Примеры фигур обладающих осевой симметрией: Примеры фигур, обладающих осевой и центральной симметрией?

Содержание

Примеры фигур, обладающих осевой симметрией

Фигуры, не обладающие осевой симметрией:

  • параллелограмм, но не прямоугольник и не ромб,

  • разносторонний треугольник,

  • неравнобедренная трапеция.

Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно стебля.

С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси узоры на коврах, тканях, обоях. Сим­метричны многие детали механизмов.

Осевая симметрия обладает важным свойством, сформулированным в следующей теореме.

Теорема. Осевая симметрия является движением, то есть отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние между точками.

Дано: М, N, М Sa > Mx, N Sa > N.

Доказать: MN = MXN\.

Рис. 5

Доказательство

Sa

->M 1, N

Из точек N и N\ проведем перпендикуляры NP и N1P1 к прямой ММ\. Рас­смотрим получившиеся прямоугольные треугольники
MNP и M1N1P1:

Sa

-> Ni, поэтому МО = ОМ1 и

По условию теоремы, М NO1 = O1N1, ММ1± а и NN1 ± а.

Так как перпендикуляры к одной прямой параллельны, то ММ1 || NN1. Значит, NP = N1P1 как расстояния между параллельными прямыми ММ1 и NN

1.

Так как на прямой NN1 отложены равные отрезки NO1, O1N1 и через их концы проведены параллельные прямые NP и N1P1 (NP || N1P1 как перпендику­ляры к прямой ММ1), то по теореме Фалеса РО =ОР1, значит и МР = M1P1.

Получили, что NP

= N1P1 и МР = M1P1. Следовательно, D MNP = D M1N1P1 по признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам). В рав­ных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому гипотенузы также равны, то есть MN = M1N1. Значит, расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными им точками М1 и N1
.

Возможны другие случаи расположения точек М, N и М1, N1, они пред­ставлены на рисунке 5, в каждом из них MN = M1N1.

Итак, осевая симметрия является отображением плоскости на себя, ко­торое сохраняет расстояние между точками, то есть является движением плос­кости.

Ч.т.д.

Рис. 4

Замечание. Осевую симметрию можно представить как поворот плоско­сти в пространстве на 180° вокруг оси а.

  1. Теорема Пифагора.

  2. Центральная симметрия. Определение, примеры.

Билет № 16 Теорема Пифагора

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сум­ме квадратов катетов.

b

a

b

b

b

a

Дано: прямоугольный треугольник, а, b — катеты, с — гипотенуза.

Доказать: а2 + b2 = с2.

Доказательство

Достроим треугольник до квадрата со стороной а + b так, как показано на рисунке.

Площадь S этого квадрата равна (a + b) .

С другой стороны квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников и квадрата со стороной с.

Докажем, что этот четырёхугольник, действительно, является квадратом. По построению в четырёхугольнике все стороны равны с, поэтому по признаку параллелограмма он — параллелограмм.

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90о, то Z1 + Z2 = 90о. По построению Z3 и Z4 соответственно равны Z1 и Z2, значит, Z3 + Z4 = 90

о. Z3, Z4 и Z5 образуют развёрнутый угол, поэтому Z3 + Z4 + Z5 = 180о, следовательно, Z5 = 90о.

Получили, что в параллелограмме один из углов прямой, поэтому по при­знаку прямоугольника он — прямоугольник, а так как в прямоугольнике все сто­роны равны, то он является квадратом.

Итак, площадь получившегося квадрата равна сумме площадей четырёх

прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна 2 ab, и

площади квадрата со стороной с, которая равна с2.

1 2 2 Следовательно, S = 4-2ab + c = 2ab + c .

22 b) и S = 2ab + с , отсюда,

a2 + 2ab + b2

2 i u2 2

Таким образом, S = (а

2ab + с2

a + b = с .

Итак, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Ч.т.д.

Замечание. В настоящее время насчитывается более ста различных дока­зательств теоремы Пифагора, поэтому она даже попала в Книгу рекордов Гин- неса. Однако принципиально различных идей в этих доказательствах использу­ется сравнительно немного.

Вопрос № 2

Центральная симметрия. Определение, примеры

Если каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной не­которой точке, то говорят, что дано отображение плоскости на себя.

Примером отображения плоскости на себя является центральная симмет­рия.

Две точки А и Ai называются симметричными относительно точки О,

если О — середина отрезка

АА1.

A

Построение

    1. А, О — центр симметрии;

    2. АО;

    3. ОА1 = ОА, ОА1 с ОА;

    4. А1 искомая.

А ——® А1

Пусть точка О — центр симметрии.

Возьмем произвольную точку А, и построим симметричную ей точку А1 относительно точки О.

Для этого проведем прямую АО и отложим на ней отрезок ОА1 = АО.

Точка А

1 искомая.

Z

Точка О считается симметричной самой себе: О —>О .

Если точка А совпадает с центром симметрии, то она тоже считается

Z

симметричной самой себе: А —> А.

Мы видим, что с помощью центральной симметрии каждой точке А плос­кости ставится в соответствие точка А1 этой же плоскости. При этом любая точка А1 оказывается сопоставленной некоторой точке А. Значит, центральная симметрия представляет собой отображение плоскости на себя.

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

Рис. 1

Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят, что «фигура обладает центральной симметрией».

Примеры фигур, обладающих центральной симметрией

Е2 ф

Рис. 2

Центром симметрии окружности является центр окружности.

Центром симметрии параллелограмма (прямоугольника, квадрата, ромба) является точка пересечения его диагоналей.

Прямая также обладает центральной симметрией, но в отличие от окруж­ности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии (точку О), у прямой их бесконечно много — любая точка прямой является центром сим­метрии.

Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют центр симметрии. С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, ар­хитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симмет­рией. В большинстве случаев симметричны относительно центра лепестки цве­тов, узоры на коврах, тканях. Симметричны многие детали механизмов, напри­мер, зубчатые колеса.

Центральная симметрия обладает важным свойством, сформулированным в следующей теореме.

Теорема. Центральная симметрия является движением, то есть отображе­нием плоскости на себя, сохраняющим расстояние между точками.

1

Рис. 3

ь

Дано: М, N, М — N-

Доказать: MN = MbNb.

Доказательство

Рассмотрим D OMN и D OM1N1.

Z z

По условию теоремы М M1, N N1, поэтому МО = ОМ1 и

NO = ONZ 1 = Z 2 как вертикальные.

Следовательно, D OMN = D OM1N1 по I признаку равенства треугольни­ков (по двум сторонам и углу между ними).

В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому MN = M1N1. Значит, расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными им точками М1 и N1.

Итак, центральная симметрия является отображением плоскости на себя, которое сохраняет расстояние между точками, то есть является движением плоскости.

Ч.т.д.

Замечание. Центральную симметрию можно представить как поворот всей плоскости вокруг точки О на 180°.

  1. Теорема синусов.

  2. Серединный перпендикуляр. Определение, свойство.

Осевая симметрия — виды, свойства и примеры фигур

Что такое осевая симметрия? Само слово «симметрия» имеет греческие корни и говорит о существующем определенном порядке расположения частей некого предмета, а также о его соразмерности. 

Под симметрией понимается такое качество предметов, что их можно совместить друг с другом при некоторых преобразованиях.

Что такое симметрия

Наиболее часто это понятие встречается в геометрии. Объект считается симметричным, если после некоторых геометрических преобразований он смог сохранить свои первоначальные свойства.

В качестве примера стоит рассмотреть обычный круг. Если его вращать вокруг условного центра, он сохранит свою форму и первоначальные характеристики. Поэтому этот геометрический предмет смело можно назвать симметричным.

Виды симметрии определяются возможными преобразованиями для данного объекта и его свойствами, которые в результате проведенных манипуляций должны сохраниться. В случае, когда это условие не соблюдается, можно утверждать о наличии асимметрии.

Рис. 1 Фигуры, обладающие симметричностью

Центральная симметрия

Это явление относительно некой точки. Она представляет собой преобразование множества точек пространства или поверхности, во время которого ее центр всегда постоянен и не меняет своего положения.

Данный вид симметрии предполагает, что на равном расстоянии от ее центра располагаются два предмета, например, две точки. Если провести между ними условную прямую, они будут располагаться на ее противоположных концах, а середина этой прямой и будет являться осевым центром. 

Если считать центр неподвижным и начать преобразовывать прямую (т. е. вращать ее относительно центральной точки), то точки на ее концах опишут две кривые. Все точки одной кривой будут иметь такие же симметричные точки на другой кривой.

Объекты, обладающие центром симметрии, представляют большой интерес для ученых. В геометрии насчитывается достаточно много таких объектов. К ним относятся прямые, отрезки, окружность, прямоугольник и др. Центрально симметричные объекты встречаются и в природе.

Рис. 2 Графическое представление центральной симметрии

Осевая симметрия

Это симметрия относительно прямой. В данном классе две точки симметричны относительно некой прямой, если она пересекает центр отрезка, соединяющего эти две точки и является перпендикуляром к нему. Любая точка прямой симметрична сама себе.

Рис. 3 Наглядное представление осевой симметрии

Объект симметричен относительно прямой, если все его точки имеют такие же симметричные аналоги относительно этой прямой. Она же — центр симметрии.

В качестве наглядно примера можно взять обычный бумажный лист, если его сложить пополам. Если через линию сгиба провести прямую – это и будет центром. 

Определенная точка одной половины листы имеет такую же симметричную точку на другой его части, расположенную на перпендикуляре на таком же расстоянии от осевой линии. Одна часть листа тетради является по сути зеркальным отображением другой.

Рис. 4 Примеры осевой симметрии

Фигуры, имеющие несколько осей симметрии

Есть предметы и геометрические фигуры с некоторым числом осей. Для начала в качестве примера стоит рассмотреть прямоугольник и ромб, которые имеют две такие оси.

Две оси симметрии характерны для прямоугольника. Это прямые, которые проведены через точки, являющиеся серединами его противоположных сторон.

То же самое (наличие двух осей) присуще и ромбу. Оси являются прямыми, содержащими диагонали данной геометрической фигуры.

Интерес представляет и квадрат, у которого насчитывается четыре оси. Данная фигура является одновременно и ромбом, и прямоугольником. Остальные виды параллелограммов не имеют осей симметрии вообще.

Рис. 5 Оси симметрии ромба

Единственной фигурой, у которой есть три оси симметрии, является равносторонний треугольник. Они представляют собой не что иное, как его медианы, линии соединяющие середины его сторон. Медианы равностороннего треугольник – это его и биссектрисы, и высоты.

Рис. 6 Оси симметрии равностороннего треугольника

В обычной жизни многие даже не задумываются о том, как часто они сталкиваются с различными видами симметрии. Это понятие характерно не только для мира математики. 

Симметрия встречается в мире природы, архитектуре, в мире искусства и композиции, а также в других сферах человеческой жизни.

Осознание данного факта прошло долгий путь во времени, над ним задумывались великие умы на протяжении многих столетий. С древних времен и до настоящего времени определение этого понятия прошло долгий путь развития.

Предыдущая

ГеометрияОсновные понятия геометрии — список геометрических определений, терминов и значений

Следующая

ГеометрияОбъем цилиндра — формулы и примеры расчетов

Осевая симметрия — математика, презентации

«Осевая симметрия»

МОУ СОШ № 7 г.Тверь

Лобанова Е.В.

Симметрия в переводе с греческого- «summetria» соразмерность, пропорциональность, наличие определенного порядка в расположении частей.

Осевая симметрия. Определение, примеры

Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а,

если эта прямая проходит через середину

отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для

каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также

принадлежит этой фигуре.

Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят, что «фигура

обладает осевой симметрией».

Примеры симметричных фигур

Фигуры, обладающие одной осью симметрии

Равнобедренный

треугольник

Равнобедренная трапеция

Примеры фигур, обладающих осевой симметрией

Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии.

Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно стебля.

С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике,быту.

Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией.

В большинстве случаев симметричны относительно оси узоры на коврах, тканях, обоях.

Симметричны многие детали механизмов .

Симметрия в природе :

В архитектуре:

… В гранит оделася Не ва ;

Мосты повисли над во дами ;

————————————————

Темно-зелеными са дами

Ее покрылись остро ва …

Пушкин А.С. «Медный всадник»

  • В переводе с греческого – «бегущий обратно, возвращающийся»
  • История палиндрома восходит к глубокой древности, прежде всего античности
  • Впервые появились на амфорах, вазах и других предметах сферической формы.

ВОР БОБРОВ !

НЕСУН ГНУСЕН !

ИСКАТЬ ТАКСИ”,

АРГЕНТИНА МАНИТ НЕГРА”,

ЦЕНИТ НЕГРА АРГЕНТИНЕЦ”, ШОРОХ ХОРОШ.

Афанасий Фет придумал выражение

А РОЗА УПАЛА

НА

ЛАПУ АЗОРА

Стихотворные палиндромы называли рачьими стихами.

Буквы и слова:

Некоторые буквы и слова имеют ось симметрии!

Вертикальную: Горизонтальную:

А О П Ж Т Ф М Х Н Ш В О З С К Х Е Н Э Ю

Симметрию можно обнаружить почти везде, если знать, как ее искать.

Многие народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком смысле – как об уравновешенности и гармонии.

Творчество людей во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии.

Посредством симметрии человек всегда пытался, по словам немецкого математика Германа Вейля, «постичь и создать порядок, красоту и совершенство».

Презентация «Осевая и центральная симметрии» | Презентация к уроку по математике (6 класс):

Слайд 1

ОСЕВАЯ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИИ Учебник: Мерзляк А.Г., Математика-6

Слайд 2

Проверка домашнего задания №1224

Слайд 3

№1224 А В С D

Слайд 4

Проверка домашнего задания №1228

Слайд 5

№122 8 А А B C

Слайд 6

Мысли великих… Стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражён мыслью: почему симметрия понятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. Л.Н.Толстой. http://ilya-repin.ru/master/repin9.php

Слайд 7

О чём гласит предание… В японском городе Никко находятся красивейшие ворота страны. Они необычайно сложные, со множеством фронтонов и изумительной резьбой.

Слайд 8

Но в сложном и искусном рисунке на одной из колонн некоторые из его мелких деталей вырезаны вверх ногами. В остальном, рисунок полностью симметричен. Для чего это было нужно ? Как говорит предание, симметрия была нарушена намеренно, чтобы боги не заподозрили человека в совершенстве и не разгневались на него.

Слайд 9

Не одну тысячу лет люди восторгались идеальной гексагональной формой пчелиных сот, задаваясь вопросом, как этим насекомым на инстинктивном уровне удаётся создавать форму, которую человек способен воспроизвести только при наличии линейки и циркуля? По мнению математиков, эта форма является идеальной для хранения максимально возможного количества мёда при использовании минимального количества воска. С имметричное творение является одним из самых впечатляющих в природе. Примеры симметрии

Слайд 10

Примеры симметрии Вирусы имеют симметричную форму. Принимая такую форму, они решают задачу экономии своих ресурсов для захвата клетки.

Слайд 11

Центральная симметрия

Слайд 12

Примеры центральной симметрии

Слайд 13

Пауки создают совершенные симметричные сети. Примеры симметрии

Слайд 14

Точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О , если О – середина отрезка АА 1 А А 1 О АО = ОА 1 Точка О – центр симметрии Центральная симметрия

Слайд 15

В А С О Центральная симметрия В1 А1 С1

Слайд 16

Центральная симметрия

Слайд 17

Фигуры , симметричные относительно точки (примеры)

Слайд 18

Осевая симметрия

Слайд 19

Примеры осевой симметрии

Слайд 20

Примеры осевой симметрии

Слайд 21

Примеры осевой симметрии

Слайд 22

Симметрия в архитектуре

Слайд 23

Зеркальная симметрия

Слайд 24

Осевая симметрия Одна точка называется симметричной другой относительно прямой , если данная прямая проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, и перпендикулярна к этому отрезку. В А

Слайд 25

Осевая симметрия А В С М N H

Слайд 26

Осевая симметрия

Слайд 27

Примеры фигур, обладающих одной осью симметрии Равнобедренная трапеция Равнобедренный треугольник Угол

Слайд 28

Примеры фигур, обладающих двумя осями симметрии Прямоугольник Ромб

Слайд 29

Примеры фигур, имеющих более двух осей симметрии Равносторонний треугольник Квадрат Круг

Слайд 30

Примеры фигур, не обладающих осевой симметрией Произвольный треугольник Параллелограмм Неправильный многоугольник

Слайд 31

№1247 ( а) а А В С D M N Р Х

Слайд 32

Домашнее задание: 1. №1247( б,в ) 2. Выполните 2 рисунка на листе А4: а) иллюстрирует осевую симметрию, б) иллюстрирует центральную симметрию

Урок геометрии в 10 классе. Симметрия в пространстве. Симметрия в природе и на практике.

Школа-гимназия

имени С.М. Кирова

с. ТЕПЛОКЛЮЧЕНКА

2019-2020 уч.год

Князева Ольга

Владимировна

учитель математики

Урок геометрии

В 10 классе

Тема:

«Симметрия в пространстве. Симметрия в природе и на практике»

Симметрия! Я гимн тебе пою!

Тебя повсюду в мире узнаю.

Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,

Ты в елочке, что у лесной дорожки

С тобою в дружбе и тюльпан, и роза,

И снежный рой – творение мороза.

Греческое слово симметрия буквально означает «соразмерность». Под симметрией в широком смысле понимают всякую правильность во внутреннем строении тела или фигуры.

Термин «симметрия» придумал скульптор Пифагор Регийский.

Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что она прекрасна.

Первую научную школу в истории человечества создал Пифагор Самосский .

«Симметрия – это некая «средняя мера», — считал Аристотель .

Римский врач Гален (2 в. н. э.) под симметрией понимал покой души и уравновешенность.

Термин «симметрия»-

соразмерность, пропорциональность,одинаковость в расположении частей

Симметрия

устанавливает забавное и удивительное родство между предметами, явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом , женской вуалью , рабочими привычками пчел в улье , строением пространства , рисунками ваз , квантовой физикой , лепестками цветов , делением клеток морских ежей , романскими соборами , снежинками , музыкой , теорией относительности…

Структуры кристаллов

Физика

Философия

симметрия

языки

музыка

искусство

техника

архитектура

Предметы быта

биология

центральная

осевая

симметрия

Зеркальная

Центральная симметрия

  • Центральная симметрия — отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М 1 относительно данного центра О .

Определение

  • Точки A 1 и A 2 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка A 1 A 2 , точка О- центр симметрии.
  • Говорят, что точки A 1 и A 2 — центрально симметричны.

Примеры центральной симметрии

Кактус

Шахматная доска

Свойства центральной симметрии

  • Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.
  • Фигура симметрична относительно центра симметрии, если для каждой этой точки фигуры симметричная ей точка также лежит на этой фигуре. Такая фигура имеет центр симметрии (фигура с центральной симметрией).

Геометрические фигуры, обладающие центральной симметрией

О

О

О

О

Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.

Построим треугольник A 1 B 1 C 1, симметричный треугольнику ABC относительно центра (точки) O : Дано: АВС

  А т.О-центр симметрии

О Построить: А 1 В 1 С 1

В С

  • Соединим точки  A , BC с центром  O и продолжим эти отрезки;
  • Измерим отрезки  AO , BOCO и отложим с другой стороны от точки O равные им отрезки AO = OA 1; BO = OB 1; CO = OC 1;
  • Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник A 1 B 1 C 1, симметричный данному треугольнику   ABC .

А С 1

В 1

О

В С А 1

Итак, для построения центрально симметричной фигуры надо:

  • Соединить вершины с центром O и продолжить эти отрезки;
  • Измерить полученные отрезки и отложить с другой стороны от точки O равные им отрезки;
  • Соединить получившиеся точки отрезками;
  • Получили искомую фигуру, симметричную данной.

Определение

Две точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к нему.

а – ось симметрии

(осевая симметрия)

А

а

О

А 1

  • Фигура называется симметричной относительно прямой l , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой l также принадлежит этой фигуре. Прямая l называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

l

Ф1

Ф

Алгоритм построения фигур, симметричных ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ

  • Проведём прямые, перпендикулярные оси симметрии через вершины фигуры.
  • Измерим расстояние от точки до прямой.
  • Отложим такое же расстояние на продолжении прямой, получим точки- вершины искомой фигуры.
  • Соединим эти точки.
  • Получили фигуру, симметричную данной.

Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.

Построить треугольник A 1 B 1 C 1, симметричный треугольнику ABC относительно прямой а. Дано: АВС

  А а- ось симметрии

Построить: А 1 В 1 С 1

В С

а

Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.

Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.

Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.

Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.

а

Фигура называется симметричной относительно прямой a , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре.

Осевая симметрия вокруг нас Фигуры, обладающие осевой симметрией

Фигуры, обладающие одной осью симметрии

Угол

Равнобедренный

треугольник

Равнобедренная трапеция

Фигуры, обладающие двумя осями симметрии

Прямоугольник

Ромб

Фигуры, не обладающие осевой симметрией

Произвольный треугольник

Параллелограмм

Неправильный многоугольник

Зеркальная симметрия

Перед тем, как определить понятие зеркальной симметрии, введем понятие симметричности точки относительно какой-либо плоскости.

  • Точки Р и Р′ будем называть симметричными относительно какой-либо плоскости , если прямая будет перпендикулярна плоскости и, при этом, плоскость будет делить отрезок пополам.

Зеркальная симметрия

Симметрия относительно плоскости называется зеркальной симметрией.

Зеркальной симметрией или симметрией относительно плоскости называется преобразование пространства, при котором все точки пространства переходят в симметричные им относительно этой плоскости точки.

  • Фигуру будем называть симметричной относительно какого-либо своего сечения, если при такой зеркальной симметрии фигура перейдет в себя.

Задача.

  • Постройте зеркальную симметрию тетраэдра, относительно плоскости , изображенных на рисунке.

Решение

1. Проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет перпендикулярна к плоскости.

2/ Точка A перейдет в такую точку A 1 , которая будет принадлежать прямой a. Точка B перейдет в такую точку B 1 , которая будет принадлежать прямой b. Точка C перейдет в такую точку C 1 , которая будет принадлежать прямой c.

Причем, при этом первоначальная плоскость делит отрезки пополам.

Получили тетраэдр, зеркально симметричный данному.

Дома.

  • Приготовить презентацию построения трапеции, симметричной относительно плоскости.
  • Можно и в виде исследования — на листах ватмана и бумаге А4. Сделать фото отчет.

Ответить на вопросы:

  • С какими видами симметрии вы познакомились на уроке?
  • Какие две точки называются симметричными относительно данной прямой?
  • Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой? Точки? Плоскости?
  • Какие две точки называются симметричными относительно данной точки?
  • Что такое зеркальная симметрия?
  • Приведите примеры фигур, обладающих: а) осевой симметрией; б) центральной симметрией; в) и осевой, и центральной симметрией.
  • Приведите примеры симметрии в живой и неживой природе.

Симметрия и её виды | Обучонок

1. Симметрия и ее виды

Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека. И употреблялось скульпторами ещё в 5 веке до нашей эры. Слово “симметрия” греческое, оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей”.


Его широко используют все без исключения направления современной науки. Немецкий математик Герман Вейль сказал: “Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство”. Его деятельность приходится на первую половину ХХ века. Именно он сформулировал определение симметрии, установил по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае. Таким образом, математически строгое представление сформировалось сравнительно недавно – в начале ХХ века.

1.1. Осевая симметрия

Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему (Рисунок 2.1). Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой a также принадлежит этой фигуре (Рисунок 2.2).

Прямая а называется осью симметрии фигуры.

Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

Осевой симметрией обладают такие геометрические фигуры как угол, равнобедренный треугольник, прямоугольник, ромб (Рисунок 2.3).

Фигура может иметь не одну ось симметрии. У прямоугольника их две, у квадрата – четыре, у равностороннего треугольника – три, у круга – любая прямая, проходящая через его центр.

Если присмотреться к буквам алфавита (Рисунок 2.4)., то и среди них можно найти, имеющие горизонтальную или вертикальную, а иногда и обе оси симметрии. Объекты, имеющие оси симметрии достаточно часто встречаются в живой и неживой природе.

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

В своей деятельности человек создаёт много объектов (в том числе и орнаменты), имеющих несколько осей симметрии.

1.2 Центральная симметрия


Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О — середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе (Рисунок 2.5).

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре [1].

Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм (Рисунок 2.6).

Точка О называется центром симметрии фигуры. В подобных случаях фигура обладает центральной симметрией. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма — точка пересечения его диагоналей.

Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии у прямой их бесконечно много — любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

1.3. Поворотная симметрия

Предположим, что объект совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360°/n (или кратный этой величине), где n = 2, 3, 4, … В этом случае о поворотной симметрии, а указанную ось называют поворотной осью n-го порядка.

Рассмотрим примеры со всеми известными буквами «И» и «Ф». Что касается буквы «И», то у нее есть так называемая поворотная симметрия. Если повернуть букву «И» на 180° вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой.

Иными словами, буква «И» симметрична относительно поворота на 180°. Заметим, что поворотной симметрией обладает также буква «Ф».

На рисунке 2.7. даны примеры простых объектов с поворотными осями разного порядка – от 2-го до 5-го. [3]

Перейти к разделу: 1.4. Зеркальная симметрия

определение, свойства, обозначение, фигуры обладающие симметрией

Что такое осевая симметрия в геометрии 

Симметрия – это свойство геометрических фигур отражаться. Симметрия относительно точки называется центральной. Осевая симметрия – это симметрия относительно прямой.

Если точка A и точка B симметричны относительно прямой n, то прямая называется осью симметрии n и проходит через середину отрезка AB. Обозначение осевой симметрии – Sn, таким образом симметрия точек A и B обозначается так:

Sn (А) = В.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Другое название осевой симметрии – вращательная – применяется в естественных науках. Данное понятие означает отражение предметов касательно поворотов вокруг прямой.

Свойства осевой симметрии

  1. Осевая симметрия переводит прямую в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок, плоскость в плоскость.
  2. Неподвижными являются: ось симметрии и все точки на ней, все прямые и плоскости, перпендикулярные оси симметрии.
  3. Обратное преобразование осевой симметрии есть та же осевая симметрия.
  4. Осевая симметрия – это поворот относительно оси симметрии на 180°.

Теорема и доказательство

Теорема

Осевая симметрия – это движение, то есть при преобразовании осевой симметрии расстояние между точками сохраняется. 

Если отрезок MN симметричен отрезку M1N1  относительно прямой a, то MN = M1N1

Чтобы доказать, что MN = M1N1, сделаем дополнительные построения:

  • P – это точка пересечения MMи прямой a;
  • Q – это точка пересечения NNи прямой a; 
  • построим отрезок MK, перпендикулярный NN1;
  • тогда точка K отразится в точку K1.

Докажем, что прямоугольные треугольники MNK и M1N1K1 равны. Стороны MN и M1Nявляются гипотенузами данных треугольников, поэтому, нужно доказать равенство катетов.

МК = М1К1 , так как перпендикулярны к параллельным прямым.

По построению:

NK = NQ – KQ,

N1K= N1Q – K1Q. 

Точка N отобразилась в точку N1,  значит:

NK = N1K1.

Итак, треугольники равны по двум катетам, следовательно, их гипотенузы равны, то есть  MN = M1N1, что и требовалось доказать.

Фигуры, обладающие симметрией

Осевой симметрией обладает угол, а биссектриса является осью симметрии.

Пример №1

Из произвольной точки одной стороны угла опустим перпендикуляр к биссектрисе и продлим его до другой стороны угла:

Рассмотрим Δ KAO и Δ MAO:

  • AO – общая сторона
  • Из свойства биссектрисы: ∠ MAO = ∠KAO
  • Треугольники KAO и MAO прямоугольные,

Отсюда следует, что KO = OM, поэтому точки K и M симметричны касательно биссектрисы угла.

Следовательно, равнобедренный треугольник тоже симметричен относительно биссектрисы, проведенной к основанию.

Пример №2

Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии – биссектрисы, медианы, высоты каждого угла:

Пример №3

У прямоугольника две оси симметрии. Каждая из них проходит через середины противоположных сторон.

Пример №4

Ромб обладает двумя осями симметрии – это прямые, содержащие его диагонали.

Пример №5

Квадрат имеет 4 оси симметрии, так как он одновременно и ромб, и прямоугольник.

Пример №6

У окружности бесконечное множество осей симметрии – это все прямые, проведенные через центр круга.

Симметрия в повседневной жизни

Симметрия стала частью жизни человека уже в древние времена. Орнаменты с признаками зеркального отражения встречаются на античных зданиях, древнегреческих вазах. Свойство пропорционального расположения заимствовано в науку из природы. 

Зеркальное отражение часто встречается в живой и неживой природе. Этой характеристикой обладают снежинки. В растительном мире одинаково расположены противоположные элементы растений: большинство листьев зеркально отражаются сравнительно среднего стебля. В животном мире законы симметрии проявляются в наличии у животных правой и левой сторон. Большинство представителей фауны обладает парными частями тела: уши, лапы, глаза, крылья, рога. Ярким образцом зеркальной симметрии считается бабочка. Прямая, условно проведенная вдоль туловища насекомого по центру, является осью симметрии.

Поскольку человек – это часть природы, в своем творчестве он использует принцип симметрии. В искусстве свойство отражения применяется для создания красоты и гармонии. В архитектуре пропорциональность выполняет практическую функцию – придает зданиям устойчивость и надежность. В предметах быта можно встретить одинаковость в расположении частей узоров на коврах, принтов на ткани, рисунков обоев.

Стремление к созданию симметричного, предположительно, связано с притяжением Земли – гравитацией. Человек интуитивно считает симметрию формулой устойчивости. Принцип зеркального отражения играет важную роль в человеческой жизни. Тяга к гармонии и красоте побуждает человечество придерживаться правил пропорциональности.

Типы симметрии: вращательная симметрия (а) и примеры осевой …

Контекст 1

… формы с соответствующими симметриями визуализированы на рис. 6. Неизбыточная часть каждой формы отмечена апельсин. В этой работе мы фокусируемся на вращательных отражениях с 2n-кратным углом поворота, что означает, что форма создается путем отражения своей неизбыточной части относительно n 2 N повернутых осей, которые пересекаются в начале координат. Этот тип симметрии включает особые случаи, такие как осевая симметрия в…

Контекст 2

… на рис. 6. Неизбыточная часть каждой фигуры отмечена оранжевым цветом. В этой работе мы фокусируемся на вращательных отражениях с 2n-кратным углом поворота, что означает, что форма создается путем отражения своей неизбыточной части относительно n 2 N повернутых осей, которые пересекаются в начале координат. Этот тип симметрии включает особые случаи, такие как осевая симметрия на рис. 6 (b-e), а также радиальная симметрия для n! 1 (см. Рис. 6 (а)). Затем мы выводим явные формулы для подходящих функций агрегирования T (¢) для двух и трех…

Контекст 3

… оранжевым. В этой работе мы фокусируемся на вращательных отражениях с 2n-кратным углом поворота, что означает, что форма создается путем отражения своей неизбыточной части относительно n 2 N повернутых осей, которые пересекаются в начале координат. Этот тип симметрии включает особые случаи, такие как осевая симметрия на рис. 6 (b-e), а также радиальная симметрия для n! 1 (см. Рис. 6 (а)). Затем мы выводим явные формулы для подходящих функций агрегирования T (¢) для двух и трех…

Контекст 4

… Случаи: Общая функция агрегирования (24) для вращательных отражений включает несколько частных случаев. Например, учитывая симметрию отражения относительно оси z 2 (см. Рис. 6 (e)), неизбыточная часть представляет собой полуплоскость, а агрегация …

Контекст 5

… указывает z в соответствии с его абсолютными значениями j: j в z 1. Аналогично, функция агрегирования для 2-осевой симметрии (см. Рис. 5 и рис. 6 (d)) отображает каждую точку z в первый квадрант, соответственно…

Контекст 6

… иллюстрация левого RHM в первой строке фиг. 7 показывает пример этих подформ. Обратите внимание, что согласно определению только одна точка каждой подформы находится в неизбыточной части (см. Рис. 6). На основе этих подформ исходный SDM (10) теперь может быть аппроксимирован RHM. Аппроксимация SDM с помощью RHM: чтобы определить желаемую RHM, нам нужно указать функцию формы gs ¤ (x, z), которая возвращает минимальное расстояние от точки z до подформы ˜Zsubshape˜ subshape˜Z (x, s ¤ ), а также распределение p (s ¤).An …

Context 7

… try превосходит обычный подход для всех чисел коэффициентов. Введение второй оси симметрии дает преимущество по сравнению с 1-осевым подходом до семи коэффициентов, поскольку дополнительная симметрия дает возможность захвата более высокой степени детализации формы при сохранении количества параметров. Это особенно хорошо видно на рис. 16 (c), где 2-осевая принимает разумную форму при использовании только трех коэффициентов Фурье.1-осевая модель (и общий подход) не способны представить форму до того, как пять (семь соответственно) параметров равны …

Симметрия отражения

Симметрия отражения

Симметрия отражения (иногда называемая Симметрия линии или Симметрия зеркала ) легко увидеть, потому что одна половина является отражением другой половины.

Вот моя собака «Пламя» сделала ее мордочку идеально симметричной
с небольшим количеством магии фотографии.

Белая линия по центру — это линия симметрии
(также называемая «зеркальной линией»)

Отражение в этом озере также имеет симметрию, но в данном случае:

  • Линия симметрии проходит слева направо
  • это не идеальная симметрия, потому что изображение немного меняется из-за поверхности озера.

Линия симметрии

Линия симметрии (также называемая зеркальной линией ) может находиться в в любом направлении .

Но есть четыре общих направления, и они названы в честь линии, которую они образуют на стандартном графике XY.

См. Эти примеры (изображение было создано с помощью Symmetry Artist):

Плоскости

Не все фигуры имеют линии симметрии или могут иметь несколько линий симметрии. Например, треугольник может иметь 3 или 1 или без линий симметрии:

Равносторонний треугольник
(все стороны равны,
все углы равны)
Равнобедренный треугольник
(две стороны равны,
два угла равны)
Чешуйчатый треугольник
(без равных сторон,
без равных углов)
3 Линии симметрии 1 Линия симметрии Нет Линии симметрии

Я собрал еще несколько примеров на Линии симметрии плоских форм.

методов моделирования (метод конечных элементов), часть 2

Перемещаемые элементы

Перемещаемые элементы также могут привести к несовместимости сетки , как показано на рисунке 11.14. Несмотря на то, что порядок функций формы этих соединенных элементов одинаков, смещение может привести к несовместимой деформации кромок между узлами 1 и 2, а также 2 и 3, как показано пунктирными линиями на рисунке 11.14. Это связано с тем, что при сборке элементов МКЭ требует только непрерывности перемещений (а не производных) в узлах между элементами.

Метод решения проблемы несовместимости сетки смещающих элементов состоит в том, чтобы убедиться, что в сетке нет смещающих элементов. Большинство генераторов сеток не предназначены для создания такой сетки элементов. Однако при создании сетки вручную необходимо соблюдать осторожность.

Рисунок 11.14. Несовместимая сетка, вызванная смещением по общему краю элементов одного порядка.


Использование симметрии

Многие структуры и объекты обладают той или иной формой симметрии. На рисунке 11.15 показаны различные типы общей структурной симметрии. Такие предметы, как напитки, могут демонстрировать осевую симметрию, и даже огромные конструкции, такие как Эйфелева башня в Париже, демонстрируют зеркальную симметрию. Опытный аналитик в полной мере воспользуется преимуществами такой симметрии в структурах, чтобы упростить процесс моделирования, а также уменьшить глубину резкости и, следовательно, время вычислений, необходимое для анализа.Представьте себе полную конечно-элементную модель Эйфелевой башни, состоящую, скажем, из 100 000 элементов. Из-за зеркальной симметрии можно фактически выполнить анализ, моделируя только четверть всей конструкции, а количество элементов сократится до 25 000 элементов. Общее количество степеней свободы системы также будет уменьшено до четверти. Используя уравнение. (11.1) с a = 3, можно найти, что время ЦП будет уменьшено до (1/4) 3 = (1/64) -го времени, необходимого для решения полной модели. Значение ошеломляет! Кроме того, поскольку требуется только квартальная модель, время, необходимое аналитику для создания модели, также сокращается.Кроме того, точность анализа может быть улучшена, поскольку система уравнений становится намного меньше, и численная ошибка в вычислениях уменьшится. Однако для полного использования структурной симметрии необходимо использовать соответствующие методы. В этом разделе будут рассмотрены некоторые из этих методов.

Зеркальная или плоская симметрия

Зеркальная симметрия — это симметрия относительно определенной плоскости , и это наиболее распространенный случай симметрии. Половина конструкции является зеркальным отражением другой.Положение зеркала называется плоскостью симметрии. Считается, что конструкция имеет зеркальную структурную симметрию, если есть симметрия геометрии, условий опоры и свойств материала. Многие реальные структуры демонстрируют этот тип симметрии. Некоторые из этих структур фактически симметричны относительно определенной плоскости, в то время как другие симметричны относительно нескольких плоскостей. Возьмем, например, кубический блок, показанный на рис. 11.16. Фактически можно использовать свойство симметрии в одной плоскости и моделировать половину модели, или можно использовать свойство симметрии в двух плоскостях, чтобы дополнительно уменьшить модель конечных элементов до четверти исходной структуры.Фактически, большее количество плоскостей симметрии также может быть использовано для моделирования только одной восьмой модели, и в этом случае это будет аналогично случаю циклической симметрии, который будет обсуждаться позже.

Рассмотрим симметричное 2D-тело, показанное на рис. 11.17 . 2D твердое тело симметрично относительно оси симметрии x = c. Правая половина области моделируется с наложением следующих симметричных граничных условий в узлах на оси симметрии:

Рисунок 11.15. Различные типы структурной симметрии.

Рисунок 11.16. Моделирование кубического блока с двумя плоскостями симметрии.

Рисунок 11.17. 2D твердое тело с осью симметрии при x = c. Правая половина области моделируется с наложением симметричных граничных условий в узлах на оси симметрии.

, где ui (i = 1, 2, 3) обозначает смещения в направлении x в узле i.Уравнение (11.2) дает набор уравнений одноточечного ограничения (SPC), потому что в каждом уравнении участвует только одна неизвестная (или одна степень свободы). Этот тип SPC может быть просто наложен путем удаления соответствующей строки и столбца в уравнениях глобальной системы, как показано в примерах 4.1 и 4.2.

Условия нагрузки на симметричную конструкцию также должны быть приняты во внимание. Нагрузка считается симметричной, если нагрузка также может «отражаться» от конкретной плоскости, как показано на рисунке 11.18. В этом случае задача является симметричной, потому что вся конструкция, ее условия опоры, а также ее нагрузка симметричны относительно плоскости x = 0. Анализ половины всей балочной конструкции с использованием симметричного граничного условия в x = 0 даст такое же полное решение, как и полная модель, с затратами не менее четверти усилий.

Проблема также может быть антисимметричной , если конструкция симметрична, но нагрузка антисимметрична, как показано на рисунке 11.19. Опять же, моделирование половины конструкции также может дать полное решение с использованием антисимметричного граничного условия, которое будет другим в плоскости симметрии. В простом примере, показанном на рис. 11.19, антисимметричное граничное условие состоит в том, что деформация в плоскости симметрии равна нулю. Обратите внимание, что вращение в плоскости симметрии не обязательно должно быть нулевым, в отличие от случая симметричной нагрузки.

Рисунок 11.18. Симметричная балочная конструкция с простой опорой.

Рисунок 11.19. Антисимметричная балочная конструкция с простой опорой.

Следующие общие правила могут применяться при определении граничных условий в плоскости симметрии. Если проблема симметрична, как показано на рисунке 11.18, то:

1. Компоненты поступательного смещения, нормальные к плоскости симметрии, отсутствуют.

2. Компоненты вращательного смещения относительно оси, параллельной плоскости симметрии, отсутствуют.

Таблица 11.2. Граничные условия для симметричного нагружения

Плоскость симметрии

u

v

Вт

xy

Бесплатно

Бесплатно

Исправить

Исправить

Исправить

Бесплатно

года

Исправить

Бесплатно

Бесплатно

Бесплатно

Исправить

Исправить

zx

Бесплатно

Исправить

Бесплатно

Исправить

Бесплатно

Исправить

Таблица 11.3. Граничные условия для антисимметричного нагружения

Плоскость симметрии

u

v

Вт

xy

Исправить

Исправить

Бесплатно

Бесплатно

Бесплатно

Исправить

года

Бесплатно

Исправить

Исправить

Исправить

Бесплатно

Бесплатно

zx

Исправить

Бесплатно

Исправить

Бесплатно

Исправить

Бесплатно

Если проблема антисимметрична, как показано на рисунке 11.19, затем:

1. Компоненты поступательного смещения, параллельные плоскости симметрии, отсутствуют.

2. Компоненты вращательного смещения относительно оси, перпендикулярной плоскости симметрии, отсутствуют.

Таблицы 11.2 и 11.3 дают полный список условий симметрии и антисимметрии для общих трехмерных случаев.

Любую нагрузку можно разделить на симметричную нагрузку и антисимметричную нагрузку, поэтому, пока конструкция является симметричной (по геометрии, материалам и граничным условиям), всегда можно воспользоваться преимуществом симметрии.Теперь рассмотрим случай, показанный на рис. 11.20 (a), где балочная конструкция с простой опорой является симметричной конструктивно, но нагрузка асимметрична (ни симметрична, ни антисимметрична). Конструкцию всегда можно рассматривать как комбинацию (а) одной и той же конструкции с симметричной нагрузкой и (б) той же конструкции с антисимметричной нагрузкой. В этом случае необходимо решить две задачи, каждая из которых имеет половину числа степеней свободы, если моделируется вся конструкция. Одна из проблем симметрична, а другая антисимметрична.

На рис. 11.21 показан более сложный пример того, как каркас с асимметричными условиями нагружения может быть проанализирован с использованием половины каркаса с симметричными и антисимметричными условиями. Сложение одной проблемы одной и той же конструкции, подвергающейся симметричной нагрузке, с другой проблемой той же конструкции, подверженной антисимметричной нагрузке, эквивалентно анализу полной структуры кадра с асимметричной нагрузкой. В этом примере фактически есть элемент рамы, который находится в плоскости симметрии.Свойства этого элемента рамы на плоскости симметрии также необходимо уменьшить вдвое для двух половинных моделей. Это означает, что все свойства, которые влияют на матрицу жесткости этого элемента, необходимо уменьшить вдвое. Если это динамический анализ, то плотность тоже нужно уменьшить вдвое.

Динамические задачи также могут быть решены в аналогичным образом с использованием симметричных или антисимметричных свойств, например, если симметричные граничные условия накладываются на простую балочную конструкцию и выполняется анализ собственных частот.

Рисунок 11.20. Симметричная балочная конструкция с простой опорой, подверженная асимметричной нагрузке. а) конструкция с асимметричной нагрузкой; б) та же конструкция с симметричной нагрузкой; (c) та же конструкция с антисимметричной нагрузкой.

Полученные собственные частоты будут соответствовать только симметричным модам. Чтобы получить антисимметричные режимы, к модели необходимо применить антисимметричные граничные условия. На рисунке 11.22 показаны симметричные и антисимметричные условия для анализа вибрации в балке с простой опорой.

Рисунок 11.21. Использование симметрии для анализа симметричного каркаса с асимметричной нагрузкой.

Рисунок 11.22. Использование симметричных и антисимметричных условий для анализа свободных колебаний.

Осевая симметрия

Говорят, что твердое тело или структура обладают осевой симметрией , когда твердое тело может быть создано путем вращения плоской формы вокруг оси. Следовательно, такое твердое тело можно смоделировать, просто используя специальный тип 2D или 1D элемента, называемый осесимметричным элементом.Таким образом, трехмерное твердое тело можно смоделировать, просто используя одномерные или двухмерные элементы, что значительно снизит затраты на моделирование и вычисления. Например, цилиндрическая оболочка может быть смоделирована с использованием одномерных осесимметричных балочных элементов, как показано на рисунке 11.23. На рис. 11.24 показан пример трехмерного твердого тела под действием осесимметричных нагрузок, которое можно моделировать с помощью двухмерных осесимметричных элементов.

Рисунок 11.23. Цилиндрическая оболочка, смоделированная с использованием осесимметричных элементов ID.

Рисунок 11.24. Трехмерная конструкция, смоделированная с использованием двухмерных осесимметричных элементов.

Формулировка осесимметричных элементов 1D или 2D очень похожа на элементы 1D или 2D, разработанные в предыдущих разделах, за исключением того, что все уравнения должны быть выражены в полярной системе координат, а не в декартовой системе координат. использование осесимметричных элементов требует меньше вычислительных ресурсов по сравнению с полной трехмерной дискретизацией.Осесимметричные элементы легко доступны в большинстве программных пакетов конечных элементов, и использование этих элементов аналогично их аналогу обычных 1D или 2D элементов.

Подобно задачам плоской симметрии, нагрузки, прикладываемые к осесимметричной конструкции, не должны быть осесимметричными или осесимметричными. Любая осевая асимметричная нагрузка может быть выражена в виде наложения Фурье как осесимметричных, так и осевых антисимметричных компонентов в направлении θ (см. Рисунок 11.23). Следовательно, проблема всегда может быть разделена на два набора осесимметричных и аксиальных антисимметричных задач, если конструкция является осесимметричной (по геометрии, материалу и граничной опоре).

Рисунок 11.25. Репрезентативная ячейка изолирована от циклической симметричной структуры и условий циклической симметрии на ячейке.

в осевом направлении | Примеры предложений

axially пока нет в Кембриджском словаре.Ты можешь помочь!

В данной статье методом последовательного усечения рассматривается стационарное течение , осесимметричное по оси , возникающее за счет вращающейся сферы в неподвижной жидкости. Отправной точкой для этого механизма является связывание дикислорода экваториально, а тирозин аксиально с медным центром. Более того, намагниченный по оси плазменный столб , окруженный диэлектриком или свободным пространством, способен направлять волны, распространяющиеся в этом диапазоне частот.Нелинейная эволюция приводит к аксиально- периодическим сериям обрушений волн, которые ограничиваются тонкой оболочкой вокруг стабильного стержня пинча. В статье исследуются осесимметричные задачи. Однако на практике предложенная схема отличается от нее тем, что является трехмерной, и предполагается, что она состоит из отдельных, аксиально -симметричных круглых каналов.Таким образом, на рисунке 4 (а) мы видим образование двухслойного аналога триполярной структуры из аксиально-симметричного вихря . В случае осесимметричного вихря вновь образованные диполи расходятся в произвольных направлениях, тогда как здесь это предопределено исходной конфигурацией. Оба крайних значения представляют собой аксиально- симметричный поток, нижний поток обтекает сферу, а верхний поток внутри круглой трубы.Мы ограничиваемся рассмотрением аксиально-симметричных решений и рассматриваем модели с вихрями и без них. При достаточном расстоянии, когда фронт ударной волны находится в радиальном движении, магнитный поршень все еще перемещается в осевом направлении . Предполагается, что струя жидкости перемещается на в осевом направлении на , в то время как воздушный поток имеет как осевую, так и тангенциальную составляющие скорости.Это соответствует 160 ячейкам в осевом направлении, и 5 ячейкам в радиальном направлении через исходную оболочку. Когда = 0, существует аксиально- независимый поток, и пары ячеистых потоков могут раздваиваться от этого «тривиального» потока. Следовательно, было физически возможно, что эффекты заикания будут локализованы на очень коротком расстоянии в осевом направлении .Казалось бы, можно развить аналогичные теории для других тел обтекания, как двумерных, так и осесимметричных . Первый плоский и однородный в плоскостях, параллельных поверхности, а второй — осесимметричный . Электроны, достигнув оси, будут выходить в осевом направлении через отверстие в аноде.Пространства соединены в осевом направлении двойными стеклянными дверями, решающим порогом.

Эти примеры взяты из корпусов и из источников в Интернете. Любые мнения в примерах не отражают мнение редакторов Cambridge Dictionary, Cambridge University Press или его лицензиаров.

axially еще нет в Кембриджском словаре.сообщение}}

Выберите часть речи и введите свое предложение в поле «Определение».

{{/сообщение}} Часть речи

Выберите существительное, глагол и т.