Что такое ось симметрии отрезков: Сколько осей симметрии имеет отрезок, прямая?

Содержание

Осевая симметрия | Треугольники

Осевая симметрия — это симметрия относительно прямой.

Пусть дана некоторая прямая g.

Чтобы построить точку, симметричную некоторой точке A относительно прямой g, надо:

1) Провести из точки A к прямой g перпендикуляр AO.

 

2) На продолжении перпендикуляра с другой стороны от прямой g отложить отрезок OA1, равный отрезку AO: OA1=AO.

Полученная точка A1 симметрична точке A относительно прямой g.

Прямая g называется осью симметрии.

Таким образом, точки A и A1 симметричны относительно прямой g, если эта прямая проходит через середину отрезка AA1 и перпендикулярна к нему.

Если точка A лежит на прямой g, то симметричная ей точка есть сама точка A.

Преобразование фигуры F  в фигуру F1, при котором каждая её точка A переходит в точку A1, симметричную относительно данной прямой g, называется преобразованием симметрии относительно прямой

g.

Фигуры F и F1 называются фигурами, симметричными относительно прямой g.

Чтобы построить треугольник, симметричный данному относительно прямой g, достаточно построить точки, симметричные вершинам треугольника, и соединить их отрезками.

Например, треугольники ABC и A1B1C1 симметричны относительно прямой g.

Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру в себя, то такая фигура называется симметричной относительно прямой g, а прямая g называется её осью симметрии.

Симметричная фигура своей осью симметрии делится на две равные половины. Если симметричную фигуру нарисовать на бумаге, вырезать и согнуть по оси симметрии, то эти половинки совпадут.

Примеры фигур, симметричных относительно прямой.

1) Прямоугольник.

Прямоугольник имеет 2 оси симметрии: прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей параллельно сторонам.

2) Ромб.

Ромб имеет две оси симметрии:

прямые, на которых лежат его диагонали.

3) Квадрат, как ромб и прямоугольник, имеет четыре оси симметрии: прямые, содержащие его диагонали, и прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей параллельно сторонам.

4) Окружность.

Окружность имеет бесконечное множество осей симметрии:

любая прямая, содержащая диаметр, является осью симметрии окружности.

5) Прямая.

Прямая также имеет бесконечное множество осей симметрии: любая перпендикулярная ей прямая является для данной прямой осью симметрии.

6) Равнобедренная трапеция.

Равнобедренная трапеция — фигура, симметричная относительно прямой,перпендикулярной основаниям и проходящей через их середины.

7) Равнобедренный треугольник.

Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии:

прямую, проходящую через высоту (медиану, биссектрису), проведённую к основанию.

 

8) Равносторонний треугольник.

Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии:

прямые, содержащие его высоты (медианы, биссектрисы).

 

9) Угол.

Угол — фигура, симметричная относительно прямой, содержащей его биссектрису.

 

Теорема.

Осевая симметрия является движением.

Не удается найти страницу | Autodesk Knowledge Network

(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}}*

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}}/500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$item}} {{l10n_strings.PRODUCTS}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}  

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{l10n_strings.LANGUAGE}} {{$select.selected.display}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR}}  

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

{{$select.selected.display}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}

Страница не найдена — ПриМат

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Олег Шпинарев (7), Людмила Рыбальченко (6), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2),

Осевая и центральная симметрии. Проект «виды симметрии»

Точки X и называются симметричными относительно прямой a, и каждая из них симметричной другой, если a является серидинным перпендикуляром отрезка XX». Каждая точка прямой a считается симметрична самой себе (относительно прямой a). Если дана прямая a, то каждой точке X соответсвует единственная точка X», симметричная X относительно a.

Симметрией плоскости относительно прямой

a называется такое отображение, при котором каждой точке этой плоскости ставится в соответствие точка, симметриченая ей относительно прямой a.

Докажем, что осевая симметрия является движением успульзуя метод координат: примем прямую a за ось x декартовых координат. Тогда при симметрии относительно нее точка, имеющая координаты (x;y) будет преобразована в точку с координатами (x, -y).

Возьмем любые две точки A(x1, y1) и B(x2, y2) и рассмотрим симметричные им относительно оси x точки A»(x1,- y1) и B»(x2, -y2). Вычисляя растояния A»B» и AB, получим

Таким образом осевая симметрия сохраняет расстояние, следовтельно она является движением.

Поворот плоскости относительно цетра O на данный угол () в данном направлении определяется так: каждой точке X плоскости ставится в соответсвие такая точка X», что, во-первых, OX»=OX, во-вторых и, в-третих, луч OX» откладывается от луча OX в заданном направлении. Точка O называется центром поворота , а угол —углом поворота .

Докажем, что поворот является движением:

Пусть при повороте вокруг точки O точкам X и Y сопостовляются точки X» и Y». Покажем, что X»Y»=XY.

Рассмотрим общий случай, когда точки O, X, Y не лежат на одной прямой. Тогда угол X»OY» равен углу XOY. Действительно, пусть угол XOY от OX к OY отсчитывается в направлении поворота. (Если это не так, то рассматриваем угол YOX). Тогда угол между OX и OY» равен сумме угла XOY и угла поворота (от OY к OY»):

с другой стороны,

Так как (как углы поворота), следовтельно. Кроме того, OX»=OX, и OY»=OY. Поэтому — по двум сторонам и углу между ними. Следовтельно X»Y»=XY.

Если же точки O, X, Y лежат на одной прямой, то отрезки XY и X»Y» будут либо суммой, любо разностью равных отрезков OX, OY и OX», OY». Поэтому и в этом случае X»Y»=XY. Итак, поворот является движением.

Классный час в 9 классе, стратегия «

Продвинутая лекция »

Осевая и центральная симметрия, параллельный перенос,


поворот — как движения плоскости

Буякова Елена Валерьевна

Цель : показать различные способы задания уравнения прямой и общее уравнение прямой.

Задачи :

1) ознакомиться с такими понятиями, как направляющий вектор и вектор нормали прямой;

2) показать четыре различных способа задания уравнения прямой;

3) показать взаимозаменяемость различных способов задания прямой.

Ход урока .

1. Тема урока. Разбиение класса на пары.

2. Инструктаж по чтению текста (приложение 1) и выполнению работы

Чтение и заполнение ведутся индивидуально. Текст разбит на две части.

Первый номер пары проверяет соответствие выписаных слов читаемому тексту.

Второй номер пары запоминает основные факты, с тем, что объяснить первому номеру.

Вторую часть текста пары читают, поменявшись ролями.

3. Вопрос к первой части: Что вы помните о осевой и центральной симметрии ?

4. Вопрос ко второй части текста: Какие ассоциации у вас возникают с темой «параллельный перенос, поворот »?

На доску выписываются слова — ассоциации, найденные каждой парой (без повторов), в тетрадях учащиеся пополняют свои списки данных слов. После чего читается соответствующий текст.

5. Обсуждение в парах.

6. Рефлексия — 10 минутное эссе на тему «Движения плоскости: виды и их отличия»

Приложение 1

Определение. Симметрия (означает «соразмерность») — свойство геометрических объектов совмещаться с собой при определенных преобразованиях. Под симметрией понимают всякую правильность во внутреннем строении тела или фигуры.

Симметрия относительно точки — это центральная симметрия (рис. 23 ниже), а симметрия относительно прямой — это осевая симметрия (рис. 24 ниже).

Симметрия относительно точки предполагает, что по обе стороны от точки на одинаковых расстояниях находится что-либо, например другие точки или геометрическое место точек (прямые линии, кривые линии, геометрические фигуры).

Если соединить прямой симметричные точки (точки геометрической фигуры) через точку симметрии, то симметричные точки будут лежать на концах прямой, а точка симметрии будет ее серединой. Если закрепить точку симметрии и вращать прямую, то симметричные точки опишут кривые, каждая точка которых тоже будет симметрична точке другой кривой линии.

Симметрия относительно прямой (оси симметрии) предполагает, что по перпендикуляру, проведенному через каждую точку оси симметрии, на одинаковом расстоянии от нее расположены две симметричные точки. Относительно оси симметрии (прямой) могут располагаться те же геометрические фигуры, что и относительно точки симметрии.

Примером может служить лист тетради, который согнут пополам, если по линии сгиба провести прямую линию (ось симметрии). Каждая точка одной половины листа будет иметь симметричную точку на второй половине листа, если они расположены на одинаковом расстоянии от линии сгиба на перпендикуляре к оси.

Линия осевой симметрии, как на рисунке 24, вертикальна, и горизонтальные края листа перпендикулярны ей. Т. е. ось симметрии служит перпендикуляром к серединам горизонтальных ограничивающих лист прямых. Симметричные точки (R и F, C и D) расположены на одинаковом расстоянии от осевой прямой — перпендикуляра к прямым, соединяющим эти точки. Следовательно, все точки перпендикуляра (оси симметрии), проведенного через середину отрезка, равноудалены от его концов; или любая точка перпендикуляра (оси симметрии) к середине отрезка равноудалена от концов этого отрезка.

Параллельный перенос

Параллельным переносом называется такое движение, при котором все точки плоскости перемещаются в одном и том же направлении на одинаковое расстояние.

Подробнее: параллельный перенос произвольным точкам плоскости X и Y ставит в соответсвие такие точки X» и Y», что XX»=YY» или еще можно сказать так: параллельный перенос это отображение, при котором все точки плоскости перемещаются на один и тот же вектор — вектор переноса . Параллельный перенос задается вектором переноса: зная этот вектор всегда можно сказать, в какую точку перейдет любая точка плоскости.

Параллельный перенос является движением, сохраняющим направления. Дейсвтительно, пусть при параллельном переносе точки X и Y перешли в точки X» и Y» соответственно. Тогда выполняется равенство XX»=YY». Но из этого равенства по признаку равных векторов следут, что XY=X»Y», откуда получаем, что во-первых XY=X»Y», то есть параллельный перенос является движением, и во вторых, что XY X»Y», то есть при параллельном переносе сохраняются направления.

Это свойство параллельного переноса — его характерное свойство, то есть справедливо утверждение: движение, сохраняющее направления является параллельным переносом.

Поворот

Поворот плоскости относительно цетра O на данный угол () в данном направлении определяется так: каждой точке X плоскости ставится в соответсвие такая точка X», что, во-первых, OX»=OX, во-вторых и, в-третих, луч OX» откладывается от луча OX в заданном направлении. Точка O называется центром поворота , а угол —углом поворота .

Докажем, что поворот является движением:

Пусть при повороте вокруг точки O точкам X и Y сопостовляются точки X» и Y». Покажем, что X»Y»=XY.

Рассмотрим общий случай, когда точки O, X, Y не лежат на одной прямой. Тогда угол X»OY» равен углу XOY. Действительно, пусть угол XOY от OX к OY отсчитывается в направлении поворота. (Если это не так, то рассматриваем угол YOX). Тогда угол между OX и OY» равен сумме угла XOY и угла поворота (от OY к OY»):

с другой стороны,

Так как (как углы поворота), следовтельно . Кроме того, OX»=OX, и OY»=OY. Поэтому — по двум сторонам и углу между ними. Следовтельно X»Y»=XY.

Если же точки O, X, Y лежат на одной прямой, то отрезки XY и X»Y» будут либо суммой, любо разностью равных отрезков OX, OY и OX», OY». Поэтому и в этом случае X»Y»=XY. Итак, поворот является движением.

Вам хорошо знакомо слово симметрия. Наверное, когда вы его произносите, то вспоминаете бабочку или клиновый лист, в которых мысленно можно провести прямую ось и части, которые будут расположены по разные стороны от этой прямой будут практически одинаковыми.
Это представление – правильное. Но это только один из видов симметрии, которую изучает математика, так называемая осевая симметрия. Кроме того, существует более общее понятие симметрии.
Общее понятие симметрии характеризует особую структуру организации любых систем, в которой сохраняются (остаются инвариантными) определенные признаки при выполнении определенных преобразований. Признаки, которые будут сохраняться, могут быть геометрическими, физическими, биологическими, химическими, информационными и т. д.

Рассматривая симметрию в архитектуре, нас будет интересовать геометрическая симметрия – симметрия формы как соразмерность частей целого. Замечено, что при выполнении определенных преобразований над геометрическими фигурами, их части, переместившись в новое положение, вновь будут образовывать первоначальную фигуру. Например, если провести прямую через высоту равнобедренного треугольника к основанию, и части треугольника, расположенные по разные стороны от этой прямой, поменять местами, то мы получим тот же (в смысле формы и размеров) равнобедренный треугольник; пятиконечная звезда при повороте на угол 72 градуса вокруг центральной точки (точки пересечения ее лучей) займет первоначальное положение. В приведенных примерах рассматриваются разные виды симметрии. В первом случае речь идет об осевой симметрии. Части, которые, если можно так сказать, взаимозаменяют друг друга, образованы некоторой прямой. Эту прямую принято называть осью симметрии. В пространстве аналогом оси симметрии является плоскость симметрии. Таким образом, в пространстве обычно рассматривается симметрия относительно плоскости симметрии. Например, куб симметричен относительно плоскости, проходящей через его диагональ. Имея ввиду оба случая (плоскости и пространства), этот вид симметрии иногда называют зеркальной. Название это оправдано тем, что обе части фигуры, находящиеся по разные стороны от оси симметрии или плоскости симметрии, похожи на некоторый объект и его отражение в зеркале. Заметим, что вы можете встретиться и с другим названием этого вида симметрии. Например, в биологии указанный вид симметрии называют билатеральным, а плоскость симметрии – билатеральной плоскостью.

Кроме зеркальной симметрии рассматривается центральная или поворотная симметрия. В этом случае переход частей в новое положение и образование исходной фигуры происходит при повороте этой фигуры на определенный угол вокруг точки, которая обычно называется центром поворота. Отсюда и приведенные выше названия указанного вида симметрии. Поворотная симметрия рассматривалась в примере с пятиконечной звездой. Поворотная симметрия может рассматриваться и в пространстве. Куб при повороте вокруг точки пересечения его диагоналей на угол 90° в плоскости, параллельной любой грани, перейдет в себя. Поэтому можно сказать, что куб является фигурой центрально симметричной или обладающей поворотной симметрией.

Еще одним видом симметрии, о которой мы пока не говорили, является переносная симметрия. Этот вид симметрии состоит в том, что части целой формы организованы таким образом, что каждая следующая повторяет предыдущую и отстоит от нее на определенный интервал в определенном направлении. Этот интервал называют шагом симметрии. Переносная симметрия обычно используется при построении бордюров. В произведениях архитектурного искусства ее можно увидеть в орнаментах или решетках, которые используются для их украшения. Переносная симметрия используется и в интерьерах зданий.

Архитектурные сооружения, созданные человеком, в большей своей части симметричны. Они приятны для глаза, их люди считают красивыми. С чем это связано? Здесь можно высказать только предположения.
Во-первых, все мы с вами живем в симметричном мире, который обусловлен условиями жизни на планете Земля, прежде всего существующей здесь гравитацией. И, скорее всего, подсознательно человек понимает, что симметрия это форма устойчивости, а значит существования на нашей планете. Поэтому в рукотворных вещах он интуитивно стремится к симметрии.
Во-вторых, окружающие человека люди, растения, животные и вещи симметричны. Однако при ближайшем рассмотрении оказывается, что природные объекты (в отличие от рукотворных) только почти симметричны. Но это не всегда воспринимает глаз человека. Глаз человека привыкает видеть симметричные объекты. Они воспринимаются как гармоничные и совершенные.
Симметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, а значит внутреннего порядка. Внешне этот внутренний порядок воспринимается как красота.
Симметричные объекты обладают высокой степенью целесообразности – ведь симметричные предметы обладают большей устойчивостью и равной функциональностью в разных направлениях. Все это привело человека к мысли, что чтобы сооружение было красивым оно должно быть симметричным. Симметрия использовалась при сооружении культовых и бытовых сооружений в Древнем Египте. Украшения этих сооружений тоже представляют образцы использования симметрии. Но наиболее ярко симметрия проявляется в античных сооружениях Древней Греции, предметах роскоши и орнаментов, украшавших их. С тех пор и до наших дней симметрия в сознании человека стала объективным признаком красоты.
Соблюдение симметрии является первым правилом архитектора при проектировании любого сооружения. Стоит только посмотреть на великолепное произведение Казанский собор в Санкт-Петербурге, чтобы убедиться в этом.
Если мы мысленно проведем вертикальную линию через шпиль на куполе и вершину фронтона, то увидит, что с двух сторон от нее абсолютно одинаковые части сооружения (колоннады и здания собора). Но возможно, что вы не знаете, что в Казанском соборе есть еще одна, если можно так сказать «несостоявшаяся» симметрия.
Дело в том, что по канонам православной церкви вход в собор должен быть с востока, т. е. он должен быть с улицы, которая находится справа от собора и идет перпендикулярно Невскому проспекту. Но, с другой стороны Воронихин понимал, что собор должен быть обращен к главной магистрали города. И тогда он сделал вход в собор с востока, но задумал еще один вход, который украсил прекрасной колоннадой. Чтобы сделать здание совершенным, а значит симметричным, такая же колоннада должны была располагаться с другой стороны собора. Тогда, если бы мы посмотрели на собор сверху, то план его имел бы не одну, а две оси симметрии. Но замыслам архитектора было не суждено сбыться.

Казанский собор в Санкт-Петербурге

Кроме симметрии в архитектуре можно рассматривать антисимметрию и диссимметрию. Антисимметрия это противоположность симметрии, ее отсутствие. Примером антисимметрии в архитектуре является Собор Василия Блаженного в Москве, где симметрия отсутствует полностью в сооружении в целом. Однако, удивительно, что отдельные части этого собора симметричны и это создает его гармонию. Попробуйте привести еще примеры антисимметричных архитектурных сооружений. Диссимметрия – это частичное отсутствие симметрии, расстройство симметрии, выраженное в наличии одних симметричных свойств и отсутствии других. Примером диссимметрии в архитектурном сооружении может служить Екатерининский дворец в Царском селе под Санкт-Петербургом. Практически в нем полностью выдержаны все свойства симметрии за исключением одной детали. Наличие Дворцовой церкви расстраивает симметрию здания в целом. Если же не принимать во внимание эту церковь, то Дворец становится симметричным.

Екатерининский дворец в Царском селе

В современной архитектуре все чаще используются приемы как антисимметрии, так и диссимметрии. Эти поиски часто приводят к весьма интересным результатам. Появляется новая эстетика градостроительства. Завершая наш разговор, мы можем констатировать, что красота есть единство симметрии и диссимметрии.

При изучении темы «Поворот» учащимся дается задание: нарисовать на альбомном листе фигуру, выбрать центр поворота и угол поворота. Построить новую фигуру. Техника работы может быть различной. Например, дети часто используют апп ликацию. На нашей виртуальной выставке вторая работа выполнена в этой технике. А вот на 3 рисунке ученик использовал готовое изображение (аппликация) и вторую подвижную фигуру нарисовал самостоятельно.

Особенно интересны работы, выполненные с помощью карандашей, фломастеров или красок. Конечно, при составлении этих работ дети предварительно изготовили шаблон. Этот шаблон-трафарет помог им при выполнении творческих работ по другим темам «Симметрия относительно прямой», » Симметрия относительно точки «, «Параллельный перенос».

Детям особенно нравиться делать динамические модели. Их можно покрутить и выполнить поворот по часовой стрелке и против часовой стрелки. На представленной выставке только одна работа статическая на первом рисунке. Остальные работы динамические.

Для изготовления динамической модели одну фигуру надо нарисовать на альбомном листе. Вторую фигуру вырезать по шаблону из белого картона. Некоторые ребята вторую подвижную фигуру для большей надежности еще оклеили бесцветной пленкой. Например, красивая рыба в верхнем ряду. Ей уже больше 10 лет, а она выглядит, как новенькая. Не потускнели и не выгорели яркие краски. Для обозначения центра ученики используют маленькую круглую точку из картона, скрепляют подвижную фигуру с альбомным листом с помощью обычных швейных ниток. Некоторые дети использовали металлические гайки. Правда этот вариант не очень эстетично выглядит.

Есть в копилке лучших работ по теме «Поворот» работы, выполненные на фанере с помощью прибора для выжигания. Среди них есть подвижные модели и статические рисунки. Для динамических моделей надо выполнить значительно больший объем работ, ведь подвижную фигура необходимо выпилить. Вот, какая трудоемкая работа!


Лучшие работы оформляются на стенде в классе. А работы на фанере стоят в шкафах. После Выставки в кабинете я архивирую творческие работы в тематические папки, они пополняют методическую базу кабинета. Эта папка представляется на Выставках в гимназии, проходящих в рамках различных методических мероприятий, семинарах. Например, Выставка творческих работ учащихся в рамках Дня открытых дверей в гимназии, на который традиционно приглашаются родители обучающихся.

Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека. И употреблялось скульпторами ещё в 5 веке до нашей эры. Слово “симметрия ” греческое, оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей ”.


Его широко используют все без исключения направления современной науки. Немецкий математик Герман Вейль сказал: “Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство ”. Его деятельность приходится на первую половину ХХ века. Именно он сформулировал определение симметрии, установил по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае. Таким образом, математически строгое представление сформировалось сравнительно недавно – в начале ХХ века.

1.1. Осевая симметрия

Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему (Рисунок 2.1). Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой a также принадлежит этой фигуре (Рисунок 2.2).

Прямая а называется осью симметрии фигуры.

Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

Осевой симметрией обладают такие геометрические фигуры как угол, равнобедренный треугольник, прямоугольник, ромб (Рисунок 2.3).

Фигура может иметь не одну ось симметрии. У прямоугольника их две, у квадрата – четыре, у равностороннего треугольника – три, у круга – любая прямая, проходящая через его центр.

Если присмотреться к буквам алфавита (Рисунок 2.4)., то и среди них можно найти, имеющие горизонтальную или вертикальную, а иногда и обе оси симметрии. Объекты, имеющие оси симметрии достаточно часто встречаются в живой и неживой природе.

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

В своей деятельности человек создаёт много объектов (в том числе и орнаменты), имеющих несколько осей симметрии.

1.2 Центральная симметрия

Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О — середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе (Рисунок 2.5).

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре .

Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм (Рисунок 2.6).

Точка О называется центром симметрии фигуры. В подобных случаях фигура обладает центральной симметрией. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма — точка пересечения его диагоналей.

Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии у прямой их бесконечно много — любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

1.3. Поворотная симметрия

Предположим, что объект совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360°/n (или кратный этой величине), где n = 2, 3, 4, … В этом случае о поворотной симметрии, а указанную ось называют поворотной осью n-го порядка.

Рассмотрим примеры со всеми известными буквами «И » и «Ф ». Что касается буквы «И », то у нее есть так называемая поворотная симметрия. Если повернуть букву «И » на 180° вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой.

Иными словами, буква «И » симметрична относительно поворота на 180°. Заметим, что поворотной симметрией обладает также буква «Ф ».

На рисунке 2.7. даны примеры простых объектов с поворотными осями разного порядка – от 2-го до 5-го.

Тест по геометрии «Движение». 9 класс

Вариант 1

  1. Какое высказывание верное? 1) Прямоугольник имеет две оси симметрии, это его диагонали; 2) Прямоугольник имеет две оси симметрии, это два серединных перпендикуляра к его сторонам; 3) Прямоугольник имеет четыре оси симметрии.

  2. Сколько осей симметрии имеет угол? 1) Не имеет; 2) Одну; 3) Бесконечно много.

  3. Какое высказывание неверное? 1) Две фигуры, симметричные друг другу относительно некоторой прямой равны; 2) Прямая, проходящая через середину отрезка, является его осью симметрии; 3) Центр поворота, при котором точка А переходит в точку В, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.

  4. В параллелограмме ABCD диагональ АС является осью симметрии. Тогда ABCD не может быть … 1) прямоугольником; 2) ромбом; 3) квадратом.

  5. Неверно, что … 1) точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии; 2) четырехугольник, имеющий ось симметрии, является параллелограммом; 3) ни один треугольник не имеет центра симметрии.

  6. Одну сторону правильного треугольника нельзя отобразить на другую сторону с помощью … 1) центральной симметрии; 2) осевой симметрии; 3) поворота.

  7. Одну диагональ равнобедренной трапеции можно отобразить на другую диагональ с помощью … 1) центральной симметрии; 2) осевой симметрии; 3) параллельного переноса.

  8. Вектор нельзя отобразить на противоположные ему вектор с помощью … 1) центральной симметрии; 2) поворота; 3) параллельного переноса.

  9. В треугольнике АВС AD, BF и CE – медианы. При параллельном переносе точка F отображается на точку D, а точка Е на точку …

  10. В правильном треугольнике АВС биссектрисы AD, BF и CE пересекаются в точке О. При повороте с центром в точке О точка F отображается на точку D. Тогда угол поворота равен …

  11. При параллельном переносе на вектор точка А отображается на точку В. Тогда при параллельном переносе на вектор середина отрезка АВ отобразится на точку …

  12. При параллельном переносе на вектор точка А отображается на точку В. Тогда при параллельном переносе на вектор точка С отобразится на точку …

  13. Правильный п-угольник имеет не менее 19 осей симметрии и не имеет центра симметрии. Тогда наименьшее значение п равно …

  14. Правильный п-угольник имеет п осей симметрии и центр симметрии. Тогда п … (четное или нечетное)

Вариант 2

  1. Какое высказывание верное? 1) Ромб имеет две оси симметрии, это его диагонали; 2) Ромб имеет две оси симметрии, это два серединных перпендикуляра к его сторонам; 3) Ромб имеет четыре оси симметрии.

  2. Сколько осей симметрии имеет прямая? 1) Не имеет; 2) Одну; 3) Бесконечно много.

  3. Какое высказывание неверное? 1) При центральной симметрии два соответственных отрезка параллельны; 2) Центр поворота, при котором точка А переходит в точку А1, а точка В переходит в точку В1, является пересечением отрезков АА1 и ВВ1; 3) Фигура, имеющая две взаимно перпендикулярные оси симметрии, является центрально-симметричной.

  4. Преобразование плоскости, не являющееся движением, — … 1) поворот; 2) параллельный перенос; 3) гомотетия.

  5. В четырехугольнике ABCD диагонали АС и ВD являются осями симметрии. Тогда ABCD — … 1) прямоугольник; 2) равнобедренная трапеция; 3) ромб.

  6. Одну диагональ прямоугольника нельзя отобразить на другую диагональ с помощью … 1) центральной симметрии; 2) параллельного переноса; 3) поворота.

  7. Одну боковую сторону равнобедренной трапеции можно отобразить на другую с помощью … 1) центральной симметрии; 2) параллельного переноса; 3) поворота.

  8. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. При повороте с центром в точке О квадрат отображается на себя. Тогда угол поворота равен … 1) 45°; 2) 90°; 3) 135°.

  9. В треугольнике АВС AD, BF и CE – медианы. При параллельном переносе точка Е отображается на точку А, а точка D на точку …

  10. В правильном треугольнике АВС высоты AD, BF и CE пересекаются в точке О. При повороте с центром в точке О точка D отображается на точку М, такую, что М ВО и ВМ=МО. Тогда угол поворота равен …

  11. При параллельном переносе на вектор точка А отображается на точку В. Тогда при параллельном переносе на вектор середина отрезка АВ отобразится на точку …

  12. При параллельном переносе на вектор точка А отображается на точку В. Тогда при параллельном переносе на вектор точка В отобразится на точку …

  13. Правильный п-угольник имеет не менее 19 осей симметрии и центр симметрии. Тогда наименьшее значение п равно …

  14. Правильный п-угольник имеет п осей симметрии и не имеет центра симметрии. Тогда п … (четное или нечетное)

Ответы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Вариант 1

2

2

2

1

2

1

2

3

В

120

А

А

19

четное

Вариант 2

1

3

2

3

3

2

3

2

F

60

В

D

20

нечетное

Симметричные фигуры

Фигуры могут обладать симметрией относительно точки и относительно прямой.

Фигура симметрична относительно точки тогда, когда в ней есть некая точка (центр симметрии), относительно которой у каждой другой точки фигуры есть симметричная точка этой же фигуры. Например, если отрезок разделить пополам, то центральная его точка будет центром симметрии, а концы отрезков симметричными относительно его. То есть симметричные точки находятся на одинаковом расстоянии от центра симметрии.

Еще одним примером фигуры, обладающей центральной симметрией является круг. Если представить, что в центр круга вбит гвоздик, то как круг не поворачивай, он всегда совместится сам с собой.

Параллелограмм также обладает центральной симметрией. Центром симметрии у него является точка пересечения диагоналей. Если параллелограмм повернуть на 180°, то он совместится сам с собой.

Все правильные многоугольники с четным количеством сторон (2n) также обладают центральной симметрией. Точками симметрии являются центры таких многоугольников.

Также многие фигуры симметричны относительно прямой. В таких фигурах можно провести прямую (ось симметрии), относительно которой все другие точки фигуры будут иметь соответствующие симметричные им точки. То есть если такую фигуру перегнуть вдоль оси симметрии, то половинки полностью совместятся. Другими словами, такие фигуры обладают осевой симметрией.

Угол (кроме развернутого) имеет одну осевую симметрию. Ось симметрии проходит по биссектрисе угла. А вот развернутый угол по сути представляет собой прямую, поэтому обладает центральной симметрией (симметрией относительно точки).

У равнобедренного треугольника есть одна ось симметрии. Это медиана (она же биссектриса и высота) к основанию. А вот у равностороннего треугольника три оси симметрии. Точка пересечения биссектрис равностороннего треугольника — является точкой симметрии фигуры. Таким образом, равносторонний треугольник обладает и центральной и осевой симметрией. Равнобедренный — только осевой.

Разные фигуры имеют различное количество осей симметрии. Так у круга их бесконечное множество. У квадрата четыре оси симметрии (прямые, делящие стороны пополам, и диагонали), у прямоугольника — только две (прямые, делящие стороны пополам).

Любой правильный многоугольник имеет количество осей симметрии, равное количеству его сторон.

Осей симметрии нет у параллелограмма (кроме ромба), неравнобедренных трапеции и треугольника.

Разрезание на две равные части, часть третья / Хабр

Первая часть
Первая часть второй части
Вторая часть второй части

Ну что ж, господа, пора заканчивать. В последней статье цикла (название которой разрывает мой ещё толком не проснувшийся шаблон) мы поставим жирную точку в истории этой задачи. Несмотря на то, что в комментариях ко второй части был предложен более удобный и универсальный способ это сделать, я всё же воспользуюсь инструментарием, разработанным лично мной ещё до написания первой из статей. Во-первых, не пропадать же добру, а во-вторых, я думаю, все понимают, что задача — это просто повод порисовать красивые чертёжики в GeoGebra и запостить их на хабр. Ну, как говорится, понеслась.

Случай 3: скользящая симмметрия

Скользящая симметрия определяется следующими параметрами: осью симметрии и параллельным ей вектором сдвига. Ось симметрии, в свою очередь, определяется направлением и конкретным положением на плоскости. Сейчас я набросаю некоторое количество следующих друг из друга фактов, достаточно очевидных, чтобы не называть их даже леммами, и уж тем более не доказывать.

  • Ось скользящей симметрии равноудалена от границ (понятие границы невозбранно берём из случая параллельного переноса).
  • Если взять отрезок с концами на разных границах, то ось симметрии пройдёт через его середину.
  • Задав направление оси скользящей симметрии, мы автоматически узнаём и её конкретное положение. Если обе границы состоят из единственной точки, то мы знаем ещё и вектор сдвига.
  • Части, на которые фигура делится осью, имеют равную площадь (этот факт не следует из предыдущих)

Вооружившись этими фактами, я нарисовал вот такую картинку:

Из неё видно, что для большинства направлений на границах окажутся либо точки А и Е, либо точки B и F, а следовательно, ось пройдёт через «центр» фигуры (пересечение диагоналей прямоугольника ABEF). Второе место по распространённости занимает случай с точками C и F, почётное третье — с точками C и A. В этих случаях, очевидно, ось симметрии будет проходить через середины отрезков CF и CA соответственно.

Теперь посмотрим, при каких направлениях ось будет делить фигуру на две равновеликих части. Не вдаваясь в утомительные подробности, скажу просто: а вот при таких.

Теперь у нас есть три конкретных оси и, более того, к ним прилагаются три конкретных вектора сдвига — ведь границы во всех случаях состоят из одной точки. Нетрудно показать, что для всех этих трёх скользящих симметрий найдутся точки фигуры, для которых нет ни образа, ни прообраза — что, согласно лемме 3, означает, что это плохие, негодные скользящие симметрии, которые не могут соответствовать разбиению фигуры на две равные части. Поиск конкретных точек я оставляю читателю.

Вывод

Фигуру А

0нельзя

разрезать на две равные части. Теперь я с чистой совестью пойду пересматривать «А зори здесь тихие». С Днём Победы, товарищи хабровчане.

Линия симметрии линейного сегмента — это биссектриса, класс 8 математика CBSE

Подсказка: Здесь мы должны использовать концепцию линии симметрии. Итак, линия симметрии отрезка проходит через его центр. Итак, мы должны определить, как линия проходит через центр сегмента линии и делит сегмент линии на две одинаковые или идентичные половины.

Полный пошаговый ответ:
Линия симметрии — это воображаемая линия или ось, которая делит фигуру или фигуру на две абсолютно одинаковые или идентичные половины, а линия симметрии обычно проходит через центр фигуры.
Итак, мы знаем, что существует бесконечное количество прямых, проходящих через центр линейного сегмента под любым углом, и любая прямая линия, проходящая через центр линейного сегмента, всегда делит линейный сегмент на две половины. Но мы должны увидеть, под каким углом эта линия, проходящая через центр отрезка, делит отрезок на две одинаковые или идентичные половины.
Итак, мы знаем, что только прямая линия, которая проходит через центр линейного сегмента под прямым углом, делит линейный сегмент на две одинаковые или идентичные половины, что означает, что линия симметрии линейного сегмента является серединным перпендикуляром отрезка прямой. отрезок.
Следовательно, линия симметрии отрезка прямой является серединным перпендикуляром отрезка.
Итак, вариант А — правильный вариант.

Примечание: Если фигура или объект имеет линию симметрии, то считается, что объект или форма симметричны по своей природе. Природа использует симметрию, чтобы делать вещи красивыми. Симметрию часто видят в природе люди любого возраста. Симметрия, которую мы видим каждый день в природе, чаще всего является двусторонней симметрией.Это означает, что две половины объекта являются точным зеркальным отображением друг друга.
Обычно существует три типа симметрии
Радиальная симметрия: Организм выглядит как пирог.
Двусторонняя симметрия: есть ось; По обе стороны от оси организм выглядит примерно одинаково.
Сферическая симметрия: Если разрезать организм через его центр, полученные части выглядят одинаково.

Симметрия — Практические материалы для изучения

1.Симметрия линии
Если можно провести линию, разделяющую фигуру на две равные половины, то говорят, что фигура симметрична относительно этой линии. Линия называется линией симметрии или осью симметрии. Мы можем найти примеры объектов, демонстрирующих линейную симметрию в природе. Например, бабочка, некоторые листья и цветы демонстрируют симметрию линий.
Примеры линейной симметрии также можно найти во многих наших старинных и современных зданиях. Объекты, демонстрирующие симметрию линий, выглядят более сбалансированными и красивыми.У фигуры может быть одна или несколько линий симметрии.
Линия симметрии отрезка — это середина его перпендикуляра. Биссектриса угла — это линия симметрии угла.
Форма воздушного змея имеет только одну линию симметрии вдоль одной из диагоналей.

Прямоугольник имеет две линии симметрии вдоль отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.

Равносторонний треугольник имеет три линии симметрии вдоль отрезков прямых, соединяющих вершину и середину его противоположной стороны.

Квадрат имеет четыре линии симметрии по диагоналям и отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.

Окружность имеет бесконечное количество линий симметрии по всем диаметрам круга.

Ромб имеет две линии симметрии по диагоналям. Полукруг имеет одну линию симметрии вдоль перпендикуляра, проведенного на диаметре. Разносторонний треугольник не имеет линий симметрии. Равнобедренный треугольник имеет одну линию симметрии вдоль отрезка прямой, соединяющего вершину и середину неравной стороны.У параллелограмма нет линии симметрии.
Завершая данную фигуру относительно данной линии симметрии, убедитесь, что:
• Каждая часть построенной фигуры равна по размеру ее соответствующей части на данном рисунке.
• Каждая точка на данной фигуре и соответствующая ей точка на построенной фигуре находятся на одинаковом расстоянии от линии симметрии.

2. Зеркальная симметрия
Линия симметрии связана с зеркальным отражением. Предмет и его зеркальное отображение равны по форме и размеру.

Зеркальная линия
Объект и его изображение всегда находятся на одинаковом расстоянии от поверхности зеркала, которое называется зеркальной линией.
В зеркале левая и правая стороны объекта кажутся перевернутыми. Объект и его изображение демонстрируют зеркальную симметрию, причем зеркальная линия является линией симметрии. В калейдоскопе зеркала используются для создания изображений с несколькими линиями симметрии.
Буквы, написанные справа налево, появляются написанные слева направо в их зеркальном отображении.Буквы A, H, I, M, O, T, U, V, W, X и Y выглядят одинаково в их зеркальном отображении.
Все остальные буквы алфавита в зеркальном отображении оказываются перевернутыми. Симметрия имеет множество применений в реальной жизни, например, в искусстве, архитектуре, текстильном дизайне, геометрическом мышлении, коламах, ранголи и т. Д.

Doc navigation

← Соотношение и пропорцииПрактическая геометрия → Была ли эта статья вам полезна? да Нет 1

Линия симметрии

Линия симметрии — это линия, разделяющая фигуру на две зеркальные части.На рисунке ниже линии симметрии делят фигуры на зеркальные изображения.

Математика симметрии

Математически линия симметрии — это линия отражения, которая отображает любую точку на фигуре обратно на фигуру.

Линия, пересекающая большую ось эллипса выше, является линией симметрии. Когда A и B отражаются через него, они отображаются на A ‘и B’, также на эллипсе. Это верно для любой точки эллипса.

Не все линии отражения также являются линиями симметрии только потому, что они делят фигуру на две равные части.Хотя линия, проходящая через вершины неправильного шестиугольника ниже, делит его на две равные части, это не линия симметрии. Точка A на шестиугольнике отражается в точку A ‘, которая не находится на шестиугольнике.

Линия симметрии известна как жесткое движение (или преобразование) в геометрии, поскольку фигура, которая отражается поперек нее, не меняет размер или форму, а только «переворачивается» поперек линии симметрии.

Множественные линии отражения

У геометрической фигуры может быть более одной линии отражения.Обратите внимание, что линии отражения пересекаются в центре рисунка ниже.

Неправильный шестиугольник сверху имеет две линии симметрии.

Любой правильный многоугольник имеет такое же количество линий симметрии, как и количество его сторон.

Вогнутый десятиугольник, показанный ниже, имеет только 5 линий симметрии, хотя его стороны имеют одинаковую длину. Правильными могут быть только выпуклые многоугольники.

У круга бесконечное количество линий симметрии. Подобно правильному шестиугольнику, каждая линия симметрии пересекается в центре круга.

Симметрия в координатной плоскости

В координатной плоскости график уравнения может иметь симметрию относительно оси x, y или какой-либо другой линии.

Говорят, что граф имеет симметрию по оси x, если всякий раз, когда точка (x, y) находится на графике, то (x, -y) также находится на графике.

Граф имеет симметрию оси Y, если всякий раз, когда точка (x, y) находится на графике, то (-x, y) также находится на графике.

Также возможна симметрия графика относительно какой-либо другой линии.

См. Также симметрию.


Парабола | Колледж алгебры

Результаты обучения

  • График парабол с вершинами в начале координат.
  • Напишите уравнения парабол в стандартной форме.
  • Изобразите параболы с вершинами не в начале координат.
  • Решать прикладные задачи с параболами.

Знаете ли вы, что олимпийский факел зажигается за несколько месяцев до начала игр? Обрядовый метод зажигания пламени такой же, как и в древности.Церемония проходит в Храме Геры в Олимпии, Греция, и уходит корнями в греческую мифологию, отдавая дань уважения Прометею, который украл огонь у Зевса, чтобы раздать его всем людям. Одна из одиннадцати действующих жриц помещает факел в фокус параболического зеркала, которое фокусирует световые лучи от солнца, чтобы зажечь пламя.

Олимпийский факел завершает свое кругосветное путешествие, когда его зажигают в олимпийском котле во время церемонии открытия. (Источник: Кен Хэкман, ВВС США)

Параболические зеркала (или отражатели) способны улавливать энергию и фокусировать ее в одной точке.О преимуществах этого свойства свидетельствует обширный список параболических объектов, которые мы используем каждый день: спутниковые антенны, подвесные мосты, телескопы, микрофоны, прожекторы, автомобильные фары и многие другие. Параболические отражатели также используются в устройствах альтернативной энергетики, таких как солнечные плиты и водонагреватели, поскольку они недороги в производстве и не требуют значительного обслуживания. В этом разделе мы рассмотрим параболу и ее использование, в том числе недорогие, энергоэффективные солнечные конструкции.

Параболы с вершинами в начале координат

В «Эллипсе» мы видели, что эллипс образуется, когда плоскость пересекает правый круговой конус. Если плоскость параллельна краю конуса, образуется неограниченная кривая. Эта кривая представляет собой параболу .

Парабола

Подобно эллипсу и гиперболе , парабола также может быть определена набором точек на координатной плоскости. Парабола — это набор всех точек [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex] в плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от фиксированной линии, называемой направляющей , и фиксированной точки ( фокус ) не на директрисе.

Ранее мы узнали о вершине параболы и оси симметрии. Теперь мы расширяем обсуждение, чтобы включить другие ключевые особенности параболы. Обратите внимание, что ось симметрии проходит через фокус и вершину и перпендикулярна направляющей. Вершина — это середина между направляющей и фокусом.

Линейный сегмент, проходящий через фокус и параллельный директрисе, называется прямой прямой кишкой , также называется фокусным диаметром .Концы фокусного диаметра лежат на кривой. По определению, расстояние [latex] d [/ latex] от фокуса до любой точки [latex] P [/ latex] на параболе равно расстоянию от [latex] P [/ latex] до направляющей.

Основные характеристики параболы

Для работы с параболами в координатной плоскости мы рассматриваем два случая: с вершиной в начале координат и с вершиной в точке, отличной от начала координат. {2} = 4py [/ latex] [латекс] \ left (0, \ text {} p \ right) [/ latex] [латекс] y = -p [/ латекс] [латекс] \ left (\ pm 2p, \ text {} p \ right) [/ latex]

(a) Когда [латекс] p> 0 [/ латекс] и ось симметрии является осью x, парабола открывается вправо.(b) Когда [латекс] p <0 [/ латекс] и ось симметрии является осью x, парабола открывается влево. (c) Когда [латекс] p <0 [/ латекс] и ось симметрии является осью y, парабола раскрывается. (d) Когда [latex] \ text {} p <0 \ text {} [/ latex] и ось симметрии является осью Y, парабола открывается вниз.

Ключевые особенности параболы — ее вершина, ось симметрии, фокус, директриса и фокусный диаметр. Получив стандартное уравнение для параболы с центром в начале координат, мы можем легко определить ключевые особенности для построения графика параболы.{2} = 4px [/ latex], тогда

  • ось симметрии — ось x , [латекс] y = 0 [/ латекс]
  • установите [latex] 4p [/ latex] равным коэффициенту x в данном уравнении, чтобы решить для [latex] p [/ latex]. Если [latex] p> 0 [/ latex], парабола открывается вправо. Если [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается влево.
  • используйте [latex] p [/ latex], чтобы найти координаты фокуса, [latex] \ left (p, 0 \ right) [/ latex]
  • используйте [latex] p [/ latex], чтобы найти уравнение директрисы, [latex] x = -p [/ latex]
  • используйте [latex] p [/ latex], чтобы найти конечные точки фокусного диаметра, [latex] \ left (p, \ pm 2p \ right) [/ latex].{2} = 4py [/ latex], тогда
    • ось симметрии — ось y , [латекс] x = 0 [/ латекс]
    • установите [latex] 4p [/ latex] равным коэффициенту y в данном уравнении, чтобы решить для [latex] p [/ latex]. Если [latex] p> 0 [/ latex], парабола раскрывается. Если [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается вниз.
    • используйте [latex] p [/ latex], чтобы найти координаты фокуса, [latex] \ left (0, p \ right) [/ latex]
    • используйте [latex] p [/ latex], чтобы найти уравнение директрисы, [latex] y = -p [/ latex]
    • используйте [latex] p [/ latex], чтобы найти конечные точки фокусного диаметра, [latex] \ left (\ pm 2p, p \ right) [/ latex]
  • Постройте фокус, директрису и фокусный диаметр и нарисуйте плавную кривую, чтобы сформировать параболу.{2} = 4 пикселя [/ латекс]. Таким образом, осью симметрии является ось x . Отсюда следует, что:

    • [латекс] 24 = 4p [/ латекс], поэтому [латекс] p = 6 [/ латекс]. Поскольку [latex] p> 0 [/ latex], парабола открывается вправо, координаты фокуса [latex] \ left (p, 0 \ right) = \ left (6,0 \ right) [/ latex]
    • уравнение директрисы [латекс] x = -p = -6 [/ latex]
    • конечные точки фокусного диаметра имеют одинаковую координату x в фокусе. Чтобы найти конечные точки, подставьте [latex] x = 6 [/ latex] в исходное уравнение: [latex] \ left (6, \ pm 12 \ right) [/ latex]

    Затем мы наносим фокус, директрису и диаметр фокуса и рисуем плавную кривую, чтобы сформировать параболу .{2} = 4py [/ latex]. Таким образом, ось симметрии — это ось y . Отсюда следует, что:

    • [латекс] -6 = 4p [/ latex], поэтому [latex] p = — \ frac {3} {2} [/ latex]. Поскольку [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается вниз.
    • координаты фокуса [латекс] \ left (0, p \ right) = \ left (0, — \ frac {3} {2} \ right) [/ latex]
    • уравнение директрисы [латекс] y = -p = \ frac {3} {2} [/ latex]
    • конечные точки фокусного диаметра можно найти, подставив [latex] \ text {} y = \ frac {3} {2} \ text {} [/ latex] в исходное уравнение, [latex] \ left (\ pm 3, — \ frac {3} {2} \ right) [/ latex]

    Затем мы строим фокус, директрису и широчайшую прямую кишку и рисуем плавную кривую, чтобы сформировать параболу .{2} = 8лет [/ латекс]. Определите и обозначьте фокус, директрису и конечные точки фокусного диаметра.

    Показать решение

    Фокус: [латекс] \ влево (0,2 \ вправо) [/ латекс]; Направляющая: [латекс] y = -2 [/ латекс]; Конечные точки прямой кишки: [латекс] \ слева (\ pm 4,2 \ right) [/ latex].

    Написание уравнений парабол в стандартной форме

    В предыдущих примерах мы использовали уравнение стандартной формы параболы, чтобы вычислить расположение ее ключевых характеристик. {2} = 4px [/ latex].{2} = 14лет [/ латекс]

    Параболы с вершинами не в начале координат

    Как и другие графики, с которыми мы работали, график параболы можно преобразовать. Если парабола переведена на [латекс] h [/ латекс] единиц по горизонтали и [латекс] k [/ латекс] единиц по вертикали, то вершина будет [латекс] \ влево (h, k \ right) [/ latex]. Этот перевод приводит к стандартной форме уравнения, которое мы видели ранее, когда [latex] x [/ latex] заменено на [latex] \ left (xh \ right) [/ latex] и [latex] y [/ latex] заменено на [ латекс] \ влево (yk \ right) [/ латекс].{2} = 4p \ left (y-k \ right) [/ latex] для парабол, ось симметрии которых параллельна оси y . Эти стандартные формы приведены ниже вместе с их общими графиками и ключевыми характеристиками.

    A Общее примечание: стандартные формы парабол с вершиной (

    h , k )

    В таблице приведены стандартные характеристики парабол с вершиной в точке [латекс] \ left (h, k \ right) [/ latex]. {2} = 4p \ left (y-k \ right) [/ latex] [латекс] \ left (h, \ text {} k + p \ right) [/ latex] [латекс] y = k-p [/ латекс] [латекс] \ left (h \ pm 2p, \ text {} k + p \ right) [/ latex]

    (a) Когда [латекс] p> 0 [/ латекс], парабола открывается вправо.{2} = 4p \ left (x-h \ right) [/ latex], тогда:

    • используйте данное уравнение для определения [латекс] h [/ латекс] и [латекс] k [/ латекс] для вершины, [латекс] \ left (h, k \ right) [/ latex]
    • используйте значение [latex] k [/ latex] для определения оси симметрии, [latex] y = k [/ latex]
    • установите [latex] 4p [/ latex] равным коэффициенту [latex] \ left (x-h \ right) [/ latex] в данном уравнении, чтобы решить для [latex] p [/ latex]. Если [latex] p> 0 [/ latex], парабола открывается вправо. Если [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается влево.{2} = 4p \ left (y-k \ right) [/ latex], тогда:
      • используйте данное уравнение для определения [латекс] h [/ латекс] и [латекс] k [/ латекс] для вершины, [латекс] \ left (h, k \ right) [/ latex]
      • используйте значение [latex] h [/ latex] для определения оси симметрии, [latex] x = h [/ latex]
      • установите [latex] 4p [/ latex] равным коэффициенту [latex] \ left (y-k \ right) [/ latex] в данном уравнении, чтобы решить для [latex] p [/ latex]. Если [latex] p> 0 [/ latex], парабола раскрывается. Если [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается вниз.
      • используйте [latex] h, k [/ latex] и [latex] p [/ latex], чтобы найти координаты фокуса, [latex] \ left (h, \ text {} k + p \ right) [/ латекс]
      • используйте [latex] k [/ latex] и [latex] p [/ latex], чтобы найти уравнение директрисы, [latex] y = k-p [/ latex]
      • используйте [latex] h, k [/ latex] и [latex] p [/ latex], чтобы найти конечные точки фокусного диаметра, [latex] \ left (h \ pm 2p, \ text {} k + p \ справа) [/ латекс]
    • Постройте вершину, ось симметрии, фокус, директрису и диаметр фокуса и нарисуйте плавную кривую, чтобы сформировать параболу.{2} = 4p \ left (x-h \ right) [/ латекс]. Таким образом, ось симметрии параллельна оси x . Отсюда следует, что:

      • вершина [латекс] \ left (h, k \ right) = \ left (-3,1 \ right) [/ latex]
      • ось симметрии [латекс] y = k = 1 [/ latex]
      • [латекс] -16 = 4p [/ latex], поэтому [latex] p = -4 [/ latex]. Поскольку [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается влево.
      • координаты фокуса [латекс] \ left (h + p, k \ right) = \ left (-3+ \ left (-4 \ right), 1 \ right) = \ left (-7,1 \ справа) [/ латекс]
      • уравнение директрисы [латекс] x = h-p = -3- \ left (-4 \ right) = 1 [/ latex]
      • конечными точками фокусного диаметра являются [латекс] \ left (h + p, k \ pm 2p \ right) = \ left (-3+ \ left (-4 \ right), 1 \ pm 2 \ left (-4 \ right) \ right) [/ latex], или [latex] \ left (-7, -7 \ right) [/ latex] и [latex] \ left (-7,9 \ right) [/ latex]

      Затем мы строим вершину, ось симметрии, фокус, директрису и фокусный диаметр, а также рисуем плавную кривую, чтобы сформировать параболу.{2} = 4 \ left (x — 8 \ right) [/ латекс]. Определите и обозначьте вершину, ось симметрии, фокус, направляющую и конечные точки фокусного диаметра.

      Показать решение

      Вершина: [латекс] \ влево (8, -1 \ вправо) [/ латекс]; Ось симметрии: [латекс] y = -1 [/ латекс]; Фокус: [латекс] \ влево (9, -1 \ вправо) [/ латекс]; Направляющая: [латекс] x = 7 [/ латекс]; Конечные точки прямой кишки: [латекс] \ влево (9, -3 \ вправо) [/ латекс] и [латекс] \ влево (9,1 \ вправо) [/ латекс]. {2} -8x — 28y — 208 = 0 [/ latex].{2} = 4 \ cdot 7 \ cdot \ left (y + 8 \ right) \ end {gather} [/ latex]

      Отсюда следует, что:

      • вершина [латекс] \ left (h, k \ right) = \ left (4, -8 \ right) [/ latex]
      • ось симметрии [латекс] x = h = 4 [/ латекс]
      • , поскольку [latex] p = 7, p> 0 [/ latex] и парабола открывается.
      • координаты фокуса [латекс] \ left (h, k + p \ right) = \ left (4, -8 + 7 \ right) = \ left (4, -1 \ right) [/ latex]
      • уравнение директрисы [латекс] y = k-p = -8 — 7 = -15 [/ latex]
      • конечные точки фокусного диаметра: [латекс] \ left (h \ pm 2p, k + p \ right) = \ left (4 \ pm 2 \ left (7 \ right), — 8 + 7 \ right) [/ латекс], или [латекс] \ left (-10, -1 \ right) [/ latex] и [latex] \ left (18, -1 \ right) [/ latex]

      Затем мы строим вершину, ось симметрии, фокус, директрису и фокусный диаметр, а также рисуем плавную кривую, чтобы сформировать параболу.{2} = — 20 \ влево (у — 3 \ вправо) [/ латекс]. Определите и обозначьте вершину, ось симметрии, фокус, направляющую и конечные точки фокусного диаметра.

      Показать решение

      Вершина: [латекс] \ влево (-2,3 \ вправо) [/ латекс]; Ось симметрии: [латекс] x = -2 [/ латекс]; Фокус: [латекс] \ влево (-2, -2 \ вправо) [/ латекс]; Направляющая: [латекс] y = 8 [/ латекс]; Конечные точки прямой кишки: [латекс] \ влево (-12, -2 \ вправо) [/ латекс] и [латекс] \ влево (8, -2 \ вправо) [/ латекс].

      Решение прикладных задач с использованием парабол

      Как мы упоминали в начале раздела, параболы используются для проектирования многих объектов, которые мы используем каждый день, таких как телескопы, подвесные мосты, микрофоны и радарное оборудование.Параболические зеркала, такие как то, которое используется для освещения олимпийского факела, обладают уникальным отражающим свойством. Когда лучи света, параллельные оси симметрии параболы , направляются к любой поверхности зеркала, свет отражается прямо в фокус. Вот почему олимпийский факел зажигается, когда он находится в фокусе параболического зеркала.

      Отражающее свойство парабол

      Параболические зеркала способны фокусировать энергию солнца в одну точку, повышая температуру на сотни градусов за считанные секунды.Таким образом, параболические зеркала используются во многих недорогих, энергоэффективных солнечных устройствах, таких как солнечные плиты, солнечные обогреватели и даже разжигатели огня для путешествий.

      Пример: решение прикладных задач с использованием парабол

      Поперечный разрез конструкции путевого солнечного стартера. Солнечные лучи отражаются от параболического зеркала в направлении объекта, прикрепленного к воспламенителю. Поскольку воспламенитель расположен в фокусе параболы, отраженные лучи заставляют объект гореть всего за секунды.{2} = 6,8 года && \ text {Заменить 2} \ text {0,25 вместо} x. \\ & y \ приблизительно 0,74 && \ text {Решить для} y. \ end {align} [/ latex]

      Блюдо имеет глубину около 0,74 дюйма.

      Попробуйте

      Солнечные плиты размером с балкон были разработаны для семей, живущих в Индии. Верх тарелки имеет диаметр 1600 мм. Солнечные лучи отражаются от параболического зеркала в сторону «плиты», расположенной на расстоянии 320 мм от основания.

      1. Найдите уравнение, моделирующее поперечное сечение солнечной плиты.{2} = 4p \ left (y-k \ right) [/ латекс]

        Ключевые понятия

        • Парабола — это набор всех точек [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex] в плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от фиксированной линии, называемой директрисой, и фиксированной точки (фокус ) не на директрисе.
        • Стандартная форма параболы с вершиной [latex] \ left (0,0 \ right) [/ latex] и осью симметрии x может использоваться для построения графика параболы. Если [latex] p> 0 [/ latex], парабола открывается вправо.Если [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается влево.
        • Стандартная форма параболы с вершиной [latex] \ left (0,0 \ right) [/ latex] и осью симметрии y в качестве оси симметрии может использоваться для построения графика параболы. Если [latex] p> 0 [/ latex], парабола раскрывается. Если [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается вниз.
        • Если заданы фокус и направляющая параболы, мы можем записать ее уравнение в стандартной форме.
        • Стандартная форма параболы с вершиной [latex] \ left (h, k \ right) [/ latex] и осью симметрии, параллельной оси x , может быть использована для построения графика параболы.Если [latex] p> 0 [/ latex], парабола открывается вправо. Если [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается влево.
        • Стандартная форма параболы с вершиной [latex] \ left (h, k \ right) [/ latex] и осью симметрии, параллельной оси y , может быть использована для построения графика параболы. Если [latex] p> 0 [/ latex], парабола раскрывается. Если [latex] p <0 [/ latex], парабола открывается вниз.
        • Реальные ситуации можно моделировать, используя стандартные уравнения парабол. Например, учитывая диаметр и фокус поперечного сечения параболического отражателя, мы можем найти уравнение, моделирующее его стороны.

        Глоссарий

        directrix линия, перпендикулярная оси симметрии параболы; линия такая, что отношение расстояния между точками конуса и фокуса к расстоянию до директрисы постоянное

        фокус (параболы) неподвижная точка внутри параболы, лежащая на оси симметрии

        диаметр очага (прямая мышца) отрезок прямой, который проходит через фокус параболы параллельно директрисе, с концами на параболе

        парабола набор всех точек [латекс] \ слева (x, y \ справа) [/ latex] в плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от фиксированной линии, называемой директрисой, и фиксированной точки (фокус) не на директрисе

        Что такое ось симметрии?

        Сделайте геометрию прямой осесимметричной или осесимметричной.После того, как одна часть симметричной фигуры повернется вокруг нее на определенный угол, она совпадает с другой частью. Многие фигуры имеют оси симметрии. Например, эллипс и гипербола имеют две оси симметрии, а парабола — одну. Ось симметрии правильного конуса или цилиндра — это прямая линия, проходящая через центр нижней поверхности и центр вершины или центр другой нижней поверхности. [1]

        Сначала введите понятие точечной симметрии относительно прямой: если точки A и B находятся на прямой
        с обеих сторон, а
        — это линия AB
        расстояние между любой точкой на оси симметрия и точка симметрии и т. д.;
        Отрезок, соединенный точкой симметрии, делится пополам по вертикали осью симметрии.
        Следствие: если две фигуры осесимметричны относительно прямой, то две фигуры имеют вид
        Несколько общих осесимметричных и центрально-симметричных графиков: [2]
        Осесимметричная графика : отрезки линий, углы, равнобедренные треугольники , равнобедренные треугольники, ромбы, прямоугольники, квадраты, равнобедренные трапеции, круги, гипербола (с двумя осями симметрии), эллипс (с двумя осями симметрии), парабола (с осью симметрии) и т. д.
        Число осей симметрии : угол имеет ось симметрии, которая является биссектрисой угла; у равнобедренного треугольника есть ось симметрии, которая является биссектрисой нижнего края вертикали; равносторонний треугольник имеет три оси симметрии, которые находятся с трех сторон вертикальными биссектрисами; ромб имеет две оси симметрии, которые представляют собой прямые линии, на которых лежат две диагональные линии, а прямоугольник имеет две оси симметрии, которые являются линиями средней точки двух противоположных сторон;
        Центросимметричная графика : отрезки прямых, параллелограммы, ромбы, прямоугольники, квадраты, круги и т. Д.
        Центр симметрии: Центр симметрии линейного сегмента — это середина линейного сегмента; центр симметрии параллелограмма, ромба, прямоугольника и квадрата — пересечение диагоналей; центр симметрии круга — это центр круга.
        Примечание. Сегменты линий, ромбы, прямоугольники, квадраты и окружности представляют собой как осесимметричную, так и центрально-симметричную графику.
        Осесимметричное преобразование и центрально-симметричное преобразование в системе координат:
        Координата точки P (x, y) относительно симметричной точки P 1 оси x равна (x, -y), а координата координата точки P2 относительно симметрии оси y равна (-x, y).Что касается координат точки P3, которая симметрична относительно начала координат, правило (-x, -y) также может быть записано следующим образом: точки на оси y (оси x) симметричной точки имеют одинаковую ординату ( абсцисса) и абсцисса (ордината) напротив друг друга. Для точки, где начало координат находится в центре симметрии, абсцисса — это число, противоположное исходной абсциссе, а ордината — это число, противоположное исходной ординате, то есть абсцисса и ордината умножаются на -1. [2]
        НА ДРУГИХ ЯЗЫКАХ

        Иллюстративная математика

        Задача

        Ниже представлены изображения четырех четырехугольников: квадрата, прямоугольника, трапеции и параллелограмма.

        Для каждого четырехугольника найдите и проведите все линии симметрии.

        IM Комментарий

        Это задание дает студентам возможность поэкспериментировать с отражениями плоскости и их воздействием на определенные типы четырехугольников.Это оба Интересно и важно то, что эти типы четырехугольников можно отличить по линиям симметрии. С этой точки зрения здесь отсутствуют только изображения ромба и общего четырехугольника, которые не попадают ни в одну из рассматриваемых здесь специальных категорий.

        Это задание лучше всего подходит для обучения, хотя его можно адаптировать для оценивания. Если учащиеся еще не выучили терминологию для трапеций и параллелограммов, учитель может начать с объяснения значения этих терминов.В пункте 4.G.2 говорится, что учащиеся должны классифицировать фигуры на основе наличия или отсутствия параллельных и перпендикулярных линий, поэтому эта задача будет хорошо работать в подразделении, отвечающем всем стандартам кластера 4.G.A.

        Студенты должны сначала попытаться визуализировать линии симметрии, а затем они могут сделать или получить вырезы четырех четырехугольников или обвести их на кальке. Студентам полезно поэкспериментировать и увидеть, что идет не так, например, при отражении прямоугольника (который не является квадратом) по диагонали.Это упражнение помогает развить навыки визуализации, а также получить опыт работы с различными формами и их поведением при отражении.

        Учащимся следует вернуться к этой задаче как в средней, так и в старшей школе, чтобы проанализировать ее с более сложной точки зрения по мере того, как они разрабатывают инструменты для этого. В восьмом классе четырехугольникам можно дать координаты, и ученики могут изучить свойства отражений в системе координат. В старших классах учащиеся могут использовать абстрактные определения отражений и различных четырехугольников, чтобы доказать, что эти четырехугольники на самом деле характеризуются количеством линий симметрии, которые у них есть.

        Решение

        Линии симметрии для каждого из четырех четырехугольников показаны ниже:

        Когда геометрическая фигура складывается по линии симметрии, две половинки совпадают, поэтому, если у учащихся есть копии четырехугольников, они могут проверить линии симметрии, сложив их. Что касается квадрата, его можно сложить пополам по диагонали, горизонтальному сегменту, разрезающему квадрат пополам, или вертикальному сегменту, разрезающему квадрат пополам.Итак, у квадрата четыре линии симметрии. Прямоугольник их всего два, так как его можно сложить пополам по горизонтали или вертикали: учеников следует поощрять попытаться сложить прямоугольник пополам по диагонали, чтобы понять, почему это не работает. Трапеция имеет только вертикальную линию симметрии. У параллелограмма нет линий симметрии, и, как и в случае с прямоугольником, ученики должны поэкспериментировать со складыванием копии, чтобы увидеть, что происходит с линиями через диагонали, а также с горизонтальными и вертикальными линиями.

        Указанные линии симметрии — единственные для фигур. Один из способов показать это — заметить, что для четырехугольника линия симметрии должна либо соответствовать двум вершинам на одной стороне линии с двумя вершинами на другой, либо проходить через две из вершин, а затем через две другие пары вершин. в сложенном виде по строчке. Это ограничивает количество возможных линий симметрии, и затем эксперименты покажут, что единственно возможными являются те, которые показаны на рисунках.

        Отрезок, перпендикулярный оси симметрии, проходящий через фокус и с концами на параболе, называется …………………….. ………….

        Найдите объем V описываемого твердого тела S. Основание S — круговой диск с радиусом 5r. Параллельные сечения перпендикулярны основанию квадратов.

        Найдите объем V описываемого твердого тела S.

        Основание S представляет собой круглый диск радиусом 5r. Параллельные сечения, перпендикулярные основанию, представляют собой квадраты.

  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.