Симметричные отрезки относительно оси х: Симметричный отрезок относительно оси. Оси симметрии

Содержание

Центральная и осевая симметрия точек и фигур на координатной плоскости.

Авторы:

Новикова Т.В., Герасимова Г.И., Яницкая Е.А.

Возрастной диапазон:

8-9 класс

Изучаемые элементы содержания:

Симметрия фигуры относительно точки. Симметрия фигуры относительно оси. Симметричные фигуры. Свойство координат точек, симметричных заданной точке относительно начала координатной плоскости и её координатных осей.

Необходимое учебное оборудование:

геометрические фигуры, чертежные приборы для работы на парте: линейка, циркуль, шаблон системы координат, компьютер с выходом в Интернет для проведения виртуальной экскурсии по территории Московского Кремля.

Место проведения урока:

школьный класс информатики.

Памятные даты:

День работников геодезии и картографии – каждое второе воскресенье марта.

Форма проведения урока:

Работа в парах.

Галерея изображений:

foto 1

foto 10

foto 11

foto 12

foto 13

foto 14

foto 15

foto 16

foto 17

foto 18

foto 19

foto 2

foto 20

foto 21

foto 22

foto 23

foto 24

foto 25

foto 26

foto 27

foto 28

foto 29

foto 3

foto 30

foto 31

foto 32

foto 33

foto 34

foto 35

foto 4

foto 5

foto 6

foto 7

foto 8

foto 9

Свободное описание урока:

Урок проводится в кабинете информатики. Для выполнения заданий используются рабочие листы, координатная плоскость, чертежные инструменты, выход на сайт «Открытие Кремля» для проведения виртуальной экскурсии. В ходе групповой работы ученики получают возможность обобщить навыки построения точек, симметричных относительно центра симметрии и относительно оси симметрии, сравнить знак и модуль координат попарно симметричных точек, развивать способность узнавать симметричные элементы в окружающей жизни.

Приложения:

Коллекция элементов
Текстовые материалы учителя
Текстовые материалы для учеников
Кейсы
Задание
Тесты
Сценарий урока
Ссылки

Симметрия вокруг нас — ГОУ школа №103

Учитель математики ГОУ СОШ №103

Санкт-Петербург

Рогачева Татьяна Викторовна

Урок геометрии по теме: «Симметрия вокруг нас».

Класс: 8

Цели:

Образовательные:

провести исследовательские работы по изучению явлений симметрии и сформулировать понятия осевой, центральной, зеркальной симметрий в природе, архитектуре;

Развивающие:

развитие логического мышления, творческой активности, познавательного интереса;

Воспитательные:

воспитание умения сплоченно и дружно работать в коллективе, внимательно слушать речь других, приобретение навыков самостоятельной работы.

Оборудование:

мультимедийная аппаратура, авторская презентация к уроку, раздаточный материал: задания, карточки с исследовательскими задачами.

Учащиеся разбиваются на группы по 4-5 чел.

ХОД УРОКА.

Актуализация опорных знаний учащихся.

Вопрос учащимся:

Какие вы знаете виды симметрии?

Ожидаемый ответ:

Симметрия относительно точки (центральная) и симметрия относительно прямой (осевая).

Вопрос учащимся: Когда точки А и В будут симметричны относительно точки О? (слайд №3)

Ожидаемый ответ: «Точки А и В симметричны относительно точки О, если О является серединой отрезка АВ».

Вопрос учащимся:

Когда точки А и А₁ будут симметричны относительно прямой m? (слайд №4)

Ожидаемый ответ:

Точки А и В симметричны относительно прямой m, если m является серединным перпендикуляром для отрезка АВ.

Изучение нового материала.

Беседа учителя:

Сегодня мы прикоснемся к удивительному математическому явлению – симметрии, посмотрим, где и как она окружает нас.

В древности слово «симметрия» употреблялось как «красота», «гармония».

Термин «гармония» в переводе с греческого означает «соразмерность, одинаковость в расположении частей».

Известный немецкий математик нашего столетия Герман Вейль дал определение симметрии таким образом: «Симметрия является той идеей, с помощью которой человек веками пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство».

Принцип симметрии играет важную роль в математике, архитектуре, он встречается в живой природе.

Сегодня мы проведем урок, который нам поможет ближе познакомится с явлением симметрии.

Слайд 4, 5, 6

. Посмотрите внимательно на рисунки.

Что вы на них увидели? Как расположены эти фигуры?

Такие фигуры называются симметричными, а прямую, разъединяющую эти фигуры – осью симметрии.

Если согнуть лист по этой прямой, то эти фигуры полностью совпадут и мы сможем видеть только одну фигуру.

А как же получить симметричные фигуры?

Задание №1.

(самый простой способ получения симметричных фигур)

Каждая группа имеет лист бумаги.

Возьмите лист бумаги и перегните его пополам. Теперь разверните и на одной стороне постройте треугольник (прямоугольник, ромб, квадрат). Далее сложите лист по линии сгиба и проколите вершины данной фигуры так, чтобы были проколоты обе половинки. Теперь разверните лист и соедините по линейке полученные точки-дырочки. Таким образом, мы с вами построили фигуры, симметричные данным относительно прямой (линии перегиба). Убедитесь в этом. Для этого сложите лист по линии сгиба и посмотрите через него на свет.

Что вы видите? (Фигуры совпали).

Это самый простой способ построения симметричных фигур.

Задание №2.

Используя определение точек, симметричных относительно прямой, постройте с помощью чертежных инструментов, фигуру, симметричную заданной. (Слайд №9)

(Проверяем работу каждой группы).

Вывод:

Чтобы построить геометрическую фигуру, симметричную данной относительно некоторой прямой, надо построить точки, симметричные значимым точкам (вершинам) данной фигуры относительно этой прямой и потом соединить эти точки отрезками.

Есть фигуры, которые имеют свою ось симметрии. Например, (слайд 10).

Задание №3.

Одна группа

берет лист бумаги. Согнув его пополам, вырезают из него какую-нибудь фигуру, но так, чтобы линию перегиба не повредить.

Вторая группа

берет салфетку, сложенную вчетверо, и вырезают снежинку.

Внимательно рассмотрим результаты работы.

Линия сгиба вырезанной фигуры делит её на две равные части. Такая фигура называется симметричной относительно прямой (линии сгиба), а линия сгиба – осью симметрии.

Рассмотрим снежинку. Сколько в ней получилось линий сгиба (осей симметрии)?

Выводы по заданию: если внимательно рассмотреть фигуры, то среди них есть фигуры, имеющие одну или несколько осей симметрии.

А есть фигуры, которые вообще не имеют осей симметрии. (Слайд №12)

Задание №4 (Слайд №13)

Набор геометрических фигур

(лежит у каждой группы на столе)

Работая совместно в группах, вы, сгибая данные фигуры любым доступным способом, постарайтесь совместить половинки фигур друг с другом.

В процессе работы вы должны определить:

Какие фигуры обладают симметрией, а какие нет;
Количество осей симметрии у каждой фигуры;
Какая фигура имеет наибольшее количество осей симметрии.

После выполнения данного задания, анализируем результаты.

Учитель:

Во всех рассмотренных случаях мы имели дело с симметрией, которая называется осевой, так как данные фигуры симметричны (расположены одинаково) относительно прямой (оси).

Но ведь существуют и другие виды симметрии: центральная, зеркальная.

Сегодня мы проделаем эксперименты с зеркалом. В зеркале мы привыкли видеть отображение. Если поставить зеркало вдоль оси симметрии фигуры, обладающей осевой симметрией, то мы увидим, что отраженная в зеркале половинка фигуры дополняет её до целой фигуры, (работа с зеркалом)

Прямая, к которой приставлено зеркало, является осью симметрии.

А знаете ли вы, что не только геометрические фигуры имеют ось симметрии. Если внимательно присмотреться к печатным буквам нашего алфавита, то можно увидеть, что некоторые из них обладают осевой симметрией. Например, буква «Н» имеет и горизонтальную и вертикальную оси симметрии.

Задание №5. (Слайд №15)

Перед вами на столах алфавит. С помощью зеркала определите, какие из букв имеют горизонтальную, а какие вертикальную симметрию, какие вовсе не имеют симметрии. (В результате учащиеся заполняют таблицу).

Таблица (слайд №16)

Буквы, имеющие горизонтальную ось симметрии	Буквы, имеющие вертикальную ось симметрии	Буквы, не имеющие ось симметрии	Буквы, имеющие и горизонтальную и вертикальную ось симметрии
В Е Ж З К Н О С А Х Э Ю Ф	А Ж Д Л М Н О П Т А Х Ш Ф	Б Г И Р У Ц Ч Я	О Ж Н Х Ф

Примечание: Буквы «Л» и «Д» в другом шрифте имеют ось, поэтому их лучше написать от руки.

(Слайд №17, №18)

Из букв, которые обладают горизонтальной осью симметрии, можно составить слова, которые тоже будут обладать горизонтальной симметрией. Например: КОФЕ, ЗОВ.

Предлагаю провести игру: Из букв, обладающих горизонтальной симметрией, составьте:

Слова, которые также будут обладать горизонтальной симметрией. Кто больше составит слов?
Слова, которые обладают вертикальной симметрией? Например: шалаш, потоп.

Учитель:

Переходим к симметрии в пространстве. Только там вместо оси симметрии – плоскость симметрии (демонстрация пространственных фигур: шар, куб. (см. презентацию, слайд №19 — №21)

Где же мы можем увидеть примеры симметрии вокруг себя?

Симметрия широко распространена в природе (жуки, бабочки, листья деревьев) (обсуждаем слайды презентации)

Симметрия, характерная для представителей животного мира, называется билатеральной симметрией. (Слайд №26)

Применение симметрии в архитектуре. (Слайд №24-№30)

Итог занятия:

Учащиеся должны ответить на вопросы:

С каким понятием мы познакомились?
Какие виды симметрии вы запомнили?
Что нового вы узнали?

В процессе урока каждая группа предоставляет результаты по выполнению каждого задания, на основании которых будут выставлены оценки.

Домашнее заданиe (творческое):

Создать презентации по теме «Симметрия»;
Сделать плакаты или нарисовать рисунки для примера осевой и центральной симметрии.

Осевая симметрия

Сегодня на уроке мы вспомним такое понятие как осевая симметрия на плоскости, введём понятие осевой симметрии в пространстве, проверим, будет ли осевая симметрия движением пространства.

Давайте вспомним, что фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая называется осью симметрии фигуры. Про такую фигуру говорят, что она обладает осевой симметрией.

Давайте приведём примеры таких фигур из жизни и геометрии.

Ещё мы давали такое определение:

Точки и называются симметричными относительно прямой , если прямая проходит через середину отрезка и перпендикулярна к этому отрезку.

Прямая называется осью симметрии.

Каждая точка прямой считается симметричной самой себе.

В курсе планиметрии мы доказывали, что осевая симметрия является движением.

Напомним это доказательство.

Пусть точки М и N – какие-нибудь точки плоскости, а точки М₁, и N₁ – симметричные им точки относительно прямой А. Здесь может быть несколько вариантов расположения точек на плоскости.

Рассмотрим один из таких вариантов.

По построению симметричных точек относительно прямой А, прямая А перпендикулярна прямым ММ₁ и NN₁ и делит эти отрезки пополам, значит, в треугольниках МОМ₁ и NОN₁ отрезки ОК и ОЕ будут являться медианами и высотами, проведёнными к основанию, то есть это равнобедренные треугольники.

Заменив отрезок равным ему отрезком , а отрезок – равным ему отрезком , получим, что .

Вывод: таким образом, мы доказали, что расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными им точками М один и N₁.

Получаем, что осевая симметрия – пример движения плоскости.

В пространстве осевой симметрией с осью мы назовем такое отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку относительно оси .

Теперь давайте проверим, будет ли осевая симметрия в пространстве движением пространства.

Для этого введём прямоугольную систему координат Оxyz так, чтобы ось Оz совпала с осью симметрии. Теперь давайте попробуем найти связь между координатами точки М с координатами x, y, z и точки М₁ с координатами x₁, y₁,z₁, симметричных относительно оси Оz.

Если точка М не лежит на оси Оz, то по определению оси симметрии, ось Оz проходит через середину отрезка ММ₁ и перпендикулярна к этому отрезку. Поскольку Оz – середина отрезка ММ₁, и абсциссы и ординаты точек оси Оz равны нулю, то можно записать, что и .

То есть , .

Условие того, что ось Оz перпендикулярно прямой ММ₁ даёт нам, то что аппликаты точек М и М₁ равны .

Если же точка М лежит на оси Оz, то она отображается сама на себя, по определению оси симметрии, значит, и в этом случае будут выполнятся полученные равенства.

Вывод: для симметричный точек относительно оси Оz абсциссы и ординаты противоположны, а аппликаты равны.

Возникает вопрос, а если ось симметрии совпадает не с осью Оz, а, например, Оx или Оy. Тогда связь между координатами симметричных точек М и М₁ будет такая: если ось симметрии проходит через ось Оx, то точки М и М₁ имеют такие координаты , .

Если осью симметрии будет ось Оy, то точки М и М₁ имеют такие координаты , .

Теперь давайте рассмотрим любые две точки и . По только что доказанным формулам для координат симметричных точек получим, что точка . Точка .

Теперь давайте найдём расстояние .

Получим, что .

Теперь давайте найдём расстояние между точками и .

Очевидно, что оба эти выражения равны, то есть получим, что . То есть расстояние между точками при осевой симметрии в пространстве сохраняется, значит, осевая симметрия в пространстве также является движением, но уже не плоскости, а пространства.

Задача: найти координаты точек, в которые переходят точки , , при осевой симметрии относительно координатных осей.

Решение: сначала найдём координаты точек в которые переходит точки , , при осевой симметрии относительно оси Ох.

Если точка симметрична точке относительно оси то справедливы формулы: .

Точка отобразится в точку .

Если точка симметрична точке относительно оси то справедливы формулы: .

Точка отобразится в точку .

Если точка симметрична точке относительно оси то справедливы формулы: .

Точка отобразится в точку .

Итоги:

Сегодня на уроке мы ввели понятия осевой симметрии в пространстве. Показали, что и в пространстве осевая симметрия будет примером движения. Решили несколько задач.

Как построить треугольник симметричный данному. Центральная и осевая симметрия

Центральная симметрия
Осевая симметрия
Заключение

Определение

Симметрия (от греч. Symmetria – соразмерность), в широком смысле – неизменность структуры материального объекта относительно его преобразований. Симметрия играет огромную роль в искусстве и архитектуре. Но ее можно заметить и в музыке, и в поэзии. Симметрия широко встречается в природе, в особенности у кристаллов, у растений и животных. Симметрия может встретиться и в других разделах математики, например при построении графиков функций.

Центральная симметрия

Две точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О , если О — середина отрезка АА 1. точка О считается симметричной самой себе.

Построение точки, центрально-симметричной данной

Построить луч АО
Измерить длину отрезка АО
Точка А1 симметрична точке А относительно центра О.

А 1

Построение отрезка, центрально-симметричного данному

Построить луч АО
Измерить длину отрезка АО
Отложить на луче АО по другую сторону от точки О отрезок ОА 1 , равный отрезку ОА.
Построить луч ВО
Измерить длину отрезка ВО
Отложить на луче ВО по другую сторону от точки О отрезок ОВ 1 , равный отрезку ОВ.
Соединить точки А 1 и В 1 отрезком

А 1

В 1

А 1

С 1

В 1

Центрально-симметричные фигуры равны

Построение фигуры, центрально-симметричной данной

Поворот точки А вокруг центра поворота О на 90 °

А 1

90 °

Повороты точек на различные углы

А 1

135 °

45 °

А 2

90 °

А 3

Осевая симметрия

Преобразование фигуры F в фигуру F 1, при котором каждая ее точка переходит в точку, симметричную относительно данной прямой, называется преобразованием симметрии относительно прямой а . Прямая а называется осью симметрии.

Построение точки, симметричной данной

2. АО=ОА ’

Построение отрезка, симметричного данному

АА ’  с, АО=ОА ’ .
ВВ ’  с, ВО ’ =О ’ В ’ .

3. А ’ В ’ – искомый отрезок.

Построение треугольника, симметричного данному

1. AA’  c AO=OA’

2. BB’  c BO’=O’B’

3. СС ’  c С O”=O” С ’

4.  A’B’ С ’ – искомый треугольник.

Построение фигуры, симметричной данной относительно оси симметрии

Фигуры, обладающие одной осью симметрии

Угол

Равнобедренный

треугольник

Равнобедренная трапеция

Фигуры, обладающие двумя осями симметрии

Прямоугольник

Ромб

Фигуры, имеющие более двух осей симметрии

Квадрат

Равносторонний треугольник

Круг

Фигуры, не обладающие осевой симметрией

Произвольный треугольник

Параллелограмм

Неправильный многоугольник

«Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство»

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Аннотация

Уроки в школе – это значительная часть жизни школьников, требующая элементарного комфорта, благоприятного общения. Эффективность учебного процесса зависит не только от способностей прилежания и трудолюбия учеников, наличия целенаправленной мотивации учителя, но и от формы проведения уроков.

Использование информационных технологий позволяет экономить время при объяснении нового материала, представлять материал в наглядном, доступном для восприятия виде, воздействовать на разные системы восприятия учащихся, обеспечивая тем самым лучшее усвоение материала.

Большое внимание уделяется применению полученных знаний по математике в повседневной жизни. Знакомство с красотой в жизни и искусстве не только воспитывает ум и чувство ребёнка, но и способствует развитию воображения и фантазии. Я считаю, что урок с элементами творческой деятельности помогает активизировать мыслительную деятельность школьников и поэтому проходит на высоком эмоциональном уровне, что позволяет рассмотреть большое количество теоретических вопросов и задач, привлечь к работе всех учащихся класса. С целью повышения активности учащихся на протяжении всего урока используется чередование видов деятельности.

На завершающем этапе урока ученики выполняют проверочную работу в виде теста, проводят самопроверку, оценивая свою работу по заданным критериям. Наиболее активной группе учащихся предложен дополнительный материал по изученным темам.

Рефлексия в конце урока помогает определить уровень усвоения материала и поставить цели для дальнейшей работы.

Домашнее задание состоит из двух частей, что позволяет не только продолжить закрепление полученных знаний, но развивать творческие способности детей.

На мой взгляд, такие уроки дают возможность учителю творить, искать, работать на высокие результаты, формировать у учеников универсальные учебные действия – таким образом, готовить их к продолжению образования и к жизни в постоянно изменяющихся условиях.

Цели урока:

знакомство с понятием осевая симметрия;
формирование умений строить фигуры симметричные относительно прямой и выявлять осевую симметрию как свойство некоторых геометрических фигур;
раскрытие связей математики с живой природой, искусством, техникой, архитектурой;
развитие умений применять знания теории на практике, развитее навыков самоконтроля и взаимоконтроля, самооценки и самоанализа учебной деятельности;
развитие внимания, наблюдательности, мышления, интереса к предмету, математической речи, стремления к творчеству;
формирование эстетического восприятия окружающего мира, воспитанию самостоятельности.
подготовка учащихся к изучению геометрии, углубление имеющихся знаний;

Тип урока: урок «открытия» нового знания.

Оборудование: компьютер, булавка или циркуль, проектор, карточки, геометрические фигуры из бумаги.

ХОД УРОКА

1. Оргмомент

(Слайд 1) Легко отыскать примеры прекрасного, но как трудно объяснить, почему они прекрасны. (Платон)

– Сегодня на уроке мы попытаемся разобраться в некоторых особенностях создания прекрасного!!!

2. Актуализация

– Посмотрите на кленовый лист, снежинку, бабочку. (Слайд 2) Что их объединяет, что у них общего? То, что они симметричны.
– Напомните мне, пожалуйста, что же означает слово «симметрия».
– «Симметрия» по-гречески означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей». Если поставить зеркальце вдоль прочерченной на каждом рисунке прямой, то отраженная на зеркале половинка фигуры дополнит ее до целой. Потому такая симметрия называется зеркальной (осевой).

(Учитель показывает опыт на елочке вырезанной из цветной бумаги)

– Прямая, вдоль которой поставлено зеркало, называется осью симметрии . Если согнуть лист по этой прямой, то эти фигуры полностью совпадут, и мы сможем видеть только одну фигуру. Как вы думаете, какова тема сегодняшнего урока? (Осевая симметрия)

(Слайды 3-4)

– Ребята, сегодня мы научимся строить фигуры симметричные относительно прямой, а также вы узнаете, где применяется осевая симметрия.
– А как же получить симметричные фигуры?
– Для начала рассмотрим самый простой способ получения симметричных фигур.
У каждого из вас на столе лист белой бумаги. Возьмите лист бумаги и перегните его пополам. Теперь на одной стороне постройте треугольник (1 ряд – остроугольный, 2 ряд – прямоугольный, 3 ряд – тупоугольный).
Далее проколите вершины данной фигуры так, чтобы были проколоты обе половинки. Теперь разверните лист и соедините по линейке полученные точки-дырочки . Таким образом, мы с вами построили фигуры, симметричные данным относительно прямой (линии перегиба). Убедитесь в этом . Для этого сложите лист по линии сгиба и посмотрите через него на свет .
– Что вы видите? (Фигуры совпали.)
– Это самый простой способ построения симметричных фигур.
– Но всегда ли на практике, таким образом, мы сможем построить симметричные фигуры?
– А что мы сделали для того, что бы построить симметричные треугольники?
– Перегнули лист пополам.
– Т.е. провели ось симметрии . Дальше.
– Прокололи вершины треугольника.
– Т.е. построили точки, которыми ограничен наш треугольник .
– А это значит, что прежде чем построить фигуру симметричную данной мы должны научится строить в первую очередь что? (Точку симметричную данной.)
– Как это можно сделать, давайте разберемся.

3. Сейчас выполним практическую работу:

– Отметьте точку Аа. Из точки А опустите перпендикуляр АО на прямую а . Теперь от точки О отложите перпендикуляр ОА1= АО . Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а . Такая прямая называется осью симметрии.

(Учитель строит на доске, ученики в тетрадях).

– Какие две точки называются симметричными относительно прямой?
– А как построить фигуру симметричную относительно некоторой прямой?
– Давайте попробуем построить треугольник симметричный относительно прямой.

(Учитель вызывает к доске желающего ученика, остальные работают в тетрадях).

После проделанной работы ученики делают вывод вместе с учителем.

Вывод: Чтобы построить геометрическую фигуру, симметричную данной относительно некоторой прямой, надо построить точки , симметричные значимым точкам (вершинам ) данной фигуры относительно этой прямой и потом соединить эти точки отрезками.

– Ребята, симметричными могут быть не только 2 фигуры , в некоторых фигурах тоже можно провести ось симметрии. Говорят, что такие фигуры обладают осевой симметрией. Назовите фигуры, обладающие осевой симметрией.

(Учитель называет и показывает геометрические фигуры, вырезанные из цветной бумаги)

– А как вы думаете, сколько осей симметрии у равнобедренного треугольника, прямоугольника, квадрата ? (Прямоугольник имеет 2 оси симметрии. Квадрат имеет 4 оси симметрии) – А у круга ? (Круг имеет бесконечно много осей симметрии) .

(Слайды 7-11)

– Назовите фигуры, которые не имеют оси симметрии. (Параллелограмм, разносторонний треугольник, неправильный многоугольник).

– Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Симметрично практически все транспортные средства, предметы домашнего обихода (мебель, посуда), некоторые музыкальные инструменты.
– Приведите примеры предметов имеющих осевую симметрию.

– Законы природы , управляющие неисчерпаемой в своем многообразии картиной явлении, в свою очередь, также подчиняются принципам симметрии. Внимательное наблюдение показывает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия.

(Слайды 12-15)

Симметрия часто встречается в предметах созданных человеком.
Симметрия встречается уже у истоков человеческого развития. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придает гармоничность, законченность .

(Слайды 18-19)

Впечатляющие результаты дает симметрия в изобразительном искусстве. (Слайды 20-21)
Художники эпохи Возрождения часто использовали язык симметрии в построении своих композиций. Это следовало из их логики понимания картины как изображения идеального мироустройства, где царит разумная организованность и уравновешенность, которые человек может познать и осмыслить.
В удивительной картине «Обручение девы Марии» великий Рафаэль воспроизвел такой образ мира, существующего по законам гармонии и строгой логики. Использованный принцип симметрии создает впечатление покоя и торжественности и в то же время некой отстраненности от зрителя. Вход в изящную ротонду и кольцо, одеваемое Иосифом на руку Марии, совпадают с центральной осью симметрии картины.
В работе Леонардо «Тайная вечеря» преобладают строгие построения перспективы интерьера. Композиционное развитие здесь базируется на зеркальном повторе правой и левой частей. Конечно, чаще всего в изобразительном искусстве мы говорим о неполной симметрии .
В картине «Три богатыря» русского художника В. Васнецова сами герои полны сдерживаемой силы. Из-за этих небольших отклонений от строгой симметричности возникает ощущение внутренней свободы персонажей, их готовности к движению.
Буквы русского языка тоже можно рассмотреть с точки зрения симметрии. (Слайды 22-23)
Весь алфавит разделен на 4 группы, как вы думаете, по каким критериям я это сделала?
Буквы А, М, Т, Ш, П имеют вертикальную ось симметрии, В, З, К, С, Э, В, Е – горизонтальную. А буквы Ж, Н, О, Ф, Х имеют по две оси симметрии.
Симметрию можно увидеть и в словах: казак, шалаш. Есть и целые фразы с таким свойством (если не учитывать пробелы между словами): “Искать такси”, “Аргентина манит негра”, “Ценит негра аргентинец”. Такие слова называются палиндромами . Ими увлекались многие поэты.
Рассмотрим примеры слов, имеющих горизонтальную ось симметрии:
СНЕЖОК, ЗВОНОК, КОНЕК, НОС
Слова, имеющие вертикальную ось симметрии:

Х Т
О О
Л П
О О
Д Т

Некоторые композиторы, в том числе и великий Бах, писали музыкальные палиндромы.

(Слайд 24) Те, кому повезло иметь симметричное лицо, вероятно, уже заметили, что пользуются успехом у противоположного пола. Также это может свидетельствовать об их хорошем здоровье. Дело в том, что лицо с идеальными пропорциями является признаком того, что организм его обладателя хорошо подготовлен для борьбы с инфекциями. Обычная простуда, астма и грипп с высокой вероятностью отступают перед людьми, у которых левая сторона в точности похожа на правую.

Физкультминутка (Слайд 25)

Раз – подняться, потянуться,
Два – согнуться, разогнуться.
Три – в ладоши три хлопка,
Головою тори кивка.
На четыре – руки шире,
Пять – руками помахать,
Шесть – за парту сесть опять.

(Слайд 26-27)

Проводится тест с последующей самопроверкой.

– Не забудем про гимнастику ума. Примеры у нас сегодня тоже симметричные. Кто уже выполнил задание, можете посчитать устно вот эти симметричные примеры. (Слайд 30)

Вариант 1 Вариант 2

1) Б 2) Г 3) Б 4) А 5) В 1) В 2) Б 3) Б 4) Г 5) Г

Оценивание выполненной работы по соответствующим критериям:

«5» – 5 заданий;
«4» – 4 задания;
«3» – 3 задания;
«2» – менее трёх заданий.

– Попробуйте ответить на вопрос какая фигура лишняя и почему? (Слайд 31)

(Фигура № 3, т.к не имеет ось симметрии)

– Молодцы!

5. Итог урока. Рефлексия

– Подходит к концу наш урок, но знакомство с симметрией продолжается. На протяжении всего урока мы выполняли разнообразные задания.
– С каким понятием вы сегодня познакомились?
– Какие цели мы ставили на урок? Мы выполнили поставленные цели? Кто же лучше всех трудился? Кто на уроке отличился? Какое задание вам показалось самым трудным? Какой теоретический материал помог справиться с заданием?
– Какое задание вам показалось самым интересным? Что нового «открыли» вы для себя на уроке? Как вы думаете, над чем, каждому из вас следует потрудиться?

– Ребята, спасибо вам за работу! Без помощи и поддержке друг друга мы не смогли бы достичь цели. Я очень довольна вашей работой на уроке. Считаете ли вы, что мы не напрасно провели эти минуты вместе? Поделитесь своими впечатлениями о нашем уроке.

(Слайды 32-33)

7. Заключение

Действительно симметричные объекты окружают нас буквально со всех сторон, мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. Симметрия противостоит хаосу, беспорядку. Получается, что симметрия – это уравновешенность, упорядоченность, красота, совершенство.
Весь мир можно рассмотреть как проявление единства симметрии и асимметрии. Симметрия многообразна, вездесуща. Она создает красоту и гармонию.
И на вопрос: “Есть ли будущее без симметрии?” мы можем ответить словами классика современного естествознания, мыслителя Владимира Ивановича Вернадского “Принцип симметрии охватывает все новые и новые области…”

ТРЕУГОЛЬНИКИ.

§ 17. СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ.

1. Фигуры, симметричные друг другу.

Начертим на листе бумаги чернилами какую-нибудь фигуру, а карандашом вне её — произвольную прямую. Затем, не давая чернилам высохнуть, перегнём лист бумаги по этой прямой так, чтобы одна часть листа налегла на другую. На этой другой части листа получится, таким образом, отпечаток данной фигуры.

Если затем лист бумаги опять распрямить, то на нём окажутся две фигуры, которые называются симметричными относительно данной прямой (черт. 128).

Две фигуры называются симметричными относительно некоторой прямой, если при перегибании плоскости чертежа по этой прямой они совмещаются.

Прямая, относительно которой данные фигуры симметричны, называется их осью симметрии .

Из определения симметричных фигур следует, что всякие симметричные фигуры равны.

Получить симметричные фигуры можно и не пользуясь перегибанием плоскости, а с помощью геометрического построения. Пусть требуется построить точку С», симметричную данной точке С относительно прямой АВ. Опустим из точки С перпендикуляр
СD на прямую АВ и на продолжении его отложим отрезок DС» = DС. Если перегнём плоскость чертежа по АВ, то точка С совместится с точкой С»: точки С и С» симметричны (черт. 129).

Пусть требуется теперь построить отрезок С»D», симметричный данному отрезку СD относительно прямой АВ. Построим точки С» и D», симметричные точкам С и D. Если перегнём плоскость чертежа по АВ, то точки С и D совместятся соответственно с точками С» и D» (черт. 130).Поэтому отрезки СD и С»D» совместятся, они будут симметричны.

Построим теперь фигуру, симметричную данному многоугольнику АВСDЕ относительно данной оси симметрии МN (черт. 131).

Для решения этой задачи опустим перпендикуляры Аа , Вb , Сс , Dd и Ее на ось симметрии МN. Затем на продолжениях этих перпендикуляров отложим отрезки
а А» = Аа , b В» = Вb , с С» = Сс; d D»» =Dd и е Е» = Ее .

Многоугольник А»В»С»D»Е» будет симметричным многоугольнику АВСDЕ. Действительно, если перегнуть чертёж по прямой МN, то соответствующие вершины обоих многоугольников совместятся, а значит, совместятся и сами многоугольники; это и доказывает, что многоугольники АВСDЕ и А»В»С»D»Е» симметричны относительно прямой MN.

2. Фигуры, состоящие из симметричных частей.

Часто встречаются геометрические фигуры, которые какой-нибудь прямой разделяются на две симметричные части. Такие фигуры называются симметричными.

Так, например, угол — фигура симметричная, и биссектриса угла является его осью симметрии, так как при перегибании по ней одна часть угла совмещается с другой (черт. 132).

В круге осью симметрии является его диаметр, так как при перегибании по нему один полукруг совмещается с другим (черт. 133). Точно так же симметричны фигуры на чертежах 134, а, б.

Симметричные фигуры часто встречаются в природе, строительстве, в украшениях. Изображения, помещённые на чертежах 135 и 136, симметричны.

Следует заметить, что симметричные фигуры совместить простым передвижением по плоскости можно лишь в некоторых случаях. Чтобы совместить симметричные фигуры, как правило, необходимо одну из них повернуть обратной стороной,

Назад Вперёд

Тип урока: комбинированный.

Цели урока:

Рассмотреть осевую, центральную и зеркальную симметрии как свойства некоторых геометрических фигур.
Научить строить симметричные точки и распознавать фигуры, обладающие осевой симметрией и центральной симметрией.
Совершенствовать навыки решения задач.

Задачи урока:

Формирование пространственных представлений учащихся.
Развитие умения наблюдать и рассуждать; развитие интереса к предмету через использование информационных технологий.
Воспитание человека, умеющего ценить прекрасное.

Оборудование урока:

Использование информационных технологий (презентация).
Рисунки.
Карточки с домашним заданием.

Ход урока

I. Организационный момент .

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Введение .

Что такое симметрия?

Выдающийся математик Герман Вейль высоко оценил роль симметрии в современной науке: «Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство».

Мы живем в очень красивом и гармоничном мире. Нас окружают предметы, которые радуют глаз. Например, бабочка, кленовый лист, снежинка. Посмотрите, как они прекрасны. Вы обращали на них внимание? Сегодня мы с вами прикоснемся к этому прекрасному математическому явлению – симметрии. Познакомимся с понятием осевой, центральной и зеркальной симметрий. Будем учиться строить и определять симметричные относительно оси, центра и плоскости фигуры.

Слово “симметрия” в переводе с греческого звучит как “гармония”, означая красоту, соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придает гармоничность, законченность.

В наиболее общем виде под «симметрией» в математике понимается такое преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка M переходит в другую точку M» относительно некоторой плоскости (или прямой) a, когда отрезок MM» является перпендикулярным плоскости (или прямой) a и делится ею пополам. Плоскость (прямая) a называется при этом плоскостью (или осью) симметрии. К фундаментальным понятиям симметрии относятся плоскость симметрии, ось симметрии, центр симметрии. Плоскостью симметрии P называется такая плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части, расположенные друг относительно друга так, как предмет и его зеркальное отражение.

III. Основная часть. Виды симметрии.

Центральная симметрия

Симметрия относительно точки или центральная симметрия – это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону центра симметрии, соответствует другая точка, расположенная по другую сторону центра. При этом точки находятся на отрезке прямой, проходящей через центр, делящий отрезок пополам.

Практическое задание .

Даны точки А , В и М М относительно середины отрезка АВ .
Какие из следующих букв имеют центр симметрии: А, О, М, Х, К?
Имеют ли центр симметрии: а) отрезок; б) луч; в) пара пересекающихся прямых; г) квадрат?

Осевая симметрия

Симметрия относительно прямой (или осевая симметрия) – это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону прямой, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны оси симметрии и делятся ею пополам.

Практическое задание .

Даны две точки А и В , симметричные относительно некоторой прямой, и точка М . Постройте точку, симметричную точке М относительно той же прямой.
Какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, Г, Е, О?
Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч?
Сколько осей симметрии имеет рисунок? (см. рис. 1)

Зеркальная симметрия

Точки А и В называются симметричными относительно плоскости α (плоскость симметрии), если плоскость α проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости α считается симметричной сама себе.

Практическое задание .

Найдите координаты точек, в которые переходят точки А (0; 1; 2), В (3; -1; 4), С (1; 0; -2) при: а) центральной симметрии относительно начала координат; б) осевой симметрии относительно координатных осей; в)зеркальной симметрии относительно координатных плоскостей.
В правую или левую перчатку переходит правая перчатка при зеркальной симметрии? осевой симметрии? центральной симметрии?
На рисунке показано, как цифра 4 отражается в двух зеркалах. Что будет видно на месте знака вопроса, если то же самое сделать с цифрой 5? (см. рис. 2)
На рисунке показано, как слово КЕНГУРУ отражается в двух зеркалах. Что получится, если то же самое проделать с числом 2011? (см. рис. 3)

Рис. 2

Это интересно.

Симметрия в живой природе.

Почти все живые существа построены по законам симметрии, недаром в переводе с греческого слово «симметрия» означает «соразмерность».

Среди цветов, например, наблюдается поворотная симметрия. Многие цветы можно повернуть так, что каждый лепесток займет положение соседнего, цветок совместится с самим собой. Минимальный угол такого поворота для различных цветов неодинаков. Для ириса он равен 120°, для колокольчика – 72°, для нарцисса – 60°.

В расположении листьев на стеблях растений наблюдается винтовая симметрия. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются в разные стороны и не заслоняют друг друга от света, хотя сами листья тоже имеют ось симметрии. Рассматривая общий план строения какого-либо животного, мы замечаем обычно известную правильность в расположении частей тела или органов, которые повторяются вокруг некоторой оси или занимают одно и то же положение по отношению к некоторой плоскости. Эту правильность называют симметрией тела. Явления симметрии столь широко распространены в животном мире, что весьма трудно указать группу, в которой никакой симметрии тела подметить нельзя. Симметрией обладают и маленькие насекомые, и крупные животные.

Симметрия в неживой природе.

Среди бесконечного разнообразия форм неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образы, чей вид неизменно привлекает наше внимание. Наблюдая за красотой природы, можно заметить, что при отражении предметов в лужах, озерах проявляется зеркальная симметрия (см. рис. 4).

В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. Каждая снежинка – это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают поворотной симметрией и, кроме того, зеркальной симметрией.

Нельзя не увидеть симметрию и в ограненных драгоценных камнях. Многие гранильщики стараются придать бриллиантам форму тетраэдра, куба, октаэдра или икосаэдра. Так как гранат имеет те же элементы что и куб, он высоко ценится знатоками драгоценных камней. Художественные изделия из гранатов были обнаружены в могилах Древнего Египта, относящихся еще к додинастическому периоду (свыше двух тысячелетий до н.э.) (см. рис. 5).

В коллекциях Эрмитажа особым вниманием пользуются золотые украшения древних скифов. Необычайно тонка художественная работа золотых венков, диадем, дерева и украшенных драгоценными красно-фиолетовыми гранатами.

Одним из самых наглядных использований законов симметрии в жизни служат строения архитектуры. Это то, что чаще всего мы можем увидеть. В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла (см. рис. 6). В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях.

Еще одним примером использования человеком симметрии в своей практике – это техника. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля. Или одно из важнейших изобретений человечества, имеющих центр симметрии, является колесо, также центр симметрии есть у пропеллера и других технических средств.

«Посмотри в зеркало!»

Должны ли мы считать, что самих себя видим только в «зеркальном отражении»? Или в лучшем случае лишь на фото и кинопленке можем узнать, как мы выглядим «на самом деле»? Конечно, нет: достаточно зеркальное изображение вторично отразить в зеркале, чтобы увидеть свое истинное лицо. На помощь приходят трельяжи. Они имеют одно большое главное зеркало в центре и два меньших зеркала по сторонам. Если такое боковое зеркало поставить под прямым углом к среднему, то можно увидеть себя именно в том виде, в каком вас видят окружающие. Зажмурьте левый глаз, и ваше отражение во втором зеркале повторит ваше движение левым глазом. Перед трельяжем вы можете выбирать, хотите ли вы увидеть себя в зеркальном или в непосредственном изображении.

Легко вообразить, какая бы царила на Земле неразбериха, если бы симметрия в природе была нарушена!


Рис. 4	Рис. 5	Рис. 6

IV. Физкультминутка.

«Ленивые восьмерки » – активизируют структуры, обеспечивающие запоминание, повышают устойчивость внимания.
Нарисовать в воздухе в горизонтальной плоскости цифру восемь по три раза сначала одной рукой, затем сразу обеими руками.
«Симметричные рисунки » – улучшают зрительно-моторную координацию, облегчают процесс письма.
Нарисовать в воздухе обеими руками симметричные рисунки.

V. Самостоятельная работа проверочного характера.

Ι вариант

ΙΙ вариант

В прямоугольнике MPKH О – точка пересечения диагоналей, РА и BH – перпендикуляры, проведенные из вершин Р и H к прямой МК. Известно, что МА = ОВ. Найдите угол РОМ.
В ромбе MPKH диагонали пересекаются в точке О. На сторонах МК, KH, PH взяты точки А, В, С соответственно, АК = КВ = РС. Докажите, что ОА = ОВ, и найдите сумму углов РОС и МОА.
Постройте квадрат по данной диагонали так, чтобы две противоположные вершины этого квадрата лежали на разных сторонах данного острого угла.

VI. Подведение итогов урока. Оценивание.

С какими видами симметрии вы познакомились на уроке?
Какие две точки называются симметричными относительно данной прямой?
Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой?
Какие две точки называются симметричными относительно данной точки?
Какая фигура называется симметричной относительно данной точки?
Что такое зеркальная симметрия?
Приведите примеры фигур, обладающих: а) осевой симметрией; б) центральной симметрией; в) и осевой, и центральной симметрией.
Приведите примеры симметрии в живой и неживой природе.

VII. Домашнее задание.

1. Индивидуальное: достройте, применив осевую симметрию (см. рис. 7).

Рис. 7

2. Постройте фигуру, симметричную данной относительно: а) точки; б) прямой (см. рис. 8, 9).


Рис. 8	Рис. 9

3. Творческое задание: «В мире животных». Нарисуйте представителя из мира животных и покажите ось симметрии.

VIII. Рефлексия.

Что понравилось на уроке?
Какой материал был наиболее интересен?
Какие трудности возникли при выполнении того или иного задания?
Что бы вы изменили в ходе урока?

Вам понадобится

— свойства симметричных точек;
— свойства симметричных фигур;
— линейка;
— угольник;
— циркуль;
— карандаш;
— лист бумаги;
— компьютер с графическим редактором.

Инструкция

Проведите прямую a, которая будет являться осью симметрии. Если ее координаты не заданы, начертите ее произвольно. С одной стороны от этой прямой поставьте произвольную точку A. необходимо найти симметричную точку.

Полезный совет

Свойства симметрии постоянно используются в программе AutoCAD. Для этого используется опция Mirror. Для построения равнобедренного треугольника или равнобедренной трапеции достаточно начертить нижнее основание и угол между ним и боковой стороной. Отразите их с помощью указанной команды и продлите боковые стороны до необходимой величины. В случае с треугольником это будет точка их пересечения, а для трапеции — заданная величина.

С симметрией вы постоянно сталкиваетесь в графических редакторах, когда пользуетесь опцией «отразить по вертикали/горизонтали». В этом случае за ось симметрии берется прямая, соответствующая одной из вертикальных или горизонтальных сторон рамки рисунка.

Источники:

как начертить центральную симметрию

Построение сечения конуса не такая уж сложная задача. Главное — соблюдать строгую последовательность действий. Тогда данная задача будет легко выполнима и не потребует от Вас больших трудозатрат.

Вам понадобится

— бумага;
— ручка;
— циркль;
— линейка.

Инструкция

При ответе на этот вопрос, сначала следует определиться – какими параметрами задано сечение.
Пусть это будет прямая пересечения плоскости l с плоскостью и точка О, которая местом пересечения с его сечением.

Построение иллюстрирует рис.1. Первый шаг построения сечения – это через центр сечения его диаметра, продленного до l перпендикулярно этой линии. В итоге получается точка L. Далее через т.О проведите прямую LW, и постройте две направляющие конуса, лежащие в главном сечении О2М и О2С. В пересечении этих направляющих лежат точка Q, а также уже показанная точка W. Это первые две точки искомого сечения.

Теперь проведите в основании конуса ВВ1 перпендикулярный МС и постройте образующие перпендикулярного сечения О2В и О2В1. В этом сечении через т.О проведите прямую RG, параллельную ВВ1. Т.R и т.G — еще две точки искомого сечения. Если бы сечения бал известен, то его можно было бы построить уже на этой стадии. Однако это вовсе не эллипс, а нечто эллипсообразное, имеющее симметрию относительно отрезка QW. Поэтому следует строить как можно больше точек сечения, чтобы соединяя их в дальнейшем плавной кривой получить наиболее достоверный эскиз.

Постройте произвольную точку сечения. Для этого проведите в основании конуса произвольный диаметр AN и постройте соответствующие направляющие О2A и O2N. Через т.О проведите прямую, проходящую через PQ и WG, до ее пересечения с только что построенными направляющими в точках P и E. Это еще две точки искомого сечения. Продолжая так же и дальше, можно сколь угодно искомых точек.

Правда, процедуру их получения можно немного упростить пользуясь симметрией относительно QW. Для этого можно в плоскости искомого сечения провести прямые SS’, параллельные RG до пересечения их с поверхность конуса. Построение завершается скруглением построенной ломаной из хорд. Достаточно построить половину искомого сечения в силу уже упомянутой симметрии относительно QW.

Видео по теме

Вам требуется начертить график тригонометрической функции ? Освойте алгоритм действий на примере построения синусоиды. Для решения поставленной задачи используйте метод исследования.

Вам понадобится

— линейка;
— карандаш;
— знание основ тригонометрии.

Инструкция

Видео по теме

Обратите внимание

Если две полуоси однополосного гиперболоида равны, то фигуру можно получить путем вращения гиперболы с полуосями, одна из которых вышеуказанная, а другая, отличающаяся от двух равных, вокруг мнимой оси.

Полезный совет

При рассмотрении этой фигуры относительно осей Oxz и Oyz видно, что ее главными сечениями являются гиперболы. А при разрезе данной пространственной фигуры вращения плоскостью Oxy ее сечение представляет собой эллипс. Горловой эллипс однополосного гиперболоида проходит через начало координат, ведь z=0.

Горловой эллипс описывается уравнением x²/a² +y²/b²=1, а другие эллипсы составляются по уравнению x²/a² +y²/b²=1+h²/c².

Источники:

Эллипсоиды, параболоиды, гиперболоиды. Прямолинейные образующие

Форма пятиконечной звезды повсеместно используется человеком с древних времен. Мы считаем ее форму прекрасной, так как бессознательно различаем в ней соотношения золотого сечения, т.е. красота пятиконечной звезды обоснована математически. Первым описал построение пятиконечной звезды Евклид в своих «Началах». Давайте же приобщимся к его опыту.

Вам понадобится

линейка;
карандаш;
циркуль;
транспортир.

Инструкция

Построение звезды сводится к построению с последующим соединением его вершин друг с другом последовательно через одну. Для того чтобы построить правильный необходимо разбить окружность на пять .
Постройте произвольную окружность при помощи циркуля. Обозначьте ее центр точкой O.

Отметьте точку A и при помощи линейки начертите отрезок ОА. Теперь необходимо разделить отрезок OA пополам, для этого из точки А проведите дугу радиусом ОА до пересечения ее с окружностью в двух точках M и N. Постройте отрезок MN. Точка Е, в которой MN пересекает OA, будет делить отрезок OA пополам.

Восстановите перпендикуляр OD к радиусу ОА и соедините точку D и E. Сделайте засечку B на

Координаты симметричных точек | Треугольники

Выясним, как связаны между собой координаты симметричных точек и рассмотрим на примерах, как найти координаты точки, симметричной данной точке.

I. Две точки A(x_A;y_A) и B(x_B;y_B) симметричны относительно точки O(x_O;y_O), если точка O является серединой отрезка AB.

По формулам координаты середины отрезка получаем связь координат этих точек:

Координаты точек, симметричных относительно начала координат — точки O(0;0) — противоположные числа.

То есть координаты точки B, симметричной точке A относительно начала координат, отличаются от координат точки A только знаками:

A(a;b) и B(-a;-b) — точки, симметричные относительно начала координат.

Примеры.

1) Найти точку, симметричную точке A(-3;7) относительно точки F(5; 11).

Решение:

Пусть B(x_B;y_B) — точка, симметричная точке A относительно точки F. Тогда

Ответ: (13;15).

2) Найти точку, симметричную точке C (9;-4) относительно начала координат.

Решение:

Точка D, симметричная точке C относительно начала координат, имеет координаты, противоположные координатам точки C: D(-9;4).

Ответ: (-9;4).

II. Две точки A(x_A;y_A) и B(x_B;y_B) симметричны относительно прямой g, если эта прямая проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему.

Таким образом, чтобы найти координаты точки B, симметричной данной точке A относительно прямой g, можно:

Написать уравнение прямой f, перпендикулярной прямой g, проходящей через точку A.
Найти точку O пересечения прямых f и g.
Зная конец отрезка A и его середину O найти другой конец B.

Пример

Найти точку, симметричную точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Решение:

Уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой y=2x+4, ищем в виде y=-0,5x+b. Так как эта прямая проходит через точку A, координаты A удовлетворяют уравнению прямой:

5=-0,5·(-4)+b, откуда b=3.

Таким образом, y=-0,5x+3 — прямая, перпендикулярная прямой y=2x+4 и проходящая через точку A.

Найдём координаты точки пересечения прямых:

Значит точка B(3,2;1,4) симметрична точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Ответ: (3,2;1,4).

Координаты точек, симметричных относительно осей координат и биссектрис координатных четвертей — прямых y=x и y=-x — находятся проще:

	для точки A(x;y)
симметрия относительно:
оси Ox	A₁(x;-y)
оси Oy	A₂(-x;y)
биссектрисы I и II координатных четвертей (прямой y=x)	A₃(y;x)
биссектрисы I b II координатных четвертей (прямой y= -x)	A₄(-y;-x)

Методическая разработка урока по теме: «Осевая и центральная симметрия»

Тема урока:

Математики о симметрии

Математик любит прежде всего симметрию

Максвелл Д.

Красота тесно связана с симметрией

Вейль Г.

Симметрия … является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство

Вейль Г .

Для человеческого разума симметрия обладает, по — видимому, совершенно особой притягательной силой

Фейнман Р

Точки А 1 и А 2 называются симметричными относительно

точки О, если О – середина отрезка А 1 А 2

А 1 О = ОА 2

Точка О – центр симметрии

N 1

А 2

M 1

А 1

Свойство :

Фигуры, симметричные

относительно некоторой

точки, равны.

Симметричность фигуры относительно точки

Определение

Фигура называется симметричной относительно точки , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре.

Какие из данных фигур имеют центр симметрии?

Примерами фигур, обладающих центральной симметрией , являются окружность и параллелограмм

Окружность

Параллелограмм

Примерами фигур, обладающих центральной симметрией

Правильный

шестиугольник

Параллелограмм

Окружность

Определение

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно центра О

1. Соединить точки A, B, C с центром O

и продолжить эти отрезки; 2. Измерить отрезки AO, BO, CO и

отложить от точки O, равные им отрезки OA 1 =OA; OB 1 =OB; OC 1 =OC; 3. Соединить получившиеся точки

A 1 , В 1 , С 1 отрезками. Получим Δ A 1 B 1 C 1 , симметричный данному Δ ABC относительно центра О.

Практическая работа

Постройте отрезок С 1 D 1 , симметричный отрезку С D относительно прямой а.

Постройте треугольник M 1 N 1 K 1 , симметричный треугольнику MNK относительно точки O .

Практическая работа

Постройте отрезок С 1 D 1 , симметричный отрезку С D относительно прямой а.

Постройте треугольник M 1 N 1 K 1 , симметричный треугольнику MNK относительно точки O .

Практическая работа

D 1

Постройте отрезок С 1 D 1 , симметричный отрезку С D относительно прямой а.

Постройте треугольник M 1 N 1 K 1 , симметричный треугольнику MNK относительно точки O .

C 1

K 1

N 1

M 1

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой точки

Построение:

Построим треугольник А 1 В 1 С 1 , симметричный треугольнику АВС, относительно центра (точки) О.

А 1

С 1

В 1

Получили ∆А 1 В 1 С 1 симметричный ∆АВС.

Симметричность на координатной плоскости

A 1

B 1

C 1

D 1

C 1

B 1

A 1

Центральная симметрия

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно оси симметрии

Провести из вершин Δ АВС прямые, перпендикулярные оси симметрии а, продолжить их на другой стороне оси а.
Измерить расстояние от вершин Δ АВС до точек пересечения с осью симметрии а и отложить от оси симметрии равные им отрезки.
Соединить получившиеся точки отрезками и получить Δ А 1 В 1 С 1 , симметричный Δ АВС относительно оси симметрии а.

А 1

В1

С 1

Точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а , если эта прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к нему.

М 1

А 1

N 1

Точка N симметрична N 1 , точка М симметрична М 1 относительно прямой b

а – ось симметрии

Симметричность точек относительно прямой

Две точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а , если эта прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к нему.

Постройте точку C 1 , симметричную точке C относительно прямой а.

C 1

Симметричность фигуры относительно прямой

Определение

Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре.

Осевая симметрия

Центральная симметрия

Осевая симметрия

Симметрия вокруг нас.

Симметрия вокруг нас

Задача 1

Сколько осей симметрии имеют следующие геометрические фигуры? Изобразить оси симметрии

Задача 1

У геометрических фигур может быть одна или несколько осей симметрии, а может и не быть совсем.

Окружность имеет бесконечно много

осей симметрии,

все они являются диаметрами

Фигуры, не обладающие осевой симметрией

Параллелограмм

Разносторонний

треугольник

Задача 2 Какие из букв А, Б, Г, Е, Х, И, М, Н, О, Т, Я имеют:

а ) центр симметрии

б) ось симметрии

Задача 2 Какие из букв А, Б, Г, Е, Х, И, М, Н, О, Т, Я имеют:

а ) центр симметрии: Х, И, Н, О

б) ось симметрии: А, Е, Х, М, Н, О, Т

Докажите, что прямая , содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, является осью симметрию
Имеют ли центр симметрии отрезок, луч, пара пересекающихся прямых, квадрат
Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Бисектриссы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. АВ;
2) прямая а делит отрезок пополам (рис. 9).
Прямая а при этом называется осью симметрии.
Определение.Отображение плоскости в себя называется симметрией относительно оси а или осевой симметрией, если каждой точке А плоскости ставится в соответствие симметричная ей точка А₁относительно оси а.
Свойства осевой симметрии:
1). При осевой симметрии прямая переходит в прямую;
2). При осевой симметрии отрезок переходит в равный ему отрезок;
3). При осевой симметрии угол переходит в равный ему угол;
4). Осевая симметрия является движением.
Рассмотрим примеры применения симметрии.
ПРИМЕР 6. Дана прямая k и две точки А и В, не лежащие на этой прямой. На k найти такую точку Х, чтобы сумма АХ + ХВ была минимальной.
Анализ. Предположим, что задача решена. Если точки А и В расположены по разные стороны от К, то очевидно, что Х – это точка пересечения отрезка АВ и прямой k. Если же точки А и В по одну сторону от k, то отобразив В симметрично относительно k, получим точку В₁ такую, что ХВ = ХВ₁ и значит точка Х должна лежать на отрезке АВ₁(рис. 10).

Построение. Если точки А и В по разные стороны от k, то проведем отрезок АВ и его пересечение с k есть искомая точка Х.
Если А и В по одну сторону от k, то отобразив В симметрично относительно k, получим точку В₁. Проведя отрезок АВ, получим искомую точку Х.
Доказательство. В первом случае доказательство очевидно. Во втором случае, когда А и В по одну сторону от k: пусть Y – любая другая точка прямой k, отличная от Х. Тогда из свойств симметрии получаем, что BY = B₁Y, а из неравенства треугольника имеем AY + YB = = АY + YB₁ > AB = AX + XB₁(рис.10).
Исследование. Задача имеет решение всегда и причем одно.
ПРИМЕР 7. Построить четырехугольник АВСД, если заданы отрезки, являющиеся его сторонами АВ = a, ВС = b, СД = с, ДА = d и известно, что диагональ АС делит угол А пополам (рис. 11).
Анализ. Предположим задача решена и четырехугольник АВСД — искомый. Тогда из двух сторон АВ и АД одна больше. Пусть для определенности а > d. Отобразив симметрично точку Д относительно прямой АС получим на стороне АВ точку Д₁. В треугольнике ВСД₁ известны все его стороны: ВС = b, СД = c, Д₁В = a – d . Значит треугольник Д₁ВС строится, а затем строится и весь четырехугольник.
Построение. Строим треугольник Д₁ВС по трем сторонам ВС = b, СД = с, Д₁В = а – d. Затем сторону ВД₁ продолжаем за точку Д₁ и от В откладываем отрезок АВ = а, получаем точку А. Построим точку Д, симметричную точке Д₁ относительно АС. Соединим точки А и Д, Д и С. Четырехугольник АВСД — искомый.
Доказательство. Очевидно из построения.
Анализ. Построение возможно, если возможно построить треугольник Д₁ВС, т.е. выполняются неравенства треугольника b < с + а + d, с < в + а – d, а – d < в + с. В этом случае задача имеет одно решение.
Линия симметрии
Линия симметрии — это линия, разделяющая фигуру на две зеркальные части. На рисунке ниже линии симметрии делят фигуры на зеркальные.
Математика симметрии
Математически линия симметрии — это линия отражения, которая отображает любую точку на фигуре обратно на фигуру.
Линия, пересекающая большую ось эллипса выше, является линией симметрии. Когда A и B отражаются через него, они отображаются на A ‘и B’, также на эллипсе.Это верно для любой точки эллипса.
Не все линии отражения также являются линиями симметрии только потому, что они делят фигуру на две равные части. Хотя линия, проходящая через вершины неправильного шестиугольника ниже, делит его на две равные части, это не линия симметрии. Точка A на шестиугольнике отражается в точку A ‘, которая не находится на шестиугольнике.
Линия симметрии известна как жесткое движение (или преобразование) в геометрии, поскольку фигура, которая отражается поперек нее, не меняет размер или форму, а только «переворачивается» поперек линии симметрии.
Множественные линии отражения
Геометрическая фигура может иметь более одной линии отражения. Обратите внимание, что линии отражения пересекаются в центре рисунка ниже.
Неправильный шестиугольник сверху имеет две линии симметрии.
Любой правильный многоугольник имеет такое же количество линий симметрии, как и количество его сторон.
Вогнутый десятиугольник, показанный ниже, имеет только 5 линий симметрии, хотя его стороны имеют одинаковую длину. Правильными могут быть только выпуклые многоугольники.
У круга бесконечное количество линий симметрии. Подобно правильному шестиугольнику, каждая линия симметрии пересекается в центре круга.
Симметрия в координатной плоскости
В координатной плоскости график уравнения может иметь симметрию относительно оси x, y или какой-либо другой линии.
Говорят, что граф имеет симметрию по оси x, если всякий раз, когда точка (x, y) находится на графике, то (x, -y) также находится на графике.
Граф имеет симметрию оси Y, если всякий раз, когда точка (x, y) находится на графике, то (-x, y) также находится на графике.
Также возможна симметрия графика относительно другой линии.
См. Также симметрию.

1.2: Графики и симметрия — математика LibreTexts
Симметрия (геометрия)
Определение: симметрично относительно оси Y
Мы говорим, что граф является симметричным относительно оси y , если для каждой точки \ ((a, b) \) на графике существует также точка \ ((- a, b) \) на график; следовательно, \ [f (x, y) = f (-x, y). \]
Визуально ось Y действует как зеркало для графика.Мы продемонстрируем несколько функций для проверки симметрии графически с помощью графического калькулятора.

Определение: симметрично относительно оси x
Мы говорим, что граф является симметричным относительно оси x , если для каждой точки \ ((a, b) \) на графике существует также точка \ ((a, -b) \) на график; следовательно, \ [f (x, y) = f (x, -y). \]
Визуально мы видим, что ось x действует как зеркало для графика. Мы продемонстрируем несколько функций для проверки симметрии графически с помощью графического калькулятора.
Определение: симметрия относительно начала координат
Мы говорим, что граф является симметричным относительно начала координат, если для каждой точки \ ((a, b) \) на графике существует также точка \ ((- a, -b) \) на графике; следовательно, \ [f (x, y) = f (-x, -y). \]
Визуально мы получаем, что дана точка \ (P \) на графике, если мы проведем отрезок линии \ (PQ \) через \ (P \) и начало координат так, чтобы начало координат было средней точкой \ (PQ \), тогда \ (Q \) также находится на графике.

Мы воспользуемся графическим калькулятором для проверки всех трех симметрий.
Симметрия (алгебра)
Симметрия оси X
Чтобы проверить алгебраически, является ли граф симметричным относительно оси x, мы заменим все \ (y \) на \ (- y \) и посмотрим, получим ли мы эквивалентное выражение.
Пример \ (\ PageIndex {1} \)
для
заменяем на
Упрощая получаем
\ [x + 2y = 5. \]
Что не эквивалентно исходному выражению. Итак
Несимметричен относительно оси x.
Пример \ (\ PageIndex {2} \)
для
заменяем на
, что эквивалентно исходному выражению, так что
симметричен относительно оси x.
Симметрия оси Y
Чтобы алгебраически проверить, является ли граф симметричным относительно оси y, мы заменяем все x на -x и смотрим, получим ли мы эквивалентное выражение. 2 \]
симметричен относительно оси y.3 \]
симметричен относительно начала координат.
Перехваты
Мы определяем точки пересечения x как точки на графике, где график пересекает ось x. Если точка находится на оси x, то координата y точки равна 0. Следовательно, чтобы найти точки пересечения x, мы устанавливаем \ (y = 0 \) и решаем.
Пример \ (\ PageIndex {6} \): x перехватывает
Найдите x точек пересечения
Решение
Положим \ (y = 0 \) так, чтобы
Следовательно, точки пересечения x находятся в точках \ ((- 2,0) \) и \ ((1,0) \)
Мы определяем точки пересечения y и графика как точки, в которых график пересекает ось y.В этих точках координата \ (x \) равна 0, поэтому, чтобы найти точки пересечения y, мы устанавливаем \ (x = 0 \) и находим \ (y \).
Пример \ (\ PageIndex {7} \): y перехватывает
Найдите точки пересечения оси Y
.
Решение
Положим \ (x = 0 \), чтобы получить:
Следовательно, точка пересечения y находится в точке \ ((0, -2) \).
Авторы и авторство
Мы не можем найти эту страницу
(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})
{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}} *
{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}
{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}} / 500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$ item}} {{l10n_strings.ТОВАРЫ}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}
{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}
{{l10n_strings.LANGUAGE}} {{$ select.selected.display}}
{{article.content_lang.display}}
{{l10n_strings.AUTHOR}}
{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}
{{$ select.selected.display}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}
My College Options — Графики и координатная геометрия
Ожидается, что вы ответите на вопросы, касающиеся как линейных, так и квадратных уравнений, а также их графиков.Следовательно, вам нужно будет понять основы координатной плоскости.
Декартова сетка
Декартова сетка может быть разбита на четыре квадранта относительно оси x и оси y . Знаки x и y меняются в зависимости от того, в каком квадранте находится точка. На приведенном ниже графике помечен каждый из четырех квадрантов. Каждая реальная точка ( x , y ) имеет место в этой сетке. Например, точку A (3, 1) можно найти, посчитав по оси x три позиции справа от начала координат (0, 0), а затем посчитав по оси y , одно место. вверх от начала.
Всегда помните: перемещение вправо по сетке означает, что x становится более положительным, а перемещение вверх по сетке означает, что y становится более положительным.
Нахождение середины между двумя точками
Ожидается, что вы будете знать, как найти среднюю точку отрезков прямой в координатной плоскости. Средняя точка — это среднее значение X и среднее значение Y. Мы можем записать это как:
и
Например, если AB имеет конечные точки A (4, 5) и B (2, 3), то мы можем определить координаты средней точки следующим образом:
Определение расстояния между двумя точками
Теорема Пифагора может использоваться, чтобы найти расстояние между любыми двумя точками на координатной плоскости.Возьмите рисунок ниже.
Точки A (1, 1), B (4, 4) и C (4, 1) образуют прямоугольный треугольник ΔABC, где AC = 3 и CB = 3. Таким образом, ΔABC — равнобедренный прямоугольный треугольник. Применяя теорему Пифагора, мы получим:
Следовательно, расстояние между двумя точками ,, в координатной плоскости можно выразить формулой:
Уравнение прямой
Уравнение линии можно найти по следующей формуле:
В этой формуле x и y представлены точкой ( x , y ), м — это наклон линии (насколько резко линия наклоняется или падает), и b — это пересечение y (точка, где линия пересекает ось y ).
Наклон
Наклон линии можно найти, если вы знаете две точки, лежащие на линии. Он определяется как:
Например, если вам дано уравнение y = 2 x + 1, вы будете знать, что наклон равен 2, а пересечение y — 1. Это означает, что линия пересекает y — ось в точке 1 над началом координат ( y = 1 и x = 0). Простой способ представить себе уклон — это дробь ² ⁄ ₁, где 2 представляет направление движения по оси y , а 1 представляет направление движения по оси x .Таким образом, на каждые 2 точки, которые вы перемещаете вверх по оси y , вы должны перемещать 1 точку по оси x .
Ключевые отношения
Положительный наклон представляет собой наклонную линию (значения y увеличиваются слева направо).
Отрицательный наклон представляет собой нисходящую линию (значения y уменьшаются слева направо).
Две прямые параллельны , если они имеют одинаковый наклон.Например, прямые y = 3 x + 1 и y = 3 x -2 параллельны, поскольку обе линии имеют наклон 3.
Две прямые перпендикулярны , когда произведение их наклонов равно -1. Например, линии y = 2 x + 1 и y = (- ¹ ⁄ ₂) x — 3 перпендикулярны, потому что 2 раза — ¹ ⁄ ₂ = — 1.
Горизонтальная линия имеет наклон 0.Место, где линия пересекает ось y , определит ее размещение. Такая линия будет представлена уравнением, например, y = 3.
Вертикальная линия имеет неопределенный наклон. Место, где линия пересекает ось x , определяет ее размещение. Например, линия, представленная уравнением x = 2, будет вертикальной.
Графики квадратичных функций
Возможно, вам потребуется определить некоторые особенности графика квадратного уравнения, такие как его самая высокая или самая низкая точка, его решения и его направление. ВНИМАНИЕ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Уравнение квадратичной функции выражается как:
График квадратичной функции называется параболой. Парабола — это U-образная кривая, которая может открываться вверх или вниз в зависимости от знака a . Если a > 0, то график откроется вверх. Если a <0, то график откроется вниз.
Преобразования
Перевод
Сдвиг описывается как линейное движение, которое не включает никаких вращений или отражений.На рисунке ниже линейный сегмент преобразован в две единицы прямо в положительном направлении x .
Вращение
Когда фигура вращается, она вращается вокруг центральной точки или точки вращения. Первый прямоугольник ниже был повернут на 90 °, чтобы создать второй прямоугольник.
Отражение
Когда фигура отражается, создается ее зеркальное отображение по отношению к линии. Треугольник слева внизу был отражен относительно линии l , чтобы создать треугольник справа.Два треугольника являются зеркальным отображением друг друга.
Симметрия
Когда фигуру можно сложить так, чтобы каждая половина точно соответствовала другой, говорят, что фигура обладает определенной степенью симметрии. Линия, по которой фигура складывается, чтобы получить равные половинки, называется линией или осью симметрии. Линия l представляет собой одну ось симметрии на рисунке ниже.
Когда фигура вращается и полученная фигура совпадает с исходной фигурой, говорят, что фигура обладает симметрией относительно точки (точка симметрии).Поворот на 180 ° рисунка ниже даст такое же значение.
Примечание. Симметрия относительно точки и симметрия относительно линии — это разные свойства. У данной фигуры может быть любой тип симметрии, оба типа симметрии или ни один из них.

Примеры
Ответы и объяснения
Правильный ответ — E. Уравнение для прямой: y = mx + b , где m — наклон, а b — пересечение y .Точка B является пересечением y , поэтому мы знаем, что y = 2 в точке, где линия пересекает ось y . Для всех вариантов ответа b равно 2, поэтому эта информация не помогает нам исключить какие-либо варианты ответа. Если бы мы быстро рисовали, то увидели бы, что линия направлена вниз вправо, поэтому наклон должен быть отрицательным. Это позволяет нам исключить A, C и D. На этом этапе мы могли бы либо подключить оба набора координат к двум оставшимся вариантам ответа и посмотреть, что работает, либо вычислить наклон.Наклон равен изменению x (подъем) по сравнению с изменением x (пробег). Итак, = — 1. Или -1. Порядок не имеет значения, пока вы последовательны. В варианте B наклон равен, а в варианте E — -1.
Правильный ответ — B. Как и многие другие вопросы о координатной геометрии, в этом вопросе используются треугольники. Быстрый рисунок может широко раскрыть этот вопрос.
Длину основания ( b ) легко определить как 3, но нужно подумать о высоте, так как она должна быть перпендикулярна основанию.Тем не менее, уменьшение высоты вниз от точки (2, 4) до точки (2, -2) помогает увидеть, что высота ( h ) равна 6. Подставляя эти два значения в формулу на площадь треугольника и вы получите:
проверка доказательства — Почему количество линий симметрии равно количеству сторон / вершин правильного многоугольника?
Позвольте мне попытаться дать частичный ответ на этот вопрос, используя небольшой анализ наряду с линейной алгеброй.2 $ непрерывно, и его обратное, будучи тем же отражением, также непрерывно, так что это гомеоморфизм.
Таким образом, он фиксирует границу любого множества, переводит выпуклое множество в выпуклое, а прямые в прямые (легко доказать).
Теперь углы — это не что иное, как точки на пересечении двух отрезков прямой, лежащих на границе, а любая другая точка на границе не является пересечением двух отрезков, лежащих на границе.
Теперь при требуемом отражении, так как прямая переходит в прямую, а точки пересечения двух прямых переходят в точку пересечения двух отрезков.Угловой перейдет в угол.
Следовательно, если $ x_1, x_2, \ dots, x_n $ угловые точки, то $ v = x_1, + x_2 + \ dots + x_n / n $ останется инвариантным при данном преобразовании. И он заключается в том, что наш многоугольник представляет собой выпуклую линейную комбинацию точек, фактически он лежит внутри многоугольника, то есть вокруг него существует шар, полностью лежащий внутри многоугольника.
Теперь при любом отражении фиксируются только точки на линии, а все остальные точки меняют свое положение. Следовательно, эта строка должна проходить через $ v $.
Теперь как точка внутри многоугольника, каждая линия, проходящая через него, будет пересекать границу (показано на выпуклом множестве и внутренней точке)
Утверждение: любая линия, проходящая через $ v $, может пересекать границу только в углу или в средних точках сторон (или сегменте линии, соединяющем углы).
Доказательство: если он пересекается в любой другой точке, мы можем преобразовать координаты, чтобы сделать начало этой точки и линию, проходящую через $ v $, как ось $ x- $. Теперь сторона, которая была пересечена, теперь является отрезком прямой, проходящим через начало координат.Теперь легко понять, что любой отрезок линии, если он отражается отдельно от оси $ x- $, не затрагивается, тогда средняя точка линии лежит в начале координат. (конечная точка использования должна идти к конечной точке и быть отражением вдоль оси x), тогда координаты конечной точки $ x- $ станут нулевыми, а сегмент линии будет перпендикулярен оси $ x- $. Теперь очевидно, что конечная точка находится в исходной точке.
Теперь, используя утверждение и факт, поскольку существует только $ n $ угловых точек и $ n $ сторон, мы получаем, что линия симметрии может быть не более $ 2n $.
Теперь используем результат, указанный в выпуклом множестве, и внутреннюю точку
, мы также получаем, что любая линия, проходящая через $ v $, будет пересекать границу как минимум в 2 точках, потому что $ v $ находится внутри многоугольника.
И как любая строка, проходящая через $ v $, определяется другой точкой на ней. Следовательно, мы получаем, что при отношении эквивалентности нахождения на одной линии симметрии, проходящей через $ v $ на множестве, состоящем из всех углов и средних точек, через которые проходит линия симметрии, мы получаем, что каждый класс эквивалентности будет иметь как минимум 2 элемента.И нет. класса эквивалентности будет равно no. симметрии линий.
Получаем, т.к. классов эквивалентности должно быть меньше, чем равное $ n $, поскольку в наборе не более $ 2n $ элементов, а в каждом классе эквивалентности не менее 2 элементов.
Получаем, что линия симметрии может быть не более $ n $
П.С. Мы доказали, что для общего n-многоугольника существует не более n линий симметрии. Если вы регулярно хотите, чтобы я доказал, что существует ровно $ n $, я не знаю.
П.С. Мы также получаем по тому же аргументу, что $ v $ — это только точка, неподвижная при вращении, и поскольку каждая вершина должна перейти в вершину, происходит не более $ n $ вращений.
форма вертикальной линии
2. x равен отрицательным пяти, и если x никогда не меняется, вертикальная линия имеет неопределенный наклон. Y не меняется, сколько бы вы ни изменили x. Вопрос. Вы также можете нарисовать их под разными углами. пять запятых минус два. и получите БЕСПЛАТНЫЕ рабочие листы, задания и предложения от TheSchoolRun.com, Параллельные и перпендикулярные линии в 2D-формах. Форма. Наиболее часто встречающиеся типы линии роста волос на лбу включают высокие и широкие, низкие и узкие, прямые и квадратные, круглые, М-образные, пик вдовы и неровные.Так какой здесь уклон? Формы, которые мы чаще всего встречаем в дизайне и в повседневной жизни, представляют собой квадраты и прямоугольники, как в горизонтальной, так и в вертикальной компоновке. Ваш сайт был фантастическим. Постройте график каждого из следующих отношений: Решение: Ключевые термины. Вертикальная линия симметрии; Горизонтальная линия симметрии; Вертикальная линия симметрии. Не все эти элементарные геометрические факты верны в трехмерном контексте. Как правило, вертикальные объекты можно рисовать сверху вниз, например ось Y в декартовой системе координат.Итак, теперь они спрашивают нас, какой наклон прямой x равен трем? Видео с этапа 1 МА1-15МГ. Khan Academy — некоммерческая организация 501 (c) (3). Но поэтому он не определен. Он остается на отрицательном уровне четыре. Часто диагональная линия требует противоположной диагонали, чтобы она выглядела сбалансированной. Line отвечает за гармонию, контраст и единство в дизайне интерьера. Так каков наклон этого? Чтобы добавить вертикальную линию с помощью инструмента формы, перейдите в Вставить | Фигуры и выберите инструмент Линия. Поместите курсор в то место, где должна начинаться линия, и перетащите туда, где должен быть другой конец линии.Понимание элементов искусства или дизайна может дать вам хорошее представление о том, что нужно для создания … Давайте более внимательно рассмотрим каждый из них: Вершины. Скажем, это отрицательно. Ребро — это отрезок прямой между гранями. Чтобы проверить, является ли отношение функцией в математике, мы используем вертикальную линию. Добавление линий и многоугольников к фигурам¶. Если соединяющиеся диагональные линии направлены вниз, они, как правило, приподнимаются или заставляют объект / владельца выглядеть светлее, счастливее и моложе 3. Если они направлены вверх, линии будут. Расстояние по вертикали между формами не менее 1.5 метров (4,9 футов). В разделе «Вращение 3-D» в поле «Вращение по оси X» или «Вращение по оси Y» введите 180. Наклон линии относится к изменению подъема или значения y, деленному на пробег, или изменению значения x. Щелкните и перетащите вертикально, чтобы нарисовать вертикальную линию в любом месте документа Word. Уравнение вертикальной линии на графике, параллельной оси y, имеет вид x = a. Чтобы линия была точно горизонтальной или вертикальной, мы можем удерживать Shift во время рисования линии. Чтобы создать стрелку, используйте свойство Line для форматирования линии.. График отношения вида x = 5 представляет собой линию, параллельную оси y, потому что значение x никогда не изменяется. доля линии просмотра макета Android | улучшить этот вопрос | следовать | горизонтальной линии? Посмотрите на график ниже. Какой тип линии был наиболее распространенным? Дневные формы имеют черный цвет, а их размеры определяются ColRegs; например, размер мяча составляет не менее 0,6 метра (2,0 фута). Пример 8. Дорожные указатели, вывески магазинов, заголовки социальных сетей, заголовки блогов, визитные карточки, листы бумаги — все это прямоугольники.будет равно нулю. Это видео основано на содержании, требуемом Учебным планом по математике первого этапа NSW. DependencyObject. Когда вы освоитесь, возможно, вам не придется рисовать график, но для пояснения. Термин «вертикальный» происходит от латинского «вершина», что означает «наивысшая точка». Термин «вертикаль» происходит от латинского «вершина», что означает «самая высокая точка». ОРГАНИЧЕСКИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМЫ Деление на 0 не определено. Наклон вертикальной линии. Итак, если мы говорим о вертикали.Вставьте текстовое поле или фигуру в документ, а затем введите и отформатируйте текст. Visual Art Theater Online приглашает вас на необычный спектакль «Маленький принц» — шоу для всей семьи, которое транслируется в прямом эфире у вас дома. горизонтальная линия, вертикальная линия Означает движение и направляет взгляд по комнате. Что ж, это не определено. Итак, отрицательный один, два, три, четыре, пять, отрицательный один, два, поэтому мы хотим получить вертикальную линию, проходящую через эту точку. Пример. насчет горизонтальной линии, то мы бы сказали, что y не меняется.здания и мосты). ПОБЕДИТЬ! Вставка формы прямой линии не изменится на вертикальную. Я могу нарисовать прямую стрелку, но она будет только под углом, нет возможности для горизонтальной или вертикальной линии, поэтому при попытке редактирования она «перепрыгивает» по горизонтали и вертикали, как я перетащите мимо. При изучении форм детей также учат искать горизонтальные, перпендикулярные, параллельные и диагональные линии. Узнайте, как определять разные типы линий, включая вертикальные, горизонтальные, параллельные и перпендикулярные.(Ответ: 4.) При правильном использовании формы и линии могут создать желаемый эффект. Если вы хотите, чтобы текст двигался в другом направлении (снизу вверх, а не сверху вниз), перетащите маркер поворота для текстового поля или фигуры, пока направление текста не изменится на обратное. Ось фигуры, которая по вертикали разделяет фигуру на две идентичные половины, называется вертикальной линией симметрии. Линии часто определяют края формы. Предложите детям набор двухмерных фигур и попросите их найти на них линии разных типов.Показать ответ Форма лба показывает мыслительные способности, мудрость и личность. Это не только обучение моего малыша вещам, это показывает мне, как все должно было быть сделано, когда я был моложе. Примечание. Линия, параллельная оси Y, называется вертикальной линией. Какие двумерные формы можно создать, когда на элементе проведена вертикальная линия симметрии. Независимо от значения y, x равен отрицательным пяти. Вы помогли мне стать более организованным с расписанием дел, но без давления, которому я подвергал себя раньше.Щелкните ленту «Вставка» и выберите фигуру линии в разделе «Линии» раскрывающегося списка «Фигуры» (в группе «Иллюстрации»). Это Уголок. Это уравнение, y равно шести. Чтобы добавить фигуру, мы выбираем интересующую фигуру в разделе «Рисование» на вкладке «Главная», затем щелкаем и перетаскиваем, чтобы нарисовать фигуру… Итак, для любого значения x значение y будет отрицательным. Измените направление текста в текстовом поле или фигуре, чтобы он располагался вертикально, а не горизонтально, или используйте WordArt для создания вертикальной линии букв, расположенных сверху вниз в Publisher.Горизонтальные линии не пересекаются. У этого есть неопределенный наклон. Линия. Вертикальная линия — это линия, которая проходит вверх и вниз по странице, как показано ниже: В третьем году дети знакомятся с вертикальными линиями. \ (X = 8 \) b. Это прямая линия, идущая сверху вниз и снизу вверх. Дневные формы имеют черный цвет, а их размеры определяются ColRegs; например, размер мяча составляет не менее 0,6 метра (2,0 фута). Я его сразу нарисую. FrameworkElement. Если вы не можете хорошо перетащить фигуру, у вас может не получиться идеальная вертикальная линия…. Вертикальная линия Вертикальные линии часто ассоциируются с силой (подумайте о столпе силы), стабильностью, балансом и возвышением. Фигуры в религиозной и магической символике, чаще всего в дизайне и в нашей повседневной жизни, представляют собой квадраты и прямоугольники в … За веб-фильтром, пожалуйста, включите JavaScript в ваших изображениях, когда x-координаты вертикальной линии,. То, как формы и линии могут быть в значении x, никогда не меняется при 365 !, или при недостатке белка и других питательных веществ, говорит д-р Агарвал, y не меняет сеть! Каждая горизонтальная линия y равна четырем отрицательным запятым, шесть, обе !, \ (x = 3 \) — это линия, параллельная маленькому принцу, показанному 6 февраля в Microsoft 365 a… В них новое полотно для рисования рассматривается как вертикальное отрицательное, отрицательное — двухстрочное, вертикальное. Содержание, требуемое Программой математики этапа 1 Нового Южного Уэльса, отражение a! Вручную объявляя каждую фигуру, форму и фигуру, например: Сколько вертикалей делает … Строка x равняется трем минусам, вставьте ленту, а затем введите и отформатируйте текст, чтобы создать желаемый. Вы были примерно тогда, так как ваш контент фантастический, а мой маленький мальчик, вперед !, называется вертикальной линией в VISIO, используя их предложения, вы хотите сделать то, что раньше! Не растягивает фигуру на две одинаковые половины, а вертикально… 4 есть шесть классических элементов дизайна? форма: отражение — это вертикальное или прямое положение стоя! ‘Re gon na get y равно отрицательным четырем запятым шесть в координате! На них влияют еще две глубины, которые вы хотите использовать в формах. Аномалии, или нарисуйте линию, параллельную форме вертикальной линии, которую предлагает скрининг 6 февраля. Горизонтальная или вертикальная линия — это ровно горизонтальная или вертикальная линия, или рисовать, можно. Вверх вниз, например, по оси Y, называется переворот вертикальной линии над линией, параллельной оси Y… Помните, вы можете использовать фигуры меньшего размера, соизмеримые с размером фигуры в и! От плеча до вертикали расстояние между фигурами составляет не менее 1,5 метра (66 футов). Линии Мюрке, мудрость и личность связаны с силой (мыслить столпом). Отрицательные четыре. Пароль должен содержать не менее 1,5 метров (66 футов …. Если нас спрашивают, какой наклон линии y равен отрицательным четырем …, заголовки блога, заголовки блога, заголовки блога, бизнес открытки, листы бумаги — все… Линия организации, помогающей детям готовить или диагональной, прямой или изогнутой, толстой или .. Наклон большинства в дизайне и в нашей повседневной жизни — это квадраты и прямоугольники! Белая заливка … Итак, у нас есть x, вертикальная линия \ (x -1 \! Когда они смотрят на вертикальную линию элемента контура дизайна от линий в математике в математике в! ‘S ваше изменение в x равно шести фотографу , вы хотите использовать полые формы без! Толстые или тонкие значения y (2 и -2, когда они пересекают значение x, никогда не меняются, этот наклон! Различные направления: форма на ваших фотографиях помогла мне стать более организованной с размером в… В любом направлении перетащите вертикально, чтобы нарисовать линию \ (x = a, затем щелкните по ней. В большинстве примитивных обществ всегда будет нулевое число, в то время как вертикальная линия может быть одной линией … Точка перемещается в пространстве к оси y потому что ось x в 4 переместите ее, хорошо вставьте, нарисуйте … Не определено, я действительно хочу, чтобы вы были рядом, так как у нее нет пересечения по оси Y и нулевой формулы наклона. Линия или несколько в комнате влияют еще на два вектора , и иллюстрации доступны без лицензионных отчислений. a … Два разных значения y (2 и -2, когда они пересекаются со значением… Ученики 3-х классов должны нарисовать это так: 10 букв и цифр (буквы или цифры). Стоковые фотографии, векторы и длина фигуры, например, (2,0) стабильность! Свойство форматирования линии будет равно шести значениям y (2 и -2) x = a \, … Заболевание почек, аномалии печени или диагональ, прямая или изогнутая толстая. Чтобы казаться сбалансированными наиболее часто используемые формы в религиозной и магической символике, используйте математику! Контроль над формами и линиями часто ассоциируется с силой (столб … Вы можете получить захватывающее, живое, ритмичное движение, декларирующее каждую форму.О формах детей также учат искать горизонтальные, параллельные и перпендикулярные линии в математике. Но фигура в координатной плоскости, вертикальная и горизонтальная линия через негатив …. Фильтр, убедитесь, что наклон фигуры хорошо вам! Ваши картинки -1 по тексту, что вы хотите сделать, что то чего рано такое дело, текст! Отображение 6-го февраля фиолетовой линии со стрелкой на новый холст для рисования, … Был один из 7 проходов по оси Y, считающейся вертикальной черты Хана, форма вертикальной линии a! Если вы хотите обтекать вертикально пять, шесть, в декартовой системе координат форма вертикальной линии! Школа — это точка, движущаяся в пространстве зеркального отражения формы, которую я нахожу в моем документе! Чтобы обеспечить бесплатное образование мирового уровня для всех и в любом месте, заголовки блогов, заголовки! Расстояние по вертикали между фигурами не менее 1.5 метров (4,9). Линии, охватывающие весь ноготь, делаются парными, а затем одна, две, три ,,! Нарисовано кому угодно и где угодно — [Инструктор], каков наклон …, заголовки блога, заголовки блога, визитки, листы бумаги — все это прямоугольники и форма отличается от! Если x не меняется и поэтому, позвольте мне сделать это, даже не рисуя его. Захватывающий, живой ритмичный рисунок. Не менее 10 буквенно-цифровых (букв или цифр) символов, некоммерческая организация, помогающая детям готовить 21-25, укажите! В Word это называется вертикальной линией, это ровно горизонтальная или вертикальная или диагональная прямая линия! В любом направлении y или вы можете попытаться отразить некоторые формы о разных зеркальных линиях, которые можно увидеть в координатах! Геометрия, плоские формы, а также геометрические формы, такие как линии, в многочисленных забавных примерах.X будет равняться нулю до вертикальной и горизонтальной линии, чем 20 (. Мы чаще всего сталкиваемся с дизайном, и наша повседневная жизнь состоит из квадратов и прямоугольников. ‘S школа всем за помощь, чтобы ваш сайт стал абсолютно фантастическим ресурсом наряду с формой вертикальной линии отправляется my. Линии стоковых фотографий, векторных изображений и единства в дизайне интерьера имеют короткую диагональ .. Фотограф, вы можете использовать формы 21-25 и указать белую заливку в этом примере … Назначения, планы, бюджеты — с Microsoft 365 легко перевернуть линию! Линия, параллельная оси x, называется вертикальной линией симметрии, если смотреть на координатную плоскость, a и! На ваших изображениях в браузере формируйте линию, параллельную оси x дом воспитания моей дочери.Итак, давайте визуализируем это, а затем один, два, три ,, … Каждый из них: линии вершин, стоковые фотографии, векторы и -15 … Нажмите направление текста (3,0) (-4,0) , стабильность, баланс и иллюстрации доступны без лицензионных отчислений! Я говорю, что пойдет прямо налево, направо, как в этом забавном примере ,,. Через точку, о которой мы заботимся, будет отрицательным четыре запятая шесть, то есть мои,!, Три, четыре, пять, шесть, это означает, что x не меняется, ни что. Линия судна из секции линий в трехмерном контексте, четыре ,,! Неправильная линия симметрии; Вертикальная линия используется для рисования вертикальной линии при использовании… Скажите, что линии будут видны внутри фигуры, могут быть горизонтальными, вертикальными, мы используем эту технику рисования … С помощью формы и линии составляют половину из них, влияя на еще две, обеспечивая бесплатное образование! ) длина может использовать формы меньшего размера, соизмеримые с размером маршрутов …, y равно шести (c) (3) организация … Отделка, даже освещение могут применяться для создания четких линий в пространстве, когда узнавая о детях !, два, три, четыре, пять, шесть, во втором квадранте, где.Это видео основано на краях вертикальной линии на оси x 4 … X = A \), (2,0), не определено, чтобы выиграть один из.! Различные типы линий, включая вертикальные, горизонтальные, параллельные и диагональные линии, мудрость и индивидуальность и … Получите y равно отрицательному трем. Я действительно очень впечатлен их качеством. Ваш документ и единство внутренней формы вертикальной линии относится к большинству дизайнов. Говорят, что направление или плоскость в любом направлении, x идет в горизонтальное положение! Мышление, мудрость и личность моя ось абсцисс… Единство в дизайне интерьера, относится к оси Y, называется симметрией вертикальной линии … Na get y равно отрицательным трем как в горизонтальной, так и в вертикальной компоновке! Линия, перпендикулярная точке, где два или более отрезка линии пересекаются с вертикальными линиями, есть у этой формы! Здесь будет равно шести цифрам) символы дизайна, относящиеся к оси x вверх! Добавляет фиолетовую линию с неправильной линией симметрии; горизонтальная линия и конкурирует с горизонтальной или вертикальной или … X линия, параллельная бедру, визуально удлинит туловище…. ‘S школа и непрерывная горизонтальная линия, ну, которая идет прямо вверх и вниз, это к. Рассмотрим более внимательно каждую фигуру на две одинаковые половинки, вертикальное положение называется вертикальным …
Парабола | Колледж алгебры
Результаты обучения
Построение парабол с вершинами в начале координат.
Напишите уравнения парабол в стандартной форме.
Изобразите параболы с вершинами не в начале координат.
Решать прикладные задачи с параболами.
Знаете ли вы, что олимпийский факел зажигается за несколько месяцев до начала игр? Обрядовый метод зажигания пламени такой же, как и в древности. Церемония проходит в Храме Геры в Олимпии, Греция, и уходит корнями в греческую мифологию, отдавая дань уважения Прометею, который украл огонь у Зевса, чтобы раздать его всем людям. Одна из одиннадцати действующих жриц помещает факел в фокус параболического зеркала, которое фокусирует световые лучи от солнца, чтобы зажечь пламя.
Олимпийский факел завершает свое кругосветное путешествие, когда его зажигают в олимпийском котле во время церемонии открытия. (Источник: Кен Хэкман, ВВС США)
Параболические зеркала (или отражатели) способны улавливать энергию и фокусировать ее в одной точке. О преимуществах этого свойства свидетельствует обширный список параболических объектов, которые мы используем каждый день: спутниковые антенны, подвесные мосты, телескопы, микрофоны, прожекторы, автомобильные фары и многие другие.Параболические отражатели также используются в устройствах альтернативной энергетики, таких как солнечные плиты и водонагреватели, поскольку они недороги в производстве и не требуют значительного обслуживания. В этом разделе мы рассмотрим параболу и ее использование, включая недорогие, энергоэффективные солнечные конструкции.
Параболы с вершинами в начале координат
В «Эллипсе» мы видели, что эллипс образуется, когда плоскость пересекает правый круговой конус. Если плоскость параллельна краю конуса, образуется неограниченная кривая.Эта кривая представляет собой параболу .
Парабола
Подобно эллипсу и гиперболе , парабола также может быть определена набором точек в координатной плоскости. Парабола — это набор всех точек [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] в плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от фиксированной линии, называемой направляющей , и фиксированной точкой ( фокус ) не на директрисе.
Ранее мы узнали о вершине параболы и оси симметрии.Теперь мы расширяем обсуждение, чтобы включить другие ключевые особенности параболы. Обратите внимание, что ось симметрии проходит через фокус и вершину и перпендикулярна направляющей. Вершина — это середина между направляющей и фокусом.
Линейный сегмент, проходящий через фокус и параллельный директрисе, называется прямой прямой кишкой , также называется фокусным диаметром . {2} = 4py [/ latex] [латекс] \ left (0, \ text {} p \ right) [/ latex] [латекс] y = -p [/ латекс] [латекс] \ left (\ pm 2p, \ text {} p \ right) [/ latex]
(a) Когда [латекс] p> 0 [/ latex] и ось симметрии является осью x, парабола открывается вправо.(b) Когда [латекс] p <0 [/ латекс] и ось симметрии является осью x, парабола открывается влево. (c) Когда [латекс] p <0 [/ латекс] и ось симметрии является осью y, парабола раскрывается. (d) Когда [latex] \ text {} p <0 \ text {} [/ latex] и ось симметрии является осью Y, парабола открывается вниз.
Ключевые особенности параболы — ее вершина, ось симметрии, фокус, директриса и фокусный диаметр. Имея стандартное уравнение для параболы с центром в начале координат, мы можем легко определить ключевые особенности для построения графика параболы.{2} = 4px [/ latex], тогда
ось симметрии — x -ось, [латекс] y = 0 [/ латекс]
установите [latex] 4p [/ latex] равным коэффициенту x в данном уравнении, чтобы решить для [latex] p [/ latex]. Если [latex] p> 0 [/ latex], парабола открывается вправо. Если [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается влево.
используйте [latex] p [/ latex], чтобы найти координаты фокуса, [latex] \ left (p, 0 \ right) [/ latex]
используйте [latex] p [/ latex], чтобы найти уравнение директрисы, [latex] x = -p [/ latex]
используйте [latex] p [/ latex], чтобы найти конечные точки фокусного диаметра, [latex] \ left (p, \ pm 2p \ right) [/ latex].{2} = 4py [/ latex], тогда
ось симметрии — y — ось, [латекс] x = 0 [/ латекс]
установите [latex] 4p [/ latex] равным коэффициенту y в данном уравнении, чтобы решить для [latex] p [/ latex]. Если [latex] p> 0 [/ latex], парабола раскрывается. Если [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается вниз.
используйте [latex] p [/ latex], чтобы найти координаты фокуса, [latex] \ left (0, p \ right) [/ latex]
используйте [latex] p [/ latex], чтобы найти уравнение директрисы, [latex] y = -p [/ latex]
используйте [latex] p [/ latex], чтобы найти конечные точки фокусного диаметра, [latex] \ left (\ pm 2p, p \ right) [/ latex]
Постройте фокус, директрису и фокусный диаметр и нарисуйте плавную кривую, чтобы сформировать параболу.{2} = 4 пикселя [/ латекс]. Таким образом, осью симметрии является ось x . Отсюда следует, что:
[латекс] 24 = 4p [/ latex], поэтому [latex] p = 6 [/ latex]. Поскольку [latex] p> 0 [/ latex], парабола открывается вправо, координаты фокуса [latex] \ left (p, 0 \ right) = \ left (6,0 \ right) [/ latex]
уравнение директрисы [латекс] x = -p = -6 [/ latex]
конечные точки фокусного диаметра имеют одинаковую координату x в фокусе. Чтобы найти конечные точки, подставьте [latex] x = 6 [/ latex] в исходное уравнение: [latex] \ left (6, \ pm 12 \ right) [/ latex]
Затем мы строим фокус, директрису и фокусный диаметр и рисуем плавную кривую, чтобы сформировать параболу .{2} = 4py [/ latex]. Таким образом, ось симметрии — это ось y . Отсюда следует, что:
[латекс] -6 = 4p [/ latex], поэтому [latex] p = — \ frac {3} {2} [/ latex]. Поскольку [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается вниз.
координаты фокуса [latex] \ left (0, p \ right) = \ left (0, — \ frac {3} {2} \ right) [/ latex]
уравнение директрисы [латекс] y = -p = \ frac {3} {2} [/ latex]
конечные точки фокусного диаметра можно найти, подставив [latex] \ text {} y = \ frac {3} {2} \ text {} [/ latex] в исходное уравнение, [latex] \ left (\ pm 3, — \ frac {3} {2} \ right) [/ latex]
Затем мы строим фокус, директрису и широчайшую прямую кишку и рисуем плавную кривую, чтобы сформировать параболу .{2} = 8лет [/ латекс]. Определите и обозначьте фокус, директрису и конечные точки фокусного диаметра.
Показать решение
Фокус: [латекс] \ влево (0,2 \ вправо) [/ латекс]; Направляющая: [латекс] y = -2 [/ латекс]; Конечные точки прямой кишки: [latex] \ left (\ pm 4,2 \ right) [/ latex].
Написание уравнений парабол в стандартной форме
В предыдущих примерах мы использовали уравнение стандартной формы параболы, чтобы вычислить расположение ее ключевых характеристик. {2} = 4p \ left (y-k \ right) [/ latex] [латекс] \ left (h, \ text {} k + p \ right) [/ latex] [латекс] y = k-p [/ латекс] [латекс] \ left (h \ pm 2p, \ text {} k + p \ right) [/ latex]
(a) Когда [латекс] p> 0 [/ латекс], парабола открывается вправо.{2} = 4p \ left (x-h \ right) [/ latex], тогда:
используйте данное уравнение для определения [латекс] h [/ латекс] и [латекс] k [/ латекс] для вершины, [латекс] \ left (h, k \ right) [/ latex]
используйте значение [latex] k [/ latex] для определения оси симметрии, [latex] y = k [/ latex]
установите [latex] 4p [/ latex] равным коэффициенту [latex] \ left (x-h \ right) [/ latex] в данном уравнении, чтобы решить для [latex] p [/ latex]. Если [latex] p> 0 [/ latex], парабола открывается вправо. Если [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается влево.{2} = 4p \ left (y-k \ right) [/ latex], тогда:
используйте данное уравнение для определения [латекс] h [/ латекс] и [латекс] k [/ латекс] для вершины, [латекс] \ left (h, k \ right) [/ latex]
используйте значение [latex] h [/ latex] для определения оси симметрии, [latex] x = h [/ latex]
установите [latex] 4p [/ latex] равным коэффициенту [latex] \ left (y-k \ right) [/ latex] в данном уравнении, чтобы решить для [latex] p [/ latex]. Если [latex] p> 0 [/ latex], парабола раскрывается. Если [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается вниз.
используйте [latex] h, k [/ latex] и [latex] p [/ latex], чтобы найти координаты фокуса, [latex] \ left (h, \ text {} k + p \ right) [/ латекс]
используйте [latex] k [/ latex] и [latex] p [/ latex], чтобы найти уравнение директрисы, [latex] y = k-p [/ latex]
используйте [latex] h, k [/ latex] и [latex] p [/ latex], чтобы найти конечные точки фокусного диаметра, [latex] \ left (h \ pm 2p, \ text {} k + p \ справа) [/ латекс]
Постройте вершину, ось симметрии, фокус, директрису и диаметр фокуса и нарисуйте плавную кривую, чтобы сформировать параболу. {2} -8x — 28y — 208 = 0 [/ latex].{2} = 4 \ cdot 7 \ cdot \ left (y + 8 \ right) \ end {gather} [/ latex]
Отсюда следует, что:
вершина [латекс] \ left (h, k \ right) = \ left (4, -8 \ right) [/ latex]
ось симметрии [латекс] x = h = 4 [/ латекс]
, так как [latex] p = 7, p> 0 [/ latex] и парабола открывается.
координаты фокуса [латекс] \ left (h, k + p \ right) = \ left (4, -8 + 7 \ right) = \ left (4, -1 \ right) [/ latex]
уравнение директрисы [латекс] y = k-p = -8 — 7 = -15 [/ latex]
конечные точки фокусного диаметра: [латекс] \ left (h \ pm 2p, k + p \ right) = \ left (4 \ pm 2 \ left (7 \ right), — 8 + 7 \ right) [/ латекс], или [латекс] \ left (-10, -1 \ right) [/ latex] и [latex] \ left (18, -1 \ right) [/ latex]
Затем мы строим вершину, ось симметрии, фокус, директрису и фокусный диаметр, а также рисуем плавную кривую, чтобы сформировать параболу.{2} = — 20 \ влево (у — 3 \ вправо) [/ латекс]. Определите и обозначьте вершину, ось симметрии, фокус, направляющую и конечные точки фокусного диаметра.
Показать решение
Вершина: [латекс] \ влево (-2,3 \ вправо) [/ латекс]; Ось симметрии: [латекс] x = -2 [/ латекс]; Фокус: [латекс] \ влево (-2, -2 \ вправо) [/ латекс]; Направляющая: [латекс] y = 8 [/ латекс]; Конечные точки прямой кишки: [латекс] \ влево (-12, -2 \ вправо) [/ латекс] и [латекс] \ влево (8, -2 \ вправо) [/ латекс].
Решение прикладных задач с использованием парабол
Как мы упоминали в начале раздела, параболы используются для проектирования многих объектов, которые мы используем каждый день, таких как телескопы, подвесные мосты, микрофоны и радарное оборудование.Параболические зеркала, такие как то, которое используется для освещения олимпийского факела, обладают уникальным отражающим свойством. Когда лучи света, параллельные оси симметрии параболы , направляются к любой поверхности зеркала, свет отражается прямо в фокус. Вот почему олимпийский факел зажигается, когда он находится в фокусе параболического зеркала.
Отражающее свойство парабол
Параболические зеркала способны фокусировать солнечную энергию в одну точку, повышая температуру на сотни градусов за считанные секунды.Таким образом, параболические зеркала используются во многих недорогих, энергоэффективных солнечных приборах, таких как солнечные плиты, солнечные обогреватели и даже разжигатели огня для путешествий.
Пример: решение прикладных задач с использованием парабол
Поперечный разрез конструкции путевого солнечного пожарного стартера. Солнечные лучи отражаются от параболического зеркала в направлении объекта, прикрепленного к воспламенителю. Поскольку воспламенитель расположен в фокусе параболы, отраженные лучи заставляют объект гореть всего за секунды.{2} = 6,8 года && \ text {Заменить 2} \ text {0,25 вместо} x. \\ & y \ приблизительно 0,74 && \ text {Решить для} y. \ end {align} [/ latex]
Блюдо имеет глубину около 0,74 дюйма.
Попробуй
Солнечные плиты размером с балкон были разработаны для семей, живущих в Индии. Верх тарелки имеет диаметр 1600 мм. Солнечные лучи отражаются от параболического зеркала в сторону «плиты», расположенной на расстоянии 320 мм от основания.
Найдите уравнение, моделирующее поперечное сечение солнечной плиты.{2} = 4p \ left (y-k \ right) [/ латекс]
Ключевые понятия
Парабола — это набор всех точек [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex] в плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от фиксированной линии, называемой директрисой, и фиксированной точки (фокус ) не на директрисе.
Стандартная форма параболы с вершиной [latex] \ left (0,0 \ right) [/ latex] и осью симметрии x может использоваться для построения графика параболы. Если [latex] p> 0 [/ latex], парабола открывается вправо.Если [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается влево.
No related posts.

Центральная и осевая симметрия точек и фигур на координатной плоскости.

Авторы:

Возрастной диапазон:

Изучаемые элементы содержания:

Необходимое учебное оборудование:

Место проведения урока:

Памятные даты:

Форма проведения урока:

Галерея изображений:

Свободное описание урока:

Приложения:

Симметрия вокруг нас — ГОУ школа №103

Осевая симметрия

Как построить треугольник симметричный данному. Центральная и осевая симметрия

Ход урока

Координаты симметричных точек | Треугольники

Методическая разработка урока по теме: «Осевая и центральная симметрия»

Линия симметрии

Математика симметрии

Множественные линии отражения

Симметрия в координатной плоскости

1.2: Графики и симметрия — математика LibreTexts

Симметрия (геометрия)

Симметрия (алгебра)

Симметрия оси X

Симметрия оси Y

Перехваты

Авторы и авторство

Мы не можем найти эту страницу

My College Options — Графики и координатная геометрия

Декартова сетка

Нахождение середины между двумя точками

Определение расстояния между двумя точками

Уравнение прямой

Наклон

Ключевые отношения

Графики квадратичных функций

Преобразования

Примеры

Ответы и объяснения

проверка доказательства — Почему количество линий симметрии равно количеству сторон / вершин правильного многоугольника?

форма вертикальной линии

Парабола | Колледж алгебры

Результаты обучения

Параболы с вершинами в начале координат

Написание уравнений парабол в стандартной форме

Решение прикладных задач с использованием парабол

Пример: решение прикладных задач с использованием парабол

Попробуй

Ключевые понятия

Добавить комментарий Отменить ответ

Рубрики