порядке расположения частей некого предмета, а также о его соразмерности.
Под симметрией понимается такое качество предметов, что их можно совместить друг с другом при некоторых преобразованиях.
Что такое симметрия
Наиболее часто это понятие встречается в геометрии. Объект считается симметричным, если после некоторых геометрических преобразований он смог сохранить свои первоначальные свойства.
В качестве примера стоит рассмотреть обычный круг. Если его вращать вокруг условного центра, он сохранит свою форму и первоначальные характеристики. Поэтому этот геометрический предмет смело можно назвать симметричным.
Виды симметрии определяются возможными преобразованиями для данного объекта и его свойствами, которые в результате проведенных манипуляций должны сохраниться. В случае, когда это условие не соблюдается, можно утверждать о наличии асимметрии.
Рис. 1 Фигуры, обладающие симметричностью
Центральная симметрия
Это явление относительно некой точки. Она представляет собой преобразование множества точек пространства или поверхности, во время которого ее центр всегда постоянен и не меняет своего положения.
Данный вид симметрии предполагает, что на равном расстоянии от ее центра располагаются два предмета, например, две точки. Если провести между ними условную прямую, они будут располагаться на ее противоположных концах, а середина этой прямой и будет являться осевым центром.
Если считать центр неподвижным и начать преобразовывать прямую (т. е. вращать ее относительно центральной точки), то точки на ее концах опишут две кривые. Все точки одной кривой будут иметь такие же симметричные точки на другой кривой.
Объекты, обладающие центром симметрии, представляют большой интерес для ученых. В геометрии насчитывается достаточно много таких объектов. К ним относятся прямые, отрезки, окружность, прямоугольник и др. Центрально симметричные объекты встречаются и в природе.
Рис. 2 Графическое представление центральной симметрии
Осевая симметрия
Это симметрия относительно прямой. В данном классе две точки симметричны относительно некой прямой, если она пересекает центр отрезка, соединяющего эти две точки и является перпендикуляром к нему. Любая точка прямой симметрична сама себе.
Рис. 3 Наглядное представление осевой симметрии
Объект симметричен относительно прямой, если все его точки имеют такие же симметричные аналоги относительно этой прямой. Она же — центр симметрии.
В качестве наглядно примера можно взять обычный бумажный лист, если его сложить пополам. Если через линию сгиба провести прямую – это и будет центром.
Определенная точка одной половины листы имеет такую же симметричную точку на другой его части, расположенную на перпендикуляре на таком же расстоянии от осевой линии. Одна часть листа тетради является по сути зеркальным отображением другой.
Рис. 4 Примеры осевой симметрии
Фигуры, имеющие несколько осей симметрии
Есть предметы и геометрические фигуры с некоторым числом осей. Для начала в качестве примера стоит рассмотреть прямоугольник и ромб, которые имеют две такие оси.
Две оси симметрии характерны для прямоугольника. Это прямые, которые проведены через точки, являющиеся серединами его противоположных сторон.
То же самое (наличие двух осей) присуще и ромбу. Оси являются прямыми, содержащими диагонали данной геометрической фигуры.
Интерес представляет и квадрат, у которого насчитывается четыре оси. Данная фигура является одновременно и ромбом, и прямоугольником. Остальные виды параллелограммов не имеют осей симметрии вообще.
Рис. 5 Оси симметрии ромба
Единственной фигурой, у которой есть три оси симметрии, является равносторонний треугольник. Они представляют собой не что иное, как его медианы, линии соединяющие середины его сторон. Медианы равностороннего треугольник – это его и биссектрисы, и высоты.
Рис. 6 Оси симметрии равностороннего треугольника
В обычной жизни многие даже не задумываются о том, как часто они сталкиваются с различными видами симметрии. Это понятие характерно не только для мира математики.
Симметрия встречается в мире природы, архитектуре, в мире искусства и композиции, а также в других сферах человеческой жизни.
Осознание данного факта прошло долгий путь во времени, над ним задумывались великие умы на протяжении многих столетий. С древних времен и до настоящего времени определение этого понятия прошло долгий путь развития.
Предыдущая
ГеометрияОсновные понятия геометрии — список геометрических определений, терминов и значений
СледующаяГеометрияОбъем цилиндра — формулы и примеры расчетов
Осевая симметрия — математика, презентации
«Осевая симметрия»
МОУ СОШ № 7 г.Тверь
Лобанова Е.В.
Симметрия в переводе с греческого- «summetria» соразмерность, пропорциональность, наличие определенного порядка в расположении частей.
Осевая симметрия. Определение, примеры
Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а,
если эта прямая проходит через середину
отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.
Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для
каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также
принадлежит этой фигуре.
Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят, что «фигура
обладает осевой симметрией».
Примеры симметричных фигур
Фигуры, обладающие одной осью симметрии
Равнобедренный
треугольник
Равнобедренная трапеция
Примеры фигур, обладающих осевой симметрией
Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии.
Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно стебля.
С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике,быту.
Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией.
В большинстве случаев симметричны относительно оси узоры на коврах, тканях, обоях.
Симметричны многие детали механизмов .
Симметрия в природе :
В архитектуре:
… В гранит оделася Не ва ;
Мосты повисли над во дами ;
————————————————
Темно-зелеными са дами
Ее покрылись остро ва …
Пушкин А.С. «Медный всадник»
- В переводе с греческого – «бегущий обратно, возвращающийся»
- История палиндрома восходит к глубокой древности, прежде всего античности
- Впервые появились на амфорах, вазах и других предметах сферической формы.
ВОР БОБРОВ !
НЕСУН ГНУСЕН !
“ ИСКАТЬ ТАКСИ”,
“ АРГЕНТИНА МАНИТ НЕГРА”,
“ ЦЕНИТ НЕГРА АРГЕНТИНЕЦ”, ШОРОХ ХОРОШ.
Афанасий Фет придумал выражение
А РОЗА УПАЛА
НА
ЛАПУ АЗОРА
Стихотворные палиндромы называли рачьими стихами.
Буквы и слова:
Некоторые буквы и слова имеют ось симметрии!
Вертикальную: Горизонтальную:
А О П Ж Т Ф М Х Н Ш В О З С К Х Е Н Э Ю
Симметрию можно обнаружить почти везде, если знать, как ее искать.
Многие народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком смысле – как об уравновешенности и гармонии.
Творчество людей во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии.
Посредством симметрии человек всегда пытался, по словам немецкого математика Германа Вейля, «постичь и создать порядок, красоту и совершенство».
Презентация «Осевая и центральная симметрии» | Презентация к уроку по математике (6 класс):
Слайд 1
ОСЕВАЯ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИИ Учебник: Мерзляк А.Г., Математика-6Слайд 2
Проверка домашнего задания №1224
Слайд 3
№1224 А В С D
Слайд 4
Проверка домашнего задания №1228
Слайд 5
№122 8 А А B C
Слайд 6
Мысли великих… Стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражён мыслью: почему симметрия понятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. Л.Н.Толстой. http://ilya-repin.ru/master/repin9.php
Слайд 7
О чём гласит предание… В японском городе Никко находятся красивейшие ворота страны. Они необычайно сложные, со множеством фронтонов и изумительной резьбой.
Слайд 8
Но в сложном и искусном рисунке на одной из колонн некоторые из его мелких деталей вырезаны вверх ногами. В остальном, рисунок полностью симметричен. Для чего это было нужно ? Как говорит предание, симметрия была нарушена намеренно, чтобы боги не заподозрили человека в совершенстве и не разгневались на него.
Слайд 9
Не одну тысячу лет люди восторгались идеальной гексагональной формой пчелиных сот, задаваясь вопросом, как этим насекомым на инстинктивном уровне удаётся создавать форму, которую человек способен воспроизвести только при наличии линейки и циркуля? По мнению математиков, эта форма является идеальной для хранения максимально возможного количества мёда при использовании минимального количества воска. С имметричное творение является одним из самых впечатляющих в природе. Примеры симметрии
Слайд 10
Примеры симметрии Вирусы имеют симметричную форму. Принимая такую форму, они решают задачу экономии своих ресурсов для захвата клетки.
Слайд 11
Центральная симметрия
Слайд 12
Примеры центральной симметрии
Слайд 13
Пауки создают совершенные симметричные сети. Примеры симметрии
Слайд 14
Точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О , если О – середина отрезка АА 1 А А 1 О АО = ОА 1 Точка О – центр симметрии Центральная симметрия
Слайд 15
В А С О Центральная симметрия В1 А1 С1
Слайд 16
Центральная симметрия
Слайд 17
Фигуры , симметричные относительно точки (примеры)
Слайд 18
Осевая симметрия
Слайд 19
Примеры осевой симметрии
Слайд 20
Примеры осевой симметрии
Слайд 21
Примеры осевой симметрии
Слайд 22
Симметрия в архитектуре
Слайд 23
Зеркальная симметрия
Слайд 24
Осевая симметрия Одна точка называется симметричной другой относительно прямой , если данная прямая проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, и перпендикулярна к этому отрезку. В А
Слайд 25
Осевая симметрия А В С М N H
Слайд 26
Осевая симметрия
Слайд 27
Примеры фигур, обладающих одной осью симметрии Равнобедренная трапеция Равнобедренный треугольник Угол
Слайд 28
Примеры фигур, обладающих двумя осями симметрии Прямоугольник Ромб
Слайд 29
Примеры фигур, имеющих более двух осей симметрии Равносторонний треугольник Квадрат Круг
Слайд 30
Примеры фигур, не обладающих осевой симметрией Произвольный треугольник Параллелограмм Неправильный многоугольник
Слайд 31
№1247 ( а) а А В С D M N Р Х
Слайд 32
Домашнее задание: 1. №1247( б,в ) 2. Выполните 2 рисунка на листе А4: а) иллюстрирует осевую симметрию, б) иллюстрирует центральную симметрию
Урок геометрии в 10 классе. Симметрия в пространстве. Симметрия в природе и на практике.
Школа-гимназия
имени С.М. Кирова
с. ТЕПЛОКЛЮЧЕНКА
2019-2020 уч.год
Князева Ольга
Владимировна
учитель математики
Урок геометрии
В 10 классе
Тема:
«Симметрия в пространстве. Симметрия в природе и на практике»
Симметрия! Я гимн тебе пою!
Тебя повсюду в мире узнаю.
Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,
Ты в елочке, что у лесной дорожки
С тобою в дружбе и тюльпан, и роза,
И снежный рой – творение мороза.
Греческое слово симметрия буквально означает «соразмерность». Под симметрией в широком смысле понимают всякую правильность во внутреннем строении тела или фигуры.
Термин «симметрия» придумал скульптор Пифагор Регийский.
Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что она прекрасна.
Первую научную школу в истории человечества создал Пифагор Самосский .
«Симметрия – это некая «средняя мера», — считал Аристотель .
Римский врач Гален (2 в. н. э.) под симметрией понимал покой души и уравновешенность.
Термин «симметрия»-
соразмерность, пропорциональность,одинаковость в расположении частей
Симметрия
устанавливает забавное и удивительное родство между предметами, явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом , женской вуалью , рабочими привычками пчел в улье , строением пространства , рисунками ваз , квантовой физикой , лепестками цветов , делением клеток морских ежей , романскими соборами , снежинками , музыкой , теорией относительности…
Структуры кристаллов
Физика
Философия
симметрия
языки
музыка
искусство
техника
архитектура
Предметы быта
биология
центральная
осевая
симметрия
Зеркальная
Центральная симметрия
- Центральная симметрия — отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М 1 относительно данного центра О .
Определение
- Точки A 1 и A 2 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка A 1 A 2 , точка О- центр симметрии.
- Говорят, что точки A 1 и A 2 — центрально симметричны.
Примеры центральной симметрии
Кактус
Шахматная доска
Свойства центральной симметрии
- Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.
- Фигура симметрична относительно центра симметрии, если для каждой этой точки фигуры симметричная ей точка также лежит на этой фигуре. Такая фигура имеет центр симметрии (фигура с центральной симметрией).
Геометрические фигуры, обладающие центральной симметрией
О
О
О
О
Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.
Построим треугольник A 1 B 1 C 1, симметричный треугольнику ABC относительно центра (точки) O : Дано: АВС
А т.О-центр симметрии
О Построить: А 1 В 1 С 1
В С
- Соединим точки A , B , C с центром O и продолжим эти отрезки;
- Измерим отрезки AO , BO , CO и отложим с другой стороны от точки O равные им отрезки AO = OA 1; BO = OB 1; CO = OC 1;
- Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник A 1 B 1 C 1, симметричный данному треугольнику ABC .
А С 1
В 1
О
В С А 1
Итак, для построения центрально симметричной фигуры надо:
- Соединить вершины с центром O и продолжить эти отрезки;
- Измерить полученные отрезки и отложить с другой стороны от точки O равные им отрезки;
- Соединить получившиеся точки отрезками;
- Получили искомую фигуру, симметричную данной.
Определение
Две точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к нему.
а – ось симметрии
(осевая симметрия)
А
а
О
А 1
- Фигура называется симметричной относительно прямой l , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой l также принадлежит этой фигуре. Прямая l называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.
l
Ф1
Ф
Алгоритм построения фигур, симметричных ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ
- Проведём прямые, перпендикулярные оси симметрии через вершины фигуры.
- Измерим расстояние от точки до прямой.
- Отложим такое же расстояние на продолжении прямой, получим точки- вершины искомой фигуры.
- Соединим эти точки.
- Получили фигуру, симметричную данной.
Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.
Построить треугольник A 1 B 1 C 1, симметричный треугольнику ABC относительно прямой а. Дано: АВС
А а- ось симметрии
Построить: А 1 В 1 С 1
В С
а
Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.
Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.
Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.
Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.
а
Фигура называется симметричной относительно прямой a , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре.
Осевая симметрия вокруг нас Фигуры, обладающие осевой симметрией
Фигуры, обладающие одной осью симметрии
Угол
Равнобедренный
треугольник
Равнобедренная трапеция
Фигуры, обладающие двумя осями симметрии
Прямоугольник
Ромб
Фигуры, не обладающие осевой симметрией
Произвольный треугольник
Параллелограмм
Неправильный многоугольник
Зеркальная симметрия
Перед тем, как определить понятие зеркальной симметрии, введем понятие симметричности точки относительно какой-либо плоскости.
- Точки Р и Р′ будем называть симметричными относительно какой-либо плоскости , если прямая будет перпендикулярна плоскости и, при этом, плоскость будет делить отрезок пополам.
Зеркальная симметрия
Симметрия относительно плоскости называется зеркальной симметрией.
Зеркальной симметрией или симметрией относительно плоскости называется преобразование пространства, при котором все точки пространства переходят в симметричные им относительно этой плоскости точки.
- Фигуру будем называть симметричной относительно какого-либо своего сечения, если при такой зеркальной симметрии фигура перейдет в себя.
Задача.
- Постройте зеркальную симметрию тетраэдра, относительно плоскости , изображенных на рисунке.
Решение
1. Проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет перпендикулярна к плоскости.
2/ Точка A перейдет в такую точку A 1 , которая будет принадлежать прямой a. Точка B перейдет в такую точку B 1 , которая будет принадлежать прямой b. Точка C перейдет в такую точку C 1 , которая будет принадлежать прямой c.
Причем, при этом первоначальная плоскость делит отрезки пополам.
Получили тетраэдр, зеркально симметричный данному.
Дома.
- Приготовить презентацию построения трапеции, симметричной относительно плоскости.
- Можно и в виде исследования — на листах ватмана и бумаге А4. Сделать фото отчет.
Ответить на вопросы:
- С какими видами симметрии вы познакомились на уроке?
- Какие две точки называются симметричными относительно данной прямой?
- Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой? Точки? Плоскости?
- Какие две точки называются симметричными относительно данной точки?
- Что такое зеркальная симметрия?
- Приведите примеры фигур, обладающих: а) осевой симметрией; б) центральной симметрией; в) и осевой, и центральной симметрией.
- Приведите примеры симметрии в живой и неживой природе.
Симметрия и её виды | Обучонок
1. Симметрия и ее виды
Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека. И употреблялось скульпторами ещё в 5 веке до нашей эры. Слово “симметрия” греческое, оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей”.
Его широко используют все без исключения направления современной науки. Немецкий математик Герман Вейль сказал: “Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство”. Его деятельность приходится на первую половину ХХ века. Именно он сформулировал определение симметрии, установил по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае. Таким образом, математически строгое представление сформировалось сравнительно недавно – в начале ХХ века.
1.1. Осевая симметрия
Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему (Рисунок 2.1). Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.
Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой a также принадлежит этой фигуре (Рисунок 2.2).
Прямая а называется осью симметрии фигуры.
Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.
Осевой симметрией обладают такие геометрические фигуры как угол, равнобедренный треугольник, прямоугольник, ромб (Рисунок 2.3).
Фигура может иметь не одну ось симметрии. У прямоугольника их две, у квадрата – четыре, у равностороннего треугольника – три, у круга – любая прямая, проходящая через его центр.
Если присмотреться к буквам алфавита (Рисунок 2.4)., то и среди них можно найти, имеющие горизонтальную или вертикальную, а иногда и обе оси симметрии. Объекты, имеющие оси симметрии достаточно часто встречаются в живой и неживой природе.
Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.
В своей деятельности человек создаёт много объектов (в том числе и орнаменты), имеющих несколько осей симметрии.
1.2 Центральная симметрия
Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О — середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе (Рисунок 2.5).
Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре [1].
Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм (Рисунок 2.6).
Точка О называется центром симметрии фигуры. В подобных случаях фигура обладает центральной симметрией. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма — точка пересечения его диагоналей.
Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии у прямой их бесконечно много — любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.
1.3. Поворотная симметрия
Предположим, что объект совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360°/n (или кратный этой величине), где n = 2, 3, 4, … В этом случае о поворотной симметрии, а указанную ось называют поворотной осью n-го порядка.
Рассмотрим примеры со всеми известными буквами «И» и «Ф». Что касается буквы «И», то у нее есть так называемая поворотная симметрия. Если повернуть букву «И» на 180° вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой.
Иными словами, буква «И» симметрична относительно поворота на 180°. Заметим, что поворотной симметрией обладает также буква «Ф».
На рисунке 2.7. даны примеры простых объектов с поворотными осями разного порядка – от 2-го до 5-го. [3]
определение, свойства, обозначение, фигуры обладающие симметрией
Что такое осевая симметрия в геометрии
Симметрия – это свойство геометрических фигур отражаться. Симметрия относительно точки называется центральной. Осевая симметрия – это симметрия относительно прямой.
Если точка A и точка B симметричны относительно прямой n, то прямая называется осью симметрии n и проходит через середину отрезка AB. Обозначение осевой симметрии – Sn, таким образом симметрия точек A и B обозначается так:
Sn (А) = В.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Другое название осевой симметрии – вращательная – применяется в естественных науках. Данное понятие означает отражение предметов касательно поворотов вокруг прямой.
Свойства осевой симметрии
- Осевая симметрия переводит прямую в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок, плоскость в плоскость.
- Неподвижными являются: ось симметрии и все точки на ней, все прямые и плоскости, перпендикулярные оси симметрии.
- Обратное преобразование осевой симметрии есть та же осевая симметрия.
- Осевая симметрия – это поворот относительно оси симметрии на 180°.
Теорема и доказательство
ТеоремаОсевая симметрия – это движение, то есть при преобразовании осевой симметрии расстояние между точками сохраняется.
Если отрезок MN симметричен отрезку M1N1 относительно прямой a, то MN = M1N1.
Чтобы доказать, что MN = M1N1, сделаем дополнительные построения:
- P – это точка пересечения MM1 и прямой a;
- Q – это точка пересечения NN1 и прямой a;
- построим отрезок MK, перпендикулярный NN1;
- тогда точка K отразится в точку K1.
Докажем, что прямоугольные треугольники MNK и M1N1K1 равны. Стороны MN и M1N1 являются гипотенузами данных треугольников, поэтому, нужно доказать равенство катетов.
МК = М1К1 , так как перпендикулярны к параллельным прямым.
По построению:
NK = NQ – KQ,
N1K1 = N1Q – K1Q.
Точка N отобразилась в точку N1, значит:
NK = N1K1.
Итак, треугольники равны по двум катетам, следовательно, их гипотенузы равны, то есть MN = M1N1, что и требовалось доказать.
Фигуры, обладающие симметрией
Осевой симметрией обладает угол, а биссектриса является осью симметрии.
Пример №1Из произвольной точки одной стороны угла опустим перпендикуляр к биссектрисе и продлим его до другой стороны угла:
Рассмотрим Δ KAO и Δ MAO:
- AO – общая сторона
- Из свойства биссектрисы: ∠ MAO = ∠KAO
- Треугольники KAO и MAO прямоугольные,
Отсюда следует, что KO = OM, поэтому точки K и M симметричны касательно биссектрисы угла.
Следовательно, равнобедренный треугольник тоже симметричен относительно биссектрисы, проведенной к основанию.
Пример №2Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии – биссектрисы, медианы, высоты каждого угла:
Пример №3У прямоугольника две оси симметрии. Каждая из них проходит через середины противоположных сторон.
Пример №4Ромб обладает двумя осями симметрии – это прямые, содержащие его диагонали.
Пример №5Квадрат имеет 4 оси симметрии, так как он одновременно и ромб, и прямоугольник.
Пример №6У окружности бесконечное множество осей симметрии – это все прямые, проведенные через центр круга.
Симметрия в повседневной жизни
Симметрия стала частью жизни человека уже в древние времена. Орнаменты с признаками зеркального отражения встречаются на античных зданиях, древнегреческих вазах. Свойство пропорционального расположения заимствовано в науку из природы.
Зеркальное отражение часто встречается в живой и неживой природе. Этой характеристикой обладают снежинки. В растительном мире одинаково расположены противоположные элементы растений: большинство листьев зеркально отражаются сравнительно среднего стебля. В животном мире законы симметрии проявляются в наличии у животных правой и левой сторон. Большинство представителей фауны обладает парными частями тела: уши, лапы, глаза, крылья, рога. Ярким образцом зеркальной симметрии считается бабочка. Прямая, условно проведенная вдоль туловища насекомого по центру, является осью симметрии.
Поскольку человек – это часть природы, в своем творчестве он использует принцип симметрии. В искусстве свойство отражения применяется для создания красоты и гармонии. В архитектуре пропорциональность выполняет практическую функцию – придает зданиям устойчивость и надежность. В предметах быта можно встретить одинаковость в расположении частей узоров на коврах, принтов на ткани, рисунков обоев.
Стремление к созданию симметричного, предположительно, связано с притяжением Земли – гравитацией. Человек интуитивно считает симметрию формулой устойчивости. Принцип зеркального отражения играет важную роль в человеческой жизни. Тяга к гармонии и красоте побуждает человечество придерживаться правил пропорциональности.
Типы симметрии: вращательная симметрия (а) и примеры осевой …
Контекст 1
… формы с соответствующими симметриями визуализированы на рис. 6. Неизбыточная часть каждой формы отмечена апельсин. В этой работе мы фокусируемся на вращательных отражениях с 2n-кратным углом поворота, что означает, что форма создается путем отражения своей неизбыточной части относительно n 2 N повернутых осей, которые пересекаются в начале координат. Этот тип симметрии включает особые случаи, такие как осевая симметрия в…
Контекст 2
… на рис. 6. Неизбыточная часть каждой фигуры отмечена оранжевым цветом. В этой работе мы фокусируемся на вращательных отражениях с 2n-кратным углом поворота, что означает, что форма создается путем отражения своей неизбыточной части относительно n 2 N повернутых осей, которые пересекаются в начале координат. Этот тип симметрии включает особые случаи, такие как осевая симметрия на рис. 6 (b-e), а также радиальная симметрия для n! 1 (см. Рис. 6 (а)). Затем мы выводим явные формулы для подходящих функций агрегирования T (¢) для двух и трех…
Контекст 3
… оранжевым. В этой работе мы фокусируемся на вращательных отражениях с 2n-кратным углом поворота, что означает, что форма создается путем отражения своей неизбыточной части относительно n 2 N повернутых осей, которые пересекаются в начале координат. Этот тип симметрии включает особые случаи, такие как осевая симметрия на рис. 6 (b-e), а также радиальная симметрия для n! 1 (см. Рис. 6 (а)). Затем мы выводим явные формулы для подходящих функций агрегирования T (¢) для двух и трех…
Контекст 4
… Случаи: Общая функция агрегирования (24) для вращательных отражений включает несколько частных случаев. Например, учитывая симметрию отражения относительно оси z 2 (см. Рис. 6 (e)), неизбыточная часть представляет собой полуплоскость, а агрегация …
Контекст 5
… указывает z в соответствии с его абсолютными значениями j: j в z 1. Аналогично, функция агрегирования для 2-осевой симметрии (см. Рис. 5 и рис. 6 (d)) отображает каждую точку z в первый квадрант, соответственно…
Контекст 6
… иллюстрация левого RHM в первой строке фиг. 7 показывает пример этих подформ. Обратите внимание, что согласно определению только одна точка каждой подформы находится в неизбыточной части (см. Рис. 6). На основе этих подформ исходный SDM (10) теперь может быть аппроксимирован RHM. Аппроксимация SDM с помощью RHM: чтобы определить желаемую RHM, нам нужно указать функцию формы gs ¤ (x, z), которая возвращает минимальное расстояние от точки z до подформы ˜Zsubshape˜ subshape˜Z (x, s ¤ ), а также распределение p (s ¤).An …
Context 7
… try превосходит обычный подход для всех чисел коэффициентов. Введение второй оси симметрии дает преимущество по сравнению с 1-осевым подходом до семи коэффициентов, поскольку дополнительная симметрия дает возможность захвата более высокой степени детализации формы при сохранении количества параметров. Это особенно хорошо видно на рис. 16 (c), где 2-осевая принимает разумную форму при использовании только трех коэффициентов Фурье.1-осевая модель (и общий подход) не способны представить форму до того, как пять (семь соответственно) параметров равны …
Симметрия отражения
Симметрия отражения
Симметрия отражения (иногда называемая Симметрия линии или Симметрия зеркала ) легко увидеть, потому что одна половина является отражением другой половины.
Вот моя собака «Пламя» сделала ее мордочку идеально симметричной Белая линия по центру — это линия симметрии |
Отражение в этом озере также имеет симметрию, но в данном случае:
- Линия симметрии проходит слева направо
- это не идеальная симметрия, потому что изображение немного меняется из-за поверхности озера.
Линия симметрии
Линия симметрии (также называемая зеркальной линией ) может находиться в в любом направлении .
Но есть четыре общих направления, и они названы в честь линии, которую они образуют на стандартном графике XY.
См. Эти примеры (изображение было создано с помощью Symmetry Artist):
Плоскости
Не все фигуры имеют линии симметрии или могут иметь несколько линий симметрии. Например, треугольник может иметь 3 или 1 или без линий симметрии:
Равносторонний треугольник (все стороны равны, все углы равны) | Равнобедренный треугольник (две стороны равны, два угла равны) | Чешуйчатый треугольник (без равных сторон, без равных углов) | ||
3 Линии симметрии | 1 Линия симметрии | Нет Линии симметрии |
Я собрал еще несколько примеров на Линии симметрии плоских форм.
методов моделирования (метод конечных элементов), часть 2
Перемещаемые элементы
Перемещаемые элементы также могут привести к несовместимости сетки , как показано на рисунке 11.14. Несмотря на то, что порядок функций формы этих соединенных элементов одинаков, смещение может привести к несовместимой деформации кромок между узлами 1 и 2, а также 2 и 3, как показано пунктирными линиями на рисунке 11.14. Это связано с тем, что при сборке элементов МКЭ требует только непрерывности перемещений (а не производных) в узлах между элементами.
Метод решения проблемы несовместимости сетки смещающих элементов состоит в том, чтобы убедиться, что в сетке нет смещающих элементов. Большинство генераторов сеток не предназначены для создания такой сетки элементов. Однако при создании сетки вручную необходимо соблюдать осторожность.
Рисунок 11.14. Несовместимая сетка, вызванная смещением по общему краю элементов одного порядка.
Использование симметрии
Многие структуры и объекты обладают той или иной формой симметрии. На рисунке 11.15 показаны различные типы общей структурной симметрии. Такие предметы, как напитки, могут демонстрировать осевую симметрию, и даже огромные конструкции, такие как Эйфелева башня в Париже, демонстрируют зеркальную симметрию. Опытный аналитик в полной мере воспользуется преимуществами такой симметрии в структурах, чтобы упростить процесс моделирования, а также уменьшить глубину резкости и, следовательно, время вычислений, необходимое для анализа.Представьте себе полную конечно-элементную модель Эйфелевой башни, состоящую, скажем, из 100 000 элементов. Из-за зеркальной симметрии можно фактически выполнить анализ, моделируя только четверть всей конструкции, а количество элементов сократится до 25 000 элементов. Общее количество степеней свободы системы также будет уменьшено до четверти. Используя уравнение. (11.1) с a = 3, можно найти, что время ЦП будет уменьшено до (1/4) 3 = (1/64) -го времени, необходимого для решения полной модели. Значение ошеломляет! Кроме того, поскольку требуется только квартальная модель, время, необходимое аналитику для создания модели, также сокращается.Кроме того, точность анализа может быть улучшена, поскольку система уравнений становится намного меньше, и численная ошибка в вычислениях уменьшится. Однако для полного использования структурной симметрии необходимо использовать соответствующие методы. В этом разделе будут рассмотрены некоторые из этих методов.
Зеркальная или плоская симметрия
Зеркальная симметрия — это симметрия относительно определенной плоскости , и это наиболее распространенный случай симметрии. Половина конструкции является зеркальным отражением другой.Положение зеркала называется плоскостью симметрии. Считается, что конструкция имеет зеркальную структурную симметрию, если есть симметрия геометрии, условий опоры и свойств материала. Многие реальные структуры демонстрируют этот тип симметрии. Некоторые из этих структур фактически симметричны относительно определенной плоскости, в то время как другие симметричны относительно нескольких плоскостей. Возьмем, например, кубический блок, показанный на рис. 11.16. Фактически можно использовать свойство симметрии в одной плоскости и моделировать половину модели, или можно использовать свойство симметрии в двух плоскостях, чтобы дополнительно уменьшить модель конечных элементов до четверти исходной структуры.Фактически, большее количество плоскостей симметрии также может быть использовано для моделирования только одной восьмой модели, и в этом случае это будет аналогично случаю циклической симметрии, который будет обсуждаться позже.
Рассмотрим симметричное 2D-тело, показанное на рис. 11.17 . 2D твердое тело симметрично относительно оси симметрии x = c. Правая половина области моделируется с наложением следующих симметричных граничных условий в узлах на оси симметрии:
Рисунок 11.15. Различные типы структурной симметрии.
Рисунок 11.16. Моделирование кубического блока с двумя плоскостями симметрии.
Рисунок 11.17. 2D твердое тело с осью симметрии при x = c. Правая половина области моделируется с наложением симметричных граничных условий в узлах на оси симметрии.
, где ui (i = 1, 2, 3) обозначает смещения в направлении x в узле i.Уравнение (11.2) дает набор уравнений одноточечного ограничения (SPC), потому что в каждом уравнении участвует только одна неизвестная (или одна степень свободы). Этот тип SPC может быть просто наложен путем удаления соответствующей строки и столбца в уравнениях глобальной системы, как показано в примерах 4.1 и 4.2.
Условия нагрузки на симметричную конструкцию также должны быть приняты во внимание. Нагрузка считается симметричной, если нагрузка также может «отражаться» от конкретной плоскости, как показано на рисунке 11.18. В этом случае задача является симметричной, потому что вся конструкция, ее условия опоры, а также ее нагрузка симметричны относительно плоскости x = 0. Анализ половины всей балочной конструкции с использованием симметричного граничного условия в x = 0 даст такое же полное решение, как и полная модель, с затратами не менее четверти усилий.
Проблема также может быть антисимметричной , если конструкция симметрична, но нагрузка антисимметрична, как показано на рисунке 11.19. Опять же, моделирование половины конструкции также может дать полное решение с использованием антисимметричного граничного условия, которое будет другим в плоскости симметрии. В простом примере, показанном на рис. 11.19, антисимметричное граничное условие состоит в том, что деформация в плоскости симметрии равна нулю. Обратите внимание, что вращение в плоскости симметрии не обязательно должно быть нулевым, в отличие от случая симметричной нагрузки.
Рисунок 11.18. Симметричная балочная конструкция с простой опорой.
Рисунок 11.19. Антисимметричная балочная конструкция с простой опорой.
Следующие общие правила могут применяться при определении граничных условий в плоскости симметрии. Если проблема симметрична, как показано на рисунке 11.18, то:
1. Компоненты поступательного смещения, нормальные к плоскости симметрии, отсутствуют.
2. Компоненты вращательного смещения относительно оси, параллельной плоскости симметрии, отсутствуют.
Таблица 11.2. Граничные условия для симметричного нагружения
Плоскость симметрии | u | v | Вт | |||
xy | Бесплатно | Бесплатно | Исправить | Исправить | Исправить | Бесплатно |
года | Исправить | Бесплатно | Бесплатно | Бесплатно | Исправить | Исправить |
zx | Бесплатно | Исправить | Бесплатно | Исправить | Бесплатно | Исправить |
Таблица 11.3. Граничные условия для антисимметричного нагружения
Плоскость симметрии | u | v | Вт | |||
xy | Исправить | Исправить | Бесплатно | Бесплатно | Бесплатно | Исправить |
года | Бесплатно | Исправить | Исправить | Исправить | Бесплатно | Бесплатно |
zx | Исправить | Бесплатно | Исправить | Бесплатно | Исправить | Бесплатно |
Если проблема антисимметрична, как показано на рисунке 11.19, затем:
1. Компоненты поступательного смещения, параллельные плоскости симметрии, отсутствуют.
2. Компоненты вращательного смещения относительно оси, перпендикулярной плоскости симметрии, отсутствуют.
Таблицы 11.2 и 11.3 дают полный список условий симметрии и антисимметрии для общих трехмерных случаев.
Любую нагрузку можно разделить на симметричную нагрузку и антисимметричную нагрузку, поэтому, пока конструкция является симметричной (по геометрии, материалам и граничным условиям), всегда можно воспользоваться преимуществом симметрии.Теперь рассмотрим случай, показанный на рис. 11.20 (a), где балочная конструкция с простой опорой является симметричной конструктивно, но нагрузка асимметрична (ни симметрична, ни антисимметрична). Конструкцию всегда можно рассматривать как комбинацию (а) одной и той же конструкции с симметричной нагрузкой и (б) той же конструкции с антисимметричной нагрузкой. В этом случае необходимо решить две задачи, каждая из которых имеет половину числа степеней свободы, если моделируется вся конструкция. Одна из проблем симметрична, а другая антисимметрична.
На рис. 11.21 показан более сложный пример того, как каркас с асимметричными условиями нагружения может быть проанализирован с использованием половины каркаса с симметричными и антисимметричными условиями. Сложение одной проблемы одной и той же конструкции, подвергающейся симметричной нагрузке, с другой проблемой той же конструкции, подверженной антисимметричной нагрузке, эквивалентно анализу полной структуры кадра с асимметричной нагрузкой. В этом примере фактически есть элемент рамы, который находится в плоскости симметрии.Свойства этого элемента рамы на плоскости симметрии также необходимо уменьшить вдвое для двух половинных моделей. Это означает, что все свойства, которые влияют на матрицу жесткости этого элемента, необходимо уменьшить вдвое. Если это динамический анализ, то плотность тоже нужно уменьшить вдвое.
Динамические задачи также могут быть решены в аналогичным образом с использованием симметричных или антисимметричных свойств, например, если симметричные граничные условия накладываются на простую балочную конструкцию и выполняется анализ собственных частот.
Рисунок 11.20. Симметричная балочная конструкция с простой опорой, подверженная асимметричной нагрузке. а) конструкция с асимметричной нагрузкой; б) та же конструкция с симметричной нагрузкой; (c) та же конструкция с антисимметричной нагрузкой.
Полученные собственные частоты будут соответствовать только симметричным модам. Чтобы получить антисимметричные режимы, к модели необходимо применить антисимметричные граничные условия. На рисунке 11.22 показаны симметричные и антисимметричные условия для анализа вибрации в балке с простой опорой.
Рисунок 11.21. Использование симметрии для анализа симметричного каркаса с асимметричной нагрузкой.
Рисунок 11.22. Использование симметричных и антисимметричных условий для анализа свободных колебаний.
Осевая симметрия
Говорят, что твердое тело или структура обладают осевой симметрией , когда твердое тело может быть создано путем вращения плоской формы вокруг оси. Следовательно, такое твердое тело можно смоделировать, просто используя специальный тип 2D или 1D элемента, называемый осесимметричным элементом.Таким образом, трехмерное твердое тело можно смоделировать, просто используя одномерные или двухмерные элементы, что значительно снизит затраты на моделирование и вычисления. Например, цилиндрическая оболочка может быть смоделирована с использованием одномерных осесимметричных балочных элементов, как показано на рисунке 11.23. На рис. 11.24 показан пример трехмерного твердого тела под действием осесимметричных нагрузок, которое можно моделировать с помощью двухмерных осесимметричных элементов.
Рисунок 11.23. Цилиндрическая оболочка, смоделированная с использованием осесимметричных элементов ID.
Рисунок 11.24. Трехмерная конструкция, смоделированная с использованием двухмерных осесимметричных элементов.
Формулировка осесимметричных элементов 1D или 2D очень похожа на элементы 1D или 2D, разработанные в предыдущих разделах, за исключением того, что все уравнения должны быть выражены в полярной системе координат, а не в декартовой системе координат. использование осесимметричных элементов требует меньше вычислительных ресурсов по сравнению с полной трехмерной дискретизацией.Осесимметричные элементы легко доступны в большинстве программных пакетов конечных элементов, и использование этих элементов аналогично их аналогу обычных 1D или 2D элементов.
Подобно задачам плоской симметрии, нагрузки, прикладываемые к осесимметричной конструкции, не должны быть осесимметричными или осесимметричными. Любая осевая асимметричная нагрузка может быть выражена в виде наложения Фурье как осесимметричных, так и осевых антисимметричных компонентов в направлении θ (см. Рисунок 11.23). Следовательно, проблема всегда может быть разделена на два набора осесимметричных и аксиальных антисимметричных задач, если конструкция является осесимметричной (по геометрии, материалу и граничной опоре).
Рисунок 11.25. Репрезентативная ячейка изолирована от циклической симметричной структуры и условий циклической симметрии на ячейке.
в осевом направлении | Примеры предложений
axially пока нет в Кембриджском словаре.Ты можешь помочь!
В данной статье методом последовательного усечения рассматривается стационарное течение , осесимметричное по оси , возникающее за счет вращающейся сферы в неподвижной жидкости. Отправной точкой для этого механизма является связывание дикислорода экваториально, а тирозин аксиально с медным центром. Более того, намагниченный по оси плазменный столб , окруженный диэлектриком или свободным пространством, способен направлять волны, распространяющиеся в этом диапазоне частот.Нелинейная эволюция приводит к аксиально- периодическим сериям обрушений волн, которые ограничиваются тонкой оболочкой вокруг стабильного стержня пинча. В статье исследуются осесимметричные задачи. Однако на практике предложенная схема отличается от нее тем, что является трехмерной, и предполагается, что она состоит из отдельных, аксиально -симметричных круглых каналов.Таким образом, на рисунке 4 (а) мы видим образование двухслойного аналога триполярной структуры из аксиально-симметричного вихря . В случае осесимметричного вихря вновь образованные диполи расходятся в произвольных направлениях, тогда как здесь это предопределено исходной конфигурацией. Оба крайних значения представляют собой аксиально- симметричный поток, нижний поток обтекает сферу, а верхний поток внутри круглой трубы.Мы ограничиваемся рассмотрением аксиально-симметричных решений и рассматриваем модели с вихрями и без них. При достаточном расстоянии, когда фронт ударной волны находится в радиальном движении, магнитный поршень все еще перемещается в осевом направлении . Предполагается, что струя жидкости перемещается на в осевом направлении на , в то время как воздушный поток имеет как осевую, так и тангенциальную составляющие скорости.Это соответствует 160 ячейкам в осевом направлении, и 5 ячейкам в радиальном направлении через исходную оболочку. Когда = 0, существует аксиально- независимый поток, и пары ячеистых потоков могут раздваиваться от этого «тривиального» потока. Следовательно, было физически возможно, что эффекты заикания будут локализованы на очень коротком расстоянии в осевом направлении .Казалось бы, можно развить аналогичные теории для других тел обтекания, как двумерных, так и осесимметричных . Первый плоский и однородный в плоскостях, параллельных поверхности, а второй — осесимметричный . Электроны, достигнув оси, будут выходить в осевом направлении через отверстие в аноде.Пространства соединены в осевом направлении двойными стеклянными дверями, решающим порогом.Эти примеры взяты из корпусов и из источников в Интернете. Любые мнения в примерах не отражают мнение редакторов Cambridge Dictionary, Cambridge University Press или его лицензиаров.
axially еще нет в Кембриджском словаре.сообщение}}
Выберите часть речи и введите свое предложение в поле «Определение».
{{/сообщение}} Часть речиВыберите существительное, глагол и т.
Определение
Представлять на рассмотрение Отмена
symétrie axiale — Перевод на английский — примеры французский
Эти примеры могут содержать грубые слова, основанные на вашем поиске.
Эти примеры могут содержать разговорные слова, основанные на вашем поиске.
La symétrie axiale se caractérise par des propriétés zonales.
Или l’immense majorité des systèmes de l’Univers a une symétrie axiale .
Однако подавляющее большинство систем Вселенной обладают осевой симметрией .Заключение, наши дискутоны brièvement комментарий «forcer» des espaces-temps à symétrie axiale ayant дипольную структуру.
Наконец, мы кратко обсудим, как «заставить» аксиально-симметричный пространство-время, имеющий дипольную структуру.процесс изготовления пьес на symétrie axiale et de l’article Соответствующий
La deuxième partie usinée est formée de manière à presenter une symétrie axiale avec la première partie usinée.
Изобретение касается парашютного оборудования, связанного с активными участками (2) на axiale, placée entre deux armatures de raccordement (1, 2).
Предлагаемый в изобретении переключатель перенапряжения имеет осесимметричную активную часть (2) , которая расположена между двумя соединительными якорями (1, 2).La cavité résonante ne présente pas une symétrie axiale de second ax.
Quatre rainures hélicoïdales fonctionnent en symétrie axiale .
Этот код предполагает, что у него symétrie axiale et fonctionne à la limite électrostatique.
Код предполагает осевую симметрию и работает в электростатическом пределе.Бывший. №18 Construire l’image d’une figure par symétrie axiale .
La pesanteur est effectivement isotrope, mais elle doit s’accompagner d’un phénomène à symétrie axiale .
La surface extérieure de la culasse de rotor (2) est dotée d’une pluralité de rainures fixes des pôles magnétiques en symétrie axiale .
На внешней поверхности ярма ротора (2) имеется множество фиксированных канавок магнитных полюсов в моде осевой симметрии .galvanomètre à symétrie axiale et structuré de palier améliorée
les capillaires sont configurés en section transversale pour preserver la symétrie axiale
капилляры сконфигурированы в поперечном сечении таким образом, чтобы сохранить осевую симметриюLa barre est une perturbation qui brise la symétrie axiale du disque galactique, et par là crée des force gravitationnelles tangentielles.
Полоса представляет собой возмущение, которое нарушает осевую симметрию галактического диска и, следовательно, создает тангенциальные силы тяжести.Construire, пар. symétrie axiale , l’image d’une figure sur un quadrillage.
Используйте осевую симметрию , чтобы построить изображение фигуры на квадратной бумаге.présentant une symétrie axiale et formant la couverture externe dudit dispositif
Comprenant un élément de protection Principal à symétrie axiale et de section circaire
состоящий из основного защитного элемента с осевой симметрией и круглым поперечным сечениемNous montrons que la méthode s’applique aussi aux cas d’espace-temps stationnaires à symétrie axiale avec deux vecteurs de Killing qui commutent.
Также показано, что метод может быть применен к случаю стационарного аксиально-симметричного пространства-времени с двумя коммутирующими векторами Киллинга.présentant une symétrie axiale fraisée vers l’extérieur du même pipeline
Метод расчета неосесимметричных оптических систем с использованием поверхностей произвольной формы
1.
Введение
Оптические системы, не обладающие осевой симметрией, могут предоставить полезные и уникальные решения некоторых проблем визуализации. Однако сложность задачи проектирования оптики растет по мере того, как степени симметрии уменьшаются и теряются: необходимо контролировать большее количество аберраций, и достижение резкого изображения в широком поле зрения (FOV) при высоких оптических скоростях становится сложной задачей. . Плоско-симметричные оптические системы представляют собой большое семейство практических неаксиально-симметричных систем, которые достаточно просты, чтобы их можно было легко описать, и, следовательно, они хорошо понятны.Методологии проектирования и теория аберраций плоско-симметричных оптических систем обсуждались в литературе, и сообщалось о различных интересных решениях. 1 — 4
Мало обсуждаемая в литературе техника конфокальных систем эффективна для создания неаксиально-симметричной оптики. Конфокальная неаксиально-симметричная система построена таким образом, что есть резкое изображение вдоль данного луча [называемого оптическим осевым лучом (OAR)] поверхности за поверхностью.Можно показать, что такая система может иметь меньшее количество аберраций поля и что система будет вести себя ближе к аксиально-симметричной системе. 5 , 6
В этой статье мы рассмотрим методологию проектирования неосесимметричных оптических систем. Мы используем асферическую поверхность / поверхность произвольной формы, построенную путем наложения коники, выраженной в системе координат, которая центрирована на внеосевом сегменте поверхности, а не на оси симметрии, и многочлене XY.Коническая часть асферической поверхности / поверхности произвольной формы описывает базовую форму, которая требуется для достижения стигматической визуализации поверхности за поверхностью вдоль OAR. Полином XY добавляет более точное описание формы к провисанию поверхности и обеспечивает эффективные степени свободы для коррекции аберраций высокого порядка. Этот асферический профиль поверхности произвольной формы может наилучшим образом моделировать идеальную отражающую поверхность и позволяет разумно подойти к оптическому дизайну. Примеры двух- и трехзеркальных незатененных отражающих систем с широким полем обзора представлены, чтобы показать, как применяются методы и соответствующая асферическая / произвольная поверхность.Мы также демонстрируем, как этот метод может быть расширен для создания монолитного объектива произвольной формы. 7
2.
Аберрации плоско-симметричных оптических систем
В этом разделе мы рассмотрим аберрационные свойства плоско-симметричной оптической системы. Хорошо известная концепция осесимметричной функции аберрации волнового фронта W (H →, ρ →) расширена для описания мнимых плоско-симметричных систем. Функция аберрации волнового фронта W (H →, ρ →, i →) плоско-симметричной оптической системы дает геометрическую деформацию волнового фронта в выходном зрачке как функцию нормированного поля H →, апертуры ρ → и единицы симметрии i → векторов.Плоскость симметрии содержит луч, называемый ВЕСЛО, который определяет центр поля зрения и центр зрачков. Единичный вектор симметрии i → определяет направление плоскости симметрии. Для оптических систем, которые состоят из сферических или слегка асферических поверхностей, функция аберрации волнового фронта расширяется до полиномиальных серий скалярных произведений единичных векторов поля, апертуры и симметрии, и может быть записана как
Eq. (1)
W (H →, ρ →, i →) = ∑k, m, n, p, qW2k + n + p, 2m + n + q, n, p, q (H → · H →) k (ρ → · ρ →) m (H → · ρ →) n (H → · i →) p (ρ → · i →) q, где каждый коэффициент аберрации W2k + n + p, 2m + n + q, n, p, q представляют собой амплитуду основных форм деформации волнового фронта, определяемую целыми числами k, m, n, p и q.Сумма этих целых чисел представляет собой определенный порядок приближения.Аберрации четвертого порядка аппроксимации сведены в Таблицу 1. Эти термины состоят из хорошо понятных аксиально-симметричных первичных аберраций и дополнительного набора аберраций, которые имеют двухплоскостную и плоскую симметрию. Величину коэффициентов аберрации можно вычислить по трассе луча первого порядка и параметрам структуры системы. 1
Таблица 1
Аберрации плоско-симметричной оптической системы.Члены аберрации сгруппированы в соответствии с характеристиками симметрии.
Первая группа | |
W00000 | Поршень |
Вторая группа | |
W01001 (i → · ρ →) | Смещение поля |
W10010 (i → · H →) | Линейный поршень |
W02000 (ρ → · ρ →) | Расфокусировка |
W11100 (H → · ρ →) | Увеличение |
W20000 (H → · H →) | Квадратичный поршень |
Третья группа | |
W02002 (i → · ρ →) 2 | Равномерный астигматизм |
W11011 (i → · H →) (i → · ρ →) | Анаморфное искажение |
W20020 ( i → · H →) 2 | Квадратичный поршень |
W03001 (i → · ρ →) (ρ → · ρ →) | Равномерная кома |
W12101 (i → · ρ →) (H → · ρ →) | Линейный астигматизм |
W12010 (i → · H →) (ρ → · ρ →) | Наклон поля |
W21 001 (i → · ρ →) (H → · H →) | Квадратичное искажение I |
W21110 (i → · H →) (H → · ρ →) | Квадратичное искажение II |
W30010 ( i → · H →) (H → · H →) | Кубический поршень |
W04000 (ρ → · ρ →) 2 | Сферическая аберрация |
W13100 (H → · ρ →) (ρ → · ρ →) | Линейная кома |
W22200 (H → · ρ →) 2 | Квадратичный астигматизм |
W22000 (H → · H →) (ρ → · ρ →) | Кривизна поля |
W31100 (H → · H →) (H → · ρ →) | Кубическое искажение |
W40000 (H → · H →) 2 | Квадратичный поршень |
Формулы аберрации позволяют понять зависимость аберрации как функция параметров системы.Более того, разделение аберраций на подгруппы в соответствии с характеристиками симметрии раскрывает стратегию проектирования и указывает эффективные степени свободы в процессе оптимизации.
Важный случай, который следует выделить, — это плоско-симметричная оптическая система, построенная с конфокальными поверхностями, такими как визуализация вдоль OAR — стигматическая поверхность за поверхностью. Этот тип систем имеет меньшее количество аберраций и потенциально может обеспечить лучшее изображение. Чтобы удовлетворить требованиям в случае отражающих систем, поверхности должны быть внеосевыми сегментами конусов.Из-за конструкции системы не будет никаких условий аберрации, не зависящих от поля: поверхностные вклады в сферическую аберрацию (W04000), однородную кому (W03001) и равномерный астигматизм (W02002) равны нулю. Кроме того, анаморфное искажение (W11011) и квадратичное искажение II (W21110) также сводят на нет, и поверхностный вклад во внутренний анаморфизм становится равным единице. Более того, линейный астигматизм (W12101) и наклон поля (W12010) системы одновременно исчезают и могут быть скорректированы путем регулировки наклона зеркал.Отсюда следует, что за исключением остающегося квадратичного искажения I и четвертого порядка приближения система ведет себя как осесимметричная система.
3.
Описание поверхности
В этом разделе мы представляем асферическую / произвольную поверхность в близкой форме, которую можно использовать для проектирования плоско-симметричных оптических систем. Мы показали, что объединение стигматических компонентов полезно для получения отправной точки для проектирования системы. Стандартная наклонная и / или децентрализованная аксиально-симметричная коническая поверхность уравнения.(2) обеспечивает решение проблемы
Ур. (2)
z (r) = cr21 + 1− (1 + k) c2r2, где c — кривизна поверхности, k — коническая постоянная, r = x2 + y2. Однако, когда кто-то хочет спроектировать плоско-симметричную оптическую систему, желательно иметь удобное выражение для поверхности в системе координат, которая центрирована на внеосевом сегменте поверхности, а не на оси симметрии. Некоторые преимущества использования этого описания поверхности состоят в том, что фактическая поверхность может быть точно указана, что геометрия системы может быть легко определена и оптимизирована в программном обеспечении для проектирования линз, и что могут быть добавлены дополнительные асферические члены для обеспечения эффективных степеней свободы для дальнейшего улучшения система.Вывод аналитического выражения коники с точки зрения системы координат, касающейся поверхности в общей точке, удаленной от оси симметрии, рассматривается ниже. 8 , 9 Исходные координаты (y, z) и новые координаты (y ′, z ′) показаны на рис. 1. Без ограничения общности, новое начало координат выбрано на оси y; таким образом, Y0 — это расстояние от оси вращения до нового координатного центра.
Рис. 1
Геометрия, определяющая глобальные и локальные координаты внеосевого конического сегмента.
Общее выражение аксиально-симметричной конической поверхности уравнения. (2) переписывается как
Eq. (3)
z (r) = 1 (1 + k) {R− [R2− (1 + k) · r2] 1/2}, где R = 1 / c — радиус кривизны поверхности. Из уравнения. (3) следует, чтоEq. (4)
tan (φ0) = ∂z∂yx = 0; y = Y0 = Y0 [R2− (1 + k) · Y02] 1/2,Ур. (5)
Z0 = z (0, Y0) = 1 (1 + k) {R− [R2− (1 + k) · Y02] 1/2}, где φ0 — угол поворота системы координат.Вращение координат теперь выполняется согласно
Eq.(7)
y = y ′ cos (φ0) −z ′ · sin (φ0) + Y0,Ур. (8)
z = y ′ · sin (φ0) + z ′ · cos (φ0) + Z0,Ур. (10)
y ′ = (y − Y0) · cos (φ0) + (z′ − Z0) · sin (φ0),Ур. (11)
z ′ = — (y − Y0) · sin (φ0) + (z′ − Z0) · cos (φ0).Для компактности безразмерные переменные
Ур. (12)
u = x′R; v = y′R; w = z′R; ϵ = Y0R, и величиныEq. (13)
s≡sin (φ0) = Y0 [R2 − kY02] 1/2, c≡cos (φ0) = [R2− (k + 1) Y02R2 − kY02] 1/2, L≡k + 1, W0≡Z0 / Редкие. Уравнения (3), (6), (7), (12) и (13) теперь подставляются в уравнение.(8)Ур. (14)
1L (1-L ([vc − ws + ϵ] 2 + u2] 1/2)) = vs + wc + W0.После некоторых алгебраических манипуляций уравнение. (14) сводится к квадратному уравнению, как в
Eq. (15)
w2 + 2w (h + jv) — (fv2 + gu2) = 0.Решение для w (u, v):
Eq. (16)
w (u, v) = — (h + jv) ± [(h + jv) 2 + fv2 + gu2] 1/2, где f≡ (s / ϵ) 2g, g≡ − 1 / ( Lc2 + s2), h≡ (ϵ / s) g и j≡− (L − 1) scg.Эта внеосевая коническая поверхность теперь используется в качестве базовой поверхности для создания асферической поверхности или поверхности произвольной формы. Асферическая / произвольная поверхность zf (r) строится путем добавления плоско-симметричного многочлена XY к базовой поверхности как
Eq.(17)
zf (r) = w (r) + A1x2 + A2y2 + A3x2y + A4y3 + A5x4 + A6x2y2 + A7y4…, где w (r) — прогиб базовой внеосевой конической поверхности, а A′s — коэффициенты асферического полинома. Многочлен XY в уравнении. (17) центрируется в начале внеосевого конического сегмента и, таким образом, обеспечивает эффективные степени свободы для коррекции внеосевых аберраций. Эта очень специальная поверхность позволяет оптимизировать дизайн или улучшить расчетные характеристики плоско-симметричных рефракционных систем.4.
Метод проектирования
В этом разделе мы обрисовываем систематический метод проектирования плоско-симметричных отражающих систем, который использует асферическую / произвольную поверхность, определенную в разд.3.
1. Хорошо скорректированная осесимметричная система обеспечивает начальную оценку параметров первого порядка и служит хорошей отправной точкой для неосесимметричной конструкции. Все поверхности являются осесимметричными коническими конусами, и изображение имеет стигматическое изображение вдоль оптической оси, поверхность за поверхностью.
2. Осесимметричные конические поверхности преобразуются в асферические поверхности / поверхности произвольной формы. Плоско-симметричная форма создается путем наклона элементов системы в плоскости и добавления параметра внеосевой конической децентрализации Y0 (см.рис.1) в оптимизацию. Переменные оптимизации — это наклоны и расстояния поверхности, а также параметр Y0. Присваиваются структурные ограничения, и система повторно оптимизируется для получения стигматических изображений вдоль OAR.
3. Добавляются несколько точек в поле обзора системы, а наклон последнего зеркала регулируется для коррекции линейного астигматизма.
4. В этот момент базовая коническая поверхность заморожена, и оптимизатор использует только коэффициенты асферического полинома в качестве степеней свободы для коррекции внеосевых аберраций.Коэффициенты выпускаются как переменные, и по мере работы оптимизатора выпускаются другие коэффициенты.
Обычно существует несколько способов настроить децентрализованный или наклонный элемент в программном обеспечении для проектирования линз. Мы выбираем способ, который прост для понимания, позволяет легко построить систему с конфокальными поверхностями и допускает минимальное количество параметров наклона или децентрализации.
В программном обеспечении, когда мы наклоняем и / или децентрируем поверхность, мы фактически наклоняем и / или децентрируем локальную систему координат, в которой определяется поверхность.Каждая асферическая поверхность / поверхность произвольной формы зажата между двумя координатными разрывами с одинаковым углом наклона. Поверхность наклоняется, и система координат снова получает название, чтобы следовать за лучом перед переходом на следующую поверхность. В результате OAR выравнивается с вершиной поверхности каждой асферической поверхности / поверхности произвольной формы, что позволяет эффективно контролировать аберрации высокого порядка и достигать характеристик баланса по всему полю, вводя небольшие асферичности в качестве эффективных степеней свободы на этапе 4. .Вдобавок за счет размещения поверхности произвольной формы между двумя разрывами координат, OAR выравнивается с осью z второй системы координат, и OAR проходит через центр плоскости изображения. Эта схема также помогает четко определить геометрию плоско-симметричной системы.
Поверхность zf (r) в уравнении. (17) был запрограммирован как определяемая пользователем поверхность в программном обеспечении оптического проектирования Zemax OpticStudio и успешно применен для проектирования нескольких плоско-симметричных оптических систем.В следующих разделах мы представим примеры конструкции двух- и трехзеркальных незатененных телескопов. Наконец, мы расширим наш метод проектирования на преломляющие оптические системы и покажем пример монолитного объектива произвольной формы.
5.
Двухзеркальный незатененный телескоп
В этом разделе мы покажем пошаговый процесс проектирования двухзеркального незатененного телескопа типа Шварцшильда с использованием систематического метода, описанного в разд. 3. Начнем с осесимметричной системы, показанной на рис.2 (а). В этой конструкции кривизна и конические константы зеркал выбраны таким образом, чтобы изображение на оси представляло собой стигматическую поверхность за поверхностью. Главное зеркало параболическое, а вторичное зеркало гиперболическое. Система работает на f / 4. Графики разности оптических путей (OPD) для полей 0 и +/- 2 градуса показаны на рис. 2 (b). Внеосевые характеристики значительно ухудшаются из-за комы, кривизны поля и астигматизма.
Рис. 2
Стартовая конструкция двухзеркального незатененного телескопа типа Шварцшильда.(а) Схема и (б) графики OPD (масштаб графика составляет 2 волны на 0,550 мкм). В этой конструкции осевое изображение — это стигматическая поверхность за поверхностью.
Плоско-симметричная форма может быть получена простым наклоном и децентрализацией элементов системы в плоскости. Однако, если поверхности определены как стандартные осесимметричные конические поверхности, только небольшой внеосевой сегмент реальной поверхности используется для изгиба лучей, как показано на рис. 3 (а). Обратите внимание, что в этом случае асферический полином, определенный относительно вершины поверхности, не обеспечивает эффективных степеней свободы для дальнейшей оптимизации, поскольку полиномиальные члены высокого порядка требуются для создания небольших асферических отклонений на внеосевом сегменте поверхности.С другой стороны, оптические системы, которые содержат элементы линз, в которых используются асферические элементы более высокого порядка, подвержены колебаниям в поведении лучей и подвержены возникновению артефактов изображения, когда они слегка смещены.
Рис. 3
Элементы наклонены и / или децентрализованы для создания незатененной оптической системы. Зеркальные поверхности определяются с помощью (а) стандартных аксиально-симметричных конических поверхностей и (б) асферических поверхностей / поверхностей произвольной формы zf (r).
Вместо этого аксиально-симметричные конические поверхности преобразуются в асферические / произвольные поверхности zf (r).Это описание поверхности упрощает конструкцию, позволяя установить параметр смещения Y0 для данного зеркала так, чтобы получить стигматическое изображение вдоль OAR. Переменные оптимизации — это наклоны поверхности (угол падения OAR) и разделение поверхностей вдоль OAR, а также параметр Y0. Плоскость изображения должна быть перпендикулярна OAR, и по мере изменения системы она повторно оптимизируется для исправления аберраций на оси. Схема показана на рис. 3 (б). Графики OPD этой плоско-симметричной системы показаны на рис.4. Обратите внимание на то, что из-за конструкции системы отсутствуют условия аберрации, не зависящие от поля. После регулировки наклона вторичного зеркала для коррекции линейного астигматизма и наклона поля система работает близко к соответствующей осесимметричной системе.
Рис. 4
Графики OPD незатененного телескопа (масштаб графика — две волны на 0,550 мкм). Плоско-симметричная система, спроектированная с конфокальными поверхностями, по своим характеристикам близка к соответствующей аксиально-симметричной системе.
Внеосевые аберрации теперь корректируются путем добавления коэффициентов асферического полинома к оптимизации.Геометрия системы, кривизна поверхности и конические константы заблокированы, а асферические коэффициенты выпущены как переменные. Поле зрения постепенно увеличивается, и по мере работы оптимизатора высвобождается больше коэффициентов. Окончательная система, представленная на рис. 5, охватывает поле обзора 6 × 4 градуса при f / 4. Графики OPD и диаграмма пятен полного поля показаны на рис. 6. Равномерное качество изображения и характеристики, близкие к дифракционным, были достигнуты по всему полю поля зрения. Для справки: двухзеркальные незатененные телескопы, разработанные со стандартными коническими и асферическими поверхностями, обеспечивают характеристики с ограничением дифракции при поле зрения всего в несколько градусов. 3
Рис. 5
Макет окончательной конструкции двухзеркального незатененного телескопа типа Шварцшильда. Асферические полиномиальные члены используются для исправления внеосевых аберраций.
Рис. 6
Качество изображения окончательной конструкции двухзеркального незатененного телескопа типа Шварцшильда. (а) Графики OPD (масштаб графика — 1 волна при 0,550 мкм) и (б) точечная диаграмма с полным полем при 0,550 мкм. Достигнуты характеристики, близкие к дифракционным, с полем обзора 6 × 4 градуса.
6.
Трехзеркальный незатененный телескоп
В этом разделе мы представляем трехзеркальный незатененный телескоп с диафрагмой f / 2, который очень напоминает конструкцию произвольной формы с неравномерным рациональным основанием (NURBS), описанную Криспом, и демонстрирует улучшение характеристик. с помощью асферических поверхностей zf (r). 10 Расчетные параметры приведены в таблице 2.
Таблица 2
Расчетные требования для трехзеркальной незатененной системы.
Параметр | Требование |
---|---|
FOV | 10 × 9 градусов |
Фокусное расстояние | 35.7 мм |
Фокусное отношение | f / 2 |
Процедура расчета аналогична той, что использовалась в предыдущем разделе. Исходная система построена с конфокальными поверхностями, как показано на рис. 7 (а). Размеры зеркал, расстояние между ними и углы падения были выбраны так, чтобы они максимально соответствовали дизайну NURBS от Chrisp. Обратите внимание, что линейный астигматизм и наклон поля удаляются путем регулировки наклона третичного зеркала, как показано на рис. 7 (b).
Рис. 7
Стартовая конструкция трехзеркального телескопа построена с конфокальными поверхностями.(а) Схема и (б) графики OPD (масштаб графика составляет 10 волн на 3 мкм). В этой конструкции осевое изображение — это стигматическая поверхность за поверхностью. Наклон третичного зеркала регулируется для коррекции наклона поля зрения и линейного астигматизма.
Затем кривизна зеркала, конические константы и разделение поверхностей удаляются из оптимизации, а коэффициенты плоско-симметричного полинома до восьмого порядка добавляются в качестве переменных для коррекции внеосевых аберраций. Хотя Крисп не упомянул об ограничениях на искажение, в текущем дизайне искажение ограничено <3%.Компоновка системы, воспроизведенная из статьи Криспа, и наша окончательная компоновка системы представлены рядом на рис. 8. Графики OPD и точечные диаграммы нашей системы приведены на рис. 9. Характеристики близки к дифракционным ограничениям. весь FOV.
Рис. 8
Схема трехзеркального телескопа. (а) Дизайн с NURBS-поверхностями произвольной формы, описанный Криспом; (b) текущая конструкция с асферическими поверхностями / поверхностями произвольной формы zf (r). В текущем дизайне плоско-симметричные полиномы до восьмого порядка используются для коррекции внеосевых аберраций.
Рис. 9
Качество изображения последнего трехзеркального телескопа. (а) графики OPD (масштаб графика — 1 волна при 3 мкм) и (б) точечные диаграммы при 3 мкм. Достигнуты характеристики, близкие к дифракционным, с полем обзора 10 × 9 градусов.
В своей статье Крисп сравнил характеристики конструкции с NURBS-поверхностями с конструкциями, в которых используются обычные наклонные и / или децентрализованные вращающиеся асферы и многочлены XY. Среднеквадратичный размер пятна по полю для различных конструкций показан на рис.10. Chrisp сообщил, что средний среднеквадратичный размер пятна по полю составляет 61 мкм для традиционной асферической конструкции, 36 мкм для многочленной XY-конструкции и 14 мкм для NURBS-дизайна. В текущем дизайне среднее RMS пятно составляет 8,5 мкм, что примерно на 40% лучше по сравнению с дизайном NURBS.
Рис. 10
Среднеквадратичный размер пятна по полю трехзеркальной системы. (а) дизайн с обычными асферическими поверхностями, о котором сообщил Крисп, (б) дизайн с полиномиальными поверхностями XY, о котором сообщил Крисп, (в) дизайн с NURBS-поверхностями произвольной формы, о котором сообщил Крисп, и (г) текущий дизайн с асферическими поверхностями. поверхности zf (r).
Несмотря на то, что конструкция, представленная Криспом, демонстрирует отличную производительность, представление поверхности с помощью NURBS имеет ряд недостатков. Основные программы проектирования оптики не способны оптимизировать поверхности сеточного типа NURBS в системах визуализации. По этой причине Крисп провел оптимизацию дизайна с помощью внутреннего кода. Более того, конструкция NURBS представляет собой решение «грубой силы» / «числовой обработки», в то время как асферический профиль поверхности зеркал zf (r) явно способен наилучшим образом моделировать требуемую идеальную поверхность и позволяет разумно подойти к оптической конструкции. .
7.
Монолитный объектив произвольной формы
До сих пор мы обсуждали конструкцию отражающих плоско-симметричных оптических систем. В этом разделе мы расширяем наш метод проектирования на преломляющие оптические системы и показываем дополнительную поверхность произвольной формы, построенную путем наложения декартовой овальной поверхности и полинома.
Декартов овал — это оптическая поверхность, которая разделяет две однородные преломляющие среды и дает идеальное точечное изображение точечного объекта.В частном случае зеркальной поверхности, в которой показатель преломления объекта и среды изображения имеет одинаковую величину, но противоположный знак, декартовы овальные решения являются коническими поверхностями. Другими хорошо известными решениями являются сфера для случая апланатических и концентрических сопряженных точек или коническая поверхность с конической постоянной, равной минус квадрату показателя преломления для случая наличия одной сопряженной точки на бесконечности. Однако общее уравнение прогиба декартова овала сложно.Решение явного прогиба декартова овала ранее обсуждалось другими авторами. Кроме того, также был предоставлен альтернативный итерационный метод прогиба декартова овала. 11
Этот итерационный метод решает определяющее уравнение длины оптического пути для декартового овала для любого луча от точки O объекта до точки O ‘изображения, как показано на рис. (18) OPLp − OPLaxis = {n1 · [s1 + Sc (r)] 2 + r2 + n2 · [s2 − Sc (r)] 2 + r2} — {n1 · s1 + n2 · s2} = 0, где Sc (r) — прогиб декартового овала, n1 и n2 — показатели преломления в пространстве объекта и изображения, а s1 и s2 — расстояния объекта и изображения от вершины поверхности соответственно.
Рис. 11
Геометрические переменные, используемые для определения декартовой овальной поверхности. Все лучи от точки O объекта до точки O изображения имеют одинаковую длину оптического пути.
Декартов овал обладает свойством идеально отображать точку объекта в точке изображения с любой числовой апертурой. Однако качество изображения декартова овала быстро ухудшается для внеосевых положений поля. Аналогично построению асферической поверхности / поверхности произвольной формы zf (r), асферическая поверхность zc (r) теперь строится путем добавления полинома к базовой поверхности Sc (r) в виде
Eq.(19)
zc (r) = Sc (r) + A1r4 + A2r6 + A2r8 +…, где A представляют собой коэффициенты асферического полинома. Комбинация поверхностей zf (r) и zc (r) может использоваться для проектирования некоторых плоско-симметричных систем.В качестве примера мы представляем монолитный объектив произвольной формы, который очень напоминает монолитный объектив произвольной формы, рассмотренный Кионтке. 12 Конструкция обеспечивает вертикальный угол обзора около 25 градусов при диафрагме f / 1,4 и работает в длинноволновой инфракрасной области. Монолитный объектив изготовлен из германия.Исходная система построена с конфокальными поверхностями и включает поверхность произвольной формы zc (r) для передачи света от объекта в материал, две поверхности произвольной формы / асферические поверхности zf (r) для отклонения света в материале и дополнительные свободные поверхности. -form поверхность zc (r) для вывода света на детектор, как показано на рис. 12.
Рис. 12
Исходная конструкция монолитного объектива произвольной формы сконструирована с конфокальными поверхностями. (а) Схема и (б) графики OPD (масштаб графика 5 волн на 9 мкм).Комбинация поверхностей произвольной формы zf (r) и zc (r) позволяет добиться стигматического изображения на осевой поверхности за поверхностью.
Затем параметры декартового овала (s1 и s2), кривизны зеркала, конические константы и расстояния удаляются из оптимизации, а полиномиальные коэффициенты освобождаются в качестве переменных для компенсации внеосевых аберраций. Схема системы, воспроизведенная из статьи Кионтке, и наша окончательная схема системы представлены рядом на рис. 13. Графики OPD и точечные диаграммы нашей системы представлены на рис.14. Достигнута превосходная сбалансированная производительность при угле обзора 37 × 25 градусов.
Рис. 13
Схема монолитной конструкции объектива. (а) проект с асферическими поверхностями и поверхностями произвольной формы по Цернике, о которых сообщил Кионтке, и (б) текущий дизайн с асферическими / произвольными поверхностями zf (r) и zc (r). В текущем дизайне асферические полиномы используются для коррекции внеосевых аберраций.
Рис. 14
Характеристики изображения окончательной конструкции монолитного объектива. (а) графики OPD (масштаб графика — 1 волна при 9 мкм) и (б) точечные диаграммы при 9 мкм.Достигнута превосходная сбалансированная производительность при угле обзора 37 × 25 градусов.
В конструкции, описанной Кионтке, используются три аксиально-симметричные асферические поверхности и одна поверхность произвольной формы. Поверхность произвольной формы описывается как суперпозиция полиномов Цернике и используется для компенсации плоско-симметричных аберраций. Эти описания асферических поверхностей и поверхностей произвольной формы широко распространены. Однако выбор начальной точки для проектирования, удовлетворение всех геометрических ограничений и компенсация аберраций, вызванных нарушением вращательной симметрии оптической системы, создают проблемы для оптической конструкции.В текущем проекте геометрия системы уже определена на начальном этапе проектирования. По конструкции исходная система имеет пониженное количество аберраций поля, и для эффективной коррекции внеосевых аберраций требуются лишь небольшие асферические отклонения от провисания поверхности.
8.
Заключение
Подводя итог, мы рассмотрим методологию проектирования плоско-симметричных оптических систем и продемонстрируем асферический / произвольный профиль поверхности zf (r), построенный путем наложения конического сегмента и полинома.Мы также показываем асферический профиль поверхности zc (r), построенный суперпозицией декартова овала и полинома.
Поверхности zf (r) и zc (r) полезны для проектирования плоско-симметричных систем, в которых изображение представляет собой стигматическую поверхность за поверхностью вдоль OAR. Такие системы имеют меньшее количество полевых аберраций и ведут себя ближе к аксиально-симметричной системе. Более того, эти поверхности обеспечивают дополнительные степени свободы для уравновешивания аберраций внеосевых положений поля и позволяют компенсировать аберрации, вызванные нарушением вращательной симметрии системы.
Показан систематический метод, который обеспечивает практические и эффективные средства для определения исходной точки проектирования и позволяет проектировать плоско-симметричные системы с относительно быстрым широким полем обзора. Мы обнаружили, что этот конкретный метод и соответствующая асферическая / произвольная поверхность значительно упрощают задачу проектирования оптики. Метод был успешно применен для создания двух- и трехзеркальных светоотражающих систем с широким полем обзора и монолитного объектива произвольной формы. Достигнута отличная производительность при большом поле зрения.Метод может быть распространен на системы с наклонами поверхности в двух направлениях.
Поверхности zf (r) и zc (r) позволяют оптимизировать конструкцию или улучшить конструктивные характеристики плоско-симметричных оптических систем, обеспечивая конструкцию с эквивалентными характеристиками, но с более быстрым фокусным расстоянием или большим полем обзора, чем конструкция с обычными поверхностями. .
Поверхности произвольной формы, показанные в этой статье, нетривиальны в изготовлении и испытании. Однако недавние технологические усовершенствования позволили производить аналогичные компоненты произвольной формы.Например, дополнительные оси управления станком и усовершенствования в постобработке компонентов расширили возможности производства алмазной токарной обработки. 10 , 12
Трехмерные равновесия в аксиально-симметричных токамаках
Аннотация
Компьютерные коды NSTAB и TRAN были разработаны для изучения равновесия, стабильности и переноса в термоядерной плазме с трехмерным (3D ) геометрия. Применяемый численный метод рассчитывает островки в токамаках, таких как Doublet III-D на General Atomic и International Thermonuclear Experimental Reactor.Когда раздвоенные трехмерные решения используются в расчетах Монте-Карло времени удержания энергии, получается реалистичное моделирование переноса. Важность обнаружения множества трехмерных магнитогидродинамических равновесий в аксиально-симметричных токамаках требует внимания, поскольку их совокупный эффект может способствовать быстрой потере α-частиц или наблюдаемым сбоям и сбоям. Теория 3D предсказывает хорошие характеристики стеллараторов.
Постановка задачи
Вычислительная наука привела к значительному прогрессу в теории равновесия, устойчивости и переноса термоядерной плазмы в трех измерениях (1, 2).Это позволило разработать усовершенствованные токамаки с чистым током, создающим полоидальное поле, или стеллараторы со скрученными катушками, генерирующими вращательное преобразование, в качестве кандидатов для термоядерного реактора. Описываемое исследование основано на компьютерных кодах NSTAB и TRAN (3-5). Они позволяют рассчитывать перенос в токамаках, используя бифуркационные равновесия, не обладающие двумерной (2D) симметрией. Как для токамаков, так и для стеллараторов правильные решения соответствующих дифференциальных уравнений имеют разрывы, связанные с островами и токовыми слоями.
Мы применяем вариационный принцип магнитогидродинамики (МГД) для расчета равновесия и устойчивости тороидальной плазмы в трех измерениях. Уравнения с частными производными решаются в форме сохранения, которая правильно описывает баланс сил на островах, которые рассматриваются как разрывы. Метод был применен к токамаку Doublet III-D (DIII-D), а также к стелларатору Large Helical Device (LHD) в Японии. Сравнение с наблюдениями в обоих случаях благоприятное (6, 7).Иногда решение уравнений оказывается не единственным, и могут существовать раздвоенные состояния равновесия, которые нелинейно устойчивы, когда другие теории предсказывают линейную неустойчивость. Расчеты согласуются с высокими значениями параметра плазмы β = 2 p / B 2 , наблюдаемыми в LHD.
Код NSTAB правильно захватывает острова, несмотря на гипотезу о вложенных поверхностях, сделанную в используемом числовом алгоритме. Надежность кода была установлена путем его использования для исследования стеллараторов без давления, где, как известно, существуют острова в равновесиях, найденных из теории потенциала (8).Мы провели убедительные расчеты этого явления, в котором преобразование вращения ι меняет знак, так что там, где оно исчезает, появляется островок большого размера, но вычисления чувствительны к деталям профиля ι.
Вычислительный анализ
Трехмерные компьютерные коды являются общепринятым инструментом для изучения равновесия и устойчивости в физике плазмы. Хорошее разрешение достигается за счет реализации спектрального метода в координатах потока, описывающих тороидальную геометрию. Поскольку эксперимент LHD превысил теоретические пределы β, более точные прогнозы на основе прогонов кода NSTAB были рассмотрены в исследовании электростанции ARIES-CS (9).Найдены компактные стеллараторы с двумя или тремя периодами поля, которые обладают желаемыми для реактора свойствами (10). Катушки для двух периодов менее закручены, поскольку их расстояние от сепаратрисы меньше в единицах радиуса плазмы. Транспорт ионов и α-частиц аналогичен переносу в сопоставимом токамаке.
Наши трехмерные методы анализа равновесия, стабильности и переноса в квазисимметричных стеллараторах были применены к усовершенствованным токамакам, таким как Международный термоядерный экспериментальный реактор (ITER).Мы вычислили раздвоенные решения в осесимметричных конфигурациях токамаков и провели исследования сходимости, чтобы изучить взаимосвязь между численными приближениями с трехмерными асимметриями и более традиционной теорией, которая предполагает уникальность двумерного решения (см. Рис. 1). Физическая значимость раздвоенных равновесий была исследована, чтобы проверить утверждение о том, что перенос и быстрая потеря α-частиц в значительной степени зависят от трехмерных членов в магнитном спектре. Существует согласие между оценками переноса тепла из прогонов кода TRAN и экспериментальными наблюдениями как на токамаках, так и на стеллараторах (11).Алгоритм определения электрического потенциала по квазинейтральности в трехмерных равновесиях применяется для расчета времени удержания энергии при низких частотах столкновений.
Рис. 1.Сечение Пуанкаре потоковых поверхностей раздвоенного равновесия ИТЭР при β = 0,02 с p = p 0 (1 — s 1,1 ) 1,1 и с подведением чистого тока вращательное преобразование в интервал 0,9> 1> 0,4. В этом полностью сходящемся трехмерном решении аксиально-симметричной МГД-задачи присутствуют спиральные островки.
Форма сохранения баланса сил
Прогнозы раздутой нестабильности кажутся менее надежными, чем оценки для мод относительно низкого порядка. Поэтому мы ищем математические трудности с применяемыми численными методами. Сопоставимые задачи гидродинамики решаются с помощью конечно-разностных схем, которые захватывают ударные волны и контактные разрывы, переводя дифференциальные уравнения движения в форму сохранения (12). Мы проиллюстрируем такую теорию на одномерном примере, который моделирует пинч с обращенным полем (RFP) в геометрии плиты и помогает понять наш численный метод (10).
В NSTAB мы реализуем континуальную модель физики плазмы, которая определяется дифференциальными уравнениями для магнитного поля B , плотности тока Дж и давления жидкости p . Тензор напряжений Максвелла позволяет поставить уравнения МГД описывающий баланс сил в форме сохранения Аналогичные конечно-разностные уравнения имеют то преимущество, что когда они суммируются по испытательному объему, они превращаются в приблизительное утверждение баланса сил. за границу, что является глобально правильным.Численные расчеты слабых решений, которые таким образом улавливают разрывы на резонансных поверхностях в плазменных равновесиях, служат для моделирования важных аспектов физики, которые трудно анализировать более изощренными методами.
Теорию можно обосновать, рассмотрев упрощенный пример уравнения Бюргерса при трех граничных условиях Ψ (−1) = Ψ (1) = 0, Ψ x (−1) = 1. Это моделирует RFP, зависящий только от одной координаты x , где Ψ — поток, Ψ x — главная составляющая магнитного поля, Ψ xx — ток, а η — искусственное сопротивление.Консервативная разностная схема для уравнения Бюргерса правильно вычисляет скачки через неоднородности и, следовательно, устанавливает баланс сил на резкой границе, что происходит при x = 0 в предельном случае, когда η = 0, так что решение сводится к Ψ = 1 — | x |. Однако конечно-разностная схема для задачи RFP, которая не находится в форме сохранения, определяет неравные наклоны на противоположных концах решения, характеризующие скачок магнитного поля, так что баланс сил нарушается.Неравенства энтропии играют важную роль в приложениях этого алгоритма к гидродинамике, но для задачи физики плазмы в вычислениях преобладает вариационный принцип.
Бифуркационные равновесия токамаков
Наиболее успешные компьютерные коды для исследования равновесия и устойчивости основаны на вариационном принципе МГД. Вариационный метод естественным образом приводит к представлению магнитного поля в терминах тороидального потока с , другой функции потока θ и двух потенциалов Клебша, φ и ζ.Если нет чистого тока и ι обозначает вращательное преобразование, переменные θ + ιφ и φ можно перенормировать, чтобы они стали инвариантными полоидальными и тороидальными углами на каждой поверхности потока s = const., Где s — радиальная координата . Мы ссылаемся на коэффициенты Фурье B mn в полученном разложении как спектр магнитного поля. В этих обозначениях оказывается, что значением B mn можно в значительной степени управлять, изменяя соответствующий коэффициент Δ mn в подходящей формуле для формы плазмы.Пусть r , v / Q и z будут цилиндрическими координатами относительно большой оси нашей тороидальной конфигурации, где Q обозначает количество периодов поля. Зафиксируем внешнюю границу плазмы на с = 1 и представим ее в комплексных обозначениях рядом Фурье: где действительные коэффициенты Δ mn однозначно определяются геометрией, если полоидальный индекс m ограничен неотрицательными значениями.
Манипулируя уравнениями магнитостатики, можно показать, что для стеллараторов существует расширение для параллельного тока. В трех измерениях малые знаменатели n — ι m исчезают в плотном наборе рациональных поверхностей, где ι = n / m . Вот почему гладкие решения задачи равновесия, которые имеют трехмерную асимметрию, вообще не существуют, так что нужно только пытаться построить слабые решения, которые могут быть недифференцируемыми.Применение теоремы о расходимости устанавливает, что любая гладкая поверхность разрыва слабого раствора должна быть токовым слоем в том смысле, что это поверхность потока магнитного поля, через которую B может иметь скачки, но B 2 /2 + p остается непрерывным. Мы утверждаем, что небольшие магнитные островки могут быть смоделированы с помощью таких контактных разрывов, когда применяется адекватная конечно-разностная схема. Эти текущие листы имеют общие черты с транспортными барьерами.
Программа NSTAB была разработана для моделирования трехмерного равновесия и стабильности в токамаках и стеллараторах. Раздвоенные решения проблемы токамака предполагают, что трехмерные эффекты могут быть более важными, чем обычно думали. Наиболее замечательными примерами раздвоенных состояний равновесия являются трехмерные асимметричные решения задачи токамака с осесимметричными граничными условиями, при которых существует и двумерное решение. Слабые решения для аксиально-симметричных токамаков моделируют неоклассические режимы разрыва (NTM) и режимы с локализацией по краям (ELM), которые наблюдались в эксперименте DIII-D в General Atomic с ограниченным чистым током так, чтобы ι <1.
Трехмерные равновесия вычисляются сначала путем наложения, а затем снятия подходящего ограничения в прогонах кода NSTAB, выбранного для поиска раздвоенных решений, которые не могут быть получены без внесения прерывистых изменений в топологию магнитных поверхностей. На относительно грубых радиальных сетках вычисления позволяют захватывать небольшие островки, ширина которых того же порядка величины, что и размер ячейки. Рис. 2 показывает распад остатков и рост наиболее опасной моды в прогоне NSTAB такого типа.Видно, что невязки увеличиваются во время вычисления режима и только позже уменьшаются до уровня ошибки округления, свидетельствующей о том, что дискретная задача была решена численно.
Рис. 2.Итерации кода NSTAB к бифуркационному равновесию для задачи токамака ИТЭР с осесимметричными граничными условиями. Условие принуждения использовалось в начале прогона для запуска режима, который проявляется как разрыв в трехмерном решении (см. Рис. 1). Это вычисление с двойной точностью сходится к уровню ошибки округления, показывая, что дискретная проблема решена.
Подробные исследования сходимости были выполнены прогонов кода NSTAB, который вычисляет трехмерные решения проблемы токамака, заданные двумерными граничными условиями. Магнитные островки легче всего найти в резонансах преобразования вращения ι, которые возникают на полпути между двумя значениями в соседних узлах радиальной сетки. Результаты чувствительны к профилю ι, а также к распределению узлов сетки. Они также зависят от профиля давления, но только ожидаемым образом, который становится более выраженным с увеличением β.Кажется, что в 3D-режимах в основном используется чистый тороидальный ток. Иногда они линейно устойчивы и не приводят к бифуркационному равновесию, если они не запускаются достаточно большим вынуждающим членом с правильной тригонометрической структурой. Итерации NSTAB расходятся, когда острова имеют тенденцию перекрываться и касаться друг друга, нарушая гипотезу вложенной поверхности кода.
На рис. 3 мы отображаем поперечное сечение потоковых поверхностей раздвоенного равновесия, рассчитанное для DIII-D в General Atomic путем запуска кода NSTAB для моделирования транспортного барьера с помощью токовых слоев и островков.Мы используем профиль давления p = (1 — s 3 ) 6 с β = 0,035, который имеет крутой градиент около барьера, где есть NTM с ι = 4/5. Внутри этого ι почти постоянно, а дальше появляется еще один остров, представляющий ELM. Вычислительный метод пытается смоделировать наблюдения с помощью трехмерных возмущений при численном решении задачи МГД, определенной двумерными спецификациями, но не может точно объяснить, как создать транспортные барьеры в эксперименте.Однако размещение максимума градиента давления в правом резонансе полезно. Только различия в деталях профилей ι и p и формулы для сепаратрисы различают примеры, представленные на фиг. 1 и 3.
Рис. 3.Сечение Пуанкаре потоковых поверхностей раздвоенного равновесия DIII-D при β = 0,035 с p = p 0 (1 — s 3 ) 6 и с чистым током, переводящим вращательное преобразование в интервал 0.83> ι> 0,50. Есть острова и токовые слои, представляющие транспортный барьер при ι = 4/5, и больше островков появляется дальше, описывая ELM, в этом решении проблемы токамака с четырьмя фиктивными периодами поля стелларатора.
Мы вычислили множество бифуркационных равновесий в токамаках. Теория Колмогорова – Арнольда – Мозера (КАМ) показывает малые знаменатели на рациональных поверхностях трехмерных решений, а анализ непрерывного спектра показывает, что устойчивость токамаков сингулярна.Это согласуется с наблюдениями пилообразных колебаний, NTM и ELM, а также срывов. Желательные трехмерные решения уравнений равновесия МГД могут не существовать, могут не быть уникальными и не могут постоянно зависеть от данных. Тем не менее, успех экспериментов DIII-D и LHD укрепляет уверенность в том, что можно сконструировать магнитный термоядерный реактор. Возможно, квазисимметричный стелларатор является ответом, потому что некоторая вращательная трансформация должна исходить от внешнего магнитного поля (13). Имеются существенные численные доказательства нашего утверждения о том, что продуктивный подход к этим вопросам заключается в численном вычислении слабых решений уравнений МГД в частных производных.
Нелинейная устойчивость квазиосно-симметричных (QAS) стеллараторов
Хороший способ оценить МГД-устойчивость тороидального равновесия плазмы вариационным методом — ввести небольшое возмущение в уравнения равновесия и затем рассчитать соответствующее изменение решения . Удовлетворительная проверка нелинейной устойчивости с помощью кода NSTAB состоит в удалении вынуждающего члена после определенного количества циклов, но продолжении итераций, чтобы выяснить, можно ли построить бифуркационное решение, отличное от исходного.Отсутствие уникальности иногда служит убедительным доказательством нестабильности. Предварительно подготовленный ускоренный метод наискорейшего спуска, реализованный в NSTAB, производит возмущение решения, которое включает в себя гораздо больше структуры нестабильного режима, чем должно было быть введено смещением. В этом смысле код решает наиболее опасную собственную функцию теории линейной устойчивости, не требуя вычисления производных, которые могут не существовать. Хорошее разрешение спектрального метода в сочетании с превосходной точностью радиально-разностной схемы — вот что делает этот подход успешным на практике.
Выполнение кода NSTAB показывает, что стелларатор LHD линейно нестабилен, но остается нелинейно стабильным при β 4,3%, достигнутом экспериментально. Прогнозы баллонной устойчивости для LHD более пессимистичны, чем наши оценки на основе раздвоенных решений, рассчитанных для 1, 2, 5 или 10 периодов поля. В случае токамаков мы провели подробные сравнения с наблюдениями из эксперимента DIII-D, и есть существенное согласие. Исследование трехмерных раздвоенных равновесий, которые мы вычислили, подтверждает, что в стандартной конфигурации предел β составляет около 5%, но когда формирующие катушки используются для выталкивания плазмы внутрь и уменьшения соотношения сторон, тогда значения β> 10% могут быть достигнуто (14).
Были проведены исследования сходимости для проверки прогонов кода NSTAB, используемого для разработки стеллараторов QAS, которые таковы, что столбец B m0 доминирует в спектре. На рис. 4 показан пример, в котором невязки 10 4 дискретных уравнений были уменьшены на 10 7 итераций ускоренного метода наискорейшего спуска до уровня 10 −13 ошибки округления с двойной точностью. В конце концов на резонансной поверхности ι = 1/4 становится видимым магнитный островок.Предел β оценивается путем выполнения длинных точных прогонов, чтобы выяснить, появляются ли в растворе баллонные структуры, стабилизированные стенками. Программа применена для создания стелларатора QAS с двумя периодами поля (15). Транспорт ионов, электронов и α-частиц мало чем отличается от аналогичного токамака.
Рис. 4.Сходимость к уровню ошибки округления при численном решении приближенных уравнений МГД-равновесия стелларатора ЧАС с двумя периодами поля, показывающая, что трехмерная задача имеет точный ответ, который был вычислен Код NSTAB.Построена амплитуда МГД-моды, описывающая ширину островков, возникающих в состоянии равновесия (см. Рис. 5).
Конфайнмент и квазинейтральность
Метод Монте-Карло оценивает время удержания, отслеживая тестовые частицы в плазме и вычисляя, сколько времени требуется им для выхода. Хорошее согласие с наблюдениями достигается за счет раздельного вычисления времени удержания ионов и электронов и введения трехмерных членов, чтобы наложить квазинейтральность, чтобы результаты совпадали.В наших транспортных расчетах используется код Монте-Карло TRAN после применения кода NSTAB для расчета бифуркационных состояний равновесия, которые определяют магнитное поле в плазме. Экспериментальные данные были использованы для проверки результатов численных расчетов. При температурах 3 кэВ, наблюдаемых в эксперименте LHD, код TRAN предсказывает время удержания энергии 160 мс, что согласуется с измеренными значениями (11).
Чтобы ввести квазинейтральность как уравнение для электрического потенциала Φ, мы отбрасываем старшие производные в уравнении Пуассона, определяя его в терминах плотностей частиц n e и n i .Теория сингулярных возмущений предполагает, что результирующее требование квазинейтральности должно определять электрическое поле, даже если Φ больше не появляется в явном виде. В электрическом поле преобладает радиальный член, но небольшие трехмерные члены повышают надежность наших транспортных расчетов.
Алгоритм, реализованный в коде TRAN, решает уравнение квазинейтральности, требуя, чтобы коэффициенты Фурье плотностей n i и n e ионов и электронов совпадали.Электрический потенциал Φ раскладывается в ряд Фурье в инвариантных полоидальных и тороидальных углах θ и φ с коэффициентами P mn , измеренными в единицах температуры, которые зависят от потока s . Разделение зарядов разложено в аналогичный ряд Фурье после разделения общего количества электронов или ионов. Расчет коэффициентов Фурье C mn выполняется с использованием метода Монте-Карло для оценки ожидаемых значений подходящих тригонометрических функций.
Наша цель — определить коэффициенты P mn так, чтобы C mn = 0. Разумно ожидать, что ямы и холмы в электрическом потенциале нейтрализуют аналогичные колебания в разделении зарядов n e — n i . Естественная итерация, приводящая коэффициенты C mn к нулю, равна при подходящем выборе фактора релаксации ε. Численные расчеты с использованием этого алгоритма квазинейтральности показывают, что коэффициенты P mn относительно малых членов в Φ, которые зависят от полоидального и тороидального углов θ и φ, имитируют перенос в нашей модели за счет уменьшения времени удержания электронов τ e значительно больше времени удержания ионов τ i .
Выполнения кода TRAN сравнивались с измерениями в экспериментах на токамаках (4). Эти симуляции демонстрируют, что двухмерная модель не может объяснить наблюдения. Метод Монте-Карло учитывает сложную геометрию дрейфовых поверхностей, поэтому работает лучше. Если в расчетах трехмерные возмущения Φ и 1/ B 2 установлены равными нулю и не выполняется итерация электрического потенциала, то времена удержания не совпадают с измерениями.Однако, когда квазинейтральность успешно применяется для определения трехмерных членов, численные ответы хорошо согласуются с наблюдениями.
Среди множества раздвоенных равновесий, существующих для токамаков, реалистичными являются только те, которые удовлетворяют условию квазинейтральности. В примере на рис. 3, где для моделирования транспортных барьеров использовались бифуркационные равновесия, алгоритм квазинейтральности подразумевает, что поток плазмы, совместимый с нетривиальным электрическим потенциалом Φ, должен встречаться в соответствующих экспериментах.
Проектирование термоядерных реакторов
Мы описали приложения кодов NSTAB и TRAN к равновесию токамаков и стеллараторов с параметрами основных экспериментов. Хорошая корреляция вычислений с наблюдениями в DIII-D и LHD служит для подтверждения предсказаний о равновесии, стабильности и переносе для стелларатора QAS с двумя периодами поля. Была разработана конфигурация реактора с большим радиусом 7 м и радиусом плазмы 2,8 м. Предел β составляет 4%, и 12 умеренно скрученных катушек, определенных законом Био – Савара. обеспечить прочные магнитные поверхности с островками небольшой ширины (16).Доступ для обслуживания осуществляется через отверстия между катушками, а зазор между сепаратрисой и нитями, определяющими катушки, везде> 140 см. Теория и практика показывают, что только при обнаружении гладких катушек структура силовых линий вне плазмы становится достаточно хорошо организованной, чтобы можно было построить эффективный дивертор. Этого можно достичь, используя тщательно отфильтрованный набор гармоник при реализации закона Био – Савара.
Уточнение численного метода, реализованное в коде NSTAB, позволило получить надежную диагностику наличия магнитных островков как в токамаках, так и в стеллараторах.Когда этот метод применяется к ИТЭР, он показывает, что раздвоение равновесия может вызывать сбои или ухудшать удержание. Если повреждение будет значительным, можно переключиться на аналогичный стелларатор QAS, как оптимальную концепцию для термоядерных реакторов. В этом случае расчеты NSTAB предсказывают, что эффект островков незначителен при условии, что вращательное преобразование позволяет избежать наиболее опасных резонансов (сравните рисунки 4 и 5).
Рис. 5.Сечения потоковых поверхностей за один период поля в стеллараторе QAS, моделирующем реактор.Ток начальной загрузки увеличивает ι с 0,44 на магнитной оси до пика 0,51, но снижает его до 0,49 на краю плазмы. В растворе видны небольшие м = 4 островка, которые могут быть менее разрушительными, чем трехмерные эффекты в бифуркационном равновесии для ИТЭР.
Код TRAN был изменен для определения быстрой потери α-частиц в термоядерной плазме в условиях реактора, которая представляет собой процент α-частиц, вылетающих из плазмы в течение одного времени замедления. Образцы от 128 до 1024 частиц достаточны, чтобы дать осмысленный ответ.Для стеллараторов решающую роль в вычислениях играет спектр. Опыт показывает, что только значительное улучшение квазисимметрии, необходимое для удовлетворительного переноса тепла, приводит к потере α-частиц всего на 10%, что может быть приемлемо при конструкции реактора.
Следующим шагом в исследованиях магнитного термоядерного синтеза должен стать эксперимент, который покажет, что время удержания ионов в стеллараторе может быть увеличено до уровня, необходимого для термоядерного синтеза. Еще одной проблемой является тепловая нагрузка на первую стенку реактора, но эту проблему можно решить, введя конфигурацию стелларатора с большим аспектным отношением (17, 18).Поскольку на данном этапе остаются открытыми вопросы о возможности создания термоядерного реактора, важно помнить о преимуществах, предоставляемых полностью трехмерной геометрией, даже если это увеличивает стоимость электроэнергии. Изложенная нами математическая теория предоставляет вычислительные инструменты, позволяющие своевременно решать эти проблемы с термоядерной энергией.
Благодарности
Я благодарю Ромео Александера, Фрэнсис Бауэр, Роберта Дьюара и Гарольда Вайцнера за полезные обсуждения.Работа поддержана грантом Министерства энергетики DE-FG02-86ER53223.
Сноски
Автор: P.R.G. разработал исследование, провел исследования, проанализировал данные и написал статью.
Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.
Сокращения
- MHD,
- магнитогидродинамический;
- ELM,
- режим локализации края;
- NTM,
- неоклассический режим разрывания;
- QAS,
- квазиосно-симметричный;
- DIII-D,
- Дублет III-D;
- LHD,
- Большое спиральное устройство;
- ITER,
- Международный экспериментальный термоядерный реактор;
- RFP,
- перевернутое поле пинч.