Ответы. Учебник. Часть 1 (с. 12)
Миллиметр
Ответы к стр. 121. Запиши, сколько палочек на каждом рисунке. Сколько в каждом из этих чисел десятков и сколько единиц?
1) 24 п. — 2 дес. 4 ед.; 2) 31 п. — 3 дес. 1 ед.; 3) 100 п. — 1 сот. = 10 дес. = 100 ед.
2. Объясни, что обозначает цифра 1 в записи каждого числа: 1, 10, 100.
1 единица,
1 десяток,
1 сотня.
3. Прочитай числа: 84, 48, 88, 44.
Восемьдесят четыре, сорок восемь, восемьдесят восемь, сорок четыре.
Сколько чисел записано? Сколько разных цифр использовано для записи этих чисел?
Четыре числа. 2 разные цифры использовано для записи всех этих чисел.
4. Используя цифры 1, 5, 9, запиши все возможные двузначные числа.
15, 51, 19, 91, 59, 95.
5. 9 мм < 1 см 1 дм = 10 см
1 см = 10 мм 1 дм > 10 мм
6. Митя нёс из магазина 2 кг моркови, а папа — капусту, масса которой была на 6 кг больше, чем масса моркови. Сколько всего килограммов моркови и капусты они несли?
1) 2 + 6 = 8 (кг) — масса капусты
2) 2 + 8 = 10 (кг)
О т в е т: 10 кг всего.
7. В бидоне было 5 л кваса. Для окрошки мама взяла 2 л кваса, и за ужином выпили 1 л. Сколько литров кваса израсходовали? Сколько литров кваса осталось?
1) 2 + 1 = 3 (л) — израсходовали
2) 5 — 3 = 2 (л) — осталось
О т в е т: 2 л осталось.
8. 1) Из числа 12 вычти сумму чисел 3 и 5.
12 — (3 + 5) = 4
2) Из числа 15 вычти разность чисел 7 и 2.
15 — (7 — 2) =10
9.
13 — 8 = 5 30 + 40 = 70 7 + 7 — 10 = 4
27 — 27 = 0
43 + 0 = 43
10. Рассмотри чертежи. Сколько на каждом из них треугольников и сколько четырёхугольников?
1) 3 треугольника; 2) 3 треугольника, 3 четырёхугольника; 3) 5 треугольников, 4 четырёхугольника.
Проверочные работы, с. 6, 7.
Ответы по математике. 2 класс. Учебник.
Ответы. Учебник. Часть 1 (с. 12)
Оцените и поделитесь с друзьями!Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия
В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:
S = ab,
которая позволяет найти площадь прямоугольникапрямоугольника с основанием a и высотой b.
Формулы для площадей четырехугольников
| Четырехугольник | Рисунок | Формула площади | Обозначения |
| Прямоугольник | S = ab | a и b – смежные стороны | |
Посмотреть вывод формулы | d – диагональ, | ||
S = 2R2 sin φ Получается из верхней формулы подстановкой d=2R | R – радиус описанной окружности, | ||
| Параллелограмм | S = a ha Посмотреть вывод формулы | a – сторона, | |
S = absin φ Посмотреть вывод формулы | a и b – смежные стороны, | ||
Посмотреть вывод формулы | d1, d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними | ||
| Квадрат | S = a2 | a – сторона квадрата | |
| S = 4r2 | r – радиус вписанной окружности | ||
Посмотреть вывод формулы | d – диагональ квадрата | ||
S = 2R2 Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R | R – радиус описанной окружности | ||
| Ромб | S = a ha Посмотреть вывод формулы | a – сторона, | |
S = a2 sin φ Посмотреть вывод формулы | a – сторона, | ||
Посмотреть вывод формулы | d1, d2 – диагонали | ||
S = 2ar Посмотреть вывод формулы | a – сторона, | ||
Посмотреть вывод формулы | r – радиус вписанной окружности, | ||
| Трапеция | Посмотреть вывод формулы | a и b – основания, | |
| S = m h | m – средняя линия, | ||
Посмотреть вывод формулы | d1, d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними | ||
Посмотреть вывод формулы | a и b – основания, | ||
| Дельтоид | S = ab sin φ | a и b – неравные стороны, | |
a и b – неравные стороны, | |||
S = (a + b) r Посмотреть вывод формулы | a и b – неравные стороны, | ||
Посмотреть вывод формулы | d1, d2 – диагонали | ||
| Произвольный выпуклый четырёхугольник | Посмотреть вывод формулы | d1, d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними | |
| Вписанный четырёхугольник | , Посмотреть вывод формулы Брахмагупты | a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, Формулу называют «Формула Брахмагупты» |
| Прямоугольник | |
S = ab где | |
где Посмотреть вывод формулы | |
S = 2R2 sin φ где Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R | |
| Параллелограмм | |
S = a ha где Посмотреть вывод формулы | |
S = absin φ где Посмотреть вывод формулы | |
где φ – любой из четырёх углов между ними Посмотреть вывод формулы | |
| Квадрат | |
| S = a2 где | |
| S = 4r2 где | |
где Посмотреть вывод формулы | |
S = 2R2 где Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R | |
| Ромб | |
S = a ha где Посмотреть вывод формулы | |
S = a2 sin φ где Посмотреть вывод формулы | |
где Посмотреть вывод формулы | |
S = 2ar где Посмотреть вывод формулы | |
где Посмотреть вывод формулы | |
| Трапеция | |
где Посмотреть вывод формулы | |
S = m h где | |
где φ – любой из четырёх углов между ними Посмотреть вывод формулы | |
где Посмотреть вывод формулы | |
| Дельтоид | |
S = ab sin φ где | |
где | |
S = (a + b) r где Посмотреть вывод формулы | |
где Посмотреть вывод формулы | |
| Произвольный выпуклый четырёхугольник | |
где φ – любой из четырёх углов между ними Посмотреть вывод формулы | |
| Вписанный четырёхугольник | |
, где Формулу называют «Формула Брахмагупты» Посмотреть вывод формулы Брахмагупты | |
| Прямоугольник |
S = ab где |
где Посмотреть вывод формулы |
S = 2R2 sin φ где Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R |
| Параллелограмм |
S = a ha где Посмотреть вывод формулы |
S = absin φ где Посмотреть вывод формулы |
где φ – любой из четырёх углов между ними Посмотреть вывод формулы |
| Квадрат |
S = a2 где |
S = 4r2 где |
где Посмотреть вывод формулы |
S = 2R2 где Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R |
| Ромб |
S = a ha где Посмотреть вывод формулы |
S = a2 sin φ где Посмотреть вывод формулы |
где Посмотреть вывод формулы |
S = 2ar где Посмотреть вывод формулы |
где Посмотреть вывод формулы |
| Трапеция |
где Посмотреть вывод формулы |
S = m h где |
где φ – любой из четырёх углов между ними Посмотреть вывод формулы |
где Посмотреть вывод формулы |
| Дельтоид |
S = ab sin φ где |
где |
S = (a + b) r где Посмотреть вывод формулы |
где Посмотреть вывод формулы |
| Произвольный выпуклый четырёхугольник |
где φ – любой из четырёх углов между ними Посмотреть вывод формулы |
| Вписанный четырёхугольник |
где Формулу называют «Формула Брахмагупты» Посмотреть вывод формулы Брахмагупты |
Вывод формул для площадей четырехугольников
Утверждение 1. Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле
где d1 и d2 – диагонали четырёхугольника, а φ – любой из четырёх углов между ними (рис. 1).
Рис. 1
Доказательство. В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:
что и требовалось доказать.
Утверждение 2. Площадь параллелограммапараллелограмма можно найти по формуле
S = a ha ,
где a – сторона параллелограмма, а ha – высотавысотавысота, опущенная на эту сторону (рис. 2).
Рис. 2
Доказательство. Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому
SABCD = SAEFD = a ha ,
что и требовалось доказать.
Утверждение 3.Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле
S = ab sin φ,
где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).
Рис. 3
Доказательство. Поскольку
ha = b sin φ,
то, в силу утверждения 2, справедлива формула
S = a ha = ab sin φ,
что и требовалось доказать.
Утверждение 4. Площадь ромбаромба можно найти по формуле
,
где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).
Рис. 4
Доказательство. Поскольку каждая из диагоналей ромба является биссектрисой угла, а каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла, то точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от всех сторон ромба и является центром вписанной в ромб окружности. Отсюда следует, в частности, что высота ромба в 2 раза больше радиуса вписанной окружности (рис.4). Поэтому
что и требовалось доказать.
Утверждение 5. Площадь трапеции можно найти по формуле
,
где a и b – основания трапеции, а h – высотавысотавысота (рис.5).
Рис. 5
Доказательство. Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD. Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF. Поэтому
что и требовалось доказать.
Утверждение 6. Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле
,где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции,
(рис.6).
Рис. 6
Доказательство. Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):
Следовательно,
где
,что и требовалось доказать.
Утверждение 7. Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:
S = (a + b) r,
где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).
Рис. 7
Доказательство. Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали BD. Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.
Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то
что и требовалось доказать.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Многоугольники. Выпуклый многоугольник. Четырехугольник 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Многоугольники. Выпуклый многоугольник. Четырехугольник.
Треугольник – это частный случай многоугольника.
В самом названии уже подчеркивается, что это фигура, у которой три угла. Следовательно, в многоугольнике их может быть много, т.е. больше, чем три. Например, изобразим пятиугольник – фигуру с пятью углами.
Многоугольник – фигура, состоящая из нескольких точек (больше двух) и соответствующего количества отрезков, которые их последовательно соединяют. Эти точки называются вершинами многоугольника, а отрезки – сторонами. При этом никакие две смежные стороны не лежат на одной прямой и никакие две несмежные стороны не пересекаются.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Внутреннюю область также относят к многоугольнику.
Иными словами, например, когда говорят о пятиугольнике А1А2А3А4А5, имеют в виду и всю его внутреннюю область, и границу. А ко внутренней области относятся и все точки, которые лежат внутри многоугольника.
Многоугольники еще иногда называют n-угольниками, чтобы подчеркнуть, что рассматривается общий случай наличия какого-то неизвестного количества углов (n штук).
Периметр многоугольника – сумма длин сторон многоугольника.
Отрезок, соединяющий любые две противоположные вершины, называется диагональю многоугольника.
Многоугольники делятся на выпуклые и невыпуклые. Например, многоугольник, изображенный на рисунке выше, является выпуклым, а на рисунке ниже – невыпуклым.
Многоугольник называется выпуклым, если при проведении прямой через любую из его сторон весь многоугольник лежит только по одну сторону от этой прямой. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.
Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны.
Существенное отличие четырехугольника от треугольника в том, что он может быть выпуклым или невыпуклым.
Очень важное различие, о котором знает каждый плотник, состоит в том, что треугольник – «жесткая» фигура, а четырехугольник (как и все остальные многоугольники) – «нежесткая».
У треугольника невозможно изменить его форму, не изменив длин сторон. При этом у любого четырехугольника можно изменить его форму, не меняя длины сторон. На практике это будет означать, что треугольник, сколоченный из трех дощечек, будет жестким, не будет сминаться даже при сильных воздействиях, а четырехугольник при достаточной нагрузке со стороны изменит свою форму.
Для описания свойств многоугольников существуют две важнейшие теоремы об их углах: теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольникаитеорема о сумме внешних углов выпуклого многоугольника.
Теорема. О сумме внутренних углов выпуклого многоугольника (n-угольника).
Сумма углов n-угольника равна 180°·(n-2).
Математическая запись: ∠A1+∠A2+…+∠An=180°(n-2), где n – количество его углов (сторон).
Вспомним, что любой четырехугольник состоит из двух треугольников (достаточно провести диагональ). Но сумма углов каждого из них одинакова и равна 1800, значит, сумма углов четырехугольника 360
Теорема. О сумме внешних углов выпуклого многоугольника (n-угольника).
∠1’+∠2’+…+∠n’=360°, где n – количество его углов (сторон), а ∠1′,…,∠n’ – внешние углы, по одному от каждой вершины.
Выпуклый четырехугольник
Определения
Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.
Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины.
Различают выпуклые и невыпуклые четырехугольники.
Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону.
В школьном курсе рассматриваются только выпуклые четырехугольники. Поэтому далее “выпуклый четырехугольник” будем сокращенно называть “четырехугольник”.
Теорема
Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\).\circ=(\angle DAC+\angle D+\angle ACD) + (\angle CAB+\angle B+\angle ACB)=\\ =\angle D+\angle B +(\angle DAC+\angle CAB)+(\angle ACD+\angle ACB)=\angle D+\angle B+\angle A+\angle C \end{multline*}\]
Теорема Вариньона
Выпуклый четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом.
Доказательство*
С доказательством данной теоремы рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Средняя линия треугольника”.
Проведем диагонали четырехугольника \(ABCD\). Рассмотрим \(\triangle ABC\): \(MN\) – средняя линия этого треугольника, следовательно, \(MN\parallel AC\).
Рассмотрим \(\triangle ADC\): \(PK\) – средняя линия этого треугольника, следовательно, \(PK\parallel AC\).
Таким образом, \(MN\parallel AC\parallel PK\).
Аналогичным образом доказывается, что \(MP\parallel BD\parallel NK\).2\)
Замечание
Все известные четырехугольники, изучаемые в школьной программе, подчиняются следующей схеме:
Таким образом, любой четырехугольник из этой схемы обладает свойствами всех предыдущих четырехугольников, из которых он следует.
Например, прямоугольник обладает свойствами параллелограмма и произвольного выпуклого четырехугольника; квадрат обладает свойствами прямоугольника, параллелограмма, выпуклого четырехугольника.
Сколько треугольников на чертеже?
(Три.)
II. Сообщение темы урока.
Учитель читает стихи и демонстрирует рисунки:
Три угла, три стороны,
Я – треугольник, посмотри.
Познакомьтесь, я – квадрат.
Подружиться с вами рад.
Я веселый, добрый круг,
Вам теперь надежный друг.
Наши глазки – это точки,
Наши носики – крючочки,
Ручки – линии прямые,
Ротик – линии кривые.
– Тема нашего урока «Находим фигуры».
III. Изучение нового материала. Работа по учебнику.
Задание 1 (с. 24).
– Рассмотрите рисунок в учебнике. Как называется большая фигура? (Четырехугольник.) На сколько частей он разделен?
– Найдите в нем 3 треугольника.
Учащиеся анализируют рубрику «Проверь себя».
Задание 2 (с. 24).
– Как называется красная фигура? (Это четырехугольник, прямоугольник.)
– На сколько частей он разделен?
– Сколько треугольников в этом прямоугольнике? (Четыре треугольника.)
Учитель открывает на доске таблицу «Проверь себя».
– Как называется зеленая фигура? (Это четырехугольник.)
– На сколько частей разделен этот четырехугольник?
– Сколько треугольников в нем? (4.)
Учитель открывает на доске таблицу «Проверь себя».
– Как называется синяя фигура? (Многоугольник, пятиугольник.) На сколько частей он разделен?
– Сколько в этой фигуре треугольников? (Три.)
Учитель открывает на доске таблицу «Проверь себя».
Задание 3 (с. 24).
– Рассмотрите четырехугольник. Сколько в нем треугольников? (Пять треугольников.)
Учащиеся выполняют упражнения за учителем.
Самолёт летит по небу, треугольное крыло,
На моём велосипеде треугольное седло,
Есть такой предмет – угольник,
И всё это – ТРЕУГОЛЬНИК.
Тут мама три спички на стол положила
И мне треугольник из спичек сложила.
А в это время я чертил и наблюдал за мамою,
Я три прямых соединил и сделал то же самое.
Задание 4 (с. 25).
Учитель читает стихотворение А. Барто, учащиеся слушают и выкладывают фишки.
Я, Сережа, Коля, Ванда –
Волейбольная команда.
Женя с Игорем пока –
Запасных два игрока.
А когда подучатся,
Сколько нас получится?
– (4 и 2 – это 6.)
Задание 5 (с. 25).
– Какие птицы изображены на рисунке?
– Отгадайте загадки:
Вдоль по речке, по водице
Плывет лодок вереница.
Впереди корабль идет,
За собою всех ведет.
Весел нет у малых лодок,
А кораблик больно ходок,
Вправо, влево, взад, вперед
Всю ватагу поведет. (Утка с утятами.)
– Сколько на рисунке уток с утятами? (Одна утка и шесть утят.) Подберите карточку с фишками к этому рисунку.
Квохчет, квохчет, детей созывает,
Всех под крыло собирает. (Курица с цыплятами.)
– Сколько кур с цыплятами? (Одна курица и четыре цыпленка.) Подберите карточку с фишками к этому рисунку.
– Сколько утят и цыплят на последнем рисунке? (Семь цыплят и 2 утенка.) Подберите карточку с фишками к этому рисунку.
– Сколько всего детенышей? (7 и 2 – это 9.)
6. Задание 6 (с. 25) с использованием цветных фишек.
– Слушайте предложения и выкладывайте фишки:
– девочка;
– мальчик.
а) Поют две девочки и шесть мальчиков.
– Сколько всего детей? (2 и 6 – это 8.)
б) Прыгают семеро детей. Среди них три мальчика и четыре девочки.
в) Танцуют четыре девочки и столько же мальчиков.
– Сколько всего детей танцуют? (4 и 4 – это 8.)
ГДЗ по математике 2 класс учебник Моро, Волкова 1 часть
Номер 1.
Запиши, сколько палочек на каждом рисунке. Сколько в каждом из этих чисел десятков и сколько единиц?
Ответ: 1) 24 = 2 дес. 4 ед. 2) 31 = 3 дес. 1 ед. 3) 100 = 10 дес. 0 ед.
Номер 2.
Объясни, что означает цифра 1 в записи каждого числа: 1, 10, 100.
Ответ: 1 – одна единица; 10 – один десяток; 100 – одна сотня.
Номер 3.
Прочитай числа: 84, 48, 88, 44.
Сколько чисел записано? Сколько разных цифр использовано для записи этих чисел?
Ответ:
84 – восемьдесят четыре
48 – сорок восемь
88 – восемьдесят восемь
44 – сорок четыре
Всего записано 4 числа.
Для записи чисел использовано 2 цифры: 4 и 8.
Номер 4.
Используя цифры 1, 5, 9, запиши все возможные двузначные числа.
Ответ: 15, 19, 51, 55, 59, 91, 95, 99.
Номер 5.
Ответ: 9 мм < 1 см 1 дм = 10 см 1 см = 10 мм 1 дм > 10 мм
Номер 6.
Митя нес из магазина 2 кг моркови, а папа – капусту, масса которой была на 6 кг больше, чем масса моркови. Сколько всего килограммов моркови и капусты они несли?
Ответ:
1) 2 + 6 = 8 (кг) – масса капусты. 2) 2 + 8 = 10 (кг) – всего овощей. Ответ: 10 кг.
Номер 7.
В бидоне было 5 л кваса. Для окрошки мама взяла 2 л кваса, и за ужином выпили 1 л. Сколько литров кваса израсходовали? Сколько литров кваса осталось?
Ответ: Было – 5 л. кв. Израсходовали – (?) 2 л. кв. + 1 л. кв. Осталось – ? 1) 2 + 1 = 3 (л) – кваса израсходовали. 2) 5 – 3 = 2 (л) – кваса осталось. Ответ: 2 литра.
Номер 8.
(Устно.) 1) Из числа 12 вычти сумму чисел 3 и 5.
2) Из числа 15 вычти разность чисел 7 и 2.
Ответ: 1) 12 − (3 + 5) = 4 2) 15 – (7 – 2) = 10
Номер 9.
Ответ:
15 − 8 = 7 60 − 50 = 10
13 − 8 = 5 30 + 40 = 70
6 + 6 − 10 = 2 27 − 27 = 0
7 + 7 − 10 = 4 43 + 0 = 43
Номер 10.
Рассмотри чертежи. Сколько на каждом из них треугольников и сколько четырехугольников?
Ответ:
1) Треугольников – 3
Четырехугольников – 0
2) Треугольников – 3
Четырехугольников – 3
3) Треугольников – 5
Четырехугольников – 3
Задание внизу страницы
Проверочные работы с.6 Проверочные работы с.7
В начале было слово
Александр Блинков
«Квантик» №6, 2019
Юные читатели! Я уверен — ваши учителя говорили вам, что в математических высказываниях очень важна точность формулировок. Но одно дело слышать это, а совсем другое — убедиться на практике.
Рассмотрим несколько утверждений из школьного курса геометрии, которые звучат весьма правдоподобно, но верными, однако, не являются. При этом к каждому из них достаточно добавить одно слово (возможно, в нескольких местах) — и оно станет верным!
Пример 1. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны.
Почему это неверно? Потому, что один из углов может быть острым, а другой — тупым (углы А и В соответственно на рисунке 1).
Понятно, что вставив одно слово, мы получим верное утверждение, причём возможны два варианта: острые (тупые) углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны.
Аналогичная ситуация возникнет и в формулировке о равенстве углов с соответственно параллельными сторонами.
Пример 2. Общие внешние касательные к двум окружностям пересекаются на прямой, проходящей через их центры.
Действительно, если такие касательные пересекаются, то точка пересечения лежит на линии центров. Но если две указанные окружности имеют равные радиусы, то их внешние касательные параллельны (рис. 2).
Докажем это. Пусть А и В — точки касания равных окружностей с центрами О и О1 с одной из указанных прямых. Тогда радиусы окружностей ОА и О1В перпендикулярны прямой АВ, поэтому ОА || О1В. Кроме того, ОА = О1В, следовательно, ОАВО1 — параллелограмм, тогда АВ || ОО1 (доказано даже, что ОАВО1 — прямоугольник, но для наших целей это несущественно). Аналогично доказывается, что вторая касательная параллельна ОО1. Следовательно, касательные параллельны друг другу.
Верное утверждение такое: общие внешние касательные к двум неравным окружностям пересекаются на прямой, проходящей через их центры.
Пример 3. Прямая, разбивающая четырёхугольник на два треугольника, содержит диагональ этого четырёхугольника.
В отличие от двух предыдущих примеров, понять, почему и это утверждение неверно, гораздо сложнее. Дело в том, что четырёхугольник может быть невыпуклым, и тогда его может делить на два треугольника прямая, содержащая сторону! Например, прямая CD, содержащая сторону четырёхугольника ABCD, разбивает его на два треугольника: ADE и BEC (рис. 3).
Верное утверждение: прямая, разбивающая выпуклый четырёхугольник на два треугольника, содержит диагональ этого четырёхугольника.
В некоторых случаях, для того чтобы утверждение стало верным, приходится добавить не одно слово, а целое словосочетание.
Пример 4. Если точка равноудалена от прямых, содержащих стороны треугольника, то она является центром вписанной в него окружности.
Центр вписанной окружности действительно равноудалён от сторон треугольника. Но единственная ли это точка, обладающая таким свойством? Чтобы понять это, вспомним: центр вписанной окружности обладает этим свойством потому, что является точкой пересечения биссектрис всех углов треугольника. Но прямые, содержащие стороны треугольника, образуют ещё и внешние углы этого же треугольника. Тогда, например, точка Q пересечения биссектрис двух его внешних углов В и С равноудалена от их сторон, то есть равноудалена от прямых АВ, АС и ВС (рис. 4).
Подумайте: 1) Лежит ли точка Q на биссектрисе угла ВАС? 2) Сколько существует точек, равноудалённых от прямых, содержащих стороны любого треугольника?
А мы уже можем сформулировать верное утверждение, добавив словосочетание: если точка, лежащая внутри треугольника, равноудалена от прямых, содержащих стороны треугольника, то она является центром вписанной в него окружности.
Пример 5. Прямая, делящая площадь треугольника пополам, содержит его медиану.
Это было бы верным, если бы указанная прямая делила треугольник на два треугольника. Но возможна иная ситуация: прямая разбивает треугольник на треугольник и четырёхугольник. Пусть дан треугольник АВС, в котором АС = 2, отрезок DE с концами на сторонах АВ и ВС параллелен АС и DE = √2 (рис. 5). Тогда треугольник АВС подобен треугольнику DBE с коэффициентом √2, откуда площадь АВС в два раза больше площади DBE. Тем самым прямая DE делит площадь треугольника АВС пополам, но не содержит медиану этого треугольника.
Для получения верного утверждения здесь также придётся добавить словосочетание: прямая, проходящая через вершину и делящая площадь треугольника пополам, содержит его медиану.
Необходимость точных формулировок (и не только в математике!) понимали ещё древние греки. Они ввели термин «логос», который в древнегреческой философии означал одновременно «слово» (высказывание, речь) и «понятие» (суждение, смысл).
В заключение — упражнения для самостоятельного решения.
Художник Алексей Вайнер
Напомним, что верными считаются утверждения, которые верны всегда. Скажем, утверждение «Четырёхугольник, все углы которого равны, является прямоугольником» верное, так как любой четырёхугольник, все углы которого равны, действительно будет прямоугольником, поскольку все его углы будут тогда прямыми. А утверждение «Четырёхугольник, все стороны которого равны, является квадратом» неверное, поскольку оно нарушается, например, для ромба с углами 60° и 120°.
5.1 Треугольники, четырехугольники, окружности и др. | Геометрия фигур
В этой главе вы узнают о различных видах 2D-форм. Вы узнаете имена, данные разные формы. Вы также узнаете о различных свойствах, которые разные типы форм имеют по отношению к их сторонам и углам.
Треугольники, четырехугольники, окружности и др.
Решите, что есть что, и нарисуйте несколько фигур
Треугольник — замкнутая фигура с тремя прямыми сторонами и тремя углами.
Четырехугольник имеет четыре прямые стороны и четыре угла.
Окружность круглая, и край всегда находится на одинаковом расстоянии от центра.
Какие фигуры на противоположной странице круги?
Какие фигуры на противоположной странице треугольники?
Какие фигуры на противоположной странице четырехугольники?
Используйте линейку для следующих действий:
Сделать рисование одного треугольника с тремя острыми углами, а другого треугольника с одним тупой угол.
Нарисуйте четырехугольник с двумя тупыми углами.
Можете ли вы нарисовать треугольник с двумя тупыми углами?
Нарисуйте треугольник с одним прямым углом и треугольник без прямых углов.
Можете ли вы нарисовать треугольник? с двумя прямыми углами?
Можете ли вы нарисовать четырехугольник с четырьмя прямыми углами?
Эти четыре строки образуют четырехугольник ABCD.
Две красные стороны, BC и AD, называются противоположными сторонами четырехугольника ABCD.
Какие две другие стороны ABCD также являются противоположными сторонами?
Линии DA и AB на рисунке в вопрос 7 называются соседними сторонами . Они встречаются в месте, которое является одним из вершины (угловые точки) четырехугольника.
Назовите еще два смежные стороны в ABCD.
AB примыкает к DA в четырехугольнике ABCD.Какая другая сторона ABCD также примыкает к DA?
Уильям говорит:
«Каждая сторона четырехугольника имеет две смежные стороны.
У каждой стороны четырехугольника также есть две противоположные стороны ».
Прав ли Уильям? Обоснуйте свой ответ.
Уильям также говорит:
«В треугольнике каждая сторона примыкает ко всем остальным сторонам.»
Это правда? Обоснуйте свой ответ.
В каждом случае скажите, две стороны являются противоположными сторонами или смежными сторонами четырехугольника PQRS.
QP и PS
QP и SR
PQ и RQ
PS и QR
SR и QR
Различные типы треугольников
Треугольники равносторонние, равнобедренные, разносторонние и прямоугольные
Треугольник с двумя равными сторонами называется равнобедренным треугольником .
Треугольник с тремя равными сторонами называется равносторонним треугольником .
Треугольник с прямым углом называется прямоугольным треугольником .
Треугольник с тремя сторонами разной длины и без прямого угла называется разносторонним треугольником .
Измерьте каждый угол в каждом из равнобедренных треугольников , указанных выше. Делать вы заметили что-нибудь особенное? Если вы не уверены, нарисуйте больше равнобедренных треугольников. в тетради.
Измерьте углы и стороны следующие треугольники. Что особенного в этих треугольниках? Другими словами, что отличает эти треугольники от других треугольников?
Эти треугольники называются равносторонними треугольниками .
Измерьте каждый угол в каждом из следующих треугольников.Вы замечаете что-нибудь особенное в этих углах?
Определите самый длинный стороны в каждом из треугольников. Если вы не уверены, какой из них самый длинный сторона, измерьте стороны. Что вы заметили в самой длинной стороне каждого из эти треугольники?
Эти треугольники называются прямоугольными треугольниками .
Сравнение и описание треугольников
Когда две или более сторон фигуры равны по длине, мы показываем это короткими линиями на одинаковых сторонах.
Используйте следующие треугольники, чтобы ответить на следующие вопросы:
Который у треугольника только две равные стороны?
Как называется этот тип треугольника?
В каком треугольнике есть все три стороны равны?
Как называется этот тип треугольника?
Какой треугольник имеет угол? равно 90 °?
Как называется этот тип треугольника?
Запишите тип каждого из следующих треугольников в поле. предоставлено:
Нахождение неизвестных сторон в треугольниках
Назовите каждый тип треугольника ниже.
Используйте данную информацию, чтобы определить длину сторон:
AB:
до н.э .:
EF:
Можете ли вы определить длину GH и HI? Поясните свой ответ.
Площадь в углу ул. \ (\ треугольник \) JKL показывает, что это прямой угол.Назовите причину для каждого из ваших ответы ниже.
Это треугольник разносторонний, равнобедренный или равносторонний?
Назовите две стороны треугольника, которые равный.
Какова длина JK?
Назовите два равных угла в этом треугольнике.
Какой размер \ (\ hat {J} \) и \ (\ hat {L} \)?
Различные типы четырехугольников
Исследование четырехугольников
Два на следующих страницах показаны различные группы четырехугольников.
В котором группы обе пары противоположных сторон параллельны?
В каких группах всего несколько соседние стороны равны?
В каких группах все четыре углы равны?
В какие группы входят все стороны в каждом четырехугольнике равны?
В каких группах все четыре стороны равны?
В каких группах находится каждая сторона перпендикулярно прилегающим к нему сторонам?
В каких группах противоположные стороны равны?
В каких группах есть хотя бы один пара соседних сторон равны?
В каких группах есть хотя бы один пара противоположных сторон параллельна?
В какие группы входят все углы прямые углы?
Фигуры группы 1 называются параллелограммов .
Что вы наблюдаете про противоположные стороны параллелограммов?
Что вы наблюдаете относительно углов параллелограммы?
Фигуры группы 2 называются воздушных змеев .
Что вы наблюдаете о сторонах воздушных змеев?
Что еще вы заметили в воздушных змеях?
Группа 1
Группа 2
Группа 3
Группа 4
Группа 5
Группа 6
Цифры в группа 3 называется ромбов .
Что вы наблюдаете о сторонах ромбов?
Что еще вы заметили в ромбах?
Примечание: один ромб ; два или более ромбов .
Фигуры группы 4 называются прямоугольников .
Что вы наблюдаете про противоположные стороны прямоугольников?
Что вы наблюдаете относительно углов прямоугольники?
Что вы заметили на соседних сторонах прямоугольники?
Фигуры группы 5 называются трапеции .Что вы наблюдаете в противоположных сторонах трапеции?
Стрелки показывают, какие стороны параллельны друг другу.
Фигуры группы 6 называются квадратов .
Что вы наблюдаете о сторонах квадратов?
Что вы наблюдаете относительно углов квадраты?
Сравнение и описание форм
Имя каждую фигуру в каждой группе.
Группа A
Группа B
Каким образом одинаковы ли цифры в каждой группе?
Группа A:
Группа B:
Каким образом одна из фигур в каждой группе отличаются от двух других фигур в группе?
Группа A:
Группа B:
Нахождение неизвестных сторон четырехугольника
Используйте свои знания о сторонах и углах четырехугольника, чтобы ответить на следующие вопросы. Обоснуйте свои ответы.
Какой четырехугольник у ABCD?
Назовите сторону, равную AB.
Какова длина BC?
Какой четырехугольник у EFGH?
Какова длина следующих сторон?
EF:
GH:
Какой четырехугольник у JKLM?
Какова длина JK?
Рисунок PQRS — воздушный змей с PQ = 4 см и QR = 10 см.Завершите следующий рисунок:
разметка вершин кайта
с указанием на чертеже равных сторон
маркировка длины каждой стороны.
Круги
Сделайте точку в середине круга справа.Напишите букву M рядом с точкой. Если ваша точка находится в середине круга, она называется средней точкой или центром .
Проведите линии MA, MB и MC от M до красных точек A, B и C.
три красные точки находятся на окружности со средней точкой M.
Прямая линия, например AC, проведенная через круг, проходящий через его середину, называется диаметром круг.
Измерьте MA, MB и MC.
Если MA, MB и MC равны по длине, вы правильно выбрали среднюю точку. Если они не равны, вы можете улучшить свой набросок круга и его частей.
Прямая линия от середины круга до точка на окружности называется радиусом окружности.
Синяя линия MA — это радиус .Любая прямая линия от центра до круга — это радиус.
Черная линия AB соединяет две точки на окружности. Мы называем это аккордом круг.
В На следующих двух диаграммах цветные секции представляют собой сегментов круг. Сегмент — это область между хордой и дугой.
В круге справа красный участок называется сектором круга.Как видите, сектор — это область между двумя радиусами и дугой.
Подобные и совпадающие формы
На этой и следующей страницах показаны три группы четырехугольников.
Что отличает каждую группу от других, кроме цвета?
Группа А:
Группа B:
Группа C:
Группа A
Группа Б
Группа C
Фигуры одинаковой формы, такие как синие фигуры на предыдущей странице, называются похожими на друг другу.Подобные формы могут отличаться по размеру, но всегда будут иметь одинаковую форму.
Пример аналогичной формы
Пример конгруэнтных форм
Фигуры одинаковой формы и размера, такие как красные фигуры на предыдущей странице, называются конгруэнтными друг другу. Эти формы всегда имеют одинаковый размер и форму.
Красные фигуры на предыдущей странице похожи друг на друга?
Посмотрите на группы D, E, F и G на этом страница и следующая.В каждом случае скажите, похожи ли формы и конгруэнтный, подобный, но не конгруэнтный, или ни подобный, ни конгруэнтный.
Группа D:
Группа E:
Группа F:
Группа G:
Группа D
Группа E
Группа F
Группа G
3d — Почему квадроциклы используются в кинопроизводстве, а треугольники — в играх?
Как правильно сказал @Noah Witherspoon, деление на треугольники не работает так же хорошо, как деление на квадраты.Хотя вначале треугольники вообще нельзя было разделить. Однако он не объясняет, почему это так. Это полезная информация, объясняющая, почему квадроциклы предпочтительнее и как их использовать.
Во-первых, обратите внимание, что во многих схемах треугольник действительно делится на 3 квадрата. Поскольку теперь у вас есть сетка, состоящая из всех четырехугольников, ясно, что сохранение разбиения на все четырехугольники само по себе не является обязательным. Должна быть более серьезная причина, чем просто быть четырехугольником.
Изображение 1 : Вы можете разделить треугольник на 3 четырехугольника
Причина кроется в том, что стало называться краевыми петлями.Человек, выполняющий моделирование, должен предвидеть, как будет происходить подразделение, поскольку оно будет окончательной формой. К сожалению, люди действительно хороши в расшифровке формы объекта только по краям краев ваших примитивов. Формулировка формы в виде непрерывных многогранных длинных петель помогает нам предсказать форму после разделения и, что важно, после деформации костями и т. Д.
Треугольник имеет неприятный способ завершить цикл, поэтому мы не понимаем, что происходит с формой внутри и вне этой формы.Таким образом, разделенная сетка имеет тенденцию к неконтролируемому поведению, вызывая нежелательные неровности. Примечание : Треугольники можно разделить так, чтобы этого не происходило, просто с ними труднее работать, а работа с четырехугольниками к тому времени была хорошо известна.
На самом деле это не изначальная причина, просто это произошло окольным путем. Первоначальная причина того, что геометрические участки, которые они использовали в качестве параметрических примитивов, имеют квадратную форму. Поскольку продолжение линии на поверхность естественным образом принимает квадратную форму, если вы просто выдавливаете ее наружу.Наличие треугольника приводит к тому, что одно ребро вырождается и имеет особенность. Но это очень сильно связано с причиной разделения, поскольку можно показать, что поверхность подразделения — это просто общий случай сплайнового патча.
Image 2 : Исходные параметрические поверхности были продолжением кривых, а не произвольными сетками, и эти формы, естественно, имели тенденцию быть квадратными.
Мы не можем найти эту страницу
(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})
{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}} *
{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}
{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}} / 500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$ item}} {{l10n_strings.ПРОДУКТЫ}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}
{{l10n_strings.LANGUAGE}} {{$ select.selected.display}}{{article.content_lang.display}}
{{l10n_strings.AUTHOR}}{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}
{{$ select.selected.display}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}Мне нужна помощь по картированию изображения. Это треугольники? Квадроциклы? — Основы и интерфейс
Скрипт импорта 3DS недавно обновился. Возможно, раньше он не импортировал UV-карты и текстуры изображений, но теперь он это делает.Это хорошие новости (и это решает вашу загадку импорта;)):
https://blenderartists.org/forum/viewtopic.php?t=48490&highlight=3ds+import+script
Каждый многоугольник или грань в трехмерной сетке имеет аналог двумерного многоугольника на УФ-карте. Это УФ-лицо может быть назначено одному или никакому изображению и может быть расположено в любом месте относительно прямоугольного заполнителя, который изображение может заполнить.
Если вы пытаетесь упростить сетку, которая уже имеет УФ-текстуры, вы должны использовать инструмент, который сохранит УФ-отображение.Если вы удалите какое-либо лицо, вы удалите также его отображение, потому что УФ-лицо также исчезнет. Вы не можете ожидать, что Blender создаст четырехугольник на месте двух треугольников, и предположите, что он должен использовать отображение потерянных треугольников.
Это ваши основные инструменты:
- ALT + J: соединяет два треугольника до тех пор, пока они образуют выпуклый четырехугольник. Обновляет UV-карту. Однако два треугольника, имеющие общий край в сетке, не обязательно имеют общий край в UV-карте, поэтому, если эти треугольники находятся на разных UV-островках, результат может испортить UV-карту.
Этот ярлык очень часто дает плохую работу, если вы выбираете много вершин, соединяя треугольники, которые не должны соединяться. Вот почему я предпочитаю сценарий «трис», а не «четырехугольник».
CTRL + T: противоположное преобразование четырехугольников в треугольники. Возможно, вы захотите сделать это, если сможете лучше соединить соседние треугольники.
CTRL + F: перевернуть край. Выберите два треугольника и переверните общий край. Также иногда полезно расположить треугольники, чтобы их можно было соединить в квадраты.
ALT + M: объединить вершины. Избегайте использования этого, это разрушитель текстур, просто не заботится об обновлении UV-карт.
Я знаю, что на моем изображении есть одна корона столба, все остальные скрыты из виду из-за перспективы, но я не удалял их или что-то в этом роде. Поскольку импортер загружает файл 3DS как различные объекты, я перешел в локальный режим для объекта, содержащего короны (клавиша PADSLASH), поэтому все остальные объекты скрыты.
Как я уже писал, я просто загрузил объект 3DS, удалил дубли и соединил несколько треугольников.
Думаю, вам нужно немного почитать об UV-картах. Это начало:
http://www.blender3d.org/documentation/htmlI/x5138.html
% PDF-1.4 % 1 0 объект > эндобдж 8 0 объект /Заголовок /Тема / Автор /Режиссер / Ключевые слова / CreationDate (D: 20211130081450-00’00 ‘) / ModDate (D: 20160913075859 + 05’30 ‘) >> эндобдж 2 0 obj > эндобдж 3 0 obj > эндобдж 4 0 obj > эндобдж 5 0 obj > эндобдж 6 0 obj > эндобдж 7 0 объект > транслировать Акробат Дистиллятор 7.0 (Windows) LaTeX с пакетом hyperref 2016-09-13T07: 58: 59 + 05: 302016-09-13T07: 58: 59 + 05: 30application / pdf
uuid: f553b89c-466c-4d0c-ad40-04c99bef3792uuid: 6de643b8-cc8f-41eb-a70a-47df7dfe71ce конечный поток эндобдж 9 0 объект > эндобдж 10 0 obj > эндобдж 11 0 объект > эндобдж 12 0 объект > эндобдж 13 0 объект > эндобдж 14 0 объект > эндобдж 15 0 объект > эндобдж 16 0 объект > эндобдж 17 0 объект > эндобдж 18 0 объект > эндобдж 19 0 объект > эндобдж 20 0 объект > эндобдж 21 0 объект > эндобдж 22 0 объект > / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC / ImageB / ImageI] >> эндобдж 23 0 объект > транслировать x ڝ XɎ6 + DQ} r (wsI # S ~? \ DIvQFq} $ == Ov2o˜waG7 = ldt &! O? c1v5ƧRoq> Wjh # d | 1Lp # => ’12 (‘ xK, &:!; Nʚ 7 (Ga% A (.! | nf.X ~ tsp $ t0w + o * B?Свойства полигонов | SkillsYouNeed
На этой странице рассматриваются свойства двумерных или «плоских» многоугольников. Многоугольник — это любая форма, состоящая из прямых линий, которую можно нарисовать на плоской поверхности, например на листе бумаги. Такие формы включают квадраты, прямоугольники, треугольники и пятиугольники, но не круги или любую другую форму, которая включает кривую.
Понимание форм важно в математике. Вам, безусловно, потребуется изучать формы в школе, но понимание свойств форм имеет много практических применений в профессиональных и реальных ситуациях.
Многие профессионалы должны понимать свойства форм, включая инженеров, архитекторов, художников, агентов по недвижимости, фермеров и строителей.
Возможно, вам понадобится разбираться в формах, когда вы делаете ремонт дома или делаете самодельные работы, при работе в саду и даже при планировании вечеринки.
При работе с полигонами важны следующие основные свойства:
- Число сторон формы.
- Элемент расположен под углом между сторонами фигуры.
- Длина сторон формы.
Количество сторон
Многоугольники обычно определяются количеством сторон, которые у них есть.
Трехсторонние многоугольники: треугольники
Трехсторонний многоугольник — это треугольник. Существует несколько различных типов треугольников (см. Диаграмму), в том числе:
- Равносторонний — все стороны равны по длине, а все внутренние углы равны 60 °.
- Равнобедренный — имеет две равные стороны, у третьей разной длины. Два внутренних угла равны.
- Scalene — все три стороны и все три внутренних угла разные.
Треугольники также можно описать с точки зрения их внутренних углов (подробнее об именах углов см. Нашу страницу Углы ). Сумма внутренних углов треугольника всегда составляет 180 °.
Треугольник, имеющий только острых внутренних угла , называется острым (или остроугольным) треугольником.Один с одним тупым углом и двумя острыми углами называется тупым (тупоугольным), а другой с прямым углом известен как прямоугольный.
Каждый из них будет , а также либо равносторонним, равнобедренным, или разносторонним .
Четырехсторонние многоугольники — четырехугольники
Четырехсторонние многоугольники обычно называют четырехугольниками, четырехугольниками или иногда четырехугольниками. В геометрии обычно используется термин четырехугольник .
Термин четырехугольник часто используется для описания прямоугольного замкнутого открытого пространства, например «новички, собранные в четырехугольнике колледжа». Термин четырехугольник соответствует многоугольнику, пятиугольнику и т. Д. Вы можете встретить его время от времени, но на практике он обычно не используется.
Семейство четырехугольников включает квадрат, прямоугольник, ромб и другие параллелограммы, трапецию / трапецию и воздушный змей.
Сумма внутренних углов всех четырехугольников составляет 360 °.
Квадрат : четыре стороны равной длины, четыре внутренних прямых угла.
Прямоугольник : четыре внутренних прямых угла, противоположные стороны равной длины.
Параллелограмм : Противоположные стороны параллельны, противоположные стороны равны по длине, противоположные углы равны.
Ромб : особый тип параллелограмма, в котором все четыре стороны имеют одинаковую длину, как квадрат, сдавленный поперек.
Трапеция (или трапеция) : две стороны параллельны, а две другие — нет. Длина сторон и углы не равны.
Равнобедренная трапеция (или трапеция) : Две стороны параллельны, а углы основания равны, что означает, что непараллельные стороны также равны по длине.
Воздушный змей : две пары соседних сторон имеют одинаковую длину; форма имеет ось симметрии.
Неправильный четырехугольник : четырехсторонняя форма, в которой нет одинаковых сторон и внутренние углы.Все внутренние углы по-прежнему составляют 360 °, как и у всех других правильных четырехугольников.
Более четырех сторон
Пятиугольник называется пятиугольником.
Шестигранная форма — это шестиугольник, семигранная форма — семиугольник, а восьмиугольник имеет восемь сторон…
Имена многоугольников
Имена многоугольников образованы от префиксов древнегреческих чисел. Греческий числовой префикс встречается во многих названиях повседневных предметов и понятий.Иногда они могут помочь вам вспомнить, сколько сторон имеет многоугольник. Например:
- У осьминога восемь ног — у восьмиугольника восемь сторон.
- Десятилетие — это десять лет — у десятиугольника десять сторон.
- Современное пятиборье состоит из пяти видов — пятиугольник имеет пять сторон.
- Олимпийское семиборье состоит из семи этапов, семиугольник имеет семь сторон.
Префикс «поли-» просто означает «множественный», поэтому многоугольник — это фигура с множеством сторон, точно так же, как «полигамия» означает множественность супругов.
Есть имена для многих различных типов многоугольников, и обычно количество сторон более важно, чем имя формы.
Существует два основных типа многоугольников — правильный и неправильный.
Правильный многоугольник имеет стороны равной длины с равными углами между ними. Любой другой многоугольник — это неправильный многоугольник , у которого по определению есть стороны неравной длины и неравные углы между сторонами.
Окружности и формы, включающие кривые, не являются многоугольниками. — многоугольник по определению состоит из прямых линий.Смотрите наши страницы о кругах и изогнутых формах для получения дополнительной информации.
Угол между сторонами
Углы между сторонами фигур важны при определении многоугольников и работе с ними. См. Нашу страницу об углах, чтобы узнать больше о том, как измерять углы.
Существует полезная формула для определения суммы (или суммы) внутренних углов для любого многоугольника, а именно:
(количество сторон — 2) × 180 °
Пример:
Для пятиугольника (пятиугольной формы) расчет будет:
5–2 = 3
3 × 180 = 540 °.
Сумма внутренних углов любого (несложного) пятиугольника равна 540 °.
Кроме того, если форма представляет собой правильный многоугольник (все углы и длины сторон равны), вы можете просто разделить сумму внутренних углов на количество сторон, чтобы найти каждый внутренний угол.
540 ÷ 5 = 108 °.
Следовательно, правильный пятиугольник имеет пять углов, каждый равный 108 °.
Длина сторон
Помимо количества сторон и углов между сторонами, длина каждой стороны фигур также важна.
Длина сторон плоской фигуры позволяет вычислить периметр фигуры (расстояние вокруг внешней стороны фигуры) и область (количество пространства внутри фигуры).
Если ваша фигура представляет собой правильный многоугольник (например, квадрат в приведенном выше примере), то необходимо измерить только одну сторону, поскольку, по определению, другие стороны правильного многоугольника имеют одинаковую длину. Обычно используются деления, чтобы показать, что все стороны имеют одинаковую длину.
В примере с прямоугольником нам нужно было измерить две стороны — две неизмеренные стороны равны двум измеренным сторонам.
Обычно некоторые размеры не отображаются для более сложных форм. В таких случаях можно рассчитать недостающие размеры.
В приведенном выше примере отсутствуют две длины.
Недостающую длину по горизонтали можно вычислить. Возьмите более короткую известную длину по горизонтали из известной длины по горизонтали.
9 м — 5,5 м = 3,5 м.
По такому же принципу можно определить недостающую длину по вертикали. То есть:
3м — 1м = 2м.
Объединение всей информации: расчет площади многоугольников
Самым простым и основным многоугольником для вычисления площади является четырехугольник. Чтобы получить площадь, вы просто умножаете длину на высоту по вертикали.
Для параллелограммов обратите внимание, что высота по вертикали составляет НЕ длины наклонной стороны, а расстояние по вертикали между двумя горизонтальными линиями.
Это потому, что параллелограмм по сути представляет собой прямоугольник с треугольником, обрезанным с одного конца и наклеенным на другой:
Вы можете видеть, что если вы удалите левый синий треугольник и прикрепите его к другому концу, прямоугольник превратится в параллелограмм.
Площадь — это длина (верхняя горизонтальная линия), умноженная на высоту, расстояние по вертикали между двумя горизонтальными линиями.
Чтобы вычислить площадь треугольника , вы умножаете длину на высоту по вертикали (то есть высоту по вертикали от нижней линии до верхней точки) и делите ее пополам.По сути, это потому, что треугольник — это половина прямоугольника.
Чтобы вычислить площадь любого правильного многоугольника , проще всего разделить его на треугольники и использовать формулу площади треугольника.
Итак, для шестиугольника, например:
На диаграмме видно, что имеется шесть треугольников.
Площадь:
Высота (красная линия) × длина стороны (синяя линия) × 0,5 × 6 (потому что треугольников шесть).
Вы также можете определить площадь любого правильного многоугольника с помощью тригонометрии, но это намного сложнее.
Дополнительную информацию, включая примеры, см. На нашей странице Расчетная площадь .
Вы также можете определить площадь любого правильного многоугольника с помощью тригонометрии, но это намного сложнее. См. Нашу страницу Введение в тригонометрию для получения дополнительной информации.
Как найти углы в четырехугольнике
Четырехугольники — это четырехсторонние многоугольники с четырьмя вершинами, общие внутренние углы которых составляют в сумме 360 градусов.Наиболее распространенные четырехугольники — это прямоугольник, квадрат, трапеция, ромб и параллелограмм. Определение внутренних углов четырехугольника — относительно простой процесс, и его можно выполнить, если известны три угла, два угла или один угол и четыре стороны. Разделив четырехугольник на два треугольника, можно найти любой неизвестный угол, если выполняется одно из трех условий.
3 угла
Разделите четырехугольник на два треугольника. Когда вы разделите четырехугольник, вам нужно будет разделить два угла пополам.Например, если у вас был угол 60 градусов, он станет 30 градусов по обе стороны от разделительной линии.
Сложите сумму углов треугольника с отсутствующим углом. Например, если один из треугольников четырехугольника имеет углы 30 и 50 градусов, вы должны сложить их вместе, чтобы получить 80 градусов (30 + 50 = 80).
Вычтите сумму углов из 180 градусов, чтобы получить недостающий угол. Например, если треугольник в четырехугольнике имеет углы 30 и 50 градусов, у вас будет третий угол, равный 100 градусам (180 — 80 = 100).
2 угла
Разделите четырехугольник пополам, чтобы получились два треугольника. Всегда старайтесь разделить четырехугольник пополам, разделив один из углов пополам. Например, четырехугольник с двумя углами 45 градусов, расположенными рядом друг с другом, вы начнете разделительную линию с одного из углов 45 градусов. Если вы не можете разделить четырехугольник от одного из углов и получить оба угла на противоположных сторонах четырехугольника, вам нужно будет знать длину сторон четырехугольника и использовать известный процесс с 1 углом и четырьмя сторонами.
Сложите сумму углов в треугольнике с двумя углами. Например, если у вас есть треугольник внутри четырехугольника с углами 45 и 20 градусов, вы получите сумму 65 градусов (20 + 45 = 65).
Вычтите сумму углов из 180, чтобы получить третий угол треугольника. Например, если у вас есть треугольник внутри четырехугольника с углами 20 и 45 градусов, вы получите третий угол в 115 градусов (180-65 = 115).
Сложите два известных угла четырехугольника с новым углом.Например, если ваш четырехугольник имеет углы 45, 40 и 115 градусов, вы получите сумму в 200 градусов (45 + 40 + 115 = 200).
Вычтите сумму трех углов из 360, чтобы получить окончательный угол. Например, для четырехугольника с углами 40, 45 и 115 градусов вы получите четвертый угол в 160 градусов (360-200 = 160).
1 угол и 4 стороны
Разделите четырехугольник пополам, чтобы получились два треугольника. Рекомендуется разделить его пополам под известным углом, чтобы получить угол, с которым можно работать в обоих треугольниках.Например, если у вас есть четырехугольник с известным углом 40 градусов, разделив угол пополам, вы получите 20 градусов для работы с обеих сторон.
Разделите синус известного угла в обоих треугольниках на длину противоположной стороны. Например, если у вас есть два треугольника с углом 20 градусов и противоположной стороной 10 внутри четырехугольника, вы получите частное 0,03 (sin20 / 10 = 0,03).
Умножьте частное синуса известного угла, деленного на его противоположную сторону, на другую известную сторону треугольника.-1 «. Например, косеканс 0,15 будет 8,63 (csc15 = 8,63).
Сложите квадраты для двух сторон, образующих неизвестный угол, и вычтите их на квадрат противоположной стороны неизвестного угла. Например, если два треугольника в четырехугольнике имеют две стороны 5 и 10, образующие противоположный угол со стороной, равной 8,63, вы получите разность 50,52 ((10 x 10) + (5 x 5) — (8,63 — 8,63 ) = 50,52)
Разделите разницу на произведение двух сторон, образующих неизвестный угол, и 2.