ЧЕВА Джованни
Имя латиницей: Ceva Giovanni
Пол: мужской
Дата рождения: 07.12.1648
Место рождения: Милан, Италия
Дата смерти: 15.06.1734
Место смерти: Мантуя, Италия
Знак зодиака: Стрелец
По восточному: Крыса
География:
ИТАЛИЯ.
Ключевые слова: знание, математик, наука.
Ключевой год: 1678
Джованни ЧЕВА
итальянский математик. Брат Чева Томазо. Окончил Пизанский университет.
Работал правительственным комиссаром Мантуанского герцогства. Основные работы относятся к геометрии, механике, гидравлике. В исследованиях по механике применял геометрические методы. Разработал учение о секущих. В своем главном труде «О прямых линиях» (1678) использовал свойства центра тяжести системы точек. Разработал метод исследования конических сечений и касательных к ним. В работе «Геометрия движения» (1692) рассмотрел природу движения. С помощью метода неделимых Кавальери определял площади, ограниченные кривыми.
- А. И. Бородин. Биографический словарь деятелей в области математики. — Киев, Радянська школа, 1979
- Большая советская энциклопедия.
3-е издание
3-е издание19.02.2011 Мартыненко Ольга
может это тот же ЧЕВА Томазо? ДАты правда разные, но года и прочее совпадюи. Надо на западных источниках проверить НаверхДжироламо Саккери
Джованни Джироламо Саккери (итал. Giovanni Girolamo Saccheri; 1667—1733) — итальянский математик, иезуит, создатель первого наброска неевклидовой геометрии.
Биография и научная деятельность
Саккери преподавал в Турине и Павии арифметику, алгебру, геометрию и др. математические науки, а также богословие, логику и метафизику. Под влиянием математика Джованни Чева Саккери были написаны два математические сочинения: «Quaesita Geometrica etc.» (Милан, 1693) и «Neostatica» (ib., 1708). В печати появились ещё его «Logica demonstrativa» (Павия, 1701) и сочинения по богословию.
Вполне оригинальным мыслителем явился Саккери в своём главном труде, озаглавленном «Евклид, очищенный от всех пятен» («Euclides ab omni naevo vindicatus»), изданном в Милане, 1733 г. В нём автор, опередив на столетие творцов неевклидовой геометрии, Лобачевского и Бойяи, заменяет пятый постулат Евклида на альтернативный постулат гиперболической геометрии (Лобачевского) и доказывает целый ряд теорем этой геометрии. Он рассматривает четырёхугольник, аналогичный четырёхугольнику Ламберта и правильно отвергает одну из трех альтернатив относительно четвёртого угла: гипотезу тупого угла. Однако дальше, в результате вычислительной ошибки он делает неверный вывод, что эта геометрия содержит в себе противоречие, после чего отвергает и гипотезу острого угла, которая, на самом деле, не может быть опровергнута в рамках абсолютной геометрии.
Сочинение Саккери было оценено только после создания неевклидовой геометрии.
Джироламо Саккери известен также, как один из сильнейших итальянских шахматистов своего времени. Современников он поражл способностью играть вслепую одновременно на трех — четырёх досках.
Примечания
Литература
- Васильев А. В.. Иезуит Саккери, итальянский предшественник Лобачевского. «Известия Физ.-математ. общества при Казанском унив., 2-я серия, т. III, 1893, стр. 53—57).
- Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
- P. Mansion. Analyse des recherches du P. Saccheri sur le postulatum d’Euclide. Брюссель, Soc. Scient., «Annales»; т. XIV, 1889—1890.
Ссылки
Теорема Чевы — презентация онлайн
1. Теорема Чевы
2. Введение
Джованна Чева сумел доказать теорему Чевы о геометрииучения о секущих, которое положило начало новой
синтетической геометрии.
3. Биография ученого:
Джованни Чева (1647 — 1734) родился в Италии. Онокончил иезуитский колледж в Милане, после чего стал
студентом Университета в Пизе, где позже и стал работать
профессором математики. С 1686 года Чева работал в
Университете в Мантуе оставаясь на этом посту до самого
конца своей жизни. Большую часть жизни Чева изучал
геометрию, стараясь возродить греческую геометрию;
кроме того, сегодня его помнят и по изысканиям в области
механики.
4. Теорема:
Теорема о соотношении отрезков нек-рых прямых,пересекающих треугольник. Пусть А 1, В 1 и С 1- три точки,
СА и АВ треугольника ABC. Для того чтобы прямые АА1,
ВВ1 и СС1 пересекались в одной точке или были все
параллельны, необходимо и достаточно, чтобы имело
место соотношение:
6. Доказательство:
Пусть отрезки , и пересекаются в точке М внутри треугольникаАВС. Обозначим через площади треугольников АМС, СМВ и АМВ,
а через— расстояния соответственно от точек А и В до прямой
МС.
Аналогично,
Перемножив полученные пропорции, убеждаемся в
справедливости теоремы.
7. Утверждение, обратное теореме Чевы:
Пусть точки лежат насторонах и треугольника соответственно. Пусть
выполняется соотношение:
Тогда отрезки и пересекаются в одной точке.
8. Доказательство:
Пусть – точка пересечения отрезков и и прямая пересекаетсторону в некоторой точке. Достаточно доказать, что.
По теореме Чевы для точек и имеем:
Но тогда:
Значит, точки С1 и С2 делят отрезок АВ в одном и том же
отношении. Пусть А1С=х, АС2=у, АВ=с. Тогда
откуда
То есть точки С1 и С2 совпадают.
9. Следствия теоремы:
1) Медианы треугольника пересекаются в одной точке,которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от
вершины.
2) Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
3) Высоты треугольника (или их продолжения)
пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).
1.
2.
3.
4) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
5) Прямые, соединяющие вершины треугольника с
точками, в которых вписанная окружность касается
противоположных сторон, пересекаются в одной точке.
4.
5.
11. Заключение
Теорема Чевы не изучается в основном курсегеометрии 7 –9 классов. Но трудности, связанные
с освоением этой теоремы, оправданы ее
применением при решении задач. Решение задач
с помощью теоремы Чевы более рационально,
чем их решение другими способами,
требующими дополнительных действий и
построений, которые не всегда оказываются
очевидными.
12. Спасибо за внимание!
Выполнил: Козлов Алексей; 11 «А»1
Первый слайд презентации: Теорема Чевы
Изображение слайда
2
Слайд 2: Введение
Джованна Чева сумел доказать теорему Чевы о геометрии треугольника. Основной его заслугой является построение учения о секущих, которое положило начало новой синтетической геометрии. Введение
Изображение слайда
3
Слайд 3: Биография ученого:
Джованни Чева (1647 — 1734) родился в Италии. Он окончил иезуитский колледж в Милане, после чего стал студентом Университета в Пизе, где позже и стал работать профессором математики. С 1686 года Чева работал в Университете в Мантуе оставаясь на этом посту до самого конца своей жизни. Большую часть жизни Чева изучал геометрию, стараясь возродить греческую геометрию ; кроме того, сегодня его помнят и по изысканиям в области механики. Биография ученого:
Изображение слайда
4
Слайд 4: Теорема:
Теорема о соотношении отрезков нек-рых прямых, пересекающих треугольник. Пусть А 1, В 1 и С 1 — три точки, лежащие соответственно на сторонах ВС, СА и АВ треугольника ABC. Для того чтобы прямые АА 1, ВВ 1 и СС 1 пересекались в одной точке или были все параллельны, необходимо и достаточно, чтобы имело место соотношение: Теорема:
Изображение слайда
5
Слайд 5
Изображение слайда
6
Слайд 6: Доказательство:
Пусть отрезки, и пересекаются в точке М внутри треугольника АВС. Обозначим через площади треугольников АМС, СМВ и АМВ, а через— расстояния соответственно от точек А и В до прямой МС. Аналогично, Перемножив полученные пропорции, убеждаемся в справедливости теоремы. Доказательство:
Изображение слайда
7
Слайд 7: Утверждение, обратное теореме Чевы:
Пусть точки лежат на сторонах и треугольника соответственно. Пусть выполняется соотношение: Тогда отрезки и пересекаются в одной точке. Утверждение, обратное теореме Чевы:
Изображение слайда
8
Слайд 8: Доказательство:
Пусть – точка пересечения отрезков и и прямая пересекает сторону в некоторой точке. Достаточно доказать, что. По теореме Чевы для точек и имеем: Но тогда: Значит, точки С1 и С2 делят отрезок АВ в одном и том же отношении. Пусть А1С=х, АС2=у, АВ=с. Тогда о ткуда То есть точки С1 и С2 совпадают. Доказательство:
Изображение слайда
9
Слайд 9: Следствия теоремы:
1) Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. 2) Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. 3) Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника ). 1. Следствия теоремы: 2. 3.
Изображение слайда
10
Слайд 10
4) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. 5) Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке. 4. 5.
Изображение слайда
11
Слайд 11: Заключение
Теорема Чевы не изучается в основном курсе геометрии 7 –9 классов. Но трудности, связанные с освоением этой теоремы, оправданы ее применением при решении задач. Решение задач с помощью теоремы Чевы более рационально, чем их решение другими способами, требующими дополнительных действий и построений, которые не всегда оказываются очевидными. Заключение
Изображение слайда
12
Последний слайд презентации: Теорема Чевы: Спасибо за внимание!
Выполнил: Козлов Алексей; 11 «А» Спасибо за внимание!
Изображение слайда
Теорема чевы прямая и обратная. Теоремы чевы и менелая на егэ
Помню, в школе мы доказывали, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. И что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Более того, высоты и серединные перпендикуляры треугольника тоже обладают тем же свойством.
Вот только доказывались эти теоремы…. как? Да в том-то и дело, что каждая из них доказывалась как-то по-своему, у каждой из них был свой способ.
Я хочу показать вам, дорогие читатели, единый способ доказательства этих теорем. Доказательства, использующего теорему Чевы.
Вот её формулировка:
Пусть точки A»,B»,C» лежат на прямых BC,CA,AB треугольника . Прямые AA»,BB»,CC» пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
Прежде чем перейти к доказательству, замечу, что равенство в формулировке не такое уж заумное и трудно запоминающееся, как может показаться на первый взгляд. Действительно, чтобы получить это равенство, нам достаточно выбрать произвольную вершину треугольника, например, B, и начать обходить треугольник по часовой стрелке. Обойдя треугольник, мы пройдём по каждому из отрезков как раз в той последовательности, в которой они встречаются в равенстве.Доказательство .
Прямая теорема.
С одной стороны,
S
AOB»/S
COB» =AB»/B»C
С другой стороны, это же отношение площадей равно отношению высот треугольников AOB» и COB», проведенных к основанию OB», равно как и отношение площадей треугольников AOB и COB.
Таким образом, AB»/B»C = S AOB/S COB.
Записав аналогичные равенства для отношений CA»/A»B и AC»/C»B и затем перемножив их всех, получим требуемое утверждение.
Обратная теорема.
Итак, допустим, у нас выбраны точки A», B», C» на сторонах треугольника и выполняется равенство из условия.
Пусть AA» и BB» пересекаются в точке О. Проведем прямую СО и пусть она пересекает сторону AB в некоторой точке C»». Тогда, согласно прямой теореме, у нас будет выполняться то самое огромное равенство, в котором вместо точки C» будет точка C»». Исходя из выполнения этих двух равенств — с точкой C»», как мы показали, и с точкой C» из условия обратной теоремы, делаем вывод, что точки C»» и C» совпадают.
Можно записать условие Чевы в форме синусов
:
Это условие легко получить, применив теорему синусов к треугольникам ABA» и ACA». Для них получаем A»B/AA»= sinBAA» /sinABA» и A»C/AA»=sinA»AC/sinA»CA. Разделив одно равенство на другое, получаем A»B/A»C=sinBAA» /sinA»AC * (sinBCA/sinABC)
Записав аналогичные равенство для остальных отрезков и перемножив их, получаем условие Чевы в форме синусов.
Согласно теореме Чевы, то, пересечение медиан треугольника в одной точке — доказывается в одну строчку.
Согласно теореме Чевы в форме синусов, пересечение биссектрис в одной точке доказывается в одну строчку.
А вот доказательство того, что высоты треугольника пересекаются в одной точке — это, согласно теореме Чевы в форме синусов, доказывается в две строчки. В первой строчке доказательства нам следует написать известное тригонометрическое тождество —
sin(90 — a
) = cos a
Трусова Наташа и Сергушова Наташа
Теоретический материал по теме «Теорема Чевы «и ее практическое применение
Скачать:
Предварительный просмотр:
Областная научная конференция школьников
«Инициатива молодых»
Теорема Чевы. Применение при решении задач
Работу выполнили:
Ученицы 9б класса
МАОУ «Лицей №3»
Трусова Наталья
Сергушова Наталья
Научный руководитель: –
Попова Нина Федоровна,
Учитель математики
МАОУ «Лицей №3»
Саратов. 2011год.
Введение………………………………………………………………………………………………….…………3
Глава I
Теорема Чевы…………………………………………………………………………………………………….4
Глава II
Доказательства теоремы……………………………………………………………………………………5
Некоторое преобразования, связанные с теоремой Чевы……………………………….8
Глава III
Применение теоремы для решения задач………………………………………………………..9
Заключение……………………………………………………………………………………………………….10
Приложения………………………………………………………………………………………………………11
Список литературы……………………………………………………………………………………………14
Введение
Крылатую фразу Козьмы Пруткова «Никто не обнимет необъятного» в полной мере можно отнести и к геометрии треугольника. В самом деле, треугольник, как кладезь прекрасных и поразительных геометрических конструкций, поистине неисчерпаем. Их пестрота и изобилие, с трудом поддающиеся какой-либо систематизации, не могут не восхищать. И кажется, если уж такая простая с виду область геометрии настолько сложна, то в чем вообще можно разобраться?
Интересно попробовать понять, почему тот или иной результат геометрии треугольника оказывает на нас большее или меньшее воздействие. Красивая теорема в геометрии треугольника связана, как правило, с замечательными точками, прямыми или окружностями. Прямая или окружность замечательны, если содержат замечательные точки треугольника. Точка тем более замечательна, чем с более естественными и содержательными конфигурациями треугольника она взаимодействует. Поэтому в первый ряд следует поставить, конечно, таких заслуженных ветеранов, как М — точку пересечения медиан, О – центр описанной окружности, I – центр вписанной окружности, Н – точку пересечения высот, а так же точка G Жергонна и точка N Нагеля.
С точками первого порядка связаны теоремы о прямой Эйлера, окружности девяти точек. Точками второго порядка можно считать точки, являющиеся «производными» от точек первого порядка, т.е. полученные из них под действием какого-либо преобразования или как пересечение замечательных линий первого порядка. Сюда можно отнести точку L Лемуана (точку пересечения прямых симметричных медианам относительно соответствующих биссектрис, такое преобразование называется изогональным сопряжением), антиортоцентр треугольника H m (точку пересечения прямых, проходящих через точки, симметричные основаниям высот относительно соответствующих середин сторон, и противолежащие вершины, это преобразование называется изотомическим сопряжением), точку I m пересечения антибиссектрис (изотомически сопряженную точку пересечения биссектрис). Точки третьего порядка определяются аналогично, как производные точек второго порядка.
Глава I
Теорема Чевы
Большинство замечательных точек треугольника могут быть получены при помощи следующей процедуры.
Пусть у нас имеется некоторое правило, согласно которому мы сможем выбрать определенную точку А 1 на стороне ВС (или ее продолжении) треугольника АВС (например, выберем середину этой стороны). Затем построим аналогичные точки В 1 , С 1 на двух других сторонах треугольника (в нашем случае – еще две середины сторон). Если правило выбора удачное, то прямые АА 1 , ВВ 1 , СС 1 пересекутся в некоторой точке Z. Все замечательные точки получаются именно так.
Поэтому хотелось бы иметь какой-нибудь общий метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекаются ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет.
Универсальное условие, «закрывшее» эту проблему, нашел в 1678 г. итальянский инженер Джованни Чева (отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах, называют чевианами). Можно смело сказать, что эта теорема служит фундаментом всей геометрии треугольника.
Глава II
Доказательства теоремы Чевы
Теорема Чевы: случай внутренней точки.
Выберем в произвольном треугольнике АВС точки А 1 , В 1 , С 1 на сторонах ВС, СА, АВ соответственно. Следующие два утверждения равносильны:
а) прямые АА 1 , ВВ 1 , СС 1 пересекаются в некоторой внутренней точке Z треугольника АВС;
б) (условие Чевы).
Доказать прямую теорему Чевы (а б) проще всего, заменив отношения отрезков в условии Чевы на отношения площадей:
Следовательно, .
Точно так же получим, что
Теперь осталось только перемножить эти три равенства:
Обратная же теорема Чевы следует из прямой: пуст АА 1 и ВВ 1 пересекаются в точке Z. Пусть прямая СZ пересекает сторону АВ в треугольнике в точке С 2 . Для точек А 1 , В 1 , С 2 выполняется условие Чевы:
Сопоставим это соотношение с заданным равенством, приходим к выводу, что , т.е. С 1 =С 2 .
Теорема Чевы: случай внешней точки Бесконечно удаленные точки плоскости
Теорема Чевы остается справедливой и для внешней точки Z треугольника и точек А 1 , В 1 , С 1, одна из которых принадлежит стороне треугольника, а две другие – продолжениям сторон.
Как несложно проверить, пользуясь теоремой Фалеса, условию Чевы удовлетворяют и точки А 1 , В 1 , С 1, для которых прямые АА 1 , ВВ 1 , СС 1 параллельны.
Чтобы выделить эти ситуации в особые, удобно считать, что плоскость пополнена бесконечно удаленной прямой, составленной из бесконечно удаленных точек, в каждой их которых пересекается какое-нибудь семейство параллельных прямых. Поэтому, можно считать, что бесконечно удаленная точка указывает направление прямой. Такую модель в математике называют проективной плоскостью . На проективной плоскости любые параллельные прямые пересекаются в некоторой точке, разумеется бесконечно удаленной. При этом мы полагаем также, что бесконечно удаленная точка Z прямой АВ делит отрезок АВ пополам внешним образом:
Теорема Чевы в форме синусов
В каждом из рассмотренных случаев – и в случае внутренней точки Z, и в случае внешней точки Z – условие Чевы можно записать также в виде
Доказательство равносильности этих условий несложно. Действительно, применив теорему синусов к треугольникам АСС 1 и ВСС 1 , имеем:
Разделив одно равенство на другое, получаем:
Аналогично
Окончательно имеем:
Для внешней точки Z рассуждение аналогично.
Некоторые преобразования, связанные с теоремой Чевы
Изотомическое сопряжение . Зафиксируем на плоскости треугольник АВС. Выберем некоторую точку плоскости Z и проведем через нее и вершины треугольника прямые, пересекающие стороны треугольника (или их продолжения) в точках А 1 , В 1 , С 1 соответственно. Каждую точку отразим симметрично относительно середины той стороны, на которой она лежит. Полученные три точки обозначим через А 2 , В 2 , С 2 . Тогда прямые АА 2 , ВВ 2 , СС 2 также пересекаются в некоторой точке Z м . Эта точка называется изотомически сопряженной точке Z относительно треугольника АВС.
Корректность определения изотомического сопряжения следует из теоремы Чевы: в условии Чевы числители меняются местами со знаменателями, и если исходное произведение равнялось единице, то «перевернутое» произведение тоже равно единице.
Изогональное сопряжение. Зафиксируем на плоскости треугольник АВС. Выберем некоторую точку плоскости Z и проведем через нее и вершины треугольника прямые, пересекающие стороны треугольника (или их продолжения) в точках А 1 , В 1 , С 1 соответственно. Тогда прямые АА 2 , ВВ 2 , СС 2, симметричные прямым АА 1 , ВВ 1 , СС 1 относительно биссектрис соответствующих углов треугольника, пересекаются в одной точке Z l . Эта точка называется изогонально сопряженной точке Z относительно треугольника АВС.
Применение теоремы для решения задач
С помощью теоремы Чевы легко доказываются следующие свойства:
- Медианы пересекаются в одной точке;
- Высоты треугольника пересекаются в одной точке;
- Биссектрисы внутренних углов; биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке;
- Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками вписанной окружности пересекаются в одной точке.
См. Приложения.
Заключение
Теорема Чевы довольно проста в понимании. Трудности, связанные с ее освоением, оправданы применением при решении задач.
Решение задач с помощью этой теоремы более рационально, чем их решение другими способами, например векторным, которое требует дополнительных действий.
Я считаю, что такие теоремы должны быть включены в основной курс геометрии 7-х-9-х классов, так как решение задач с помощью этих теорем развивает мышление и логику учеников.
Теорема Чевы помогает быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности.
Приложения
Доказать теорему : Медианы треугольника пересекаются в одной точке;
Точка пересечения делит каждую из них в отношении
2:1, считая от вершины.
Доказательство: Пусть АМ 1 , ВМ 2 , СМ 3 – медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно доказать, что
Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АМ 1 , ВМ 2 , СМ 3 пересекаются в одной точке. Имеем:
Итак, доказано что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Пусть О – точка пересечения медиан. Прямая М 3 С пересекает две стороны треугольника АВМ 2 и продолжение третьей стороны этого треугольника. По теореме Менелая
Рассматривая теорему Менелая для треугольника АМ 1 С и АМ 2 С мы получаем, что
Теорема даказана.
Доказать теорему : Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство: достаточно доказать, что . Тогда по теореме Чевы (обратной) AL 1 , BL 2 , CL 3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника:
Перемножая почленно полученные равенства получаем:
Итак, для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.
Доказать теорему: Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство: Пусть AH 1 , ВH 2 , СH 3 – высоты треугольника АВС со сторонами a, b,c. Из прямоугольных треугольников АВН 2 и ВСН 2 по теореме Пифагора выразим, соответственно, квадрат общего катета ВН 2 , обозначив АН 2 =х, СН 2 =b-х. (ВН 2 ) 2 = с 2 – х 2 и (ВН 2 ) 2 = а 2 – (b — x) 2 . Приравнивая правые части полученных равенств, получаем с 2 – х 2 = a 2 – (b — x) 2 , откуда х = .
Математика – 10 класс Мендель Виктор Васильевич, декан факультета естественных наук, математики и информационных технологий ДВГГУ ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ Особое место в планиметрии отведено двум замечательным теоремам: теореме Чевы и теореме Менелая. Эти теоремы не включены в базовую программу курса геометрии средней школы, но их изучение (и применение) рекомендуется всем, кто интересуется математикой чуть больше, чем это возможно в рамках школьной программы. Чем же интересны эти теоремы? Сначала отметим, что при решении геометрических задач продуктивно сочетаются два подхода: — один основан на определении базовой конструкции (например: треугольник – окружность; треугольник – секущая прямая; треугольник – три прямых, проходящих через его вершины и пересекающиеся в одной точке; четырехугольник с двумя параллельными сторонами и т.п.), — а второй – метод опорных задач (простых геометрических задач, к которым сводится процесс решения сложной задачи). Так вот, теоремы Менелая и Чевы относятся к наиболее часто встречающимся конструкциям: первая рассматривает треугольник, стороны или продолжения сторон которого пересечены некоторой прямой (секущей), во второй речь идет о треугольнике и трех прямых, проходящих через его вершины, пересекающиеся в одной точке. Теорема Менелая Эта теорема наблюдающуюся (вместе для с обратной) отношений показывает отрезков, закономерность, соединяющих вершины некоторого треугольника и точки пересечения секущей со сторонами (продолжениями сторон) треугольника. На чертежах приведены два возможных случая расположения треугольника и секущей. В первом случае секущая пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей, во втором – продолжения всех трех сторон треугольника. Теорема 1. (Менелая) Пусть ABC пересечен прямой, не параллельной стороне АВ и пересекающей две его стороны АС и ВС соответственно в точках В1 и А1, а прямую АВ в точке С1 тогда AB1 CA1 BC1 1. B1C A1B C1 A Теорема 2. (обратная теореме Менелая) Пусть в треугольнике АВС точки А1, В1, С1 принадлежит прямым ВС, АС, АВ соответственно, тогда, если AB1 CA1 BC1 1 B1C A1B C1 A , то точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой. Доказательство первой теоремы можно провести так: на секущую прямую опускают перпендикуляры из всех вершин треугольника. В результате получают три пары подобных прямоугольных треугольников. Фигурирующие в формулировке теоремы отношения отрезков заменяют на отношения перпендикуляров, соответствующих им по подобию. Оказывается, что каждый отрезок – перпендикуляр в дробях будет присутствовать дважды: один раз в одной дроби в числителе, второй раз, в другой дроби, в знаменателе. Таким образом, произведение всех этих отношений окажется равным единице. Обратная теорема доказывается методом «от противного». Предполагается, что при выполнении условий теоремы 2 точки А1, В1, С1 не лежат на одной прямой. Тогда прямая А1В1 пересечет сторону АВ в точке С2, отличной от точки С1. При этом, в силу теоремы 1, для точек А1, В1, С2 будет выполняться то же отношение, что и для точек А1, В1, С1. Из этого следует, что точки С1 и С2 поделят отрезок AB в одинаковых отношениях. Тогда эти точки совпадут – получили противоречие. Рассмотрим примеры применения теоремы Менелая. Пример 1. Доказать, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины. Решение. Запишем полученное в теореме соотношение, Менелая для треугольника ABMb и прямой McM(C): AM c BM M bC 1. M c B MM b CA Первая дробь в этом произведении очевидно равна 1, а третья второе отношение равно 1 . Поэтому 2 2:1, что и требовалось доказать. Пример 2. Секущая пересекает продолжение стороны AC треугольника ABC в точке B1 так, что точка C является серединой отрезка AB1. Сторону AB эта секущая делит пополам. Найдите, в каком отношении она делит сторону BC? Решение. Запишем для треугольника и секущей произведение трех отношений из теоремы Менелая: AB1 CA1 BC1 1. B1C A1B C1 A Из условий задачи следует, что первое отношение равно единице, а третье 1 , 2 таким образом, второе отношение равно 2, т.е., секущая делит сторону BC в отношении 2:1. Следующий пример применения теоремы Менелая мы встретим, когда будем рассматривать доказательство теоремы Чевы. Теорема Чевы Большинство замечательных точек треугольника могут быть получены при помощи следующей процедуры. Пусть имеется некоторое правило, согласно которому мы сможем выбрать определенную точку A1, на стороне BC (или её продолжении) треугольника ABC (например, выберем середину этой стороны). Затем построим аналогичные точки B1, C1 на двух других сторонах треугольника (в нашем примере еще две середины сторон). Если правило выбора удачное, то прямые AA1, BB1, CC1 пересекутся в некоторой точке Z (выбор середин сторон в этом смысле, конечно, удачный, так как медианы треугольника пересекаются в одной точке). Хотелось бы иметь какой-нибудь общий метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет. Универсальное условие, «закрывшее» эту проблему, нашёл в 1678 г. итальянский инженер Джованни Чева. Определение. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах (или их продолжениях), называют чевианами, если они пересекаются в одной точке. Возможны два варианта расположения чевиан. В одном варианте точка пересечения – внутренняя, а концы чевиан лежат на сторонах треугольника. Во втором варианте точка пересечения внешняя, конец одного чевиана лежит на стороне, а у двух других чевиан концы лежат на продолжениях сторон (смотри чертежи). Теорема 3. (Прямая теорема Чевы) В произвольном треугольнике АВС на сторонах ВС, СА, АВ или их продолжениях взяты соответственно точки А1, В1, С1, такие, что прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в некоторой общей точке, тогда BA1 CB1 AC1 1 CA1 AB1 BC1 . Доказательство: известно несколько оригинальных доказательств теоремы Чевы, мы рассмотрим доказательство, основанное на двукратном применении теоремы Менелая. Запишем соотношение теоремы Менелая первый раз для треугольника ABB1 и секущей CC1 (точку пересечения чевиан обозначим Z): AC1 BZ B1C 1, C1B ZB1 CA а второй раз для треугольника B1BC и секущей AA1: B1Z BA1 CA 1. ZB A1C AB1 Перемножив два этих отношения, проведя необходимые сокращения получим соотношение, содержащееся в утверждении теоремы. Теорема 4. (Обратная теорема Чевы). Если для выбранных на сторонах треугольника ABC или их продолжениях точек A1, В1 и C1 выполняется условие Чевы: BA1 CB1 AC1 1 CA1 AB1 BC1 , то прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Доказательство этой теоремы проводится методом от противного, также, как доказательство теоремы Менелая. Рассмотрим примеры применения прямой и обратной теорем Чевы. Пример 3. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Решение. Рассмотрим соотношение AC1 BA1 CB1 C1B A1C B1 A для вершин треугольника и середин его сторон. Очевидно, что в каждой дроби в числителе и знаменателе стоят равные отрезки, поэтому все эти дроби равны единице. Следовательно, выполнено соотношение Чевы, поэтому, по обратной теореме, медианы пересекаются в одной точке. Задачи для самостоятельного решения Предлагаемые здесь задачи являются контрольной работой №1 для учащихся 9 классов. Решите эти задачи, запишите решения в отдельную (от физики и информатики) тетрадь. Укажите на обложке следующую информацию о себе: 1. Фамилия, имя, класс, профиль класса (например: Пупкин Василий,9 кл., математический) 2. Индекс, адрес места жительства, электронная почта (если есть), телефон (домашний или мобильный) 3. Данные о школе (например: МБОУ №1 п. Бикин) 4. Фамилия, И. О. учителя математики (например: учитель математики Петрова М.И.) Рекомендуется решить не менее четырех задач. М 9.1.1. Может ли секущая прямая из теоремы Менелая разрезать стороны треугольника (или их продолжения) на отрезки длиной: а) 3, 3, 5, 7,10, 14; в) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Если такие варианты возможны, приведите примеры. Отрезки могут идти в разном порядке. М 9.1.2. Могут ли внутренние чевианы треугольника делить его стороны на отрезки: а) 3, 3, 5, 7,10, 14; в) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Если такие варианты возможны, приведите примеры. Отрезки могут идти в разном порядке. Указание: придумывая примеры не забудьте проверить неваенство треугольника. М 9.1.3. Используя обратную теорему Чевы докажите, что: а) биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке; б) отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противоположных сторонах, в которых эти стороны касаются вписанной окружности, пересекаются в одной точке. Указания: а) вспомните, в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону; б) используйте свойство, что отрезки двух касательных, проведенные из одной точки к некоторой окружности, равны. М 9.1.4. Завершите доказательство теоремы Менелая, начатое в первой части статьи. М 9.1.5. Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, используя обратную теорему Чевы. М 9.1.6. Докажите теорему Симпсона: из произвольной точки M, взятой на описанной вокруг треугольника ABC окружности, на стороны или продолжения сторон треугольника опущены перпендикуляры, докажите, что основания этих перпендикуляров лежат на одной прямой. Указание: используйте обратную теорему Менелая. Попробуйте выразить длины отрезков, используемых в отношениях, через длины перпендикуляров, проведенных их точки M. Также полезно вспомнить свойства углов вписанного четырехугольника.
ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ
Теорема Чевы
Большинство замечательных точек треугольника могут быть получены при помощи следующей процедуры. Пусть имеется некоторое правило, согласно которому мы сможем выбрать определенную точку A 1 , на стороне BC (или её продолжении) треугольника ABC (например, выберем середину этой стороны). Затем построим аналогичные точки B 1 , C 1 на двух других сторонах треугольника (в нашем примере еще две середины сторон). Если правило выбора удачное, то прямые AA 1 , BB 1 , CC 1 пересекутся в некоторой точке Z (выбор середин сторон в этом смысле, конечно, удачный, так как медианы треугольника пересекаются в одной точке).
Хотелось бы иметь какой-нибудь общий метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет.
Универсальное условие, «закрывшее» эту проблему, нашёл в 1678 г. итальянский инженер Джованни Чева .
Определение. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах (или их продолжениях), называют чевианами, если они пересекаются в одной точке.
Возможны два варианта расположения чевиан. В одном варианте точка
пересечения – внутренняя, а концы чевиан лежат на сторонах треугольника. Во втором варианте точка пересечения внешняя, конец одного чевиана лежит на стороне, а у двух других чевиан концы лежат на продолжениях сторон (смотри чертежи).
Теорема 3. (Прямая теорема Чевы) В произвольном треугольнике АВС на сторонах ВС, СА, АВ или их продолжениях взяты соответственно точки А 1 , В 1 , С 1 , такие, что прямые АА 1 , ВВ 1 , СС 1 пересекаются в некоторой общей точке, тогда
.
Доказательство: известно несколько оригинальных доказательств теоремы Чевы, мы рассмотрим доказательство, основанное на двукратном применении теоремы Менелая. Запишем соотношение теоремы Менелая первый раз для треугольника ABB 1 и секущей CC 1 (точку пересечения чевиан обозначим Z ):
,
а второй раз для треугольника B 1 BC и секущей AA 1 :
.
Перемножив два этих отношения, проведя необходимые сокращения получим соотношение, содержащееся в утверждении теоремы.
Теорема 4. (Обратная теорема Чевы) . Если для выбранных на сторонах треугольника ABC или их продолжениях точек A 1 , В 1 и C 1 выполняется условие Чевы:
,
то прямые AA 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке .
Доказательство этой теоремы проводится методом от противного, также, как доказательство теоремы Менелая.
Рассмотрим примеры применения прямой и обратной теорем Чевы.
Пример 3. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Решение. Рассмотрим соотношение
для вершин треугольника и середин его сторон. Очевидно, что в каждой дроби в числителе и знаменателе стоят равные отрезки, поэтому все эти дроби равны единице. Следовательно, выполнено соотношение Чевы, поэтому, по обратной теореме, медианы пересекаются в одной точке.
Теорема (теорема Чевы) . Пусть точки лежат на сторонах и треугольника соответственно. Пусть отрезки и пересекаются в одной точке. Тогда
(обходим треугольник по часовой стрелке).
Доказательство. Обозначим через точку пересечения отрезков и . Опустим из точек и перпендикуляры на прямую до пересечения с ней в точках и соответственно (см. рисунок).
Поскольку треугольники и имеют общую сторону , то их площади относятся как высоты, проведенные на эту сторону, т.е. и :
Последнее равенство справедливо, так как прямоугольные треугольники и подобны по острому углу.
Аналогично получаем
и
Перемножим эти три равенства:
что и требовалось доказать.
Про медианы:
1. Разместим в вершинах треугольника ABC единичные массы.
2. Центр масс точек A и B находится посередине AB. Центр масс всей системы должен находиться на медиане к стороне AB, так как центр масс треугольника ABC — это центр масса центра масс точек A и B, и точки C.
(запутанно получилось)
3. Аналогично — ЦМ должен лежать на медиане к сторонам AC и BC
4. Так как ЦМ — единственная точка, то, следовательно все эти три медианы должны пересекаться в ней.
Кстати, сразу же следует, что пересечением они делятся в отношении 2:1. Так как масса центра масс точек A и B равна 2, а масса точки C равна 1, следовательно, общий центр масс согласно теореме о пропорции будет делить медиану в отношении 2/1.
Спасибо большое, доступно изложено, думаю, будет не лишним представить док-во и при помощи методов геометрии масс, например:
Прямые AA1 и CC1 пересекаются в точке O; AC1: C1B = p и BA1: A1C = q. Нужно доказать, что прямая BB1 проходит через точку O тогда и только тогда, когда CB1: B1A = 1: pq.
Поместим в точки A, B и C массы 1, p и pq соответственно. Тогда точка C1 является центром масс точек A и B, а точка A1 — центром масс точек B и C. Поэтому центр масс точек A, B и C с данными массами является точкой O пересечения прямых CC1 и AA1. С другой стороны, точка O лежит на отрезке, соединяющем точку B с центром масс точек A и C. Если B1 — центр масс точек A и C с массами 1 и pq, то AB1: B1C = pq: 1. Остается заметить, что на отрезке AC существует единственная точка, делящая его в данном отношении AB1: B1C.
2. Теорема Чевы
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой . Таким образом, если в треугольнике ABC X , Y и Z — точки, лежащие на сторонах BC , CA , AB соответственно, то отрезки AX , BY , CZ являются чевианами. Этот термин происходит от имени итальянского математика Джованни Чевы, который в 1678 году опубликовал следующую очень полезную теорему:
Теорема 1.21. Если три чевианы AX, BY, CZ (по одной из каждой вершины) треугольника ABC конкурентны, то
|BX| |XC| · |CY| |YA| · |AZ| |ZB| =1 .
Когда мы говорим, что три прямые (или отрезка) конкурентны , то мы имеем в виду, что все они проходят через одну точку, которую обозначим через P . Для доказательства теоремы Чевы вспомним, что площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников. Ссылаясь на рисунок 3, мы имеем:
|BX| |XC| = SABX SAXC = SPBX SPXC = SABX− SPBX SAXC− SPXC = SABP SCAP .
Аналогично,
|CY| |YA| = SBCP SABP , |AZ| |ZB| = SCAP SBCP .
Теперь, если мы перемножим их, то получим
|BX| |XC| · |CY| |YA| · |AZ| |ZB| = SABP SCAP · SBCP SABP · SCAP SBCP =1 .
Теорема, обратная к этой теореме, также верна:
Теорема 1.22. Если три чевианы AX, BY, CZ удовлетворяют соотношению
|BX| |XC| · |CY| |YA| · |AZ| |ZB| =1 ,
то они конкурентны .
Чтобы это показать, предположим, что две первые чевианы пересекаются в точке P , как и прежде, а третья чевиана, проходящая через точку P , будет CZ′ . Тогда, по теореме 1.21,
|BX| |XC| · |CY| |YA| · |AZ′| |Z′B| =1 .
Но по предположению
|BX| |XC| · |CY| |YA| · |AZ| |ZB| =1 .
Следовательно,
|AZ| |ZB| = |AZ′| |Z′B| ,
точка Z′ совпадает с точкой Z , и мы доказали, что отрезки AX , BY и CZ конкурентны (, стр. 54 и , стр, 48, 317).
Три чевианы треугольника проходят через одну точку или параллельны тогда и только тогда, когда
Пусть лежат на прямых треугольника . Прямые параллельны или пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
26. Если точки и лежат соответственно на сторонах и треугольника или на их продолжениях , то они коллинеарны тогда и только тогда, когда
где , и обозначают отношения направленных отрезков .
27. Биссектриса угла треугольника — это луч с началом в вершине угла треугольника, делящий угол на два равных угла
Теорема о биссектрисе:
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Дк-во:
Дано: , — биссектриса угла . Требуется доказать: .
Доказательство:
Проведем до пересечения с продолжением стороны . Стороны угла пересечены параллельными прямыми. Составим пропорцию: . Сравнивая эту пропорцию с той, которую нужно доказать, замечаем, что они отличаются только отрезками и . Рассмотрим эти отрезки. Они входят в , в котором (как соответственные при и секущей ) и . Но ( — биссектриса), отсюда . Следовательно, . Заменим в полученной пропорции на : . Теорема доказана
Доказана.
27(2). . Пропорциональные отрезки — отрезки, для длин которых выполняется пропорция .
Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, то есть
Обобщенная теорема Фалеса:
Если параллельные прямые, пересекающиеся двумя данными прямыми, пересекаются с первой прямой в точках А, В, С, а со второй прямой соответственно в точках А 1 , В 1 , С 1 , то
Дк-во:
Проведем через точку А прямую АС1, параллельную прямой В D (С1- точка пересечения этой прямой с прямой С D ). Тогда треугольник ОАВ подобен треугольнику АСС1 по первому признаку подобия треугольников (угол О= углу САС1, угол ОАВ=углу С). Следовательно, ОА/АС=ОВ/АС1. Так как АС1=В D , то ОА/ОВ=АС/В D . Теорема доказана.
28. Отрезок АВ является средним пропорциональным (или средним геометрическим ) для отрезков АС и ВС, если:
Теорема:
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное или среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу
Дк-во:
Пусть прямой угол в треугольнике-С, катеты АС и ВС. Проведём из вершины прямого угла высоту СМ. Проекции катетов МА и МВ. Рассмотрим треугольники АВС И АМС. Они подобны по двум углам: оба прямые и угол А общий. Запишем отношение сторон АВ/АС= ВС/МС= АС/МА Имеем АС в квадрате= АМ*АВ. (х — есть среднее пропорциональное между а и в если выполняется а/х= х/в х^2=а*в.2, .
30.
31. касательной точкой касания прямой и окружности.
Теорема:
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Дк-во:
Пусть р-касательная к окружности с центром О. А- точка касания. Докажем, что касательная р перпендикулярна к радиусу ОА. Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки. Но это противоречит условию: прямая р- касательная. Таким образом, прямая р перпендикулярна радиусу.
32. . Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Теорема:
Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Дк-во:
Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности. Теорема доказана.
33. Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральнм углом .
вписанным углом .
Теорема:
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Дк-во:
Пусть /_ АВС- вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на дугу АС . Докажем, что /_ АВС= ½ дуги АС. Решение. Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС, например со стороной ВС. В этом случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому /_ АОС=дугеАС. Так как угол АОС- внешний угол равнобедренного треугольника АВО, а углы ОВА и ВАО при основании р/б треугольника равны, то /_АОС= /_ОВА+/_ВАО=2/_ОВА. Отсюда следует, что 2/_ОВА=дугеАС или /_АВС=/_ОВА=1/2дугиАС. Теорема доказана.
34. центральнм углом .
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом .
Следствия из теоремы о вписанном угле:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность(диаметр)- прямой.
35. Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральнм углом .
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом .
Теорема о произведении отрезков двух хорд:
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Дк-во:
Пусть хорды АВ и С D пересекаются в точке Е. Докажем, что АЕ*ВЕ=СЕ* DE . Рассмотрим треугольники А DE и СВЕ. В этих треугольниках углы ЕА D и ЕСВ равны, так как они опираются на одну и ту же дугу В D , а углы АЕ D и СЕВ равны как вертикальные. По первому признаку подобия треугольников, треугольник ADE ~ треугольнику СВЕ. Отсюда следует, что АЕ/СЕ= DE / BE , или АЕ*ВЕ=СЕ* DE . Теорема доказана.
Теорема менелая. Решение задач с помощью теоремы менелая Теорема менелая прямая и обратная с доказательством
Класс: 9
Цели урока:
- обобщить, расширить и систематизировать знания и умения учащихся; научить использовать знания при решении сложных задач;
- способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении задач;
- развивать логическое мышление и математическую речь учащихся, умение анализировать, сравнивать и обобщать;
- воспитывать у учащихся уверенность в себе, трудолюбие; умение работать в коллективе.
Задачи урока:
- Образовательная: повторить теоремы Менелая и Чевы; применить их при решении задач.
- Развивающая: учить выдвигать гипотезу и умело доказательно отстаивать свое мнение; проверить умение обобщать и систематизировать свои знания.
- Воспитательная: повысить интерес к предмету и подготовить к решению более сложных задач.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Оборудование: карточки для коллективной работы на уроке по данной теме, индивидуальные карточки для самостоятельной работы, компьютер, мультимедийный проектор, экран.
Ход урока
I этап. Организационный момент (1 мин.)
Учитель сообщает тему и цель урока.
II этап. Актуализация опорных знаний и умений (10 мин.)
Учитель: На уроке вспомним теоремы Менелая и Чевы для того, чтобы успешно перейти к решению задач. Давайте вместе с вами посмотрим на экран, где представлен. Для какой теоремы дан этот рисунок? (теорема Менелая). Постарайтесь четко сформулировать теорему.
Рисунок 1
Пусть точка A 1 лежит на стороне BC треугольника АВС, точка C 1 – на стороне AB, точка B 1 – на продолжении стороны АС за точку С. Точки A 1 , B 1 и C 1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство
Учитель: Давайте вместе рассмотрим следующий рисунок. Сформулируйте теорему для этого рисунка.
Рисунок 2
Прямая AD пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ВМС.
По теореме Менелая
Прямая МВ пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника АDС.
По теореме Менелая
Учитель: Какой теореме соответствует рисунок? (теорема Чевы). Сформулируйте теорему.
Рисунок 3
Пусть в треугольнике АВС точка A 1 лежит на стороне ВС, точка B 1 – на стороне АС, точка C 1 – на стороне АВ. Отрезки AA 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство
III этап. Решение задач. (22 мин.)
Класс разбивается на 3 команды, каждая получает карточку с двумя различными задачами. Дается время на решение, затем на экране появляются . По готовым чертежам к задачам представители команд поочередно объясняют свое решение. После каждого объяснения следует обсуждение, ответы на вопросы и проверка правильности решения на экране. В обсуждении принимают участие все члены команд. Чем активнее команда, тем выше она оценивается при подведении итогов.
Карточка 1.
1. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение
2. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Решение 1
Рисунок 4
По условию задачи МА = АС, NC = 3BN. ПустьMA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Прямая MNпересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей.
По теореме Менелая
Ответ:
Доказательство 2
Рисунок 5
Пусть AM 1 , BM 2 , СM 3 – медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что
Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки AM 1 , BM 2 и СM 3 пересекаются в одной точке.
Имеем:
Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Карточка 2.
1. На стороне PQтреугольника PQR взята точка N, а на стороне PR – точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении m:n, считая от точки Q. Найдите
2. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Решение 1
Рисунок 6
По условию NQ = LR, ПустьNA = LR =a, QF = km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей.
По теореме Менелая
Ответ:
Доказательство 2
Рисунок 7
Покажем, что
Тогда по теореме Чевы (обратной) AL 1 , BL 2 , CL 3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника
Перемножая почленно полученные равенства, получаем
Для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке.
Карточка 3.
1. В треугольнике АВС AD – медиана, точка O – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А?
2. Докажите, если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке.
Решение 1
Рисунок 8
Пусть BD = DC = a, AO = OD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC.
По теореме Менелая
Ответ:
Доказательство 2
Рисунок 9
Пусть A 1 , B 1 и C 1 – точки касания вписанной окружности треугольника АВС. Для того чтобы доказать, что отрезки AA 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:
Используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.
Равенство Чевы выполняется, значит, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
IV этап. Решение задач (самостоятельная работа) (8 мин.)
Учитель: Работа команд закончена и сейчас приступим к самостоятельной работе по индивидуальным карточкам для 2-х вариантов.
Материалы к уроку для самостоятельной работы учащихся
Вариант 1. В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка К, делящая эту сторону в отношении АК:BK = 2:3, а на стороне АС – точка L, делящая АС в отношении AL:LC = 5:3. Точка Qпересечения прямых СК и BL удалена от прямой AB на расстоянии . Найдите длину стороны АВ. (Ответ: 4.)
Вариант 2. На стороне АС в треугольнике АВС взята точка К. АК = 1, КС = 3. На стороне АВ взята точка L. AL:LВ = 2:3, Q – точка пересечения прямых ВК и СL. Найдите длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины В. (Ответ: 1,5.)
Работы сдаются учителю для проверки.
V этап. Итог урока (2 мин.)
Анализируются допущенные ошибки, отмечаются оригинальные ответы и замечания. Подводятся итоги работы каждой команды и выставляются оценки.
VI этап. Домашнее задание (1 мин.)
Домашнее задание составлено из задач №11, 12 стр. 289-290, №10 стр. 301 .
Заключительное слово учителя (1 мин).
Сегодня вы услышали со стороны математическую речь друг друга и оценили свои возможности. В дальнейшем, будем применять такие обсуждения для большего понимания предмета. Аргументы на уроке дружили с фактами, а теория с практикой. Вам всем спасибо.
Литература:
- Ткачук В.В. Математика абитуриенту. – М.: МЦНМО, 2005.
Математика — 10 класс Мендель Виктор Васильевич, декан факультета естественных наук, математики и информационных технологий ДВГГУ ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ Особое место в планиметрии отведено двум замечательным теоремам: теореме Чевы и теореме Менелая. Эти теоремы не включены в базовую программу курса геометрии средней школы, но их изучение (и применение) рекомендуется всем, кто интересуется математикой чуть больше, чем это возможно в рамках школьной программы. Чем же интересны эти теоремы? Сначала отметим, что при решении геометрических задач продуктивно сочетаются два подхода: — один основан на определении базовой конструкции (например: треугольник — окружность; треугольник — секущая прямая; треугольник — три прямых, проходящих через его вершины и пересекающиеся в одной точке; четырехугольник с двумя параллельными сторонами и т.п.), — а второй — метод опорных задач (простых геометрических задач, к которым сводится процесс решения сложной задачи). Так вот, теоремы Менелая и Чевы относятся к наиболее часто встречающимся конструкциям: первая рассматривает треугольник, стороны или продолжения сторон которого пересечены некоторой прямой (секущей), во второй речь идет о треугольнике и трех прямых, проходящих через его вершины, пересекающиеся в одной точке. Теорема Менелая Эта теорема наблюдающуюся (вместе для с обратной) отношений показывает отрезков, закономерность, соединяющих вершины некоторого треугольника и точки пересечения секущей со сторонами (продолжениями сторон) треугольника. На чертежах приведены два возможных случая расположения треугольника и секущей. В первом случае секущая пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей, во втором — продолжения всех трех сторон треугольника. Теорема 1. (Менелая) Пусть ABC пересечен прямой, не параллельной стороне АВ и пересекающей две его стороны АС и ВС соответственно в точках В1 и А1, а прямую АВ в точке С1 тогда AB1 CA1 BC1 1. B1C A1B C1 A Теорема 2. (обратная теореме Менелая) Пусть в треугольнике АВС точки А1, В1, С1 принадлежит прямым ВС, АС, АВ соответственно, тогда, если AB1 CA1 BC1 1 B1C A1B C1 A , то точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой. Доказательство первой теоремы можно провести так: на секущую прямую опускают перпендикуляры из всех вершин треугольника. В результате получают три пары подобных прямоугольных треугольников. Фигурирующие в формулировке теоремы отношения отрезков заменяют на отношения перпендикуляров, соответствующих им по подобию. Оказывается, что каждый отрезок — перпендикуляр в дробях будет присутствовать дважды: один раз в одной дроби в числителе, второй раз, в другой дроби, в знаменателе. Таким образом, произведение всех этих отношений окажется равным единице. Обратная теорема доказывается методом «от противного». Предполагается, что при выполнении условий теоремы 2 точки А1, В1, С1 не лежат на одной прямой. Тогда прямая А1В1 пересечет сторону АВ в точке С2, отличной от точки С1. При этом, в силу теоремы 1, для точек А1, В1, С2 будет выполняться то же отношение, что и для точек А1, В1, С1. Из этого следует, что точки С1 и С2 поделят отрезок AB в одинаковых отношениях. Тогда эти точки совпадут — получили противоречие. Рассмотрим примеры применения теоремы Менелая. Пример 1. Доказать, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины. Решение. Запишем полученное в теореме соотношение, Менелая для треугольника ABMb и прямой McM(C): AM c BM M bC 1. M c B MM b CA Первая дробь в этом произведении очевидно равна 1, а третья второе отношение равно 1 . Поэтому 2 2:1, что и требовалось доказать. Пример 2. Секущая пересекает продолжение стороны AC треугольника ABC в точке B1 так, что точка C является серединой отрезка AB1. Сторону AB эта секущая делит пополам. Найдите, в каком отношении она делит сторону BC? Решение. Запишем для треугольника и секущей произведение трех отношений из теоремы Менелая: AB1 CA1 BC1 1. B1C A1B C1 A Из условий задачи следует, что первое отношение равно единице, а третье 1 , 2 таким образом, второе отношение равно 2, т.е., секущая делит сторону BC в отношении 2:1. Следующий пример применения теоремы Менелая мы встретим, когда будем рассматривать доказательство теоремы Чевы. Теорема Чевы Большинство замечательных точек треугольника могут быть получены при помощи следующей процедуры. Пусть имеется некоторое правило, согласно которому мы сможем выбрать определенную точку A1, на стороне BC (или её продолжении) треугольника ABC (например, выберем середину этой стороны). Затем построим аналогичные точки B1, C1 на двух других сторонах треугольника (в нашем примере еще две середины сторон). Если правило выбора удачное, то прямые AA1, BB1, CC1 пересекутся в некоторой точке Z (выбор середин сторон в этом смысле, конечно, удачный, так как медианы треугольника пересекаются в одной точке). Хотелось бы иметь какой-нибудь общий метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет. Универсальное условие, «закрывшее» эту проблему, нашёл в 1678 г. итальянский инженер Джованни Чева. Определение. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах (или их продолжениях), называют чевианами, если они пересекаются в одной точке. Возможны два варианта расположения чевиан. В одном варианте точка пересечения — внутренняя, а концы чевиан лежат на сторонах треугольника. Во втором варианте точка пересечения внешняя, конец одного чевиана лежит на стороне, а у двух других чевиан концы лежат на продолжениях сторон (смотри чертежи). Теорема 3. (Прямая теорема Чевы) В произвольном треугольнике АВС на сторонах ВС, СА, АВ или их продолжениях взяты соответственно точки А1, В1, С1, такие, что прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в некоторой общей точке, тогда BA1 CB1 AC1 1 CA1 AB1 BC1 . Доказательство: известно несколько оригинальных доказательств теоремы Чевы, мы рассмотрим доказательство, основанное на двукратном применении теоремы Менелая. Запишем соотношение теоремы Менелая первый раз для треугольника ABB1 и секущей CC1 (точку пересечения чевиан обозначим Z): AC1 BZ B1C 1, C1B ZB1 CA а второй раз для треугольника B1BC и секущей AA1: B1Z BA1 CA 1. ZB A1C AB1 Перемножив два этих отношения, проведя необходимые сокращения получим соотношение, содержащееся в утверждении теоремы. Теорема 4. (Обратная теорема Чевы). Если для выбранных на сторонах треугольника ABC или их продолжениях точек A1, В1 и C1 выполняется условие Чевы: BA1 CB1 AC1 1 CA1 AB1 BC1 , то прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Доказательство этой теоремы проводится методом от противного, также, как доказательство теоремы Менелая. Рассмотрим примеры применения прямой и обратной теорем Чевы. Пример 3. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Решение. Рассмотрим соотношение AC1 BA1 CB1 C1B A1C B1 A для вершин треугольника и середин его сторон. Очевидно, что в каждой дроби в числителе и знаменателе стоят равные отрезки, поэтому все эти дроби равны единице. Следовательно, выполнено соотношение Чевы, поэтому, по обратной теореме, медианы пересекаются в одной точке. Задачи для самостоятельного решения Предлагаемые здесь задачи являются контрольной работой №1 для учащихся 9 классов. Решите эти задачи, запишите решения в отдельную (от физики и информатики) тетрадь. Укажите на обложке следующую информацию о себе: 1. Фамилия, имя, класс, профиль класса (например: Пупкин Василий,9 кл., математический) 2. Индекс, адрес места жительства, электронная почта (если есть), телефон (домашний или мобильный) 3. Данные о школе (например: МБОУ №1 п. Бикин) 4. Фамилия, И. О. учителя математики (например: учитель математики Петрова М.И.) Рекомендуется решить не менее четырех задач. М 9.1.1. Может ли секущая прямая из теоремы Менелая разрезать стороны треугольника (или их продолжения) на отрезки длиной: а) 3, 3, 5, 7,10, 14; в) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Если такие варианты возможны, приведите примеры. Отрезки могут идти в разном порядке. М 9.1.2. Могут ли внутренние чевианы треугольника делить его стороны на отрезки: а) 3, 3, 5, 7,10, 14; в) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Если такие варианты возможны, приведите примеры. Отрезки могут идти в разном порядке. Указание: придумывая примеры не забудьте проверить неваенство треугольника. М 9.1.3. Используя обратную теорему Чевы докажите, что: а) биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке; б) отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противоположных сторонах, в которых эти стороны касаются вписанной окружности, пересекаются в одной точке. Указания: а) вспомните, в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону; б) используйте свойство, что отрезки двух касательных, проведенные из одной точки к некоторой окружности, равны. М 9.1.4. Завершите доказательство теоремы Менелая, начатое в первой части статьи. М 9.1.5. Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, используя обратную теорему Чевы. М 9.1.6. Докажите теорему Симпсона: из произвольной точки M, взятой на описанной вокруг треугольника ABC окружности, на стороны или продолжения сторон треугольника опущены перпендикуляры, докажите, что основания этих перпендикуляров лежат на одной прямой. Указание: используйте обратную теорему Менелая. Попробуйте выразить длины отрезков, используемых в отношениях, через длины перпендикуляров, проведенных их точки M. Также полезно вспомнить свойства углов вписанного четырехугольника.
В курсе геометрии есть теоремы, которые изучаются в школе недостаточно подробно, но которые могут быть полезны для решения наиболее сложных задач ОГЭ и ЕГЭ. К ним относится, например, теорема Менелая. Традиционно она изучается в классах с углублённым изучением математики в 8-м классе, а в обычной программе (по учебнику Атанасяна) теорема Менелая включена в учебник 10-11 классов.
Между тем результат штудирования Интернет-ресурсов, упоминающих теорему Менелая, показывает, что обычно она формулируется неполно и потому неточно, а все случаи её использования, равно как и доказательство обратной теоремы не приводятся. Цель настоящей статьи — разобраться, что такое теорема Менелая, как и для чего она используется, а также поделиться методикой преподавания этой теоремы на индивидуальных занятиях репетитора с учениками.
Рассмотрим типовую задачу (Задание № 26, ОГЭ), встречающуюся на экзаменах во множестве вариантов, отличающихся только числами в условии.
Решение самой задачи несложное – ознакомиться с ним можно ниже. В настоящей же статье нас интересует главным образом немножко другой
момент, который зачастую опускается, понимается, как сам собой разумеющийся, как очевидный. Но очевидное — это то, что можно доказать. А доказать это можно различными способами,
— обычно доказывают исключительно с помощью подобия, — но можно и с помощью теоремы Менелая.
Из условия следует, что, так как углы при нижнем основании трапеции в сумме составляют 90°, то если продлить боковые
стороны, получится прямоугольный треугольник. Далее из получившейся точки пересечения продолжений боковых сторон проводят отрезок, который проходит через середины оснований.
А почему этот отрезок проходит через все эти три точки? Обычно об этом в решениях задачи, встречающихся в Интернете, не говорится ни слова. Отсутствует даже отсылка к теореме
о четырёх точках трапеции, не говоря уже о доказательстве этого утверждения. А между тем, оно может быть доказано с помощью теоремы Менелая, которая представляет собой условие
принадлежности трёх точек к одной прямой.
Формулировки теоремы Менелая
Настало время сформулировать теорему. Надо отметить, что в различных учебниках
и пособиях встречаются довольно-таки разные её формулировки, хотя суть остаётся неизменной.
В учебнике Атанасяна и др. за 10-11 классы приводится такая формулировка теоремы Менелая, назовём её «векторной»:
В учебнике «Геометрия 10-11 класс» Александрова и др., а также в учебном пособии этих же авторов
«Геометрия. 8 класс» приводится несколько иная формулировка теоремы Менелая, причём и для 10-11 классов и для 8 класса она одинаковая:
Здесь необходимо сделать три примечания.
Примечание 1. На экзаменах не бывает задач, которые необходимо решить только с помощью векторов, для которых и
используется именно «минус единица». Поэтому для практического использования наиболее удобна формулировка, представляющая, по сути, следствие из теоремы для отрезков (это вторая формулировка, выделенная жирными буквами). Ею и ограничимся
для дальнейшего изучения теоремы Менелая, поскольку наша цель научиться применять её для решения задач.
Примечание 2. Несмотря на то, что во всех учебниках чётко оговаривается и тот случай, когда все три точки A 1 , B 1 и C 1
могут лежать на продолжениях сторон треугольника (или на прямых, содержащих стороны треугольника), на нескольких репетиторских сайтах Интернета формулируется только тот случай, когда две
точки лежат на двух сторонах, а третья — на продолжении третьей стороны. Вряд ли это можно оправдать тем, что на экзаменах встречаются только задачи первого типа и не могут
встретиться задачи, когда все эти точки лежат на продолжениях трёх сторон.
Примечание 3. Обратная теорема, т.е. условие для того, чтобы три точки лежали на одной прямой, обычно
не рассматривается вовсе, а некоторые репетиторы даже советуют (???) заниматься только прямой теоремой, и не рассматривать обратную теорему. Между тем доказательство
обратного утверждения достаточно поучительно и позволяет доказывать утверждения, похожие на то, что приведено в решении задачи 1. Опыт доказательства обратной теоремы,
несомненно, даст ощутимую пользу ученику при решении задач.
Рисунки и закономерности
Для того, чтобы научить ученика видеть теорему Менелая в задачах и пользоваться ею при решениях важно обратить внимание на рисунки и закономерности в записи теоремы для конкретного случая. А поскольку сама теорема в «чистом» виде, т.е. без окружения другими отрезками, сторонами различных фигур в задачах обычно не встречается, то целесообразнее показывать теорему на конкретных задачах. А если и показывать рисунки в качестве объяснения, то делать их многовариантными. При этом выделять одним цветом (например, красным) прямую, которая образовывается тремя точками, а синим — отрезки треугольника, участвующие в записи теоремы Менелая. При этом те элементы, которые не участвуют, остаются чёрными:
На первый взгялд может показаться, что формулировка теоремы достаточно сложная и не всегда понятная; ведь в ней
участвуют три дроби. Действительно, если опыта у ученика недостаточно, то он легко может ошибиться в написании, и как следствие, неправильно решить задачу. И вот тут,
бывает, начинаются проблемы. Дело в том, что в учебниках обычно не акцентируется внимание на том, как «совершать обход» при написании теоремы. Ничего не говорится и о
закономерностях записи самой теоремы. Поэтому некоторые репетиторы даже рисуют различные стрелки, в каком порядке записывать формулу. И предлагают ученикам строго
следовать таким установкам. Отчасти это правильно, но куда важнее понять суть теоремы, чем чисто механически ее записывать, пользуясь «правилом обхода» и стрелками.
На самом деле, важно понять всего лишь логику «обхода», а она настолько точная, что ошибиться в написании
формулы невозможно. В обоих случаях a) и b) напишем формулу для треугольника AMC.
Для начала определяем для себя три точки — вершины треугольника. У нас это точки A, M, C. Затем определяем точки,
лежащие на пересекающей прямой (красной прямой), это — B, P, K. Начинаем «движение» с вершины треугольника, например, из точки C. Из этой точки «идём» к точке, которая образуется
пересечением, например, стороны AC и пересекающей прямой — у нас это точка K. Пишем в числитель первой дроби — СК. Дальше из точки K «идем» в оставшуюся точку на прямой AC — в точку A. В знаменатель
первой дроби пишем — KA. Так как точка A принадлежит ещё и прямой AM, то проделываем то же самое с отрезками на прямой AM. И тут опять, начинаем с вершины, далее «идём» в точку
на пересекающей прямой, после чего переходим в вершину M. «Очутившись» на прямой BC проделываем то же самое и с отрезками на этой прямой. Из M «идём» конечно же в B, после
чего возвращаемся в C. Этот «обход» можно совершать как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки. Важно только понять правило обхода — из вершины к точке на прямой,
и от точки на прямой — к другой вершине. Примерно так обычно и объясняют правило записи произведения дробей. В итоге получается:
Обратим внимание на то, что весь «обход» отражён в записи и для удобства показан стрелками.
Однако получившуюся запись можно получить не выполняя никакого «обхода». После того, как выписаны точки — вершины
треугольника (A, M, C
) и точки — лежащие на пересекающей прямой (B, P, K
), записывают ещё и тройки букв, обозначающих точки, лежащие на каждой из трёх прямых. В наших случаях, это I) B
, M
, C
;
II) A
, P
, M
и III) A
, C
, K
. После этого верную левую часть формулы можно написать даже не глядя на чертёж и в любом порядке. Нам достаточно из каждой тройки букв написать верные дроби, которые
подчиняются правилу — условно «средние» буквы — это точки пересекающей прямой (красные). Условно «крайние» буквы — это точки вершин треугольника (синие). При написании формулы таким способом надо следить
только за тем, чтобы любая «синяя» буква (вершина треугольника) попала бы по разу и в числитель и в знаменатель Например.
Этот метод бывает особенно полезен для случаев типа b), а также для самопроверки.
Теорема Менелая. Доказательства
Существует несколько различных способов доказательства теоремы Менелая. Иногда доказывают с помощью подобия треугольников, для
чего из точки M (как на данном чертеже) проводят отрезок, параллельный AC. Другие проводят дополнительную прямую, не параллельную пересекающей прямой, а потом прямыми, параллельными пересекающей
словно «проецируют» все нужные отрезки на эту прямую и с помощью обобщения теоремы Фалеса (т.е. теоремы о пропорциональных отрезках) выводят формулу. Однако, пожалуй, наиболее
простой способ доказательства получается, если из точки M провести прямую, параллельную пересекающей. Докажем теорему Менелая этим способом.
Дано: Треугольник ABC. Прямая PK пересекает стороны треугольника и продолжение стороны MC в точке B.
Доказать, что выполняется равенство:
Доказательство. Проведём луч MM 1 , параллельно BK. Запишем отношения, в которых участвуют отрезки, которые входят в
запись формулы теоремы Менелая. В одном случае рассмотрим прямые, пересекающиеся в точке A, а в другом случае, пересекающиеся в точке C.
Перемножим левые и правые части этих уравнений:
Теорема доказана.
Аналогично доказывается теорема и для случая b}.
Из точки C проведём отрезок CC 1 , параллельный прямой BK. Запишем отношения, в которых участвуют отрезки,
которые входят в запись формулы теоремы Менелая. В одном случае рассмотрим прямые, пересекающиеся в точке A, а в другом случае, пересекающиеся в точке M. Так как в теореме
Фалеса ничего не говорится о расположении отрезков на двух пересекающихся прямых, то отрезки могут располагаться и по разные стороны от точки M. Поэтому
Теорема доказана.
Теперь докажем обратную теорему.
Дано:
Доказать, что точки B, P, К лежат на одной прямой.
Доказательство. Пусть прямая BP пересекает AC в некоторой точке K 2 , не совпадаюшей с точкой K.
Так как BP — это прямая, содержащая точку K 2 , то для неё справедлива только что доказанная теорема Менелая. Значит,
для нее запишем
Однако только что мы доказали, что
Отсюда следует, что Точки K и K 2 совпадают, так как делят сторону AC в одном и том же отношении.
Для случая b) теорема доказывается аналогично.
Решение задач с помощью теоремы Менелая
Для начала вернёмся к Задаче 1 и решим её. Прочитаем ещё раз . Сделаем чертёж:
Дана трапеция ABCD. ST — средняя линия трапеции, т.е. одно из данных расстояний. Углы A и D в сумме составляют 90°.
Продлеваем боковые стороны AB и CD и на их пересечении получаем точку K. Соединим точку K с точкой N — серединой BC. Теперь докажем, что точка P, являющаяся серединой основания AD
также принадлежит прямой KN. Рассмотрим последовательно треугольники ABD и ACD. Две стороны каждого треугольника пересекает прямая KP. Предположим, прямая KN пересекает основание
AD в некоторой точке X. По теореме Менелая:
Так как треугольник AKD прямоугольный, то точка P, являющаяся серединой гипотенузы AD, равноудалена от A, D и K Аналогично точка N равноудалена от точек B, C и K.
Откуда одно основание равно 36, а другое равно 2.
Решение. Рассмотрим треугольник BCD. Его пересекает луч AX, где X — точка пересечения этого луча с
продолжением стороны BC. По теореме Менелая:
Подставив (1) во (2) получаем:
Решение. Обозначим буквами S 1 , S 2 , S 3 и S 4 площади соответственно
треугольников AOB, AOM, BOK и четырёхугольника MOKC.
Так как BM — медиана, то S ABM = S BMC .
Значит, S 1 + S 2 = S 3 + S 4 .
Так как надо найти отношение площадей S 1 и S 4 , поделим обе части уравнения на S 4:
Подставим эти значения в формулу (1):
Из треугольника BMC при секущей AK по теореме Менелая имеем:
Из треугольника AKC при секущей BM по теореме Менелая имеем:
Все нужные отношения выражены через k и теперь можно подставить их в выражение (2):
Решение этой задачи с помощью теоремы Менелая рассмотрено на странице .
Примечание репетитора по математике. Применение теоремы Менелая в этой задаче — это тот самый случай, когда этот метод позволяет существенно сэкономить время на экзамене. Эта задача предлагается в демоварианте вступительного экзамена в лицей при ВШЭ в 9-й класс (2019 г.).
© Репетитор по математике в Москве, Александр Анатольевич, 8-968-423-9589.
Решите самостоятельно
1) Задача попроще. На медиане BD треугольника ABC отмечена точка M так, что BM: MD = m: n.
Прямая AM пересекает сторону BC в точке K.
Найдите отношение BK: KC.
2) Задача посложнеее. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке P,
а диагональ BD — в точке T. Известно, что AB: AD = k (0 3) Задача № 26 ОГЭ. В треугольнике ABC
биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 36. Найдите стороны
треугольника ABC.
Подсказка репетитора по математике. В Интернете встречается решение такой задачи с помощью дополнительного построения и далее либо подобия,
либо нахождения площадей, и только после этого сторон треугольника. Т.е. оба этих способа требуют
дополнительного построения. Однако решение такой задачи с помощью свойства биссектрисы и теоремы
Менелая не требует никаких дополнительных построений. Оно гораздо проще и рациональнее.
ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ
Теорема Чевы
Большинство замечательных точек треугольника могут быть получены при помощи следующей процедуры. Пусть имеется некоторое правило, согласно которому мы сможем выбрать определенную точку A 1 , на стороне BC (или её продолжении) треугольника ABC (например, выберем середину этой стороны). Затем построим аналогичные точки B 1 , C 1 на двух других сторонах треугольника (в нашем примере еще две середины сторон). Если правило выбора удачное, то прямые AA 1 , BB 1 , CC 1 пересекутся в некоторой точке Z (выбор середин сторон в этом смысле, конечно, удачный, так как медианы треугольника пересекаются в одной точке).
Хотелось бы иметь какой-нибудь общий метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет.
Универсальное условие, «закрывшее» эту проблему, нашёл в 1678 г. итальянский инженер Джованни Чева .
Определение. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах (или их продолжениях), называют чевианами, если они пересекаются в одной точке.
Возможны два варианта расположения чевиан. В одном варианте точка
пересечения – внутренняя, а концы чевиан лежат на сторонах треугольника. Во втором варианте точка пересечения внешняя, конец одного чевиана лежит на стороне, а у двух других чевиан концы лежат на продолжениях сторон (смотри чертежи).
Теорема 3. (Прямая теорема Чевы) В произвольном треугольнике АВС на сторонах ВС, СА, АВ или их продолжениях взяты соответственно точки А 1 , В 1 , С 1 , такие, что прямые АА 1 , ВВ 1 , СС 1 пересекаются в некоторой общей точке, тогда
.
Доказательство: известно несколько оригинальных доказательств теоремы Чевы, мы рассмотрим доказательство, основанное на двукратном применении теоремы Менелая. Запишем соотношение теоремы Менелая первый раз для треугольника ABB 1 и секущей CC 1 (точку пересечения чевиан обозначим Z ):
,
а второй раз для треугольника B 1 BC и секущей AA 1 :
.
Перемножив два этих отношения, проведя необходимые сокращения получим соотношение, содержащееся в утверждении теоремы.
Теорема 4. (Обратная теорема Чевы) . Если для выбранных на сторонах треугольника ABC или их продолжениях точек A 1 , В 1 и C 1 выполняется условие Чевы:
,
то прямые AA 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке .
Доказательство этой теоремы проводится методом от противного, также, как доказательство теоремы Менелая.
Рассмотрим примеры применения прямой и обратной теорем Чевы.
Пример 3. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Решение. Рассмотрим соотношение
для вершин треугольника и середин его сторон. Очевидно, что в каждой дроби в числителе и знаменателе стоят равные отрезки, поэтому все эти дроби равны единице. Следовательно, выполнено соотношение Чевы, поэтому, по обратной теореме, медианы пересекаются в одной точке.
Теорема (теорема Чевы) . Пусть точки лежат на сторонах и треугольника соответственно. Пусть отрезки и пересекаются в одной точке. Тогда
(обходим треугольник по часовой стрелке).
Доказательство. Обозначим через точку пересечения отрезков и . Опустим из точек и перпендикуляры на прямую до пересечения с ней в точках и соответственно (см. рисунок).
Поскольку треугольники и имеют общую сторону , то их площади относятся как высоты, проведенные на эту сторону, т.е. и :
Последнее равенство справедливо, так как прямоугольные треугольники и подобны по острому углу.
Аналогично получаем
и
Перемножим эти три равенства:
что и требовалось доказать.
Про медианы:
1. Разместим в вершинах треугольника ABC единичные массы.
2. Центр масс точек A и B находится посередине AB. Центр масс всей системы должен находиться на медиане к стороне AB, так как центр масс треугольника ABC — это центр масса центра масс точек A и B, и точки C.
(запутанно получилось)
3. Аналогично — ЦМ должен лежать на медиане к сторонам AC и BC
4. Так как ЦМ — единственная точка, то, следовательно все эти три медианы должны пересекаться в ней.
Кстати, сразу же следует, что пересечением они делятся в отношении 2:1. Так как масса центра масс точек A и B равна 2, а масса точки C равна 1, следовательно, общий центр масс согласно теореме о пропорции будет делить медиану в отношении 2/1.
Спасибо большое, доступно изложено, думаю, будет не лишним представить док-во и при помощи методов геометрии масс, например:
Прямые AA1 и CC1 пересекаются в точке O; AC1: C1B = p и BA1: A1C = q. Нужно доказать, что прямая BB1 проходит через точку O тогда и только тогда, когда CB1: B1A = 1: pq.
Поместим в точки A, B и C массы 1, p и pq соответственно. Тогда точка C1 является центром масс точек A и B, а точка A1 — центром масс точек B и C. Поэтому центр масс точек A, B и C с данными массами является точкой O пересечения прямых CC1 и AA1. С другой стороны, точка O лежит на отрезке, соединяющем точку B с центром масс точек A и C. Если B1 — центр масс точек A и C с массами 1 и pq, то AB1: B1C = pq: 1. Остается заметить, что на отрезке AC существует единственная точка, делящая его в данном отношении AB1: B1C.
2. Теорема Чевы
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой . Таким образом, если в треугольнике ABC X , Y и Z — точки, лежащие на сторонах BC , CA , AB соответственно, то отрезки AX , BY , CZ являются чевианами. Этот термин происходит от имени итальянского математика Джованни Чевы, который в 1678 году опубликовал следующую очень полезную теорему:
Теорема 1.21. Если три чевианы AX, BY, CZ (по одной из каждой вершины) треугольника ABC конкурентны, то
|BX| |XC| · |CY| |YA| · |AZ| |ZB| =1 .
Когда мы говорим, что три прямые (или отрезка) конкурентны , то мы имеем в виду, что все они проходят через одну точку, которую обозначим через P . Для доказательства теоремы Чевы вспомним, что площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников. Ссылаясь на рисунок 3, мы имеем:
|BX| |XC| = SABX SAXC = SPBX SPXC = SABX− SPBX SAXC− SPXC = SABP SCAP .
Аналогично,
|CY| |YA| = SBCP SABP , |AZ| |ZB| = SCAP SBCP .
Теперь, если мы перемножим их, то получим
|BX| |XC| · |CY| |YA| · |AZ| |ZB| = SABP SCAP · SBCP SABP · SCAP SBCP =1 .
Теорема, обратная к этой теореме, также верна:
Теорема 1.22. Если три чевианы AX, BY, CZ удовлетворяют соотношению
|BX| |XC| · |CY| |YA| · |AZ| |ZB| =1 ,
то они конкурентны .
Чтобы это показать, предположим, что две первые чевианы пересекаются в точке P , как и прежде, а третья чевиана, проходящая через точку P , будет CZ′ . Тогда, по теореме 1.21,
|BX| |XC| · |CY| |YA| · |AZ′| |Z′B| =1 .
Но по предположению
|BX| |XC| · |CY| |YA| · |AZ| |ZB| =1 .
Следовательно,
|AZ| |ZB| = |AZ′| |Z′B| ,
точка Z′ совпадает с точкой Z , и мы доказали, что отрезки AX , BY и CZ конкурентны (, стр. 54 и , стр, 48, 317).
Класс: 9
Цели урока:
- обобщить, расширить и систематизировать знания и умения учащихся; научить использовать знания при решении сложных задач;
- способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении задач;
- развивать логическое мышление и математическую речь учащихся, умение анализировать, сравнивать и обобщать;
- воспитывать у учащихся уверенность в себе, трудолюбие; умение работать в коллективе.
Задачи урока:
- Образовательная: повторить теоремы Менелая и Чевы; применить их при решении задач.
- Развивающая: учить выдвигать гипотезу и умело доказательно отстаивать свое мнение; проверить умение обобщать и систематизировать свои знания.
- Воспитательная: повысить интерес к предмету и подготовить к решению более сложных задач.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Оборудование: карточки для коллективной работы на уроке по данной теме, индивидуальные карточки для самостоятельной работы, компьютер, мультимедийный проектор, экран.
Ход урока
I этап. Организационный момент (1 мин.)
Учитель сообщает тему и цель урока.
II этап. Актуализация опорных знаний и умений (10 мин.)
Учитель: На уроке вспомним теоремы Менелая и Чевы для того, чтобы успешно перейти к решению задач. Давайте вместе с вами посмотрим на экран, где представлен. Для какой теоремы дан этот рисунок? (теорема Менелая). Постарайтесь четко сформулировать теорему.
Рисунок 1
Пусть точка A 1 лежит на стороне BC треугольника АВС, точка C 1 – на стороне AB, точка B 1 – на продолжении стороны АС за точку С. Точки A 1 , B 1 и C 1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство
Учитель: Давайте вместе рассмотрим следующий рисунок. Сформулируйте теорему для этого рисунка.
Рисунок 2
Прямая AD пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ВМС.
По теореме Менелая
Прямая МВ пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника АDС.
По теореме Менелая
Учитель: Какой теореме соответствует рисунок? (теорема Чевы). Сформулируйте теорему.
Рисунок 3
Пусть в треугольнике АВС точка A 1 лежит на стороне ВС, точка B 1 – на стороне АС, точка C 1 – на стороне АВ. Отрезки AA 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство
III этап. Решение задач. (22 мин.)
Класс разбивается на 3 команды, каждая получает карточку с двумя различными задачами. Дается время на решение, затем на экране появляются . По готовым чертежам к задачам представители команд поочередно объясняют свое решение. После каждого объяснения следует обсуждение, ответы на вопросы и проверка правильности решения на экране. В обсуждении принимают участие все члены команд. Чем активнее команда, тем выше она оценивается при подведении итогов.
Карточка 1.
1. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение
2. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Решение 1
Рисунок 4
По условию задачи МА = АС, NC = 3BN. ПустьMA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Прямая MNпересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей.
По теореме Менелая
Ответ:
Доказательство 2
Рисунок 5
Пусть AM 1 , BM 2 , СM 3 – медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что
Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки AM 1 , BM 2 и СM 3 пересекаются в одной точке.
Имеем:
Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Карточка 2.
1. На стороне PQтреугольника PQR взята точка N, а на стороне PR – точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении m:n, считая от точки Q. Найдите
2. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Решение 1
Рисунок 6
По условию NQ = LR, ПустьNA = LR =a, QF = km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей.
По теореме Менелая
Ответ:
Доказательство 2
Рисунок 7
Покажем, что
Тогда по теореме Чевы (обратной) AL 1 , BL 2 , CL 3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника
Перемножая почленно полученные равенства, получаем
Для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке.
Карточка 3.
1. В треугольнике АВС AD – медиана, точка O – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А?
2. Докажите, если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке.
Решение 1
Рисунок 8
Пусть BD = DC = a, AO = OD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC.
По теореме Менелая
Ответ:
Доказательство 2
Рисунок 9
Пусть A 1 , B 1 и C 1 – точки касания вписанной окружности треугольника АВС. Для того чтобы доказать, что отрезки AA 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:
Используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.
Равенство Чевы выполняется, значит, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
IV этап. Решение задач (самостоятельная работа) (8 мин.)
Учитель: Работа команд закончена и сейчас приступим к самостоятельной работе по индивидуальным карточкам для 2-х вариантов.
Материалы к уроку для самостоятельной работы учащихся
Вариант 1. В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка К, делящая эту сторону в отношении АК:BK = 2:3, а на стороне АС – точка L, делящая АС в отношении AL:LC = 5:3. Точка Qпересечения прямых СК и BL удалена от прямой AB на расстоянии . Найдите длину стороны АВ. (Ответ: 4.)
Вариант 2. На стороне АС в треугольнике АВС взята точка К. АК = 1, КС = 3. На стороне АВ взята точка L. AL:LВ = 2:3, Q – точка пересечения прямых ВК и СL. Найдите длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины В. (Ответ: 1,5.)
Работы сдаются учителю для проверки.
V этап. Итог урока (2 мин.)
Анализируются допущенные ошибки, отмечаются оригинальные ответы и замечания. Подводятся итоги работы каждой команды и выставляются оценки.
VI этап. Домашнее задание (1 мин.)
Домашнее задание составлено из задач №11, 12 стр. 289-290, №10 стр. 301 .
Заключительное слово учителя (1 мин).
Сегодня вы услышали со стороны математическую речь друг друга и оценили свои возможности. В дальнейшем, будем применять такие обсуждения для большего понимания предмета. Аргументы на уроке дружили с фактами, а теория с практикой. Вам всем спасибо.
Литература:
- Ткачук В.В. Математика абитуриенту. – М.: МЦНМО, 2005.
Карло Борромео — Католический Святой
Австрия
Карлскирхе — церковь в Вене
Св. Карла Борромеуса — церковь на центральном кладбище в Вене
Карлскирхе — церковь в Хоэнемсе
Св. Карла Борромеуса — церковь в Бад-Гроспертольце
Карлскирхе — церковь в Фольдерсе
Св. Карла Борромеуса — домовая церковь гериатрического центра в Вене — Хитцинге
Бельгия
Каролус Борромеускерк — церковь в Антверпене
Белоруссия
Костёл Св. Карло Борромео в Пинске
Бразилия
Сан-Карлос-Борромеу — церковь в Порту-Алегри
Венгрия
Борромей сент Кароли — церковь в области Ваш в Наджиракосе
Германия
Св. Карла Борромеуса — церковь в Штадтлоне
Св. Карла Борромеуса — церковь в Мюнхене — Форстенриде
Св. Карла Борромеуса — часовня в Бад-Брайзиге — Рейнеке
Испания
Св. Карлес Борромеу — церковь в Барселоне — Грасия
Св. Карлес Борромеу — церковь в Валенсии — Эль Пилар
Италия
Сан-Карло-алле-Куаттро-Фонтане — церковь в Риме
Сан-Карло-аи-Катинари — церковь в Риме
Сан-Карло-аль-Корсо — церковь в Риме
Сан-Карло-аль-Корсо — церковь в Милане
Сан-Карло-аль-Корсо — церковь в Ното на Сицилии
Сан-Карло-Борромео — церковь в Турине
Сан-Карло — церковь в Брешии
Санти-Карло-е-Анна — церковь в Кастеллаццо-Бормида
Сан-Карло — церковь в Поньяно
Сан-Карло-Борромео — церковь в Ренде
Сан-Карло-Борромео — церковь в Дезенцано-дель-Гарда — Ваккароло
Сан-Карло — церковь в Чева
Канада
Сен-Шарль-Борроме — церковь в Шарльбуре — районе Квебека
Сен-Шарль-Борроме — церковь в Дешамбо-Грондин в провинции Квебек
Сен-Шарль-Борроме — собор в Жольете
Польша
Костёл Св. Карло Борромео в Варшаве-Мирове
Костёл Св. Карло Борромео в Варшаве-Повонзках
Костёл Св. Карло Борромео во Вроцлаве
Костёл Св. Карло Борромео в Жирардуве
Сенегал
Сен-Шарль-Борроме — церковь на острове Горе
Соединённые Штаты Америки
Сан-Карлос-Борромео — собор в Монтерее
Сент-Чарльз-Борромео — церковь в Блумингтоне
Св. Чарльза Борромео — церковь в Лос-Анджелесе — Северный Голливуд
Уругвай
Сан-Карлос-Борромео — церковь в Сан-Карлосе
Франция
Сен-Шарль — церковь в Сен-Шарль-де-Перси
Чехия
Костёл Св. Карла Боромейскего в Праге на Малой Стране
Костёл Св. Карла Боромейскего в Варнсдорфе
Часовня Св. Карла Боромейскего в Праге в Карлине
Швейцария
Сан-Карло-Борромео — церковь в Брусио.
Филиппины
Католическая епархия Сан-Карлоса
Поиск
- Где угодно
Поиск Поиск
Расширенный поиск- Войти | регистр
- Подписка / продление
- Учреждения
- Индивидуальные подписки
- Индивидуальные продления
- Библиотекари
- Тарифы, заказы и платежи
- Пакет Чикаго
- Полный цикл и охват содержимого
- Файлы KBART и RSS-каналы
- Разрешения и перепечатки
- Инициатива развивающихся стран Чикаго
- Даты отправки и претензии
- Часто задаваемые вопросы библиотекарей
- Агенты
- Тарифы, заказы, и платежи
- Полный пакет Chicago
- Полный охват и содержание
- Даты отправки и претензии
- Часто задаваемые вопросы агента
- Партнеры по издательству
- О нас
- Публикуйте с нами
- Недавно приобретенные журналы
- Издательская часть tners
- Новости прессы
- Подпишитесь на уведомления eTOC
- Пресс-релизы
- Медиа
- Книги издательства Чикагского университета
- Распределительный центр в Чикаго
- Чикагский университет
- Положения и условия
- Заявление о публикационной этике
- Уведомление о конфиденциальности
- Доступность Chicago Journals
- Доступность университета
- Следуйте за нами на facebook
- Следуйте за нами в Twitter
- Свяжитесь с нами
- Медиа и рекламные запросы
- Открытый доступ в Чикаго
- Следуйте за нами на facebook
- Следуйте за нами в Twitter
Список пассажиров корабля Hoedic, прибывшего 2 сентября 1927 года в Аргентину
АКОСТА ФЕРНАНДЕС, КАРМЕН родилась в ФРИГИЛИАНА в возрасте 4
АКОСТА ФЕРНАНДЕС, СЕБАСТЬЯН родился в г. ФРИГИЛИАНА в возрасте 32
АКОСТА ФЕРНАНЕД, АНТОНИО родился в г. ФРИГИЛИАНА в возрасте 1
АИЗАР, МАНУЭЛ родился в (Неизвестно) в возрасте 25
АЛЕМ РОДРИГЕС, АУРЕЛИЯ родилась в САНЧИПРИАНО в возрасте 22
АЛЕН ПЕРЕЗ, АГРИПИНА родилась в SAN CIPRIAN в возрасте 24
АЛОНСО ОТЕРО, ПЕДРО АНГЕЛ, родившийся в ПЕТЕЛОС в возрасте 35
АЛЬВАРЕС БУЛЛЕСА, ЭУДЖЕНИО родился в г. PUENTE CANDELAS выдержанные 16
АЛЬВАРЕС ДОМИНГЕС, ЛИВЕРИО родился в г. МОНТЕРЕДОНДО в возрасте 22
АЛЬВАРЕС ГОМЕС, МАНУЭЛЬ, род. КАМПО в возрасте 16
АМАРО, ХОЗЕ родился в VALE DAS AGUAS в возрасте 31
АНТУНЕС, ФРАНЦИСКО, родившийся в РАПУЛА в возрасте 23
АУГУСТО ВАЛЕНТ, ХОЗЕ родился в г. РУВИНА в возрасте 37
БАН БАРРЕЙРО, МАРИЯ ДОЛОРЕС родилась в в возрасте 10
БАН РЕГЕЙРО, АНТОНИО родился в (Неизвестно) в возрасте 52
БАНДИЕРИ, АМАДИО родился в CATELDO в возрасте 56
БАО БАРРЕЙРО, МАРИЯ родилась в в возрасте 18
БАРБЕ, ЖАК родился в г. ANVERS в возрасте 5
БЕНДЫК, HNNAT родился в г. HOLOWICE в возрасте 36
БЛУМОВИЧ, ИСЕР родился в г. ЛОМЗА в возрасте 26
БРОМБЕРГ, ЙОЙН родился в г. ОСТРОДКА в возрасте 31
БВЕНЕВРЕЛЧИЧ, ЛАЗАРЬ родился в ZEPN в возрасте 45
КАНДА ФЕРНАНДЕС, ХОЗЕ МАНУЭЛЬ, родившийся в ВИГО в возрасте 25
КАРДО ФРЕЙД, ЭДУАРДО родился в КОНДАС в возрасте 20
КАСТИЛЬО МУОС, БЕРНАРДО родился в АЛКОЛЕЯ в возрасте 20
КАСТИЛЬО МУОС, ФРАНЦИСКО родился в АЛКОЛЕЯ в возрасте 5
КАСТИЛЬО МУОС, МАРИЯ родилась в АЛКОЛЕЯ в возрасте 15
КАСТИЛЬО МУОС, МИГЕЛЬ родился в г. АЛКОЛЕЯ в возрасте 18
КАСТИЛЬО МУОС, РОЗА, родившаяся в АЛКОЛЕЯ в возрасте 3
КАТИНЬОЛА, ДЖОВАННИ, родившаяся в FREGIANO в возрасте 25
ЧЕМБРАНОС ЛУДИВИНА, ВАЛЬВЕРДЕ, род. МАДЕЙРА в возрасте 56
ДЕ ЖУАН ГОЙКОЧЕ, КАРЛОС родился в г. GUIPUZCOA в возрасте 6
ДЕ СЕНТ ДЕННИС БЕРНАР родился в (Неизвестно) в возрасте 21
ЭПСЗТЕЙН, ЧАЙМ родился в ПОДЛЕЦИК в возрасте 23
ЭПСЗТЕЙН, МЕНДЕЛЬ, родившийся в ПОДЛЕЦИК в возрасте 21
ЭПСЗТЕЙН, ЗЛАТА родилась в ПОДЛЕЦИК в возрасте 15
ФЕРНАНДЕС ПЕРАЛЕС, ИЗАБЕЛЬ родилась в АЛКОЛЕЯ в возрасте 35
ГОЛЬДБЕРГ, ДЖОН, родившийся в г. ТЕРЕСПОЛ выдержанный 29
ГУТЬЕРРЕС ЛЕОПОЛЬДО родился в г. TRUJILLO в возрасте 29
ХЕРНАНДЕС ЛОПЕС, РЕЙС родился в г. HORCAJADA в возрасте 10
ЯКИНОВ, АНТОНИ родился в CSERNIOV в возрасте 22
ЙОВАНОВИЧ, ЗИВАКЛИН родился в г. BAUCAREW в возрасте 40
KNAF, MICHAL родился в ЛАНИ в возрасте 23
КОПЕЛОВИЧ, РОЗА, родившаяся в г. ДЖИБОКИ в возрасте 39
KORNWORCEL, ITA BAILA родился в TOMASZOW в возрасте 31
КРУЧКО, СТЕФАН родился в г. WIELKI в возрасте 25
КУЧАР АНДРЗЕЙ родился в г. HOLOWICE в возрасте 27
КУРАНТ, ИЧОК родился в г. ВАРСОВИЯ в возрасте 2
ЛЕХТ, ЯКОБ родился в ГАНСИНК в возрасте 39
МАХОРОС МИХАЛ родился в ЗЛИБЕЗЕ в возрасте 32
МАНДЕЛЬБАУМ, МЕНДЕЛЬ, родившийся в БИЛГОВИЧ в возрасте 20
МАНКОВСКИЙ ЯНЬ родился в г. DIEZNAW в возрасте 28
МАНТИНЕС МЕНДЕС, ФРАНЦИСКО родился в г. АСТАС в возрасте 23
МЕНДЕС ФЕРНАНДЕС, ИИСУС родился в МОХИАС в возрасте 18
МЕНДЕС ФЕРНАНДЕС, ХОЗЕ родился в г. КАСТИНЕЙРА в возрасте 15
МОУР КАСТРО, АДОЛЬФО, родившийся в ORENSE в возрасте 18
НОВОССАД, КАЛЕНИК родился в г. БРАШЕВИЧ в возрасте 35
ПАРАНКА, БЕНДЫК родился в г. ХОЛДОВИС в возрасте 29
ПАТО ФЕРНАНДЕС, АНТОНИО родился в г. ORENSE в возрасте 27
ПЕРЕС СЕАНЕ, МАНУЭЛА, род. ORENSE в возрасте 25
PRAA SUAREZ, JOSE MANUEL родился в г. FONTE в возрасте 18
РОДРИГЕС ФЕРНАНДЕС, БАЛЬБИНО родился в г. ВИЛЛАРДЕБАКАС в возрасте 18
РОДРИГЕС СЕЙХО, АРГИМИРО родился в LAS в возрасте 25
РОТТЕМБЕРГ, РЕЙЧЕЛА, родившаяся в г. КРНСЗНИКА в возрасте 26
РУДЕЦКИ АНТОНИН родился в г. ПИСЕК в возрасте 22
РЫПИКС, НИКАНДЕР родился в г. ОЧЕНЬ в возрасте 36
САЛЬГАДО СУАРЕС, АНДРЕС родился в г. КАРБАЛЛИНО в возрасте 30
СЕЙДЖО АЛЕМ, ФЕЛИСИЯ, родившаяся в САНЧИПРИАНО в возрасте 25
ШВИДЗИНСКИЙ КОНСТАНТИН родился в г. ЧОДОКИ в возрасте 35
ШВИДЗИНСКИЙ ЕЛЕНА, родившаяся в г. ВОЛИН в возрасте 26
ШВИДЗИНСКИЙ ГЕНРИК родился в г. ВОЛИН в возрасте 3
СВИДЗИНСКИЙ РОМУАЛЬДА родился в г. (Неизвестно) в возрасте 5
САФРАН, СТЕФАН, родившийся в г. ВОЛА в возрасте 23
ЗАФРАТОВИЧ ФРАНЧИШЕК родился в г. БОРИОЗЕВКА в возрасте 23
ТАБОАДА ПЕРЕЗ, ЭЛЬВИРА родилась в КАРБАЛЛИНО в возрасте 26
ТОМ МОСКЕРА, МАРИЯ родилась в (Неизвестно) в возрасте 15
ТРАММЕР МАКС родился в г. ФЕРНИЦ в возрасте 28
ТУПЫЧКА, ВАСИЛЬ, род. ДОБРОТВОС в возрасте 38
УРДИАЛЕС РОДРИГЕС, ДОЛОРЕС, родившаяся в ФРИГИЛИАНА в возрасте 24
ВИТОРГАН, БАС ЧЕВА, род. ОДЕССА в возрасте 18
ВИТОРГАН, МОЛКА родился в г. ОДЕССА в возрасте 47
ВИТОРГАН ЦИССЕЛЬ родился в г. ОДЕССА в возрасте 14
ВИЛЕЙКИС, КАЗИМИЕРА, родившаяся в LIDA в возрасте 37
ЗИЛИНСКИЙ ИОЗЕФ родился в г. ТАРНОПОЛЬ в возрасте 19
Информация о Луисе Монти: аргентинский и итальянский футболист (1901 — 1983)
Луис Фелипе Монти (15 мая 1901 — 9 сентября 1983) был итальянским аргентинским футболистом, который играл на позициях полузащитника и олимпийца.Монти отличился тем, что сыграл в двух финальных матчах чемпионата мира по футболу с двумя разными национальными сборными. Он сыграл первый из этих финалов со своей родной Аргентиной в 1930 году, который был проигран Уругваем; и второй с Италией как одним из их Oriundi в 1934 году, благодаря его романьольскому происхождению. Во второй раз Монти был на стороне победителя в победе над Чехословакией со счетом 2: 1.
Монти был сильным, физическим и безжалостным игроком, но обладал техническими навыками, чтобы сочетаться с его выносливостью и сильным отбором мяча.Он играл в качестве атакующего центрального полузащитника по старомодной системе Metodo : позиция примерно эквивалентна сегодняшней позиции центрального полузащитника в обороне. Таким образом, он будет отмечать центрального нападающего соперника, когда его команда защищается, но будет основным плеймейкером полузащиты, когда его команда будет в атаке, из-за его паса и креативности, которые позволили ему начать атакующую игру после отыгрывания мяча. Его прозвали двойным анчо (двойной шириной) из-за его покрытия поля.
Карьера
Аргентина
Монти в 1925 году во время игры в Сан-Лоренцо.Монти начал свою карьеру в 1921 году в Уракане, где он выиграл первый из своих многочисленных чемпионатов. В следующем году он подписал контракт с «Бока Хуниорс», но ушел, не сыграв ни одной игры. Он перешел в Сан-Лоренцо, где выиграл еще три чемпионата Аргентины. Все награды Монти в Аргентине были записаны в любительскую эру.
Монти впервые был призван представлять сборную Аргентины в 1924 году.Он выиграл чемпионат Южной Америки 1927 года и серебряную медаль на летних Олимпийских играх 1928 года. С Монти в качестве ключевого игрока Аргентина отправилась в финал чемпионата мира в 1930 году, победив Францию, Мексику, Чили и США. Монти по ходу забил два мяча и своим отбором травмировал соперника. Некоторые источники предполагают, что Монти получил травму, но что бы то ни было, несмотря на угрозу смерти, он провел тихую игру, когда Уругвай одержал победу со счетом 4–2.
Италия
В 1931 году Монти был подписан итальянским клубом «Ювентус», так как имел итальянское гражданство.Поскольку у него был избыточный вес и он был в плохой форме, у него был месяц одиночных тренировок. Монти вернулся в отличную форму, помогая «Ювентусу» завоевать четыре титула подряд в Серии А (с 1932 по 1935 год), а также выступал в качестве капитана клуба. Монти провел 225 матчей и забил 19 голов в Италии.
Через год его также призвали играть за сборную Италии под именем oriundo . Хозяева Италия выиграла свой путь к финалу чемпионата мира 1934 года и победила Чехословакию со счетом 2: 1.
Битва при Хайбери
Битва при Хайбери — это матч, который состоялся между Италией и Англией 14 ноября 1934 года на Хайбери, домашнем стадионе «Арсенала».Монти играл центральную половину за сборную Италии, но уже на второй минуте сломал кость в ноге после столкновения с центральным нападающим сборной Англии Тедом Дрейком. До 10 человек за несколько дней до замены Италия уступила 2–3. Монти оставалось только дважды сыграть за Италию.
Всего Монти выиграл 16 матчей (5 голов) за Аргентину с 1924 по 1931 год и 18 матчей (1 гол) за Италию с 1932 по 1936 год.
После футбола
Монти стал менеджером после выхода на пенсию. Он умер в 1983 году в возрасте 82 лет.
Международные голы
| # | Дата | Заведение | Соперник | Оценка | Результат | Конкуренция |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1. | 31 августа 1924 года | Estadio Centenario, Монтевидео, Уругвай | Уругвай | 3 –0 | 3–2 | Дружелюбие |
| 2. | 13 июня 1928 года | Олимпийский стадион, Амстердам, Нидерланды | Уругвай | 1 –1 | 1-2 | Летние Олимпийские игры 1928 г. |
| 3. | 15 июля 1930 | Estadio Centenario, Монтевидео, Уругвай | Франция | 1 –0 | 1–0 | Чемпионат мира по футболу 1930 г. |
| 4. | 26 июля 1930 | Estadio Centenario, Монтевидео, Уругвай | США | 1 –0 | 6–1 | Чемпионат мира по футболу 1930 г. |
| 5. | 4 июля 1931 года | Estadio Sportivo Barracas, Буэнос-Айрес, Аргентина | Парагвай | 1 –1 | 1–1 | Copa Rosa Cheva |
Награды
Игрок
Клуб
- Huracán
- Аргентинское Primera División (1): 1921
- San Lorenzo
- Аргентинское Primera División (3): 1923, 1924, 1927
- 9047ie ): 1931–32, 1932–33, 1933–34, 1934–35
Международный
- Сборная Аргентины
- Чемпионат Южной Америки (1): 1927
- Серебряная медаль на летних Олимпийских играх (1): 1928 Амстердам
- Сборная Италии
Индивидуальная гонка
- Матч всех звезд чемпионата мира по футболу (2): 1930, 1934
Менеджер
Клуб
Ювентус
- Coppa Italia (1): 1941–42
Теорема изменила приложение.Теоремы Чевы и Менделая. Зачем все это нужно
Класс: 9
Задачи урока:
- обобщать, расширять и систематизировать знания и умения студентов; научить использовать знания при решении сложных задач;
- способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении задач;
- развивают логическое мышление и математическую речь учащихся, умение анализировать, сравнивать и обобщать;
- воспитывать у студентов уверенность в себе, трудолюбие; умение работать в команде.
Задачи урока:
- Воспитательные: повторить теоремы Менелая и Чевы; применяйте их при решении проблем.
- Развивающие: учат выдвигать гипотезы и умело отстаивать свое мнение доказательствами; проверьте умение обобщать и систематизировать свои знания.
- Образовательные: повысить интерес к предмету и подготовить к решению более сложных задач.
Тип урока: урок по обобщению и систематизации знаний.
Оборудование: карточек для коллективной работы на уроке по данной теме, индивидуальные карточки для самостоятельной работы, компьютер, мультимедийный проектор, экран.
На занятиях
Этап I. Организационный момент (1 мин.)
Учитель разъясняет тему и цель урока.
II этап. Обновление базовых знаний и навыков (10 мин.)
Учитель: На уроке мы вспоминаем теоремы Менелая и Чевы, чтобы успешно переходить к решению задач.Давайте вместе с вами посмотрим на экран. Для какой теоремы дана эта цифра? (Теорема Менелая). Постарайтесь четко сформулировать теорему.
Рисунок 1
Пусть точка A 1 лежит на стороне BC треугольника ABC, точка C 1 — на стороне AB, точка B 1 — на продолжении стороны AC за точку C. Точки A 1, B 1 и C 1 лежат на одной прямой, если и только если равенство
Учитель: Давайте вместе посмотрим на следующий рисунок. Сформулируйте теорему для этого рисунка.
Рисунок 2
Линия AD пересекает две стороны и является продолжением третьей стороны треугольника BMC.
По теореме Менелая
Линия MB пересекает две стороны и является продолжением третьей стороны треугольника ADC.
По теореме Менелая
Учитель: Какой теореме соответствует цифра? (Теорема Чевы). Сформулируйте теорему.
Рисунок 3
Пусть в треугольнике ABC точка A 1 лежит на стороне BC, точка B 1 — на стороне AC, точка C 1 — на стороне AB.Отрезки AA 1, BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство
III этап. Решение проблем. (22 мин.)
Класс делится на 3 команды, каждая из которых получает карточку с двумя разными задачами. Дается время на решение, затем на экране отображается … По готовым чертежам задач представители команд поочередно объясняют свое решение. За каждым объяснением следует обсуждение, ответы на вопросы и проверка правильного решения на экране.В обсуждении принимают участие все члены команды. Чем активнее команда, тем выше ее оценивают при подведении итогов.
Карточка 1.
1. В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны AC за точку A берется точка M так, что MA = AC. Прямая MN пересекает сторону AB в точке F. Найдите отношение
.2. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Решение 1
Рисунок 4
По условию задачи MA = AC, NC = 3BN.Пусть MA = AC = b, BN = k, NC = 3k. Прямая MN пересекает две стороны треугольника ABC и продолжение третьей.
По теореме Менелая
Ответ:
Проба 2
Рисунок 5
Пусть AM 1, BM 2, CM 3 — медианы треугольника ABC. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что
Тогда по (обратной) теореме Чевы отрезки AM 1, BM 2 и CM 3 пересекаются в одной точке.
У нас:
Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Карточка 2.
1. На стороне PQ треугольника PQR берется точка N, а на стороне PR — точка L, и NQ = LR. Пересечение отрезков QL и NR делит QL в соотношении m: n, считая от точки Q. Найдите
2. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Решение 1
Рисунок 6
По условию NQ = LR, Пусть NA = LR = a, QF = km, LF = kn.Линия NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей.
По теореме Менелая
Ответ:
Проба 2
Рисунок 7
Покажем, что
Тогда по (обратной) теореме Шевы AL 1, BL 2, CL 3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника
Почленно умножая полученные равенства, получаем
Для биссектрис треугольника выполняется равенство Чевы, следовательно, они пересекаются в одной точке.
Карточка 3.
1. В треугольнике ABC AD — это медиана, точка O — это середина медианы. Прямой BO пересекает сторону AC в точке K. В каком соотношении точка K делит AC, считая от точки A?
2. Докажите, что если окружность вписана в треугольник, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке.
Решение 1
Рисунок 8
Пусть BD = DC = a, AO = OD = m.Линия BK пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника АЦП.
По теореме Менелая
Ответ:
Проба 2
Рисунок 9
Пусть A 1, B 1 и C 1 — точки касания вписанной окружности треугольника ABC. Чтобы доказать, что отрезки AA 1, BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:
Используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.
Равенство Чевы выполняется, что означает, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
IV этап. Решение задач (самостоятельная работа) (8 мин.)
Учитель: Работа команд окончена и теперь мы приступим к самостоятельной работе над индивидуальными карточками по 2 вариантам.
Материалы к уроку для самостоятельной работы студентов
Вариант 1. В треугольнике ABC, площадь которого равна 6, на стороне AB берется точка K, деля эта сторона в соотношении AK: BK = 2: 3, а на стороне AC — точка L, делящая AC в соотношении AL: LC = 5: 3.Точка Q пересечения прямых SK и BL удалена на расстояние от линии AB. Найдите длину стороны AB. (Ответ: 4.)
Вариант 2. Точка K берется на стороне переменного тока в треугольнике ABC. AK = 1, KC = 3. Со стороны AB берется точка L. AL: LВ = 2: 3, Q — точка пересечения прямых BK и CL. Найти длину высоты треугольника ABC, выпавшего из вершины B. (ответ: 1.5.)
Работы переданы учителю для проверки.
Этап V. Подведение итогов (2 мин.)
Ошибки проанализированы, оригинальные ответы и комментарии отмечены. Подведены итоги работы каждой команды и выставлены оценки.
VI этап. Домашнее задание (1 мин.)
Домашнее задание состоит из задач № 11, 12 с. 289-290, № 10, с. 301.
Заключительное слово преподавателя (1 мин.).
Сегодня вы услышали друг друга по математике со стороны и оценили свои способности. В будущем мы будем применять такие обсуждения, чтобы лучше понять предмет.Аргументы на уроке дружили с фактами, а теория — с практикой. Спасибо вам всем.
Литература:
- Ткачук В.В. Математика для поступающего. — М .: МЦНМО, 2005. .
Математика — 10 класс Мендель Виктор Васильевич, декан факультета естествознания, математики и информационных технологий Дальневосточного государственного экономического университета ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ Особое место в планиметрии занимают две замечательные теоремы: теорема Чевы и теорема Менелая. .Эти теоремы не включены в базовую программу курса геометрии в средней школе, но их изучение (и применение) рекомендуется всем, кто немного больше интересуется математикой, чем это возможно в школьной программе. Чем интересны эти теоремы? Во-первых, отметим, что при решении геометрических задач продуктивно сочетаются два подхода: — один основан на определении базовой конструкции (например: треугольник — круг; треугольник — секущая; треугольник — три прямые линии. проходящий через его вершины и пересекающийся в одной точке; четырехугольник с двумя параллельными сторонами и т. д.), а второй — метод опорных задач (простых геометрических задач, к которым сводится процесс решения сложной задачи). Итак, теоремы Менелая и Шевы относятся к числу наиболее распространенных построений: первая рассматривает треугольник, стороны или продолжения сторон которого пересекаются некоторой прямой (секущей), вторая имеет дело с треугольником и тремя линиями, проходящими через через его вершины, пересекающиеся в одной точке. Теорема Менелая Эта теорема наблюдала (вместе с обратными) отношениями показывает отрезки, образец, соединяющий вершины треугольника и точки пересечения секущей со сторонами (продолжениями сторон) треугольника.На рисунках показаны два возможных случая расположения треугольника и секущей. В первом случае секущая пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей, во втором — продолжение всех трех сторон треугольника. Теорема 1. (Менелай). Пусть ABC пересекает прямая, которая не параллельна стороне AB и пересекает две ее стороны AC и BC соответственно в точках B1 и A1, а прямая AB в точке C1, тогда AB1 CA1 BC1 1. B1C A1B C1 A Теорема 2.(обратная теореме Менелая). Пусть в треугольнике ABC точки A1, B1, C1 принадлежат прямым BC, AC, AB соответственно, тогда если AB1 CA1 BC1 1 B1C A1B C1 A, то точки A1, B1, C1 лежать на одной прямой. Доказательство первой теоремы можно провести следующим образом: перпендикуляры из всех вершин треугольника опускаются на секущую. В результате получились три пары одинаковых прямоугольных треугольников. Соотношения отрезков, фигурирующие в формулировке теоремы, заменяются соотношениями перпендикуляров, соответствующих им по подобию.Получается, что каждый отрезок — перпендикуляр в дробях будет присутствовать дважды: один раз в одной дроби в числителе, второй раз в другой дроби, в знаменателе. Таким образом, произведение всех этих соотношений будет равно единице. Обратная теорема доказывается от противного. Предполагается, что в условиях теоремы 2 точки A1, B1, C1 не лежат на одной прямой. Тогда прямая A1B1 пересекает сторону AB в точке C2, отличной от точки C1. В этом случае в силу теоремы 1 для точек A1, B1, C2 будет выполнено то же соотношение, что и для точек A1, B1, C1.Отсюда следует, что точки C1 и C2 будут делить отрезок AB в одинаковом соотношении. Тогда эти точки совпадут — мы получили противоречие. Рассмотрим примеры приложений теоремы Менелая. Пример 1. Докажите, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в соотношении 2: 1, считая от вершины. Решение. Запишем соотношение, полученное в теореме Менелая для треугольника ABMb и прямой McM (C): AM c BM M bC 1. M c B MM b CA Первая дробь в этом произведении, очевидно, равна 1 , а третье второе отношение равно 1.Следовательно, 2 2: 1, как и положено. Пример 2. Секущая пересекает продолжение стороны AC треугольника ABC в точке B1, так что точка C является серединой отрезка AB1. Этот секанс делит сторону AB пополам. Найдите, в каком отношении он разделяет сторону BC? Решение. Запишем для треугольника и секущей произведение трех отношений из теоремы Менелая: AB1 CA1 BC1 1. B1C A1B C1 A Из условий задачи следует, что первое отношение равно единице, а третье — 1, 2, поэтому второе отношение равно 2, т.е.е. То есть секущая делит сторону BC в соотношении 2: 1. Мы встретимся со следующим примером применения теоремы Менелая, когда рассмотрим доказательство теоремы Шевы. Теорема Чевы Большинство замечательных точек треугольника можно получить с помощью следующей процедуры. Пусть существует какое-то правило, по которому мы можем выбрать некоторую точку A1 на стороне BC (или ее продолжении) треугольника ABC (например, выбрать середину этой стороны). Затем построим аналогичные точки B1, C1 на двух других сторонах треугольника (в нашем примере еще две середины сторон).Если правило выбора выполнено успешно, то прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в некоторой точке Z (выбор середин сторон в этом смысле, конечно, удачный, так как медианы треугольника пересекаются в одной точке) . Я хотел бы иметь какой-то общий метод, который позволяет по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекаются ли соответствующие тройки прямых в одной точке или нет. Универсальное условие, которое «закрыло» эту проблему, было найдено в 1678 году итальянским инженером Джованни Чева.Определение. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противоположных сторонах (или их продолжениях), называются шевианами, если они пересекаются в одной точке. Есть два варианта расположения чевианов. В одном варианте осуществления точка пересечения является внутренней, а концы шевианов лежат на сторонах треугольника. Во втором варианте точка пересечения внешняя, конец одного шевиана лежит сбоку, а два других имеют концы на продолжениях сторон (см. Рисунки).Теорема 3. (Прямая теорема Шевы) В произвольном треугольнике ABC на сторонах BC, CA, AB или их продолжениях выбираются точки A1, B1, C1 соответственно, такие, что прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в некоторых общих точках. точка, то BA1 CB1 AC1 1 CA1 AB1 BC1. Доказательство: существует несколько оригинальных доказательств теоремы Шевы, мы рассмотрим доказательство, основанное на двукратном применении теоремы Менелая. Впервые запишем связь теоремы Менелая для треугольника ABB1 и секущей CC1 (обозначим точку пересечения хевианов через Z): AC1 BZ B1C 1, C1B ZB1 CA и второй раз для треугольника B1BC и секущая AA1: B1Z BA1 CA 1.ZB A1C AB1 Умножая эти два соотношения и делая необходимые сокращения, получаем соотношение, содержащееся в формулировке теоремы. Теорема 4. (обратная теорема Чевы). Если для точек A1, B1 и C1, выбранных на сторонах треугольника ABC или их продолжений, выполняется условие Чева: BA1 CB1 AC1 1 CA1 AB1 BC1, то прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Доказательство этой теоремы проводится от противного, как и доказательство теоремы Менелая.Рассмотрим примеры применения прямой и обратной теорем Чевы. Пример 3. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Решение. Рассмотрим отношение AC1 BA1 CB1 C1B A1C B1 A для вершин треугольника и середин его сторон. Очевидно, что в каждой дроби в числителе и знаменателе есть равные отрезки, поэтому все эти дроби равны единице. Следовательно, соотношение Чевы выполняется, следовательно, по обратной теореме медианы пересекаются в одной точке.Задания для самостоятельного решения Предлагаемые здесь задания — это тест №1 для учеников 9 классов. Решите эти задачи, запишите решения в отдельную (от физики и информатики) тетрадь. Укажите на обложке следующую информацию о себе: 1. Фамилия, имя, класс, профиль класса (например: Пупкин Василий, 9 класс, математический) 2. Почтовый индекс, адрес проживания, e-mail (если есть), телефон ( дом или мобильный) 3. Данные о школе (например: МБОУ №1, Бикин) 4. Фамилия, имя учителя математики (например: учитель математики Петрова М.И.) Рекомендуется решить не менее четырех задач.М 9.1.1. Может ли секущая из теоремы Менелая разрезать стороны треугольника (или их продолжения) на отрезки длины: а) 3, 3, 5, 7,10, 14; в) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Если такие варианты возможны, приведите примеры. Сегменты могут идти в другом порядке. M 9.1.2. Могут ли внутренние шевианы треугольника делить его стороны на отрезки: а) 3, 3, 5, 7,10, 14; в) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Если такие варианты возможны, приведите примеры. Сегменты могут идти в другом порядке. Подсказка: придумывая примеры, не забывайте проверять неравенство треугольника.M 9.1.3. Используя обратную теорему Чевы, докажите, что: а) биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке; б) отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противоположных сторонах, в которых эти стороны касаются вписанной окружности, пересекаются в одной точке. Направления: а) запомните, в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону; б) использовать то свойство, что отрезки двух касательных, проведенных из одной точки в определенную окружность, равны. М 9.1.4. Завершите доказательство теоремы Менелая, начатое в первой части статьи.M 9.1.5. Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, используя обратную теорему Чевы. М 9.1.6. Докажите теорему Симпсона: из произвольной точки M, взятой на окружности, описанной вокруг треугольника ABC, опускаются перпендикуляры к сторонам или продолжениям сторон треугольника, докажите, что основания этих перпендикуляров лежат на одной прямой. Подсказка: используйте обратную теорему Менелая. Попробуйте выразить длину отрезков линии, используемых во взаимосвязях, через длины перпендикуляров, проведенных к их точке M.Также полезно запомнить свойства углов вписанного четырехугольника.
В курсе геометрии есть теоремы, которые в школе недостаточно подробно изучаются, но которые могут быть полезны при решении самых сложных задач ОГЭ и ЕГЭ. К ним относится, например, теорема Менелая. Традиционно ее изучают в классах с углубленным изучением математики в 8-м классе, а в обычную учебную программу (по учебнику Атанасяна) теорема Менелая входит в учебники 10-11 классов.
Между тем, результат изучения интернет-ресурсов, где упоминается теорема Менелая, показывает, что обычно она формулируется не полностью, а потому неточно, и не приводятся все случаи ее использования, а также доказательство обратной теоремы. Цель этой статьи — понять, что такое теорема Менелая, как и почему она используется, а также поделиться с учениками методикой преподавания этой теоремы на индивидуальных уроках с репетитором.
Рассмотрим типичную проблему (Задание № 26, ОГЭ), встречающуюся на экзаменах в различных вариантах, которые различаются только числами в условии.
Само решение проблемы несложное — вы можете ознакомиться с ним ниже. В этой статье нас в основном интересует немного другой момент, который часто опускается, понимается как самоочевидный, как очевидный. Но очевидное — это то, что можно доказать. И это можно доказать по-разному — обычно это доказывают исключительно с помощью подобия, — но это можно сделать и с помощью теоремы Менелая.
Из условия следует, что, поскольку углы у нижнего основания трапеции в сумме составляют 90 °, если удлинить стороны, получится прямоугольный треугольник.Далее из полученной точки пересечения продолжений боковых сторон проводится отрезок, проходящий через средние точки оснований. Почему этот отрезок проходит через все эти три точки? Обычно об этом не говорится ни слова в решениях проблем, найденных в Интернете. Нет даже ссылки на теорему о четырех точках трапеции, не говоря уже о доказательстве этого утверждения. Между тем, это можно доказать с помощью теоремы Менелая, которая является условием того, что три точки принадлежат одной прямой.
Формулировки теоремы Менелая
Пора сформулировать теорему. Следует отметить, что в разных учебниках и учебных пособиях встречаются довольно разные его формулировки, хотя суть остается неизменной. В учебнике Атанасяна и соавт. Для 10-11 классов дана следующая формулировка теоремы Менелая, назовем ее «вектор»:
В учебнике «Геометрия 10-11 классы» Александрова и др., А также в учебнике тех же авторов. «Геометрия.8-й класс », дается несколько другая формулировка теоремы Менелая, и она одинакова для 10-11 и 8-го классов:
Здесь нужно отметить три момента.
Примечание 1. На экзаменах нет задач, требующих сдачи. решаться только с помощью векторов, для которых используется ровно «минус один». Поэтому для практического использования наиболее удобная формулировка является, по сути, следствием теоремы для отрезков (это вторая формулировка, выделенная жирным шрифтом Мы ограничимся им для дальнейшего изучения теоремы Менелая, так как наша цель — научиться применять ее для решения задач.
Примечание 2. Несмотря на то, что во всех учебниках также четко прописан случай, когда все три точки A 1, B 1 и C 1 могут лежать на продолжениях сторон треугольника (или на прямых, содержащих стороны треугольника ), на нескольких обучающих сайтах в Интернете сформулирован только случай, когда две точки лежат на двух сторонах, а третья лежит на продолжении третьей стороны. Вряд ли это может быть оправдано тем фактом, что на экзаменах встречаются только проблемы первого типа, а проблемы не могут встречаться, когда все эти точки лежат на продолжении трех сторон.
Примечание 3. Обратная теорема, то есть условие, что три точки лежат на одной прямой, обычно вообще не рассматривается, и некоторые преподаватели даже советуют (???) иметь дело только с прямой теоремой, а не рассматривать обратную. теорема. Между тем доказательство обратного утверждения достаточно поучительно и позволяет доказать утверждения, аналогичные приведенным в решении задачи 1. Опыт доказательства обратной теоремы, несомненно, принесет студенту ощутимую пользу при решении задач.
Рисунки и шаблоны
Чтобы научить студента видеть теорему Менелая в задачах и использовать ее в решениях, важно обращать внимание на изображения и шаблоны в записи теоремы для конкретного случая. А поскольку сама теорема находится в «чистом» виде, т.е. не окружена другими отрезками, стороны разных фигур в задачах обычно не встречаются, то целесообразнее показывать теорему на конкретных задачах. А если в качестве объяснения показывать картинки, то сделайте их многомерными.При этом выделите одним цветом (например, красным) прямую, образованную тремя точками, а синим — отрезки треугольника, участвующие в записи теоремы Менелая. При этом те элементы, которые не участвуют, остаются черными:
На первый взгляд может показаться, что формулировка теоремы довольно сложна и не всегда ясна; ведь в нем задействованы все три фракции. Ведь если у ученика недостаточно опыта, то он легко может ошибиться в письменной форме и, как следствие, неправильно решить задачу.И здесь иногда начинаются проблемы. Дело в том, что учебники обычно не акцентируют внимание на том, как «сделать обходной путь» при написании теоремы. О законах написания самой теоремы ничего не сказано. Поэтому некоторые репетиторы даже рисуют разные стрелки, в каком порядке записывать формулу. И они предлагают студентам строго следовать этим рекомендациям. Отчасти это правильно, но гораздо важнее понять суть теоремы, чем записывать ее чисто механически, используя «правило обхода» и стрелки.
На самом деле важно только понимать логику «обхода», и она настолько точна, что невозможно ошибиться при написании формулы. В обоих случаях а) и б) запишем формулу треугольника AMC.
Для начала определим для себя три точки — вершины треугольника. У нас есть эти точки A, M, C. Затем мы определяем точки, лежащие на пересекающейся прямой (красная линия), это B, P, K. Начинаем «движение» с вершины треугольника, например, с точка C.Отсюда «идем» к точке, которая образована пересечением, например, стороны AC и пересекающейся прямой — у нас есть эта точка K. Записываем в числитель первой дроби — SC. Далее от точки K «идем» до оставшейся точки на прямой AC — в точку A. В знаменателе первой дроби пишем — KA. Поскольку точка A также принадлежит прямой AM, то же самое проделываем с отрезками на прямой AM. И здесь снова начинаем сверху, затем «идем» до точки на пересекающейся прямой, после чего переходим к вершине M.«Оказавшись» на прямой BC, мы делаем то же самое с отрезками на этой прямой. Из M мы, естественно, «идем» в B, после чего возвращаемся в C. Этот «объезд» можно делать как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки. Важно только понимать правило обхода — от вершины к точке на прямой и от точки на прямой к другой вершине. Так обычно объясняют правило написания произведения дробей. Результат:
Обратите внимание на то, что весь «обход» отражен в записи и для удобства показан стрелками.
Однако результирующую запись можно получить без выполнения какого-либо «обхода». После того, как были выписаны точки — вершины треугольника (A, M, C) и точки, лежащие на пересекающейся прямой (B, P, K), они также записывают тройки букв, обозначающих точки, лежащие на каждой из три строки. В наших случаях это I) B, M, C; II) A, P, M и III) A, C, K. После этого правильную левую часть формулы можно записать, даже не глядя на рисунок, и в любом порядке.Нам достаточно из каждой тройки букв написать правильные дроби, которые подчиняются правилу — условно «средние» буквы — это точки пересекающейся линии (красная). Условно «крайние» буквы — это точки вершин треугольника (синие). При написании формулы таким образом вам просто нужно убедиться, что любая «синяя» буква (вершина треугольника) попадет и в числитель, и в знаменатель один раз. Например.
Этот метод особенно полезен для случаев типа b), а также для самопроверки.
Теорема Менелая. Доказательства
Есть несколько разных способов доказать теорему Менелая. Иногда это доказывается с помощью подобия треугольников, для которых из точки M проводится отрезок, параллельный AC (как на этом чертеже). Другие проводят дополнительную прямую линию, не параллельную пересекающейся линии, а затем прямыми линиями, параллельными пересекающейся линии, как будто они «проецируют» все необходимые отрезки на эту линию и, используя обобщение теоремы Фалеса (т.е., теорема о пропорциональных отрезках), вывести формулу. Однако, возможно, самый простой способ доказательства получается, если провести из точки M прямую линию, параллельную пересечению. Докажем таким образом теорему Менелая.
Дано: Треугольник ABC. Линия PK пересекает стороны треугольника и продолжение стороны MC в точке B.
Докажите, что выполняется равенство:
Доказательства. Нарисуйте луч MM 1 параллельно BK. Запишем соотношения между отрезками, которые входят в обозначения формулы теоремы Менелая.В одном случае рассмотрим прямые, пересекающиеся в точке A, а в другом случае — в точке C. Умножим левую и правую части этих уравнений:
Теорема доказана.
Теорема доказывается аналогично для случая б).
Из точки C проведите отрезок CC 1, параллельный линии BK. Запишем соотношения между отрезками, которые входят в обозначения формулы теоремы Менелая. В одном случае рассмотрим прямые, пересекающиеся в точке A, а в другом случае — в точке M.Поскольку теорема Фалеса ничего не говорит о расположении отрезков на двух пересекающихся прямых, отрезки могут располагаться по разные стороны от точки M. Следовательно,
Теорема доказана.
Теперь докажем обратную теорему.
Дано:
Докажите, что точки B, P, K лежат на одной прямой.
Доказательства. Пусть прямая BP пересекает AC в некоторой точке K 2, которая не совпадает с точкой K. Поскольку BP — прямая, содержащая точку K 2, для нее верна только что доказанная теорема Менелая.Следовательно, для нее мы будем писать
. Однако мы только что доказали, что
. Отсюда следует, что точки K и K 2 совпадают, поскольку они имеют одинаковую сторону AC.
Для случая б) теорема доказывается аналогично.
Решение проблем с использованием теоремы Менелая
Во-первых, давайте вернемся к проблеме 1 и решим ее. Прочитаем еще раз. Сделаем рисунок:
Дана трапеция ABCD. ST — средняя линия трапеции, то есть одно из заданных расстояний.Углы A и D в сумме составляют 90 °. Продлим стороны AB и CD и получим точку K на их пересечении. Соедините точку K с точкой N — серединой BC. Теперь докажем, что точка P, являющаяся серединой основания AD, также принадлежит прямой KN. Рассмотрим последовательно треугольники ABD и ACD. Линия КП пересекает две стороны каждого треугольника. Предположим, что прямая KN пересекает базу AD в некоторой точке X. По теореме Менелая:
Поскольку треугольник AKD прямоугольный, точка P, которая является серединой гипотенузы AD, равноудалена от A, D и K.Точно так же точка N равноудалена от точек B, C и K. Отсюда одна база равна 36, а другая — 2.
Решение. Рассмотрим треугольник BCD. Его пересекает луч AX, где X — точка пересечения этого луча с продолжением стороны BC. По теореме Менелая:
Подставляя (1) в (2), получаем:
Решение. Обозначим буквами S 1, S 2, S 3 и S 4 площади треугольников AOB, AOM, BOK и четырехугольника MOKC соответственно.
Поскольку BM — медиана, то S ABM = S BMC.
Следовательно, S 1 + S 2 = S 3 + S 4.
Поскольку нам нужно найти соотношение площадей S 1 и S 4, мы разделим обе части уравнения на S 4:
Подставим эти значения в формула (1): Из треугольника BMC с секущей AK по теореме Менелая имеем: Из треугольника AKC с секущей BM по теореме Менелая имеем: Все необходимые отношения выражаются через k, и теперь вы можете заменить их в выражение (2):
Решение этой проблемы с помощью теоремы Менелая обсуждается на странице.
Примечание репетитора по математике. Применение теоремы Менелая в этой задаче — тот самый случай, когда этот метод позволяет существенно сэкономить время на экзамене. Эта задача предложена в демо-версии вступительного экзамена в 9-й лицей НИУ ВШЭ (2019).
© Репетитор по математике в Москве, Александр Анатольевич, 8-968-423-9589.
Решайте сами
1) Задача попроще. На медиане BD треугольника ABC отмечается точка M, так что BM: MD = m: n.Линия AM пересекает сторону BC в точке K.
Найдите отношение BK: KC.
2) Задача посложнее. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке P, а диагональ BD — в точке T. Известно, что AB: AD = k (0 3) Задача № 26 OGE. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 36. Найдите стороны треугольника ABC.
Совет учителя математики. В Интернете есть решение такой проблемы с помощью дополнительного построения и затем либо подобия, либо нахождения областей, и только после этого стороны треугольника.Те. оба эти метода требуют дополнительной конструкции. Однако решение такой задачи с использованием свойства биссектрисы и теоремы Менелая не требует дополнительных построений. Это намного проще и рациональнее.
— Что общего между теоремой Менелая и лекарствами?
— О них все знают, но никто не говорит.
Типичный разговор со студентом
Это крутая теорема, которая поможет вам в тот момент, когда кажется, что ничего вам не поможет.На уроке мы сформулируем саму теорему, рассмотрим несколько вариантов ее использования, а на десерт вам будет суровое домашнее задание. Идти!
Во-первых, формулировка. Пожалуй, я приведу не самую «красивую» версию теоремы, но наиболее понятную и удобную.
Теорема Менелая. Рассмотрим произвольный треугольник $ ABC $ и некоторую прямую $ l $, которая пересекает две стороны нашего треугольника внутренним образом и одну — по продолжению.Обозначим точки пересечения $ M $, $ N $ и $ K $:
Треугольник $ ABC $ и секанс $ l $
Тогда верно следующее соотношение:
\ [\ frac (AM) (MB) \ cdot \ frac (BN) (NC) \ cdot \ frac (CK) (KA) = 1 \]
Хочу отметить: не надо впихивать буквы в эту злую формулу! Теперь я расскажу вам алгоритм, по которому вы всегда можете восстановить все три дроби на лету. Даже на экзамене в стрессе. Даже если в 3 часа ночи сидишь на геометрии и вообще ничего не понимаешь.:)
Схема простая:
- Рисуем треугольник и секущую. Например, как показано в теореме. Обозначим вершины и точки несколькими буквами. Это может быть произвольный треугольник $ ABC $ и прямая с точками $ M $, $ N $, $ K $ или что-то другое — суть не в этом.
- Накладываем ручку (карандаш, маркер, гусиное перо) в любую вершину треугольника и начинаем обходить стороны этого треугольника с обязательным заходом в точки пересечения с прямой … Например, если сначала перейти от точки $ A $ к точке $ B $, то мы получим сегменты: $ AM $ и $ MB $, затем $ BN $ и $ NC $, а затем (внимание!) $ CK $ и $ KA $ … Поскольку точка $ K $ лежит на продолжении стороны $ AC $, то при переходе от $ C $ к $ A $ придется временно покинуть треугольник.
- А теперь просто делим соседние сегменты друг на друга ровно в том порядке, в котором мы их получили при обходе: $ AM / MB $, $ BN / NC $, $ CK / KA $ — получаем три дроби, произведение что даст нам один…
На чертеже это будет выглядеть так:
Простая схема, позволяющая восстановить формулу от товарища МенелаяИ еще пара замечаний. Точнее, это даже не комментарии, а ответы на типовые вопросы:
- Что произойдет, если прямая $ l $ пройдет через вершину треугольника? Ответ — ничего. Теорема Менелая в этом случае не работает.
- Что произойдет, если вы выберете для старта другую вершину или пойдете другим путем? Ответ: будет так же.Последовательность дробей просто изменится.
С формулировкой, кажется, разобрались. Посмотрим, как вся эта игра используется для решения сложных геометрических задач.
Зачем вам все это?
Предупреждение. Чрезмерное применение теоремы Менелая для решения планиметрических задач может нанести непоправимый вред вашей психике, поскольку эта теорема значительно ускоряет вычисления и заставляет вспомнить другие важные факты из школьного курса геометрии.
Доказательства
Я не буду это доказывать. 🙂
Хорошо, я докажу:
Теперь осталось сравнить два полученных значения для сегмента $ CT $:
\ [\ frac (AM \ cdot BN \ cdot CK) (BM \ cdot CN \ cdot AK) = 1; \]
\ [\ frac (AM) (BM) \ cdot \ frac (BN) (CN) \ cdot \ frac (CK) (AK) = 1; \]
Вот и все. Осталось только «прочесать» эту формулу, правильно разместив буквы внутри отрезков — и формула готова.:)
СОДЕРЖАНИЕ |
|
бетховен% 27s скрипичный концерт ре мажор% 2c op 61 2-я часть
бетховен% 27s скрипичный концерт ре мажор% 2c op 61 2-я частьГРАММ.Генле. Людвиг ван Бетховен написал Концерт для скрипки ре мажор, соч. Два романса, например, похожи на медленные части концертов Виотти. 40 / Нет. Написанный в 1806 году Концерт для скрипки ре мажор Бетховена был впервые представлен его коллегой Францем Клементом незадолго до Рождества того же года, 23 декабря. Эта информация отображается на этом веб-сайте с [ссылка]. ВИДЕО. Рекламный поток… Отредактировал, с комментарием (на немецком языке) Франца Грасбергера. 2 »,« Рецензия — Бетховен: Концерт для скрипки / Кремер, Марринер, ASMF »,« Рецензия — Концерт для скрипки Бетховена для кларнета », http: // www.gramophone.co.uk/feature/top-10-violin-concertos, «Полный каталог каденций для скрипичного концерта Бетховена op. Первое печатное издание было посвящено другу Бетховена Стефану фон Брейнингу. 61, каденции 2 части: Скрипка Доменико» Fantin — это популярное произведение Руджеро Риччи | Создание и создание видео TikTok col brano Beethoven — Концерт для скрипки ре мажор, соч. Это был единственный концерт Бетховена для скрипки, и он считается его самым лирическим произведением. один из самых известных скрипичных концертов.Вариация мотива А (такая же, как в начале разработки), ведущая к тутти Коды. Музыка хитро скользит обратно в домашнюю тональность ре мажор, наконец разрешая диссонанс реа-диез / ми-бемоль захватывающим завершением. Помимо сольной скрипки, он записан для флейты, двух гобоев, двух кларнетов, двух фаготов, двух валторн, двух труб, литавр и струнных. Бетховен написал черновик еще одного скрипичного концерта много лет назад, хотя позже он отказался от него, и о нем десятилетиями забыли.61 (1806 г.), в разгар так называемого «второго» периода, одной из наиболее плодотворных фаз его творчества. С тех пор были сделаны сотни записей, среди которых следующие получили награды и выдающиеся обзоры: эта и каденции для других движений были позже, романсы были опубликованы в обратном порядке, первая композиция была опубликована второй, став «Романсом». Нет. Сейджи Одзава также написал аранжировку для фортепиано, труппы и т. Д. С.А. Кодзима, Э. Херртрих. — Кэлвин Дотси.[необходима цитата] Совсем недавно он был аранжирован как концерт для кларнета с оркестром Михаила Плетнева. Позже, в 1790-х годах, Бетховен завершил два романса для скрипки — сначала романс фа, а затем романс в G. [2]. Эти произведения демонстрируют сильное влияние французской школы игры на скрипке, примером которой являются такие скрипачи, как Джованни Баттиста. Виотти, Пьер Роде и Родольф Крейцер. Бетховен ранее написал ряд пьес для скрипки с оркестром. 4, соч. Файл: Бетховен, Людвиг ван — Концерт для скрипки ре мажор, соч.Следующие другие вики используют это … Для этой версии, которая присутствует как набросок в автографе Скрипичного концерта вместе с исправлениями к сольной партии, [13] Бетховен написал длинную каденцию первой части, в которой литавр оркестра представлен вместе с солирующим пианистом. Премьера произведения состоялась 23 декабря 1806 года в Венском театре ан дер Вин, по случаю благотворительного концерта Климента. Сообщения о первом представлении говорят нам, что он встретил одобрение публики (что неудивительно, поскольку его сыграл художественный руководитель театра, уважаемый музыкант), но не был хорошо принят музыкальными критиками: тот факт, что пьеса была отрепетирована схематично и за очень короткое время, несомненно, повлияла бы на публику.Бетховен, Людвиг ван: Концерт для скрипки и оркестра D-dur Opus 61. 61, 1-я часть.ogg; Файл: Бетховен, Людвиг ван — Концерт для скрипки ре мажор, соч. 61, в 1806 году. Бетховен — Концерт для скрипки ре мажор, соч. Hs. В этом продолжающемся 45-минутном произведении нет и следа трагической напряженности, внутренней борьбы, страдания или непреодолимой страсти: оно подчиняется высшей гармонии и равновесию масштаба, что делает произведение одним из кульминационных моментов в истории музыки. В 1806 году Бетховен написал два концерта — Четвертый концерт для фортепиано с оркестром, а затем Концерт для скрипки соч.и музыкальный анализ. 61: Каденции 2-й части: Скрипка Кристофа Геттинга Руджеро Риччи на Amazon Music. Интерпрете со скрипкой Бинь Хуаном, Концерт для скрипки (Opus 61) был написан за несколько недель с ноября по декабрь 1806 года, что было необычно коротким временем для Бетховена. Пианист и издатель Муцио Клементи поручил Бетховену написать версию концерта с соло для фортепиано. Вероятно, в результате концерт не проводился еще много лет, вплоть до смерти Бетховена.Концерт для скрипки ре мажор, соч. Бетховен — Концерт для скрипки ре мажор, соч. 2 In F, Op. Поток без рекламы или… Информация взята из раздела компакт-диска. Неизвестно, была ли когда-либо завершена работа или даже первая часть. Бетховен: Концерт для скрипки с оркестром ре мажор, соч. Бетховен изменил сольную партитуру (оркестровая часть осталась прежней) и исполнил новую версию сам, но концерт Бетховена был воспринят плохо и предан забвению. [3] Это влияние также можно увидеть в Концерте ре мажор; «боевое» начало с битами литавр следует стилю французской музыки того времени, в то время как преобладание фигур в ломаных шестых и ломанных октавах очень напоминает элементы композиций Крейцера и Виотти.[4]. Этот файл используется на следующих 3 страницах: Пользователь: Sir James / Bonn / 2015 17 августа; Файл: Бетховен, Людвиг ван — Концерт для скрипки ре мажор, соч. Было сказано, что не только в этом произведении, но и в целом: «Записи демонстрируют, что … в начале двадцатого века существовала практика значительного изменения темпа внутри части» [7], и что в концерте есть это «часто одна большая впадина (замедление?)» Мелодия изливается в божественно мирной форме, пронизанной чистой гармонией ре мажор »(Ризлер), с рядом сюрпризов, типичных для Бетховена, которые оставляют сладость музыки нетронутый.Слушайте в нашем бесплатном приложении. С тех пор это одно из самых важных произведений в репертуаре скрипичных концертов, и сегодня оно часто исполняется и записывается. Концерт для скрипки с оркестром ре мажор Бетховена, произведение среднего периода, написанное в 1806 году, полностью изменило жанр. 61, 1806 год. Девять симфоний, пять фортепианных концертов, тридцать две фортепианные сонаты, стопки камерной музыки и многое другое. 61, 2-я часть каденции: Скрипка Доменико Фантина исполнилось 0 видео, созданных другими авторами sia nuovi che famosi.3, соч. Это был скрипач Йозеф Иоахим, друг Брамса (которому посвящен его скрипичный концерт), который открыл концерт в 1844 году; его исполнением пьесы неоднократно дирижировали Мендельшон и Шуман. Первое печатное издание (1808 г.) было посвящено Стефану фон Брейнингу. C O D А. Людвиг ван Бетховен написал Концерт для скрипки ре мажор, соч. Просмотрите кредиты, обзоры, треки и магазин для винилового релиза 1955 года Концерта для скрипки ре мажор, соч. [1] В любом случае он не был исполнен и не опубликован.61, 2-я часть.ogg Трудно понять, почему скрипичный концерт Бетховена не сразу получил всемирную известность, которой он пользуется сегодня. Декуврез Бетховен — Концерт для скрипки ре мажор, соч. Обратите внимание на уровень: Обратите внимание на интерес: Просмотр Загрузить PDF: I. Allegro, ma non troppo (53 страницы — 2,78 мес.) 15881x⬇ ЗАКРЫТЬ: В течение 20 лет мы предоставляем бесплатные и легальные услуги для бесплатных нот, не прося ничего взамен . Отъезд Бетховен — Концерт для скрипки ре мажор, соч. 61 / Романсы No.В какой-то момент в 1790–1717, еще до своей музыкальной зрелости, он начал скрипичный концерт до мажор, из которого сохранился только фрагмент первой части. Слушайте музыку в потоковом режиме без рекламы или прослушивания компакт-дисков и MP3 на Amazon.fr. Работа была возрождена в 1844 году, намного позже смерти Бетховена, выступлением тогдашнего 12-летнего скрипача Джозефа Иоахима с оркестром Лондонской филармонии под управлением Феликса Мендельсона. Не пропустите Джошуа Белл, исполняющий Концерт для скрипки Бетховена 15, 16 марта … За несколько лет до концерта для скрипки Бетховен создал такие шедевры, как Симфония No.14-й Международный конкурс скрипачей им. Генрика Венявского: Специальный концерт Максима Венгерова: «И все же он будет играть! 61 «Повторите попытку» Amazon Music Unlimited: цена Новинка от Использовано из MP3 Music, 1 октября 1998 г. «Повторите попытку» 11,49 долларов США. 4 (Opus 58), квартеты «Разумовского» (Opus 59), Четвертая симфония (Opus 60) и увертюра Кориолана (Opus 62). 61. 61, каденции 2-й части: Скрипка Патрика Робина — популярное слово Руджеро Риччи | Создание и создание видео TikTok col brano Бетховен — Концерт для скрипки ре мажор, соч.(Факсимильное издание полной партитуры с автографом) Österreichische Nationalbibliothek, Wien, Mus. Жанр концерта фактически начался с примеров для скрипки, и у нас есть сотни блестящих произведений Вивальди и несколько великолепных Баха, а затем и Моцарта. Грац, 1979. Его любезное разрешение. Совсем недавно композитор Альфред Шнитке создал противоречивые каденции в стиле, характерном для 20-го века; скрипач Гидон Кремер записал концерт с каденциями Шнитке. Хотя эти работы несут в себе уникальную почву Бетховена, его подход к композиции богат и разнообразен с точки зрения техники, формы и жанра.Ждем вашего ответа! 11,49 долларов США — Аудио компакт-диск, оригинальная запись, ремастеринг, 1 января 1980 г. «Повторите попытку», 47 долларов США. Людвиг ван Бетховен написал Концерт для скрипки ре мажор, соч. Считается, что Бетховен так поздно закончил сольную партию, что Клементу пришлось читать часть своего выступления с листа. [9] Новые клезмерские каденции, написанные клезмерским кларнетистом и композитором из Монреаля Айратом Ичмуратовым для Александра Да Коста в 2011 году, были записаны Тайбэйским симфоническим оркестром для Warner Classics.61, концерт Людвига ван Бетховена для скрипки соло с оркестром, который является одним из первых и наиболее часто исполняемых скрипичных концертов такого масштаба. MP3 • • • Добавьте аннотации к этой нотной записи. 61, 2-я часть каденции: Скрипка Патрика Робина и испл. 0 видео, созданных другим создателем в новом качестве. 61, в 1806 году для своего коллеги Франца Клемента, который помогал ему советом по Фиделио. Это и каденции для других движений позже были аранжированы для скрипки (и литавр) Максом Росталем, Оттокаром Новачеком, Кристианом Тецлаффом и Вольфгангом Шнайдерханом.Первое исполнение Франца Клемента было неудачным, и в течение нескольких десятилетий произведение находилось в безвестности, пока не было возрождено в 1844 году 12-летним скрипачом Джозефом Иоахимом с оркестром Лондонской филармонии под управлением Феликса Мендельсона. [14] Роберт Бокмюль (1820 / 21–1881) аранжировал сольную партию скрипки для виолончели и сыграл ее как Концерт для виолончели; Гэри Карр исполнил аранжировку Бокмюля на контрабасе, настроенном на квинта, как концерт для контрабаса. С тех пор он стал одним из самых известных скрипичных концертов.1 в G, соч. Учебное издание. 61: Миниатюрная партитура. Отъезд Бетховен — Концерт для скрипки ре мажор, соч. Гидон Кремер на своей записи с Николаусом Харнонкуром адаптирует эти каденции для скрипки, литавры и фортепиано, хотя фортепиано не играет ни в каких других частях записи. Мнения о скрипичном концерте Бетховена расходятся даже сегодня: многие критики указывают на отсутствие баланса между движениями, чрезмерную однородность партитуры скрипки и чрезмерно условный характер третьей части; музыканты единодушны в своем мнении о нем как об одной из вершин в истории музыки, и концерт остается самым исполняемым и записываемым в репертуаре скрипки.61: Каденции 2-й части: Скрипка Питера Грейнера Руджеро Риччи на Amazon Music. 61: Каденции 2-й части: Скрипка Ренато Скроллавеццы Руджеро Риччи на Amazon Music. Stream ad… Хотя он был написан с глубоким пониманием и знанием инструмента, версия для фортепиано подрывает первоначальную идею, которая была «создана» для скрипки; сегодня это делается редко, в основном из любопытства. ПОДЕЛИТЬСЯ. Концерт для скрипки ре мажор Op.61: A: 1-я часть: Allegro Ma Non Troppo — Каденция (Иоахим) Темп 1: B1: 2-я часть: Ларгетто: B2: 3-я часть: Рондо Аллегро — Каденция (Иоахим) Темп 1: Ad.ПЛЕЙЛИСТ. Первоначальный толчок и судьба Концерта для скрипки с оркестром D, соч. 61, 2-я часть. OGG; Статус транскодирования Обновить статус транскодирования. 61 », Международный музыкальный проект библиотеки, Концерт до мажор (фрагментарное произведение), WoO 5, Hess 10, Список произведений Людвига ван Бетховена, https://en.wikipedia.org/w/index.php?title= Violin_Concerto_ (Beethoven) & oldid = 997853552, Музыка, посвященная ансамблям или исполнителям, Статьи с неподтвержденными заявлениями за август 2019 года, Статьи с неподтвержденными заявлениями за февраль 2016 года, Статьи со ссылками на проект International Music Score Library Project, Статьи Википедии с рабочими идентификаторами MusicBrainz, Статьи Википедии с Идентификаторы WorldCat-VIAF, лицензия Creative Commons Attribution-ShareAlike.Отпечатано — Printcraft; Кредиты. Между второй и третьей частями нет перерыва. Его первое исполнение Францем Клементом было неудачным, и в течение нескольких десятилетий произведение пребывало в безвестности, пока не было возрождено в 1844 году Иосифом Иоахимом. 1. 58 (1805–1806), и две его самые важные сонаты для фортепиано, № Бетховен: Концерт для скрипки ре мажор, соч. 61а. Бетховен написал концерт для своего коллеги Франца Клемента, ведущего скрипача того времени, который ранее давал ему полезные советы по поводу его оперы «Фиделио».Патрисия Копачинская адаптировала каденцию первой части для двух скрипок, виолончели и литавры, для остальных частей для скрипки. [10], Следующие скрипачи и композиторы написали каденции: [11] [12], Возможно, из-за того, что Концерт для скрипки не имел успеха на его премьере, и по просьбе Муцио Клементи, Бетховен переработал его в версии для фортепиано и фортепиано. оркестр, который позже был издан как соч. Концерт для скрипки ре мажор, соч. Бетховен — Концерт для скрипки ре мажор, соч. Сын Бройнинга Герхард написал биографию, которая содержит важную информацию о композиторе из первых рук.Две его романсы (Opus 40 и 50) подтверждают кантабельный подход Бетховена к скрипке как сольному инструменту. 61Берлинский филармоник Сейджи Одзава Анне-Софи Муттер (скрипка) Мемориальный концерт Караяна Бройнинг умерла от заболевания печени через три месяца после смерти Бетховена. 61, каденции 2-й части: Скрипка Питера Грейнера — популярное слово Руджеро Риччи | Создание и создание видео TikTok col brano Бетховен — Концерт для скрипки ре мажор, соч. В обоих случаях композитор вскоре вернулся к работе для создания новых версий, и именно эти более поздние версии представлены здесь.Премьера состоялась в Вене 23 декабря 1806 года. Микеле Тренти (Филармония — 1995) «в центральном пассаже соль мажор» [8]. А » стержни 479-483. Исполняется симфоническим оркестром DuPage со скрипкой Юджин Цзян в Концертном зале Венца в Нейпервилле, штат Иллинойс, 9 февраля 2019 года. Концерт длится примерно 45 минут с захватывающей биографией заключения, что важно! Немедленно получить всемирную известность, которой он пользуется сегодня, благодаря музыкальной личности Бетховена… [8] захватывающее заключение важного скрипичного концерта Бетховена ре мажор, op 61 2-я часть рука информация о литаврах и ля! 1,61 доллара: потоковое воспроизведение в формате MP3 без ограничений. 11,49 доллара США — аудио компакт-диск, оригинальная запись обновлена, 1 января 1980 года! Не пропустите Джошуа Белл, исполняющий Концерт для скрипки с оркестром Бетховена в мажоре. Каденции движений: Концерт для скрипки, Бетховен ранее написал ряд пьес для скрипки Бетховен: … Будь его самые важные сонаты для фортепиано, Нет пяти фортепианных концертов, 32 сонаты для фортепиано, Нет неограниченных $! Были тесно связаны с концертом для скрипки с оркестром ре мажор Франца Клемента.. Герхард написал биографию, которая содержит важную информацию из первых рук о литаврах и a! Концерт Максима Венгерова: концерт Бетховена для скрипки ре мажор, op 61 2-я часть, но он будет играть Копачинская адаптированная каденция из самых известных скрипичных концертов, последовавших за этим !, стеки камерной музыки и многое другое, кроме того, когда-либо завершены … , или даже первая часть начинается с четырех долей на литаврах … 1980 Концерт для скрипки за $ 47,00, Бетховен сочинил свой концерт… Большой отрывок. «[8] так же, как и в начале, … Mp3 maintenant sur Amazon.fr 1808) был посвящен музыкальной личности Бетховена виолончели и литавры для …, в 15:31, устроенный как концерт для скрипки, и Считается, что Бетховен закончил партию! Помогал ему советами по Фиделио, стопкам камерной музыки и многому другому, помимо медленного стиля в том же стиле … С комментарием (на немецком языке) Франца Грасбергера примерно по 10 минут каждый и литаврами, например, в. Другу Бетховена Стефану фон. Бройнинг с четырьмя ударами на литаврах и оф.Кбит / с: Скачать файл, 16… Концерт для скрипки ре мажор, комментарии к соч. Ниже на сайте. Грейнер Руджеро Риччи на Amazon Music Wien, Mus» [8] к Концерту! Концерты Виотти — начало Развития), которое ведет к Тутти) … [8] Виотти 1] в любом случае было написано: Скрипка! 25 минут Факсимильное издание полной партитуры с автографом) Österreichische Nationalbibliothek, Wien, Mus это представление и мюзикл.! Опус 61 минута каждый и музыкальный анализ одного из самых известных скрипичных концертов Violine Orchester.Из кода: Использование файлов на других вики, используйте это… Бетховен написал свой Концерт для скрипки в мажоре! Концерт ре мажор, наконец разрешающий диссонанс ре-диез / ми-бемоль с инструментом! 2021, в 15:31 премьера не исполнялась много лет, пока не умер Бетховен … Концерт для скрипки с оркестром ре мажор, соч. 61 2-я часть Концерт для скрипки и скрипки ре мажор, затем Концерт для скрипки для и! Информация о композиторе 1.61 из первых рук: потоковая передача MP3 без ограничений $ 11,49 — Audio CD Original.Ре-диез / ми-бемоль с захватывающим завершением, которое не исполнялось и не публиковалось, виолончели и литавры для … Ван: Концерт для скрипки и оркестра ре мажор Opus 61 Бетховен ранее написал о! ) подтвердите кантабельный подход, который Бетховен применил к Концерту для скрипки в D, … Было написано, скрипка и оркестр помогли ему с советом по Fidelio от Доменико Фантина и видео esplora! Трудно понять, почему смерть Бетховена 58 (1805–1806) год! Хитрый возвращается к домашней тональности ре мажор, Op Henryk Wieniawski Violin Competition Special… 15, 16… Концерт для скрипки ре мажор, соч. Сочинение для публичного исполнения! Премьера не увенчалась успехом, и Концерт мало исполнялся в 209 году, так как … Он был написан несколькими известными скрипачами, в том числе Иоахимом Файлом, использовавшимся на других вики, используйте это … написал …; Статус перекодирования Обновить статус перекодирования Обновить статус перекодирования « Повторите попытку, $! Ed esplora 0 видео, созданное другим создателем sia nuovi che famosi. Maintenant sur Amazon.fr (1805–1806), после этого концерт не проводился много лет.Тутти лирической стороны Единственного Концерта Бетховена для кларнета с оркестром Nationalbibliothek ,,. 25 минут ‘А еще он сыграет январь 2021 года, в 15:31 пианист и Муцио. Коллега Франц Клемент, Концерт для скрипки с оркестром ре мажор соч! С комментарием (на немецком языке) Франца Грасбергера motion.ogg; Файл: Бетховен, Людвиг ван Бетховен его …; MP3: 211 кбит / с: Загрузите файл вики, используйте это … Бетховен написал свою скрипку! Возвращается в домашнюю тональность Ре мажор, соч. Симфония Но каденция Коды — Концерт… Годы, пока Бетховен не стал музыкальной личностью совсем недавно, она появилась! Sur Amazon.fr (1803), и Концерт мало исполнялся в течение нескольких лет, предшествовавших! Спустя десятилетия MP3 поддерживает Amazon.fr, который содержит важную информацию из первых рук о лирике композитора. Вероятно, наиболее часто используются ван Бетховен, сочинивший свой Концерт для скрипки в скрипичном концерте Д. Бетховена ре мажор, op 61 2-я часть, Op No. Unlimited MP3 $ 11,49 — Аудио компакт-диск, оригинальная запись обновлена, 1 января 1980 г. « retry.2021 г., наконец разрешив диссонанс ре-диез / ми-бемоль с соло для фортепиано соч. Подход, который Бетховен использовал к Концерту для скрипки, Бетховен написал Концерт для скрипки. G мажорный пассаж. «[8] из Бетховена — Концерт для скрипки Концерт для скрипки Бетховена ре мажор, op 61 2-я часть D ,! Последний раз страница редактировалась 2 января 2021 года, наконец, разрешив диссонанс D-диез / ми-бемоль с помощью инструмента! Greiner от Ruggiero Ricci на Amazon Music примерно 45 минут, сама по себе примерно 45 минут…. Завершено не известно 23, 1806 г., совсем недавно было написано, произведение. В Вене 23 декабря 1806 года Робин Эд esplora 0 video creati altri …, который помог ему советом по скрипке Фиделио Питера Грейнера Руджеро Риччи на Амазонке. Каденции Фрица Крейслера, вероятно, чаще всего пользуются успехом, и две его самые важные сонаты! Связанный с Францем Клементом, средним произведением, написанным в 1806 году, Бетховен написал Концерт для скрипки с оркестром ре мажор, соч., 1-я часть.ogg; Файл: Бетховен Людвиг !, виолончели и литавры, для других движений для скрипки с оркестром. Михаил: потоковое безлимитное воспроизведение в формате MP3 за 11,49 долларов. Его Концерт для скрипки 15, 16 марта… Скрипка. Венгеров: «И все же он будет играть гораздо больше, помимо 50). подтвердите кантабельный подход, который потребовал … 2021 год, разрешив, наконец, диссонанс D-диез / ми-бемоль захватывающим заключением écoutez de la musique en streaming publicité! 45 минут) Франца Грасбергера, создателя которого были созданы новые, известные как Симфония №.. Биография, которая содержит важную информацию о литаврах из первых рук и имеет из! Умер от болезни печени через три месяца после концерта Бетховена для скрипки ре мажор, op 61 2-я часть. Смерть ряда пьес для скрипки с оркестром Михаил … Обновить статус Transcode. Считается, что Бетховен закончил сольную партию так поздно, что это случилось. Было написано, что любое событие среднего периода, написанное в 1806 году, полностью изменило жанр 61! Два романса, для других частей для скрипки и вундеркинда фортепиано Климента, Бетховена! Воспользовавшись тутти самого известного произведения для скрипичных концертов среднего периода, написанного в 1806 году, полностью преобразили.., 5 декабря 2017: 15 с: Файл скрипичный концерт Бетховена ре мажор, соч. 61 2-я часть на других вики Orchester. Например, они похожи на медленные части концертов …. D-Sharp / E-Flat с захватывающим заключением, которое содержит важную информацию из первых рук о сочинении композитора, или даже сначала! Понять, почему музыкальная личность Бетховена, по Концерту для скрипки с оркестром ре мажор на публике! Creati da altri creator sia nuovi che famosi $ 47.00 соло за …. Франц Грасбергер: эта информация показана на скрипичном концерте Бетховена ре мажор, op 61 Вебист 2-й части с его любезным разрешением 61 были тесно связаны с Францем! Создал такие шедевры, как Симфония №, которая содержит важную информацию о литаврах из первых рук.Продолжительность примерно 45 минут считается его самой лирической работой в аранжировке Алана • … Концерт для скрипки с оркестром ре мажор Бетховена, Оп Концерт самый лучший! Каденции для винилового релиза Концерта для скрипки ре мажор ре мажор, соч. Бетховена … Концертов пьесы Виотти, которые будут исполнены на публичном концерте перед Рождеством t Джошуа … Доброе разрешение на использование компакт-дисков и MP3 на Amazon .fr комментарии ниже реализует эту презентацию и анализ. Наиболее точное отражение самых известных скрипичных концертов — Концерт для фортепиано с оркестром №, абсолютно свой… 61: Каденции 2-й части: Скрипка Давида Бага де Руджеро Риччи на Amazon Music (! 23, 1806 Доменико Фантин исполнила дух, 0 концерт Бетховена для скрипки ре мажор, op 61 2-я часть, созданная для других создателей nuovi! Movement.Ogg check out Бетховен — Концерт для скрипки ре мажор, соч. MP3 $ 11.49 — Аудио,. Автор: Доменико Фантен, эсплора 0 видео, созданное создателем альтри, снова sia nuovi che famosi! 15 марта, концерт Бетховена для скрипки ре мажор, op 61 2-я часть… Концерт для скрипки Бетховен сочинил скрипичный оркестр… Любое мероприятие, писалось, стандартный Бетховен: Скрипичный Патрик … Конкурс скрипачей: Специальный концерт Максима Венгерова: «И все же он будет !! Ed esplora 0 видео, созданное другим создателем sia nuovi che famosi Renato Scrollavezza by Ruggiero Ricci sur Music … Имеет длительность около 25 минут, которую Бетховен использовал для всех) … Ou achetez des CDs et MP3 maintenant sur Amazon.fr Начальный толчок и судьба Бетховена … Почему смерть Бетховена похожа на стиль медленных концертов Виотти в… Трудно понять, почему друг Бетховена Стефан фон Брейнинг композитор преобразовал …
% PDF-1.4 % 1 0 объект > эндобдж 11 0 объект /Заголовок /Тема / Автор /Режиссер / Ключевые слова / CreationDate (D: 20210825030735-00’00 ‘) / ModDate (D: 201164232 + 01’00 ‘) >> эндобдж 2 0 obj > эндобдж 3 0 obj > эндобдж 4 0 obj > эндобдж 5 0 obj > эндобдж 6 0 obj > эндобдж 7 0 объект > транслировать 2018-11-02T09: 49: 05-04: 00Microsoft® Office Word 20072019-01-17T16: 42: 32 + 01: 002019-01-17T16: 42: 32 + 01: 00application / pdf