Примеры фигур обладающих и осевой и центральной симметрией: приведите примеры фигур . обладающих а)осевой симметрией ; б)центральной симметрией ;в)и

Содержание

Образец фигуры с центральной симметрией. Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре

Рассмотреть осевую и центральную симметрии как свойства некоторых геометрических фигур; Рассмотреть осевую и центральную симметрии как свойства некоторых геометрических фигур; Уметь строить симметричные точки и уметь распознавать фигуры, являющиеся симметричными относительно точки или прямой; Уметь строить симметричные точки и уметь распознавать фигуры, являющиеся симметричными относительно точки или прямой; Совершенствование навыков решения задач; Совершенствование навыков решения задач; Продолжить работу над аккуратностью записи и выполнения геометрического чертежа; Продолжить работу над аккуратностью записи и выполнения геометрического чертежа;

Устная работа «Щадящий опрос» Устная работа «Щадящий опрос» Какая точка называется серединой отрезка? Какой треугольник называется равнобедренным? Каким свойством обладают диагонали ромба? Сформулируйте свойство биссектрисы равнобедренного треугольника. Какие прямые называются перпендикулярными? Какой треугольник называется равносторонним? Каким свойством обладают диагонали квадрата? Какие фигуры называются равными?

С какими новыми понятиями на уроке познакомились? С какими новыми понятиями на уроке познакомились? Что нового узнали о геометрических фигурах? Что нового узнали о геометрических фигурах? Приведите примеры геометрических фигур, обладающих осевой симметрией. Приведите примеры геометрических фигур, обладающих осевой симметрией. Приведите пример фигур, обладающих центральной симметрией. Приведите пример фигур, обладающих центральной симметрией. Приведите примеры предметов из окружающей жизни, обладающих одной или двумя видами симметрии. Приведите примеры предметов из окружающей жизни, обладающих одной или двумя видами симметрии.

«Точка симметрии» — Симметрия в архитектуре. Примеры симметрии плоских фигур. Две точки А и А1 называются симметричными относительно О, если О середина отрезка АА1. Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм. Точка C называется центром симметрии. Симметрия в науке и технике.

«Построение геометрических фигур» — Воспитательный аспект. Контроль и коррекция усвоения. Изучение теории, на которой основан метод. В стереометрии – не строгие построения. Стереометрические построения. Алгебраический метод. Метод преобразований (подобия, симметрии, параллельного переноса и т.п.). Например: прямая; биссектриса угла; серединный перпендикуляр.

«Фигура человека» — Форму и движения тела человека во многом определяет скелет. Ярмарка с театральным представлением. Как вы думаете, найдется ли работа для художника в цирке? Скелет играет роль каркаса в строении фигуры. Главное Тело(живот, грудь) Не обращали внимания Голова, лицо, руки. А. Матис. Пропорции. Древняя Греция.

«Симметрия относительно прямой» — Симметрия относительно прямой называется осевой симметрией. Прямая а – ось симметрии. Симметрия относительно прямой. Булавин Павел, 9В класс. Сколько осей симметрии имеет каждая фигура? Фигура может иметь одну или несколько осей симметрии. Центральная симметрия. Равнобедренная трапеция. Прямоугольник.

«Площади фигур геометрия» — Теорема Пифагора. Площади различных фигур. Решите ребус. Фигуры имеющие равные площади называются равновеликими. Единицы измерения площадей. Площадь треугольника. Прямоугольник, треугольник, параллелограмм. Квадратный сантиметр. Фигуры равной площади. Равные фигуры б). Квадратный миллиметр. в). чему будет равна площадь фигуры составленной из фигур А и Г.

«Предел функции в точке» — , То в таком случае. При стремлении. Предел функции в точке. Непрерывна в точке. Равен значению функции в. Но при вычислении предела функции при. Равен значению. Выражение. Стремлении. Или можно сказать так: в достаточно малой окрестности точки. Составлено из. Решение. Непрерывна на промежутках. На промежутке.

Гомотетия и подобие. Гомотетия — преобразование, при котором каждой точке М (плоскости или пространства) ставится в соответствие точка М», лежащая на ОМ (рис. 5.16), причем отношение ОМ»:ОМ= λ одно и то же для всех точек, отличных от О. Фиксированная точка О называется центром гомотетии. Отношение ОМ»: ОМ считают положительным, если М» и М лежат по одну сторону от О, отрицательным — по разные стороны. Число X называют коэффициентом гомотетии. При Х 0 гомотетию называют обратной. При λ = — 1 гомотетия превращается в преобразование симметрии относительно точки О. При гомотетии прямая переходит в прямую, сохраняется параллельность прямых и плоскостей, сохраняются углы (линейные и двугранные), каждая фигура переходит в ей подобную (рис. 5.17).

Верно и обратное утверждение. Гомотетия может быть определена как аффинное преобразование, при котором прямые, соединяющие соответствующие точки, проходят через одну точку — центр гомотетии. Гомотетию применяют для увеличения изображений (проекционный фонарь, кино).

Центральная и зеркальная симметрии. Симметрия (в широком смысле) — свойство геометрической фигуры Ф, характеризующее некоторую правильность ее формы, неизменность ее при действии движений и отражений. Фигура Ф обладает симметрией (симметрична), если существуют нетождественные ортогональные преобразования, переводящие эту фигуру в себя. Совокупность всех ортогональных преобразований, совмещающих фигуру Ф с самой собой, является группой этой фигуры. Так, плоская фигура (рис. 5.18) с точкой М, преобразующая-

ся в себя при зеркальном отражении, симметрична относительно прямой — оси АВ. Здесь группа симметрии состоит из двух элементов — точка М преобразуется в М».

Если фигура Ф на плоскости такова, что повороты относительно какой-либо точки О на угол 360°/n, где n > 2 целое число, переводят ее в себя, то фигура Ф обладает симметрией n-го порядка относительно точки О — центра симметрии. Пример таких фигур — правильные многоугольники, например звездчатый (рис. 5.19), обладающий симметрией восьмого порядка относительно своего центра. Группа симметрии здесь — так называемая циклическая группа n-го порядка. Окружность обладает симметрией бесконечного порядка (поскольку совмещается с собой поворотом на любой угол).

Простейшими видами пространственной симметрии является центральная симметрия (инверсия). В этом случае относительно точки О фигура Ф совмещается сама с собой после последовательных отражений от трех взаимно перпендикулярных плоскостей, т. е. точка О — середина отрезка, соединяющего симметричные точки Ф. Так, для куба (рис. 5.20) точка О является центром симметрии. Точки М и М» куба

СИММЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР

По словам известного немецкого математика Г. Вейля (1885-1955), «симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство».
Прекрасные образы симметрии демонстрируют произведения искусства: архитектуры, живописи, скульптуры и т. д.
Понятие симметрии фигур на плоскости рассматривалось в курсе планиметрии. В частности, определялись понятия центральной и осевой симметрии. Для пространственных фигур понятие симметрии определяется аналогичным образом.
Рассмотрим сначала центральную симметрию.
симметричными относительно точки

O, называемой центром симметрии , если O является серединой отрезка AA». Точка O считается симметричной сама себе.
Преобразование пространства, при котором каждой точке A сопоставляется симметричная ей (относительно данной точки O) точка A» называется центральной симметрией . Точка O при этом называется центром симметрии .
Две фигуры Ф и Ф» называются центрально симметричными , если существует преобразование симметрии, переводящее одну из них в другую.
Фигура Ф называется центрально симметричной , если она центрально симметрична сама себе.
Например, параллелепипед центрально симметричен относительно точки пересечения его диагоналей. Шар и сфера центрально симметричны относительно своих центров.
Из правильных многогранников центрально симметричными являются куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Тетраэдр не является центрально симметричной фигурой.
Рассмотрим некоторые свойства центральной симметрии.
Свойство 1. Если O 1 , O 2 – центры симметрии фигуры Ф, то точка O 3 , симметричная O 1 относительно O 2 также является центром симметрии этой фигуры.
Доказательство. Пусть A – точка пространства, A 2 – точка, симметричная ей, относительно O 2 , A 1 – точка, симметричная A 2 относительно O 1 и A 3 – точка симметричная A 1 относительно O 2 (рис. 1).

Тогда треугольники O 2 O 1 A 1 и O 2 O 3 A 3 , O 2 O 1 A 2 и O 2 O 3 A равны. Следовательно, A и A 3 симметричны относительно O 3 . Таким образом, симметрия относительно O 3 является композицией симметрий относительно O 2 , O 1 и O 2 . Следовательно, при этой симметрии фигура Ф переходит сама в себя, т.е. O 3 является центром симметрии фигуры Ф.

Следствие. Любая фигура или не имеет центра симметрии, или имеет один центр симметрии, или имеет бесконечно много центров симметрии

Действительно, если O 1 , O 2 – центры симметрии фигуры Ф, то точка O 3 , симметричная O 1 относительно O 2 также является центром симметрии этой фигуры. Аналогично, точка O 4 симметричная O 2 относительно O 3 также является центром симметрии фигуры Ф и т. д. Таким образом, в этом случае фигура Ф имеет бесконечно много центров симметрии.

Рассмотрим теперь понятие осевой симметрии .
Точки A и A» пространства называются симметричными относительно прямой a , называемой осью симметрии , если прямая a проходит через середину отрезка AA» и перпендикулярна этому отрезку. Каждая точка прямой a считается симметричной сама себе.
Преобразование пространства, при котором каждой точке A сопоставляется симметричная ей точка A» (относительно данной прямой a ), называется осевой симметрией . Прямая a при этом называется осью симметрии .
Две фигуры называются симметричными относительно прямой a , если преобразование симметрии относительно этой прямой переводит одну из них в другую.
Фигура Ф в пространстве называется симметричной относительно прямой a , если она симметрична сама себе.
Например, прямоугольный параллелепипед симметричен относительно прямой, проходящей через центры противоположных граней. Прямой круговой цилиндр симметричен относительно своей оси, шар и сфера симметричны относительно любых прямых, проходящих через их центры и т. д.
Куб имеет три оси симметрии, проходящих через центры противоположных граней и шесть осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер.
Тетраэдр имеет три оси симметрии, проходящих через середины противоположных ребер.
Октаэдр имеет три оси симметрии, проходящих через противоположные вершины и шесть осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер.
Икосаэдр и додекаэдр имеют по пятнадцать осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер.
Свойство 3. Если a 1 , a 2 – оси симметрии фигуры Ф, то прямая a 3 , симметричная a 1 относительно a 2 также является осью симметрии этой фигуры.

Доказательство аналогично доказательству Свойства 1.

Свойство 4. Если две пересекающиеся перпендикулярные прямые в пространстве являются осями симметрии данной фигуры Ф, то и прямая, проходящая через точку пересечения и перпендикулярная плоскости этих прямых также будет осью симметрии фигуры Ф.
Доказательство. Рассмотрим оси координат Ox , Oy , Oz . Симметрия относительно оси Ox x , y , z ) в точку фигуры Ф с координатами (x, –y, –z ). Аналогично, симметрия относительно оси Oy переводит точку фигуры Ф с координатами (x , –y , –z ) в точку фигуры Ф с координатами (–x, –y, z ) . Таким образом, композиция этих симметрий переводит точку фигуры Ф с координатами (x, y, z ) в точку фигуры Ф с координатами (–x, –y, z ). Следовательно, ось Oz является осью симметрии фигуры Ф.

Следствие. Любая фигура в пространстве не может иметь четное (ненулевое) число осей симметрии.
Действительно, зафиксируем какую-нибудь ось симметрии a . Если b – ось симметрии, не пересекает a или пересекает ее не под прямым углом, то для нее найдется еще одна ось симметрии b’ , симметричная относительно a . Если же ось симметрии b пересекает a под прямым углом, то для нее найдется еще одна ось симметрии b’ , проходящая через точку пересечения и перпендикулярная плоскости прямых a и b . Следовательно, кроме оси симметрии a возможно или четное или бесконечное число осей симметрии. Таким образом, общее четное (ненулевое) число осей симметрии невозможно.
Помимо осей симметрии, определенных выше, рассматриваются также оси симметрии n -го порядка , n 2 .
Прямая a называется осью симметрии n -го порядка фигуры Ф, если при повороте фигуры Ф вокруг прямой a на угол фигура Ф совмещается сама с собой.

Ясно, что ось симметрии 2-го порядка является просто осью симметрии.
Например, в правильной n -угольной пирамиде прямая, проходящая через вершину и центр основания, является осью симметрии n -го порядка.
Выясним, какие оси симметрии имеют правильные многогранники.
Куб имеет три оси симметрии 4-го порядка, проходящих через центры противоположных граней, четыре оси симметрии 3-го порядка, проходящих через противоположные вершины и шесть осей симметрии 2-го порядка, проходящих через середины противоположных ребер.
Тетраэдр имеет три оси симметрии второго порядка, проходящих через середины противоположных ребер.
Икосаэдр имеет шесть осей симметрии 5-го порядка, проходящих через противоположные вершины; десять осей симметрии 3-го порядка, проходящих через центры противоположных граней и пятнадцать осей симметрии 2-го порядка, проходящих через середины противоположных ребер.
Додекаэдр имеет шесть осей симметрии 5-го порядка, проходящих через центры противоположных граней; десять осей симметрии 3-го порядка, проходящих через противоположные вершины и пятнадцать осей симметрии 2-го порядка, проходящих через середины противоположных ребер.
Рассмотрим понятие зеркальной симметрии .
Точки A и A» в пространстве называются симметричными относительно плоскости , или, по-другому, зеркально симметричными , если эта плоскость проходит через середину отрезка AA» и перпендикулярна к нему. Каждая точка плоскости считается симметричной сама себе.
Преобразование пространства, при котором каждой точке A сопоставляется симметричная ей точка A» (относительно данной плоскости ), называется зеркальной симметрией . Плоскость при этом называется плоскостью симметрии .
Две фигуры называются зеркально симметричными относительно плоскости , если преобразование симметрии относительно этой плоскости переводит одну из них в другую.
Фигура Ф в пространстве называется зеркально симметричной , если она зеркально симметрична сама себе.
Например, прямоугольный параллелепипед зеркально симметричен относительно плоскости, проходящей через ось симметрии и параллельной одной из пар противоположных граней. Цилиндр зеркально-симметричен относительно любой плоскости, проходящей через его ось и т. д.
Среди правильных многогранников куб и октаэдр имеют по девять плоскостей симметрии. Тетраэдр имеет шесть плоскостей симметрии. Икосаэдр и додекаэдр имеют по пятнадцать плоскостей симметрии, проходящих через пары противоположных ребер.
Свойство 5. Композиция двух зеркальных симметрий относительно параллельных плоскостей является параллельным переносом на вектор, перпендикулярный этим плоскостям и равный по величине удвоенному расстоянию между этими плоскостями.
Следствие. Параллельный перенос можно представить как композицию двух зеркальных симметрий.
Свойство 6. Композиция двух зеркальных симметрий относительно плоскостей, пересекающихся по прямой является поворотом вокруг этой прямой на угол равный удвоенному двугранному углу между этими плоскостями. В частности, осевая симметрия является композицией двух зеркальных симметрий относительно перпендикулярных плоскостей.
Следствие. Поворот можно представить как композицию двух зеркальных симметрий.
Свойство 7. Центральная симметрия может быть представлена в виде композиции трех зеркальных симметрий.
Докажем это свойство с помощью координатного метода. Пусть точка A в пространстве имеет координаты (x, y, z ). Зеркальная симметрия относительно координатной плоскости меняет знак соответствующей координаты. Например, зеркальная симметрия относительно плоскости Oxy переводит точку с координатами (x, y, z ) в точку с координатами (x, y, –z ). Композиция трех зеркальных симметрий относительно координатных плоскостей переводит точку с координатами (x, y, z ) в точку с координатами (–x, –y, –z ), которая является центрально симметричной исходной точке A.
Движения, переводящие фигуру Ф саму в себя, образуют группу относительно композиции. Она называется группой симметрий фигуры Ф.
Найдем порядок группы симметрий куба.
Ясно, что любое движение, переводящее куб в себя, оставляет центр куба на месте, переводит центры граней в центры граней, середины ребер в середины ребер и вершины в вершины.
Таким образом, для задания движения куба достаточно определить, куда переходит центр грани, середина ребра этой грани и вершина ребра.
Рассмотрим разбиение куба на тетраэдры, вершинами каждого из которых являются центр куба, центр грани, середина ребра этой грани и вершина ребра. Таких тетраэдров 48. Поскольку движение полностью определяется тем, в какой из тетраэдров переводится данный тетраэдр, то порядок группы симметрий куба будет равен 48.
Аналогичным образом находятся порядки групп симметрий тетраэдра, октаэдра, икосаэдра и додекаэдра.
Найдем группу симметрий единичной окружности S 1 . Эта группа обозначается O(2). Она является бесконечной топологической группой. Представим единичную окружность как группу комплексных чисел по модулю равных единице. Имеет место естественный эпиморфизм p:O(2) —> S 1 , сопоставляющий элементу u группы O(2) элемент u(1) в S 1 . Ядром этого отображения является группа Z 2 , порожденная симметрией единичной окружности относительно оси Ox. Следовательно, O(2)/Z 2S 1 . Более того, если не учитывать групповую структуру, то имеет место гомеоморфизм O(2) и прямого произведения S 1 и Z 2 .
Аналогично, группа симметрий двумерной сферы S 2 обозначается O(3), и для нее имеет место изоморфизм O(3)/O(2) S 2 .
Группы симметрий n-мерных сфер играют важную роль в современных разделах топологии: теории многообразий, теории расслоенных пространств и др.
Одним из самых ярких проявлений симметрии в природе являются кристаллы. Свойства кристаллов определяются особенностями их геометрического строения, в частности, симметричным расположением атомов в кристаллической решетке. Внешние формы кристаллов являются следствием их внутренней симметрии.
Первые, еще смутные предположения о том, что атомы в кристаллах расположены правильным, закономерным, симметричным строем, высказывались в трудах различных естествоиспытателей уже в те времена, когда само понятие атома было неясным и не было никаких экспериментальных доказательств атомного строения вещества. Симметричная внешняя форма кристаллов невольно наводила на мысль о том, что внутреннее строение кристаллов должно быть симметричным и закономерным. Законы симметрии внешней формы кристаллов были полностью установлены в середине XIX века, а к концу этого века были четко и точно выведены законы симметрии, которым подчинены атомные постройки в кристаллах.
Основоположником математической теории строения кристаллов является выдающийся российский математик и кристаллограф — Евграф Степанович Федоров (1853-1919). Математика, химия, геология, минералогия, петрография, горное дело — в каждую из этих областей внес Е.С.Федоров немалый вклад. В 1890 году он строго математически вывел все возможные геометрические законы сочетания элементов симметрии в кристаллических структурах, иначе говоря, симметрии расположения частиц внутри кристаллов. Оказалось, что число таких законов ограничено. Федоров показал, что имеется 230 пространственных групп симметрии, которые впоследствии, в честь ученого, были названы федоровскими. Это был исполинский труд, предпринятый за 10 лет до открытия рентгеновских лучей, за 27 лет до того, как с их помощью доказали существование самой кристаллической решетки. Существование 230 федоровских групп является одним из важнейших геометрических законов современной структурной кристаллографии. «Гигантский научный подвиг Е.С. Федорова, сумевшего подвести под единую геометрическую схему весь природный «хаос» бесчисленных кристаллообразований, и сейчас вызывает восхищение. Это открытие сродни открытию периодической таблицы Д.И. Менделеева.»Царство кристаллов» является незыблемым памятником и конечной вершиной классической федоровской кристаллографии», — сказал академик А.В. Шубников.

Литература
1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть II. Стереометрия. – 3-е изд. – М.: Учпедгиз, 1958.
2. Вейль Г. Симметрия. – М.: Наука, 1968.
3. Вигнер Е. Этюды о симметрии. – М.: Мир, 1971.
4. Гарднер М. Этот правый, левый мир. – М.: Мир, 1967.
5. Гильде В. Зеркальный мир. – М.: Мир, 1982.
6. Компанеец А.С. Симметрия в микро- и макромире. – М.: Наука, 1978.
7. Парамонова И.М. Симметрия в математике. – М.: МЦНМО, 2000.
8. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. Часть II. Геометрия в пространстве. – М.-Л.: Гос изд. технико-теоретич. литературы, 1949.
9. Сонин А.С. Постижение совершенства (симметрия, асимметрия, диссимметрия, антисимметрия). – М.: Знание, 1987.
10. Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир. – М.: Просвещение, 1982.
11. Узоры симметрии. – М.: Мир, 1980.
12. Шафрановский И.И. Симметрия в природе. – 2-е изд. – Л.; 1985.
13. Шубников А.В., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. – М.: Наука, 1972.

Технологическая карта по математике на тему «Осевая и центральная симметрия» (8 класс)

Тема урока

Осевая и центральная симметрия

Цель урока

познакомить обучающихся с понятиями осевой и центральной симметрий.

Планируемые образовательные результаты

Предметные:

— Рассмотреть осевую и центральную симметрии как свойства некоторых геометрических фигур;

— Сформировать умение строить симметричные точки и распознавать фигуры, обладающих осевой и центральной симметриями.

— развивать умение определять различия в выполнении построений данных симметрий.

Метапредметные:

Познавательные: умеют выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и выводы.

Регулятивные: умеют контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками, умение работать в паре и в группе.

Основные

понятия

Осевая симметрия, центральная симметрия.

Трудовые

действия

учителя

1. Формирование внутренней модели математической ситуации.

2. Формирование способности к постижению основ математических моделей реального объекта или процесса, готовности к применению моделирования для построения объектов и процессов, определения или предсказания их свойств.

3. Формирование способности к логическому рассуждению и коммуникации, установки на использование этой способности, на ее ценность.

Учебно-
методическое
обеспечение
(средства,
оборудование)

Для учителя

1. Проектор,

2. Интерактивная доска,

3. Презентация,

4. Персональный компьютер,

5. Учебник: Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждении / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, 2015 год.

Для обучающихся

1. Задания с карточками,

2. Модели фигур,

3. Учебник: Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждении / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, 2015 год.

Этап (ход) урока,

включая
демонстрируемыe

трудовые

действия учителя

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

Организа-ционный момент

Приветствие, проверка готовности к уроку.

Настрой на рабочую деятельность.

Проверка домашнего задания

Проверим домашнее задание:

Найти неизвестные углы параллелограмма.

Ученик работает на доске, остальные проверяя, делают исправления в решении на доске.

Актуализация знаний

Тесты в двух вариантах раздаются в распечатанном виде обучающимся. Ответы нужно написать на листочках и в тетрадях: листочки сдаются на проверку учителю, ответы в тетради проверяют сами обучающиеся по ответам на слайде. (Слайды 2-3).

I вариант:

1. Любой прямоугольник является…
а)ромбом;
б)квадратом;
в)параллелограммом;
г) нет правильного ответа.

2. Если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырехугольник…
а) ромб;
б) квадрат;
в) прямоугольник;
г) нет правильного ответа.

3. Ромб – это четырехугольник, в котором…
а) диагонали точкой пересечения делятся пополам и равны;
б) диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам;
в) противолежащие углы равны, а противолежащие стороны параллельны;
г) нет правильного ответа.

II вариант:

1. Любой ромб является…
а) квадратом;
б) прямоугольником;
в) параллелограммом;
г) нет правильного ответа.

2. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм…
а) ромб;
б) квадрат;
в) прямоугольник;
г) нет правильного ответа.

3. Прямоугольник – это четырехугольник, в котором…
а) противолежащие стороны параллельны, а диагонали равны;
б) диагонали точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов;
в) два угла прямые и две стороны равны;
г) нет правильного ответа.

Самооценка: меняют листочки, и проверяют ответы теста на слайде и выставляют оценку.

Критерия оценивания:

1 правильных – оценка «3».

2 правильных – оценка «4».

3 правильных – оценка «5».

Ответы к тесту:

I вариант:

1)-в,

2)-г,

3)-б.

II вариант:

1)-в,

2)-a,

3)-a.

Изучение нового материала.

(Слайд 4). Учитель проводит эвристическую беседу:

Отметьте точку Аа. Из точки А опустите перпендикуляр АО на прямую а. Теперь от точки О отложите перпендикуляр ОА₁= АО. Две точки А и А₁ называются симметричными относительно прямой а. Такая прямая называется осью симметрии. (Учитель строит на доске, ученики в тетрадях).

— Какие две точки называются симметричными относительно прямой? (стр. 110 учебника)

-Назовите симметричность предметов относительно прямой в жизни? (Слайд 5).

У геометрических фигур может быть одна или несколько осей симметрии, а может и не быть совсем.

-А как вы думаете, сколько осей симметрии у прямоугольника? (Слайд 6).

– А у круга сколько осей симметрии? (Слайд 7).

– Определите, сколько осей симметрии имеет каждая из фигур? (Слайд 8).

– Попробуйте сформулировать определение фигуры, симметричной относительно прямой. (Стр. 111 учебника)

Говорят, что такие фигуры обладают осевой симметрией.

-Назовите фигуры, обладающие осевой симметрией.

-Назовите фигуры, которые не имеют оси симметрии.

Оказывается, можно построить симметричные точки не только относительно прямой, но и относительно какой-либо точки. Возьмём произвольную точку А и точку О, относительно которой будем строить симметричную точку. Соединяем точки А и О отрезком, затем от точки О откладываем отрезок ОА₁=ОА. Таким образом, О – середина отрезка АА₁. Точки А и А₁ называются симметричными относительно точки О.

-Попробуйте сформулировать определение симметричных точек относительно точки.

А теперь построим треугольник А₁В₁С₁ симметричный треугольнику АВС относительно точки О.

-Попробуйте сформулировать определение фигуры, симметричной относительно точки. (Стр. 111 учебника).

В этом случае говорят, что фигуры обладают центральной симметрией.

– Приведите примеры фигур, обладающие центральной симметрией.

— Назовите фигуры, обладающие осевой и центральной симметриями. Назовите такие фигуры.

Ответы учеников:

-автомобиль, лампочка, снежинка, бабочка, мяч и другие.

-Прямоугольник имеет 2 оси симметрии.

-Круг имеет бесконечно много осей симметрии.

Учащиеся пытаются выдвигать гипотезы.

Называют фигуры: круг, угол, прямоугольник, ромб и.т.д.

Называют фигуры: п араллелограмм, разносторонний треугольник.

-Учащиеся пытаются выдвигать гипотезы.

Называют фигуры: квадрат, круг, прямоугольник, параллелограмм.

Называют фигуры: круг, квадрат, отрезок.

Закрепление изученного материала.

Учитель ставит задачу:

Расположите данные фигуры по трем столбикам таблицы «Фигуры, обладающие центральной симметрией», «Фигуры, обладающие осевой симметрией», «Фигуры, имеющие обе симметрии».

А теперь проверим полученные результаты.

Обучающиеся в группах выполняют это задание.

I группа:

Называют фигуры, обладающие центральной симметрией:

-квадрат, шестиугольник, параллелограмм, ромб, прямоугольник, круг, отрезок, луч.

II группа:

Называют фигуры, обладающие осевой симметрией:

-круг, пятиугольник, шестиугольник, квадрат, прямоугольник, отрезок, луч, трапеция, ромб, треугольник.

III группа:

Называют фигуры, имеющие обе симметрии:

— прямоугольник, круг, квадрат, луч, отрезок, шестиугольник, ромб.

Подведение итогов

Учитель подводить итоги:

-Что нового, интересного вы узнали сегодня на уроке?

-Что понравилось в уроке?

-Что не понравилось?

Отвечают, что узнали нового на уроке.

Домашнее задание

Учитель дает указания к домашнему заданию:

п.47, в.16-20;

№421, №422.

Запись домашнего задания.

Центральная и осевая симметрии Презентация подготовлена учителем математики

Центральная и осевая симметрии Презентация подготовлена учителем математики Вдовенко И. П.

n n Рассмотреть осевую и центральную симметрии как свойства некоторых геометрических фигур; Уметь строить симметричные точки и уметь распознавать фигуры, являющиеся симметричными относительно точки или прямой; Использовать полученные знания при проведении «паркового урока» ; Продолжить работу над аккуратностью записи и выполнения геометрического чертежа;

А а О А 1 Две точки А 1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к нему n а – ось симметрии

Являются ли данные точки симметричными ? М b m а D М 1 Рисунок 1 С Рисунок 2 В 1 B Рисунок 3

А В АВСD — квадрат а D n С Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре

Геометрические фигуры, обладающие осевой симметрией

Фигуры, обладающие осевой симметрией

Сколько осей симметрии имеет: — Отрезок n А В одна — а Прямая — Луч множество О Е Ни одной

А n Две О А 1 точки А 1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА 1. n О — центр симметрии

Являются ли точки симметричными относительно данной точки М А 1 С О М 1 А В 1 В Рисунок 1 О Рисунок 3 Рисунок 2

В С О А Д Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно О также принадлежит этой фигуре. n О – центр симметрии квадрата n

Геометрические фигуры, обладающие центральной симметрией О О

Фигуры, обладающие центральной симметрией

n — Имеют ли центр симметрии: О Отрезок один — Прямая — Луч О О 1 О 2 множество Ни одного

n n n С какими новыми понятиями на уроке познакомились? Что нового узнали о геометрических фигурах? Приведите примеры геометрических фигур, обладающих осевой симметрией. Приведите пример фигур, обладающих центральной симметрией. Приведите примеры предметов из окружающей жизни, обладающих одной или двумя видами симметрии.

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ презентация, доклад, проект

Текст слайда:

Центральная симметрия в транспорте:

Центральная симметрия не совместима с формой наземного и подземного транспорта. Причиной этого служит его направление движения. При рассмотрении вида сверху трамвая, электровоза, телеги, мы видим, что ось симметрии проходит вдоль направления движения. Таким образом, центральную симметрию следует искать в воздушном и подводном транспорте, т. е. в таких видах, где направления: вперед, назад, вправо, влево, – равноценны.
Один из таких видов транспорта – это воздушный шар.
Другой пример воздушного транспорта – это парашют. Ученые относят его изобретение еще к 13 веку. На нашем чертеже мы представили вид сверху воздушного шара. Отметим, что он аналогичен виду сверху парашюта. Как мы видим, эта фигура центрально симметрична. О – центр симметрии.
Дальнейшее развитие парашют получил в изобретении нашими учеными “надувного тормозного устройства”. Оно предназначено для спуска грузов и человека с орбиты. Надувное тормозное устройство представляет собой эластичную оболочку, наполняемую в космосе. Она имеет гибкую теплозащиту и дополнительную надувную оболочку. На базе него предполагается конструирование и спасательных устройств, которые могут использоваться, например, при пожаре в многоэтажных домах. Вид сверху этого устройства представляет собой круг. А круг, как мы знаем, не только обладает осевой симметрией, но и центральной. Центр симметрии совпадает с центром круга.

Выводы:
Вид сверху и вид спереди различных видов транспорта обладает либо центральной, либо осевой симметрией.
Для наземного вида транспорта в большей степени характерна осевая симметрия. Причиной этого является направление его движения.
Центральная симметрия чаще встречается в форме воздушного и подводного транспорта, для которого направления: вправо, влево, вперед, назад, – равноценны.
Модели транспорта будущего в той же степени, что и модели настоящего и прошлого обладают различными видами.

Нарисовать фигуру с осевой симметрией. Симметрия и асимметрия

I . Симметрия в математике :

Основные понятия и определения.

Осевая симметрия (определения, план построения, примеры)

Центральная симметрия (определения, план построения, при меры)

Обобщающая таблица (все свойства, особенности)

II . Применения симметрии:

1) в математике

2) в химии

3) в биологии, ботанике и зоологии

4) в искусстве, литературе и архитектуре

1. Основные понятия симметрии и ее виды.

Понятие симметрии пр оходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека. И употреблялось скульпторами ещё в 5 веке до н. э. Слово “симметрия” греческое, оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей”. Его широко используют все без исключения направления современной науки. Об этой закономерности задумывались многие великие люди. Например, Л. Н. Толстой говорил: “Стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия понятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основано?”. Действительно симметричность приятна глазу. Кто не любовался симметричностью творений природы: листьями, цветами, птицами, животными; или творениями человека: зданиями, техникой, – всем тем, что нас с детства окружает, тем, что стремится к красоте и гармонии. Герман Вейль сказал: “Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство”. Герман Вейль – это немецкий математик. Его деятельность приходится на первую половину ХХ века. Именно он сформулировал определение симметрии, установил по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае. Таким образом, математически строгое представление сформировалось сравнительно недавно – в начале ХХ века. Оно достаточно сложное. Мы же обратимся и еще раз вспомним те определения, которые даны нам в учебнике.

2. Осевая симметрия.

2.1 Основные определения

Определение. Две точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

Определение. Фигура называется симметричной относительно прямой а , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

2.2 План построения

И так, для построения симметричной фигуры относительно прямой от каждой точки проводим перпендикуляр к данной прямой и продлеваем его на такое же расстояние, отмечаем полученную точку. Так поступаем с каждой точкой, получаем симметричные вершины новой фигуры. Затем последовательно их соединяем и получаем симметричную фигуру данной относительной оси.

2.3 Примеры фигур, обладающих осевой симметрией.

3. Центральная симметрия

3.1 Основные определения

Определение . Две точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О, если О — середина отрезка АА 1 . Точка О считается симметричной самой себе.

Определение. Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

3.2 План построения

Построение треугольника симметричного данному относительно центра О.

Чтобы построить точку, симметричную точке А относительно точки О , достаточно провести прямую ОА (рис. 46) и по другую сторону от точки О отложить отрезок, равный отрезку ОА . Иными словами, точки А и ; В и ; С и симметричны относительно некоторой точки О. На рис. 46 построен треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно точки О. Эти треугольники равны.

Построение симметричных точек относительно центра.

На рисунке точки М и М 1 , N и N 1 симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки.

Вообще фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.

3.3 Примеры

Приведём примеры фигур, обладающие центральной симметрией. Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм.

Точка О называется центром симметрии фигуры. В подобных случаях фигура обладает центральной симметрией. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма- точка пересечения его диагоналей.

Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии (точка О на рисунке) у прямой их бесконечно много — любая точка прямой является её центром симметрии.

На рисунках показан угол симметричный относительно вершины, отрезок симметричный другому отрезку относительно центра А и четырехугольник симметричный относительно своей вершины М.

Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

4. Итог урока

Обобщим полученные знания. Сегодня на уроке мы познакомились с двумя основными видами симметрии: центральная и осевая. Посмотрим на экран и систематизируем полученные знания.

Обобщающая таблица

	Осевая симметрия	Центральная симметрия
Особенность	Все точки фигуры должны быть симметричны относительно какой-нибудь прямой.	Все точки фигуры должны, симметричны относительно точки, выбранной в качестве центра симметрии.
Свойства	1. Симметричные точки лежат на перпендикулярах к прямой. 3. Прямые переходят в прямые, углы в равные углы. 4. Сохраняются размеры и формы фигур.	1. Симметричные точки лежат на прямой, проходящей через центр и данную точку фигуры. 2. Расстояние от точки до прямой равно расстоянию от прямой до симметричной точки. 3. Сохраняются размеры и формы фигур.

II. Применение симметрии

Математика

На уроках алгебры мы изучили графики функций y=x и y=x

На рисунках представлены различные картинки, изображенные с помощью ветвей парабол.

(а) Октаэдр,

(б) ромбический додекаэдр, (в) гексагональной октаэдр.

Русский язык

Печатные буквы русского алфавита тоже обладают различными видами симметрий.

В русском языке есть «симметричные» слова — палиндромы , которые можно читать одинаково в двух направлениях.

А Д Л М П Т Ф Ш – вертикальная ось

В Е З К С Э Ю — горизонтальная ось

Ж Н О Х — и вертикальная и горизонтальная

Б Г И Й Р У Ц Ч Щ Я – ни какой оси

Радар шалаш Алла Анна

Литература

Могут быть палиндромичес- кими и предложения. Брюсов написал стихотворение «Голос луны», в котором каждая строка — палиндром.

Посмотрите на четверости -шие А.С.Пушкина «Медный всадник». Если провести линию после второй строчки мы можем заметить элементы осевой симметрии

А роза упала на лапу Азора.

Я иду с мечем судия. (Державин)

«Искать такси»

«Аргентина манит негра»,

«Ценит негра аргентинец»,

«Леша на полке клопа нашел».

В гранит оделася Нева;

Мосты повисли над водами;

Темно-зелеными садами

Ее покрылись острова…

Биология

Тело человека построено по принципу двусторонней симметрии. Большинство из нас рассматривает мозг как единую структуру, в действительности он разделён на две половины. Эти две части — два полушария — плотно прилегают друг к другу. В полном соответствии с общей симметрией тела человека каждое полушарие представляет собой почти точное зеркальное отображение другого

Управление основными движениями тела человека и его сенсорными функциями равномерно распределено между двумя полушариями мозга. Левое полушарие контролирует правую сторону мозга, а правое — левую сторону.

Ботаника

Цветок считается симметричным, когда каждый околоцветник состоит из равного числа частей. Цветки, имея парные части, считаются цветками с двойной симметрией и т.д. Тройная симметрия обычна для однодольных растений, пятерная — для двудольных Характерной чертой строения растений и их развития является спиральность.

Обратите внимание на побеги листорасположения – это тоже своеобразный вид спирали – винтовая. Еще Гёте, который был не только великим поэтом, но и естествоиспытателем, считал спиральность одним из характерных признаков всех организмов, проявлением самой сокровенной сущности жизни. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спиральные движения наблюдаются при росте корней и побегов.

Характерной чертой строения растений и их развития является спиральность.

Посмотрите на сосновую шишку. Чешуйки на ее поверхности расположены строго закономерно — по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом. Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21.

Зоология

Под симметрией у животных понимают соответствие в размерах, форме и очертаниях, а также относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии. При радиальной или лучистой симметрии тело имеет форму короткого или длинного цилиндра либо сосуда с центральной осью, от которого отходят в радиальном порядке части тела. Это кишечнополостные, иглокожие, морские звёзды. При билатеральной симметрии осей симметрии три, но симметричных сторон только одна пара. Потому что две другие стороны — брюшная и спинная — друг на друга не похожи. Этот вид симметрии характерен для большинства животных, в том числе насекомых, рыб, земноводных, рептилий, птиц, млекопитающих.

Осевая симметрия

Различные виды симметрии физических явлений: симметрия электрического и магнитного полей (рис. 1)

Во взаимно перпендикулярных плоскостях симметрично распространение электромагнитных волн (рис. 2)

рис.1 рис.2

Искусство

В произведениях искусства часто можно наблюдать зеркальную симметрию. Зеркальная» симметрия широко встречается в произведениях искусства примитивных цивилизаций и в древней живописи. Средневековые религиозные картины также характеризуются этим видом симметрии.

Одно из лучших ранних произведений Рафаэля – «Обручение Марии» — создано в 1504 году. Под солнечным голубым небом раскинулась долина, увенчанная белокаменным храмом. На первом плане – обряд обручения. Первосвященник сближает руки Марии и Иосифа. За Марией – группа девушек, за Иосифом – юношей. Обе части симметричной композиции скреплены встречным движением персонажей. На современный вкус композиция такой картины скучна, поскольку симметрия слишком очевидна.

Химия

Молекула воды имеет плоскость симметрии (прямая вертикальная линия).Исключительно важную роль в мире живой природы играют молекулы ДНК (дезоксирибонуклеиновая кислота). Это двуцепочечный высокомолекулярный полимер, мономером которого являются нуклеотиды. Молекулы ДНК имеют структуру двойной спирали, построенной по принципу комплементарности.

Архите ктура

Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Особенно блистательно использовали симметрию в архитектурных сооружениях древние зодчие. Причем древнегреческие архитекторы были убеждены, что в своих произведениях они руководствуются законами, которые управляют природой. Выбирая симметричные формы, художник тем самым выражал свое понимание природной гармонии как устойчивости и равновесия.

В городе Осло, столице Норвегии, есть выразительный ансамбль природы и художественных произведений. Это Фрогнер – парк – комплекс садово-парковой скульптуры, который создавался в течение 40 лет.

Дом Пашкова Лувр (Париж)

Цели:

образовательные:
- дать представление о симметрии;
- познакомить с основными видами симметрии на плоскости и в пространстве;
- выработать прочные навыки построения симметричных фигур;
- расширить представления об известных фигурах, познакомив со свойствами, связанных с симметрией;
- показать возможности использования симметрии при решении различных задач;
- закрепить полученные знания;
общеучебные:
- научить настраивать себя на работу;
- научить вести контроль за собой и соседом по парте;
- научить оценивать себя и соседа по парте;
развивающие:
- активизировать самостоятельную деятельность;
- развивать познавательную деятельность;
- учить обобщать и систематизировать полученную информацию;
воспитательные:
- воспитываать у учащихся “чувство плеча”;
- воспитывать коммуникативность;
- прививать культуру общения.

ХОД УРОКА

Перед каждым лежат ножницы и лист бумаги.

Задание 1 (3 мин).

– Возьмем лист бумаги, сложим его попалам и вырежем какую-нибудь фигурку. Теперь развернем лист и посмотрим на линию сгиба.

Вопрос: Какую функцию выполняет эта линия?

Предполагаемый ответ: Эта линия делит фигуру пополам.

Вопрос: Как расположены все точки фигуры на двух получившихся половинках?

Предполагаемый ответ: Все точки половинок находятся на равном расстоянии от линии сгиба и на одном уровне.

– Значит, линия сгиба делит фигурку пополам так, что 1 половинка является копией 2 половинки, т.е. эта линия непростая, она обладает замечательным свойством (все точки относительно ее находятся на одинаковом расстоянии), эта линия – ось симметрии.

Задание 2 (2 мин).

– Вырезать снежинку, найти ось симметрии, охарактеризовать ее.

Задание 3 (5 мин).

– Начертить в тетради окружность.

Вопрос: Определить, как проходит ось симметрии?

Предполагаемый ответ: По-разному.

Вопрос: Так сколько осей симметрии имеет окружность?

Предполагаемый ответ: Много.

– Правильно, окружность имеет множество осей симметрии. Такой же замечательной фигурой является шар (пространственная фигура)

Вопрос: Какие еще фигуры имеют не одну ось симметрии?

Предполагаемый ответ: Квадрат, прямоугольник, равнобедренный и равносторонний треугольники.

– Рассмотрим объемные фигуры: куб, пирамиду, конус, цилиндр и т.д. Эти фигуры тоже имеют ось симметрии.Определите, сколько осей симметрии у квадрата, прямоугольника, равностороннего треугольника и у предложенных объемных фигур?

Раздаю учащимся половинки фигурок из пластилина.

Задание 4 (3 мин).

– Используя полученную информацию, долепить недостающую часть фигурки.

Примечание: фигурка может быть и плоскостной, и объемной. Важно, чтобы учащиеся определили, как проходит ось симметрии, и долепили недостающий элемент. Правильность выполнения определяет сосед по парте, оценивает, насколько правильно проделана работа.

Из шнурка одного цвета на рабочем столе выложена линия (замкнутая, незамкнутая, с самопересечением, без самопересечения).

Задание 5 (групповая работа 5 мин).

– Определить визуально ось симметрии и относительно нее достроить из шнурка другого цвета вторую часть.

Правильность выполненной работы определяется самими учениками.

Перед учащимися представлены элементы рисунков

Задание 6 (2 мин).

– Найдите симметричные части этих рисунков.

Для закрепления пройденного материала предлагаю следующие задания, предусмотренные на 15 мин.:

Назовите все равные элементы треугольника КОР и КОМ. Каков вид этих треугольников?

2. Начертите в тетради несколько равнобедренных треугольников с общим основанием равным 6 см.

3. Начертите отрезок АВ. Постройте прямую перпендикулярную отрезку АВ и проходящую через его середину. Отметьте на ней точки С и D так, чтобы четырехугольник АСВD был симметричен относительно прямой АВ.

– Наши первоначальные представления о форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века – палеолита. В течение сотен тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в условиях мало отличавшихся от жизни животных. Люди изготовляли орудия для охоты и рыболовства, вырабатывали язык для общения друг с другом, а в эпоху позднего палеолита украшали свое существование, создавая произведения искусства, статуэтки и рисунки, в которых обнаруживается замечательное чувство формы.
Когда произошел переход от простого собирания пищи к активному ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию, человечество вступает в новый каменный век, в неолит.
Человек неолита обладал острым чувством геометрической формы. Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление камышовых циновок, корзин, тканей, позже – обработка металлов вырабатывали представления о плоскостных и пространственных фигурах. Неолитические орнаменты радовали глаз, выявляя равенство и симметрию.
– А где в природе встречается симметрия?

Предполагаемый ответ: крылья бабочек, жуков, листья деревьев…

– Симметрию можно наблюдать и в архитектуре. Строя здания, строители четко придерживаются симметрии.

Поэтому здания получаются такие красивые. Также примером симметрии служит человек, животные.

Задание на дом:

1. Придумать свой орнамент, изобразить его на листе формат А4 (можно нарисовать в виде ковра).
2. Нарисовать бабочек, отметить, где присутствуют элементы симметрии.

Если на минутку задуматься и представить у себя в воображении какой-либо предмет, то в 99% случаев фигура, пришедшая на ум, будет правильной формы. Лишь 1 % людей, точнее их воображение, нарисует замысловатый объект, выглядящий совсем неправильно или непропорционально. Это скорее исключение из правил и относится к нетрадиционно размышляющим личностям с особым взглядом на вещи. Но возвращаясь к абсолютному большинству, стоит сказать, что существенная доля правильных предметов все же преобладает. В статье пойдет речь исключительно о них, а именно о симметричном рисовании таковых.

Изображение правильных предметов: всего несколько шагов до законченного рисунка

Прежде чем приступить к рисованию симметричного предмета, нужно его выбрать. В нашем варианте это будет ваза, но даже если она никак не напоминает то, что решили изображать вы, не отчаивайтесь: все шаги абсолютно идентичны. Придерживайтесь последовательности и все получится:

У всех предметов правильной формы есть так называемая центральная ось, которую при симметричном рисовании обязательно стоит выделить. Для этого можно даже воспользоваться линейкой и провести по центру альбомного листа прямую линию.
Далее внимательно посмотрите на выбранный вами предмет и постарайтесь перенести его пропорции на лист бумаги. Сделать это несложно, если с обеих сторон проведенной заранее линии, наметить легкие штрихи, которые впоследствии станут очертаниями рисуемого предмета. В случае с вазой необходимо выделить горлышко, донышко и самую широкую часть корпуса.
Не забывайте о том, что симметричное рисование не терпит неточностей, поэтому если есть некоторые сомнения относительно намеченных штрихов, или вы не уверены в правильности собственного глазомера, перепроверьте отложенные расстояния при помощи линейки.
Последний шаг — соединение всех линий воедино.

Симметричное рисование доступно компьютерным пользователям

В силу того что большинство окружающих нас предметов имеют правильные пропорции, иначе говоря симметричны, разработчики компьютерных приложений создали программы, в которых легко можно нарисовать абсолютно все. Достаточно лишь скачать их и наслаждаться творческим процессом. Однако помните, машина никогда не станет заменой остро наточенному карандашу и альбомному листу.

ТРЕУГОЛЬНИКИ.

§ 17. СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ.

1. Фигуры, симметричные друг другу.

Начертим на листе бумаги чернилами какую-нибудь фигуру, а карандашом вне её — произвольную прямую. Затем, не давая чернилам высохнуть, перегнём лист бумаги по этой прямой так, чтобы одна часть листа налегла на другую. На этой другой части листа получится, таким образом, отпечаток данной фигуры.

Если затем лист бумаги опять распрямить, то на нём окажутся две фигуры, которые называются симметричными относительно данной прямой (черт. 128).

Две фигуры называются симметричными относительно некоторой прямой, если при перегибании плоскости чертежа по этой прямой они совмещаются.

Прямая, относительно которой данные фигуры симметричны, называется их осью симметрии .

Из определения симметричных фигур следует, что всякие симметричные фигуры равны.

Получить симметричные фигуры можно и не пользуясь перегибанием плоскости, а с помощью геометрического построения. Пусть требуется построить точку С», симметричную данной точке С относительно прямой АВ. Опустим из точки С перпендикуляр
СD на прямую АВ и на продолжении его отложим отрезок DС» = DС. Если перегнём плоскость чертежа по АВ, то точка С совместится с точкой С»: точки С и С» симметричны (черт. 129).

Пусть требуется теперь построить отрезок С»D», симметричный данному отрезку СD относительно прямой АВ. Построим точки С» и D», симметричные точкам С и D. Если перегнём плоскость чертежа по АВ, то точки С и D совместятся соответственно с точками С» и D» (черт. 130).Поэтому отрезки СD и С»D» совместятся, они будут симметричны.

Построим теперь фигуру, симметричную данному многоугольнику АВСDЕ относительно данной оси симметрии МN (черт. 131).

Для решения этой задачи опустим перпендикуляры Аа , Вb , Сс , Dd и Ее на ось симметрии МN. Затем на продолжениях этих перпендикуляров отложим отрезки
а А» = Аа , b В» = Вb , с С» = Сс; d D»» =Dd и е Е» = Ее .

Многоугольник А»В»С»D»Е» будет симметричным многоугольнику АВСDЕ. Действительно, если перегнуть чертёж по прямой МN, то соответствующие вершины обоих многоугольников совместятся, а значит, совместятся и сами многоугольники; это и доказывает, что многоугольники АВСDЕ и А»В»С»D»Е» симметричны относительно прямой MN.

2. Фигуры, состоящие из симметричных частей.

Часто встречаются геометрические фигуры, которые какой-нибудь прямой разделяются на две симметричные части. Такие фигуры называются симметричными.

Так, например, угол — фигура симметричная, и биссектриса угла является его осью симметрии, так как при перегибании по ней одна часть угла совмещается с другой (черт. 132).

В круге осью симметрии является его диаметр, так как при перегибании по нему один полукруг совмещается с другим (черт. 133). Точно так же симметричны фигуры на чертежах 134, а, б.

Симметричные фигуры часто встречаются в природе, строительстве, в украшениях. Изображения, помещённые на чертежах 135 и 136, симметричны.

Следует заметить, что симметричные фигуры совместить простым передвижением по плоскости можно лишь в некоторых случаях. Чтобы совместить симметричные фигуры, как правило, необходимо одну из них повернуть обратной стороной,

Эта пара средств определяет расположение элементов композиции относительно главной оси. Если оно одинаково, то композиция выступает как симметричная, если в нем есть небольшое отклонение в сторону, то композиция является дисимметричной. При значительном таком отклонении она становится асимметричной.

Очень часто симметрия, как и асимметрия, выражается в сопоставлении нескольких композиционных осей. Самый простой случай – соотношение главной оси и подчиненных ей осей, определяющих положение второстепенных частей композиции. При значительном расхождении второстепенных осей с главной осью композиция может разрушиться. Для достижения ее целостности используются разные приемы: сближение осей, их слияние, принятие общего направления. На рисунке 17 представлены формальные композиции (схемы), построенные на их основе.

Рисунок 17 — Композиции с разными осями симметрии

1 Создать симметричную композицию (разные виды симметрии) (Приложение А, рисунки 15-16).

2 Создать асимметричную композицию (Приложение А, рисунок 17).

Требования:

выполняется 7-10 поисковых вариантов композиции;

внимательно отнестись к компоновке элементов; при реализации основной идеи заботиться об аккуратности исполнения.

Карандаш, тушь, акварель, цветные карандаши. Формат листа – А3.

Равновесие

Правильно построенная композиция является уравновешенной.

Равновесие – это размещение элементов композиции, при котором каждый предмет находится в устойчивом положении. Его местонахождение не вызывает сомнения и желания передвинуть его по изобразительной плоскости. При этом не требуется точного зеркального соответствия правой и левой сторон. Количественное соотношение тональных и цветовых контрастов левой и правой частей композиции должно быть равным. Если же в одной части число контрастных пятен больше, необходимо усилить контрастные отношения в другой части либо ослабить контрасты в первой. Можно изменить очертания предметов, увеличив периметр контрастных отношений.

Для установления равновесия в композиции важны форма, направление, место расположения изобразительных элементов (рисунок 18).

Рисунок 18 — Равновесие контрастных пятен в композиции

Неуравновешенная композиция выглядит случайной и необоснованной, вызывающей желание дальше работать над ней (производить перекомпоновку элементов и их деталей) (рисунок 19).

Рисунок 19 — Уравновешенная и неуравновешенная композиция

Правильно построенная композиция не может вызывать сомнения и чувства неопределенности. В ней должна быть успокаивающая глаз ясность соотношений, пропорций.

Рассмотрим простейшие схемы построения композиций:

Рисунок 20 – Схемы уравновешенности композиции

Изображение А – уравновешенное. В сочетании его квадратов и прямоугольников различных размеров и пропорций чувствуется жизнь, ничего не хочется изменить или добавить, есть композиционная ясность пропорций.

Можно сравнить устойчивую вертикальную линию на рисунке 20, А с колеблющейся на рисунке 20, Б. Пропорции на рисунке Б основаны на небольших различиях, которые мешают определить их равноценность, понять, что изображено — прямоугольник или квадрат.

На рисунке 20, В каждый диск в отдельности выглядит неуравновешенным. Вместе они образуют пару, которая находится в состоянии покоя. На рисунке 20, Г та же самая пара выглядит совершенно несбалансированной, т.к. сдвинута относительно осей квадрата.

Равновесие бывает двух видов.

Статическое равновесие возникает при симметричном расположении фигур на плоскости относительно вертикальной и горизонтальной осей формата композиции симметричной формы (рисунок 21).

Рисунок 21 — Статическое равновесие

Динамическое равновесие возникает при асимметричном расположении фигур на плоскости, т.е. при их сдвиге вправо, влево, вверх, вниз (рисунок 22).

Рисунок 22 — Динамическое равновесие

Чтобы фигура казалась изображенной в центре плоскости, ее нужно немного передвинуть вверх относительно осей формата. Круг, расположенный в центре, кажется смещенным вниз, этот эффект усиливается, если низ круга окрасить в темный цвет (рисунок 23).

Рисунок 23 – Уравновешенность круга

Крупную фигуру в левой части плоскости в состоянии уравновесить небольшой контрастный элемент в правой, который активен в силу своих тональных отношений с фоном (рисунок 24).

Рисунок 24 – Уравновешенность крупного и мелкого элемента

1 Выполнить уравновешенную композицию, используя любые мотивы (Приложение А, рисунок 18).

2 Выполнить неуравновешенную композицию (Приложение А, рисунок 19).

Требования:

выполнить поисковые варианты (5-7 шт.) в ахроматическом исполнении с нахождением тональных отношений;

работа должна быть аккуратной.

Материал и размеры композиции

Тушь. Формат листа – А3.

Опубликованные материалы на сайте СМИ «Солнечный свет». Статья Осевая и центральная симметрии, их практическая значимость. Автор: Рамазанова Светлана Викторовна.

Автор: Рамазанова Светлана Викторовна
Практическая работа, связанная с изучением, построением и осмыслением практической значимости таких геометрических понятий, как осевая и центральная симметрии. Это наглядная иллюстрация того, что математика, а в данном случае такая ее фундаментальная область, как геометрия, наитеснейшим образом связана с нашей повседневной жизнью, с окружающим нас миром, его объектамии и явлениями. Данная работа позволяет взглянуть на обыденные и привычные вещи с неожиданной стороны и сформировать научную точку зрения относительно их природы.

Автор: Рамазанова Светлана Викторовна

Практическая работа по геометрии для 8 класса
Тема: Осевая и центральная симметрии, их практическое значение
Ход работы:
Часть I
1. Проведите прямую р и отметьте точку К, не лежащую на этой прямой.
2. Проведите через точку К прямую п, перпендикулярную к прямой р.
3. Обозначьте точку пересечения прямых точкой О.
4. Отложите на прямой п отрезок ОК1, равный отрезку ОК.
Вывод: Точки К и К1 называются симметричными относительно прямо р, если эта прямая проходит через ________________ отрезка КК1 и _________________________ к нему. Прямая р называется ___________ симметрии.
5. Сколько осей симметрии имеет каждая из фигур, показанных на рисунке? Начертить фигуры, проведите оси симметрии и подписать их количество.
6. Определите, что общего у фигур, изображенных на рисунке ниже?
7. Какая из фигур лишняя?
а б в г д
Часть II
1. Отметьте произвольно точки О и С.
2. Проведите прямую ОС.
3. Отложите на прямой отрезок ОС1, равный отрезку ОС.
Вывод: Точки С и С1 называются симметричными относительно точки О, если О ________________ отрезка СС1. Точка О называется _________________симметрии.
4. Какие из фигур ( часть I, задание 5) обладают центральной симметрией? Перечислить их.
5. Какие предметы имеют оси симметрии? Какие предметы имеют центры симметрии?
а б в
г д е
7. Приведите свои примеры предметов или фигур, обладающих центральной или осевой симметрией.
Часть III
1. Разбить на группы буквы алфавита: А, Б, В, Г, Д, Е, Ё, Ж, З, И, Й, К, Л, М, Н, О, П, Р, С, Т, У, Ф, Х, Ц, Ч, Ш,Щ, Ъ, Ы, Ь, Э,Ю, Я.
Буквы, имеющие симметрию относительно центра.
Буквы, имеющие симметрию относительно горизонтальной оси
Буквы, имеющие симметрию относительно вертикальной оси
Буквы, имеющие центральную и любую осевую симметрии
Буквы, имеющие центральную и обе осевые симметрии
Буквы, вообще не имеющие симметрий
2. Построить М1Е1В1, симметричный МЕВ относительно прямой s.
3. ПостроитьX1Y1Z1 , симметричный XYZ относительно точки O.
Вывод: Имеют ли практическое значение в окружающем нас мире осевая и центральная симметрии? В каких областях нашей жизни мы с ними встречаемся?
________
________
________
________
________
________
________
________
________
s
М
В
Е
Y Z
X
О.

Скачать работу comments powered by HyperComments

Симметрия в окружающем мире

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №10

Исследовательская работа

Симметрия в окружающем мире

Выполнил:

Ученик 8а класса

Антипин Андрей

Руководитель :

Игошева А.А.

Ревда 2021

Содержание

Введение 3

1.Симметрия и виды симметрии 5

1.1 Симметрия 5

1.2 Виды симметрии 7

1.2.1. Осевая симметрия 7

1.2.2 Центральная симметрия 8

1.2.1 Трансляционная симметрия 10

1.2.2 Зеркальная симметрия 13

2 Симметрия в жизни 15

2.1 Симметрия в живой природе 15

2.1.1 Симметрия в растениях 16

2.1.2 Симметрия в мире насекомых, рыб, птиц, животных и человека 18

2.2 Симметрия в неживой природе 22

2.3 Симметрия в архитектуре 23

2. 4. Симметрия в технике 25

2.5. Симметрия в быту 26

2.6. Симметрия в шахматах 27

Заключение 34

Список использованных источников 35

Введение

Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Симметрия встречается часто и повсеместно — в природе, технике, искусстве, науке. Например, если сверху посмотреть на любое насекомое и мысленно провести посередине прямую (плоскость), то левые и правые половинки насекомых будут одинаковыми и по расположению, и по размерам, и по окраске. Ведь мы ни разу не видели, чтобы у жука или стрекозы, у любого другого насекомого лапы слева были бы ближе к голове, чем справа, а правое крыло бабочки или божьей коровки было бы больше, чем левое. Такого в природе не бывает, иначе бы насекомые не смогли бы летать. Свойство симметричности, присущее живой природе, человек использовал в своих достижениях: изобрел самолет, создал уникальные здания архитектуры. Да и сам человек является фигурой симметричной. Также симметрия прочно вошла в математику в результате наблюдения человека за окружающим миром. Оно встречается уже у истоков человеческого знания, его широко используют все без исключения направления современной науки. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии.

Актуальность темы.

Тема моей работы «Симметрия в окружающем мире » актуальна и интересна. В наше время, наверное, трудно найти человека, который не имел бы какого-либо представления о симметрии. Мир, в котором мы живем, наполнен симметрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека.

Объект исследования – симметрия.

Предмет исследования – симметрия в окружающем мире, симметрия в шахматах.

Цель работы: изучить, как проявляется симметрия в окружающем мире и в шахматах.

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить следующие задачи:
Дать общее понятие о симметрии, о видах симметрии, симметрии в окружающем мире, симметрии в шахматах.

1. Выбрать из информационных источников и проанализировать симметричность.

2. Представить результаты наблюдения в презентации.

Гипотеза исследования: симметрия это — гармония и красота, равновесие, устойчивость.

Методы исследования:

1. Анализ информации о симметрии в окружающем мире и симметрии в шахматах.

2. Компьютерное моделирование (обработка фотографий). Обобщение и систематизация полученных данных.

Этапы работы:

1. Подготовительный. Изучение литературы, составление плана.

2. Основной. Сбор и обработка информации.

3. Заключительный. Систематизация полученной информации, составление презентации.

1 Симметрия. Виды симметрии

1.1 Симметрия

По преданию, термин «симметрия» придумал скульптор Пифагор Регийский, живший в г.Регул. Отклонение от симметрии он определил термином «асимметрия».

Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что она прекрасна. Считая сферу наиболее симметричной и совершенной формой, они делали вывод о сферичности Земли.

Представители первой научной школы в истории человечества, последователи Пифагора Самосского, пытались связать симметрию с числом.

Познавательную силу симметрии оценили философы Древней Греции, используя ее в своих натурфилософских теориях. Так, например, Анаксимандр из Милета, живший в первой половине VI в. до н. э., использовал симметрию в своей космологической теории, где в центре мира поместил Землю — главное, по его мнению, тело мира. Она должна была иметь совершенную, симметричную форму, форму цилиндра. Земля расположена точно в центре, и здесь симметрия имеет смысл равновесия.

Правилом симметрии пользовались еще скульпторы Древней Греции. Примером может служить композиция западного фронтона храма Зевса и Олимпии. В основу ее положена борьба лапифов (греков) с кентаврами в присутствии бога Аполлона.

Весы известны человеку с III в. до н. э. В состоянии равновесия массы грузов на разных концах коромысла одинаковы — положение коромысла симметрично относительно центра тяжести. Симметрия — это не только равновесие, но и покой: стоит добавить на одну из чашек весов дополнительный груз, как они придут в движение. Нарушено равновесие, исчезла симметрия — появилось движение.

В науку симметрия вошла в 30-х гг. XIX в. в связи с открытием Гесселем 32 кристаллографических классов и появлением теории групп как области чистой математики. Кристаллы наделены наибольшей величиной симметрии из всех реальных объектов. Симметричной в кристаллографии считается фигура, которая делится без остатка на равные и одинаково расположенные части.

Законы природы являются симметричными, но при ближайшем их рассмотрении, в каждом из них можно найти хоть небольшой изъян. Оказывается, что природа не терпит точной симметрии. Природа почти, но не абсолютно симметрична. Примером этому являются догадки Пифагора, который считал, что орбиты, по которым движутся планеты, являются совершенными окружностями, на самом же деле это не так. Или если мы посмотрим на человека – внешне он симметричен, но строение органов и их расположение абсолютно ассиметрично.

У древних народов Атлантиды, как стало известно учёным по найденным рукописям термин «симметрия» означал совершенство, а по найденным фигуркам, статуэткам и другим вещам, стало ясно, что в древней Атлантиде было всё строго симметрично.

В широком смысле симметрию можно понимать как неизменность при каких-либо преобразованиях. Двусторонняя симметрия означает, что правая и левая сторона относительно какой-либо плоскости выглядят одинаково.

К слову «симметрия» мы привыкаем с детства, и кажется, что в этом ясном понятии ничего загадочного быть не может. Если стать в центре здания и слева от вас окажется то же количество этажей, колонн, окон, что и справа, значит здание симметрично. Если бы можно было перегнуть его по центральной оси, то обе половинки дома совпали бы при наложении. Такая симметрия получила название зеркальной. Этот вид симметрии весьма популярен в животном царстве, сам человек скроен по ее канонам. Законам симметрии подчиняются все формы на свете.

1.2 Виды симметрии

Симметрия делится на два типа симметрии.

Первый тип – это та симметрия, которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа геометрической симметрией.

Второй тип – эта та симметрия, которая лежит в законах природы и физических явлениях. Ее можно назвать физической симметрией.

Двусторонняя симметрия означает, что правая и левая сторона относительно какой-либо плоскости выглядят одинаково.

Выделяют следующие виды симметрии:

1.2.1 Осевая симметрия

Понятие осевой симметрии представлено следующим образом: «Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая a называется осью симметрии фигуры». Тогда говорят, что фигура обладает осевой симметрией.

Приведём примеры фигур, обладающих осевой симметрией. У неразвернутого угла одна ось симметрии — прямая, на которой расположена биссектриса угла. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии, а равносторонний треугольник— три оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии, а квадрат— четыре оси симметрии. У окружности их бесконечно много — любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии.

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

Преобразование, при котором каждая точка A фигуры (или тела) преобразуется в симметричную ей относительно некоторой оси l точу А, при этом отрезок AA´ l , называется осевой симметрией.

1.2.2 Центральная симметрия

Геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону центра симметрии, соответствует другая точка, расположенная по другую сторону центра. При этом точки находятся на отрезке прямой, проходящей через центр, делящий отрезок пополам.

Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм.

Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма – точка пересечения его диагоналей. Любая прямая также обладает центральной симметрией. Однако, в отличие от является произвольный треугольник. окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии, у прямой их бесконечно много – любая точка прямой является её центром симметрии.

Преобразования, переводящее каждую точку A фигуры или тела в точку A´, симметричную ей относительно центра O, называется преобразованием центральной симметрии или просто центральной симметрией.

Точка O называется центром симметрии и является неподвижной. Других неподвижных точек это преобразование не имеет. Если при преобразовании центральной симметрии относительно центра О фигура F преобразуется в себя, то она называется симметричной относительно центра O.при этом центр O называется центром симметрии фигуры F. Примерами фигур, обладающих центром симметрии, являются параллелограмм, окружность и т.д.

1.2.3Трансляционная симметрия

Поворот

Преобразование, при котором каждая точка A фигуры или тела поворачивается на один и тот же угол α вокруг заданного центра O, называется вращением или поворотом плоскости. Точка О называется центром вращения, а угол α – углом вращения. Точка O является неподвижной точкой этого преобразования.

Центральная симметрия есть поворот фигуры или тела на 180˚.

Параллельный перенос.

Преобразование при котором каждая точка фигуры или тела перемещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, называется параллельным переносом.

Чтобы задать преобразование параллельного переноса, достаточно задать вектор .

Скользящая симметрия

Скользящей симметрией называется такое преобразование, при котором последовательно выполняются осевая симметрия и параллельный перенос.

Все перечисленные преобразования будем называть преобразованиями симметрии. Для преобразований симметрии имеют место следующие свойства:

1. отрезок переходит в равный ему отрезок;

2. угол переходит в равный ему угол;

3. окружность переходит в равную ей окружность;

4. любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник и т.д.;

5. параллельные прямые переходят в параллельные, перпендикулярные в перпендикулярные.

Симметрия относительно плоскости

Рассмотрим произвольную плоскость α в пространстве и такое отображение пространства на себя, при котором каждая точка этой плоскости остается на месте, а точка M, не принадлежащая α переходит в такую точку M´, что плоскость α перпендикулярна отрезку MM´ и проходит через его середину. Это отображение называется симметрией пространства относительно плоскости α.

Математически верное определение

Пусть α — произвольная фиксированная плоскость. Из точки X фигуры опускаем перпендикуляр XA на плоскость α и на его продолжении за точку A откладываем отрезок AX´, равный XA. Точка X´ называется симметричной точке X относительно плоскости α, а преобразование, которое переводит точку X в симметричную ей точку X´, называется преобразованием симметрии относительно плоскости α.

Если точка X лежит в плоскости α, то считается, что точка X переходит в себя. Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости, а данная плоскость называется плоскостью симметрии этой фигуры.

1.2.4 Зеркальная симметрия

Хорошо знакома каждому человеку из повседневного наблюдения. Как показывает само название, зеркальная симметрия связывает любой предмет и его отражение в плоском зеркале.

вложены или наложены друг на друга. Так перчатку правой руки нельзя надеть на левую руку. Симметрично зеркальные фигуры при всём своём сходстве существенно отличаются друг от друга. Чтобы убедиться в этом, достаточно поднести лист бумаги к зеркалу и попытаться прочесть несколько слов, напечатанных на ней, буквы и слова просто-напросто будут перевёрнуты справа налево. По этой причине симметричные предметы нельзя называть равными, поэтому их называют зеркально равными.

Две зеркально симметричные плоские фигуры всегда можно наложить
друг на друга. Однако для этого необходимо вывести одну из них (или обе) из их общей плоскости.

Вообще зеркально равными телами (или фигурами) называются тела (или фигуры) в том случае, если при надлежащем их смещении они могут образовать две половины зеркально симметричного тела (или фигуры).

2 Симметрия в жизни

2.1 Симметрия в живой природе

Симметрия в природе – это мир вокруг нас. Наука, изучающая её, называется биосимметрией. Симметрией обладают объекты и явления живой природы. Она позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания, защитить себя от недоброжелателей и просто выжить.

В XIX в. появились первые труды, посвященные симметрии растений (французские ученые О.П. Декандоль, О. Браве), животных (немецкий ученый Э. Геккель), биогенных молекул (французские ученые А. Бешан, JL Пастер и др.). В XX в. биообъекты изучались с позиций общей теории симметрии (советские ученые Г.В. Вульф, В.А. Беклемишев, Б.К. Вайнштейн, голландский физхимик Ф.М. Егер, английские кристаллографы во главе с Дж. Берналом), и учения о правизне и левизне (советские ученые В.И. Вернадский, В.В. Алпатов, Г.Ф. Гаузе и др.; немецкий ученый В. Людвиг). К решению проблемы симметрии обращались ученые разных стран: Егер «Лекции о принципе симметрии и его приложениях к естествознанию», Николь «Симметрия и ее приложения», Д Арси Томсон «О росте и форме», Хембидж «Динамическая симметрия» и т.д.

2.1.1 Симметрия в растениях

Внимательное наблюдение обнаруживает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее все ее виды – от простейших до самых сложных .

Растительный мир , ярко выражен центральной, зеркальной и поворотной симметрией, и другими симметриями, которыми обладают листья, ветви, цветы, плоды. Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля.

Среди цветов наблюдаются поворотные симметрии разных порядков. Многие цветы обладают характерным свойством: цветок можно повернуть так, что каждый лепесток займёт положение соседнего, цветок же совместится с самим собой. Такой цветок обладает осью симметрии. Минимальный угол, на который нужно повернуть цветок вокруг оси симметрии, чтобы он совместился с самим собой, называется элементарным углом поворота оси. Этот угол для различных цветов не одинаков. Для ириса он равен 120градусов, для колокольчика – 72градуса, для нарцисса – 60градусов, . Поворотную ось можно характеризовать и с помощью другой величины, называемой порядком оси и показывающей, сколько раз произойдет совмещение при повороте на 360градусов . Те же цветы ириса, колокольчика и нарцисса обладают осями третьего, пятого и шестого порядков соответственно. Особенно часто среди цветов встречается симметрия пятого порядка. Это такие полевые цветы как колокольчик, незабудка, зверобой, лапчатка гусиная и др.; цветы плодовых деревьев – вишня, яблоня, груша, мандарин и др., цветы плодово-ягодных растений – земляника, ежевика, малина, шиповник; садовые цветы – настурция, флокс и др.

2.1.2 Симметрия в мире насекомых, рыб, птиц, животных и человека

Симметрия встречается и в животном мире. Внимательное наблюдение обнаруживает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все её виды – от простейших до самых сложных. Симметрия в строение животных – почти общее явление, хотя почти всегда встречаются исключения из общего правила.

Рассмотрим, как связаны животный мир и симметрия.

Как мы знаем, на плоскости существует два вида симметрии: осевая и центральная. Исследование заключается в поиске примеров этих двух видов симметрии в животном мире. Начнём с осевой симметрии.

Все без исключения удивляются, разглядывая бабочек. Какие лаборатории есть у природы, что она творит такие чудеса?! Если бабочка сложит свои крылья, то они совпадут, так как крылышки у неё одинаковые. Но одинаковость эта не проста! Если на тельце бабочки провести вертикальную среднюю линию и поставить вдоль этой прямой линии зеркало, то одна половинка бабочки спрячется за зеркало. Зато другая — отразится в нём и перед нами опять появится такая же бабочка. Поэтому говорят, что это насекомое зеркально симметрично.

Если мы нарисуем бабочку на листе бумаги, то особую роль для этой плоской фигуры будет играть вертикальная прямая, проходящая посередине её туловища.

По обе стороны от этой прямой на одинаковом расстоянии от неё находятся одинаковые элементы рисунка. В этом случае говорят, что данная плоская фигура симметрична относительно прямой, а прямую, которая разделяет фигуру на правую и левую половины, называют осью симметрии. В раскраске бабочки можно обнаружить небольшие отклонения. Поэтому говорят, что симметрия бабочки не является математически точной. Зеркальная симметрия характерна для всех представителей животного мира

Рассмотрим очень интересный вид симметрии – билатеральная.

Чтобы поднять по эволюционной лестнице приходится самому двигаться быстрее, ловить больше добычи и просто бежать вперёд, чтобы не стать жертвой. Поэтому передняя часть тела начинает отличаться от задней, сдвигаются органы чувств и рот. Остаётся лишь симметрия левой и правой половины. Именно эта симметрия отлично подходит для движения вперёд.

Люди также являются представителями билатеральной симметрии. Левая и правая половины нашего тела становятся симметричны ещё в состоянии зародыша. За этим стоит сложный механизм, раскрытый Аланом Тьюрингом. Он предположил, что если в живой ткани есть два определённых вещества, которые влияют на производство друг друга, то они могут создавать уникальные узоры.

Рассмотрим винтовую, или спиральную симметрию. Винтовая симметрия есть симметрия относительно комбинации двух преобразований – поворота и переноса вдоль оси поворота, т.е. перемещение вдоль оси винта и вокруг оси винта. Встречаются левые и правые винты. Примерами природных винтов являются: бивень нарвала – левый винт; раковина улитки – правый винт, но иногда может быть левый винт, шанс того что это случится один на миллион; рога памирского барана – один рог закручен по левой, а другой по правой спирали. Спиральная симметрия не бывает идеальной, например, раковина моллюсков сужается и расширяется на конце.

Человек — существо симметричное

Не станем пока разбираться, существует ли на самом деле абсолютно симметричный человек. У каждого, разумеется, обнаружится родинка, прядь волос или какая-нибудь другая деталь, нарушающая внешнюю симметрию. Левый глаз никогда не бывает в точности таким, как правый, да и уголки рта находятся на разной высоте, во всяком случае, у большинства людей. И всё же это лишь мелкие несоответствия. Никто не усомнится, что внешне человек построен симметрично: левой руке всегда соответствует правая и обе руки совершенно одинаковы! НО! Здесь стоит остановиться. Если бы наши руки и в самом деле были совершенно одинаковы, мы могли бы в любой момент поменять их. Было бы возможно, скажем, путем трансплантации пересадить левую ладонь на правую руку, или, проще, левая перчатка подходила бы тогда к правой руке, но на самом деле это не так. Каждому известно, что сходство между нашими руками, ушами, глазами и другими частями тела такое же, как между предметом и его отражением в зеркале. Многие художники обращали пристальное внимание на симметрию и пропорции человеческого тела, во всяком случае, до тех пор, пока ими руководило желание в своих произведениях как можно точнее следовать природе.

Известны каноны пропорций, составленные Альбрехтом Дюрером и Леонардо да Винчи. Согласно этим канонам, человеческое тело не только симметрично, но и пропорционально. Леонардо открыл, что тело вписывается в круг и в квадрат. Дюрер занимался поисками единой меры, которая находилась бы в определенном соотношении с длиной туловища или ноги (такой мерой он считал длину руки до локтя). В современных школах живописи в качестве единой меры чаще всего принимается размер головы по вертикали. С известным допущением можно считать, что длина туловища превосходит размер головы в восемь раз. На первый взгляд это кажется странным. Но нельзя забывать, что большинство высоких людей отличаются удлинённым черепом и, наоборот, редко можно встретить низкорослого толстяка с головой удлинённой формы. Размеру головы пропорциональна не только длина туловища, но и размеры других частей тела. По этому принципу построены все люди, оттого-то мы, в общем, похожи друг на друга. Однако наши пропорции согласуются лишь приблизительно, а потому люди лишь похожи, но не одинаковы. Во всяком случае, все мы симметричны!

2.2 Симметрия в неживой природе

Воздействие на облик земной поверхности таких природных факторов, как ветер, вода, солнечный свет, весьма стихийно и часто носит беспорядочный характер. Однако песчаные дюны, галька на морском берегу, кратер потухшего вулкана имеют, как правило, геометрически правильные формы. Именно кристаллы вносят в мир неживой природы очарование симметрии. вопросов

Снежинками учёные заинтересовались сравнительно недавно и совершенно случайно. Они задались вопросом о том, почему они все разные и в то же время симметричные. В итоге выяснилось, что снежинка – это группа кристалликов, образованная более чем из двухсот ледяных частичек. Снежные кристаллы образуются из расположенных в безупречном порядке молекул воды. Каждая снежинка формируется из шестиугольной молекулы воды, поэтому все снежинки шестиугольные. По мнению специалистов, главная особенность, определяющая форму кристалла, — это крепкая связь между молекулами воды, подобная соединению звеньев в цепи. Отсюда и симметрия. Симметрия – это свойство кристаллов совмещаться друг с другом в различных положениях путём поворотов, параллельных переносов, отражений.

2.3 Симметрия в архитектуре

Человеческое творчество во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. На этот счёт хорошо высказался известный французский архитектор Ле Корбюзье, в своей книге «Архитектура XX века» он писал: «Человеку необходим порядок: без него все его действия теряют согласованность, логическую взаимность. Чем совершеннее порядок, тем спокойнее и увереннее чувствует себя человек. Он делает умозрительные построения, основываясь на порядок, который продиктован ему потребностями его психики, это творческий процесс. Творчество есть акт упорядочения». Нагляднее всего видна симметрия в архитектуре. Особенно блистательно использовали симметрию в архитектурных сооружениях древние зодчие. Использование симметрии в конструкциях зданий, симметричных элементов в отделке, а также симметрично расположенные строения создают красоту и гармонию. Наиболее распространенный вид симметрии, использующийся при проектировании сооружений, зеркальный. похожа на левую. получившей название ось симметрии.

При рассмотрении симметрии в архитектуре нас будет интересовать геометрическая симметрия – симметрия формы как соразмерность частей целого. Замечено, что при выполнении определенных преобразований над геометрическими фигурами, их части, переместившись в новое положение, вновь будут образовывать первоначальную фигуру. При осевой симметрии части, которые, взаимно заменяют друг друга, образованы некоторой прямой. Эту прямую принято называть осью симметрии. В пространстве аналогом оси симметрии является плоскость симметрии. Таким образом, в пространстве обычно рассматривается симметрия относительно плоскости симметрии

2. 4Симметрия в технике

Благодаря симметричности кристаллов симметрия проникла в мир физических законов и стала там полновластной хозяйкой. Вспомним технические объекты — самолеты, мосты, автомашины, ракеты, молотки, гайки — практически все они от мала до велика обладают той или иной симметрией. Случайно ли это? В технике красота, соразмерность механизмов часто бывает связана с их надежностью, устойчивостью в работе. Симметричная форма дирижабля, самолета, подводной лодки, автомобиля и т.д. обеспечивает хорошую обтекаемость воздухом или водой, а значит, и минимальное сопротивление движению. В технике существует своего рода постулат: наиболее целесообразные и функционально совершенные изделия являются наиболее красивыми.

2.5 Симметрия в быту

Симметрия встречается в жизни повсюду: в быту, в архитектуре, строительстве. Значит, люди не плохо относятся к ней, раз используют ее в своих целях: для красоты, удобства и изучения, то есть она им нужна и играет в их жизни не последнюю роль.

2.6 Симметрия в шахматах

Симметрия как общий принцип гармонии в молекулах, кристаллах, живой природе имеет глубокий смысл. Изучение ее проявлений и закономерностей играет важную роль в физике, химии, биологии, математике. С помощью симметрии человек веками пытался объяснить или создать порядок, красоту и совершенство. В повседневной жизни мы тоже постоянно сталкиваемся с мотивами симметрии. Господствует симметрия и в шахматных.

Действительно, разнообразные мотивы симметрии (и асимметрии!) встречаются и на шахматной доске. С одной стороны, речь идет о симметрии естественной, возникающей в самой партии, а с другой — используемой в задачах и этюдах, необычных позициях. Хорошее понимание симметричных структур может стать вашим козырем. Начинающие игроки обычно полагают, что в симметричных позициях, возникающих в разменных вариантах Славянской защиты и Французской защиты, ничья почти гарантирована. Однако подобные положения таят в себе немало яда, так как даже небольшое преимущество позволяет довести партию до победы.

Всем известен такой забавный случай. Некто явился в шахматный клуб и объявил, что нашел верный способ никогда не проигрывать черными. «Каким образом?» — спросили его. «Очень просто, — ответил гость. — Повторяя ходы противника!» Сыграть с наивным изобретателем вызвался Сэм Лойд, и уже через четыре хода на доске стоял мат. Правда, каким из двух способов — то ли 1. с4 с5 2. Фа4 Фа5 3. Фс6 Фс3 4. Ф:с8x, то ли 1. d4 d5 2. Фd3 Фd6 3. ФB Фh6 4. Ф:с8x — был заматован черный король, история умалчивает.

Партии, в которых черные повторяют ходы белых, называются обезьяньими. Копирование ходов к добру не приводит, но интересно, как быстро белые могут поставить мат той или иной фигурой, зная о такой принципиальности партнера. Про ферзя мы уже знаем. Для остальных фигур обезьяньи партии с матовым финалом впервые предложил Тракслер еще в начале XIX века. В дальнейшем были установлены абсолютные рекорды.

Ладья: 1. Кf3 Кf6 2. Кg5 Кg4 3. К:h7 К:B 4. К:f8 К:f1 5. Ке6 Ке3 (танец коней закончился) 6. Л:h8x. Конь: 1. Кс3 Кс6 2. Ке4 Ке5 3. е3 е6 4. Ке2 Ке7 5. g3 g6 6. Кf6x. Белопольный слон: 1. е4 е5 2. f4 f5 3. ef ef 4. f6 f3 5. fg fg 6. Се2 Се7 7. СBx. Чернопольный cлон: 1. d4 d5 2. Крd2 Крd7 3. Крd3 Крd6 4. Сe3 Сe6 5. c3 c6 6. Фd2 Фd7 7. Сf4x. Пешка: 1. g4 g5 2. B B 3. Кf3 Кf6 4. Ке5 Ке4 5. hg hg 6. g6 g3 7. g7x. Наконец на девятом ходу матует и сам король: 1. d3 d6 2. Крd2 Крd7 3. Крc3 Крc6 4. Крb3 Крb6 5. Крa3 Крa6 6. Сe3 Сe6 7. Сb6 Сb3 8. ab ab. 9. Крb4x.

Может сложиться ошибочное впечатление, будто при дублировании ходов черные в лучшем случае добиваются ничьей. Но, как ни странно, аккуратно повторяя ходы партнера, они имеют шанс уже на восьмом ходу… объявить мат белому королю. 1. е4 е5 2. Кре2 Кре7 3. Кре3 Кре6 4. Фf3 Фf6 5. Ке2 Ке7 6. b3 b6 7. Са3 Са6. 8. Кd4+, и у черных нет выбора: 8…еdx!

Занятно, но белый король матуется и при центрально-симметричной игре черных. 1. e4 d5 2. e5 d4 3. c3 f6 4. ef dc 5. fe cd+ 6. С:d2 С:e7 7. Кf3 Кc6 8. Кc3 Кf6 9. Кe2 Кd7 10. Кfd4 Кce5 11. Кe6 Кd3x!

Итак, при обезьяньей игре черные могут и сами получить мат, и поставить мат сопернику. В любом случае заматованной оказывается только одна сторона. А вот пат может быть взаимным. В следующей рекордной партии ходы повторяют то черные, то белые, но, главное, в симметричном эпилоге двигаться не в состоянии ни одна из сторон.

1. е4 d5 2. е5 d4 3. c3 f6 4. Фf3 Крf7 5. Ф:b7 Фd5 6. Крd1 Ф:g2 7. Крс2 Ф:f1 8. Ф:с8 Ф:g1 9. Ф:b8 Л:b8 10. Л:g1 Лb3 11. Лg6 Ла3 12. Лh6 gh 13. ba Крg7 14. Крb2 d3 15. e6 a5 16. B a4 17. B c5 18. f4 c4 19. f5, и взаимный пат.

Если черных обязать точно копировать ходы белых, то пат наступает на три с половиной хода позднее: 1. а4 а5 2. b4 b5 3. ab ab 4. Кc3 Кc6 5. bc bc 6. Лa4 Лa5 7. Лf4 Лf5 8. e4 e5 9. ef ef 10. B B 11. Фg4 Фg5 12. hg hg 13. Кf3 Кf6 14. gf gf 15. Сe2 Сe7 16. fe fe 17. f6 f3 18. d4 d5 19. ЛB Лh6 20. С:h6 С:B 21. gh gh 22. B B. Снова пат и белым и черным.

Благодаря мотивам симметрии (и асимметрии!) шахматные задачи и этюды приобрета ют дополнительное изящество. Начнем с классической миниатюры. Разберем, как действовать в симметричных позициях на примере партий, сыгранных опытными гроссмейстерами.

Р. Бианкетти, 1925

Выигрыш

После вступления 1. Сb2! все фигуры на доске выстроились по большой диагонали. Ладья черных в опасности, и в зависимости от того, куда она двинется, возникают два изящных симметричных варианта.

1…Лf8 (1…Лf7 2. ЛB+ Крg8 3. Лh8x) 2. Лc7+ Крg8 3. Лg7+ Крh8 4. Крa2! (но не 4. Крb1 из-за 4…Лf1+ 5. Крa2 Лa1+ 6. Крb3 Лa3+ 7. Крc2 Лc3+ 8. С:c3 пат), и белые выигрывают ладью. Аналогично 1…Лh6 2. Лg3+ Крh7 3. Лg7+ Крh8 4. Крb1! (4. Крa2 Лa6+ и т. д.) с тем же финалом.

Г. Адамсон, 1924

Выигрыш

Одна из белых пешек должна двинуться вперед, но какая? 1. B! Крd2 (мало что меняет 1…Крf2) 2. Крd5 Крc2 3. b4 Крb3 4. Крc5 Крc3 5. b5 Крb3 6. Крc6 Крc4 7. Кр:c7, и белый король отправляется в победный марш на королевский фланг. А симметричное вступление — ложный след. 1. b4? Крd2 2. Крd5 Крc3 3. Крc5 g5! 4. B Крb3 5. b5 Крc3 6. Крc6 Крb4 7. Кр:c7 Кр:b5 8. Крd6 Крb6 9. Крe6 Крc6 10. Крf6 Крd7 11. Кр:g5 Крe8 12. Крg6 Крf8, и черные спасаются.

Э. Цеплер, 1946

Выигрыш

А здесь какой пешке стартовать первой? Никакой! После 1. Кре5! белые сохраняют симметрию и ждут, когда черные первыми нарушат ее. Упускает победу как 1. b5? Кd4+ 2. Кр:e7 Крf4 3. b6 Кc6+, так и 1. B Кf4+ 2. Кр:e7 К:B! 3. b5 Кf4 4. Крd6 Кd3 5. b6 Кb4 и 6…Ка6. Обе попытки (симметричные!) с асимметричной игрой не удались. 1…Кf4 (1…Крf3 2. B!) 2. b5 Крf3 3. b6 Крg4 4. B!, 2…Кg6+ 3. Крe6 Крe4 4. b6 Кf4+ 5. Крf7! с победой.

О. Риихимаа, 1942

Ничья

1. de! de (после 1…dc 2. ef Крe7 3. e6 движение черных пешек в конце концов приводит к пату) 2. еf Крe7 3. Крe4 Кр:f7 4. Кр:e5 Крe7 5. Крf5! Крd7 6. Крe5 Крc7 7. Крd4 Крb8 8. Крc4 Крa7 9. Крb4 Крa6 10. Крa4 c ничьей. Но не проходит 1. dc? dc! 2. cb Крc7 3. Крc4 Кр:b7 4. Кр:c5 Крc7 5. Крb5 Крd7 6. Крc5 Крe7 7. Крd4 Крf8 8. Крe4 Крg7 9. Крf4 Крh6!, и черные берут верх благодаря маневру на дальней вертикали «h».

Т. Доусон, 1924

Выигрыш

В распоряжении белых два логичных продолжения — 1. Кd4+ (и 2. К:f3) и 1. Кf4+ (и 2. К:d3). Линия «а», которая вносит в позицию асимметрию, как будто не играет никакой роли. То есть если выигрывает шах с d4, то достигает цели и шах с f4. Однако к победе ведет лишь первый из них. 1. Кd4+ Крe3 2. К:f3 Кр:f3 3. Крf8! d2 4. e8Ф d1Ф 5. ФB+, и все кончено. Если черные не ставят ферзя, то эндшпиль «ферзь против центральной пешки» легко выигран. А вот 1. Кf4+ дает только ничью — 1… Крe3 2. К:d3 Кр:d3 3. Крd8 f2 4. e8Ф Крd2! Разница в том, что эндшпиль «ферзь против слоновой пешки» уже ничейный (ситуация, когда белый король стоит близко к этой пешке, не в счет): 5. Фb5 Крe1 6. Фb1+ Крe2 7. Фe4+ Крf1 8. Крe7 Крg1 9. Фg4+ КрB 10. Фf3+ Крg1 11. Фg3+ КрB! 12. Ф:f2 пат.

Смешно, но если линию «а» отрезать от доски, то выигрыша нет ни в одном случае, так как пешка «d» из ферзевой превращается в слоновую.

Рассмотрим ряд увлекательных задач.

Ф. Хоффман, 1902

Мат в 3 хода

Классическая миниатюра, которая лет сорок назад была пробным камнем для компьютеров. Три белые пешки на пороге своего превращения в ферзя, но ни одна из них ферзем не станет! 1. е8С! Кр:d6 2. c8Л! Крe6 3. Лc6x или 1…Кр:f6 2. g8Л! Крe6 3. Лg6x.

Теперь две задачи-квартета, в которых фигуры сосредоточились на одной вертикали.

Р. Лермэ, 1923

Мат в 2 хода

После 1. Фd5! возникают два симметричных эхо-мата: 1…Крe8 (Сg4, Сf3) 2. Фg8x; 1… Крс8 (Са4, Сb3) 2. Фа8x. Но не годится 1. Фg2 — 1…Сg4 или 1. Фа2 — 1…Са4!

Р. Гарро, 1923

Мат в 3 хода

А здесь ферзь должен покинуть вертикаль. 1. Фа1! Кре8 (с8) 2. Фg7 (а7), и мат следующим ходом. Защищать конем ферзевый фланг — 1…Кb6 бесполезно из-за 2. Фh8x. Не проходит симметричное 1. Фg1? Кf6!, и у белого ферзя слева нет поля, аналогичного h8.

Д. Брейер, 1928

Мат в 4 хода

Какова роль вертикалей «а», «b» и «с», нарушающих симметрию? Поразительно, но именно на них разворачиваются события. 1. Са7! Справа аналогичное поле отсутствует. 1…f6 2. Кb6! Временно перекрывая слона. 2…Кре3 3. Кс4+ Крf3 4. Кd2x. Эффектная «индийская тема», выраженная в симметричной форме.

Б. Линдгрен, 1981

Мат в 2 хода

1. Ка3! Грозит 2. К:b5x, и, куда бы ни отступила ладья, черным несдобровать: 2. Фc5x или 2. Фb4x. Не проходит 1. Кс7 (1. Кс3)? из-за 1…Ла5! и собственные кони мешают белым объявить мат. Но почему не 1. Кg3 c симметричной угрозой 2. К:f5x? Оказывается, черных спасает 1…СB! — вот линия «h» и пригодилась.

Проанализировав партии, шахматные задачи можно сделать вывод, что зеркальное отражение доски дает симметричную позицию. Выходит, из любой шахматной задачи можно получить другую, симметричную. Но существует ход, который не сохраняется при отражении, — рокировка.

Заключение

При сборе материала для выполнения работы я узнал много нового и научился применять приобретенные геометрические знания для описания и анализа закономерностей, существующих в окружающем мире . Еще я получил возможность ознакомиться с научно-популярной литературой по проблеме взаимосвязи симметрии в архитектуре, в шахматах и провел поиск информации, необходимой для подтверждения или опровержения фактов, и проанализировал шахматные позиции и вывод, что зеркальное отражение доски дает симметричную позицию, считается верным, что в шахматах наблюдается симметрия .Исследования, проведенные мной, показали, что симметрия обнаруживается и в жизни, и в архитектуре, и в природе, и в шахматах, является одним из принципов гармоничного построения мира. «Сфера влияния» симметрии поистине безгранична. Всюду она определяет гармонию природы, мудрость науки и красоту искусства. Цель поставленная в работе -достигнута.

Список использованных источников

1. Гильде В. Зеркальный мир. — М.: Мир, 1982г.

2. Заренков Н. А. Биосимметрика М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — 320 с.

3.Тарасов Л. В. Этот удивительный симметричный мир. –М.: Просвещение, 1982.

4. Шафрановский И. И. Симметрия в природе. Ленинград, «Недра», 1985. — 168 с.

5 Наука и жизнь, МНОГОЛИКАЯ СИММЕТРИЯ https://www.nkj.ru/archive/articles/4504

6.Heads, Michael. «Principia Botanica: Croizat’s Contribution to Botany.» Tuatara 27.1 (1984): 26-48. (англ.)

Интернет-ресурсы

7. http://www.limm.mgimo.ru/science/
8. www.numanities.edu.ru
9. www.nrc.edu.ru
10. www.toe-krsh.narod.ru
11. http://boltai.com/g/nauka/

Скачано с www.znanio.ru

Вся элементарная математика — Учебное пособие — Геометрия

Зеркальная симметрия. Плоскость симметрии. Симметричные фигуры.
Отразите равные фигуры. Центральная симметрия. Центр симметрии.
Симметрия вращения. Ось симметрии. Осевая симметрия.
Примеры видов симметрии. Симметрия плоских фигур.
Примеры симметрии плоских фигур.

Зеркальная симметрия. Геометрическая фигура называется симметричной относительно плоскости S (рис.104), если для каждой точки E этого рисунка может быть найдена точка E того же рисунка, так что отрезок EE перпендикулярен плоскости S и делится этой плоскостью на две части. (EA = AE). Плоскость S называется плоскостью симметрии . Симметричные фигуры, предметы и тела не равны друг другу в узком смысле. (например, левая перчатка не подходит для правой руки и наоборот). Называются они зеркалом , равным .

Центральная симметрия. Геометрическая фигура (или тело) называется симметричной относительно центра C (рис.105), если для каждой точки A этого рисунка можно найти точку E того же рисунка, так что отрезок AE проходит через центр C и делится в этой точке на два (AC = CE). Точка C называется центр симметрии .

Симметрия вращения. Тело (рисунок) имеет вращательную симметрию (рис.106), если при повороте на угол 360 / n (здесь n целое) вокруг некоторой прямой AB ( ось симметрии ) полностью совпадает со своим исходным положением. При n = 2 ср. обладают осевой симметрией . Треугольники (рис.105) также обладают осевой симметрией.

Примеры вышеупомянутых видов симметрии. Сфера (шар) имеет центральную, зеркальную и вращательную симметрию.Центр симметрии — это центр шара; плоскость симметрии — это плоскость любого большого круга; ось симметрии — диаметр шара. Круглый конус имеет осевая симметрия; ось симметрии — это ось конуса. Правая призма имеет зеркальную симметрию. Плоскость симметрии параллельна его основаниям и размещена равное расстояние между ними.

Симметрия плоских фигур. Зеркально-осевая симметрия. Если на плоской фигуре ABCDE (рис.107) симметричен относительно плоскости S (что возможно только в том случае, если плоскость фигуры перпендикулярна плоскости S), то прямая KL, по которой пересекаются эти плоскости, является ось симметрии 2-го порядка фигуры ABCDE. В этом случае фигура ABCDE называется зеркально-симметричной .

Центральная симметрия. Если плоская фигура (ABCDEF, рис.108) имеет ось симметрии 2-го порядка, перпендикулярную плоскости фигуры (прямая MN, рис.108), то точка O, в которой пересекаются MN и плоскость фигуры ABCDEF, является симметрией центром .

Примеры симметрии плоских фигур.
Параллелограмм имеет только центральную симметрию. Центр его симметрии — точка пересечения диагоналей. Равнобедренная трапеция имеет только осевую симметрию. Ось симметрии — перпендикуляр, проведенный через середины его оснований. Ромб имеет как центральную, так и осевую симметрию.Ось симметрии — это любая диагональ; центр симметрии — это точка их пересечения. Круг имеет Что вы можете сказать о кругах видов симметрии?

12.2: Симметрия молекул

Операция симметрии — это действие, при котором объект остается неизменным после его выполнения. Например, если мы возьмем молекулу воды и повернем ее на 180 ° вокруг оси, проходящей через центральный атом O (между двумя атомами H), она будет выглядеть так же, как и раньше.Каждая операция симметрии имеет соответствующий элемент симметрии , который является осью, плоскостью, линией или точкой, относительно которой выполняется операция симметрии. Элемент симметрии состоит из всех точек, которые остаются на одном месте при выполнении операции симметрии. При вращении линия точек, которые остаются на одном месте, составляют ось симметрии ; в отражении точки, которые остаются неизменными, составляют плоскость симметрии . Элементы симметрии, которыми может обладать молекула (и любой другой трехмерный объект), обсуждаются ниже.

Операции симметрии

Операция симметрии — это перестановка атомов таким образом, что молекула преобразуется в состояние , неотличимое от начального состояния.

\ (E \): Симметрия идентичности

Операция идентичности состоит в том, чтобы ничего не делать, и соответствующий элемент симметрии — это вся молекула. В каждой молекуле есть хотя бы этот элемент. Например, молекула \ (CHFClBr \) на рисунке 12.2.1. . Идентификационная симметрия не указывается, поскольку все молекулы обладают этой симметрией.

Рисунок 12.2.1 : Пример идентифицирующей симметрии: Молекула \ (CHFClBr \) не содержит никакой другой симметрии, кроме идентичности. Изображение создано на сайте Symmetry @ Otterbein Дином Джонстоном и др.

\ (C_n \): \ (n \) — ось вращения сгиба

Вращение на \ (360 ° / n \) оставляет молекулу без изменений. Молекула \ (H_2O \) имеет ось \ (C_2 \) (рис. 12.2.2). ). Некоторые молекулы имеют более одной оси \ (C_n \), и в этом случае ось с наибольшим значением \ (n \) называется главной осью .Обратите внимание, что по соглашению вращение составляет против часовой стрелки и вокруг оси. Повороты \ (C_n \) обозначаются векторами с метками, как показано ниже.

Рисунок 12.2.2 : Примеры \ (n \) — кратной оси вращения: (слева) Молекула воды содержит ось \ (C_2 \). (справа) Этан содержит оси \ (C_2 \) и \ (C_3 \). Изображение создано на сайте Symmetry @ Otterbein Дином Джонстоном и др.

\ (\ sigma \): плоскость симметрии

При отражении в плоскости молекула выглядит так же.В молекуле, которая также имеет ось симметрии, плоскость зеркала, которая включает ось, называется вертикальной плоскостью зеркала и обозначается \ (\ sigma_v \), а плоскость, перпендикулярная оси, называется горизонтальной плоскостью зеркала и обозначается \ (\ sigma_h \). Вертикальная зеркальная плоскость, которая делит пополам угол между двумя осями \ (C_2 \), называется двугранной зеркальной плоскостью, \ (\ sigma_d \). \ (\ sigma \) симметрия обозначена как плоскость на молекулах; так как они часто делят атомы пополам, что должно быть четко указано.

Рисунок 12.2.3 : Примеры симметрии отражения. (слева) Молекула аммиака содержит три идентичные плоскости отражения. Все они обозначены как вертикальные плоскости симметрии (\ (σ_v \)), потому что они содержат основную ось вращения. (В центре) Молекула воды содержит две разные плоскости отражения. (справа) бензол содержит в общей сложности семь плоскостей отражения, одну горизонтальную плоскость (\ (σ_h \)) и шесть вертикальных плоскостей (\ (σ_v \) и \ (σ_d \)). Изображение создано на сайте Symmetry @ Otterbein Дином Джонстоном и др.

\ (i \): симметрия центра инверсии

Инверсия через центр симметрии оставляет молекулу неизменной.Инверсия состоит в прохождении каждой точки через центр инверсии на такое же расстояние с другой стороны молекулы. Примеры молекул с центрами инверсии показаны на рисунке 12.2.4. . Центры инверсии обозначены точкой, которая может перекрываться, а может и не перекрываться с атомами. Центры инверсии в примерах ниже не перекрываются атомами.

Рисунок 12.2.4 : Примеры симметрии центра инверсии. (слева) бензол и (справа) нестандартный этан имеют центры инверсии (зеленые шары).Изображение создано на сайте Symmetry @ Otterbein Дином Джонстоном и др.

\ (S_n \): \ (n \) — ось сгиба неправильного вращения Симметрия

Неправильное вращение также называется осью отражения вращения. Операция вращательного отражения состоит из поворота на угол \ (360 ° / n \) вокруг оси с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной оси. Неправильная симметрия вращения обозначается как осью, так и планом, как показано в примерах на рисунке 12.2.5. .

Рисунок 12.2,5 : Примеры неправильной оси вращения. (слева) Этан в шахматном порядке содержит ось \ (S_6 \) неправильного вращения. (справа) Метан содержит три оси \ (S_4 \) неправильного вращения. Изображение создано на сайте Symmetry @ Otterbein Дином Джонстоном и др.

Примечание

\ (S_1 \) то же самое, что и отражение, а \ (S_2 \) то же самое, что инверсия.

Тождество \ (E \) и вращения \ (C_n \) — это операции симметрии, которые на самом деле могут быть выполнены на молекуле. По этой причине они называются операциями правильной симметрии .Отражения, инверсии и неправильные повороты можно только вообразить (на самом деле невозможно превратить молекулу в ее зеркальное отображение или инвертировать ее без некоторой довольно радикальной перестройки химических связей) и, как таковые, называются операциями неправильной симметрии . Эти пять элементов симметрии приведены в таблице 12.2.1. с соответствующими операторами.

Таблица 12.2.1 : Пять основных элементов симметрии и их операторы для трехмерного пространства
Символ Элементы	Описание	Символ Оператор	Символ
\ (E \)	идентичность	\ (\ hat {E} \)	без изменений
\ (C_n \)	\ (n \) — угол поворота оси	\ (\ hat {C} _n \)	Вращение на \ (360 ° / n \) оставляет молекулу без изменений
\ (\ sigma \)	плоскость симметрии	\ (\ hat {\ sigma} \)	При отражении в плоскости молекула остается неизменной
\ (я \)	центр симметрии.	\ (\ hat {i} \)	Инверсия через центр симметрии оставляет молекулу неизменной.
\ (С_н \)	\ (n \) — сложить неправильный поворот	\ (\ hat {S} _n \)	Операция вращательного отражения состоит из поворота на угол \ (360 ° / n \) вокруг оси с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной оси.

Определения осей

Обычно при наложении набора декартовых осей на молекулу (что нам понадобится позже в этом курсе) ось \ (z \) лежит вдоль главной оси молекулы, ось \ (x \) лежит в плоскости молекулы (или в плоскости, содержащей наибольшее количество атомов, если молекула неплоская), а ось \ (y \) составляет правую ось система.

Группы молекулярных точек

В молекуле (или любом другом объекте) могут присутствовать только определенные комбинации элементов симметрии. В результате мы можем группировать молекулы, обладающие одинаковыми элементами симметрии, и классифицировать молекулы в соответствии с их симметрией. Эти группы элементов симметрии называются точечными группами (из-за того, что есть по крайней мере одна точка в пространстве, которая остается неизменной независимо от того, какая операция симметрии из группы применяется).Существуют две системы обозначений для обозначения групп симметрии, которые называются системами Шенфлиса и Германа-Могена (или Интернэшнл). Симметрия отдельных молекул обычно описывается с использованием обозначений Schoenflies , которые используются ниже.

Таблица 12.2.2 : Группы общих точек для молекул
Неаксиальные группы	С ₁	С _с	C _i	–	–	–	–	–	–
C _n группы	С ₂	С ₃	С ₄	С ₅	С ₆	С ₇	С ₈	–	–
D _n группы	Д ₂	Д ₃	Д ₄	Д ₅	Д ₆	Д ₇	Д ₈	–	–
C _nv _группы	C _2v	C _3v	C _4v	C _5v	C _6v	C _7v	C _8v	–	–
C _nh группы	С _2ч	С _{3 часа}	С _4ч	С _5ч	С _6ч	–	–	–	–
D _nh группы	Д _2ч	D _3h	Д _4ч	D _5h	Д _6ч	D _7h	D _8h	–	–
D _nd группы	Д _2д	D _3d	Д _4д	Д _5д	Д _6д	Д _7д	Д _8д	–	–
S _n группы	S ₂	–	S ₄	–	S ₆		S ₈	S ₁₀	S ₁₂
Кубические группы	Т	T _h	т _д	O	O _h	Я	I _h	–	–
Линейные группы	С _∞v	D _∞h	–	–	–	–	–	–	–

Общие имена

Некоторые группы точек имеют общие имена с операциями симметрии, поэтому будьте осторожны, не перепутайте их.Обычно из контекста ясно, о чем идет речь.

\ (C_1 \) — содержит только тождество (поворот \ (C_1 \) — это поворот на 360 ° и совпадает с операцией тождества), например. CHDFCl.

\ (C_i \) — содержит тождество \ (E \) и центр инверсии \ (i \).

\ (C_S \) — содержит тождество \ (E \) и плоскость отражения \ (\ sigma \).

\ (C_n \) — содержит тождественную и \ (n \) — ось поворота.

\ (C_ {nv} \) — содержит тождество, \ (n \) — ось поворота и \ (n \) вертикальные зеркальные плоскости \ (\ sigma_v \).

\ (C_ {nh} \) — содержит тождество, \ (n \) — ось поворота и горизонтальную плоскость отражения \ (\ sigma_h \) (обратите внимание, что в \ (C_ {2h} \) эта комбинация элементов симметрии автоматически подразумевает центр инверсии).

\ (D_n \) — содержит тождество, \ (n \) — ось поворота и \ (n \) двукратные вращения вокруг осей, перпендикулярных главной оси.

\ (D_ {nh} \) — содержит те же элементы симметрии, что и \ (D_n \), с добавлением горизонтальной зеркальной плоскости.

\ (D_ {nd} \) — содержит те же элементы симметрии, что и \ (D_n \), с добавлением \ (n \) двугранных зеркальных плоскостей.

\ (S_n \) — содержит тождество и одну ось \ (S_n \). Обратите внимание, что молекулы принадлежат к \ (S_n \) только в том случае, если они еще не были классифицированы в терминах одной из предыдущих точечных групп (например,грамм. \ (S_2 \) совпадает с \ (C_i \), и молекула с такой симметрией уже была бы классифицирована).

Следующие группы представляют собой кубические группы, которые содержат более одной главной оси. Они разделяются на группы тетраэдров (\ (T_d \), \ (T_h \) и \ (T \)) и группы октаэдров (\ (O \) и \ (O_h \)). Группа икосаэдров также существует, но не включена ниже.

\ (T_d \) — содержит все элементы симметрии правильного тетраэдра, включая единицу, 4 \ (C_3 \) оси, 3 \ (C_2 \) оси, 6 двугранных зеркальных плоскостей и 3 \ (S_4 \) оси e.грамм. \ (CH_4 \).

\ (T \) — как для \ (T_d \), но без плоскостей отражения.
\ (T_h \) — как для \ (T \), но содержит центр инверсии.
\ (O_h \) — группа правильного октаэдра, например. \ (SF_6 \).

\ (O \) — как для \ (O_h \), но без плоскостей отражения.

Последняя группа — это группа полного вращения \ (R_3 \), которая состоит из бесконечного числа осей \ (C_n \) со всеми возможными значениями \ (n \) и описывает симметрию сферы.Атомы (но не молекулы) принадлежат \ (R_3 \), и эта группа имеет важные приложения в атомной квантовой механике. Однако мы не будем рассматривать это дальше.

Как только вы ближе познакомитесь с элементами симметрии и точечными группами, описанными выше, вы обнаружите, что довольно просто классифицировать молекулу по ее точечной группе. А пока блок-схема, показанная ниже, предлагает пошаговый подход к проблеме.

¹ Хотя систему Германа-Могена можно использовать для обозначения точечных групп, она обычно используется при обсуждении симметрии кристаллов.В кристаллах, помимо элементов симметрии, описанных выше, очень важны элементы трансляционной симметрии. Операции трансляционной симметрии не оставляют никаких точек неизменными, в результате чего симметрия кристалла описывается в терминах пространственных групп , а не точечных групп .

Симметрия и физические свойства

Выполнение операции симметрии молекулы не должно изменять какие-либо ее физические свойства. Оказывается, это имеет некоторые интересные последствия, позволяющие нам предсказать, может ли молекула быть хиральной или полярной, на основе ее точечной группы.

Чтобы молекула имела постоянный дипольный момент, она должна иметь асимметричное распределение заряда. Точечная группа молекулы не только определяет, может ли молекула иметь дипольный момент, но и в каком направлении (ах) она может указывать. Если молекула имеет ось \ (C_n \) с \ (n> 1 \), она не может иметь дипольный момент, перпендикулярный оси вращения (например, вращение \ (C_2 \) поменяет концы такой дипольный момент и поменять полярность, что недопустимо — вращения с более высокими значениями \ (n \) также изменили бы направление, в котором указывает диполь).Любой диполь должен лежать параллельно оси \ (C_n \).

Кроме того, если точечная группа молекулы содержит любую операцию симметрии, которая поменяет местами два конца молекулы, например, плоскость зеркала \ (\ sigma_h \) или вращение \ (C_2 \) перпендикулярно главной оси, тогда вдоль оси не может быть дипольного момента. Единственные группы, совместимые с дипольным моментом, — это \ (C_n \), \ (C_ {nv} \) и \ (C_s \). В молекулах, принадлежащих \ (C_n \) или \ (C_ {nv} \), диполь должен располагаться вдоль оси вращения.

Один из примеров симметрии в химии, с которым вы уже сталкивались, — это изомерные пары молекул, называемые энантиомерами. Энантиомеры представляют собой несовместимые зеркальные изображения друг друга, и одним из следствий этого симметричного отношения является то, что они вращают плоскость поляризованного света, проходящего через них, в противоположных направлениях. Такие молекулы называются хиральными, ², что означает, что они не могут быть наложены на их зеркальное отображение. Формально элементом симметрии, который не позволяет молекуле быть хиральной, является ось вращения-отражения \ (S_n \).Такая ось часто подразумевается другими элементами симметрии, присутствующими в группе.

Например, группа точек с элементами \ (C_n \) и \ (\ sigma_h \) также будет иметь \ (S_n \). Точно так же центр инверсии эквивалентен \ (S_2 \). Как показывает опыт, молекула определенно не может быть хиральной, если у нее есть центр инверсии или зеркальная плоскость любого типа (\ (\ sigma_h \), \ (\ sigma_v \) или \ (\ sigma_d \)), но если эти элементы симметрии отсутствуют, молекулу следует тщательно проверить на наличие оси \ (S_n \), прежде чем считать ее хиральной.

Хиральность

Слово «хираль» происходит от греческого слова «рука» (\ (\ chi \) \ (\ epsilon \) \ (\ rho \) \ (\ iota \), произносится как «чери» с soft ch как в слове loch). Пара рук — это также пара не наложенных друг на друга зеркальных отражений, и по этой причине вы часто будете слышать хиральность, называемую «хиральностью».

Сводка

Все молекулы могут быть описаны с точки зрения их симметрии или ее отсутствия, которые могут содержать элементы симметрии (точка, линия, плоскость).Отражение, вращение и инверсия являются операциями симметрии (движение молекул так, что после движения все атомы молекул совпадают с эквивалентным атомом молекулы в оригинале).

Авторы и авторство

Симметрия

точек: определение и примеры — стенограмма видео и урока

Точечная симметрия и отражение

Обычно существует неправильное представление о симметрии и отражении. Разница в связи.Вы как будто подключены к образу. Если вы стоите в трех футах от зеркала, вы и ваше изображение — отдельные сущности. Однако при точечной симметрии объект находится не вдали от изображения, а на изображении.

Обратите внимание, что мы не разделили X или S; все, что мы сделали, это добавили точку, чтобы показать, что эти буквы имеют точечную симметрию. В алфавите есть еще несколько прописных букв, обладающих точечной симметрией; попробуй их открыть. Просто убедитесь, что они удовлетворяют всем критериям, о которых мы говорили ранее.

Примеры точечной симметрии

Мы уже исследовали S и X. Итак, давайте рассмотрим другой пример.

Как видите, песочные часы обладают точечной симметрией.

Буква Q не имеет точечной симметрии. Хотя эта буква выглядит как круг и может казаться симметричной, это не из-за удлиненной линии или хвоста на Q, который будет только в одном углу. Обе половинки не будут одинаковыми.

Другой известный пример объекта с точечной симметрией — квадрат.Некоторые карты в обычной колоде также обладают точечной симметрией. Вы можете попробовать наблюдать в своем доме за предметами, имеющими точечную симметрию — например, потолочный вентилятор или даже необычную посуду. Многие цветы в природе также обладают точечной симметрией.

Резюме урока

Объект или фигура имеет точек симметрии , если путем вставки точки на объекте или фигуре формируются две похожие фигуры, но они обращены в разные стороны. Это как если бы вы разделяли объект пополам, чтобы обе стороны были одинаковыми, но смотрели в разном направлении.Каждая соответствующая точка на каждой фигуре находится на одинаковом расстоянии от центральной точки. В точечной симметрии должна быть центральная точка, соединяющая формы.

Всегда ли симметричные трехмерные твердые фигуры имеют плоскость симметрии?

Текст сформулирован запутанно, и действительно, как вы заметили, второй выделенный отрывок (который является ложным) противоречит первому; тем не менее, он хочет передать какое-то надежное математическое содержание.Прежде всего, следует отметить, что в тексте слово «асимметричный» используется для обозначения «хирального» (объект, который можно отличить от своего зеркального изображения, даже если он может свободно вращаться), что является свойством, не исключающим симметрию вращения ( пропеллер в 3D, или, в случае 2D, буква Z, S или свастика, являются примерами хиральных, но осесимметричных фигур).

Линейная изометрия имеет определитель либо $ + 1 $, либо $ -1 $, и, соответственно, называется сохраняющей ориентацию или изменяющей ориентацию.Его (действительная) матрица также диагонализируется по комплексным числам, со всеми ее собственными значениями на единичной окружности, из которых нереальные входят в комплексно сопряженные пары (они соответствуют компоненту вращения в изометрии). Поскольку определитель является произведением собственных значений, а произведение пары комплексно-сопряженных на единичной окружности всегда равно $ + 1 $, линейная изометрия меняет ориентацию тогда и только тогда, когда она имеет собственное значение $ -1 $. с нечетной кратностью. На плоскости это означает, что он имеет одно собственное значение $ -1 $ и одно собственное значение $ + 1 $, поэтому в нем есть отражение в прямой (через начало координат).Ограниченные плоские фигуры, которые являются ахиральными (подобными их зеркальному отображению) , должны, , иметь линию симметрии; в размерности $ 2 $ просто нет других обращающих ориентацию линейных изометрий.

В более высоких измерениях все еще есть возможность иметь одно собственное значение $ -1 $ и все другие собственные значения $ + 1 $, и такие изометрии называются отражениями, что дает прямую зеркальную симметрию. (Некоторые люди ошибочно допускают наличие более одного собственного значения $ -1 $ для отражения, говоря, например, об отражении в линии в $ 3 $ -пространстве; однако мне потребуются отражения в $ 3 $ -пространстве, чтобы зафиксировать всю плоскость, и в отражения более высоких измерений должны фиксировать всю гиперплоскость).Однако теперь есть и другие возможности, в частности, в размерности $ 3 $ можно комбинировать простое собственное значение $ -1 $ с парой комплексно сопряженных собственных значений (дающих вращательное отражение), или можно иметь тройное собственное значение $ -1 $, случай центральной симметрии.

В обоих случаях можно сделать так, чтобы изометрия генерировала конечную подгруппу ортогональной группы, которая не содержит никаких отражений, и найти твердое тело, которое имеет именно эту группу симметрий: ахиральное твердое тело, которое не имеет никакой плоскости зеркальной симметрии.\ circ $ вращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости зеркала (что, кстати, показывает, что центральная симметрия является предельным случаем вращательного отражения, когда пара сопряженных собственных значений стремится к $ -1 $). Другой способ получить эту группу симметрии — начать с куба и раскрасить его углы диаметрально противоположными парами, используя $ 4 $ разных цветов; тогда изометрия с сохранением цвета должна стабилизировать каждую из четырех диагоналей, и единственной нетривиальной изометрией, которая делает это, является центральная симметрия.Можно заменить окраску, отрезав колпачки разного размера по углам, чтобы получить чистое (выпуклое) твердое тело только с центральной симметрией и, следовательно, без плоскости отражения.

Для случая вращательного отражения можно привести пример, начав с гребного винта с $ n $ -лопастью, добавив его зеркальное изображение в плоскости, перпендикулярной оси, а затем повернув зеркальное изображение на один $ 2n $ -й оборот. (половина угла между лезвиями), чтобы нарушить зеркальную симметрию. Для более классического (и выпуклого) вида твердого тела можно было бы начать с однородной антипризмы и отрезать неправильный колпачок с каждого угла, чтобы оставить в качестве симметрии только подгруппу, порожденную вращательным отражением, которое стабилизирует антипризму. .

В качестве заключительного замечания, если допустить аффинные изометрии, которые имеют компонент сдвига и не фиксируют начало координат, то уже в размерности $ 2 $ имеются изометрии с изменением ориентации без отражения: скользящие отражения. Они не могут быть симметриями ограниченной фигуры (которая должна фиксировать, скажем, центр фигуры в некотором подходящем смысле), но они могут быть симметриями неограниченных фигур, как показано на следующем рисунке фриза:

Искусство симметрии в архитектуре

Симметрия возникает, когда есть совпадение размеров, правильных пропорций и расположения.Это дает ощущение гармонии и баланса. В математике симметрию можно объяснить как объект, инвариантный при любом геометрическом преобразовании, таком как отражение, вращение или масштабирование. Математическая симметрия также может быть объяснена как течение времени, пространственные отношения и эстетический элемент, обнаруживаемый в абстрактных объектах, теоретических моделях, языке, музыке и даже самих знаниях. Симметрию можно увидеть с трех основных точек зрения: математика; особенно геометрия, наука; природа и искусство, включая архитектуру, искусство и музыку.Симметрия — прямая противоположность асимметрии.

Лувр в Париже, Франция

Симметрия пронизывает все аспекты архитектуры. Он присутствует повсюду, от древних достопримечательностей, таких как Пантеон в Риме и Эмпайр-стейт-билдинг в Нью-Йорке, до чертежей индивидуальных планов этажей и вплоть до дизайна конкретных элементов здания, таких как мозаика из плитки. Примеры широкого использования симметрии можно увидеть в структуре и орнаменте исламских зданий, таких как Тадж-Махал и мечеть Лотфолла.Мавританские здания, такие как Альгамбра, украшены замысловатыми узорами, сотканными из поступательной и отражательной симметрии, а также вращения.

Тадж-Махал в Агра, Индия

Как и любое композиционное искусство, архитектура во многом опирается на симметрию. Симметрично расположенные архитектурные композиции выходят за рамки культур и периодов времени. Существует бесчисленное множество форм симметрии, много разных типов архитектуры и множество способов взглянуть на дизайн.Различить различные формы симметрии в двумерной композиции относительно просто. Идентификация типов симметрии в трехмерном объекте намного сложнее, поскольку мы склонны изменять наше восприятие объекта, когда мы перемещаемся вокруг него. Это говорит о том, что архитектура дает нам возможность ощутить симметрию такой, какой мы ее видим. Это стало возможным благодаря двум отличным компонентам архитектуры — твердому и пустому. Существенная часть архитектуры — это та, с которой больше всего знаком непрофессионал.Например, большинство структур классифицируются по характеру элементов. Мы можем идентифицировать греческий храм по его портику и фронтонам, а заостренные арки и аркбутаны характеризуют готический собор. Таким образом, эти детали вносят свой вклад в прочный компонент архитектуры. Точно так же эти твердые элементы составляют оболочку вокруг того, что мы испытываем, когда перемещаемся по зданию, и известны как пустота. Работа архитектора состоит в том, чтобы сформировать эту пустоту так, чтобы она стала театром всех действий внутри здания.Здесь симметрия существует в форме опыта в архитектурном пространстве.

В архитектуре существует множество типов симметрии. Мы будем рассматривать двустороннюю симметрию, вращение и отражение, цилиндрическую симметрию, киральную симметрию, симметрию подобия, спиральную или спиральную симметрию и трансляционную симметрию.

ДВУСТОРОННЯЯ СИММЕТРИЯ

Двусторонняя симметрия считается наиболее распространенной формой симметрии в архитектуре. Он встречается во всех культурах и эпохах. Благодаря двусторонней симметрии композиции зеркально отражают друг друга.Знаменитый пример двусторонней симметрии можно найти на фасаде Пантеона в Риме. Такая же симметрия присутствует и в городском масштабе, что очевидно в дизайне площади Praça do Comércio, расположенной в Лиссабоне, Португалия. В структуре есть три городских элемента, симметрия которых видна через длинную горизонтальную ось, определяющую нашу визуальную перспективу. Это главная общественная площадь, монументальные ворота и широкая торговая улица за воротами. Популярность двусторонней симметрии, вероятно, объясняется тем фактом, что она отражает наш опыт общения с природой и, что более важно, то, что мы испытываем с нашим телом.Поскольку многие культуры верят, что Бог создал человека как свой образ, архитектура также создала образ человека. Однако не вся двусторонняя симметрия имеет одинаковую ценность в архитектуре, поскольку дуализм в архитектуре традиционно избегается. Храмы Древней Греции, например, всегда строились с четным числом колонн, так что колонна на центральной оси фасада не должна была существовать. Избегание дуализма архитекторами-классиками имеет свои корни в двусмысленности, часто связанной с числом два со времен Пифагора.Последнее считалось женским числом, которое можно было разделить на две части, что делало его ненадежным числом. Напротив, число три было мужским числом, которое нельзя было разделить поровну на половинки. Современная архитектурная теория также считает дуализм «классической и элементарной ошибкой», связанной с «аморфным или двусмысленным». Несмотря на это, аргумент против дуализма имеет вес в архитектуре. Это выставлено в Орсанмикеле 14-го века во Флоренции. Памятник имеет молельню на первом этаже и зернохранилище на втором.Молельня имеет необычный двухнефный план, состоящий из двух алтарей. Это ставит перед людьми дилемму, поскольку каждый вынужден решать, перед каким алтарем стоять. Архитектор обычно принимает это решение за публику, помещая один алтарь в центре. Следовательно, дуализм в архитектуре остается борьбой как для публики, так и для архитектора.

Парфенон на Афинском Акрополе, Греция

ВРАЩЕНИЕ И ОТРАЖЕНИЕ

Вращение и отражение — еще один стиль симметрии.Известно, что он способствует движению и ритму архитектурных элементов и подчеркивает центральную точку архитектурного пространства. Базилика Санто Спирито во Флоренции, Италия, имеет восьмиугольную форму, в то время как архитектура и тротуар имеют особую форму вращения и отражения. Большинство куполов, включая ротонду полусферической формы в Пантеоне и восьмиугольный купол Флорентийского собора, также проявляют вращение и отражение.

Церковь Санто-Спирито, расположенная во Флоренции, Италия.

ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ

Цилиндрическая симметрия, находящаяся вертикально в башнях и колоннах, вызывает чувство сопротивления гравитации. В архитектуре есть редкие примеры сферической симметрии, поскольку архитекторам сложно реализовать ее в своих проектах. Это потому, что мы движемся в горизонтальной плоскости. Эту форму симметрии можно уловить в кенотафе, созданном Этьеном-Луи Буле для Исаака Ньютона в 1784 году.

Киральная симметрия может быть не так популярна, как другие типы симметрии, хотя она часто эффективно используется в архитектуре. Киральная симметрия — это когда два объекта отражают друг друга, не накладываясь друг на друга. Например, две противоположные колоннады, окружающие эллиптическую площадь перед собором Святого Петра, демонстрируют хиральную симметрию. Более тонкая форма киральной симметрии проявляется в двух наклонных башнях площади Пуэрта-де-Европа или Ворот Европы в Мадриде, спроектированных архитектором Берджи в сотрудничестве с Филипом Джонсоном.Хиральная симметрия может использоваться для визуального акцента на важном элементе композиции. В данном случае две наклонные башни площади Пуэрта-де-Европа используются, чтобы привлечь внимание к широкому бульвару, который проходит через них, создавая «ворота в Европу» согласно своему названию.

Базилика Святого Петра в Ватикане

СИММЕТРИЯ ПОДОБИЯ

На симметрию подобия влияют фракталы. Он обнаруживается, когда повторяющиеся элементы меняют масштаб без изменения формы.Пример симметрии подобия виден в укрытых оболочках Сиднейского оперного театра, спроектированных Джорном Утцоном в 1959 году. Оболочки различаются по размеру и наклону и образуют сегмент сферы, хотя форма оболочки остается неизменной. Симметрия подобия также может применяться в менее очевидных ситуациях. Американский архитектор Фрэнк Ллойд Райт позаимствовал этот метод при проектировании дома Палмера в Анн-Арборе, штат Мичиган, в начале 1950-х годов. Здесь Райт выбрал равносторонний треугольник в качестве модуля планирования, прежде чем продублировать множество уровней и размеров для организации дизайна дома.Это показывает, что симметрия подобия может создать высокую степень упорядоченности в архитектурной модели независимо от того, насколько они визуально заметны, путем придания единства композиции.

Сиднейский оперный театр в Сиднее, Австралия

СПИРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

Спиральную или спиральную симметрию можно отнести к категории уникальных форм симметрии подобия. Спирали и спирали часто передают преемственность в архитектуре. Это проявляется в винтовых лестницах, где вся форма обозначает ощущение потока в пространстве от одного уровня к другому по всему зданию.Фрэнк Ллойд Райт включил спираль в свой проект 1946 года Музея Гуггенхайма в Нью-Йорке. Внешний вид здания принимает форму гигантского спирального пандуса внутри. Помещения галереи расположены вдоль одной стороны пандуса. Посетители музея поднимутся на лифте на верхний этаж галереи, а затем по спирали спустятся на первый этаж, любуясь выставленными произведениями искусства. Этот образец архитектуры, несомненно, выразил пространственную непрерывность за счет использования винтовой рампы.

Музей Гуггенхайма в Нью-Йорке

ПЕРЕВОДНАЯ СИММЕТРИЯ

Трансляционная симметрия — второй по распространенности тип симметрии после двусторонней симметрии. Поступательные элементы, расположенные в одном направлении, размещаются либо в рядах солдатоподобных колонн, либо в арках акведука последовательно. Перемещение элементов в двух направлениях можно найти в рисунках, напоминающих обои, на фасаде навесных стен многих современных построек.Трансляционная симметрия также может включать в себя дублирование целых частей современных зданий, хотя люди жалуются, что этот стиль скучен или однообразен. Есть три превосходных качества, присущих только архитектурам трансляционной симметрии: самая длинная, самая широкая и самая высокая.

Собор Святого Стефана в Пассау, Германия

Знание типов симметрии — мощный инструмент в мире архитектуры. Когда дело доходит до проектирования здания, он предоставляет архитектору ряд выразительных возможностей.Однако есть еще один аспект симметрии, охватываемый архитектурой. Это пустота в архитектурном пространстве и аспект симметрии, который мы не видим. Под архитектурным пространством можно понимать два ключевых понятия — центр и путь. Центр связан с единым ценным пространством в более крупной архитектурной области, примером этого может быть церковный алтарь. Путь же привязан к движению зрителя в пространстве. Согласно норвежскому теоретику архитектуры, у каждой церкви есть центр и путь, хотя это соотношение может быть разным.Эти отношения влияют на то, как мы рассматриваем архитектурное пространство в любой момент времени. В терминах симметрии центр можно рассматривать как точку, а путь — как ось.

Римская архитектура характеризуется строгой осевой симметрией, которая порождает монументальные и статичные пространства. Они воплощают чувство равновесия над чувством динамичного движения. Это очевидно в симметричных отношениях римской базилики, светского типа здания, используемого в качестве суда. Структура имеет форму прямоугольника с апсидой на каждом конце главной оси и дверными проемами, расположенными на каждом конце главной оси.Архитектурные элементы расположены так, что похожие элементы всегда располагаются напротив друг друга — от апсиды к апсиде, от колонны к колонне и от дверного проема к дверному проему. Чувство баланса и равновесия в архитектуре еще более заметно через остатки тротуаров, использованных в базиликах. Они часто основаны на паттернах, типичных для трансляционной симметрии в двух направлениях, а не на типе динамической симметрии, таком как вращение. Такое же статичное расположение архитектурных элементов отражено в ротонде Пантеона.План здесь представляет собой круг, восемь плоскостей отражения, а также одну четырехкратную ось вращения. Симметрия снова обнаруживается с апсидой к апсиде, эдикулой с эдикулой, нишей с нишей и колонной с колонной установкой ротонды. Строгая осевая симметрия в этом сценарии, следовательно, укрепляет характеристики римской архитектуры как единой с чувством равновесия.

Однако легализация христианства в четвертом веке привела к тому, что христианские архитекторы перестроили римскую базилику для удовлетворения своих церковных нужд.Они удалили входы с малой оси и заменили их одной дверью на одном конце главной оси. В оставшейся апсиде также поставили жертвенник. Следовательно, симметрия римской базилики была значительно изменена, так что осталась только одна плоскость отражения и никаких плоскостей вращения. Однако это соответствовало двустороннему симметричному плану христианской базилики.

Человеческие существа обладают очень чувствительным восприятием симметрии. Мы можем обнаружить аспекты симметрии и быстро различить их в симметричных формах.Прежде всего, симметричные паттерны демонстрируют перцептивную ценность симметричной оси.

BestMaths

Есть два типа симметрии: линейная симметрия, которая включает отражение, и вращательная симметрия, которая включает вращение. Общий порядок симметрии фигуры — это сумма количества линий симметрии и порядка симметрии вращения фигуры.

Симметрия линий

У фигуры есть линия симметрии, если она отображается на себя при отражении в линии.

например

Прямоугольник имеет 2 оси симметрии. (m и n — оси симметрии.)
У правильного шестиугольника 6 осей симметрии.
Окружность имеет бесконечных осей симметрии.

На рисунке ниже нет оси симметрии.

Симметрия вращения

Фигура имеет симметрию вращения , если она отображается на себя при вращении вокруг точки в ее центре.

Порядок симметрии вращения — это количество раз, когда форма отображается на себя во время поворота на 360 ° .

например

Общий порядок симметрии

Общий порядок симметрии = количество осей симметрии + порядок вращательной симметрии.

В таблице показаны свойства симметрии некоторых распространенных форм.

Форма	Оси симметрии	Порядок вращательной симметрии	Полный порядок симметрии
Чешуйчатый треугольник	0	1	1
Равнобедренный треугольник	1	1	2
Равносторонний треугольник	3	3	6
Воздушный змей	1	1	2
Трапеция	0	1	1
Равнобедренная трапеция	1	1	2
Параллелограмм	0	2	2
Ромб	2	2	4
Прямоугольник	2	2	4
Квадрат	4	4	8
Правильный пятиугольник	5	5	10
Шестигранник правильный	6	6	12
Правильный восьмиугольник	8	8	16

Фигура имеет точек симметрии , если она отображается на себя при повороте на 180 ° (пол-оборота).

Сводка преобразований

Отражение	Вращение	Перевод	Расширение
Длина, размер угла и площадь неизменны	Длина, размер угла и площадь неизменны	Длина, размер угла и площадь неизменны	Инвариант размера угла
Косвенный	Прямой	Прямой	Прямой
Изометрия	Изометрия	Изометрия	Неизометрия
Точки на зеркальной линии неизменны	Центр вращения неизменен	Нет инвариантных точек	Центр увеличения неизменен

Balance 101: как использовать симметрию и асимметрию в дизайне

Успешные графические дизайнеры знают, что владение визуальной концепцией баланса — ключ к эффективному общению.Когда ваши дизайны достигают баланса — что может происходить как с симметричным, так и с асимметричным дизайном — они достигают большей гармонии, и ваша аудитория будет тратить меньше энергии, воспринимая информацию.

Разобраться в симметрии и асимметрии несложно, но поначалу понять это может быть непросто. Вот почему мы рассмотрим несколько примеров, чтобы убедиться, что все предельно ясно.

Что такое визуальный баланс? А что такое симметрия?

–

Симметрия и баланс взаимосвязаны.Но это не совсем одно и то же. Взгляните на их определения:

Симметрия — это визуальное качество повторяющихся частей изображения поперек оси, вдоль пути или вокруг центра.

Асимметрия , с другой стороны, относится ко всему, что не является симметричным.

Balance — это визуальный принцип, при котором дизайн выглядит одинаково взвешенным по всей композиции.

Balance измеряет визуальный вес вашей композиции, который влияет на то, насколько каждый элемент привлекает внимание вашей аудитории.

Есть четыре основных способа достижения баланса:

Весы симметричные

Симметричный баланс возникает, когда ваша композиция имеет одинаковый визуальный вес с каждой стороны оси. Представьте себе идеальные зеркальные изображения, смотрящие друг на друга вокруг центральной оси.

Этот тип баланса отличается изяществом и простотой. Это приятно смотреть, но при этом очень предсказуемо.

Весы асимметричные

Композиция с неравным весом с обеих сторон имеет асимметричный баланс.

Более интересный визуально, чем его симметричный аналог, этот визуальный прием имеет большую точку фокусировки с одной стороны и несколько менее значимых точек фокусировки с другой.

Весы радиальные

Когда визуальные элементы исходят из общей центральной точки, это называется радиальным балансом. Представьте себе лучи солнечного света, исходящие от солнца.

Весы из мозаики

Думайте о мозаичном балансе как о организованном хаосе, который может выглядеть как шум, но на самом деле создает баланс благодаря отсутствию четкой точки фокусировки.

У каждого элемента есть общие акценты, и ни один элемент не доминирует в композиции.

Различные типы симметрии и асимметрии

—

Баланс — это ключ к отличному дизайну, но симметрия — один из инструментов, которые вы можете использовать для его достижения. Вот краткий обзор четырех типов симметрии.

Отражательная симметрия

Представьте, что вы берете яблоко и разрезаете его пополам. Обе стороны являются зеркальными отражениями по центральной линии, и это зеркальная симметрия.

Этот метод, также известный как двусторонняя симметрия, используется по вертикали, горизонтали или диагонали.

Отражательная симметрия может быть идеальной симметрией, то есть обе стороны изображения идентичны. Однако во многих случаях — например, на лице — будут тонкие различия с каждой стороны.

Трансляционная симметрия

Представьте себе одну и ту же форму, повторяющуюся снова и снова.

Это трансляционная симметрия — когда визуальные элементы повторяются в одном месте в пространстве.Это повторение может происходить на любой длине и в любом направлении.

Вращательная симметрия

Представьте движущиеся колеса автомобиля и вращающиеся ветряные мельницы, и вы получите симметрию вращения.

Этот метод, также известный как радиальная симметрия, предусматривает вращение всех визуальных элементов вокруг центра под любым углом. Этот тип симметрии идеально подходит для передачи ощущения движения, динамического действия или скорости.

Зеркальная симметрия скольжения

Мы все видели шаги на песке или в снегу.Подумайте о том, как каждый шаг создает отражение противоположной ступни, но из-за движения каждый след не совпадает с другим.

Скользящая отражательная симметрия — это игра на отражательной симметрии, но она включает в себя сдвиг положения каждого зеркального изображения. Подобно вращательной симметрии, он также передает ощущение движения вперед.

Асимметрия

Если композиция не подходит к вышеперечисленным категориям, вероятно, она асимметрична.

Асимметрия как дизайнера бросает вызов и помогает вам.Сбалансированный, симметричный дизайн обычно более привлекателен, потому что наш взгляд естественным образом находит его более интересным и привлекательным.

Вам придется немного усерднее работать, чтобы достичь баланса с асимметричными визуальными элементами, но у вас также будет свобода экспериментировать с неожиданными узорами и формами, чего вы просто не можете сделать с симметрией.

Примеры баланса в графическом дизайне

—

Лучший способ узнать о балансе — это посмотреть на несколько реальных примеров симметрии и асимметрии в действии.

Логотипы

Airbnb

Логотип Airbnb — пример чистой симметрии отражения.

via Airbnb

Если провести вертикальную линию прямо посередине, обе половинки будут совершенно одинаковыми. Чтобы создать подобную отражательную симметрию, используйте простые формы и минималистичный логотип, в котором не будет много сложных частей.

Google

Словесный знак Google является примером асимметричного баланса.

через Google

Первые три буквы заметно шире, чем последние три, что создает ощущение большей визуальной значимости в первой половине словесного знака.

Веб-дизайн

Яблоко

Веб-страница Apple Mac дает нам потрясающий пример отличной симметрии отражения.

via Apple

Не только экраны MacBook имеют одинаковую длину по обе стороны от вертикальной центральной оси, но и линии типографики в заголовке и подзаголовке выше также находятся на одинаковом расстоянии по обе стороны от оси.

Атлантика

На этом веб-сайте новостного журнала есть столбцы разной длины и увеличенный визуальный вес изображений с левой стороны для общего внешнего вида, который изо всех сил пытается достичь баланса.

через Atlantic

Большего визуального баланса можно достичь, сделав столбцы одинаковой длины и равномерно распределив изображения по обе стороны от вертикальной центральной оси.

Визитки

InClean

Визитная карточка InClean с простым дизайном обеспечивает идеальную симметрию и баланс.

Идеально центрированная копия с большим количеством белого пространства придает этой минималистской композиции сбалансированность и модность.

Привет

Ультра-минималистичная визитка с напечатанным на одной стороне только словом «Hallo» — композиция с явной асимметрией и преднамеренным дисбалансом.

Некоторым может показаться, что крупный шрифт слишком подавляющий. Другие могут увидеть в этом суть дизайна. Подобная композиция находится на грани между сбалансированным и несбалансированным.

Понимание баланса для разработки лучших продуктов

—

Знание того, как правильно использовать симметрию и асимметрию, является ключом к передаче вашей истории с помощью графического дизайна. Используя принцип хорошего баланса, вы можете превратить обычный дизайн в нечто эффектное и запоминающееся.

Технологическая карта по математике на тему «Осевая и центральная симметрия» (8 класс)

Центральная и осевая симметрии Презентация подготовлена учителем математики

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ презентация, доклад, проект

Нарисовать фигуру с осевой симметрией. Симметрия и асимметрия

2. Осевая симметрия.

3. Центральная симметрия

4. Итог урока

II. Применение симметрии

Изображение правильных предметов: всего несколько шагов до законченного рисунка

Симметричное рисование доступно компьютерным пользователям

Равновесие

Опубликованные материалы на сайте СМИ «Солнечный свет». Статья Осевая и центральная симметрии, их практическая значимость. Автор: Рамазанова Светлана Викторовна.

Симметрия в окружающем мире

Выделяют следующие виды симметрии:

Вся элементарная математика — Учебное пособие — Геометрия

12.2: Симметрия молекул

Операции симметрии

\ (E \): Симметрия идентичности

\ (C_n \): \ (n \) — ось вращения сгиба

\ (\ sigma \): плоскость симметрии

\ (i \): симметрия центра инверсии

\ (S_n \): \ (n \) — ось сгиба неправильного вращения Симметрия

Примечание

Определения осей

Группы молекулярных точек

Общие имена

Симметрия и физические свойства

Хиральность

Сводка

Авторы и авторство

точек: определение и примеры — стенограмма видео и урока

Точечная симметрия и отражение

Примеры точечной симметрии

Резюме урока

Всегда ли симметричные трехмерные твердые фигуры имеют плоскость симметрии?

Искусство симметрии в архитектуре

ДВУСТОРОННЯЯ СИММЕТРИЯ

ВРАЩЕНИЕ И ОТРАЖЕНИЕ

ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ

СИММЕТРИЯ ПОДОБИЯ

СПИРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

ПЕРЕВОДНАЯ СИММЕТРИЯ

BestMaths

Симметрия линий

Симметрия вращения

Общий порядок симметрии

Сводка преобразований

Balance 101: как использовать симметрию и асимметрию в дизайне

Что такое визуальный баланс? А что такое симметрия?

Весы симметричные

Весы асимметричные

Весы радиальные

Весы из мозаики

Различные типы симметрии и асимметрии

Отражательная симметрия

Трансляционная симметрия

Вращательная симметрия

Зеркальная симметрия скольжения

Асимметрия

Примеры баланса в графическом дизайне

Логотипы

Airbnb

Google

Веб-дизайн

Яблоко

Атлантика

Визитки

InClean

Привет

Понимание баланса для разработки лучших продуктов

Нужен идеально сбалансированный дизайн?

Наши дизайнеры могут помочь вам создать что угодно.No related posts.

Добавить комментарий Отменить ответ

Рубрики

Наши дизайнеры могут помочь вам создать что угодно.
No related posts.