Сколько у окружности осей симметрии: Симметрия окружности | Треугольники

Содержание

Сколько осей симметрии у круга? / математика | Thpanorama

оси симметрии круга Они бесконечны. Эти оси делят любую геометрическую форму на две точно равные половины.

И круг состоит из всех точек, чье расстояние до фиксированной точки меньше или равно некоторому значению «r».

Упомянутая выше фиксированная точка называется центром, а значение «r» называется радиусом. Радиус — это наибольшее расстояние, которое может быть между точкой на окружности и центром..

С другой стороны, любой отрезок, концы которого находятся на краю окружности (окружности) и проходит через центр, называется диаметром. Его измерение всегда равно удвоенному радиусу.

Круг и окружность

Не путайте круг с кругом. Окружность относится только к точкам, которые находятся на расстоянии «r» от центра; то есть только край круга.

Однако при поиске осей симметрии безразлично, работаете ли вы с кругом или с кругом.

Что такое ось симметрии?

Ось симметрии — это линия, которая делит на две равные части определенную геометрическую фигуру.

Другими словами, ось симметрии действует как зеркало.

Валы симметрии круга

Если вы наблюдаете любой круг, независимо от его радиуса, вы можете видеть, что не каждая линия, которая пересекает его, является осью симметрии..

Например, ни одна из линий, нарисованных на следующем рисунке, не является осью симметрии..

Простой способ проверить, является ли линия осью симметрии или нет, состоит в том, чтобы перпендикулярно отразить геометрическую фигуру к противоположной стороне линии..

Если отражение не соответствует исходному рисунку, то эта линия не является осью симметрии. Следующее изображение иллюстрирует эту технику.

Но если рассматривается следующее изображение, хорошо известно, что нарисованная линия является осью симметрии круга.

Вопрос: есть ли еще оси симметрии? Ответ — да. Если повернуть эту линию на 45 ° против часовой стрелки, полученная линия также является осью симметрии круга.

То же самое происходит, если вы поворачиваете на 90 °, 30 °, 8 ° и вообще на любое количество градусов.

Важной особенностью этих линий является не склонность, которую они имеют, но все они проходят через центр круга. Следовательно, любая линия, содержащая диаметр окружности, является осью симметрии..

Таким образом, поскольку круг имеет бесконечное число диаметров, то он имеет бесконечное количество осей симметрии.

Другие геометрические фигуры, такие как треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник или любой другой многоугольник, имеют конечное число осей симметрии.

Причина, по которой круг имеет бесконечное число осей симметрии, заключается в том, что у него нет сторон.

ссылки
  1. Басто, Дж. Р. (2014). Математика 3: Основная аналитическая геометрия. Патрия Редакционная группа.
  2. Биллштейн Р., Либескинд С. и Лотт Дж. У. (2013). Математика: проблемный подход для учителей базового образования. Лопес Матеос Эдиторес.
  3. Bult, B. & Hobbs, D. (2001). Математическая лексика (иллюстрированный ред. ). (Ф. П. Кадена, Трад.) Издания АКАЛ.
  4. Каллехо И., Агилера М., Мартинес Л. и Алдеа С. (1986). Математика Геометрия. Реформа верхнего цикла Э.Г.. Министерство образования.
  5. Schneider, W. & Sappert, D. (1990). Практическое техническое руководство по рисованию: введение в основы промышленного технического рисования.
    Реверте.
  6. Томас, Г. Б. и Вейр, М. Д. (2006). Расчет: несколько переменных. Пирсон Образование.

8 класс. Геометрия. Прямоугольник, ромб и квадрат. — Прямоугольник, ромб и квадрат. Осевая и центральная симметрии.

Комментарии преподавателя

Пря­мо­уголь­ник, ромб и квад­рат. Осе­вая и цен­траль­ная сим­мет­рия

Дан­ный урок по­свя­щён осе­вой и цен­траль­ной сим­мет­рии.

Опре­де­ле­ние

Две точки  и  на­зы­ва­ют­ся сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но пря­мой , если:

1.      пря­мая  про­хо­дит через се­ре­ди­ну от­рез­ка ;

2.      пря­мая  пер­пен­ди­ку­ляр­на от­рез­ку.

На Рис. 1 изоб­ра­же­ны при­ме­ры сим­мет­рич­ных от­но­си­тель­но пря­мой  точек  и ,  и .

Рис. 1

От­ме­тим также тот факт, что любая точка пря­мой сим­мет­рич­на сама себе от­но­си­тель­но этой пря­мой.

Сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но пря­мой могут быть и фи­гу­ры.

Сфор­му­ли­ру­ем стро­гое опре­де­ле­ние.

Опре­де­ле­ние

Фи­гу­ра на­зы­ва­ет­ся сим­мет­рич­ной от­но­си­тель­но пря­мой , если для каж­дой точки фи­гу­ры сим­мет­рич­ная ей от­но­си­тель­но этой пря­мой точка также при­над­ле­жит фи­гу­ре. В этом слу­чае пря­мая  на­зы­ва­ет­ся осью сим­мет­рии. Фи­гу­ра при этом об­ла­да­ет осе­вой сим­мет­ри­ей.

Рас­смот­рим несколь­ко при­ме­ров фигур, об­ла­да­ю­щих осе­вой сим­мет­ри­ей, и их оси сим­мет­рии.

При­мер 1

Угол об­ла­да­ет осе­вой сим­мет­ри­ей.

Осью сим­мет­рии угла яв­ля­ет­ся бис­сек­три­са. Дей­стви­тель­но: опу­стим из любой точки угла пер­пен­ди­ку­ляр к бис­сек­три­се и про­длим его до пе­ре­се­че­ния с дру­гой сто­ро­ной угла (см. Рис. 2).

Рис. 2

 (так как  – общая сто­ро­на,  (свой­ство бис­сек­три­сы), а тре­уголь­ни­ки – пря­мо­уголь­ные). Зна­чит, . По­это­му точки  и  сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но бис­сек­три­сы угла.

Из этого сле­ду­ет, что и рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник об­ла­да­ет осе­вой сим­мет­рии от­но­си­тель­но бис­сек­три­сы (вы­со­ты, ме­ди­а­ны), про­ве­дён­ной к сно­ва­нию.

При­мер 2

Рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник об­ла­да­ет тремя осями сим­мет­рии (бис­сек­три­сы/ме­ди­а­ны/вы­со­ты каж­до­го из трёх углов (см. Рис. 3).

Рис. 3

При­мер 3

Пря­мо­уголь­ник об­ла­да­ет двумя осями сим­мет­рии, каж­дая из ко­то­рых про­хо­дит через се­ре­ди­ны двух его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон (см. Рис. 4).

Рис. 4

При­мер 4

Ромб также об­ла­да­ет двумя осями сим­мет­рии: пря­мые, ко­то­рые со­дер­жат его диа­го­на­ли (см. Рис. 5).

Рис. 5

При­мер 5

Квад­рат, яв­ля­ю­щий­ся од­но­вре­мен­но ром­бом и пря­мо­уголь­ни­ком, об­ла­да­ет 4 осями сим­мет­рии (см. Рис. 4).

Рис. 6

При­мер 6

У окруж­но­сти осью сим­мет­рии яв­ля­ет­ся любая пря­мая, про­хо­дя­щая через её центр (то есть со­дер­жа­щая диа­метр окруж­но­сти). По­это­му окруж­ность имеет бес­ко­неч­но много осей сим­мет­рии (см. Рис. 7).

Рис. 7

Рас­смот­рим те­перь по­ня­тие цен­траль­ной сим­мет­рии.

Опре­де­ле­ние

Точки  и  на­зы­ва­ют­ся сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но точки , если:  – се­ре­ди­на от­рез­ка .

Рас­смот­рим несколь­ко при­ме­ров: на Рис. 8 изоб­ра­же­ны точки  и , а также  и , ко­то­рые яв­ля­ют­ся сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но точки , а точки  и  не яв­ля­ют­ся сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но этой точки.

Рис. 8

Неко­то­рые  фи­гу­ры яв­ля­ют­ся сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но неко­то­рой точки. Сфор­му­ли­ру­ем стро­гое опре­де­ле­ние.

Опре­де­ле­ние

Фи­гу­ра на­зы­ва­ет­ся сим­мет­рич­ной от­но­си­тель­но точки 

, если для любой точки фи­гу­ры точка, сим­мет­рич­ная ей, также при­над­ле­жит дан­ной фи­гу­ре. Точка  на­зы­ва­ет­ся цен­тром сим­мет­рии, а фи­гу­ра об­ла­да­ет цен­траль­ной сим­мет­ри­ей.

Рас­смот­рим при­ме­ры фигур, об­ла­да­ю­щих цен­траль­ной сим­мет­ри­ей.

При­мер 7

У окруж­но­сти цен­тром сим­мет­рии яв­ля­ет­ся центр окруж­но­сти (это легко до­ка­зать, вспом­нив свой­ства диа­мет­ра и ра­ди­у­са окруж­но­сти) (см. Рис. 9).

Рис. 9

При­мер 8

У па­рал­ле­ло­грам­ма цен­тром сим­мет­рии яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей (см. Рис. 10). 

Рис. 10

Решим несколь­ко задач на осе­вую и цен­траль­ную сим­мет­рию.

За­да­ча 1.

Сколь­ко осей сим­мет­рии имеет от­ре­зок ?

Ре­ше­ние:

От­ре­зок имеет две оси сим­мет­рии. Пер­вая из них – это пря­мая, со­дер­жа­щая от­ре­зок (так как любая точка пря­мой сим­мет­рич­на сама себе от­но­си­тель­но этой пря­мой). Вто­рая – се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к от­рез­ку, то есть пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная от­рез­ку и про­хо­дя­щая через его се­ре­ди­ну.

Ответ: 2 оси сим­мет­рии.

За­да­ча 2.

Сколь­ко осей сим­мет­рии имеет пря­мая ?

Ре­ше­ние:

Пря­мая имеет бес­ко­неч­но много осей сим­мет­рии. Одна из них – это сама пря­мая (так как любая точка пря­мой сим­мет­рич­на сама себе от­но­си­тель­но этой пря­мой). А также осями сим­мет­рии яв­ля­ют­ся любые пря­мые, пер­пен­ди­ку­ляр­ные дан­ной пря­мой.

Ответ: бес­ко­неч­но много осей сим­мет­рии.

За­да­ча 3.

Сколь­ко осей сим­мет­рии имеет луч ?

Ре­ше­ние:

Луч имеет одну ось сим­мет­рии, ко­то­рая сов­па­да­ет с пря­мой, со­дер­жа­щей луч (так как любая точка пря­мой сим­мет­рич­на сама себе от­но­си­тель­но этой пря­мой).

Ответ: одна ось сим­мет­рии.

За­да­ча 4.

До­ка­зать, что пря­мые, со­дер­жа­щие диа­го­на­ли ромба, яв­ля­ют­ся его осями сим­мет­рии.

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим ромб . До­ка­жем, к при­ме­ру, что пря­мая  яв­ля­ет­ся его осью сим­мет­рии. Оче­вид­но, что точки  и  яв­ля­ют­ся сим­мет­рич­ны­ми сами себе, так как лежат на этой пря­мой. Кроме того, точки  и  сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но этой пря­мой, так как . Вы­бе­рем те­перь про­из­воль­ную точку  и до­ка­жем, что сим­мет­рич­ная ей от­но­си­тель­но  точка также при­над­ле­жит ромбу (см. Рис. 11).

Рис. 11

Про­ве­дём через точку  пер­пен­ди­ку­ляр к пря­мой  и про­длим его до пе­ре­се­че­ния с . Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и . Эти тре­уголь­ни­ки пря­мо­уголь­ные (по по­стро­е­нию), кроме того, в них:  – общий катет, а  (так как диа­го­на­ли ромба яв­ля­ют­ся его бис­сек­три­са­ми). Зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки равны: . Зна­чит, равны и все их со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты, по­это­му: . Из ра­вен­ства этих от­рез­ков сле­ду­ет то, что точки  и  яв­ля­ют­ся сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но пря­мой . Это озна­ча­ет, что  яв­ля­ет­ся осью сим­мет­рии ромба. Ана­ло­гич­но можно до­ка­зать этот факт и для вто­рой диа­го­на­ли.

До­ка­за­но.

За­да­ча 5.

До­ка­зать, что точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма яв­ля­ет­ся его цен­тром сим­мет­рии.

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим па­рал­ле­ло­грамм . До­ка­жем, что точка  яв­ля­ет­ся его цен­тром сим­мет­рии. Оче­вид­но, что точки  и ,  и  яв­ля­ют­ся по­пар­но сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но точки , так как диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам. Вы­бе­рем те­перь про­из­воль­ную точку  и до­ка­жем, что сим­мет­рич­ная ей от­но­си­тель­но  точка также при­над­ле­жит па­рал­ле­ло­грам­му (см. Рис. 12).

Рис. 12

Со­еди­ним точку  с точ­кой  и про­длим линию до пе­ре­се­че­ния с про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­ной. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и . Эти тре­уголь­ни­ки равны по вто­ро­му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков (сто­ро­на и два угла). Дей­стви­тель­но: (так как диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам),  (как внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых),  (как вер­ти­каль­ные углы). Зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки равны: . Зна­чит, равны и все их со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты, по­это­му: . Из ра­вен­ства этих от­рез­ков сле­ду­ет то, что точки  и  яв­ля­ют­ся сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но точки . Это озна­ча­ет, что  яв­ля­ет­ся цен­тром сим­мет­рии па­рал­ле­ло­грам­ма.

До­ка­за­но.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/pryamougolnik-romb-i-kvadrat-osevaya-i-tsentralnaya-simmetrii

http://www.youtube.com/watch?v=KQVvIPgse98

http://oldskola1. narod.ru/Nikitin/0046.htm

http://festival.1september.ru/articles/416997/

http://rushkolnik.ru/tw_files2/urls_3/891/d-890061/890061_html_m5ff065f.jpg

http://www.online-tusa.com/this/img/24/2499.gif

http://panel.mriya.org.ua/upload/Golubiatnikova/_0013-013-Pravilnyj-treugolnik.jpg

http://www.online-tusa.com/this/img/25/2500.gif

http://5klass.net/datas/geometrija/Simmetrija-figur/0010-010-Tak-romb-simmetrichen-sam-sebe-otnositelno-svoikh-diagonalej.jpg

http://dok.opredelim.com/pars_docs/refs/70/69450/img8.jpg

http://gigabaza.ru/doc/16746.html

https://prezentacii.org/engine/download.php?id=19307

http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJh2OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw

Сколько осей симметрии у правильного треугольника. Урок математики

Если в четырехугольнике все углы прямые, то его называют прямоугольником.

На рисунке 125 изображен прямоугольник ABCD.

Стороны AB и BC имеют общую вершину B. Их называют соседними сторонами прямоугольника ABCD. Также соседними являются, например, стороны BC и CD.

Соседние стороны прямоугольника называют его длиной и шириной .

Стороны AB и CD не имеют общих вершин. Их называют противоположными сторонами прямоугольника ABCD. Также противолежащими являются стороны BC и AD.

Противолежащие стороны прямоугольника равны.

На рисунке 125 AB = CD, BC = AD. Если длина прямоугольника равна a, а ширина − b, то его периметр вычисляют по уже знакомой тебе формуле:

P = 2 a + 2 b

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называют квадратом (рис. 126 ).

Проведем прямую l, проходящую через середины двух противолежащих сторон прямоугольника (рис. 127 ). Если лист бумаги перегнуть по прямой l, то две части прямоугольника, лежащие по разные стороны от прямой l, совпадут.

Аналогичным свойством обладают фигуры, изображенные на рисунке 128 . Такие фигуры называют симметричными относительно прямой . Прямую l называют осью симметрии фигуры .

Итак, прямоугольник − это фигура, имеющая ось симметрии. Также ось симметрии имеет равнобедренный треугольник (рис. 129 ).

Фигура может иметь более одной оси симметрии. Например, прямоугольник, отличный от квадрата, имеет две оси симметрии (рис. 130 ), а квадрат − четыре оси симметрии (рис. 131 ). Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (рис. 132 ).

Изучая окружающий мир, мы часто встречаемся с симметрией. Примеры симметрии в природе показаны на рисунке 133 .

Объекты, имеющие ось симметрии, легко воспринимаются и приятные для глаза. Недаром в Древней Греции слово «симметрия» служило синонимом слов «гармония», «красота».

Идея симметрии широко используется в изобразительном искусстве, архитектуре (рис. 134 ).

Жизнь людей наполнена симметрией. Это удобно, красиво, не нужно выдумывать новых стандартов. Но что она есть на самом деле и так ли красива в природе, как принято считать?

Симметрия

С древних времен люди стремятся упорядочить мир вокруг себя. Поэтому что-то считается красивым, а что-то не очень. С эстетической точки зрения как привлекательные рассматриваются золотое и серебряное сечения, а также, разумеется, симметрия. Этот термин имеет греческое происхождение и дословно означает «соразмерность». Разумеется, речь идет не только о совпадении по этому признаку, но также и по некоторым другим. В общем смысле симметрия — это такое свойство объекта, когда в результате тех или иных образований результат равен исходным данным. Это встречается как в живой, так и в неживой природе, а также в предметах, сделанных человеком.

Прежде всего термин «симметрия» употребляется в геометрии, но находит применение во многих научных областях, причем его значение остается в общем и целом неизменным. Это явление достаточно часто встречается и считается интересным, поскольку различается несколько его видов, а также элементов. Использование симметрии также интересно, ведь она встречается не только в природе, но и в орнаментах на ткани, бордюрах зданий и многих других рукотворных предметах. Стоит рассмотреть это явление поподробнее, поскольку это крайне увлекательно.

Употребление термина в других научных областях

В дальнейшем симметрия будет рассматриваться с точки зрения геометрии, однако стоит упомянуть, что данное слово используется не только здесь. Биология, вирусология, химия, физика, кристаллография — все это неполный список областей, в которых данное явление изучается с различных сторон и в разных условиях. От того, к какой науке относится этот термин, зависит, например, классификация. Так, разделение на типы серьезно варьируется, хотя некоторые основные, пожалуй, остаются неизменными везде.

Классификация

Различают несколько основных типов симметрии, из которых наиболее часто встречаются три:


Кроме того, в геометрии различают также следующие типы, они встречаются значительно реже, но не менее любопытны:

  • скользящая;
  • вращательная;
  • точечная;
  • поступательная;
  • винтовая;
  • фрактальная;
  • и т. д.

В биологии все виды называются несколько иначе, хотя по сути могут быть такими же. Подразделение на те или иные группы происходит на основании наличия или отсутствия, а также количества некоторых элементов, таких как центры, плоскости и оси симметрии. Их следует рассмотреть отдельно и более подробно.

Базовые элементы

В явлении выделяют некоторые черты, одна из которых обязательно присутствует. Так называемые базовые элементы включают в себя плоскости, центры и оси симметрии. Именно в соответствии с их наличием, отсутствием и количеством определяется тип.

Центром симметрии называют точку внутри фигуры или кристалла, в которой сходятся линии, соединяющие попарно все параллельные друг другу стороны. Разумеется, он существует не всегда. Если есть стороны, к которым нет параллельной пары, то такую точку найти невозможно, поскольку ее нет. В соответствии с определением, очевидно, что центр симметрии — это то, через что фигура может быть отражена сама на себя. Примером может служить, например, окружность и точка в ее середине. Этот элемент обычно обозначается как C.

Плоскость симметрии, разумеется, воображаема, но именно она делит фигуру на две равные друг другу части. Она может проходить через одну или несколько сторон, быть параллельной ей, а может делить их. Для одной и той же фигуры может существовать сразу несколько плоскостей. Эти элементы обычно обозначаются как P.

Но, пожалуй, наиболее часто встречается то, что называют «оси симметрии». Это нередкое явление можно увидеть как в геометрии, так и в природе. И оно достойно отдельного рассмотрения.

Оси

Часто элементом, относительно которого фигуру можно назвать симметричной,


выступает прямая или отрезок. В любом случае речь идет не о точке и не о плоскости. Тогда рассматриваются фигур. Их может быть очень много, и расположены они могут быть как угодно: делить стороны или быть параллельными им, а также пересекать углы или не делать этого. Оси симметрии обычно обозначаются как L.

Примерами могут служить равнобедренные и В первом случае будет вертикальная ось симметрии, по обе стороны от которой равные грани, а во втором линии будут пересекать каждый угол и совпадать со всеми биссектрисами, медианами и высотами. Обычные же треугольники ею не обладают.

Кстати, совокупность всех вышеназванных элементов в кристаллографии и стереометрии называется степенью симметрии. Этот показатель зависит от количества осей, плоскостей и центров.

Примеры в геометрии

Условно можно разделить все множество объектов изучения математиков на фигуры, имеющие ось симметрии, и такие, у которых ее нет. В первую категорию автоматически попадают все окружности, овалы, а также некоторые частные случаи, остальные же попадают во вторую группу.

Как и в случае, когда говорилось про ось симметрии треугольника, данный элемент для четырехугольника существует не всегда. Для квадрата, прямоугольника, ромба или параллелограмма он есть, а для неправильной фигуры, соответственно, нет. Для окружности оси симметрии — это множество прямых, которые проходят через ее центр.

Кроме того, интересно рассмотреть и объемные фигуры с этой точки зрения. Хотя бы одной осью симметрии помимо всех правильных многоугольников и шара будут обладать некоторые конусы, а также пирамиды, параллелограммы и некоторые другие. Каждый случай необходимо рассматривать отдельно.

Примеры в природе

В жизни называется билатеральной, она встречается наиболее
часто. Любой человек и очень многие животные тому пример. Осевая же называется радиальной и встречается гораздо реже, как правило, в растительном мире. И все-таки они есть. Например, стоит подумать, сколько осей симметрии имеет звезда, и имеет ли она их вообще? Разумеется, речь идет о морских обитателях, а не о предмете изучения астрономов. И правильным ответом будет такой: это зависит от количества лучей звезды, например пять, если она пятиконечная.

Кроме того, радиальная симметрия наблюдается у многих цветков: ромашки, васильки, подсолнухи и т. д. Примеров огромное количество, они буквально везде вокруг.


Аритмия

Этот термин, прежде всего, напоминает большинству о медицине и кардиологии, однако он изначально имеет несколько другое значение. В данном случае синонимом будет «асимметрия», то есть отсутствие или нарушение регулярности в том или ином виде. Ее можно встретить как случайность, а иногда она может стать прекрасным приемом, например, в одежде или архитектуре. Ведь симметричных зданий очень много, но знаменитая чуть наклонена, и хоть она не одна такая, но это самый известный пример. Известно, что так получилось случайно, но в этом есть своя прелесть.

Кроме того, очевидно, что лица и тела людей и животных тоже не полностью симметричны. Проводились даже исследования, согласно результатам которых «правильные» лица расценивались как неживые или просто непривлекательные. Все-таки восприятие симметрии и это явление само по себе удивительны и пока не до конца изучены, а потому крайне интересны.

Осевая симметрия — это симметрия относительно прямой.

Пусть дана некоторая прямая g .

Чтобы построить точку, симметричную некоторой точке A относительно прямой g , надо:

1) Провести из точки A к прямой g перпендикуляр AO.

2) На продолжении перпендикуляра с другой стороны от прямой g отложить отрезок OA1, равный отрезку AO: OA1=AO.

Полученная точка A1 симметрична точке A относительно прямой g .

Прямая g называется осью симметрии.

Таким образом, точки A и A1 симметричны относительно прямой g, если эта прямая проходит через середину отрезка AA1 и перпендикулярна к нему .

Если точка A лежит на прямой g, то симметричная ей точка есть сама точка A.

Преобразование фигуры F в фигуру F1, при котором каждая её точка A переходит в точку A1, симметричную относительно данной прямой g , называется преобразованием симметрии относительно прямой g .

Фигуры F и F1 называются фигурами, симметричными относительно прямой g.


Чтобы построить треугольник, симметричный данному относительно прямой g , достаточно построить точки, симметричные вершинам треугольника, и соединить их отрезками.

Например, треугольники ABC и A1B1C1 симметричны относительно прямой g .

Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру в себя, то такая фигура называется симметричной относительно прямой g , а прямая g называется её осью симметрии.

Симметричная фигура своей осью симметрии делится на две равные половины. Если симметричную фигуру нарисовать на бумаге, вырезать и согнуть по оси симметрии, то эти половинки совпадут.

Примеры фигур, симметричных относительно прямой.

1) Прямоугольник.

Прямоугольник имеет 2 оси симметрии: прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей параллельно сторонам.


Ромб имеет две оси симметрии:

прямые, на которых лежат его диагонали.

3) Квадрат, как ромб и прямоугольник, имеет четыре оси симметрии: прямые, содержащие его диагонали, и прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей параллельно сторонам.

4) Окружность.

Окружность имеет бесконечное множество осей симметрии:

любая прямая, содержащая диаметр, является осью симметрии окружности.

Прямая также имеет бесконечное множество осей симметрии: любая перпендикулярная ей прямая является для данной прямой осью симметрии.

6) Равнобедренная трапеция.

Равнобедренная трапеция — фигура, симметричная относительно прямой,перпендикулярной основаниям и проходящей через их середины.

7) Равнобедренный треугольник.

Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии:

прямую, проходящую через высоту (медиану, биссектрису), проведённую к основанию.

8) Равносторонний треугольник.


Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии:

Угол — фигура, симметричная относительно прямой, содержащей его биссектрису.

Осевая симметрия является движением.

Симметрия

С древних времен люди стремятся упорядочить мир вокруг себя. Поэтому что-то считается красивым, а что-то не очень. С эстетической точки зрения как привлекательные рассматриваются золотое и серебряное сечения, а также, разумеется, симметрия. Этот термин имеет греческое происхождение и дословно означает «соразмерность». Разумеется, речь идет не только о совпадении по этому признаку, но также и по некоторым другим. В общем смысле симметрия — это такое свойство объекта, когда в результате тех или иных образований результат равен исходным данным. Это встречается как в живой, так и в неживой природе, а также в предметах, сделанных человеком.

Прежде всего термин «симметрия» употребляется в геометрии, но находит применение во многих научных областях, причем его значение остается в общем и целом неизменным. Это явление достаточно часто встречается и считается интересным, поскольку различается несколько его видов, а также элементов. Использование симметрии также интересно, ведь она встречается не только в природе, но и в орнаментах на ткани, бордюрах зданий и многих других рукотворных предметах. Стоит рассмотреть это явление поподробнее, поскольку это крайне увлекательно.

Употребление термина в других научных областях

В дальнейшем симметрия будет рассматриваться с точки зрения геометрии, однако стоит упомянуть, что данное слово используется не только здесь. Биология, вирусология, химия, физика, кристаллография — все это неполный список областей, в которых данное явление изучается с различных сторон и в разных условиях. От того, к какой науке относится этот термин, зависит, например, классификация. Так, разделение на типы серьезно варьируется, хотя некоторые основные, пожалуй, остаются неизменными везде.

Классификация

Различают несколько основных типов симметрии, из которых наиболее часто встречаются три:


Кроме того, в геометрии различают также следующие типы, они встречаются значительно реже, но не менее любопытны:

  • скользящая;
  • вращательная;
  • точечная;
  • поступательная;
  • винтовая;
  • фрактальная;
  • и т. д.

В биологии все виды называются несколько иначе, хотя по сути могут быть такими же. Подразделение на те или иные группы происходит на основании наличия или отсутствия, а также количества некоторых элементов, таких как центры, плоскости и оси симметрии. Их следует рассмотреть отдельно и более подробно.

Базовые элементы

В явлении выделяют некоторые черты, одна из которых обязательно присутствует. Так называемые базовые элементы включают в себя плоскости, центры и оси симметрии. Именно в соответствии с их наличием, отсутствием и количеством определяется тип.

Центром симметрии называют точку внутри фигуры или кристалла, в которой сходятся линии, соединяющие попарно все параллельные друг другу стороны. Разумеется, он существует не всегда. Если есть стороны, к которым нет параллельной пары, то такую точку найти невозможно, поскольку ее нет. В соответствии с определением, очевидно, что центр симметрии — это то, через что фигура может быть отражена сама на себя. Примером может служить, например, окружность и точка в ее середине. Этот элемент обычно обозначается как C.

Плоскость симметрии, разумеется, воображаема, но именно она делит фигуру на две равные друг другу части. Она может проходить через одну или несколько сторон, быть параллельной ей, а может делить их. Для одной и той же фигуры может существовать сразу несколько плоскостей. Эти элементы обычно обозначаются как P.

Но, пожалуй, наиболее часто встречается то, что называют «оси симметрии». Это нередкое явление можно увидеть как в геометрии, так и в природе. И оно достойно отдельного рассмотрения.

Оси

Часто элементом, относительно которого фигуру можно назвать симметричной,

выступает прямая или отрезок. В любом случае речь идет не о точке и не о плоскости. Тогда рассматриваются оси симметрии фигур. Их может быть очень много, и расположены они могут быть как угодно: делить стороны или быть параллельными им, а также пересекать углы или не делать этого. Оси симметрии обычно обозначаются как L.

Примерами могут служить равнобедренные и равносторонние треугольники. В первом случае будет вертикальная ось симметрии, по обе стороны от которой равные грани, а во втором линии будут пересекать каждый угол и совпадать со всеми биссектрисами, медианами и высотами. Обычные же треугольники ею не обладают.

Кстати, совокупность всех вышеназванных элементов в кристаллографии и стереометрии называется степенью симметрии. Этот показатель зависит от количества осей, плоскостей и центров.

Примеры в геометрии

Условно можно разделить все множество объектов изучения математиков на фигуры, имеющие ось симметрии, и такие, у которых ее нет. В первую категорию автоматически попадают все правильные многоугольники, окружности, овалы, а также некоторые частные случаи, остальные же попадают во вторую группу.

Как и в случае, когда говорилось про ось симметрии треугольника, данный элемент для четырехугольника существует не всегда. Для квадрата, прямоугольника, ромба или параллелограмма он есть, а для неправильной фигуры, соответственно, нет. Для окружности оси симметрии — это множество прямых, которые проходят через ее центр.

Кроме того, интересно рассмотреть и объемные фигуры с этой точки зрения. Хотя бы одной осью симметрии помимо всех правильных многоугольников и шара будут обладать некоторые конусы, а также пирамиды, параллелограммы и некоторые другие. Каждый случай необходимо рассматривать отдельно.

Примеры в природе

Зеркальная симметрия в жизни называется билатеральной, она встречается наиболее
часто. Любой человек и очень многие животные тому пример. Осевая же называется радиальной и встречается гораздо реже, как правило, в растительном мире. И все-таки они есть. Например, стоит подумать, сколько осей симметрии имеет звезда, и имеет ли она их вообще? Разумеется, речь идет о морских обитателях, а не о предмете изучения астрономов. И правильным ответом будет такой: это зависит от количества лучей звезды, например пять, если она пятиконечная.

Кроме того, радиальная симметрия наблюдается у многих цветков: ромашки, васильки, подсолнухи и т. д. Примеров огромное количество, они буквально везде вокруг.

Аритмия

Этот термин, прежде всего, напоминает большинству о медицине и кардиологии, однако он изначально имеет несколько другое значение. В данном случае синонимом будет «асимметрия», то есть отсутствие или нарушение регулярности в том или ином виде. Ее можно встретить как случайность, а иногда она может стать прекрасным приемом, например, в одежде или архитектуре. Ведь симметричных зданий очень много, но знаменитая Пизанская башня чуть наклонена, и хоть она не одна такая, но это самый известный пример. Известно, что так получилось случайно, но в этом есть своя прелесть.

Кроме того, очевидно, что лица и тела людей и животных тоже не полностью симметричны. Проводились даже исследования, согласно результатам которых «правильные» лица расценивались как неживые или просто непривлекательные. Все-таки восприятие симметрии и это явление само по себе удивительны и пока не до конца изучены, а потому крайне интересны.

Геометрическая симметрия

Применительно к геометрической фигуре симметрия означает, что если данную фигуру преобразовать – например, повернуть – некоторые ее свойства останутся прежними.

Возможность таких преобразований различается от фигуры к фигуре. Например, круг можно сколько угодно вращать вокруг точки, расположенной в его центре, он так и останется кругом, ничто для него не изменится.

Понятие симметрии можно объяснить, не прибегая к вращению. Достаточно провести через центр круга прямую и построить в любом месте фигуры перпендикулярный ей отрезок, соединяющий две точки на окружности. Точка пересечения с прямой будет делить данный отрезок на две части, которые будут равны друг другу.

Иными словами, прямая разделила фигуру на две равные части. Точки частей фигуры, расположенные на прямых, перпендикулярных данной, находятся на равном расстоянии от нее. Вот эта пряма и будет называться осью симметрии. Симметрия такого рода – относительно прямой – называется осевой симметрией.

Количество осей симметрии

У разных фигур количество осей симметрии будет различным. Например, у круга и шара таких осей множество. У равностороннего треугольника осью симметрии будет перпендикуляр, опущенный на каждую из сторон, следовательно, у него три оси. У квадрата и прямоугольника можно провести четыре оси симметрии. Две из них перпендикулярны сторонам четырехугольников, а две другие являются диагоналями. А вот у равнобедренного треугольника ось симметрии только одна, располагающаяся меду равными его сторонами.

Осевая симметрия встречается и в природе. Ее можно наблюдать в двух вариантах.

Первый вид – радиальная симметрия, предполагающая наличие нескольких осей. Она характерна, например, для морских звезд. Более высокоразвитым организмам присуща билатеральная, или двусторонняя симметрия с единственной осью, делящей тело на две части.

Человеческому телу тоже присуща билатеральная симметрия, но идеальной ее назвать нельзя. Симметрично расположены ноги, руки, глаза, легкие, но не сердце, печень или селезенка. Отклонения от билатеральной симметрии заметны даже внешне. Например, крайне редко бывает так, чтобы у человека на обеих щеках были одинаковые родинки.

Цели:

  • образовательные:
    • дать представление о симметрии;
    • познакомить с основными видами симметрии на плоскости и в пространстве;
    • выработать прочные навыки построения симметричных фигур;
    • расширить представления об известных фигурах, познакомив со свойствами, связанных с симметрией;
    • показать возможности использования симметрии при решении различных задач;
    • закрепить полученные знания;
  • общеучебные:
    • научить настраивать себя на работу;
    • научить вести контроль за собой и соседом по парте;
    • научить оценивать себя и соседа по парте;
  • развивающие:
    • активизировать самостоятельную деятельность;
    • развивать познавательную деятельность;
    • учить обобщать и систематизировать полученную информацию;
  • воспитательные:
    • воспитываать у учащихся “чувство плеча”;
    • воспитывать коммуникативность;
    • прививать культуру общения.

ХОД УРОКА

Перед каждым лежат ножницы и лист бумаги.

Задание 1 (3 мин).

– Возьмем лист бумаги, сложим его попалам и вырежем какую-нибудь фигурку. Теперь развернем лист и посмотрим на линию сгиба.

Вопрос: Какую функцию выполняет эта линия?

Предполагаемый ответ: Эта линия делит фигуру пополам.

Вопрос: Как расположены все точки фигуры на двух получившихся половинках?

Предполагаемый ответ: Все точки половинок находятся на равном расстоянии от линии сгиба и на одном уровне.

– Значит, линия сгиба делит фигурку пополам так, что 1 половинка является копией 2 половинки, т.е. эта линия непростая, она обладает замечательным свойством (все точки относительно ее находятся на одинаковом расстоянии), эта линия – ось симметрии.

Задание 2 (2 мин).

– Вырезать снежинку, найти ось симметрии, охарактеризовать ее.

Задание 3 (5 мин).

– Начертить в тетради окружность.

Вопрос: Определить, как проходит ось симметрии?

Предполагаемый ответ: По-разному.

Вопрос: Так сколько осей симметрии имеет окружность?

Предполагаемый ответ: Много.

– Правильно, окружность имеет множество осей симметрии. Такой же замечательной фигурой является шар (пространственная фигура)

Вопрос: Какие еще фигуры имеют не одну ось симметрии?

Предполагаемый ответ: Квадрат, прямоугольник, равнобедренный и равносторонний треугольники.

– Рассмотрим объемные фигуры: куб, пирамиду, конус, цилиндр и т.д. Эти фигуры тоже имеют ось симметрии.Определите, сколько осей симметрии у квадрата, прямоугольника, равностороннего треугольника и у предложенных объемных фигур?

Раздаю учащимся половинки фигурок из пластилина.

Задание 4 (3 мин).

– Используя полученную информацию, долепить недостающую часть фигурки.

Примечание: фигурка может быть и плоскостной, и объемной. Важно, чтобы учащиеся определили, как проходит ось симметрии, и долепили недостающий элемент. Правильность выполнения определяет сосед по парте, оценивает, насколько правильно проделана работа.

Из шнурка одного цвета на рабочем столе выложена линия (замкнутая, незамкнутая, с самопересечением, без самопересечения).

Задание 5 (групповая работа 5 мин).

– Определить визуально ось симметрии и относительно нее достроить из шнурка другого цвета вторую часть.

Правильность выполненной работы определяется самими учениками.

Перед учащимися представлены элементы рисунков

Задание 6 (2 мин).

– Найдите симметричные части этих рисунков.

Для закрепления пройденного материала предлагаю следующие задания, предусмотренные на 15 мин.:

Назовите все равные элементы треугольника КОР и КОМ. Каков вид этих треугольников?

2. Начертите в тетради несколько равнобедренных треугольников с общим основанием равным 6 см.

3. Начертите отрезок АВ. Постройте прямую перпендикулярную отрезку АВ и проходящую через его середину. Отметьте на ней точки С и D так, чтобы четырехугольник АСВD был симметричен относительно прямой АВ.

– Наши первоначальные представления о форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века – палеолита. В течение сотен тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в условиях мало отличавшихся от жизни животных. Люди изготовляли орудия для охоты и рыболовства, вырабатывали язык для общения друг с другом, а в эпоху позднего палеолита украшали свое существование, создавая произведения искусства, статуэтки и рисунки, в которых обнаруживается замечательное чувство формы.
Когда произошел переход от простого собирания пищи к активному ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию, человечество вступает в новый каменный век, в неолит.
Человек неолита обладал острым чувством геометрической формы. Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление камышовых циновок, корзин, тканей, позже – обработка металлов вырабатывали представления о плоскостных и пространственных фигурах. Неолитические орнаменты радовали глаз, выявляя равенство и симметрию.
– А где в природе встречается симметрия?

Предполагаемый ответ: крылья бабочек, жуков, листья деревьев…

– Симметрию можно наблюдать и в архитектуре. Строя здания, строители четко придерживаются симметрии.

Поэтому здания получаются такие красивые. Также примером симметрии служит человек, животные.

Задание на дом:

1. Придумать свой орнамент, изобразить его на листе формат А4 (можно нарисовать в виде ковра).
2. Нарисовать бабочек, отметить, где присутствуют элементы симметрии.

Симметрия бывает двух видов: центральная и осевая. При центральной симметрии любая прямая, проведенная через центр фигуры, делит ее на две абсолютно одинаковые части, которые полностью симметричны. Простыми словами, они являются зеркальным отражением друг друга. У окружности таких прямых можно провести бесконечное множество, в любом случае они поделят ее на две симметричные части.

Ось симметрии

Большинство же геометрических фигур не имеют таких характеристик. В них можно провести только ось симметрии и то далеко не у всех. Ось — это также прямая, которая делит фигуру на симметричные части. Но для оси симметрии существует лишь определенное местоположение и если его слегка изменить, то симметрия нарушится.

Логично, что каждый квадрат имеет ось симметрии, ведь у него все стороны равны и каждый угол равен девяноста градусам. Треугольники же бывают разные. Треугольники, у которых все стороны разные, не может иметь ни ось, ни центр симметрии. А вот в равнобедренных треугольниках провести ось симметрии можно. Вспомним, что равнобедренным считается треугольник с двумя равными сторонами и соответственно двумя равными углами, прилегающими к третьей стороне — основанию. Для равнобедренного треугольника осью будет являться прямая, проходящая из вершины треугольника к основанию. В данном случае эта прямая будет одновременно и медианой, и биссектрисой, так как она разделит угол пополам и дойдет ровно до середины третьей стороны. Если по этой прямой сложить треугольник, то получившиеся фигуры полностью скопируют друг друга. Однако в равнобедренном треугольнике ось симметрии может быть только одна. Если через ее центр провести другую прямую, то она не разделит его на две симметричные части.

Особенный треугольник

Уникальным является равносторонний треугольник. Это особый вид треугольников, который также является равнобедренным. Правда, у него каждая сторона может считаться основанием, так как все его стороны равны, а каждый угол составляет шестьдесят градусов. Следовательно, у равностороннего треугольника существуют целых три оси симметрии. Эти прямые сходятся в одной точке в центре треугольника. Но даже такая особенность не превращает равносторонний треугольник в фигуру с центральной симметрией. Центра симметрии нет даже у равностороннего треугольника, так как через указанную точку лишь три прямые делят фигуру на равные части. Если провести прямую в другом направлении, то треугольник обладать симметрией уже не будет. Значит, эти фигуры обладают только осевой симметрией.

Сколько осей симметрии имеет треугольник? П.4 Определение и свойства осевой симметрии плоскости.

Что же такое ось симметрии? Это множество точек, которые образуют прямую, являющуюся основой симметрии, то есть, если от прямой отложили определенное расстояние с одной стороны, то оно отразится и в другую сторону в таком же размере. Осью может выступать все, что угодно, — точка, прямая, плоскость и так далее. Но об этом лучше говорить на наглядных примерах.

Симметрия

Для того чтобы понять, что такое ось симметрии, нужно вникнуть в само определение симметрии. Это соответствие определенного фрагмента тела относительно какой-либо оси, когда его структура неизменна, а свойства и форма такого объекта остаются прежними относительно его преобразований. Можно сказать, что симметрия — свойство тел к отображению. Когда фрагмент не может иметь подобного соответствия, это называется асимметрией или же аритмией.

Некоторые фигуры не имеют симметрии, поэтому они и называются неправильными или же асимметричными. К таким относятся различные трапеции (кроме равнобедренной), треугольники (кроме равнобедренного и равностороннего) и другие.

Виды симметрии

Также обсудим некоторые виды симметрии, чтобы до конца изучить это понятие. Их разделяют так:

  • Осевая. Осью симметрии является прямая, проходящая через центр тела. Как это? Если наложить части вокруг оси симметрии, то они будут равными. Это можно увидеть на примере сферы.
  • Зеркальная. Осью симметрии здесь является прямая, относительно которой тело можно отразить и получить обратное отображение. Например, крылья бабочки зеркально симметричны.
  • Центральная. Осью симметрии является точка в центре тела, относительно которой при всех преобразованиях части тела равны при наложении.
  • История симметрии

    Само понятие симметрии часто бывает отправной точкой в теориях и гипотезах ученых древних времен, которые были уверены в математической гармонии мироздания, а также в проявлении божественного начала. Древние греки свято верили в то, что Вселенная симметрична, потому что симметрия великолепна. Человек очень давно использовал идею симметрии в своих познаниях картины мироздания.

    В V веке до нашей эры Пифагор считал сферу самой совершенной формой и думал, что Земля имеет форму сферы и таким же образом движется. Также он полагал, что Земля движется по форме какого-то «центрального огня», вокруг которого должны были вращаться 6 планет (известные на то время), Луна, Солнце и все другие звезды.

    А философ Платон считал многогранники олицетворением четырех природных стихий:

    • тетраэдр — огонь, так как его вершина направлена вверх;
    • куб — земля, так как это самое устойчивое тело;
    • октаэдр — воздух, нет каких-либо объяснений;
    • икосаэдр — вода, так как тело не имеет грубых геометрических форм, углов и так далее;
    • образом всей Вселенной являлся додекаэдр.

    Из-за всех этих теорий правильные многогранники называют телами Платона.

    Симметрией пользовались еще зодчие Древней Греции. Все их постройки были симметричны, об этом свидетельствуют изображения древнего храма Зевса в Олимпии.

    Голландский художник М. К. Эшер также прибегал к симметрии в своих картинах. В частности, мозаика из двух птиц, летящих навстречу, стала основой картины «День и ночь».

    Также и наши искусствоведы не пренебрегали правилами симметрии, что видно на примере картины Васнецова В. М. «Богатыри».

    Что уж там говорить, симметрия — ключевое понятие для всех деятелей искусства на протяжении многих веков, но в XX веке ее смысл оценили также все деятели точных наук. Точным свидетельством являются физические и космологические теории, например, теория относительности, теория струн, абсолютно вся квантовая механика. Со времен Древнего Вавилона и, заканчивая передовыми открытиями современной науки, прослеживаются пути изучения симметрии и открытия ее основных законов.

    Симметрия геометрических фигур и тел

    Рассмотрим внимательнее геометрические тела. Например, осью симметрии параболы является прямая, проходящая через ее вершину и рассекающая данное тело пополам. У этой фигуры имеется одна единственная ось.

    А с геометрическими фигурами дело обстоит иначе. Ось симметрии прямоугольника — также прямая, но их несколько. Можно провести ось параллельно отрезкам ширины, а можно — длины. Но не все так просто. Вот прямая не имеет осей симметрии, так как ее конец не определен. Могла существовать только центральная симметрия, но, соответственно, и таковой не будет.

    Следует также знать то, что некоторые тела имеют множество осей симметрии. Об этом догадаться несложно. Даже не нужно говорить о том, сколько осей симметрии имеет окружность. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является таковой и этих прямых — бесконечное множество.

    У некоторые четырехугольников может быть две оси симметрии. Но вторые должны быть перпендикулярны. Это происходит в случае с ромбом и прямоугольником. В первом оси симметрии — диагонали, а во втором — средние линии. Множество таковых осей только у квадрата.

    Симметрия в природе

    Природа поражает множеством примеров симметрии. Даже наше человеческое тело устроено симметрично. Два глаза, два уха, нос и рот расположены симметрично относительно центральной оси лица. Руки, ноги и все тело в общем устроено симметрично оси, проходящей через середину нашего тела.

    А сколько примеров окружает нас постоянно! Это цветы, листья, лепестки, овощи и фрукты, животные и даже соты пчел имеют ярко выраженную геометрическую форму и симметрию. Вся природа устроена упорядоченно, всему есть свое место, что еще раз подтверждает совершенство законов природы, в которых симметрия — основное условие.

    Вывод

    Нас постоянно окружают какие-либо явления и предметы, например, радуга, капля, цветы, лепестки и так далее. Их симметрия — очевидна, в какой-то степени она обусловлена гравитацией. Часто в природе под понятием «симметрия» понимают регулярную смену дня и ночи, времен года и так далее.

    Подобные свойства наблюдаются везде, где есть порядок и равенство. Также и сами законы природы — астрономические, химические, биологические и даже генетические подчинены определенным принципам симметрии, так как имеют совершенную системность, а значит, сбалансированность имеет всеохватывающий масштаб. Следовательно, осевая симметрия — один из основополагающих законов мироздания в целом.

    Рассмотрим теперь оси симметрии сторон треугольника. Напомним, что осью симметрии отрезка является перпендикуляр, восставленный к отрезку в его середине.

    Любая точка такого перпендикуляра одинаково удалена от концов отрезка. Пусть теперь — перпендикуляры, проведенные через середины сторон ВС и АС треугольника ABC (рис. 220) к этим сторонам, т. е. оси симметрии этих двух сторон. Точка их пересечения Q одинаково удалена от вершин В и С треугольника, так как лежит на оси симметрии стороны ВС, точно так же она и одинаково удалена от вершин А и С. Следовательно, она одинаково удалена от всех трех вершин треугольника, в том числе от вершин А и В. Значит, она лежит на оси симметрии третьей стороны АВ треугольника. Итак, оси симметрии трех сторон треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка одинаково удалена от вершин треугольника. Следовательно, если провести окружность радиусом, равным расстоянию этой точки от вершин треугольника, с центром в найденной точке, то она пройдет через все три вершины треугольника. Такая окружность (рис. 220) называется описанной окружностью. Обратно, если представить себе окружность, проходящую через три вершины треугольника, то ее центр обязан находиться на равных расстояниях от вершин треугольника и потому принадлежит каждой из осей симметрии сторон треугольника.

    Поэтому у треугольника имеется только одна описанная окружность: вокруг данного треугольника можно описать окружность, и притом только одну; центр ее лежит в точке пересечения трех перпендикуляров, восставленных к сторонам треугольника в их серединах.

    На рис. 221 показаны окружности, описанные вокруг остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников; центр описанной окружности лежит в первом случае внутри треугольника, во втором — на середине гипотенузы треугольника, в третьем — вне треугольника. Это проще всего следует из свойств углов, опирающихся на дугу окружности (см. п. 210).

    Так как любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно считать вершинами треугольника, то можно утверждать, что через три любые точки, не принадлежащие прямой, проходит единственная окружность. Поэтому две окружности имеют не более двух общих точек.

    «Симметрия » в переводе с греческого означает «соразмерность» (повторяемость). Симметричные тела и предметы состоят из равнозначных, правильно повторяющихся в пространстве частей. Особенно разнообразна симметрия кристаллов. Различные кристаллы отличаются большей или меньшей симметричностью. Она является их важнейшим и специфическим свойством, отражающим закономерность внутреннего строения.

    По более точному определению симметрия – это закономерная повторяемость элементов (или частей) фигуры или какого-либо тела, при которой фигура совмещается сама с собой при некоторых преобразованиях (вращение вокруг оси, отражение в плоскости). Подавляющее большинство кристаллов обладает симметрией.

    Понятие симметрии включает в себя составные части – элементы симметрии. Сюда относятся плоскость симметрии , ось симметрии , центр симметрии , или центр инверсии .

    Плоскость симметрии делит кристалл на две зеркально равные части. Обозначается она буквой Р. Части, на которые плоскость симметрии рассекает многогранник, относятся одна к другой, как предмет к своему изображению в зеркале разные кристаллы имеют различное количество плоскостей симметрии, которое ставится перед буквой Р. Наибольшее количество таких плоскостей у природных кристаллов – девять 9Р. В кристалле серы насчитывается 3Р, а у гипса только одна. Значит, в одном кристалле может быть несколько плоскостей симметрии. В некоторых кристаллах плоскость симметрии отсутствует.

    Относительно элементов ограничения плоскость симметрии может занимать следующее положение:

    1. проходит через ребра;
    2. лежать перпендикулярно к ребрам в их серединах;
    3. проходить через грань перпендикулярно к ней;
    4. пересекать гранные углы в их вершинах.

    В кристаллах возможны следующие количества плоскостей симметрии: 9Р, 7Р, 6Р, 5Р, 4Р, 3Р, 2Р, Р, отсутствие плоскости симметрии.

    Ось симметрии

    Ось симметрии – воображаемая ось, при повороте вокруг которой на некоторый угол фигура совмещается сама с собой в пространстве. Она обозначается буквой L. У кристаллов при вращении вокруг оси симметрии на полный оборот одинаковые элементы ограничения (грани, ребра, углы) могут повторяться только 2, 3, 4, 6 раз. Соответственно этому оси будут называться осями симметрии второго, третьего, четвертого и шестого порядка и обозначаться: L2, L3, L4 и L6.Порядок оси определяется числом совмещений при повороте на 360⁰С.

    Ось симметрии первого порядка не принимается во внимание, так как ею обладают вообще не фигуры, в том числе и несимметричные. Количество осей одного и того же порядка пишут перед буквой L: 6L6, 3L4 и т.п.

    Центр симметрии

    Центр симметрии – это точка внутри кристалла, в которой пересекаются и делятся пополам линии, соединяющие одинаковые элементы ограничения кристалла (грани, ребра, углы). Обозначается она буквой С. Практически присутствие центра симметрии будет сказываться в том, что каждое ребро многогранника имеет параллельное себе ребро, каждая грань – такую же параллельную себе зеркально-обратную грань. Если же в многограннике присутствуют грани, не имеющие себе параллельных, то такой многогранник не обладает центром симметрии.

    Достаточно поставить многогранник гранью на стол, чтобы заметить, имеется ли сверху такая же параллельная ей зеркально-обратная грань. Конечно, на параллельность нужно проверить все типы граней.

    Существует ряд простых закономерностей, по которым сочетаются друг с другом элементы симметрии. Значение этих правил облегчает их нахождение.

    1. Линия пересечения двух или нескольких плоскостей является осью симметрии. Порядок такой оси равен числу пересекающихся в ней плоскостей.
    2. L6 может присутствовать в кристалле только в единственном числе.
    3. С L6 не могут комбинироваться ни L4, ни L3, но может сочетаться L2 причем L6 и L2 должны быть перпендикулярны; в таком случае присутствует 6L2.
    4. L4 может встречаться в единственном числе или трех взаимно перпендикулярных осей.
    5. L3 может встречаться в единственном числе или с 4L3.

    Степенью симметрии называется совокупность всех элементов симметрии, которыми обладает данный кристалл.

    Кристалл, имеющий форму куба, обладает высокой степенью симметрии. В нем присутствуют три оси симметрии четвертого порядка (3L4), проходящие через середины граней куба, четыре оси симметрии третьего порядка (4L3), проходящие через вершины трехгранных углов, и шесть осей второго порядка (6L2), проходящих через середины ребер. В точке пересечения осей симметрии располагается центр симметрии куба (С). Кроме того, в кубе можно провести девять плоскостей симметрии (9Р). Элементы симметрии кристалла можно изобразить кристаллографической формулой.

    Для куба формула имеет вид: 9P, 3L4, 4L3, 6L2, C.

    Русский ученый А.В. Гадолин в 1869 г. показал, что у кристаллов возможны 32 различных сочетания элементов симметрии, составляющих классы (виды) симметрии. Таким образом, класс объединяет группу кристаллов с одинаковой степенью симметрии.

    «Симметрия вокруг нас» — Все виды осевой симметрии. Вращения. Греческое слово симметрия означает «пропорциональность», «гармония». Произвольная. Центральная относительно точки. Симметрия в пространстве. Вращения (поворотная). В геометрии есть фигуры, которые имеют. Симметрия. Осевая. Один вид симметрии. Вокруг нас. Центральная.

    «В мире симметрии» — Орнаменты, фризы имеют в своей основе периодически повторяющийся узор. Симметричны формы жука, червяка, гриба, листа, цветка и др. Большинство зданий зеркально симметричны. Во всем ли в жизни должна быть симметрия? Зачем надо знать о симметрии, изучая технические науки? Что такое симметрия? Симметрия в природе и технике.

    «Симметрия в искусстве» — Центрально- осевая симметрия в архитектуре. II.1. Пропорция в архитектуре. Палаццо Спада (Рим). По характеру своих творческих возможностей периодичность — универсальное явление. III. Ле-Корбюэье. Ритм является одним из основных элементов выразительности мелодии. Р. Декарт. Ж. А. Фабр. Геометрические методы изображения пространственных фигур:

    «Точка симметрии» — Фигуры, не имеющие осей симметрии. Точка О называется центром симметрии. Две точки А и А1 называются симметричными относительно О, если О середина отрезка АА1. Равнобочная трапеция имеет только осевую симметрию. Симметрия в природе. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют две оси симметрии.

    «Математическая симметрия» — Однако у сложных молекул, как правило, отсутствует симметрия. Палиндромы. Осевая. Центральная симметрия. Осевая симметрия. Типы симметрии. Симметрия в биологии. Вращательная симметрия. Симметрия в искусствах. ИМЕЕТ МНОГО ОБЩЕГО С ПОСТУПАТЕЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ В МАТЕМАТИКЕ. Спиральная симметрия. Поступательная.

    «Виды симметрии» — Центральная симметрия является движением. Зеркальный двойник оказывается «вывернутым» вдоль направления перпендикулярного к плоскости зеркала. Осевая симметрия также является движением. Теорема. Параллельный перенос. Центральная симметрия. Виды движения. Понятие движения. Параллельный перенос – один из видов движения.

    Всего в теме 11 презентаций

    Фридрих В.А. 1

    Дементьева В.В. 1

    1 Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 6», г. Александровск, Пермский край

    Текст работы размещён без изображений и формул.
    Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

    Введение

    «Стоя перед черной доской и рисуя на ней

    мелом разные фигуры,

    я вдруг был поражен мыслью:

    почему симметрия приятна глазу?

    Что такое симметрия?

    Это врожденное чувство, отвечал я сам себе»

    Л. Н. Толстой

    В учебнике математика 6 класс, автор Никольский С. М., на страницах 132 — 133 раздел Дополнительные задачи к главе № 3, имеются задания для исследования фигур на плоскости, симметричных относительно прямой. Меня заинтересовала данная тема, я решила выполнить задания и более подробно изучить данную тему.

    Объект исследования — симметрия.

    Предмет исследования — симметрия как основополагающий закон вселенной.

    Какую гипотезу я буду проверять:

    Я считаю, что осевая симметрия является не только математическим и геометрическим понятием, и применяется только для решения соответствующих задач, но и является основой гармонии, красоты, равновесия и устойчивости. Принцип симметрии используется практически во всех науках, в нашей повседневной жизни и является одним из «краеугольных» законов, на котором базируется мироздание в целом.

    Актуальность темы

    Понятие симметрия проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков его развития. В наше время, наверное, трудно найти человека, который не имел бы какого-либо представления о симметрии. Мир, в котором мы живём, наполнен симметрией домов, улиц, творениями природы и человека. С симметрией мы встречаемся буквально на каждом шагу: в технике, искусстве, науке.

    Поэтому, знание и понимание о симметрии в окружающем нас мире, является обязательным и необходимым, которое пригодится в дальнейшем для изучения других научных дисциплин. В этом и заключается актуальность избранной мной темы.

    Цель и задачи

    Цель работы: выяснить, какую роль играет симметрия в повседневной жизни человека, в природе, архитектуре, в быту, музыке и других науках.

    Для достижения поставленной цели, мне необходимо выполнить следующие задачи:

    1. Найти необходимую информацию, литературу и фотографии. Установить наибольшее количество данных, необходимых для моей работы, с помощью доступных для меня источников: учебники, энциклопедии или другие носители информации, соответствующих заданной теме.

    2. Дать общие понятие о симметрии, видах симметрии и истории происхождения термина.

    3. Для подтверждения своей гипотезы, создать поделки и провести эксперимент с данными фигурами, имеющими симметрию и не несимметричными.

    4. Продемонстрировать и представить результаты наблюдений в своём исследовании.

    Для практической части исследовательской работы мне необходимо сделать следующее, для чего я составила план работы:

    1. Создать своими руками поделки с заданными свойствами — симметричные и не симметричные модели, композицию, используя цветную бумагу, картон, ножницы, фломастеры, клей и т.д.;

    2. Провести эксперимент с моими поделками, с двумя вариантами симметрии.

    3. Исследовать, проанализировать и систематизировать полученные результаты, составив таблицу.

    4. Для наглядного и интересного закрепления полученных знаний, с помощью приложения «Paint 3 D» создать рисунки для наглядности, а так же нарисовать картинки, с заданиями — дорисовать симметричную половинку (начиная с простых рисунков и заканчивая сложными) и объединить их, создав электронную книгу.

    Методы исследования:

    1. Анализ статей и всей информации о симметрии.

    2. Компьютерное моделирование (обработка фотографий средствами графического редактора).

    3. Обобщение и систематизация полученных данных.

    Основная часть.

    Осевая симметрия и понятие совершенства

    С древних времен человек выработал представления о красоте и пытался постигнуть смысл совершенства. Красивы все творения природы. По-своему прекрасны люди, восхитительны животные и растения. Радует взор зрелище драгоценного камня или кристалла соли, сложно не любоваться снежинкой или бабочкой. Но почему так происходит? Нам кажется правильным и завершенным вид объектов, правая и левая половина которых выглядит одинаково.

    Видимо, первыми о сути красоты задумывались люди искусства.

    Впервые обосновали это понятие художники, философы и математики Древней Греции. Древние скульпторы, изучавшие строение человеческого тела, еще в V веке до н.э. стали применять понятие «симметрия». Это слово имеет греческое происхождение и означает гармоничность, пропорциональность и похожесть расположения составляющих частей. Древнегреческий мыслитель и философ Платон утверждал, что прекрасным может быть лишь то, что симметрично и соразмерно.

    И действительно, «радуют глаз» те явления и формы, которые имеют пропорциональность и завершенность. Их мы называем правильными.

    Виды симметрии

    В геометрии и математике рассматриваются три вида симметрии: осевая симметрия (относительно прямой), центральная (относительно точки) и зеркальная (относительно плоскости).

    Осевая симметрия как математическое понятие

    Точки симметричны относительно некой прямой (оси симметрии), если они лежат на прямой, перпендикулярной данной прямой, и на одинаковом расстоянии от оси симметрии.

    Фигура считается симметричной относительно прямой, если для каждой точки рассматриваемой фигуры, симметричная для неё точка относительно данной прямой также находится на этой фигуре. Прямая является в этом случае осью симметрии фигуры.

    Фигуры, симметричные относительно прямой равны. Если геометрической фигуре свойственна осевая симметрия, определение зеркальных точек можно наглядно представить, просто перегнув ее по оси и сложив равные половинки «лицом к лицу». Искомые точки при этом соприкоснутся.

    Примеры оси симметрии: биссектриса неразвернутого угла равнобедренного треугольника, любая прямая, проведенная через центр окружности, и т.д. Если геометрической фигуре свойственна осевая симметрия, определение зеркальных точек можно наглядно представить, просто перегнув ее по оси и сложив равные половинки «лицом к лицу». Искомые точки при этом соприкоснутся.

    Фигуры могут иметь несколько осей симметрии:

    · осью симметрии угла является прямая, на которой лежит его биссектриса;

    · осью симметрии окружности и круга является любая прямая, проходящая через их диаметр;

    · равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии, равносторонний треугольник — три оси симметрии;

    · прямоугольник имеет 2 оси симметрии, квадрат — 4, ромб — 2 оси симметрии.

    Ось симметрии — это воображаемая линия разделяющая объект на симметричные части. На моём рисунке она изображена для наглядности.

    Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относится параллелограмм, отличный от прямоугольника и ромба, разносторонний треугольник.

    Осевая симметрия в природе

    Природа мудра и рациональна, поэтому почти все ее творения имеют гармоничное строение. Это относится и к живым существам, и к неодушевленным объектам.

    Внимательное наблюдение показывает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия. Ярко выраженной симметрией обладают листья, цветы, плоды. Их зеркальная, радиальная, центральная, осевая симметрия — очевидны. В значительной степени она обусловлена явлением гравитации.

    Геометрические формы кристаллов с их плоскими поверхностями представляют собой удивительное явление природы. Однако подлинная физическая симметрия кристалла проявляется не столько в его внешнем виде, сколько во внутреннем строении кристаллического вещества.

    Осевая симметрия в животном мире

    Симметрия в мире живых существ, проявляется в закономерном расположении одинаковых частей тела относительно центра или оси. Чаще в природе встречается осевая симметрия. Она обуславливает не только общее строение организма, но и возможности его последующего развития. Каждому виду животных присущ характерный окрас. Если в расцветке фигурирует рисунок, то, как правило, он дублируется с обеих сторон.

    Осевая симметрия и человек

    Если взглянуть на любое живое существо, сразу бросается в глаза симметричность устройства организма. Человек: две руки, две ноги, два глаза, два уха и так далее.

    Это означает, что существует некая линия, по которой животные и люди могут быть визуально «поделены» на две идентичные половинки, то есть в основе их геометрического устройства лежит осевая симметрия.

    Как видно из приведённых примеров, любой живой организм природа создает не хаотично и бессмысленно, а согласно общим законам мироустройства, ведь во Вселенной ничто не имеет чисто эстетического, декоративного назначения. Это обусловлено закономерной необходимостью.

    Конечно, природе редко присуща математическая точность, но похожесть элементов организма все равно поразительна.

    Симметрия в архитектуре

    С древнейших времен архитекторы хорошо знали математическую пропорцию и симметрию, и использовали их при строительстве архитектурных сооружений. Например, архитектура русских православных храмов и соборов Руси: Кремль, собор Христа Спасителя г. Москва, Казанский и Исаакиевский соборы г. Санкт-Петербург и др.

    А также другие всемирно известные достопримечательности, многие из которых во всех странах мира, мы можем видеть и сейчас: Египетские пирамиды, Лувр, Тадж-Махал, Кёльнский собор и т.д. Все они, как мы видим, имеют симметрию.

    Симметрия в музыке

    Я учусь в музыкальной школе, для меня было интересно найти примеры симметрии в данной области. Не только музыкальные инструменты обладают явной симметрией, но и части музыкальных произведений звучат в определённом порядке, в соответствии с партитурой и замыслом композитора.

    Например, реприза — (франц. reprise, от reprendre -возобновлять). Повторение темы или группы тем после этапа её (их) развития или изложения нового тематического материала.

    Также в одномерном повторении во времени через равные интервалы состоит музыкальный принцип ритма.

    Симметрия в технике

    Мы живем в стремительно — меняющемся высокотехнологическом, информационном обществе, и не задумываемся, почему некоторые окружающие нас предметы и явления пробуждают чувство прекрасного, а другие нет. Мы их не замечаем, даже не задумываемся, об их свойствах.

    Но кроме этого, данные технические и механические устройства, детали, механизмы, агрегаты не смогут правильно работать и вообще функционировать, если при этом не будет соблюдена симметрия, а вернее, некая ось, в механике это — центр тяжести.

    Сбалансированность по центру, в данном случае, является обязательным техническим требованием, соблюдение которого строго регламентируется ГОСТ или ТУ и должно соблюдаться.

    Симметрия и космические объекты

    Но, пожалуй, самыми загадочными, волновавшими умы многих, ещё с древнейших времён, являются космические объекты. Которые также имеют симметрию — солнце, луна, планеты.

    Эту цепочку можно продолжать, но мы сейчас говорим о чем-то едином: о том, что осевая симметрия является основополагающим законом вселенной, является основой красоты, гармонии и пропорциональности, и во взаимосвязи этого с математикой.

    Практическая часть

    Найдя необходимую информацию, изучив литературу, я убедилась в правоте своей гипотезы и сделала вывод о том, что в глазах человека несимметричность чаще всего ассоциируется с неправильностью или ущербностью. Поэтому в большинстве творений людских рук прослеживается симметричность и гармония, как необходимое и обязательное требование.

    Это хорошо видно на моём рисунке, где изображён поросёнок, с непропорциональными частями тела, что сразу бросается в глаза!

    И только после того, как подольше приглядишься к нему, посчитаешь его милым?

    Несмотря на то, что данная тема известна, хорошо изучена, но все эти данные рассмотрены отдельно в каждой дисциплине. Обобщённых данных о том, что принцип симметрии используется, и именно на нём базируются многие другие науки, и их взаимосвязи с математикой я не встретила.

    Поэтому я решила доказать своё утверждение с помощью самого простого и доступного для меня способа. Таким решением, я считаю, будет проведение эксперимента с испытаниями.

    Для наглядного доказательства того, что асимметричные модели не устойчивы, не обладают необходимыми требованиями и жизненно необходимыми навыками, и подтверждения своей гипотезы мне необходимо создать поделки, рисунки и композицию:

    1 вариант — симметричны относительно оси;

    2 вариант — с явным нарушением симметрии.

    Поскольку я считаю, что такой дисбаланс будет хорошо виден на следующих примерах, для чего я создала поделки-оригами (самолёт и лягушонок) из цветной бумаги. Для чистоты эксперимента они сделаны из одинаковой цветной бумаги и тестировались в одинаковых условиях. И композицию «Маяк», где маяк сделан из пустой пластиковой бутылки, обклеен цветной бумагой. Для украшения композиции использованы игрушечные фигуры человека, модели парусника и лодки, декоративные камни, а для имитации света я использовала светящийся от батарейки элемент.

    Я провела испытания с данными поделками, все показатели зафиксировала и занесла в таблицу (все показатели можно посмотреть в приложении № 1 стр. 18 — 21).

    Все поделки делались с соблюдением техники безопасности (приложение № 2 стр. 21)

    Все полученные данные я проанализировала, вот что у меня получилось.

    Анализ полученных данных

    Эксперимент № 1

    Испытание — прыжок лягушек в длину, замер этого расстояния.

    Лягушонок Зелёный (симметричный) прыгает ровно, на большее расстояние, а Красный (не симметричный) ни разу не прыгнул ровно, всегда с поворотом или переворотом в сторону, на расстояние в 2 — 3 раза меньше.

    Таким образом, можно сделать вывод, что такое животное не сможет быстро охотиться или наоборот убегать, эффективно добывать пищу, что уменьшает шансы на выживание, это доказывает, что в природе всё сбалансировано, пропорционально, правильно — симметрично.

    Эксперимент № 2

    Вид испытания — запуск самолётов в полёт и измерение расстояния длины полёта.

    Самолётик № 1 «Розовый» (симметричный) летит из 10 раз, 8 раз ровно и прямо, на максимальную длину, (т.е. на всю длину моей комнаты), а траектория полёта самолётика № 2 «Оранжевый» (не симметричный) из 10 раз — ни разу не летел ровно, всегда с поворотом или переворотом, на меньшее расстояние. То есть, если бы это был настоящий самолёт, то он не смог бы лететь ровно, в правильном направлении. Такой полёт был бы очень неудобен или даже опасен для человека (также как и для птиц), а машины и другие транспортные средства передвижения, не смогли бы ехать, плыть и т.д. в необходимую сторону.

    Эксперимент № 3

    Вид испытания — проверка устойчивости здания «Маяка», при уменьшении угла наклона сооружения, относительно поверхности.

    1. Создав композицию «Маяка», я установила его прямо, т.е. перпендикулярно (под углом 90 0) относительно стен сооружения к поверхности. Данная конструкция стоит ровно, выдерживает установленный световой элемент и фигурку человека.

    2. Для дальнейшего проведения эксперимента мне было необходимо расчертить основание башни на углы, равные 10 0 .

    После чего я отрезала от основания угол равный 10 0 .

    Под углом в 80 0 здание стоит криво, шатается, но дополнительную нагрузку выдерживает.

    3. Отрезав ещё 10 0 , получился угол наклона в 70 0 , при котором вся моя конструкция рушится.

    Данный опыт доказывает, что исторически сложившиеся традиция строительства под прямым углом и соблюдение при этом симметрии самого здания, является необходимым условием для устойчивого, надёжного возведения и эксплуатации архитектурных зданий и сооружений.

    Для наглядного примера осевой симметрии и доказательства утверждения о том, что человек воспринимает любые окружающие его предметы, образы животных и т.д. только симметрично, то есть, когда обе стороны, «половинки» одинаковы, равны, я создала электронную раскраску, которую можно распечатать, составив детскую книжку-раскраску. Данное пособие поможет всем желающим лучше усвоить тему, интересно и с удовольствием провести свободное время (Титульный лист изображён на этом рисунке, остальные рисунки расположены в приложении № 3 стр. 21 -24).

    Проведённые мною эксперименты доказывают, что симметрия является не только математическим и геометрическим понятием, а является сферой, средой нашего проживания, неким техническим требованием, так же необходимым условием для выживания в целом, как для людей, так и для животных. Симметрия объединяет всё это воедино, и уходит далеко за пределы обычной науки!

    Заключение

    Выводы:

    Я выяснила, что симметрия является одной из главных составляющих в повседневной жизни человека, в предметах быта, в архитектуре, технике, в природе, музыке, науке и т. д.

    Результат:

    Я нашла необходимую информацию, доказала свою гипотезу, проверила и подтвердила её опытным путём. Я создала поделки, композицию, рисунки и электронную раскраску для наглядного проведения эксперимента.

    Я выяснила, что все законы природы — биологические, химические, генетические, астрономические связаны с симметрией. Практически, всё то, что нас окружает, что создано человеком — подчинено общим для нас всех принципам симметрии, поскольку имеют завидную системность. Таким образом, сбалансированность, тождественность как принцип имеет всеобщий масштаб.

    Можно сказать, что симметрия является основополагающим законом, на котором базируются основные законы науки? Наверное, да.

    Эту тайну пытались осмыслить великие мыслители человечества. Сегодня в разгадку этой тайны погрузились и мы.

    Один из известных математиков Герман Вейль писал, что «симметрия — является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство».

    Может мы нашли секрет создания красоты, совершенства или даже создания основных законов вселенной? Может это симметрия?

    Приложения

    Приложение № 1 Таблица испытаний:

    Эксперимент № 1

    Попытка №

    Вид испытания

    «Зелёная лягушка»

    (симметричная)

    Результат и характеристика испытания

    «Красная лягушка»

    (не симметричная)

    Прыжок лягушки в длину

    (измерение в см. )

    6,0 в левую сторону

    14,4 с небольшим поворотом вправо

    9,0 переворот назад

    10,5 почти ровно

    2,0 переворот

    9,5 с небольшим поворотом вправо

    5,0 переворот в левую сторону

    10,6 с небольшим поворотом вправо

    3,0 в левую сторону

    9,0 переворот

    9,0 поворот влево

    13,5 почти ровно

    1,5 назад, с поворотом влево

    9,5 влево с переворотом

    21,2 почти ровно

    4,5 влево с переворотом

    Эксперимент № 2

    Самолёт «Розовый»

    (Симметричный)

    Самолёт

    «Оранжевый»

    (Не симметричный)

    Запуск самолётика в длину

    Максимальная

    (5,1 метра)

    5,1 с 2 переворотами

    3,04 с переворотами вправо

    2,78 с переворотами вправо

    5,1 с наклоном вправо

    3, 65 с переворотами вправо

    5,1 с наклоном вправо

    1,51 почти ровно

    5,1 почти ровно

    4,73 с переворотами вправо

    5,1 с наклоном в левую сторону

    3,82 поворот вправо

    5,1 почти ровно

    3,41 с переворотами

    5,1 почти ровно

    3,37 поворот влево

    5,1 с переворотом

    3,51 с переворотами влево

    5,1 почти ровно

    3,19 с переворотами вправо

    Эксперимент № 3

    Попытка №

    Характеристика свойств

    объекта

    Вид и характеристика испытания

    Результат

    Сооружение стоит

    перпендикулярно поверхности (т. е. под углом в 90 0)

    Установка дополнительной нагрузки: светящийся элемент и игрушечная фигура человека

    Маяк стоит ровно, надёжно

    Под углом 80 0

    От основания маяка я наметала и отрезала угол в 10 0

    Маяк выдерживает нагрузку, но стоит ненадёжно, шатается

    Под углом 70 0

    От основания маяка я ещё раз отрезала 10 0

    Сооружение падает и рушится

    Приложение № 2

    При изготовлении моих поделок соблюдалась техника безопасности, а именно:

    Ножницы или нож должны быть хорошо заточены и отрегулированы.

    Хранить необходимо в определенном и безопасном месте или коробке.

    При пользовании ножниц (ножа), нельзя отвлекаться, нужно быть максимально внимательными, дисциплинированными.

    Передавая ножницы (нож), держать их за сомкнутые лезвия (остриё).

    Ножницы (нож) класть справа сомкнутыми лезвиями (остриём) направленными от себя.

    При резании узкое лезвие ножниц (остриё ножа) должно быть внизу.

    После использования клея вымыть руки.

    Приложение № 3

    Электронная книга-раскраска

    Симметрия-

    Это означает то, что одна часть предмета похожа на другую.

    Осевая симметрия- это симметрия относительно прямой (линии).

    Ось симметрии — это воображаемая линия разделяющая объект на симметричные части. На рисунках она изображена для наглядности.

    В этой книге нужно закончить рисунки, соединяя точки.

    Затемможнораскрашиватьто, чтополучилось.

    Попробуй закончить эти рисунки:

    Сердечко

    Треугольник Домик

    Звёздочка Листочек

    Мышка Ёлочка

    Собачка Замок

    К роме осевой симметрии есть и симметрия относительно точки.

    Этот шар симметричен

    И ёщё один вид симметрии — зеркальная симметрия.

    Зеркальная симметрия-

    это симметрия относительно плоскости. Например, относительно зеркала.

    Симметрия это

    Используемая литература

    2. Герман Вейль «Симметрия» (Издательство «Наука» главная редакция физико-математической литературы, Москва 1968 г.)

    4. Мои рисунки и фотографии.

    5. Справочник машиностроителя, том 1, (Государственное научно — техническое издательство машиностроительной литературы, Москвы 1960 г.)

    6. Фотографии и рисунки из сети «Интернет».

    Как создать в КОМПАС оси симметрии. Оси координат

    Описание работы с осями в КОМПАС разобьем на 2 урока. В текущем рассмотрим построение осей в КОМПАС-График, а второй урок посвятим полностью осям в 3D.

    Оси координат

    Оси координат фрагмента расположены в его центре. Оси координат чертежа — в левом нижнем углу рамки чертежа

    Можно ли изменить положение глобальных осей координат? Ответ — Нет.

    Расположение глобальной системы координат (ГСК) изменить мы не можем, поэтому, если есть необходимость в системе координат и точке начала отсчета, отличной от ГСК, создается локальная система координат (ЛСК).

    Создание ЛСК производится на панели быстрого доступа:

    После вызова команды Создать/редактировать СК нужно будет указать точку начала отсчета локальной системы координат и ввести на Панели параметров угол наклона осей. После указания параметров команду можно деактивировать клавишей Esc, либо нажатием на Панели параметров кнопки Работа продолжается уже во вновь созданной системе координат. Если Вам в дальнейшем потребуется перейти на другую систему координат, то это также необходимо сделать через Панель быстрого доступа. Все ЛСК документа будут представлены в выпадающем списке.

    Как сделать оси у объектов?

    Ряд геометрических объектов можно строить сразу с осями. Данная возможность имеется при построении Окружности и Прямоугольника. Переключатель «С осями» расположен на Панели параметров и его, при необходимости, можно активировать

    В итоге Окружность и Прямоугольник строятся сразу с осевыми линиями

    Если оси не построены сразу, то на объектах Прямоугольник и Окружность можно зайти на редактирование (двойной клик на объекте) любого из объектов, поставить на Панели параметров галочку «С осями» и подтвердить изменения кнопкой «Создать объект»

    Также существуют специальные команды, позволяющие расставить осевые линии. К таким командам относятся:

    • Автоосевая;
    • Обозначение центра;
    • Осевая линия по двум точкам.

    Все указанные команды расположены на панели Обозначения

    Автоосевая

    Команда «Автоосевая» работает в двух режимах:

    • по объектам;
    • с указанием границ.

    Если выбран способ «по объектам» (способ выбирается на Панели параметров), то необходимо кликнуть по двум геометрическим примитивам между которыми должна построиться осевая линия. КОМПАС построит её как среднее значение длины указанных примитивов.

    Если выбран способ «по объектам с указанием границ», то кроме указания геометрических примитивов, между которыми будет строиться осевая линия, нужно указать ориентировочно начальную и конечную точки осевой

    Обозначение центра

    Команда предназначена для простановки осевых линий на окружностях, дугах, прямоугольниках, правильных многоугольниках. Для создания осевых линий необходимо только кликнуть по объекту, осевые линии которого проставляются и выбрать на Панели параметров:

    • тип: две оси, одна ось, условное обозначение крестиком;
    • параметры осевой линии: выступ, длина пунктира, длина промежутка.

    У некоторых объектов не достаточно единичного клика по объекту, нужно указание угла осевых линий. Например, угол требуется при простановке осевых линий у окружностей. Если необходимо построить осевые линии, расположенные пар-но осям текущей системы координат, то удобнее всего воспользоваться режимом «Ортогональное черчение» . Расположена кнопка «Ортогональное черчение» на Панели быстрого доступа.

    Осевая линия по двум точкам

    Осевая линия по двум точкам строится также, как и простой отрезок. Единственное различие в отрисовке. У осевой линии от начальной и конечной точки имеется выступ, величина которого задается на Панели параметров.

    Сетка координационных осей в КОМПАСе

    Проектировщикам в своей работе часто приходится прибегать к построению сетки координационных осей. В КОМПАС данный функционал вынесен в отдельную команду, размещенную в Приложении «СПДС-Помощник». Данное Приложение входит в Строительную конфигурацию КОМПАС и устанавливается дополнительно к базовому пакету.

    Путь к команде: Главное текстовое меню — Приложения — Приложения AEC — СПДС-Помощник — Сетки координационных осей — Сетка прямых координационных осей.

    После вызова команды появляется диалог

    В диалоге нужно указать величину шага и количество шагов по каждой оси

    Указать дополнительные параметры, связанные с нумерацией, длиной осей, отображением марок, после чего нажать кнопку «Ок»

    Сетка координационных осей с размерами построена.

    Ось симметрии

    Как построить ось симметрии мы рассмотрели в прошлом разделе. А что делать, если нам нужно выполнить команду «Зеркально отразить», для которой требуется указание оси, а ось на чертеже явно не представлена? Первый вариант — построить ось, используя способы, описанные выше. Второй способ — указать 2 точки предполагаемой оси симметрии прямо при использовании команды «Зеркально отразить». Для этого, после вызова команды указываются две точки на чертеже. Данные точки система будет рассматривать, как точки, лежащие на оси симметрии.

    Как убрать оси

    Удаление осей производится также, как и любых других объектов. Вначале объект выделяется, затем нажимается клавиша Delete. Сложность может возникнуть с осями, объединенными в макроэлемент, когда требуется удалить только одну ось. Например, осевые линии окружности, выделяются целиком.

    Если нужно удалить только вертикальную или горизонтальную ось, выделяем оси, нажимаем на выделенные объекты правой кнопкой мыши и выбираем из списка «Разрушить»

    После разрушения осевые линии разобьются на 4 отдельные оси, каждую из которых можно будет удалить.

     

     

    Урок 3. Окружность в перспективе. Как нарисовать кружку и вазу

    В этом уроке мы разберемся, как изображать объекты, в основе которых лежат окружности: чайник, вазу, бокал, кувшин, колонну, маяк. Сложность их изображения в пространстве заключается в том, что принцип равноудаленности точек окружности от центра срабатывает, только когда мы смотрим на плоскость прямо (то есть направление взгляда перпендикулярно ей). Например, мы видим круглый циферблат часов перед собой или чашку и блюдце, когда наклонились над ними. В других случаях (взгляд падает на плоскость под углом) мы видим искажение формы окружности, ее превращение в овал (эллипс).

    Содержание:

    Ненадолго вернемся к коробкам из прошлого урока. Только теперь рассмотрим кубическую форму. Обратите внимание, как квадраты плоскостей, уходящих вдаль, сплющиваются. Верхние и нижние грани превращаются в трапеции. И тем сильнее они сужаются по вертикальной оси, чем ближе находятся к уровню глаз (к линии горизонта).

    То же самое происходит и с окружностями. Чем дальше от линии горизонта они находятся, тем больше они открываются (обратите внимание на верхние и нижние плоскости этих спилов). А на уровне глаз окружность сужается до линии. Мы видим лишь переднюю грань предмета.

    Принципы рисования эллипсов:

    Принцип 1. У эллипса есть две оси симметрии: большая и малая. Они перпендикулярны. Здесь будем работать с наиболее частым случаем – когда предмет расположен прямо, то есть вертикальная ось (малая) находится под углом в 90°, а горизонтальная (большая) – под углом в 180°.

    Принцип 2. У эллипса 4 вершины (они лежат на пересечении с осями). Эти точки в наибольшей степени удалены от центра. Форма эллипса выглядит искаженной, если соседние с вершинами точки смещены на тот же уровень (на эллипсе справа показано красным цветом).

    Принцип 3. Другая крайность – это заострение боков эллипсов. Они должны быть скругленными. В бока можно вписать окружности. И чем больше раскрыт эллипс, тем больше диаметр этой окружности относительно высоты эллипса (на примере ниже это сравнение показано бледно-голубым цветом).

    Принцип 4. Центр эллипса смещен вдаль (вверх) относительно геометрического центра из-за перспективного искажения. То есть ближняя половина эллипса больше дальней. Однако обратите внимание, что это смещение очень незначительно. Разберем, почему. Начнем с квадратов, поскольку круг вписывается в эту форму. Ниже показаны кубы, справа их верхние квадратные грани в перспективе. Проведены оси красным. Сравните, насколько их ближние половины больше дальних. Разница очень небольшая. То же самое будет и для эллипсов, вписанных в них. Ошибочно преувеличивать в рисунках эту разницу между ближней и дальней половинками эллипсов.

    Рисуем эллипсы

    Шаг 1. Для начала проведем две перпендикулярных оси.

    Шаг 2. Отметим границы произвольного эллипса симметрично по горизонтальной оси. А для вертикальной верхнюю половину (дальнюю) сделаем чуть-чуть меньше нижней. 

    Шаг 3. Нарисуем по этим отметкам прямоугольник, в который будем вписывать эллипс.

    Шаг 4. Наметим легкие дуги в местах пересечения осей и прямоугольника.

    Шаг 5. Соединим легкими линиями эти дуги, стараясь изобразить эллипс более симметрично.

    Шаг 6. По обозначенному пути проведем более четкую линию. Смягчим ластиком лишнее. 

    Более правильно было бы при рисовании эллипса вписывать его в квадратную плоскость в перспективе, то есть в трапецию. Однако, во-первых, сложно точно построить такую трапецию, зная лишь вершины эллипса. А во-вторых, овал, вписанный в квадрат в перспективе, мало отличается от вписанного в прямоугольник по тем же самым вершинам.

    Рисуем кружку

    Шаг 1. Начинаем с общих пропорций предмета. Измеряем, сколько раз ширина кружки (ее верха) умещается в высоте. Можно пока не учитывать ручку, однако надо оставить для нее достаточно места на листе. Намечаем общие габариты. Находим середину предмета по ширине и проводим через нее вертикальную ось. Чтобы нарисовать ее ровно, удобно сделать 2-3 вспомогательные отметки по высоте предмета на том же расстоянии от ближнего края листа, что и первая отметка середины предмета.

    Шаг 2. Найдем высоту верхнего эллипса. Для этого измерим, сколько раз она умещается в его ширине (которую мы нашли ранее). Отметим нижнюю границу эллипса от верхнего края кружки. Легкими линиями нарисуем прямоугольник по намеченным крайним точкам.

    Шаг 3. Проведем горизонтальную ось и впишем эллипс в прямоугольник. Затем найдем ширину нижней части кружки, сравнив ее с шириной верха. Высоту нижнего эллипса мы найдем, измерив расстояние по вертикали от самой нижней отметки кружки до нижней отметки ее бока (до точки, через которую пройдет горизонтальная ось этого эллипса). Найденное расстояние – это половина искомой высоты. Удвоим его и отложим от самой нижней точки кружки. Здесь важно не запутаться: в данном случае ось надо провести через нижнюю точку бока кружки, а не через низ самой кружки. Иначе пропорции нарушатся. Зная высоту нижнего эллипса, проверим, соблюдается ли принцип их постепенного раскрытия по мере удаления от уровня глаз. Верхний эллипс расположен ближе к уровню наших глаз, чем нижний, поэтому должен быть уже. Найдем, сколько раз высота нижнего овала помещается в его ширине – около четырех раз. Для верхнего овала было соотношение примерно 5 к 1. Таким образом нижний овал шире, то есть раскрыт в большей степени. Принцип соблюдается.

    Шаг 4. Рисуем стенки кружки, соединяя боковые вершины верхнего и нижнего эллипсов. Для большей объемности покажем толщину стенки. Нарисуем второй овал внутри верхнего. При этом учитываем, что из-за перспективного искажения толщина стенок выглядит не одинаковой. Передняя и дальняя стенки визуально сужаются сильнее боковых примерно в два раза. Отметим вершины внутреннего овала на некотором расстоянии от вершин первого овала. Делаем этот отступ чуть больше для боковых вершин. Ставим отметки симметрично относительно вертикальной и горизонтальной осей. Нарисуем новый эллипс через эти вершины. 

    Шаг 5. Найдем расположение ручки и ее общие пропорции, а затем схематично наметим основные отрезки, формирующие ее контур. Их наклоны определяем методом визирования (а где-то — на глаз).

    Шаг 6. Уточним контур ручки, сделаем его более плавным. По необходимости подправим очертания кружки. Смягчим немного ластиком линии построения. Выделим более сильным нажимом на карандаш контуры, расположенные ближе к нам. Кружка готова!

    Рисуем вазу

    В этом упражнении поработаем с воображением. Придумаем свою вазу и потренируемся рисовать эллипсы.

    В прошлом задании для построения кружки было достаточно нарисовать два эллипса. Две ключевые окружности (верхняя и нижняя) определяли ее форму. Диаметр кружки равномерно уменьшался от верха к низу. А, например, форма вазы из рисунка ниже зависит от четырех окружностей (причем верхняя находится на уровне глаз, поэтому превратилась в линию).

    Перейдем к рисованию. И помним важный принцип: чем дальше эллипс от уровня глаз, тем более он раскрыт.

    Шаг 1. Проведем вертикальную ось. От нее симметрично отложим горизонтальные оси будущих эллипсов. Длину вертикальной и горизонтальных осей, а также количество эллипсов и расстояние между ними выбирайте сами.

    Шаг 2. Обозначим боковые вершины эллипсов симметрично относительно вертикальной оси. Теперь перейдем к обозначению верхних и нижних вершин. И здесь пользуемся принципом постепенного раскрытия эллипсов по мере удаления от линии горизонта. Например, здесь мы рисовали вазу, расположенную в целом ниже уровня глаз. Для первого эллипса взяли высоту, примерно в пять раз меньше ширины. Измеряли это карандашом. Для последующих эллипсов постепенно увеличивали степень раскрытия. Так высота среднего эллипса укладывается в ширине примерно четыре раза, а для самого нижнего – примерно три раза. Чем ближе друг к другу эллипсы, тем ближе они по степени раскрытия. Чем дальше – тем больше разница. Намечая вершины, нижнюю половинку (ближнюю) делаем чуть-чуть больше верхней (дальней).

    Шаг 3. Через вершины легкими линиями рисуем прямоугольники. А затем вписываем в них эллипсы.

    Шаг 4. Теперь самое интересное: надо соединить боковые вершины эллипсов линиями. Вам решать, какими они будут, прямыми или округлыми, вогнутыми или выпуклыми. Можно сделать пару вариантов. Постарайтесь наиболее симметрично повторить форму внешнего контура для двух половинок вазы. Чтобы проверить симметрию, пробуйте перевернуть работу вверх ногами. Взглянув на предмет по-новому, проще увидеть расхождения.

    Шаг 5. Так же, как мы делали для кружки, здесь можно показать толщину стенки. Нарисуем внутри верхнего эллипса еще один поменьше, предварительно наметив его вершины. Смягчим ластиком оси и дальние половинки эллипсов. Можно чуть высветлить те эллипсы, в которых изменение формы вазы более плавное. Рисунок готов!

    Проверьте свои знания

    Если вы хотите проверить свои знания по теме данного урока, можете пройти небольшой тест, состоящий из нескольких вопросов. В каждом вопросе правильным может быть только 1 вариант. После выбора вами одного из вариантов, система автоматически переходит к следующему вопросу. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что вопросы каждый раз разные, а варианты перемешиваются.

    Юлия Отрубянникова

    Что такое ось симметрии

    Каким бы субъективным ни было понятие красоты, оно все-таки имеет некоторые общие для всех критерии. Один из таких критериев – симметрия, ведь мало кому понравится лицо, на котором глаза расположены на разном уровне. Симметрия же всегда предполагает наличие поворотной оси, именуемой также осью симметрии.В широком смысле симметрией именуется сохранение чего-либо неизменным при каких-то преобразованиях. Обладают таким свойством и некоторые геометрические фигуры.

    Геометрическая симметрия


    Применительно к геометрической фигуре симметрия означает, что если данную фигуру преобразовать – например, повернуть – некоторые ее свойства останутся прежними.

    Возможность таких преобразований различается от фигуры к фигуре. Например, круг можно сколько угодно вращать вокруг точки, расположенной в его центре, он так и останется кругом, ничто для него не изменится.

    Понятие симметрии можно объяснить, не прибегая к вращению. Достаточно провести через центр круга прямую и построить в любом месте фигуры перпендикулярный ей отрезок, соединяющий две точки на окружности. Точка пересечения с прямой будет делить данный отрезок на две части, которые будут равны друг другу.

    Иными словами, прямая разделила фигуру на две равные части. Точки частей фигуры, расположенные на прямых, перпендикулярных данной, находятся на равном расстоянии от нее. Вот эта пряма и будет называться осью симметрии. Симметрия такого рода – относительно прямой – называется осевой симметрией.

    Количество осей симметрии


    У разных фигур количество осей симметрии будет различным. Например, у круга и шара таких осей множество. У равностороннего треугольника осью симметрии будет перпендикуляр, опущенный на каждую из сторон, следовательно, у него три оси. У квадрата и прямоугольника можно провести четыре оси симметрии. Две из них перпендикулярны сторонам четырехугольников, а две другие являются диагоналями. А вот у равнобедренного треугольника ось симметрии только одна, располагающаяся меду равными его сторонами.

    Осевая симметрия встречается и в природе. Ее можно наблюдать в двух вариантах.

    Первый вид – радиальная симметрия, предполагающая наличие нескольких осей. Она характерна, например, для морских звезд. Более высокоразвитым организмам присуща билатеральная, или двусторонняя симметрия с единственной осью, делящей тело на две части.

    Человеческому телу тоже присуща билатеральная симметрия, но идеальной ее назвать нельзя. Симметрично расположены ноги, руки, глаза, легкие, но не сердце, печень или селезенка. Отклонения от билатеральной симметрии заметны даже внешне. Например, крайне редко бывает так, чтобы у человека на обеих щеках были одинаковые родинки.

    Симметрия круга | Следствие и доказательство | Рабочие листы

    В этом мини-уроке мы узнаем о симметрии любого круга, понимая линию симметрии любого круга и тип симметрии в круге, и как применять их при решении задач. Мы также узнаем интересные факты о них.

    Джеймс и Филиппа сидят в толпе и смотрят захватывающий матч между Бостон Селтикс и Нью-Йорк Никс.

    Джеймс и Филиппа сидят посреди толпы, но по разные стороны, как показано на картинке ниже.

    После окончания матча Джеймс заметил, что если провести вертикальную линию от середины корта, она разделит площадку на две идентичные части.

    Это означает, что две части корта симметричны.

    Филиппа также заметил, что если провести горизонтальную линию от середины корта, она разделит корт на две симметричные части.

    Джеймс и Филиппа встречаются после матча, и Джеймс спросил Филиппу, как мы называем эти линии.

    Филиппа сказал Джеймсу, что эти линии называются линиями симметрии.

    Давайте узнаем о симметрии круга на этом занятии.

    План урока

    Как определить, является ли данный объект симметричным?

    Посещали ли вы Тадж-Махал в Индии?

    Это один из самых красивых памятников, когда-либо построенных.

    Тадж-Махал — прекрасный пример симметрии.

    Если провести линию от середины, как показано на рисунке выше, мы можем заметить, что Тадж-Махал можно разделить на две симметричные части.

    Мы можем проверить, является ли объект симметричным или нет, если мы можем разделить объект на две симметричные части, проведя линию.

    Если линия разделяет объект на две симметричные части, то объект называется симметричным объектом.

    Линия симметрии

    Линия, разделяющая любую фигуру или фигуру на две одинаковые или симметричные фигуры, называется линией симметрии фигуры.

    Объект может иметь нулевые линии симметрии или бесконечные линии симметрии.

    Изучите приведенное ниже моделирование, чтобы проверить наличие линий симметрии для различных форм и фигур.

    Аналитический центр

    • Сколько линий симметрии может иметь человеческое тело?
    • Ваше зеркальное отображение симметрично вам?

    Какая симметрия есть у окружности?

    Круг симметричен относительно любого диаметра.

    Под симметричным мы подразумеваем, что круг может быть разделен на две равные части по любому диаметру.

    Здесь круг с центром \ (O \) симметричен относительно своего диаметра \ (AB \).

    Окружность обладает симметрией вращения, и порядок симметрии круга бесконечен.

    Это означает, что мы можем повернуть круг на любой градусный угол по его диаметру.

    Он всегда будет симметричным по диаметру.

    Изучите моделирование, чтобы проверить наличие линий симметрии в окружности.


    Сколько линий симметрии у окружности?

    Диаметр круга равен линии симметрии, а круг может иметь бесконечное количество диаметров.

    Следовательно, круг имеет бесконечные линии симметрии.

    Важные примечания

    • У круга бесконечные оси симметрии.
    • Круг имеет симметрию вращения.
    • Если какой-либо объект имеет хотя бы одну линию симметрии, то он называется симметричным объектом.
    • Круг симметричен относительно своего диаметра.

    Решенные примеры

    Кристина сказала своим друзьям, что хорда круга может быть линией симметрии круга.

    Она права?

    Решение

    Диаметр — это линия симметрии круга.

    Диаметр — это самая большая хорда круга.

    Следовательно, хорда может быть линией симметрии окружности, только если это диаметр.

    \ (\ следовательно \) Кристина права.

    Интерактивные вопросы о симметрии любого круга

    Вот несколько занятий для вас.Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат. В вопросе 3 удалите точку в конце вопросов и проверьте правильность написания концентрического.


    Подведем итоги

    Этот мини-урок познакомил вас с увлекательной концепцией симметрии любого круга. Математическое путешествие вокруг симметрии любого круга начинается с того, что ученик уже знает, и переходит к творческому созданию новой концепции в молодых умах.Сделано таким образом, чтобы не только было понятно и легко понять, но и навсегда осталось с ними.

    О компании Cuemath

    В Cuemath наша команда математических экспертов делает все возможное, чтобы обучение наших любимых читателей — студентов! Благодаря интерактивному и увлекательному подходу к обучению-обучению-обучению учителя исследуют тему со всех сторон. Будь то симуляции, онлайн-классы, сеансы сомнений или любые другие формы отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и интеллектуальный подход к обучению.


    Часто задаваемые вопросы (FAQ)

    1. Может ли круг быть симметричным?

    Да, круг симметричен относительно своего диаметра, и круг может иметь бесконечные линии симметрии.

    2. Какая фигура имеет только одну линию симметрии?

    Равнобедренный треугольник имеет одну линию симметрии.

    Ни один правильный многоугольник не имеет только одну линию симметрии.

    У них всегда более одной линии симметрии.

    3. Где найти симметрию в природе?

    Симметрию можно найти во многих местах вокруг нас.

    Например, бабочка — симметричное существо, а Тадж-Махал — прекрасный пример симметрии.

    4. Симметрична ли окружность началу координат?

    Да, окружность симметрична относительно начала координат, если мы проведем ось симметрии, проходящую через начало координат.

    Тогда круг симметричен относительно этой оси.

    Сколько осей симметрии у круга?

    Оси симметрии окружности они бесконечны.Эти оси делят любую геометрическую фигуру на две точно равные половины. А круг состоит из всех точек, расстояние до фиксированной точки которых меньше или равно определенному значению «r».

    Упомянутая выше фиксированная точка называется центром, а значение «r» — радиусом. Радиус — это наибольшее расстояние между точкой на окружности и центром.

    С другой стороны, любой отрезок прямой, концы которого находятся на краю окружности (окружности) и проходят через центр, называется диаметром.Его размер всегда равен удвоенному радиусу.

    Окружность и окружность

    Не путайте круг с кругом. Окружность относится только к точкам, которые находятся на расстоянии «r» от центра; то есть только край круга.

    Однако при поиске осей симметрии безразлично, работаете ли вы с кругом или с кругом.

    Что такое ось симметрии?

    Ось симметрии — это линия, разделяющая на две равные части определенную геометрическую фигуру.Другими словами, ось симметрии действует как зеркало.

    На предыдущем изображении можно увидеть, что вертикальная линия, проходящая через центр противоположных сторон квадрата, является осью симметрии квадрата.

    Валы симметрии окружности

    Если вы посмотрите на любой круг, независимо от его радиуса, вы увидите, что не каждая пересекающая его линия является осью симметрии.

    Например, ни одна из линий, нарисованных на следующем изображении, не является осью симметрии.

    Самый простой способ проверить, является ли линия осью симметрии или нет, — это перпендикулярно отразить геометрическую фигуру на противоположной стороне линии.

    Если отражение не соответствует исходной фигуре, линия не является осью симметрии. Следующее изображение иллюстрирует эту технику.

    Но если рассмотреть следующее изображение, то хорошо известно, что проведенная линия является осью симметрии круга.

    Вопрос: есть ли еще оси симметрии? Ответ положительный. Если повернуть эту линию на 45 ° против часовой стрелки, полученная линия также будет осью симметрии окружности.

    То же самое происходит, если вы поворачиваете на 90 °, 30 °, 8 ° и вообще на любое количество градусов.

    В этих линиях важен не наклон, но все они проходят через центр круга. Следовательно, любая линия, содержащая диаметр круга, является осью симметрии.

    Итак, поскольку окружность имеет бесконечное число диаметров, значит, у нее бесконечное число осей симметрии.

    Другие геометрические фигуры, такие как треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник или любой другой многоугольник, имеют конечное число осей симметрии.

    Причина, по которой круг имеет бесконечное количество осей симметрии, заключается в том, что у него нет сторон.

    Список литературы
    1. Басто, Дж. Р. (2014). Математика 3: Базовая аналитическая геометрия. Grupo Editor Patria.
    2. Билльштейн Р., Либескинд С. и Лотт Дж. У. (2013). Математика: подход к решению проблем для учителей начального образования. López Mateos Editores.
    3. Bult, B., & Hobbs, D. (2001). Математический лексикон (иллюстрированный ред.). (Ф. П. Кадена, Trad.) Издания AKAL.
    4. Callejo, I., Aguilera, M., Martinez, L., & Aldea, C. (1986). Математика. Геометрия.Реформа высшего цикла E.G.B. Министерство образования.
    5. Шнайдер В. и Сапперт Д. (1990). Практическое руководство по техническому черчению: введение в основы промышленного рисования. Reverte
    6. Thomas, G. B., & Weir, M. D. (2006). Расчет: несколько переменных. Pearson Education.

    Сколько линий симметрии у круга?

    Хммм … Я лично не согласен с «бесконечной симметрией» для круга, но у Пентагона определенно есть симметрия вращения.

    Круг равен 360 градусам. Чтобы продемонстрировать несколько линий симметрии, вы должны использовать точку оси (центр круга), а затем повернуть ее на определенный угол.

    Общее мнение о том, что круг имеет бесконечную симметрию, связано с тем, что вы можете нарисовать диаметр в любом месте круга, и это линия симметрии. Считается, что существуют бесконечные диаметры и, следовательно, бесконечные линии симметрии. Конечно, чтобы это было верно, сама линия диаметра должна быть бесконечно малой или отсутствовать; но тогда, если он не существует, как он может указывать на наличие симметрии? Следовательно, чтобы существовать, он должен иметь ширину, и хотя эта ширина может быть незаметно малой, она все же остается шириной.Это означает, что при слишком большом их количестве вы в конечном итоге охватите круг по диаметрам и разрешите максимальное количество линий симметрии, достижимое в физическом мире.

    Когда человек откроет самую маленькую сущность во всей вселенной, мы получим ответ!

    Итак, пока симметрия круга теоретически бесконечна; вы могли бы записать наименьшее измерение ширины диаметра, покрывающее всю поверхность Земли в числах, чтобы представить, насколько мала его ширина, с каким-то сумасшедшим количеством десятичных знаков, и вы все равно не продемонстрировали бы наименьшую возможную ширину. Если, однако, вы обнаружили точное измерение самого маленького объекта во Вселенной, то использование измерения ниже, чем ширина диаметра, не будет иметь никакого отношения к любым физическим расчетам в реальном мире, и, следовательно, будет действительно определенное число. линий симметрии, которыми физически может обладать круг.

    Но такова природа бесконечности; это почти всегда теоретически, благодаря нашему ограниченному пониманию физического плана. Это запасной вариант, используемый в качестве объяснения вещей, которые мы не можем полностью понять, во многом как Боги Олимпа, которые помогли объяснить вулканы и грозы.

    Я уверен, что ваш учитель имел в виду именно это. Ух ты, должно быть, она умнее, чем кажется, а! Позор Пентагона …

    Урок для четвертого класса Жилет с медвежонками

    В этом уроке я хотел разработать аутентичную и насыщенную задачу, над которой учащиеся могли бы работать, которая включает симметрию. Большинство моих учеников уже имели опыт симметрии в этом году, а также несколько лет назад, особенно в области искусства. Я хотел дать им реальную цель для понимания и использования симметрии.Я наткнулся на этот ресурс (в прошлом я использовал ресурсы Министерства энергетики Нью-Йорка). Этот урок адаптирован и создан на основе задания, расположенного на странице 47 ресурса. -NYCDOE_G4_Math_

    Прежде чем я покажу студентам задачу, я даю им около 2 минут и 12 секунд на то, чтобы «поиграть» с блоками и построить что-то, что им нравится. (Примечание: нечетное время — это стратегия, которую я использую, чтобы привлечь внимание студентов. Они привыкли слышать такие вещи, как: «Секундочку, я буду через одну минуту, поэтому я считаю, что использование нечетных временных ограничений помогает им сосредоточиться. и помня, что у них очень мало времени)

    Пропускаю блоки в каждую таблицу.У студентов больше блоков, чем требует задача. По прошествии двух минут я затем показываю задачу «Маленький медведь» под документ-камерой и перечитываю задачу со студентами. (задача с маленьким медведем находится на странице 47 ресурса). В итоге в задаче говорится, что учащиеся должны создать симметричный дизайн, стоимость которого составляет 4 доллара США. Им сообщают, что маленький зеленый треугольник стоит 10 центов. Затем ученики должны найти значение других блоков шаблона, потому что они пропорциональны зеленому блоку.

    Перед тем, как студенты начнут работу, я прошу студентов рассказать мне, что является важным в этой задаче, чтобы студенты полностью понимали задачу. Затем у студентов есть около получаса, чтобы решить задачу и показать ВСЕ свое математическое мышление. Я действительно поясняю, что для того, чтобы показать ВСЕ свое мышление, ученики должны использовать СЛОВА, ИЗОБРАЖЕНИЯ и ЦИФРЫ.

    Послушайте, как этот ученик работает, чтобы выяснить, сколько стоит каждый блок.

    В этом видео вы можете услышать неправильное представление студента и мою стратегию перенаправления.