Категория: Разное

Как начертить симметричный луч относительно оси: Начертить луч ВК, симметричный лучу АМ относительно оси.

Содержание

Как построить симметричную точку

Строить симметричные точки учат на уроках геометрии в средней школе. Это умение может в дальнейшем пригодиться на уроках черчения, а также на занятиях в высших учебных заведениях.

Прочитайте условие задачи и определите, относительно чего должна быть симметрична точка. Например, может потребоваться построение точки, симметричной относительно другой точки, оси симметрии, начала координат, оси Ох или Оу и т.п.

Если вам нужно построить точку А1, симметричную А относительно начала координат, сначала определите координаты точки А. А1 будет иметь те же координаты, но с противоположным знаком. Например, А1 (3; -5) будет симметрична А (-3; 5). Найдите и постройте на графике точку А1 с полученными координатами.

Чтобы построить точку А1, симметричную А относительно оси Ох, нужно найти точку с такой же абсциссой, но при этом с ординатой, противоположной по знаку. Это значит, что точке А (х; у) будет симметрична А1 (х; -у). Например, если А имеет координаты 6 по оси Ох и 2 по оси Оу, то вам нужно будет найти и построить точку А1 (6; -2).

Если требуется построить А1, симметричную А относительно оси Оу, найдите А1, ордината которой будет равна А, а абсцисса противоположна абсциссе А по знаку. Это означает, что А1 (-х; у) будет симметрична А (х; у). Например, если дана А (4; 8), то нужно найти и построить А1 (-4; 8).

Если необходимо построить точку А1, симметричную А относительно точки В, то нужно сначала начертить луч из А, проходящий через В. Измерьте расстояние от А до В и постройте точку А1 на таком же расстоянии от В, но в противоположной стороне луча. В результате у вас получится отрезок АА1, центром которого является точка В.

Чтобы построить точку А1, симметричную А относительно прямой, постройте луч с начальной точкой А, пересекающийся с прямой и перпендикулярный ей. Измерьте расстояние от А до точки пересечения прямой и луча, а затем постройте точку А1 на том же расстоянии от прямой, но в противоположной стороне. У вас должен получиться отрезок АА1, который разделен прямой ровно пополам.

Центральная и осевая симметрия. — математика, прочее

Симметрия

Оглавление

  • Центральная симметрия
  • Осевая симметрия
  • Заключение

Определение

Симметрия (от греч. Symmetria – соразмерность), в широком смысле – неизменность структуры материального объекта относительно его преобразований. Симметрия играет огромную роль в искусстве и архитектуре. Но ее можно заметить и в музыке, и в поэзии. Симметрия широко встречается в природе, в особенности у кристаллов, у растений и животных. Симметрия может встретиться и в других разделах математики, например при построении графиков функций .

Центральная симметрия

Две точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О , если О — середина отрезка АА 1. точка О считается симметричной самой себе.

Построение точки, центрально-симметричной данной

А

  • Построить луч АО
  • Измерить длину отрезка АО
  • Отложить на луче АО по другую сторону от точки О отрезок ОА 1 , равный отрезку ОА.
  • Точка А1 симметрична точке А относительно центра О.

О

А 1

Построение отрезка, центрально-симметричного данному

  • Построить луч АО
  • Измерить длину отрезка АО
  • Отложить на луче АО по другую сторону от точки О отрезок ОА 1 , равный отрезку ОА.
  • Построить луч ВО
  • Измерить длину отрезка ВО
  • Отложить на луче ВО по другую сторону от точки О отрезок ОВ 1 , равный отрезку ОВ.
  • Соединить точки А 1 и В 1 отрезком

В

О

А 1

А

В 1

Построение фигуры, центрально-симметричной данной

В

С

О

А

А 1

С 1

В 1

Центрально-симметричные фигуры равны

D 1

Построение фигуры, центрально-симметричной данной

A 1

C 1

B 1

B

O

A

C

D

Поворот точки А вокруг центра поворота О на 90 °

А 1

90 °

О

А

Повороты точек на различные углы

А 1

135 °

45 °

О

А 2

А

90 °

А 3

Фигуры, имеющие центр симметрии:

Осевая симметрия

Преобразование фигуры F в фигуру F 1, при котором каждая ее точка переходит в точку, симметричную относительно данной прямой, называется преобразованием симметрии относительно прямой а . Прямая а называется осью симметрии .

Построение точки, симметричной данной

1 . АО  с

с

2. АО=ОА ’

А

О

А ’

Построение отрезка, симметричного данному

В

с

  • АА ’  с, АО=ОА ’ .
  • ВВ ’  с, ВО ’ =О ’ В ’ .

3. А ’ В ’ – искомый отрезок.

O’

А

O

В ’

А ’

Построение треугольника, симметричного данному

В

1. AA’  c AO=OA’

2. BB’  c BO’=O’B’

3. СС ’  c С O”=O” С ’

4.  A’B’ С ’ – искомый треугольник.

с

С

O’

А

O”

O

С ’

В ’

А ’

Построение фигуры, симметричной данной относительно оси симметрии

L

D 1

E 1

A 1

C 1

B 1

C

B

D

A

E

Фигуры, обладающие одной осью симметрии

Угол

Равнобедренный

треугольник

Равнобедренная трапеция

Фигуры, обладающие двумя осями симметрии

Прямоугольник

Ромб

Фигуры, имеющие более двух осей симметрии

Квадрат

Равносторонний треугольник

Круг

Фигуры, не обладающие осевой симметрией

Произвольный треугольник

Параллелограмм

Неправильный многоугольник

Заключение Симметрия многолика. Она обладает свойствами, которые одновременно и просты, и сложны, способны проявляться и единожды, и бесконечно много раз

«Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство»

Г.Вейль

КАНИКУЛЯРНОЕ ДЗ для 8В 2019-20 | Консультация (8 класс):

Слайд 1

Симметрия относительно точки Л.С. Атанасян «Геометрия 7-9»

Слайд 2

Симметрия относительно точки А А 1 О Точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О (центр симметрии), если О – середина отрезка АА 1 . Точка О считается симметричной самой себе. Точка О – центр симметрии Симметрия относительно точки называется центральной симметрией

Слайд 3

А 1 А О Построить отрезок А 1 В 1 симметричный отрезку АВ относительно точки О Точка О – центр симметрии В В 1 Замечание: при симметрии относительно центра изменился порядок точек (верх-низ, право-лево). Например, точка А отобразилась снизу вверх; она была правее точки В, а ее образ точка А 1 оказалась левее точки В 1 .

Слайд 4

А 1 О Построить луч симметричный лучу относительно точки О Точка О – центр симметрии В В 1 a 1 a А a a 1 Начало луча

Слайд 5

a 1 Если центр симметрии в начале луча, то при симметрии луч отобразится на … О a b Если центр симметрии принадлежит лучу, то при симметрии … b 1 О

Слайд 6

А 1 Построить угол симметричный углу относительно точки О Точка О – центр симметрии В В 1 a 1 b 1 А a a 1 Вершина угла ab   b b 1 C C 1 О

Слайд 7

a 1 b 1 Если центр симметрии в вершине угла, то при симметрии угол отобразится на … a b О

Слайд 8

n Если центр симметрии принадлежит стороне угла, то при симметрии … О m m 1 n 1

Слайд 9

n Если центр симметрии расположен во внутренней области угла, то при симметрии … m m 1 n 1 О

Слайд 10

О А В В 1 С С 1 А 1 Замечание. Если центр во внешней области фигуры, то исходная и симметричная фигура не имеют общих точек.

Слайд 11

А В С Замечание. Если центр во внутренней области фигуры, то исходная и симметричная фигура имеют общие точки (6-угольник). С 1 В 1 А 1 О

Слайд 12

В 1 А В С Замечание. Если центр на стороне фигуры, то исходная и симметричная фигура имеют общие точки (отрезок СС 1 ). А 1 С 1 О

Слайд 13

А В Замечание. Если центр в вершине фигуры, то исходная и симметричная фигура имеют общую точку (точка С). А 1 В 1 С О

Слайд 15

О Булавин Павел, 9В класс. т. О – центр симметрии

Слайд 16

O A C 1 A 1 B B 1 C Савченко Миша, 9В класс. т. О – центр симметрии

Слайд 17

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

Слайд 18

прямая Правильный треугольник Правильный шестиугольник Параллелограмм Отрезок Прямоугольник Любая точка прямой Какая точка является центром симметрии фигур?

Слайд 19

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Какие буквы имеют центр симметрии? О Ф S И Х Z

Слайд 20

Стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия приятна глазу? Что такое симметрия? Это врождённое чувство, отвечал я себе. На чём оно основано? Л.Н.Толстой «Отрочество»

Слайд 21

http://www.point.ru/photo/galleries/12876/

Слайд 22

http://www.point.ru/photo/galleries/12876/

Слайд 23

http://www.point.ru/photo/galleries/12876/

Слайд 24

http://www.point.ru/photo/galleries/12876/

Слайд 25

http://www.point.ru/photo/galleries/12876/

Слайд 26

http://www.point.ru/photo/galleries/12876/ Хотите увидеть больше? ВАМ СЮДА:

Слайд 27

Причудливые формы в природе http://www.lookatme.ru/flows/illyustratsiya/posts/36694-ernst-haeckel Обладает ли центральной симметрией 5-угольник?

Слайд 28

Причудливые формы в природе Хотите увидеть больше? ВАМ СЮДА: http://www.lookatme.ru/flows/illyustratsiya/posts/36694-ernst-haeckel

Как построить симметричный треугольник относительно прямой. Как нарисовать симметричный предмет

I . Симметрия в математике :

    Основные понятия и определения.

    Осевая симметрия (определения, план построения, примеры)

    Центральная симметрия (определения, план построения, при

    ­меры)

    Обобщающая таблица (все свойства, особенности)

II . Применения симметрии:

1) в математике

2) в химии

3) в биологии, ботанике и зоологии

4) в искусстве, литературе и архитектуре

1. Основные понятия симметрии и ее виды.

Понятие симметрии пр оходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого ор­ганизма, а именно человека. И употреблялось скульпторами ещё в 5 веке до н. э. Слово “симметрия” греческое, оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей”. Его широко используют все без исключения направления современной науки. Об этой закономерности задумывались многие ве­ликие люди. Например, Л. Н. Толстой говорил: “Стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия по­нятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основано?”. Действительно симметричность приятна глазу. Кто не любо­вался симметричностью творений природы: листьями, цветами, птицами, живот­ными; или творениями человека: зданиями, техникой, – всем тем, что нас с детства окружает, тем, что стремится к красоте и гармонии. Герман Вейль сказал: “Симмет­рия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство”. Герман Вейль – это немецкий математик. Его деятельность приходится на первую половину ХХ века. Именно он сформулировал определение симметрии, установил по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае. Таким обра­зом, математически строгое представление сформировалось сравнительно недавно – в начале ХХ века. Оно достаточно сложное. Мы же обратимся и еще раз вспомним те определения, которые даны нам в учебнике.

2. Осевая симметрия.

2.1 Основные определения

Определение. Две точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендику­лярна к нему. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

Определение. Фигура называется симметричной относительно прямой а , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симмет­рии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

2.2 План построения

И так, для построения симметричной фигуры относительно прямой от каждой точки проводим перпендикуляр к данной прямой и продлеваем его на такое же рас­стояние, отмечаем полученную точку. Так поступаем с каждой точкой, получаем симметричные вершины новой фигуры. Затем последовательно их соединяем и по­лучаем симметричную фигуру данной относительной оси.

2.3 Примеры фигур, обладающих осевой симметрией.


3. Центральная симметрия

3.1 Основные определения

Определение . Две точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О, если О — середина отрезка АА 1 . Точка О считается симметричной са­мой себе.

Определение. Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

3.2 План построения

Построение треугольника симметричного данному относительно цен­тра О.

Чтобы построить точку, симметричную точке

А относи­тельно точки О , достаточно провести прямую ОА (рис. 46) и по другую сторону от точки О от­ложить отрезок, равный отрезку ОА . Иными словами, точки А и ; В и ; С и симметричны относительно некоторой точки О. На рис. 46 по­строен треугольник, симметричный треуголь­нику ABC относительно точки О. Эти треугольники равны.

Построение симметричных точек относительно центра.

На рисунке точки М и М 1 , N и N 1 симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки.

Вообще фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.

3.3 Примеры

Приведём примеры фигур, обладающие центральной симметрией. Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и паралле­лограмм.

Точка О называется центром симметрии фигуры. В подобных случаях фигура обладает центральной симметрией. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма- точка пересечения его диаго­налей.

Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окруж­ности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии (точка О на рисунке) у прямой их бесконечно много — любая точка прямой является её центром симметрии.

На рисунках показан угол симметричный относительно вершины, отрезок сим­метричный другому отрезку относительно центра А и четырехугольник симметрич­ный относительно своей вершины М.

Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

4. Итог урока

Обобщим полученные знания. Сегодня на уроке мы познакомились с двумя основ­ными видами симметрии: центральная и осевая. Посмотрим на экран и системати­зируем полученные знания.

Обобщающая таблица

Осевая симметрия

Центральная симметрия

Особенность

Все точки фигуры должны быть симметричны относительно какой-нибудь прямой.

Все точки фигуры должны, сим­метричны относительно точки, вы­бранной в качестве центра симмет­рии.

Свойства

    1. Симметричные точки лежат на перпендикулярах к прямой.

    3. Прямые переходят в прямые, углы в равные углы.

    4. Сохраняются размеры и формы фигур.

    1. Симметричные точки лежат на прямой, проходящей через центр и данную точку фигуры.

    2. Расстояние от точки до прямой равно расстоянию от прямой до симметричной точки.

3. Сохраняются размеры и формы фигур.

II. Применение симметрии

Математика

На уроках алгебры мы изу­чили графики функций y=x и y=x

На рисунках представлены различные картинки, изо­браженные с помощью вет­вей парабол.

(а) Октаэдр,

(б) ромбический додекаэдр, (в) гексагональной октаэдр.

Русский язык

Печатные буквы русского алфавита тоже обладают различными видами сим­метрий.

В русском языке есть «сим­метричные» слова — палин­дромы , которые можно чи­тать одинаково в двух на­правлениях.

А Д Л М П Т Ф Ш – вертикальная ось

В Е З К С Э Ю — горизонтальная ось

Ж Н О Х — и вертикальная и горизонтальная

Б Г И Й Р У Ц Ч Щ Я – ни какой оси

Радар шалаш Алла Анна

Литература

Могут быть палиндромичес- кими и предложения. Брюсов написал стихотворение «Голос луны», в котором каждая строка — палиндром.

Посмотрите на четверости -шие А.С.Пушкина «Медный всадник». Если провести ли­нию после второй строчки мы можем заметить эле­менты осевой симметрии

А роза упала на лапу Азора.

Я иду с мечем судия. (Державин)

«Искать такси»

«Аргентина манит негра»,

«Ценит негра аргентинец»,

«Леша на полке клопа нашел».

В гранит оделася Нева;

Мосты повисли над водами;

Темно-зелеными садами

Ее покрылись острова…

Биология

Тело человека построено по принципу двусторонней симметрии. Большинство из нас рассматривает мозг как единую структуру, в дейст­вительности он разделён на две половины. Эти две части — два полушария — плотно прилегают друг к другу. В полном соответст­вии с общей симметрией тела человека каждое по­лушарие представляет со­бой почти точное зеркаль­ное отображение другого

Управление основными движениями тела человека и его сенсорными функ­циями равномерно распре­делено между двумя полу­шариями мозга. Левое по­лушарие контролирует пра­вую сторону мозга, а правое — левую сторону.

Ботаника

Цветок считается симмет­ричным, когда каждый око­лоцветник состоит из рав­ного числа частей. Цветки, имея парные части, счита­ются цветками с двойной симметрией и т.д. Тройная симметрия обычна для од­нодольных растений, пя­терная — для двудольных Характерной чертой строе­ния растений и их развития является спиральность.

Обратите внимание на по­беги листорасположения – это тоже своеобразный вид спирали – винтовая. Еще Гёте, который был не только великим поэтом, но и естествоиспытателем, считал спиральность одним из характерных признаков всех организмов, проявле­нием самой сокровенной сущности жизни. Спи­рально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, по спи­рали расположены семечки в подсолнечнике, спираль­ные движения наблюда­ются при росте корней и побегов.

Характерной чертой строения растений и их раз­вития является спиральность.

Посмотрите на сосновую шишку. Чешуйки на ее поверхности расположены строго закономерно — по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом. Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21.


Зоология

Под симметрией у живот­ных понимают соответствие в размерах, форме и очерта­ниях, а также относительное расположение частей тела, находящихся на противопо­ложных сторонах разде­ляющей линии. При ради­альной или лучистой сим­метрии тело имеет форму короткого или длинного ци­линдра либо сосуда с цен­тральной осью, от которого отходят в радиальном по­рядке части тела. Это ки­шечнополостные, иглоко­жие, морские звёзды. При билатеральной симметрии осей симметрии три, но симметричных сторон только одна пара. Потому что две другие стороны — брюшная и спинная — друг на друга не похожи. Этот вид симметрии характерен для большинства животных, в том числе насекомых, рыб, земноводных, рептилий, птиц, млекопитающих.

Осевая симметрия


Различные виды симметрии физических явлений: сим­метрия электрического и магнитного полей (рис. 1)

Во взаимно перпендику­лярных плоскостях симмет­рично распространение электромагнитных волн (рис. 2)


рис.1 рис.2

Искусство

В произведениях искусства часто можно наблюдать зеркальную симметрию. Зеркальная» симметрия ши­роко встречается в произве­дениях искусства прими­тивных цивилизаций и в древней живописи. Средне­вековые религиозные кар­тины также характеризу­ются этим видом симмет­рии.

Одно из лучших ранних произведений Рафаэля – «Обручение Марии» — соз­дано в 1504 году. Под сол­нечным голубым небом раскинулась долина, увен­чанная белокаменным хра­мом. На первом плане – об­ряд обручения. Первосвя­щенник сближает руки Ма­рии и Иосифа. За Марией – группа девушек, за Иоси­фом – юношей. Обе части симметричной композиции скреплены встречным дви­жением персонажей. На со­временный вкус компози­ция такой картины скучна, поскольку симметрия слишком очевидна.



Химия

Молекула воды имеет плос­кость симметрии (прямая вертикальная линия).Ис­ключительно важную роль в мире живой природы иг­рают молекулы ДНК (де­зоксирибонуклеиновая ки­слота). Это двуцепочечный высокомолекулярный по­лимер, мономером которого являются нуклеотиды. Мо­лекулы ДНК имеют струк­туру двойной спирали, по­строенной по принципу комплементарности.

Архите ктура

Издавна человек использо­вал симметрию в архитек­туре. Особенно блиста­тельно использовали сим­метрию в архитектурных сооружениях древние зод­чие. Причем древнегрече­ские архитекторы были убеждены, что в своих про­изведениях они руково­дствуются законами, кото­рые управляют природой. Выбирая симметричные формы, художник тем са­мым выражал свое понима­ние природной гармонии как устойчивости и равно­весия.

В городе Осло, столице Норвегии, есть выразитель­ный ансамбль природы и художественных произве­дений. Это Фрогнер – парк – комплекс садово-парко­вой скульптуры, который создавался в течение 40 лет.


Дом Пашкова Лувр (Париж)

© Сухачева Елена Владимировна, 2008-2009гг.

Жизнь людей наполнена симметрией. Это удобно, красиво, не нужно выдумывать новых стандартов. Но что она есть на самом деле и так ли красива в природе, как принято считать?

Симметрия

С древних времен люди стремятся упорядочить мир вокруг себя. Поэтому что-то считается красивым, а что-то не очень. С эстетической точки зрения как привлекательные рассматриваются золотое и серебряное сечения, а также, разумеется, симметрия. Этот термин имеет греческое происхождение и дословно означает «соразмерность». Разумеется, речь идет не только о совпадении по этому признаку, но также и по некоторым другим. В общем смысле симметрия — это такое свойство объекта, когда в результате тех или иных образований результат равен исходным данным. Это встречается как в живой, так и в неживой природе, а также в предметах, сделанных человеком.

Прежде всего термин «симметрия» употребляется в геометрии, но находит применение во многих научных областях, причем его значение остается в общем и целом неизменным. Это явление достаточно часто встречается и считается интересным, поскольку различается несколько его видов, а также элементов. Использование симметрии также интересно, ведь она встречается не только в природе, но и в орнаментах на ткани, бордюрах зданий и многих других рукотворных предметах. Стоит рассмотреть это явление поподробнее, поскольку это крайне увлекательно.

Употребление термина в других научных областях

В дальнейшем симметрия будет рассматриваться с точки зрения геометрии, однако стоит упомянуть, что данное слово используется не только здесь. Биология, вирусология, химия, физика, кристаллография — все это неполный список областей, в которых данное явление изучается с различных сторон и в разных условиях. От того, к какой науке относится этот термин, зависит, например, классификация. Так, разделение на типы серьезно варьируется, хотя некоторые основные, пожалуй, остаются неизменными везде.

Классификация

Различают несколько основных типов симметрии, из которых наиболее часто встречаются три:


Кроме того, в геометрии различают также следующие типы, они встречаются значительно реже, но не менее любопытны:

  • скользящая;
  • вращательная;
  • точечная;
  • поступательная;
  • винтовая;
  • фрактальная;
  • и т. д.

В биологии все виды называются несколько иначе, хотя по сути могут быть такими же. Подразделение на те или иные группы происходит на основании наличия или отсутствия, а также количества некоторых элементов, таких как центры, плоскости и оси симметрии. Их следует рассмотреть отдельно и более подробно.

Базовые элементы

В явлении выделяют некоторые черты, одна из которых обязательно присутствует. Так называемые базовые элементы включают в себя плоскости, центры и оси симметрии. Именно в соответствии с их наличием, отсутствием и количеством определяется тип.

Центром симметрии называют точку внутри фигуры или кристалла, в которой сходятся линии, соединяющие попарно все параллельные друг другу стороны. Разумеется, он существует не всегда. Если есть стороны, к которым нет параллельной пары, то такую точку найти невозможно, поскольку ее нет. В соответствии с определением, очевидно, что центр симметрии — это то, через что фигура может быть отражена сама на себя. Примером может служить, например, окружность и точка в ее середине. Этот элемент обычно обозначается как C.

Плоскость симметрии, разумеется, воображаема, но именно она делит фигуру на две равные друг другу части. Она может проходить через одну или несколько сторон, быть параллельной ей, а может делить их. Для одной и той же фигуры может существовать сразу несколько плоскостей. Эти элементы обычно обозначаются как P.

Но, пожалуй, наиболее часто встречается то, что называют «оси симметрии». Это нередкое явление можно увидеть как в геометрии, так и в природе. И оно достойно отдельного рассмотрения.

Оси

Часто элементом, относительно которого фигуру можно назвать симметричной,


выступает прямая или отрезок. В любом случае речь идет не о точке и не о плоскости. Тогда рассматриваются фигур. Их может быть очень много, и расположены они могут быть как угодно: делить стороны или быть параллельными им, а также пересекать углы или не делать этого. Оси симметрии обычно обозначаются как L.

Примерами могут служить равнобедренные и В первом случае будет вертикальная ось симметрии, по обе стороны от которой равные грани, а во втором линии будут пересекать каждый угол и совпадать со всеми биссектрисами, медианами и высотами. Обычные же треугольники ею не обладают.

Кстати, совокупность всех вышеназванных элементов в кристаллографии и стереометрии называется степенью симметрии. Этот показатель зависит от количества осей, плоскостей и центров.

Примеры в геометрии

Условно можно разделить все множество объектов изучения математиков на фигуры, имеющие ось симметрии, и такие, у которых ее нет. В первую категорию автоматически попадают все окружности, овалы, а также некоторые частные случаи, остальные же попадают во вторую группу.

Как и в случае, когда говорилось про ось симметрии треугольника, данный элемент для четырехугольника существует не всегда. Для квадрата, прямоугольника, ромба или параллелограмма он есть, а для неправильной фигуры, соответственно, нет. Для окружности оси симметрии — это множество прямых, которые проходят через ее центр.

Кроме того, интересно рассмотреть и объемные фигуры с этой точки зрения. Хотя бы одной осью симметрии помимо всех правильных многоугольников и шара будут обладать некоторые конусы, а также пирамиды, параллелограммы и некоторые другие. Каждый случай необходимо рассматривать отдельно.

Примеры в природе

В жизни называется билатеральной, она встречается наиболее
часто. Любой человек и очень многие животные тому пример. Осевая же называется радиальной и встречается гораздо реже, как правило, в растительном мире. И все-таки они есть. Например, стоит подумать, сколько осей симметрии имеет звезда, и имеет ли она их вообще? Разумеется, речь идет о морских обитателях, а не о предмете изучения астрономов. И правильным ответом будет такой: это зависит от количества лучей звезды, например пять, если она пятиконечная.

Кроме того, радиальная симметрия наблюдается у многих цветков: ромашки, васильки, подсолнухи и т. д. Примеров огромное количество, они буквально везде вокруг.


Аритмия

Этот термин, прежде всего, напоминает большинству о медицине и кардиологии, однако он изначально имеет несколько другое значение. В данном случае синонимом будет «асимметрия», то есть отсутствие или нарушение регулярности в том или ином виде. Ее можно встретить как случайность, а иногда она может стать прекрасным приемом, например, в одежде или архитектуре. Ведь симметричных зданий очень много, но знаменитая чуть наклонена, и хоть она не одна такая, но это самый известный пример. Известно, что так получилось случайно, но в этом есть своя прелесть.

Кроме того, очевидно, что лица и тела людей и животных тоже не полностью симметричны. Проводились даже исследования, согласно результатам которых «правильные» лица расценивались как неживые или просто непривлекательные. Все-таки восприятие симметрии и это явление само по себе удивительны и пока не до конца изучены, а потому крайне интересны.





























Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: комбинированный.

Цели урока:

  • Рассмотреть осевую, центральную и зеркальную симметрии как свойства некоторых геометрических фигур.
  • Научить строить симметричные точки и распознавать фигуры, обладающие осевой симметрией и центральной симметрией.
  • Совершенствовать навыки решения задач.

Задачи урока:

  • Формирование пространственных представлений учащихся.
  • Развитие умения наблюдать и рассуждать; развитие интереса к предмету через использование информационных технологий.
  • Воспитание человека, умеющего ценить прекрасное.

Оборудование урока:

  • Использование информационных технологий (презентация).
  • Рисунки.
  • Карточки с домашним заданием.

Ход урока

I. Организационный момент .

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Введение .

Что такое симметрия?

Выдающийся математик Герман Вейль высоко оценил роль симметрии в современной науке: «Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство».

Мы живем в очень красивом и гармоничном мире. Нас окружают предметы, которые радуют глаз. Например, бабочка, кленовый лист, снежинка. Посмотрите, как они прекрасны. Вы обращали на них внимание? Сегодня мы с вами прикоснемся к этому прекрасному математическому явлению – симметрии. Познакомимся с понятием осевой, центральной и зеркальной симметрий. Будем учиться строить и определять симметричные относительно оси, центра и плоскости фигуры.

Слово “симметрия” в переводе с греческого звучит как “гармония”, означая красоту, соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придает гармоничность, законченность.

В наиболее общем виде под «симметрией» в математике понимается такое преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка M переходит в другую точку M» относительно некоторой плоскости (или прямой) a, когда отрезок MM» является перпендикулярным плоскости (или прямой) a и делится ею пополам. Плоскость (прямая) a называется при этом плоскостью (или осью) симметрии. К фундаментальным понятиям симметрии относятся плоскость симметрии, ось симметрии, центр симметрии. Плоскостью симметрии P называется такая плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части, расположенные друг относительно друга так, как предмет и его зеркальное отражение.

III. Основная часть. Виды симметрии.

Центральная симметрия

Симметрия относительно точки или центральная симметрия – это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону центра симметрии, соответствует другая точка, расположенная по другую сторону центра. При этом точки находятся на отрезке прямой, проходящей через центр, делящий отрезок пополам.

Практическое задание .

  1. Даны точки А , В и М М относительно середины отрезка АВ .
  2. Какие из следующих букв имеют центр симметрии: А, О, М, Х, К?
  3. Имеют ли центр симметрии: а) отрезок; б) луч; в) пара пересекающихся прямых; г) квадрат?

Осевая симметрия

Симметрия относительно прямой (или осевая симметрия) – это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону прямой, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны оси симметрии и делятся ею пополам.

Практическое задание .

  1. Даны две точки А и В , симметричные относительно некоторой прямой, и точка М . Постройте точку, симметричную точке М относительно той же прямой.
  2. Какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, Г, Е, О?
  3. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч?
  4. Сколько осей симметрии имеет рисунок? (см. рис. 1)

Зеркальная симметрия

Точки А и В называются симметричными относительно плоскости α (плоскость симметрии), если плоскость α проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости α считается симметричной сама себе.

Практическое задание .

  1. Найдите координаты точек, в которые переходят точки А (0; 1; 2), В (3; -1; 4), С (1; 0; -2) при: а) центральной симметрии относительно начала координат; б) осевой симметрии относительно координатных осей; в)зеркальной симметрии относительно координатных плоскостей.
  2. В правую или левую перчатку переходит правая перчатка при зеркальной симметрии? осевой симметрии? центральной симметрии?
  3. На рисунке показано, как цифра 4 отражается в двух зеркалах. Что будет видно на месте знака вопроса, если то же самое сделать с цифрой 5? (см. рис. 2)
  4. На рисунке показано, как слово КЕНГУРУ отражается в двух зеркалах. Что получится, если то же самое проделать с числом 2011? (см. рис. 3)


Рис. 2

Это интересно.

Симметрия в живой природе.

Почти все живые существа построены по законам симметрии, недаром в переводе с греческого слово «симметрия» означает «соразмерность».

Среди цветов, например, наблюдается поворотная симметрия. Многие цветы можно повернуть так, что каждый лепесток займет положение соседнего, цветок совместится с самим собой. Минимальный угол такого поворота для различных цветов неодинаков. Для ириса он равен 120°, для колокольчика – 72°, для нарцисса – 60°.

В расположении листьев на стеблях растений наблюдается винтовая симметрия. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются в разные стороны и не заслоняют друг друга от света, хотя сами листья тоже имеют ось симметрии. Рассматривая общий план строения какого-либо животного, мы замечаем обычно известную правильность в расположении частей тела или органов, которые повторяются вокруг некоторой оси или занимают одно и то же положение по отношению к некоторой плоскости. Эту правильность называют симметрией тела. Явления симметрии столь широко распространены в животном мире, что весьма трудно указать группу, в которой никакой симметрии тела подметить нельзя. Симметрией обладают и маленькие насекомые, и крупные животные.

Симметрия в неживой природе.

Среди бесконечного разнообразия форм неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образы, чей вид неизменно привлекает наше внимание. Наблюдая за красотой природы, можно заметить, что при отражении предметов в лужах, озерах проявляется зеркальная симметрия (см. рис. 4).

В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. Каждая снежинка – это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают поворотной симметрией и, кроме того, зеркальной симметрией.

Нельзя не увидеть симметрию и в ограненных драгоценных камнях. Многие гранильщики стараются придать бриллиантам форму тетраэдра, куба, октаэдра или икосаэдра. Так как гранат имеет те же элементы что и куб, он высоко ценится знатоками драгоценных камней. Художественные изделия из гранатов были обнаружены в могилах Древнего Египта, относящихся еще к додинастическому периоду (свыше двух тысячелетий до н.э.) (см. рис. 5).

В коллекциях Эрмитажа особым вниманием пользуются золотые украшения древних скифов. Необычайно тонка художественная работа золотых венков, диадем, дерева и украшенных драгоценными красно-фиолетовыми гранатами.

Одним из самых наглядных использований законов симметрии в жизни служат строения архитектуры. Это то, что чаще всего мы можем увидеть. В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла (см. рис. 6). В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях.

Еще одним примером использования человеком симметрии в своей практике – это техника. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля. Или одно из важнейших изобретений человечества, имеющих центр симметрии, является колесо, также центр симметрии есть у пропеллера и других технических средств.

«Посмотри в зеркало!»

Должны ли мы считать, что самих себя видим только в «зеркальном отражении»? Или в лучшем случае лишь на фото и кинопленке можем узнать, как мы выглядим «на самом деле»? Конечно, нет: достаточно зеркальное изображение вторично отразить в зеркале, чтобы увидеть свое истинное лицо. На помощь приходят трельяжи. Они имеют одно большое главное зеркало в центре и два меньших зеркала по сторонам. Если такое боковое зеркало поставить под прямым углом к среднему, то можно увидеть себя именно в том виде, в каком вас видят окружающие. Зажмурьте левый глаз, и ваше отражение во втором зеркале повторит ваше движение левым глазом. Перед трельяжем вы можете выбирать, хотите ли вы увидеть себя в зеркальном или в непосредственном изображении.

Легко вообразить, какая бы царила на Земле неразбериха, если бы симметрия в природе была нарушена!

Рис. 4Рис. 5Рис. 6

IV. Физкультминутка.
  • «Ленивые восьмерки » – активизируют структуры, обеспечивающие запоминание, повышают устойчивость внимания.
    Нарисовать в воздухе в горизонтальной плоскости цифру восемь по три раза сначала одной рукой, затем сразу обеими руками.
  • «Симметричные рисунки » – улучшают зрительно-моторную координацию, облегчают процесс письма.
    Нарисовать в воздухе обеими руками симметричные рисунки.

V. Самостоятельная работа проверочного характера.

Ι вариант

ΙΙ вариант

  1. В прямоугольнике MPKH О – точка пересечения диагоналей, РА и BH – перпендикуляры, проведенные из вершин Р и H к прямой МК. Известно, что МА = ОВ. Найдите угол РОМ.
  2. В ромбе MPKH диагонали пересекаются в точке О. На сторонах МК, KH, PH взяты точки А, В, С соответственно, АК = КВ = РС. Докажите, что ОА = ОВ, и найдите сумму углов РОС и МОА.
  3. Постройте квадрат по данной диагонали так, чтобы две противоположные вершины этого квадрата лежали на разных сторонах данного острого угла.

VI. Подведение итогов урока. Оценивание.
  • С какими видами симметрии вы познакомились на уроке?
  • Какие две точки называются симметричными относительно данной прямой?
  • Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой?
  • Какие две точки называются симметричными относительно данной точки?
  • Какая фигура называется симметричной относительно данной точки?
  • Что такое зеркальная симметрия?
  • Приведите примеры фигур, обладающих: а) осевой симметрией; б) центральной симметрией; в) и осевой, и центральной симметрией.
  • Приведите примеры симметрии в живой и неживой природе.

VII. Домашнее задание.

1. Индивидуальное: достройте, применив осевую симметрию (см. рис. 7).


Рис. 7

2. Постройте фигуру, симметричную данной относительно: а) точки; б) прямой (см. рис. 8, 9).

Рис. 8Рис. 9

3. Творческое задание: «В мире животных». Нарисуйте представителя из мира животных и покажите ось симметрии.

VIII. Рефлексия.
  • Что понравилось на уроке?
  • Какой материал был наиболее интересен?
  • Какие трудности возникли при выполнении того или иного задания?
  • Что бы вы изменили в ходе урока?

































Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Аннотация

Уроки в школе – это значительная часть жизни школьников, требующая элементарного комфорта, благоприятного общения. Эффективность учебного процесса зависит не только от способностей прилежания и трудолюбия учеников, наличия целенаправленной мотивации учителя, но и от формы проведения уроков.

Использование информационных технологий позволяет экономить время при объяснении нового материала, представлять материал в наглядном, доступном для восприятия виде, воздействовать на разные системы восприятия учащихся, обеспечивая тем самым лучшее усвоение материала.

Большое внимание уделяется применению полученных знаний по математике в повседневной жизни. Знакомство с красотой в жизни и искусстве не только воспитывает ум и чувство ребёнка, но и способствует развитию воображения и фантазии.Я считаю, что урок с элементами творческой деятельности помогает активизировать мыслительную деятельность школьников и поэтому проходит на высоком эмоциональном уровне, что позволяет рассмотреть большое количество теоретических вопросов и задач, привлечь к работе всех учащихся класса. С целью повышения активности учащихся на протяжении всего урока используется чередование видов деятельности.

На завершающем этапе урока ученики выполняют проверочную работу в виде теста, проводят самопроверку, оценивая свою работу по заданным критериям. Наиболее активной группе учащихся предложен дополнительный материал по изученным темам.

Рефлексия в конце урока помогает определить уровень усвоения материала и поставить цели для дальнейшей работы.

Домашнее задание состоит из двух частей, что позволяет не только продолжить закрепление полученных знаний, но развивать творческие способности детей.

На мой взгляд, такие уроки дают возможность учителю творить, искать, работать на высокие результаты, формировать у учеников универсальные учебные действия – таким образом, готовить их к продолжению образования и к жизни в постоянно изменяющихся условиях.

Цели урока:

  • знакомство с понятием осевая симметрия;
  • формирование умений строить фигуры симметричные относительно прямой и выявлять осевую симметрию как свойство некоторых геометрических фигур;
  • раскрытие связей математики с живой природой, искусством, техникой, архитектурой;
  • развитие умений применять знания теории на практике, развитее навыков самоконтроля и взаимоконтроля, самооценки и самоанализа учебной деятельности;
  • развитие внимания, наблюдательности, мышления, интереса к предмету, математической речи, стремления к творчеству;
  • формирование эстетического восприятия окружающего мира, воспитанию самостоятельности.
  • подготовка учащихся к изучению геометрии, углубление имеющихся знаний;

Тип урока: урок «открытия» нового знания.

Оборудование: компьютер, булавка или циркуль, проектор, карточки, геометрические фигуры из бумаги.

ХОД УРОКА

1. Оргмомент

(Слайд 1) Легко отыскать примеры прекрасного, но как трудно объяснить, почему они прекрасны. (Платон)

– Сегодня на уроке мы попытаемся разобраться в некоторых особенностях создания прекрасного!!!

2. Актуализация

– Посмотрите на кленовый лист, снежинку, бабочку. (Слайд 2) Что их объединяет, что у них общего? То, что они симметричны.
– Напомните мне, пожалуйста, что же означает слово «симметрия».
– «Симметрия» по-гречески означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей». Если поставить зеркальце вдоль прочерченной на каждом рисунке прямой, то отраженная на зеркале половинка фигуры дополнит ее до целой. Потому такая симметрия называется зеркальной (осевой).

(Учитель показывает опыт на елочке вырезанной из цветной бумаги)

– Прямая, вдоль которой поставлено зеркало, называется осью симметрии . Если согнуть лист по этой прямой, то эти фигуры полностью совпадут, и мы сможем видеть только одну фигуру. Как вы думаете, какова тема сегодняшнего урока? (Осевая симметрия)

(Слайды 3-4)

– Ребята, сегодня мы научимся строить фигуры симметричные относительно прямой, а также вы узнаете, где применяется осевая симметрия.
– А как же получить симметричные фигуры?
– Для начала рассмотрим самый простой способ получения симметричных фигур.
У каждого из вас на столе лист белой бумаги. Возьмите лист бумаги и перегните его пополам. Теперь на одной стороне постройте треугольник (1 ряд – остроугольный, 2 ряд – прямоугольный, 3 ряд – тупоугольный).
Далее проколите вершины данной фигуры так, чтобы были проколоты обе половинки. Теперь разверните лист и соедините по линейке полученные точки-дырочки . Таким образом, мы с вами построили фигуры, симметричные данным относительно прямой (линии перегиба). Убедитесь в этом . Для этого сложите лист по линии сгиба и посмотрите через него на свет .
– Что вы видите? (Фигуры совпали.)
– Это самый простой способ построения симметричных фигур.
– Но всегда ли на практике, таким образом, мы сможем построить симметричные фигуры?
– А что мы сделали для того, что бы построить симметричные треугольники?
– Перегнули лист пополам.
– Т.е. провели ось симметрии . Дальше.
– Прокололи вершины треугольника.
– Т.е. построили точки, которыми ограничен наш треугольник .
– А это значит, что прежде чем построить фигуру симметричную данной мы должны научится строить в первую очередь что? (Точку симметричную данной.)
– Как это можно сделать, давайте разберемся.

3. Сейчас выполним практическую работу:

– Отметьте точку Аа. Из точки А опустите перпендикуляр АО на прямую а . Теперь от точки О отложите перпендикуляр ОА1= АО . Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а . Такая прямая называется осью симметрии.

(Учитель строит на доске, ученики в тетрадях).

– Какие две точки называются симметричными относительно прямой?
– А как построить фигуру симметричную относительно некоторой прямой?
– Давайте попробуем построить треугольник симметричный относительно прямой.

(Учитель вызывает к доске желающего ученика, остальные работают в тетрадях).

После проделанной работы ученики делают вывод вместе с учителем.

Вывод: Чтобы построить геометрическую фигуру, симметричную данной относительно некоторой прямой, надо построить точки , симметричные значимым точкам (вершинам ) данной фигуры относительно этой прямой и потом соединить эти точки отрезками.

– Ребята, симметричными могут быть не только 2 фигуры , в некоторых фигурах тоже можно провести ось симметрии. Говорят, что такие фигуры обладают осевой симметрией. Назовите фигуры, обладающие осевой симметрией.

(Учитель называет и показывает геометрические фигуры, вырезанные из цветной бумаги)

– А как вы думаете, сколько осей симметрии у равнобедренного треугольника, прямоугольника, квадрата ? (Прямоугольник имеет 2 оси симметрии. Квадрат имеет 4 оси симметрии) – А у круга ? (Круг имеет бесконечно много осей симметрии) .

(Слайды 7-11)

– Назовите фигуры, которые не имеют оси симметрии. (Параллелограмм, разносторонний треугольник, неправильный многоугольник).

– Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Симметрично практически все транспортные средства, предметы домашнего обихода (мебель, посуда), некоторые музыкальные инструменты.
– Приведите примеры предметов имеющих осевую симметрию.

– Законы природы , управляющие неисчерпаемой в своем многообразии картиной явлении, в свою очередь, также подчиняются принципам симметрии. Внимательное наблюдение показывает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия.

(Слайды 12-15)

Симметрия часто встречается в предметах созданных человеком.
Симметрия встречается уже у истоков человеческого развития. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придает гармоничность, законченность .

(Слайды 18-19)

Впечатляющие результаты дает симметрия в изобразительном искусстве. (Слайды 20-21)
Художники эпохи Возрождения часто использовали язык симметрии в построении своих композиций. Это следовало из их логики понимания картины как изображения идеального мироустройства, где царит разумная организованность и уравновешенность, которые человек может познать и осмыслить.
В удивительной картине «Обручение девы Марии» великий Рафаэль воспроизвел такой образ мира, существующего по законам гармонии и строгой логики. Использованный принцип симметрии создает впечатление покоя и торжественности и в то же время некой отстраненности от зрителя. Вход в изящную ротонду и кольцо, одеваемое Иосифом на руку Марии, совпадают с центральной осью симметрии картины.
В работе Леонардо «Тайная вечеря» преобладают строгие построения перспективы интерьера. Композиционное развитие здесь базируется на зеркальном повторе правой и левой частей. Конечно, чаще всего в изобразительном искусстве мы говорим о неполной симметрии .
В картине «Три богатыря» русского художника В. Васнецова сами герои полны сдерживаемой силы. Из-за этих небольших отклонений от строгой симметричности возникает ощущение внутренней свободы персонажей, их готовности к движению.
Буквы русского языка тоже можно рассмотреть с точки зрения симметрии. (Слайды 22-23)
Весь алфавит разделен на 4 группы, как вы думаете, по каким критериям я это сделала?
Буквы А, М, Т, Ш, П имеют вертикальную ось симметрии, В, З, К, С, Э, В, Е – горизонтальную. А буквы Ж, Н, О, Ф, Х имеют по две оси симметрии.
Симметрию можно увидеть и в словах: казак, шалаш. Есть и целые фразы с таким свойством (если не учитывать пробелы между словами): “Искать такси”, “Аргентина манит негра”, “Ценит негра аргентинец”. Такие слова называются палиндромами . Ими увлекались многие поэты.
Рассмотрим примеры слов, имеющих горизонтальную ось симметрии:
СНЕЖОК, ЗВОНОК, КОНЕК, НОС
Слова, имеющие вертикальную ось симметрии:

ХТ
ОО
ЛП
ОО
ДТ

Некоторые композиторы, в том числе и великий Бах, писали музыкальные палиндромы.

(Слайд 24) Те, кому повезло иметь симметричное лицо, вероятно, уже заметили, что пользуются успехом у противоположного пола. Также это может свидетельствовать об их хорошем здоровье. Дело в том, что лицо с идеальными пропорциями является признаком того, что организм его обладателя хорошо подготовлен для борьбы с инфекциями. Обычная простуда, астма и грипп с высокой вероятностью отступают перед людьми, у которых левая сторона в точности похожа на правую.

Физкультминутка (Слайд 25)

Раз – подняться, потянуться,
Два – согнуться, разогнуться.
Три – в ладоши три хлопка,
Головою тори кивка.
На четыре – руки шире,
Пять – руками помахать,
Шесть – за парту сесть опять.

(Слайд 26-27)

Проводится тест с последующей самопроверкой.

– Не забудем про гимнастику ума. Примеры у нас сегодня тоже симметричные. Кто уже выполнил задание, можете посчитать устно вот эти симметричные примеры. (Слайд 30)

Вариант 1 Вариант 2

1) Б 2) Г 3) Б 4) А 5) В 1) В 2) Б 3) Б 4) Г 5) Г

Оценивание выполненной работы по соответствующим критериям:

«5» – 5 заданий;
«4» – 4 задания;
«3» – 3 задания;
«2» – менее трёх заданий.

– Попробуйте ответить на вопрос какая фигура лишняя и почему? (Слайд 31)

(Фигура № 3, т.к не имеет ось симметрии)

– Молодцы!

5. Итог урока. Рефлексия

– Подходит к концу наш урок, но знакомство с симметрией продолжается. На протяжении всего урока мы выполняли разнообразные задания.
– С каким понятием вы сегодня познакомились?
– Какие цели мы ставили на урок? Мы выполнили поставленные цели? Кто же лучше всех трудился? Кто на уроке отличился? Какое задание вам показалось самым трудным? Какой теоретический материал помог справиться с заданием?
– Какое задание вам показалось самым интересным? Что нового «открыли» вы для себя на уроке? Как вы думаете, над чем, каждому из вас следует потрудиться?

– Ребята, спасибо вам за работу! Без помощи и поддержке друг друга мы не смогли бы достичь цели. Я очень довольна вашей работой на уроке. Считаете ли вы, что мы не напрасно провели эти минуты вместе? Поделитесь своими впечатлениями о нашем уроке.

(Слайды 32-33)

7. Заключение

Действительно симметричные объекты окружают нас буквально со всех сторон, мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. Симметрия противостоит хаосу, беспорядку. Получается, что симметрия – это уравновешенность, упорядоченность, красота, совершенство.
Весь мир можно рассмотреть как проявление единства симметрии и асимметрии. Симметрия многообразна, вездесуща. Она создает красоту и гармонию.
И на вопрос: “Есть ли будущее без симметрии?” мы можем ответить словами классика современного естествознания, мыслителя Владимира Ивановича Вернадского “Принцип симметрии охватывает все новые и новые области…”

ТРЕУГОЛЬНИКИ.

§ 17. СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ.

1. Фигуры, симметричные друг другу.

Начертим на листе бумаги чернилами какую-нибудь фигуру, а карандашом вне её — произвольную прямую. Затем, не давая чернилам высохнуть, перегнём лист бумаги по этой прямой так, чтобы одна часть листа налегла на другую. На этой другой части листа получится, таким образом, отпечаток данной фигуры.

Если затем лист бумаги опять распрямить, то на нём окажутся две фигуры, которые называются симметричными относительно данной прямой (черт. 128).

Две фигуры называются симметричными относительно некоторой прямой, если при перегибании плоскости чертежа по этой прямой они совмещаются.

Прямая, относительно которой данные фигуры симметричны, называется их осью симметрии .

Из определения симметричных фигур следует, что всякие симметричные фигуры равны.

Получить симметричные фигуры можно и не пользуясь перегибанием плоскости, а с помощью геометрического построения. Пусть требуется построить точку С», симметричную данной точке С относительно прямой АВ. Опустим из точки С перпендикуляр
СD на прямую АВ и на продолжении его отложим отрезок DС» = DС. Если перегнём плоскость чертежа по АВ, то точка С совместится с точкой С»: точки С и С» симметричны (черт. 129).

Пусть требуется теперь построить отрезок С»D», симметричный данному отрезку СD относительно прямой АВ. Построим точки С» и D», симметричные точкам С и D. Если перегнём плоскость чертежа по АВ, то точки С и D совместятся соответственно с точками С» и D» (черт. 130).Поэтому отрезки СD и С»D» совместятся, они будут симметричны.

Построим теперь фигуру, симметричную данному многоугольнику АВСDЕ относительно данной оси симметрии МN (черт. 131).

Для решения этой задачи опустим перпендикуляры Аа , Вb , Сс , Dd и Ее на ось симметрии МN. Затем на продолжениях этих перпендикуляров отложим отрезки
а А» = Аа , b В» = Вb , с С» = Сс; d D»» =Dd и е Е» = Ее .

Многоугольник А»В»С»D»Е» будет симметричным многоугольнику АВСDЕ. Действительно, если перегнуть чертёж по прямой МN, то соответствующие вершины обоих многоугольников совместятся, а значит, совместятся и сами многоугольники; это и доказывает, что многоугольники АВСDЕ и А»В»С»D»Е» симметричны относительно прямой MN.

2. Фигуры, состоящие из симметричных частей.

Часто встречаются геометрические фигуры, которые какой-нибудь прямой разделяются на две симметричные части. Такие фигуры называются симметричными.

Так, например, угол — фигура симметричная, и биссектриса угла является его осью симметрии, так как при перегибании по ней одна часть угла совмещается с другой (черт. 132).

В круге осью симметрии является его диаметр, так как при перегибании по нему один полукруг совмещается с другим (черт. 133). Точно так же симметричны фигуры на чертежах 134, а, б.

Симметричные фигуры часто встречаются в природе, строительстве, в украшениях. Изображения, помещённые на чертежах 135 и 136, симметричны.

Следует заметить, что симметричные фигуры совместить простым передвижением по плоскости можно лишь в некоторых случаях. Чтобы совместить симметричные фигуры, как правило, необходимо одну из них повернуть обратной стороной,

Симметрия относительно прямой — презентация онлайн

Симметрия относительно прямой
Точки А и А1 называются симметричными относительно
прямой a (ось симметрии), если прямая a проходит через
середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку.
Каждая точка прямой a считается симметричной самой себе.
Симметрия относительно прямой называется
осевой симметрией
a
А1
А
Построить отрезок А1В1 симметричный отрезку АВ
относительно прямой a
Прямая a – ось симметрии
В
В1
А
a
А1
А А1 , В В1, АВ А1В1
Построить отрезок А1В1 симметричный отрезку АВ
относительно прямой a
Прямая a – ось симметрии
В
В1
А
А1
a
Построить треугольник А1В1С1 симметричный
треугольнику АВС относительно прямой a
a Прямая a – ось симметрии
А
А1
С
С1
В1
В
А А1, В В1, С С1
АВС А1В1С1
Построить треугольник А1В1С1 симметричный
треугольнику АВС относительно прямой a
Прямая a – ось симметрии
a
А
С
В
В1
А1
Построить треугольник А1В1С1 симметричный
треугольнику АВС относительно прямой a
Прямая a – ось симметрии
А
В
С
a
В1
Прямая
a – ось симметрии
А
А1
С1
В
С
a
В1
Прямая m – ось симметрии
m
Булавин Павел, 9В класс.
Прямая а – ось симметрии
A
A1
a
B
B1
C
Савченко Миша, 9В класс.
C1
A
B
C
l
A1
B1
C1
Если фигура имеет ось симметрии, то говорят, что она
обладает осевой симметрией. Фигура может иметь одну
или несколько осей симметрии.
a
Фигура называется симметричной относительно оси ,
если для каждой точки фигуры симметричная ей точка
относительно прямой
также принадлежит этой
фигуре.
a
Равнобедренный треугольник
Отрезок
Правильный треугольник
Сколько осей симметрии имеет каждая фигура?
Равнобедренная трапеция
Прямоугольник
Луч
Правильный шестиугольник
Угол
Сколько осей симметрии имеет каждая фигура?
Параллелограмм
Какие буквы имеют ось симметрии?
А БФ Г 0 Э
Ю ЖН П Ш
Какие буквы имеют ось симметрии?
RYSV Х С
DWU М В
Симметрия в природе
http://2krota.ru/2009/06/27/babochki-chast-2.html
http://2krota.ru/uploads/posts/2009-06/1245402488_822717426.jpg
Симметрия в природе
http://pda.privet.ru/post/69351242
http://s56.radikal.ru/i152/0910/10/4879b89c5180.jpg
Симметрия в природе
http://www.potolok-spb.ru/art/images/butterfly/butterfly14.jpg
Симметрия в танцевальной постановке необходима, однако для
произведения должного эффекта она должна сопровождаться
асимметрией
http://www.idance.ru/articles/20/767p_sy4.jpg
Символ вечной любви, Индии, симметрии, торжества персидской
архитектуры — мавзолей Тадж-Махал
http://www.indostan.ru/indiya/foto-video/2774/3844_9_o.jpg
Узнаете этих женщин? Это очень известный человек в нашей стране.
На одной картинке совмещены левые половинки фотографииоригинала, на другой – правые. Кто же изображен на фотографии
оригинале?
О
Р
И
Г
И
Н
А
Л
На самом деле лицо человека не является идеально симметричным.
http://viperson.ru/data/200708/Al1.jpg
Рассмотрим другую
фотографию.
http://afisha.yandex.ru/media/events/images/6a00a930da073a0a935bea14964e33b2.jpg
http://ru.trinixy.ru/pics2/20070323/podb/5/pugacheva_12.jpg
Симметрия на координатной плоскости
у
7
6
5
4
3
2
1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
Центральная
симметрия
-1 1 2 3 4 5 6 7 х
-2
-3
-4
-5
-6
-7
Симметрия на координатной плоскости
у
Осевая симметрия
7
6
5
4
3
2
1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1 1 2 3 4 5 6 7 х
-2
-3
-4
-5
-6
-7

«Симметрия и орнаменты». 5-й класс

Тема: « Симметрия. Виды симметрии»

1. Вокруг нас много предметов, части которых располагаются особым образом.

Кленовый лист Снежинка Бабочка

Эти предметы обладают свойством симметрии.

2. Рассмотрим несколько геометрических фигур.

а) — Какие фигуры обладают симметрией?

б) — Начертите прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см.

— Проведем в нем вертикальную прямую через середины сторон.

— Какие части получились с разных сторон от прямой?(Одинаковые)

— Что будет, если мы перегнем лист по начерченной прямой?

(Части наложатся друг на друга и совпадут)

в) — Эта прямая называется осью симметрии.

г) — А можно провести другую прямую в прямоугольнике так, чтобы она была осью? Как это сделать? (Да. Горизонтально)

д) — Начертите горизонтальную ось прямоугольника.

— Сколько же всего осей симметрии у прямоугольника? ( Две)

е) — Давайте начертим все остальные фигуры и найдем у них оси симметрии, если это возможно.

ж) — Сколько осей симметрии вы нашли у фигуры 2? ( Много)

…………………………………………………. 3 ( Три)

………………………………………………….. 4 ( Одна)

..……..……………………………………………5 ( Нет осей)

……………………………………………………6 ( Четыре)

3. Давайте посмотрим, как располагаются точки симметричные относительно оси симметрии. Для этого используем перегибание листа:

— на листе поставьте точку;

— начертите прямую;

— перегните лист по прямой;

— проколите лист в точке и разверните его;

— поставьте точку на месте второй дырки;

— соедините точки отрезком;

— под каким углом расположены ось и отрезок? ( 90 0),

— измерьте длину каждого отрезка от точки до оси. Какие они?

(Одинаковые)

Вывод: Чтобы построить точку симметричную данной относительно оси, нужно:

  1. Провести из данной точки луч, перпендикулярно оси;
  2. Отложить отрезок, равной длины с другой стороны от оси;
  3. Отметить получившуюся точку.

4. Давайте построим фигуру, симметричную данной:

А) относительно вертикальной оси

 

 

Б) относительно горизонтальной оси

 

 

 

 

5. Кроме осевой симметрии, с которой вы познакомились, существуют

еще другие виды преобразований на плоскости:

а) Центральная симметрия б) Поворот

в) Параллельный перенос

Домашнее задание:

1. Найдите и начертите фигуры с осями симметрии.

2. Постройте треугольник, симметричный данному относительно вертикальной и горизонтальной оси.

Урок 2

Тема: «Симметрия в линейных орнаментах»

  1. Издревле люди стремились украсить все, что окружало их в быту. Они старались простой предмет сделать нарядным, внести праздничность в повседневную жизнь. Украшали дома и ворота, столы и сундуки, орудия труда, посуду и многое другое. Они придумывали удивительные замысловатые орнаменты, в основном цветочные, которые характеризуются ритмичным расположением элементов. В построении орнамента часто используются принципы симметрии, приёмы ритмичных повторов. Элементы орнамента могут близко воспроизводить действительность, но чаще мотивы и образы реального мира подвергаются переработке и обобщению, превращающие их в элементы узора.
  2. Демонстрация образцов различных орнаментов.
  3. Сегодня на уроке мы будем учиться создавать линейные орнаменты из геометрических фигур с помощью различных видов симметрии.

4. Домашнее задание:

1. Составьте дома орнамент, используя ромб и различные виды симметрии.

2. Нарисуйте бордюр, используя какую-нибудь букву русского или латинского алфавита.

Урок 3

Тема: «Составление линейных орнаментов (бордюров)»

На сегодняшнем уроке мы продолжим составлять орнаменты. Но это будут не геометрические орнаменты. Сегодня мы попытаемся создать узоры из растений и цветов.

Задание 1. С помощью симметрии относительно вертикальной оси достройте предложенное изображение до трафарета с вертикальной осью.

Задание 2. Составить орнамент из полученных трафаретов параллельным переносом.

Задание 3. Составим орнамент с помощью трафарета на рис. 1 , используя центральную симметрию.

Задание 4. Самостоятельно составьте орнамент, используя трафарет рисунка 3 и центральную симметрию.

Задание 5. А теперь нарисуем линейный орнамент с помощью трафаретов рис. 2 и рис. 3, чередуя их через 3 клетки.

Задание 6. А теперь попробуем выполнить сложный орнамент.

1) С помощью циркуля начертите окружность, затем треугольники вокруг неё, как показано на рисунке.

2) Теперь, отступив 2 клетки, нарисуйте месяц.

3) Отступив 2 клетки, начертите вертикальную ось и постройте симметричное изображение.

Домашнее задание :

1. Нарисуйте трафарет в виде снежинки составьте орнамент с помощью параллельного переноса.

2. Придумайте сами и составьте линейный орнамент из растений и цветов.

Презентация «Зеркальный мир в геометрии или симметрия» (симметрия относительно прямой)

Ребята, добро пожаловать на урок геометрии Тема: «Зеркальный мир в геометрии или симметрия» (симметрия относительно прямой) Учитель математики МБОУ СОШ № 4 г.Белгород: Попова Н. В.
    • « Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.»
  • Г.Вейль
  • ( немецкий математик)
  • Симметрия! Мы гимн тебе поем!
  • Тебя повсюду в мире узнаем.
  • Ты – в Эйфелевой башне, в малой мошке, Ты – в елочке, что у лесной дорожки,
  • Она у ромба и квадрата есть.
  • Ее подробно изучают дети,
  • Но всех фигур с симметрией на свете
  • Нам все равно не перечесть.
  • Центральная симметрия
  • Или
  • симметрия относительно точки
  • 1.Х Ф
  • 2.Луч ХО
  • 3.ОХ=ОУ
  • Свернём лист по этой прямой и проткнём его иглой.
  • Возьмём лист бумаги и проведём на нём прямую.
  • Развернём лист и увидим на нём две точки, которые находятся на одинаковом расстоянии от линии сгиба.
Определение
  • Если мы проведём через точки А и В прямую АВ, то она будет …
  • перпендикулярна данной прямой а.
  • Такие точки называют симметричными относительно прямой а.
  • Две точки А и В называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему.
Для того, чтобы построить фигуру, симметричную данной относительно некоторой прямой нужно из каждой точки фигуры опустить на данную прямую перпендикуляр и на его продолжении построить точку симметричную данной.
  • а — ось симметрии
  • Симметрия относительно прямой – называется осевой симметрией
Фигура называется
  • Фигура называется
  • Симметричной относительно прямой а
  • Прямая а называется
  • ось симметрии
  • если для каждой точки фигуры симметричная ей точка так же принадлежит этой фигуре.
  • Осевая симметрия
  • Построение
  • 1.Х Ф
  • 2.Луч ХМ
  • 3.ХМ=МА
Фигуры, обладающие одной осью симметрии
  • Равнобедренный
  • треугольник
  • Равнобедренная трапеция
Фигуры, обладающие двумя осями симметрии
  • Прямоугольник
Фигуры, имеющие более двух осей симметрии
  • Равносторонний треугольник
Фигуры, не обладающие осевой симметрией
  • Произвольный треугольник
  • Параллелограмм
  • Неправильный многоугольник
Виды симметрии
  • В геометрии существует:
  • симметрия относительно точки;
  • симметрия относительно прямой;
  • симметрия относительно плоскости.
  • Симметричные предметы нельзя назвать равными в узком смысле этого слова. Их называют зеркально равными. Хороший пример в данном случае левая и правая рука человека. Они симметричны, но не равнозначны.
  • Симметрия относительно прямой
  • Симметрия воспринимается нами как элемент красоты вообще и красоты природы в частности. Все, что находится в природе, математически точно и определенно…
В основном, в природе встречается вертикальная симметрия. Единственная горизонтальная симметрия, которую мы встречаем в природе,- это отражение в зеркале воды
  • Симметрия вокруг нас
Почти у конца ряда симметрии стоим, мы, люди, с всего единственной плоскостью симметрии, разделяющей наше тело на левую и правую половины. Человек назвался существом симметричным Существует ли на самом деле симметричный человек?
  • левые
  • половинки
  • фотографии
  • правые
  • половинки
  • фотографии
Симметрия в одежде Симметрия в архитектуре
  • В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла.
Храм
  • Симметрия – это гармония…
Симметрия в архитектуре.
  • «Симметрия» по-гречески означает
  • «соразмерность, пропорциональность,
  • одинаковость расположения частей»
  • Спасская башня Кремля
  • Успенская церковь
Симметрия в искусстве. Симметрия в технике, быту.
  • Осевая симметрия ещё называется зеркальной…
Симметрия в поэзии
  • Пушкин А.С. «Медный всадник»
  • …В гранит оделася Нева;
  • Мосты повисли над водами;
  • Темнозелеными садами
  • Ее покрылись острова…
  • Имеют ли буквы русского алфавита ось симметрии?
  • Одна ось симметрии
  • Две оси симметрии
Задачи
  • 1. Отрезок АВ, перпендикулярный прямой с, пересекает ее в точке О так, что АО≠ОВ. Симметричны ли точки А и В относительно прямой с?
  • Ответ: нет
  • 2. Прямая а пересекает отрезок МК в его середине под углом, отличным от прямого. Симметричны ли точки М и К относительно прямой а?
  • Ответ: нет
  • 3. Точки А и В расположены в различных полуплоскостях с границей р так, что отрезок АВ перпендикулярен прямой р и делится ею пополам. Симметричны ли точки А и В относительно прямой р?
  • Ответ: да
Задачи
      • 4. Относительно какой из координатных осей симметричны точки М(7;2) и К(-7;2)?
      • Ответ: относительно оси Oy
      • 5. Точки А(5;…) и В(…;2) симметричны относительно оси Ох. Запишите их пропущенные координаты.
      • Ответ: А(5; -2), В(5; 2)
      • 6. Точка А(-2;3), В — симметричная ей точка относительно оси Ох, точка С – симметричная точке В относительно оси Оу. Найдите координаты точки С.
      • Ответ: С(2; -3)
      • 7. Точка А(3;1), В – симметричная ей точка относительно прямой у = х. Найдите координаты точки В.
      • Ответ: В(1; 3)
8. Для каждого из случаев, представленных на рисунке, постройте точки А’ и В’, симметричные точкам А и В, относительно прямой с. 8. Для каждого из случаев, представленных на рисунке, постройте точки А’ и В’, симметричные точкам А и В относительно прямой с. 9. Постройте треугольники, симметричные данным, относительно прямой с. 9. Постройте треугольники, симметричные данным, относительно прямой с. Результаты исследования
  • Мы познакомились с разными видами симметрии и поняли, что симметрию легко обнаружить и в природных, и рукотворных формах. Легко вообразить, какая бы царила на Земле неразбериха, если бы симметрия была нарушена.
Заключение
  • Симметрию можно обнаружить почти везде, если знать, как ее искать. Многие народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком смысле – как об уравновешенности и гармонии. Творчество людей во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. Посредством симметрии человек всегда пытался, по словам немецкого математика Германа Вейля, «постичь и создать порядок, красоту и совершенство».
  • Симметрия – важнейшая сторона окружающего нас мира.
  • Принципы симметрии играют особую роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке.
  • Человек, с помощью симметрии, на протяжении многих веков « пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.»
Домашнее задание
  • Творческая работа по теме «Симметрия относительно прямой»
Спасибо за урок!

Объяснитель урока: Рисование диаграмм лучей для выпуклых зеркал

В этом пояснительном механизме мы научимся рисовать диаграммы световых лучей. взаимодействуют с выпуклыми зеркалами.

Прежде чем приступить к рисованию лучевых диаграмм, будет полезно сначала рассмотреть выпуклое зеркало как трехмерный твердый объект.

Выпуклое зеркало — это полый изогнутый предмет, похожий на чашу.

На следующем рисунке показано выпуклое зеркало и его оптическая ось.

Оптическая ось вогнутого зеркала представляет собой воображаемую линию, проходящую через точка перед зеркалом.

Оптическая ось сферического зеркала равноудалена от поверхности зеркало во всех направлениях, перпендикулярных этой оси. Это означает, что красный и синие линии, показанные на следующем рисунке, на самом деле имеют одинаковую длину.

Если смотреть на зеркало вдоль оптической оси, становится виднее что зеркало симметрично относительно этой оси.

Падающий световой луч может перемещаться вдоль оптической оси зеркала. Это показано на следующем рисунке.

Мы видим, что падающий световой луч, идущий вдоль оптической оси зеркало попадет в точку перед зеркалом и отразится обратно по его входящему пути.

Отражаются только лучи, проходящие вдоль оптической оси выпуклого зеркала. назад по их приближающемуся пути. Любой другой путь, по которому проходит луч. приводит к тому, что луч отражается по пути, отличному от его входящего пути.

На следующем рисунке показано, как можно представить поперечное сечение выпуклой зеркало с кривой на двухмерном чертеже.

На следующем рисунке показаны световые лучи, падающие на кривую, представляющую выпуклое зеркало в поперечном сечении.

Из показанных падающих световых лучей только луч, показанный розовым цветом, будет отражать по его входящему пути. Лучи, показанные черным, будут отражаться по разным направлениям. пути к их входящим путям.

На следующем рисунке показан увеличенный вид той части зеркала, где один из лучей, показанных черным, попадает в зеркало.

Мы видим, что там, где луч попадает в зеркало, есть линия, нормальная к поверхность этой точки на зеркале.

На следующем рисунке показан закон отражения, определяющий, как этот инцидент Луч отразится от зеркала.

Если вспомнить закон отражения, угол падения равен углу отражения. угол. Каждый из этих углов находится между световым лучом и линией, перпендикулярной плоскости поверхность зеркала.

Два падающих луча, движущихся в разных направлениях, попадают в одну и ту же точку. на зеркале не отражаются в одном направлении. Это показано в следующий рисунок.

Теперь рассмотрим отражение падающих параллельно падающих лучей.

Мы видим, что падающие лучи, идущие в одном направлении, отражаются в разные направления. Отраженные лучи расходятся.

Мы видим, что расстояния между отраженными лучами увеличиваются по мере увеличения они путешествуют от зеркала.

Это означает, что если мы проведем линии внутри зеркала, идущие от отраженных лучей, расстояния между этими линиями должны уменьшаться.

На следующем рисунке показано, что эти линии при удлинении пересекаются в одной точке.

Точка, в которой встречаются продолжения этих линий, называется фокусной точкой зеркала.

Расходящиеся световые лучи не создают реального изображения, которое можно спроецировать на экран. Однако человеческий глаз может фокусировать расходящиеся лучи из выпуклого зеркало. Мы говорим, что выпуклое зеркало создает виртуальное изображение.

На рисунке ниже показано изображение, создаваемое выпуклым зеркалом.

На следующем рисунке показано, как виртуальное изображение создается выпуклым зеркало.

Мы видим, что полученное изображение меньше самого объекта.

Мы видим, что падающий световой луч сверху объекта отражается в стать отраженным лучом сверху изображения.

Мы также видим, что луч света, падающий снизу на объект, равен отраженный, чтобы стать отраженным лучом от нижней части изображения.

Это означает, что изображение находится на том же уровне, что и объект.

Если объект поместить очень близко к зеркалу, изображение все равно будет вертикально и меньше, чем объект. Это показано на следующем рисунке.

Давайте теперь рассмотрим два примера вопросов.

Пример 1: Определение максимального размера изображения, создаваемого выпуклым зеркалом

Может ли изображение, создаваемое выпуклым зеркалом, быть больше, чем отображаемое? объект?

Ответ

Выпуклое зеркало создает виртуальное изображение. Верх виртуального изображения в точке на прямой, пересекающей центр кривизны зеркало и верх объекта.

Изображение находится ближе к центру кривизны, чем объект, поэтому размер изображения должен быть меньше размера объекта. Изображение не может быть больше предмета.

Пример 2: Классификация ориентации изображения, создаваемого выпуклым зеркалом

Можно ли инвертировать изображение, создаваемое выпуклым зеркалом?

Ответ

Выпуклое зеркало создает виртуальное изображение.

Когда это изображение сформировано, падающий световой луч сверху объект отражается и становится отраженным лучом сверху изображения.Луч падающего света от нижней части объекта отражается, чтобы стать отраженный луч снизу изображения.

Объект и изображение должны быть одинаковыми вверх, поэтому изображение не может быть перевернутый.

Давайте теперь подведем итоги тому, что было изучено в этом объяснителе.

Ключевые моменты

  • Выпуклое зеркало отражает параллельные падающие световые лучи, так что эти лучи расходятся.
  • Отраженные световые лучи от выпуклого зеркала образуют виртуальное изображение.
  • Виртуальное изображение, сформированное выпуклым зеркалом, всегда меньше самого объекта.
  • Виртуальное изображение, формируемое выпуклым зеркалом, всегда одно и то же путь вверх как объект.

Учебное пособие по физике: лучевые диаграммы — вогнутые зеркала

Тема этого блока заключалась в том, что мы видим объект, потому что свет от объекта попадает в наши глаза, когда мы видим линию на объект. Точно так же мы видим изображение объекта, потому что свет от объекта отражается от зеркала и попадает в наши глаза, когда мы смотрим на местоположение изображения объекта.Исходя из этих двух основных предпосылок, мы определили местоположение изображения как место в пространстве, из которого кажется, что свет расходится. Диаграммы лучей были ценным инструментом для определения пути света от объекта к зеркалу к нашим глазам. В этом разделе Урока 3 мы исследуем метод построения лучевых диаграмм для объектов, размещенных в различных местах перед вогнутым зеркалом.

Чтобы нарисовать эти диаграммы, мы должны вспомнить два правила отражения для вогнутых зеркал:

Ранее в этом уроке была показана следующая диаграмма, показывающая путь света от объекта до зеркала к глазу.

На этой диаграмме показаны пять падающих лучей и соответствующие им отраженные лучи. Каждый луч пересекается в месте нахождения изображения, а затем расходится к глазу наблюдателя. Каждый наблюдатель будет наблюдать одно и то же место изображения, и каждый световой луч подчиняется закону отражения. Тем не менее, для определения местоположения изображения потребуются только два из этих лучей, поскольку для нахождения точки пересечения требуется только два луча. Из пяти нарисованных падающих лучей два соответствуют падающим лучам, описываемым нашими двумя правилами отражения для вогнутых зеркал.Поскольку это самая простая и предсказуемая пара лучей для рисования, они будут использоваться в оставшейся части урока.

Пошаговый метод построения диаграмм лучей

Метод построения лучевых диаграмм для вогнутого зеркала описан ниже. Метод применяется к задаче построения лучевой диаграммы для объекта, расположенного на за центром кривизны (C) вогнутого зеркала.Тем не менее, тот же метод работает для построения диаграммы лучей для любого местоположения объекта.

1. Укажите точку на вершине объекта и нарисуйте два падающих луча, идущих к зеркалу.

Используя линейку, аккуратно нарисуйте один луч так, чтобы он проходил точно через точку фокусировки на пути к зеркалу. Нарисуйте второй луч так, чтобы он двигался точно параллельно главной оси. Поместите стрелки на лучи, чтобы указать направление их движения.

2.Как только эти падающие лучи попадают в зеркало, отразите их в соответствии с двумя правилами отражения для вогнутых зеркал.

Луч, который проходит через точку фокусировки на пути к зеркалу, будет отражаться и проходить параллельно главной оси. Используйте прямую кромку, чтобы точно провести ее путь. Луч, который прошел параллельно главной оси на пути к зеркалу, будет отражаться и проходить через точку фокусировки. Поместите стрелки на лучи, чтобы указать направление их движения.Вытяните лучи за точку их пересечения.

3. Отметьте изображение верхней части объекта.

Точка изображения верхней части объекта — это точка пересечения двух отраженных лучей. Если бы вы нарисовали третью пару падающих и отраженных лучей, то третий отраженный луч также прошел бы через эту точку. Это просто точка, где весь свет от верхней части объекта пересекается при отражении от зеркала.Конечно, остальная часть объекта также имеет изображение, и его можно найти, применив те же три шага к другой выбранной точке. (См. Примечание ниже.)

4. Повторите процесс для нижней части объекта.

Цель лучевой диаграммы — определить местоположение, размер, ориентацию и тип изображения, которое формируется вогнутым зеркалом. Обычно для этого требуется определить, где находится изображение верхнего и нижнего крайних точек объекта, а затем проследить все изображение.После выполнения первых трех шагов было найдено только положение изображения верхнего края объекта. Таким образом, процесс необходимо повторить для точки в нижней части объекта. Если нижняя часть объекта лежит на главной оси (как в этом примере), то изображение этой точки также будет лежать на главной оси и находиться на том же расстоянии от зеркала, что и изображение верха объекта. . На этом этапе можно заполнить все изображение.

Некоторым учащимся трудно понять, как можно вывести все изображение объекта после определения одной точки на изображении.Если объект является выровненным по вертикали объектом (например, объект стрелки, используемый в примере ниже), то процесс прост. Изображение представляет собой просто вертикальную линию. Теоретически необходимо выбрать каждую точку на объекте и нарисовать отдельную диаграмму лучей, чтобы определить местоположение изображения этой точки. Для этого потребуется множество диаграмм лучей, как показано ниже.

К счастью, ярлык существует. Если объект представляет собой вертикальную линию, то изображение также является вертикальной линией.Для наших целей мы будем иметь дело только с более простыми ситуациями, когда объект представляет собой вертикальную линию, нижняя часть которой расположена на главной оси. Для таких упрощенных ситуаций изображение представляет собой вертикальную линию с нижним концом, расположенным на главной оси.

Лучевая диаграмма выше показывает, что, когда объект расположен в позиции за центром кривизны, изображение располагается в позиции между центром кривизны и точкой фокусировки.Кроме того, изображение инвертируется, уменьшается в размере (меньше, чем объект) и становится реальным. Это тип информации, которую мы хотим получить из лучевой диаграммы. Эти характеристики изображения будут рассмотрены более подробно в следующем разделе Урока 3.

После того, как метод рисования лучевых диаграмм отработан пару раз, он становится таким же естественным, как дыхание. Каждая диаграмма дает конкретную информацию об изображении. На двух диаграммах ниже показано, как определить местоположение, размер, ориентацию и тип изображения для ситуаций, когда объект расположен в центре кривизны и когда объект расположен между центром кривизны и точкой фокусировки.

Следует отметить, что процесс построения лучевой диаграммы одинаков независимо от того, где находится объект. Хотя результат диаграммы лучей (расположение, размер, ориентация и тип изображения) различается, одни и те же два луча всегда рисуются . Два правила отражения применяются для определения места, где все отраженные лучи, по-видимому, расходятся (что для реальных изображений также является местом пересечения отраженных лучей).

В трех описанных выше случаях — в случае, когда объект расположен за пределами C, в случае, когда объект расположен в C и в случае, когда объект находится между C и F, — световые лучи сходятся в точку после отражения с зеркала. В таких случаях формируется реальное изображение . Как обсуждалось ранее, реальное изображение формируется всякий раз, когда отраженный свет проходит через местоположение изображения. В то время как плоские зеркала всегда создают виртуальные изображения, вогнутые зеркала способны создавать как реальные, так и виртуальные изображения.Как показано выше, реальные изображения создаются, когда объект находится на расстоянии более одного фокусного расстояния от зеркала. Виртуальное изображение формируется, если объект расположен на расстоянии менее одного фокусного расстояния от вогнутого зеркала. Чтобы понять, почему это так, можно использовать диаграмму лучей.

Смотри! Инструктор по физике обсуждает природу реального изображения с помощью демонстрации физики.

Лучевая диаграмма для формирования виртуального изображения

Лучевая диаграмма для случая, когда объект расположен на перед точкой фокусировки, показан на диаграмме справа.Обратите внимание, что в этом случае световые лучи расходятся после отражения от зеркала. Когда световые лучи расходятся после отражения, формируется виртуальное изображение. Как и в случае с плоскими зеркалами, местоположение изображения можно найти, проследив все отраженные лучи назад, пока они не пересекутся. Каждому наблюдателю казалось бы, что отраженные лучи расходятся от этой точки. Таким образом, точка пересечения протяженных отраженных лучей и есть точка изображения. Поскольку свет на самом деле не проходит через эту точку (свет никогда не проходит за зеркалом), изображение называется виртуальным изображением.Заметьте, что когда объект расположен на перед точкой фокусировки, его изображение представляет собой вертикальное увеличенное изображение, расположенное с другой стороны зеркала. Фактически, одно обобщение, которое можно сделать в отношении всех виртуальных изображений, создаваемых зеркалами (как плоскими, так и изогнутыми), заключается в том, что они всегда находятся в вертикальном положении и всегда расположены по другую сторону от зеркала.


Лучевая диаграмма для объекта, расположенного в фокусной точке

До сих пор мы видели с помощью лучевых диаграмм, что реальное изображение создается, когда объект находится на расстоянии более одного фокусного расстояния от вогнутого зеркала; и виртуальное изображение формируется, когда объект находится на расстоянии менее одного фокусного расстояния от вогнутого зеркала (т.е.е., перед F ). Но что происходит, когда объект находится в точке F? То есть какой тип изображения формируется, когда объект находится ровно на одном фокусном расстоянии от вогнутого зеркала? Конечно, лучевая диаграмма всегда является одним из инструментов, помогающих найти ответ на такой вопрос. Однако, когда в этом случае используется лучевая диаграмма, возникает непосредственная трудность. Падающий луч, который начинается с верхнего края объекта и проходит через точку фокусировки, не попадает в зеркало.Таким образом, для определения точки пересечения всех отраженных лучей необходимо использовать другой падающий луч. Любой падающий световой луч будет работать до тех пор, пока он встречается с зеркалом. Напомним, что единственная причина, по которой мы использовали те два, что у нас есть, заключается в том, что их можно удобно и легко нарисовать. На схеме ниже показаны два падающих луча и соответствующие им отраженные лучи.

В случае объекта, расположенного в фокусной точке (F), световые лучи не сходятся и не расходятся после отражения от зеркала.Как показано на диаграмме выше, отраженные лучи движутся параллельно друг другу. Следовательно, световые лучи не будут сходиться на стороне объекта зеркала, чтобы сформировать реальное изображение; они также не могут быть вытянуты назад на противоположной стороне зеркала, чтобы пересекаться, образуя виртуальное изображение. Итак, как следует интерпретировать результаты лучевой диаграммы? Ответ: изображения нет !! Удивительно, но когда объект расположен в фокусной точке, нет места в пространстве, в котором наблюдатель может видеть, от которого все отраженные лучи кажутся расходящимися.Изображение не формируется, когда объект находится в фокусе вогнутого зеркала.

Мы хотели бы предложить … Зачем просто читать об этом и когда можно с этим взаимодействовать? Взаимодействовать — это именно то, что вы делаете, когда используете одно из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием наших интерактивных программ Optics Bench Interactive или Name That Image Interactive.Вы можете найти это в разделе Physics Interactives на нашем сайте. Optics Bench Interactive предоставляет учащимся интерактивную среду для изучения формирования изображений с помощью линз и зеркал. Интерактивное приложение Name That Image Interactive предлагает учащимся интенсивную умственную тренировку по распознаванию характеристик изображения для любого заданного местоположения объекта перед изогнутым зеркалом.


Проверьте свое понимание

На схеме ниже показаны два световых луча, исходящих из верхней части объекта и падающих в сторону зеркала.Опишите, как можно нарисовать отраженные лучи этих световых лучей без использования транспортира и закона отражения.

Руководство по симметрии — Procreate® Handbook

Руководства по рисованию и вспомогательные средства

Направляющие по симметрии отражают ваше искусство в нескольких плоскостях для создания потрясающих эффектов.

Настроить

Настройте и отрегулируйте Руководство по симметрии.

коснитесь

В Действиях> Холст коснитесь Редактировать руководство по рисованию . Вы попадете на экран Drawing Guides .

Нажмите кнопку Симметрия в нижней части экрана.

Когда вы впервые открываете «Симметрию», по умолчанию отображается «Направляющая по вертикальной симметрии».

Направляющая по симметрии отображается в виде тонких линий, накладываемых на изображение.Вы можете настроить внешний вид и поведение своего руководства с помощью следующих параметров.

12

Положение и поворот

Перетащите два узла, чтобы отрегулировать точное положение линий сетки.

1

Синий узел

Синий узел Positional перемещает всю сетку по холсту.

2

Зеленый узел

Зеленый узел Вращение вращает линии сетки.

Чтобы сбросить сетку в положение по умолчанию, коснитесь одного из узлов, затем коснитесь «Сброс».

Вертикальная симметрия

В этом режиме линия направляется вертикально по центру холста. Все, что вы рисуете на одной стороне холста, будет воспроизведено в реальном времени на другой стороне.

Вы можете перемещать и вращать эту направляющую для создания зеркальных результатов под углом.

Горизонтальная симметрия

В этом режиме линия направляется горизонтально через середину холста. Все, что вы рисуете в верхней половине холста, будет воспроизведено в реальном времени в нижней половине и наоборот.

Вы можете перемещать и вращать эту направляющую для создания зеркальных результатов под углом.

Квадрантная симметрия

В этом режиме холст делится на квадранты, используя как горизонтальные, так и вертикальные направляющие. Все, что вы рисуете в одном квадранте, будет воспроизведено в реальном времени во всех остальных.

Радиальная симметрия

В этом режиме холст разбивается на восемь сегментов с использованием горизонтальных, вертикальных и диагональных направляющих. Все, что вы рисуете в одном сегменте, будет воспроизведено в реальном времени во всех остальных.

Зеркальное отражение и вращение

По умолчанию в новых направляющих симметрии используется Зеркальная симметрия : они отражают (и переворачивают) ваши штрихи по направляющей.

В режиме симметрии вращения ваш штрих отражается и вращается. По сути, репродукция переворачивается одновременно по горизонтали и вертикали.

Поэкспериментируйте, чтобы увидеть разницу в действии. Коснитесь переключателя Симметрия вращения , чтобы переключиться между двумя режимами работы.

Внешний вид направляющей для рисования

123456

1

Цвет

Отрегулируйте цвет направляющих линий с помощью полосы тона в верхней части экрана «Направляющие по рисованию».

2

Непрозрачность

Отрегулируйте прозрачность направляющих линий от невидимых до непрозрачных.

3

Толщина

Отрегулируйте толщину направляющих линий от невидимых до заметных.

4

Вспомогательное рисование

Помощник рисования автоматически корректирует ваши штрихи в соответствии с направлением направляющих линий.{\ circ} угол. Световой луч входит параллельно оси симметрии, как показано. (…

Стенограмма видео

Итак, предполагается, что угол между двумя зеркалами составляет 60 градусов, что означает угол с горизонтом. He’s 30 daily now I light ray Rammstein горизонтально. Какой угол соблюдается на поверхности Нормальный. Мы пытаемся найти этот угол. Если здесь это 30 дней в день, то угол падения будет 60 градусов, так что свободная часть и отражение также будут 60 градусов.Теперь это происходит, и это инцидент здесь. Теперь подумайте об этом на секунду, если этот угол равен 60 суточным. Итак, мы действительно должны нарисовать этот рисунок на этой поверхности раздела, нормалью к которой является отраженный Луч. Если я рисую здесь статьи, если я рисую здесь только линию статей, и если я рисую также зеркальную поверхность. В этом случае мы знаем, что это 30-й долг. Мы знаем, что это 60 дБ, теперь угол здесь составляет 90 градусов, так что это должно быть 30 ежедневно. Мы знаем, что этот угол равен 60 градусам, поэтому здесь они должны быть 30. Реально, что означает, что вынужденно отраженный Луч идет под углом 30 градусов по вертикали.Нет, это случается со второй жалкой рыбой, которая находится под углом 30 градусов к горизонтали, которую мы вычислили, потому что этот угол равен 30 в день, здесь он также равен 30 в день, что означает, что второй Луч перпендикулярен. Делаем вторую основную поверхность. Это означает, что луч возвращается к мысли, что Энди возвращается в том же направлении, что и он. Таким образом, приходящий Рэй Резектированный Рэй уважал Рэя, последнюю уважаемую расу. Итак, раз так, как только гонка входит, это первая резекция здесь входит и выходит, второе отражение, затем третьи риффы, а затем третье отражение, чтобы погаснуть.Итак, три размышления. Это твой ответ. А где и в каком направлении выходит из зеркальной системы противоположное направление, по которому заканчивается созданная система А? Это ответ вашей части B

принципов двулучепреломления | Nikon’s MicroscopyU

Двулучепреломление формально определяется как двойное лучепреломление в прозрачном, молекулярно упорядоченном материале, которое проявляется в наличии зависимых от ориентации различий в показателе преломления.Многие прозрачные твердые тела оптически изотропны, что означает, что показатель преломления одинаков во всех направлениях по всей кристаллической решетке. Примерами изотропных твердых веществ являются стекло, поваренная соль (хлорид натрия, проиллюстрированный , рис. 1 (а) ), многие полимеры и широкий спектр как органических, так и неорганических соединений.

Рисунок 1 — Кристаллическая структура изотропных и анизотропных материалов

Простейшая структура кристаллической решетки — кубическая, как показано на молекулярной модели хлорида натрия в рис. 1 (а) , расположение, в котором все ионы натрия и хлорида упорядочены с равномерным интервалом по трем взаимно перпендикулярным осям.Каждый хлорид-ион окружен (и электростатически связан) с шестью отдельными ионами натрия, и наоборот для ионов натрия. Структура решетки, проиллюстрированная в Рис. 1 (b) , представляет собой минерал кальцит (карбонат кальция), который состоит из довольно сложной, но высокоупорядоченной трехмерной матрицы ионов кальция и карбоната. Кальцит имеет анизотропную структуру кристаллической решетки, которая взаимодействует со светом совершенно иначе, чем изотропные кристаллы. Полимер, проиллюстрированный на фиг. , фиг. 1 (c) , является аморфным и лишен какой-либо распознаваемой периодической кристаллической структуры.Полимеры часто обладают некоторой степенью кристаллического порядка и могут быть или не быть оптически прозрачными.

Кристаллы классифицируются как изотропные или анизотропные в зависимости от их оптических свойств и от того, эквивалентны ли их кристаллографические оси. Все изотропные кристаллы имеют эквивалентные оси, которые одинаково взаимодействуют со светом, независимо от ориентации кристалла по отношению к падающим световым волнам. Свет, попадающий в изотропный кристалл, преломляется под постоянным углом и проходит через кристалл с единственной скоростью, не поляризуясь из-за взаимодействия с электронными компонентами кристаллической решетки.

Термин анизотропия относится к неоднородному пространственному распределению свойств, которое приводит к получению разных значений, когда образцы исследуются с нескольких направлений в одном и том же материале. Наблюдаемые свойства часто зависят от конкретного используемого зонда и часто меняются в зависимости от того, основаны ли наблюдаемые явления на оптических, акустических, тепловых, магнитных или электрических событиях. С другой стороны, как упоминалось выше, изотропные свойства остаются симметричными, независимо от направления измерения, при этом каждый тип датчика сообщает идентичные результаты.

Анизотропные кристаллы, такие как кварц, кальцит и турмалин, имеют кристаллографически различные оси и взаимодействуют со светом по механизму, который зависит от ориентации кристаллической решетки относительно угла падения света. Когда свет попадает на оптическую ось анизотропных кристаллов, он ведет себя аналогично взаимодействию с изотропными кристаллами и проходит через нее с единственной скоростью. Однако, когда свет попадает на неэквивалентную ось, он преломляется на два луча, каждый из которых поляризован с направлениями колебаний, ориентированными под прямым углом (взаимно перпендикулярно) друг другу и движущимися с разными скоростями.Это явление называется двойным лучепреломлением или двулучепреломлением и проявляется в большей или меньшей степени во всех анизотропных кристаллах.

Электромагнитное излучение распространяется в пространстве с осциллирующими векторами электрического и магнитного поля, чередующимися в синусоидальных формах, перпендикулярных друг другу и направлению распространения волны. Поскольку видимый свет состоит как из электрических, так и из магнитных компонентов, скорость света через вещество частично зависит от его электропроводности.Световые волны, проходящие через прозрачный кристалл, должны взаимодействовать с локализованными электрическими полями во время своего путешествия. Относительная скорость, с которой электрические сигналы проходят через материал, зависит от типа сигнала и его взаимодействия с электронной структурой и определяется свойством, называемым диэлектрической постоянной материала . Векторное соотношение, определяющее взаимодействие между световой волной и кристаллом, через который она проходит, определяется внутренней ориентацией электрических векторов решетки и направлением компонента электрического вектора волны.Следовательно, тщательное рассмотрение электрических свойств анизотропного материала имеет фундаментальное значение для понимания того, как световая волна взаимодействует с материалом, когда она распространяется.

Рисунок 2 — Световой путь через кристалл кальцита

Явление двойного лучепреломления основано на законах электромагнетизма, впервые предложенных британским математиком Джеймсом Клерком Максвеллом в 1860-х годах. Его сложная серия уравнений демонстрирует, что скорость света через материал равна скорости света в вакууме ( c ), деленной на произведение квадратного корня из диэлектрической проницаемости материала ( e ), умноженное на магнитную проницаемость. ( м ) средней.В общем, биологические и родственные материалы имеют магнитную проницаемость очень близко к 1,0, как и многие проводящие и непроводящие образцы, представляющие интерес для микроскописта. Таким образом, диэлектрическая проницаемость материала связана с показателем преломления посредством простого уравнения:

1

ε = п 2

, где e — переменная, представляющая диэлектрическую проницаемость, а n — измеренный показатель преломления материала.Это уравнение было выведено для определенных частот света и не учитывает дисперсию полихроматического света при его прохождении через материал. Анизотропные кристаллы состоят из сложных ориентаций молекулярной и атомной решетки, которые обладают различными электрическими свойствами в зависимости от направления, с которого они исследуются. В результате показатель преломления также изменяется в зависимости от направления, когда свет проходит через анизотропный кристалл, что приводит к появлению траекторий и скоростей, зависящих от направления.

Возможно, одна из самых ярких демонстраций двойного лучепреломления происходит с кристаллами карбоната кальция (кальцита), как показано на Рис. 2 . Ромбоэдрический блок расщепления кальцита дает два изображения, когда он помещается над объектом, а затем рассматривается в отраженном свете, проходящем через кристалл. Одно из изображений выглядит так, как обычно ожидается при наблюдении за объектом через прозрачное стекло или изотропный кристалл, в то время как другое изображение кажется слегка смещенным из-за природы дважды преломленного света.Когда анизотропные кристаллы преломляют свет, они разделяют входящие лучи на два компонента, которые проходят разные пути во время своего путешествия через кристалл и появляются как отдельные световые лучи. Это необычное поведение, как обсуждалось выше, объясняется расположением атомов в кристаллической решетке. Поскольку точное геометрическое упорядочение атомов не является симметричным относительно кристаллических осей, световые лучи, проходящие через кристалл, могут иметь разные показатели преломления в зависимости от направления распространения.

Один из лучей, проходящих через анизотропный кристалл, подчиняется законам нормального преломления и проходит через кристалл с одинаковой скоростью во всех направлениях. Этот луч света называется обычным лучом . Другой луч движется со скоростью, зависящей от направления распространения внутри кристалла, и называется необычным лучом . Следовательно, каждый световой луч, входящий в кристалл, разделяется на обычный и необычный луч, которые выходят из дальнего конца кристалла в виде линейно поляризованных лучей, векторы электрического поля которых колеблются во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Рисунок 3 — Электрические векторные ориентации кристалла двулучепреломляющего кальцита

Эти явления проиллюстрированы на рисунках 2–4 . Кристалл кальцита, представленный на фигуре , рис. 3 (b) расположен над заглавной буквой A на белом листе бумаги, демонстрируя двойное изображение, наблюдаемое через кристалл. Если кристалл медленно вращать вокруг буквы, одно из изображений буквы останется неподвижным, а другое прецессирует по круговой орбите на 360 градусов вокруг первого.Ориентация плоскостей электрических векторов колебаний как для обычного ( O ), так и для необычного ( E ) лучей обозначена линиями с удвоенными стрелками на рисунке , рис. 3 (b), . Обратите внимание, что эти оси перпендикулярны друг другу. Оптическая ось кристалла, которая составляет равный угол (103 градуса) со всеми тремя гранями кристалла, соединенными в углу, также указана в нижней части кристалла. Степень двойного лучепреломления в кальците настолько выражена, что изображения буквы A , образованные обыкновенным и необыкновенным лучами, полностью разделены.Такой высокий уровень двойного лучепреломления наблюдается не во всех анизотропных кристаллах.

Прозрачные дихроичные поляризаторы могут использоваться для определения направлений электрических векторов необычных и обыкновенных лучей в кристалле кальцита, как показано на рис. 3 (а) и рис. 3 (с) . Когда поляризатор ориентирован так, что передаются все световые волны с электрическими векторами, ориентированными в горизонтальном направлении (, рисунок 3 (a), ), волны с аналогичными векторами в вертикальном направлении поглощаются, и наоборот (, рисунок 3 (c) ) ).В кристалле кальцита, представленном в рис. 3 , необычный луч имеет вертикальный угол электрического вектора колебаний, который поглощается, когда поляризатор ориентирован в горизонтальном направлении ( рис. 3 (a) ). В этом случае через поляризатор проходит только свет обыкновенного луча, и соответствующее ему изображение буквы A является единственным наблюдаемым. Напротив, когда поляризатор поворачивается так, что направление передачи вибрации ориентировано вертикально ( Рис. 3 (c) ), обычный луч блокируется, и изображение буквы A , создаваемое необычным лучом, является единственным. видимый.

В рис. 3 падающие световые лучи, порождающие обыкновенные и необыкновенные лучи, входят в кристалл в направлении, наклонном по отношению к оптической оси, и ответственны за наблюдаемый характер двойного лучепреломления. Однако поведение анизотропного кристалла отличается, если падающий свет входит в кристалл в направлении, параллельном или перпендикулярном оптической оси, как показано на Рис. 4 . Когда падающий луч входит в кристалл перпендикулярно оптической оси, он разделяется на обычные и необыкновенные лучи, как описано выше, но вместо того, чтобы идти разными путями, траектории этих лучей совпадают.Несмотря на то, что обыкновенный и необычный лучи выходят из кристалла в одном и том же месте, они имеют разную длину оптического пути и впоследствии сдвигаются по фазе относительно друг друга ( Рис. 4 (b) ). Два только что описанных случая проиллюстрированы на рис. 4 (а), для наклонного случая (см. рис. 2 и 3, ) и , рис. 4 (b), для ситуации, когда падающий свет перпендикулярен оптической оси. двулучепреломляющего кристалла.

В случае, когда падающие световые лучи падают на кристалл в направлении, параллельном оптической оси ( Рисунок 4 (c) ), они ведут себя как обычные световые лучи и не разделяются на отдельные компоненты анизотропным кристаллом с двойным лучепреломлением.Кальцит и другие анизотропные кристаллы в этих условиях действуют как изотропные материалы (например, стекло). Длины оптических путей выходящих из кристалла световых лучей идентичны, и относительный фазовый сдвиг отсутствует.

Рисунок 4 — Разделение световых волн двулучепреломляющим кристаллом

Хотя термины двойное лучепреломление и двойное лучепреломление широко используются для обозначения способности анизотропного кристалла разделять падающий свет на обычные и необычные лучи, эти явления фактически относятся к различным проявлениям одного и того же процесса.Фактическое разделение светового луча на два видимых вида, каждый из которых преломляется под разным углом, представляет собой процесс двойного лучепреломления. Напротив, двойное лучепреломление относится к физическому происхождению разделения, которое заключается в существовании изменения показателя преломления, которое зависит от направления в геометрически упорядоченном материале. Разница в показателе преломления или двулучепреломлении между необычным и обычным лучами, проходящими через анизотропный кристалл, является измеримой величиной и может быть выражена в виде абсолютного значения с помощью уравнения:

2

Двулучепреломление (B) = | n e — n o |

, где n (e) и n (o) — показатели преломления необыкновенного и обыкновенного лучей соответственно.Это выражение справедливо для любой части или фрагмента анизотропного кристалла, за исключением световых волн, распространяющихся вдоль оптической оси кристалла. Поскольку значения показателя преломления для каждого компонента могут изменяться, абсолютное значение этой разницы может определять общую величину двулучепреломления, но знак двулучепреломления будет либо отрицательным, либо положительным значением. Определение знака двойного лучепреломления аналитическими методами используется для разделения анизотропных образцов на категории, которые называются положительными или отрицательными двойными лучепреломления.Двулучепреломление образца не является фиксированным значением, но будет меняться в зависимости от ориентации кристалла относительно угла падения света.

Разность оптического пути — это классическая оптическая концепция, связанная с двойным лучепреломлением, и оба они определяются относительным фазовым сдвигом между обычным и необыкновенным лучами, когда они выходят из анизотропного материала. Как правило, разность оптических путей вычисляется путем умножения толщины образца на показатель преломления, но только в том случае, если среда однородна и не содержит значительных отклонений или градиентов показателя преломления.Эта величина, как и величина двулучепреломления, обычно выражается в нанометрах и увеличивается с увеличением толщины образца. Для системы с двумя значениями показателя преломления ( n (1) и n (2) ) разность оптических путей ( D ) определяется из уравнения:

3

Разница оптического пути D = (n 1 — n 2 ) • t (Толщина)

Чтобы учесть соотношение фаз и разность скоростей между обычным и необыкновенным лучами после того, как они проходят через кристалл с двойным лучепреломлением, часто определяется величина, называемая относительным замедлением .Как упоминалось выше, два световых луча ориентированы так, что они колеблются под прямым углом друг к другу. Каждый луч будет сталкиваться с немного отличающейся электрической средой (показателем преломления), когда входит в кристалл, и это влияет на скорость, с которой луч проходит через кристалл. Из-за разницы показателей преломления один луч будет проходить через кристалл медленнее, чем другой. Другими словами, скорость более медленного луча будет на отставать от по отношению к более быстрому лучу.Это значение замедления (относительное замедление) можно количественно определить с помощью следующего уравнения:

4

Замедление (Γ) = Толщина (t) x Двулучепреломление (B)

5

Γ = t • | n e — n o |

Где G — количественное замедление материала, t — толщина двулучепреломляющего кристалла (или материала), а B — измеренное двулучепреломление, как определено выше.Факторами, влияющими на величину замедления, являются величина разницы в показателях преломления для окружающей среды, видимой обычным и необыкновенным лучами, а также толщина образца. Очевидно, что чем больше толщина или разница показателей преломления, тем больше степень запаздывания между волнами. Ранние наблюдения, сделанные на минеральном кальците, показали, что более толстые кристаллы кальцита вызывают большие различия в расщеплении изображений, видимых через кристаллы, таких как те, что показаны на , рис. Это наблюдение согласуется с приведенным выше уравнением, которое указывает, что замедление увеличивается с увеличением толщины кристалла (или образца).

Поведение обычного светового луча в кристалле с двойным лучепреломлением можно описать в терминах сферического волнового фронта, основанного на принципе Гюйгенса о вейвлетах, исходящих от точечного источника света в однородной среде (как показано на рис. 5, ). Распространение этих волн через изотропный кристалл происходит с постоянной скоростью, потому что показатель преломления, испытываемый волнами, однороден во всех направлениях ( Рисунок 5 (a) ).Напротив, расширяющийся волновой фронт необыкновенных волн, которые сталкиваются с изменениями показателя преломления в зависимости от направления (см. Рис. 5 (b) ), можно описать поверхностью эллипсоида вращения.

Рисунок 5 — Распространение волнового фронта в анизотропных кристаллах

Верхний и нижний пределы скоростей необыкновенных волн определяются длинной и короткой осями эллипсоида ( Рисунок 5 (c) ).Волновой фронт достигает своей максимальной скорости при распространении в направлении, параллельном длинной оси эллипсоида, которая называется быстрой осью . С другой стороны, самые медленные волновые фронты возникают, когда волна движется вдоль короткой оси эллипсоида. Эта ось называется медленной осью . Между этими двумя крайностями волновые фронты, распространяющиеся в других направлениях, испытывают градиент показателя преломления, который зависит от ориентации, и распространяются со скоростями промежуточных значений.

Прозрачные кристаллические материалы обычно подразделяются на две категории, определяемые количеством оптических осей, присутствующих в молекулярных решетках. Одноосные кристаллы имеют одну оптическую ось и составляют самое большое семейство обычных образцов с двойным лучепреломлением, включая кальцит, кварц и упорядоченные синтетические или биологические структуры. Другой основной класс — это двухосные кристаллы , которые представляют собой двулучепреломляющие материалы с двумя независимыми оптическими осями. Обычный и необычный волновые фронты в одноосных кристаллах совпадают либо на медленной, либо на быстрой оси эллипсоида, в зависимости от распределения показателей преломления внутри кристалла (проиллюстрировано на , рис. 6, ).Разность оптических путей или относительное замедление между этими лучами определяется отставанием одной волны от другой на фронтах поверхностных волн вдоль направления распространения.

В случаях, когда обыкновенный и необычный волновые фронты совпадают на длинной или большой оси эллипсоида, тогда показатель преломления необыкновенной волны больше, чем у обыкновенной волны ( Рисунок 6 (b) ). Эта ситуация называется положительным двулучепреломлением. Однако, если обычный и необычный волновые фронты перекрываются на малой оси эллипсоида ( Рисунок 6 (a) ), то верно обратное.Фактически, показатель преломления, через который проходит обычная волна, превышает показатель преломления необычной волны, и материал называется отрицательно двупреломляющим. Схематический эллипсоид, связывающий ориентацию и относительную величину показателя преломления в кристалле, называется эллипсоидом показателя преломления и показан на рисунках 5 и 6.

Рисунок 6 — Эллипсоиды показателя преломления

Возвращаясь к кристаллу кальцита, представленному на фиг. , рис. 2, , кристалл показан с оптической осью, расположенной в верхнем левом углу.Попадая в кристалл, обычная световая волна преломляется без отклонения от нормального угла падения, как если бы она проходила через изотропную среду. В качестве альтернативы необыкновенная волна отклоняется влево и распространяется с электрическим вектором, перпендикулярным вектору обыкновенной волны. Поскольку кальцит является кристаллом с отрицательным двулучепреломлением, обычная волна является медленной волной, а необыкновенная волна — быстрой волной.

Кристаллы двулучепреломления в поляризационном оптическом микроскопе

Как упоминалось выше, свет, который дважды преломляется через анизотропные кристаллы, поляризован с направлениями электрических векторных колебаний обыкновенной и необыкновенной световых волн, ориентированных перпендикулярно друг другу.Теперь можно исследовать поведение анизотропных кристаллов при освещении со скрещенными поляризациями в оптическом микроскопе. На рисунке 7 показан кристалл с двойным лучепреломлением (анизотропный), расположенный между двумя поляризаторами, направления колебаний которых ориентированы перпендикулярно друг другу (и лежат в направлениях, указанных стрелками рядом с метками поляризатора и анализатора).

Неполяризованный белый свет от осветителя попадает в поляризатор слева и линейно поляризован с ориентацией в направлении, указанном стрелкой (рядом с этикеткой поляризатора), и произвольно представлен красной синусоидальной световой волной.Затем поляризованный свет попадает в анизотропный кристалл (установленный на столике микроскопа), где он преломляется и разделяется на две отдельные составляющие, колеблющиеся параллельно кристаллографическим осям и перпендикулярно друг другу (красная открытая и заполненная световые волны). Поляризованные световые волны затем проходят через анализатор (положение поляризации которого указано стрелкой рядом с этикеткой анализатора), что позволяет проходить только тем компонентам световых волн, которые параллельны азимуту передачи анализатора.Относительное замедление одного луча относительно другого указывается уравнением (толщина, умноженная на разность показателей преломления), которое связывает изменение скорости между обычным и необыкновенным лучами, преломленными анизотропным кристаллом.

Рисунок 7 — Кристаллы двойного лучепреломления между скрещенными поляризаторами

Чтобы более подробно изучить, как двулучепреломляющие анизотропные кристаллы взаимодействуют с поляризованным светом в оптическом микроскопе, будут рассмотрены свойства отдельного кристалла.Материал образца представляет собой гипотетический тетрагональный кристалл с двойным лучепреломлением, оптическая ось которого ориентирована в направлении, параллельном длинной оси кристалла. Свет, попадающий в кристалл из поляризатора, будет распространяться перпендикулярно оптической (длинной) оси кристалла. На рисунках на Рисунке 8 кристалл представлен таким, каким он будет в окулярах микроскопа при освещении со скрещенными поляризациями, когда он вращается вокруг оптической оси микроскопа. В каждом кадре фиг. 8 ось поляризатора микроскопа обозначена заглавной буквой P и ориентирована в направлении восток-запад (горизонтальное).Ось анализатора микроскопа обозначена буквой A и ориентирована в направлении север-юг (вертикальное). Эти оси перпендикулярны друг другу и приводят к полностью темному полю при наблюдении через окуляры без образца на предметном столике микроскопа.

На рисунке 8 (a) показан анизотропный тетрагональный кристалл с двойным лучепреломлением в ориентации, где длинная (оптическая) ось кристалла расположена параллельно азимуту пропускания поляризатора.В этом случае свет, проходящий через поляризатор, а затем через кристалл, колеблется в плоскости, параллельной направлению поляризатора. Поскольку свет, падающий на кристалл, не преломляется в расходящиеся обыкновенные и необыкновенные волны, изотропные световые волны, проходящие через кристалл, не могут произвести электрические векторные колебания в правильной ориентации, чтобы пройти через анализатор и вызвать интерференционные эффекты (см. Горизонтальную стрелку в Рисунок 8 (а) и обсуждение ниже).В результате кристалл получается очень темным, практически незаметным на черном фоне. В целях иллюстрации кристалл, изображенный на рис. 8 (a) , не полностью потух (как это было бы между скрещенными поляризаторами), но пропускает небольшую часть красного света, чтобы читатель мог заметить положение кристалла. .

Микроскопы классически называют эту ориентацию позицией экстинкции кристалла, которая важна как точка отсчета для определения показателей преломления анизотропных материалов с помощью поляризационного микроскопа.При удалении анализатора в микроскопе с перекрестной поляризацией единственное разрешенное направление световой вибрации, проходящей через поляризатор, взаимодействует только с одним электрическим компонентом в кристалле двойного лучепреломления. Этот метод позволяет выделить для измерения единственный показатель преломления. Впоследствии оставшийся показатель преломления двулучепреломляющего материала может быть измерен поворотом поляризатора на 90 градусов.

Рисунок 8 — Ориентация двулучепреломляющего кристалла в поляризованном свете

Ситуация совсем иная в Рис. 8 (b) , где длинная (оптическая) ось кристалла теперь расположена под косым углом ( a ) по отношению к азимуту пропускания поляризатора, что привело к возникновению такой ситуации. вращение столика микроскопа.В этом случае часть света, падающего на кристалл от поляризатора, проходит на анализатор. Чтобы получить количественную оценку количества света, проходящего через анализатор, для решения проблемы можно применить простой векторный анализ. Первым шагом является определение вкладов поляризатора в o и e (см. Рисунок 8 (b) ; буквы относятся к обыкновенному ( o ) лучу и необыкновенному ( e ) лучу, которые обсуждались выше).Проекции векторов падают на ось поляризатора и принимают произвольное значение 1 как для o , так и для e , которые пропорциональны действительной интенсивности обыкновенного и необыкновенного луча. Вклады поляризатора для o и e показаны черными стрелками, обозначенными x и y на оси поляризатора ( P ) на рисунке (b) . Затем эти длины измеряются на векторах o и e (показаны красными стрелками, обозначающими векторы), которые затем складываются вместе для получения результирующего вектора r ‘.Проекция результата на ось анализатора ( A ) дает абсолютное значение R . Значение R на оси анализатора пропорционально количеству света, проходящего через анализатор. Результаты показывают, что часть света от поляризатора проходит через анализатор, и двулучепреломляющий кристалл демонстрирует некоторую степень яркости.

Максимальная яркость для двулучепреломляющего материала наблюдается, когда длинная (оптическая) ось кристалла ориентирована под углом 45 градусов по отношению к поляризатору и анализатору, как показано на рис. 8 (c) .Падение проекций векторов o и e на ось поляризатора ( P ) определяет вклады поляризатора в эти векторы. Когда эти проекции затем измеряются на векторах, результат можно определить, завершив прямоугольник до оси анализатора ( A ). Только что описанный метод будет работать для ориентации любого кристалла относительно оси поляризатора и анализатора, поскольку o и e всегда расположены под прямым углом друг к другу, с той лишь разницей, что ориентация o и e относительно осей кристалла.

Когда обычный и необычный лучи выходят из двулучепреломляющего кристалла, они все еще колеблются под прямым углом друг к другу. Однако компоненты этих волн, которые проходят через анализатор, колеблются в одной плоскости (как показано на рисунке 8). Поскольку одна волна запаздывает по отношению к другой, возникает интерференция (конструктивная или деструктивная) между волнами, когда они проходят через анализатор. В результате некоторые образцы с двойным лучепреломлением приобретают спектр цвета при наблюдении в белом свете через скрещенные поляризаторы.

Рисунок 9 — Диаграмма двулучепреломления Мишеля-Леви

Количественный анализ интерференционных цветов, наблюдаемых в образцах с двойным лучепреломлением, обычно выполняется с помощью диаграммы Мишеля-Леви, подобной той, что показана на рис. 9 . Как видно из этого графика, цвета поляризации, визуализированные в микроскоп и записанные на пленку или захваченные в цифровом виде, могут коррелировать с фактическим замедлением, толщиной и двулучепреломлением образца.Диаграмму относительно легко использовать с образцами с двойным лучепреломлением, если известны две из трех требуемых переменных. Когда образец помещается между скрещенными поляризаторами в микроскопе и поворачивается в положение максимальной яркости с помощью любой из множества пластин замедления, цвет, визуализируемый в окулярах, можно проследить по оси замедления, чтобы найти разницу длин волн между обычными пластинами. и необычные волны, проходящие через образец. В качестве альтернативы, измеряя показатели преломления анизотропного образца и вычисляя их разность (двойное лучепреломление), интерференционный цвет (ы) можно определить по значениям двойного лучепреломления в верхней части диаграммы.Путем экстраполяции наклонных линий обратно к ординате можно также оценить толщину образца.

В нижней части диаграммы Мишеля-Леви (ось x) отмечены порядки замедления, кратные приблизительно 550 нанометрам. Область между нулем и 550 нанометрами известна как первого порядка цветов поляризации, а пурпурный цвет, который встречается в области 550 нанометров, часто называют красным первым порядком . Цвета между 550 и 1100 нанометрами называются цветами второго порядка, цветами, и так далее в таблице.Черный цвет в начале диаграммы известен как черный цвет нулевого порядка . Многие диаграммы Мишеля-Леви, напечатанные в учебниках, отображают цвета высших порядков вплоть до пятого или шестого порядка.

Самая чувствительная область диаграммы — красный цвет первого порядка (550 нанометров), потому что даже небольшое изменение задержки вызывает резкое смещение цвета либо вверх по длине волны до голубого, либо вниз до желтого. Многие производители микроскопов используют эту чувствительность, предоставляя двухполупериодную пластину замедления или компенсатор красного цвета первого порядка со своими поляризационными микроскопами, чтобы помочь ученым в определении свойств материалов с двойным лучепреломлением.

Категории двулучепреломления

Хотя двойное лучепреломление является неотъемлемым свойством многих анизотропных кристаллов, таких как кальцит и кварц, оно также может возникать из-за других факторов, таких как структурное упорядочение, физическое напряжение, деформация, поток через ограниченный канал и деформация. Внутреннее двойное лучепреломление — это термин, используемый для описания материалов природного происхождения, которые имеют асимметрию показателя преломления, зависящую от направления. Эти материалы включают множество анизотропных природных и синтетических кристаллов, минералов и химикатов.

Структурное двулучепреломление — это термин, который применяется к широкому спектру анизотропных образований, включая биологические макромолекулярные сборки, такие как хромосомы, мышечные волокна, микротрубочки, жидкокристаллическая ДНК и волокнистые белковые структуры, такие как волосы. В отличие от многих других форм двулучепреломления, структурное двулучепреломление часто чувствительно к колебаниям или градиентам показателя преломления в окружающей среде. Кроме того, многие синтетические материалы также демонстрируют структурное двойное лучепреломление, включая волокна, длинноцепочечные полимеры, смолы и композиты.

Напряжение и деформация Двулучепреломление возникает из-за внешних сил и / или деформации, действующих на материалы, которые не обладают естественным двойным лучепреломлением. Примерами являются растянутые пленки и волокна, деформированные стеклянные и пластиковые линзы, а также отливки из напряженных полимеров. Наконец, двулучепреломление потока может происходить из-за индуцированного выравнивания материалов, таких как асимметричные полимеры, которые упорядочиваются в присутствии потока жидкости. Палочковидные и пластинчатые молекулы и макромолекулярные сборки, такие как высокомолекулярная ДНК и детергенты, часто используются в качестве кандидатов в исследованиях двойного лучепреломления потока.

В заключение, двулучепреломление — это явление, проявляющееся в асимметрии свойств, которые могут быть оптическими, электрическими, механическими, акустическими или магнитными по своей природе. Широкий спектр материалов демонстрирует различную степень двойного лучепреломления, но особый интерес для оптического микроскописта представляют те образцы, которые прозрачны и легко наблюдаются в поляризованном свете.

Spherical Mirrors — The Physics Hypertextbook

Обсуждение

введение

Изогнутые зеркала бывают двух основных типов: те, которые сходятся параллельно падающим лучам света, и те, которые расходятся параллельно падающим лучам света.

Одна из самых простых форм для анализа — сферическое зеркало . Обычно такое зеркало представляет собой не целую сферу, а сферический колпачок — кусок, вырезанный из большей воображаемой сферы за один разрез. Хотя кто-то может возразить, что это утверждение количественно неверно, поскольку шарикоподшипники представляют собой целые сферы, и их много и блестит. Тем не менее, что касается оптических инструментов, большинство сферических зеркал представляют собой сферические колпачки.

Начните с обведения линии от центра кривизны сферы через геометрический центр сферической крышки.Продлите его до бесконечности в обоих направлениях. Эта воображаемая линия называется главной осью или оптической осью зеркала . Любая линия, проходящая через центр кривизны сферы, является осью симметрии для сферы, но только одна из них является линией симметрии для сферической крышки. Прилагательное «основная» используется потому, что это самая важная из всех возможных осей. Сравните это с директором школы, который, по сути, является самым важным или главным учителем. Точка, в которой главная ось проходит через зеркало, называется полюсом зеркала.Сравните это с полюсами Земли, местом, где воображаемая ось вращения пронизывает буквальную поверхность сферической Земли.

Представьте себе набор лучей, параллельных главной оси, падающих на сферическое зеркало ( параксиальных лучей, как их иногда называют). Давайте начнем с изогнутого зеркала, как показано ниже — зеркала, отражающая поверхность которого находится «внутри», как если бы вы смотрели в ложку, которую правильно держали для еды, — вогнутое зеркало .

Лучи света, параллельные главной оси вогнутого зеркала, будут казаться сходящимися в точке перед зеркалом где-то между полюсом зеркала и его центром кривизны.Это делает его сходящимся зеркалом , а точка, где сходятся лучи, называется фокусной точкой или фокусом . Focus изначально было латинским словом, означающим очаг или камин — поэтически это место в доме, где сходятся люди, или, аналогично, место в оптической системе, где сходятся лучи. С помощью небольшой геометрии (и большого количества упрощений) можно показать, что фокус находится примерно на посередине между центром и полюсом.Я не буду пробовать это доказательство.

Позиции в пространстве вокруг сферического зеркала описываются с помощью главной оси как оси системы координат. Полюс служит источником. Местам перед сферическим зеркалом (или плоским зеркалом, если на то пошло) присваиваются положительные значения координат. Те, кто позади, отрицательный. Расстояние от полюса до центра кривизны называется (не удивительно, надеюсь) радиусом кривизны ( r ). Расстояние от полюса до фокусной точки называется фокусным расстоянием ( f ).Таким образом, фокусное расстояние сферического зеркала составляет , что составляет примерно половины его радиуса кривизны.

Важно сразу отметить, что это приблизительно истинное отношение. Мы будем предполагать, что это в точности так, пока не возникнет проблема. Для многих повседневных приложений это достаточно близко к истине, что нам все равно. Только когда мы столкнемся с ситуациями, требующими особой точности, мы сможем справиться с этой аберрацией (как она буквально называется). Астрономические телескопы не должны иметь сферических зеркал.Настоящие телескопы сделаны с параболическими или гиперболическими зеркалами, но, как я сказал ранее, мы разберемся с этим позже.

Теперь представьте себе зеркало с противоположной кривизной — зеркало, отражающая поверхность которого находится «снаружи», как если бы вы смотрели в ложку, перевернутую вверх дном из ее полезной ориентации, выпуклое зеркало . Давайте посветим на это зеркало параксиальными лучами и посмотрим, что произойдет.

Зеркала выпуклые — это расходящиеся зеркала . Вместо , сходящегося к точке перед зеркала, здесь лучи света, параллельные главной оси, кажутся расходящимися на из точки позади зеркала.Мы также назовем это место фокусной точкой или фокусом зеркала, даже если это не согласуется с первоначальной концепцией фокусировки как места, где встречаются вещи. Лучшим русским реверсивным голосом скажите: «В выпуклом доме люди уходят от очага» (или что-то в этом роде, но смешнее).

Места перед расходящимся зеркалом имеют положительные значения положения, поскольку точки перед любым зеркалом всегда положительны. Расстояние от полюса до центра кривизны по-прежнему равно , радиус кривизны ( r ), но теперь он отрицательный.Расстояние от полюса до фокуса по-прежнему равно , фокусное расстояние ( f ), но теперь оно также отрицательное. С двумя переключателями знаков правило, согласно которому фокусное расстояние составляет половину радиуса кривизны, все еще остается верным в том же приближении , что и раньше.

Мы только что обсудили основные и важные концепции, связанные со сферическими зеркалами. Давайте теперь поговорим о том, как они используются.

лучевые диаграммы

текст

уравнений

Геометрический вывод уравнения увеличения.

Аналогичные треугольники. Уравнение увеличения.

Геометрический вывод уравнения сферического зеркала.

Уравнение увеличения плюс новые похожие треугольники.

M = h i = d i = f
h o d o d o — f

Скрещивайте, умножайте, распределяйте, собирайте похожие термины.

d i ( d o — f ) = d o f
d i d o — d i f = d o f
d i d o = d i f + d o f

Разделить на d i d o f .

d i d o = d i f + d o f
d i d o f d i d o f d i d o f

Simplfy. Формула сферического зеркала.

Ага, жареные картофелины.

Симметрия

и многоугольники

Симметрия и многоугольники Вернуться к содержанию

Обзор базовой геометрии — Урок 6

Обзор урока

Отражательно-симметричные фигуры

Плоская фигура отражательно-симметричная тогда и только тогда, когда есть линия, отражающая фигуру сама на себя. Эта линия представляет собой линию симметрии фигуры.

Заглавные буквы A, B, C, D, E, H, I, K, M, O, T, U, V, W, X и Y часто записываются как отражающие симметричные фигуры.Некоторые симметричны относительно горизонтальной линии (BCDEHIKOX) в то время как другие симметричны относительно вертикальной линии (AHIMOTUVWXY). Как видите, поскольку некоторые из них находятся в обоих списках (HIOX), может быть более одной линии симметрии. Задача состоит в том, чтобы найти такие слова, как ДИКСИ или ПОВАРКА. состоит полностью из букв с горизонтальной линией симметрии или MOM, WAXY, YOUTH (написано вертикально!) полностью состоит из букв с вертикальной линией симметрии. Собрав достаточно этих слов, вы можете сделать их в кроссворд (за дополнительную плату)!

В нашем учебнике утверждается и доказывается то, что они называют Теорема о триггере : (отражение симметрично).

Если F и G точки / числа, и r l (F) = G , затем r l (G) = F .

Отсюда можно доказать, что каждый сегмент имеет две линии симметрии : сам и его серединный перпендикуляр. Это то же самое, что и письмо, о котором я говорил выше. У углов есть только одна линия симметрии: угол биссектриса, которая заставляет один луч отражаться на другой луч.В круге бесконечно много линий симметрии (независимо от того, как вы рисуете диаметр, полукруги являются отражением друг друга). Раздел завершается следующим важным результатом.

Если фигура симметрична, то любая пара соответствующих частей по симметрии конгруэнтны.

Чернильные пятна Роршаха и логотипы обычно являются отражательно-симметричными. Эти симметрии будут полезны при применении к различным многоугольникам.Симметрия также важна в алгебре. Функция y = x 2 определяет параболу, в которой знак x значения не имеет. Это делает его четной функцией (показатель степени 2 — еще один ключ к разгадке).

Симметричные треугольники (равнобедренные и равносторонние)

Треугольники, упомянутые в Числа 11 урока и Урок геометрии 2, можно классифицировать либо по количество сторон одинаковой длины (0 — разносторонний, 2 или более — равнобедренный, все 3 — равносторонний) или по наибольшему углу (острый, правый, тупой).Слева представлена ​​диаграмма иерархии, объединяющая обе ситуации. Из-за перекрытия диаграммы иерархии для любой ситуации обычно даются взамен. Примечание: правый / острый / тупой треугольник может быть разносторонним или равнобедренным.

Кроме того, наше определение равнобедренного сустава включает, но не исключает равносторонний треугольник. Так же, как есть особые имена, связанные со сторонами прямоугольный треугольник ( гипотенуза и катеты ), есть специальные названия, связанные с углами и сторонами равнобедренный треугольник.Угол, определяемый двумя равными сторонами называется углом при вершине . Сторона, противоположная углу при вершине, называется основанием . Два угла, противоположные равным сторонам, представляют собой базовые углы (и равны). Их также можно описать как углы на концах основания.

Три важные теоремы заключаются в следующем. Некоторые термины будут определены ниже.

Прямая, содержащая биссектрису угла при вершине равнобедренного треугольника
линия симметрии треугольника.
В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине равна
серединный перпендикуляр к основанию, а медиана — к основание определяют той же линией.
Если треугольник имеет две равные стороны, то углы напротив них конгруэнтны.
Эта последняя теорема широко известна как Угол основания равнобедренного треугольника Tneorem и обычно обозначается как: в равнобедренном треугольнике углов при основании равны .Обратное (если два угла треугольника совпадают, то стороны напротив них совпадают) тоже верно но ждет главы 7. Иногда историческое латинское название: pons asinorum , или мост ослы / дураки, из-за использованной диаграммы доказательств.
Каждый равносторонний треугольник имеет три линии симметрии. Это биссектрисы углов / сторон.
Если треугольник равносторонний, то он равносторонний.

Следствие (теорема, которая немедленно следует из логики из другой теоремы) состоит в том, что углов равностороннего треугольника равны 60 ° . Хотя линия симметрии равнобедренного треугольника — биссектриса, медиана, серединный перпендикуляр и высота, в большинстве треугольников эти линии разные.

Incenter, Circumcenter, Orthocenter и Centroid

Мы определим различные важные вспомогательные линии который можно построить на многоугольнике.Мы также обсудим некоторые конкретные приложения этих линий к треугольникам.
Луч — это биссектриса угла тогда и только тогда, когда он образует два угла равной меры со сторонами угла.
Три биссектрисы треугольника совпадают в центре внутреннего угла .

Инцентратор находится на одинаковом расстоянии (расстояние х ) от всех три стороны треугольника.Таким образом, если бы круг был нарисован с центр в центре с радиусом r , это будет вписано в треугольник.

Сегмент, луч или прямая — это серединный перпендикуляр (сегмента). тогда и только тогда, когда он содержит середину сегмента и перпендикулярно сегменту.
Три серединных перпендикуляра треугольника совпадают. в центре окружности .

Центр окружности эквидистантен (расстояние r ) от всех три вершины треугольника. Таким образом, если бы круг был нарисован с центр описанной окружности как ее центр с радиусом r , он бы описал треугольник.

Сегмент — , высота тогда и только тогда, когда он перпендикулярен линии, содержащей сторона, противоположная вершине и содержащая эту вершину.

Высота также может относиться к длине описанного выше сегмента.У трапеций тоже есть высота. Кроме того, высота трехмерных объектов: призмы, цилиндры, пирамиды и конусы называют высотой.

Три высоты треугольника совпадают в ортоцентре .

Ортоцентр не обязательно должен находиться внутри треугольника. Внутри он будет располагаться только в том случае, если треугольник острый. Если треугольник правильный, ортоцентр будет на гипотенузе.Если треугольник тупой, ортоцентр будет вне треугольника.

Сегмент является медианой треугольника тогда и только тогда, когда он соединяет одну вершину с серединой противоположной стороны.
Три медианы треугольника совпадают в центроиде .

Если бы треугольник был сделан из однородно плотного материала, центроид будет центром масс или центром тяжести треугольника.Тонкий твердый объект такой формы уравновесит на этой точке. Таким образом, если треугольник подвешен за вершину, линия к локальной точке гравитационного притяжения (местный надир или прямо вниз) описал бы медиану и прошел бы через центроид. У медиан есть еще одно важное свойство.

Медианы всегда делят друг друга в соотношении 1: 2, с большей частью ( 2/3 ) к вершине и меньшая часть ( 1/3 ) с противоположной стороны.
Центр окружности, ортоцентр и центроид всегда лежат на одной прямой. Эта линия называется Линия Эйлера .

В равнобедренном треугольнике все четыре точки лежат на одной прямой. В равностороннем треугольнике все четыре совпадают.

Интересной конструкцией является Девятиконечная окружность , круг, проходящий через середины каждой стороны, основание каждой высоты, а также середина отрезки между ортоцентром и каждой вершиной.

Виды четырехугольников

Четырехугольники можно классифицировать по длине их сторон и количеству пары сторон параллельны. Ознакомьтесь с иерархией диаграмма слева. Помните, что любое имущество, принадлежащее всем фигурам одного типа удерживается всеми типами, связанными ниже.

Воздушные змеи и их свойства

Четырехугольник — это змей тогда и только тогда, когда у него есть две различные пары последовательных конгруэнтных сторон.

Это имя должно быть знакомо по форме научный инструмент, предположительно используемый Бенджамином Франклином, которые сейчас используются в основном как игрушки. Наконечник стрелы, Startrek или шеврон обычно имеет форму невыпуклого воздушного змея. Другое распространенное название этой формы — дротик. Вершины, общие для конгруэнтных сторон, — это , концы . Линия, содержащая концы воздушного змея, является линией симметрии воздушного змея.Линия симметрии воздушного змея делит углы на концах воздушного змея пополам. Диагональ симметрии воздушного змея — это серединный перпендикуляр к плоскости другая диагональ.

Трапеции и их свойства

Четырехугольник является трапецией тогда и только тогда, когда он имеет хотя бы одну пару параллельных сторон.

Некоторые книги определяют трапеции как имеющие ровно одну пара параллельных сторон, так что будьте осторожны.Параллельные стороны трапеции называются основаниями . В трапеции последовательные углы между парами параллельных сторон являются дополнительными.

Трапеция — это равнобедренная трапеция тогда и только тогда, когда она имеет конгруэнтные базовые углы.

Если непосредственно следует, что стороны, противоположные конгруэнтному углы в равнобедренной трапеции совпадают. В равнобедренной трапеции серединный перпендикуляр одного основания также является серединным перпендикуляром к другому основанию.Таким образом, эта биссектриса также является линией симметрии.

В одном из моих любимых вопросов используется равнобедренный трапозоид. Если дать высоту равнобедренного трапозоида, а также длины его двух оснований, можно найти его периметр. Пример: предположим, что мы знаем некоторую равнобедренную трапозоид имеет основания 10 и 16 с высотой 4. Мы знаем, что прямоугольные треугольники образуются вне прямоугольной области определяется высотой и более коротким основанием.Правильные треугольники имеют основание 3 и высоту 4, следовательно, гипотенуза 5. Следовательно, периметр равен 36. Сформированные треугольники не обязательно быть целым числом, и мы продолжим с областью в позже урок.

Параллелограммы и их свойства

Четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда обе пары сторон параллельны.
Таким образом, параллелограмм — это не только трапеция, но также представляет собой равнобедренную трапецию.
Четырехугольник — это прямоугольник тогда и только тогда, когда все углы совпадают.
Таким образом, прямоугольник — это равносторонний четырехугольник. Каждый угол составляет 90 ° или вправо. Поскольку альтернативные внутренние углы равны, мы можем легко сделать вывод, что стороны тоже параллельны. Таким образом, прямоугольник — это параллелограмм. Обе серединные перпендикуляры сторон прямоугольника являются линиями симметрии.
Четырехугольник — это ромб тогда и только тогда, когда все стороны совпадают.
Таким образом, ромб — это равносторонний четырехугольник. Ромб — это одновременно воздушный змей и параллелограмм — и то и другое двумя разными способами. Диагонали ромба перпендикулярны биссектрисам друг друга. В детском саду вы, вероятно, узнали о форме под названием ромб. Однако эта форма не очень специфична в том смысле, что она может быть либо (неквадратный) ромб или воздушный змей (более традиционный стиль угольные кристаллы). Таким образом, мы не будем использовать это обозначение формы.
Четырехугольник — это квадрат тогда и только тогда, когда все стороны и все углы совпадают.
Обратите внимание, что квадрат — это прямоугольник и квадрат — это ромб . Это также воздушный змей, параллелограмм и трапеция. К сожалению, многие из вас еще в дошкольном возрасте узнали об обратном. а чтобы чему-то научить, требуется в пять раз больше времени! Также обратите внимание, что большинство четырехугольников не принадлежат ни к одному из этих специальные категории! Есть и другие классификации.Например, четырехугольники, которые можно вписать в круг. циклические .

Симметрия вращения

Плоская фигура F осесимметричная тогда и только тогда, когда есть вращение (строго) между 0 ° и 360 ° такой, что R ( F ) = F . Центр R — это центр симметрии для F .
Обратите внимание, что 0 ° и 360 ° исключены (ничего не происходит).

Считается, что фигура имеет n -кратную вращательную симметрию, если n поворотов на 360 ° / n производят идентичная фигура. Последний поворот возвращает его в исходное положение. Фигура может иметь вращательные и отражающие свойства по отдельности или вместе. Фигура с отражающими свойствами может иметь симметрию вращения. тогда и только тогда, когда линии симметрии пересекаются.

Возвращаясь к нашим примерам букв, H, I, O, X имели два пересекающихся линии симметричной и, следовательно, как отражательной, так и вращательной симметрии.Буквы N, S и Z имеют симметрию вращения, но не отражают симметрия. Некоторые буквы (M & W, b & q, d & p, n & u, h & y? Или 4 ??) вращаются в другую пару!

Правильные многоугольники

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, все углы которого равны конгруэнтны и все стороны совпадают. Правильные многоугольники с три и четыре стороны имеют специальные названия равносторонний треугольник и квадрат соответственно.В противном случае их просто называют правильный пятиугольник , правильный шестиугольник , и т. Д. , штатный н -гон.

Многоугольник может быть равносторонним или равносторонним без, обязательно, будучи обоими (обычными). Прямоугольник является примером равностороннего четырехугольника, а ромб — пример равностороннего четырехугольника. Ни то, ни другое не должно быть квадратом. Однако для 3-угольников, как указано в теореме выше, равносторонний треугольник также должен быть равноугольным.

В любом правильном многоугольнике точка называется центром . равноудалена от всех вершин.
Расстояние от середины сторона правильного многоугольника к центру находится апофема .

Апофема может также относиться к сегменту с длиной, как описано выше. Апофема часто используется в некоторых формулах. Например, площадь правильного многоугольника равна A = asn /2, где a — апофема, s — длина каждой стороны, и n — количество сторон.Поскольку p = sn или периметр — это количество сторон, умноженное на длину каждой стороны, также можно записать A = ap /2.

Каждый правильный n -угольник имеет n линий симметрии и n -кратная вращательная симметрия. Все линии симметрии либо биссектрисы, либо перпендикулярны. биссектрисы каждой стороны (или обе, если n нечетное).

Мера внутренних углов регулярного n- гон можно найти следующим образом.Триангулируйте многоугольник с помощью рисование диагоналей n -3 от одной вершины ко всем остальным вершинам. Это делит n- угольник на n -2 треугольников. Углы сумма любого треугольника равна 180 °. Таким образом, внутренние углы любого n- гонсум до (n-2) • 180 °. Внутренние углы обычный угольник n- будет иметь вид (n-2) • 180 ° / n . Мы привели формулу для числа диагоналей угольника n в урок 2 как n • ( n -3) / 2.Вы можете дополнительно подумать, сколько разной длины эти диагонали может быть, особенно в правильном многоугольнике.

Расписания с правильными многоугольниками

Регулярные многоугольники могут быть использованы для формирования расписания кругового турнира , турнир, где каждая команда играет друг с другом один раз. Есть и другие методы, но ни один из них не настолько прост. Чтобы использовать этот алгоритм, используйте правильный многоугольник с n или n -1 сторона, в зависимости от того, что нечетное.Разместите команды в вершинах. Если один остался, поместите эту команду посередине. Нарисуйте параллельные диагонали, соединяющие пары команд ( пара ). (Это также могут быть аккорды на круге.) Оставшийся получит либо , пока (не играть в этом раунде), если он нечетный; или пары с командой в центре, если даже. Запишите эти пары как первый раунд. Поверните диагонали / хорды к следующей вершине. Запишите эти пары как второй раунд.Когда вы пройдете половину пути, у вас будут все возможные пары, или полное расписание турниров по круговой системе.

Теорема Нётер

В 1905 году Эмили Нётер опубликовала теорему о сохранении законы физики симметрии в математической формулировке. Тот факт, что энергия и импульс сохраняются, связаны с симметрии во времени и пространстве.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *