Рабочая тетрадь Создаю проект: русский язык, лититературное чтение, математика, окружающий мир. 3 класс. Учебное пособие. | 978-5-09-058757-0

Стоимость товара может отличаться от указанной на сайте!
Наличие товара уточняйте в магазине или по телефону, указанному ниже.

г. Липецк, пл.Плеханова, д. 7

8 (4742) 47-02-53

г. Воронеж, ул. Ленинский проспект д.153

8 (473) 223-17-02

г.

Воронеж, ул. Хользунова, д. 35

8 (473) 246-21-08

г. Воронеж, ул. Пушкинская, 2

8 (473) 300-41-49

г. Липецк, ул.Стаханова,38 б

8 (4742) 78-68-01

г.Старый Оскол, мкр Олимпийский, д. 62

8 (4725) 39-00-10

Темы проектов в начальной школе 3 класс

Внимание! Мы также предлагаем бесплатно скачать нашу обучающую игру-тренажер
Таблица умножения для 3 класса в мультиках.

Школьникам, ищущим темы для исследований, предлагаем интересные

темы проектов в начальной школе 3 класс по различным направлениям, сферам деятельности и школьным предметам.

Среди данных тем можно подобрать тему проекта для начальной школы 3 класс о комнатных и дикорастущих растениях, животных и насекомых, природных явлениях, о своем городе или поселке и их достопримечательностях.

В списке ниже можно найти темы исследовательских проектов в начальной школе 3 класс по русскому языку, математике, музыке, экологии, основам здоровья и другим предметам.

Также можно выбрать темы проектов для начальных классов 3 класс о детском сленге, народных музыкальных инструментах, о пословицах и поговорках, о театре и компьютерных играх, на составление ребусов и кроссвордов, создание поделок.

Темы творческих проектов для 3 класса

Интересные темы проектов для учащихся 3 класса начальной школы:

Влияет ли детская зубная паста на прочность зубов?
Влияние экологии на жизнь растений.
Гиппеаструм на моем окне
Детский сленг младшего школьника.
Забытые глаголы.
Имена мультипликационных персонажей в ребусах
Имена сказочных персонажей в кроссвордах
Инструменты симфонического оркестра.
История имени моей улицы.
История простого колокольчика.
Казахские народные музыкальные инструменты
Как стать здоровым?
Колокольные звоны
Компьютер или книга – что лучше?
Компьютерные игры для малышей.
Кто не может жить без «НЕ»?
Лучшие хитрости маскировки животных.
Лучшие хитрости маскировки насекомых.
Любимые уголки моего города.
Мое меню для школьной столовой
Может ли вода течь вверх?
Мои плавающие питомцы
Мои полезные поделки из мусора.
Молния. Бояться или понять?
Музыка белорусского народа
Насекомые-инопланетяне.
Невиданные животные.
Необычные логические задачки
Необычные растения в природе.
Обниму березку русскую
Омофоны в русском языке.
Памятники моего города.
Пиктография в современной жизни
Пословицы и поговорки о труде
Редкий зверек Орешниковая соня
Рондо — танец или бег по кругу
Символика нашего класса.
Слова-паразиты в детской речи.
Старинные способы умножения
Существуют ли одинаковые снежинки
Так ли важен утренний завтрак?
Так ли страшны медведи
Театр теней: от идеи от воплощения
Удивительные свойства обычного каменного угля.
Флюгера на страже погоды
Хоть пчелка не велика, но велики ее дела.
Школьный портфель в прошлом и настоящем.

Темы проектов о профессиях

Людям каких профессий нужны краски?
Поэты о труде крестьянина.
Кто делает города (сёла, деревни) красивыми?

Что произойдёт, если исчезнет профессия… (название профессии)?
Есть ли в профессии хлебороба (или другой) красота и поэзия?
История моей рубашки (брюк, носков).

Рекомендуем также выбрать:
Тему проекта в начальной школе
Готовые проекты для 3 класса

Если Вы хотите разместить ссылку на страницу с Темами проектов в начальной школе 3 класс, установите у себя на сайте, блоге или форуме один из кодов:

Код ссылки на страницу Темы проектов в начальной школе 3 класс:
<a href=»http://tvorcheskie-proekty. ru/node/519″ target=»_blank»>Темы исследовательских проектов в начальной школе 3 класс</a>

Код ссылки на ваш форум:
[URL=http://tvorcheskie-proekty.ru/node/519]Темы проектов для начальных классов 3 класс[/URL]

Если страница Вам понравилась, поделитесь в социальных сетях:

Мини-проект по математике. Задачи расчеты. 3 класс.

Проект «Задачи- расчеты»был создан в рамках проектной деятельности по математике 3 класса по ФГОС второго поколения.Он помогает расмотреть и решить  задачи-расчеты, которые используются в повседневной жизни человека, уметь использовать приобретенные навыки. Закреплять знания по таблице умножения в разных выражениях, решения задач и выполнять вычисления.

Просмотр содержимого документа
«Мини-проект по математике. Задачи расчеты. 3 класс.»

ПРОЕКТ

ПО МАТЕМАТИКЕ

 «ЗАДАЧИ — РАСЧЁТЫ »

Проект выполнила Дробышева Татьяна Владимировна

учитель первой квалификационной категории

Белоярской СОШ №2

г.

Белоярский

МИНИ-ПРОЕКТ

ПО МАТЕМАТИКЕ

 «ЗАДАЧИ — РАСЧЁТЫ »

ЦЕЛЬ ПРОЕКТА:

-выяснить, сколько времени в месяц  у меня уходит на занятия английским языком: включая  занятия в ДЮЦ, уроки в школе  и дома.

 ЗАДАЧА:

Урок английского языка в школе длится -45 минут,

занятие ДЮЦ проходит- 40 минут,

домашнее задание я готовлю — 1 час.

Хватит ли мне в месяц  30 часов для занятий английским языком?

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ:

1. Урок в школе длится 45 минут.  В одну неделю -2 урока. В месяце- 4 недели. Значит, 45*2*4=360мин.=6ч.

2.  Занятие в ДЮЦ длится -40 минут. В ДЮЦе в неделю 3 занятия. В месяце- 4 недели. Значит, 40*3*4=480 мин.=8ч.

3. Домашнее задание я готовлю — 1 час. Значит, 1*2*4=8ч.

Теперь складываем время, затраченное на занятиях в ДЮЦе, школе и занятия дома.

1. Итого,  6+8+8=22ч.

ВЫВОД: я занимаюсь английским языком 22 часа в месяц.

Значит, 30 часов мне хватит для занятий английским языком.

                               

Канакина. 3 класс. Учебник №2. Наши проекты. Имена прилагательные в загадках с. 90

Наши проекты. Имена прилагательные в загадках

• Загадка – один из древнейших жанров устного народного творчества. Слово загадка произошло от слова «гадати», что в переводе со старославянского языка означает «думать, размышлять».
  
  В загадках часто используются имена прилагательные. По признакам загаданного предмета можно отгадать сам предмет.

1. Прочитайте загадки.

Маленькие зверьки,
Серенькие шубки,
Остренькие зубки. (Мышки)

Клейкие почки,
Зелёные листочки.
С белой корой
Стоит над горой. (Берёза)

Тоненькое, кругленькое,
Сердце чёрненькое.
Кто его след видит,
Мысли его читает. (Карандаш)

Частый, зубастый,
Вцепился в чуб вихрастый. (Гребень)

2. Какие имена прилагательные помогают отгадать эти загадки? Какие признаки загаданного предмета они обозначают?

1. Маленькие, серенькие, остренькие. 2. Клейкие, зелёные листочки, с белой. 3. Тоненькое, кругленькое, чёрненькое. 4. Частый, зубастый, вихрастый.

Проведите в классе конкурс загадок. Придумайте свои загадки, используя в них имена прилагательные. Нарисуйте к загадкам картинки.

Круглые, квадратные,
Для глаз очень приятные.
Лучше видеть помогают,
Умным имидж поднимают. (Очки)

Зелёный и чёрный
Большой мяч футбольный.
Внутри ярко-красный
И вкусный ужасно. (Арбуз) 

Коричневый и бурый
Лежит он под сосной,
А летом ест малину
И мёд у пчёл весной. (Медведь)

Зелёные подружки
Живут в болоте, в тине.
А спят эти квакушки
В кувшинках на перине. (Лягушки)

Ответы по русскому языку. 3 класс. Учебник. Часть 2. Канакина В. П.

Ответы по русскому языку. 3 класс

4.3 / 5 ( 84 голоса )

Темы проектов для 3 класса

В данном разделе представлены темы исследовательских работ и проектов для 3 класса, которые рассчитаны на развитие логического и образного мышления у ребенка, способности анализировать приобретенные знания, делать выводы и формировать собственную точку зрения.

Мы распределили наиболее интересные темы исследовательских проектов для учащихся 3 класса по предметам, по литературному чтению, окружающему миру, математике, русскому языку, технологии и ИЗО (изобразительному искусству) в школе.

В данном разделе учащимся предлагаются темы проектов для 3 класса начальной школы, которые способствуют формированию у учащихся исследовательской позиции, собственного мнения об изучаемом предмете, подкрепленного научными фактами и собственными опытами.

Представленные темы исследовательских работ для 3 класса начальной школы интересны учащимся, дают возможность проведения увлекательного исследования, более углубленного изучения выбранной темы планируемого проекта.

Приведенные ниже темы проектных работ литературному чтению в 3 классе по желанию могут быть видоизменены и расширены школьниками или в результате консультации руководителя проекта, как правило являющегося учителем класса. Название научно-исследовательской работы должно соответствовать ее содержанию.

Темы проектов для 3 класса

Примерные темы исследовательских проектов для учащихся 3 класса:

Выращивание мха
Герои нашего времени
Записки с фронта
Здоровый образ жизни
Здравствуй, школа!
Как человек осваивает космос.
Кем работают мои родители
Компьютеры в моём доме.
Компьютеры вокруг нас.
Масленица
Мое увлечение
Мой домашний питомец
Награда в нашем доме
Наш дом. Наш двор
Наша планета в космосе
Новогодняя красавица
О моем имени
Полезная вещь для дома
Почему высохла лужа
Почему летает самолёт.
Праздники моей семьи
Профессия моей мечты
Птицы – наши друзья
Самолеты России
Семейные реликвии
Хлеб – всему голова
Школа – второй дом!
Я выращиваю цветы
Ателье «Дюймовочка».
Атом – помощник и разрушитель.
Война и наша семья
Выращивание плесени
Где живет книга?
Генеалогическое древо нашей семьи
Кактус – колючий друг
Когда появилось авто?
Космонавты России.
Лунный город.
Мой родной город
Наши подводные друзья
Почему идет дождь
Правила поведения джентельмена
Самые скоростные машины.
Семейные традиции
Символика нашего класса
Символика нашей школы
Тайна шоколадки
Топливо будущего.
Человек в подводном мире.
Что делать с мусором.
Что подсказали изобретателю животные.
Этикет для юной леди
Я – изобретатель.
Я выбираю спорт.

Темы проектов по Математике для 3 класса

Геометрические фигуры вокруг нас
Единицы измерения в Древней Руси
Единицы измерения в других странах
Измерение величин
Книга о математике в Древнем мире
Коллекция самодельных измерительных приборов.
Математика в кулинарии
Математика в торговле
Математика в Древнем мире
Математика в строительстве
Математические сказки
Передача тайного смысла в книгах.   
Передача тайного смысла в картинах.
Применение навыков сложения и вычитания в нашей жизни.
Приспособления для шифрования.
Профессии, требующие хорошей математической подготовки.
Способы шифрования текстов.
Шифрование местонахождения.
Числа в пословицах и поговорках.

Темы проектов по Чтению для 3 класса

Примерные темы исследовательских проектов по чтению в 3 классе:

А в старину говорили так (поиск по словарям устаревших названий предметов, которыми мы продолжаем пользоваться).
Басни
Былина о герое
Викторина по произведениям любимых писателей.
Времена года в стихотворении
Времена года в устном народном творчестве.
Герои сказок в лепке
Герои сказок в рисунках
Героический эпос народов моего края.
Драматизация лучших фрагментов книг
Жанры устного народного творчества
Моя любимая книга
Образ Родины в картинах художников.
Образ Родины в произведениях композиторов.
Образ Родины в произведениях прозаиков и поэтов.
Осень в стихотворениях
Особенности литературных сказок
Особенности народных сказок
Подготовка к параду живых героев
Праздник поэзии
Русские писатели
Сборник стихотворений военной тематики.
Создание сборника былин
Создание сборника любимых произведений
Создание сборника пословиц и поговорок.
Сочинение собственных произведений малых жанров устного народного творчества.
Стихи о весне
Считалки и небылицы
Устаревшие слова в сказках А. Пушкина
Чело и уста — древнерусские слова-обозначения.
Я — юный автор

Темы проектов по Русскому языку для 3 класса

Заимствование слов из других языков.
Зачем нужна запятая
Имена прилагательные в загадках.
Имена собственные
Имена, фамилии, отчества в разных языках мира.
Искусственные и мертвые языки
История глаголов
История имени существительного
Как появился алфавит
Какие бывают словари
Какое будущее у книги?
Местоимения в загадках, пословицах и поговорках.
Местоимения в малых жанрах устного народного творчества.
Мир фразеологизмов.
Невербальный язык
О незнакомых словах
Обобщение знаний об имени существительном.
Особенности написания гласных «а» и «у» после шипящих согласных.
Падежи в нашей жизни
Приставки-труженицы
Рассказ о слове
Роль подлежащего и сказуемого в предложении.
Строим слова и предложения
Сказочное путешествие в состав слова
Слово. Словосочетание. Предложение.
Состав слова.

Темы проектов по Окружающему миру для 3 класса

Актуальные темы исследовательских проектов по окружающему миру:

«Старый и малый» в культуре народов моего края.
Мои земляки в истории и культуре России.
Семейные путешествия
Чьё имя носит моя улица?
Великие люди России и лучшие черты национального характера.
Влияние деятельности человека на экосистемы своей местности
Влияние факторов среды на рост и развитие растений
Грибы своей местности
Дикорастущие растения своего региона
Домашние животные вокруг нас
Загрязнение местных экосистем
Зеленый подоконник
Зимние работы и праздники в традициях народов моего края.
Зимние уличные игры
Изменение температуры тела в течение дня.
Изменение частоты пульса в течение суток.
Имена родного края
История 8 марта
История в названиях городов мира
История в названиях рек, морей, океанов
Летние работы и праздники в традициях народов моего края.
Местная экосистема (лес, водоём, луг)
Местные виды насекомых
Местные виды птиц
Минералы и горные породы своей местности
Мир наших увлечений
Музей моего земляка.
О спорте и здоровом питании
О чем шепчут деревья
Образ жизни и поведение птиц (на примере определённого вида).
Осенние работы и праздники в традициях народов моего края.
Памятники города
Памятники столицы России
Памятники столицы страны
Поведение домашних животных (на конкретных примерах)
Погода своего региона
Почему река (озера, город, село, деревня) называется именно так.
Правила поведения в экосистеме
Природные материалы моего края и местные художественные промыслы.
Природоохранная деятельность человека в своём регионе
Прошлое в названиях городов России
Разнообразие и поведение рыб (на примере аквариума)
Растения нашего края в Красной книге
Рациональное питание младшего школьника
Редкие и исчезающие виды растений и животных своего региона.
Режим дня младшего школьника
Роль хозяина и хозяйки в традиционной семье.
С бабущкой на кухне
Связь между состоянием природы и здоровьем человека.
Сезонные изменения в природе
Солнце, Луна и звёздное небо в различные сезоны года
Топонимика моего края и народные толкования топонимов.
Улицы нашего города.
Хозяйственная деятельность людей в своём регионе.
Экологические связи в природе.
Юный водитель: ПДД.

Темы проектов по Технологии и Изо для 3 класса

Темы исследовательских проектов по технологии и изо в 3 классе:

Оригами
Вышивка с узорами
Демонстрация одежды с узорами
Коллекция узоров, созданных в графическом редакторе.
Магические узоры
Узоры на зданиях
Выращивание лука
Выставка оружия с узорами и реконструкция боя.
День защитника Отечества.
День Победы.
Ёлочные игрушки
Зкономерности в узорах
Исследование: «Узоры в истории нашего края».
Коллекция посуды с узорами (керамической, самодельной и т.д.).
Костюм снегурочки.
Крылья бабочки
Лепка «Осенняя фантазия».
Масленица.
Мой любимый художник.
Необычная яичница
Особенности крестьянской избы.
Открытка к 8 Марта.
Памятная салфетка
Пейзажи моего города.
Самолеты и корабли.
Создание коллажа «Моя Родина».
Спичечный домик
Узоры в Древней Греции.
Узоры в Древней Руси
Узоры в Древнем Египте.
Узоры в Древнем Риме
Узоры в оформлении книг.
Узоры и орнаменты на посуде.
Узоры на одежде
Узоры на оружии
Узоры на посуде
Украшение класса узорами.
Что нам стоит плот построить.
Энциклопедия узоров.

Перейти к разделам:
Проекты начальной школы
Темы исследовательских работ начальной школы

Если Вы желаете разместить ссылку на эту страницу, установите у себя на сайте, блоге или форуме один из кодов:

Код ссылки на страницу «Темы проектов для 3 класса»:
<a href=»http://obuchonok. ru/node/2376″ target=»_blank»>Темы проектов для 3 класса</a>

Код ссылки на форум:
[URL=http://obuchonok.ru/node/2376]Темы проектов, 3 класс[/URL]

Если страница Вам понравилась, поделитесь в социальных сетях:

Создаю проект: русский язык, литературное чтение, математика, окружающий мир. 3 класс (Учлит)

Переплет	мягкий
ISBN	978-5-09-058757-0
Год издания	2018
Соответствие ФГОС	ФГОС
Количество томов	1
Формат	84×108/16 (205×260 мм)
Количество страниц	64
Серия	Школа России
Издательство	Просвещение/Учлит
Автор	Казанцева И. В., Архипова Ю.И., Глаголева Ю.И.
Возрастная категория	3 кл.
Раздел	Проектная деятельность
Тип издания	Дневники и портфолио
Язык	русский

---

Описание к товару: «Казанцева.

Создаю проект: русский язык, литературное чтение, математика, окружающий мир. 3 класс»

Учебное пособие адресовано учащимся третьих классов, учителям, работающим по УМК «Школа России», для организации внеурочной деятельности, а также специалистам, применяющим в своей деятельности метод проектов в системе дополнительного образования. Оно включает систему развивающих заданий для организации проектно-исследовательской деятельности в третьем классе и знакомит младших школьников с подходами к решению творческих задач, с основами самостоятельного поиска и переработки информации, планирования своих действий, способствует развитию навыков конструктивного общения в процессе совместной работы над проектом. Соответствует федеральному государственному образовательному стандарту начального общего образования.

Раздел: Проектная деятельность

Издательство: Учлит
Серия: Школа России

Вы можете получить более полную информацию о товаре «Создаю проект: русский язык, литературное чтение, математика, окружающий мир. 3 класс (Учлит)«, относящуюся к серии: Школа России, издательства Просвещение/Учлит, ISBN: 978-5-09-058757-0, автора/авторов: Казанцева И.В., Архипова Ю.И., Глаголева Ю.И., если напишите нам в форме обратной связи.

ГДЗ Страница 42-43. Проект «Экономика родного края» рабочая тетрадь окружающий мир Плешаков 3 класс 2 часть

Цель проекта: изучить основные отрасли экономики Московской области

Форма работы (индивидуально, в парах, группах, всем классом): в группах

Этапы работы:
1. Определить область изучения
2. Собрать материал по изучаемой теме
3. Проанализировать собранный материал, отобрать нужное
4. Оформить работу в виде презентации

Мои обязанности по проекту: в ходе работы над проектом я должен был изучить строительную отрасль Московской области, собрать данные по объемам строительства, наиболее заметным проектам и подготовить статистику по данной теме.

Сроки работы: 2 недели

Способы оформления результатов (фотовыставка, стенгазета, альбом, книга-справочник и др. ):
компьютерная презентация

План моего выступления на презентации.

1. Общее положение дел в строительной отрасли Моск. обл.
2. Виды строительных объектов, по которым ведется работа
3. Территориальное распределение строек
4. Описание наиболее интересных объектов

Материалы к проекту (напиши, наклей, нарисуй что считаешь нужным).

Как я оцениваю свою работу над проектом (была ли работа интересной, лёгкой или трудной, была ли она полностью самостоятельной или потребовалась помощь взрослых, как складывалось сотрудничество с одноклассниками, была ли работа успешной).

Работа над проектом была для меня очень интересной. Я узнал много нового о стоительстве, о том какие разные могут быть строительные объекты. Мои родители тоже с удовольствием помогали мне искать информацию. Она даже нашли коттеджный посёлок, нам всем захотелось переехать.

Благодарности за помощь и сотрудничество.

Спасибо большое моей маме и моему папе за их помощь! Они не только помогли мне найти много интересной информации и статистических данных, но и объяснили значение новых для меня слова. А ещё спасибо моей сестре, которая помогла мне красиво оформить мой проект.

 

математиков в игре: трехмерная печать выходит в четвертое измерение

На прошлой неделе я был на математической конференции, и один из участников принес головоломку.

Я довольно медленно решаю головоломки, поэтому пройдет некоторое время, прежде чем я пойму, как собрать эти пять частей, чтобы получить это.

Три вида собранного пазла.

Сол Шлеймер, математик из Уорикского университета, который был на конференции со мной, и Генри Сегерман, математик из Мельбурнского университета, являются соавторами головоломки «Тридцать ячеек».Они оба занимаются теоретической математикой, и им также нравится использовать трехмерную печать — технику изготовления трехмерного объекта из компьютерной программы — для создания математического искусства и визуализаций. (В августе журнал Scientific American представил некоторые скульптуры Сегермана в слайд-шоу с конференции по математике и искусству Бриджеса.)

Эта головоломка представляет собой проекцию четырехмерной формы в наш трехмерный мир. Чтобы объяснить, как была создана проекция, Шлеймер опускает ее на одно измерение и начинает с трехмерного куба.Представьте себе куб, сидящий внутри сферы. Теперь встаньте посередине, держа в руке фонарик. Свет проецирует все края и вершины на поверхность сферы. «Мы заменяем обычный куб, который мы знаем и любим, на круглый куб на сфере», — говорит Шлеймер. Этот процесс называется радиальной проекцией.

Отсюда процесс, называемый стереографической проекцией, помещает «круглый куб» на плоскую двумерную плоскость. Чтобы визуализировать это, представьте, что у сферы есть плоскость, пересекающая ее экватор.Линия, соединяющая северный полюс сферы с точкой куба на поверхности сферы, затем пересекает экваториальную плоскость в одной точке.

Совокупность всех этих точек пересечения является стереографической проекцией куба. (В общем, стереографическая проекция может быть определена для многих различных плоскостей, проходящих через сферу, но в данном случае используется экваториальная плоскость.)

Для головоломки, созданной Сегерманом и Шлеймером, весь процесс идет вверх на одно измерение.В сопроводительном информационном листе это кратко описывается: «Собранная головоломка из 30 ячеек является частью стереографической проекции радиальной проекции 120-ячейки в четырехмерном пространстве на три сферы в три пространства. »

120-элементный многогранник — это один из шести выпуклых правильных многогранников в четырех измерениях. Это четырехмерные эквиваленты правильных многоугольников (таких как равносторонний треугольник и квадрат) и Платоновых тел, класса трехмерных фигур.Шлеймер говорит, что размерность четыре идеально подходит для интересных регулярных многогранников, потому что у нее достаточно примеров, чтобы быть интересными, но не слишком много. В двух измерениях существует бесконечно много правильных многоугольников, а в пяти и более высоких измерениях существует только три различных типа правильных многогранников. Есть пять трехмерных Платоновых тел, а четвертое измерение имеет шесть правильных многогранников. 120-элементный — один из этих шести. Он состоит из 120 додекаэдрических ячеек, по четыре пересекающихся в каждой вершине.

Шлеймер говорит, что он и Сегерман начали работу над этой моделью, когда они изучали топологический объект, называемый расслоением Хопфа. 120-элементная ячейка возникла естественным образом в их работе, и они решили, что хотят попытаться визуализировать ее как реальный трехмерный объект, а не просто компьютерное представление или теоретический объект в их сознании. После создания первой печатной модели на 3D-принтере Шлеймер и Сегерман открыли новые аспекты формы. «В некотором смысле создание трехмерной модели помогло нам найти кое-что интересное, о существовании которого мы даже не подозревали.Мы немного поняли это, и мы создали эту потрясающую игрушку, и мы изучили новую математику », — говорит Шлеймер.

Первые эксперименты Сегермана и Шлеймера с 120-элементной ячейкой привели к созданию нескольких различных трехмерных моделей. все 120 ячеек было непомерно дорогим, поэтому они экспериментировали с разными подмножествами объекта. «Мы хорошо проводим время, находя фрагменты для стереографического проецирования», — говорит Шлеймер. Одной из моделей был набор из трех колец. которую он называет «непоседой».«

Это не головоломка, но с ней весело играть, и есть несколько интересных конфигураций для нее. Сегерман демонстрирует их и объясняет немного больше в этом видео.

Как говорит Сегерман, Непоседа привела его и Шлеймера к разработке версии головоломки на 120 ячеек, с которой я теперь могу поиграть.

Трехмерная печать не нова, но она становится все более популярной, и количество носителей — металлов, пластмассы, сахар и т. д., которые можно использовать в качестве «чернил».Он используется для создания инженерных прототипов, моделей черепов для палеонтологических исследований и даже искусственных кровеносных сосудов. Сегерман написал статью для Mathematical Intelligencer об использовании трехмерной печати в математике (финальная версия здесь, бесплатный препринт здесь).

Сегерман и Шлеймер используют компанию Shapeways для печати своих моделей. Они используют такие программы, как Python, Adobe Illustrator и Rhino, для создания файлов объекта, которые они отправляют в Shapeways для преобразования в очень точные трехмерные модели.Shapeways использует компьютерные файлы, чтобы запрограммировать лазер для сплавления порошков в форме трехмерного объекта. Он даже может печатать объекты с несколькими взаимосвязанными компонентами, такими как приведенный выше fidget. Другой популярный тип 3D-принтера, MakerBot, расплавляет новые слои материала поверх ранее нанесенных, поэтому модели необходимо поддерживать в течение всего процесса. У Shapeways нет этого ограничения, но его принтеры более дорогие. Компания позволяет людям загружать свои модели, а затем отправлять им печатные материалы, вместо того, чтобы пользователи сами владели принтерами.

Пазл, который мне продал Шлеймер, сделан из жесткого, но немного гибкого нейлона. Он и Сегерман также напечатали для друга большую бронзу, но, к сожалению, никто еще не смог собрать ее.

«С математикой все в порядке, но с физикой не все в порядке», — говорит Шлеймер. Пластиковые модели имеют практически незаметный прогиб, но бронза слишком жесткая. Сегерман и Шлеймер разместили пазл на сайте Shapeways. (На веб-сайте возникли проблемы, связанные с ураганом «Сэнди», поэтому вам придется добавить ссылку в закладки на будущее.ОБНОВЛЕНИЕ 2 ноября: веб-сайт снова работает.) Там вы можете заказать его, если хотите самостоятельно ввести дополнительное измерение.

Изображения и видео любезно предоставлены Солом Шлеймером и Генри Сегерманом.

Ресурсы для Zometool | Программа по математике

Zometool — это математически точный пластиковый конструктор для построения множества геометрических структур, от простых многоугольников до платоновых тел, от моделей молекул ДНК до геодезических куполов, от «теней» четырехмерных фигур до произведений искусства. .Это также фантастический образовательный инструмент, поскольку он способствует математическим открытиям и раскрывает творческие способности. На этой странице представлены краткое введение и постоянно растущая коллекция ресурсов о Zometool. Комментарии, вопросы и предложения приветствуются! Пожалуйста, свяжитесь с доктором Крисом Хиллом.

Обо мне : Я энтузиаст Zometool (он же Zomer ). Я люблю строить с его помощью и использовать его в качестве обучающего инструмента. Я провел несколько семинаров Zometool и «разводки сараев» с учениками средних и старших классов и ищу возможности сделать больше.

В этом разделе представлен обзор «работы» Zometool. Однако нет необходимости знать эту информацию перед использованием Zometool. Zometool чрезвычайно удобен в использовании.

Zometool имеет два типа деталей: круглые соединительные шарики и распорки с цветовой кодировкой. Каждый шаровой соединитель имеет 62 отверстия: 30 прямоугольных отверстий, 20 треугольных отверстий и 12 пятиугольных отверстий. Цвета распорок указывают, в какие отверстия шариков они поместятся. Синие стойки подходят к прямоугольным отверстиям, желтые стойки подходят к треугольным отверстиям, а красные и зеленые стойки подходят к пятиугольным отверстиям.Однако у зеленой стойки есть два изгиба, которые заставляют ее указывать в разные стороны, чем красная стойка. Шаровая соединительная муфта позволяет строить в 92 различных направлениях.

Стойки каждого цвета представлены короткими, средними и длинными. Красные стойки также бывают еще более короткого «сверхкороткого» размера. Для каждого цвета стойки соотношение между длинами стойки одного размера и длины следующего меньшего размера (если таковой имеется) является золотым сечением, которое составляет около 1,618. (Для вычисления таких соотношений «длина стойки» равна расстоянию между серединой узла на одном конце стойки и серединой узла на другом конце.Изящным следствием этого факта является то, что для каждого цвета длина длинной стойки равна длине средней стойки, соединенной с короткой стойкой. Короче говоря, длинное означает среднее плюс короткое. Аналогичным образом, красным цветом обозначено среднее значение «короткое плюс сверхкороткое».

Для возведения различных типов конструкций требуются подкосы разных типов. Например, правильный додекаэдр может быть построен с синими стойками того же размера, ромбический додекаэдр с желтыми стойками такого же размера, ромбический триаконтаэдр с красными стойками того же размера, правильный тетраэдр с зелеными стойками того же размера, и более сложные конструкции с комбинациями типов и размеров стоек.

Чтобы упростить определение деталей для проекта, типы стойки «синий», «желтый», «красный» и «зеленый» обозначаются сокращениями «B», «Y», «R» и «G». а размеры стойки «сверхкороткая», «короткая», «средняя» и «длинная» обозначены «00», «0», «1» и «2» соответственно. Например, длинная синяя стойка — это B2, средняя желтая стойка — это Y1, короткая зеленая стойка — это G0, а гиперкороткая красная стойка — это R00.

До 2011 года Zometool предлагал синие, желтые и красные распорки размера 3, который был длиннее размера 2 в золотом сечении.Согласно комментариям о золотом сечении выше, в данном цвете стойка размера 3 имеет ту же длину, что и стойка размера 2, соединенная со стойкой размера 1. Тем не менее, к сожалению, производство распорок 3-го размера было прекращено. Они позволяли строить простые модели в более крупном масштабе, а некоторые конструкции (например, соединение десяти треугольных призм — см. «Проекты» ниже) требуют их.

Поскольку соотношение между длинами стойки одного размера и длины следующего меньшего размера одинаково для всех типов стоек, модель Zometool можно масштабировать вверх (соответственно, вниз), заменяя каждую стойку на следующий больший размер (соответственно, меньшего размера) при наличии распорки размера.

Математика 3D-печати | plus.maths.org

При изучении существующей математики и особенно при попытках чтобы произвести новую математику, мы тратим много времени на размышления о Примеры. Как части примера взаимодействуют друг с другом? Какие такие закономерности и симметрии? Это входит в семью примеры, или он живет сам по себе? Во многих случаях первым делом сделать — это попытаться нарисовать картинку. Мы оба геометрические топологи, работа в основном с двух- и трехмерными объектами.Таким образом, двумерные изображения являются важной валютой в нашей области. Эти картинки обычно рисуются на классных досках, на листах бумаги и даже на скатертях и салфетках, как это известно у Дугласа. Обсуждение Адамсом Bistromathics .

Естественным продолжением рисунка в двух измерениях является рисунок в трех измерениях. Габаритные размеры. В этом направлении мы использовали 3D-печать как помощь в визуализации математических объектов. Мы проектируем скульптуры, которые помогите нам и другим лучше понять математику.Кроме того, эти скульптуры прекрасны сами по себе!

Вот несколько любимых примеров.

Половина 120-элементного

Половина 120-ячеечного изображает проекцию 120-ячеечного , одного из четырехмерные правильные многогранники (от греч. — «поли» для многих, «топос» вместо места).

Рисунок 1: Половина 120-элементного , с виды, показывающие 2-, 3- и 5-кратную симметрию.

Знакомый пятиугольник — это двумерный многогранник, имеющий пять граней , все из которых являются ребрами.Додекаэдр — это трехмерный многогранник, имеющий 12 пятиугольников. грани. Наконец, 120-ячейка — это четырехмерный многогранник, имеющий 120 додекаэдрические грани. В каждом случае грани являются многогранниками одного размер ниже.

Рисунок 2: Многогранники нулевой размерности через четыре: точка, интервал, пятиугольник, додекаэдр, 120-элементный.

Чтобы понять, как спроецировать этот четырехмерный объект в трехмерное пространство, нам нужно развить некоторую интуицию из более низких Габаритные размеры.

Во втором измерении углы квадрата лежат на окружности, которая содержит всю форму. Если мы поместим свет в центр круг, края квадрата отбрасывают тень на круг.

В третьем измерении куб находится внутри сферы. Расставляем куб так, чтобы одна из его квадратных граней была горизонтальной, а северный полюс прямо над центром грани. Теперь поместим свет в центр сферы. Края куба отбрасывают тень на сферу, изготовление «кубика пляжного мяча».Удаляем куб и сосредотачиваемся на версия с пляжным мячом. Переместите свет на Северный полюс. Края кубик пляжного мяча отбрасывает свои тени на горизонтальную плоскость: плоскость, на которой находится сфера. Этот последний шаг называется стереографической проекцией от сферы на плоскость. См. Рисунок 3 ниже, где показаны изображения этого процесса.

Рисунок 3: проецирование куба на плоскость.

Наконец, в четвертом измерении 120-элементная ячейка находится внутри трех сфер. (единичная сфера в четырехмерном пространстве).Отбрасывая тени из центра трехсферы делаем «пляжный мяч из 120 ячеек». Мы используем стереографическую проекцию, чтобы поместить 120-элементный пляжный мяч в наше обычное трехмерное пространство. Это дает крайнее правое изображение на рисунке 2.

Обратите внимание на огромную сложность возле центра. Это не может быть напечатано используя современные технологии — по крайней мере, не в рамках нашего бюджета! Мы пришли со следующей идеей: разрезаем проекцию 120-ячейки пополам по сфера, и мы выбросили наружу.Результат показан на рисунке 1. Подробнее об этом можно узнать из этого фильма:

Теперь внутренняя структура видна. Кроме того, соотношение между диаметр и мельчайшие детали намного более разумны, что делает скульптура для печати.

Квинтэссенция

После долгой игры с Половина 120-элементного , мы были вдохновлены на создание семейства взаимосвязанных головоломок, которые мы называем Quintessence ; здесь цепочки додекаэдров, живущие в г. Половина 120-ячеечные объединены для создания различных структур.

Рисунок 4: Квинтэссенция ; копии шести частей «ребра», показанные в верхнем левом углу можно собрать все эти пазлы.

Посмотрите, как работают головоломки в этом фильме:

Рис. 5: Реверс двухфунтовой монеты.

Тройная спираль

Triple Helix (рисунок 6) — механизм с тремя косозубыми шестернями, входящими в зацепление. пары, все под прямым углом друг к другу. Есть забавная ошибка в графическом дизайне, где три (или любое нечетное количество) плоских шестерен расположены по кругу.Возможно, самый известный пример — обратное двухфунтовой монеты (см. рисунок 5), сконструированной Брюсом Рушиным, на которой изображены 19 шестеренок. которые символизируют промышленную революцию. Ошибка возникает из-за того, что соседние шестерни должны вращаться в противоположные направления. Таким образом, любой круг с нечетным числом плоских шестерни заморожены! Тройная спираль — одно из решений этого парадокса.

Рисунок 6: Тройная спираль.

Посмотрите на движение тройной спирали:

Тройная передача

Другое, более сложное решение под названием Triple gear (рис. 7) включает используя три зубчатых кольца, все соединенные попарно.В отличие от других наших работа, эти скульптуры двигаются. Для получения дополнительной информации о Triple gear и связанные механизмы, ознакомьтесь с нашей статьей по теме, которая появилась в материалах конференции Bridges 2013 по математике, музыке, искусству, архитектуре и культуре.

Рисунок 7: Тройная передача.

Тройная передача в действии:

Круглая лента Мебиуса

Круглая лента Мёбиуса отвечает на еще одну загадку — это лента Мёбиуса. с круговой границей! Как известно, ленту Мёбиуса можно сделать взяв длинную полоску бумаги, придав ей полувык (повернуть на 180 градусов) и склеивание двух коротких кромок вместе (дополнительную информацию см. в статье о Plus ).Результирующий объект имеет одну кромку и одну сторону. В отличие от обычного куска бумагу, вам не нужно пересекать край, чтобы перейти от одной стороны к Другая сторона. Граница бумажной ленты Мёбиуса описывает кривая в пространстве; эта кривая геометрически не является окружностью, но она может быть деформированным в одно целое. Этот фильм иллюстрирует идею:

Наша скульптура показывает, что происходит, когда вы перетаскиваете поверхность ленты Мёбиуса по мере того, как вы «распрямляете» круг.Мы также перетащили одну точку полосы на бесконечность, чтобы выявить симметрии ленты Мёбиуса, но вы можете увидеть круглая окружность в центре — это граница оригинала Лента Мебиуса.

Рис. 8: «Круглая» лента Мёбиуса.

3D печать

3D-печать — это термин, который охватывает ряд тесно связанных технологии, также известные как аддитивное производство . Во всех этих идея состоит в том, чтобы построить физический объект, слой за слоем, начиная из ничего.Это контрастирует с более традиционным вычитанием . изготовление , например, токарная или резьба. Сложный внутренний конструкции трудно изготавливать при субтрактивном производстве, но они легкость в аддитивном производстве. При вычитании объект может получить в способе резьбы по дереву. При добавлении печатающая головка всегда работает сверху, и в каждый момент распечатанные слои находятся внизу. Сложные детали теперь просто вопрос настойчивости со стороны дизайнер; на этапе изготовления так же легко распечатать блок для печати тонкой филиграни, занимающей такой же объем.

Процесс печати практически полностью автоматизирован, а это значит, что напечатанный объект очень близко соответствует компьютерному дизайну. Для нас, это означает, что наши отпечатки очень близки к математическим идеальный. Многие из наших скульптур полностью или почти полностью генерируется (Python) кодом, который напрямую выражает желаемый геометрия. Таким образом, математика, описываемая нашими программами, становится переведены в физические объекты с очень небольшим выбором или возможность ошибки.

Однако возможности 3D-принтеров ограничены.Eсть основное напряжение между минимальным размером элемента и общим размером скульптура. Как мы узнали из 120-ячеечной, если некоторые функции слишком маленькие, то части скульптуры будут хрупкими или, возможно, просто не для печати. Самым простым решением этой проблемы является масштабирование дизайн вверх — однако, если полученный объем слишком велик, скульптура будет слишком дорогой и, возможно, снова непечатной (если она не помещается внутри принтера).

Попасть в 3D-печать становится все проще и проще.В эти дни во многих школах и университетах, и даже у любителей есть 3D-принтеры. Есть также много услуг 3D-печати, которые позволяют загружать модель, которые затем они распечатывают в 3D и отправляют вам. Вдобавок один из нас (Сегерман) провел мастер-класс по 3D-печати, используя программы Математика и носорог. Материалы семинара доступны здесь.

Сюда входит препринт бумаги 3D-печать для математических визуализация , которая появилась в Mathematical Intelligencer .

Идеи на будущее

В настоящее время мы думаем об объектах, которые движутся, или которые могут быть разобрали и поиграли. Такие скульптуры раскрывают сильные стороны физические объекты в отличие от изображений или даже компьютерной анимации. В качестве примера классного материала, который нужно напечатать в 3D, мы упоминаем плоские связи — увлекательный образец инженерной мысли в этих lines — это Chaos machine Роберта Маккея. Мы также думаем о скульптуры, основанные на гиперболической, а не сферической геометрии, и о любимом узле гиперболических геометров — восьмерке.

---

Об авторах

Сауль Шлеймер — геометрический тополог, работает в Университете Уорик. Его другие интересы включают комбинаторную теорию групп и вычисление. Его особенно интересует взаимодействие между эти поля и дополнительно в визуализации идей из этих поля.

Генри Сегерман — доцент кафедры Математика в Государственном университете Оклахомы. Его математические исследования в 3-мерной геометрии и топологии.Он также делает математические художественные работы, часто посвященные геометрии и топологии, но также включающие процедурная генерация, ссылки на себя, амбиграммы и головоломки.

Иллюстративная математика

Задача

Ульи состоят из стенок одинакового размера, вмещающих небольшие шестиугольники. клетки, где хранятся мед и пыльца, а также разводятся пчелы. Ниже приводится изображение некоторых ячеек:

Единственные другие правильные многоугольники, которые можно использовать для мозаики плоскости таким образом равносторонние треугольники и квадраты.В этой задаче исследуются некоторые математические преимущества гексагональной мозаики.

Предположим, мы пусть $ s $ обозначает длину стенок гексагональных камер. Ниже увеличенное изображение одного шестиугольника:

1. Найдите площадь правильного шестиугольника $ H $ со стороной $ s $.
2. Отношение площади к периметру правильного шестиугольника больше или меньше соответствующих соотношений для равностороннего треугольника и квадрата?
3. Основываясь на вашем ответе на (b), почему вы думаете, что это выгодно для ульев? быть построенным с использованием гексагональных ячеек вместо треугольных или квадратных ячеек?

IM Комментарий

Целью данного задания является изучение строения ульев с помощью геометрии.Ульи невероятно просты, так как они целиком состоят из небольших стен одинакового размера. Чтобы улей был максимально полезным для улья, цель должна заключаться в создании максимально возможного объема с использованием наименьшего количества материалов. Другими словами, отношение объема каждой клетки к ее площади поверхности должно быть максимальным. Затем это сводится к максимальному увеличению отношения площади поверхности формы ячейки к ее периметру.

Гексагональный узор ульев — явление хорошо задокументированное, и многие фотографии можно найти в Интернете.

Возникает интересный вопрос, почему ячейки в сотах не круглые, как у круга лучшее соотношение периметра к площади при том же периметре, чем у шестиугольника. Одно объяснение Дело в том, что в отличие от обычных шестиугольников, которые можно поставить рядом, чтобы заполнить пространство без зазоров, с кругами было бы много отходов. Другими словами, в шестиугольной конфигурации каждая стена представляет собой стену на два отдельных камеры. С кругами это все равно будет иметь место, но промежутки между кругами будут небольшими, странной формы и, возможно, не очень полезными.Шестиугольники сравниваются только с квадратами и равносторонними треугольниками, поскольку это единственные три формы. которые можно сложить вместе, чтобы выложить плоскость мозаикой (см. » Обычные мозаики самолета »). Тот факт, что отношение площади к периметру для шестиугольников равно больше, чем для треугольников или квадратов, показывает, что из этих трех вариантов один который обеспечивает наибольшее пространство с наименьшим количеством материалов — это шестиугольный узор.

Представлены два разных решения. Первый делит шестиугольник на прямоугольник и два треугольника.\ circ $. Второе решение разбивает шестиугольник на шесть равносторонние треугольники, и для этого необходимо знать, что У правильного шестиугольника есть «центр», то есть точка, равноудаленная от шести шестиугольников. вершины: здесь этот факт следует принять как должное.

Отношение периметра к площади равностороннего треугольника можно вывести из результаты задания «Периметры и области геометрических фигур». То же самое и с квадратом, для которого это вычисление более прямолинейно. В качестве альтернативы студенты можно установить эти формулы здесь: в зависимости от того, как они рассчитывают площадь шестиугольник, у них уже будут инструменты, необходимые для определения отношения длины стороны к площади равностороннего треугольника.

Десять компьютерных кодов, изменивших науку

Иллюстрация Павла Йонца

В 2019 году команда Event Horizon Telescope впервые дала миру представление о том, как на самом деле выглядит черная дыра. Но изображение светящегося объекта в форме кольца, которое представила группа, не было обычной фотографией. Это было вычислено — математическое преобразование данных, захваченных радиотелескопами в США, Мексике, Чили, Испании и Южном полюсе ¹ .Команда выпустила программный код, который использовала для этого подвига, вместе со статьями, в которых были задокументированы ее результаты, чтобы научное сообщество могло увидеть и развить то, что она сделала.

Это становится все более распространенным явлением. За всеми великими научными открытиями современности, от астрономии до зоологии, стоит компьютер. Майкл Левитт, вычислительный биолог из Стэнфордского университета в Калифорнии, получивший долю Нобелевской премии по химии 2013 года за свою работу над вычислительными стратегиями моделирования химической структуры, отмечает, что современные ноутбуки имеют примерно в 10 000 раз больше памяти и тактовую частоту, чем его лаборатория. построил компьютер в 1967 году, когда начал свою отмеченную наградами работу.«Сегодня в наших руках действительно феноменальное количество вычислений», — говорит он. «Проблема в том, что это все еще требует размышлений».

Входит ученый-кодировщик. Мощный компьютер бесполезен без программного обеспечения, способного решать исследовательские вопросы, и без исследователей, которые умеют его писать и использовать. «В настоящее время исследования фундаментально связаны с программным обеспечением», — говорит Нил Чу Хонг, директор Института устойчивого развития программного обеспечения со штаб-квартирой в Эдинбурге, Великобритания, организации, занимающейся совершенствованием разработки и использования программного обеспечения в науке.«Это пронизывает каждый аспект проведения исследования».

Научные открытия по праву получают самое верхнее внимание в СМИ. Но на этой неделе Nature заглянет за кулисы, на ключевые фрагменты кода, которые изменили исследования за последние несколько десятилетий.

Хотя ни один подобный список не может быть исчерпывающим, за последний год мы опросили десятки исследователей, чтобы разработать разнообразную линейку из десяти программных инструментов, которые оказали большое влияние на мир науки.

Пионер языка: компилятор Fortran (1957)

Первые современные компьютеры не были удобными для пользователя.Программирование осуществлялось буквально вручную, соединяя блоки схем проводами. Последующие машинные языки и языки ассемблера позволили пользователям программировать компьютеры в коде, но оба по-прежнему требовали глубокого знания архитектуры компьютера, что сделало языки недоступными для многих ученых.

Ситуация изменилась в 1950-х годах с развитием символических языков — в частности, языка «перевода формул» Fortran, разработанного Джоном Бэкусом и его командой в IBM в Сан-Хосе, Калифорния.Используя Фортран, пользователи могли программировать компьютеры, используя удобочитаемые инструкции, такие как x = 3 + 5. Затем компилятор превращал такие указания в быстрый и эффективный машинный код.

Этот компьютер CDC 3600, поставленный в 1963 году в Национальный центр атмосферных исследований в Боулдере, штат Колорадо, был запрограммирован с помощью компилятора Fortran. Фото: Университетская корпорация атмосферных исследований / Библиотека научных фотографий

Это все еще было непросто: в первые дни программисты использовали перфокарты для ввода кода, а сложное моделирование могло потребовать их десятков тысяч.Тем не менее, говорит Сюкуро Манабе, климатолог из Принстонского университета в Нью-Джерси, Fortran сделал программирование доступным для исследователей, которые не были компьютерными специалистами. «Впервые мы смогли самостоятельно запрограммировать [компьютер], — говорит Манабе. Он и его коллеги использовали этот язык для разработки одной из первых успешных моделей климата.

Уже восьмое десятилетие Fortran по-прежнему широко используется в моделировании климата, гидродинамике, вычислительной химии — любой дисциплине, которая включает сложную линейную алгебру и требует мощных компьютеров для быстрого вычисления чисел.В результате код получается быстрым, и все еще есть много программистов, которые умеют его писать. Базы старого кода Fortran все еще живы и работают в лабораториях и на суперкомпьютерах по всему миру. «Старые программисты знали, что они делают», — говорит Фрэнк Хиральдо, прикладной математик и разработчик климатических моделей из Военно-морской аспирантуры в Монтерее, Калифорния. «Они очень внимательно относились к памяти, потому что у них ее было так мало».

Обработчик сигналов: быстрое преобразование Фурье (1965)

Когда радиоастрономы сканируют небо, они улавливают какофонию сложных сигналов, меняющихся во времени.Чтобы понять природу этих радиоволн, им нужно увидеть, как эти сигналы выглядят в зависимости от частоты. Математический процесс, называемый преобразованием Фурье, позволяет исследователям делать это. Проблема в том, что это неэффективно, требуя N ² вычислений для набора данных размером N .

В 1965 году американские математики Джеймс Кули и Джон Тьюки разработали способ ускорить этот процесс. Используя рекурсию, подход к программированию «разделяй и властвуй», при котором алгоритм многократно повторно применяется, быстрое преобразование Фурье (БПФ) упрощает задачу вычисления преобразования Фурье до всего N log ₂ ( N ) шагов.Скорость увеличивается с ростом N . Для 1000 очков скорость увеличивается примерно в 100 раз; для 1 миллиона точек это 50 000 раз.

«Открытие» было фактически повторным открытием — немецкий математик Карл Фридрих Гаусс разработал его в 1805 году, но так и не опубликовал, — говорит Ник Трефетен, математик из Оксфордского университета, Великобритания. Но Кули и Тьюки сделали это, открыв приложения в области цифровой обработки сигналов, анализа изображений, структурной биологии и многого другого. «Это действительно одно из величайших событий в прикладной математике и инженерии», — говорит Трефетен.БПФ много раз реализовывалось в коде. Один из популярных вариантов называется FFTW, «самое быстрое преобразование Фурье на западе».

Ночной вид части Murchison Widefield Array, радиотелескопа в Западной Австралии, который использует быстрые преобразования Фурье для сбора данных Фото: Джон Голдсмит / Celestial Visions

Пол Адамс, руководящий отделом молекулярной биофизики и комплексной биовизуализации в Национальной лаборатории Лоуренса Беркли в Калифорнии, вспоминает, что, когда он уточнил структуру бактериального белка GroEL в 1995 году ² , расчет занял «много-много часов, если не дней », даже с помощью БПФ и суперкомпьютера.«Пытаясь сделать это без БПФ, я даже не знаю, как бы мы это сделали реалистично», — говорит он. «Это заняло бы вечность».

Молекулярные каталогизаторы: биологические базы данных (1965)

Сегодняшние базы данных представляют собой такой цельный компонент научных исследований, что можно легко упустить из виду тот факт, что они управляются программным обеспечением. За последние несколько десятилетий эти ресурсы резко увеличились в размерах и сформировали множество областей, но, возможно, нигде это преобразование не было более драматичным, чем в биологии.

Сегодняшние огромные базы данных по геномам и белкам берут свое начало в работе Маргарет Дейхофф, пионера в области биоинформатики из Национального фонда биомедицинских исследований в Силвер-Спринг, штат Мэриленд. В начале 1960-х годов, когда биологи работали над разделением аминокислотных последовательностей белков, Дейхофф начал сопоставление этой информации в поисках ключей к разгадке эволюционных взаимоотношений между различными видами. Ее Атлас последовательности и структуры белков , впервые опубликованный в 1965 году с тремя соавторами, описывает то, что тогда было известно о последовательностях, структурах и сходствах 65 белков.Сборник был первым, который «не был привязан к конкретному исследовательскому вопросу», писал историк Бруно Штрассер в 2010 году ³ . И он закодировал свои данные в перфокартах, что позволило расширять базу данных и искать в ней.

Затем последовали другие компьютеризированные биологические базы данных. Банк данных о белках, который сегодня содержит более 170 000 макромолекулярных структур, был запущен в 1971 году. Рассел Дулиттл, биолог-эволюционист из Калифорнийского университета в Сан-Диего, создал еще одну базу данных белков под названием Newat в 1981 году.А в 1982 году была выпущена база данных, которая впоследствии стала GenBank, архивом ДНК, поддерживаемым Национальным институтом здравоохранения США.

Protein Data Bank имеет архив, содержащий более 170 000 молекулярных структур, включая этот бактериальный «экспрессом», который объединяет процессы синтеза РНК и белка. Фото: Дэвид С. Гудселл и RCSB PDB (CC BY 4.0)

Такие ресурсы доказали свою ценность в июле 1983 года, когда отдельные группы под руководством Майкла Уотерфилда, белкового биохимика из Имперского фонда исследований рака в Лондоне, и Дулиттла независимо друг от друга сообщили о сходстве между последовательностями конкретного фактора роста человека и белка в организме человека. вирус, вызывающий рак у обезьян.Наблюдение позволило предположить механизм онкогенеза вирусом: имитируя фактор роста, вирус вызывает неконтролируемый рост клеток ⁴ . «Из-за этого загорелась лампочка в умах некоторых биологов, которые не интересовались компьютерами и статистикой, — говорит Джеймс Остелл, бывший директор Национального центра биотехнологической информации США (NCBI). — Мы можем кое-что понять о раке, сравнив последовательности. »

Помимо этого, по словам Остелла, открытие ознаменовало «приход объективной биологии».Помимо разработки экспериментов для проверки конкретных гипотез, исследователи могли добывать общедоступные наборы данных для поиска связей, которые могли никогда не возникнуть у тех, кто действительно собирал данные. Эта сила резко возрастает, когда различные наборы данных связаны вместе — чего программисты NCBI достигли в 1991 году с помощью Entrez, инструмента, который позволяет исследователям свободно перемещаться от ДНК к белку, к литературе и обратно.

Стивен Шерри, нынешний исполняющий обязанности директора NCBI в Бетесде, штат Мэриленд, использовал Энтреса в качестве аспиранта.«Помню, в то время я думал, что это волшебство», — говорит он.

Лидер прогнозов: модель общего обращения (1969)

В конце Второй мировой войны компьютерный пионер Джон фон Нейман начал преобразовывать компьютеры, которые несколькими годами ранее рассчитывали баллистические траектории и конструкции оружия, для решения проблемы прогноз погоды. До этого момента, объясняет Манабе, «прогноз погоды был просто эмпирическим», с использованием опыта и догадок, чтобы предсказать, что будет дальше.Команда фон Неймана, напротив, «пыталась делать численные прогнозы погоды на основе законов физики».

Уравнения были известны на протяжении десятилетий, — говорит Венкатрамани Баладжи, руководитель отдела систем моделирования в Лаборатории геофизической гидродинамики Национального управления океанографии и атмосферы в Принстоне, штат Нью-Джерси. Но первые метеорологи не могли решить их практически. Для этого требовалось ввести текущие условия, рассчитать, как они будут меняться за короткий период времени, и повторить — процесс настолько трудоемкий, что математические вычисления не могли быть выполнены до наступления самой погоды.В 1922 году математик Льюис Фрай Ричардсон потратил несколько месяцев на создание шестичасового прогноза для Мюнхена, Германия. Согласно одной из историй, результат был «совершенно неточным», включая предсказания, которые «никогда не могли произойти ни при каких известных земных условиях». Компьютеры сделали проблему решаемой.

В конце 1940-х фон Нейман основал свою группу прогнозирования погоды в Институте перспективных исследований в Принстоне. В 1955 году вторая группа — Лаборатория геофизической гидродинамики — начала работу над тем, что он назвал «бесконечным прогнозом», то есть моделированием климата.

Манабе, который присоединился к группе моделирования климата в 1958 году, приступил к работе над атмосферными моделями; его коллега Кирк Брайан обратился к ним за океаном. В 1969 году они успешно объединили два, создав то, что Nature в 2006 году назвало «вехой» в научных вычислениях.

Современные модели могут разделить поверхность планеты на квадраты размером 25 × 25 километров, а атмосферу — на десятки уровней. Напротив, в комбинированной модели «океан-атмосфера» Манабе и Брайана ⁵ использовались квадраты площадью 500 км и 9 уровней, и она покрывала лишь одну шестую часть земного шара.Тем не менее, говорит Баладжи, «эта модель отлично поработала», позволив команде впервые испытать влияние повышения уровня углекислого газа in silico .

Обработчик чисел: BLAS (1979)

Научные вычисления обычно включают относительно простые математические операции с использованием векторов и матриц. Их просто много. Но в 1970-х годах не существовало универсально согласованного набора вычислительных инструментов для выполнения таких операций. В результате программисты, работающие в сфере науки, будут тратить свое время на разработку эффективного кода для выполнения основных математических задач, а не сосредоточиваться на научных вопросах.

Мир программирования нуждался в стандарте. В 1979 году он получил одну: Базовые подпрограммы линейной алгебры, или BLAS ⁶ . Стандарт, который продолжал развиваться до 1990 года, определил десятки фундаментальных процедур для векторной, а затем и матричной математики.

Фактически, BLAS свел матричную и векторную математику к базовой единице вычислений, столь же фундаментальной, как сложение и вычитание, говорит Джек Донгарра, ученый-компьютерщик из Университета Теннесси в Ноксвилле, который был членом группы разработчиков BLAS.

Суперкомпьютер Cray-1: до того, как в 1979 году был представлен инструмент программирования BLAS, не существовало стандарта линейной алгебры для исследователей, работающих с такими машинами, как суперкомпьютер Cray-1 в Ливерморской национальной лаборатории Лоуренса в Калифорнии Фото: Science History Images / Alamy

BLAS был «вероятно, наиболее важным интерфейсом для научных вычислений», — говорит Роберт ван де Гейн, ученый-компьютерщик из Техасского университета в Остине. Помимо предоставления стандартизированных имен для общих функций, исследователи могут быть уверены, что код на основе BLAS будет работать одинаково на любом компьютере.Стандарт также позволил производителям компьютеров оптимизировать реализации BLAS для быстрой работы на своем оборудовании.

Спустя более 40 лет BLAS представляет собой сердце стека научных вычислений, код, который заставляет работать научное программное обеспечение. Лорена Барба, инженер-механик и аэрокосмический инженер из Университета Джорджа Вашингтона в Вашингтоне, округ Колумбия, называет это «механизмом внутри пяти слоев кода».

По словам Донгарра, «он обеспечивает основу, на которой мы выполняем вычисления».

Необходимое оборудование для микроскопии: NIH Image (1987)

В начале 1980-х программист Уэйн Расбанд работал с лабораторией визуализации мозга в Национальном институте здравоохранения США в Бетесде, штат Мэриленд.У команды был сканер для оцифровки рентгеновских снимков, но не было возможности отобразить или проанализировать их на своем компьютере. Итак, Расбанд написал программу для этого.

Программа была специально разработана для миникомпьютера PDP-11 стоимостью 150 000 долларов США — монтируемого в стойку, явно неперсонального компьютера. Затем, в 1987 году, Apple выпустила свой Macintosh II, более удобный и гораздо более доступный вариант. «Мне казалось очевидным, что это будет работать намного лучше как своего рода лабораторная система анализа изображений», — говорит Расбанд.Он перенес свое программное обеспечение на новую платформу и провел ребрендинг, заложив экосистему анализа изображений.

NIH Image и его потомки предоставили исследователям возможность просматривать и количественно оценивать практически любое изображение на любом компьютере. Семейство программного обеспечения включает ImageJ, версию на основе Java, которую Расбанд написал для пользователей Windows и Linux, и Fiji, дистрибутив ImageJ, разработанный группой Павла Томанчака из Института молекулярной клеточной биологии и генетики им. Макса Планка в Дрездене, Германия, который включает ключевые плагины.«ImageJ, безусловно, является самым фундаментальным инструментом, который у нас есть», — говорит Бет Чимини, вычислительный биолог, работающий над платформой визуализации Института Броуда в Кембридже, штат Массачусетс. «Я буквально никогда не разговаривал с биологом, который использовал бы микроскоп, но не с ImageJ или его ответвлением на Фиджи».

Инструмент ImageJ с помощью плагина может автоматически идентифицировать ядра клеток на изображениях под микроскопом, как здесь. Фото: Игнасио Арганда-Каррерас / ImageJ

Отчасти потому, что эти инструменты бесплатны, — говорит Расбанд.Но это еще и потому, что пользователям легко настроить инструмент под свои нужды, — говорит Кевин Элисири, биомедицинский инженер из Университета Висконсин-Мэдисон, чья команда возглавляла разработку ImageJ после выхода на пенсию Расбанда. ImageJ имеет обманчиво простой минималистичный пользовательский интерфейс, который практически не изменился с 1990-х годов. Тем не менее, инструмент является неограниченно расширяемым благодаря встроенному устройству записи макросов (который позволяет пользователю сохранять рабочие процессы, записывая последовательности щелчков мыши и выбора меню), обширной совместимости с форматами файлов и гибкой архитектуре подключаемых модулей.«Сотни людей» предоставили плагины, — говорит Кертис Рюден, руководитель группы программирования Элисири. Эти дополнения значительно расширили набор инструментов для исследователей, например, с функциями отслеживания объектов в видео или автоматической идентификации ячеек.

«Суть программы не в том, чтобы быть всеобъемлющим и конечным, — говорит Элисейри, — а в том, чтобы служить целям ее пользователей. И в отличие от Photoshop и других программ, ImageJ может быть тем, чем вы хотите ».

Средство поиска последовательности: BLAST (1990)

Нет лучшего индикатора культурной значимости, чем превращение названия программы в глагол.Для поиска подумайте о Google. А что касается генетики, подумайте о BLAST.

Эволюционные изменения запечатлены в молекулярных последовательностях в виде замен, делеций, пропусков и перегруппировок. Путем поиска сходства между последовательностями — особенно среди белков — исследователи могут обнаружить эволюционные отношения и получить представление о функциях генов. Уловка состоит в том, чтобы сделать это быстро и всесторонне через быстро растущие базы данных молекулярной информации.

Dayhoff стал одним из важнейших элементов головоломки в 1978 году.Она разработала матрицу «точечно принятых мутаций», которая позволила исследователям оценить степень родства двух белков, основываясь не только на том, насколько похожи их последовательности, но и на эволюционном расстоянии между ними.

В 1985 году Уильям Пирсон из Университета Вирджинии в Шарлоттсвилле и Дэвид Липман из NCBI представили FASTP, алгоритм, сочетающий матрицу Дейхоффа с возможностью быстрого поиска.

Спустя годы Липман вместе с Уорреном Гишем и Стивеном Альтшулом из NCBI, Уэббом Миллером из Университета штата Пенсильвания в Юниверсити-парке и Джином Майерсом из Университета Аризоны в Тусоне разработали еще более мощное усовершенствование: Базовое местное выравнивание. Инструмент поиска (BLAST).Выпущенный в 1990 году, BLAST сочетал в себе скорость поиска, необходимую для работы с быстрорастущими базами данных, с возможностью подбирать совпадения, которые были более далеки от эволюции. В то же время инструмент может рассчитать, насколько вероятно, что эти совпадения произошли случайно.

Результат был невероятно быстрым, говорит Альтшул. «Вы можете ввести свой поиск, сделать один глоток кофе, и ваш поиск будет завершен». Но что еще более важно, им было легко пользоваться. В эпоху, когда базы данных обновлялись по почте, Гиш создал систему электронной почты, а затем и веб-архитектуру, которая позволяла пользователям выполнять поиск на компьютерах NCBI удаленно, обеспечивая, таким образом, актуальность их результатов.

По словам Шона Эдди, вычислительного биолога Гарвардского университета в Кембридже, Массачусетс, система дала зарождающейся области геномной биологии преобразующий инструмент — способ выяснить, что неизвестные гены могут делать на основе генов, с которыми они связаны. к. И для лабораторий по секвенированию повсюду это обеспечило умный неологизм: «Это всего лишь одна из этих вещей, которая превратилась в глагол», — говорит Эдди. «Вы только что говорили о взрыве ваших последовательностей».

Центр подготовки препринтов: arXiv.org (1991)

В конце 1980-х физики высоких энергий регулярно отправляли физические копии представленных рукописей своим коллегам по почте для комментариев и в качестве вежливости — но только избранным. «Те, кто ниже в пищевой цепочке, полагались на благосклонность тех, кто попал в список А, а начинающие исследователи в неэлитных учреждениях часто полностью выпадали из привилегированного цикла», — писал физик Пол Гинспарг в 2011 году ⁷ .

В 1991 году Гинспарг, работавший тогда в Лос-Аламосской национальной лаборатории в Нью-Мексико, написал автоответчик по электронной почте, чтобы уравнять правила игры.Подписчики получали ежедневные списки препринтов, каждый из которых был связан с идентификатором статьи. С помощью одного электронного письма пользователи со всего мира могли отправлять или получать статьи из компьютерной системы лаборатории, получать списки новых статей или выполнять поиск по автору или названию.

Гинспарг планировал хранить статьи в течение трех месяцев и ограничить их содержание сообществом физиков высоких энергий. Но коллега убедил его оставить статьи на неопределенный срок. «Это был момент перехода от доски объявлений к архиву», — говорит он.А статьи хлынули куда-то дальше, чем дисциплина самого Гинспарга. В 1993 году Гинспарг перенес систему во всемирную паутину, а в 1998 году дал ей название, которое она носит сегодня: arXiv.org.

Сейчас, на тридцатом году своего существования, arXiv содержит около 1,8 миллиона препринтов — все они доступны бесплатно — и привлекает более 15 000 заявок и около 30 миллионов загрузок в месяц. «Нетрудно понять, почему arXiv такой популярный сервис», — писали редакторы Nature Photonics ⁸ десять лет назад по случаю двадцатой годовщины сайта: «Система предоставляет исследователям быстрый и удобный способ установить флаг, показывающий, что они сделали и когда, избегая хлопот и времени, необходимых для рецензирования в обычном журнале.”

Источник: arXiv.org

Успех сайта стал катализатором роста числа сестринских архивов по биологии, медицине, социологии и другим дисциплинам. Влияние сегодня можно увидеть в десятках тысяч препринтов, опубликованных о вирусе SARS-CoV-2.

«Приятно видеть методологию, которая 30 лет назад считалась неортодоксальной за пределами сообщества физиков элементарных частиц, а теперь в целом рассматривается как очевидная и естественная, — говорит Гинспарг. «В этом смысле это похоже на успешный исследовательский проект.”

Data explorer: IPython Notebook (2011)

Фернандо Перес был аспирантом« в поисках прокрастинации »в 2001 году, когда он решил заняться основным компонентом Python.

Python — это интерпретируемый язык, что означает, что программы выполняются построчно. Программисты могут использовать своего рода вычислительный инструмент вызова и ответа, называемый циклом чтения-оценки-печати (REPL), в котором они вводят код, а программа, называемая интерпретатором, выполняет его. REPL позволяет быстро исследовать и повторять, но Перес отметил, что Python не был создан для науки.Это не позволяло пользователям легко предварительно загружать модули кода, например, или держать визуализации данных открытыми. Итак, Перес написал свою версию.

Результатом стал IPython, «интерактивный» интерпретатор Python, который Перес представил в декабре 2001 года. Десять лет спустя физик Брайан Грейнджер, работая с Пересом и другими, перенес этот инструмент в веб-браузер, запустил IPython Notebook и дал толчок революция в науке о данных.

Как и другие вычислительные ноутбуки, IPython Notebook объединил код, результаты, графику и текст в одном документе.Но в отличие от других подобных проектов, IPython Notebook был с открытым исходным кодом, что привлекало участие обширного сообщества разработчиков. И он поддерживает Python, популярный язык для ученых. В 2014 году IPython превратился в Project Jupyter, поддерживающий около 100 языков и позволяющий пользователям исследовать данные на удаленных суперкомпьютерах так же легко, как на своих ноутбуках.

«Для специалистов по обработке данных Jupyter стал стандартом де-факто», — писала в журнале Nature в 2018 году 9 . В то время их было 2.5 миллионов записных книжек Jupyter на платформе совместного использования кода GitHub; сегодня их около 10 миллионов, включая те, которые документируют открытие гравитационных волн в 2016 году и изображение черной дыры в 2019 году. «То, что мы внесли небольшой вклад в эти проекты, очень полезно, — говорит Перес.

Быстрый обучающийся: AlexNet (2012)

Искусственный интеллект (ИИ) бывает двух видов. Один использует кодифицированные правила, другой позволяет компьютеру «учиться», имитируя нейронную структуру мозга.На протяжении десятилетий, говорит Джеффри Хинтон, специалист по информатике из Университета Торонто, Канада, исследователи искусственного интеллекта отвергали последний подход как «нонсенс». В 2012 году аспиранты Хинтона Алекс Крижевский и Илья Суцкевер доказали обратное.

Местом проведения стал ImageNet, ежегодный конкурс, в рамках которого исследователям предлагается обучить ИИ работе с базой данных из миллиона изображений повседневных объектов, а затем протестировать полученный алгоритм на отдельном наборе изображений. По словам Хинтона, в то время лучшие алгоритмы неправильно классифицировали около четверти из них.AlexNet Крижевского и Суцкевера, алгоритм «глубокого обучения», основанный на нейронных сетях, снизил эту частоту ошибок до 16% ¹⁰ . «Мы практически вдвое снизили или почти вдвое количество ошибок», — отмечает Хинтон.

Хинтон говорит, что успех команды в 2012 году отражал сочетание достаточно большого набора обучающих данных, отличного программирования и недавно появившейся мощности графических процессоров — процессоров, которые изначально были разработаны для повышения производительности компьютерного видео. «Внезапно мы могли запускать [алгоритм] в 30 раз быстрее, — говорит он, — или обучаться на 30-кратном объеме данных.

Настоящий прорыв в алгоритмах, по словам Хинтона, на самом деле произошел тремя годами ранее, когда его лаборатория создала нейронную сеть, которая могла распознавать речь более точно, чем традиционные ИИ, которые совершенствовались десятилетиями. «Было только немного лучше», — говорит Хинтон. «Но это уже было написано на стене».

Эти победы ознаменовали рост глубокого обучения в лаборатории, клинике и многом другом. Именно поэтому мобильные телефоны могут понимать голосовые запросы и почему инструменты анализа изображений могут легко выделять клетки на микрофотографиях.И именно поэтому AlexNet занимает свое место среди многих инструментов, которые коренным образом изменили науку, а вместе с ними и весь мир.

Математические методы моделирования эритропоэза: от белков к популяциям клеток

Этот проект предлагает междисциплинарную и оригинальную работу, сфокусированную на моделировании эритропоэза (производство и регуляция эритроцитов) и связанных с ним внутриклеточных сигнальных путей, а также на математическом анализе полученных моделей.Первая часть проекта будет заключаться в описании сетей регуляции, ведущих к гибели, дифференцировке и пролиферации незрелых клеток, с учетом ключевых белков этих сетей. Для достижения этой цели основным математическим инструментом будут обыкновенные дифференциальные уравнения с нелинейностями типа Хилла и / или Михаэлиса-Ментен. Во второй части мы сконцентрируемся на динамике гемопоэтических клеток, играющих роль в эритропоэзе, от менее зрелых до дифференцированных клеток, рассматривая основные факторы роста (эпо, глюкокортикоиды и т. Д.).) действуя на судьбу клетки. Такое описание потребует использования нелинейных структурированных (возраст, зрелость) уравнений в частных производных. Мы будем изучать асимптотические свойства (устойчивость, бифуркации, осциллирующие решения) нелокальных уравнений, причем нелокальности находятся либо во времени, либо в структурной переменной (например, зрелость ячейки). Также будут проанализированы системы структурированных уравнений в частных производных, чтобы учесть разные уровни зрелости рассматриваемых ячеек. В первых двух частях теоретические и численные результаты будут сопоставлены с экспериментальными данными для проверки модели.Третья часть будет заключаться в объединении двух результирующих моделей через многомасштабную систему, чтобы предоставить более полную модель эритропоэза, которая позволит изучать петли регуляции и их влияние на судьбу и дисфункции клеток. В частности, мы сосредоточим нашу работу на эритролейкемии, раке крови, характеризующемся быстрой пролиферацией незрелых клеток, главным образом, эритроцитов. Мы будем искать причины заболевания в петлях клеточной регуляции, используя ранее полученную модель.Последняя часть проекта будет посвящена моделированию других кроветворных клонов с использованием ноу-хау, полученного во время части моделирования эритропоэза. Долгосрочная цель — достичь полного моделирования, включающего различные клоны кроветворения. Биологические аспекты, рассматриваемые в этом проекте, будут важны для биологов и клиницистов. Одна из целей состоит в том, чтобы предоставить инструмент прогнозирования, чтобы объяснить судьбу клеток во время эритропоэза, чтобы лучше понять внутриклеточный контроль, опосредованный факторами роста.Лейкоз по-прежнему представляет собой второй тип рака во Франции, и мы предлагаем сосредоточить наше внимание на происхождении и, возможно, лечении эритролейкемии, особого типа острого лейкоза. С математической точки зрения, проект будет способствовать развитию новых методов анализа многомасштабных моделей, теории нелинейных и нелокальных структурированных уравнений в частных производных, путем анализа их устойчивости и существования бифуркаций. Особо будет рассмотрено определение необходимых и достаточных условий существования бифуркации Хопфа для дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием.Команда в основном состоит из молодых исследователей-математиков, недавно набранных Институтом UMR 5208 Камиллы Джордан, с важным опытом междисциплинарной работы с биологами и клиницистами и необходимыми навыками анализа уравнений в частных производных для реализации проекта. Их текущие и прошлые исследования связаны с биологическими проблемами. Два члена команды — биологи, специалисты по дифференцировке клеток и клону эритроцитов. Более того, все члены проектной группы собраны в одном университетском городке (University of Lyon 1), где выполняются многочисленные междисциплинарные работы, способствующие успеху проекта.

март — 2017 — Национальный математический музей

Этот пост является первым в серии, в которой подробно описывается большое количество остановок математических туров, предназначенных для пешеходных туров по району искусств Далласа. Экскурсии начинаются в Оперном театре Винспир, поэтому давайте начнем с изучения нескольких математических идей, которые вы можете выявить, исследуя жалюзи над площадью, окружающей оперный театр.

Длина

Первая простая задача, которую вы можете дать, — это спросить участников тура, как мы можем определить длину жалюзи, указанных выше.Даже если у нас есть рулетка здесь, на земле, мы не сможем подлететь до уровня жалюзи и измерить их напрямую. Есть много возможных предложений, таких как угадывание, использование теней от жалюзи, использование лестниц, чтобы добраться до уровня жалюзи и т. Д. — следует поощрять мозговой штурм. Но одна очень продуктивная идея — найти что-то, что мы можем измерить на земле, и длина которого будет такой же, как у жалюзи. Для этого мы используем математические свойства базовой формы: прямоугольника.(На самом деле мы используем свойство, которое справедливо для любого параллелограмма вообще, независимо от того, является ли он прямоугольным, но прямоугольники — это самый простой параллелограмм для обнаружения большинства архитектурных сооружений.) А именно, противоположные стороны прямоугольника равны по длине. , поэтому, если мы воспользуемся прямоугольником, показанным на этой аннотированной версии фотографии справа, все, что нам нужно сделать, это измерить землю у основания здания, чтобы определить длину жалюзи 28 футов.

Числовые шаблоны

Первое наблюдение здесь состоит в том, что количество жалюзи в различных прямоугольных секциях или ячейках не одинаково, как можно было бы ожидать, исходя из конструкции большинства зданий.Возникает естественный вопрос — есть ли какой-то узор для разного количества жалюзи? Или какая-то связь между количеством жалюзи в соседних ячейках? А есть ли физическая связь между жалюзи в одной ячейке и соседней ячейке? Небольшое наблюдение и мозговой штурм приведут к тому, что вы заметите, что всякий раз, когда в одной ячейке больше жалюзи, чем в соседней ячейке, все «лучи» из ячейки с меньшим количеством жалюзи попадают в соседнюю ячейку. Другими словами, ячейка с большим количеством жалюзи имеет жалюзи во всех тех же положениях, что и ячейка с меньшим количеством жалюзи, плюс несколько дополнительных жалюзи.И куда делись эти дополнительные жалюзи? Что ж, на северной стороне здания легко увидеть, что по одной дополнительной жалюзи добавляется в каждое «пространство», созданное между жалюзи из соседней ячейки, как показано на диаграмме слева. Как эта операция влияет на количество жалюзи? Может показаться, что количество жалюзи удваивается, поскольку мы добавляем по одной жалюзи в каждое пространство, но на самом деле количество жалюзи увеличивается с трех до семи. Это почему? Это связано с тем, что разделение прямоугольника на секции тремя линиями создает четыре секции (на одну секцию больше, чем на линию), и если мы поместим по одной новой решетке в каждую секцию, мы получим 3 + 1 × 4 = 7 жалюзи.На другой стороне здания вы можете видеть, что архитекторы (Foster & Partners) добавили две новых жалюзи в каждое пространство между жалюзи соседней камеры, поэтому мы переходим от трех жалюзи к 3 + 2 × 4 = 11 жалюзи. . Следуя этой линии ячеек, мы видим на другой стороне здания такое же количество одиннадцати жалюзи, полученное при вставке по одной в каждое пространство из пяти. Таким образом, обнаружение этих двух разных способов разбить одиннадцать с помощью арифметических операций, 3 + 2 × 4 = 11 = 5 + 1 × 6, иллюстрирует игру с числами, которую архитекторы использовали для создания этого здания.

Ширина

При измерении ширины жалюзи возникают те же проблемы, что и при измерении их длины, но это немного сложнее. В качестве первого шага мы можем использовать тот же метод, который мы использовали для измерения длины жалюзи для измерения длины прямоугольных ячеек, но с использованием другого прямоугольника для проецирования длины на что-то измеримое на земле (снова показано в аннотированном фото справа). Вы должны обнаружить, что клетки имеют длину 48 футов.

Однако в данном случае недостаточно просто измерить длину ячейки, потому что нам нужна ширина одной жалюзи.Так что количество жалюзи, которые помещаются в одну ячейку, имеет значение. Стоит ли нам смотреть на ячейки, у которых больше всего жалюзи? Нет, поскольку жалюзи расположены под углом, в них поместится больше жалюзи, чем если бы все они были абсолютно горизонтальными. Итак, мы хотим оценить, какая ячейка выглядит так, как если бы жалюзи точно подошли бы, если бы все они были расположены на одном уровне. Мы не можем быть уверены в этом, но похоже, что жалюзи просто касаются друг друга, когда они находятся в горизонтальном положении в камерах с одиннадцатью жалюзи. Это означает, что ширина жалюзи такая же, как расстояние между балками в ячейках, в которых есть одиннадцать жалюзи.Как нам получить этот интервал? Делим ли мы 48 футов (длину ячейки) на 11 (количество жалюзи)? Нет; мы должны помнить, что одиннадцать балок делят ячейку длиной 48 футов на , двенадцать равных промежутков, поэтому балки находятся на расстоянии четырех футов друг от друга. Следовательно, по нашим оценкам, ширина жалюзи составляет четыре фута, что кажется вполне разумным круглым числом.

Угол

В предыдущем упражнении мы заметили, что жалюзи не расположены горизонтально. Почему это могло быть? Есть много возможных идей, но если мы задумаемся о назначении жалюзи, это может помочь.А именно, жалюзи предназначены для защиты от солнца, поэтому мы можем спросить, какой угол лучше всего подходит для защиты от солнца. Это подводит нас к идее различных математически эквивалентных задач; Можем ли мы придумать проблему, над которой люди работали в деталях, которая, возможно, звучит иначе, чем блокирует большую часть солнца, но на самом деле эквивалентна этой проблеме? Да — проблема с установкой солнечных панелей, которые максимально поглощают солнце. Само собой разумеется, что если панель поглощает максимально возможное количество солнечного света, тогда она должна блокировать максимальное количество солнечного света, возможное для зрителей за панелью.Таким образом, мы можем использовать значительный объем математического анализа оптимального расположения солнечных панелей, чтобы понять, на какой угол следует наклонять жалюзи.

Если исходить из основ, почему нельзя ставить жалюзи полностью горизонтально? Ответ кроется в широте Далласа. Поскольку Даллас находится достаточно севернее экватора, солнце никогда не находится прямо над головой, поэтому мы можем заблокировать больше солнца, наклонив жалюзи туда, где оно действительно находится. Насколько мы должны их наклонить? Жалюзи будут блокировать наибольшее количество солнечного света, когда они расположены перпендикулярно солнцу.Широта Далласа определяет самый высокий угол, под которым Солнце может находиться в небе, как показано на прилагаемой диаграмме (которая упрощена тем, что игнорирует наклон земной оси, поэтому точно действует только в период весеннего и осеннего равноденствий). Из диаграммы вы можете видеть, что угол наклона панелей, чтобы они смотрели прямо на солнце, когда оно находится на самом высоком уровне, равен широте Далласа, или 32,8 °. (В контексте этой диаграммы, на которой мы явно используем геометрию для понимания взаимоотношений Земли и Солнца, может быть интересно отметить, что происхождение слова геометрия происходит от греческих корней гео- для «Земли» и -метра для «измерения», т.е.е., геометрия — это буквально наука об измерении Земли, от которой она расширилась до ее современного значения.)

Так следует ли наклонять жалюзи на 32,8 °? Что ж, это заблокирует как можно больше солнца, когда оно находится в самой высокой точке равноденствия. Но будет ли это блокировать в среднем больше всего солнца? Солнце проводит большую часть своего времени на самом высоком уровне в небе? Нет; он поднимается на горизонте и садится на горизонте каждый день. И из-за наклона земли солнце летом поднимается выше в небе, но не так высоко зимой.Исходя из всего этого, можно рассчитать лучший угол, чтобы в среднем блокировать больше солнечного света. Согласно сайту, указанному выше, лучший круглогодичный наклон для Далласа составляет 28 °.

No related posts.