Определите площадь плоской фигуры изображенной на рисунке 29: Определите площадь плоской фигуры, изображенной на рисунке (клен). Объясните, как вы это сделали. Что вы для этого использовали?

Содержание

Задачи на нахождение периметра и площади

Примеры решения задач разной сложности на нахождение периметра и площади

Условные обозначения и формулы

a — длина
b — ширина
P — периметр
S — площадь

Квадрат → определение

Найди длину прямоугольника, если его ширина 7 см, а периметр равен 40 см.

Решение:

Вариант Ⅰ
У прямоугольника противоположные стороны равны, то есть две равных ширины и две равных длины.
Если одна ширина (сторона) 7 см, то и другая (противоположная) тоже 7 см.
7 + 7 = 14 (см)
Периметр состоит из суммы длин четырёх сторон прямоугольника, сумму двух противоположных сторон мы уже узнали, тогда сумма двух других противоположных сторон (длин) будет равна:
40 — 14 = 26 (см)
Теперь узнаем длину одной стороны:
26 : 2 = 13 (см)

Ответ: длина прямоугольника 13 см.

или

Вариант Ⅱ
P = (a + b) · 2 — периметр прямоугольника

или

(a + b) · 2 = P, где a — длина = ?, b — ширина = 7 см, P — периметр = 40 см.
Составим уравнение:
(а + 7) · 2 = 40
2а + 14 = 40
2а = 40 — 14
2а = 26
а = 26 : 2
а = 13

Ответ: длина прямоугольника 13 см.

Найди ширину прямоугольника, если его длина 10 см, а периметр равен 30 см.

Решение:

Вариант Ⅰ
У прямоугольника противоположные стороны равны, то есть две равных ширины и две равных длины.
Если одна длина (сторона) 10 см, то и другая (противоположная) тоже 10 см.
10 + 10 = 20 (см)
Периметр состоит из суммы длин четырёх сторон прямоугольника, сумму двух противоположных сторон мы уже узнали, тогда сумма двух других противоположных сторон будет равна:
30 — 20 = 10 (см)
Теперь узнаем ширину одной стороны:
10 : 2 = 5 (см)

Ответ: ширина прямоугольника 5 см.

или

Вариант Ⅱ
P = (a + b) · 2 — периметр прямоугольника

или

(a + b) · 2 = P, где a — длина = 10 см, b — ширина = ?, P — периметр = 30 см.
Составим уравнение:
(10 + b) · 2 = 30
20 + 2b = 30
2b = 30 — 20
2b = 10
b = 10 : 2
b = 5

Ответ: ширина прямоугольника 5 см.

Ширина прямоугольника 15 см, длина 20 см.
Найди длину другого прямоугольника с той же площадью, если его ширина в 3 раза меньше ширины первого прямоугольника.

Решение:
в первом действии узнаём площадь по формуле a · b = S
15 · 20 = 300 (см²) — S одного и другого прямоугольника
теперь ширину второго
15 : 3 = 5 (см) — ширина другого прямоугольника
и отвечаем на вопрос задачи применив формулу S : a = b
300 : 5 = 60 (см)

Ответ: длина другого прямоугольника 60 см.

Длина прямоугольника b = 32 см. Ширина a = 4 см.
Найди длину другого прямоугольника с такой же площадью, если его ширина в 2 раза больше ширины первого прямоугольника.

Решение:
узнаем площадь прямоугольников по формуле a · b = S
32 · 4 = 128 (см²) — S первого прямоугольника
теперь ширину второго прямоугольника
4 · 2 = 8 (см) — ширина другого прямоугольника
применив формулу S : a = b узнаем длину другого
128 : 8 = 16 (см)

Ответ: длина другого прямоугольника 16 см.

Какой участок земли потребует большую ограду: прямоугольный размерами 32 м и 2 м или квадратный, имеющий ту же площадь?

Решение:
Ⅰ. Прямоугольный участок
32 · 2 = 64 (м²) — S прямоугольного участка = 64 (м²)
(32 + 2) · 2 = 68 (см) — P прямоугольного участка = 68 (см)
Ⅱ. Квадратный участок (имеющий площадь прямоугольного = 64 м²)
Если S квадрата = a · a, тогда, из формулы, узнаем сторону квадратного участка S : a = a
(у квадрата все стороны равны, тогда a · a = S — таблицу умножения мы знаем, подберём значения a и заменим их — 8 · 8 = S или 8 · 8 = 64 или 64 = 8 · 8 или 64 : 8 = 8)
64 : 8 = 8 (м) — любая сторона квадратного участка = 8 (м)
8 · 4 = 32 (м) — периметр квадратного участка = 32 (м)
Ⅲ. P прям. — P квадр. = разница периметров
68 — 32 = 36 (м) — разница периметров

Ответ: потребует большую ограду прямоугольный на 36 м.

Какая комната потребует больше плинтуса: прямоугольная размерами 4 м и 9 м или квадратная, имеющая ту же площадь?

Решение:
(4 + 9) · 2 = 26 (м) — P периметр прямоугольной комнаты
4 · 9 = 36 (м²) — S площадь прямоугольной комнаты
(из условия задачи квадратная комната имеет ту же площадь 36 м², а из определения площади квадрата знаем, что все стороны равны a = a = a = a, смотрим таблицу умножения и видим 6 · 6 = 36, то есть любая из сторон a = 6
запишем (приведём) формулу площади квадрата S = a · a в форму нахождения её стороны S : a = a
36 : 6 = 6 (м) — любая из сторон квадратной комнаты
6 · 4 = 24 (м) — P периметр квадратной комнаты
26 — 24 = 2 (м)

Ответ: потребует больше плинтуса прямоугольная на 2 м.

Ребро куба равно 2 сантиметров. Найти площадь всех граней куба.

Решение:
Куб — многогранник, поверхность которого состоит из шести одинаковых по площади квадратов.
У куба 8 вершин, 12 рёбер, 6 граней (поверхностей).
Если S = a · a — площадь квадрата, тогда
S = (a · a) · 6 — площадь всех граней куба, из условия задачи a = 2, тогда S = 2 · 2 · 6
2 · 2 · 6 = 24 (см²)

Ответ: площадь всех граней куба равна 24 см².

Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.

Решение:

Для решения потребуются формулы:
S = a · a; S = a² — площадь квадрата (у квадрата все стороны равны)
S = a · b — площадь прямоугольника (у прямоугольника противоположные стороны равны)
Далее всё очень просто:

Квадрат A.
S = a · a или a · a = S — формула площади квадрата, тогда
8 · 8 = 64 — площадь квадрата
S = a · a или a · b = S — формула площади прямоугольника, тогда
4 · 1 = 4 — площадь вырезанного прямоугольника
из площади квадрата вычтем площадь вырезанного прямоугольника
64 — 4 = 60

Ответ: площадь получившейся фигуры равна 60.

Квадрат B.
S = a · a или a · a = S — формула площади квадрата, тогда
7 · 7 = 49 — площадь квадрата
S = a · a или a · b = S — формула площади прямоугольника, тогда
4 · 2 = 8 — площадь вырезанного прямоугольника
из площади квадрата вычтем площадь прямоугольника
49 — 8 = 41

Ответ: площадь получившейся фигуры равна 41.

Квадрат C.
S = a · a или a · a = S — формула площади квадрата, тогда
7 · 7 = 49 — площадь квадрата
S = a · a или a · b = S — формула площади прямоугольника, тогда
5 · 1 = 5 — площадь вырезанного прямоугольника
из площади квадрата вычтем площадь прямоугольника
49 — 5 = 44

Ответ: площадь получившейся фигуры равна 44.

Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке A.

Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке B.

Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке C.

Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке D.

Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке E.

(!) Фигуры расположены на листе в клетку, где каждая клетка – квадрат со стороной равной 1см.

Определение:

Неправильный четырехугольник – фигура, у которой стороны не равны и не параллельны.

Решение:
разобьём неправильные четырехугольники A, B, D на два прямоугольных треугольника и прямоугольник, а неправильные четырехугольники C, E на два прямоугольных треугольника и квадрат.

Применив формулы площади треугольника

Фигура A.
S = a · b — формула площади прямоугольника, тогда
3 · 4 = 12 см² — площадь прямоугольника a
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ · 1 · 5 = 2,5 см² — площадь прямоугольного треугольника b
S = ½ · a · h — формула площади треугольника
½ ·2 · 4 = 4 см² — площадь прямоугольного треугольника c
теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры A
12 + 2,5 + 4 = 18,5 см²

Ответ: площадь фигуры A 18,5 см²

Фигура B.
S = a · b — формула площади прямоугольника, тогда
5 · 1 = 5 см² — площадь прямоугольника a
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ · 6 · 5 = 15 см² — площадь прямоугольного треугольника b
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ · 1 · 1 = 0,5 см² — площадь прямоугольного треугольника c
теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры B
5 + 15 + 0,5 = 18,5 см²

Ответ: площадь фигуры B 20,5 см²

Фигура C.
S = a · a; S = a² — формула площади квадрата, тогда
5 · 5 = 25 см² — площадь квадрата a
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ · 1 · 6 = 3 см² — площадь прямоугольного треугольника b
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ · 1 · 5 = 2,5 см² — площадь прямоугольного треугольника c
теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры C
25 + 3 + 2,5 = 30,5 см²

Ответ: площадь фигуры C 30,5 см²

Фигура D.
S = a · b — формула площади прямоугольника, тогда
3 · 4 = 12 см² — площадь прямоугольника a
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ · 1 · 5 = 2,5 см² — площадь прямоугольного треугольника b
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ · 2 · 4 = 4 см² — площадь прямоугольного треугольника c
теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры D
12 + 2,5 + 4 = 18,5 см²

Ответ: площадь фигуры A 18,5 см²

Фигура E.
S = a · a; S = a² — формула площади квадрата, тогда
2 · 2 = 4 см² — площадь квадрата a
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ · 3 · 4 = 6 см² — площадь прямоугольного треугольника b
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ · 2 · 2 = 2 см² — площадь прямоугольного треугольника c
теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры E
4 + 6 + 2 = 12 см²

Ответ: площадь фигуры E 12 см².

Найдите площади и периметры фигурок. Сделайте вывод.

Определение:
Периметр – сумма длин всех сторон фигуры выраженый в милиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах и т.д.

Площадь фигуры – геометрическое понятие, размер плоской фигуры выраженый в мм², см², дм², м² и т.д.

Пусть каждая из сторон клетки равна 1 см, тогда
применив формулу площади квадрата S = a · a получим площадь одной клетки 1 · 1 = 1 см²

Фигура A — прямоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда
1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;
фигура A имеет четыре стороны, тогда
1 + 4 + 1 + 4 = 10 см — периметр фигуры.

Фигура B — квадрат состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда
1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;
фигура B имеет четыре стороны, тогда
2 + 2 + 2 + 2 = 8 см — периметр фигуры.

Фигура C — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда
1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;
фигура C имеет шесть сторон, тогда
3 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 10 см — периметр фигуры.

Фигура D — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда
1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;
фигура D имеет восемь сторон, тогда
1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 10 см — периметр фигуры.

Фигура E — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда
1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;
фигура E имеет восемь сторон, тогда
1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10 см — периметр фигуры.

Вывод:
Фигуры A, B, C, D, E имеют одинаковую площадь, но наименьший периметр имеет квадрат.
У разных по форме плоских фигур, с одинаковой площадью, наименьший периметр всегда имеет квадрат.

Найти периметр прямоугольника, если сторона (катет) a = 6 см, а сторона (катет) b = 8 см
Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника по формуле: a² + b² = c²

Решение:
6² + 8² = c²
6 · 6 + 8 · 8 = c²
36 + 64 = с²
с² = 36+64
с² = 100
с = 10
Найдём периметр прямоугольного треугольника по формуле: p = a + b + c
p = 6 + 8 + 10 = 24

Ответ: периметр прямоугольника равен 24 см.

см. Площадь треугольника

Найти периметр прямоугольника, если сторона (катет) a = 6 см, а сторона (гипотенуза) с = 10 см
Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника по формуле: a² + b² = c²

Решение:
6² + b² = 10²
6 · 6 + b² = 10 · 10
36 + b² = 100
b² = 100 — 36
с² = 64
с = 8
Найдём периметр прямоугольного треугольника по формуле: p = a + b + c
p = 6 + 8 + 10 = 24

Ответ: периметр прямоугольника равен 24 см.

см. Площадь треугольника

В треугольной пластине abc у которой один из углов 90°, сторона a равна 10 сантиметрам, а сторона b равна 20 сантиметрам просверлили отверстие диаметром 3 сантиметра. Какую оставшуюся площадь пластины нужно покрасить?

Решение:
Мы знаем что площадь – S треугольника равна половине – ½ произведения его основания – a на высоту – h, то есть S = ½ · a · h, а Формула площади круга S = πd² : 4, число π ≈ 3,14.
1) По условию задачи пластина имеет форму прямоугольника со сторонами abc, в данном случае сторона b является высотой треугольника.
Тогда формула будет выглядеть так – S = ½ · a · b
подставим значения в эту формулу
½ · 10 · 20 = 100 (см²) — площадь треугольника
2) Подставим значения в формулу и узнаем площадь круга S = πd² : 4
3,14 · 8² : 4 = 3,14 · 64 : 4 = 50,24 (см²)
3) Теперь мы можем ответить на вопрос поставленный в задаче
100 — 50,24 = 49,76 см² — оставшуюся площадь пластины

Ответ: нужно покрасить 49,76 см².

На садовом участке Петя построил для цыплят круглый вольер радиусом 5 метров. Участок имеет прямоугольную форму с длинной 120 метров и шириной равной 8 диаметрам вольера. Сколько потребуется метров металлической сетки чтобы огородить участок и вольер?

Решение:
Для решения задачи нам потребуются вычислить периметры участка и вольера.
1) В первом действии узнаем диаметр вольера, нам известен радиус 5 метров, тогда по формуле диаметр равен двум радиусам D = 2R
5 · 2 = 10 (м) — диаметр вольера
2) Если ширина участка равна 8 диаметрам вольера, тогда
10 · 8 = 80 м — ширина участка
3) Далее по формуле P = (a + b) · 2 — периметр прямоугольника
120 + 80 · 2 = 400 (м)
4) Теперь по формуле P = 2πR — длина окружности (периметр) вольера
2 · 3, 14 · 5 = 2 · 3, 14 · 5 = 31,4 (м)
5) В последнем действии сложим периметры участка и вольера ответим на вопрос задачи
400 + 31,4 = 431,4 (м)

Ответ: потребуется 431,4 метров металлической сетки.

При подготовке к основному государственному экзамену я встретился с заданиями, в которых требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на клетчатом листе бумаги. Как правило, эти задания не вызывают больших затруднений, если фигура представляет собой трапецию, параллелограмм или треугольник. Достаточно хорошо знать формулы вычисления площадей этих фигур, посчитать количество клеточек и вычислить площадь. Если фигура представляет собой некоторый произвольный многоугольник, то здесь необходимо использовать особые приемы. Меня заинтересовала данная тема. И естественно возникли вопросы: где в повседневной жизни могут возникнуть задачи на вычисление площадей на клетчатой бумаге? В чем особенность таких задач? Существуют ли другие методы или же универсальная формула для вычисления площадей геометрических фигур, изображенных на клетчатой бумаге?
Изучение специальной литературы и интернет источников, показало, что существует универсальная формула, позволяющая вычислить площадь фигуры, изображенной на клетке. Эта формула называется формулой Пика. Однако, в рамках школьной программы данная формула не рассматривается, несмотря на свою простоту в применении и получении результата. Более того, мною проведен опрос друзей и одноклассников (в двух формах: при личной беседе и в социальных сетях), в котором приняли участие 43 учащихся школ города Тобольска. Данный опрос показал, что всего один человек (учащийся 11 класса) знаком с формулой Пика для вычисления площадей.
Пусть задана прямоугольная система координат. В этой системе рассмотрим многоугольник, который имеет целочисленные координаты. В учебной литературе точки с целочисленными координатами называются узлами. Причем многоугольник не обязательно должен быть выпуклым. И пусть требуется определить его площадь.
Возможны следующие случаи.
1. Фигура представляет собой треугольник, параллелограмм, трапецию:
1) подсчитывая клеточки нужно найти высоту, диагонали или стороны, которые требуются для вычисления площади;
2) подставить найденные величины в формулу площади.
Например, требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 1 с размером клетки 1см на 1 см.
Рис. 1. Треугольник
Решение. Подсчитываем клеточки и находим: . По формуле получаем: .
2 Фигура представляет собой многоугольник
Если фигура представляет собой многоугольник то возможно использовать следующие методы.
Метод разбиения:
1) разбить многоугольник на треугольники, прямоугольники;
2) вычислить площади полученных фигур;
3) найти сумму всех площадей полученных фигур.
Например, требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 2 с размером клетки 1см на 1 см методом разбиения.
Рис. 2. Многоугольник
Решение. Способов разбиения существует множество. Мы разобьем фигуру на прямоугольные треугольники и прямоугольник как показано на рисунке 3.
Рис. 3. Многоугольник. Метод разбиения
Площади треугольников равны: , , , площадь прямоугольника — . Складывая площади всех фигур получим:
Метод дополнительного построения
1) достроить фигуру до прямоугольника
2) найти площади полученных дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника
3) из площади прямоугольника вычесть площади всех «лишних» фигур.
Например, требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 2 с размером клетки 1см на 1 см методом дополнительного построения.
Решение. Достроим нашу фигуру до прямоугольника как показано на рисунке 4.
Рис. 4. Многоугольник. Метод дополнения
Площадь большого прямоугольника равна , прямоугольника, расположенного внутри — , площади «лишних» треугольников — , , тогда площадь искомой фигуры .
При вычислении площадей многоугольников на клетчатой бумаге возможно использовать еще один метод, который носит название формула Пика по фамилии ученого ее открывшего.
Формула Пика
Пусть у многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге только целочисленные вершины. Точки у которых обе координаты целые называются узлами решетки. Причем, многоугольник может быть как выпуклым, так и невыпуклым.
Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна , где B — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.
Например, для многоугольника, изображенного на рисунке 5.
Рис. 5. Узлы в формуле Пика
Например, требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 2 с размером клетки 1см на 1 см по формуле Пика.
Рис. 6. Многоугольник. Формула Пика
Решение. По рисунку 6: В=9, Г=10, тогда по формуле Пика имеем:
Ниже приведены примеры некоторых задач, разработанных автором на вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге.
1. В детском саду дети сделали аппликации родителям в подарок (рис.7). Найдите площадь аппликации. Размер каждой клетки равен 1см 1см.
Рис. 7. Условие задачи 1
2. Один гектар еловых насаждений может задерживать в год до 32 т пыли, сосновых — до 35 т, вяза — до 43 т, дуба — до 50 т. бука — до 68 т. Посчитайте, сколько тонн пыли задержит ельник за 5 лет. План ельника изображен на рисунке 8 (масштаб 1 см. — 200 м.).
Рис. 8. Условие задачи 2
3. В орнаментах хантов и манси, преобладают геометрические мотивы. Часто встречаются стилизованные изображения животных. На рисунке 9 изображен фрагмент мансийского орнамента «Заячьи ушки». Вычислите площадь закрашенной части орнамента.
Рис. 9. Условие задачи 3
4. Требуется покрасить стену заводского здания (рис. 10). Рассчитайте требуемое количество водоэмульсионной краски (в литрах). Расход краски: 1 литр на 7 кв. метров Масштаб 1см — 5м.
Рис. 10. Условие задачи 4
5. Звездчатый многоугольник — плоская геометрическая фигура, составленная из треугольных лучей, исходящих из общего центра, сливающихся в точке схождения. Особого внимания заслуживает пятиконечная звезда — пентаграмма. Пентаграмма — это символ совершенства, ума, мудрости и красоты. Это простейшая форма звезды, которую можно изобразить одним росчерком пера, ни разу не оторвав его от бумаги и при этом ни разу же не пройдя дважды по одной и той же линии. Нарисуйте пятиконечную звездочку не отрывая карандаша от листа клетчатой бумаги, так, чтобы все углы получившегося многоугольника находились в узлах клетки. Вычислите площадь полученной фигуры.
Проанализировав математическую литературу и разобрав большое количество примеров по теме исследования, я пришел к выводу, что выбор метода вычисления площади фигуры на клетчатой бумаге зависит от формы фигуры. Если фигура представляет собой треугольник, прямоугольник, параллелограмм или трапецию, то удобно воспользоваться всем известными формулами для вычисления площадей. Если фигура представляет собой выпуклый многоугольник, то возможно использовать как метод разбиения, так и дополнения (в большинстве случаях удобнее — метод дополнения). Если фигура представляет собой невыпуклый или звездчатый многоугольник, то удобнее применить формулу Пика.
Поскольку формула Пика является универсальной формулой для вычисления площадей (если вершины многоугольника находятся в узлах решетки), то ее можно использовать для любой фигуры. Однако, если многоугольник занимает достаточно большую площадь (или клетки мелкие), то велика вероятность допустить ошибку в подсчетах узлов решетки. Вообще, в ходе исследования, я пришел к выводу, что при решении подобных задач в ОГЭ лучше воспользоваться традиционными методами (разбиения или дополнения), а результат проверить по формуле Пика.
Литература:
Вавилов В. В., Устинов А. В. Многоугольники на решетках. — М.: МЦНМО, 2006. — 72 с.
Васильев И. Н. Вокруг формулы Пика// Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». — 1974. — № 12. Режим доступа: http://kvant.mccme.ru/1974/12/vokrug_formuly_pika.htm
Жарковская Н., Рисс Е. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика. // Первое сентября. Математика. — 2009. -№ 23. — с.24,25.
Основные термины (генерируются автоматически): формула Пика, клетчатая бумага, площадь фигуры, фигура, вычисление площадей, многоугольник, площадь, размер клетки, условие задачи, универсальная формула.
Лабораторная работа 7. Массивы структурированных данных
Тригонометрические уравнения
Тригонометрические уравнения С б) Укажите корни, принадлежащие отрезку. а) Решите уравнение б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку а) Решbте уравнение. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
Подробнее Предмет «Математика» Вариант ХХХХ
Предмет «Математика» Вариант ХХХХ I часть При выполнении заданий 1-15 следует записать только ответ. 1. Найдите знаменатель дроби, которая равна дроби, если ее числитель равен. 2. Найдите точку пересечения
Подробнее ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ
ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ Инструкция. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Апофема правильной треугольной пирамиды 4 см, а сторона основания 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Подробнее Все прототипы задания В9 (2013)
Все прототипы задания В9 (2013) ( 245359) Найдите квадрат расстояния между вершинами и прямоугольного параллелепипеда, для которого,,. ( 245360) Найдите расстояние между вершинами и прямоугольного параллелепипеда,
Подробнее Задание 16 Задачи по стереометрии
Задание 16 Задачи по стереометрии Куб 1.Диагональ куба равна 12. Найдите его объем. 2. Во сколько раз увеличится объем куба, если все его рёбра увеличить в 5 раз? 3. Ящик, имеющий форму куба с ребром 30
Подробнее Прямоугольный параллелепипед
ЗАДАНИЕ 10 Стереометрия Куб 1.Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ. 2. Диагональ грани куба равна 2 6. Найдите диагональ куба. 3. Диагональ грани куба равна 6. Найдите диагональ куба.
Подробнее Планиметрия (расширенная)
1. Площади плоских фигур Площадь треугольника: стр. 1 2. Средняя линия 3. Треугольники Сумма углов треугольника равна 180. Тупой угол между биссектрисами двух углов треугольника равен 90 + половина третьего
Подробнее Все прототипы В года
1. Прототип задания B9 ( 245359) Все прототипы В5 2013 года Найдите квадрат расстояния между вершинами и прямоугольного параллелепипеда, для которого,,. 2. Прототип задания B9 ( 245360) Найдите расстояние
Подробнее Многогранники. Призма
Справка В9 Многогранники Многогранник это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Призма Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников,
Подробнее Основные определения, теоремы и формулы планиметрии.
Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Обозначения: AВС треугольник с вершинами А, B, С. а = BC, b = AС, с = АB его стороны, соответственно, медиана, биссектриса, высота, проведенные к стороне
Подробнее Все прототипы заданий В3
1. Прототип задания B3 ( 27543) Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 Все прототипы заданий В3 2. Прототип задания B3 ( 27544) Найдите площадь треугольника,
Подробнее Задание 8 Стереометрия.
Задание 8 Стереометрия. Куб 1. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ. 2. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности. 3. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь
Подробнее ID_7510 1/9 neznaika.pro
1 Анализ геометрических высказываний Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Подробнее В.А. Смирнов ГЕОМЕТРИЯ ПЛОЩАДЬ
В.А. Смирнов ГЕОМЕТРИЯ ПЛОЩАДЬ 2011 ВВЕДЕНИЕ Выработка умений находить площади фигур на плоскости относится к основным целям обучения геометрии в школе. Задачи на нахождение площадей входят в содержание
Подробнее Все прототипы задания В11 (2013)
Все прототипы задания В11 (2013) ( 25541) Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). ( 25561) Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного
Подробнее Вписанные и описанные окружности
Вписанные и описанные окружности Окружностью, описанной около треугольника, называется окружность, которая проходит через все его вершины. Около всякого треугольника можно описать единственную окружность.
Подробнее Анализ геометрических высказываний
Анализ геометрических высказываний 1. Укажите номера верных утверждений. 1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 2) Вертикальные углы
Подробнее Задание 13. Задачи по стереометрии
Задание 13 Задачи по стереометрии 1.Диагональ куба равна Куб. Найдите его объем. 2. Во сколько раз увеличится объем куба, если все его рёбра увеличить в 5 раз? 3. Ящик, имеющий форму куба с ребром 30 см
Подробнее Geometrické útvary a tělesa
Geometrické útvary a tělesa Линии. Термин «линия» (или «кривая» в широком смысле слова) не имеет определения, хотя мысленно линию можно представить как след движущейся точки. Бесчисленные попытки определить
Подробнее n n a a Формулы n n n a a b
Алгебра Формулы сокращенного умножения: Квадрат суммы ( + = + + Квадрат разности ( — = — + Разность квадратов = ( + ( Куб суммы ( + = + + + Куб разности ( — = — + — Сумма кубов + = ( + ( — + Разность кубов
Подробнее Тест 250.
Отрезок. Длина
Тест 250. Отрезок. Длина Длина отрезка равна 1, если он является: 1. высотой равностороннего треугольника со стороной 2; 2. третьей стороной треугольника, в котором две другие стороны равны 1 и 2, а угол
Подробнее ОГЭ 2015 (задание 13, модуль «ГЕОМЕТРИЯ»)
ОГЭ 2015 (задание 13, модуль «ГЕОМЕТРИЯ») 169915 Какие из следующих утверждений верны? 1) Если угол равен 45, то вертикальный с ним угол равен 45. 2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку. 3) Через
Подробнее Дата. Ко л- во ча со в. Тема
Календарно- тематический план по математике для 0 класса 20 /20 учебный год 5 часов в неделю алгебра всего 70 часов 4 часа в неделю геометрия 36 часов всего 306 часов Преподаватель Тема I полугодие. Натуральные
Подробнее 5.
РАСЧЕТ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛЕЙ НЕРЕГУЛЯРНОЙ ФОРМЫ 5. РАСЧЕТ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛЯ НЕРЕГУЛЯРНОЙ ФОРМЫ
5.1 Пример 1
5.2 Пример 2
Распространенной проблемой для геодезистов является расчет площади поверхности поле фермера. Поля часто нерегулярны, что требует прямого расчета. из их районов сложно. В таком случае поля делятся на ряд обычных области (треугольники, прямоугольники и т. д.), из которых можно рассчитать поверхности с простыми формулами. Все площади рассчитываются отдельно, и их сумма area дает общую площадь поля.
На рисунке 29 показано поле неправильной формы, площадь поверхности которого необходимо определить.
Рис.29 Поле неправильной формы
Следующая процедура:
Шаг 1
Сделайте грубый набросок поля (см. Рис.29a) с указанием углов поля (A, B, C, D и E) и границ поля (прямые линии). Вдобавок какая-то главная достопримечательность! обозначены (дороги, канавы, дома, деревья и т. д.), которые могут помочь определить местонахождение поля.
Рис. 29а Черновой набросок поля
Шаг 2
Разделите поле, как показано на эскизе, на области правильной формы. В этом примере поле можно разделить на 3 треугольника ABC (основание AC и высота BB,), AEC (основание AC и высота EE ₁) и CDE (основание EC и высота DD ₁) (см. Рис.29b).
Рис. 29б Разделение поля на области правильной формы
Шаг 3
Отметьте на поле углы A, B, C, D и E колышками.
Шаг 4
Разместите вехи для измерения дальности на линиях AC (основание треугольников ABC и AEC) и EC (основание треугольника EDC) (см. Рис. 29c) и измерьте расстояния AC и EC.
Рис. 29c Отметьте углы колышками и разложите мачты
Шаг 5
Проведите линию BB (высота треугольника ABC) перпендикулярно базовой линии AC (см. Рис.29d) одним из методов, описанных в главе 4. Измерьте расстояние BB,
Рис. 29d Проведите линию BB перпендикулярно к AC
Шаг 6
Таким же образом устанавливаются и измеряются высота EE треугольника AEC и высота DD треугольника CDE (см. Рис. 29e).
Рис. 29e Проведите линию DD ₁ перпендикулярно EC и линию EE1 перпендикулярно AC
Шаг 7
Основание и высота трех треугольников были измерены.Окончательный расчет можно произвести следующим образом:
Измерено
Треугольник ABC: основание = AC = 130 м
высота = BB ₁ = 55 м
Треугольник ACE: основание = AC ⁼ 130 м
высота = EE ₁ = 37 м
Треугольник CDE: основание = EC = 56 м
высота = DD ₁ = 55 м
Ответ
Площадь = 0,5 x основание x высота
= 0,5 x 130 м x 55 м = 3 575 м ²
Площадь = 0. 5 x 130 м x 37 м = 2 405 м
Площадь = 0,5 м x 56 м x 55 м = 1 540 м²
Поле ABCDE:
Площадь треугольника ABC = 3 575 м ²
Площадь треугольника ACE = 2405 м ²
Площадь треугольника CDE = 1540 м ²
Общая площадь = 3 575 м ² + 2 405 м ² + 1 540 м ²
= 7520 м- = 0,752 га
Площадь поверхности поля, показанная на рис.30, должна определяться в то время, когда поле покрыто высокой культурой (например,грамм. кукуруза или сахарный тростник).
Рис.30 Поле, покрытое высоким урожаем
Поле можно разделить на два треугольника ABD и BCD (см. Рис. 31a). К сожалению, из-за высокого урожая установка и измерение базы BD и двух высот AA ₁ и CC ₁ невозможно.
Рис. 31a Разделение поля на два треугольника
В этом случае площадь треугольника ABD может быть рассчитана с использованием AD в качестве основания и BB ₁ в качестве соответствующей высоты. BB ₁ можно разметить и измерить за пределами посевной площади. Таким же образом можно рассчитать треугольник BCD, используя основание BC и соответствующую высоту DD ₁ (см. Рис. 31b).
Рис. 31b Определение площадей двух треугольников
Порядок действий на поле:
Шаг 1
Отметьте 4 угла (A, B, C и D) с помощью опорных стоек.
Шаг 2
Линия AD обозначена дальномерами и проходит за A.Линия BC также проводится и продолжается за C (см. Рис. 32a). Измерьте расстояния AD (основание треугольника ADB) и BC (основание треугольника BCD).
Рис. 32a Измерение оснований двух треугольников
Шаг 3
Проведите линию BB ₁ (высота треугольника ABD) перпендикулярно удлиненной базовой линии AD, используя один из методов, описанных в главе 4. Таким же образом устанавливается линия DD ₁ (высота треугольника BCD). перпендикулярно удлиненной базовой линии BC (см. рис.32b) Измерьте расстояние BB ₁ и DD ₁.
Рис. 32b Измерение высоты двух треугольников
Шаг 4
Основание и высота обоих треугольников были измерены. Окончательные расчеты можно сделать так:
Измерено
Треугольник ABD: основание = AD = 90 м
высота = BB ₁ — 37 м
Треугольник BCD: основание = BC = 70 м
высота = DD ₁-50 м
Ответ
Площадь = 0.5 x основание x высота
= 0,5 x 90 м x 37 м = 1665 м ²
Площадь = 0,5 x 70 м x 50 м = 1750 м ²
Поле ABDC:
Треугольник площади ABD = 1 665 м²
Треугольник площади BCD = 1 750 м ²
Общая площадь = 1 665 м ² + 1 750 м ² = 3 415 м ²
= 0,3415 га ⁼ ок. 0,34 га
Как рассчитать площадь, периметр и объем
Обновлено 16 декабря 2020 г.
Сара Селеби
Измерение площади, периметра и объема имеет решающее значение для строительных проектов, ремесел и других приложений.
Площадь — это пространство внутри границы двухмерной формы. Периметр — это расстояние вокруг двухмерной фигуры, например квадрата или круга. Объем — это мера трехмерного пространства, занимаемого объектом, например кубом. Если вы знаете размеры объекта, то легко измерить площадь и объем.
Формулы площади поверхности и объема для всех повседневных геометрических фигур можно легко найти в Интернете, хотя неплохо было бы изучить, как их самостоятельно вывести, если возникнет такая необходимость.Вы также можете часто получить одно из них от другого; например, если вы знаете формулу для площади круга, вы можете вычислить, что объем цилиндра — это просто площадь соответствующего круга (ов) в конце, умноженная на высоту цилиндра.
Как рассчитать площадь квадрата или прямоугольника
Запишите длину ( l ) и ширину ( w ) квадрата или прямоугольника. Подставьте свои измерения в формулу
A = l \ times w
, чтобы найти площадь ( A ).2
Площадь ( A ) круга радиусом 5 дюймов составляет 78,5 квадратных дюймов.
Периметр квадрата, прямоугольника или треугольника
Запишите длины всех сторон квадрата, прямоугольника или треугольника.
Добавьте размеры, чтобы получить значение периметра ( P ). Например, прямоугольный сад размером 5 на 7 м имеет две стороны размером 5 метров и две стороны размером 7 метров. Периметр ( P ) равен:
P = 5 + 5 + 7 + 7 = 24 \ text {meter}
Периметр прямоугольного сада составляет 24 метра.
Периметр или окружность круга
P = 2 \ pi r
, чтобы найти периметр или длину окружности. Например, круг с радиусом 3 дюйма имеет окружность
P = 2 \ pi (3) = 18,8 \ text {дюймы}
Вы также можете найти длину окружности, используя диаметр ( d ). 3
Коробка составляет 15 кубических футов.3
Объем цилиндра 62,8 куб. М или 62,8 куб. М.
Расчет площади, периметра и объема
Расчет площади, периметра и объема простых геометрических фигур можно найти, применив некоторые основные формулы. Хорошая идея — изучить и понять, что это такое, и сохранить эти формулы в памяти.
Площадь поверхности | Математика для гуманитарных наук
Цели обучения
Что такое сети.
Используйте сетки для изображения призм.
Найдите площадь поверхности призмы.
Найдите площадь поверхности цилиндров.
Найдите площадь поверхности сферы.
Сети
Последний способ представить твердое тело — использовать сеть. Вырезав сетку, вы можете сложить из нее модель фигуры. Сети также можно использовать для анализа отдельного твердого тела. Вот пример сети для куба.
Есть несколько способов сделать сетку для одной фигуры.
Однако не все схемы образуют куб.
Пример 1
Какую фигуру создает сеть? Нарисуйте фигуру.
Сеть создает прямоугольную призму в форме коробки, как показано ниже.
Пример 2
Какую сеть вы можете нарисовать, чтобы изобразить показанный рисунок? Нарисуйте сеть.
Показана сетка для призмы. Возможны другие сети.
Обзор упражнений
Нарисуйте сеть для каждого из следующих элементов:
ответы
Призмы
Призма — это трехмерная фигура с парой параллельных и совпадающих концов или оснований.Стороны призмы — параллелограммы. Призмы идентифицируются по основанию.
Площадь поверхности призмы с сетками
Призмы выше правые призмы . В правой призме боковые стороны перпендикулярны основанию призмы. Сравните правую призму с наклонной призмой , у которой стороны и основания не перпендикулярны.
Два постулата, применимые к площади, — это постулат конгруэнтности площадей и постулат сложения площади.
Постулат конгруэнтности площадей: Если два многоугольника (или плоские фигуры) конгруэнтны, то их площади конгруэнтны.
Постулат сложения площади: Площадь поверхности трехмерной фигуры — это сумма площадей всех ее неперекрывающихся частей.
Вы можете использовать сетку и Постулат сложения площади, чтобы найти площадь поверхности правой призмы.
Из сетки вы можете видеть, что площадь поверхности всей призмы равна сумме цифр, составляющих сетку:
Общая площадь поверхности = площадь A + площадь B + площадь C + площадь D + площадь E + площадь F
Используя формулу площади прямоугольника, вы можете увидеть, что площадь прямоугольника A равна:
A = l · w
A = 10 · 5 = 50 квадратных единиц
Точно так же площади других прямоугольников снова вставляются в уравнение выше.
Общая площадь поверхности = площадь A + площадь B + площадь C + площадь D + площадь E + площадь F
Общая площадь поверхности = (10 · 5) + (10 · 3) + (10 · 5) + (10 · 3) + (5 · 3) + (5 · 3)
Общая площадь поверхности = 50 + 30 + 50 + 30 + 15 + 15
Общая площадь поверхности = 190 квадратных единиц
Пример 3
Используйте сетку, чтобы найти площадь поверхности призмы.
Площадь сетки равна площади рисунка.Чтобы найти площадь треугольника, воспользуемся формулой:
[латекс] \ displaystyle {A} = \ frac {1} {2} hb \\ [/ latex], где h — высота треугольника, а b — его основание.
Обратите внимание, что треугольники A и E конгруэнтны, поэтому мы можем умножить площадь треугольника A на 2.
[латекс] \ displaystyle \ text {area} = \ text {area} A + \ text {area} B + \ text {area} C + \ text {area} D + \ text {area} E \\ [/ latex]
[ латекс] \ displaystyle \ text {} = 2 (\ text {area} A) + \ text {area} B + \ text {area} C + \ text {area} D \\ [/ latex]
[латекс] \ displaystyle \ текст {} = 2 [\ frac {1} {2} (9 \ cdot {12})] + (6 \ cdot9) + (6 \ cdot12) + (6 \ cdot12) \\ [/ latex]
[латекс ] \ displaystyle \ text {} = 108 + 54 + 72 + 90 = 324 \\ [/ latex]
Таким образом, площадь поверхности составляет 324 кв.
Обзор упражнений
Для каждого из нижеследующих найдите поверхность с использованием метода сетей и периметра
Основание призмы — прямоугольный треугольник, стороны которого равны 3 и 4, а высота — 20. Какова общая площадь призмы?
Правая шестиугольная призма имеет высоту 24 дюйма и имеет основания в виде правильных шестиугольников со стороной 8 дюймов. Какая общая площадь поверхности?
Каков объем призмы в задаче №4?
В следующих вопросах сарай имеет форму пятиугольной призмы с размерами, указанными в футах:
Сколько квадратных футов (не считая крыши) занимает окрашиваемая поверхность сарая?
Если галлон краски покрывает 250 квадратных футов, сколько галлонов краски необходимо, чтобы покрасить сарай?
Картонная коробка представляет собой идеальный куб с размером края 17 дюймов.Сколько кубических футов он может вместить?
Бассейн имеет ширину 16 футов, длину 32 фута и равномерную глубину 4 фута. Сколько кубических футов воды он может вместить?
Коробка для хлопьев имеет длину 25 см, ширину 9 см и высоту 30 см. Сколько хлопьев в нем можно хранить?
ответы
Сети и периметр:
40,5 дюйма ²
838 см ²
252 квадратных единицы
1484,6 квадратных единиц
3990.7 куб. Дюймов
Хлев:
2450 квадратных футов
10 галлонов краски
2.85 кубических футов (здесь будьте осторожны. Единицы измерения в задаче указаны в дюймах, но вопрос требует футов).
2048 кубических футов
6750 см ³
Цилиндры
Цилиндр представляет собой трехмерную фигуру с парой параллельных и конгруэнтных круговых концов или оснований . Цилиндр имеет одну изогнутую сторону, которая в плоском положении образует прямоугольник.
Как и призмы, цилиндры могут быть правыми или наклонными . 2 \ [/ латекс]
[латекс] A = 25 \ pi \ [/ латекс]
[латекс] A \ приблизительно (25) (3,14) = 78,5 \ [/ латекс]
Площадь прямоугольной боковой поверхности L определяется как произведение ширины и высоты. Высота равна 24. Вы можете видеть, что ширина области равна окружности круглого основания.
Чтобы определить ширину, представьте, что ножницами разбирают цилиндр, похожий на банку. Обрезав боковую часть, вы увидите, что она равна окружности верха банки.Окружность круга равна C = 2π r , площадь поперечного сечения, L , равна
.
[латекс] L = 2 {\ pi} rh \\ [/ latex]
[латекс] L = 2 {\ pi} (5) (24) \\ [/ latex]
[латекс] L = 240 \ pi \\ [/ latex]
[латекс] L \ приблизительно (240) (3,14) = 753,6 \\ [/ latex]

Теперь мы можем найти площадь всего цилиндра, используя A = (площадь двух оснований) + (площадь боковой стороны).
[латекс] A = 2 (75,36) +753,6 \ [/ латекс]
[латекс] A = 904,32 \ [/ латекс]
Как видите, формулу, которую мы использовали для определения общей площади поверхности, можно использовать для любого правильного цилиндра.
Площадь правого цилиндра: Площадь поверхности правого цилиндра с радиусом и высотой h задается формулой A = 2 B + L , где B — площадь каждого основания цилиндра и L — боковая площадь цилиндра.
Пример 4
Используйте сетку, чтобы найти площадь поверхности цилиндра.
Сначала нарисуйте и пометьте сетку для фигуры.
Рассчитайте площадь каждой базы.2 \ [/ латекс]
[латекс] A = 64 \ pi \ [/ латекс]
[латекс] A \ приблизительно (64) (3,14) = 200,96 \ [/ латекс]
Вычислить L .
[латекс] L = 2 {\ pi} rh \\ [/ latex]
[латекс] L = 2 {\ pi} (8) (9) \\ [/ latex]
[латекс] L = 144 \ pi \\ [/ latex]
[латекс] L \ приблизительно (144) (3,14) = 452,16 \\ [/ latex]
Найдите площадь всего цилиндра.
[латекс] A = 2 (200,96) +452,16 \ [/ латекс]
[латекс] A = 854,08 \ [/ латекс]
Таким образом, общая площадь поверхности составляет примерно 854,08 кв. Единиц
Площадь поверхности цилиндра по формуле
Вы видели, как использовать сетки для определения общей площади цилиндра.Постулат можно разбить, чтобы создать общую формулу для всех правильных цилиндров.
A = 2 B + L
Обратите внимание, что основание B любого цилиндра: B = π r ²
Боковое сечение, л , для любого цилиндра:
[латекс] L = \ text {ширина боковой области} \ cdot \ text {высота цилиндра} \\ [/ latex]
[латекс] L = \ text {окружность основания} \ cdot \ text {высота цилиндра } \\ [/ latex]
[латекс] L = 2 \ pi {r} \ cdot {h} \\ [/ latex]
Соединяя два уравнения вместе, получаем:
Вынося за скобки из уравнения получаем:
Площадь поверхности правого цилиндра: Правый цилиндр с радиусом r и высотой h можно выразить как:
A = 2π r ² + 2π rh
или:
A = 2π r ( r + h )
Вы можете использовать формулы, чтобы найти площадь любого правого цилиндра. 2) +2 \ pi {rh} \\ [/ latex]
[латекс] A = 2 (3.14) (15) (15) +2 (3.14) (15) (48) \\ [/ latex]
[ латекс] A = 1413 + 4521,6 \\ [/ latex]
[латекс] A = 5934,6 \ text {квадратные дюймы} \\ [/ latex]
Пример 6
Найдите площадь поверхности цилиндра.
Напишите формулу, подставьте значения и решите.
[латекс] A = 2 \ pi {r} (r + h) \\ [/ latex]
[латекс] A = 2 (3,14) (0,75) [0,75 + 6] \\ [/ латекс]
[латекс ] A = 31,7925 \ text {квадратные дюймы} \\ [/ latex]
Пример 7
Найдите высоту цилиндра с радиусом 4 см и площадью 226 см.08 кв. См.
Напишите формулу с учетом данной информации и решите для h .
[латекс] A = 2 \ pi {r} (r + h) \\ [/ latex]
[латекс] 226,08 = 2 (3,14) (4) [4 + h] \\ [/ latex]
[латекс ] 226,08 = 25,12 [4 + h] \\ [/ latex]
[латекс] 226,08 = 100,48 + 25,12h \\ [/ latex]
[латекс] 5 = h \\ [/ latex]
Сферы
Сфера — это трехмерная фигура, имеющая форму шара.
Сферы можно охарактеризовать тремя способами.
Сфера — это набор всех точек, которые лежат на фиксированном расстоянии r от единой центральной точки O .
Сфера — это поверхность, образующаяся при вращении круга вокруг любого из его диаметров.
Площадь поверхности сферы
Вы можете вывести формулу площади поверхности шара, измерив шары и цилиндры. Здесь мы показываем сферу с радиусом 3 и правый цилиндр с радиусом и высотой 3 и выражаем площадь через π.
Теперь попробуйте более крупную пару, выразив площадь поверхности в десятичной форме.
Посмотрите на третью пару.
Это совпадение, что сфера и цилиндр, радиус и высота которых равны радиусу сферы, имеют одинаковую площадь поверхности? Нисколько! Фактически, древние греки использовали метод, который показал, что следующая формула может быть использована для определения площади поверхности любой сферы (или любого цилиндра, в котором она находится).
Площадь поверхности сферы определяется как: A = 4π r ²
Пример 8
Найдите площадь поверхности сферы радиусом 14 футов.2 + 2 \ pi {rh} \\ [/ latex]
[латекс] A (\ text {цилиндр без верха}) = \ pi (576) +2 \ pi (24) (50) \\ [/ latex]
[латекс] A (\ text {цилиндр без верха}) = 2976 \ pi \ text {квадрат в см} \\ [/ latex]
Таким образом, общая площадь поверхности [латекс] 1152 \ pi + 2976 \ pi = 4128 \ pi \\ [/ latex]
Обзор упражнений
Найдите радиус сферы, имеющей объем 335 см ³.
Определите площадь поверхности и объем этой формы:
Радиус сферы равен 4. Найдите ее объем и общую площадь поверхности.
Сфера имеет радиус 5. Правый цилиндр того же радиуса имеет такой же объем. Найдите высоту и общую площадь цилиндра.
Сфера: объем = 296 см ³. Найдите диаметр.
Сфера: площадь поверхности 179 в ². Найдите радиус.
Теннисные мячи диаметром 3,5 дюйма продаются в банках по три штуки. Банка представляет собой цилиндр. Предположим, шары касаются банки по бокам, сверху и снизу. Какой объем пространства не занимают теннисные мячи?
Сфера имеет площадь поверхности 36π дюйм2.Найдите его объем.
Гигантский совок, управляемый краном, имеет форму полусферы радиусом 21 дюйм. Совок заполнен расплавленной горячей сталью. Когда сталь заливается в цилиндрический резервуар для хранения, имеющий радиус 28 дюймов, расплавленная сталь поднимается на высоту на сколько дюймов?
ответы
Обратите внимание, что в этих задачах используется π, а не 3,14.
1. Радиус = 4,31 см
Площадь = 706,86 см2
Объем = 1767,15 см3
Объем = 268.08 шт3
Площадь = 201,06 шт2
Высота = 20/3 единицы общей площади = 366,52 единицы2
Диаметр = 8,27 см
Радиус = 3,77 дюйма
Объем цилиндра = 32,16π дюйм3 объем теннисных мячей = 21,44π дюйм3
Объем пространства, не занятого теннисными мячами = 33,68 дюйма3
Объем = 113,10 дюйма3
Высота расплавленной стали в цилиндре будет 7,88 дюйма
Оценка площади неправильных форм — математический класс (видео)
План этажа спальни
Что такое площадь?
Площадь — это объем пространства внутри фигуры. Представьте, что у вас есть прямоугольник и множество квадратов в один дюйм, вырезанных из плотной бумаги. Количество квадратов в один дюйм, необходимое для полного покрытия прямоугольника без зазоров или перекрытий, и есть площадь прямоугольника. Если бы для покрытия прямоугольника потребовалось 42 из этих квадратов в один дюйм, то этот прямоугольник имел бы площадь 42 квадратных дюйма. Площадь всегда измеряется в квадратных единицах , таких как квадратные дюймы, квадратные сантиметры, квадратные футы и т. Д. Она также записывается как 42 кв. Дюйма или 42 кв. Дюйма.
Площадь основных фигур
Чтобы найти площадь фигуры, вы можете покрыть ее множеством квадратов, а затем посчитать, но это занимает много времени. Есть более быстрый способ. Формулы позволяют быстро находить области общих форм. Все, что вам нужно сделать, это провести пару измерений и произвести некоторые вычисления. Много раз вам давали измерения, что облегчало задачу. Одна из самых простых формул — это площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника равна длине, умноженной на ширину ( A = lw ).Если вы знаете длину и ширину прямоугольника, вы умножаете их вместе, чтобы получить площадь.
Другие распространенные формы также имеют формулы. Формула для определения площади треугольника: площадь = основание, умноженное на высоту, деленное на 2 ( A = bh /2), а формула для определения площади круга: площадь = 3,14, умноженная на квадрат радиуса (3,14 r 2).
Области основных форм
Область неправильных форм
Многие фигуры не являются основными, например прямоугольники, треугольники и круги, для которых у нас есть формулы.Бывают случаи, когда вам нужно найти область формы, которая не является правильной. Один из способов найти площадь неправильной формы состоит в том, чтобы разделить форму на более мелкие формы, для которых у вас есть формула. Затем вы находите области всех меньших фигур и складываете все свои области вместе.
Разделение неправильных форм на общие
Давайте посмотрим на этот пример пятиугольника.У нас нет формулы, чтобы найти площадь пятиугольника; однако, если мы разделим пятиугольник на прямоугольник и треугольник, у нас будут формулы для обеих этих форм. В данном случае размер прямоугольника составляет 10 x 12, следовательно, его площадь составляет 120 кв. Футов. Треугольник имеет основание 10 и высоту 3, и, используя нашу формулу, (10 x 3) / 2 составляет 15 футов2. Сложив эти две области вместе, мы находим, что площадь нашего пятиугольника составляет 135 кв. Футов.
Иногда вы обнаруживаете область неправильной формы, которая кажется формой внутри другой формы.В этом случае вы отбираете какую-то площадь. Вы должны вычесть площадь внутренней формы из площади внешней формы.
В этом примере мы хотим найти площадь нашего круга, а затем вычесть площадь прямоугольника, который находится внутри круга. Площадь круга определяется умножением на 3,14 квадрата радиуса (8), поэтому площадь круга составляет 200,96 кв. Футов; а площадь прямоугольника вычисляется путем умножения 12 на 2, поэтому площадь прямоугольника составляет 24 кв. фута.Таким образом, площадь неправильной формы определяется путем вычисления 200,96–24, что составляет 176,96 кв. Футов.
Иногда у вас также могут быть неправильные формы, которые не создаются формами, для которых у вас есть формулы. Когда это произойдет, вам нужно будет использовать приблизительные значения. Покройте неправильную форму основными формами как можно лучше. У вас будет слишком много покрытия в одной области и недостаточно в другой. Это будет средним, чтобы дать приличное приближение для области.
Приближение площади
В этом примере мы не можем разделить фигуру на наши простые в использовании фигуры; вместо этого мы накладываем на неправильную форму известные формы, а затем вычисляем площади и складываем их вместе. Это даст нам приблизительное значение. В этом случае мы делим фигуру на 3 прямоугольника разного размера, а затем складываем их области вместе.
Прямоугольник 1 равен 2 x 10, что равно 20 кв.
Прямоугольник 2 имеет размер 4,5 x 6, что равно 27 кв.
Прямоугольник 3 имеет размер 1,5 x 8, что равно 12 кв.
Складывая все три площади вместе, мы получаем 20 + 26 + 12, что в сумме составляет 59 кв. Футов.
Резюме урока
Нам много раз приходилось определять площадь форм.Основные формы, такие как прямоугольник, треугольник и круг, имеют формулы, которые действуют как ярлыки для поиска области. Если у вас неправильная форма, вам нужно будет использовать разные техники. Вы можете сложить области двух или более фигур вместе, чтобы найти область. Возможно, вам потребуется вычесть площадь одной основной формы из площади более крупной. В других случаях неправильная форма не будет сделана из основных форм с формулами. Затем вам нужно будет сделать приближение, используя основные формы.
Калькулятор прямоугольников
.Найдите площадь и периметр любого прямоугольника
Забавный факт: какая страна в мире имеет самую прямоугольную форму?
Существует множество различных рейтингов, оценивающих страны — по их регионам, населению, уровню образования или лауреатам Нобелевской премии. Но вы когда-нибудь задумывались, , кто является победителем в конкурсе на самую прямоугольную страну? Австралийский геостатист Дэвид Бэрри рассчитал параметр прямоугольности для всех стран мира и составил рейтинг.Он выяснил, что самая прямоугольная страна — это Египет, а титул «наименее прямоугольной страны в мире» достается Мальдивам (однако автор признает, что расчеты для стран, состоящих из множества небольших островов, могут быть ужасно ошибочными). Взгляните на таблицу ниже и выберите первые десять стран, а также страны с наименее прямоугольной формой.
Наивысшие баллы в рейтинге прямоугольности. Индекс 1 — идеальный прямоугольник, 0 — бесконечное количество бесконечно малых островов. Таблица адаптирована с веб-страницы мистера Барри, как изображение мира ниже.
Египет — лидер, но это никого не должно удивлять, проверяя очертания этой страны на карте. США находятся в середине рейтинга, в основном из-за неординарности Аляски и Гавайев. Смущает то, что 2-я по величине прямоугольная страна — Ватикан — одновременно является 4-й страной по округлости, а Польша, занимающая 5-е место в классификации округлости, занимает 9-е место в рейтинге прямоугольности.
Как это вообще возможно быть прямоугольным и круглым одновременно ?! Как вы можете догадаться, все дело в определении прямоугольности и округлости, которые могут не подходить для сложных или рассеянных форм — и обычно такими примерами являются границы стран, содержащие острые края, небольшие острова или колонии где-то в другой части. Глобус. Если вас интересует эта тема, вы можете посмотреть это объяснение и обсуждение результатов здесь. Также в круглом калькуляторе вы найдете абзац о округлости стран с аналогичной таблицей и примерами.
Можно было подумать, что мир было бы легче нарисовать, если бы каждая страна была прямоугольной … Или нет?
Как найти площадь шестиугольника
Объяснение:
Есть несколько способов найти площадь шестиугольника.
В правильном шестиугольнике разделите фигуру на треугольники.
Найдите площадь одного треугольника.
Умножьте это значение на шесть.
В качестве альтернативы площадь можно определить, вычислив половину длины стороны, умноженную на апофему.
правильных шестиугольников:
Правильные шестиугольники — это интересные многоугольники. Шестиугольники представляют собой шестигранные фигуры и имеют следующую форму:
В правильном шестиугольнике все стороны равны по длине, а все внутренние углы имеют одинаковую меру; следовательно, мы можем написать следующее выражение.
Один из самых простых способов найти площадь многоугольника — разбить фигуру на треугольники. Начнем с разделения шестиугольника на шесть треугольников.
На этом рисунке центральная точка,, находится на одинаковом расстоянии от всех вершин. В результате шесть пунктирных линий внутри шестиугольника имеют одинаковую длину. Точно так же все треугольники внутри шестиугольника конгруэнтны по правилу стороны-стороны-стороны: каждый из треугольников имеет две стороны внутри шестиугольника, а также основную сторону, которая составляет периметр шестиугольника. Подобным образом у всех треугольников одинаковые углы. Они находятся в круге, а шестиугольник на нашем изображении разделил его на шесть равных частей; следовательно, мы можем написать следующее:
Нам также известно следующее:
Теперь давайте посмотрим на каждый из треугольников шестиугольника.Мы знаем, что у каждого треугольника две стороны равны; следовательно, каждый из углов основания каждого треугольника должен быть одинаковым. Мы знаем, что у треугольника есть, и можем вычислить два основных угла каждого треугольника, используя эту информацию.
Каждый угол в треугольнике равен. Теперь мы знаем, что все треугольники равносторонние и равносторонние: каждый треугольник имеет три равные длины сторон и три равных угла. Теперь мы можем использовать эту важную информацию для определения площади шестиугольника.Если мы найдем площадь одного из треугольников, то мы можем умножить ее на шесть, чтобы вычислить площадь всей фигуры. Начнем с анализа. Если мы проведем через треугольник высоту, то получим два треугольника.
Давайте решим длину этого треугольника. Помните, что в треугольниках длина сторон треугольников определяется следующим соотношением:
Теперь мы можем проанализировать, используя заменяющую переменную для длины стороны,.
Нам известны размеры основания и высоты, и мы можем вычислить их площадь.
Теперь нам нужно умножить это на шесть, чтобы найти площадь всего шестиугольника.
Мы решили для площади правильного шестиугольника с длиной стороны,. Если мы знаем длину стороны правильного шестиугольника, мы можем найти площадь.
Если нам не дан правильный шестиугольник, то мы вычисляем площадь шестиугольника, используя длину стороны (т.е.е. ) И апофема (то есть), которая представляет собой длину линии, проведенной от центра многоугольника до прямого угла любой стороны. Это обозначено переменной на следующем рисунке:
Альтернативный метод:
Если нам даны переменные и, то мы можем найти площадь шестиугольника по следующей формуле:
В этом уравнении площадь, периметр и апофема. Мы должны рассчитать периметр, используя длину стороны и уравнение, где — длина стороны.
Решение:
В задаче говорится, что соты имеют диаметр два сантиметра. Чтобы решить задачу, нам нужно разделить диаметр на два. Это потому, что радиус этого диаметра равен длине внутренней стороны равносторонних треугольников в соте. Давайте найдем длину стороны правильного шестиугольника / соты.
Заменить и решить.
Нам известна следующая информация.
В результате мы можем написать следующее:
Давайте подставим это значение в формулу площади правильного шестиугольника и решим.
Упростить.
Решить.
Округлить до десятых долей сантиметра.
Площадь цилиндра
Цилиндр можно определить как твердую фигуру, ограниченную изогнутой поверхностью и двумя плоскими поверхностями. Площадь поверхности цилиндра можно определить, разбив его на 2 части:
1. Два круга, которые составляют крышки цилиндра.
2. Сторона цилиндра, которая в «развернутом состоянии» представляет собой прямоугольник.
Площадь каждой торцевой заглушки определяется радиусом r окружности, который определяется как:

A = πr ²
Таким образом, общая площадь заглушек составляет 2πr ².
Площадь прямоугольника определяется как:

A = высота × ширина
Ширина — это высота h цилиндра, а длина — это расстояние вокруг концевых окружностей или, другими словами, периметр / окружность основания / верхнего круга и определяется выражением:
P = 2πr
Таким образом, площадь прямоугольника переписывается как:
A = 2πr × h
Объединяя эти части вместе, мы получим общую площадь поверхности цилиндра, а окончательная формула имеет вид:
A = 2πr ² + 2πrh
где:
π — это Пи, приблизительно 3. 142
r — радиус цилиндра
h высота цилиндра

Разложив на множители 2πr из каждого члена, мы можем упростить формулу до:
A = 2πr (r + h)
Площадь боковой поверхности цилиндра просто определяется как: LSA = 2πr × h .
Пример 1 : Найдите площадь поверхности цилиндра радиусом 4 см и высотой 3 см.
Решение:
SA = 2 × π × r ² + 2 × π × r × h
SA = 2 × 3.14 × 4 ² + 2 × 3,14 × 4 × 3
SA = 6,28 × 16 + 6,28 × 12
SA = 100,48 + 75,36
SA = 175,84
Площадь поверхности = 175,84 см ²
Пример 2 : Найдите площадь поверхности цилиндра с радиусом 5,5 см и высотой 10 см.
Решение:
Радиус цилиндра = 5,5 см.
Высота цилиндра = 10 см.
Таким образом, общая площадь поверхности цилиндра составляет:
TSA = 2πr (r + h)
TSA = 11π (5. 5 + 10)
TSA = 170,5 π
TSA = 535,6 см ²
Пример 3 : Найдите общую площадь поверхности цилиндрической жести радиусом 17 см и высотой 3 см.
Решение:
Как и в предыдущем примере:
TSA = 2πr (r + h)
TSA = 2π × 17 (17 + 3)
TSA = 2π × 17 × 20
TSA = 2136,56 см ²
Пример 4 : Найдите площадь поверхности цилиндра радиусом 6 см и высотой 9 см.
Решение:
Радиус цилиндра: r = 6 см
Высота цилиндра: h = 9 см
Таким образом, общая площадь поверхности цилиндра составляет:
TSA = 2πr (r + h)
TSA = 12π (6 +9)
TSA = 180 π
TSA = 565,56 см ²
Пример 5 : Найдите радиус цилиндра с площадью боковой поверхности 150 см ² и высотой 9 см.
Решение:
Площадь боковой поверхности цилиндра определяется как:
LSA = 2πrh
Учитывая, что:
LSA = 150 см ²
h = 9 см
π — постоянная величина, ее значение = 3.
No related posts.